Università degli Studi di Padova

Transcript

1 Universià degli Sudi di Padova Facolà di Ingegneria Diparimeno di Tecnica e Gesione dei Sisemi Indusriali Tesi di laurea magisrale in Ingegneria Gesionale UN PROBLEMA COMPLESSO DI ROUTING CON FINESTRE TEMPORALI E CAPACITÀ LIMITATE Relaore: Ch.mo Prof. Giorgio Romanin Jacur Laureanda: Giulia Freschi Maricola: ANNO ACCADEMICO: 2012/2013

2 INDICE SOMMARIO... 5 INTRODUZIONE... 6 CAPITOLO 1: Un uile rappresenazione: i grafi Nozioni di base Definizione Tipologie ed elemeni caraerizzani... 9 CAPITOLO 2: Il Vehicle Rouing Problem Definizioni e concei generali I soggei coinvoli Le principali variani Capaciaed Vehicle Rouing Problem (CVRP) Vehicle Rouing Problem wih Time Windows (VRPTW) Disance-Consrained Vehicle Rouing Problem (DVRP) Vehicle Rouing Problem wih Backhauls (VRPB) Vehicle Rouing Problem wih Pick-up and Delivery (VRPPD) Il Vehicle Rouing Problem wih Time Windows (VRPTW) CAPITOLO 3: Le principali ecniche eurisiche Savings Heurisics A Time-Oriened, Neares-Neighbor Heurisic Inserion Heurisics A Time-Oriened Sweep Heurisic CAPITOLO 4: Ambiene del problema Il caso sudio considerao Descrizione generale Assunzioni di base I dai del problema La funzione obieivo I vincoli

3 4.1.6.Le variabili CAPITOLO 5: Il modello esao: due ipologie a confrono Dai, indici e noazioni comuni Il primo modello esao Le variabili decisionali La funzione obieivo I vincoli Il secondo modello esao Le variabili decisionali La funzione obieivo I vincoli CAPITOLO 6: Lo sviluppo del modello Analisi preliminare e ipoesi assune Le abelle di dai Primo sep: il calcolo dei cosi Il coso emporale di aesa Il coso di carico/scarico Il coso di viaggio Il coso oale Secondo sep: applicazione dell eurisica dei savings Il calcolo dei savings Ordinameno dei risparmi Cosruzione e aribuzione dei percorsi Scela del mezzo e conrollo dei vincoli Creazione del percorso Calcolo dei cosi I risulai oenui Il confrono con ecniche esae CAPITOLO 7: Prove e confroni con ecniche esae Prima prova: 8 macelli e 3 camion Seconda prova: 8 macelli e 2 camion Eliminazione dei dai relaivi a k Variazione della capacià dei mezzi

4 Uleriori prove Variazione della capacià dei macelli Terza prova: 20 macelli e 5 camion CONCLUSIONI BIBLIOGRAFIA

5 SOMMARIO L obieivo di quesa esi è quello di approfondire il Vehicle Rouing Problem (VRP) ponendo l aenzione su imporani aspei quali le finesre emporali e le capacià limiae dei mezzi a disposizione. Infai il VRP, la progeazione di roe ammissibili per gruppi di veicoli che devono servire un cero numero di clieni, è un argomeno molo raao in leeraura che presena però dei fori limii quando lo si affrona ponendo vincoli di empo e capacià. Moleplici ecniche esae sono sae usae per la risoluzione di ali problemi ma le soluzioni oenue pur essendo oime hanno richieso elevai empi di elaborazione. Usando, invece, ecniche eurisiche, si è cercao di ridurre di molo le empisiche richiese per rovare la soluzione al problema, rovando così una soluzione ammissibile con brevi empi di risposa. Tale soluzione è consideraa buona e può avvicinarsi più o meno all oimo a seconda dei casi considerai. Nel caso specifico ra le diverse ecniche eurisiche a disposizione si è usaa la ecnica del saving che mira a calcolare i risparmi generai dall aggregazione di più nodi. Come primo passo è necessario calcolare i cosi generai da ogni percorso considerao come fosse singolo; successivamene, aggregando più clieni ra loro, si calcolano i risparmi che si hanno effeuando ale operazione. Essendo lo scopo quello di minimizzare i cosi oali, come riporao nei modelli esai presenai successivamene, si è cercaa la soluzione che permeesse il maggior risparmio e che generasse il minor coso possibile. Si è giuni in al modo alla cosruzione e assegnazione di differeni percorsi ai mezzi, i quali devono soddisfare per inero la domanda del cliene. È ineressane soolineare come ale problema, essendo un problema di rouing, possa essere associao sia a problemi similari, sia a problemi produivi, riuscendo così con semplici adaameni ad applicare il meodo risoluivo sviluppao anche a differeni realà indusriali. 5

6 INTRODUZIONE Il problema del Vehicle Rouing Problem con finesre emporali e capacià limiae risula di grande ineresse e adaabile a diverse siuazioni in quano raa l organizzazione e assegnazione di ragii che alcuni mezzi, parendo da un deerminao deposio che può variare da mezzo a mezzo, devono percorrere al fine di servire ciascun cliene. Nel caso specifico raao si è affronao il problema della raccola delle pelli fresche che devono essere rasporae dai macelli alla conceria, dove dovranno essere soopose ad uleriori lavorazioni per i successivi uilizzi. I mezzi hanno, ovviamene, capacià limiae, e, deposii, macelli e conceria hanno differeni orari di aperura e chiusura propri di ognuno di essi. Tali orari devono essere rispeai sia quando si inizia il carico, sia quando lo si complea. Per il caso considerao è necessario enere cono di un uleriore vincolo emporale: il periodo di empo enro il quale le pelli devono essere porae in conceria. Infai, raandosi di pelli fresche, quese necessiano di essere raae enro un cero empo affinché non deeriorino. Parendo da deerminai dai di inpu e avendo specifici vincoli da rispeare, si vuole risolvere ale problema uilizzando ecniche eurisiche, in paricolare l eurisica del saving. Diverse ecniche esae sono sae usae e riporae in leeraura, però, richiedono elevai empi di elaborazione e limiae dimensioni del problema raao, a differenza delle ecniche eurisiche che, invece, hanno generalmene limiai empi di risposa e non presenano problemi dimensionali, punando ad oenere una soluzione ammissibile buona, vicina all oimo. Inolre, gli algorimi esai per essere sviluppai necessiano dell uilizzo di programmi specifici, non di uso comune e che richiedono cosose licenze per poerli usare, a differenza della ecnica eurisica sviluppaa con Excel e, dunque, un sofware maggiormene diffuso e conosciuo. Araverso l eurisica del saving, si è sviluppao un programma che permeesse di organizzare il rasporo di pelli fresche dai macelli alla conceria. Ogni mezzo uilizzao per il servizio può risiedere, e quindi parire, in uno sesso deposio o in deposii differeni ognuno dei quali ha orari e cosi diversi ra loro. Lo scopo è quello di minimizzare il coso oale del servizio nel rispeo di vincoli emporali e della capacià, inolre, il veicolo che serve un cliene, deve soddisfare la domanda per inero, vale a dire che quesa non può essere divisa ra più mezzi, e l imporane non è uilizzare ui i camion a disposizione, ma soddisfare ue le richiese dei clieni. Per la comprensione e spiegazione deagliaa del problema affronao si è proceduo per sep: vi è una prima presenazione e spiegazione degli elemeni eorici e basici affinché l argomeno possa essere compreso al meglio e, successivamene, si passa 6

7 all applicazione della ecnica usaa e del programma sviluppao. All inerno dei diversi capioli sono presenai ui gli elemeni e le premesse necessari per comprendere al meglio il lavoro svolo. In paricolare, nel primo capiolo sono presenae ed espose ue le noazioni necessarie per capire il problema affronao in seguio, quali i grafi e le loro proprieà. Tali noazioni grafiche permeono di comprendere nell immediao il problema sviluppao araverso figure e simboli specifici. Nel secondo capiolo è inrodoo il problema più nel deaglio dichiarandone l argomeno, i soggei coinvoli e le principali variani che è possibile rovare. Tra quese si è selezionaa quella di ineresse e la si è approfondia nello specifico: il Vehicle Rouing Problem wih Time Windows, focalizzando così l aenzione sulle differeni capacià, e dunque sulla saurazione del mezzo, e sul rispeo di moleplici empisiche impose a seconda del soggeo considerao. Nel erzo capiolo sono presenae le diverse ecniche eurisiche, gli algorimi che permeono di rovare soluzioni buone vicine all oimo con brevi empi di risposa, e, in paricolare, si pone l aenzione sull eurisica del saving, successivamene applicaa e uilizzaa. Nel quaro capiolo viene dichiarao l ambiene del problema, il caso sudio specifico: diversi mezzi che devono servire più clieni seguendo un cero ordine deerminao uilizzando l eurisica del saving. Si effeua innanziuo una descrizione generale e in seguio una descrizione più deagliaa focalizzando l aenzione su ipoesi, dai, variabili, vincoli e obieivo del problema. Nel quino capiolo si descrivono due diversi modelli esai e si effeua un rapido confrono ra i due che risulano equivaleni dal puno di visa maemaico, ma differeni dal puno di visa della numerosià delle variabili. Con il seso capiolo si inizia la descrizione deagliaa di ui i passaggi e i calcoli effeuai per lo sviluppo e la risoluzione del problema. Una vola riporai i dai di inpu per uno specifico caso, è illusrao passo passo come procede la creazione e l implemenazione dell algorimo. Si giunge in al modo alla soluzione per il caso per il quale si è sviluppao l inero procedimeno e si effeua un primo confrono con algorimi esai applicai al medesimo problema. All inerno del seimo e ulimo capiolo si riporano le prove effeuae con il programma, riporando per ognuna di esse i risulai oenui. Ogni prova viene comparaa con le soluzioni oenue usano un alro ipo di sofware, il GAMS, che sviluppa il problema con ecniche esae. Queso permee un raffrono immediao dei risulai oenui e, dunque ra ecniche esae e ecniche eurisiche. Olre al confrono in ermini di cosi e soluzioni oenue, è imporane analizzare i due diversi meodi 7

8 ampliando lo scenario dell analisi. Infai, le ecniche eurisiche permeono di allargare le dimensioni del problema affronao senza paricolari difficolà e con empi di risoluzione molo brevi, generalmene di qualche secondo, necessari per generare la soluzione correa, differenemene dalle ecniche esae. Nonosane queso, però, si oengono ugualmene buoni risulai che a seconda dei casi analizzai si avvicinano in misura maggiore o minore alle soluzioni rienue oime rovae con gli algorimi esai. Il problema analizzao, infine, è di facile applicazione e adaabilià ad alre ipologie di realà indusriali con semplici e rapidi accorgimeni. 8

9 CAPITOLO 1 Un uile rappresenazione: i grafi Per comprendere al meglio l argomeno oggeo della esi, è imporane conoscere e comprendere i diversi concei e definizioni che si uilizzeranno per affronare il problema. Innanziuo si parirà presenando e spiegando le principali definizioni e proprieà relaive agli elemeni grafici uili per rappresenare il problema proposo successivamene. 1.1.Nozioni di base Definizione Un grafo è una sruura cosiuia da oggei semplici, dei nodi o verici, e collegameni ra quesi chiamai archi o spigoli. Per definizione il grafo è una coppia ordinaa G=(V, E) di insiemi dove V è l insieme dei nodi ed E l insieme degli archi in modo ale che gli elemeni di E siano coppie di elemeni di V. Dal puno di visa grafico esso appare come un insieme di cerchi, i nodi o verici, collegai ra loro da curve, gli archi o spigoli. Queso ipo di rappresenazione è molo uile per affronare diverse ipologie di problemi e, nel caso paricolare, problemi logisici di organizzazione di una ree disribuiva. Nella raazione si considereranno solamene grafi semplici, cioè senza archi paralleli, coppie di archi uguali, né loop, archi di ipo (u,u) Tipologie ed elemeni caraerizzani I grafi possono essere non orienai, G=(V,E) dove l insieme di archi E è un insieme di coppie non ordinae di elemeni di V. Quindi G è un insieme di verici e archi nel quale la connessione i-j ha lo sesso significao della connessione j-i, dove i e j verici. Figura 1.1: Grafo non orienao 9

10 Diversamene, i grafi possono essere orienai, chiamai anche digrafi, G=(V, A), dove A è un insieme di coppie ordinae di elemeni di V. Per ogni arco orienao (v i, v k ) = v i v k = e, v i è deo coda di e, precede v k ed e esce da v i, menre v k è deo esa di e, segue v i ed e enra in v k. Figura 1.2: Grafo orienao Indifferenemene se un grafo è orienao o meno, invece, si dirà che v i è adiacene a v k, e è incidene su v i e v k e v i e v k sono esremi di e. v i e v k Figura 1.3 Si definisce inolre il grado di un verice, vale a dire il numero di spigoli che vi incidono, esso viene indicao con la noazione gr(v). Se un verice ha grado nullo, allora ale verice sarà deo isolao, se invece ha grado pari a uno, allora il verice si definisce pendene. Un walk o percorso in G, è una sequenza alernaa di nodi v 0,v 1,,v n e archi (v 0, v 1 ), (v 1, v 2 ),,(v n-1, v n ) dove v 0 e v n sono chiamai nodi esremi menre gli alri sono dei nodi inermedi. Se all inerno del percorso non vi sono archi ripeui allora si definisce cammino che, se chiuso, ossia se i nodi esremi coincidono, allora prende il nome di ciclo o circuio. V 1 V 2 V 3 V 4 V 5 Figura 1.4: Cammino 10

11 V 2 V 1 V 3 V 5 V 4 Figura 1.5: Ciclo (orienao) o circuio (orienao) Un verice si dice connesso ad un alro se esise un cammino che ha per esremi i due verici considerai. La relazione di connessione ra due nodi è una relazione di equivalenza (infai gode delle proprieà riflessiva, ransiiva e simmerica). Quando un nodo è isolao non è connesso con nessun alro nodo. Un grafo senza cicli è deo foresa e una foresa connessa è dea albero. Perano ne consegue che se un grafo è un albero, allora per ogni coppia di nodi consideraa esise uno ed un solo cammini che connee i verici (Teorema del cammino singolo). Per rappresenare un grafo ed uilizzarne i dai si usano la lisa delle adiacenze o la marice delle adiacenze, la prima è più uile nella rappresenazione di grafi con pochi archi, menre la seconda è maggiormene indicaa per descrivere grafi con moli archi. 11

12 CAPITOLO 2 Il Vehicle Rouing Problem (VRP) 2.1.Definizioni e concei generali Il Vehicle Rouing Problem, comunemene abbreviao come VRP, è un nome generico dao ad un inera classe di problemi che comporano la progeazione di percorsi (roues) ammissibili oimi per una floa di veicoli che deve servire una serie di clieni nel rispeo di deerminai vincoli. Il VRP è un problema cenrale per quano concerne la disribuzione fisica di beni e servizi. Esisono diverse ipologie di VRP a seconda della naura della merce rasporaa, della qualià di servizio richiesa e delle caraerisiche di clieni e veicoli. In ui i casi, però, l obieivo rimane quello di soddisfare i clieni al coso minimo (Baldacci e al., 2012, p.1) I soggei coinvoli Il problema logisico considerao vede il coinvolgimeno di più soggei che sono elemeni fondamenali per l analisi; quesi sono, principalmene: deposii, veicoli, ai quali sono associao anche auisi e rei sradali e clieni. Risula uile l uilizzo dei grafi come rappresenazione grafica del problema; i nodi rappreseneranno deposii e clieni, menre gli archi i diversi percorsi da seguire (Vigo, 2002). Il puno di parenza per lo sudio del problema sono i deposii che presenano caraerisiche comuni o differeni a seconda delle ipoesi considerae: sono rappresenai graficamene come i verici del grafo; sono il puno di parenza per ui i veicoli e, perano, il puno di parenza per lo sudio del problema; possono essere moleplici oppure il deposio può essere unico, si può anche suddividere il problema per ciascun deposio; ad ogni deposio è associao un cero numero e ipologia di veicoli; ad ognuno di essi è pure legao un orario di lavoro enro il quale i veicoli devono uscire e rienrare al deposio assegnao; sono, anche, il puno di arrivo in quano i veicoli alla fine del rasporo dovranno recarsi nuovamene al deposio per essere proni all assegnazione di un nuovo percorso che avrà sempre come puno di parenza il deposio sesso. 12

13 Ad ogni deposio è associao, perano, un cero quaniaivo di veicoli: la floa di veicoli relaiva ad un deposio può essere omogenea o eerogenea sia in ermini di dimensioni che in ermini di capacià; la capacià massima del veicolo dipende dal ipo di veicolo e dal ipo di saurazione consideraa, quesa può essere a peso, volume o numero di pezzi rasporai; ad ogni veicolo è associao un auisa per il quale verrà poi calcolao il coso del lavoro eseguio (coso di carico/scarico, coso orario, ecc.); alri cosi associai al veicolo sono legai alla lunghezza del percorso assegnao sia in ermini di spazio che in ermini di empo; si ha, inolre, l assegnazione di un percorso per ogni veicolo (l insieme dei percorsi è rappresenaa dalla ree sradale che corrisponde a ui gli archi del grafo). Lo sudio del VRP è cosruio aorno alle esigenze dei soggei che devono ricevere il servizio, i clieni: sono rappresenai dai verici del grafo; ad ognuno di essi è associaa una cera domanda che viene espliciaa come la quanià di merce da caricare e/o scaricare che veicoli e perano auisi si impegnano a porare correamene ed efficienemene a desinazione; il servizio deve avvenire in deerminai periodi di empo legai agli orari di aperura e chiusura di ogni cliene; hanno differeni necessià di consegna/riiro a seconda della merce raaa da ognuno di essi (ad esempio se è deperibile o meno o se necessià di essere rasporaa e subire uleriori lavorazioni fae da alri soggei); ogni cliene può essere servio da un unico veicolo che pora a ermine l inera richiesa oppure il servizio può essere effeuao da più mezzi (spli deliveries), sempre dipendenemene dalle assunzioni fae. Se ne deduce, perano, che il problema di rasporo delle merci implica un servizio che uno o più clieni richiedono venga soddisfao, secondo specifiche esigenze, dai veicoli che sono localizzai in uno o più deposii ed effeuano i loro sposameni araverso la ree sradale disponibile e secondo le specifiche del singolo percorso ad essi assegnao. Il VRP permee di deerminare un insieme di viaggi in modo da servire ui i clieni nel rispeo dei vincoli operaivi considerai ai a minimizzare la funzione di coso con l obieivo di minimizzare la oalià dei cosi da considerare. 13

14 Alra pare fondamenale sono, appuno, i vincoli senza i quali sarebbe impossibile effeuare una correa analisi. Alcuni di essi sono comuni per le differeni ipologie di VRP, menre alri sono specifici per ogni ipo di problema o sono il puno di parenza dello sudio dai quali queso non può prescindere Le principali variani Ci sono diverse ipologie di VRP che sono caraerizzae da differeni ipoesi e vincoli assuni Capaciaed Vehicle Rouing Problem (CVRP) Come affermano Baldacci e al. (2012, p.1-3), una delle più semplici variani del VRP è il CVRP, dove C sa per capaciaed. Si assume una floa fissa di veicoli, con capacià uniforme, siuaa in un unico deposio cenrale per soddisfare la domanda dei clieni. Ogni veicolo può essere uilizzao per un solo percorso e la domanda oale della roa assegnaa non può eccedere la capacià oale Vehicle Rouing Problem wih Time Windows (VRPTW) Un alra imporane e più complessa variane è, invece, il VRPTW che considera uleriori dai di inpu legai alle finesre emporali: infai TW sa per ime windows. Esso è considerao una generalizzazione del CVRP con l aggiuna, però, di vincoli quali il rispeo delle finesre emporali e alri dai di ipo emporale che comporano una maggiore complessià di analisi e sudio. Infai, nei problemi di rouing che si rifanno a siuazioni più realisiche, si comprende anche lo scheduling, ossia si considerano anche alre componeni come ad esempio il empo di viaggio ra una coppia di nodi, il empo di servizio di ogni cliene e la duraa massima di viaggio che comporano, perano, maggiori complicazioni nell analisi. Di seguio verrà analizzao il VRPTW nello specifico Disance-Consrained Vehicle Rouing Problem (DVRP) In queso ipo di variane, il vincolo di capacià relaive alla prima ipologia considerae, viene sosiuio da un vincolo di lunghezza massima, o empo massimo, del ragio da percorrere. In paricolare, una lunghezza non negaiva ij viene associaa a ciascun arco dove i e j sono gli esremi: (i, j) A, e la lunghezza oale della somma degli archi considerai non può eccedere la lunghezza massima T. Se i veicoli sono diversi ra loro, allora i valori massimi considerai saranno T k con k = 1,, K. 14

15 Inolre, se la lunghezza degli archi rappresena il empo di viaggio, può essere associao un empo di servizio s i ad ogni cliene i, indicando il periodo di empo nel quale il veicolo si deve fermare dal cliene. Alernaivamene, il empo di servizio può essere aggiuno al empo di viaggio e quindi per ogni arco (i, j), si avrà: ij = ij + s i / 2 + s j / 2, dove ij è il empo di viaggio originale dell arco considerao. L obieivo è quello di minimizzare la lunghezza oale del percorso o la sua duraa oale in ermini di empo (Toh e al., 1987, p.5-7) Vehicle Rouing Problem wih Backhauls (VRPB) Queso ipo di VRP divide I insieme dei clieni V \ {0} in due sooinsiemi: il primo sooinsieme L, coniene n clieni Linehaul, ognuno dei quali richiede gli venga consegnaa una cera quanià di merce; il secondo sooinsieme B, comprende m clieni Backhaul, per i quali deve essere riiraa una cera quanià di prodoi. Esise un vincolo di precedenza ra i due gruppi: quando un ragio serve enrambe le ipologie, ui i clieni del gruppo L devono essere soddisfai prima di qualunque cliene dell insieme B. A queso ipo di problema può essere associaa un uleriore variane comprendene le finesre emporali chiamaa Vehicle Rouing Problem wih Backhauls and Time Windows (VRPBTW) Vehicle Rouing Problem wih Pick-up and Delivery (VRPPD) Nella versione più semplice, quesa ipologia ad ogni cliene i sono associai due parameri d i e p i che corrispondono rispeivamene la quanià di merce richiesa e la quanià di merce da riirare. Perano, per non eccedere la capacià massima del veicolo si iene cono della differenza nea (d i p i ). Per ogni cliene i, O i indica il verice origine della domanda di consegna, menre D i è il nodo di desinazione in cui si consegna la merce. Per convenzione si assume che lo scarico dei prodoi avvenga prima del carico. 2.2.Il Vehicle Rouing Problem wih Time Windows (VRPTW) Il VRP, come riporao da Solomon (1987, p ), mira ad oenere la migliore organizzazione per una floa di veicoli, i quali parono e ornano al medesimo deposio cenrale, servendo un cero numero di clieni con domanda noa, con l obieivo di minimizzare i cosi. Ogni cliene è servio una vola e ui devono essere assegnai ai veicoli in modo ale da non superare la capacià massima del mezzo. 15

16 Nel VRPTW si aggiungono uleriori complessià e vincoli legai al rispeo del empo di consegna, delle finesre emporali e empi massimi di servizio legai al prodoo rasporao e per queso è considerao uno dei problemi di oimizzazione combinaoria più difficili; avendo, infai, un gran numero di soluzioni nella maggior pare dei casi, è necessario progeare algorimi adeguai alle diverse ipologie di problemi valuandone l efficacia ed efficienza. Nel VRPTW ad ogni cliene è associaa una specifica finesra emporale, ossia un inervallo di empo enro il quale può essere effeuao il servizio al cliene, definisce l orario di aperura e chiusura per ogni cliene al di fuori del quale non è possibile effeuare il servizio. Le finesre emporali possono essere sof o hard: la prima variane permee comunque la soddisfazione della domanda del cliene anche fuori delle predefinie finesre emporali pagando un coso di penalizzazione (penaliy cos); menre la seconda variane, sulla quale ci concenreremo, impone il vincolo rigido che il servizio deve essere effeuao esclusivamene all inerno dei empi presabilii dal cliene e, nel caso di arrivo anicipao presso ques ulimo, si deve aendere l aperura dello sabilimeno in quesione. Il empo di aesa andrà, perano, a generare un coso penalizzando la scela di quello specifico percorso (Dondo e al., 2007, p.1480). Si assegna a ciascun veicolo un unica roa e come uleriore assunzione si fa in modo che un cliene sia servio unicamene e oalmene da un solo mezzo il quale ha come puno di inizio e fine del proprio percorso il deposio. È fondamenale non superare la capacià massima di ogni camion e cosruire roe che minimizzino i cosi oali. Quesi, in paricolare, sono di diverso ipo, sia fissi che variabili: i primi legai per lo più all uilizzo del veicolo, menre i secondi legai ad alre variani come il empo, la disanza e alre variabili. Le decisioni da prendere sono rispeo al numero e ipo di veicoli uilizzai, quali clieni dovranno servire e secondo quale ordine per minimizzare il coso di rasporo. Le merci che devono essere consegnae devono essere caricae sui mezzi e porae a desinazione. Il deposio è il puno di inizio e fine di ogni percorso assegnao ad un veicolo durane i quali devono essere rispeai sia la capacià che i vincoli emporali. Inolre ogni cliene deve essere servio da un solo camion in quano non è ammesso disribuire la domanda su più veicoli (Rodolfo Dondo, Jaime Cerdá, 2007, p ). Queso ipo di problema può essere risolo araverso modelli di oimizzazione che, però, possono richiedere maggior empo di risoluzione, oppure araverso differeni 16

17 meodologie eurisiche che mirano a servire un cero numero di clieni uilizzando una combinazione di più veicoli disponibili. I modelli di oimizzazione, infai, per il VRPTW sono uili in diverse applicazioni, però, menre la maggior pare delle soluzioni hanno come ipoesi un singolo deposio e veicoli omogenei, i problemi reali includono generalmene più deposii e veicoli con capacià variabile e quindi non uguale per l inera floa consideraa. Inolre, la soluzione migliore che minimizza la disanza oale percorsa dai veicoli per visiare ui i clieni, compora elevai empi di aesa. Perano, la funzione di coso più adaa dovrebbe derivare dalla combinazione di cosi fissi legai all uso dei mezzi e cosi operaivi variabili che includono elemeni come il empo di viaggio, il empo di aesa e il empo di servizio (Dondo e al., 2007, p.1481). Un generico problema di VRPTW può essere descrio da re principali variabili. Definizione del problema, si considera un grafo orienao G(I, P, A), dove I = {i 1, i 2,, i n }, cioè i nodi corrispondeni ai clieni e P = {p 1, p 2,, p l }, i nodi relaivi ai deposii, sono connessi ra loro da archi indicai con A = { (i, j)/i, j (I P}. Per esremi (i, j) A si dovrebbe considerare il più basso coso di connessione dal nodo i al nodo j. Con [a i, b i ] si indica la finesra emporale del cliene. La floa di veicoli eerogenei V = {v 1, v 2,, v m }, ha differeni capacià di carico (q v ), e i singoli mezzi sono alloggiai in più deposii p P. Ogni veicolo v deve parire dal deposio assegnao p P, prelevare/scaricare la merce in più puni e ornae al deposio di parenza p. La roa assegnaa al generico veicolo v sarà definia come r = (p,, i, (i+1),, p), ossia come un percorso ra nodi collegai araverso archi orienai appareneni ad A. Vincoli, ogni roa deve iniziare e erminare allo sesso deposio, ogni nodo deve essere servio ineramene e unicamene da un solo veicolo, il carico oale assegnao ad un veicolo non deve mai eccedere la capacià oale dello sesso, la duraa del empo oale durane il quale il veicolo può essere in servizio deve essere minore del empo di lavoro massimo consenio e, infine, il servizio di carico/scarico deve avvenire all inerno delle finesre emporali per eviare la nascia di uleriori cosi. Obieivo, è quello di minimizzare il coso oale di carico e scarico nel servire ui i nodi (i clieni). Devono essere considerai principalmene quaro ipologie di coso: cosi fissi legai all uilizzo del veicolo, cosi di empo e disanza nel percorrere le diverse roe, cosi legai ai empi di aesa e, quindi, cosi di penalià e cosi di lavoro. 17

18 CAPITOLO 3 Le principali ecniche eurisiche Come ripora Solomon (1987, p.255), i VRPTW sono problemi abbasanza difficili dal puno di visa compuazionale, infai, se i VRP sono considerai problemi NP-hard, dove NP sa per polinomiale nel calcolo non deerminisico, ano più lo saranno i VRPTW. Perano lo sviluppo di ecniche eurisiche per queso ipo di problemaiche risula di primaria imporanza prefiggendosi di rovare una soluzione buona vicina all oimo. Si cerca, quindi, una soluzione ammissibile, buona, risolvendo il problema considerao in empi brevi empi di elaborazione. Gli algorimi eurisici possono essere cosruivi, si cosruisce un percorso alla vola, passando per una serie di sep e arrivando a rovare una soluzione ammissibile; a due fasi, si scompone il problema in fasi, si dividono i clieni in cluser e si cosruiscono roe ammissibili; miglioraivi, applicai ad una soluzione esisene con l obieivo di migliorarla. Gli algorimi eurisici cosruivi possono, a loro vola, essere divisi in sequenziali e paralleli. Le procedure sequenziali cosruiscono un percorso alla vola fino a quando ui i clieni sono soddisfai; menre le procedure parallele cosruiscono più roe conemporaneamene. Il numero di percorsi può essere fissao a priori oppure derivare dalla fusione di percorsi minori. Di seguio vengono analizzae e spiegae alcune delle principali eurisiche riporae da Solomon (1987, p ). 3.1.Savings Heurisics Quesa procedura, proposa per la prima vola da Clarke e Wrigh (1964), inizia con n percorsi disini nei quali il cliene è servio da un camion dedicao; i passi successivi da seguire mirano ad aggregare due o più nodi ra loro e calcolarne il risparmio derivane da quesa operazione. Ad esempio, se si hanno due clieni, considerando le roe come fossero dedicae, si avrebbero due camion disini per i due clieni; l applicazione del saving, invece, mee in evidenza il poenziale risparmio che si può avere nell uilizzo di un unico mezzo che visii prima un cliene e poi il successivo in un unico percorso. Il calcolo del risparmio si può avere applicando la seguene formula nella quale i e j sono i clieni e 0 il deposio: sav ij = d i0 + d 0j - μd ij, con μ 0 18

19 Queso risparmio viene calcolao considerando le disanze dal puno di visa spaziale. Nel VRP con finesre emporali si deve però considerare l orienameno dei percorsi in quano i clieni devono essere vicini anche dal puno di visa emporale. Devono essere rispeai i vincoli legai alle finesre emporali e alla capacià massima del veicolo affinché quesi non siano violai. Può, infai, risulare vanaggioso unire due clieni molo vicini in ermini di spazio, ma rivelarsi svanaggioso o addiriura penalizzane in ermini di empo. Ci porebbero essere dei empi di aesa che porebbero creare dei cosi opporunià dal momeno che il veicolo porebbe nel conempo servire alri clieni invece di aspeare che un cero cliene apra il proprio sabilimeno. Per la soddisfazione della vicinanza spazio-emporale ra due clieni, la proposa faa da Solomon (1987, p.255) è quella di limiare il empo di aesa quando si uniscono due clieni usando un paramero che escluda l unione di due clieni nel caso in cui il empo di aesa risuli maggiore di ques ulimo. L algorimo si arresa quando sono sae cosruie abbasanza roe da permeere la soddisfazione di ui i clieni. 3.2.A Time-Oriened, Neares-Neighbor Heurisic La seconda eurisica presenaa, apparenene alla caegoria delle eurisiche sequenziali, si basa sull inizializzazione di una roa cercando il cliene più vicino al deposio che non è ancora sao inserio in nessun percorso. Ad ogni successiva ierazione si cerca il cliene più vicino all ulimo cliene inserio nel precedene percorso considerao. Quesa ricerca viene eseguia ra ui i clieni che possono essere considerai nel rispeo delle finesre emporali, dell orario di riorno del veicolo al deposio e dei vincoli di capacià. Si inizia una nuova roa quando nessuno dei successivi clieni rispea i vincoli imposi. La merica usaa in queso ipo di approccio ena di soddisfare sia la vicinanza emporale che la vicinanza spaziale; infai se si aggregano due clieni, si calcola sia la disanza (d ij ) che la differenza di empo ra la fine del servizio in un nodo e l inizio dello sesso nel successivo (T ij ). Inolre si considera anche l urgenza di consegna di un deerminao cliene espressa come il empo rimanene prima che l ulimo servizio del mezzo inizi (v ij ). Dal puno di visa formale si definisce araverso le segueni formule: T ij = b j (b i + s i ), v ij = l j (b i + s i + ij ), c ij = δ 1 d ij + δ 2 T ij + δ 3 v ij, dove δ 1 + δ 2 + δ 3 = 1 e δ 1 0, δ 2 0, δ

20 3.3.Inserion Heurisics Queso crierio inizializza ogni percorso uilizzando uno dei crieri descrii di seguio. Dopo aver inrapreso l inizio di una nuova roa, si uilizzano due crieri, c 1 (i, u, j) e c 2 (i, u, j), per inserire ad ogni ierazione un cliene u all inerno della roa correne ra due clieni adiaceni i e j. Sia (i 0, i 1, i 2,, i m ) la roa che si sa considerando, dove i 0 = i m = 0. Per ogni cliene ancora fuori dal percorso, si calcola il miglior inserimeno nella roa in considerazione: c 1 (i(u), u, j(u)) = min[c 1 (i p-1, u, i p ), p = 1,..., m. Inserendo u ra i p-1 e i p si porebbero, però, alerare ui i empi di inizio del servizio per (i 0, i 1, i 2,, i m ). Perano, si sabiliscono le condizioni di faibilià, ossia, di essere più veloce rispeo al es per ogni cliene. Il cliene successivo sarà quello per cui vale la seguene relazione: c 2 (i(u * ), u *, j(u * )) = opimum[c 2 (i(u), u, j(u)), dove u è senza roa e faibile. Il cliene u * è successivamene inserio ra i(u * ) e j(u * ). Quesa ierazione coninua fino a quando non è più possibile rovare clieni che rispeino i vincoli e perano il percorso considerao ermina e si è proni per iniziare una nuova roa se non sono ancora sai soddisfai ui i clieni. Queso crierio può essere compreso meglio araverso quesi re specifici approcci che si basano sullo sesso. 1) c 11 (i, u, j) = d iu + d uj - μd ij, con μ 0; c 12 (i, u, j) = b ju + b j, dove b ju è il nuovo empo di inizio del servizio per il cliene j dao che il cliene u è inserio nella roa; c 1 (i, u, j) = α 1 c 11 (i, u, j)+ α 2 c 12 (i, u, j), α 1 + α 2 = 1; α 1 0, α 2 0; c 2 (i, u, j) = λd 0u c 1 (i, u, j), λ 0. Con queso ipo di meodo si vuole massimizzare il beneficio derivane dall inserire un cliene all inerno della roa parziale piuoso che con una roa direa. 20

21 Il migliore inserimeno è quello che minimizza una combinazione pesaa di disanza e empo, ossia che minimizza una misura di exra disanza e exra empo richiesi per visiare un cliene. Chiaramene differeni valori di μ e λ porano a diversi crieri per selezionare l inserimeno di un nodo nel percorso. 2) c 1 (i, u, j) = α 1 c 11 (i, u, j)+ α 2 c 12 (i, u, j), α 1 + α 2 = 1; c 2 (i, u, j) = β 1 R d (u)+ β 2 R (u), β 1 + β 2 = 1, β 1 0, β 2 0, dove R d (u) e R (u) sono rispeivamene la disanza oale e il empo oale della roa parziale se u è inserio. L obieivo è quello di selezionare clieni in modo ale da minimizzare i cosi sia in ermini di empo che di spazio. 3) c 11 (i, u, j) = d iu + d uj - μd ij, con μ 0; c 12 (i, u, j) = b ju + b j ; c 13 (i, u, j) = l u - b u ; c 1 (i, u, j) = α 1 c 11 (i, u, j)+ α 2 c 12 (i, u, j) + α 3 c 13 (i, u, j), α 1 + α 2 + α 3 = 1, α 1 0, α 2 0, α 3 0; c 2 (i, u, j) = c 1 (i, u, j). In ques ulimo caso considerao all inerno dell aspeo emporale si considera anche l urgenza del servizio specifica del cliene. Si permee l inserimeno, in qualunque posizione acceabile, di un cliene, ancora fuori roa, ra due clieni già nel percorso piuoso che solamene alla fine di esso. Tui e i re meodi mirano ad inserire un cliene non ancora servio all inerno della roa che si sa considerando facendosi guidare sia da vincoli di ipo spaziale che emporale. 3.4.A Time-Oriened Sweep Heurisic Quesa eurisica scompone il VRPTW in una pare di clusering, raggruppameno, e in una fase di scheduling, pianificazione. Nella prima pare si assegnano i clieni ai veicoli, menre nella seconda pare si cosruisce una pianificazione del veicolo per un deerminao seore, usando un eurisica di ipo cosruivo. Per rispeare la vicinanza geografica, si possono usare differeni crieri di selezione per la creazione del gruppo successivo. Si usa una semplice regola che divide in due il 21

22 seore appena considerao e inserisce i clieni a seconda del loro angolo polare (si assume il senso aniorario e si considera il più piccolo angolo formao dal raggio, dal deposio araverso il cliene e la biserice) rispeo al cenro considerao. Si ripee il processo fino a quando ui i clieni sono sai inserii all inerno di un percorso. 22

23 CAPITOLO 4 Ambiene del problema Presenai i concei di base, i possibili casi e le meodologie disponibili per la risoluzione dei diversi ipi di problemi, si vuole ora descrivere e presenare l area specifica di lavoro sulla quale ci si è concenrai. Il problema considerao è uno specifico caso di rouing con dei vincoli paricolari dai quali la soluzione non deve prescindere: si hanno, infai, specifiche finesre emporali da rispeare e capacià limiae dei mezzi disponibili per il rasporo della merce. Queso ipo di modello può, però, essere facilmene assimilao e adaao ad alre ipologie di problemi come l organizzazione della lavorazione di loi diversi su più macchine, ipici problemi di organizzazione del rasporo per diverse ipologie di merci, ecc Il caso sudio considerao Per sviluppare il VRPTW e cosruire un algorimo per la risoluzione e organizzazione del problema di rouing in quesione, si è considerao un reale caso sudio e da cui si sono esrai i dai per poerli uilizzare nello sviluppo del programma. Nello specifico si è raao il problema del rasporo delle pelli fresche dai macelli alla conceria, il quale si presa all analisi nel migliore dei modi e, grazie ai diversi vincoli da rispeare, risula di grande uilià e adaabilià anche per alri similari problemi. Se si rappresena il caso sudio araverso un grafo, i soggei considerai sono principalmene di quaro ipi: i/il deposio/i nei quali risiedono i mezzi, i macelli, la/e conceria/e e la ree sradale che li collega; i primi re sono rappresenai come nodi del grafo, menre i possibili percorsi sono rappresenai da archi Descrizione generale Il puno di parenza per lo sudio è il deposio che può essere unico o possono essere moleplici ed è considerao la sede di ui i mezzi uilizzai per il rasporo delle relaive merci. È la parenza anche per l analisi dal puno di visa geografico, infai i camion una vola effeuao l inero percorso assegnao loro dovranno essere proni a riparire dallo sesso per un nuovo successivo incarico. I veicoli che si hanno a disposizione sono di ipo eerogeneo, ossia differeni ra loro e, perano, con differeni capacià di carico. Nel caso considerao la saurazione del mezzo è riporaa a peso, ossia porà essere caricaa una quanià di pelli la cui somma avrà un peso minore o uguale a quello 23

24 caraerizzane della capacià del camion, dopo do che esso dovrà recarsi alla conceria per procedere con lo scarico senza passare per uleriori nodi in quano già saurao. I mezzi andranno, perano, a visiare i clieni, in queso caso i macelli, siuai in differeni puni geografici, per caricare la quanià di merce specifica per ognuno di essi. I macelli producono pellame fresco menre alri forniori della conceria possono fornire pelli raae con sale, in queso caso si avranno minori problemi di deeriorameno delle pelli, deerminando, però, diversi problemi a livello ambienale di smalimeno del sale e, quindi, problemi legai all inquinameno. Le pelli fresche fornie dai diversi macelli necessiano, perano, di essere lavorae enro brevi empi (ore), alrimeni possono subire alerazioni ed essere irreparabilmene danneggiae con consegueni ingeni danni economici. Per queso è necessario organizzare al meglio il rasporo fino alla conceria considerando la produzione giornaliera di pelli per ogni macello e la specifica finesra emporale dello sesso. Ognuno di essi ha, infai, una specifica finesra emporale che rappresena l orario di aperura e chiusura dello sesso all inerno della quale deve avvenire il riiro delle pelli. Inolre ogni macello ha un empo massimo di lavorazione che rappresena il empo massimo enro il quale le pelli devono essere porae in conceria per essere lavorae eviando che si danneggino in modo irreparabile. La conceria può essere consideraa sia il puno finale del percorso, sia il penulimo nodo che il camion andrà a visiare. Considerando, come nel nosro caso, come fisso il coso per ornare dalla conceria al deposio, allora non vi saranno grandi differenze ra i due casi e comunque queso dao non andrà ad influire nella ricerca del coso minimo ra i percorsi considerai. La ree sradale è l insieme di ui i percorsi che i camion possono effeuare. Ad ognuno di essi è assegnao un relaivo percorso che implica la visia di più nodi nel rispeo dei vincoli, in paricolare di empo e capacià. 24

25 4.1.2.Assunzioni di base È imporane riporare le ipoesi assune nell analisi e chiarire alcuni puni al fine di eviare ambiguià nella comprensione della risoluzione del problema. I mezzi considerai sono eerogenei, parono dai deposii e si dirigono verso i macelli per effeuare la raccola delle pelli fresche e porarle ue alla conceria dove verranno successivamene lavorae. Ogni camion è associao ad uno specifico deposio e ha due possibilià: può parire da queso per iniziare il percorso assegnaogli oppure rimanere all inerno dello sesso. Ogniqualvola un mezzo inizia una roa, e quindi esce dal deposio, gli viene associao un coso fisso di uscia. Ogni macello che necessia di essere servio è visiao da un solo camion il quale deve soddisfare l inera domanda. I cosi e i empi di carico sono specifici per ogni coppia macello-mezzo. Se ad un camion viene assegnaa una roa, esso, parendo dal deposio, dovrà erminare il suo percorso alla conceria. Il coso e empo di scarico è dao per ogni camion. Il coso e empo di viaggio è caraerisico per ogni arco e per ogni veicolo, perano sono variabili e specifici per enrambi. I mezzi devono rispeare le finesre emporali fisse e differeni ra loro, che vengono associae ad ogni deposio, macello e conceria. Un uleriore finesra emporale flessibile è imposa dai macelli alla conceria in quano vi è un empo massimo di conservazione delle pelli fresche che non può essere violao per eviare danni alla merce rasporaa. La quanià di merce caricaa all inerno dei mezzi non può eccedere la capacià massima dei camion valuaa, nel nosro caso, in peso. 25

26 Dal puno di visa grafico si avrà: MACELLI a DEPOSITI b C Figura 4.1 CONCERIA I dai del problema Per descrivere il problema è fondamenale aribuire una noazione ad ognuno degli elemeni coinvoli. In paricolare: i camion, la cui quanià viene indicaa con r, sono indicizzai con k; ogni mezzo è univocamene associao ad un deposio mk; si hanno n macelli indicizzai con i, j; la conceria è indicaa con l La funzione obieivo La funzione obieivo mira a minimizzare il coso oale comprensivo di più voci: coso di uscia; coso oale di viaggio; coso oale di carico; coso oale di scarico; coso oale del empo speso; coso dell evenuale parenza riardaa dal deposio (sar delay). 26

27 4.1.5.I vincoli I vincoli possono essere riassuni in re principale gruppi: vincoli di viaggio; vincoli di empo; vincoli di capacià. All inerno dei vincoli di viaggio se ne rovano di più ipologie: un macello deve essere servio da un unico mezzo e, perano, l inera domanda deve essere compleamene soddisfaa da ques ulimo. Inolre, devono essere rispeae le precedenze ra i nodi a seconda del percorso assegnao al veicolo, infai vi è un cero sequenziameno deciso nell aribuzione dei verici da visiare. Infine, il percorso di ogni veicolo deve erminare alla conceria. I vincoli di empo si riferiscono al rispeo delle finesre emporali, ossia si inende il periodo di empo, proprio di ogni soggeo coinvolo, durane il quale è possibile effeuare il servizio. In paricolare, per il deposio, indica il periodo all inerno del quale i mezzi effeuano l uscia per servire i clieni ed enro il quale devono effeuare la parenza. Per i macelli inizia dall orario di aperura e, quindi, dal momeno in cui il camion può enrare per caricare la merce, fino alla chiusura del macello, momeno in cui non è più possibile effeuare il servizio. Nel caso in cui il mezzo arrivi anicipaamene deve aspeare l aperura del macello e quindi pagherà un coso di aesa in ermini di coso orario di lavoro. Infine anche la conceria ha una finesra emporale indicane l aperura e la chiusura; ques ulima risula di fondamenale imporanza in quano ui i camion devono raggiungere la conceria prima della chiusura della sessa alrimeni non è possibile scaricare la merce caricaa precedenemene. Vi sono inolre empi massimi da rispeare per lo scarico e la lavorazione delle pelli. Quesi empi sono specifici per ogni macello in quano ognuno di essi raa pelli che hanno bisogno di essere lavorae enro empi più o meno brevi affinché non deeriorino e quindi non si creino inuili perdie economiche. I vincoli di capacià, invece, si riferiscono alla capacià propria di ogni mezzo che non deve e non può essere superaa dalla somma del carico delle pelli dei clieni visiai. Nel caso sudiao la capacià è calcolaa a peso, ogni camion può caricare e rasporare una cera quanià di pelli a seconda del peso che hanno; nella ricerca del percorso migliore anche queso dao deve essere enuo in considerazione. 27

28 4.1.6.Le variabili Le principali variabili da considerare sono: gli auocarri in parenza; il percorso seguio da ogni mezzo, che può essere descrio araverso i nodi già visiai o dall ordine di visia dei clieni; l isane in cui ogni veicolo inizia a servire ogni cliene. Perano si può affermare che il problema considerao ha come scopo l organizzazione di una ree di rasporo uilizzando veicoli con capacià limiae, mezzi eerogenei ra loro e finesre emporali differeni specifiche di ogni soggeo in gioco. Tuo queso presena peculiari complessià rispeo agli usuali problemi analizzai e, quindi, bisogna fare aenzione a non rascurare alcun paricolare. 28

29 CAPITOLO 5 Il modello esao: due ipologie a confrono 5.1.Dai, indici e noazioni comuni Per descrivere il modello maemaico alla base del problema sudiao, si devono spiegare le diverse noazioni che si uilizzano nello sesso. Come precedenemene accennao, si hanno: uno o più deposii in cui risiedono più camion; r mezzi indicizzai con k; n macelli da servire, indicizzai con i, j; una conceria chiamaa l. Ogni deposio ha un cero numero di mezzi ad ognuno dei quali vengono associai i segueni dai: la specifica capacià q k propria di ogni mezzo k; il coso uniario di empo c k, espresso in [ /h], è calcolao per uo il periodo durane il quale il mezzo k è in servizio; il coso di uscia c k, deerminao ogniqualvola il mezzo k effeua l uscia dal deposio; il coso orario di aesa cr k, [ /h], quanià di denaro spesa ogni vola che si riarda l uscia dal deposio rispeo all aperura della sua finesra emporale, ossia rispeo all isane in cui il mezzo è prono per parire; la finesra emporale [s mk ; f mk ] propria del deposio e quindi del mezzo k associao a ques ulimo. Per i macelli e la conceria, invece, si hanno alri dai, legai comunque ai mezzi che li servono: la finesra emporale di aperura e chiusura del macello [s i ; f i ], [s j ; f j ]; la quanià di pelli p i, p j che i macelli i, j devono caricare, espressa in [kg]; il empo massimo di scarico alla conceria g i ], g j ] che deve essere rispeao affinché la merce non deperisca; la finesra emporale della conceria l, [s l ;f l ]. 29

30 Inolre, per ogni associazione camion - macello, camion - macello - macello e camion - macello - conceria vi sono: il coso di sposameno d mik del mezzo dal deposio al macello i; il empo mik che impiega il mezzo k per sposarsi dal deposio m al macello i; il coso di carico d ik per ogni macello i per ogni camion k; il empo ik impiegao a caricare la merce del cliene i nel mezzo k; il coso d ijk per andare dal macello i al macello j; il empo ijk che impiega il mezzo k per sposarsi dal macello i al macello j; il coso d jlk per sposarsi dal cliene j alla conceria l; il empo jlk impiegao per muoversi dal macello j alla conceria l; il coso di scarico d lk delle pelli alla conceria l; il empo di scarico lk alla conceria l. Perano, per ogni mezzo k: g i ] g j ] [s mk ; f mk ] [s i ; f i ] [s j ; f j ] [s l ; f l ] ik jk lk k mik ijk jlk i d mik d ijk d jlk j l c k d ik d jk d lk q k cr k c k Figura 4.2: Dai del problema È ora imporane riporare il modello esao per la risoluzione del problema; vi è perano la necessià di imposare equazioni e disequazioni per la sua risoluzione. Nella sesura del modello si uilizza, inolre, una noazione non riporaa precedenemene: la leera M, che indica un numero molo grande, come ad esempio

31 5.2.Il primo modello esao Per queso primo modello vengono definie una serie di variabili caraerizzani dello sesso. In paricolare, è imporane capire anche quali sono le variabili decisionali e come vengono indicae. Quese possono essere divise principalmene in due gruppi: le prime definie variabili logiche e le seconde definie variabili emporali; enrambe a seconda dei valori assuni indicano se un camion visia un macello o se un macello non è visiao da nessuno, olre ai empi associai alle varie operazioni Le variabili decisionali In paricolare, per quano riguarda il primo gruppo sono variabili di ipo binario e, perano possono assumere due valori. In paricolare: x mik, i=1,, n, k=1,, r; è presene per ogni coppia ik macello mezzo. Assume valore uguale a 1 se il mezzo k si muove dal deposio al macello i; alrimeni assume valore uguale a 0. x ijk, i, j=1,, n, k=1,, r; si ha ogni qualvola il camion k è associao a due macelli i, j e è uguale a 1 se il veicolo si sposa dal macello i al macello j, alrimeni è uguale a 0. x jlk, i, j=1,, n, k=1,, r; per ogni coppia macello mezzo jk e assume valore uguale a 1 se il mezzo si muove dall ulimo macello visiao j alla conceria l; alrimeni è uguale a 0. x mlk, k=1,, r; divena uguale a 1 se il mezzo non pare dal deposio, invece è uguale a 0 se esce da ques ulimo per inraprendere un percorso assegnao. Le seconde apparengono ue all insieme dei numeri reali posiivi, ossia sono per ipoesi maggiori o uguali a 0. Esse sono: z mk, k= 1,, r; rappresena il empo di parenza del mezzo k dal deposio. z ik, i=1,, n, k=1,, r; si riferisce al empo finale di visia del macello i, ossia al momeno in cui il camion è già carico delle pelli del cliene appena servio ed è prono per la parenza verso un alro macello o verso la conceria. z lk, k= 1,, r; queso è il empo finale di visia della conceria, perano è l isane in cui il mezzo è già sao scaricao e ha finio il servizio giornaliero. 31