FACOLTA' DI INGEGNERIA CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA ELETTRONICA

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1 UIVERSITA' DEGLI STUDI DI APOLI FEDERICO II FACOLTA' DI IGEGERIA CORSO DI LAUREA I IGEGERIA ELETTROICA TESI DI LAUREA IDETIFICAZIOE DI ITERCOESSIOI LUGHE CO IL METODO DEL VECTOR FITTIG Relaore Caddao Ch. mo Prof. LUIGI CARILLO MASSIMILIAO de MAGISTRIS Mar. 5/903 Correlaore Ig. LUCIAO DE TOMMASI AO ACCADEMICO

2 Rgrazo l Prof. De Magr l Ig. De Tomma per la dpoblà e la orea dmoraam e per loro prezo uggerme. Dedo queo rulao dal profodo del uore alla ma famgla e ad Aoella he m hao empre oeuo ed oraggao.

3 Ide IDICE Iroduzoe Capolo Modell per la mulazoe delle eroeo. Iroduzoe. Effe lega alle eroeo.. Rardo d propagazoe.. Aeuazoe..3 Rfleoe e Rgg..4 Croalk.3 Equazo delle lee d ramoe.4 Modell per l aal delle eroeo lughe.4. Modell a paramer oera.4. Modell a paramer drbu.4.3 Modell full-wave.5 Aal d re ompoe da lee d ramoe e ru oera Capolo Meodo delle araerhe per lee muloduore. Meodo delle araerhe. Equazo della lea d ramoe muloduore.3 Equazo della lea d ramoe muloduore el domo della frequeza.4 Rappreeazoe mulpora delle lee d ramoe muloduore I

4 Ide.5 Derzoe greo-ao-ua e rappreeazoe equvalee d po Théve e oro.6 Problema della raformaa vera d Laplae degl operaor mare P, Z, e Y.7 Erazoe de rard.8 Implemeazoe umera del modello algormo d ovoluzoe veloe Capolo 3 Idefazoe degl operaor derv o l Veor Fg 3. Iroduzoe 3. L algormo del Veor Fg 3.3 Idefazoe de redu 3.4 Sela de pol d pareza 3.5 Applazoe del Veor Fg alle mar 3.6 Idefazoe del ruo d orde rdoo 3.7 Effeza della mulazoe el domo del empo Capolo 4 Alu a d udo 4. Iroduzoe 4. Eemp d defazoe d lee d ramoe RLCG a re oduor m 4.3 Eemp d defazoe d lee d ramoe RLCG a quaro oduor m 3 Appede A A. Problema de mm quadra A. Soluzoe a mm quadra II

5 Ide Appede B B. Aal rame la deompozoe a valor golar Appede C C. Gl auovalor e gl auoveor delle mar Λ ZY/ e Π YZ/ Appede D D. La de programm Bblografa III

6 Iroduzoe Iroduzoe Il red reee ell'dura VLSI vero modell maurzza, l oumo d baa poeza, e l aumeaa egrazoe d ru aalog o bloh dgal ha reo l aal dell egrà del egale u ompo dffle. La rhea d applazo ad ala veloà ha meo lue gl effe prma raurabl delle eroeo, qual l rgg, l rardo d egale, la doroe,la rfleoe, e l roalk. S ue he le eroeo arao le maggor repoabl della degradazoe del egale e em ad ala veloà. Quao deo ha fao ì he le eroeo ra dpov elero debbao eere ve ed aalzzae ome lee d ramoe, e qud lo udo del omporameo delle lee d ramoe ha auo u ruolo empre pù mporae ella rera efa e eologa. Gl effe dovu a al eroeo rard o ezoal, eo d roalk, rfleo, perde, e ph d ovraeoe a ermal fluezao foremee l egrà de egal e qud l orreo fuzoameo de ru e; ò deerma l egeza d udare al effe medae l ulzzo d ehe d mulazoe aurae ed effe []-[4]. Iolre la aura foremee o leare e empo varae de dpov elero e ru d eree applavo mpoe la eeà d effeuare l aal d que em el domo del empo [4]-[]. U approo largamee eguo leeraura per aalzzare ru omple ou da eleme drbu ed eleme oera oe el dvdere l ero ema ompoe, dguedo oo-em he eragoo ra loro olo aravero le ermazo. Suevamee vegoo araerzza a ru oera he quell drbu o rfermeo al loro omporameo ermale: al modo l ero ema vee aalzzao aravero ehe phe dell aal de ru,

7 Iroduzoe he oo pù adeguae per l aal raora el domo del empo [4], [7], [9]- [34]. Affhè la mulazoe a auraa oorre, parolare, ulzzare modell he dervao modo orreo feome eleromage he araerzzao le eroeo. Per oeere ahe la eeara effeza ompuazoale, è dpeable po rorrere a ehe d rduzoe d orde de modell ulzza. La reee leeraura ha dedao mola aezoe a alla araerzzazoe auraa d og golo elemeo elle ruure d eroeoe, he alle ehe d rduzoe d orde he oeao d oeere ru equvale falmee mplemeabl mulaor rual adard [4], [7], [9]-[], [7]- [8]. La leeraura offre mol appro dver per affroare queo problema, le u prpal dffolà redoo ella rappreeazoe auraa del feomeo della propagazoe e ella eeà d garare ablà umera e pavà de maromodell [7], [33]. U modo poble per mporre al propreà è quello d fruare ua maggore ooeza del omporameo qualavo delle oluzo [7], [3]. I quea e, ella quale vee preeao u modello geerale per araerzzare l omporameo a ermal delle lee d ramoe muloduore lear al fe d mularle maera effae. Tale araerzzazoe è aa realzzaa aravero la ooeza delle eo e delle orre a ermal, e ò permee d defare l modello a parre da mure eere. Per far queo è adoao u approo he oee d araerzzare l omporameo ermale della lea aravero operaor qual la mare mpedeza araera o la mare d ammeeza araera e l operaore d propagazoe. Uo degl rume d aal delle lee d ramoe è l meodo delle araerhe. Il meodo geeralzzao delle araerhe MoC fore l modello pù adao per realzzare l aal raora delle lee d ramoe

8 Iroduzoe eleramee lughe, lee per le qual l rardo d propagazoe goa u ruolo gfavo. Ifa el domo della frequeza, l operaore d propagazoe, parolare, mora u omporameo o fae dvergee all fo dovuo alla preeza de rard aoa alla propagazoe. Il meodo geeralzzao delle araerhe rame u auraa erazoe del rardo permee, da u lao, d dervere aalamee erm he oo ezza aravero orge rardae e mulpore rev, dall alro lao, d defre ua pare regolare dell operaore d propagazoe, he può eere appromaa rame u ruo oerao d orde rdoo, abbaado oì o ompuazoal delle ovoluzo. Per oeere dreamee la e de ru oera equvale d orde rdoo, l geero operaore regolare vee defao o u appromazoe razoale ella laa forma pol-redu. Per defare ua ale appromazoe razoale oo a propo, leeraura, dver algorm, ra u quello del Veor Fg VF. Fodamealmee, l VF è u algormo eravo baao ulla rolloazoe de pol; ad og erazoe vee rolo u problema leare, fo a quado o ragguge la mglore auraezza poble. Per dervare u modello d ruo appromao d orde rdoo dalle rpoe dae, è eearo mporre la odzoe rago- ulle mar redu ome volo el proeo d defazoe. Sforuaamee quea odzoe o può eere eplamee forzaa fhé l proeo d defazoe è baao eluvamee u proedure lear, oì ome l meodo del Veor Fg VF. Qualhe omzzazoe o leare, ad eempo a mm quadra LLS, è però eeara e vuole forzare l volo mezoao prma. I vaagg d ua proedura robua ome VF e la fleblà d u algormo LLS per 3

9 Iroduzoe l defazoe delle par regolar degl operaor pooo eere peo ulmee omba. el apolo oo me evdeza gl ape geeral rguarda l aal d re omplee, araerzzae da lee d ramoe e ru oera. L oreameo vero ru maurzza e la empre pù elevaa egrazoe ra ru aalog e bloh dgal ha fa ooleao l mporaza d aalzzare maera auraa gl effe delle lee d ramoe rard o ezoal, effe d roalk, rfeo, perde he orbuoo al deerorameo de egal [8], [6], [4], [9]. Qud dopo ua dama de problem dovu a al effe dervoo modell he la reee leeraura ha propoo per l aal raora delle lee d ramoe, meedoe evdeza vaagg e vaagg. el apolo vee preeao l modello mulpora equvalee, propoo [7], he vee ulzzao per gl op della e. Tale modello el domo del empo è dero da due rpoe mpulve: dalla mare mpedeza araera o dalla mare ammeeza araera e dall operaore globale d propagazoe [7]. U puo molo delao è propro l alolo d quee rpoe. I geerale ee o pooo eere alolae maera aala e eahe umeramee a aua della preeza d erm rregolar qual mpul d Dra. Per alolare, qud, al rpoe rodue l problema el domo della frequeza e appla l meodo geeralzzao delle araerhe MoC, eo rame ua auraa erazoe del rardo permee, da u lao, d dervere aalamee erm he oo ezza aravero orge rardae e mulpore rev, dall alro lao, eo permee d defre redu regolar he pooo eere approma rame u ruo oerao d orde bao, abbaado oì o ompuazoal delle ovoluzo. I queo apolo vegoo ahe mora re dver appro per erarre rard [56]. Alla fe del apolo arao for brev e relav 4

10 Iroduzoe alla mplemeazoe umera del modello oeuo rame l algormo d ovoluzoe veloe. el apolo 3 vee morao l algormo del Veor Fg l quale va ad defare l geero operaore regolare rame u appromazoe razoale ella laa forma polo-reduo.ieme al Veor fg vee rodoo u algormo o Leare a Mm Quadra LLS he uao ombazoe ol Veor Fg permee d dervare u modello d ruo appromao d orde rdoo da delle dae rpoe. el apolo 4 oo preea alu eemp d defazoe degl operaor derv d lee d ramoe muloduore. Le defazo oo ae realzzae rame appoe roue d MATLAB, ad og eempo d lea è ao applao prma l olo Veor Fg, o pol d eavo, e po la proedura ombaa daa dal Veor Fg, o <, pù l omzzazoe o leare LLS. I rula oeu, rame due dver meod, oo a ofroa fra loro. 5

11 Modell per la mulazoe delle eroeo Capolo Modell per la mulazoe delle eroeo. Iroduzoe Lo udo del omporameo delle lee d ramoe ha auo u ruolo empre pù mporae ella rera efa e eologa. I ou progre fa dalla eologa ell ambo della progeazoe de ru elero e l rapdo aumeo della veloà de egal, ha fao ì he le eroeo ra dpov elero poao eere ve ed aalzzae ome lee d ramoe []-[4]. La preeza d rard o ezoal, effe d roalk, rfleo, perde, e ph d ovraeoe a ermal de dpov fluezao foremee l orreo fuzoameo d que ru [3]-[8], e orgoo proge ad affroare que problem per o arreare la ora vero ru VLSI o preazo empre pù pe, a per quao rguarda la veloà d propagazoe de egal a la deà delle eroeo. Perao per aurare l orreo fuzoameo d ru araerzza da elevae veloà d ramoe de da è eearo rdurre l rardo d propagazoe ra dpov, preervare l egrà de egal aalzzado maera auraa le rfleo e l roalk, dmure le perde, aumeare la deà delle eroeo. Cò ha fao ì he ell ambo della rera gl forz oeraero vero l mplemeazoe d pobl ehe d mulazoe aurae ed effe he falo l aal e la verfa d 6

12 Modell per la mulazoe delle eroeo que ru [4], [7], [9]-[34]. Dao he la maggor pare de dpov elero oo o lear e empo vara, l aal d que em e qud delle lee d ramo ee dev eere effeuaa el domo del empo. L aal del omporameo raoro delle lee d ramoe può eere ule ahe ello udo delle lee elerhe parolare ella valuazoe delle preazo de em d proezoe. Voglamo qud affroare l problema dell aal el domo del empo de ru elero, he poamo upporre eere araerzza da lee d ramoe lear e empo-vara e ru oera o lear e empo-vara. L aal el domo del empo de ru oera è ovvamee u argomeo fodameale e be oo ell ambo dell eleroa, lo eo o può dre per l aal el domo del empo d re ompoe da ru oera e lee d ramoe, e delle lee d ramoe ee he è aora oggeo d rera. Per affroare lo udo d quee re ompoe, ulzzado ue le ehe d aal phe della eora u ru oera, è eearo forre u meodo geerale he oea d araerzzare le lee ome ua mulpora equvalee, oa he permea d dervere l omporameo aravero le eo e le orre a ermal. Ovvamee alla bae d queo doro oo da fare delle oderazo relave alla effeva poblà d ulzzare l modello d lea d ramoe per dervere maera auraa le real eroeo. E poble affermare he uppoedo u modo d propagazoe eleromageo qua ravero qua- TEM, le eroeo pooo eere modellae ome lee d ramoe [], [], [4]. Se quea aerzoe rula eere oddfaa o meo per le eroeo real dpede da ua ere d faor qual: lo pero frequeza de egal he propagao aravero al eroeo, le dmeo ravere delle eroeo ee, le propreà eleromagehe de oduor 7

13 Modell per la mulazoe delle eroeo e del mezzo ad ee frappoo. Tuava ella maggor pare de a è poble ulzzare u emple rero: la daza ra oduor dev eere molo more della pù pola lughezza d oda araera de egal he propagao aravero al ruure gude.. Effe lega alle eroeo L oreameo vero ru maurzza e a bao aorbmeo d poeza, e la empre pù elevaa egrazoe ra ru aalog e bloh dgal ha meo evdeza la eeà d volgere u auraa aal dell egrà de egal. o oderare gl effe lega alle eroeo può deermare la preeza d glhe log he pooo redere u ruo dgale o fuzoae oppure può provoare la doroe d u egale aalogo maera ale he eo o oddf pù deermae pefhe. Tal effe pooo eere mora modellado le eroeo, el ao u a poble, ome lee d ramoe... Rardo d propagazoe U egale he propaga da u eremà all alra d ua lea d ramoe mpega ua quaà fa d empo, he vee dea rardo T d. La fg.. llura l ao d ua lea d rardo deale. 8

14 Modell per la mulazoe delle eroeo a b Fg..: Rardo d propagazoe: a Cruo o lea d ramoe eza perde; b Adameo della rpoa raora. Iolre l egale può morare ahe ua degradazoe del uo empo d ala ome morao fg.., dove l empo d ala R ul ermale d ua è maggore del empo d ala r del egale ul ermale d greo [3], [8], [9]. La degradazoe del empo d ala flueza lvell log mam e mm oebl ra due ervall d ommuazoe. 9

15 Modell per la mulazoe delle eroeo a b Fg..: Aeuazoe e degradazoe del empo d ala: a Cruo o lea d ramoe o perde; b Adameo della rpoa raora... Aeuazoe U egale he propaga lugo ua lea d ramoe può eere oggeo ad aeuazoe dovua a perde ohmhe o a perde el delero. Cò è meo evdeza fg... Le perde d aura ohma oo pù prouae alle ale frequeze a aua d ua drbuzoe delle orre o uforme. Le perde dovue alle oduaze oo proporzoal al faore d perda del maerale 0

16 Modell per la mulazoe delle eroeo delero he araerzza la lea e oo ah ee fuzo della frequeza. Se le perde oo oderevol, egal pooo o oddfare pù lvell log pefa o oegue errae ommuazo de ru dgal...3 Rfleoe e Rgg La rfleoe del egale e l rgg ad ea aoao pooo omporare ua oevole doroe del egale, he propaga lugo la lea, oprauo alle ale frequeze [3], [8], [9]. La prpale aua d degradazoe del egale dovuo al feomeo della rfleoe è la douà dell mpedeza araera d ua lea d ramoe. Quea douà aura può eere a drbua he oeraa. La preeza d ua douà d po drbuo può eere dovua al ambameo del mezzo lugo l peroro del egale; è poble fa he l egale debba araverare umero ra layer u ua heda a ru ampa. U alra aua d degradazoe del egale dovuo al feomeo della rfleoe è la dffereza ra l mpedeza araera della lea e le mpedeze oee a due ermal. La fg..3 mora que effe el ao d lea d ramoe eza perde. Le fg..3 b e morao le ooeo he hao el ao d lee araerzzae rpevamee da u rardo bao ed elevao. I geerale le ooeo oo pree quado l mpedeza d aro è more dell mpedeza araera dell eroeoe.

17 Modell per la mulazoe delle eroeo a b

18 Modell per la mulazoe delle eroeo d e Fg..3: Sovraeo, ooeo e rgg lee eza perde: a Cruo o lea d ramoe eza perde; b T ; Z 5Ohm Z L < Z 0 ; T d 5 ; Z L 5 Ohm Ohm Z > Z 0 ; e T d 5; L Z L < Z 0 ; d T d ; Z L 00Ohm Z L > Z 0. d L Z L 00 3

19 Modell per la mulazoe delle eroeo Le fg..3 d e e morao l feomeo della ovraeoe he è preee quado l mpedeza d aro è maggore dell mpedeza araera della lea. Come vo, l rgg aoao al egale e feome d ooeoe e ovraeoe aumeao al reere del rardo he araerzza la lea. a b 4

20 Modell per la mulazoe delle eroeo d Fg..4: Rgg ua lea o perde: a Cruo o lea d ramoe o perde; b Z L 0 Ohm; Z L 00 Ohm; d Z L ope ru. La fg..4 mora l rgg he araerzza ua lea d ramoe o perde 5

21 Modell per la mulazoe delle eroeo ulzzado arh dffere. Il meamo d rfleoe: oderamo l ema d eroeoe morao fg..5, u è llurao l ao pù emple d varazoe dell mpedeza da Z 0 a Z. 0 Fg..5: Rfleoe dovua alla dffereza ra le mpedeze Quea varazoe ompora he pare del egale v oda progreva vee rfleo v r oda regreva. Il oeffee d rfleoe ρ è dao da: v Z r 0 Z 0 ρ. v Z Z 0 0 el ao d lea adaaa Z 0 Z 0 o è rfleoe, ome è fale oervare dalla preedee formula. ella progeazoe d ru araerzza da veloà elevae boga fare aezoe a mmzzare al feome d rfleoe dao he e pooo deermare delle ommuazo errae e ru log...4 Croalk Il feomeo del roalk fa rfermeo all erazoe ra egal he propagao u lee d ramo dffere. U feomeo aalogo al roalk può eere oderao l erfereza ra lee dffere durae ua overazoe elefoa. Il roalk è prpalmee dovuo alla elevaa deà delle eroeo e 6

22 Modell per la mulazoe delle eroeo ru VLSI. L elevaa deà ua al fao he la daza ra le lee rula eremamee rdoa, ompora u aoppameo eleromageo ra le lee. L eerga del egale preee ella lea ava è aoppaa alla lea d ramoe o eaa aravero le apaà e le duaze muue, ò ompora la preeza d u egale d rumore. Ovvamee ale feomeo rula eere aua d malfuzoame e rappreea uo de maggor vol ella progeazoe d ru araerzza da veloà d fuzoameo elevae. U eempo d roalk è foro ella fgura.6. a b Fg..6: Croalk: a Cruo o lea d ramoe muloduore; b Rpoe el domo del empo. 7

23 Modell per la mulazoe delle eroeo.3 Equazo delle lee d ramoe Le re ompoe oo evdeemee de em omple dove dpov elero omporao da eleme rual oera, le eroeo omporao da ruure guda a muloeoe, e le erazo ra le eroeo e dpov elero o avvegoo eluvamee aravero ermal. Per aurare l orreo fuzoameo d ru elero o elevae veloà d ramoe da boga rdurre gl effe lega alle eroeo, a u è fao eo el paragrafo preedee. Per fare ò modell d eroeo debboo eere grado d dervere al effe. Per predere oderazoe al feome, è leo heder e è eeara ua derzoe omplea delle damhe del ampo eleromageo geerao lugo le ruure gude. Se le dmeo ravere della ruura guda, per eempo le daze ra oduor, oo molo mor della pù pola lughezza d oda de egal he propagao lugo ee, gl effe delle eroeo pooo eere der auraamee, e qud prev, aravero l modello d lea d ramoe []-[4]. Il modello d lea d ramoe baa ulle egue due poe fodameal: La ofgurazoe del ampo eleromageo he erea le ruure gude, dpedeemee dal fao he ee ao oue da due o pù oduor, è d po qua-tem rpeo all ae delle ruure gude ee. La orree oale he flue aravero og ezoe ravera rula eere uguale a zero. La ofgurazoe d ampo eleromageo d po TEM è araerzzaa dal fao he a l ampo elero he quello mageo oo perpedolar all ae del 8

24 Modell per la mulazoe delle eroeo oduore. I mod TEM oo mod fodameal d propagazoe ruure gude deal a muloeoe [], []. elle real eroeo l ampo eleromageo o è ma eaamee d po TEM. Comuque, quado le dmeo ravere delle eroeo oo molo mor rpeo alla pù pola lughezza d oda araera del ampo eleromageo he propaga lugo ee, le ompoe ravere del ampo foroo l orbuo prpale all ero ampo eleromageo e alle eo e alle orre rula a ermal ofgurazoe qua TEM []. Il fuzoameo d ua ruura guda a muloeoe dpede dalla opologa del ruo u ea è era. Coderado ua ruura guda a due oduor, l eempo pù emple da fare, è quello u aua ermazoe è oea ad u'ua pora. I queo ao la orree he era uo de ermal della lea è par a quella he ee dall alro. D oegueza, e la eroeoe erage o l reo del ruo olo aravero ermal, allora la orree oale he flue aravero og ezoe ravera dev eere zero. Queo eempo llura u rulao geerale he oua ad eere valdo el ao d lee muloduor. ell poe d ofgurazoe d ampo d po qua-tem e d orree oale ulla, la orree elera z; lugo le eroeo e la eoe v vz; ra le oppe d oduor, ad og aa z e og ae, oo be def. Ua quala eroeoe he oddfa quee due odzo è dea lea d ramoe. Le equazo he goverao la dama delle orre lugo oduor e delle eo ra oduor oo le oddee equazo delle lee d ramoe. ell poe d lee d ramoe deal, oè d eroeo eza perde, uform ello pazo e o paramer dpede dalla frequeza, le equazo relave alle drbuzo d eo e orre lugo la lea oo: 9

25 Modell per la mulazoe delle eroeo 0 v C z z z L z v z,,, z,. dove L e C rappreeao, rpevamee, l duaza e la apaà per uà d lughezza della lea. Le equazo el domo del empo per lee d ramoe o perde o paramer oa oo:,,,,,, z Gv z v C z z z R z L z z v.3 dove L e C oo empre l duaza e la apaà per uà d lughezza, mere R e G rappreeao rpevamee la reeza logudale e la oduaza ravera della lea per uà d lughezza. ell poe d ampo eleromageo d po qua-tem e d orree oale ulla al equazo pooo eere ravae dalla forma egrale delle equazo d Maxwell []. I defva ahe e l modello d lea d ramoe derve olo maera appromaa l omporameo eleromageo delle eroeo, eo è parolarmee mporae elle applazo gegerhe dao he rula eere eremamee uvo e oee ua derzoe alare del problema.

26 Modell per la mulazoe delle eroeo.4 Modell per l aal delle eroeo lughe A eoda della frequeza d fuzoameo, de emp d ala de egal he propagao lugo la lea, della aura della ruura della lea ea, le eroeo pooo eere aalzzae ulzzado modell dffere qual: modell a paramer oera modell a paramer drbu modell full-wave L mporaza d que modell rede ella loro apaà d dervere ua vaa gamma d eroeo, foredo u approo effae per l loro udo..4. Modell a paramer oera Abbamo vo ome la eeà d effeuare delle aal del omporameo raoro d lee d ramo o perde araerzzae da arh o lear rula eere mporae per lo udo e l dego d ru elero o preazo elevae. Il prmo modo, l pù emple e rozzo, propoo leeraura per rappreeare maera appromaa ua lea d ramoe medae u modello equvalee he e oea u aal raora auraa ed effee, è quello d modellare la lea medae ru a paramer oera per eempo elle d po T o aravero ua ombazoe d lee deal e ru oera elle d po brdo. Il vaaggo maggore dell ulzzo d u modello a paramer oera è he l ruo equvalee della lea può eere realzzao, maera molo emple e rapda, medae l uo d mulaor rual qual ad eempo SPICE, olre queo modo pooo eere ulzzae ue le agevolazo d

27 Modell per la mulazoe delle eroeo que programm ome l ulzzo d modell per ompoe lear e o lear, e vaagg erm d pu e oupu de da. Ua lea d ramoe o perde può eere rappreeaa ome ua ueoe d u umero fo d elle elemear RGLC. U modello equvalee a paramer oera è araerzzao da u umero fo d elle, M, abbaaza elevao per oddfare requ d auraezza e allo eo empo oeuo per lmare emp d alolo. Dffere p d elle elemear vegoo ulzzae, ome le elle d po T, Γ e Π. Tal elle oo araerzzae da u grado d auraezza mle e oo preeae fgura.7. Fg..7: Dffere p d elle ulzzae. Le lee d ramoe o perde e ru a paramer oera oo eramb: lear, azoar, pav e repro. Dffere rappreeazo maral oo ulzzae el domo della frequeza, geere vegoo fore le oddee mar ABCD [4], u eleme oo fuzo d rafermeo he rappreeao legam ra le eo e le orre a ermal. La eoe e la orree d ua lea d ramoe oo fuzo dello pazo z e del empo.

28 Modell per la mulazoe delle eroeo U modello a paramer oera effeua oazalmee ua drezzazoe pazale faedo modo he le eo e le orre ao oe u umero fo d pu. La lea vee dva egme d lughezza z, maera ale he ao ua pola frazoe della lughezza d oda del egale. Se oguo d que eleme uppoedo he la lea è aa drezzaa M egme può eere oderao polo dal puo d va elero alle frequeze d eree oè z L/M << l, allora ad oguo de egme poo oure u modello a paramer oera ome quell mora ella fgura.7. Qud le lee d ramoe pooo eere ve ome la oeoe ere d ae elle elemear. L ulzzo d queo po d modello rhede he ao ollegae ere u umero adeguao d elle maera ale da rappreeare orreamee la araera drbua della lea. Per eempo e odero egme LC, he pooo eere v ome flr paabao, effeuado u appromazoe ragoevole, au flro deve far paare almeo qualhe mulplo della mama frequeza f max araerzzae l egale d propagazoe uppoamo he la frequeza d aglo a de vole la f max, f 0 > 0 f max. Voledo meere relazoe la frequeza d aglo a 3-db e paramer del flro LC oego: f.4 π LdCd πτ d 0 dove d è la lughezza della lea e τ LC rappreea l rardo per uà d lughezza. Rordado he dal puo d va prao l legame ra la d re-fall è dao dalla relazoe: f max e l empo 3

29 Modell per la mulazoe delle eroeo f.5 max r ulzzado f 0 > 0 f max poo relazoare l empo d ala del egale al rardo della lea oa: r 3.5 πτ d 0τ d.6 I alre parole, l rardo permeo per au egmeo è / 0. Il umero oale d egme eear per rappreeare maera auraa u rardo oale d τ d è dao da: r τ d τ d 0.7 /0 r r Eempo: Coderamo u egale dgale o u empo d ala d 0. he propaga lugo u oduore prvo d perde d lughezza 0 m, o u rardo per uà d lughezza p.u.l. d 70.7 p queo può eere rappreeao da u modello a paramer drbu o egue paramer p.u.l. L 5 H/m e C pf/m. Se voglamo rappreeare lo eo ruo o elle a paramer - -9 oera abbamo bogo d e 0/0.e 35 elle. E da oare he l ulzzo d u umero maggore d elle o elma ompleamee le ovraelogazo, ma orbue a rdurre l prmo po d ovraeoe feomeo d Gbb. L auraezza d u modello ruale a paramer oera dpede da paramer R, G, L, C, dalla lughezza d della lea, dal umero d elle, e 4

30 Modell per la mulazoe delle eroeo dal rage d frequeze oderao. Per valuare l auraezza d u modello pooo eere ulzza pareh rer [35], ad eempo: errore relavo ul faore d propagazoe Θ e ull mpedeza araera Z ; errore relavo ulla frequeza aurale della lea; errore relavo u oeffe ABCD della mare rappreeava. Cau rero valua ua araera pefa della lea d ramoe. L ulzzo d u rero azhé u alro dpede dall applazoe pefa e da quao mpora oderao alue propreà della lea rpeo ad alre. Errore relavo ul faore d propagazoe e ull mpedeza araera: Og bpolo è araerzzao da ua mpedeza araera e da u faore d propagazoe [35]. Error ull mpedeza araera pooo auare rfleo o orree mere error omme ul faore d propagazoe deermao ua o auraezza ella propagazoe del egale. Da qu ae la eeà d realzzare u modello a paramer oera he mmzz gl error relav u al gradezze. Errore relavo ulle frequeze aural: Og fuzoe d rafermeo è deermaa dalla pozoe de uo pol e zer. Le frequeze aural d ua lea o aro oo dae dalla pare mmagara de pol dell mpedeza d greo. Que pol o frequeze aural oo quell he e deermao l omporameo raoro e damo. Perao, ella valuazoe dell auraezza d u modello a paramer oera è mporae valuare l errore ommeo ulle frequeze aural. Errore relavo u oeffe ABCD della mare rappreeava: L errore relavo u oeffe ABCD può eere erpreao maera pù agevole. Ifa al eleme della mare rappreeava oo delle fuzo d rafermeo he relazoao ra loro eo e orre alle ermazo della 5

31 Modell per la mulazoe delle eroeo lea. Se gl eleme della mare ABCD oo araerzza da u uffee grado d auraezza, allora ahe la propagazoe del egale per dffere odzo d aro, rula modellaa maera auraa..4. Modell a paramer drbu A bae frequeze, le lee d ramo pooo eere modellae ulzzado ru a paramer oera d po RC o RLC. Tuava per frequeze d fuzoameo relavamee elevae, la lughezza delle lee d ramoe dvea ua frazoe gfava della lughezza d oda del egale, ò deerma la preeza d effe d doroe ul egale, o pree a bae frequeze. D oegueza, l approo ovezoale per la rappreeazoe d ua lea d ramoe medae u modello a paramer oera aaa d elle RLCG dvea adeguao e qud paa a modell a paramer drbu he baao ulle egue due poe fodameal: Il ampo eleromageo rula eere araerzzao da ua ofgurazoe d po qua ravero TEM. La orree oale he flue aravero og ezoe ravera rula eere uguale a zero. L appromazoe d ampo eleromageo d po TEM rappreea l ao deale u a l ampo elero E he l ampo mageo H rulao perpedolar alla drezoe d propagazoe. Ovvamee e a real a E he H oo araerzza da ompoe ella drezoe d propagazoe dao he le ofgurazo delle lee o oo uform. Tuava e la ezoe ravera della lea e le dmeo d quee o uformà oo ua pola frazoe della 6

32 Modell per la mulazoe delle eroeo lughezza d oda el ampo delle frequeze d eree, la oluzoe alle equazo d Maxwell è daa da mod d po qua-tem, araerzza da paramer drbu R, L, C, G per uà d lughezza. Dal puo d va prao, a aua d geomere omplee d eroeoe delle lee e varazo della ezoe ravera, le eroeo debboo eere modellae ome lee d ramo o uform, al ao paramer p.u.l. oo fuzoe della daza, lugo la lughezza della lea d ramoe []. La propagazoe d u modo qua TEM u d ua lea d ramoe è dera dalle equazo de Telegraf. Soramee le equazo de elegraf furoo ravae effeuado ua drezzazoe pazale della lea ezo d dmeo feme d lughezza z e aumedo uform paramer p.u.l. d reeza R, duaza L, oduaza G e apaà C. ell poe d oderare ua lea eza perde ed ulzzado le legg d Krhoff per le eo e le orre oeamo: v z, z, L z z, v z, C z.8 Fg..8: Appromazoe d u rao d lea o ua ella LC 7

33 Modell per la mulazoe delle eroeo 8 faedo edere a zero l remeo pazale z oegoo appuo le equazo de Telegraf: z v C z z z L z z v,,,,.9 e ale erpreazoe gufa peamee l appellavo d ruo a paramer drbu per ua lea d ramoe. Dervado rpeo a z le.9 e eparado le oge oee: 0,, 0,, z z z z v z z v.0 u è poo LC. Le.0 ouoo u ema d equazo dfferezal perbolhe del eodo orde [], [36], le u oluzo pooo rvere ome omma d due ompoe, d u ua propaga lugo la drezoe pova dell ae z oda progreva e l alra lugo la drezoe egava oda regreva, ovvero: z z z z v z v z v,,.

34 Modell per la mulazoe delle eroeo Gl grede have delle equazo de elegraf e qud d u modello a paramer drbu oo paramer per uà d lughezza L e C. Ifa, per u p d lee a due oduor le equazo oo formalmee le ee e dfferezao ra loro propro e valor d al paramer. el ao d propagazoe TEM u mezzo omogeeo, araerzzao da oae delera ε e permeablà magea µ, paramer L e C oo lega ra loro dalla relazoe [4]: LC µε.. Il alolo d al paramer è baao ul loro gfao fo: la apaà C vee alolaa ome rapporo ra la ara lbera uperfale per uà d lughezza preee ul oduore e l poezale elero d ale oduore; aalogamee L è alolaa ome rapporo ra l fluo mageo per uà d lughezza oaeao o u peroro huo he roda oduor, ella ezoe ravera, e la orree he l aravera. Duque, L e C alolao rolvedo rpevamee u problema mageoao ed u problema eleroao. Le equazo de elegraf, ravae preedeemee, baao ull poe molo rerva d oduor eler e mezz deler perfe. ella realà, però, ale poe o è ma verfaa; è qud eearo eere oo delle perde, dovue al fao he oduor hao ua odublà o fa, mere deler hao odublà o ulla. Tal perde alerao la ruura de amp maera ale he o ha pù eo parlare d mod TEM, TE, TM [], []. I parolare, oorre oderare le ompoe age alle uperf d eparazoe ra oduor e deler, e qud l fao he l ampo eleromageo peera all ero de oduor. Il ema ouo dalle equazo d Maxwell adrebbe allora rolo uo lo pazo o le opporue odzo d raordo ulle uperf d 9

35 Modell per la mulazoe delle eroeo douà. La oluzoe del problema può aora eere deompoa erm d mod TEM, TE, TM; uava mod, al ao, o oo pù daoppa poeza, ovvero, a aua delle perde la poeza flue, durae la propagazoe, dal modo fodameale a mod uperor per qual o ee u vero e propro u-off e le lee d ramoe equvale a var mod oo aoppae, per u ha empre l eazoe d mod uperor. Tuo ò rede l aal d al ruure aa oeroa. Tuava, ell poe he le perde ao pole, oè quado vale la relazoe: σ ωε >>,.3 u σ è la odublà del oduore, l ampo peera all ero de oduor per uo peore molo polo, appea re o quaro vole lo peore d peerazoe []-[3]: δ.4 fσµπ I quea poe è leo peare he amp oervo ua ofgurazoe ravera mmuaa rpeo al ao deale e he al meam roduao olo ua perurbazoe delle ompoe logudal, eezale per valuare le perde ella propagazoe. Iolre, può peare d lavorare a frequeze abbaaza mor d quella d u-off relava al prmo modo uperore mperurbao, modo da poer reere raurable la poeza aoaa a mod uperor. 30

36 Modell per la mulazoe delle eroeo Fg..9: Cella elemeare el ao o perde. ell ambo d valdà della.3 parla d poe qua-tem e le equazo de elegraf rrvoo ome: v z, z, L R z, z,.5 z, v z, C Gv z, z ovvero o l roduzoe de paramer drbu R reeza per uà d lughezza e G oduaza per uà d lughezza; qud, el ao qua-tem la ella elemeare equvalee al rao d lea femo modfa ome fgura.9. Ovvamee, a queo ao he el ao preedee lea d ramoe eza perde, poamo emplemee oeere le equazo he dervoo u ema d lee d ramoe muloduore faedo modo he paramer p.u.l. R, L, G, e C dveo mar e le varabl eo e orre v e, veor. 3

37 Modell per la mulazoe delle eroeo Il paramero G S/m è legao alle perde el maerale delero le qual oo dovue fodamealmee alle orre he v rolao a aua della ua odublà o ulla e a aua d feome d ere del maerale. el prmo ao le perde oo oa o la frequeza, mere el eodo ao varao o ea. e a pra d eree, le perde el delero rulao ez alro raurabl fo a frequeze dell orde de GHz. Comuque, raurado l ere, G può eere alolao o la relazoe [4]: µ G,.6 L u µ e σ oo rpevamee la permeablà magea e la odublà del maerale delero oderao. Valor p d G rulao dell orde d 3 0 S/m e, qud, vegoo peo raura. Il paramero R W/ m ee oo delle perde e oduor, he pooo geerale dpedere dalla frequeza, quao può reere he l ampo peer all ero del oduore reale per uo peore par allo peore d peerazoe d effeo pelle. Per frequeze al he d rul molo maggore della dmeoe del oduore, R può reer oae ed uguale alla reeza della lea muraa oua, e la orree rula uformemee drbua ella ezoe ravera del oduore. Per frequeze pù elevae, vee, R aumea appromavamee ome f. Ad eempo, per u oduore a ezoe rolare d raggo r, R può alolare o le egue relazo [4]: 3

38 Modell per la mulazoe delle eroeo R Rd σπr R p r σδ r µ πσ f e e r << d r > δ..7 Per u po oduore d rame d raggo 6mm ha R d 3,33 W /m. Fg..0: Speore d peerazoe e dmeo due p d oduor. Per oduor a ezoe reagolare rorre a relazo appromae, quao o è poble ooere forma hua l adameo de amp all ero del oduore; dado o w la larghezza e o lo peore del oduore, ome llurao fg..0, ha [4]: R Rd σw R σδ w σδw e e << δ..8 > δ 33

39 Modell per la mulazoe delle eroeo Ad eempo per u po oduore per ru ampa d larghezza 5 mm e peore,38 mm rula R d,9ω/ m. I defva all aumeare della frequeza la drbuzoe d orree o rula eere pù uforme lugo la ezoe ravera del oduore, ma va oerado elle vaze della uperfe ea. Queo feomeo è dovuo oazalmee a re effe: effeo pelle, effe d bordo ed effeo promà [3], [4]. L effeo pelle fa ì he la orree oer egl ra mmedaamee ooa la uperfe del oduore e rdue la effeva ezoe ravera dpoble per la propagazoe del egale. Cò ompora u aumeo della reeza offera alla propagazoe del egale ed alr effe ad ea oea [3]. L effeo d bordo vee deerma la oerazoe della orree laddove verfao delle varazo bruhe della geomera del oduore. L effeo promà fa he la orree addea elle ezo del pao meallo d maa groud plae ve al oduore d egale. Per eere oo d que effe dvea eearo oderare u modello drbuo delle lee d ramoe araerzzao da paramer p.u.l. dpede dalla frequeza. Il modello drbuo rula eere u modello molo pù geerale d quello a paramer oera ahe e el momeo u effeua ua drezzazoe del modello ah eo pora all appromazoe d ua lea ome ua ere d elle a paramer oera. Il po d elle a u pervee dpede ovvamee dal meodo d drezzazoe he ede ulzzare. Perao uo de maggor ovee del modello a paramer drbu realzzao medae elle d eleme oera è dovuo al fao he l ulzzo d u umero elevao d elle eearo per effeuare la drezzazoe pazale d ua lea d ramoe, oprauo el ao u ru oo araerzza da veloà d fuzoameo elevae e egal da emp d re o fall pol, aumea maera oderevole le dmeo del ruo da mulare o 34

40 Modell per la mulazoe delle eroeo oeguee remeo gfavo del rug me d ua mulazoe. Iolre ell mplemeazoe della drezzazoe emporale, l me-ep dev eere molo more rpeo al pù polo empo d rao lugo le elle maera ale da garare ua ablà umera e orollare le ollazo parae. Perao a a aua della drezzazoe pazale a a aua d quella emporale ho he l rug-me d ua mulazoe d ua lea d ramoe dvea probvamee elevao. La derzoe d ua lea medae elle a paramer oera può eere l rulao d due appro dffere. S può dedere d appromare dreamee la lea o elle modello a paramer oera fr..4. oppure può peare d ulzzare u modello drbuo, pù geerale, e po paare alla ua drezzazoe. Tuava per la aura ea della ruura delle elle a paramer oera, al modell rulao eere olo u appromazoe della lea d ramoe. Praamee, era d appromare l rardo aoao alla lea d ramoe medae raor degl eleme av he araerzzao le elle. Appromazoe he ovvamee è ao pù pa all aumeare del umero d elle ulzzao, oa all aumeare della drezzazoe pazale della lea. Queo po d appromazoe, uo al fao he u ruo a paramer oera o può eere oo, per la ua ea aura, d ua ua ere d feome araer d ua lea rfleoe, roalk,..e, porao all roduzoe d uleror modell drbu he rappreeao la lea d ramoe ome u doppo bpolo paragrafo.5. 35

41 Modell per la mulazoe delle eroeo.4.3 Modell full-wave e em araerzza da preazo elevae ho he l empo d ala de egal è be al d oo del aoeodo, le dmeo ravere della lea dveao ua frazoe gfava della lughezza d oda del egale e le ompoe del ampo elero e mageo lugo la drezoe d propagazoe del egale o poo pù eere raurae. D oegueza, per mare maera auraa ò he aade a frequeze elevae è eearo oderare modell d po full-wave he predoo oderazoe ue le ompoe de amp eleromage e oddfao ue le pobl odzo al ooro. Comuque, la mulazoe ruale d modell fullwave rula eere molo omplaa. L formazoe he rava da u aal d po full-wave d ua lea è erm d paramer del ampo eleromageo he la araerzzao qual la oae d propagazoe, l mpedeza araera, e. I og ao u mulaore d ru rhede formazo erm d orre, eo ed mpedeze, perao è bogo d u meodo geeralzzao he oea d raferre le formazo e rula oeu da u aal de mod he araerzzao la lea ua rappreeazoe d po full-wave fruble, ulzzable da u mulaore. I rferme [37]-[4], foroo ehe per la oluzoe d queo po d problem. Modell PEEC e rpeec: La maurzzazoe de ru e l elevaa veloà de egal fao he modell d lee d ramoe bdmeoal dveao adegua e d oegueza rula eere eeara ua derzoe d po rdmeoale della ruura, maera ale da eer oo u pobl effe eleromage. La realzzazoe d modell per ruure araerzzae da geomere d po rdmeoale è aa realzzaa o ueo ulzzado l meodo Paral Eleme Equvale Cru PEEC. I modell PEEC oo ru 36

42 Modell per la mulazoe delle eroeo RLC dove le gole reeze, apaà e duaze vegoo erae dalla geomera della ruura ulzzado ua oluzoe qua-aa o rardaa delle equazo d Maxwell. L apeo pù mporae d queo approo è la ua geeralà. I modell oo ulzzabl a el domo del empo he el domo della frequeza, olre la valuazoe delle apaà parzal o delle duaze parzal per l modello rula eere dpedee dal po d aal domo del empo o domo della frequeza he ha ezoe d effeuare [38]. L mplemeazoe d que modell o è ua e dffere rappreeazo pooo eere ulzzae a eoda del problema da rolvere. La preoe relava a meod PEEC per la realzzazoe d u modello è la ea d u approo d po full-wave, fa l meodo PEEC rula molo mle al meodo de mome MoM [39], o la dffereza he effeuao appromazo loal d orre e arhe elerhe. E ovvo he queo po d appromazoe deermerà degl error per frequeze uffeemee elevae. Ifa modell rual he ulzzao le apaà o oo pù vald o appea rard dveao gfav. I modell PEEC he ludoo gl effe dovu al rardo vegoo hama rpeec. Coderado qud rard e ludedo eza appromazo ella formulazoe del problema le rego a delero fo ho he modell d po rpeec foroo ua oluzoe aaloga a modell d po full-wave. Tuava la pea ompuazoale per la mulazoe d que modell è abbaaza oeroa quao le re rula da u aal d queo po oo araerzzae da dmeo elevae. 37

43 Modell per la mulazoe delle eroeo.5 Aal d re ompoe da lee d ramoe e ru oera Coderamo ua geera ree araerzzaa da lee d ramoe e ru oera. Il omporameo dell era ree è l rulao degl effe repro d due egeze. La prma è quella he au ompoee della ree dovrebbe omporar ompablmee o la ua aura pefa, e la eoda è he ale omporameo dovrebbe eere a ua vola ompable o u gl alr ompoe della ree. Il omporameo delle lee d ramoe è dero dalle equazo araerhe delle lee. Le equazo araerhe de gol eleme de ru oera eme o le legg d Krhoff regolao l omporameo de ru oera. Le erazo ra que e le lee d ramoe, e ra le lee d ramoe ee, oo dere dalle odzo d ouà a per le eo he per le orre alle froere ra le lee d ramoe e gl eleme de ru oera e ra le lee d ramoe ee. I geere le lee d ramoe d eree prao oo araerzzae da perde, paramer dpede dalla frequeza, e pooo eere pazalmee o uform. I mol a paramer f della lea o oo o, ma ooe olo l valore he e aumoo deerma pu della lea, a parre da que valor è qud poble, qualora a eearo, effeuare ua derzoe d po ao degl e. I ru oera pooo eere geerale, molo omple. Soo araerzza da eleme dam duor, odeaor, raformaor, eleme rev he pooo eere o lear e empo vara dod, raor, amplfaor operazoal, pore loghe, e veror, e ru egra. Ahe e defva gol ompoe d quee re oo e e molo omple, la prpale dffolà a el erare d rolvere oemporaeamee problem d 38

44 Modell per la mulazoe delle eroeo aura profodamee dvera. Le equazo delle lee oo equazo dfferezal alle dervae parzal lear e empo vara d po perbolo, mere le equazo relave a ru oera oo ordare equazo dfferezal algebrhe, he geerale oo empo vara e o lear. Tal equazo pooo eere role ua vola he oooo le odzo zal relave alle drbuzo d eo e orre lugo le lee, le arhe zal de odeaor, e flu degl duor. Per valuare la oluzoe dell equazo araerhe delle lee d ramoe è eearo, olre alle odzo zal, ooere le eo e le orre a ermal. Perao per og lea è bogo d rolvere u problema zale o aegae odzo al ooro dove, omuque, valor delle eo e delle orre a ermal della lea oo e e o o. Quado ru oera oo lear e empo vara, l ero problema he propoamo d affroare rula eere leare e empo varae, e la ua oluzoe o preea parolar dffolà. Per eempo, l ero ema d equazo derve la ree può eere rolo mulaeamee ulzzado la raformaa d Fourer. Ivee, quado ru oera oo empo vara e/o o lear, o è poble rolvere l era ree el domo della frequeza. Perao l problema dev eere udao dreamee el domo del empo e le dffolà he orao dveao oderevol. Queo ompora he la ela del meodo d roluzoe d al re dvea ro. Il modo pù ovvo per rolvere u problema d queo po è l eguee. Per prma oa, deerma aalamee la oluzoe geerale delle lee el domo del empo, ò ompora l ulzzo d fuzo arbrare. Suevamee mpogoo le odzo zal, le odzo d ouà per le eo e le orre alle ermazo delle lee, e le equazo relave a ru oera maera ale da deermare le fuzo arbrare e, da qu, le drbuzo d eo e 39

45 Modell per la mulazoe delle eroeo orre lugo la lea, eme o le eo e le orre degl eleme oera della ree. Sforuaamee, quea proedura geeralmee o è applable perhé olo per lee d ramo uform eza perde e o paramer dpede dalla frequeza è poble deermare aalamee la oluzoe geerale delle equazo delle lee el domo del empo. Quado paramer della lea oo dpede dalla frequeza, le equazo delle lee pooo eere role umeramee appromado le dervae parzal o dffereze fe [4], oppure ulzzado meod approma baa ugl eleme f [43]. Le equazo el domo del empo per ua lea o paramer he dpedoo dalla frequeza oo equazo egro-dfferezal, perao que a boga appromare umeramee a le dervae parzal a gl egral d ovoluzoe [7]. Le proedure umerhe baae ulle appromazo delle equazo delle lee medae dffereze fe ed eleme f pooo eere erfaae falmee o le proedure ulzzae per rolvere ru oera a u le lee oo oee. Tuava, al proedure rhedoo mola memora e empo d eeuzoe dao he l loro obevo è quello d deermare le drbuzo d eo e orre lugo la lea. Gl algorm d mulazoe d re ompoe oo araerzza fodamealmee da due obev: formulare maera orrea problem m empo/frequeza ed eere grado d aalzzare ru d dmeo elevae faedo modo he la pea ompuazoale rmaga oeua. Soo a propo pareh algorm he pooo eere lafa oazalmee due aegore, ome egue. Appro baa ull dvduazoe prelmare d u maromodello per le gole lee d ramoe he araerzzao l ruo ompoo. Appro baa ulla rduzoe dell orde del modello ome AWE, CFH, PRIMA dell ero ruo oeee a ooru oera he ooru 40

46 Modell per la mulazoe delle eroeo drbu [33]. E da oare ome l eodo approo può ahe eere ulzzao per affaare l prmo. 4

47 Meodo delle araerhe per lee muloduore Capolo Meodo delle araerhe per lee muloduore. Meodo delle araerhe Uo degl rume d aal delle lee d ramoe è l meodo delle araerhe. Il meodo geeralzzao delle araerhe MoC fore l modello pù adao per realzzare l aal raora delle lee d ramoe eleramee lughe, lee per le qual l rardo d propagazoe goa u ruolo gfavo e.g.,[7],[7],[8],[45],[46]. Eo è dero rame due operaor: mpedeza araera o ammeeza araera e operaore d propagazoe. el domo della frequeza, dove è aurale eere oo della dpedeza dalla frequeza de paramer p.u.l. d lea, que ulmo operaore, parolare, mora u omporameo o fae dvergee all fo dovuo alla preeza de rard aoa alla propagazoe. U auraa erazoe del rardo permee, da u lao, d dervere aalamee erm he oo ezza aravero orge rardae e mulpore rev, dall alro lao, d defre ua pare regolare dell operaore d propagazoe, he può eere appromaa rame u ruo oerao d orde rdoo, abbaado oì o ompuazoal delle ovoluzo. Tale operazoe può eere faa ahe per l mpedeza araera. Gl appro pù omuemee adoa per erarre que rard oo baa u ua valuazoe del omporameo aoo el domo della frequeza degl operaor he dervoo l modello e.g., [7], [7], [8], [45], [46], [56]. 4

48 Meodo delle araerhe per lee muloduore. Equazo della lea d ramoe muloduore Coderamo ua lea d ramoe muloduore MTL, oua da oduor av ed uo d rfermeo d lughezza par a d, ome morao fgura.. Fg..: Lea d ramoe muloduore. Agedo maera mle al ao della lea d ramoe ompoa da u olo oduore avo, poamo dedurre le equazo della lea d ramoe muloduore. I paramer per uà d lughezza R, L, G, e C queo ao dveao mar e le varabl eoe e orree dveao veor rappreea rpevamee aravero v e. Coderado que ambame, le.5 pooo eere rre ome: vz, R z, L z,. z 43

49 Meodo delle araerhe per lee muloduore z, Gv z, z C vz,.. Le equazo della MTL rappreeae aravero la. e la. oo u ema d oppe d equazo dfferezal parzal del prmo orde PDE e pooo eere mee ua forma pù ea ome: v z, 0 z z, G R v z, 0 0 z, C L v z, 0 z,.3 Le mar R, L, G, e C oo ollevamee dae ome paramer per uà d lughezza dpede dalla frequeza f-pul. Que paramer oo d olo pefa pu a frequeza faa jω jπ f }, rame la { k k k modella o la mura d mod raver eleromage b-dmeoal -D qua-tem [4],[47]. La mare duaza per uà d lughezza L, lega la orree he orre og oduore o l fluo he oaea o ru forma da oduor. F L I.4 Per vedere ome può defre l geero elemeo del veore fluo F, oderamo l ao d re oduor po el vuoo a daze reprohe geerhe. Suppoamo he re oduor abbao lo eo damero e he a par a d, e he le daze reprohe ao D, D 3, D 3. Coderamo u peroro huo γ ome fgura., oè ua lea hua paae per gl a 44

50 Meodo delle araerhe per lee muloduore de due oduor e he hude rame due ra orogoal alle eremà del rao eame. D 3 D γ D Fg..: Lea a re oduor o daze reprohe geerhe Il fluo oale oaeao o la lea oderaa porà eere vo ome la omma d re orbu: Φ Φ Φ Φ.5 3 dove o Φ abbamo dao l orbuo al fluo oaeao o γ e dovuo al ampo prodoo dall -emo oduore, ovvero: Φ B d..6 S Per la mmera del problema due orbu Φ e Φ oo aalogh; qud baa alolare uo quala. Il ampo mageo prodoo da u oduore defo peroro da ua orree I rula, all eero del oduore eo, del po: 45

51 Meodo delle araerhe per lee muloduore µ 0I B θ,.7 π r avedo auo u ema d oordae ldro r, θ, e z oreao eodo l vero della orree, ed dao o µ 0 la permeablà magea del vuoo. All ero del oduore avedo uppoa uforme la deà d orree J I /[ π d/ ] avremo vee: µ 0I B r. θ.8 d Il alolo del fluo Φ può a ua vola, eere dvo ella porzoe era al oduore, omprea ra l ae e la uperfe del oduore, e ella rmaee porzoe eera al oduore, ovvero Φ Φ Φ fgura.3. Fg..3: Dvoe della uperfe S ella porzoe era al oduore e quella era allo eo Il alolo eramb a, rula emple oervado he l egrale d uperfe, euo oo della lughezza uara lugo z, rdue ad u emple egrale lugo r; odera ad eempo Φ e Φ, avremo: 46

52 Meodo delle araerhe per lee muloduore Φ Φ d/ 0 D d/ µ 0I µ 0I r r dr π d π d µ 0I µ 0I dr π r π [ l r] d/ 0 D d / µ 0I π µ 0I D l π d..9 S o he l prmo erme o dpede dal damero d del oduore. Ife ommado due orbu: µ 0 I D Φ Φ Φ l..0 π d Teuo oo delle ovezo adoae per le orre, relavamee al vero d perorreza elo u γ, rula: Φ Φ µ 0 D l π d µ 0 D l π d I I.. Il alolo d Φ 3 è pù ompleo, quao geerale l ampo prodoo dal oduore 3 o rula parallelo al pao defo dalla lea γ. Il alolo emplfa realà eormemee roduedo l poezale veore A. Dfa, poo B A, rordado he applado l eorema d Soke ha, geerale: S? B d A d A dl.. S?? 47

53 Meodo delle araerhe per lee muloduore el ao eame, d oduore releo defo, l epreoe del poezale veore o la gauge d Coulomb, A 0 è eremamee emple: µ 0I A l r z..3 π Dfa euo oo delle odzo d mmera, dall epreoe del roore oordae ldrhe oeamo mmedaamee Az µ 0 B A r?..4 r π Per quao vo l alolo d Φ 3 rdue al alolo della ruazoe d A u γ. A al propoo oervamo he l veore A, eedo dreo lugo z, o ha ompoee lugo due ra orogoal a oduor ulla γ, mere ugl alr due ra aume valore oae. I defva, euo oo del vero d rfermeo per la orree I 3 e della oreazoe ela per la γ, oee mmedaamee: Φ 3 µ 0I 3 µ 0I 3 D3 ld3 ld3 l..5 π π D3 a queo puo amo grado d rvere le epreo omplee per re flu Φ, oee: 3 Φ e 3 Φ. Sommado fa orbu al fluo o eg appropra 48

54 Meodo delle araerhe per lee muloduore l I I D D l I d D l I d D l I D D l I d D d D l I D D l I d D l I d D l π µ Φ π µ Φ π µ Φ..6 Le equazo.6 pooo eere falmee geeralzzae al ao d oduor. Coderamo due geer oduor r e, d damero d e po a daza r D, u ema d oduor, l fluo r Φ oaeao o la lea r γ può rvere ome: r r r r r I D l I D l I d l... 0 π µ Φ I I D l I d l D l....7 Gl eleme dagoal della mare duaza per uà d lughezza L, he rappreeao le auo-duaze, oo def ome l rapporo ra l fluo oaeao o la lea hua r γ, e la orree he flue aravero l r-emo oduore: r r r r r I I I I I L Φ..8 Le muue duaze r L oo defe ome l rapporo ra l fluo oaeao o la lea hua r γ e la orree he flue aravero l -emo oduore.

55 Meodo delle araerhe per lee muloduore I r r I I I I L Φ.9 L L L L L L L L L L L L L L L L ,3 3 L..0 La mare apaà per uà d lughezza, C, lega la eoe d lea o la ara oale d og oduore. V C Q. I oeffe della mare C oeffe d duzoe eleroaa k k k k C C C C C C C C C C C C C C C C C.. I erm dagoal rappreeao oeffe d auo-duzoe eleroaa. k k C V B V Q,.3

56 Meodo delle araerhe per lee muloduore dove V 0 per og j j. Que oeffe defoo ua relazoe ra le arhe mmagazzae ell -emo oduore e la eoe applaa all -emo oduore quado rea oduor oo oe al rfermeo. Og oeffee d auo-duzoe è uguale alla omma della auo e delle muue apaà defe dal oduore. I erm fuor dagoale oo oeffe d muua duzoe eleroaa e oo def ome: Q B V C V.4 j j dove V 0 per og j. Queo rappreea la ara mmagazzaa ell -emo oduore quado ua eoe è applaa al j-emo oduore o u gl alr oduor oe al rfermeo.gl eleme della mare C oo peo hama oeffe d duzoe eleroa. Tuava e o oo ugual alla auo e muua apaà ra oduor e l erme oeffe d duzoe eleroaa può durre ofuoe. I oeffe d auo e muua apaà oo mora ella fgura eguee: Fg..4: Cru d defzoe de oeffe d apaà per uà d lughezza : erm auo e muu. 5

57 Meodo delle araerhe per lee muloduore Ua emple forma per oeere oeffe d duaza eleroaa è daa dalla defzoe della mare poezale P. V P Q.5 Gl eleme d P oo hama oeffe del poezale. Ua vola oeu gl eleme d P, oeffe d duzoe eleroaa oo oeu prededo l vero d P C - P. V P,.6 Q Q... Q Q... Q 0 V P j..7 Q Q... Q j Q j... Q 0 j La mare reeza per uà d lughezza, R, lega la orree he flue og oduore alla eoe applaa alla lea. R R0 R0 R0 R 0 R R0 R.8 R0 R0 R R0 Gl eleme dagoal della mare orrpodoo alla omma delle reeze per uà d lughezza dell -emo oduore e la reeza del oduore d rfermeo. Gl eleme fuor dagoale della mare orrpodoo olo alla reeza per uà d lughezza del oduore d rfermeo. La mare 5

58 Meodo delle araerhe per lee muloduore oduaza per uà d lughezza, G, lega ue le eo della lea alla orree d oduzoe ravera oale he paa ra oduor. I G V.9 G k G G G Gk G G.30 G G Gk Gl eleme dagoal della mare delle oduaze orrpodoo alla omma delle auo-oduaze e muue-oduaze del oduore -emo, mere gl eleme fuor dagoale della mare orrpodoo al valore egavo del oeffee d muua oduaza ra l -emo e l j-emo oduore. Per deermare gl eleme d G ella -ema rga e ella j-ema oloa o dovremmo forzare ua eoe ra l j-emo oduore e l oduore d rfermeo, o ue le alre eo de oduor poe ugual a zero e deermare la orree ravera, I, he flue ra l -emo oduore e l oduore d rfermeo, ome è morao fgura.5. 53

59 Meodo delle araerhe per lee muloduore Fg..5: Cru d defzoe de oeffe d oduaza per uà d lughezza. Idado og elemeo d G ome G j abbamo: G j I V j V V - V V 0..3 Le mar R, L, G, e C oo defe mmerhe,.e T, G G T, C C e pove [4], [47]. T R R T, L L.3 Equazo della lea d ramoe muloduore el domo della frequeza Il problema della oluzoe delle.3 può eere affroao ahe el domo d Laplae. Le.3 el domo d Laplae dveao: 54

60 Meodo delle araerhe per lee muloduore Vz, Z I z,, z.3 Iz, Y V z,, z.33 dove Vz, e Iz, oo rpevamee l veore oloa delle eo e l veore oloa delle orre lugo le lee d ramoe, olre Z e Y rappreeao la mare mpedeza e la mare ammeeza delle lee d ramoe. el ao d lee eza perde ee oo dae da: Z L. Y C.34 el ao d lee o perde, vee, ha: Z L R. Y C G.35 Dervado rpeo a z le equazo alle dervae parzal.3 e.33 abbamo: z Vz, Z Iz,.36 z z Iz, Y Vz,..37 z Souedo la e la.3 ella.37, oeamo due egue em aoppa d equazo delle ode: 55