Numeri algebrici e trascendenti.

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1 Nueri algebrici e trascedeti Autore: dott RUGGIERO Doeico Nueri algebrici e trascedeti Nueri algebrici e trascedeti: defiizioi ed esei DEFINIZIONE Si dice che u uero x è algebrico se esso soddisfa l euazioe algebrica ( x), essedo P ( x) a x + a x + + a a x co a, P,,, U uero o algebrico è detto trascedete Evideteete gli a della defiizioe soo suosti o tutti ulli i uato P ( x) è u euazioe e o u idetità che, altrieti, sarebbe verificata da ualsiasi uero Seza erdita di geeralità, si ossoo suorre gli a della DEFINIZIONE coe iteri relativi oiché, se così o fosse, basterebbe oltilicare abo i ebri dell euazioe er il iio coue ultilo dei deoiatori (iio cou deoiatore) er avere ua euazioe a coefficieti iteri euivalete a uella data Suoiao, duue, che a,,,, salvo diversa secificazioe DEFINIZIONE Si dice che u uero x è algebrico di grado se soddisfa u euazioe di grado a o ua di grado iore I altre arole x è algebrico di grado se P ( x), e o esiste alcu < tale che P ( x) ovvero se è il iù iccolo uero aturale (o ullo) er cui ( x) Esei a () Ogi uero razioale è algebrico di grado Ifatti, cosiderato x (b ), è b evidete che x verifica l euazioe bx a () Il uero (reale) irrazioale x è algebrico di grado i uato soddisfa l euazioe x Più i geerale ciò vale er ogi uero x a, a i uato u siffatto uero verifica l uguagliaza x a () Ogi iagiario uro del tio x a i a, a è algebrico di grado i uato soddisfa l euazioe x + a (4) Teedo coto degli esei (), () si coclude che ogi uero x a, a è algebrico di grado oiché verifica l euazioe + a x (5) Il uero e π i x cos( π) + isi( π) ( i ) è algebrico oiché verifica l euazioe x + x + Il suo grado di algebricità è I odo aalogo è ossibile deteriare altri ueri colessi algebrici (6) Se x, y soo due ueri algebrici allora ache x+y ed xy soo algebrici (7) Sia xe (uero di Neer) I uesto caso o è ossibile otteere ( x) couue si scelga Duue, il uero e è trascedete Aalogo discorso vale er xπ P P

2 Nueri algebrici e trascedeti Autore: dott RUGGIERO Doeico Altri esei sui ueri trascedeti ed arofodieti su uelli itrodotti ell eseio recedete (uto (7)), vegoo dati i seguito Adesso richiaiao u risultato riguardate i ueri algebrici che cosete di verificare l afferazioe fatta ell eseio (6) recedeteete trattato Idichiao co A l isiee dei ueri algebrici 4 PROPOSIZIONE A è u sottocao di Per la diostrazioe di tale risultato riviao, ad eseio, a [PC] (teorea 68, ag 6) od ache ad [He] (teorea54, ag ) Si oti che la roosizioe 4 vale ache sostituedo a l isiee dei ueri reali che è u suo sottoisiee (ed è ache u suo sottocao) Nel seguito trattereo, i articolare, ueri reali ache se, salvo diversa secificazioe, co uero s itederà idiffereteete uero reale o uero colesso 5 Osservazioe Dalle cosiderazioi svolte recedeteete è evidete che il cocetto di algebricità (sacito dalla DEF ) è relativo alla scelta dei coefficieti a ell euazioe ( x) P Ifatti se, ad eseio, scegliessio gli a,,,,, si avrebbero e, π algebrici di grado oiché aullerebbero le euazioi (di grado iio tra le ossibili): x e; x π Nella DEF (cui cotiuiao a far riferieto el seguito) si è sottiteso algebrico sui razioali L esisteza di ueri trascedeti Ache se abbiao già itrodotto due ueri trascedeti, i uesta breve sezioe roviao l esisteza di ueri o algebrici er oi rocedere alla diostrazioe della trascedeza dei ueri e, π e a forire altri esei di ueri trascedeti Per rocedere occorre reettere la seguete defiizioe DEFINIZIONE Si defiisce rago (ra) dell euazioe P ( x) la uatità: N+ a + + a + a Il iio valore di N è Ifatti è evidete che le euazioi a coefficieti itere di rago iio soo: x; x Qui di seguito, roviao alcui risultati che ci cosetoo di avere iforazioi sull isiee A dei ueri algebrici e su uello dei ueri trascedeti TEOREMA L isiee A è uerabile Diostrazioe C è solo u uero fiito di euazioi (i) di rago N dove la otazioe E N idica l i-esia euazioe tra tutte uelle di rago N Possiao ordiare tutte le euazioi a coefficieti iteri i u aggregato (isiee) secodo la seguete seueza: E () N () N ( N N, E,, E )

3 Nueri algebrici e trascedeti Autore: dott RUGGIERO Doeico E (), E (),, E ( ) () () ( ) () 4 () 4 ( ) 4 4, E, E,, E, E, E,, E, E () 5, er cui è ossibile stabilire ua corrisodeza (biuiovoca) tra gli idici di uesti isiei e i ueri aturali cosicché l isiee delle euazioi a coefficieti iteri (razioali) è uerabile Ma ogi uero algebrico corrisode ad aleo ua di ueste euazioi ed il totale dei ueri algebrici corrisodeti ad ogi euazioe è u uero fiito Poiché l uioe fiita di isiei uerabili è uerabile, si ha la coclusioe I odo iù sbrigativo, il teorea uò essere rovato dicedo che, oiché l isiee delle euazioi a coefficieti iteri (razioali) è uerabile e ad ogi euazioe corrisodoo u uero fiito di soluzioi ed essedo uerabile l uioe fiita di isiei uerabili, e segue che A è uerabile Coe cosegueza di uesto risultato si ha che il coleetare di A ha la oteza del cotiuo (cardialità di ) oe stabilisce il seguete risultato cui fa seguito ua diostrazioe iù elegate di uella aea data COROLLARIO Quasi tutti i ueri soo trascedeti Diostrazioe Per il teorea, l isiee A è uerabile cosicché esso ha isura di Lebesgue ulla Ciò o vale, ertato, er il suo coleetare che è l isiee dei ueri trascedeti che ha, duue, la oteza del cotiuo Ne segue la tesi Il teorea di Liouville Costruzioe di ueri trascedeti I uesta sezioe diostriao il teorea di Liouville che cosete di costruire uerosi esei di ueri trascedeti detti, auto, ueri di Liouville Da u altro lato uesto teorea costituisce ua variate alla teoria della frazioi cotiue (cfr, ad eseio, [HW]) ello studio dell arossiabilità di ueri irrazioali ediate razioali Per ua igliore coresioe di tale risultato, richiaiao il cocetto di arossiabilità di irrazioali ediate razioali DEFINIZIONE Si dice che u uero (irrazioale) ξ è arossiabile ediate razioali all ordie se la diseuazioe K(ξ ξ < ) aette u ifiità di soluzioi e dove KK(ξ) è u uero diedete solo da ξ e Ciò reesso ossiao euciare il teorea che ci eravao roosti di diostrare TEOREMA (di Liouville) U uero reale algebrico di grado o è arossiabile ad alcu ordie aggiore di Diostrazioe U uero algebrico ξ di grado soddisfa l euazioe algebrica P ( ξ ) e, cioè, aξ + a ξ + + a a coefficieti iteri Poiché P è u olioio si ha che la sua derivata ria (che idichiao co P ) è liitata i u itoro di ξ Duue, u uero MM(ξ) tale che

4 Nueri algebrici e trascedeti Autore: dott RUGGIERO Doeico (*) P ( x) < M x I ξ :(ξ, ξ+) Sia, adesso, u arossiazioe di ξ (chiaraete ξ ) Suoiao tale arossiazioe abbastaza vicia a ξ i odo da aversi Iξ e che sia iù vicia a ξ di ogi altra radice dell euazioe P ( x) ; duue P ( ) Risulta a + a + + a (**) P ( ) oiché il ueratore è u itero ositivo Ioltre er il teorea di Lagrage (teorea del valor edio), si ha: (***) P ( ) P ( ) + P ( ) + P ( ξ ) ( ξ ) P ( x) er ogi x coreso tra e ξ Da (*), (**) e (***) segue, allora, che P ( ) ξ > P ( x) M K da cui, osto K:/M, segue che ξ > cosicché ξ o è arossiabile ad alcu ordie aggiore di Ne segue la tesi Coe cosegueza del teorea, diostriao il seguete risultato COROLLARIO Il uero ξ: è trascedete! Diostrazioe Sia ξ la ridotta -sia della serie che defiisce (ha coe soa) ξ e, cioè, ξ: Posto Risulta < ξ!!! co >N arbitrario ( + )!! ξ ξ!,! + <! + + N ( ) ( + )!!!, si ha che ξ ed è u uero razioale! ( + )! ( + )! ( + )! ( + avedo sfruttato, ell ordie, i fatti segueti: (-) + )! + < / ( + )! 9 < ( ( + + )! +!( + ) è ua serie geoetrica di ragioe coresa tra ed che, ertato, coverge a + 4

5 Nueri algebrici e trascedeti Autore: dott RUGGIERO Doeico /( /); (-) < co è evidete; 9 (-) (+)!!(+); (-) (x ) x ed, ifie, di co è stato defiito e del fatto che +>N Dall ultia disuguagliaza trovata segue, allora, che ξ è trascedete erché, se fosse algebrico, lo sarebbe di grado N i uato arossiabile ediate razioali all ordie N L arbitrarietà di N risulterebbe, erò, icoatibile col teorea ; e segue la tesi 4 Osservazioe Il fatto che ξ cosiderato el corollario è u uero segue dal fatto che la serie che lo defiisce è covergete, er il criterio del cofroto tra serie ueriche, dato che risulta defiitivaete! < e 9 5 Osservazioe Sere ediate u alicazioe del teorea si diostra (cfr [HW], ag 6) che il uero ξ è trascedete!!!! La otazioe usata er defiire ξ è uella che di solito si usa ella defiizioe delle frazioi cotiue: a + a + a a an a + a + a + er N + a N 9 6 Osservazioe-Defiizioe Evideteete, sostituedo co ualsiasi altro itero ositivo diverso da, si varia la costruzioe i olti altri odi I ueri aea itrodotti vegoo ache detti ueri di Liouville Si oti, ifie, che o tutti i ueri trascedeti soo ueri di Liouville coe, ad eseio, e, π 4 Trascedeza dei ueri e, π I uesto aragrafo diostriao che i ueri irrazioali e, π soo trascedeti 4 TEOREMA Il uero e è trascedete Diostrazioe Osserviao reliiarete che, se f(x) è u olioio di grado (a coefficieti reali) e se I( t) ediate rietute itegrazioi er arti rededo sere otteiao: t e t u f ( u) du dove t è u uero arbitrario (ache colesso), e t u du coe fattore differeziale, 5

6 Nueri algebrici e trascedeti Autore: dott RUGGIERO Doeico t ( ) (*) I( t) e f () f ( ) ( t) doo + itegrazioi er arti Deotado co f (x) il olioio otteuto da f riiazzado ogi suo coefficiete ediate il relativo valore assoluto, risulta: t t u (*) I( t) e f ( u) du t e f ( t) Passiao, adesso, alla diostrazioe del teorea t Suoiao (er assurdo) che e sia u uero algebrico Ciò sigifica che (*) ae + a e + a ( a,, a coefficieti iteri) Cosideriao, adesso, la uatità J a I ( ) + + a I () dove I(t) è defiito coe sora co uero rio abbastaza grade f ( x) x ( x ) ( x ) ( x ) essedo u Da (*) e (*) otteiao: J l a l f ( ) ( l) dove (+) ( ) Risulta evidete che f ( l) se <, l > e se <, l (ciò si verifica iediataete cosiderado le derivate di f(x)) e, uidi,, l diversi da, risettivaete, il uero f ( ) f ( ) () ( )( ) ( l) è u itero divisibile er!; ioltre ( ) ( ) ( )!( ) Da uest ultia, se >, segue che l itero f () è divisibile er ( )! a o er! Coe cosegueza (ache se er cui J ( )! La stia baale J a ef () + + a > a ( ) (!) ) si ha che J è u itero o ullo divisibile er ( )! f ( l) () cobiata co la (*), cosete, erò, di scrivere: e f ( ) j a j je j f ( j) c er ualche costate ositiva c idiedete da Le ultie stie trovate soo icoatibili er sufficieteete grade Questa cotraddizioe rova, erciò, che e o è algebrico Ne segue la tesi 4 TEOREMA Il uero π è trascedete Diostrazioe Suoiao, er assurdo, che π sia algebrico Allora ache il uero :iπ è algebrico dove i, al solito, deota l uità iagiaria Sia d il grado (di algebricità) di e, osto :, siao,, d, le altre radici, a il coefficiete direttore del olioio iiale che defiisce 6

7 Nueri algebrici e trascedeti Autore: dott RUGGIERO Doeico Dall euazioe di Eulero (deducibile dalla raresetazioe trigooetricoesoeziale di u uero colesso) ovvero e iπ e iπ +, si ha: ( + e )( + e )( + e d ) Il rodotto al rio ebro dell ultia relazioe scritta è esriibile ediate ua soa d Θ d ε di terii e dove Θ co ε, Suoiao che solo della soa che defiisce Θ siao o ulli e deotiaoli coe,, Risulta, allora: (4*) + e + + e dove è l itero ositivo d Cosideriao la uatità J I ) + + I( ) dove I(t) è defiito coe ella diostrazioe del teorea 4 a co rio abbastaza grade ( Da (*) e (4*) (e uest ultia ilica che J f ( ) l ( ) f x) a ( x ) ( x ) ( x ) ( ( ) f ( ) dove (+) l e ), si ha: co uero Notiao, adesso, che la soa su l è u olioio sietrico i a,, a a coefficieti iteri da cui, ediate due alicazioi del teorea fodaetale sulle fuzioi sietriche (cfr [HW]) ed osservado che ogi fuzioe sietrica eleetare i a,, a è ache sietrica ei due d ueri aθ ovvero (er uato iotizzato) ei ueri a,, a,,, che essa rareseta u uero itero Ioltre, dal oeto che ( ) f ( ) se <, il secodo terie è divisibile er! Evideteete ache l è u itero divisibile er! se () f () etre f ) ( )!( a) ( ) è u itero divisibile er ( )! Ma o! se è sufficieteete grade Duue, se >, si ha che J ( )! ( ) ( Ma, dalla stia (*), si ottiee (coe ella diostrazioe del teorea 4): ( ) + e f ( ) c J e f er ualche costate c idiedete da Quidi, er abbastaza grade, soo icoatibili le stie trovate er J Da uesto assurdo segue la tesi 7

8 Nueri algebrici e trascedeti Autore: dott RUGGIERO Doeico 5 Teorea di Lida Altri esei di ueri trascedeti La trascedeza di e, π uò essere fatta coseguire dal seguete risultato (cfr [Ba], teorea 4) che, ioltre, cosete di rovare la trascedeza di altri ueri fiora o itrodotti 5 TEOREMA Siao,,, ueri algebrici distiti e siao β, β,, β ueri algebrici o ulli Allora β e + β e + + β e Osservazioe 5 Da uesto teorea segue subito che e, e,, e soo algebricaete idiedeti er tutti i ueri algebrici,,, liearete idiedeti sui razioali Adesso diostriao alcui risultati che soo coseguoo dal teorea 5 5 COROLLARIO I ueri irrazioali e, π soo trascedeti Diostrazioe Proviao daria la trascedeza di e Sia elle iotesi del teorea 5 Allora β e + β e se,, β, β soo ueri algebrici co, e β, β o ulli I articolare, scegliedo,, β, β a (a uero algebrico), dev essere e + ae Quidi, e + a che ilica e diverso dal uero algebrico a Data l arbitrarietà di a, e segue che e o è uguale ad alcu uero algebrico er cui è u uero trascedete Per diostrare che il uero π è trascedete, artiao dalla raresetazioe seguete: e i cos( ) + isi( ) iπ Per π, si ha l euazioe di Eulero: e ovvero e + od ache + e Pertato iπ è trascedete er o cotraddire il teorea 5 (altrieti dovrebbe esserci il sibolo di diverso ell ultia relazioe scritta essedo, algebrici) ed, essedo i algebrico, ciò sigifica che π è trascedete Ne segue la tesi iπ π e i 5 COROLLARIO (i) Il uero l( ) è trascedete er ogi uero algebrico, ; (ii) I ueri si(), cos(), tg() soo trascedeti er ogi uero algebrico o ullo Diostrazioe Diostriao la (i) Posto β l( ) e facedo l esoeziale di abo i β ebri, otteiao che e da cui segue e e che, oedo, β, β, β, uò scriversi coe β e + β e Essedo β algebrico (er iotesi),, algebrici, si ha, allora, che β è trascedete er o cotraddire il teorea 5, da cui la coclusioe La (ii) si diostra i odo aalogo scrivedo le fuzioi trigooetriche i fora esoeziale β 8

9 Nueri algebrici e trascedeti Autore: dott RUGGIERO Doeico Allo scoo di forire altri esei di ueri trascedeti, citiao il seguete risultato (cui, er ua diostrazioe e er aggiori dettagli, riviao, ad eseio, ad [HW], [He] e ai testi ivi citati) 54 TEOREMA Siao, β, due ueri algebrici co, e β irrazioale Allora il β uero è trascedete Esei 55 (i) Dal teorea 54 segue, i articolare, che e è trascedete essedo uo dei valori (ii) (iii) di i i Il uero π l() è trascedete Ifatti, dalla relazioe che defiisce, co l() selici assaggi, si ottiee l( ) l() da cui segue che e è u uero irrazioale Alicado il teorea 54 è ossibile forire altri esei di ueri trascedeti I accordo co tale risultato soo, ad eseio, trascedeti i ueri costruibili i odo aalogo i, 5 4 ed altri 56 Osservazioe I base alle cosiderazioi svolte ed al fatto che vi soo ueri er cui o è stato diostrato é che soo algebrici é che soo trascedeti, l isiee dei ueri reali (od ache dei ueri colessi) uò esse suddiviso ei uattro segueti sotto-isiei: ueri algebrici; ueri trascedeti di Liouville; ueri trascedeti (o di Liouville) di cui fao arte e, π; ueri er cui o è stata rovata é la trascedeza é l algebricità 9

10 Nueri algebrici e trascedeti Autore: dott RUGGIERO Doeico

11 Bibliografia [Ba] A Baer, Trascedetal uber theory - Lodo ; New Yor : Cabridge Uiversity Press, 975 [RC] R Courat, MRobbis, Che cos è la ateatica? : Itroduzioe eleetare ai suoi cocetti e etodi - Noa iressioe - Milao : Borighieri, 97, coyr 94 [He] IN Herstai, Algebra - Roa : Editori Riuiti coyr 98 [HW] GH Hardy, EM Wright, A Itroductio to Theory of Nubers - 5 th editio - Oxford : Claredo Press, 979 [Ni] I Nir, Irratioal ubers [PC] G M Piacetii Cattaeo, Algebra U aroccio algoritico - Bologa : Zaichelli, 996