Programmazione lineare

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1 Corso di Progettzione e Gestione dell Supply Chin (PGSC) Fcoltà di Ingegneri Progrmmzione linere Ing. Tommso Rossi Università C. Cttneo LIUC Centro di Ricerc sull Logistic 1

2 PROGRAMMAZIONE LINEARE E un tecnic di Ricerc Opertiv di supporto ll pres di decisioni Viene ust per determinre l lloczione/bilncimento ottimle delle risorse in un contesto di breve termine in cui non è modificbile l disponibilità di risorse Le risorse in gioco sono denro, tempo, spzio, mterie prime, mnodoper, etc. Gli mbiti di utilizzo dell PL sono i più disprti: Pinificzione dell produzione (mi fttori di produzione che minimizz costi) Alloczione / loclizzzione di impinti e mgzzini (cos produrre dove e qunto) Pinificzione dell distribuzione (quli clienti servire prtire d quli depositi) Schedulzione di ttività e bilncimento risorse (pino di lvoro, missioni di picking, etc.) Routing / sequencing di percorsi o di ttività (cicli di lvorzione, percorsi veicoli, etc.) Ottimizzzione di ricette (scelt del mi di crico) Gestione delle scorte multirticolo (qundo/qunto riordinre con vincolo spzio) Scelt portfoglio investimenti... 2

3 PROGRAMMAZIONE LINEARE CARATTERISTICHE DI UN PROBLEMA DI PL (1) Funzione obiettivo (f.o): in generle l PL è uno strumento di ottimizzzione, in cui esiste un funzione che deve essere mssimizzt (d es. profitto, NPV, etc.) o minimizzt (d es. costi, scrti, etc.) Vribili decisionli ( i ): rppresentno le leve su cui il decisore può gire con l obiettivo di trovrne il vlore ottimle (d es. quntità d produrre, numero di opertori necessri, etc.). Nei problemi di PL le vribili sono continue (in cso contrrio di prl di Progrmmzione Inter) Vincoli: sono le limitzioni che restringono il cmpo di esistenz delle vribili ossi il rnge entro cui sono mmesse le soluzioni : (evidenzi un limite superiore), (evidenzi un limite inferiore), = (evidenzi un relzione fisst tr le vribili) 3

4 PROGRAMMAZIONE LINEARE CARATTERISTICHE DI UN PROBLEMA DI PL (2) Regione mmissibile: rppresent il luogo di tutte le combinzioni possibili delle vribili decisionli (nel cso di problemi lineri) contiene infinite soluzioni Prmetri/coefficienti: si l funzione obiettivo si le relzioni di vincolo (dis/equzioni) sono formte dlle vribili decisionli, d prmetri e d coefficienti d impiego. Questi ultimi sono vlori fissti ssunti con certezz Linerità: l funzione obiettivo e le relzioni di vincolo devono essere scritte in form linere (d esempio non è mmesso 1 2 o 13 ) sono proporzionli e dditive (d es. il vlore dell f.o. di profitto equivle ll somm dei profitti generti d 1, 2, ) Positività: quest ssunzione equivle dire che le vribili decisionli devono essere positive o nulle (d es. non h senso produrre un quntità negtiv di un certo prodotto. Pertnto occorre indicre : i 4

5 PROGRAMMAZIONE LINEARE CARATTERISTICHE DI UN PROBLEMA DI PL (3) Simbologi: j = quntità di prodotto j-esimo (j = 1,,n) f i = consumo del fttore produttivo i-esimo (i = 1,,m) b i = quntità m disponibile del fttore produttivo i-esimo c j = costo unitrio di produzione P j = prezzo unitrio di vendit ij = coefficienti di impiego (= tssi di ssorbimento dei fttori) ij = f i j 5

6 PROGRAMMAZIONE LINEARE FORMULAZIONE DI UN PROBLEMA DI PL Step 1 - Definire le vribili decisionli (che cos bisogn decidere?) devono essere esplicitte in modo preciso, si come descrizione che come unità di misur. Ad es. 1 =numero di pezzi dell rticolo 1 prodotti mensilmente [pz/mese] Step 2 - Formulre l funzione obiettivo (che cos si deve mssimizzre o minimizzre?) definire un equzione n in termini di combinzione n linere delle vribili decisionli che mindevono z = rientrre c j ( ) c C j nell funzione m zobiettivo = Pj cj j = costnte P j P j= 1 j = costnte j= 1 Step 3 -Formulre le relzioni di vincolo (cos limit il vlore delle vribili decisionli?) definire le disequzioni o le equzioni di vincolo identificndo i prmetri o coefficienti di impiego per ciscun vribile decisionle. Porre ttenzione ll unità di misur (d es. 1 è espresso in pz/mese e si h un limite espresso in pz/nno). Indicre ltresì le condizioni di non negtività 6

7 PROGRAMMAZIONE LINEARE Presenz di vincoli che limitno le possibilità di perseguire l obiettivo (es. disponibilità risorse, ) i=1 i=2 i=m m m n 2n... + FORMULAZIONE DI UN PROBLEMA DI PL mn n n n b 1 b 2 b m colonn = consumo degli m fttori per produrre l quntità j rig = bilncio di un fttore i Esprime i legmi tecnologici tr impieghi e risorse + ULTERIORI CONDIZIONI DI VINCOLO j 0 per j = 1,...,n Esprime le condizioni di non-negtività 7

8 IL CASO SCARPACOMODA DATI DEL PROBLEMA 2 modelli di scrpe : Lusso lire 4.000/pi Csul lire 3.000/pi Mrgine unitrio Mgzzino cuoio 800 pi/gg Reprto 1 modello Lusso richiede tempo lvorzione doppio rispetto Csul m 1000 pi/gg (se fossero tutte Csul) Reprto 2 Finitur Lusso 400 pi/gg Reprto 2 Finitur Csul 700 pi/gg Qul è il mi di scrpe Lusso e Csul che mssimizz il profitto dell ziend? 8

9 IL CASO SCARPACOMODA IMPOSTAZIONE ANALITICA DEL PROBLEMA Vribili: 1 = produzione giornlier Lusso [pi/gg] 2 = produzione giornlier Csul [pi/gg] Funzione obiettivo: m (z = ) [lire/gg] Funzioni di produzione: Cpcità Reprto finitur Lusso : [pi/gg] Cpcità Reprto finitur Csul : [pi/gg] Cpcità produttiv Reprto 1: [pi/gg] Limiti sulle risorse Disponibilità Mgzzino cuoio: [pi/gg] Altri limiti 1 0 ; 2 0 [pi/gg] 9

10 IL CASO SCARPACOMODA 2 RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DEL PROBLEMA = = = 700 In un sistem di ssi crtesini ortogonli ( 1, 2 ) è possibile trccire le 4 rette che corrispondono lle condizioni di vincolo, ottenute trsformndo le disequzioni in equzioni ( =) I vincoli di non negtività corrispondono i due ssi crtesini 1 e =

11 IL CASO SCARPACOMODA RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DELLA REGIONE AMMISSIBILE = = = = L condizione di disuguglinz individu un insieme di punti tutti dll stess bnd rispetto d un rett nel pino Pertnto si ottiene un poligono delle soluzioni possibili, che sono infinite se le tutte le vribili pprtengono ll insieme dei numeri reli (dominio continuo) I punti che si trovno sugli ngoli del poligono contengono l soluzione ottim (superiore rispetto qulsisi ltro punto interno ll regione o su un lto del poligono) 1 11

12 IL CASO SCARPACOMODA 2 RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DELLA FUNZIONE OBIETTIVO L funzione obiettivo corrisponde grficmente d un fscio di rette z 1 Ogni rett h inclinzione costnte pri l rpporto tr i due prmetri dell funzione obiettivo (coeff. ngolre= - 4/3) Ciscun rett è un curv isoprofitto (luogo dei punti con il medesimo vlore dell f.o. Z ) 300 z z 3 z =

13 IL CASO SCARPACOMODA RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DELLA SOLUZIONE OTTIMA z= 10 6 ( 1 =200, 2 =600) z= z= 2, Il punto pprtenente l poligono delle soluzioni bse intersecto dll rett isoprofitto più distnte (mggiore Z) rppresent l soluzione ottim in corrispondenz dell qule si h il mssimo profitto (z= )

14 PROGRAMMAZIONE LINEARE FORMALIZZAZIONE DI UN PROBLEMA DI PL Il poligono delle soluzioni possibili è convesso in qunto ottenuto per successive eliminzioni di semipini L soluzione ottim si trov necessrimente sul confine del poligono (su un lto o su un vertice) : in definitiv si vrnno un sol o infinite soluzioni ottime (in quest ultimo cso l rett iso-profitto è prllel ll rett di un vincolo) Se l soluzione ottim è unic, ess è nche un soluzione bse Per trovre l soluzione ottim, non è necessrio esplorre l intero cmpo delle soluzioni possibili, m ci si può limitre ll insieme delle soluzioni bse ( Metodo del Simplesso) 14

15 PROGRAMMAZIONE LINEARE FORMALIZZAZIONE DI UN PROBLEMA DI PL Aggiungendo le vribili di slck (S i ) per ciscun relzione di vincolo, si determin un sistem di m equzioni con n incognite ( 1 n ) m m n 2n mn n n + n + S + 1 S 2 S = m = b 1 b = 2 b m j 0 per j = 1,..., n 15

16 PROGRAMMAZIONE LINEARE FORMALIZZAZIONE DI UN PROBLEMA DI PL n incognite proprie: 1,, n m vribili di slck (un per vincolo): S 1,, S m Il poliedro delle soluzioni è delimitto d pini di equzione: i = 0 (pini coordinti) S j = 0 (pini di limitzione) Ogni soluzione bse è individut d n relzioni del tipo: i = 0 oppure S j = 0 16

17 IL CASO SCARPACOMODA RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DEL METODO DEL SIMPLESSO ( 1 =200, 2 =600) (s 1 =200, s 2 =100, s 3 =0, s 4 =0) ( 1 =0, 2 =0) (s 1 =400, s 2 =700, s 3 =800, s 4 =1000) ( 1 =400, 2 =200) (s 1 =0, s 2 =500, s 3 =200, s 4 =0) ( 1 =400, 2 =0) (s 1 =0, s 2 =700, s 3 =400, s 4 =200) Si prte d un delle soluzioni bse e si clcol il vlore dell f.o. Z. Ci si spost verso l successiv soluzione bse e si clcol nuovmente il vlore dell f.o. Z. L lgoritmo termin qundo non ci sono più migliormenti dell f.o. Il problem in esme è indeterminto in qunto è un sistem di 4 equzioni in 6 incognite ( 1, 2, S 1, S 2, S 3, S 4 ) L soluzione ottim coincide con l complet sturzione dell cpcità produttiv del Reprto 1 (S 3 =0) e con il consumo di tutto il cuoio (S 4 =0) che rppresentno i due vincoli stringenti 17

18 IL CASO SCARPACOMODA ANALISI DI SENSITIVITA Un volt che si è modellizzto un problem e che si è determint l soluzione ottimle, occorre vlidre l robustezz dell soluzione l vrire dei prmetri del modello e dei coefficienti di impiego. L nlisi di sensitività consente di introdurre il concetto di incertezz nel modello di PL, in qunto l mggior prte dei prmetri sono delle stime e non dei vlori deterministici (d es. tempo di ssemblggio di un pezzo d prte di un operio) Tuttvi è necessrio prtire d un soluzione bse (prmetrizzt con vlori medi o stndrd) e d qui rispondere domnde del tipo wht-if modificndo di volt in volt lcuni prmetri chive Attenzione! Ovvimente non è pensbile vlutre tutte le possibili soluzioni derivnti dll vrizione di tutti i prmetri. Ad esempio, in un modello 10 vribili decisionli 1 10, per ciscun delle quli si vogliono ipotizzre 3 vlori del costo unitrio di produzione (min, med, m) richiederebbe di vlutre 3 10 (=59.049) soluzioni 18

19 IL CASO SCARPACOMODA 2 ANALISI DI SENSITIVITA z = z = ( 1 =200, 2 =600) Rnge di ottimlità dei coefficienti dell f.o. definisce il limite inferiore e superiore entro i quli l soluzione ottimle non cmbi Profitto Lusso : Profitto Csul : z = z = bse

20 IL CASO SCARPACOMODA ANALISI DI SENSITIVITA z= z= = = = Incremento / decremento di disponibilità delle risorse (si modificno i vlori di vincolo) Esempio: umento di 1 unità dell cpcità produttiv del Reprto 1 (d pi/gg) L nuov isoprofitto increment il suo vlore di 1000 lire/gg prezzo ombr (shdow price) Il prezzo ombr èl incremento mrginle del vlore dell f.o. Z ottenuto in corrispondenz del rilssmento di 1 unità del vincolo 1 20

21 IL CASO SCARPACOMODA ANALISI DI SENSITIVITA z= 2, = = Rnge di incremento/decremento di disponibilità delle risorse definisce il limite inferiore e superiore entro i quli l soluzione ottimle continu dipendere dll stess coppi di vincoli (l soluzione ottimle si spost lungo l equzione del vincolo stringente che rimne inlterto) z= 2, cpcità produttiv Reprto 1 Rnge : bse 21

22 IL CASO SCARPACOMODA ANALISI DI SENSITIVITA z= 2, z= 2, = = Rnge di incremento/decremento di disponibilità delle risorse definisce il limite inferiore e superiore entro i quli l soluzione ottimle continu dipendere dll stess coppi di vincoli (l soluzione ottimle si spost lungo l equzione del vincolo stringente che rimne inlterto) cpcità produttiv Reprto 1 Rnge : bse 22

23 PROGRAMMAZIONE LINEARE CON EXCEL Problem Vribili (X 1, X 2 ) Funzione Obiettivo formul = f (X 1, X 2 ) Condizioni di vincoli, espresse in funzione delle vribili 23

24 PROGRAMMAZIONE LINEARE CON EXCEL Funzione Obiettivo Vribili (X 1, X 2 ) Condizioni di vincolo 24