TEMI SVOLTI DI ANALISI MATEMATICA Parte Seconda

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1 TEMI SVOLTI DI ANALISI MATEMATICA Parte Secoda Pierpaolo Omari Dipartimeto di Matematica e Iformatica Uiversità degli Studi di Trieste Maurizio Trombetta Dipartimeto di Matematica e Iformatica Uiversità degli Studi di Udie

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3 Idice Ao Accademico -. Prove itermedie aprile Tema A aprile Tema B aprile Tema C aprile Tema D giugo Tema A giugo Tema B giugo Tema C giugo Tema D Temi d esame giugo luglio luglio settembre geaio geaio febbraio Ao Accademico Prove itermedie marzo 3 Tema A marzo 3 Tema B marzo 3 Tema C marzo 3 Tema D maggio 3 Tema A maggio 3 Tema B maggio 3 Tema C maggio 3 Tema D maggio 3 Tema A maggio 3 Tema B maggio 3 Tema C maggio 3 Tema D i

4 ii INDICE. Temi d esame giugo giugo luglio settembre geaio geaio febbraio Ao Accademico Prove itermedie marzo 4 Tema A marzo 4 Tema B marzo 4 Tema C marzo 4 Tema D maggio 4 Tema A maggio 4 Tema B maggio 4 Tema C maggio 4 Tema D maggio 4 Tema A maggio 4 Tema B maggio 4 Tema C maggio 4 Tema D Temi d esame giugo giugo luglio settembre geaio geaio febbraio

5 Ao Accademico -. Prove itermedie.. 7 aprile Tema A?hI.Ai? Esercizio.. Si studi il carattere della serie umerica +X p e 3p. La serie è covergete. Si ha Poiché si ottiee p e 3p e 4 3 e lim!+, p e ord + 3p ord Si coclude, per il criterio dell ordie di ifiitesimo, che la serie è covergete..

6 CAPITOLO. ANNO ACCADEMICO -?hi.ai? Esercizio.. Si calcoli il mometo d ierzia rispetto all origie della lamia delimitata dalla figura piaa E (x, y) > :(x + y apple ) ^ (x apple y apple ) e avete desità di massa (x, y) x. p 5 Passado a coordiate polari e poedo K (, #) > :(apple apple ) ^ ( apple # apple 3 4 ), si ha E (x + y )( x) dx dy Z 3 4 Z Z Z 3 4 d K 4 cos # d 4 cos # d# 4 cos # d d# d#! 5 p.?hi.3ai? Esercizio.3. Si sviluppi i serie di Taylor Maclauri la fuzioe f(x) si(3x ) e si usi tale sviluppo per determiare ua primitiva F di f. f(x) F (x) +X +X ( ) 3 + ( + )! x4+, ( ) 3 + (4 + 3)( + )! x4+3

7 .. PROVE INTERMEDIE 3 Poiché, per ogi t R, è si ha, per ogi x R, si t +X ( ) t + ( + )!, f(x) si(3x ) +X e quidi, itegrado a termie a termie, F (x) +X ( ) 3 + ( + )! x4+ ( ) 3 + (4 + 3)( + )! x4+3.?hi.4ai? Esercizio.4. Si calcoli il volume del solido E (x, y, z) > :(x + y + z apple 4) ^ (x + y ). 8 3 p Si ha, usado la formula di riduzioe per sezioi, dove Z E equidi dx dy dz Z p dx dy dz S z Z p Z p S z (x, y) > :apple x + y apple 4 z, E dx dy dz apple z Z p 3 z3 p (4 z ) ) dz p p 8 3 p. p (4 z ) ) dz,

8 4 CAPITOLO. ANNO ACCADEMICO aprile Tema B?hI.Bi? Esercizio.5. Si studi il carattere della serie umerica +X 3p log +.?hi.bi? Esercizio.6. Si calcoli il mometo d ierzia rispetto all origie della lamia delimitata dalla figura piaa E (x, y) > :(x + z apple ) ^ (y apple x apple ) e avete desità di massa (x, y) y.?hi.3bi? Esercizio.7. Si sviluppi i serie di Taylor Maclauri la fuzioe f(x) cos(x 3 ) e si usi tale sviluppo per determiare ua primitiva F di f.?hi.4bi? Esercizio.8. Si calcoli il volume del solido E (x, y, z) > :(x + y + z apple 3 4 ) ^ (x + y apple z) aprile Tema C?hI.Ci? Esercizio.9. Si studi il carattere della serie umerica +X p e p.

9 .. PROVE INTERMEDIE 5?hI.Ci? Esercizio.. Si calcoli il mometo d ierzia rispetto all origie della lamia delimitata dalla figura piaa e avete desità di massa E (x, y) > :(x + z apple ) ^ ( apple y apple x) (x, y) 5x.?hI.3Ci? Esercizio.. Si sviluppi i serie di Taylor Maclauri la fuzioe f(x) si(x 3 ) e si usi tale sviluppo per determiare ua primitiva F di f.?hi.4ci? Esercizio.. Si calcoli il volume del solido E (x, y, z) > :(x + y + z apple 4) ^ (x + y apple ) aprile Tema D?hI.Di? Esercizio.3. Si studi il carattere della serie umerica +X p log +.?hi.di? Esercizio.4. Si calcoli il mometo d ierzia rispetto all origie della lamia delimitata dalla figura piaa E (x, y) > :(x + z apple ) ^ ( apple x apple y) e avete desità di massa (x, y) y.?hi.3di? Esercizio.5. Si sviluppi i serie di Taylor Maclauri la fuzioe f(x) cos(3x ) e si usi tale sviluppo per determiare ua primitiva F di f.?hi.4di? Esercizio.6. Si calcoli il volume del solido E (x, y, z) > :(x + y + z apple 3 4 ) ^ (x + y z).

10 6 CAPITOLO. ANNO ACCADEMICO -..5 giugo Tema A?hT.5Ai? Esercizio.7. Si studi la atura dei puti critici della fuzioe f(x, y) x 4 +4y 4 4xy. (, ) > è puto di sella, ( /4, 3/4 ) > e( /4, 3/4 ) > soo puti di miimo relativo. Si ha rf(x, y) (4x 3 4y, 6y 3 4x) > e Hf(x, y) x y. I puti critici soo (, ) >,( /4, 3/4 ) > e( /4, 3/4 ) >. Poiché Hf(, ) è idefiita, si coclude che (, ) > è puto di sella. Poiché Hf( /4, 3/4 ) e Hf( /4, 3/4 ) soo defiite positive, si coclude che ( /4, 3/4 ) > e ( /4, 3/4 ) > soo puti di miimo relativo.?hi.6ai? Esercizio.8. Si determiio i puti di miimo assoluto e di massimo assoluto della fuzioe f(x, y, z) x y +3z su E (x, y, z) > :4x + y + z 4. > > Iputi p, p 6, p e p, p 6, p soo rispettivamete il puto di massimo assoluto e il puto di miimo assoluto. Poiché f è cotiua sull ellissoide E, che è u isieme chiuso e limitato, f ha massimo assoluto e miimo assoluto su E. Ioltre, si ha rf(x, y, z) (,, 3) > e rg(x, y, z) (8x, y, z) >,

11 .. PROVE INTERMEDIE 7 dove è g(x, y, z) 4x + y + z 4. Applicado il metodo dei moltiplicatori di Lagrage, si ottiee il sistema 8 8 8x x >< >< 4 y y, 3 z z >: >: 3, 4x + y + z 4 4x + y + z x >< x 4 >< 4 y y, z >: 3, z >: ± p 4. Valutado la fuzioe f ei puti > > 6 6 p, p, p e p, p, p, si coclude che questi soo rispettivamete il puto di massimo assoluto e il puto di miimo assoluto.?hi.7ai? Esercizio.9. Si risolva il problema di Cauchy y x(y + ) y(), determiado il massimo itervallo su cui la soluzioe esiste. La soluzioe massimale è y(x) ta(x ) ed è defiita su I r r apple,. Poiché y(t) +> per ogi t I dom y, si ha Z x y (t) +y(t) dt Z x t dt, Z y(x) ds +s ds x,, arcta(y(x)) x, (y(x) ta(x )) ^ (x < ). Quidi la soluzioe massimale è y(x) ta(x ) ed è defiita su I p, p.

12 8 CAPITOLO. ANNO ACCADEMICO -?hi.8ai? Esercizio.. Si determiio tutte le soluzioi dell equazioe di ereziale y +y + y +e x. La soluzioe geerale è y(x) c e x + c xe x ++ 4 ex, co c,c R. L equazioe caratteristica è + +( + ) che ha la radice di molteplicità. Quidi, la soluzioe geerale dell equazioe omogeea y +y + y è z(x) c e x + c xe x, co c,c R. Ua soluzioe particolare dell equazioe completa y +y + y +e x è, per il pricipio di sovrapposizioe, del tipo ȳ ȳ +ȳ, co ȳ soluzioe particolare di y +y + y eȳ soluzioe particolare di e è y +y + y e x. Utilizzado il metodo di somigliaza, si trova ȳ (x) ȳ (x) 4 ex. I coclusioe, la soluzioe geerale di y +y + y +e x y(x) c e x + c xe x ++ 4 ex, co c,c R.

13 .. PROVE INTERMEDIE 9..6 giugo Tema B?hT.5Bi? Esercizio.. Si studi la atura dei puti critici della fuzioe f(x, y) 4x 4 + y 4 4xy.?hI.6Bi? Esercizio.. Si determiio i puti di miimo assoluto e di massimo assoluto della fuzioe f(x, y, z) x +y +3z su E (x, y, z) > : x +4y + z 4.?hI.7Bi? Esercizio.3. Si risolva il problema di Cauchy y xe y y(), determiado il massimo itervallo su cui la soluzioe esiste.?hi.8bi? Esercizio.4. Si determiio tutte le soluzioi dell equazioe di ereziale y y + y +e x...7 giugo Tema C?hT.5Ci? Esercizio.5. Si studi la atura dei puti critici della fuzioe f(x, y) x 4 +4y 4 +4xy.

14 CAPITOLO. ANNO ACCADEMICO -?hi.6ci? Esercizio.6. Si determiio i puti di miimo assoluto e di massimo assoluto della fuzioe f(x, y, z) x +3y z su E (x, y, z) > :4x + y + z 4.?hI.7Ci? Esercizio.7. Si risolva il problema di Cauchy y 3x ( + y ) y(), determiado il massimo itervallo su cui la soluzioe esiste.?hi.8ci? Esercizio.8. Si determiio tutte le soluzioi dell equazioe di ereziale y +y + y e x...8 giugo Tema D?hT.5Di? Esercizio.9. Si studi la atura dei puti critici della fuzioe f(x, y) 4x 4 + y 4 +4xy.?hI.6Di? Esercizio.3. Si determiio i puti di miimo assoluto e di massimo assoluto della fuzioe f(x, y, z) 3x y +z su E (x, y, z) > : x + y +4z 4.?hI.7Di? Esercizio.3. Si risolva il problema di Cauchy y e x e y y(), determiado il massimo itervallo su cui la soluzioe esiste.?hi.8di? Esercizio.3. Si determiio tutte le soluzioi dell equazioe di ereziale y y + y e x.

15 .. TEMI D ESAME.. 7 giugo. Temi d esame?ht.i? Esercizio.33. Si studi il carattere della serie +X ( ) p log. La serie è semplicemete covergete. Si tratta di ua serie co i termii di sego altero. La successioe è decrescete e lim!+ p log. Quidi, per il criterio di Leibiz, la serie è covergete. Poiché ord + p log <, p log la serie è assolutamete divergete e duque semplicemete covergete.?ht.i? Esercizio.34. Si calcoli l itegrale geeralizzato y x + dxdy, co E E (x, y) > :(x ) ^ ( apple y apple p x ). log

16 CAPITOLO. ANNO ACCADEMICO - Posto, per ogi >, A (x, y) > :(apple x apple ) ^ ( apple y apple p ), x si ha Quidi risulta A Z apple log Z y x + dxdy x(x + ) dx x x + log E Z Z px x dx! y x + dy dx Z x + dx + + log! log.!+ y dxdy log. x +?ht.3i? Esercizio.35. Si cosideri la serie di poteze i C +X i ( + ) z. I Si determii il raggio di covergeza della serie. Poiché i( + 3)z + i( + )z +3 + z! z,!+ si coclude, per il criterio del rapporto, che la serie coverge se z < e o coverge se z >. Duque il raggio di covergeza è R. I Si calcoli la somma della serie. Si ha, per z <, +X i ( + ) z iz +X +X z +iz +X +X! iz d z +iz z dz iz d +iz dz z z iz ( z) + iz z z iz(3 z) ( z).

17 .. TEMI D ESAME 3?hT.4i? Esercizio.36. Si determiio gli estremi assoluti della fuzioe f(x, y) p y x sull isieme E (x, y) > R :(x ) ^ (y apple x + ). mi f, E\dom f max f E\dom f r Si devoo studiare gli estremi di f su E \ dom f (x, y) > :(apple x apple / p o 3) ^ (x apple y apple (x + )/). Poiché E \ dom f è u isieme chiuso e limitato e f è cotiua, allora f ha miimo e massimo assoluti su E \ dom f. Poiché x rf(x, y) ( p, y x p y x )> 6 (, ) > i it(e \ dom f), si coclude che i puti di estremo si trovao sulla frotiera di E \ dom f. La restrizioe di f all arco di parabola (x, x ) > :applexapple/ p o 3 è ideticamete ulla. La restrizioe di f al segmeto (,y) > :apple y apple ha miimo el puto (, ) >, co f(, ), e massimo el puto (, /) >, co f(, /) / p. La restrizioe di f all arco di parabola (x, (x + )/) > :applexapple/ p o 3 ha miimo el puto (/ p 3, /3) >, co f(/ p 3, /3), e massimo el puto (, /) >, co f(, /) / p. Si coclude allora che mi f e max f E\dom f E\dom f r.

18 4 CAPITOLO. ANNO ACCADEMICO -?ht.5i? Esercizio.37. Si determii la soluzioe dell equazioe di ereziale x y +3xy + y x che soddisfa alle codizioi y(), y(e) e 4. y(x) 3 4 x 3 4 log x x + 4 x Si tratta di u equazioe di Eulero, che, alla luce delle codizioi imposte, deve essere risolta sull itervallo ], +[. Co i cambi di variabile x e t e u(t) y(e t ), si ottiee l equazioe lieare a coe cieti costati L equazioe omogeea u +u + u e t. u +u + u ha come base di soluzioi {e t, te t }. Ua soluzioe particolare della completa è, per il metodo di somigliaza, e t /4. Duque la soluzioe geerale della completa è u(t) Ae t + Bte t + 4 et, co A, B R. Quidi la soluzioe geerale dell equazioe di Eulero è y(x) A x + B log x x + 4 x, co A, B R. Impoedo le codizioi al cotoro si perviee al sistema lieare 8 >< A + 4 A >: e + B e + e 4 e, 4 dal quale si ottiee A 3 4, B 3 4. I coclusioe la soluzioe cercata è y(x) 3 4 x 3 4 log x x + 4 x.

19 .. TEMI D ESAME 5?hT.6i? Esercizio.38. Si calcoli l itegrale curvilieo Z x + y + log z ds, dove :[, ]! R 3 è defiita da (t) (e t cos t, e t si t, e t ) >. p 3 3 (e3 + ) Si ha, per t [, ], (t) e t cos t e t si t, e t si t + e t cos t, e t > e Quidi risulta Z x + y + log z ds p 3 3 p 3 Z k (t)k p 3e t. Z (e t cos t + e t si t + t) p 3e t dt e 3t dt + p 3 e 3t + p 3 te t Z te t dt p 3 e t p 3 3 (e3 + )... luglio?ht.7i? Esercizio.39. Si studi il carattere della serie di umeri complessi +X 3+ i. i +

20 6 CAPITOLO. ANNO ACCADEMICO - La serie è assolutamete covergete. Si ha s i i p! 3+ i p i + 5!!+ 3 <. 5 Il criterio della radice assicura la covergeza assoluta della serie data.?ht.8i? Esercizio.4. Si sviluppi i serie di Taylor-Mclauri la fuzioe di variabile complessa 8 < e z, se z 6 f(z) z :, se z e si determii l isieme di covergeza dello sviluppo. Per ogi z C, si ha f(z) +X ( ) + z!. Per ogi w C, si ha e w +X w!. Quidi, per ogi z C \{}, risulta! f(z) +X ( ) z z! +X ( ) + z Poiché lo sviluppo è valido ache per z, si coclude che, per ogi z C, si ha f(z) +X ( ) + z!.!.

21 .. TEMI D ESAME 7?hT.9i? Esercizio.4. Si calcoli x dx dy, co E (x, y) > : x y + y apple. E 4 3 Passado a coordiate polari, si ottiee x dx dy co Quidi si ha 8 3 Z E K cos # d #, K (, #) > : ( apple # apple ) ^ ( apple apple si #). E x dx dy si 3 # cos # d# Z Z si 4 # cos # Z si# si 3 # cos #d# 3 si 4 # d ! Z d# si 3 # cos #d#?ht.i? Esercizio.4. Si studi la atura dei puti critici della fuzioe f(x, y) +x + y 3xy. (, ) > è puto di miimo relativo; 3, p > 3 e 3, p > 3 soo puti di sella.

22 8 CAPITOLO. ANNO ACCADEMICO - Si ha rf(x, y) (x 3y, y 6xy) > e 6y Hf(x, y). 6y 6x I puti critici soo (, ) >, 3, p > 3 e 3, p >. 3 Poich Ő Hf(, ) è defiita positiva, Hf 3, p p 3 p e Hf 3, p p 3 p soo idefiite, si coclude che il puto (, ) > è di miimo relativo e che i puti 3, p > 3 e 3, p > 3 soo di sella.?ht.i? Esercizio.43. Si risolva il sistema di equazioi di ereziali lieari u (x) u(x)+v(x) v (x) u(x)+v(x)+. u(x) v(x) c ( c e p x + c e p! x p p )e x + c ( + p )e p x, co c,c R + Derivado la prima equazioe e sostituedo, si ha u (x) u (x)+v (x) ( u(x)+v(x) ) + (u(x)+v(x) + ) u(x)+ Si ottiee cosí l equazioe lieare Risolviamo l equazioe omogeea u (x) u(x). u (x) u(x). L equazioe caratteristica ha le soluzioi p e p. La geerica soluzioe dell equazioe omogeea è u(x) c e p x + c e p x.

23 .. TEMI D ESAME 9 Ua soluzioe particolare dell equazioe completa è u(x). Si ottiee duque: u(x) c e p x + c e p x, p u p (x) c e x p p + c e x, p v(x) u(x)+u p (x)+c ( )e x + c ( + p )e p x )+.?ht.i? Esercizio.44. Si calcoli la lughezza della curva :[, ]! R, co (t) ( t, 3 t3 ) >. p 3 Si ha, per t [, ], (t) (t, t ) > equidi l( ) Z Z p +udu 3 p Z t + t 4 dt t p +t dt hp ( + u) 3i 3 p luglio?ht.3i? Esercizio.45. Si studi il carattere della serie di umeri complessi +X +i p + i.

24 CAPITOLO. ANNO ACCADEMICO - La serie è assolutamete covergete. Si ha +i p + i p + p 4 + e ord + r Per il criterio sull ordie di ifiitesimo, si ha che la serie è assolutamete covergete.?ht.4i? Esercizio.46. Si determiio il raggio di covergeza R e la somma f(z) della serie di poteze +X i3 z. R 3, f(z) i 3z ( 3z) Si ha, per ogi z C \{}, i ( + )3 + z + i3 z + 3 z!!+ 3 z. Per il criterio del rapporto, si ha che la serie coverge per z < 3, metre o coverge per z > 3. Quidi il raggio di covergeza è R 3. Per z < 3, si ha +X iz d dz i3 z iz +X +X 3 z! 3 z iz d dz iz +X 3z d dz (3 z ) i 3z ( 3z).

25 .. TEMI D ESAME?hT.5i? Esercizio.47. Si calcoli co E x p dx dy, x + y E (x, y) > : x +x + y <. 8 3 Poiché E (x, y) > :(x + ) + y <, si ha, passado a coordiate polari, x p x + y dx dy co Quidi risulta K K Z 3 apple si # E K cos # d d#, (, #) > :(apple < cos #) ^ apple # apple 3 cos # d d# Z 3 cos # cos #d# 3 si3 # 3 Z ( ) Z 3 cos# cos # d!. d# cos #( si #)d# 3 ( ) ?hT.6i? Esercizio.48. Si determiio il domiio e gli estremi assoluti della fuzioe f(x, y) arcsi(x + y x).

26 CAPITOLO. ANNO ACCADEMICO - dom f (x, y) > :(x ) + y apple, mi f, max f Si ha dom f (x, y) > : x + y x apple (x, y) > : apple (x ) + y apple (x, y) > :(x ) + y apple. Poiché la fuzioe arcoseo è crescete, basta cercare gli estremi assoluti su dom f di g(x, y) x + y x. Ora si ha rg(x, y) (x, y) >, Hg(x, y). L uico puto critico di g è (, ) > ed è puto di miimo, co g(, ). Poiché g(x, y) ei puti di fr(dom f), si coclude che mi g, max g equidi mi f, max f.?ht.7i? Esercizio.49. Si risolva l equazioe di ereziale lieare y +3y +y e x +. y(x) c e x + c e x + c ex + x, c,c,c 3 R L equazioe caratteristica dell equazioe omogeea associata y +3y +y è

27 .. TEMI D ESAME 3 ed ammette le radici,, 3, aveti molteplicità. La soluzioe dell equazioe omogeea è duque y(x) c e x + c e x + c 3, co c,c,c 3 R. Per il pricipio di sovrapposizioe, ua soluzioe particolare dell equazioe completa è ua fuzioe del tipo y(x) y (x)+y (x), co y soluzioe dell equazioe y +3y +y e x e y soluzioe dell equazioe y +3y +y. Per il metodo di somigliaza, si trova y (x) 6 ex e y (x) x. I coclusioe, le soluzioi dell equazioe data soo le fuzioi y(x) c e x + c e x + c ex + x, co c,c,c 3 R.?hT.8i? Esercizio.5. Si calcoli l itegrale del campo vettoriale x g(x, y) x + y, y x + y > lugo la curva :[, 3 ]! R defiita da (t) (t cos t, t si t) >. log 3 Si ha (t) cos t t si t, si t + t cos t > equidi Z hg, i ds Z 3 t cos t t (cos t t si t)+ t si t t (si t + t cos t) dt Z 3 dt log 3 log log 3. t

28 4 CAPITOLO. ANNO ACCADEMICO settembre?ht.9i? Esercizio.5. Si studi il carattere della serie di umeri complessi +X i + i 3. La serie è assolutamete covergete. Poiché s s i + i 3 3 i 3 + i!!+ il criterio della radice assicura la covergeza assoluta della serie. 3,?hT.i? Esercizio.5. Si determii il raggio di covergeza della serie di poteze +X e + z. Il raggio di covergeza è R p e. Per ogi z C, si ha s e + z e + z! e!+ z. Il criterio della radice assicura che la serie coverge assolutamete se z < p e e o coverge se z > p e. Duque il raggio di covergeza è R p e.

29 .. TEMI D ESAME 5?hT.i? Esercizio.53. Si calcoli l itegrale geeralizzato co E E dx dy, y (x, y) > :(<xapple ) ^ (x apple y apple p x ). 5 Posto A (x, y) > :( apple x apple ) ^ (x apple y apple p x ), si ha A y dx dy Z 5 [x log x x] 5 Z px x y dy! dx 5 log + Z log xdx!!+ 5.?hT.i? Esercizio.54. Si determiio gli estremi assoluti della fuzioe f(x, y, z) e x e y e z, su E (x, y, z) > : x +4y + z apple. max f e 3 p ;mif e 3 p

30 6 CAPITOLO. ANNO ACCADEMICO - Poiché la fuzioe espoeziale di base e è crescete, il problema si riduce allo studio degli estremi della fuzioe g(x, y, z) x + y + z. Siha rg(x, y, z) (,, ) >. Quidi il massimo e il miimo assoluti di g su E, che esistoo per il teorema di Weierstrass, vegoo assuti i puti di fr E. Usado il metodo dei moltiplicatori di Lagrage, si trova x >< >< x >< >: x 8 y z x +4y + z, >: y 8 z x +4y + z, >: y 8 z 9 3 p p p da cui si ottegoo i puti 3, 6, > p p 3 e 3, 6, > 3p,che soo, rispettivamete, di massimo e di miimo assoluti.,?ht.3i? Esercizio.55. Si risolva l equazioe di ereziale lieare y y e x. y(x) c e x + c e p3 x si co c,c,c 3 R. p3 x + c 3 e x cos x + 3 xex, L equazioe caratteristica 3 ha le radici, i p 3, 3 + i p 3, aveti molteplicità. Quidi, la soluzioe geerale dell equazioe omogeea è y y y(x) c e x + c e x si p3 x + c 3 e x cos p3 x co c,c,c 3 R. Ua soluzioe particolare dell equazioe completa y y e x

31 .. TEMI D ESAME 7 è, per il metodo di somigliaza, ȳ(x) Axe x, co A 3. I coclusioe, la soluzioe geerale di y y e x è y(x) c e x + c e x si p3 co c,c,c 3 R. x + c 3 e x cos p3 x + 3 xex,?ht.4i? Esercizio.56. Si calcoli la lughezza della curva avete rappresetazioe polare cos # co #,. La curva ha rappresetazioe parametrica co t Z cos t cos t, cos t si t >,,. Quidi la sua lughezza è data da p (x (t)) +(y (t)) dt Z Z q (cos t + si t) dt q ( cos t si t) +( si t + cos t) dt Z dt geaio 3?hT.5i? Esercizio.57. Si studi, al variare di R, il carattere della serie di umeri reali +X +.

32 8 CAPITOLO. ANNO ACCADEMICO - La serie è covergete se e solo se <. Poiché ord + +, si coclude, per il criterio dell ordie di ifiitesimo, che la serie coverge se e solo se >, ossia se e solo se <.?ht.6i? Esercizio.58. Si determii l isieme di covergeza e la somma della serie di umeri complessi +X exp(i z). La serie coverge, co somma e i e z, se e solo se <(z) >. La serie geometrica coverge i C, co somma +X w,, se e solo se w <. Quidi la serie w +X e z +X (e z ) coverge se e solo se e z <. Posto z x + iy, co x, y R, si ha e z < se e solo se e x <, ossia se e solo se x>. Ioltre, se x> risulta +X exp(i z) e i +X e z e i e z.

33 .. TEMI D ESAME 9?hT.7i? Esercizio.59. Si calcoli il volume del solido E (x, y, z) > :( x apple ) ^ ( apple y apple x ) ^ ( apple z apple +x + y). Posto 7 3 D (x, y) > :( x apple ) ^ ( apple y apple x ), si ha, usado le formule di riduzioe, Z Z +x+y dx dy dz dz dx dy E D! Z 4 Z Z Z x ( + x + y) dy D dx ( x )( + x)+ ( x ) dx Z ( x)dx + ( x) dx + 3. ( + x + y) dx dy?ht.8i? Esercizio.6. Si studi la atura dei puti critici della fuzioe f(x, y) x 4 + y 4 x + y +. (, ) > è puto di sella; ( / p, ) > e (/ p, ) > soo puti di miimo relativo. Si ha rf(x, y) (4x 3 x, 4y 3 +y) > e Hf(x, y) x y. + I puti critici soo (, ) >,( / p, ) > e (/ p, ) >. Poiché H(, ) è idefiita, H( / p, ) e H(/ p, ) soo defiite positive si coclude che (, ) > è puto di sella, ( / p, ) > e (/ p, ) > soo puti di miimo relativo.

34 3 CAPITOLO. ANNO ACCADEMICO -?ht.9i? Esercizio.6. Si risolva su R + l equazioe di ereziale lieare y x y x. y(x) c x p 5 + c x + p 5, co c,c R. E ettuado il cambio di variabile x : e t e poedo u(t) : y(e t ), si ottiee l equazioe lieare co coe cieti costati L equazioe caratteristica p 5 u u u. ha le radici, + p 5. Quidi, la soluzioe geerale dell equazioe omogeea è v(t) c e ( u u u p 5 )t + c e ( + p 5 )t, co c,c R. Ua soluzioe particolare dell equazioe completa è è u u u v(t). Duque la soluzioe geerale dell equazioe completa u(t) c e ( u u u p 5 )t + c e ( + p 5 )t, co c,c R. I coclusioe, la soluzioe geerale su R + di è co c,c R. y(x) c x y x y x. p 5 + c x + p 5,

35 .. TEMI D ESAME 3?hT.3i? Esercizio.6. Si calcoli Z hg, i ds essedo x g(x, y) p x + y, (t) (t cos t, t si t) >, y p x + y >, co t [ /, ]. 3 Si ha (t) cos t t si t, si t + t cos t > e Z / Z / Z hg, i ds Z / hg( (t)), (t)i dt! t cos t (cos t t si t) t si t (si t + t cos t) p + p (t cos t) +(tsi t) (t cos t) +(tsi t) (cos t (cos t t si t)+sit (si t + t cos t) )dt Z / dt dt 3, o, più semplicemete, posto G(x, y) p x + y, Z hg, i ds Z / Z / hg( (t), (t)i dt Z / hrg( (t), d dt G( (t)) dt G( ( )) G( ( /)) 3. (t)i dt

36 3 CAPITOLO. ANNO ACCADEMICO -..6 geaio 3?hT.3i? Esercizio.63. Si studi il carattere della serie di umeri complessi +X i p i +. La serie è assolutamete covergete. Si ha e i p i p i p p 4 + r ord Duque, per il criterio dell ordie di ifiitesimo, la serie è (assolutamete) covergete.?ht.3i? Esercizio.64. Si determii l isieme di covergeza e la somma della serie +X z i, co z C \{}. La serie coverge, co somma z, se e solo se z < /. ( + i)z La serie geometrica +X w

37 .. TEMI D ESAME 33 co w C, coverge, co somma coverge se e solo se z 6 e ha, per ogi z 6, z Ioltre, se y< z, se e solo se w <. Quidi la serie w i z +X i <. Posto z x + iy, co x, y R, si i <, iz < z, +y ix < x + iy,, (y + ) + x <x + y, y +<, y< /. /, risulta +X z i. +i z?ht.33i? Esercizio.65. Si calcoli Z co E x dx dy dz, E (x, y, z) > :( x apple ) ^ ( apple y apple x ) ^ ( apple z apple x + y). 7 3 Posto D (x, y) > :( x apple ) ^ ( apple y apple x ), si ha, usado le formule di riduzioe, Z Z x +y! x dx dy dz x dz dx dy ( x + y) x dx dy E Z Z Z x D x 4 + x5 ( x + y) x dy! dx Z apple dx 5 x5 + x6 D x 4 + x x4 dx

38 34 CAPITOLO. ANNO ACCADEMICO -?ht.34i? Esercizio.66. Si determiio gli estremi relativi e assoluti della fuzioe f(x, y) x y 4 +y. (, ) > è puto di miimo relativo, if f e sup f +. Si ha f(x, ) x e f(,y)y y 4 e quidi sup f + e if f. Ioltre, risulta rf(x, y) x, 4y 4y 3 > e Hf(x, y) 4 y. I puti critici soo (, ) >, (, ) > e (, ) >. Poiché H(, ) è defiita positiva, H(, ) e H(, ) soo idefiite, si coclude che (, ) > è p u t o d i miimo relativo, (, ) > e (, ) > soo puti di sella.?ht.35i? Esercizio.67. Si risolva il problema di Cauchy ( y y x, y() e si determii il massimo itervallo di esisteza della soluzioe. y(x) e x, co x ], +[. Si ha, per il teorema di uicità, y(x) > per ogi x>equidi ( y y x y(), Z x y Z (t) x y(t) dt Z y(x) t dt, y() s ds x,, log y(x) x, y(x) e x.

39 .. TEMI D ESAME 35?hT.36i? Esercizio.68. Si calcoli Z hrf, i ds co f(x, y) arcta(x + y ) e (t) t cos t, t si t >, t [, +]. Si ha Z lim b!+ Z b hrf, i ds hrf( (t)), Z + hrf( (t)), (t)i dt lim b!+ (t)i dt Z b d f( (t)) dt dt lim (f( (b)) f( ())) lim b!+ b!+ (arcta(b ) arcta())...7 febbraio 3?hT.37i? Esercizio.69. Si studi il carattere della serie di umeri reali +X si cos( ). La serie è semplicemete covergete.

40 36 CAPITOLO. ANNO ACCADEMICO - Si ha, per ogi N +, cos( ) ( ), si >, si > si + e lim si.!+ Duque, per il criterio di Leibiz, la serie coverge. Ioltre, poiché ord + si cos( ), per i criterio dell ordie di ifiitesimo, la serie coverge semplicemete.?ht.38i? Esercizio.7. Si determii l isieme di covergeza e la somma della serie co x R. +X ( x), + La serie coverge per <xapple, co somma f(x) log(x) x, per x 6, per x La serie geometrica coverge per t <, co somma +X t, t.

41 .. TEMI D ESAME 37 La serie +X t + +, otteuta itegrado a termie a termie, coverge per Quidi, per t 6, si ha +X Z t ds log( t). s t + +X t t + + log( t). t apple t<, co somma Per t, si ha +X t. Posto t + x, si coclude che la serie +X coverge per <xapple, co somma ( x) + log(x) x.?ht.39i? Esercizio.7. Si calcoli il volume del solido E (x, y, z) > R 3 :(z apple 4) ^ (x + y apple z) ^ (x + y apple ). 7 Posto D (x, y) > : x + y apple, si ha, usado la formula di riduzioe per corde e passado a coordiate polari, Z Z 4 dx dy dz dz dx dy 4 x y dx dy E D x +y D Z Z apple 4 d d#

42 38 CAPITOLO. ANNO ACCADEMICO -?ht.4i? Esercizio.7. Si calcolio massimo e miimo assoluti della fuzioe f(x, y) x xy su C (x, y) > R : x + y. mi f f( 3, p 3 ) f( 3, 3p ) 5/7, max f f(, ) f(, ). Poiché f è cotiua sull isieme chiuso e limitato C, essa è dotata di miimo e massimo assoluti. Posto g(x, y) x +y, i puti di estremo vao ricercati, per il metodo dei moltiplicatori di Lagrage, fra le soluzioi del sistema 8 < x y x rf(x, y) rg(x, y),, g(x, y) : 8 < x ±, y : 8 <, : x ± y Cofrotado i valori di f ei puti si coclude che 8 < _ : 8 < x 3 _ : xy y x + y 3x +x x + y x y ± p 3 x (, ) >, (, ) >, (/3, p /3) >, (/3, p /3) >, mi f f(/3, p /3) f(/3, p /3) 5/7., e max f f(, ) f(, ).

43 .. TEMI D ESAME 39?hT.4i? Esercizio.73. Si risolva il problema di Cauchy 8 < y y x q + y4. : y() 3 5 y(x) x /3 x Si tratta di u problema ai valori iiziali per u equazioe di Beroulli. Co il cambio di variabile u y 3, si ottiee il problema lieare 8 >< >: u 3 x u 3 u() 5 La soluzioe geerale dell equazioe lieare omogeea è u 3 x u u(x) cx 3, co c R, metre ua soluzioe particolare dell equazioe completa è. ū(x) x 3 Z x 3t 3 dt 3 (x x3 ). Impoedo la codizioe iiziale u() 5, si trova c 5 equidi I coclusioe, si ha u(x) 5 x3 + 3 (x x3 )x 3 3 x. y(x) x x /3.

44 4 CAPITOLO. ANNO ACCADEMICO -?ht.4i? Esercizio.74. Si calcoli l itegrale di liea Z xy ds, sulla curva (t) ( cos t, si t) >, co t h 6, i ! 7 4 Si ha Z 3 xy ds Z Z 6 Z 6 p cos t si t 4 si t + cos t dt p 6 cos t si t + 3 si t dt p udu 3 apple 3 u ! 7. 4

45 Ao Accademico - 3. Prove itermedie.. 8 marzo 3 Tema A?hI.Ai? Esercizio.. Si studi il carattere della serie di umeri complessi +X i! ( + 3i). La serie o è covergete. Posto a i! ( + 3i), si ha a! ( p ). Poiché a + ( + )! a ( p ) ( p ) p +! +! +,!+ il criterio del rapporto implica che la serie è assolutamete divergete. Ioltre, poiché è defiitivamete a < a +, si ha che a 6! e quidi si coclude che la serie +X i! ( + 3i) 4

46 4 CAPITOLO. ANNO ACCADEMICO - 3 o è covergete.?hi.ai? Esercizio.. Si cosideri la fuzioe f(x) +x 6. I Si sviluppi f(x) i serie di Taylor Maclauri. Poiché la serie geometrica P + t coverge a t ha, posto t +x 6 x6, x ( 6 ) se e solo se x6 <, cioè x < 6p. +X x 6 I Si determii il raggio di covergeza dello sviluppo. +X se e solo se t <, si ( ) x6 + Poiché la serie coverge se x < 6p e o coverge se x > 6p, il raggio di covergeza è R 6p. I Si utilizzi tale sviluppo per calcolare R f(x)dx. Poiché [, ] ] a termie, 6p, 6 p [, si ha, per il teorema di itegrazioe a termie Z +X Z +x 6 dx Z ( ) x6 + +X dx! ( ) x6 dx + +X ( ) I Si utilizzi il criterio di Leibiz per approssimare R f(x)dx co u errore iferiore a 3. Poiché la serie +X ( ) soddisfa le ipotesi del criterio di Leibiz, si ha

47 .. PROVE INTERMEDIE 43 e risulta se Z +x 6 dx X k ( ) k k+ 6k + apple < 3 5. I particolare, per 5 si ha 4X k ( ) k k+, 47..., 6k + che forisce l approssimazioe richiesta.?hi.3ai? Esercizio.3. Si studi il carattere della serie di umeri reali +X log ( + ) log 4+ 3p. + La serie è covergete. Si ha log ( + ) log 4+ 3p + co log (+ )! log e, equidi log ord ( + ) log p + log ( + ) 4+ 3p + log ( + ) ord + (4 + 3p + ) ord + (4 + 3p + ), 3p 4 3. Il criterio dell ordie di ifiitesimo implica la covergeza (assoluta) della serie.

48 44 CAPITOLO. ANNO ACCADEMICO marzo 3 Tema B?hI.Bi? Esercizio.4. Si studi il carattere della serie di umeri complessi +X +i (3 + i).?hi.bi? Esercizio.5. Si cosideri la fuzioe f(x) +x 5. I Si sviluppi f(x) i serie di Taylor Maclauri. I Si determii il raggio di covergeza dello sviluppo. I Si utilizzi tale sviluppo per calcolare R / f(x)dx. I Si utilizzi il criterio di Leibiz per approssimare R / f(x)dx co u errore iferiore a 3.?hI.3Bi? Esercizio.6. Si studi il carattere della serie di umeri reali +X si () +( + ). I Si provi che la serie è covergete. I Si utilizzi l itegrale geeralizzato R + +x dx per provare che la somma o supera marzo 3 Tema C?hI.Ci? Esercizio.7. Si studi il carattere della serie di umeri complessi +X + i (3 i).

49 .. PROVE INTERMEDIE 45?hI.Ci? Esercizio.8. Si cosideri la fuzioe f(x) +x 5. I Si sviluppi f(x) i serie di Taylor Maclauri. I Si determii il raggio di covergeza dello sviluppo. I Si utilizzi tale sviluppo per calcolare R / f(x)dx. I Si utilizzi il criterio di Leibiz per approssimare R / f(x)dx co u errore iferiore a 3.?hI.3Ci? Esercizio.9. Si studi il carattere della serie di umeri reali +X si (5) +( + ). I Si provi che la serie è covergete. I Si utilizzi l itegrale geeralizzato R + +x dx per provare che la somma o supera marzo 3 Tema D?hI.Di? Esercizio.. Si studi il carattere della serie di umeri complessi +X i ( 3i).?hI.Di? Esercizio.. Si cosideri la fuzioe f(x) +x 6. I Si sviluppi f(x) i serie di Taylor Maclauri. I Si determii il raggio di covergeza dello sviluppo. I Si utilizzi tale sviluppo per calcolare R / f(x)dx. I Si utilizzi il criterio di Leibiz per approssimare R / f(x)dx co u errore iferiore a 3.

50 46 CAPITOLO. ANNO ACCADEMICO - 3?hI.3Di? Esercizio.. Si studi il carattere della serie di umeri reali +X si (4) +( + ). I Si provi che la serie è covergete. I Si utilizzi l itegrale geeralizzato R + +x dx per provare che la somma o supera maggio 3 Tema A?hI.5Ai? Esercizio.3. Si calcoli 8xdxdy, co E (x, y) > : x(x ) apple y apple x. E L isieme d itegrazioe E è ormale rispetto all asse x e risulta E (x, y) > :(apple x apple ) ^ (x(x ) apple y apple x ). Usado le formula di riduzioe, si ottiee Z Z! x 8xdxdy 8xdy dx E Z 8 x(x ) Z apple x x 3 +3x 4 x dx x3 x 8x(x )( x) dx.

51 .. PROVE INTERMEDIE 47?hI.6Ai? Esercizio.4. Si cosideri la fuzioe f(x, y) x y x y. I Si calcoli il gradiete di f. I Si calcoli la matrice Hessiaa di f. rf(x, y) xy x, x y > Hf(x, y) y x x I Si calcoli la derivata direzioale di f el puto (, >. orietata v p, p ) > lugo la direzioe I Si determiio i puti critici di f. x(y ), x 7 (, ) hrf(, ),vi rf(x, y), x y x y _ x y _ x p y _ x y, p x. y Duque i puti critici soo: (, ) >,( p, ) > e( p, ) >. I Si studi la atura dei puti critici di f. (, ) > è puto di massimo relativo, poiché Hf(, ) defiita egativa; ( p, ) > è puto di sella, poiché Hf( p, ) idefiita; ( p, ) > è puto di sella, poiché Hf( p, ) è p p è p p è idefiita.

52 48 CAPITOLO. ANNO ACCADEMICO - 3?hI.7Ai? Esercizio.5. Si dica se il solido E (x, y, z) > :(x + y apple p ) ^ (z ) z è misurabile i seso geeralizzato e, i caso a ermativo, se e calcoli il volume. Il solido E o è misurabile i seso geeralizzato (vol(e) +). E è localmete misurabile e la fuzioe è localmete itegrabile su E. Poiamo, per ogi, A (x, y, z) > :(x + y apple p ) ^ ( apple z apple ) z. Usado la formula di riduzioe per sezioi, si ottiee Z Z dxdydz dxdy dz A S Z z p dz p z (p p z ), dove Poiché S z (x, y, z) > : x + y apple p z. Z lim dxdydz +,!+ A si coclude che E o è misurabile i seso geeralizzato (vol(e) +)...6 maggio 3 Tema B?hI.5Bi? Esercizio.6. Si calcoli 4xdxdy, co E (x, y) > : x(x + ) apple y apple x +. E

53 .. PROVE INTERMEDIE 49?hI.6Bi? Esercizio.7. Si cosideri la fuzioe f(x, y) x y +x + y. I Si calcoli il gradiete di f. I Si calcoli la matrice Hessiaa di f. I Si calcoli la derivata direzioale di f el puto (, ) > lugo la direzioe >. orietata v p, p I Si determiio i puti critici di f. I Si studi la atura dei puti critici di f.?hi.7bi? Esercizio.8. Si dica se il solido E (x, y, z) > :(x + y apple ) ^ (z ) z4 è misurabile i seso geeralizzato e, i caso a ermativo, se e calcoli il volume...7 maggio 3 Tema C?hI.5Ci? Esercizio.9. Si calcoli xdxdy, co E E (x, y) > : x apple y apple x( + x).?hi.6ci? Esercizio.. Si cosideri la fuzioe f(x, y) x y + x + y. I Si calcoli il gradiete di f. I Si calcoli la matrice Hessiaa di f. I Si calcoli la derivata direzioale di f el puto (, ) > lugo la direzioe >. orietata v p, p I Si determiio i puti critici di f. I Si studi la atura dei puti critici di f.

54 5 CAPITOLO. ANNO ACCADEMICO - 3?hI.7Ci? Esercizio.. Si dica se il solido E (x, y, z) > :(x + y apple ) ^ (z ) z è misurabile i seso geeralizzato e, i caso a ermativo, se e calcoli il volume...8 maggio 3 Tema D?hI.5Di? Esercizio.. Si calcoli xdxdy, co E (x, y) > : x apple y apple x( x). E?hI.6Di? Esercizio.3. Si cosideri la fuzioe f(x, y) x y x y. I Si calcoli il gradiete di f. I Si calcoli la matrice Hessiaa di f. I Si calcoli la derivata direzioale di f el puto (, >. orietata v p, p ) > lugo la direzioe I Si determiio i puti critici di f. I Si studi la atura dei puti critici di f.?hi.7di? Esercizio.4. Si dica se il solido E (x, y, z) > :(x + y apple ) ^ (z ) z3 è misurabile i seso geeralizzato e, i caso a ermativo, se e calcoli il volume.

55 .. PROVE INTERMEDIE maggio 3 Tema A?hI.8Ai? Esercizio.5. Si calcoli l area della superficie ( p!) (x, y, z) > :((x, y) > x + y ([, 4])) ^ apple z apple +x + y, dove (t) (t cos t, t si t) >. p 7 3 Poiché è ua superficie cilidrica, la sua area è data da A( ) Z 4 Z p x + y Z 4 +x + y ds i 4 t p +t dt hp +t t p +t +t dt 3 (p 7 ).?hi.9ai? Esercizio.6. Si calcoli il flusso del campo vettoriale g : R! R, defiito da log( + 3 cos y)+x g(x, y), ( x)y arcta( + x) attraverso la frotiera del domiio D (x, y) > :4x + y apple 4.

56 5 CAPITOLO. ANNO ACCADEMICO - 3 Per il teorema della divergeza, si ha Z hg, i ds div gdxdy (x + x) dxdy dxdy. + fr D D D D Usado coordiate ellittico-polari, si ottiee Z Z dxdy d d#. D?hI.Ai? Esercizio.7. Si determiio tutte le soluzioi (u(x),v(x)) > del sistema di equazioi di ereziali u 3u +v v u v +. u(x) v(x) c e x + c xe x + c e x + c ( ex xe x ), c,c R Derivado la prima equazioe e sostituedo, si ha u 3u +v 3u + ( u v + ) 3u 4u v + 3u 4u +3u u +u u +. Si ottiee così l equazioe la cui soluzioe geerale è u u + u, u(x) c e x + c xe x +, co c,c R. Essedo si ottiee u (x) (c + c )e x + c xe x, v(x) [u (x) 3u(x) + ] [(c c )e x c xe x ].

57 .. PROVE INTERMEDIE maggio 3 Tema B?hI.8Bi? Esercizio.8. Si calcoli l area della superficie (x, y, z) > :(x + y apple ) ^ z p o 4 x y.?hi.9bi? Esercizio.9. Si calcoli la circuitazioe del campo vettoriale g : R! R, defiito da log(5 + cos y)+y g(x, y), xy arcta( + y)+ 3x attraverso la frotiera, orietata positivamete, del domiio D (x, y) > :9x + y apple 9.?hI.Bi? Esercizio.3. Si determiio tutte le soluzioi (u(x),v(x)) > del sistema di equazioi di ereziali u u v v u +3v maggio 3 Tema C?hI.8Ci? Esercizio.3. Si calcoli l area della superficie (x, y, z) > : ((x, y) > ([, 3])) ^ apple z apple p o x + y, dove (t) t cos t, t si t >.?hi.9ci? Esercizio.3. Si calcoli il flusso del campo vettoriale g : R! R, defiito da x g(x, y) + arcta(3 + y), y + log( + cos x) 4xy attraverso la frotiera del domiio D (x, y) > :9x + y apple 4.

58 54 CAPITOLO. ANNO ACCADEMICO - 3?hI.Ci? Esercizio.33. Si determiio tutte le soluzioi (u(x),v(x)) > del sistema di equazioi di ereziali u u + v v u + v maggio 3 Tema D?hI.8di? Esercizio.34. Si calcoli l area della superficie (x, y, z) > : ( apple x + y apple 4) ^ (z x + y ).?hi.9di? Esercizio.35. Si calcoli la circuitazioe del campo vettoriale g : R! R, defiito da arcta(5 + x) y g(x, y), 6x 4xy log(3 + cos y) attraverso la frotiera, orietata positivamete, del domiio D (x, y) > : x +9y apple 9.?hI.Di? Esercizio.36. Si determiio tutte le soluzioi (u(x),v(x)) > del sistema di equazioi di ereziali u u v v u v.

59 .. TEMI D ESAME giugo 3. Temi d esame?ht.i? Esercizio.37. Si studi il carattere della serie di umeri complessi +X 3 i. + i La serie è assolutamete covergete. Si ha v u t i + i 3 p + +!!!+ p e. Duque, per il criterio della radice, la serie coverge assolutamete.?ht.i? Esercizio.38. Si cosideri la fuzioe 8 >< cos x f(x) x, se x 6. >:, se x I Si sviluppi f i serie di Taylor-Maclauri. Si ha, per ogi x R, cos x e quidi, per ogi x 6, f(x) +X +X ( ) x ()! ( ) + x ()!. Poiché f() /, si coclude che lo sviluppo vale ache i.

60 56 CAPITOLO. ANNO ACCADEMICO - 3 I Si determii l isieme di covergeza dello sviluppo. L isieme di covergeza dello sviluppo è R. I Si utilizzi tale sviluppo per approssimare R f(x)dx co u errore iferiore a 3. Per il teorema di itegrazioe a termie a termie, si ha Z +X f(x)dx ( ) + ()! Z Z +X ( ) x dx + x +X ()!! dx ( ) + ()!( ). Poiché la serie P + ( ) + soddisfa le ipotesi del criterio di Leibiz, si coclude ()!( ) che Z f(x)dx NX ( ) + ()!( ) apple (N + )!(N + ). Se N, allora (N + )!(N + ) 6! 5 36 < 3 equidi X ( ) + ()!( ) 7 35, approssima R f(x)dx co u errore iferiore a 3.?hT.3i? Esercizio.39. Si calcoli il volume geeralizzato del solido E (x, y, z) > R 3 :(apple x + y ) ^ ( apple z apple log(x + y ) (x + y ) ).

61 .. TEMI D ESAME 57 Poiamo, per ogi, e A (x, y, z > R 3 :(apple x + y apple ) ^ ( apple z apple log(x + y ) (x + y ) ) B (x, y) > R 3 :apple x + y apple. Si ha, usado coordiate polari, Z Z log(x +y ) (x +y ) A B dza dxdy log(x + y Z ) Z B (x + y ) dxdy log( ) 3 d d# apple apple log log!, se! +, equidi Z E dxdydz.?ht.4i? Esercizio.4. Si determiio i puti di massimo e di miimo assoluti della fuzioe f(x, y, z) arcta(x +6y +z) su E (x, y, z) > R 3 : x +9y + z apple 9. Iputi, massimo assoluti. > 3, e, > 3, soo, rispettivamete, di miimo e di Poiché la fuzioe arcotagete è crescete, il problema si riduce allo studio degli estremi della fuzioe g(x, y, z) x +6y +z. Siha rg(x, y, z) (, 6, ) > 6.

62 58 CAPITOLO. ANNO ACCADEMICO - 3 Quidi il massimo e il miimo assoluti di g su E, che esistoo per il teorema di Weierstrass, vegoo assuti i puti di fr E. Usado il metodo dei moltiplicatori di Lagrage, si trova 8 >< >: x 6 8y z x +9y + z 9 8 x >< y, 3 z >: x +9y + z 9 8 x >< y, 3 z >: 4 > da cui si ottegoo i puti, 3, e, > 3, che soo, rispettivamete, di miimo e di massimo assoluti.,?ht.5i? Esercizio.4. Si risolva il problema di Cauchy 8 < x y xy +y y( ) : y ( ). y(x) x + x +. Si tratta di u equazioe di Eulero, che, alla luce delle codizioi imposte, deve essere risolta sull itervallo ], [. Co i cambi di variabile x e t e u(t) y( e t ), si ottiee l equazioe lieare a coe cieti costati L equazioe omogeea u 3u +u. u 3u +u ha come base di soluzioi {e t,e t }. Ua soluzioe particolare della completa è, per il metodo di somigliaza, ū(t). Duque la soluzioe geerale della completa è u(t) Ae t + Be t +, co A, B R. Quidi la soluzioe geerale dell equazioe di Eulero è y(x) Ax + Bx +,

63 .. TEMI D ESAME 59 co A, B R. Impoedo le codizioi iiziali si perviee al sistema lieare A + B + dal quale si ottiee A B A B. I coclusioe la soluzioe cercata è y(x) x + x +.?ht.6i? Esercizio.4. Si dica se il campo vettoriale g : A( R )! R defiito da y g(x, y) +xy, x > +xy è coservativo i A (x, y) > R : xy >. I caso a ermativo, si calcoli u poteziale di g i A. Il campo è coservativo su A e u suo poteziale è f(x, y) log( + xy). Si +xy ( + +xy i A. Ioltre A è u aperto stellato rispetto a (, ) >. Per il lemma di Poicaré, g è coservativo. U poteziale di g si ottiee, poedo, per ogi (x, y) > A, Z f(x, y) hg, i ds, dove (t) (tx, ty) >, co t [, ]. Quidi, per ogi (x, y) > A, risulta Z ty f(x, y) +xyt x + tx +xyt y dt Z txy +xyt dt log +xyt log( + xy).

64 6 CAPITOLO. ANNO ACCADEMICO giugo 3?hT.7i? Esercizio.43. Si studi il carattere della serie di umeri complessi +X ( ) p + i La serie è (semplicemete) covergete. Poiché i + ( +X ) i, si ha ( ) p + i X ( ) p + + ( + ) 3 i. La serie +X ( ) p + soddisfa alle ipotesi del criterio di Leibiz e quidi coverge (semplicemete, dato che ord + p + ). La serie +X ( + ) 3 soddisfa le ipotesi del criterio dell ordie di ifiitesimo e quidi coverge (assolutamete). Duque la serie di umeri complessi assegata coverge (semplicemete).?ht.8i? Esercizio.44. Si cosideri la serie di poteze +X (x + ) 3. I Si determii il raggio di covergeza della serie.

65 .. TEMI D ESAME 6 Posto t (x + ) 3, si ottiee la serie Se t 6, si ha Poiché la serie +X +X t. +X t t t. +X t è la serie delle derivate della serie geometrica P + t, il suo raggio di covergeza è uguale. Duque è uguale a pure il raggio di covergeza della serie assegata. I Si determii l isieme di covergeza della serie. Poiché il raggio di covergeza è e la serie o coverge i {, }, l isieme di covergeza della serie è l itervallo ], [. I Si determii la somma della serie. La serie coverge a equidi d dt +X t! +X +X t d dt t t ( t). t ( t), se t ], [. Si coclude allora che è +X (x + ) 3 (x + ) 3 ( (x + ) 3 ) se x ], [.

66 6 CAPITOLO. ANNO ACCADEMICO - 3?hT.9i? Esercizio.45. Si calcoli E y dx dy, dove E (x, y) > R : x + y x y +apple. 4 3 Poiché E (x, y) > R :(x ) +(y ) apple, per mezzo della trasformazioe di coordiate x + cos # y + si #, si ottiee E Z y dxdy si # d# Z Z Z d si # d d# Z si # d# ?hT.i? Esercizio.46. Si studi la atura dei puti critici della fuzioe f(x, y) Z y x t(e t3 e) dt. (, ) > e (, ) > soo puti di sella, (, ) > è puto di miimo relativo, (, ) > è puto di massimo relativo.

67 .. TEMI D ESAME 63 Usado il teorema fodametale del calcolo, si ottiee rf(x, y) x(e e x3 ), y(e y3 e) equidi Si ha! Hf(x, y) e 3x 3 e ex3 x3 e y3 e +3y 3. e y3, ( x(e e rf(x, y), x3 ) y(e y3 e), x x x x y _ y _ y _ y. Duque i puti critici soo (, ) >, (, ) >, (, ) >, (, ) > e risulta: e (, ) > è puto di sella, poiché Hf(, ) è idefiita; e e (, ) > è puto di miimo relativo, poiché Hf(, ) è defiita positiva; 3e 3e (, ) > è puto di massimo relativo, poiché Hf(, ) è e defiita egativa; 3e (, ) > è puto di sella, poiché Hf(, ) è idefiita. 3e?hT.i? Esercizio.47. Si risolva il problema di Cauchy y 3x + 3(xy) y(), e si determii il massimo itervallo su cui la soluzioe esiste. La soluzioe è y(x) ta(x 3 ) sull itervallo 3 p, 3p.

68 64 CAPITOLO. ANNO ACCADEMICO - 3 Si ha y 3x + 3(xy) sull itervallo y(), Z x y (t) +y (t) dt Z x, arcta y(x) x 3, y(x) ta(x 3 ) 3 p, 3p. 3t dt,?ht.i? Esercizio.48. Si calcoli l area della superficie '(K), co '(u, v) u + v, u + v, u v > e K (u, v) > : u + v apple. hp i 3 7 Si ha ' u (u, v), u, >, ' v (u, v), v, >, ' u (u, v) ^ ' v (u, v) u v,, v u >, k' u (u, v) ^ ' v (u, v)k p (u + v) ++(v u) p u +v +. Si ottiee A( ) K Z p u +v +dudv Z Z 4 p + 3 hp ( + ) 3 i p +d d# 3 hp 7 i.

69 .. TEMI D ESAME luglio 3?hT.3i? Esercizio.49. Si studi il carattere della serie di umeri complessi +X + i e. La serie è assolutamete covergete. Si ha s + i e + i e s!!+ + i e i e e <. Per il criterio della radice, la serie è assolutamete covergete.?ht.4i? Esercizio.5. Si cosideri la serie di poteze +X ( +3 )x +. I Si determii il raggio di covergeza della serie. Si ha, per x 6, p q ( +3 )x + 3 ( + ( 3 ) x +/! 3 x.!+ Per il criterio della radice, la serie coverge se x < 3 x > 3. Il raggio di covergeza della serie è duque R 3. e o coverge se I Si determii l isieme di covergeza della serie.

70 66 CAPITOLO. ANNO ACCADEMICO - 3 Per x 3, si ottiee ( +3 )x !! L isieme di covergeza è duque l itervallo aperto 3, 3. I Si determii la somma della serie. Si ha, per x < 3, equidi +X (x) x + x, X (3x) x 3x +X ( +3 )x + x +X (x) + x +X (3x) x x + x 3x x( 5x) ( x)( 3x).?hT.5i? Esercizio.5. Si calcoli l area dell isieme E costituito dai puti del piao le cui coordiate polari soddisfao alle limitazioi ( apple apple se apple # apple apple apple p + cos # se. apple # apple Si ha m(e) Z Z Z d# + Z apple Z Z d d# + d# + Z apple Z p +cos # p +cos # d d# ( + cos #)d# 4 + [# + si #]! d#.

71 .. TEMI D ESAME 67?hT.6i? Esercizio.5. Si determiio gli estremi assoluti della fuzioe f(x, y, z) x + y + z sulla curva (x, y, z) > :(x + y ) ^ (x + y + z ). mi f p, max f + p Si ha r(x + y + z) (x, y, ) >, r(x + y ) (x, y, ) >, r(x + y + z) (,, ) >. Applicado il metodo dei moltiplicatori di Lagrage, si ha x x +µ µ µ >< y y +µ >< (x y) (x y) >< (x y)( ) +µ, x x +, x x + x >: + y x >: + y x >: + y x + y + z x + y + z x + y + z 8 ><, >: µ y x x x + x x + z 8 >< _ >: µ x x + x + y x + y + z 8 ><, >: µ y x x x x z x., Si ottegoo così i due puti x p, p, p! >, x p p! >,, p. Si coclude, i fie, che mi f f(x ) p, max f f(x )+ p.

72 68 CAPITOLO. ANNO ACCADEMICO - 3?hT.7i? Esercizio.53. Si risolva l equazioe di ereziale lieare y (iv) y + y x. La soluzioe geerale è y(x) c e x + c xe x + c 3 e x + c 4 xe x + x +4, co c,c,c 3,c 4 R. L equazioe caratteristica dell equazioe omogeea è 4 y iv y + y +( ). Le sue radici soo e, etrambi co molteplicità. La soluzioe geerale dell equazioe omogeea è duque y(x) c e x + c xe x + c 3 e x + c 4 xe x, co c,c,c 3,c 4 R. Dato che o è radice dell equazioe caratteristica, ua soluzioe particolare dell equazioe completa, per il pricipio di somigliaza, è del tipo y(x) ax + bx + c () y (x) ax + b, y (x) a, y (iv) (x) ), co a, b, c R costati da determiarsi. Sostituedo, si ottiee eduque 4a +(ax + bx + c) x, ax + bx +(c 4a), 8 8 < a < a, b, b : : c 4a c 4 y(x) x +4. La soluzioe geerale dell equazioe data è perciò y(x) c e x + c xe x + c 3 e x + c 4 xe x + x +4, co c,c,c 3,c 4 R.

73 .. TEMI D ESAME 69?hT.8i? Esercizio.54. Si calcoli Z + fr D y dx xdy dove fr D è la frotiera dell isieme D (x, y) > :(apple x apple ) ^ (x 3 apple y apple x). Ricordado che è si ha Z + fr D Z + fr E ydx + xdy m(d), ydx xdy m(d) apple x x 4 4 Z. (x x 3 )dx..4 5 settembre 3?hT.9i? Esercizio.55. Si studi il carattere della serie di umeri complessi +X e + i!+. La serie coverge (assolutamete).

74 7 CAPITOLO. ANNO ACCADEMICO - 3 Si ha e, per, e + i!+ e!+ + i!+ e e apple!+! e!+ apple ( )!. Poiché le serie (espoeziali) +X e! e +X! soo covergeti, il criterio del cofroto implica che le serie +X e!+ e +X!+ soo covergeti e quidi la serie data è (assolutamete) covergete.?ht.i? Esercizio.56. Si cosideri la fuzioe f(x) ( + 3x ). I Si sviluppi f i serie di Taylor-Maclauri. Essedo, per t <, ( t) d dt t d dt +X t il teorema di derivazioe a termie a termie implica che +X ( t) d +X dt t t. Posto t 3x, si ottiee ( + 3x ) +X per 3x <, ossia x < p 3/3. (3x ) +X 3 x

75 .. TEMI D ESAME 7 I Si determii il raggio di covergeza dello sviluppo. Il raggio di covergeza della serie è. Posto t +X t 3x, la serie +X 3 x coverge se x < p 3/3 e o coverge se x > p 3/3; duque il raggio di covergeza è p 3 3.?hT.i? Esercizio.57. Si calcoli il volume del solido E (x, y, z) > :(apple z apple e 4x +5y ) ^ (4x + 5y ) ^ ( x 5 + y 4 apple ) o. e e. Posto G (x, y) > : (4x + 5y itegrado per corde si ha Z vol (E) E dxdydz ) ^ ( x 5 + y 4 apple ) o, G e 4x +5y dxdy. Itroducedo la trasformazioe di coordiate (ellittiche) x cos #, y si #, osservado che 5 e poedo 4x + 5y, cos # + si #,,, x 5 + y 4 apple, cos # + si # apple, apple, apple. K (, #) > :(apple apple ) ^ ( apple # apple ),

76 7 CAPITOLO. ANNO ACCADEMICO - 3 si ottiee vol (E) G Z Z e 4x +5y dxdy e d d# he i e d d#dz K Z e e. e d?ht.i? Esercizio.58. Si determiio gli estremi assoluti della fuzioe f(x, y, z) x + y + z su E (x, y, z) > : x 9 + y + z 4 apple. mi f p 4, max f p 4 Le fuzioi f(x, y, z) x + y + z, g(x, y, z) 9 x + y + 4 z soo di classe C e si ha rf(x, y, z) 6 per ogi (x, y, z) > R 3. Essedo f cotiua ed E compatto, per il teorema di Weierstrass, f assume su E u valore massimo e uo miimo e questi valori devoo essere assuti i puti della frotiera di E. Applicado il metodo dei moltiplicatori di Lagrage, si ha y >< >< >< >: + 9 x + y + 4 z 9 x + y + 4 z Si ottegoo i puti e si coclude che, >: ( 9x y) ( 9 x z) 9 x + y + 4 z, >: x ( 9 p 4, p 4, 4 p 4 ) >, x ( 9 p 4, p 4, 4 p 4 ) >. + y y 9 x z 4 9 x 4 8 x mi f(e) f(x ) p 4, max f(e) f(x ) p 4..

77 .. TEMI D ESAME 73?hT.3i? Esercizio.59. Si risolva il problema di Cauchy 8 < y y xy. : y() La soluzioe è y(x) q 3 x + sull itervallo ], +[. Poiché y(x) > i u itervallo I, co I ], +[, si ha 8 < : y y xy y(), Z x y(t)y Z (t) x y (t) dt t dt,, log(y (t) ) x log x, log(y (t) ) + log 3 log x,, log(y (t) ) log 3 x, y (t) 3 x equidi y(x) r 3 +, su I ], +[. x?ht.4i? Esercizio.6. Si calcoli l area del grafico G(f) della fuzioe f(x, y) 3 (p x 3 + p y 3 ) defiita su D (x, y) > :(apple x apple ) ^ ( x apple y apple ). 4p 4p