CAPITOLO II METODI NUMERICI: ALBERI BINOMIALI E APPROSSIMAZIONI ALLE DIFFERENZE FINITE. Premessa

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1 CAPITOLO II METODI UMERICI: ALBERI BIOMIALI E APPROSSIMAZIOI ALLE DIFFEREZE FIITE Preessa Dopo aver preseao el precedee capiolo eqazioe i grado di descrivere la forazioe del prezzo di opzioe e avere dao solzioe aaliica si passa all aalisi di alci eodi erici di solzioe. I eodi di qeso geere soo cocealee più seplici della solzioe del odello di Black-Scholes a hao iore accraezza (seppre le differeze di rislao possao essere rascrabili) e procediei più lghi (essedo ieraivi). I igliori capi d applicazioe per qesi eodi soo evideeee qelli i ci il odello aeaico o pò essere risolo aaliicaee qale il prezzaggio di opzioi o eropee; avia l applicazioe cogia alle opzioi eropee di eodi aaliici e eodi erici peree di verificare cofroadoe direaee i rislai la boà dei secodi. 9

2 . Alberi bioiali. Qeso eodo peree di prezzare l opzioe co a copl essià di calcolo sigificaivaee iferiore a qella della solzioe dell eqazioe differeziale di Black e Scholes a al prezzo di a ior precisioe el valore fiale oeo. Olre a ciò risla difficoloso prezzare opzioe s orizzoe eporale olo lgo a casa dell elevao ero di calcoli da effeare. Per procedere co qeso eodo valaivo è ecessario iazio discreizzare l orizzoe eporale copreso ra e T sddividedolo i sooiervalli di apiezza δ ali per ci δ ( T ). L idea alla base di qeso odello è che il valore S del iolo soosae possa di periodo i periodo salire di a frazioe co probabilià p o scedere di a frazioe d co probabilià ( p) co d < < < coe illsrao el segee albero ricobiae : S S S S S S d ds S ds d S dd d S Per prezzare l opzioe si procede sppoedo di voler cosrire porafoglio che iizzi la propria posizioe i opzioi raie l acqiso o la vedia di ero di ioli soosai. Si cosideri il segee esepio: vedia di a call eropea co srike price E valore iiziale del soosae S se possibili U albero si dice ricobiae qado i valori presei ei odi isi o dipedoo dal percorso segio per arrivarvi (qidi ad esepio ds ds ) e perché ciò si verifichi è ecessario porre la codizioe d. Qalora e d fossero legai da a relazioe differee (o da essa relazioe) l albero si direbbe o ricobiae. 3

3 realizzazioi ell isae sccessivo S S Il payoff della call veda a{ E } soosae a C S d o ere el caso di ribasso a S ds albero ad periodo. è pari el caso di rialzo del d C. Traadosi di a vedia di call il soosae sarà acqisao. Perché il possessore del porafoglio sia idifferee ai de sai del odo si richiede che che il ero di ioli soosai possedi sia pari a d d S C S C C S C S d d cioè. La codizioe di o arbiraggio richiede poi che il valore del porafoglio al epo rδ fiale egagli qello iiziale capializzao cioè ( C ) e S C Iseredo i qesa codizioe l espressioe per e risolvedo per d ( qc ( q) C ) r C e S C si oiee δ. el caso iperiodale cosiderao C rappresea l oggeo della ricerca cioè il valore iiziale della call; el caso liperiodale rappresea ivece il valore della call i cero isae ieredio per ci è ecessario procedere a riroso i odo aalogo per i gli periodi calcolado valore C per ogi odo. Per grade (cioè per periodi di valazioe olo lghi) il ero di odi cresce eoreee rededo. ecessario calcolare i loro corrispodeza ( i) valori el caso i ricobiae (e i el eo forao caso di albero o ricobiae). i A ciò si aggiga che per igliorare la precisioe di calcolo è ecessario ridrre l apiezza δ degli iervalli (per ridrre l errore idoo dalla discreizzazioe e avviciarsi il più possibile a calcolo codoo s coi eporale) che eqivale sosazialee per dao T a icreeare. rδ e d Dove q è dea psedoprobabilià. Il valore di q è di per sé differee da qello d della probabilià vera p : coicidoo solo soo l ipoesi (peralro da oi faa) che i gli ivesiori siao erali al rischio. 3

4 . Approssiazioi alle Differeze Fiie. L ilizzo delle differeze fiie cosee di approssiare le derivae parziali presei ell eqazioe di diffsioe raie l espasioe i serie di Taylor delle fzioi i prossiià dei pi sigificaivi. La derivaa parziale essere così espressa: τ pò τ τ ) li τ ) τ ). Se ivece di cosiderare il liie si cosidera l icreeo coe piccolo a o llo l gagliaza pò essere riscria coe: τ τ ) τ ) τ ) O( ). 3 Qesa rappresea approssiazioe per τ a differeze fiie i avai dal oeo che la differeziazioe è esegia ella direzioe dell isae eporale sccessivo. L lio addedo idica che l accraezza dell approssiazioe aea al diiire dell apiezza dell icreeo eporale. I odo del o aalogo si oegoo l approssia zioe all idiero τ τ ) τ ) τ ) O( ) e qella ceraa τ ) τ ) O τ ) τ. 3 Il erie O ( ) è a cosegeza dell e spasioe i serie di Taylor di τ ). 3

5 L approssiazioe ceraa garaisce a aggior accraezza i virù del erie O ( ) avia rova raraee ipiego elle differeziazioi rispeo a variabili eporali poiché geera schei irisecaee isabili. 4 Il differeziale secodo rispeo a pò essere approssiao segedo esaaee il edesio schea per ci risla ella versioe ceraa δ τ ) li ( δ τ ) ( δ τ ) δ che viee approssiao alle differeze fiie cerali sieriche co ( δ τ ) τ ) ( δ τ ) τ O ( ) ( δ) δ. La scela per l approssiazioe cerale sierica per la variabil e spaziale è sosazialee ivoca gisificaa dal fao di preservare la sieria di riflessioe della derivaa parziale secoda di essere ivariae rispeo a riflessioi del ipo e di garaire aggior grado di accraezza rispeo ad approssiazioi aleraive. 4 U esepio di applicazioe correa è il eodo Crak-icholso i ci viee ilizzaa l approssiazioe ceraa τ τ ) τ ) ( ) ) O. 33

6 cerale forward backward τ τ τ τ Figra.: Approssiazioi alle differeze fiie backward cerali e forward per la variabile eporale el po( τ ). Dopo aver defiio le approssiazioi per le derivae parziali presei si procede co la proiezioe di a esh sl piao ( τ ) dividedo l asse i odi disai ra loro δ e l asse τ i odi disai ra loro. I pi della griglia così creaa vegoo idicai co ( δ ). E iporae oar e che secodo qesa oazioe idica il valore della solzioe esaa della P.D.E. el po ( δ ) della esh a i realà qello che i eodi alle differeze fiie coseoo di calcolare è solaee a solzioe approssiaa: le de solzioi sarao effeivaee coicidei solo al edere a zero di e δ. 34

7 δ τ Figra.: Esepio di esh per approssiazioe alle differeze fiie. E ora possibile passare all applicazioe delle differeze fiie all eqazioe di Black e Scholes odificaa. A secoda che si ilizzi l approssiazioe i avai o all idiero per la variabile eporale si oiee a solzioe esplicia oppre iplicia del problea ere a cobiazioe delle de approssiazioi è alla base del eodo risolivo Crak-icholso. Il eodo esplicio è dei re il più seplice da ipleeare a presea fori problei di isabilià (dovi agli errori di arroodaeo ella solzioe erica raie calcolaore) per ovviare ai qali è ecessario porre severe liiazioi slle diesioi degli iervalli eporali. Gli alri de eodi preseao alce difficolà di ipleeazioe copazioale (che coe si vedrà possoo coqe essere aggirae pioso agilee) a o pogoo alca liiazioe slla scela di. Il eodo Crak-icholso presea poi l leriore vaaggio di essere accrao al secodo ordie (e o al prio coe i de precedei). 35

8 .. Differeze Fiie Forward. I qeso eodo la derivaa rispeo alla variabile spaziale è approssiaa co le differeze cerali sieriche ere qella rispeo alla variabile eporale co le differeze i avai: O ( ) ( δ) O ( δ) che poedo coe: e rascrado i erii d errore pò essere riscria ( δ) ( ). (.) Cooscedo per ogi valore di al epo è possibile calcolare espliciaee : qes lio dipede qidi solo da paraero pò essere ierpreao coe la probabilià di overe verso siisra o desra ell isae ep orale sccessivo e qidi ( ) rappresea la probabilià di o cabiare posizioe. Scegliedo iervalli δ a spaziara cosae e cosiderado < < è ipossibile risolvere il problea i ero fiio di passi per ci è ecessario liiare l aezioe ad iervallo fiio a sfficieeee apio qale δ δ dove e spaziara eporale viee fissaa i risola per cooro): < < e M σ. Il soo ieri posiivi gradi. La T M. L eqazioe (.) viee ora < < co le segei codizioi (iiziale e al 36

9 ( δ) ( δ ) < M ( δ ) < M. Il sisea pò essere risolo olo sepliceee per ricorsioe avia il coefficiee geera isabilià se asse valori speriori a : è ecessario qidi aeere < ossia <. Ovviaee qeso vicolo ( δ ) poe serie liiazioi alla discrezioalià di scela si passi eporale e spaziale... Differeze Fiie Backward. Qeso eodo peree di sperare i problei di sabilià del odello precedee coseedo di ilizzare sep spaziali ache olo ridoi seza per qeso dover ridrre eccessivaee gli sep eporali. La possibilià di ilizzare pochi iervalli di epo liiado così il ero di ierazioi rede il eodo più efficiee. La variabile spaziale è raaa coe el eodo forward ere qella eporale è approssiaa co differeze fiie all idiero: O ( ) ( δ) O ( δ) ) che aalogaee al caso precedee pò essere riscrio coe ( ). 37

10 38 I qeso eodo i erii dipedoo i odo iplicio da e o è più possibile risolvere per ierazioe coe el eodo forward. Il problea di rovare (le codizioi al cooro e qella iiziale o variao rispeo al caso forward) pò essere così descrio i fora ariciale: b b b b M riscrio i fora copaa coe M b. La solzioe di qeso sisea rispeo a richiederebbe l iversioe della arice M : per qao elegae qeso ipo di solzioe è vivaee scosigliabile da po di visa praico o solo per la copresibile coplicazioe che l iversioe della arice copora a ache per l aggravio copazioale di eveale ipleeazioe via sofware. 5 Poiché problea aalogo si riscora ache el eodo Crak-icholso si riada al paragrafo sccessivo per la solzioe dell epasse. 5 La arice origiale occpa poco spazio ella eoria del coper i qao è ridiagoale e gli eleei lli o devoo essere iagazziai a qeso evideeee o accade per la arice iversa che o è ridiagoale. Per l esaezza se le de arici soo di ordie el prio caso è ecessario eorizzare 3- valori ere el secodo pari rispeivaee a circa 4 Kb e 8 Mb cioè 334 vole ao.

11 39..3 Meodo Crak-icholso. I base a qao fiora descrio è possibile riscrivere l eqazioe di diffsioe τ ilizzado per la derivaa secoda rispeo a a approssiazioe cerale sierica e per la derivaa rispeo a τ a approssiazioe all idiero O δ O δ (.) oppre a i avai O δ O δ. (.3) La edia di (.) e (.3) è daa da O δ δ O δ. (.4) Si vole diosrare che il grado di accraezza è O. Il lao a desra del sego di gale i (.4) è l espressioe discreizzaa per τ τ. Paredo da a espasioe i serie di Taylor per τ il prio dei de addedi i (.4) pò essere espresso coe

12 3 τ τ ) τ ) τ ) S ( ) 4 e il secodo coe 3 τ τ ) τ ) τ ) R ( ) 4 dove S 4 e R 4 soo i erii d errore. Soado ra loro le de eqazioi si oiee ( τ ) τ ) τ ) O. (.5) Si oi poi che τ τ ) τ ) τ ) O. (.6) Se si ierprea la (.4) coe l approssiazioe discrea di τ ( τ ) τ ) cioè (.5) (.6) si vede coe l ordie di accraezza risla essere O. Torado alla risolzioe dello schea Crak-icholso dalla (.4) si oiee igorado i erii d errore la segee eqazioe fodaeale: 4

13 4 (.7) dove δ. I erii dipedoo i ipliciaee da per ci o è possibile risolvere l eqazioe espliciadola rispeo ad a variabile; avia il lao desro della (.7) porebbe essere valao espliciaee se i valori fossero oi. Il problea si ridce allora a calcolare pria Z e poi Z. (.8) Coe el caso backward scegliedo iervalli δ a spaziara cosae e cosiderado < < è ipossibile risolvere il problea i ero fiio di passi per ci è ecessario liiare l aezioe ad iervallo fiio a sfficieeee apio qale δ δ dove e soo ieri posiivi gradi. Si raa allora di rovare per > e < < a parire dalla (.8). Il problea pò essere riscrio coe sisea lieare: Z Z Z b C (.9)

14 o i fora più copaa coe: C b (.) dove il secodo dei de veori copoei b deriva dall applicazioe delle codizioi al cooro. Essedo la arice iveribile la solzioe è daa da C b. Per risolvere qeso ipo di problea è possibile ilizzare il eodo ieraivo sccessive over-relaaio (SOR) che paredo da a sia della solzioe la igliora coiaee fio a farla covergere alla solzioe esaa. Po di pareza è la cosiderazioe che il sisea (.) pò essere riscrio coe b ( ) : il valore viee ilizzao coe sia per e coe ale è iserio i (.) qes lia presee a sa vola i (.9) i fora veoriale. I qeso odo a parire da a ova sia per k k ( ) k k è possibile oeere dalla (.9). Si oi poi che vale ovviaee dove l apice k idica l ieraa k -esia. Poiché la seqeza di ierae k k ( ) k k coverge a per k l espressioe pò essere pesaa coe il erie di correzioe da applicare a per avviciarlo il più possibile a. Forzado il erie di correzioe la sccessioe covergerebbe più rapidaee a solaee el caso che la seqeza di ierae covergesse oooicaee e o oscillado: qesa ipoesi viee soddisfaa poedo y b k ( ) k k 4

15 all iero di k k ( y ) ω k k dove ω è il paraero forzae (da ci over-relaaio). L algorio SOR coverge alla solzioe esaa di (.) se > e < ω <. 6 Tra i i valori che ω pò assere o solo è qello oiale che peree la covergeza più rapida e dipede dal deaglio della arice cosideraa. o è avia agevole calcolare ω oio qidi si preferisce odificare il valore fio a rovare qello che iiizza il ero di ierazioi dell algorio. 6 Qado < ω < l algorio è deo di der-relaaio e coverge più leaee. 43

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