Verifica e progetto allo stato limite ultimo di pilastri in c.a. a sezione rettangolare: un metodo semplificato

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1 Veriica e progetto allo tato limite ultimo di pilatri i c.a. a ezioe rettagolare: u metodo empliicato Aurelio Gheri, arco uratore Sommario L uo del metodo degli tati limite per la veriica ed il progetto di pilatri è divetato eceario per il progettita trutturale, dopo l emaazioe della uova orma imica (Ordiaza 374). I queto lavoro gli autori arotao i maiera approodita il problema della preoleioe, retta e deviata, per ezioi rettagolari i c.a., motrado come l utilizzo del metodo degli tati limite coeta l adozioe di ormule di progetto e di veriica eicaci ed etremamete emplici. Summary The ew Italia eimic code (Ordiaza 374) impoe the ue o limit tate method i the deig ad check o tructural cro-ectio. I the paper, the author thoroughly examie the problem o rectagular r.c. cro-ectio ubjected to eccetric axial orce, poitig out the advatage o the ultimate limit tate approach, which allow the ue o very imple ad eective ormulatio. Keyword Veriica e progetto i zoa imica, cemeto armato, preoleioe retta e deviata. Seimic check ad deig, reiorced cocrete, eccetric axial orce. Itroduzioe La maggior parte dei progettiti trutturali trova veramete amiliare il metodo delle teioi ammiibili, ed è u po pavetata dalla ovità e dalle appareti complicazioi itrodotte dal metodo degli tati limite. I realtà, la acilità del metodo delle teioi ammiibili o è dovuta olo alla abitudie all uo di tale metodo. Ea dipede iatti, oprattutto, dal atto che, i tati ai di utilizzo, i oo cartati tutti gli apetti complicati ma o eeziali e i è arrivati all idividuazioe di ormule emplici per la veriica o il progetto di ezioi ed armature. Pia piao ciò ta avveedo ache per le veriiche allo tato limite ultimo e i può quidi aermare che, dal puto di vita computazioale, quete veriiche o preetao particolari complicazioi ripetto a quato i era oliti are el paato. L uico cao i cui ell ambito del metodo delle teioi ammiibili o i è giuti a ormule di uo veramete immediato è quello della preoleioe. Il dimeioameto dei pilatri di ediici iti i zoa imica, tipico eempio di ate preoilee, è i geere eettuato ulla bae del olo orzo ormale, cegliedo le dimeioi della ezioe i maiera tale da avere ua teioe media adeguatamete baa. La veriica adrebbe atta determiado il occiolo cetrale d ierzia della ezioe, per apere e ea è tutta comprea o parzializzata, ed i queto ecodo cao calcolado la poizioe dell ae eutro co epreioi o proprio emplici. Più comuemete, per la veriica ed il progetto delle armature i utilizzao domii di iterazioe, ovvero curve che rappreetao le coppie - ammiibili (co rierimeto alla preoleioe retta). Ei vegoo cotruiti puto per puto, a partire da diagrammi di teioi che raggiugoo il valore ammiibile del calcetruzzo o dell acciaio ad u etremo e preetao valori ieriori i tutto il reto della ezioe. Per ciacua ezioe vegoo i geere tracciate più curve, corripodeti a divere quatità di armatura (Fig. 1).

2 4 km 3 1 A 15 cm 1 5 A k Fig. 1. Domiio - per ezioe 3 7 metodo delle teioi ammiibili Ache operado allo tato limite ultimo è poibile determiare domii di iterazioe che rappreetao le coppie - limite (Fig. ), cioè che corripodoo i queto cao a diagrammi di deormazioe che raggiugoo ad u etremo il valore limite per il calcetruzzo o per l acciaio e preetao i tutto il reto della ezioe valori ieriori. La orma di queti domii è però molto più regolare e i preta, almeo per le ezioi rettagolari e circolari, ad eere rappreetata co relazioi aalitiche emplici. 6 km A 15 cm 1 5 A k Fig.. Domiio - per ezioe 3 7 tato limite ultimo Acor più problematica, dal puto di vita applicativo, è appara iora la preoleioe deviata. Ache e, cocettualmete, ea è olo ua geeralizzazioe della preoleioe retta, la complicazioe idotta dall icliazioe dell ae di ollecitazioe e dell ae eutro iduce ache il proeioita o lo tudioo più voleteroo a riuciare all eettuazioe mauale della veriica. E, cotemporaeamete, la diicoltà di rappreetare el piao domii dipedeti da tre variabili (lo orzo ormale e le due compoeti di mometo) ha impedito la diuioe di curve di iterazioe utilizzabili per la preoleioe deviata. Ache per queto cao, però, la maggior regolarità dei domii allo tato limite ultimo coete la ormulazioe di epreioi approimate utilizzabili co etrema acilità e co buoa accuratezza. ei paragrai che eguoo viee iazitutto richiamato, i maiera itetica ma completa, il procedimeto geerale che i utilizza per la cotruzioe dei domii limite. Vegoo poi ricavate le epreioi aalitiche che oricoo i valori di ed corripodeti ad alcui puti igiicativi. Viee iie motrato come ia poibile otituire al domiio reale ua curva cotituita da tratti curviliei e tratti lieari, co u errore miimo, pieamete accettabile ai ii progettuali. La emplicità delle equazioi che decrivoo le curve utilizzate coete di eettuare la veriica mediate

3 epreioi aalitiche di immediato utilizzo e orice ache utili idicazioi per il progetto delle armature. A) Preoleioe retta Procedimeto rigoroo per la cotruzioe del domiio limite La curva di rotiera del domiio limite è l iieme delle coppie - che corripodoo a diagrammi di deormazioi limite, cioè diagrammi di ε che raggiugoo la deormazioe maima del materiale i u puto e o uperao tale valore i eu altro puto. Per il calcetruzzo i adotta uualmete el calcolo u legame cotitutivo rappreetato da u tratto parabolico ed u tratto cotate (Fig. 3 a); per ezioe parzializzata il limite alla deormazioe è dato dal valore ε cu, pari a ; el cao di ezioe tutta comprea il limite è ivece cotituito dal raggiugimeto della deormazioe ε c1 (pari a 1-3 ) i u puto ituato a 3/7 dell altezza, miurati dal bordo maggiormete compreo. Per l acciaio il legame cotitutivo preeta u tratto lieare ed u tratto cotate (Fig. 3 b); quet ultimo veiva tradizioalmete iterrotto i corripodeza della deormazioe ε u pari a 1 1-3, ma l Eurocodice coete di o porre limiti alla deormazioe dell acciaio (ache perché il riultato cioè il domiio limite rimae otazialmete ivariato). σ c α a) calcetruzzo σ b) acciaio ε c1 1-3 ε cu ε y ε u Fig. 3. Legame cotitutivo di calcolo per calcetruzzo e acciaio ε Uo degli iiiti diagrammi limite è motrato ella igura 4 a. Utilizzado i legami cotitutivi dei materiali, dai valori della deormazioe i può rialire i maiera uivoca ai valori delle teioi i calcetruzzo e acciaio, σ c e σ, otteedo i diagrammi motrati ella igura 4 b. ote le teioi, i pooo ricavare i valori di ed dalla loro deiizioe tea σc dac + σ da c + cl acc (1) σ c y dac + σ y da c + cl acc elle epreioi i è evideziato i maiera ditita il cotributo del calcetruzzo e dell armatura. Si oti che, ootate la o liearità dei legami cotitutivi, il cotributo dell armatura varia co legge lieare co A e tutta l armatura viee icremetata proporzioalmete.

4 a) deormazioi ε b) teioi σ cl acc A ε cu α x ε σ h d c b ε A ε ε σ Fig. 4. Diagramma limite di deormazioi e corripodeti diagrammi di teioe Determiazioe dei puti più igiicativi del domiio limite Per rappreetare il domiio limite è eeziale idividuare i valori ed corripodeti ad alcui puti particolarmete rilevati. Coeretemete co le applicazioi uuali ei pilatri di orma rettagolare, i aume che l armatura ia immetrica, cioè che A A ; i coidera poitivo uo orzo ormale di compreioe, egativo uo di trazioe. È immediato determiare lo orzo ormale corripodete a trazioe pura (dato dal olo cotributo delle armature) A () e quello corripodete a compreioe pura (dato dal cotributo del calcetruzzo e delle armature) b h α + A (3) U altra coppia odametale è quella orita dal valore maimo del mometo lettete che può eere opportato dalla ezioe e dal corripodete valore dello orzo ormale. Si può ipotizzare a patto di veriicare alla ie e l ipotei è corretta che il maimo mometo lettete ia raggiuto per u diagramma di ε aalogo a quello motrato ella igura 4, i cui etrambe le armature oo ervate (quella uperiore a compreioe, quella ieriore a trazioe). La riultate delle teioi el calcetruzzo vale c β b x α, co β 17/1.81, ed è poizioata ad ua ditaza κ x dal bordo uperiore, co κ 99/ La riultate delle teioi elle armature ieriori e uperiori vale A. Le corripodeti caratteritiche della ollecitazioe oo quidi c + β b x α h h h h h (4) c κ x + c + c β b x α κ x + A c Sia lo orzo ormale che il mometo lettete dipedoo dalla ditaza x dell ae eutro dal bordo compreo. Il mometo lettete raggiuge il maimo quado la ua derivata ripetto ad x i aulla. Si ha quidi d h β b α κ x dx e quidi h 119 x h. 6 h (5) 4 κ 198 Sotituedo il valore di x elle epreioi di ed i ottiee

5 β 4 κ b h α β b h α + A ( h c) 16 κ ovvero 89 b h α. 48 b h α (6 ) b h α + A ( h c).1 b h α + A ( h c) 376 Si può, iie, acilmete cotrollare che per tale poizioe dell ae eutro le armature oo etrambe ervate a codizioe che ia ε c h (7) ε cu ovvero per c.873 h e i ua u acciaio FeB44k e per c.17 h e i ua u acciaio FeB38k. L ipotei atta è quidi uualmete veriicata per u pilatro rettagolare orietato i modo da avere ierzia maima, metre può o eerlo quado eo è ollecitato el piao di ierzia miima. L errore che i commette i quet ultimo cao è comuque molto modeto. Rappreetazioe approimata del domiio limite aipolado le epreioi (4), e più preciamete ricavado dalla prima equazioe la x i uzioe di e otituedo ella ecoda, i ota che dipede da mediate ua relazioe quadratica h κ + A ( h c) b (8) β α e quidi che il domiio - è, almeo per u tratto, parabolico. Si oti che i aeza di armatura ciò vale iché la ezioe è parzializzata, cioè per oltre l 8% della curva. La preeza di armatura comporta la tralazioe della curva di ua quatità liearmete proporzioale ad A, ma e retrige la validità ai cai i cui l armatura è tutta ervata, cioè all icirca tra u valore di proimo allo zero ed il puto di maimo (tratti più marcati, i Fig. 5). (6) puto di maimo A ( h c) A tratti parabolici b h α A A b h α Fig. 5. Valori bae per la cotruzioe del domiio limite - Partedo da queta coiderazioe aalitica, oltre che da u eame viivo del domiio, i può riteere che la curva che delimita il domiio limite - poa coiderari cotituita da tre tratti: u tratto lieare, per valori dello orzo ormale egativi (cioè di trazioe);

6 u tratto parabolico, per valori dello orzo ormale di compreioe, comprei tra e lo orzo ormale corripodete al puto di maimo; u tratto co epoete dipedete dalla quatità di armatura (parabolico per olo calcetruzzo, ma via via più proimo al lieare al crecere dell armatura) per valori dello orzo ormale di compreioe uperiori a quello corripodete al puto di maimo. L equazioe dei tre tratti può eere eprea i uzioe di valori già deiiti el paragrao precedete, che i idicherao co i egueti imboli: A b h α b h A ( h c) La relazioe tra mometo limite e orzo ormale limite può eere eprea mediate le relazioi egueti per miore di (teoleioe) + 1 (1 a) per compreo tra e 1 + (1 b) per maggiore di + ( ) 1 co 1 + (1 c) +,, c + La igura 6 riporta ella parte uperiore, co liea più marcata, le curve corripodeti a tali equazioi, motrado l ottima ripodeza co le curve otteute i maiera rigoroa. U alterativa, meo precia ma acora pieamete accettabile, coite el coiderare u uica curva co epoete dipedete dalla quatità di armatura (parabolica per olo calcetruzzo, ma via via più proima al lieare al crecere dell armatura), utilizzado per tutti i valori di l epreioe m + ( ) 1 co m 1 + (11) + + La igura 6 riporta ella parte ieriore, co liea più marcata, la curva corripodete a tale equazioe. Si può otare che ea è leggermete a vataggio di icurezza el cao di ezioe comprea co orzo ormale ieriore ad, ituazioe ella quale ricadoo requetemete i pilatri progettati per opportare l azioe imica. α (9)

7 6 km A 15 cm A 1 approimata eq. (1) rigoroa k approimata eq. (11) Fig. 6. Domiio - per ezioe 3 7 allo tato limite ultimo, eatto e approimato Veriica e progetto a preoleioe retta Veriica La veriica a preoleioe retta può eere acilmete eettuata utilizzado le epreioi riportate el paragrao precedete. Ea richiede prelimiarmete la determiazioe dei valori bae di rierimeto,, e, mediate le epreioi (9). Si può quidi ricavare dalle epreioi (1) o (11) il maimo mometo che può eere opportato dalla ezioe, i uzioe dello orzo ormale agete, e corotarlo co quello ollecitate. I maiera del tutto equivalete, la veriica può eere codotta utilizzado le egueti diequazioi (elle quali il mometo ollecitate è coiderato empre col ego poitivo, data la immetria del domiio ripetto all ae delle acie) per miore di (teoleioe) 1 (1 a) per compreo tra e + per uperiore a o, i alterativa, per qualiai valore di m 1 co co (1 b) 1 + (1 c) + m 1 + (13) + Progetto della ezioe Le epreioi (1) pooo eere traormate i ormule per il progetto della ezioe, riotteedo la ota relazioe, valida per la leioe emplice, che coete di deiire la ezioe i uzioe del mometo lettete agete

8 d r (14) b Il coeiciete r è i queto cao dipedete dallo orzo ormale adimeioalizzato ν / e della percetuale geometrica di armatura che i vuole diporre ρ A / b h, oltre che dalle caratteritiche dei materiali. I valori di r riportati i Tabella 1, otteuti co le epreioi decritte i Appedice, oo validi e le dimeioi della ezioe oo epree i metri ed il mometo lettete i km (dovrebbero eere moltiplicati per 1 e i uae il itema tecico eprimedo le dimeioi i cm ed il mometo lettete i kg cm). Tabella 1. Valori di r per calcetruzzo di clae R ck 5 Pa, acciaio FeB44k, c/h.1 ν ρ ρ. ρ.4 ρ.6 ρ.8 ρ Progetto dell armatura L epreioe (1 b), che rappreeta l adameto del ecodo tratto (ua parabola, tralata parallelamete i uzioe della quatità di armatura) coete di otteere ache delle emplici ormule per il progetto dell armatura. Bata iatti calcolare il mometo che deve eere aidato alle armature, red 1 (15) e ricavare l armatura ecearia per portare tale mometo A, red (16) z ella quale z è il braccio della coppia itera cotituita dalle armature, pari ad h c (ma, voledo, i può utilizzare acora, co buoa approimazioe, l epreioe z.9 d, coueta ella leioe emplice). Queta ormula di progetto è valida, a rigore, olo per compreo tra e, ma può orire u utile rierimeto ache al di là di tale itervallo, otado che ea è cautelativa per la teoleioe, a vataggio di icurezza per orte compreioe. B) Preoleioe deviata Cotruzioe del domiio limite Il procedimeto per la cotruzioe del domiio limite y - z - ricalca cocettualmete quello già decritto per la preoleioe retta, ma i preeta otevolmete più complicato a caua della poibile icliazioe dell ae eutro. Dal puto di vita geometrico, ioltre, occorre teere preete che le armature oo dipote lugo tutti i quattro lati della ezioe rettagolare (ella preoleioe retta i coiderao, di olito, olo le armature u due lati). A rigore, biogerebbe teer coto della poizioe di ciacua barra, ma è ugualmete accettabile (e più emplice) ipotizzare che l ar-

9 matura ia dipota uiormemete lugo ciacu lato, purché i matega l idipedeza tra la quatità di armatura dipota ei lati paralleli a z, A z, e i quelli paralleli a y, A y (Fig. 7). ε cu α h d c A y A z z y b α A z x A y ε ε a) deormazioi ε cl b) teioi σ Fig. 7. Diagramma limite di deormazioi e diagrammi di teioe per preoleioe deviata U geerico diagramma limite di deormazioe (Fig. 7 a) è idividuato dall icliazioe α dell ae eutro e, e la ezioe è parzializzata, dalla ua ditaza x dallo pigolo compreo (o, e la ezioe è tutta comprea, dalla deormazioe ello pigolo compreo). Utilizzado i legami cotitutivi dei materiali i pooo ricavare i valori delle teioi (Fig. 7 b) e quidi le caratteritiche della ollecitazioe σc dac + σ da c + cl acc y σ c z dac σ z da σ cl ac y ac z z σ c y dac + σ y da + σ cl ac y ac z z da y da Facedo variare co cotiuità i due parametri i ottegoo le iiite triplette che decrivoo il domiio (Fig. 8 a). Si può otare che la rotiera del domiio ha u adameto marcatamete coveo, a diereza di quello approimativamete lieare o addirittura cocavo che i ricotra ei domii alle teioi ammiibili (Fig. 8 b). y, c z, c + + y, y z, y + + y, z z, z acc (17) a) y y b) z z Fig. 8. Domiio y - z - per preoleioe deviata: a) tato limite ultimo; b) teioi ammiibili

10 Adameto rigoroo e rappreetazioe approimata delle ezioi del domiio I claici domii limite per preoleioe retta o oo altro che ezioi del domiio tridimeioale ei piai y - o z - (a meo dell approimazioe dovuta al coiderare l armatura olo u due lati). Per ua migliore compreioe del reale adameto del domiio occorre predere i eame le ezioi traverali del domiio, parallele al piao y - z (Fig. 9 a). a) ν c, ν.75 ν 1 y b) p q. ν.5 ν 1. ν.5 ν.5 z ν Fig. 9. Relazioe tra z e y per diveri valori di (ezioe 3 7, A z 15 cm, A y 6 cm ) La curva che rappreeta la ezioe del domiio per u aegato valore di può eere be approimata, i uzioe dei mometi reiteti z, e y, calcolati (i corripodeza di ) per preoleioe retta, mediate la relazioe p q z y + 1 (18) z, y, co ua opportua celta degli epoeti p e q. I riultati otteuti dagli autori per u ampia gamma di ezioi ed armature motrao che il valore miimo dell epoete ( ) deve eere utilizzato i corripodeza dello orzo ormale che rede maimo il mometo lettete (, ovvero ν.5). L epoete crece al dimiuire di, arrivado a valori uperiori a per orzi ormali egativi, ed ache, ma i miura miore, all aumetare di (Fig. 9 b). Si uggerice pertato di utilizzare, i via cautelativa, l epoete 1.5 per qualiai valore dello orzo ormale. Cotributo dell armatura ecodaria ella preoleioe retta L epreioe (18) può divetare u agevole trumeto per la veriica a preoleioe deviata e ad ea i accoppiao le relazioi che oricoo per preoleioe retta il mometo reitete i uzioe dello orzo ormale. el valutare queto occorre però, per ua maggiore preciioe, teer preete ache il cotributo dell armatura ecodaria, dipota ortogoalmete all ae eutro. Queta armatura cotribuice pieamete alla reiteza a orzo aiale, ma dà u cotributo miore alla reiteza a leioe ia per il mior braccio che per il atto di eere, almeo i parte, i campo elatico. L adameto del domiio reitete (Fig. 1) è approimativamete parabolico i aeza di armatura pricipale e raggiuge il maimo empre i corripodeza ad uo orzo ormale. Si può quidi acora riteere che la curva che delimita il domiio limite - ia cotituita da tre tratti: u tratto lieare, per valori dello orzo ormale ieriori a y, (trazioe che può eere portata dalle armature ecodarie); u tratto parabolico, per valori dello orzo ormale di compreioe, comprei tra y, e ; u tratto co epoete dipedete dalla quatità di armatura (parabolico i aeza di armatura pricipale, ma via via più proimo al lieare al crecere di tale armatura) per valori dello orzo ormale di compreioe uperiori a quello corripodete al puto di maimo.

11 6 km A z 15 cm, A y 6 cm A z 15 cm, A y A z, A y 6 cm A approimata eq. () rigoroa k approimata eq. (1) Fig. 1. Domiio - per preoleioe retta, co armature u tutti i lati (ezioe 3 7) L equazioe dei tre tratti può eere eprea i uzioe dei valori, che i idicao co i egueti imboli: z, y, A A b h α z y b h z, z α A ( h c) y, y k A ( h c) aumedo k.4 La relazioe tra mometo limite e orzo ormale limite può eere eprea mediate le relazioi egueti, che oo ua geeralizzazioe delle (1) per < per y, z + y, +, 1 ( a) z, y, ( b) > ( + y, ) 1 + z, + y, per c, ( c, + z, + y, ) y, co 1 + ( c) + z, + y, I alterativa, i può utilizzare per tutti i valori di l epreioe, otteuta come geeralizzazioe della (11) m + + ( z, y, ) 1 + z, + y, co z, + y, m 1 + (1) + z, + y, y, (19)

12 Veriica e progetto a preoleioe deviata Veriica La veriica a preoleioe deviata può eere acilmete eettuata determiado prelimiarmete mediate le epreioi () oppure (1) i mometi reiteti z, e y, corripodeti allo orzo ormale agete (le tee epreioi valgoo per etrambi i mometi, purché i cambi b co h e y co z) e veriicado quidi la diequazioe z, z, y, y, Progetto della ezioe e dell armatura ella maggior parte dei cai reali le ezioi rettagolari o oo oggette cotemporaeamete a orti mometi ripetto ad etrambi gli ai. Ad eempio, la uova orma imica italiaa richiede di coiderare l eetto del ima agete i ua direzioe più il 3% del ima ella direzioe ortogoale. Si può acilmete cotrollare dalla () che per y,.3 y, il maimo mometo z che può eere opportato dalla ezioe è pari a.89 z,. La preeza della compoete traverale riduce la capacità portate della ezioe di circa u 1%, ma tale riduzioe è compeata, peo ampiamete, dal cotributo delle armature ecodarie che i geere viee tracurato. Si coiglia quidi di progettare la ezioe e l armatura a preoleioe retta, uado ripettivamete le epreioi (14) e (16), cioè eza teer coto é del cotributo peggiorativo del mometo traverale é dell icremeto di reiteza orito dall armatura ecodaria. La correttezza di tale dimeioameto adrà iie veriicata mediate la (). Cocluioi La luga trattazioe della preoleioe retta e deviata, qui riportata, porta a cocluioi etremamete emplici dal puto di vita operativo. Si è motrato, iatti, che il progetto di ua ezioe oggetta a preoleioe retta può eere eettuato i maiera aaloga a quato i a uualmete per la leioe emplice. La veriica può eere codotta, co ottima approimazioe, co ormule di immediata applicazioe. E, per quato riguarda la preoleioe deviata, i è motrato che il progetto può eere eettuato co rierimeto alla preoleioe retta, metre la veriica i ricoduce al cotrollo di ua emplice diequazioe. Bibliograia 1. Eurocodice. Progettazioe delle trutture di calcetruzzo. Parte 1-1: Regole geerali e regole per gli ediici, EV A. Gheri, Tecica delle cotruzioi. Il cemeto armato, CUE, apoli, G. Sakiaaki Biaxial bedig with axial orce o reiorced, compoite ad repaired cocrete ectio o arbitrary hape by iber model ad computer graphic Advace i Egieerig Sotware, 33, 7-4,. 4. Ordiaza 374. Primi elemeti i materia di criteri geerali per la claiicazioe imica del territorio azioale e di ormative teciche per le cotruzioi i zoa imica, A. Gheri,. uratore, Calibrazioe di ua ormulazioe empliicata per la veriica a preoleioe deviata allo S.L.U. di ezioi rettagolari i c.a., Covego CTE, 4 (i preparazioe). 6. A. Gheri, Cemeto armato. Teioi ammiibili e tati limite: u approccio uitario, Flaccovio, 4 (i preparazioe). ()

13 Appedice Eettuado le egueti poizioi A c ρ γ b h h ν ν ρ 89 / 594 α le (1) divetao per ν miore di (teoleioe) 89 ν µ 1 α ν per ν compreo tra e per ν maggiore di.5 b h [ 1 + µ ( ν 1) ] α b h µ 89 ν 1 (1 + µ ) 1 α b h co + ν d ed eedo h i ha ( 1 γ) per ν < per ν. 5 per ν >. 5 r r µ α (1 γ) 1 ν ν α [ 1 + µ ( ν 1) ] (1 γ) (1 γ) ρ 89 / 376 α ν r 1 co 89 ν 1 α (1 + µ ) (1 γ) + ν ν