Verifica e progetto allo stato limite ultimo di pilastri in c.a. a sezione rettangolare: un metodo semplificato

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Verifica e progetto allo stato limite ultimo di pilastri in c.a. a sezione rettangolare: un metodo semplificato"

Transcript

1 Veriica e progetto allo tato limite ultimo di pilatri i c.a. a ezioe rettagolare: u metodo empliicato Aurelio Gheri, arco uratore Sommario L uo del metodo degli tati limite per la veriica ed il progetto di pilatri è divetato eceario per il progettita trutturale, dopo l emaazioe della uova orma imica (Ordiaza 374). I queto lavoro gli autori arotao i maiera approodita il problema della preoleioe, retta e deviata, per ezioi rettagolari i c.a., motrado come l utilizzo del metodo degli tati limite coeta l adozioe di ormule di progetto e di veriica eicaci ed etremamete emplici. Summary The ew Italia eimic code (Ordiaza 374) impoe the ue o limit tate method i the deig ad check o tructural cro-ectio. I the paper, the author thoroughly examie the problem o rectagular r.c. cro-ectio ubjected to eccetric axial orce, poitig out the advatage o the ultimate limit tate approach, which allow the ue o very imple ad eective ormulatio. Keyword Veriica e progetto i zoa imica, cemeto armato, preoleioe retta e deviata. Seimic check ad deig, reiorced cocrete, eccetric axial orce. Itroduzioe La maggior parte dei progettiti trutturali trova veramete amiliare il metodo delle teioi ammiibili, ed è u po pavetata dalla ovità e dalle appareti complicazioi itrodotte dal metodo degli tati limite. I realtà, la acilità del metodo delle teioi ammiibili o è dovuta olo alla abitudie all uo di tale metodo. Ea dipede iatti, oprattutto, dal atto che, i tati ai di utilizzo, i oo cartati tutti gli apetti complicati ma o eeziali e i è arrivati all idividuazioe di ormule emplici per la veriica o il progetto di ezioi ed armature. Pia piao ciò ta avveedo ache per le veriiche allo tato limite ultimo e i può quidi aermare che, dal puto di vita computazioale, quete veriiche o preetao particolari complicazioi ripetto a quato i era oliti are el paato. L uico cao i cui ell ambito del metodo delle teioi ammiibili o i è giuti a ormule di uo veramete immediato è quello della preoleioe. Il dimeioameto dei pilatri di ediici iti i zoa imica, tipico eempio di ate preoilee, è i geere eettuato ulla bae del olo orzo ormale, cegliedo le dimeioi della ezioe i maiera tale da avere ua teioe media adeguatamete baa. La veriica adrebbe atta determiado il occiolo cetrale d ierzia della ezioe, per apere e ea è tutta comprea o parzializzata, ed i queto ecodo cao calcolado la poizioe dell ae eutro co epreioi o proprio emplici. Più comuemete, per la veriica ed il progetto delle armature i utilizzao domii di iterazioe, ovvero curve che rappreetao le coppie - ammiibili (co rierimeto alla preoleioe retta). Ei vegoo cotruiti puto per puto, a partire da diagrammi di teioi che raggiugoo il valore ammiibile del calcetruzzo o dell acciaio ad u etremo e preetao valori ieriori i tutto il reto della ezioe. Per ciacua ezioe vegoo i geere tracciate più curve, corripodeti a divere quatità di armatura (Fig. 1).

2 4 km 3 1 A 15 cm 1 5 A k Fig. 1. Domiio - per ezioe 3 7 metodo delle teioi ammiibili Ache operado allo tato limite ultimo è poibile determiare domii di iterazioe che rappreetao le coppie - limite (Fig. ), cioè che corripodoo i queto cao a diagrammi di deormazioe che raggiugoo ad u etremo il valore limite per il calcetruzzo o per l acciaio e preetao i tutto il reto della ezioe valori ieriori. La orma di queti domii è però molto più regolare e i preta, almeo per le ezioi rettagolari e circolari, ad eere rappreetata co relazioi aalitiche emplici. 6 km A 15 cm 1 5 A k Fig.. Domiio - per ezioe 3 7 tato limite ultimo Acor più problematica, dal puto di vita applicativo, è appara iora la preoleioe deviata. Ache e, cocettualmete, ea è olo ua geeralizzazioe della preoleioe retta, la complicazioe idotta dall icliazioe dell ae di ollecitazioe e dell ae eutro iduce ache il proeioita o lo tudioo più voleteroo a riuciare all eettuazioe mauale della veriica. E, cotemporaeamete, la diicoltà di rappreetare el piao domii dipedeti da tre variabili (lo orzo ormale e le due compoeti di mometo) ha impedito la diuioe di curve di iterazioe utilizzabili per la preoleioe deviata. Ache per queto cao, però, la maggior regolarità dei domii allo tato limite ultimo coete la ormulazioe di epreioi approimate utilizzabili co etrema acilità e co buoa accuratezza. ei paragrai che eguoo viee iazitutto richiamato, i maiera itetica ma completa, il procedimeto geerale che i utilizza per la cotruzioe dei domii limite. Vegoo poi ricavate le epreioi aalitiche che oricoo i valori di ed corripodeti ad alcui puti igiicativi. Viee iie motrato come ia poibile otituire al domiio reale ua curva cotituita da tratti curviliei e tratti lieari, co u errore miimo, pieamete accettabile ai ii progettuali. La emplicità delle equazioi che decrivoo le curve utilizzate coete di eettuare la veriica mediate

3 epreioi aalitiche di immediato utilizzo e orice ache utili idicazioi per il progetto delle armature. A) Preoleioe retta Procedimeto rigoroo per la cotruzioe del domiio limite La curva di rotiera del domiio limite è l iieme delle coppie - che corripodoo a diagrammi di deormazioi limite, cioè diagrammi di ε che raggiugoo la deormazioe maima del materiale i u puto e o uperao tale valore i eu altro puto. Per il calcetruzzo i adotta uualmete el calcolo u legame cotitutivo rappreetato da u tratto parabolico ed u tratto cotate (Fig. 3 a); per ezioe parzializzata il limite alla deormazioe è dato dal valore ε cu, pari a ; el cao di ezioe tutta comprea il limite è ivece cotituito dal raggiugimeto della deormazioe ε c1 (pari a 1-3 ) i u puto ituato a 3/7 dell altezza, miurati dal bordo maggiormete compreo. Per l acciaio il legame cotitutivo preeta u tratto lieare ed u tratto cotate (Fig. 3 b); quet ultimo veiva tradizioalmete iterrotto i corripodeza della deormazioe ε u pari a 1 1-3, ma l Eurocodice coete di o porre limiti alla deormazioe dell acciaio (ache perché il riultato cioè il domiio limite rimae otazialmete ivariato). σ c α a) calcetruzzo σ b) acciaio ε c1 1-3 ε cu ε y ε u Fig. 3. Legame cotitutivo di calcolo per calcetruzzo e acciaio ε Uo degli iiiti diagrammi limite è motrato ella igura 4 a. Utilizzado i legami cotitutivi dei materiali, dai valori della deormazioe i può rialire i maiera uivoca ai valori delle teioi i calcetruzzo e acciaio, σ c e σ, otteedo i diagrammi motrati ella igura 4 b. ote le teioi, i pooo ricavare i valori di ed dalla loro deiizioe tea σc dac + σ da c + cl acc (1) σ c y dac + σ y da c + cl acc elle epreioi i è evideziato i maiera ditita il cotributo del calcetruzzo e dell armatura. Si oti che, ootate la o liearità dei legami cotitutivi, il cotributo dell armatura varia co legge lieare co A e tutta l armatura viee icremetata proporzioalmete.

4 a) deormazioi ε b) teioi σ cl acc A ε cu α x ε σ h d c b ε A ε ε σ Fig. 4. Diagramma limite di deormazioi e corripodeti diagrammi di teioe Determiazioe dei puti più igiicativi del domiio limite Per rappreetare il domiio limite è eeziale idividuare i valori ed corripodeti ad alcui puti particolarmete rilevati. Coeretemete co le applicazioi uuali ei pilatri di orma rettagolare, i aume che l armatura ia immetrica, cioè che A A ; i coidera poitivo uo orzo ormale di compreioe, egativo uo di trazioe. È immediato determiare lo orzo ormale corripodete a trazioe pura (dato dal olo cotributo delle armature) A () e quello corripodete a compreioe pura (dato dal cotributo del calcetruzzo e delle armature) b h α + A (3) U altra coppia odametale è quella orita dal valore maimo del mometo lettete che può eere opportato dalla ezioe e dal corripodete valore dello orzo ormale. Si può ipotizzare a patto di veriicare alla ie e l ipotei è corretta che il maimo mometo lettete ia raggiuto per u diagramma di ε aalogo a quello motrato ella igura 4, i cui etrambe le armature oo ervate (quella uperiore a compreioe, quella ieriore a trazioe). La riultate delle teioi el calcetruzzo vale c β b x α, co β 17/1.81, ed è poizioata ad ua ditaza κ x dal bordo uperiore, co κ 99/ La riultate delle teioi elle armature ieriori e uperiori vale A. Le corripodeti caratteritiche della ollecitazioe oo quidi c + β b x α h h h h h (4) c κ x + c + c β b x α κ x + A c Sia lo orzo ormale che il mometo lettete dipedoo dalla ditaza x dell ae eutro dal bordo compreo. Il mometo lettete raggiuge il maimo quado la ua derivata ripetto ad x i aulla. Si ha quidi d h β b α κ x dx e quidi h 119 x h. 6 h (5) 4 κ 198 Sotituedo il valore di x elle epreioi di ed i ottiee

5 β 4 κ b h α β b h α + A ( h c) 16 κ ovvero 89 b h α. 48 b h α (6 ) b h α + A ( h c).1 b h α + A ( h c) 376 Si può, iie, acilmete cotrollare che per tale poizioe dell ae eutro le armature oo etrambe ervate a codizioe che ia ε c h (7) ε cu ovvero per c.873 h e i ua u acciaio FeB44k e per c.17 h e i ua u acciaio FeB38k. L ipotei atta è quidi uualmete veriicata per u pilatro rettagolare orietato i modo da avere ierzia maima, metre può o eerlo quado eo è ollecitato el piao di ierzia miima. L errore che i commette i quet ultimo cao è comuque molto modeto. Rappreetazioe approimata del domiio limite aipolado le epreioi (4), e più preciamete ricavado dalla prima equazioe la x i uzioe di e otituedo ella ecoda, i ota che dipede da mediate ua relazioe quadratica h κ + A ( h c) b (8) β α e quidi che il domiio - è, almeo per u tratto, parabolico. Si oti che i aeza di armatura ciò vale iché la ezioe è parzializzata, cioè per oltre l 8% della curva. La preeza di armatura comporta la tralazioe della curva di ua quatità liearmete proporzioale ad A, ma e retrige la validità ai cai i cui l armatura è tutta ervata, cioè all icirca tra u valore di proimo allo zero ed il puto di maimo (tratti più marcati, i Fig. 5). (6) puto di maimo A ( h c) A tratti parabolici b h α A A b h α Fig. 5. Valori bae per la cotruzioe del domiio limite - Partedo da queta coiderazioe aalitica, oltre che da u eame viivo del domiio, i può riteere che la curva che delimita il domiio limite - poa coiderari cotituita da tre tratti: u tratto lieare, per valori dello orzo ormale egativi (cioè di trazioe);

6 u tratto parabolico, per valori dello orzo ormale di compreioe, comprei tra e lo orzo ormale corripodete al puto di maimo; u tratto co epoete dipedete dalla quatità di armatura (parabolico per olo calcetruzzo, ma via via più proimo al lieare al crecere dell armatura) per valori dello orzo ormale di compreioe uperiori a quello corripodete al puto di maimo. L equazioe dei tre tratti può eere eprea i uzioe di valori già deiiti el paragrao precedete, che i idicherao co i egueti imboli: A b h α b h A ( h c) La relazioe tra mometo limite e orzo ormale limite può eere eprea mediate le relazioi egueti per miore di (teoleioe) + 1 (1 a) per compreo tra e 1 + (1 b) per maggiore di + ( ) 1 co 1 + (1 c) +,, c + La igura 6 riporta ella parte uperiore, co liea più marcata, le curve corripodeti a tali equazioi, motrado l ottima ripodeza co le curve otteute i maiera rigoroa. U alterativa, meo precia ma acora pieamete accettabile, coite el coiderare u uica curva co epoete dipedete dalla quatità di armatura (parabolica per olo calcetruzzo, ma via via più proima al lieare al crecere dell armatura), utilizzado per tutti i valori di l epreioe m + ( ) 1 co m 1 + (11) + + La igura 6 riporta ella parte ieriore, co liea più marcata, la curva corripodete a tale equazioe. Si può otare che ea è leggermete a vataggio di icurezza el cao di ezioe comprea co orzo ormale ieriore ad, ituazioe ella quale ricadoo requetemete i pilatri progettati per opportare l azioe imica. α (9)

7 6 km A 15 cm A 1 approimata eq. (1) rigoroa k approimata eq. (11) Fig. 6. Domiio - per ezioe 3 7 allo tato limite ultimo, eatto e approimato Veriica e progetto a preoleioe retta Veriica La veriica a preoleioe retta può eere acilmete eettuata utilizzado le epreioi riportate el paragrao precedete. Ea richiede prelimiarmete la determiazioe dei valori bae di rierimeto,, e, mediate le epreioi (9). Si può quidi ricavare dalle epreioi (1) o (11) il maimo mometo che può eere opportato dalla ezioe, i uzioe dello orzo ormale agete, e corotarlo co quello ollecitate. I maiera del tutto equivalete, la veriica può eere codotta utilizzado le egueti diequazioi (elle quali il mometo ollecitate è coiderato empre col ego poitivo, data la immetria del domiio ripetto all ae delle acie) per miore di (teoleioe) 1 (1 a) per compreo tra e + per uperiore a o, i alterativa, per qualiai valore di m 1 co co (1 b) 1 + (1 c) + m 1 + (13) + Progetto della ezioe Le epreioi (1) pooo eere traormate i ormule per il progetto della ezioe, riotteedo la ota relazioe, valida per la leioe emplice, che coete di deiire la ezioe i uzioe del mometo lettete agete

8 d r (14) b Il coeiciete r è i queto cao dipedete dallo orzo ormale adimeioalizzato ν / e della percetuale geometrica di armatura che i vuole diporre ρ A / b h, oltre che dalle caratteritiche dei materiali. I valori di r riportati i Tabella 1, otteuti co le epreioi decritte i Appedice, oo validi e le dimeioi della ezioe oo epree i metri ed il mometo lettete i km (dovrebbero eere moltiplicati per 1 e i uae il itema tecico eprimedo le dimeioi i cm ed il mometo lettete i kg cm). Tabella 1. Valori di r per calcetruzzo di clae R ck 5 Pa, acciaio FeB44k, c/h.1 ν ρ ρ. ρ.4 ρ.6 ρ.8 ρ Progetto dell armatura L epreioe (1 b), che rappreeta l adameto del ecodo tratto (ua parabola, tralata parallelamete i uzioe della quatità di armatura) coete di otteere ache delle emplici ormule per il progetto dell armatura. Bata iatti calcolare il mometo che deve eere aidato alle armature, red 1 (15) e ricavare l armatura ecearia per portare tale mometo A, red (16) z ella quale z è il braccio della coppia itera cotituita dalle armature, pari ad h c (ma, voledo, i può utilizzare acora, co buoa approimazioe, l epreioe z.9 d, coueta ella leioe emplice). Queta ormula di progetto è valida, a rigore, olo per compreo tra e, ma può orire u utile rierimeto ache al di là di tale itervallo, otado che ea è cautelativa per la teoleioe, a vataggio di icurezza per orte compreioe. B) Preoleioe deviata Cotruzioe del domiio limite Il procedimeto per la cotruzioe del domiio limite y - z - ricalca cocettualmete quello già decritto per la preoleioe retta, ma i preeta otevolmete più complicato a caua della poibile icliazioe dell ae eutro. Dal puto di vita geometrico, ioltre, occorre teere preete che le armature oo dipote lugo tutti i quattro lati della ezioe rettagolare (ella preoleioe retta i coiderao, di olito, olo le armature u due lati). A rigore, biogerebbe teer coto della poizioe di ciacua barra, ma è ugualmete accettabile (e più emplice) ipotizzare che l ar-

9 matura ia dipota uiormemete lugo ciacu lato, purché i matega l idipedeza tra la quatità di armatura dipota ei lati paralleli a z, A z, e i quelli paralleli a y, A y (Fig. 7). ε cu α h d c A y A z z y b α A z x A y ε ε a) deormazioi ε cl b) teioi σ Fig. 7. Diagramma limite di deormazioi e diagrammi di teioe per preoleioe deviata U geerico diagramma limite di deormazioe (Fig. 7 a) è idividuato dall icliazioe α dell ae eutro e, e la ezioe è parzializzata, dalla ua ditaza x dallo pigolo compreo (o, e la ezioe è tutta comprea, dalla deormazioe ello pigolo compreo). Utilizzado i legami cotitutivi dei materiali i pooo ricavare i valori delle teioi (Fig. 7 b) e quidi le caratteritiche della ollecitazioe σc dac + σ da c + cl acc y σ c z dac σ z da σ cl ac y ac z z σ c y dac + σ y da + σ cl ac y ac z z da y da Facedo variare co cotiuità i due parametri i ottegoo le iiite triplette che decrivoo il domiio (Fig. 8 a). Si può otare che la rotiera del domiio ha u adameto marcatamete coveo, a diereza di quello approimativamete lieare o addirittura cocavo che i ricotra ei domii alle teioi ammiibili (Fig. 8 b). y, c z, c + + y, y z, y + + y, z z, z acc (17) a) y y b) z z Fig. 8. Domiio y - z - per preoleioe deviata: a) tato limite ultimo; b) teioi ammiibili

10 Adameto rigoroo e rappreetazioe approimata delle ezioi del domiio I claici domii limite per preoleioe retta o oo altro che ezioi del domiio tridimeioale ei piai y - o z - (a meo dell approimazioe dovuta al coiderare l armatura olo u due lati). Per ua migliore compreioe del reale adameto del domiio occorre predere i eame le ezioi traverali del domiio, parallele al piao y - z (Fig. 9 a). a) ν c, ν.75 ν 1 y b) p q. ν.5 ν 1. ν.5 ν.5 z ν Fig. 9. Relazioe tra z e y per diveri valori di (ezioe 3 7, A z 15 cm, A y 6 cm ) La curva che rappreeta la ezioe del domiio per u aegato valore di può eere be approimata, i uzioe dei mometi reiteti z, e y, calcolati (i corripodeza di ) per preoleioe retta, mediate la relazioe p q z y + 1 (18) z, y, co ua opportua celta degli epoeti p e q. I riultati otteuti dagli autori per u ampia gamma di ezioi ed armature motrao che il valore miimo dell epoete ( ) deve eere utilizzato i corripodeza dello orzo ormale che rede maimo il mometo lettete (, ovvero ν.5). L epoete crece al dimiuire di, arrivado a valori uperiori a per orzi ormali egativi, ed ache, ma i miura miore, all aumetare di (Fig. 9 b). Si uggerice pertato di utilizzare, i via cautelativa, l epoete 1.5 per qualiai valore dello orzo ormale. Cotributo dell armatura ecodaria ella preoleioe retta L epreioe (18) può divetare u agevole trumeto per la veriica a preoleioe deviata e ad ea i accoppiao le relazioi che oricoo per preoleioe retta il mometo reitete i uzioe dello orzo ormale. el valutare queto occorre però, per ua maggiore preciioe, teer preete ache il cotributo dell armatura ecodaria, dipota ortogoalmete all ae eutro. Queta armatura cotribuice pieamete alla reiteza a orzo aiale, ma dà u cotributo miore alla reiteza a leioe ia per il mior braccio che per il atto di eere, almeo i parte, i campo elatico. L adameto del domiio reitete (Fig. 1) è approimativamete parabolico i aeza di armatura pricipale e raggiuge il maimo empre i corripodeza ad uo orzo ormale. Si può quidi acora riteere che la curva che delimita il domiio limite - ia cotituita da tre tratti: u tratto lieare, per valori dello orzo ormale ieriori a y, (trazioe che può eere portata dalle armature ecodarie); u tratto parabolico, per valori dello orzo ormale di compreioe, comprei tra y, e ; u tratto co epoete dipedete dalla quatità di armatura (parabolico i aeza di armatura pricipale, ma via via più proimo al lieare al crecere di tale armatura) per valori dello orzo ormale di compreioe uperiori a quello corripodete al puto di maimo.

11 6 km A z 15 cm, A y 6 cm A z 15 cm, A y A z, A y 6 cm A approimata eq. () rigoroa k approimata eq. (1) Fig. 1. Domiio - per preoleioe retta, co armature u tutti i lati (ezioe 3 7) L equazioe dei tre tratti può eere eprea i uzioe dei valori, che i idicao co i egueti imboli: z, y, A A b h α z y b h z, z α A ( h c) y, y k A ( h c) aumedo k.4 La relazioe tra mometo limite e orzo ormale limite può eere eprea mediate le relazioi egueti, che oo ua geeralizzazioe delle (1) per < per y, z + y, +, 1 ( a) z, y, ( b) > ( + y, ) 1 + z, + y, per c, ( c, + z, + y, ) y, co 1 + ( c) + z, + y, I alterativa, i può utilizzare per tutti i valori di l epreioe, otteuta come geeralizzazioe della (11) m + + ( z, y, ) 1 + z, + y, co z, + y, m 1 + (1) + z, + y, y, (19)

12 Veriica e progetto a preoleioe deviata Veriica La veriica a preoleioe deviata può eere acilmete eettuata determiado prelimiarmete mediate le epreioi () oppure (1) i mometi reiteti z, e y, corripodeti allo orzo ormale agete (le tee epreioi valgoo per etrambi i mometi, purché i cambi b co h e y co z) e veriicado quidi la diequazioe z, z, y, y, Progetto della ezioe e dell armatura ella maggior parte dei cai reali le ezioi rettagolari o oo oggette cotemporaeamete a orti mometi ripetto ad etrambi gli ai. Ad eempio, la uova orma imica italiaa richiede di coiderare l eetto del ima agete i ua direzioe più il 3% del ima ella direzioe ortogoale. Si può acilmete cotrollare dalla () che per y,.3 y, il maimo mometo z che può eere opportato dalla ezioe è pari a.89 z,. La preeza della compoete traverale riduce la capacità portate della ezioe di circa u 1%, ma tale riduzioe è compeata, peo ampiamete, dal cotributo delle armature ecodarie che i geere viee tracurato. Si coiglia quidi di progettare la ezioe e l armatura a preoleioe retta, uado ripettivamete le epreioi (14) e (16), cioè eza teer coto é del cotributo peggiorativo del mometo traverale é dell icremeto di reiteza orito dall armatura ecodaria. La correttezza di tale dimeioameto adrà iie veriicata mediate la (). Cocluioi La luga trattazioe della preoleioe retta e deviata, qui riportata, porta a cocluioi etremamete emplici dal puto di vita operativo. Si è motrato, iatti, che il progetto di ua ezioe oggetta a preoleioe retta può eere eettuato i maiera aaloga a quato i a uualmete per la leioe emplice. La veriica può eere codotta, co ottima approimazioe, co ormule di immediata applicazioe. E, per quato riguarda la preoleioe deviata, i è motrato che il progetto può eere eettuato co rierimeto alla preoleioe retta, metre la veriica i ricoduce al cotrollo di ua emplice diequazioe. Bibliograia 1. Eurocodice. Progettazioe delle trutture di calcetruzzo. Parte 1-1: Regole geerali e regole per gli ediici, EV A. Gheri, Tecica delle cotruzioi. Il cemeto armato, CUE, apoli, G. Sakiaaki Biaxial bedig with axial orce o reiorced, compoite ad repaired cocrete ectio o arbitrary hape by iber model ad computer graphic Advace i Egieerig Sotware, 33, 7-4,. 4. Ordiaza 374. Primi elemeti i materia di criteri geerali per la claiicazioe imica del territorio azioale e di ormative teciche per le cotruzioi i zoa imica, A. Gheri,. uratore, Calibrazioe di ua ormulazioe empliicata per la veriica a preoleioe deviata allo S.L.U. di ezioi rettagolari i c.a., Covego CTE, 4 (i preparazioe). 6. A. Gheri, Cemeto armato. Teioi ammiibili e tati limite: u approccio uitario, Flaccovio, 4 (i preparazioe). ()

13 Appedice Eettuado le egueti poizioi A c ρ γ b h h ν ν ρ 89 / 594 α le (1) divetao per ν miore di (teoleioe) 89 ν µ 1 α ν per ν compreo tra e per ν maggiore di.5 b h [ 1 + µ ( ν 1) ] α b h µ 89 ν 1 (1 + µ ) 1 α b h co + ν d ed eedo h i ha ( 1 γ) per ν < per ν. 5 per ν >. 5 r r µ α (1 γ) 1 ν ν α [ 1 + µ ( ν 1) ] (1 γ) (1 γ) ρ 89 / 376 α ν r 1 co 89 ν 1 α (1 + µ ) (1 γ) + ν ν

DEFINIZIONE PROCESSO LOGICO E OPERATIVO MEDIANTE IL QUALE, SULLA BASE

DEFINIZIONE PROCESSO LOGICO E OPERATIVO MEDIANTE IL QUALE, SULLA BASE DEFINIZIONE PROCESSO LOGICO E OPERATIVO MEDIANTE IL QUALE, SULLA BASE DI UN GRUPPO DI OSSERVAZIONI O DI ESPERIMENTI, SI PERVIENE A CERTE CONCLUSIONI, LA CUI VALIDITA PER UN COLLETTIVO Più AMPIO E ESPRESSA

Dettagli

BOZZA. Lezione n. 20. Stati limite nel cemento armato Stato limite ultimo per tensioni normali

BOZZA. Lezione n. 20. Stati limite nel cemento armato Stato limite ultimo per tensioni normali Lezione n. Stati limite nel cemento armato Stato limite ultimo per tenioni normali Determinazione elle configurazioni i rottura per la ezione Una volta introotti i legami cotitutivi, è poibile eterminare

Dettagli

4. Metodo semiprobabilistico agli stati limite

4. Metodo semiprobabilistico agli stati limite 4. Metodo seiprobabilistico agli stati liite Tale etodo cosiste el verificare che le gradezze che ifluiscoo i seso positivo sulla, valutate i odo da avere ua piccolissia probabilità di o essere superate,

Dettagli

8. Quale pesa di più?

8. Quale pesa di più? 8. Quale pesa di più? Negli ultimi ai hao suscitato particolare iteresse alcui problemi sulla pesatura di moete o di pallie. Il primo problema di questo tipo sembra proposto da Tartaglia el 1556. Da allora

Dettagli

LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE

LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE OBIETTIVO: Defiire lo strumeto matematico ce cosete di studiare la cresceza e la decresceza di ua fuzioe Si comicia col defiire cosa vuol dire ce ua fuzioe è crescete. Defiizioe:

Dettagli

EQUAZIONI ALLE RICORRENZE

EQUAZIONI ALLE RICORRENZE Esercizi di Fodameti di Iformatica 1 EQUAZIONI ALLE RICORRENZE 1.1. Metodo di ufoldig 1.1.1. Richiami di teoria Il metodo detto di ufoldig utilizza lo sviluppo dell equazioe alle ricorreze fio ad u certo

Dettagli

Soluzione La media aritmetica dei due numeri positivi a e b è data da M

Soluzione La media aritmetica dei due numeri positivi a e b è data da M Matematica per la uova maturità scietifica A. Berardo M. Pedoe 6 Questioario Quesito Se a e b soo umeri positivi assegati quale è la loro media aritmetica? Quale la media geometrica? Quale delle due è

Dettagli

DOMINI DI CURVATURA DI SEZIONI IN C.A. IN PRESSOFLESSIONE DEVIATA. PARTE II: VALUTAZIONE SEMPLIFICATA

DOMINI DI CURVATURA DI SEZIONI IN C.A. IN PRESSOFLESSIONE DEVIATA. PARTE II: VALUTAZIONE SEMPLIFICATA Valutazioe e riduzioe della vulerailità sismia di ediii esisteti i.a. Roma, 9-0 maggio 00 DOMINI DI CURVATURA DI SEZIONI IN C.A. IN PRESSOFLESSIONE DEVIATA. PARTE II: VALUTAZIONE SEMPLIFICATA Di Ludovio

Dettagli

Metodi statistici per l'analisi dei dati

Metodi statistici per l'analisi dei dati Metodi statistici per l aalisi dei dati due Motivazioi Obbiettivo: Cofrotare due diverse codizioi (ache defiiti ) per cui soo stati codotti gli esperimeti. Metodi tatistici per l Aalisi dei Dati due Esempio

Dettagli

Sintassi dello studio di funzione

Sintassi dello studio di funzione Sitassi dello studio di fuzioe Lavoriamo a perfezioare quato sapete siora. D ora iazi pretederò che i risultati che otteete li SCRIVIATE i forma corretta dal puto di vista grammaticale. N( x) Data la fuzioe:

Dettagli

3.4 Tecniche per valutare uno stimatore

3.4 Tecniche per valutare uno stimatore 3.4 Teciche per valutare uo stimatore 3.4. Il liguaggio delle decisioi statistiche, stimatori corretti e stimatori cosisteti La teoria delle decisioi forisce u liguaggio appropriato per discutere sulla

Dettagli

1 Metodo della massima verosimiglianza

1 Metodo della massima verosimiglianza Metodo della massima verosimigliaza Estraedo u campioe costituito da variabili casuali X i i.i.d. da ua popolazioe X co fuzioe di probabilità/desità f(x, θ), si costruisce la fuzioe di verosimigliaza che

Dettagli

Capitolo 8 Le funzioni e le successioni

Capitolo 8 Le funzioni e le successioni Capitolo 8 Le fuzioi e le successioi Prof. A. Fasao Fuzioe, domiio e codomiio Defiizioe Si chiama fuzioe o applicazioe dall isieme A all isieme B ua relazioe che fa corrispodere ad ogi elemeto di A u solo

Dettagli

Il confronto tra DUE campioni indipendenti

Il confronto tra DUE campioni indipendenti Il cofroto tra DUE camioi idiedeti Il cofroto tra DUE camioi idiedeti Cofroto tra due medie I questi casi siamo iteressati a cofrotare il valore medio di due camioi i cui i le osservazioi i u camioe soo

Dettagli

Motori maxon DC e maxon EC Le cose più importanti

Motori maxon DC e maxon EC Le cose più importanti Motori maxo DC e maxo EC Il motore come trasformatore di eergia Il motore elettrico trasforma la poteza elettrica P el (tesioe U e correte I) i poteza meccaica P mech (velocità e coppia M). Le perdite

Dettagli

L OFFERTA DI LAVORO 1

L OFFERTA DI LAVORO 1 L OFFERTA DI LAVORO 1 La famiglia come foritrice di risorse OFFERTA DI LAVORO Notazioe utile: T : dotazioe di tempo (ore totali) : ore dedicate al tempo libero l=t- : ore dedicate al lavoro : cosumo di

Dettagli

1. MODELLO DINAMICO AD UN GRADO DI LIBERTÀ. 1 Alcune definizioni preliminari

1. MODELLO DINAMICO AD UN GRADO DI LIBERTÀ. 1 Alcune definizioni preliminari . MODELLO DINAMICO AD UN GRADO DI LIBERTÀ Alcue defiizioi prelimiari I sistemi vibrati possoo essere lieari o o lieari: el primo caso vale il pricipio di sovrapposizioe degli effetti el secodo o. I geerale

Dettagli

Indagini sui coregoni del Lago Maggiore: Analisi sui pesci catturati nel 2010

Indagini sui coregoni del Lago Maggiore: Analisi sui pesci catturati nel 2010 Idagii sui coregoi del Lago Maggiore: Aalisi sui pesci catturati el 1 Rapporto commissioato dal Dipartimeto del territorio, Ufficio della caccia e della pesca, Via Stefao Frascii 17 51 Bellizoa Aprile

Dettagli

Esame di Matematica 2 Mod.A (laurea in Matematica) prova di accertamento del 4 novembre 2005

Esame di Matematica 2 Mod.A (laurea in Matematica) prova di accertamento del 4 novembre 2005 Esame di Matematica 2 ModA (laurea i Matematica prova di accertameto del 4 ovembre 25 ESERCIZIO Si poga a 3 5 + 9 e b 2 4 6 + 6 ( (a Si determii d MCD(a, b e gli iteri m, Z tali che d ma + b co m < b ed

Dettagli

ALU STAFFE IN ALLUMINIO SENZA FORI

ALU STAFFE IN ALLUMINIO SENZA FORI ALU STAFFE IN ALLUMINIO SENZA FORI Giunzione a compara in lega di alluminio per utilizzo in ambienti interni ed eterni (cl. di erv. 2) Preforata con ditanze ottimizzate per giunzioni ia u legno (chiodi

Dettagli

Dimostrazione della Formula per la determinazione del numero di divisori-test di primalità, di Giorgio Lamberti

Dimostrazione della Formula per la determinazione del numero di divisori-test di primalità, di Giorgio Lamberti Gorgo Lambert Pag. Dmostrazoe della Formula per la determazoe del umero d dvsor-test d prmaltà, d Gorgo Lambert Eugeo Amtrao aveva proposto l'dea d ua formula per calcolare l umero d dvsor d u umero, da

Dettagli

IL CALCOLO COMBINATORIO

IL CALCOLO COMBINATORIO IL CALCOLO COMBINATORIO Calcolo combiatorio è il termie che deota tradizioalmete la braca della matematica che studia i modi per raggruppare e/o ordiare secodo date regole gli elemeti di u isieme fiito

Dettagli

CONCETTI BASE DI STATISTICA

CONCETTI BASE DI STATISTICA CONCETTI BASE DI STATISTICA DEFINIZIONI Probabilità U umero reale compreso tra 0 e, associato a u eveto casuale. Esso può essere correlato co la frequeza relativa o col grado di credibilità co cui u eveto

Dettagli

PENSIONI INPDAP COME SI CALCOLANO

PENSIONI INPDAP COME SI CALCOLANO Mii biblioteca de Il Giorale Ipdap per rederci coto e sapere di piu Mii biblioteca de Il Giorale Ipdap per rederci coto e sapere di piu PENSIONI INPDAP COME SI CALCOLANO I tre sistemi I cique pilastri

Dettagli

Test non parametrici. sono uguali a quelle teoriche. (probabilità attesa), si calcola la. , cioè che le frequenze empiriche

Test non parametrici. sono uguali a quelle teoriche. (probabilità attesa), si calcola la. , cioè che le frequenze empiriche est o parametrici Il test di Studet per uo o per due campioi, il test F di Fisher per l'aalisi della variaza, la correlazioe, la regressioe, isieme ad altri test di statistica multivariata soo parte dei

Dettagli

ESERCITAZIONE L adsorbimento su carbone attivo

ESERCITAZIONE L adsorbimento su carbone attivo ESERCITAZIONE adsorbimeto su carboe attivo ezioi di riferimeto: Processi basati sul trasferimeto di materia Adsorbimeto su carboi attivi Testi di riferimeto: Water treatmet priciples ad desi, WH Pricipi

Dettagli

LEZIONI DI MATEMATICA PER I MERCATI FINANZIARI VALUTAZIONE DI TITOLI OBBLIGAZIONARI E STRUTTURA PER SCADENZA DEI TASSI DI INTERESSE

LEZIONI DI MATEMATICA PER I MERCATI FINANZIARI VALUTAZIONE DI TITOLI OBBLIGAZIONARI E STRUTTURA PER SCADENZA DEI TASSI DI INTERESSE LEZIONI DI MATEMATICA PER I MERCATI FINANZIARI Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa VALUTAZIONE DI TITOLI OBBLIGAZIONARI E STRUTTURA PER SCADENZA DEI TASSI DI INTERESSE Lezioi di Matematia per

Dettagli

CHAPTER 1 CINEMATICA. 1.1. Moto Rettilineo

CHAPTER 1 CINEMATICA. 1.1. Moto Rettilineo ESERCIZI DI FISICA CHAPTER 1 CINEMATICA 1.1. Moto Rettilineo Velocità media: vettoriale e calare. Exercie 1. Carl Lewi ha coro i 100m piani in circa 10, e Bill Rodger ha vinto la maratona (circa 4km)

Dettagli

SERIE NUMERICHE. (Cosimo De Mitri) 1. Definizione, esempi e primi risultati... pag. 1. 2. Criteri per serie a termini positivi... pag.

SERIE NUMERICHE. (Cosimo De Mitri) 1. Definizione, esempi e primi risultati... pag. 1. 2. Criteri per serie a termini positivi... pag. SERIE NUMERICHE (Cosimo De Mitri. Defiizioe, esempi e primi risultati... pag.. Criteri per serie a termii positivi... pag. 4 3. Covergeza assoluta e criteri per serie a termii di sego qualsiasi... pag.

Dettagli

aleatoria; se è nota la sua densità di probabilità ad essa si può associare una valore medio statistico. La grandezza così definita: (III.1.

aleatoria; se è nota la sua densità di probabilità ad essa si può associare una valore medio statistico. La grandezza così definita: (III.1. Caitolo III VALORI MEDI. SAZIONARIEÀ ED ERGODICIÀ III. - Mdi tatitich dl rimo ordi. Sia f( ) ua fuzio cotiua i aoci al gal alatorio (, t ζ ) la uatità dfiita dalla y f[(, t ζ )]. Ea idividua, a ua volta,

Dettagli

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) CAPITOLO VII DERIVATE. (3) D ( x ) = 1 derivata di un monomio con a 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) CAPITOLO VII DERIVATE. (3) D ( x ) = 1 derivata di un monomio con a 0 CAPITOLO VII DERIVATE. GENERALITÀ Defiizioe.) La derivata è u operatore che ad ua fuzioe f associa u altra fuzioe e che obbedisce alle segueti regole: () D a a a 0 0 0 derivata di u moomio D 6 D 0 D ()

Dettagli

Errori di misura. è ragionevole assumere che una buona stima del valore vero sia la media

Errori di misura. è ragionevole assumere che una buona stima del valore vero sia la media Errori di miura Se lo trumento di miura è abbatanza enibile, la miura rietuta della tea grandezza fiica darà riultati diveri fra loro e fluttuanti in modo caratteritico. E l effetto di errori cauali, o

Dettagli

Sistemi LTI descrivibile mediante SDE (Equazioni alle Differenze Standard)

Sistemi LTI descrivibile mediante SDE (Equazioni alle Differenze Standard) Sistemi LTI descrivibile mediate SDE (Equazioi alle Differeze Stadard) Nella classe dei sistemi LTI ua sottoclasse è quella dei sistemi defiiti da Equazioi Stadard alle Differeze Fiite (SDE), dette così

Dettagli

Capitolo Decimo SERIE DI FUNZIONI

Capitolo Decimo SERIE DI FUNZIONI Capitolo Decimo SERIE DI FUNZIONI SUCCESSIONI DI FUNZIONI I cocetti di successioe e di serie possoo essere estesi i modo molto aturale al caso delle fuzioi DEFINIZIONE Sia E u sottoisieme di  e, per ogi

Dettagli

I numeri complessi. Pagine tratte da Elementi della teoria delle funzioni olomorfe di una variabile complessa

I numeri complessi. Pagine tratte da Elementi della teoria delle funzioni olomorfe di una variabile complessa I umeri complessi Pagie tratte da Elemeti della teoria delle fuzioi olomorfe di ua variabile complessa di G. Vergara Caffarelli, P. Loreti, L. Giacomelli Dipartimeto di Metodi e Modelli Matematici per

Dettagli

Messa a punto avanzata più semplice utilizzando Funzione Load Observer

Messa a punto avanzata più semplice utilizzando Funzione Load Observer Mea a punto avanzata più emplice utilizzando Funzione Load Oberver EMEA Speed & Poition CE Team AUL 34 Copyright 0 Rockwell Automation, Inc. All right reerved. Co è l inerzia? Tutti comprendiamo il concetto

Dettagli

La sicurezza sul lavoro: obblighi e responsabilità

La sicurezza sul lavoro: obblighi e responsabilità La sicurezza sul lavoro: obblighi e resposabilità Il Testo uico sulla sicurezza, Dlgs 81/08 è il pilastro della ormativa sulla sicurezza sul lavoro. I sostaza il Dlgs disciplia tutte le attività di tutti

Dettagli

Comportamento delle strutture in C.A. in Zona Sismica

Comportamento delle strutture in C.A. in Zona Sismica Comportameto delle strutture i c.a. i zoa sismica Pagia i/161 Comportameto delle strutture i C.A. i Zoa Sismica Prof. Paolo Riva Dipartimeto di Progettazioe e ecologie Facoltà di Igegeria Uiversità di

Dettagli

Esercizi Le leggi dei gas. Lo stato gassoso

Esercizi Le leggi dei gas. Lo stato gassoso Esercizi Le lei dei as Lo stato assoso Ua certa quatità di as cloro, alla pressioe di,5 atm, occupa il volume di 0,58 litri. Calcola il volume occupato dal as se la pressioe viee portata a,0 atm e se la

Dettagli

Dall atomo di Bohr alla costante di struttura fine

Dall atomo di Bohr alla costante di struttura fine Dall atomo di Bohr alla ostate di struttura fie. INFORMAZIONI SPETTROSCOPICHE SUGLI ATOMI E be oto he ogi sostaza opportuamete eitata emette radiazioi elettromagetihe. Co uo spettrosopio, o strumeti aaloghi,

Dettagli

ESERCIZI DI ANALISI I. Prof. Nicola Fusco 1. Determinare l insieme in cui sono definite le seguenti funzioni:

ESERCIZI DI ANALISI I. Prof. Nicola Fusco 1. Determinare l insieme in cui sono definite le seguenti funzioni: N. Fusco ESERCIZI DI ANALISI I Prof. Nicola Fusco Determiare l isieme i cui soo defiite le segueti fuzioi: ) log/ arctg π ) 4 ) log π 6 arcse ) ) tg log π + ) 4) 4 se se se tg 5) se cos tg 6) [ 6 + 8 π

Dettagli

MATEMATICA FINANZIARIA

MATEMATICA FINANZIARIA Capializzazioe semplice e composa MATEMATICA FINANZIARIA Immagiiamo di impiegare 4500 per ai i ua operazioe fiaziaria che frua u asso del, % auo. Quao avremo realizzao alla fie dell operazioe? I u coeso

Dettagli

Stim e puntuali. Vocabolario. Cambiando campione casuale, cambia l istogramma e cambiano gli indici

Stim e puntuali. Vocabolario. Cambiando campione casuale, cambia l istogramma e cambiano gli indici Stm e putual Probabltà e Statstca I - a.a. 04/05 - Stmator Vocabolaro Popolazoe: u seme d oggett sul quale s desdera avere Iformazo. Parametro: ua caratterstca umerca della popolazoe. E u Numero fssato,

Dettagli

Appunti di Statistica Matematica Inferenza Statistica Multivariata Anno Accademico 2014/15

Appunti di Statistica Matematica Inferenza Statistica Multivariata Anno Accademico 2014/15 Apputi di Statistica Matematica Ifereza Statistica Multivariata Ao Accademico 014/15 November 19, 014 1 Campioi e modelli statistici Siao Ω, A, P uo spazio di probabilità e X = X 1,..., X u vettore aleatorio

Dettagli

Valutazione delle prestazioni termiche di sistemi con solai termoattivi in regime non stazionario

Valutazione delle prestazioni termiche di sistemi con solai termoattivi in regime non stazionario Valutazioe delle prestazioi termiche di sistemi co solai termoattivi i regime o stazioario MICHELE DE CARLI, Ph.D., Ricercatore, Dipartimeto di Fisica Tecica, Uiversità degli Studi di Padova, Padova, Italia.

Dettagli

8) Sia Dato un mazzo di 40 carte. Supponiamo che esso sia mescolato in modo

8) Sia Dato un mazzo di 40 carte. Supponiamo che esso sia mescolato in modo ESERCIZI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÁ ) Qual e la probabilita che laciado dadi a facce o esca essu? Studiare il comportameto asitotico di tale probabilita per grade. ) I u sacchetto vi soo 0 pallie biache;

Dettagli

Impianti VAV di ultima generazione

Impianti VAV di ultima generazione PANORAMICA Impianti VAV di ultima generazione Prodotti all'avanguardia per la ventilazione regolabile u richieta! www.wegon.com La ventilazione regolabile u richieta garantice grande comfort e coti di

Dettagli

Carichi unitari. Dimensionamento delle sezioni e verifica di massima. Dimensionamento travi a spessore. Altri carichi unitari. Esempio.

Carichi unitari. Dimensionamento delle sezioni e verifica di massima. Dimensionamento travi a spessore. Altri carichi unitari. Esempio. Carichi unitari delle sezioni e verifica di massima Una volta definito lo spessore, si possono calcolare i carichi unitari (k/m ) Solaio del piano tipo Solaio di copertura Solaio torrino scala Sbalzo piano

Dettagli

Lezione 4. Risposte canoniche dei sistemi del primo e del secondo ordine

Lezione 4. Risposte canoniche dei sistemi del primo e del secondo ordine Lezione 4 Ripoe canoniche dei iemi del primo e del econdo ordine Parameri caraeriici della ripoa allo calino Per ripoe canoniche i inendono le ripoe dei iemi dinamici ai egnali coiddei canonici (impulo,

Dettagli

INTRODUZIONE ALLE SUCCESSIONI E SERIE: ALCUNI ESEMPI NOTEVOLI

INTRODUZIONE ALLE SUCCESSIONI E SERIE: ALCUNI ESEMPI NOTEVOLI INTRODUZIONE ALLE SUCCESSIONI E SERIE: ALCUNI ESEMPI NOTEVOLI Mirta Debbia LS A. F. Formiggii di Sassuolo (MO) - debbia.m@libero.it Maria Cecilia Zoboli - LS A. F. Formiggii di Sassuolo (MO) - cherubii8@libero.it

Dettagli

Verifica d Ipotesi. Se invece che chiederci quale è il valore di una media in una popolazione (stima. o falsa? o falsa?

Verifica d Ipotesi. Se invece che chiederci quale è il valore di una media in una popolazione (stima. o falsa? o falsa? Verifica d Iotesi Se ivece che chiederci quale è il valore ua mea i ua oolazioe (stima utuale Se ivece e itervallo che chiederci cofideza) quale è il avessimo valore u idea ua mea su quello i ua che oolazioe

Dettagli

Il costo della vita al Nord e al Sud d Italia, dal dopoguerra a oggi. Stime di prima generazione

Il costo della vita al Nord e al Sud d Italia, dal dopoguerra a oggi. Stime di prima generazione INVITED POLICY PAPER Il coto della vita al Nord e al Sud d Italia, dal dooguerra a oggi. Stime di rima geerazioe Nicola Amedola - Giovai Vecchi - Bilal Al Kiwai* Uiverità di Roma Tor Vergata A ditaza di

Dettagli

MECCANISMI RESISTENTI IN ELEMENTI NON ARMATI A TAGLIO

MECCANISMI RESISTENTI IN ELEMENTI NON ARMATI A TAGLIO MECCANISMI RESISTENTI IN ELEMENTI NON ARMATI A TAGLIO MECCANISMO RESISTENTE A PETTINE Un elemento di calcestruzzo tra due fessure consecutive si può schematizzare come una mensola incastrata nel corrente

Dettagli

Sommario lezioni di Probabilità versione abbreviata

Sommario lezioni di Probabilità versione abbreviata Sommario lezioi di Probabilità versioe abbreviata C. Frachetti April 28, 2006 1 Lo spazio di probabilità. 1.1 Prime defiizioi I possibili risultati di u esperimeto costituiscoo lo spazio dei campioi o

Dettagli

PROBABILITA, VALORE ATTESO E VARIANZA DELLE QUANTITÁ ALEATORIE E LORO RELAZIONE CON I DATI OSSERVATI

PROBABILITA, VALORE ATTESO E VARIANZA DELLE QUANTITÁ ALEATORIE E LORO RELAZIONE CON I DATI OSSERVATI statistica, Università Cattaneo-Liuc, AA 006-007, lezione del 08.05.07 IDICE (lezione 08.05.07 PROBABILITA, VALORE ATTESO E VARIAZA DELLE QUATITÁ ALEATORIE E LORO RELAZIOE CO I DATI OSSERVATI 3.1 Valore

Dettagli

Problema 1: Una collisione tra meteoriti

Problema 1: Una collisione tra meteoriti Problema : Una colliione ra meeorii Problemi di imulazione della econda prova di maemaica Eami di ao liceo cienifico 5 febbraio 05 Lo udene deve volgere un olo problema a ua cela Tempo maimo aegnao alla

Dettagli

Liste di specie e misure di diversità

Liste di specie e misure di diversità Lte d pece e mure d dvertà Carattertche delle lte d pece I dat ono par, coè hanno molt valor null (a volte la maggoranza!) La gran parte delle pece preent è rara. I fattor ambental che nfluenzano la dtrbuzone

Dettagli

ASSOCIAZIONE ITALIANA PSICOGERIATRIA. anni di AIP. Relazione del Presidente in occasione del 10 Congresso Nazionale

ASSOCIAZIONE ITALIANA PSICOGERIATRIA. anni di AIP. Relazione del Presidente in occasione del 10 Congresso Nazionale ASSOCIAZIONE ITALIANA PSICOGERIATRIA anni di AIP Relazione del Preidente in occaione del 10 Congreo Nazionale Gardone Riviera (BS), 15 aprile 2010 Preidenti Onorari Mario Barucci Lodovico Frattola Pat

Dettagli

Supponiamo, ad esempio, di voler risolvere il seguente problema: in quanti modi quattro persone possono sedersi l una accanto all altra?

Supponiamo, ad esempio, di voler risolvere il seguente problema: in quanti modi quattro persone possono sedersi l una accanto all altra? CALCOLO COMBINATORIO 1.1 Necessità del calcolo combiatorio Accade spesso di dover risolvere problemi dall'appareza molto semplice, ma che richiedoo calcoli lughi e oiosi per riuscire a trovare delle coclusioi

Dettagli

l = 0, 1, 2, 3,,, n-1n m = 0, ±1,

l = 0, 1, 2, 3,,, n-1n m = 0, ±1, NUMERI QUANTICI Le autofuzioi soo caratterizzate da tre parametri chiamati NUMERI QUANTICI e soo completamete defiite dai loro valori: : umero quatico pricipale l : umero quatico secodario m : umero quatico

Dettagli

ATTIVATORE STABILIZZATO PER BOBINE DI SGANCIO A LANCIO DI CORRENTE.

ATTIVATORE STABILIZZATO PER BOBINE DI SGANCIO A LANCIO DI CORRENTE. Compatibilità totale con ogni apparato. Si usa con pulsanti normalmente chiusi. ella linea dei pulsanti c'è il 24Vcc. Insensibile alle interruzioni di rete. Insensibile agli sbalzi di tensione. Realizzazione

Dettagli

GIRO DELLA MORTE PER UN CORPO CHE ROTOLA

GIRO DELLA MORTE PER UN CORPO CHE ROTOLA 0. IL OETO D IERZIA GIRO DELLA ORTE ER U CORO CHE ROTOLA ell approfondimento «Giro della morte per un corpo che scivola» si esamina il comportamento di un punto materiale che supera il giro della morte

Dettagli

a) Si descriva, internamente al triangolo, con centro in B e raggio x, l arco di circonferenza di π π

a) Si descriva, internamente al triangolo, con centro in B e raggio x, l arco di circonferenza di π π PROBLEMA Il triangolo rettangolo ABC ha l ipotenusa AB = a e l angolo CAB =. a) Si descriva, internamente al triangolo, con centro in B e raggio, l arco di circonferenza di estremi P e Q rispettivamente

Dettagli

ARGOMENTO: MISURA DELLA RESISTENZA ELETTRICA CON IL METODO VOLT-AMPEROMETRICO.

ARGOMENTO: MISURA DELLA RESISTENZA ELETTRICA CON IL METODO VOLT-AMPEROMETRICO. elazoe d laboratoro d Fsca corso M-Z Laboratoro d Fsca del Dpartmeto d Fsca e Astrooma dell Uverstà degl Stud d Cataa. Scala Stefaa. AGOMENTO: MSUA DELLA ESSTENZA ELETTCA CON L METODO OLT-AMPEOMETCO. NTODUZONE:

Dettagli

Sussidi didattici per il corso di PROGETTAZIONE, COSTRUZIONI E IMPIANTI. Prof. Ing. Francesco Zanghì FONDAZIONI - II

Sussidi didattici per il corso di PROGETTAZIONE, COSTRUZIONI E IMPIANTI. Prof. Ing. Francesco Zanghì FONDAZIONI - II Sussidi didattici per il corso di PROGETTAZIONE, COSTRUZIONI E IMPIANTI Prof. Ing. Francesco Zanghì FONDAZIONI - II AGGIORNAMENTO 12/12/2014 Fondazioni dirette e indirette Le strutture di fondazione trasmettono

Dettagli

Laboratorio di Algoritmi e Strutture Dati

Laboratorio di Algoritmi e Strutture Dati Laboraorio di Algorimi e Sruure Dai Aniello Murano hp://people.na.infn.i people.na.infn.i/ ~murano/ 1 Algorimi per il calcolo di percori minimi u un grafo 1 Un emplice problema Pr oblema: Supponiamo che

Dettagli

1. L'INSIEME DEI NUMERI REALI

1. L'INSIEME DEI NUMERI REALI . L'INSIEME DEI NUMERI REALI. I pricipli isiemi di umeri Ripredimo i pricipli isiemi umerici N, l'isieme dei umeri turli 0; ; ; ; ;... L'ide ituitiv di umero turle è ssocit l prolem di cotre e ordire gli

Dettagli

Raffinamenti dell equilibrio di Nash

Raffinamenti dell equilibrio di Nash Raffinamenti dell equilibrio di Nah equilibri perfetti nei ottogiohi (SPE) ed altro Appunti a ura di Fioravante PATRONE verione del: maggio ndie Equilibri perfetti nei ottogiohi (SPE) SPE problematii 4

Dettagli

USUFRUTTO. 5) Quali sono le spese a carico dell usufruttuario

USUFRUTTO. 5) Quali sono le spese a carico dell usufruttuario USUFRUTTO 1) Che cos è l sfrtto e come si pò costitire? L sfrtto è il diritto di godimeto ( ovvero di possesso) di bee altri a titolo gratito ; viee chiamato sfrttario chi esercita tale diritto, metre

Dettagli

FONDAMENTI DI MECCANICA APPLICATA ALLE MACCHINE

FONDAMENTI DI MECCANICA APPLICATA ALLE MACCHINE DISPENSE DI: FONDAMENTI DI MECCANICA APPLICATA ALLE MACCHINE Testo di riferieto E. Fuaioli ed altri Meccaica applicata alle acchie vol. e - Ed. Patro BOZZA Idice. INTRODUZIONE ALLA MECCANICA APPLICATA

Dettagli

ALCUNI ELEMENTI DI TEORIA DELLA STIMA

ALCUNI ELEMENTI DI TEORIA DELLA STIMA ALCUNI ELEMENTI DI TEORIA DELLA STIMA Quado s vuole valutare u parametro θ ad esempo: meda, varaza, proporzoe, oeffete d regressoe leare, oeffete d orrelazoe leare, e) d ua popolazoe medate u ampoe asuale,

Dettagli

La necessità di trasmettere potenza tra organi in moto rotatorio è un problema frequentissimo e di grande importanza nell ingegneria.

La necessità di trasmettere potenza tra organi in moto rotatorio è un problema frequentissimo e di grande importanza nell ingegneria. La ecessità di tasmettee poteza ta ogai i moto otatoio è u poblema fequetissimo e di gade impotaza ell igegeia. Gli assi di otazioe ta i quali deve essee tasmesso il moto possoo essee paalleli I questo

Dettagli

Introduzione (1) Introduzione (2) Prodotti e servizi sono realizzati per mezzo di processi produttivi.

Introduzione (1) Introduzione (2) Prodotti e servizi sono realizzati per mezzo di processi produttivi. Iroduzioe () Ua defiizioe (geerale) del ermie qualià: qualià è l isieme delle caraerisiche di u eià (bee o servizio) che e deermiao la capacià di soddisfare le esigeze espresse ed implicie di chi la uilizza.

Dettagli

ONDE ESERCIZI SVOLTI DAL PROF. TRIVIA GIANLUIGI

ONDE ESERCIZI SVOLTI DAL PROF. TRIVIA GIANLUIGI ONDE ESERCIZI SVOLTI DAL PROF. TRIVIA GIANLUIGI 1. Tipi di Onde Exercie 1. Un onda viaggia lungo una corda tea. La ditanza verticale dalla creta al ventre è di 13 c e la ditanza orizzontale dalla creta

Dettagli

Esercizi svolti sui numeri complessi

Esercizi svolti sui numeri complessi Francesco Daddi - ottobre 009 Esercizio 1 Risolvere l equazione z 1 + i = 1. Soluzione. Moltiplichiamo entrambi i membri per 1 + i in definitiva la soluzione è z 1 + i 1 + i = 1 1 + i z = 1 1 i. : z =

Dettagli

Metodi d integrazione di Montecarlo

Metodi d integrazione di Montecarlo Metodi d itegrzioe di Motecrlo Simulzioe l termie simulzioe ell su ccezioe scietific h u sigificto diverso dll ccezioe correte. Nell uso ordirio è sioimo si fizioe; ell uso scietifico è sioimo di imitzioe,

Dettagli

AcidSoft. Le nostre soluzioni. Innovazione

AcidSoft. Le nostre soluzioni. Innovazione AiSoft AiSoft ase alla passioe per l'iformatio teology e si oretizza i ua realtà impreitoriale, ua perfetta reazioe imia tra ooseza teia e reatività per realizzare progetti i grae iovazioe. Le ostre soluzioi

Dettagli

Capitolo 9: PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI

Capitolo 9: PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI Capitolo 9: PROPAGAZIOE DEGLI ERRORI 9.1 Propagazione degli errori massimi ella maggior parte dei casi le grandezze fisiche vengono misurate per via indiretta. Il valore della grandezza viene cioè dedotto

Dettagli

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE 1. EQUAZIONI Definizione: un equazione è un uguaglianza tra due espressioni letterali (cioè in cui compaiono numeri, lettere

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 004 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA 1 Sia f la funzione definita da: f

Dettagli

10 CALCOLO AGLI STATI LIMITE DELLE STRUTTURE IN C.A.

10 CALCOLO AGLI STATI LIMITE DELLE STRUTTURE IN C.A. 10 CALCOLO AGLI STATI LIMITE DELLE STRUTTURE IN C.A. Il capitolo fa riferimento alla versione definitiva dell'eurocodice 2, parte 1.1, UNI EN 1992-1-1, recepito e reso applicabile in Italia dal DM del

Dettagli

LE FUNZIONI MATEMATICHE

LE FUNZIONI MATEMATICHE ALGEBRA LE FUNZIONI MATEMATICHE E IL PIANO CARTESIANO PREREQUISITI l l l l l conoscere il concetto di insieme conoscere il concetto di relazione disporre i dati in una tabella rappresentare i dati mediante

Dettagli

Analisi in regime sinusoidale (parte V)

Analisi in regime sinusoidale (parte V) Appunti di Elettrotecnica Analisi in regime sinusoidale (parte ) Teorema sul massimo trasferimento di potenza attiva... alore della massima potenza attiva assorbita: rendimento del circuito3 Esempio...3

Dettagli

unoperatore@nellospaziodihilberth e sia z un numero complesso tale che z1-a,da==)rr_néh - 0 impli-chi l:= -1 (21-A) : R- n ==) Dn L- \

unoperatore@nellospaziodihilberth e sia z un numero complesso tale che z1-a,da==)rr_néh - 0 impli-chi l:= -1 (21-A) : R- n ==) Dn L- \ 3,6 56 3,6 TEOR I A SPETTRALE La teoria spettrale degli operatori lieari- eo spazio di Hilbert é f odata, coe per gi spazi f i-ito-dimes ioal j-, sula defiizioe di- risolvete di u operatole' Sia (A,DA)

Dettagli

Circuiti Elettrici. Elementi di circuito: resistori, generatori di differenza di potenziale

Circuiti Elettrici. Elementi di circuito: resistori, generatori di differenza di potenziale Circuiti Elettrici Corrente elettrica Legge di Ohm Elementi di circuito: resistori, generatori di differenza di potenziale Leggi di Kirchhoff Elementi di circuito: voltmetri, amperometri, condensatori

Dettagli

FONDAMENTI TEORICI DEL MOTORE IN CORRENTE CONTINUA AD ECCITAZIONE INDIPENDENTE. a cura di G. SIMONELLI

FONDAMENTI TEORICI DEL MOTORE IN CORRENTE CONTINUA AD ECCITAZIONE INDIPENDENTE. a cura di G. SIMONELLI FONDAMENTI TEORICI DEL MOTORE IN CORRENTE CONTINUA AD ECCITAZIONE INDIPENDENTE a cura di G. SIMONELLI Nel motore a corrente continua si distinguono un sistema di eccitazione o sistema induttore che è fisicamente

Dettagli

Numeri reali. Funzioni e loro grafici

Numeri reali. Funzioni e loro grafici Argomento Numeri reali. Funzioni e loro grafici Parte B - Funzioni e loro grafici Funzioni reali di variabile reale Definizioni. Supponiamo che A sia un sottoinsieme di R e che esista una legge che ad

Dettagli

dove Q è la carica che attraversa la sezione S del conduttore nel tempo t;

dove Q è la carica che attraversa la sezione S del conduttore nel tempo t; CAPITOLO CIRCUITI IN CORRENTE CONTINUA Definizioni Dato un conduttore filiforme ed una sua sezione normale S si definisce: Corrente elettrica i Q = (1) t dove Q è la carica che attraversa la sezione S

Dettagli

FUNZIONI LINEARI. FUNZIONE VALORE ASSOLUTO. Si chiama funzione lineare (o funzione affine) una funzione del tipo = +

FUNZIONI LINEARI. FUNZIONE VALORE ASSOLUTO. Si chiama funzione lineare (o funzione affine) una funzione del tipo = + FUNZIONI LINEARI. FUNZIONE VALORE ASSOLUTO Si chiama funzione lineare (o funzione affine) una funzione del tipo = + dove m e q sono numeri reali fissati. Il grafico di tale funzione è una retta, di cui

Dettagli

Indici di Posizione. Gli indici si posizione sono misure sintetiche ( valori caratteristici ) che descrivono la tendenza centrale di un fenomeno

Indici di Posizione. Gli indici si posizione sono misure sintetiche ( valori caratteristici ) che descrivono la tendenza centrale di un fenomeno Idc d Poszoe Gl dc s poszoe soo msure stetche ( valor caratterstc ) che descrvoo la tedeza cetrale d u feomeo La tedeza cetrale è, prma approssmazoe, la modaltà della varable verso la quale cas tedoo a

Dettagli

GEOMETRIA MOLECOLARE

GEOMETRIA MOLECOLARE GEOMETRIA MOLECOLARE Le molecole hanno geometrie spaziali ben definite caratterizzate da distanze di legame ed angoli di legame. Questi possono essere determinati sperimentalmente (es. raggi X). Si vede

Dettagli

Trasformazioni Geometriche 1 Roberto Petroni, 2011

Trasformazioni Geometriche 1 Roberto Petroni, 2011 1 Trasformazioni Geometriche 1 Roberto etroni, 2011 Trasformazioni Geometriche sul piano euclideo 1) Introduzione Def: si dice trasformazione geometrica una corrispondenza biunivoca che associa ad ogni

Dettagli

Nel cemento armato si valorizzano le qualità dei due materiali: calcestruzzo e acciaio, che presentano le seguenti caratteristiche

Nel cemento armato si valorizzano le qualità dei due materiali: calcestruzzo e acciaio, che presentano le seguenti caratteristiche CEMENTO ARMATO METODO AGLI STATI LIMITE Il calcestruzzo cementizio, o cemento armato come normalmente viene definito in modo improprio, è un materiale artificiale eterogeneo costituito da conglomerato

Dettagli

Interpolazione. Davide Manca Calcoli di Processo dell Ingegneria Chimica Politecnico di Milano

Interpolazione. Davide Manca Calcoli di Processo dell Ingegneria Chimica Politecnico di Milano L4 Iterpolazioe L4 Prologo Co iterpolazioe si itede il processo di idividuare ua fuzioe, spesso u poliomio, che passi per u isieme dato di puti: (x,y). y x L4 2 Fii dell iterpolazioe 1. Sostituire u isieme

Dettagli

LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE NEL PIANO

LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE NEL PIANO LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE NEL PIANO Una trasformazione geometrica è una funzione che fa corrispondere a ogni punto del piano un altro punto del piano stesso Si può pensare come MOVIMENTO di punti e

Dettagli

IL PIANETA TERRA. IL RETICOLATO TERRESTRE POLI: sono i punti di intersezione tra l asse terrestre e la superficie terrestre. s i pia i paralleli

IL PIANETA TERRA. IL RETICOLATO TERRESTRE POLI: sono i punti di intersezione tra l asse terrestre e la superficie terrestre. s i pia i paralleli IL PIANETA TERRA IL RETICOLATO TERRESTRE POLI: sono i punti di intersezione tra l asse terrestre e la superficie terrestre. s i pia i paralleli all a r e a su. EQUATORE: piano perpendic lare all i rotazione,

Dettagli

DERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia

DERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia DERIVATE DELLE FUNZIONI esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia Incremento della variabile indipendente e della funzione. Se, sono due valori della variabile indipendente, y f ) e y f ) le corrispondenti

Dettagli

Capitolo 8 - Introduzione alla probabilità

Capitolo 8 - Introduzione alla probabilità Appunti di Teoria dei Segnali Capitolo 8 - Introduzione alla probabilità Concetti preliminari di probabilità... Introduzione alla probabilità... Deinizione di spazio degli eventi... Deinizione di evento...

Dettagli

Ing. Alessandro Pochì

Ing. Alessandro Pochì Lo studio di unzione Ing. Alessandro Pochì Appunti di analisi Matematica per la Classe VD (a.s. 011/01) Schema generale per lo studio di una unzione Premessa Per Studio unzione si intende, generalmente,

Dettagli

I radicali 1. Claudio CANCELLI (www.claudiocancelli.it)

I radicali 1. Claudio CANCELLI (www.claudiocancelli.it) I rdicli Cludio CANCELLI (www.cludioccelli.it) Ed..0 www.cludioccelli.it Dec. 0 I rdicli INDICE DEI CONTENUTI. I RADICALI... INDICE DI RADICE PARI...4 INDICE DI RADICE DISPARI...5 RADICALI SIMILI...6 PROPRIETA

Dettagli