Corso di PROGRAMMAZIONE I. Guida di Laboratorio Anno Accademico

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1 Corso d PROGRAMMAZIOE I Guda d Laboratoro Anno Accademco

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3 Parte A Rcham d anals degl error ) Meda, devazone standard e devazone standard della meda. Supponamo d avere msurato spermentalmente una qualche grandezza molte volte, dopo aver ndvduato e rdotto a zero l pù possble le font d errore sstematco (ovvero le ncertezze spermental che non possono essere rvelate rpetendo la msura; quelle che possono essere rvelate n questo modo sono nvece chamate ncertezze spermental casual ). Rpetendo la msura volte, s può dmostrare che la mglor stma d è la meda delle msure: best. La devazone standard è la stma dell ncertezza meda delle sngole msure..., ed è defnta come: ( ). La devazone standard della meda caratterzza, nvece, l ncertezza meda d, e s calcola nel seguente modo:. ) Meda pesata. Supponamo d dsporre d rsultat d n esperment d una grandezza, denomnate (,,n), ognuna caratterzzata da un errore (,,n). La mglor stma per la grandezza è data dalla meda pesata: wav n w, n w dove w /. L ncertezza che afflgge la msura è data da: wav. n w _ 3

4 3) Dstrbuzone d Gauss. Se le msure sono affette da pccole sorgent d error casual e trascurabl error sstematc, allora valor msurat saranno dstrbut su una curva a campana detta funzone d Gauss (centrata n X, con larghezza ): ( X ) / f X, e. π 4) Lvello d confdenza. Per verfcare che valor rcavat best e sano valor ragonevol rspetto al valore conoscuto della grandezza vero s può calcolarne l lvello d confdenza. Defnamo nnanztutto l numero d devazon standard per cu best dffersce da vero : t best vero /. La probabltà, date le potes fatte, d ottenere un rsultato che dffersca da vero per t o pù devazon standard è: P(al d fuor d t ) P(entro t ). Dove (vedere Tabella A.): P(entro t ) t z / t π t e dz erf. A questo punto P(al d fuor d t ) prende l nome d lvello d confdenza CL (area delle code della dstrbuzone gaussana). 5) Confronto: test del χ. Una stma dell accordo tra un nseme n d punt spermental e una funzone f ( ) s può ottenere msurando χ, defnto come: n ( k f ( k )) χ. ( ) k k Se s confronta una dstrbuzone d event con una dstrbuzone d probabltà non normalzzata, ad esempo una gaussana, la formula del χ dventa: n ( Ok Ek ) χ, E k k dove è stato dvso l ntervallo de possbl valor d n n ntervall, per cu O k rappresenta l numero d osservazon che cadono nell ntervallo k esmo e E k l numero atteso delle msure dell ntervallo k esmo. χ è un ndcatore ragonevole dell accordo tra la dstrbuzone osservata e quella attesa. Se χ 0 l accordo è perfetto, cosa molto mprobable. In generale c s aspetta che ogn termne della somma sa dell ordne d. Il ch quadrato rdotto s defnsce, nvece, nel modo seguente: ~ χ χ / DF, essendo DF l numero d grad d lbertà: 4

5 DF PAR V dove è l numero d ntervall sgnfcatv e PAR è l numero d parametr, V l numero d vncol. el grafco è rportata la dstrbuzone d probabltà del ~ χ χ / DF per var grad d lbertà e nella tabella B sono travate la Probabltà d trovare un ~χ maggore d quello da vo calcoltato P( ~χ ~χ 0 ) (area della coda). 6) Propagazone degl error. Supponamo ora d aver msurato una o pù grandezze,, e calcolato gl error corrspondent,,, e d dover calcolare la funzone z f(,, ). La mglor stma del valore della funzone sarà: z best z f (,,...). Per stmare l ncertezza d questo rsultato s applca la propagazone degl error delle msure,, qund: f f z In partcolare, nel caso n cu f f. z k a b e se gl error su ed sono ndpendent e casual, l calcolo della devazone standard relatva s rduce a: z z a + b. 7) Metodo de mnm quadrat: relazone lneare. Supponamo d avere una sere d msure (, ugualmente ncert ( 3... ), qund assumamo che le msure degl )... con gl tutt esatt e gl tutt sano governate da dstrbuzon normal con larghezza. Se le varabl e sono legate da una relazone lneare della forma (con A e B come ncognte): A + B, 5

6 s può trovare la retta che meglo approssma la sere d msure, mnmzzando la funzone: ( A B ) χ. Dfferenzando rspetto ad A e B ed uguaglando a zero s ottene: A B dove:, Le ncertezze su parametr calcolat sono le seguent:, A e B. La ncertezza o è conoscuta spermentalmente oppure s può stmare: ( A B ), con DF PAR l numero d grad d lbertà (n DF questo caso ). PAR La covaranza ( A, B) e la relatva correlazone ρ ( A B), sono faclmente calco labl come: ( ) A, B, ρ ( A, B).. ( A, B) ( A) ( B) Supponamo ora, nvece, che per ogn l corrspondente valor vero d sa dato dalla polnomale della varable (con A e C come ncognte): A + C. Assumendo ancora che le msure degl sano governate da dstrbuzon normal con larghezza, le mglor stme per A e C s rcavano con le formule precedent, sosttuendo t. La relazone lneare dventa: A + C. t 8) Metodo de mnm quadrat: ( 3... ) Supponamo ora, che per ogn l corrspondente valor vero d z sa dato dalla funzone della varable, z b. e a. Per poter calcolare parametr a e b, s può sempre utlzzare l 6

7 metodo de mnm quadrat per la funzone B + A. dove lg(z), Aa, Blg(b). Le ncertezze sulla varable non sono pù ugual e devono essere calcolate con la propagazone degl error, note le ncertezze su z. S può trovare la retta che meglo approssma la sere d msure, mnmzzando la funzone: B A ) ( χ. Dfferenzando rspetto ad A e B ed uguaglando a zero s ottene: A B dove: A B covaranza: ), ( B A 7

8 Tabella A Probabltà percentuale per la dstrbuzone gaussana P ( X t X + t ) X + t X t G( ) d π X + t X t e ( X ) d X t X X+t t

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10 Tabella B Probabltà percentuale per l ch quadrato Una volta calcolato l ch quadrato rdotto ~ χ n g χ s rcerca nella tabella l valore (nella rga corrspondente al numero de grad d lbertà). Il valore rportato fornsce la probabltà percentuale (lvello d confdenza) che dat msurat sano descrtt dalla funzone prescelta. P d Γ ( d ) χ0 d e d ~ χ n g

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12 Parte B Tracca per lo svolgmento dell eserctazone. Scopo dell eserctazone Scopo dell eserctazone è calcolare l valore dell accelerazone d gravtà tramte l anals statstca de dat smulat d due esperenze d laboratoro d fsca generale: la msura del perodo d oscllazone del pendolo semplce e le msure d spazo e tempo con stroboscopo lungo un pano nclnato.. Come s rcava g nelle due esperenze. Il pendolo semplce S consder una pallna d massa m e d dmenson trascurabl collegata ad un centro d sospensone medante un flo nestensble d massa trascurable e lunghezza l. La pallna è soggetta alla forza peso mg e alla tensone del flo, tutt gl attrt sono da consderars trascurabl. Un dspostvo d questo tpo s chama pendolo semplce d lunghezza l. Spostando la pallna dalla poszone d equlbro, questa compe delle oscllazon attorno ad essa. el caso d pccole oscllazon l moto del pendolo è armonco semplce, d perodo: T l π. g Da cu segue che l accelerazone d gravtà è: g l T 4π.. Il pano nclnato Un corpo d massa m lascato lbero lungo un pano, nclnato d un angolo ϑ rspetto all orzzontale, s muove con accelerazone costante a g sn(ϑ ) dove g è l accelerazone d gravtà. Lo spazo percorso n un certo ntervallo d tempo t, se la poszone nzale è s 0, sarà qund: s s0 + g sn( ϑ) t..3 Confronto rsultat ottenut Avendo fatto due esperment per la msura dell accelerazone d gravta g, s verfca la loro compatblta.

13 3. Anals della msura d g ottenuta tramte pendolo Supponamo d analzzare dat dell esperenza d laboratoro che s prefgge d calcolare l accelerazone d gravtà medante un pendolo semplce. La lunghezza del pendolo l sa stata msurata con un comune centmetro ed l perodo d oscllazone T con un cronometro. La msura della lunghezza vene eseguta 5 volte, ed dat (n metr) sono stat salvat n un fle. Il perodo nvece vene msurato 00 volte, dat (n second) sono stat salvat n un altro fle. DATI I IPUT Area -> /home/comune/turno_t/dat/pendolo Fles -> lung_.dat per_.dat,..,5 rappresenta l numero del vostro gruppo(pc) T,,3,4. Settmana ntensva Svolgmento I parte S utlzz un programma n C per leggere dat da fle e calcolare: valor med delle grandezze msurate l, T ; le devazon standard de due campon e de due valor med (l), (t), ( l _ ), ( t _ ); l mglor valore per g; la propagazone degl error per ottenere (g) e (g) ; l lvello d confdenza d g usando per l confronto l valore tabulato g m/s. La funzone erf() è presente nella lbrera math.h, dove t /, dà la probabltà gaussana P(entro t). La funzone erf s può trovare anche nella lbrera d ROOT: TMath::Erf(). Pochè alcune operazon devono rpeters pù volte all nterno del programma, è certamente consglable scrvere delle funzon, che vengano chamate dal programma prncpale ogn volta che sa necessaro, senza dover rscrvere le stesse rghe d codce. 3

14 S compl l programma nome_fle.c con l consueto comando g++ nomefle.c o nomefle.ee che genera l eseguble nomefle.ee Svolgmento II parte Utlzzando le class THF e TF, s aggungano le rghe d codce necessare per creare l stogramma de perod del pendolo msurat; verfcare tramte l test del χ la compatbltà della dstrbuzone de dat msurat con una dstrbuzone d gauss, facendo un ft. Calcolare χ e DF (numero d grad d lberta ) con le funzon d ROOT GetChsquare()e GetDF(). esegure l calcolo del lvello d confdenza del χ della dstrbuzone gaussana e delle msure con la funzone TMath::Prob(ch,DF). S rcorda che : In programm C/C++ complat )Occorre ncludere tutt fles necessar )Occorre defnre una TApplcaton : questo serve a far s che al termne dell'esecuzone del programma le fnestre grafche restno vsbl. Ecco un esempo d come appare un programma C che ncluda lbrare d ROOT #nclude "TCanvas.h" #nclude "TF.h" #nclude <ostream> #nclude "Tapplcaton.h"... usng namespace std; nt man (nt argc, char**argv) { TApplcaton app("app",&argc, argv); nt a 0; cout << a + b << endl; TF *f new TF("f","sn()/",0.,0.) 4

15 }... app.run(); return 0; Ovvamente nella fase d complazone dovremo ndcare al complatore dove deve andare a cercare le lbrere d ROOT rcheste dal nostro programma (prog.c): g++ o prog. prog.c `root confg cflags` `root confg lbs` Rsultat Infne, rsultat andranno trascrtt su un fle con nome gpendolo_lab.dat, rgorosamente 5 numer, uno per rga, n questa sequenza ( rappresenta l numero del gruppo):, cognome, cognome, l, ( l), ( l ), T, ( T ), ( T ), g, ( g), ( g), CL( g), χ ( T ), CL( χ ). Il programma utlzzato dovrà come prma rga commento l nome e cognome de component del gruppo e dovrà avere un nome tpo progpendolo_lab.c Il fle contenente rsultat e l fle contenete l programma dovranno po essere copat nell area comune: /home/comune/turno_t/rsultat_pendolo/ 4. Anals della msura d g ottenuta tramte stroboscopo Supponamo ora d elaborare dat d un altra esperenza d laboratoro, che s prefgge d calcolare l accelerazone d gravtà attraverso uno stroboscopo su pano nclnato. Questo strumento permette d ottenere delle fotografe della poszone d un corpo n dscesa lungo un pano nclnato ( s, s,... ) a dvers temp ( t, t,... ). Sono stat salvat l numero delle msure e le poszon (n metr) e l numero delle msure ed temp (n second). DATI I IPUT Area -> /home/comune/turno_t/dat/pano_nclnato Fles -> pos_.dat temp.dat,..,5 rappresenta l numero del vostro gruppo(pc) 5

16 T,,3,4. Settmana ntensva S tenga conto che: (s) mm (questo è l errore spermentale valutato durante l espermento. In caso non s conoscesse, deve essere valutato con la relazone d pag.4); ϑ π/9; Svolgmento I parte S vuole esegure un ft lneare de dat con la funzone A+B. (As 0 mentre B g sn( ϑ) e t, ved.). Lo scopo d questo espermento e calcolare la mglor stma dell accelerazone d gravtà e l suo errore. Come per l esperenza precedente, s scrva prma un programma n C: leggere dat. scrvere una funzone per l calcolo del metodo de mnm quadrat per una relazone lneare che calcola A e B della funzone, gl error d A e B, χ, DF e χ /DF. l valore dell accelerazone d gravtà a partre da A e B. la devazone standard relatva a g con la propagazone degl error. Il confronto con g tabulato medante la funzone erf()contenuta n math.h. Svolgmento II parte Inserre nel programma la classe TgraphErrors e fare l ft con una retta (polnomo d I grado). Utlzzare TgraphErrors e non Tgraph perchè (s) è noto spermentalmente. calcolare χ e DF (numero d grad d lberta ) con le funzon d ROOT GetChsquare()e GetDF(). verfcare tramte l test del χ la compatbltà della dstrbuzone lneare con dat msurat: per l calcolo del lvello d confdenza del χ utlzzare la funzone TMath::Prob(ch,DF). per l confronto col valore tabulato d g utlzzare Tmath::Erf(). fare grafc e salvarl. 6

17 Rsultat I rsultat andranno trascrtt su un fle con nome gstrob_lab.dat 0 numer rgorosamente n questa sequenza:, cognome, cognome, χ, CL( χ ), g, ( g), CL( g) Il fle dovrà po essere copato nell area comune: /home/comune/turno_t/rsultat_pano/ Va noltre copato l programma progstrob_lab.c (rcordars d mettere come commento nom degl student del gruppo). 7

18 5. Anals del rsultato fnale su g A questo punto ogn gruppo può confrontare rsultat ottenut attraverso le due procedure per l calcolo dell accelerazone d gravtà: g pendolo e g stroboscopo, calcolandone la compatbltà CL, usando la funzone che valuta erf (t / ), con tg p g s /(g p g s ), dove (g p g s ) è l errore sulla dfferenza delle due msure che s ottene con la propagazone degl error da (g p ) e (g s ). Se rsultat rsultano compatbl, se ne calcol la meda pesata confdenza CL rspetto al valore tabulato. g f e ( g f ) e l suo lvello d Rsultat Creare l fle fnale: g_lab.dat contenente seguent valor, uno per rga:, cognome, cognome, g pendolo, ( g pendolo ), g stroboscopo, ( g stroboscopo ), g f, ( g f ), CL( g f ) da copare nell area comune: /home/comune/turno_t/confronto/ Copare anche l programma progconfronto_lab.c. A rchesta Ogn gruppo stamp l codce d tutt programm delle sezon 3, 4 e 5, tutt fle d output con rsultat rchest e grafc prodott con ROOT. Per stampare un fle sa d testo sa PostScrpt, s us l comando lpr nome_fle.ps 8