Risk Adjusted Performance Measurement negli Hedge Funds: Omega, Kappa e AIRAP

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1 Rsk Adjusted Performance Measurement negl Hedge Funds: Omega, Kappa e AIRAP Valutazone d Garele Astolf *, Samuele Marafn ** e Francesco Martnell ***. Introduzone La valutazone ex post del rscho e della performance e la loro anals comparatva, la Rsk Adjusted Performance, costtusce un'attvtà n contnua evoluzone nell Asset Management. Su questo tema, una delle prncpal tematche recentemente ntrodotte è la cosddetta valutazone unversale della performance (unversal performance measurement). D seguto analzzamo dvers ndcator d performance aggustata per l rscho ex post rferta a prodott d gestone alternatva, Hedge Funds. Le tecnche d gestone che caratterzzano quest prodott l rendono, a nostr fn, dfferent da prodott tradzonal dell Asset Management. E necessaro percò, prma d presentare dvers ndcator, fare alcune consderazon sulla anals delle sere storche de rendment negl Hedge Funds.. Rsk Adjusted Performance nell asset management tradzonale La valutazone quanttatva d portafoglo presuppone la msurazone del rendmento corretto per l rscho (rsk adjusted performance, RAP). Il metodo pù semplce e pù comunemente usato è quello del confronto tra rendment per portafogl che manfestano lo stesso proflo d rscho. Quando le dstruzon de rendment sono normal l classco modello d meda-varanza ed l CAPM (Captal Asset Prcng Model) sono vald, pertanto le msure della performance possono essere rcavate drettamente dal modello stesso. Il pù conoscuto ndcatore d rsk adjusted performance nell asset management tradzonale è l ndce d Sharpe, ntrodotto da Sharpe nel 966. Questo ndce msura l eccesso d rendmento medo d un portafoglo, n un dato perodo d tempo, rspetto all attvtà rsk free per ogn untà d rscho. Esso è defnto nel modo seguente: Rp, t Rf, t IS () σ Rp, t Rf, t dove Rp, t rappresenta l rendmento medo del portafoglo nel perodo d tempo t, Rf, t l rendmento dell attvtà prva d rscho nel perodo d tempo t e σ Rp, t Rf, t lo scarto quadratco medo dell eccesso del rendmento, che concde con lo scarto quadratco medo del portafoglo stesso gacché l attvtà d confronto è per defnzone prva d rscho. Tale ndcatore * Memro Commssone Aaf-Gps; Rsk Management Banco d Deso e della Branza s.p.a. ** Assocato Aaf dal 003, Co-responsale Commssone Aaf-Gps; Dvsone Rsk Asset Management Credto Emlano CRDM. *** Soco Aaf dal 00 (Dplomato CEFA), Co-responsale Commssone Aaf-Gps; Dvsone Rsk Management Banca Lomarda, Captalgest SGR. 6

2 msura l rendmento n rapporto alla volatltà totale e rappresenta la maggore renumerazone rchesta dal rsparmatore per affrontare quanttà agguntve d rscho. Al valore calcolato con questo rapporto s possono assocare dverse nterpretazon. Grafcamente, ponendos n un equlro d meda-varanza, esso è nterpretale come l coeffcente angolare della Captal Market Lne (SML) rp rf + IS σp, che descrve l nseme de punt ottenl attraverso le dverse comnazon dell attvtà rsk free ed l portafoglo rschoso. Alle rette con nclnazone maggore corrsponde l portafoglo con la comnazone mglore. L ndce d Modglan e Modglan M, proposto da due autor nel 997, adotta per l calcolo del rendmento la seguente espressone: RAP(p) ( ) σ R p, t Rf, t + Rf, t () σp dove le varal present nella formula hanno lo stesso sgnfcato vsto n precedenza e σ ndca la devazone standard del enchmark. M ndca quale saree l rendmento consegule dal portafoglo se la sua rschostà fosse uguale a quella del enchmark. Il portafoglo P vene costruto rpartendo le rsorse n due attvtà: una rschosa, rappresentata da un portafoglo attvo, ed una prva d rscho, rappresentata da ttol a reve. Se ndchamo con d la frazone d portafoglo da nvestre (dsnvestre) nelle attvtà d leveragng, ncrementata (decrementata) n ase al valore del rscho del portafoglo rspetto a quello del enchmark, possamo rscrvere l ndce RAPM nel seguente modo: RAP(p) R p d + ( d) R f (3) dove con σ d aamo ndcato l peso da nvestre nell attvtà rschosa, affnché l portafoglo σp manfest la stesso rscho del portafoglo enchmark. Sosttuendo questa espressone nell espressone precedente s ottene: σ σ R p Rf + Rf σp σp RAP(p) σ σ R p + Rf σp σp R p Rf σ + Rf σp σp σ IS + Rf (4) Aamo così espresso l rendmento del portafoglo attraverso una trasformazone lneare n termn d IS. Questo lo rende maggormente ntutvo e qund d pù facle comprensone. La rappresentazone grafca è apparentemente uguale a quella fornta per l ndce IS. La dfferenza è determnata dal fatto che l ndce d Sharpe prende n consderazone l rscho d portafoglo mentre l ndce RAP quello del enchmark. 3 L ndce M measures prende n consderazone lo scarto quadratco medo del enchmark senza consderare l suo rendmento. Esso non fa, qund, alcun rfermento al dfferenzale d rendmento tra l portafoglo e l enchmark, presupponendo un trackng error nullo. Modfcando quest potes 3 samo d fronte ad una nuova msura d rendmento chamata M defnta come: M 3 μ CAP α R p + β R + ( α β) R f (5) dove la sgla CAP sgnfca Correlaton Adjusted Performance. Gl oettv degl nvesttor sono espress attraverso de lvell target d TE e d correlazone tra ttol, che saranno po confrontat con lvell effettv. È qund possle defnre le seguent varal: 7

3 tte target Trackng Error TE Trackng Error ex-post tc Correlazone target C Correlazone ex-post Tra l lvello d TE e la correlazone esste una relazone rcavale dalla teora del CAPM che esprme l rendmento medo del portafoglo come α + ε e qund la sua varanza come μ p β μ + σp β σ + σε. Questa può essere anche espressa n termn d coeffcente d correlazone (ρ) come σ p σ p ρ p σ σε σ + Il rscho resduo σ ε presente nella precedente espressone è defnto come l TE. Attraverso alcun passagg algerc possamo qund rscrvere l espressone precedente come: TE σp ξ. p L oettvo è la determnazone de coeffcent α e β, che esprmono rspettvamente l rsultato dell attvtà d leverage adeguatamente aggustata dalla correlazone tra portafoglo e enchmark, ed l dfferenzale tra correlazone voluta e quella regstrata. Applcando le relazon fn qu esamnate rcavamo seguent parametr: σ ( tc) α (6) σp C ( ) β tc C (7) ( tc) ( C) Dalle espresson precedent s evnce che, quando la correlazone tra l rendmento del portafoglo 3 e quello del enchmark è nulla, M concde con M. Con quest ndcatore la correlazone tra portafoglo e enchmark è scomposta nella somma d tre dverse correlazon: La prma tra l portafoglo scelto e quello attvo (che s dscosta dal enchmark) msurata da α ed a sua volta nfluenzata dall attvtà d leverage. La seconda tra l portafoglo attvo e quello passvo (che replca l enchmark), n questo caso non c è nfluenza da parte dell attvtà d lancamento de lvell d rscho poché s prende n consderazone lo scarto quadratco medo del enchmark che rappresenta l oettvo dell nvesttore. L ultma, tra l portafoglo e l attvtà rsk free, è una correlazone resdua. L ndce Alpha d Jensen è stato proposto nel 968 dall economsta Mchael Jensen, n cu la formula d α trova la sua orgne nel modello CAPM: α R P [ R f + β P ( R m R f )] (8) dove l portafoglo d mercato vene rappresentato dal enchmark che è composto d tutt ttol dsponl e s suppone effcente n termn d meda-varanza per un nvesttore non nformato. L ndce può qund essere rscrtto propro come funzone dell overperformance: α Rp E ( Rp) Possamo assegnare all Alpha d Jensen anche un nterpretazone grafca, nfatt β ndca l coeffcente angolare della retta α ( Rp Rf ) β p ( Rm Rf ) mentre α ne rappresenta nvece 8

4 l ntercetta. Esso msura l valore aggunto del manager alla reddtvtà d portafoglo, così come rcavale dal CAPM. L Informaton Rato, conoscuto anche come Apprasal Rato, è defnto dal seguente rapporto: Rp R IR (9) TEV dove TEV è la Trackng Error Volatlty, mentre l numeratore esprme l excess return mean, defnto dalla dfferenza tra l rendmento medo del portafoglo rspetto al rendmento medo del enchmark, chamato TEM (Trackng Error Mean). Con questa msura d RAP s sntetzzano, n un unco valore, sa le aspettatve d rendmento sa quelle connesse al lvello d rscho dell nvestmento, permettendo così d evdenzare le capactà del gestore d ottenere una overperformance tenendo sotto controllo l lvello d Trackng Error (TE). Può, nfatt, essere rscrtto come: TEM IR TEV L IS msura la performance del fondo n modo assoluto mentre l IR msura l contruto dell attvtà d asset allocaton rspetto al enchmark scelto o n senso relatvo. L ndce d Treynor, noto come Reward to Varalty Rato, rapporta l extrarendmento del portafoglo rspetto all attvtà rsk free al eta β del portafoglo: E( Rp) Rf T P (0) β p Esso è molto smle all ndce d Sharpe qualora s prenda n consderazone solo l rscho sstematco, analzzato come contruto margnale al rscho totale. In effett, se rprendamo la ER defnzone d IS come dove con ER aamo ndcato l extrarendmento del portafoglo σ( ER) rspetto all attvtà rsk free, è possle rscrvere l denomnatore dell espressone precedente comeβ σm ottenendo: T p IS. σm Esso presenta de lmt n quanto può essere utlzzato per la valutazone de sol nvestment azonar poché eta è l ndcatore d sensltà del prezzo d un azone alle varazon d mercato. È un ndce che potzza la perfetta dversfcazone d portafoglo e qund presuppone che l rscho specfco sa completamente elmnato. Lo stesso autore, nseme allo studoso Fsher Black, nel 973 elaora un altro ndcatore noto col nome Treynor-Black. Il numeratore d questo nuovo rapporto rmane nvarato (α), al denomnatore s prende n consderazone l rscho dosncratco (σr ). Tale ndcatore d stma (Apprasal Rato) rapporta l Alpha d Jensen al rscho specfco, pertanto esso msura l eccesso d rendmento dovuto all altà del manager per untà d rscho dversfcale: A r α p σ r () Tale ndcatore è faclmente calcolale ed nterpretale n quanto rchede la conoscenza d poche nformazon; per d pù, potzzando una dstruzone normale de rendment e utlzzando lo stesso approcco teorco de mercat effcent, permette d evdenzare come l rscho ed l rendmento dovreero rapportars quando s costrusce un portafoglo d attvtà. S rcorda che l rscho sstematco è l unco che vene remunerato dal mercato. 9

5 Svluppamo la connessone tra gl ndc propost da Treynor con quello proposto da Jensen. La relazone tra T e α è evdenzata dalla seguente formula: T p r r f pβ p α p + β p r β p ( ) r f () α p β p + ( ) r β p r f α p β p + T Confrontando l ndce T del portafoglo e del enchmark, notamo che l α>0. Tp atte l T se e solo se. Anals della dstruzone de rendment negl hedge funds Per la formulazone della teora d portafoglo (e qund l modello meda-varanza) s potzza per rendment una dstruzon normale. Purtroppo la teora moderna d portafoglo non è applcale al caso degl hedge funds, n quanto rendment presentano caratterstche statstche dverse da quelle menzonate. Le loro dstruzon, nfatt non presentano caratterstche d normaltà e sono nteressate da sgnfcatv moment d ordne superore al secondo: a) l momento terzo centrale che msura la assmmetra della dstruzone. In caso d asmmetra nella dstruzone de rendment la proaltà d perdta è dversa, a partà d mporto, dalla proaltà d guadagno. Cò permette d determnare la proaltà d consegure rendment superor al valore atteso e la proaltà d sopportare perdte dovute a rendment nferor al valore atteso. La varanza non cogle tale dfferenza n quanto somma due tp d volatltà. Se la meda supera la medana, la dstruzone presenta numeros valor alt e rsulta slancata verso l semasse postvo delle ascsse producendo una coda a destra. In tal caso s parla d asmmetra postva. Se la meda è nferore alla medana, la dstruzone è caratterzzata da numeros valor ass e rsulta protesa verso l semasse negatvo delle ascsse, producendo una coda a snstra. L asmmetra è rappresentata dal terzo momento centrale, denomnato ndce d Fscher o coeffcente d Skewness, è esprmle come segue: M n 3 rt E( r t ) n t 3 σ (3) 3 Se M > 0 s ha una dstruzone asmmetrca a destra (postva); 3 Se M < 0 s ha una dstruzone asmmetrca a snstra (negatva); ) l momento quarto centrale che msura la curtos della dstruzone. Esso rappresenta l maggor od l mnor appuntmento della dstruzone d frequenza. L ndce d curtos, ndce d Pearson, è esprmle come segue: M n 4 rt E( r t ) n t 4 σ (4) 4 Sccome l coeffcente d curtos M d una dstruzone normale è par a 3 possamo ottenere l seguente proflo nterpretatvo: 4 -se M 3 s ha una dstruzone gaussana defnta mesocurtos. La dstruzone d frequenza ha una forma campanulare con due fless equdstant dal valore centrale. 0

6 4 -se M > 3 s ha una dstruzone appuntta, con code spesse e lunghe (fat tal) defnta leptocurtos. La leptocurtos segnala l elevata proaltà d consegure valor dvers dal valore atteso. 4 -se M < 3 s ha una dstruzone patta, con code corte e sottl defnta platcurtca. La platcurtos segnala alte proaltà d ottenere rsultat vcno al valore atteso. Una varante dell ndcatore d Pearson è l ndce d Fsher defnto coeffcente d eccesso d curtos: 4' 4 M M 3 Gl nvesttor preferscono ass lvell d curtos, mentre fond speculatv sono caratterzzat da leptocurtos, che attrusce alla rappresentazone grafca della dstruzone de rendment una tpca forma aguzza con sommtà appuntta con lunghe code spesse. S ha maggor proaltà d event straordnar e qund s regstra la tendenza de rendment ad allontanars dal valore medo atteso Cò permette d osservare che negl hedge funds non sono applcal né l modello d anals meda-varanza né la teora d portafoglo d Markowtz e nemmeno l CAPM d Sharpe. Test Jarque Bera Al fne d verfcare l potes d normaltà delle sere storche, una delle pù note procedure è l test Jarque Bera. Facendo rfermento alle dstruzon asntotche degl ndcator d asmmetra e d curtos.s dmostra che la statstca d Jarque Bera è così defnta: S N 6 + ( K 3) BJ (5) 4 dove N ndca l numero delle osservazon, S è l coeffcente d Skewness, K è l coeffcente d curtos. Sotto le potes d normaltà la statstca BJ segue una dstruzone statstca d tpo χ con grad d lertà. L potes nulla d normaltà vene rfutata per valor alt della statstca n quanto quest sono causat da elevat valor d S e K che s verfcano propro quando c allontanamo dall potes d normaltà. Il rendmento d un fondo comune aperto dpende dalle seguent varal: -lo stle d nvestmento adottato dal manager che è descrvle dalla comnazone d scelte allocatve (allocaton choces) nerent alla selezone delle class d attvtà fnanzare n cu nvestre e stratege operatve (tradng strateges) relatve alla quanttà e qualtà d rsorse da destnare alle class d attvtà. -l altà del manager; che a sua volta è scndle n due component fondamental. La capactà del gestore d selezonare le attvtà da nserre nel portafoglo (stock pckng) e la capactà d prevedere trend drezonal d mercato (market tmng). Infatt è stato dmostrato che la maggor parte de fond comun apert sono correlat alle class pù sgnfcatve evdenzando una forte dpendenza del rendmento dalla tpologa de ttol detenut puttosto che dall altà de gestor: α 0 e pertanto l rendmento può essere ampamente spegato dall equazone lneare d Sharpe. La performance degl hedge funds è strettamente collegata all altà del gestore α, quest ultma funzone della capactà selettva (stock pckng) e della tempestvtà operatva (market tmng). Al contraro l gestore de fond comun d nvestmento s caratterzza per l fatto d attrure maggor peso allo stle d gestone. Tornando alla anals de prodott n esame, le scelte gestonal degl Hedge Funds d nvestre n prodott a payoff non lneare o n strument poco lqud, rende tpcamente la tmes seres de rendment non normale e dstante da una relazone d lneartà con cors de mercat d rfermento. L utlzzo d prodott con poca lqudtà nel mercato, che nduce a una valorzzazone a dat storc dell nvestto, è una delle cause che determnano una autocorrelazone serale de rendment cò equvale a dre che rendment del tempo t dpendono da quell del perodo precedente, da cò derva l effetto persstence ed una mnore volatltà. Geltner (99&993), Barkham and Geltner (994) hanno svolto un attento lavoro per elmnare l autocorrelazone, proponendo d aggustare la sere storca de rendment attraverso la seguente espressone:

7 * * rt α rt r t (6) ( α) dove α è l coeffcente d autocorrelazone con rtardo, r * t è la sere storca che presenta autocorrelazone, r t è la sere storca corretta per l autocorrelazone. L autocorrelazone serale può trovare spegazone nella partcolare natura delle stratege mplementate e nella llqudtà degl strument detenut, che costrnge ad una valutazone a dat storc o sulla ase d stme soggettve del prezzo corrente. Da cò derva l effetto persstence ed una mnore volatltà de rendment. Negl hedge funds la presenza d poszon llqude n portafoglo dà spazo a maggor dscrezonaltà nella valorzzazone dell attvo mentre per fond comun apert, cò non accade poché deono nvestre n attvtà altamente lqude e sono sottopost a rgorose norme d vglanza contro le valutazon artrare del patrmono. Per valutare l lvello d autocorrelazone s può utlzzare l seguente test. Il test d Ljung-Box Nel test d Ljung-Box l potes da verfcare è l assenza d correlazone per prm m rtard della tme seres de rendment. H o : ρ ρ... ρm 0. contro l potes alternatva che almeno un coeffcente d autocorrelazone sa dverso da zero. Il test s asa sulla seguente statstca: m ϑk Q N ( N + ) (7) k N k dove N ndca l numero d osservazon e ϑk è l coeffcente d autocorrelazone d ordne m. La statstca Q sotto l potes nulla s dstrusce approssmatvamente come una dstruzone χ m con m grad d lertà e qund fssato un lvello d sgnfcatvtà α, l potes nulla vene rfutata se: m ϑk N ( N + ) χ m, α k N k dove è quel percentle della varale casuale P χ χ α χ m,α χ tale per cu ( ) α m m, 3. Rsk Adjusted Performance nell asset management alternatvo Quando rendment sono asmmetrc prncp d meda-varanza sono neffcent e nasce così la necesstà d ntrodurre de nuov ndcator d RAP. Ne prm ann 90, Sortno e Van der Meer (99) hanno ntrodotto una msura della performance corretta per l rscho, nota come ndce d Sortno. Quest ultmo, rappresenta l equvalente dell ndce d Sharpe dove però s utlzza l downsde rsk come denomnatore. Infatt s consdera l sovrarendmento atteso oltre un rendmento target, dvso per la msura del rscho d downsde (l secondo momento parzale nferore). Per quanto rguarda l ndcatore d unversal performance measurement cu facevamo rfermento, recentemente, Keatng & Shadwck (00) e Cascon, Keatng &Shadwck (00), hanno ntrodotto l ndcatore conoscuto come funzone Omega, defnto dal rapporto fra l payout d una opzone call vrtuale E [ max( r,0)] rspetto al payout della corrspondente opzone put E[ max( r,0) ]. Tale ndcatore vene defnto dagl stess autor come una unversal performance measure. La funzone Omega rappresenta una specalzzazone d una msura del rscho dervata dalla Prospect Theory. Essa è coerente con prncp d domnanza stocastca e mantene la semplctà nterpretatva dell ndce d Sortno o d altr ndcator che rapportano l sovrarendmento atteso ad una certa msura del rscho d rasso (s veda ad esempo, tra gl altr, Sortno & Satchell, 00, e Knght & Satchell, 00). Anche gl strument tpc della tradzonale teora d portafoglo possono essere crtcat quando vengono applcat agl hedge funds, per esempo l ndce d Sharpe può trarre n nganno crca la reale performance de fond, nfatt gl hedge funds mostrano rendment med tendenzalmente alt

8 e asse devazon standard. Inoltre la standard devaton è uno strumento nadatto a rappresentare l rscho de fond speculatv. Infne la presenza d autocorrelazone serale postva e d as da valutazone provocano una sovrastma del rendmento medo ed una sottostma della devazone standard. I maggor ndcator d RAP trovano fondamento nel CAPM e presuppongono la normaltà della dstruzone de rendment, trascurando completamente gl effett d asmmetra e curtos. Inoltre l mplementazone d stratege dnamche comporta la non lneartà del proflo de rendment, che assomgla sempre pù ad un opzone. Pertanto, un elevato ndce d Jensen può rappresentare la sopportazone, da parte del fondo, d maggor llqudtà. Il coeffcente d correlazone lneare descrve la dpendenza tra le varal n oggetto solo se la dstruzone d proaltà congunta è d tpo normale, purtroppo tale potes non s adatta agl hedge funds. In consderazone delle osservazon precedent, che spegano l napplcaltà della moderna teora d portafoglo e del CAPM al caso de fond speculatv, dventa necessara l elaorazone d metod alternatv d msurazone della performance. Nell ottca d evtare un eccessvo allontanamento dalle teore tradzonal, alcun autor hanno proposto rettfche al modello ase del Captal Asset Prcng Model, così rassuml: -l CAPM corretto per gl aggornament su prezz delle attvtà llqude; -l CAPM corretto per la prevedltà de rendment delle attvtà n portafoglo; -l CAPM corretto per la presenza d stratege commercal dnamche; -l CAPM corretto per tener conto d pù fattor d rscho. 3. The Kappa functon Gl ndc analzzat fno a questo momento presuppongono che gl extrarendment s dstruscano secondo una dstruzone normale, cò permette d calcolare l rscho attraverso la devazone standard ed l β. Tal msure però s rvelano poco effcac quando la dstruzone è asmmetrca. La defnzone d nuove msure come l Indce d Sortno e, pù recentemente, la funzone statstca Omega sono entram ndcator legat al downsde rsk. Dmostreremo che queste msure sono cas partcolar della funzone Kappa, che rappresenta una msura d rsk-adjusted performance generalzzata. L ndce d Sortno è defnto dal seguente rapporto R p RT ( t) DDev S P (8) dove al numeratore aamo rportato l excess return mean rspetto ad un valore target mentre al denomnatore aamo la Downsde Devaton (DDev) che consdera gl scart negatv dal target. La scelta d un lvello flessle d rendmento target permette d personalzzare l oettvo d nvestmento. Rspetto agl ndcator tradzonal d RAP, con l ndce d Sortno l attenzone è spostata solo sugl scart negatv rspetto al rendmento target, n altr termn l rscho è vsto come la possltà d ottenere un rendmento nferore alle propre aspettatve. Il concetto d downsde rsk s lega alla funzone statstca LPM (lower partal moment) proposta da Harlow nel 99. n R (9) LPMn ( ) df(r) dove - ndca la threshold nferore del rendmento mnmo accettale; - R ndca rendment; La formula analzza la dstruzone nel contnuo. Questa funzone è stata analzzata anche nel dscreto attraverso la formula LPM T t max( [ rt,0 ] ^ T ). Questa versone dscreta non rchede la conoscenza dell ntera dstruzone ma solo delle sngole osservazon del rendmento. Dato che dat dsponl, gestl e memorzzat sono lmtat, essa permette d calcolare Kappa solo per poche dstruzon caratterstche de rendment. Per questo motvo s è svluppato un metodo alternatvo che approssma la funzone dscreta con quella contnua orgnando la famgla delle funzon d Johnson. 3

9 - N ndca moment parzal d ordne n; - df(r) ndca la funzone d denstà d proaltà de rendment; Varando l valore d n s ottengono dvers ndcator. Ad esempo con n0 s msura la proaltà d perdta, con n l expected shortfall e con n la downsde rsk rspetto ad un rendmento medo target. Questa funzone permette d defnre una funzone generca, funzone Kappa, che dpende dalla funzone LPM: K n ( ) μ n LPMn ( ) (0) Ancora, attraverso la specfcazone d n è possle rcavare dvers ndc d RAP. Ad esempo se n s ottene K ( ) che rappresenta l ndce d Sortno. La dmostrazone dell equvalenza tra l ndce d Sortno e Kappa per n è mmedata, n effett l ndce d Sortno al numeratore msura la dfferenza tra rendmento del portafoglo ed l rendmento scelto come target, che può essere scrtta come ( μ ). Il denomnatore è rappresentato dalla downsde devaton. S è gà detto che la funzone LPMn calcolata per n rappresenta propro la downsde devaton. Queste consderazon c portano a rscrvere l ndce d Sortno come: dove: μ t P ( ) μ S () ( R) df(r) RdF ( R). Il denomnatore è noto come l second partal moment nferore. Sulla ase della smologa da no adottata, l'espressone equvalente per l'ndce d Sortno è la seguente: S() μ r LPM È mportante valutare la senstvtà della funzone Kappa a moment d ordne superore al secondo, n partcolare per n3 s ottene una msura d skewness rsk per valor d threshold sotto una meda e per n4 s ottene una msura d curtos rsk che rappresenta la avversone al rscho d curtos per valor al d sotto d una threshold. 3. New alternatve RAP per hedge funds: Omega functon La statstca Omega (unversal performance measure), precedentemente vsta come generalzzazone dell ndce d Sortno, è così defnta: + [ F(R) ] dr Ω () () F(R)dR dove con F(R) aamo ndcato la funzone d rpartzone del rendmento totale dell nvestmento mentre con la treshold selezonata dall nvesttore. Omega è qund un rapporto tra funzon d rpartzone entram rspetto a un rendmento sogla. Per meglo comprendere le relazon tra quest tre ndcator consderamo nnanztutto la relazone tra Omega e Kappa. Partendo dalla formulazone d Omega come rapporto d funzon d rpartzone e ntegrando separatamente l numeratore e l denomnatore, per part, è possle dmostrare la seguente relazone: μ Ω( ) + LPM ovvero Ω( ) K ( ) + (3) Infatt attraverso dvers passagg algerc s ottene: 4

10 () Ω + [ F(R) ] dr E[ max( R,0)] E( R R )( F( )). E[ max( R,0) ] E( R R < )( F( )) F(R)dR df(r Il numeratore dell ndce,dopo l ntegrazone per part, può essere scrtto come ( ) ) + sapendo noltre che l rendmento atteso per l ntero perodo (μ) vale RdF(R) possamo defnre la quanttà ( ) + μ come ( R ) df(r) + +. Quest ultmo ntegrale è a sua volta scomponle nella somma d altr due ntegral ( R ) df( R) ( R ) df( R) ( R) df( R) + R, dove l prmo termne della dfferenza è l numeratore dell ndce Omega e l secondo termne rappresenta la funzone LPM calcolata per n. Da quest ultma espressone possamo rscrvere l numeratore della funzone Ω come ( μ ) + ( R) df(r) o anche come ( μ ) + LPM R df(r ntegrato per part è rappresentato dall ntegrale ( ) ) LPM. Sosttuendo rsultat ottenut nella funzone d omega ottenamo che: ( μ ) + Ω() LPM LPM da cu Ω( ) K ( ) +.. Il denomnatore che corrsponde alla funzone La seguente espressone mplca che la funzone Kappa è una funzone d Omega a meno d una costante, pertanto possamo trasferre qualsas consderazone relatva alla funzone Omega alla funzone Kappa. Aamo dmostrato che la funzone Omega presenta una nterpretazone naturale d msurazone della performance e può, d fatto, essere nterpretata come una msura che rapporta l sovrarendmento atteso ad una msura d rscho d rasso. La funzone Kappa può essere calcolata per ogn valore d n e per qualsas valore d. L nterpretazone de dvers valor d Kappa n funzone de dvers è complessa e dpende anche dal valore d n, n partcolare, al varare d le varazon sute dall ndce Kappa sono nversamente proporzonal ad n. L argomento della domnanza è d quell poco utlzzat nella pratca poché l esstenza d attvtà/portafogl domnat creeree opportuntà d artraggo. Dcamo che una attvtà (D) domna una seconda qualora produca costantemente rendment mglor. La domnanza stocastca d prmo ordne (frst-order stochastc domnance, FSD) è una varante deole della domnanza D n quanto, affnché l attvtà A domn stocastcamente l attvtà B, essa non deve necessaramente produrre rsultat mglor. Al contraro, la proaltà che A super un dato lvello d rendmento dovree essere pù elevata rspetto a B; geometrcamente cò equvale a dre che la funzone d rpartzone CDF d A, s trov sempre sotto (o tocch) la CDF d B, senza ntersecarla. Pertanto, A presenta sempre una proaltà d ass rendment mnore rspetto a B. Possamo pertanto affermare e dmostrare che la funzone Omega è un concetto collegato alla domnanza stocastca come al downsde rsk approach. In partcolare s dmostra che se X n-order X Y domna stocastcamente Y (NSD), denotato NSD allora: 5

11 per ogn r. μ X r LPM n μy r LPM n 3.3 Rformulazone della statstca Omega Nel paragrafo precedente è stata ntrodotta una nuova msura d performance chamata Omega che è stata svluppata per superare l nadeguatezza delle tradzonal msure d performance quando vengono consderat nvestment che non seguono la dstruzone normale. Omega è stata svluppata con l ntenzone d consderare l ntera dstruzone de rendment. Una vsone alternatva d Omega è quella d rportarla come l rapporto tra l prezzo d un opzone call ed l prezzo d un opzone put. S sottolnea qu che molt nvestment tuttava non soddsfano le potes assunte nel modello d prcng d Black-Scholes, sarà pertanto necessaro adottare delle formule approssmate per ottenere una stma d Omega. Omega può essere anche scrtto come: C( ) Ω() P( ) (4) dove C() è l prezzo d un opzone call europea scrtta sull attvtà d nvestmento, P() è l prezzo d un opzone put europea scrtta sull attvtà d nvestmento. Supponendo che la maturtà d entrame le opzon sa l untà perodale e lo strke prce d entrame le opzon sa, s dmostra che l numeratore ed l denomnatore dell espressone precedente possono essere così trascrtt: + + [ F(R) ] dr ( R ) f ( x) dx E[ max( R,0)] + F(R)dR ( R ) f ( x ) dx E [ max( R,0)] dove f(x) è la funzone d denstà della dstruzone de rendment. Le espresson precedent rappresentano valor attes d una call e d una put a scadenza. Moltplcando le espresson precedent per l exp(-rf), dove rf è l tasso rsk free, ottenamo l valore atteso d una call e d una put. r f [ max(,0)] [ max(,0)] C( ) e E R r f P( ) e E R Sosttuendo l espresson precedent nell espressone d partenza ottenamo la nostra tes. Un nterpretazone che vene data al prezzo dell opzone put è d consderarlo come l costo d protezone del rsultato d un nvestmento da un target return. S veda l appendce per lo svluppo d tutt passagg algerc per gungere alla dmostrazone della nostra tes. 3.3 Indce d Sharpe-Omega Una versone alternatva della funzone Omega è l ndcatore Sharpe-Omega. Esso è così defnto: r Sharpe - Ω() (5) P( ) dove r è l tasso d rendmento atteso sull nvestmento, è un rendmento target prefssato e P( ) è l premum d un opzone put. S dmostra che ( Ω -) è proporzonale all excess return atteso sull nvestmento dvso per l prezzo della put. Sharpe - Ω Ω (6) ( ) ( ) Questa ultma espressone c fornsce così le stesse nformazone d classfcazone dell nvestmento della funzone Omega. Quest ultma rappresentazone d return/rsk pù ntutva della funzone Omega. 6

12 Dall espressone precedente quando r <, Sharpe-Omega è una msura negatva. S not che dato r < maggore è l valore della put, per esempo per un ncremento d volatltà maggore è l valore della funzone Sharpe-Omega qund mglore è l nvestmento. Dall espressone precedente s nota che quando r >, Sharpe-Omega è una msura postva. Un alta volatltà ncrementerà l prezzo dell opzone put portando così ad una rduzone della funzone Sharpe-Omega. 3.4 Indce d Style Rsk Adjusted Performance Un estensone dell ndcatore M (Modglan and Modglan 997) è l ndcatore Style Rsk Adjusted Performance proposto da Loosco (999) per catturare lo stle del management adottato. Rprendendo la defnzone del Var Modfcato (o Cornsh-Fsher VaR) che ngloa anche moment della dstruzone superor al secondo, ottenamo l seguente ndcatore: VaRCornshFsher ( Ind) ARAP ( RHF R f ) + R f (7) VaRCornshFsher ( HF) dove Ind è l ndce d rfermento; HF è l hedge fund n esame; R HF ndca l valore medo dell hedge funds; R f è l tasso rsk-free; VaR CornshFsher è l VaR calcolato utlzzando l estensone d Cornsh-Fsher. L ndcatore ARAP permette percò d confrontare due fond che seguono sa la stessa stratega, sa stratege dfferent, nfatt cò è possle attraverso l seguente ndcatore defnto ASRAP (Alternatve Style Rsk Adjusted Performance) : ASRAP ARAP( Fund) ARAP( StyleIndex) (8) 3.5 Alternatve Investment Rsk Adjusted Return (AIRAP) Seene alcun ndcator d RAPM (Rsk-Adjusted Performance Measures) prendano n consderazon moment terzo e quarto, un ulterore affnamento è stato proposto da Sharma (00), proponendo una nuova msura chamata AIRAP (Alternatve Rsk Adjusted Investment) costruta sulla teora dell Utltà Attesa. AIRAP è defnto l rendmento certo mplcto che un nvesttore avverso al rscho rchede per spostare le sue preferenze da un nvestmento certo ad uno ncerto. La funzone d utltà attesa per un nvesttore al rscho è concava, cò sgnfca che un nvesttore prefersce una certa somma Z ad una somma ottenuta dalla comnazone d due somme Z e Z. L avversone al rscho è una msura proporzonale alla concavtà della funzone d utltà, essendo defnta dal rapporto tra la dervata seconda e la prma, mentre l avversone al rscho relatva prende n consderazone anche la rcchezza dell nvesttore (W). S dmostra che è possle decomporre l rendmento nelle seguent due component: l rsk premum e l ndcatore AIRAP. Il certo equvalente della prestazone aleatora W è quel valore nferore Z n corrspondenza del quale s ottene la stessa utltà attesa per l nvesttore. Indcando con R [ 0,T ] l rendmento cumulato del fondo nel perodo [0,T], ccrra l parametro d avversone al rscho, N l numero delle osservazon della sere storca n esame e sa p, N l ndcatore AIRAP ha la seguente rappresentazone: ( ) ( ) ( c ) c AIRAP CE p + TR c & c 0 (9) AIRAP CE p ( + TR ) c L ndcatore AIRAP per come è defnto resce a catturare moment superor al secondo ed a tener conto del lvello d volatltà e d leverage n proporzone al lvello d avversone al rscho. L ndcatore AIRAP è utlzzato per defnre l seguente ndcatore defnto Modfed Sharpe Rato: 7

13 rf MSR μ P AIRAP 4. Alcune msure d rscho negl Hedge Funds Il valore a rscho (value at rsk o VaR) è la massma perdta potenzale che una data poszone può sure a un certo lvello d confdenza, n un determnato orzzonte temporale. Il valore a rscho è un concetto d dffcle applcaltà negl hedge funds, n quanto presenta alcun lmt sgnfcatv. Oltre a presupporre la conoscenza esatta della dstruzone de rendment de fattor d mercato da cu dpendono le sngole poszon, l metodo non supporta la propretà suaddtva, coè l VaR d un portafoglo d ttol può essere maggore della somma de VaR delle sngole attvtà che lo compongono. Favre e Galeano (00) hanno proposta una modfca dell ndce d Sharpe, che è applcale a cas n cu rendment non sono dstrut normalmente. Per quanto è stato detto l proflo d rscho degl hedge funds dpende sgnfcatvamente da moment d ordne superore (asmmetra e curtos), per questo motvo l mpego dell ndce d Sharpe è ampamente sconsglato per valutare la reddtvtà de fond speculatv. Una delle cause de suo potenzal effett dstorsv è legata all nadeguatezza della devazone standard come msura d rscho degl nvestment alternatv. La modfca proposta suggersce percò d ntegrare nel calcolo del VaR moment superor al secondo, proponendo così l VaR modfcato (modfed VaR o MvaR). Il VaR modfcato s ottene applcando l espansone d Cornsh Fscher, che esprme l percentle standardzzato d una generca dstruzone n funzone de moment della medesma d ordne superore alla meda ed alla varanza e del corrspondente percentle della dstruzone normale standardzzata. Il VaR modfcato vene così spresso: MVaR r P + zˆ α σ P (30) ove ẑ α è l percentle secondo l espansone d Cornsh-Fsher ed assume la seguente forma: 3 3 4' 3 3 zˆ ( ) ( 3 ) ( 5 )( ) α zα + zα M p + zα zα M p zα zα M p (3) dove: - zα è l percentle corrspondente al lvello d confdenza ( α ) relatvo ad una funzone d dstruzone normale standardzzata; 3 - M p è l coeffcente d asmmetra del portafoglo scrtta secondo l ndce d Fsher; 4' M p - è l coeffcente d eccesso d curtos del portafoglo scrtta secondo l ndce d Fsher; - r P è l rendmento medo del portafoglo; - σ P è la devazone standard del portafoglo. E così possle rdefnre l seguente ndcatore defnto come l ndce d Sharpe modfcato (SHM), che rapporta l excess rendmento medo del portafoglo fondo rspetto al tasso free-rsk al VAR modfcato: rp rf rp rf SHM MVAR r + zˆ (3) P α σ P Esso appare uno strumento doneo alla msurazone della performance d portafogl con proflo rscho-rendmento sml a quell degl strument dervat, adattandos percò ene agl hedge funds, la cu performance dpende sgnfcatvamente da moment d ordne superore al momento secondo. Infne Agarwal e Nak (00) propongono una soluzone alternatva a quella precedente descrtta, ntroducendo l VaR condzonale (condtonal value at rsk o CVaR). Il CVaR rappresenta l aspettatva d perdte superor al VaR. Il CVaR, che rappresenta l valore atteso delle perdte maggor o ugual al VaR e può essere così rappresentato: 8

14 CVAR E ( r r VaR) VaR zf ( z) dz F( VaR) Infne alcun autor propongono l applcazone della teora de valor estrem al calcolo del VaR n partcolare nella modellzzazone della coda snstra della dstruzone de rendment secondo la teora Peaks-Over-Threshold(POT). L applcazone della Generalzed Pareto Dstruton (GPD) alla dstruzone de rendment permette d esprmere l CVaR ed l VaR attraverso le seguent espresson analtche: ξ σ n VaR + P μ p (34) ξ Nu VaR σ ξ μ CVaR P + (35) ξ ξ dove: - σ è l parametro d scale; - ξ è l parametro d Shape; - μ è l parametro d locazone o threshold; - n è l numero totale delle osservazon; - Nu è l numero d osservazon superor alla threshold prefssata. Acar E. e S. James (997) propongono per la msurazone del rscho degl hedge funds un modello asato sulle msure d drawdown, suggerendo d esprmere la rschostà de fond alternatv attraverso uno de seguent modell: - la drawdown duraton, che defnsce l pù alto numero d mes consecutv con rendmento negatvo; -l unnterrupted drawdown ndca la perdta pù alta n percentuale, che n modo nnterrotto ha avuto luogo nel perodo d anals; -l maxmum drawdown detto anche peak-to-valley-drawdown, che esprme, n termn percentual e per un perodo d tempo prefssato, la massma perdta d valore che l nvesttore può spermentare. Esso è calcolato mettendo a confronto l massmo valore storco raggunto dalla quota con l mnor valore della stessa osservato n un momento successvo. Esso è così defnto: NAV t MDD( 0, T ) mn t T t T DD 0 0 t max0 t ( NAV ) max (36) dove: -DD è l Drawdown che è la perdta regstrata dal peak al valore corrente, ed è esprmle n termn d rendment cumulat attraverso la seguente espressone: NAV T DD (0, T ) (37) max 0 T ( NAV ) dove con Rc aamo ndcato l rendmento cumulato. S propone così un nuovo ndcatore per esprmere l rankng de fond: l return to maxmum drawdown (RMD), che relatvamente ad un orzzonte d anals prefssato [0,T] è defnto attraverso l rapporto tra l rendmento medo ed l valore assoluto del maxmum drawdown: r RMD (38) MDD Infne l ndcatore maxmum unnterrupted loss, ossa la massma perdta nnterrotta è così defnta: MUI mn n ( + mn(0, rt )) t (33) 9

15 dove ndca la data n cu s valutano tal ndcator; r è l rendmento del fondo osservato. Questa msura è spesso accompagnata dal numero d mes con cu s è verfcata la perdta ed l numero d mes rchest per compensare la perdta. 4. Gans & Losses Measures Accanto agl ndcator precedentemente menzonat possamo fornrne degl altr dervant dall anals sulla dstruzone de rendment. L ndcatore Gan/Loss Rato (GLR) è così defnto: G I GLR(0, T) (39) L I dove per ogn stante j: - G I se l rendmento del portafoglo è postvo altrment è nullo.{ G I f rp 0 else G I 0} ; - L I se l rendmento del portafoglo è postvo altrment è nullo.{ LI f rp 0 else LI 0} ; L ndcatore GLR s lmta a contare le osservazon trascurando l enttà delle sngole osservazon. L ndcatore Percent Gans to Losses (GtoL) è smle all ndcatore descrtto precedentemente tranne per l fatto che n questo caso c s lmta a sommare guadagn e le perdte total regstrate nel perodo d anals. Esso è così defnto: G I GtoL(0, T) (40) L I dove per ogn stante j: - G r se l rendmento del portafoglo è postvo altrment è nullo.{ G r f rp 0 else G 0} L r se l rendmento del portafoglo è postvo altrment è nullo.{ L r f r 0 else L 0} - ; p ; L ndcatore Expected Percentage Gans to Losses è defnto dal rapporto tra guadagn attes e le perdte attese. Esso è così defnto dal rapporto de seguent valor attes: E [ ] ( G) E GtoL (4) E( L) dove: - G r se l rendmento del portafoglo è postvo altrment è nullo.{ G r f rp 0 else G 0} ; - L r se l rendmento del portafoglo è postvo altrment è nullo.{ L r f rp 0 else L 0} ; e l operatore E ndca l valore atteso. Tra gl ndcatore RAP quando s utlzza come msura d rscho l massmo drawdown vene proposto l Calmar Rato che rapporta l rendmento del fondo composto annuo al massmo drawdown: rorp C almar Rato (4) MDD Infne l ndcatore Sterlng Rato che rapporta l rendmento del fondo composto annuo al valore medo del drawdown: rorp Sterlng Rato..(43) DD 0

16 Dove nelle espresson precedentemente rportate anals (t,t). ror p Nav( T ) Nav( t) T t ror p è l tasso annuale composto sul perodo d 5 Alcun rsultat analtc Fornremo qu d seguto un llustrazone emprca della teora precedentemente llustrata, confrontando l ndce Credt Susse Frst Boston Tremont Hedge Fund con l ndce S&P 00 come se fossero due fond rappresentatv comparal. C concentreremo per semplctà su due delle msure appartenent alla classe delle generalsed unversal performance measure precedentemente ( μ ) + dscusse. La prma, d ordne n (ovvero, Ω () LMP ). La seconda d ordne n, LMP ovvero Ω () che rappresenta l ndce d Sortno. Utlzzeremo prezz d chusura mensl per due ndc nel perodo da gennao 000 a dcemre 005. La sere storca de rendment è quella artmetca ottenuta dal rapporto tra l prezzo attuale con l prezzo precedente. Per calcolare le valutazon della performance Ω () e ( ), non parametrcamente, sosttuamo: μ LPM LPM N N x t t N ( r x t I t N ) t N ( r ) N t x t I t Ω dove la funzone It denota la funzone ndcatore che è defnta It ogn qual volta x t r e It0 ogn qual volta x t r. Prma d procedere alla costruzone delle generalsed unversal performance measure aamo condotto un anals statstca su rendment degl ndc, d seguto rportamo la Fgura che rporta gl stogramm delle rspettve dstruzon de rendment, dalle qual emergono le caratterstche delle dstruzone n esame. S not come la Skewness de rendment sa negatva per l ndce Hedge Fund.

17 Fgura : Istogramma Dstruzone de rendment Hstogram of Credt Susse Frst Boston Tremont Hedge Fund Monthly Returns Hstogram of S&P 00 INDEX Aamo condotto un test statstco per verfcare la normaltà della dstruzone de rendment de due ndc. Il test Jarque Bera la cu potes nulla è la normaltà sulle dstruzon n esame c ha fornto seguent rsultat (Taella ): Taella : Jarque-Bera Test Jarque-Bera test P Value 0,68 0,66 JBSTAT 0,768 0,88 Alpha 0,00 0,00 Ho DON'T REJECT DON'T REJECT Da rsultat ottenut ad un lvello d sgnfcatvtà del 99% possamo affermare che le dstruzone degl ndc n esame sono normal. Come s può osservare l ndce gloale Credt Susse Frst Boston Tremont Hedge Fund, contraramente a quanto sostenuto precedentemente, fa regstrare una dstruzone normale de rendment. Per valutare l lvello d autocorrelazone della dstruzone de rendment dell ndce Credt Susse Frst Boston Tremont Hedge Fund è stato applcato sa l test d Ljung-Box (Taella ) e l anals grafca con l correlogramma.(fgura ). Taella : Ljung-Box Q-statstc Ljung-Box Q-statstc P Value 0,509 Qstat 0,437 CrtcalValue 6,635 Alpha 0,00 Ho DON'T REJECT Fgura : Correlogramma Dstruzone de rendment CFBT Hedge Fund

18 ACF Credt Susse Frst Boston Tremont Hedge Fund Monthly Returns 0.8 Sample Autocorrelaton Lag Da rsultat ottenut possamo affermare che ad un lvello d sgnfcatvtà del 99% l autocorrelazone del prmo ordne è nulla. Anche n questo caso contraramente a quanto sostenuto precedentemente non aamo rscontrato un autocorrelazone sgnfcatva del prmo ordne tra rendment. La Fgura 3 pone a confronto due ndc, utlzzando le rspettve msure emprche d Omega. Osservamo charamente come la funzone omega dell ndce Credt Susse Frst Boston Tremont Hedge Fund domn quella dello S&P00 nella coda snstra della dstruzone. Induamente non c attendamo una outperformance completa d Omega e d altre msure per tutt valor della threshold poché cò rchederee una elevata domnanza stocastca. Fgura 3: Funzone Omega OMEGA Credt Susse Frst Boston Tremont Hedge Fund S&P 00 INDEX Omega [log-values] ,4% -0,96% -9,50% -8,04% -6,58% -5,% -3,66% -,0% Threshold Returns -0,74% 0,7%,8% 3,64% 5,0% 6,56% 8,0% 9,48% 0,94% 3

19 Fgura 4: Sortno Rato K ( ) Sortno 3,0,5,0,5 Sortno Credt Susse Frst Boston Tremont Hedge Fund,0 Sortno 0,5 0,0-0,5-6,75% -,0-3,75% -,55% -,37% -0,89% -0,55% -0,7% 0,7% 0,6%,4%,86%,9% 3,% 4,9% -,5 -,0 Returns La fgura 5 confronta le funzon d rpartzone de rspettv ndc n esame. Dal grafco così ottenuto possamo affermare che l ndce Credt Susse Frst Boston Tremont Hedge Fund domna stocastcamente quella dello S&P00 rspetto alla domnanza stocastca del prmo ordne: CSFBT SPOOR. FSD Fgura 5: Funzone d Rpartzone CUMULATIVE RETURN DISTRIBUTIONS,0 0,9 0,8 0,7 Frequency 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0,0 Credt Susse Frst Boston Tremont Hedge Fund S&P 00 INDEX Returns 4

20 Dalle precedent fgure emerge come la prass d raffrontare la funzone omega o msure sml per tutt rendment target () è decsamente pù rgorosa d quella che consdera un unco punto (), quale appunto l anals classca condotta medante l ndce d Sharpe. In allegato (Taella 3) rportamo una taella che rporta le prncpal statstche descrttve d rendmento, d rscho e d rsk adjusted performance, calcolate per gl ndc d rfermento sul holdng perod prefssato. Taella 3: Anals Statstca Credt Susse Frst Boston Tremont Hedge Fund S&P 00 INDEX Mean 0,367% -0,53% Medan 0,49% -0,48% Varance 0,077% 0,97% Skewness 0,84-0,68 Kurtoss 3,469 3,8 Target Return 0,40% 0,40% Gan/Loss Rato GLR,000 0,846 Gans to Losses GtoR -,45-0,776 Expected Gans to Losses -,45-0,98 Gamma -,45-0,776 Omega (TargetRsk Free Rate) 0,96 0,66 Sharpe Omega (TargetRsk Free Rate) -0,084-0,384 Sharpe Rato (Target0) 0,3-0,094 Average 4,406% -6,60% Max. Daly Proft 8,56%,44% Max. Daly Loss -6,755% -,907% Up Perods 38,000 34,000 Down Perods 34,000 38,000 Avg Gan n Up Perods,38% 3,778% Avg Loss n Down Perods -,884% -4,353% MARRsk Free Rate Month 0,40% ROR yearly 3,968% -7,564% Standard Devaton 9,559% 8,735% Upsde Devaton 5,8% 0,404% Downsde Devaton 5,49%,848% Downsde Rsk to Rk Free Rate 5,8%,650% Maxmum Drawdown -,69% -78,307% Average Drawdown -,37% -47,744% Sortno Rato 0,049 Return on VaR 0,69 Calmar Rato 0,83 Sterlng Rato,674 Burkue Rato 0,06 Beta 0,30 Jensen Alpha 4,47% Trackng Error 4,99% Informato Rato 0,705 5