Fisica Generale II Esercitazione B-tutorato ESERCIZI CON SOLUZIONE POTENZIALI ELETTRICI

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1 Fisica Gnral II srcitazion B-tutorato SRCIZI CON SOLUZION POTNZIALI LTTRICI 1. Una carica lttrica q = +1 mc si trova nll origin di un ass mntr una carica ngativa q 1 = 4 mc si trova nl unto di ascissa 1 m. Sia Q il unto dll ass dov il camo lttrico si annulla P il unto di ascissa ositiva dov il otnzial lttrico si annulla. Il raorto Q / P val (A) 1/3 (B) 1/ (C) 1 (D) () 3 Risosta. La situazion di cami lttrici è schmatizzata nlla sgunt figura: A dstra di q (asciss ositiv) i du cami d 1 hanno vrso oosto la loro somma si uò annullar. Il unto Q si trova com radic ositiva dll quazion (dov l asciss sono in mtri) q q1 = 1 = Q + Q + 1 = 4Q Q = 1 m Q ( + 1) Q q 1 q 1 P Q Tra l du carich, i du cami hanno lo stsso vrso non si ossono annullar. A sinistra di q 1, 1 è smr maggior di. Prciò il unto trovato è l unico in cui il camo si annulla. Imoniamo l annullamnto dl otnzial: si hanno du soluzioni (diffrnz dll asciss tra P l carich di ugual sgno o di sgno oosto) q = ( + 1) / 4 = + 1 = = 1/ 3 m q q1/q 1 P + = + 1 q1/q = ( + 1) / 4 = + 1 = = 1/ 5 m Prndndo qulla con ascissa ositiva si ha Q / P = +3. Un diolo lttrico, inizialmnt orintato lungo l ass, è costituito da uno ion monovalnt ositivo, = 1.6(1 19 ) m, uno ngativo alla distanza d/ ϕ d = 3(1 1 ) m. Il diolo vin osto in un camo lttrico uniform dirtto vrso la dirzion ositiva dll ass con d d = (1 5 ) V/m. S il diolo uò orintarsi nl camo lttrico la sua nrgia otnzial diminuisc di (A) d (B) d (C) d/ (D) d/3 () d/4 Risosta. La carica ositiva si sosta di d/ nlla dirzion dl camo lttrico il qual comi su qusta un lavoro d/, ari a qullo comiuto sulla carica ngativa, comlssivamnt ugual alla rdita di nrgia otnzial dl diolo d = 9.6(1 4 ) J (risosta B). L nrgia otnzial dl diolo si uò scrivr com rodotto scalar tra il camo lttrico momnto di diolo qd cambiato di sgno: nrgia otnzial = d = d cosϕ Tal nrgia è minima quando camo lttrico momnto di diolo sono arallli massima quando sono antiarallli Tr carich con il sgno mostrato in figura con Q = 1 6 C sono fiss sull'ass dll. La carica cntral è a una distanza d=1m dall carich latrali. Una carica q ( massa m) libra di muovrsi normalmnt all'ass si trova inizialmnt in sora la carica cntral ad una distanza di 1 m dalla stssa. La carica mobil (A) si muov vrso la carica cntral fino a raggiungrla (B) si allontana indfinitamnt lungo l'ass (C) sta +Q frma d q Q +Q

2 Fisica Gnral II srcitazion B-tutorato 1-3 (D) si allontana inizialmnt dall'ass dll ma oi torna nlla osizion inizial comindo un moto oscillatorio () si avvicina inizialmnt all'ass dll ma oi torna nlla osizion inizial comindo un moto oscillatorio Risosta. Quando la carica q è molto vicina all'ass dll (<<d) rval la rulsion dlla carica ngativa cntral; quando è molto lontana (>>d), rval l'attrazion ssndo comlssivamnt la carica sull'ass ositiva. Poiché il camo lttrico cambia dirzion, vi è crtamnt un unto lungo l'ass dll dov si annulla. Il unto di quilibrio è qullo dov il camo lttrico si annulla, ovvro dov è nulla la drivata dl otnzial lttrico gnrato dall carich Q 1 V ( ) Q = + + d dv d dv d 1 = Q = ( + d ) + d = 3/ 3 Prciò la massa mobil si allontanrà inizialmnt dall'ass ; raggiungrà assrà il unto di quilibrio. Poiché l'nrgia otnzial inizial = qv( ) è ngativa l'nrgia otnzial all'infinito è nulla, la carica mobil non ha sufficint nrgia r allontanarsi indfinitamnt tornrà inditro comindo un moto oscillatorio non armonico (il otnzial dovrbb r qusto avr un andamnto arabolico). + d = / 3 = ± d ± 1.35d / 3 1 Il roblma si otva risolvr anch in modo sinttico. Si vrifica tracciando i vttori dll forz sulla carica mobil gnrat dall carich fiss ch r q =d la risultant è dirtta vrso l'alto. La carica non uò rciò star frma, né uò allontanarsi indfinitamnt rché l'nrgia otnzial inizial (immdiatamnt calcolabil in modo numrico) è minor di qulla all'infinito. 4. Calcolar il camo lttrico a distanza r di un filo infinitamnt lungo, osto lungo l ass, con una dnsità linar di carica ρ 1 (in C/m). Calcolar la diffrnza di otnzial tra du unti a distanza R d R dal filo. Risosta. In qualunqu unto P il camo lttrico sarà dirtto normalmnt al filo in quanto non vi è ragion r r cui il camo abbia una comonnt nl vrso dll crscnti iuttosto ch nl vrso dll dcrscnti. r Smr r ragioni di simmtria, il modulo di avrà lo stsso valor (r) in ogni unto a distanza r dal filo. Com surfici su cui alicar la lgg di Gauss rndiamo qulla di un cilindro di raggio r ch ha r ass il h filo altzza h. Il flusso di è divrso da zro solo attravrso la surfici latral (πrh) d è roorzional alla carica ρ l h contnuta nl cilindro: ρ1h ρ1 Φ( ) = π rh( r) = ( r) = ε πε r d

3 Fisica Gnral II srcitazion B-tutorato L surfici quiotnziali sono cilindri ch hanno r ass il filo. La diffrnza di otnzial tra una surfici cilindrica a distanza R una a distanza R è R ρ1 R V ( R) V ( R ) = ( r) dr = ln R πε R Pr R, la diffrnza di otnzial V(R)V(R ) divnta infinita; non ha rciò snso, in qusto caso, assumr com rifrimnto il unto all infinito. 5. Il otnzial lttrico è nullo nl baricntro di un triangolo quilatro di lato 1 cm ni tr vrtici ABC dlla figura val V A = 7 V, V B = V, V C =9 V; la comonnt dl camo lttrico nl baricntro è stimata ssr (in kv/m) A (A) (B) 1.1 (C) 1. (D)1. () 1.6 Risosta. Il camo lttrico nlla dirzion è il raorto incrmntal cambiato di sgno tra diffrnza di otnzial tra du unti con la stssa ordinata B C ( B = C =*) diffrnza di asciss: = ( V ( C, *) V ( B, *) )/( C B ) = 1.1 kv/m Pr calcolar si uò utilizzar A d il baricntro (stssa ascissa) our uno di qusti du unti il unto cntral di BC, a cui si assgna il otnzial (V B +V C )/. Si ottngono i cami lttrici mdi. NRGIA LTTROSTATICA CAPACITÀ CONDNSATORI 6. S un roton (carica ) ha raggio r = 1.(1 15 ) m, la sua nrgia lttrostatica è ari a circa (1 MV= 1.6(1 13 ) J). (A).6 MV (B) 1.6 MV (C) 1.11 MV (D).314MV () 3. MV Risosta. In rima arossimazion, si uò utilizzar la formula dll nrgia r la sfra conduttric carica, =.6 MV ch diffrisc oco (~%) dalla formula calcolabil r 1 1 C 4πε r l nrgia dlla sfra uniformmnt carica 3 πε r 7. Un condnsator è formato da du iastr ian di ara S =.1 m distanti d = 1 cm. Lo sazio tra l armatur è ino r 3/4 di olio (ε r1 = 5, d 1 =.75 cm) r il rstant 1/4 d aria (ε r 1, d =.5 cm). La caacità dl condnsator è ari a circa (A).47 nf (B) 314 F (C) 111 F (D) 5.31 nf () 1 F Risosta. Possiamo nsar al condnsator com costituito da un condnsator ε oε r1s ε oε rs C1 = in sri con C = d1 d La caacità C dl condnsator comlssivo è d1 d ε osε 1 ( 1 ) r ε r C = C + C = ε S + = 1F ε r1 ε r dε r1 + d1ε r 1 ε r =1 ε r1 =5 d =.5 cm d 1 =.75 cm 8. Una sfra mtallica isolata caricata con 6 nc assum un otnzial di V ristto a trra. La sua caacità è di

4 Fisica Gnral II srcitazion B-tutorato (A) 3 F (B).3 nf (C) 3.33 nf (D).33 µf () 333 F Risosta. Pr dfinizion di caacità C si ha C = Q/V= 3 F 9. Un grand condnsator a facc ian aralll orta una carica di 9.6 nc quando la diffrnza di otnzial tra l armatur è di 1 V. Sando ch la surfici dll armatur dl condnsator è S = 16 cm, il condnsator si trova in aria, la dnsità dll nrgia dl camo lttrico all'intrno dl condnsator. (NB: la costant dilttrica dll aria è circa ugual alla costant dilttrica dl vuoto): (A) 115 nw/m (B).4 mj/m 3 (C) 1.13 V/m 3 (D) 1.15 µj/m 3 () 58 nj/m 3 Risosta. Il camo lttrico all'intrno dl condnsator è =σ/ε =Q/ε S la dnsità di nrgia 1 U = ε =.36 J/m 3 Si noti ch il voltaggio non srv. Tuttavia, indicata con d la distanza tra l armatur si otva rocdr anch alla sgunt manira: 1 QV C = Q / V = ε S / d d = ε SV / Q U = Sd Ovviamnt, sostitundo l srssion di d si ritrova la formula inizial; s il calcolo vin fatto arossimando valori intrmdi trovati si ossono avr diffrnz nll ultima cifra significativa (risosta B). Si noti ch la risosta A è dimnsionalmnt rrata. 1. Du condnsatori uguali con C = 1 µf sono collgati com in figura C ad un gnrator di tnsion continua con V = 5 V. Doo ch vin chiuso l intrruttor S, l nrgia lttrostatica immagazzinata, ristto all nrgia inizial V C (A) divnta 1/4 (B) si dimzza (C) rsta ugual (D) quadrulica () raddoia Soluzion La caacità inizial è C/ la corrisondnt nrgia 1 C V. L nrgia final è CV /, ossia doia di qulla inizial. 11. Tra l armatur dl condnsator dlla figura, distanti d = 1 cm, vi è una diffrnza di otnzial di V = kv. All istant t = un roton (m kg) lascia l armatura ositiva contmoranamnt un lttron (m kg) lascia qulla ngativa. L du articll s'incontrranno ad una distanza dall armatura ositiva ari a circa (A).5 cm (B).5 cm (C).5 mm (D).5 mm () 5 µm Risosta. Il camo lttrico tra l armatur val = V / d la forza agnt sia roton sia su lttron (carica C) val in modulo F = q d lttron valgono a F / m, a = F m. L acclrazioni di roton =. Indicati con t il tmo rima dlla collision con / d, d l distanz cort da roton d lttron si ha 1 1 d a d = d + d = at + at t = d = d a + a a + a F / m m = d d F / m + F / m m 5m Al risultato si otva arrivar anch sintticamnt considrando ch gli sazi rcorsi sono invrsamnt roorzionali all mass ch rciò d = d. A dnominator è lcito trascurar m m + m la massa dll'lttron ristto a qulla dl roton, di circa volt maggior S 1 cm

5 Fisica Gnral II srcitazion B-tutorato SRCIZI CON RISPOSTA 1. L nrgia di un condnsator di.4 F è di.5 J quando la sua diffrnza di otnzial è di (A) V (B) 5 V (C) 1 V (D) 5 V () 5 V. Tra i unti A B vi è una diffrnza di otnzial di 1 V i condnsatori hanno i sgunti valori: C 1 =.3 µf, C =.4 µf, C 3 =. µf. La carica sull armatura dl condnsator C 1 è ari a circa (A) 1 µc (B) µc (C) 4 µc (D) 11 µc () 4 µc 3. Un condnsator da 6 µf è in sri con un condnsator da 1 µf. La caacità comlssiva è di A 1 V (A) µf (B) 4 µf (C) 6 µf (D) 8 µf () 1µF C 1 C C 3 B 4. Una carica untiform ositiva di 3 µc é osta nl unto origin dll'ass dll mntr una carica untiform ngativa di 1µC é osta nl unto di ascissa 1 = 1 m. La roizion sul iano dl disgno dlla surfici quiotnzial con V = é qualitativamnt dl tio (A) V= (B) V= 3µC 1µC 3µC 1µC (C) V= (D) V= 3µC 1µC 3µC 1µC () La surfici si riduc al solo unto dll'ass dll comrso tra l du carich dov il otnzial si annulla 5. Un condnsator da µ F è caricato con 6µ C d acquista una diffrnza di otnzial ari a (A).33 V (B).3 V (C) 3 V (D) 3 V () 33 V

6 Fisica Gnral II srcitazion B-tutorato L'nrgia otnzial di una carica di 1 mc ortata su di una sfra di raggio R = 1 m é di circa (A) 4.5 kj (B) 9 kj (C).5 kj (D) 1.15 kj () 7. Un condnsator a facc ian aralll di ara 1 m ost nl vuoto a distanza di 1 mm vin caricato con.6 µc quindi staccato dal gnrator. S tra l du armatur dl condnsator carico vin insrito un dilttrico con ε r =, la diffrnza tra nrgia otnzial final d inizial dl condnsator (A) é nulla (B) é ngativa ari all'nrgia inizial (C) é ositiva ari all'nrgia inizial (D) é ngativa ari all'nrgia final () é ositiva ari all'nrgia final + A. nm 8. Du carich + d una (= C) sono ost su tr vrtici di un quadrato di lato (1 1 ) m com in figura. Il otnzial lttrico dl quarto vrtic A val ( 1/ 4πε =9 1 9 N m C ) (A) 7. V (B) 9.3 V (C) 4.65(1 1 ) V (D) 1.48 (1 1 ) V () 1.1(1 1 ) V + 9. Considrando l'lttron (m = kg) dll'atomo di idrogno in moto su di un'orbita circolar di raggio 5.3(1 11 ) m attorno al nuclo 1 H (carica = C, =9 1 9 N m C ), la 4πε o frqunza di rotazion è di (A) 6.6(1 15 ) Hz (B) 1.16(1 16 ) Hz (C) 3.7(1 15 ) Hz (D).7(1 11 ) Hz () 1.(1 13 )Hz 1. Un condnsator isolato consist di du iatti mtallici sarati da uno strato d'aria tra i quali si ha inizialmnt una diffrnza di otnzial di 1 V. S tra i iatti si insrisc una lamina di vtro (ε r =.3) la diffrnza di otnzial (A) aumnta di una quantità roorzional allo sssor dlla lamina (B) aumnta roorzionalmnt alla sarazion lamina-armatur (C) non cambia (D) diminuisc cambia di un fattor minor o ugual a.3 () diminuisc cambiando di un fattor maggior o ugual a.3 sinistra lttron dstra su giù 11. In una sfra mtallica ina con carica ositiva è scavata una cavità sfrica com in figura. Un lttron al cntro dlla cavità è sinto dal camo lttrico dll carich dlla sfra (A) a dstra (B) a sinistra (C) in su (D) in giù () da nssuna art 1. Tr lttroni sono collocati ai vrtici di un triangolo quilatro di lato. nm. Il otnzial lttrico nl baricntro dl triangolo val (A) 1.6 V (B) 37.4 V (C) 43. V (D) 4.9 V () 49.9 V

7 Fisica Gnral II srcitazion B-tutorato Un roton (massa = kg, carica = C) si trova inizialmnt frmo sull'armatura ositiva di un condnsator nl vuoto ch ha una diffrnza di otnzial di 1 V. La vlocità con cui il roton raggiung l'armatura ngativa dl condnsator è di circa (A) 36 km/h (B) 14 km/s (C) 99 km/s (D) 199 km/s () 3(1 5 ) km/s 14. Un lttron (m = kg, q= C) é sarato orizzontalmnt tra i iatti dl condnsator dlla figura, a livllo dlla arma- tura ngativa, con una vlocità v = m/s. S la distanza tra l armatur é di d = 5 mm la diffrnza di otnzial tra qust é di V, qual distanza orizzontal comirà l'lttron rima di raggiungr l'armatura ositiva? (A).79 cm (B) 1.1 cm (C) 1.79 cm (D) 3.16 cm () 8.94 cm v d 15. Una carica Q è al cntro di un guscio sfrico conduttor il cui raggio intrno val.55 m qullo strno.75m. S il camo lttrico alla distanza di 1 m val 345 N/C (dirtto vrso l strno) il otnzial lttrico a.65 m dal cntro val (in V) (A) (B) 46 (C) 53 (D) 98 () Il camo lttrico in un condnsator a facc ian aralll di ara ugual a m è di.85 kv/cm quando la sua diffrnza di otnzial è di 1 V l armatur sono nl vuoto. La distanza tra l armatur è di (A) mm (B).4 mm (C) 3.6 cm (D) 3. mm () 17. Un roton (m = kg, q= C) vin acclrato da una diffrnza di otnzial di 15 kv urta frontalmnt un atomo di carbonio (massa 1 m ) ch è in moto vrso il roton con nrgia cintica ari a qulla dl roton stsso. S doo l urto i du cori rocdono assim, la loro vlocità comun sarà di circa (A).4 m/µs (B) 1. m/µs (C) 1.5 m/µs (D) 1.8 m/µs () 5.4 m/µs 18. La diffrnza di otnzial ch aumnta l nrgia cintica di un roton (m= kg, q= ) di 4.3(1 15 ) J val (A).7 MV (B).13 MV (C) 13 kv (D) () 7 kv 19. Un lungo cavo coassial ha com conduttor intrno un cilindro di raggio R 1 =.1 cm com conduttor strno un cilindro cavo di raggio intrno R =.3 cm d strno R 3 =.5 cm. Il conduttor intrno orta una carica di 5(1 6 ) C/m mntr qullo strno orta una carica di 5 (1 6 ) C/m. La diffrnza di otnzial tra un unto a distanza d=.3 cm dall ass dl cavo un unto sull ass dl cavo val (A)98.9 kv (B)6.4 kv (C) (D)31.4 kv (). Un condnsator con C= µf è inizialmnt isolato con una diffrnza di otnzial V=1 V ai suoi strmi. Il condnsator carico vin oi collgato ad un condnsator ugual scarico. La diffrnza = nrgia lttrostatica inizial dl condnsator nrgia lttrostatica final comlssiva di du condnsatori è ari a (A).5 J (B).5 J (C) 1. J (D). J () J

8 Fisica Gnral II srcitazion B-tutorato I otnziali lttrici ni unti dl iano attorno all origin hanno i valori riortati in tablla. La comonnt dl camo lttrico nll origin val (A) 5V/m (B) 1V/m (C) 5 V/m (D) 1 V/m () V/m V(,) m m 75 V 1 m m 85 V 1 m m 65 V 1 m 7 V 1 m 8 V. La carica di un condnsator con C =.1 F assa da 1 C a.5 C. L'nrgia dl condnsator diminuisc di (A) J (B) 37.5 J (C) 75 J (D) 15 J () 3 J 3. L'nrgia immagazzinata in un condnsator di 5 µf con una diffrnza di otnzial di 5 V val (A).65 J (B).5 cal (C).5 J (D).5(1-3 )J () indtrminata 4. Du rotoni (m = kg, carica C) in un nuclo di nickl sono distanti circa m. La loro nrgia otnzial val (in MV) (A) 3.9 (B).576 (C) 1.44 (D).36 () Nll'srimnto di Millikan una goccia di olio di µm di raggio dnsità rlativa all acqua di.85 é tnuta sossa tra i iatti orizzontali di un condnsator quando é alicato un camo lttrico discndnt di 8.7 kv/cm. Quant carich di un lttron contin la goccia? (A) (B) 5 (C) 7 (D) 1 () 6. La vlocità massima di un lttron in un tubo da tlvisor orant a V é di circa (m = kg) (si trascurino gli fftti rlativistici) (A).4(1 6 ) m/s (B) 5.9(1 7 ) m/s (C) 6.(1 7 ) m/s (D) 8.4(1 7 ) m/s () 7. Un condnsator a facc ian aralll ha un ara di 156 m. La distanza tra l armatur è d =. mm la costant dilttrica dl condnsator è ε r =.6. S il otnzial è di 75 V la carica sull armatur val. (A).47 mc (B) 1.1 mc (C) 9.8 mc (D) 1.17 mc () 8. Una carica q 1 = 1.75 (1 6 ) C è nll origin una carica q =8.6 (1 7 ) C è a =.75 m. Nl unto dll ass a mtà tra l du carich il otnzial lttrico val (A).14 (1 4 ) V (B) V (C) V (D) V () V

9 Fisica Gnral II srcitazion B-tutorato srcitazion B 1 (B) 5V () 4 µc 3 (B) 4 µf 4 (A) 5 (D) 3 V 6 (A) 4.5 kj 7 (D) è ngativa ari alla nrgia final 8 (B) 9.3 V 9 (A) 6.6(1 15 ) Hz 1 (D) diminuisc cambia di un fattor minor o ugual a /3 11 () da nssuna art 1 (B) 37.4 V 13 (B) 14 km/s 14 (B) 1.1 cm 15 (B) (B).4 mm 17 (B) 1. m/µs 18 () 7 kv 19 (A) 98.9 kv (B).5 J 1 (D) 1 V/m (B) 37.5 J 3 (A).65 J 4 (D).36 5 (A) 6 (D) 8.4(1 7 ) m/s 7 (D) 1.17 mc 8 (A).14(1 4 ) V RISPOST AGLI SRCIZI