IL FENOMENO DELLA LONGEVITA ED IL RISCHIO DI MODELLO: ANALISI E MISURA

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1 IL FENOMENO DELLA LONGEVITA ED IL RISCHIO DI MODELLO: ANALISI E MISURA Valeria D Amao Doorao in Maemaica per l Analisi economica e la Finanza XX Ciclo Coordinaore: Prof. Emilia Di Lorenzo Tuor: Prof. Emilia Di Lorenzo

2 Indice Capiolo 1 Il fenomeno della sopravvivenza in quesioni di caraere auariale Premessa Il Longeviy Risk L impao del Longeviy Risk su differeni ipi di polizze assicuraive Un analisi sorica della moralià 6 4. Dibaio inernazionale sul rend della sopravvivenza Come conrollare l esposizione al rischio longevià Requisii ideali per le avole di moralià Capiolo 2 I rischi di un porafoglio assicuraivo 1. Tipologie di rischio Misure di rischiosià Capiolo 3 Lo scenario finanziario e la sruura per scadenza dei assi d ineresse 1. Inroduzione Modelli Unifaoriali: il modello di Vasicek ed il modello di Cox, Ingersoll (CIR).. 19 Capiolo 4 Lo scenario demografico: modelli per la sopravvivenza Premessa Il modello Lee Carer Alri modelli Capiolo 5 Un esempio in assicurazioni caso via: Il rischio di proiezione in un porafoglio di rendie pensionisiche 1 Inroduzione Le rendie pensionisiche Il modello per il fondo di porafoglio Rischi di un porafoglio di rendie pensionisiche 36 2

3 5. L indice di rischiosià.. 37 Capiolo 6 Applicazione numerica ad un porafoglio di rendie pensionisiche 1. Obieivo delle applicazioni numeriche Ipoesi sulla dinamica dei assi d ineresse Ipoesi sulla moralià Applicazioni numeriche Capiolo 7 Un esempio in assicurazioni caso more: Il rischio di avola in un porafoglio di muui assicurai 1. Inroduzione Il muuo assicurao Il fair value della riserva Modello di valuazione: il caso di un porafoglio Uno srumeno per la misura del rischio di avola La mappa dei rischi demografici Capiolo 8 Applicazione numerica ad un porafoglio di muui assicurai 1. Obieivi delle applicazioni numeriche Ipoesi sulla dinamica dei assi d ineresse Ipoesi sulla moralià Evidenze empiriche. 81 Considerazioni conclusive.. 88 Appendice Riferimeni bibliografici

4 Capiolo 1 - IL FENOMENO DELLA SOPRAVVIVENZA IN QUESTIONI DI CARATTERE ATTUARIALE Premessa La specificià delle imprese assicuraive operani nel ramo Via deriva dall inscindibile legame delle aivià aziendali con la duraa di via umana: l assicurazione via garanisce la corresponsione di una somma di denaro al verificarsi di un eveno ainene la via umana, o soo forma di capiale o mediane quoe soo forma di rendia (ar codice civile). Le presazioni dell assicuraore dipendono dunque solano dalla duraa aleaoria di via dell assicurao. Le valuazioni probabilisiche circa la duraa aleaoria di via cosiuiscono dunque uno srumeno fondamenale ai fini di un compeene e prudene impiego nel empo dei mezzi raccoli dall azienda. Al fine di preservare la propria reddiivià e solidià parimoniale, le compagnie assicuraive sono cosree a selezionare accuraamene i modelli di rappresenazione delle dinamiche demografiche della colleivià in porafoglio, poiché da esse dipende la sima dell esposizioni fuure. Olre ad un obieivo siffao di naura meramene aziendale, le compagnie assicuraive europee soggiacciono ad un vincolo alreano sringene di adeguaa descrizione del fenomeno della moralià, in ossequio ai principi emanai dall Inernaional Accouning Sandards Board - IASB, secondo cui ue le foni di rischio da cui è affeo un porafoglio devono essere enue in cono nel calcolo del fair value delle pose del passivo da iscrivere in bilancio. Nell ambio infai del sisema di vigilanza prudenziale, il nuovo regime di solvibilià, Solvency II, si fonda su di un approccio inegrao al rischio (Inegraed Risk Analysis) che richiede che l assicuraore effeui una valuazione a valori di mercao (marke consisen). Si possono idenificare principalmene due foni di rischio che insisono sul porafoglio di un assicuraore e che concorrono a racciarne un idenià composia: il rischio finanziario (invesmen risk) ed il rischio demografico (demographic risk). Per quano riguarda il primo, esso è connesso alle fluuazioni dei assi di rendimeno che si verificano sul mercao e che possono causare un deprezzameno del valore degli invesimeni effeuai dalla compagnia assisuraiva. Come è ben noo, la sua naura è quella di componene sisemaica di rischio. In merio al secondo, esso si disingue uleriormene in due componeni: il rischio assicuraivo (insurance risk) ed il rischio longevià (longeviy risk). Il rischio assicuraivo discende da deviazioni accidenali del numero delle mori dal valore aeso ed i suoi effei possono essere miigai dall incremeno del numero delle polizze in porafoglio (pooling risk). Il rischio longevià si configura a frone dei migliorameni nel 4

5 rend della moralià, che possono causare una deviazione sisemaica del numero dei decessi dal valore aeso. Il profilo emporale della moralià osservao negli ulimi decenni per ogni generica eà x evidenzia re aspei significaivi: la reangolarizzazione, l espansione ed il più alo livello insieme con una più larga dispersione della more a giovani eà (Piacco (2004), Olivieri (2001)). La reangolarizzazione (paricolarmene marcaa a parire da ad eà adule x 35) consise in una maggiore concenrazione della disribuzione di probabilià inorno al puno di Lexis (cioè alla moda della disribuzione), il quale a propria vola ende a coincidere con la duraa massima di viaω. L espansione consise invece nello sposameno in avani di enià aleaoria del puno di Lexis che deermina l incerezza dell ampiezza della reangolarizzazione. Tali marcae endenze si raducono in un allungameno dell aspeaiva di via, faa salva una fore volailià dei assi di moralià in giovani eà. Il problema di possibili scosameni sisemaici ra frequenze di decesso osservae ex pos e ipoesi sulla sopravvivenza delle ese assicurae formulae ex ane dalle compagnie assicuraive (longeviy risk) può seriamene compromeere una sana e prudene gesione aziendale. Emerge dunque un problema di governo di ale rischio affinché esso non si abbaa preoccupanemene sull equilibrio d impresa e sulla sua sosenibilià prospeica. I principali srumeni di conrollo che aualmene si rendono disponibili sono le avole di moralià proieaa e i Longeviy Bonds. Riguardo a quesi ulimi, di cui si dirà diffusamene nel prosieguo della raazione, rimane una incapacià descriiva dell evoluzione della moralià legaa all incompleezza del mercao demografico: non esise infai un mercao secondario dal quale rarre indicazioni esausive sulla misura della moralià (Balloa e al 2006). Il rend della moralià può essere invece anicipao dall assicuraore mediane l impiego di avole proieae. In un approccio deerminisico, l effeuare valuazioni con una avola proieaa può comporare una riduzione del rischio rispeo a valuazioni operae in ipoesi di moralià saica. Ma ale analisi non iene cono che la proiezione sessa è affea da aleaorieà. E perano opporuno valuare un porafoglio in ipoesi di aleaorieà della proiezione (approccio socasico), sulla base del quale deve essere misurao il rischio insio in ale casualià: si raa di un rischio di modello, deo rischio di proiezione (projecion risk) o di avola (able risk). Il senso del lavoro è proprio quello di cosruire degli indicaori della rischiosià derivane dall aleaorieà nella scela della proiezione da pare dell assicuraore, in differeni condizioni conrauali assicuraive. In paricolare si farà riferimeno ad un porafoglio di ipiche assicurazioni 5

6 caso via, quali le rendie pensionisiche e ad un porafoglio di assicurazioni caso more, quali i muui assicurai. 1. Il longeviy risk Il longeviy risk può essere definio ad un livello individuale o aggregao (cf. Sallard 2006). Al livello individuale, il longeviy risk si sosanzia nella evenualià che una esa assicuraa viva di più di quano pianificao dalla compagnia assicuraiva. Al livello aggregao, il longeviy risk si sosanzia invece nella evenualià di un numero medio di anni di sopravvivenza più alo di quello assuno nell ambio di un sisema di polizze assicuraive. I migliorameni nei assi di moralià sono causai dall effeo combinao dei due summenzionai fenomeni di reangolarizzazione ed espansione. In fondo si porebbe dire che il longeviy risk si maerializza quando le aspeaaive circa la moralià non si inconrano nell esperienza della moralià (Michael Johnson 1 - Tillinghas Towers Perrin). 2. L impao del longeviy risk su differeni ipi di polizze assicuraive Le compagnie assicuraive sono obbligae a quanificare accuraamene l impao dell aleaorieà nel rend della moralià sulle differeni coperure offere, allo scopo di governare il rischio che ne discende. Il longeviy risk influisce infai con endenze di segno opposo nelle assicurazioni caso via ed in quelle caso more. Con riguardo alle polizze che corrispondono benefi in caso via, i migliorameni della sopravvivenza causano un effeo di carico sui pagameni che l impresa si rova a dovere regolare: il fondo disponibile risula soodimensionao ad ogni empo. Dall alra pare, con riguardo alle assicurazioni che pagano somme ai beneficiari in caso di more della esa assicuraa, l allungameno della via degli assicurai implica un conenimeno dei cosi a favore della compagnia. Nondimeno, la sovrasima di cosi pesa negaivamene sull aivià di gesione aziendale. A causa di essa, l impresa apposa disponibilià in accanonameni a coperura di cosi fuuri che non soserrà, immobilizzando aivià per un dao periodo di empo che porebbero essere diversamene impiegae. L impresa cioè soppora un coso opporunià più o meno significaivo. 3. Un analisi sorica della moralià Nel venesimo secolo l aspeaiva di via è aumenaa in media di 3 mesi ogni anno (Anolin 2007). Recenemene il asso medio di migliorameno ha addiriura subio un accelerazione. In paricolare 1 Prima Conferenza Inernazionale sul longeviy risk e capial marke, enuasi il 18 Febbraio 2005, alla Cass Business School, London. 6

7 la coore naa ra le due guerre sa vivendo significaivamene più a lungo. Sicuramene all allungameno della via umana hanno concorso diversi faori, quali diee alimenari migliori, cambiameni nelle abiudini di fumo ed un generale migliorameno delle condizioni di via. A iolo di esempio, l aspeaiva di via per un uomo di 65 anni nel 1980 era di alri 13 anni; nel 2000 l aspeaiva di via di un uomo di 65 anni è aumenaa a 16 anni, regisrando un incremeno di più del 20%. Nello scorso secolo, le significaive riduzioni nei assi di moralià sono sae osservae in eà infanili (moralià infanile) ed in eà adule (figura 1). Durane la prima pare del XX secolo, la decrescenza dei assi di moralià è saa causaa principalmene dalla riduzione delle malaie in eà infanili, menre nell ulima decade soprauo dalle diminuzioni del numero di mori per malaie croniche in eà avanzae. Dal grafico 1 emerge con chiarezza l enià dell aumeno sensibile dell aspeaiva di via alla nascia ed a 65 anni. L aspeaiva di via alla nascia è aumenaa più rapidamene durane la prima meà del XX secolo, menre l aspeaiva di via all eà di 65 anni è aumenaa più velocemene durane la seconda meà del XX secolo. Grafico 1, Fone: Anolin P. 2007, Via aesa e assi di moralià nei paesi OCSE,

8 Di seguio si ripora l andameno grafico di una serie di funzioni di sopravvivenza e di moralià della popolazione ialiana ra il ; ; ; 1981; 1992; 1998; 2002 (grafico 2 3) elaborao sulla base delle avole di moralià della popolazione ialiana (Biblioeca Cenrale Isa). 8

9 Grafico 2 Fascio di funzioni di sopravvivenza oenuo dall elaborazione delle avole di moralià della popolazione maschile ialiana, Fone: Faraone A f. sopravvivenza lx , , , , ,00 0, eà x Serie1 Serie2 Serie3 Serie4 Serie5 Serie6 Serie7 Grafico 3 Fascio di curve di decesso oenuo sulla base delle serie soriche del grafico 2, Fone: Faraone A f. moralià dx 8.000, , , , , , , ,00 0,00 Serie1 Serie2 Serie3 Serie4 Serie5 Serie Serie7 eà x 4. Dibaio inernazionale sul rend della sopravvivenza Nell ambio dell analisi sui prossimi sviluppi del rend della sopravvivenza umana si sconrano due differeni scuole di pensiero: secondo la prima non vi sarebbero limii all aspeaiva di via (Oeppen e Vaupel, 2002), menre per la seconda esiserebbe un rend conservaivo (Olshansky e al, 2005). A frone di una massiccia riduzione del rend della moralià si sarebbero prodoi infai piccoli incremeni nell aspeaiva di via, che suggeriscono che i migliorameni nell aspeaiva di via saranno lievi o addiriura si arreseranno. Secondo alri auori (Kanniso, 2000) il fenomeno di reangolarizzazione indica la presenza di un limie naurale all aspeaiva di via. Tuavia, come argomena Siegel (Siegel, 2005) la eoria della reangolarizzazione non è irrefuabile. 9

10 Rimane cioè un incerezza fore non solo sul rend della longevià, ma anche su quali srumeni meodologici impiegare per sudiarla. 5. Come conrollare l esposizione al rischio longevià 5.1 Soluzioni alernaive La naura sisemaica del longeviy risk rende improponibile il ricorso a operazioni di diversificazione di porafoglio. Le ecniche sviluppae fino ad oggi per far frone a ale rischio sono essenzialmene riconducibili a due approcci: 1) la gesione del rischio in proprio; 2) il rasferimeno del rischio a soggei erzi. In paricolare, per quano aiene al primo, le compagnie assicuraive soricamene implemenano avole di moralià proieae. Nel caso invece in cui esse adoino l orienameno opposo (cioè il rasferimeno del rischio), il mercao aualmene propone le segueni opporunià: a) l acquiso di Survivor derivaives (Longeviy Bonds e Survivor Swaps); b) il rasferimeno del rischio ad agenzie privae (OTC) o a colleivià di assicurai (moraliy linked conracs) 5.2 La gesione del rischio in proprio: avole proieae La leeraura auariale ha sviluppao numerosi approcci in ordine all obieivo di effeuare proiezioni sui assi di moralià (si veda in paricolare CMI, 2004, 2005a; Wong-Fupuy and Haberman, 2004), che porebbero essere così classificai (Anolin): meodi process-based; meodi explanaory-based; meodi esrapolaivi. I meodi process-based si riferiscono a dai biomedici della popolazione e su di essi sono effeuae le proiezioni I meodi explanaory-based espliciano relazioni economeriche preseni nel rend della sopravvivenza. I meodi esrapolaivi fondano le proiezioni sui rend sorici della moralià. Gli ulimi cosiuiscono la classe di modelli di gran lunga più uilizzai dagli auari e dagli eni pubblici europei ed americani. 10

11 La caraerisica precipua di ali meodi è che la moralià ad una daa eà è funzione dell anno di calendario sulla base dei dai passai. Nell ambio dei meodi esrapolaivi si disinguono quelli di ipo deerminisico, che semplicemene esendono l andameno della sopravvivenza passaa al fuuro e quelli di ipo socasico, che operano previsioni sulla base di dae disribuzioni di probabilià. I meodi esrapolaivi socasici più significaivi in leeraura risulano i segueni: 1) modelli che si fondano su proiezione inerdipendene della moralià ad eà specifiche 2 ; 2) modelli che usano procedure di sima su serie soriche sandard come il Lee-Carer mehod (Lee and Carer, 1992); 3) modelli economerici (e.g. Spline models). E ineressane noare che le agenzie governaive impiegano principalmene meodi esrapolaivi sulla base di dai sorici secondo un approccio deerminisico, al conrario gli auari soprauo meodi esrapolaivi di ipo paramerico come il modello di Gomperz. Si considerino ad esempio Eurosa e Unied Saes Census Bureau populaion projecions. Esse implemenano enrambe un approccio deerminisico, che fa ricorso ai rend sorici, generalmene degli ulimi 15 anni, circa i assi di moralià ad eà specifiche (age-specific moraliy raes - ASMR) ed assumono che ali endenze si esendano al fuuro dai aluni pesi (European Commission, Eurosa, 2005; Hollman e al., 2000). I valori di ASMR vengono simai ad una daa inermedia ed alla fine del periodo considerao per la previsione. Quese sime vengono effeuae enendo cono dei migliorameni nei assi di moralià regisraisi negli ulimi 3 o 5 anni disponibili. Per ciascun anno inermedio gli ASMR vengono calcolai per inerpolazione. Infine esrapolano gli anni inermedi assumendo una funzione di sopravvivenza paramerica, ad esempio logisica o alla Gomperz. Indipendenemene dal meodo usao, la previsione dei assi di moralià ad eà molo avanzae (85 anni o più) risula la sfida più complessa, dal momeno che i dai ad eà inolrae non sono accurai a causa del risreo se di dai osservabili. 5.3 Il rasferimeno del rischio a soggei erzi: i survivor derivaives L assicurazione si concreizza nell associazione di più individui sooposi al medesimo rischio al fine di rasferire il danno dall economia che direamene ne è colpia ad un gruppo di economie espose al medesimo rischio, sicchè il danno sesso viene ad essere ripario su di una massa di soggei (Cassandro 1975). Dunque è insio nel fenomeno assicuraivo sesso il conceo di rasferimeno del rischio ad enià erze. Nella faispecie, il longeviy risk viene ceduo al mercao finanziario, araverso l emissione di derivai legai all inensià di more (survivor derivaives). Essi 2 Ad esempio il modello di Gomperz. 11

12 vennero proposi da Blake e Burrows in un paper del 2001 e presenai alla comunià scienifica nel 2006 in occasione del convegno dell Isiuo degli Auari a Londra. Come ui gli srumeni innovaivi, i survivor derivaives non vennero saluai dal plauso della comunià scienifica, ma da un veno di sceicismo. Ma lo sceicismo ed i cosi di occasionali fallimeni sono ipici della sperimenazione o del cosiddeo processo di disruzione creaiva di nuovi prodoi finanziari. Il payoff dei survivor derivaives dipende appuno dall andameno della moralià. Nell ambio di quesa paricolare classe di aivià finanziarie si disinguono: moraliy bonds anche dei longeviy bonds e moraliy swaps o survivor swaps. Quesi ulimi risulano paricolarmene ineressani per sruura e per funzione. In ordine alla prima, essi cosiuiscono un accordo per lo scambio di uno o più cash flows nel fuuro, sulla base di un dao indice di sopravvivenza; nel caso base, si scambia un pagameno presene con uno socasico dipendene dall indice di moralià relaivo ad una daa popolazione. In merio alla funzione, essi servono a coprirsi dal rischio di deviazioni sisemaiche ed accidenali del numero dei decessi dal valore aeso. L acquiso di survivor swaps configura una coperura per riassicurazione. L ineresse maggiore verso i ioli di pura moralià è che essi porebbero fornire un beneficio derivane da diversificazione poichè la moralià porebbe non avere alcuna correlazione con i mercai finanziari, o u al più una correlazione molo bassa (Lin, Cox (2005)).Tuavia, sembra che aualmene le compagnie esiino ad acquisare conrai di queso ipo a lungo ermine poiché porebbero prospeare un alro ipo di problema: un significaivo rischio di credio (Dahal 2004). Inolre esise una condizione osaiva fore alla diffusione di ali asse: i modelli di pricing sono infai ad un iniziale sadio di sviluppo, non essendo agevolmene implemenabili le meodologie ipiche di pricing di un mercao compleo. 5.4 Il rasferimeno del rischio a soggei erzi: i moraliy linked conracs Il longeviy risk può essere ceduo ad un gruppo di assicurai oppure ad agenzie privae nei conrai di ipo moraliy linked. In quesi conrai si legano i premi o i benefis ad una dao gruppo di individui sufficienemene ampio: ad es. l inera popolazione ialiana, l inero porafoglio della compagnia assicuraiva, ecc. L idea soosane è che l equivalenza ra premi e benefis è sabilia sulla base dell informazione disponibile sulla moralià al empo 0. Si prevede un aggiusameno su premi o benefis: cioè il conrao non è ineramene pagao da una somma fissa, ma dipende dalla variazione realmene osservaa della moralià. In generale quesi prodoi legai all inensià di moralià inroducono un problema di sima di essa ed anche in queso caso i modelli di prezzameno di ali conrai necessiano di uleriore sviluppo. 12

13 Nel corso della raazione si farà riferimeno ad una gesione inerna del longeviy risk mediane l impiego di avole di moralià proieae, piuoso che a srumeni innovaivi di rasferimeno del rischio. Tale scela è moivaa dal fore limie di cui risene il mercao dei ioli legai all andameno della sopravvivenza: l assenza di liquidià del mercao demografico implica che il rischio in oggeo non possa essere perfeamene copero araverso l acquiso di ali ioli (Hari e al. 2007). In generale, i conrai dipendeni dalla sopravvivenza umana non sono negoziabili in un mercao compleo nel senso del ermine (Coppola e al. 2007). Nonosane l accresciuo ineresse nei confroni dei longeviy bonds, quesi prodoi non sono al momeno sufficienemene diffusi al puno da descrivere compleamene il mercao assicuraivo, proprio per la sruura a ermine della moralià e per il ciao aspeo della illiquidià. Il risvolo praico dell incompleezza del mercao demografico risula essere l assenza di indicazioni circa la dinamica della misura della moralià. In un oica di valuazione a valori correni, si descrive il fenomeno demografico usando l aspeaiva della sua migliore sima (bes esimae), considerando il mercao neurale rispeo alla componene sisemaica ed accidenale del rischio demografico (Balloa e al 2006). 6. Requisii ideali per le avole di moralià proieaa La Commissione Life Office Moraliy afferene al Coninuous Moraliy Invesigaion Bureau ha codificao in see requisii le caraerisiche considerae desiderabili per i modelli di proiezione (CMI: 1) facilià d uso: è un ovvia richiesa che risponde anche alla necessià di comprendere e spiegare ad alri il modello; 2) facilià d inerpreazione dei parameri: i parameri del modello devono essere facili da capire a da simare; 3) sruura del modello ed adaameno: queso risula un requisio chiave secondo cui il modello di proiezione dovrebbe essere sensibile alla regione dei dai, nel senso di aderenza ai dai; 4) effei coore: laddove esisano nei dai, i modelli devono essere in grado di rifleerli; 5) bes esimae, queso requisio chiave implica che le proiezioni devono essere ragionevoli ed aendibili; le proiezioni dovrebbero inolre essere consiseni con i rend più receni e dovrebbero prendere in considerazione i rend più significaivi; 6) inervalli di confidenza: avendo le proiezioni naura probabilisica possono essere associae a dai livelli di confidenza; 7) abilià a generare raieorie di rilevazione. 13

14 Tali requisii sarebbero auspicabili, uavia rimane fore la componene di incerezza circa la proiezione della moralià fuura, in ordine alle segueni ragioni: l incerezza del modello, che nasce a causa del fao che il soosane modello correo è incognio; l incerezza dei parameri: i parameri sono simai da un se di dai finio; l incerezza socasica: quesa riflee le variazioni casuali che si porebbero verificare in fuuro, anche se il modello ed i parameri sono conosciui; l errore di misura; l eerogeneià che si configura se, nell ambio del se di dai, ci manifesano rend differeni; l esperienza passaa che non può essere una buona proxy per il fuuro. Rimane dunque significaiva l incerezza nella scela della avola che ne giusifica una sua accuraa quanificazione. 14

15 Capiolo 2 I RISCHI DI UN PORTAFOGLIO ASSICURATIVO 1. Tipologie di rischio Le principali ipologie di rischio che insisono su di un porafoglio assicuraivo sono riconducibili al rischio d invesimeno ed al rischio demografico. Il primo deriva dall aleaorieà dei assi di rendimeno degli invesimeni effeuai dalla compagnia assicuraiva rispeo ai assi effeivi e presena naura sisemaica impaando su ue le polizze nello sesso verso. Il secondo va analizzao disinguendone la componene assicuraiva e quella di longevià. La componene assicuraiva risula connessa alle oscillazioni del numero effeivo di decessi rispeo al numero previso. Essa si configura come un rischio diversificabile che può essere conrollao incremenando il numero di polizze in porafoglio. La componene di longevià invece deriva dal migliorameno del rend della moralià. Essa rappresena un rischio sisemaico che può essere conrollao mediane avole di moralià proieae, cioè cosruie sulla base di previsioni sull andameno dei fuuri assi di moralià (Marocco e Piacco, 1998; Olivieri, 1998). Da ciò deriva una uleriore fone di rischio, rappresenaa dall aleaorieà della avola di proiezione prescela (Coppola e al., 2002): il cosiddeo rischio di modello. 2. Misure di rischiosià Allo scopo di decomporre il rischio di porafoglio nelle sue componeni principali, in ermini generali, si consideri una variabile aleaoria affea da re foni di incerezza X Y, G una funzione in re variabili così che,. Sia inolre f (.) Z = f ( XYG) per la formula di decomposizione della varianza (Coppola e al. 2005), possiamo decomporre la varianza di Z secondo X come segue: [ Z ] Var[ E( Z X )] + E[ var( Z X )] Var = (1), Si consideri per la quanià [ E( Z X )] Var la funzione: ( Z X ) E[ f ( XYG) X ] E = (2). 15

16 Nella (11) si assuma che X abbia un valore noo x 0, si ha: ( Z X x ) = E[ f ( XYG) X x ] E = = (3). 0 0 Tui i valori assuni da Y e G in f ( XYG) sono influenzai da X = x0 quanià E [ f ( XYG) X ] è dovua solamene alla variabilià di X. La misura [ E( Z X )] e dunque l incerezza della Var riassume quesa incerezza, essa può essere dunque consideraa come misura della variabilià di Z dovua ad X avendo mediao gli effei dovui ad Y e ag. Si prenda ora in considerazione il secondo addendo della formula (1), cioè E [ ( Z X )] Analogamene a quano deo precedenemene si assuma che X = x0, si ha: var. ( Z X x ) = Var[ f ( XYG) X x ] Var = = (4) 0 0 In queso caso la variabilià di Z è deerminaa dalla variabilià di Y e G per ogni dao valore assuno da X, quindi la quanià E [ var( Z X )] dovua a Y e G. Si voglia infine decomporre secondo la (1) la quanià [ Z X ] secondo Y, oenendo così: [ Z X ] Var[ E( Z Y ) X ] + E[ var( Z Y ) X ] è semplicemene una media dell incerezza di Z Var condizionando ad esempio Var = (5) e quindi [ Var[ Z X ] E[ Var[ E( Z Y ) X ] + E[ E[ var( Z Y ) X ] E = (6) dove, in base ad un ragionameno analogo a quello precedenemene esposo, la componene E [ Var[ E( Z Y ) X ] Y menre E [ E[ ( Z Y ) X ] può essere consideraa una misura dell incerezza di Z dovua ad var può essere consideraa dipendene dalla variabilià dig, avendo condizionao rispeo ad X e ad Y. 16

17 Capiolo 3 LO SCENARIO FINANZIARIO E LA STRUTTURA PER SCADENZA DEI TASSI D INTERESSE 1. Inroduzione Il primo passo nel processo di cosruzione di un modello consise nel caraerizzare l ambiene nel quale si inende operare. Le re ipoesi fondamenali sul funzionameno del mercao che si è solii assumere sono le segueni: non frizionalià, cioè l assenza di cosi di ransazione, di gravami fiscali, possibilià di vendie allo scopero e nessun rischio di defaul; compleezza, ossia la disponibilià di ioli di scadenza qualsiasi e l infinia divisibilià degli sessi; assenza di arbiraggio, assenza di possibilià di guadagno non rischiose. Sabilie dunque le ipoesi alla base del modello occorre idenificare i faori che guidano l evoluzione dei assi. Si farà riferimeno ai cosiddei modelli per la sruura a ermine dei assi a breve (modelli della erm srucure), i quali descrivono l evoluzione della yield curve nel empo; in essi viene specificao il comporameno del asso di ineresse r a breve ermine (il asso spo è per definizione il compenso, per unià monearia impiegaa, che il mercao fissa al empo per invesimeni che hanno duraa pari all inervallo (, T ) e viene usualmene riferio ad una unià emporale sandard quale l anno). Sudi empirici sulla evoluzione delle sruure dei assi di ineresse hanno mosrao che è possibile scomporre l evoluzione della curva in re ipi di moi indipendeni: una raslazione rigida (shif), indipendene dalla daa di scadenzat ; una orsione (wis) in cui i assi a breve ermine si muovono in direzione opposa a quelli a lungo ermine; un moo cosiddeo a farfalla (buerfly) in cui i assi inermedi si muovono in maniera opposa a quelli esremi che si muovono in modo concorde. Alcune analisi della varianza dei assi di ineresse in ermini di componeni principali hanno suggerio che di quesi re ipi di moo il primo è quello dominane. 17

18 1.1 Modelli unifaoriali Nei modelli unifaoriali il processo socasico che descrive la dinamica del asso di ineresse isananeo a proni dipende da un solo faore di incerezza; a seconda di quale è il processo socasico che deermina l evoluzione del asso a proni la dinamica può essere differene. Di solio il asso a breve è descrio, in un mondo neurale verso il rischio, dal seguene processo di Iô: dr = m() r d + s()dz r (1) dove z = { z } 0 è un processo di Wiener (o moo Browniano) e il drif isananeo ( r) deviazione sandard isananea s () r sono funzioni del asso r ma indipendeni dal empo 0 m e la. L assunzione di un solo faore di rischio non è così resriiva come si porebbe pensare: un modello ad un solo faore implica che ui i assi si muovano nella sessa direzione in ogni breve inervallo di empo ma non che ui si muovano in uguale misura. La forma della yield curve può quindi cambiare con il passare del empo. Tra i modelli unifaoriali, godono di una maggiore diffusione il modello di Cox, Ingersoll e Ross (di seguio denominao CIR) e il modello di Vasicek. Il successo di quesi modelli è dovuo principalmene alla possibilià di oenere delle soluzioni analiiche per il prezzo di obbligazioni; ciò infai li rende srumeni abbasanza semplici da maneggiare nella praica. Tuavia, hanno anche dimosrao di avere diversi limii e di non riuscire a rispeare mole delle esigenze preseni sul mercao; infai, c è chi riiene che una singola variabile sia insufficiene per caurare ragionevolmene la disribuzione dei cambiameni fuuri della yieldcurve. Quesi modelli non si adaano auomaicamene alla erm srucure correne; scegliendo adeguaamene i parameri si può fare in modo che essi riproducano approssimaivamene mole delle erm srucure che si inconrano in praica. 1.2 Modelli ad arbiraggi nulli Tali modelli sono disegnai in modo da essere esaamene coereni con la erm srucure correne; la differenza ra i modelli di equilibrio e quelli ad arbiraggi nulli è che nei primi la erm srucure correne è un oupu menre nei secondi è un inpu. Generalmene, nei modelli di equilibrio il drif del asso a breve non è funzione del empo, invece nei modelli ad arbiraggi nulli il drif del asso a breve dipende dal empo. Inolre, in quesi ulimi 18

19 modelli la configurazione iniziale della yield curve regola il seniero medio che verrà seguio in fuuro dal asso a breve: se la erm srucure è inclinaa verso l alo, r enderà ad aumenare in un mondo neurale verso il rischio; se la erm srucure è inclinaa verso il basso, r enderà a diminuire; se, invece, la erm srucure prima decresce e poi cresce, il seniero aeso avrà una pendenza negaiva all inizio e posiiva dopo. Tra i modelli ad arbiraggi nulli rienrano il modello di Ho e Lee, il modello di Hull e Whie ad uno e a due faori e il modello di Black e Karasinski. I modelli di equilibrio e quelli ad arbiraggi nulli presenano due imporani limii: conengono un solo faore di rischio (ossia, una sola fone di incerezza); non consenono all uene di scegliere liberamene la sruura della volailià. Essi, perano, offrono raabilià, ma al conempo c è moivo di rienere che una singola variabile sia insufficiene per caurare ragionevolmene bene la disribuzione dei cambiameni fuuri della yield-curve; l ineresse si è allora sposao su modelli più sofisicai, i modelli muli-faoriali. 1.3 Modelli muli-faoriali I modelli mulifaoriali consenono all uene piena flessibilià nella definizione delle condizioni di volailià, sia al empo zero che ad isani fuuri. In linea di principio la curva dei assi rova la sua collocazione maemaica ideale in uno spazio di funzioni infinio-dimensionale; per ragioni praiche uavia si ricorre ad un numero finio di variabili di sao, ed è un problema praico quello di deerminare quale sia il numero di quese variabili sufficiene ad offrire ragionevolezza di risulai e raabilià. Alcuni lavori suggeriscono che due o re variabili di sao possono essere sufficieni per moli scopi praici. A ale gruppo apparengono il modello di mercao del Libor (LMM) e il modello di Heah, Jarrow e Moron (HJM). Si raa di un approccio diverso in quano considera l inera curva dei assi d ineresse come una variabile di sao; inolre, descrive la sruura a ermine dei assi d ineresse uilizzando i assi forward (il asso forward per l anno n o più in generale per il periodo l anno n, è il asso deerminao dai assi spo auali per un periodo n ), per i quali si cosruisce un modello socasico. Δ per Δ di empo a parire dall anno 2. Modelli Unifaoriali: il modello di Vasicek ed il modello di Cox, Ingersoll (CIR) 19

20 I primi e più noi enaivi di modellare la sruura a ermine, come pure la sua evoluzione nel empo, erano basai sull assunzione che fosse sufficiene modellare il comporameno di un solo puno della curva dei rendimeni. Il ipico puno uilizzao nei modelli radizionali è l inercea della curva, cioè il asso d'ineresse isananeo. Sulla base di paricolari assunzioni sulla dinamica socasica di queso puno della curva, ed assumendo che sul mercao non sia possibile realizzare arbiraggi, è possibile oenere il valore di ui gli alri puni araverso relazioni maemaiche precise, e alvola disponibili anche in forma analiica: è il caso del modello di Vasicek e quello CIR. 2.1 Modello di Vasicek Una delle rappresenazioni maggiormene uilizzae per modellizzare l evoluzione della sruura a ermine dei assi di ineresse consise nell assumere che il asso spo risk-free sia un processo socasico markoviano, soluzione di un equazione differenziale socasica. Uno dei più noi modelli è il modello di Vasicek. In queso modello si pone: m s () r = a( b r) () r = σ perano il processo neurale verso il rischio per r è descrio dalla seguene equazione differenziale socasica: ( b r) d + σdz dr = a (2) dove a, b eσ (coefficiene di diffusione, ossia la volailià) sono parameri cosani a valori reali, menre dz è un moo Browniano sandard. Nel modello di Vasicek il processo socasico r è di ipo mean revering, il cui valore, quindi, ende ad essere riporao nel empo ad un livello di lungo periodo: in queso modello il livello di lungo periodo è rappresenao dal paramero b. Infai: se b r ende a scendere; r > il drif ( b r) a è negaivo, proporzionalmene alla differenza: il livello di se r < b il drif risula posiivo e ende a far aumenare il valore di r. 20

21 Il asso a breve viene spino verso il livello b con una velocià pari ad a : infai, b è la media di lungo periodo menre a fissa la velocià di mean reversion. Il modello di Vasicek fornisce una descrizione piuoso realisica dei processi osservai sulla serie sorica del asso a breve; esso viene ancora largamene uilizzao nella praica, daa la sua maneggevolezza dovua soprauo al fao che ammee soluzioni analiiche. Inolre, la possibilià che per alcune raieorie i assi a breve possano divenare negaivi cosiuisce una caraerisica del modello che non ne limia affao l implemenazione, al conrario esso può essere impiegao nei casi in cui si rende necessaria la rappresenazione della dinamica del asso globale di rendimeno su dai porafogli. Nel modello di Vasicek si possono scrivere in forma chiusa le formule di valuazione per il prezzo di un iolo senza cedole. Si consideri in paricolare uno zero-coupon bond uniario che paga un euro all epoca T. Il prezzo ( T ) P, di ale iolo all epoca (con 0 T ) si può scrivere come segue: P B( T ) r( ) ( T ) A( T ) e,, =, (3) con B e 1 a [ ] a( T ) (, T ) = 1 e 1 a 2 a( T ) (, T ) = exp ( B(, T ) T + ) ab σ 1 e A [ ]/ a [ σ B(, T ) / 4a] Quando a = 0 si ha B (, T ) = T e 1 A σ (, T ) = exp ( T ) Perano, dai i valori di a, b e σ si porà deerminare l inera erm srucure che si può diversamene configurare: con inclinazione posiiva, negaiva, o con gobba. 21

22 Ad esempio, le evidenze empiriche hanno mosrao in quesi anni un andameno monoono della curva dei rendimeni srippaa sulla base del mercao dei assi Euro. Grafico 1 - Possibili forme della erm srucure secondo il modello di Vasicek: Tasso di rendimeno di ZCB Via residua Tasso di rendimeno di ZCB Via residua 22

23 Tasso di rendimeno di ZCB Via residua Tasso di rendimeno di ZCB Via residua 2.2 Modello di Cox, Ingersoll e Ross Il modello CIR, sviluppao nel 1981 da Cox, Ingersoll e Ross, rappresena la dinamica per il asso d ineresse sulla base sia del livello di assi nel lungo ermine, sia sul grado di volailià dei assi. Si ipoizza che il asso di ineresse nel lungo ermine converga ad un valore medio e, quindi, quando i assi si aesano ad un livello inferiore alla media enderanno gradualmene ad aumenare, viceversa quando essi si rovano al di sopra della media enderanno gradualmene a diminuire. A quesa endenza di fondo si aggiunge una componene aleaoria nell andameno dei assi medesimi. Il modello CIR assume: che il asso di ineresse isananeo r segua il processo descrio dall equazione differenziale socasica: 23

24 ( b r) d + σ rdz dr = a (4) dove a è la velocià di aggiusameno del asso d ineresse r verso la sua media di lungo periodo b, σ r è la volailià che caraerizza le variazioni di r e dz è un processo di Wiener sandardizzao; se risula 0<a<1 il asso isananeo ende a convergere al suo valore medio b (mean revering process); il rendimeno isananeo aeso di obbligazioni di qualsiasi scadenza è pari al asso d ineresse r maggiorao di un premio al rischio (Local Expecaions Hypohesis): db Br E = r + λ r (5) B B dove λ è il prezzo di mercao del rischio e rb r / B rb r /B rappresena l elasicià del prezzo B dell obbligazione rispeo ad r ; valgono le consuee ipoesi di mercai perfei. Si raa di un modello in cui i assi sono sempre non negaivi e il processo neurale verso il rischio per r ha lo sesso drif con mean reversion del modello di Vasicek, ma il ermine socasico ha una deviazione proporzionale a r ; ciò vuol dire che, al crescere del asso d ineresse a breve, la sua deviazione sandard aumena. Cox, Ingersoll e Ross hanno dimosrao che i prezzi delle obbligazioni hanno la sessa forma generale del modello di Vasicek: P B( T ) r( ) ( T ) A( T ) e,, =, ma le funzioni B (, T ) e ( T ) A, sono diverse e precisamene: B e A (, T ) (, T ) 2e ( T ) = [ 1] + 2y y( T ) ( y + a) e (2e y ( T ) = y( T ) ( y + a) e y 1 1) 2ab 2 σ [ 1] + 2y 24

25 2 2 con y = ( a + 2σ ) Tuavia, come nel modello di Vasicek, le yield curves possono essere inclinae verso l alo o verso il basso o mosrare una lieve gobba. Il asso a lungo ermine R (, T ) dipende da r () in modo lineare: ciò vuol dire che il valore di r ( ) deermina il livello della erm srucure al empo. Quindi, la forma della erm srucure al empo è indipendene da r ( ) ma dipende da. L uilizzo del modello CIR presena alcuni vanaggi: è semplice, ma significaivo da un puno di visa economico; è possibile simarlo agevolmene sia su serie sorica che dalla curva dei rendimeni (analisi cross-secion). I limii di ale modello sono dunque essenzialmene connessi al fao che si raa di un modello unifaoriale e quindi uilizza un unica variabile per descrivere l inera yield curve; quesa assunzione implica che ui i assi di ineresse si muovano nella sessa direzione in ogni breve inervallo di empo. In alre parole i modelli a singolo faore comporano una perfea correlazione ra i movimeni dei assi a differeni mauriies, ciò comunque non implica che i rendiemni per ogni scadenza varino ogni vola della sessa quanià, né che la erm sucure debba aver sempre la sessa forma. 25

26 Capiolo 4 LO SCENARIO DEMOGRAFICO: MODELLI PER LA SOPRAVVIVENZA Premessa Sin dai primi anni 90 sono sai sviluppai modelli socasici per rappresenare i migliorameni dell andameno del rend della sopravvivenza umana, ra i quali vi sono i segueni: il modello Lee - Carer (1992), e le sue esensioni Brouhns e al. (2002), Renshaw e Haberman (2003,2006), CMI (2005, 2006)); il modello P-splines (Currie e al. (2004), Currie (2006),CMI (2005, 2006)); il modello di Cairns e al. (2006b). Negli ulimi decenni uavia il modello proposo da Lee e Carer (di seguio L-C) ha acquisio una popolarià crescene ra demografi ed auari. La descrizione dei cambiameni della moralià come funzione di un unico indice emporale si è dimosraa infai molo calzane nel prevedere i rend della moralià (Biffis e al. 2005). Nonosane la scela della avola risponda ad un crierio di ipo bes esimae, vale la pena considerare brevemene il modello L-C che osserva moli dei requisii considerai auspicabili e che viene implemenao a iolo di esempio nelle applicazioni sviluppae di seguio insieme ad alre avole di sopravvivenza. In paricolare, il modello L-C cosiuisce un risulao fondamenale nella rappresenazione e previsione della sopravvivenza umana. Olre alla manegevolezza nella implemenazione dei dai, ale modello rappresena efficacemene i migliorameni nel rend della moralià. Per il suo meccanismo endogeno di generazione dei parameri di anno in anno, esso riesce a caurare i cambiameni nel rend della moralià. Nuovi dai correggono la descrizione del fenomeno a conseguenemene evidenziano i cambiameni nel rend. 1. Il modello Lee Carer Ronald Lee e Lawrence Carer propongono in un aricolo del 1992 pubblicao sul Journal of he American Saisical Associaion un modello per la moralià che ha la caraerisica di essere esremamene semplice da un puno di visa applicaivo ed allo sesso empo ha la capacià di descrivere il fenomeno con buona accuraezza. Il meodo proposo è puramene esrapolaivo, nel senso che non ende in alcun modo ad inglobare informazioni mediche, sociali o comporamenali, ma ue le considerazioni sono basae su come il fenomeno si è evoluo in passao. 26

27 Esso appariene a quella caegoria di modelli nei quali l andameno della moralià è espresso sia in funzione del empo che dell eà x. Queso modello risula fiao su dai sorici e la risulane sima del paramero che varia nel empo è previsa come una serie sorica socasica, usando il meodo di Box-Jenkis. Sulla base della previsione del generale livello di moralià si oengono i assi specifici per eà. 1.1 La relazione caraerisica del modello Il modello ipoizza un andameno esponenziale del asso cenrale di moralià per ogni eà. Tale asso può essere inerpreao come una probabilià di decesso cenrale, cioè calcolaa alla meà del periodo in considerazione (araverso il rapporo ra decessi e numero medio di persone), diversamene da q x che è la probabilià di decesso all inizio del periodo (in queso caso il rapporo è ra decessi e numero di persone all inizio del periodo). L andameno esponenziale del asso cenrale di moralià ricalca perfeamene il fenomeno della decelerazione: la via aesa per un soggeo di eà x cresce nel empo ma la velocià alla quale ciò avviene ende a ridursi. Nella sua versione originale il modello è caraerizzao dalla seguene relazione (Lee e Carer, 1992): m x = exp( a x + kbx + ex,, ln( + m x, ) = a x + k bx e x, ) (1) (2) dove : m x, il asso cenrale di moralià calcolao per un individuo di eà x al empo. x a è una media semplice di ( ) ln lungo l inero periodo di osservazione. Essa descrive in m x, media appuno il comporameno del asso cenrale di moralià per ogni eà x. k è un indice di moralià nel empo. Esso mosra per ue le eà insieme come il fenomeno della moralià si è evoluo nel passao. x b è un paramero di sensiivià. Per ogni eà, esso spiega come ( ) ln reagisce al passare del d ln( mx, ) bxdk empo, come mosra la seguene espressione: =. Il paramero sineizza l ampiezza d d del asso di moralià che si reduce per ogni eà; e x, rappresena la pare di moralià che non è cauraa dal modello, con media zero e varianza σ <. e m x, 27

28 1.2 La sima dei parameri Il modello così come risula dalla relazione caraerisica è soosimao, cioè i ermini a secondo membro della (1), (2) non sono direamene osservabili. Dunque il primo problema che riguarda la sima è quello di deerminare innanziuo il paramero a x ad ogni eà x. A ale scopo si imponga la normalizzazione del paramero k in maniera ale che: k = 0 (3) e sulla base della (4.3) si oiene: n n n ( mx, ) = nax + bx k + ln e (4) = = = x, Se e x, è zero in media, si può scrivere la seguene relazione: n = 1 1 ln( mx, ) n n ln = m x aˆ, = n 1 = x (5) essendo m x, osservabile dalle avole di sopravvivenza, si può agevolmene deerminare Si supponga inolre: a x b x x = 1 e sulla base della (4.6) si può scrivere la seguene espressione: (6) ω ln ( m ) = ω a + k x, x x x= 0 x= 0 x= 0 x= 0 ω b + ω e x, rascurando l addendo somma degli errori, l indice k può approssimarsi così: (7) ω x= 0 ln ω ( mx ) ax kˆ, = x= 0 (8) 28

29 Essendo il paramero b x oenibile araverso il fiing di una semplice regressione, il modello è così espresso: m = exp( aˆ + kˆ bˆ ˆ x, ln( mˆ ) aˆ kˆ bˆ, = + x x x x x ) (9) (10) 1.3 Lo sep finale: la previsione Il modello assume la cosanza di a x e bx L unico paramero da proieare è k araverso una procedura Box Jenkis che serve a deerminare un appropriao ARIMA. Lee e Carer oengono per l indice di moralià k un rend lineare sulla base di un ARIMA(0,1,0), che ben si adaa alla rappresenazione dell evoluzione dell indice nel empo. Si richiama dunque per k il seguene modello: k = k 1 c + e (11) in cui: k è l indice di empo al empo, c è il rapporo ra il decremeno globale di k ed il numero dei periodi in cui il decremeno si è realizzao, e è il ermine di errore al empo. Per quano riguarda l inervallo di confidenza, si definisce lo sandard error associao ad s periodi di previsione come segue (Lee e Carer, 1992): ˆ σ σ h con 2 h s e h N h = 1 dove ˆ σ 1 è lo sandard error della sima che indica l incerezza associae ad un anno di previsione. Si può evidenemene osservare che, all aumenare dell orizzone di previsione, lo sandard error cresce secondo la radice quadraa dell orizzone medesimo. Avendo così proieao k e sulla base della cosanza di ax e b x si possono oenere dalla relazione caraerisica gli m x, per ogni eà x ed in ogni epoca. Infine dagli m x, si può risalire alle q x, e dunque alla abulazione di inere avole di moralià: 29

30 q x 2mx = 2 + m x. 2. Alri modelli 2.1 Il modello di Heligman Pollard Nel 1980 Heligman e Pollard (di seguio H-P) inrodussero un modello, divenao poi famoso, per la rappresenazione del rend della sopravvivenza. Nel modello di Heligman e Pollard, la probabilià di decesso ra x ed x + 1 q x può essere oenua dalla seguene relazione: q p x x = A x + D exp E log F + GH ( x+ B) C x 2 (12) L idea soosane il modello è quella di effeuare una decomposizione del ermine al primo membro della (12) in re pari: la moralià infanile, la cosiddea gobba accidenale in giovani eà ed infine la moralià senile. L andameno grafico del rend della moralià di una daa popolazione, disino nelle sue diverse componeni è rappresenao dal grafico 1: Grafico 1- Il rend della moralià, Fone: Heligman Pollard (1980) 30

31 Ai fini dell analisi condoa di seguio su porafogli di rendie pensionisiche, i primi due addendi al secondo membro della (12) possono essere rascurai, poiché si errà in considerazione esclusivamene la componene della moralià senile. Si considera dunque solo il erzo ermine della (12) che descrive appuno il paern della moralià ad eà adule: q x = x GH (13) px dove G esprime il livello della moralià senile ed H il asso di incremeno della moralià senile. 2.2 Il modello di Weibull Il modello di Weibull, che viene impiegao largamene nell ambio della eoria dell affidabilià, è alresì uilizzao per descrivere l andameno della moralià di un individuo apparenene ad una deerminaa colleivià, sia per la semplicià della sua formulazione analiica, sia per il fao che di ale modello si conoscono le espressioni analiiche dei valori sineici della disribuzione. Il modello generalizza l uso di una disribuzione esponenziale a due o a re parameri, in modo ale da poer descrivere inensià di moralià non cosani e da rendere la disribuzione più adaa alla rappresenazione della moralià. Con riferimeno alla variabile aleaoria T 0, che indica la duraa aleaoria di via di un individuo alla nascia, l inensià di moralià è espressa come: μ α x ϑ β β α 1 ( x) = con x ϑ (14) con α, β e ϑ parameri posiivi, rispeivamene di forma, di scala e di localizzazione. Dall espressione analiica (14) dell inensià di moralià, mediane inegrazione è possibile ricavare le espressioni analiiche delle alre funzioni della disribuzione. 31

32 Capiolo 5 - UN ESEMPIO IN ASSICURAZIONI CASO VITA: IL RISCHIO DI PROIEZIONE IN UN PORTAFOGLIO DI RENDITE PENSIONISTICHE 1. Inroduzione La progressiva riduzione della moralià in eà senili ha un effeo dirompene soprauo su deerminae polizze assicuraive, quali le rendie vializie, caraerizzae da lunghe durae conrauali: in eà senili, la decrescenza nel empo delle probabilià di decesso ad ogni eà, gioca a sfavore dell impresa assicurarice. Le assicurazioni in caso di via sono infai finalizzae allo scopo di cosiuire una disponibilià finanziaria, in caso di via dell assicurao ad una daa epoca. Tipicamene, il conrao di rendia vializia prevede la corresponsione di una successione di rae a parire da una daa epoca, nel caso in cui l assicurao sia in via. Il pagameno delle rae della rendia viene effeuao per ua la duraa di via residua dell assicurao (che usualmene coincide con il beneficiario della polizza) o per un periodo di empo fissao (rendia emporanea). La sisemaica riduzione della moralià rispeo al suo valore aeso impaa sia sull enià delle presazioni dell assicuraore ad ogni daa (il numero dei decessi ad ogni daa è minore di quello previso) che sul empo di liquidazione (i pagameni devono essere effeuai per un numero maggiore di periodi). Conseguenemene, se il rend miglioraivo della moralià si manifesa più fore di quello aeso, ciò conduce ad una soosima dei cosi dell assicuraore, deerminando una sovraesposizione finanziaria. Tra i conrai di rendia vializia assume paricolare imporanza quello delle rendie pensionisiche, vale a dire di quei prodoi di rendia offeri dalle compagnie assicuraive in qualià di previdenza complemenare. Il mercao delle pensioni privae aualmene rappresena il erzo pilasro dei moderni sisemi pensionisici (Sigma 2007). Il volume dei fondi che sosengono le pensioni di anzianià privae risula paricolarmene significaivo. Nei sisemi che si affidano in larga misura a soluzioni privae (come negli USA, UK, Svizzera) ali fondi ammonano al % del PIL. Anche i paesi con mercai pensionisici privai meno sviluppai sanno recuperando erreno: nell area dell euro ra il gli aivi che sosengono ali seori sono cresciui di olre il 20% l anno (Sigma 2007). Il poenziale di crescia è significaivo ed in gran pare inesplorao, paricolarmene se confronao con il vuoo che la riduzione del ruolo del seore pubblico si lascerà diero. Il problema più grande è il rischio di un aumeno sisemaico della duraa di via della popolazione nel suo complesso. La naura sisemaica, cioè non diversificabile, di queso rischio rende molo 32