UNO SGUARDO AI PROGRAMMI 1.2 CENNI STORICI

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1 INDICE. PREMESSE UNO SGUARDO AI PROGRAMMI CENNI STORICI DESTINATARI PROBLEMATICHE DIDATTICO METODOLOGICHE ^ PRESENTAZIONE DEI CONTENUTI OBIETTIVI GENERALI OBIETTIVI TRASVERSALI OBIETTIVI SPECIFICI CONTENUTI PREREQUISITI METODOLOGIE DIDATTICHE MATERIALI E STRUMENTI UTILIZZATI CONTROLLO DELL APPRENDIMENTO: VALUTAZIONI: RECUPERO: TEMPI PREVISTI SVILUPPO DEI CONTENUTI RELAZIONI TRA I LATI E GLI ANGOLI DI UN TRIANGOLO RETTANGOLO IN FUNZIONE DELLE FUNZIONI SENO, COSENO, TANGENTE APPLICAZIONI GEOMETRICHE E FISICHE. QUALCHE CONSIDERAZIONE SUL CALCOLO VETTORIALE LA CICLOIDE RELAZIONI TRA GLI ELEMENTI DI UN TRIANGOLO QUALUNQUE APPLICAZIONI ALLA GEOMETRIA EUCLIDEA UNA APPLICAZIONE DELLA TRIGONOMETRIA ALLA GEOMETRIA ANALITICA APPLICAZIONI ALLA FISICA APPLICAZIONI TOPOGRAFICHE PROBLEMI RISOLUBILI CON METODI GONIOMETRICI ALLEGATI VERIFICA FORMATIVA VERIFICA SOMMATIVA GRIGLIA DI VALUTAZIONE COSTRUZIONE DELLA CICLOIDE CON CABRI GEOMETRE CONCLUSIONI E RIFLESSIONI FINALI BIBLIOGRAFIA

2 TRIGONOMETRIA In quest unità didttic viene prett l trigonometri, quell prte dell mtemtic che si occup delle relzioni che intercorrono tr i lti e gli ngoli di un tringolo qulunque.. PREMESSE. Uno sgurdo i progrmmi Progrmmi Brocc: in riferimento llo studio dell trigonometri, i progrmmi Brocc per il liceo scientifico prevedono l dimostrzione dei teoremi dei i e del coo, l risoluzione dei tringoli l 3 nno, mentre lo studio delle funzioni circolri e delle reltive formule di ddizione e sue principli conseguenze è rimndto l 4^. Nei commenti si trov: Lo studio dell trigonometri, ridotto ll eszile, è finlizzto ll risoluzione dei tringoli; esso risponde nche lle necessità proprie delle ltre scienze. Progrmmi ministerili: lo studio delle funzioni goniometriche, curve dei i e delle tngenti, formule per l ddizione l sottrzione, l dupliczione, l bisezione degli rgomenti, semplici equzioni goniometriche, risoluzione dei tringoli rettilinei, sono previsti nell clsse IV. Riform Mortti: questi progrmmi invece, vedono lo studio dell trigonometri nel secondo biennio con: Seno, coo e tngente di un ngolo. Proprietà fondmentli. Funzioni o, coo e tngente. L propost dell UMI: lo studio dell trigonometri è previsto nel secondo biennio, qundo gli studenti conoscono gli elementi fondmentli di geometri pin, in prticolre le similitudini. Per qunto rigurd le conoscenze previste, esse sono così enuncite: Seno, coo, e tngente di un ngolo Coordinte polri Relzioni trigonometriche nel tringolo rettngolo Le bilità interesste sono: Anlizzre in form problemtic l risolubilità dei tringoli rettngoli e risolverli. Utilizzre l trigonometri in semplici problemi nell mbito di ltri settori disciplinri(astronomi, Fisic, Topogrfi, Geogrfi dell Terr). Pino Nzionle per l informtic: lo studio dell trigonometri è previsto nel tem : coo e o degli ngoli convessi. Relzione tr lti ed ngoli nei tringoli rettngoli d svolgersi nell - -

3 clsse terz. Lo studio delle funzioni goniometriche, invece, è previsto nel tem 3 : Funzioni circolri. Formule di ddizione e principli conseguenze. d svolgersi sempre nell clsse terz. D notre: funzioni circolri e formule vrie reltive sono nel tem 3. L'rgomento trigonometri è comunque un rgomento trsversle. Al liceo clssico sono previsti i teoremi del o e del coo, che vnno però visti come teoremi geometrici: l loro trttzione non è finlizzt ll risoluzione dei tringoli. Osservzione L colloczione degli rgomenti legti ll trigonometri ll'interno del progrmm mostr bene l connotzione di trsverslità. Inftti l definizione geometric di o e di coo (riportt per il liceo clssico, per il qule non è previst nel biennio) e l risoluzione dei tringoli (nche solo rettngoli) sono rgomenti inseriti nel tem Geometri, mentre lo studio delle funzioni circolri, insieme lle formule di ddizione e lle loro principli conseguenze è collocto ll'interno del tem Funzioni ed equzioni. Questo spetto si riflette nche nell su colloczione nell'itinerrio didttico, per il ftto che ci sono lcuni contenuti che nel tempo vengono ripresi e riformulti, o tr loro collegti per mezzo di concetti tipicmente goniometrici, è didtticmente molto significtivo. L risoluzione dei tringoli A prtire di primi due criteri di uguglinz dei tringoli, già noti gli studenti, ci si pone il problem di ottenere quegli elementi che non sono esplicitmente ssegnti m che sono certmente determinbili in modo unico. Si rriv in tl modo ll dimostrzione dei teoremi del coo e dei i, che sono subito utilizzti in esercizi pplictivi

4 . Cenni storici COME NASCE L INTERESSE PER LA TRIGONOMETRIA? Goniometri e trigonometri sono due termini che derivno dl greco e significno rispettivmente misur degli ngoli e misur dei tringoli. Le origini dell goniometri e dell trigonometri sono molto lontne, rislgono qulche secolo prim di Cristo e sono inizilmente ispirte d esigenze legte ll risoluzione di vri problemi prtici di geodesi, nvigzione, stronomi, problemi che in genere richiedono di rislire ll determinzione di ngolzioni e distnze non direttmente misurbili. A prtire dl XVI^ secolo l trigonometri si svilupp e si fferm nche come disciplin utonom, rggiungendo quel rigore teorico e quell spetto formle e simbolico crtteristici del linguggio mtemtico. Nel frttempo sempre più numerose diventno le impliczioni dei concetti goniometrici con le ppliczioni dell mtemtic nel cmpo scientifico e tecnologico; ben pochi sono inftti i rmi dell fisic si clssic che modern, che non contemplno per l loro trttzione il clcolo goniometrico e trigonometrico. Rpido excursus storico sulle origini dell trigonometri Trigonometri: dl greco tringolo e misur. Questo vocbolo è usto per l prim volt nel 595 (ppre nel titolo di un oper del mtemtico ed stronomo tedesco Brtolomeo Pitisco, vissuto dl 56 l 63). L trigonometri h tuttvi un origine molto più ntic nell stori dell uomo. Inizilmente ispirt d esigenze legte problemi di stronomi, si svilupp per diversi secoli proprio come tecnic di clcolo di supporto lle ricerche nel cmpo di quest scienz. Nsce ttorno i secoli III^ e II^.C. (Aristrco di Smo, Ipprco di Nice, Menelo di Alessndri) e si pret ll inizio come metodo di risoluzione di tringoli sferici, cioè di tringoli gicenti su un superficie sferic, i cui lti sono, invece che segmenti di un pino, rchi di cerchi mssimi( csi importnti in cui intervengono questi tringoli si hnno qundo i vertici sono punti dell superficie terrestre o corpi celesti, come il sole, i pineti e le stelle). Il merito di ver poi sviluppto l trigonometri come scienz utonom v l mtemtico frncese F. Viéte ( ). Successivi pporti questo tipo di sviluppo si devono Nepero, Cvlieri, Bernoulli, Briggs, Eulero, e ltri ncor. L oper più ntic che può vermente considerrsi come un trttto orgnico di trigonometri è l Almgesto dell stronomo C. Tolomeo (00 78 ). Nell nno 87 l Composizione è trdott dgli rbi con il titolo Almgesto e successivmente in ltino. Tle oper rppret per diversi secoli l unic fonte per lo studio dell - 4 -

5 trigonometri. L trigonometri di Tolomeo è però divers dll nostr, in ess d esempio non compiono le ordinrie funzioni goniometriche, m un unic funzione: l cord di un rco, (o di un ngolo). Non è tuttvi difficile, pssre dl concetto di cord di un rco di Tolomeo quello di o di un ngolo. Le tvole delle corde dei greci diventno così le nostre tvole dei i, e i teoremi dell Almgesto i teoremi dell trigonometri ttuli..3 Destintri Quest unità didttic è rivolt studenti del 4 nno del Liceo Scientifico trdizionle. Le ore settimnli previste sono 3..4 Problemtiche didttico metodologiche Quest prte dell trigonometri, che mio prere è l più interessnte, rriv in genere successivmente quell, seppur necessri, più nozionistic e spesso un po noios, rigurdnte le funzioni e le formule goniometriche. Questo rgomento può essere quindi utilizzto per fr vedere finlmente i rgzzi che tutte quelle formule e quelle nozioni che hnno dovuto fticosmente imprre possono essere pplicte per risolvere un serie di problemi molto prtici e vicini ll reltà. L impostzione d privilegire, secondo il mio prere, è quell più dinmic dell nlisi dei csi, fvorendo nche il lvoro di gruppo. ^ PRESENTAZI ONE D EI CONTENU TI. Obiettivi generli Acquisire le conoscenze, competenze e cpcità previste dell unità didttic. Comprendere le finlità e cquisire i metodi per l risoluzione di problemi legti ll misur degli ngoli. Condurre d un pproprito utilizzo del lessico specifico dell mtemtic.. Obiettivi trsversli Sviluppre ttitudine ll comuniczione e i rpporti interpersonli fvorendo lo scmbio di opinioni tr docente e llievo e tr gli llievi. Proseguire ed mplire il processo di preprzione scientific e culturle degli studenti. Contribuire sviluppre lo spirito critico e l ttitudine riesminre criticmente ed sistemre logicmente le conoscenze cquisite. Contribuire sviluppre cpcità logiche ed rgomenttive

6 .3 Obiettivi specifici Conoscenze Conoscere le relzioni tr i lti e gli ngoli di un tringolo rettngolo utilizzndo le funzioni o, coo, tngente. Conoscere il teorem dell cord. Conoscere le relzioni tr i lti e gli ngoli di tringoli qulunque. Conoscere il teorem dei i Conoscere il teorem delle proiezioni. Conoscere il teorem del coo. Abilità Sper risolvere i tringoli rettngoli. Sper risolvere i tringoli qulunque Sper risolvere i problemi di trigonometri, usndo i teoremi principli e utilizzndo equzioni goniometriche. Sper risolvere i problemi in cui è necessrio utilizzre le ppliczioni dell trigonometri ll geometri nlitic e ll geometri euclide..4 Contenuti Relzioni tr i lti e gli ngoli di un tringolo rettngolo in funzione delle funzioni o, coo, tngente. Risoluzione di un tringolo rettngolo. L cicloide Relzioni tr gli elementi di un tringolo qulunque Teorem dell cord. Teorem dei i. Teorem delle proiezioni. Teorem del coo. Risoluzione di un tringolo qulunque. Risoluzione di problemi di trigonometri. Appliczioni dell trigonometri ll geometri euclide

7 Appliczioni ll fisic Appliczioni topogrfiche Problemi risolubili con metodi goniometrici.4 Prerequisiti Funzioni goniometriche; Relzioni tr le funzioni goniometriche; Formule goniometriche. Equzioni e disequzioni goniometriche. Principli teoremi di Geometri Euclide Proprietà fondmentli delle figure geometriche..5 Metodologie didttiche Per un produttivo intervento didttico, questo è suddiviso in tre principli fsi, definimo per ciscun di esse i principli ttori. Immginimo di ver suddiviso l clsse in gruppi di lvoro (l scelt dei gruppi è pilott con discrezione dll insegnnte l fine di crere gruppi bbstnz eterogenei): ^ fse: in quest fse l insegnnte h un ruolo molto delicto; egli deve riuscire : evitre che i suoi interventi chiudno il problem; evitre che i suoi interventi sopprimno l utonomi dell lunno; incorggire l ricerc; non clssificre un risultto in giusto o sbglito, m fr cpire gli llievi che qulunque tenttivo può frli progredire nell loro ricerc; non stbilire priori che cos si può fre e che cos non si può fre; intergire con i vri gruppi z che i suoi interventi orientino in modo determinnte l ttività degli studenti. ^ fse quest fse è collettiv, in ess sono prette e discusse le decisioni e le soluzioni di ogni gruppo. Quest discussione di bilncio consiste nell interzione del gruppo-clsse orchestrt dll insegnnte. 3^ fse l ultim fse viene svolt cs singolrmente dgli studenti, che consegnno poi ll insegnnte il lvoro svolto

8 .6 Mterili e strumenti utilizzti Il softwre Cbri è usto come strumento dtto d un pssggio intermedio reltivo ll'pprendimento dei concetti geometrici, cioè quell fse di sperimentzione concettule che st fr l definizione e l dimostrzione dei teoremi. E' usto nche per impostre e risolvere grficmente i problemi. Il softwre Derive è utilizzto per trccire il grfico di funzioni goniometriche ed ltre che si incontrno durnte l risoluzione dei problemi. Infine l Stori dell Mtemtic come strumento metodologico per inqudrre d un punto di vist storico le nozioni e i concetti introdotti, con brevi ccenni, ffinché l mtemtic non sembri un scienz dt un volt per tutte m frutto di un evoluzione. Per qunto rigurd i sussidi didttici, si utilizzernno: l lvgn trdizionle (e quindi nche gessi e cimos), il libro di testo, l clcoltrice scientific..7 Controllo dell Apprendimento: Si ritiene opportuno controllre l pprendimento degli studenti ttrverso due tipi di verific: verifiche formtive: effettute nche giorno per giorno ttrverso il controllo dei quderni, l risoluzione di esercizi in clsse, per cquisire mggiori cpcità di mneggire i concetti ppen spiegti e discussioni in clsse per dr modo gli studenti di chirire i loro dubbi; verifiche sommtive suddivise in: scritt che si effettuerà ll fine di ogni unità didttic e che permetterà di verificre l utonomi dello studente nell utilizzo degli strumenti forniti; orle per controllre il livello di pprendimento e di studio;.8 Vlutzioni: Le interrogzioni orli srnno tese d individure se l lunno possiede un conoscenz pprofondit e conspevole, vlutndo nche il modo di rgomentre e l orgnicità dell espressione. Negli elborti scritti invece verrà vlutt soprttutto l cpcità di pplicre le conoscenze per risolvere quesiti di vrio genere ttrverso l uso di tecniche, metodi e procedure specifiche, nonché di bilità logiche. Tli elborti verrnno vlutti ttrverso l ttribuzione d ogni esercizio di un - 8 -

9 punteggio. L diversità di punteggio tr i vri esercizi rispecchi i livelli diversi di difficoltà in termini di conoscenze, bilità per svolgerli. Nell ttribuire il punteggio si terrà conto di: competenze e cpcità logiche, correttezz e completezz nell risoluzione, conoscenze specifiche, chirezz e ordine nel processo seguito..9 Recupero: All fine di ciscun verific, se srnno riscontrti csi di insufficienz, si orgnizzernno ttività di recupero finlizzto colmre le lcune riscontrte. Tli ttività potrnno essere effettute nei seguenti modi: lvoro cs: ripsso, esercizi, costruzioni di sintesi e schemi su contenuti e procedimenti; lvoro in clsse: si proporrnno nuovi esercizi e schede guidte. Si potrà istituire inoltre uno sportello per gli llievi, in prossimità delle verifiche sommtive..0 Tempi previsti Accertmento dei prerequisiti Teoremi reltivi l tringolo rettngolo Risoluzione del tringolo rettngolo Cicloide Teorem dell cord, i, proiezioni,coo Risoluzione dei tringoli qulunque e ppliczioni vrie Verific formtiv Verific sommtiv Consegn e correzione verific Totle h h h h h 9h h h h 9h - 9 -

10 . Sviluppo dei contenuti RELAZIONI TRA I LATI E GLI ANGOLI DI UN TRIANGOLO RETTANGOLO IN FUNZIONE DELLE FUNZIONI SENO, COSENO, TANGENTE. Si suppone che sino stte definite le funzioni o, coo, e tngente utilizzndo l circonferenz goniometric, osservndo che queste funzioni dipendono esclusivmente dll mpiezz dell ngolo individuto d un punto P che si muove in verso ntiorrio sull circonferenz, prtire dl punto (,0). Le funzioni goniometriche sono stte definite come le coordinte di P. Ci proponimo or di studire le relzioni esistenti tr i lti e gli ngoli di un tringolo rettngolo utilizzndo proprio le funzioni o, coo e tngente. Considerimo, sull circonferenz goniometric, il tringolo PHO individuto dll origine O, d un punto P del primo qudrnte, pprtenente ll circonferenz e dll su proiezione H sull sse delle scisse. Per le definizioni di o e coo possimo scrivere: PH e OP cos OH OP dl momento che il rggio OP h lunghezz. Se or considerimo sull rett cui pprtiene il rggio OP, un punto P e l su proiezione H sull sse delle scisse, ottenimo un tringolo OP H simile OPH. Dll similitudine di questi tringoli segue che: PH OP P ' H ' OP' e O H OP OH ' OP' cos NOTAZIONI: per comodità di notzione ponimo d or in poi OP =, P H = b, OH = c Quindi possimo nche scrivere : - 0 -

11 cos b c In generle possimo ffermre che: In un tringolo rettngolo il o di un ngolo cuto è ugule l rpporto tr il cteto d esso opposto e l ipotenus; il coo dello stesso ngolo invece è ugule l rpporto tr il cteto d esso dicente e l ipotenus. Esdo tg, bbimo cos tg b c Quindi : In un tringolo rettngolo l tngente di un ngolo cuto è ugule l rpporto tr il cteto opposto e quello dicente d. Esdo ctg cos, bbimo c ctg. b Quindi: In un tringolo rettngolo l cotngente di un ngolo cuto è ugule l rpporto tr il cteto dicente e quello opposto d. RISOLUZIONE DI UN TRIANGOLO RETTANGOLO Anlizzimo or le relzioni che intercorrono tr gli elementi di un tringolo rettngolo (lti e ngoli). Indichimo con A,B,C, i suoi vertici e con,b,c, le misure dei lti rispettivmente opposti tli vertici e con,, le mpiezze degli ngoli di vertici rispettivmente A,B,C. Tenendo prete qunto visto finor possimo dire che: = c/, cos = b/, tg = c/b, ctg = b/c. e nche: = b/, cos = c/, tg = b/c, ctg = c/b. D queste relzioni si ricvno ncor: - -

12 c =, b = cos, c = b tg, b = c ctg b =, c = cos, b = ctg, c = b ctg. Or, tenendo prete il significto convenzionle ttribuito d, b, c, e d,, possimo generlizzre le uguglinze trovte ed interpretrle come teoremi reltivi l tringolo rettngolo: In ogni tringolo rettngolo l misur di un cteto è ugule l prodotto dell misur dell ipotenus per il o dell ngolo opposto l cteto stesso. In un tringolo rettngolo l misur di un cteto è ugule l prodotto dell misur dell ipotenus per il coo dell ngolo cuto dicente l cteto stesso. In ogni tringolo rettngolo l misur di un cteto è ugule l prodotto dell misur dell ltro cteto per l tngente dell ngolo opposto l primo. In ogni tringolo rettngolo l misur di un cteto è ugule quell del prodotto dell ltro cteto per l cotngente dell ngolo cuto dicente l primo Nturlmente di questi teoremi vlgono nche gli inversi ; dl primo per esempio possimo dedurre che: In ogni tringolo rettngolo l misur dell ipotenus è ugule l rpporto tr l misur di un cteto e il o dell ngolo opposto d esso. In ogni tringolo rettngolo il o di un ngolo cuto è ugule l rpporto tr le misure del cteto opposto e dell ipotenus. Anlogmente per tutti gli ltri Ci occuperemo or dell risoluzione ver e propri di un tringolo rettngolo. Risolvere un tringolo rettngolo signific determinre tutti i suoi elementi esdo noti lcuni di essi; per fre ciò, ll luce di qunto ppen visto, è sufficiente conoscere oltre ll ngolo retto ltri due elementi, che non sino entrmbi ngoli. Ricordimo inftti che vlgono le seguenti relzioni: b c b oppure cos c Poiché questo è un sistem di quttro equzioni in sei incognite, è sufficiente conoscere due elementi per risolverlo. Di tli elementi lmeno uno deve essere un lto poiché esistono infiniti tringoli con gli ngoli uguli e le misure dei lti diverse. - -

13 Vedimo or qulche esempio.. Risolvimo il tringolo rettngolo ABC, note le misure dei cteti: c = 5 cm b = 3 cm Poiché tg = b/c= 3/5 llor = rctg 3/5 3. Dll uguglinz = 90 risult 59. Vle poi l uguglinz 5 5 cos e quindi 34 tg / Risolvimo il tringolo rettngolo ABC di cui si conoscono le misure di un cteto e di un ngolo cuto. c = 4cm = 50 Abbimo subito = 40 ; poiché c =, ricvimo = c/ 5.cm Infine b cm 3. Risolvimo il tringolo rettngolo ABC conoscendo l ipotenus e un ngolo cuto. = 0cm = 60 Abbimo subito = 30. Dll relzione = b/ ottenimo 3 b = =

14 3 ricordndo che tg = c/b, bbimo c btg Risolvimo il tringolo rettngolo ABC, conoscendo l ipotenus e un cteto. = 4cm c = cm dll relzione = c/ c rc rc 45. D cui = 45. trovimo A questo punto sembrerebbe superfluo clcolre l ltro cteto dto che è più che evidente che si trtt di un tringolo isoscele tuttvi voglimo comunque pplicre le conoscenze di trigonometri ppen cquisite e quindi clcolimo b utilizzndo l relzione = b/ cui b = = cm. d APPLICAZIONI GEOMETRICHE E FISICHE. QUALCHE CONSIDERAZIONE SUL CALCOLO VETTORIALE. L risoluzione del tringolo rettngolo trov numerose ppliczioni si nell geometri che nell fisic. Ne vedimo qulche esempio.. Nell semicirconferenz di dimetro AB = r è inscritto il tringolo ABC di perimetro r(+ 6). Risolvere il tringolo. Indichimo con x l mpiezz dell ngolo di vertice A. e con, b, c, rispettivmente i lti AB, BC, AC del tringolo. Per qunto visto prim possimo scrivere le seguenti relzioni: b = x = r x, c = cosx = r cosx. Scrivimo llor l equzione: r rx r cos x r 6 Dopo le opportune semplificzioni ottenimo: x cosx 6-4 -

15 Che è un equzione linere in o e coo del tipo x bcos x c. Ponimo x=y, cosx=x, e risolvimo il seguente sistem Y X X Y 6 X X Y Y 6 XY X 3 Y XY 6 X XY Y 4 6 Il sistem è simmetrico per cui bst risolvere l seguente equzione: t 6 t 4 0 che dà come soluzioni: t, 6 4 Dll prim risult cos x x che dà come soluzione x = 5 Dll second, invece, risult: cos x x che dà come soluzione x = 75. In figur viene rppretto un pino inclinto liscio, di lunghezz l e inclinzione ; sull su sommità è collocto un punto mterile di mss m. Si determini l ccelerzione con cui il corpo scivol lungo il pino, il lvoro compiuto dll forz peso durnte l cdut e l rezione vincolre del pino. Nell figur è indict l scomposizione dell forz peso lungo le due direzioni tngente e normle l pino. Per le ormi note relzioni si h. P T = P e P N = P cos. Il punto scivol lungo il pino sotto l zione dell componente P T ; l su ccelerzione è: - 5 -

16 P T m P m mg m g Il lvoro compiuto dll forz peso durnte l cdut è: L P l Pl cos 90 Pl mgl. Si osservi che l è ugule ll quot inizile del corpo e che pertnto il lvoro compiuto durnte l cdut lungo il pino è ugule quello che verrebbe compiuto d un corpo in cdut liber, cioè lungo l direzione verticle. L rezione vincolre del pino R h l stess direzione di P N, verso opposto e ugule intensità; quindi: R PN P cos mg cos. LA CICLOIDE L figur seguente mostr un "mcchin mtemtic" che permette di trccire un cicloide. Qundo un cerchio rotol z striscire sopr un rett fiss (bse) ogni punto del suo pino descrive un line che si dice cicloide: ordinri se il punto genertore pprtiene ll periferi del cerchio mobile; ccorcit se è interno; llungt se è esterno. Il modello costruito conte di - 6 -

17 trccire ogni tipo di cicloide. Il suo "orgno" fondmentle (cerchio mobile) è relizzto d due dischi uguli (di rggio r) ccoppiti medinte un sse cilindrico prolungto ll'esterno (verso il pino che deve sostenere l curv trccit). L rett bse è un roti inserit fr i due dischi. All'sse cilindrico è sldt un sbrr rigid nell qule sono prticti tre fori ( distnz dl centro di rotzione dei dischi minore, ugule o mggiore di r) nei quli può essere inserito un trccitore P. Uno dei primi prendere in considerzione quest curv fu Glileo, che nel 640 scrivev: "Quell line rcut sono più di cinqunt'nni che mi venne in mente il descriverl, e l mmiri per un curvità grziosissim per dttrl gli rchi d un ponte. Feci sopr di ess, e sopr lo spzio d lei e dll su cord compreso, diversi tenttivi per dimostrre qulche pssione, e prvemi in principio che tle spzio potesse essere triplo del cerchio che lo descrive; m non fu così, benché l differenz non si molt". In effetti, l re dello spzio delimitto dll cicloide, contrrimente qunto pensv Glileo, che probbilmente vev ftto degli esperimenti pesndo dei modelli, è proprio il triplo di quell del cerchio genertore, come dovevno dimostrre qusi contempornemente E. Torricelli, G. Robervl e B. Pscl. Ben presto, oltre ll're, vennero trovti il centro di grvità. e i volumi dei solidi ottenuti fcendol ruotre ttorno ll bse e ll'sse, come nche un metodo per determinre le tngenti, un ricerc che vide impegnti i mggiori mtemtici del tempo, tr i quli R. Descrtes (Crtesio). Tutte queste ricerche testimonino dell'interesse per un curv, forse l prim, totlmente modern, che non si trov cioè nelle opere dei geometri clssici Si può trovre un'equzione prmetric dell cicloide nel modo che segue. Considerimo il cerchio genertore, che per comodità supporremo di rggio, d un punto del suo percorso. Se indichimo con P il punto sull curv, di coordinte (x, y), e con t l misur (in rdinti) dell'ngolo PÔB, ugule ll lunghezz dell rco PB, risult AB = PB, BC = PQ e PC = BQ. Si h llor: x = AC = AB - BC = t - PQ = t -. t y = PC = QB = OB - OQ = cos t - 7 -

18 Qundo il cerchio f un giro intero, l lunghezz t vri tr 0 e ; il punto di coordinte (t- t, - cos t) descrive l cicloide. Osservzione: questo punto gli studenti verrnno portti in ul di informtic per vedere l costruzione dell cicloide con il softwre Cbri géomètre (Vedi llegto). Proprietà meccniche dell cicloide ordinri Tutocron L interesse verso l cicloide er destinto d umentre notevolmente con l scopert che ess costituiv l soluzione di due problemi prim vist z relzioni tr loro: l'isocronismo delle oscillzioni e l curv di disces più rpid. Il primo er un problem in grn prte tecnologico. L misur del tempo er inftti di grnde importnz gli inizi dell'epoc modern, dto che d ess dipendev, in prticolre, l determinzione dell longitudine, eszile per l nvigzione ocenic. Verso l metà del Seicento, l ide di costruire un orologio sfruttndo le oscillzioni di un pendolo cominciv diventre tecnicmente relizzbile. Or nel pendolo usule, in cui il peso descrive un rco di cerchio, il periodo, cioè il tempo impiegto per compiere un'oscillzione complet, dipende dll mpiezz di quest, ed è, mggiore per le grndi oscillzioni, v diminuendo vi vi che l'mpiezz diminuisce, e rest qusi costnte per piccole oscillzioni. In ltre prole, il pendolo circolre è isocrono solo pprossimtivmente, tnto più qunto più le oscillzioni sono piccole. Ci si può llor chiedere: esiste un curv sull qule tutte le oscillzioni, grndi e piccole, si svolgno nello stesso tempo? L rispost è ffermtiv: lo scienzito olndese Christin Huygens - 8 -

19 dimostrò che l curv isocron è l cicloide, e di conseguenz che per ottenere delle oscillzioni strettmente isocrone occorre fr muovere il pendolo lungo quest curv. M come fr muovere un pendolo lungo un cicloide? Si potrebbe costruire un profilo form di cicloide, lungo cui fr rotolre il peso del pendolo, m nche non voler considerre l difficoltà di grntire un movimento regolre, l ttrito del peso lungo il profilo bsterebbe fermre il movimento dopo pochissime oscillzioni. Se invece ttcchimo il peso un estremo di un cordicell, che ppendimo per l ltro estremo, il pendolo descriverà un cerchio, che non e' isocrono. Il problem si risolve costruendo due guide, che si mettono dlle due prti del punto di sospensione; in questo modo il filo del pendolo non srà libero di muoversi, m dovrà seguire in prte l guid: si trtt llor di costruire un profilo tle che l estremità del pendolo descriv un cicloide. Dl punto di vist dell geometri, occorrerà costruire un curv (il profilo) tle che l su evolvente si un cicloide. Huygens dimostr che ciò vviene se il profilo è ncor un cicloide: costruendo quindi due guide form di cicloide si otterrà, un pendolo perfettmente isocrono

20 Brchistocron L'ltro problem di cui l cicloide fornisce l soluzione è l determinzione dell cosiddett brchistocron, ovvero l curv che rende minimo il tempo di cdut d uno dei due estremi ll'ltro. Più precismente, supponimo di fissre due punti A e B, il primo posto più in lto del secondo, m non sull verticle, e lscimo cdere d A un grve che giung B scivolndo su un curv che unisce i due punti. Ponimoci or il seguente problem: tr tutte le curve che uniscono A e B, qul è quell che rende minimo il tempo di cdut? Non è, come potrebbe sembrre prim vist, l rett che unisce i due punti; inftti, per diminuire il tempo di cdut conviene inizire qusi verticlmente, in modo d cquistre subito velocità, nche scpito dell mggior lunghezz del cmmino. L seguente figur mostr come relizzre un'esperienz che mostr che tr due biglie di cciio lscite cdere contempornemente dllo stesso punto, un lungo un pist rettiline e l'ltr lungo un cicloidle, quest'ultim è quell che rggiunge per prim il punto in bsso

21 L rifrzione, un problem di brchistocron Considerimo un semplice esempio di problem di ottimizzzione: un bgnino ddetto ll sorveglinz di un trtto di spiggi vede in lontnnz un bgnnte in pericolo e corre slvrlo. Per rggiungerlo può fre percorsi diversi, sempre composti d un trtto di cors sull spiggi e d un trtto nuoto. Probbilmente le velocità sull spiggi e nell cqu srnno diverse e quindi, second dei percorsi scelti srnno diversi i tempi impiegti per rggiungere il bgnnte in pericolo. Il problem consiste nel determinre il percorso di tempo minimo, percorso che viene detto ppunto Brchistocron tr i due punti estremi: l posizione del bgnino e quell del bgnnte. Supponimo che le posizioni A del bgnino, B del bgnnte sino situte come in figur, dove l line trtteggit indic l bttigi, con AH HM e BM. Scelto l ngolo il percorso del bgnino è determinto e comport il tempo T = t + t dove t è il tempo corrispondente l trtto di cors sull spiggi che vviene ll velocità v, quindi: t AC v v cos e t il tempo del trtto nuoto, compiuto velocità v, per cui t CB v v cos L ngolo è determinto d, poiché HC FB e quindi tg tg. Supponendo or che l velocità sull spiggi si mggiore di quell in cqu probbilmente l triettori migliore è quell rpprett in figur. Supponimo quindi di ver determinto l triettori migliore, llor i tempi reltivi scelte di C un po più in lto o in bsso devono essere mggiori. Si d esempio C* un punto leggermente più in lto, llor dovremo considerre l lunghezz: AC * AC CC * (considerndo H AC ) quindi vremo: CC * t * t. v Anlogmente BC * BC CC * e quindi il tempo t diventerà : - -

22 t * t CC * v Se C er l posizione ottimle llor quell nuov in C* non deve essere più vntggios perciò le due vrizioni di tempo devono elidersi cioè: CC * v CC * v. L triettori ottimle tgli quindi in C l bttigi secondo due ngoli tli che: v v legge di Snell Tle formul esprime l legge dell rifrzione dei rggi luminosi ttrverso due mezzi diversi. Il problem del bgnino h messo in luce il significto cinemtic di tle formul: ess esprime un proprietà dell brchistocron tr due punti, un line rett se nei mezzi omogenei, un spezzt se si pss d un mezzo d un ltro. Anche i rggi di luce pssndo d un mezzo d un ltro rinfrngono, cioè devino, percorrendo l brchistocron tr l sorgente e il punto d rrivo secondo il principio di Fermt: l luce percorre cmmini di tempo minimo, e quindi spzi mggiori nell prte di pino in cui l velocità è mggiore. RELAZIONI TRA GLI ELEMENTI DI UN TRIANGOLO QUALUNQUE Un conseguenz delle relzioni esistenti tr gli elementi di un tringolo rettngolo è il teorem dell cord. Teorem dell cord L misur di un cord di un circonferenz è ugule l prodotto tr l misur del dimetro ed il o di uno qulunque degli ngoli ll circonferenz che insistono su uno dei due rchi sottesi ll cord. Dimostrzione In figur è rpprett un circonferenz di rggio r e centro Oed è trccit un su cord PQ. I punti A e A pprtengono rispettivmente ll rco PQ mggiore e ll rco PQ minore. Gli ngoli in A e A sono supplementri, di conseguenz vrnno lo stesso o.trccimo il dimetro dell circonferenz vente un estremo in Q e indichimo con R il suo secondo estremo. Si osserv che gli ngoli in R e in A sono uguli( ngoli ll circonferenz che insistono su uno stesso rco). Or osservimo il tringolo RPQ, esso è inscritto in un - -

23 semicirconferenz quindi è rettngolo il P, pertnto il suo cteto PQ soddisferà l relzione: PQ QR r Per qunto detto prim (l ngolo in A e quello in A hnno lo stesso o in qunto sono supplementri) vle nche l relzione seguente: PQ r. Teorem dei i c.v.d. In un tringolo qulunque il rpporto tr l misur di un lto ed il o dell ngolo opposto è costnte. Dimostrzione Indichimo con A, B, C i vertici di un tringolo, con,, i tre ngoli corrispondenti e con, b, c, i lti opposti rispettivmente i vertici A; B; C. dobbimo dimostrre che vle l relzione seguente: b c. Considerimo l circonferenz circoscritt l tringolo e pplichimo d ogni lto il teorem dell cord, ottenimo: r, b r, c r E quindi r, b r, c r Per l proprietà trnsitiv dell uguglinz si h: b c

24 Teorem delle proiezioni In un qulunque tringolo l misur di un lto è ugule ll somm dei prodotti di quelle degli ltri due lti per il coo dell ngolo che ciscuno di questi form con il lto in questione. Dimostrzione. Dobbimo dimostrre che vlgono le seguenti relzioni: b c b cos cos cos c cos c cos b cos Considerimo prim il cso in cui il tringolo si cutngolo; in questo cso l ltezz AH cde internmente l lto BC, si h quindi: BH HC c cos b cos. Considerimo or il cso in cui il tringolo si ottusngolo in C, in tl cso l ltezz cde sul prolungmento del lto BC, in questo cso si h quindi: BH CH c cos b cos c cos b cos. Per il lto vle quindi in ogni cso il teorem delle proiezioni; nlogmente si dimostr nche per gli ltri lti. Osservzione: nel cso in cui il tringolo si rettngolo in Cl tesi segue immeditmente dlle relzioni vlide per i tringoli rettngoli. Come immedit conseguenz del teorem delle proiezioni, si h il seguente : Teorem del coo (o di Crnot) - 4 -

25 In un tringolo qulsisi, il qudrto dell misur di ogni lto è ugule ll somm dei qudrti delle misure degli ltri due, diminuit del doppio prodotto delle misure di questi per il coo dell ngolo tr essi compreso. Dimostrzione: Dobbimo dimostrre che vlgono le seguenti relzioni: b c b c c b bccos ccos bcos Dimostreremo che tle relzione vle per il lto. Applicndo il teorem delle proiezioni l tringolo ABC, ottenimo le seguenti uguglinze: b cos c cos b cos c cos c cos b cos Moltiplicndo l prim uguglinz per, l second per (-b), e l terz per (-c), ottenimo: b c b cos c cos b cos bc cos c cos bc cos Addizionndo membro membro le tre identità, ottenimo: b c bc cos cioè b c bc cos. In modo nlogo si dimostrno le ltre due relzioni. Osservzione: nel cso in cui il tringolo si rettngolo il teorem del coo si riduce quello di Pitgor. Osservzione Importnte: possimo utilizzre il teorem di Crnot per trovre un condizione che ci permett di stbilire se un tringolo, dte le misure dei suoi lti, è cutngolo, ottusngolo o rettngolo. Considerimo un tringolo di cui conoscimo le misure dei lti, sino esse :, b, c. Supponimo d esempio che c si il lto mggiore. Dl teorem di Crnot sppimo che : c b bcos d cui possimo ricvre b cos b c, or: Se Se c b llor c b llor cos 0 perciò cioè il tringolo è ottusngolo. cos 0 perciò 0 cioè il tringolo è cutngolo

26 Se c b llor cos 0 perciò cioè il tringolo è rettngolo. Dopo ver preso in considerzione i principli teoremi dell trigonometri, utilizzimo le conoscenze cquisite per risolvere lcuni problemi.. Su un semicirconferenz di centro O e dimetro AB = r, sceglimo un punto P tle che si verifict l seguente relzione: 3PA PB 9AO () Per prim cos sceglimo l incognit e studimo qul è il suo dominio di vrizione. Poiché l posizione di P dipende dll mpiezz dell ngolo PAB, si x l misur di quest ngolo. Il tringolo PAB è rettngolo quindi 0 x 90. Ricordndo le relzioni tr gli elementi di un tringolo rettngolo,possimo dire: PA rcos x e PB rx Sostituendo queste espressioni nell () ottenimo: 3 r cos x rx 9r Risolvimo: r 4 cos cos x x 8r cos x x 9r o cos x cos x 8 cos x 9 cos x 8 8 cos x 9 ric ordndo che deve essere 0 x 90, concludimo che l unic soluzione del problem è x = 60.. In un tringolo è = 0 cm, = 30, = 05.Risolvere il tringolo. Determinimo l ngolo : = 80 - ( ) = 45. Or pplicndo il teorem dei i determinimo b e c: - 6 -

27 b 0 cm 0 cm, c cm 5 6 cm 9, 3 cm. 3. Considerimo il tringolo isoscele ABC di bse AB = 40 e cos = 4/5. determinre un puntop sul lto AC tle che si verifict l relzione seguente: PC PB 965. () Utilizzndo le relzioni tr lti ed ngoli dei tringoli rettngoli clcolimo AC: AB AB 40 AC cos P A B AC AC 5 cos P A B 4 5 A questo punto sceglimo l incognit e studimo il suo dominio di vrizione. Dto che l posizione di P dipende dll lunghezz del segmento AP, ponimo x = AP; poiché AC = 5, bbimo 0 x 5. Applichimo or il teorem di Crnot l tringolo PAB, ottenimo: 4 PB AB AP AB AP cos PAB 600 x 40 x 600 x 64x 5 Sostituendo nell () ottenimo 5 x 600 x 64x 965 d cui x 4x 60 0 che risolt rispetto d x dà come soluzioni : di cui solo l prim è ccettbil e, in qunto è ll' interno del dominio di vrizione. x 5, x 4-7 -

28 APPLICAZIONI ALLA GEOMETRIA EUCLIDEA Illustrimo lcune ppliczioni dell trigonometri: in prticolre vedimo come si possono clcolre le ree di tringoli e di qudrilteri, l misur dei rggi delle circonferenze inscritt e circoscritt d un tringolo. compreso. Are di un tringolo di cui sono note le misure di due lti e dell ngolo tr essi Considerimo un tringolo qulunque con < 90. Sppimo che l misur dell re di un tringolo è dt dll formul: AB CH S () Considerimo llor il tringolo rettngolo ACH;per le relzioni che intercorrono tr gli elementi di un tringolo rettngolo,possimo dire: Che sostituit nell () dà: CH CA CAB AB CA CAB S Il risultto ottenuto è vlido per qulunque ltro lto del tringolo e qulunque si l mpiezz dell ngolo. Possimo quindi generlizzre i risultti ottenuti: L re di un tringolo è dt dl semiprodotto delle misure di un coppi di lti per il o dell ngolo tr essi compreso. Are di un prllelogrmm di cui sono note le misure dei lti e dell ngolo compreso tr essi. Dto che l re di un prllelogrmm ABCD è il doppio di quell del tringolo ABD;dl risultto precedente risult che: L re di un prllelogrmm è dt dl prodotto delle misure di due lti - 8 -

29 consecutivi per il o di uno qulunque dei suoi ngoli. Are di un qudriltero convesso di cui sono note le misure delle digonli e di un ngolo tr esse compreso. Si S l superficie del qudriltero ABCD, e indichimo con O il punto d intersezione delle due digonli. Considerimo i quttro tringoli DOA, AOB, BOC, COD in cui le digonli suddividono il qudriltero. D qunto visto in precedenz sppimo che l re di un tringolo è dt dl semiprodotto delle misure di due lti per il o dell ngolo tr essi compreso, quindi: Are Are Are Are DOA AOB BOC COD OA OD DOA OA OB AOB OB OC BOC OC OD COD Osservimo che: D OA BOC e COD AOB in qunto coppie di ngoli opposti l vertice; DOA COD in qunto tli ngoli sono supplementri. Or, poiché l re S è det dll somm delle ree dei suddetti quttro tringoli, possimo dire che: S = OA OD DOA + OA OB AOB + OB OC BOC OC + OD COD = - 9 -

30 COD OA OD OA OB OB OC OC COD OA OD OB OC OD OB COD OA OC OD OB COD AC DB OD Generlizzndo i risultti così ottenuti, possimo dire che: L re di un qudriltero convesso è dt dl semiprodotto delle misure delle sue digonli per il o di un ngolo tr esse compreso. Rggio dell circonferenz circoscritt d un tringolo in funzione delle misure dei lti e dell re Considerimo il tringolo ABC inscritto nell circonferenz di rggio R; i suoi lti sono corde di tle circonferenz. Allor per il teorem dell cord possimo dire che: AC R ABC Moltiplichimo e dividimo R per AB BC, ottenimo: AC AB BC R AB BC ABC Indichimo con S l superficie del tringolo ABC, spendo che: S AB BC ABC Possimo dire che R AC AB 4S BC. Generlizzndo i dti così ottenuti possimo dire che: L misur del rggio dell circonferenz circoscritt d un tringolo è ugule l rpporto tr il prodotto dell misur dei suoi tre lti e il qudruplo dell re del tringolo

31 Rggio dell circonferenz inscritt in un tringolo in funzione dell re del tringolo e dell misur dei lti Considerimo il tringolo ABC circoscritto ll circonferenz di rggio r e centro O. Indichimo con, b, c, le misure dei lti del tringolo. L re del tringolo ABC è ugule ll somm delle ree dei tringoli AOB, BOC, AOC: S c r r b r b c r p r Dove p indic il semiperimetro del tringolo. Allor possimo dire che: r S p Generlizzndo i risultti così ottenuti possimo dire che: L misur del rggio dell circonferenz inscritt in un tringolo è ugule l rpporto tr l re e l misur del semiperimetro del tringolo

32 UNA APPLICAZIONE DELLA TRIGONOMETRIA ALLA GEOMETRIA ANALITICA Angolo formto d due rette Considerimo il pino crtesino xoy ed un generic rett r di equzione y = mx + q. il coefficiente ngolre m rppret il vlore dell tngente goniometric dell ngolo che l rett r form con l direzione positiv dell sse delle scisse, ossi m = tg Considerimo or due rette incidenti r ed s, e cerchimo l relzione che intercorre tr i loro coefficienti ngolri d uno degli ngoli d esse formti. Si y = mx + q l equzione dell rett r e y = m x + q l equzione dell rett s. Le due rette incidenti formno quttro ngoli due due congruenti perché opposti l vertice. Supponimo che le due rette non sino perpendicolri, voglimo clcolre il vlore dell tngente degli ngoli cuti formti d s e r. Conducimo per P l prllel t ll sse delle scisse. L ngolo che ess form con r è congruente ll ngolo che l rett r form con l sse delle scisse, bbimo quindi che tg = m. L ngolo che t form con r è congruente ll ngolo che l rett s form con l sse delle scisse, bbimo quindi che tg = m. L ngolo è dto quindi dll differenz tr e. Se r ed s non sono perpendicolri possimo ffermre che: tg tg tg tg m m' tg tg mm' Osservzioni. Quest formul non si può pplicre nel cso in cui le due rette sino perpendicolri,perché in tl cso, il prodotto dei loro coefficienti ngolri è - ed il denomintore + mm diventerebbe ugule 0 rendendo priv di significto l espressione l secondo membro

33 . Qundo invece le rette sono prllele = 0 quindi m = m e tg = Se l rett r è prllel ll sse delle scisse, =. 4. Se l rett r è prllel ll sse delle ordinte, = / -. APPLICAZIONI ALLA FISICA Clcolo del rggio terrestre Provimo or, come Ertostene, clcolre l misur del rggio terrestre. Prendimo due punti A e B su uno stesso meridino e, ll stess or, misurimo l ngolo che i due rggi formno con l superficie terrestre in entrmbi i punti considerti. Per comodità sceglimo il momento in cui il sole è llo Zenit, cioè perpendicolre, in uno dei due punti, per esempio in A. I rggi che congiungono A e B con il Sole (S) si possono ritenere prlleli, vist l enorme distnz di questo dll Terr, quindi possimo scrivere: perché gli ngoli coniugti interni tr due rette prllele sono supplementri. A questo punto possimo ricvre l ngolo : 90 Si l l misur dell rco di circonferenz possimo scrivere l seguente proporzione: D cui ricvimo: r : l 360 : A B, 360 l Dove r rppret il rggio terrestre, che si può così clcolre dopo ver misurto e l. r

34 L risultnte di due forze Occupimoci or di determinre l intensità, l direzione e il verso dell risultnte di due forze pplicte d uno stesso punto. Le due forze F e F sono pplicte d uno stesso punto O e formno un ngolo. Applicndo l regol del prllelogrmm disegnimo l forz risultnte F. Applichimo il teorem del coo l tringolo OAC per clcolre l intensità dell forz F: F F' F' ' F' F' ' cos 80 F' F' ' F' F' ' cos. Or, per clcolre l direzione di F, chimimo x l ngolo che ess form con F e pplichimo il teorem dei i l tringolo OAC: F '' x x F,. F 80 F' ' F d cui: d cui possimo clcolre il vlore dell ngolo x, note le misure di F, Il verso di F è quello che v d O verso C

35 APPLICAZIONI TOPOGRAFICHE In topogrfi, stronomi, ecc., spesso si devono clcolre distnze tr punti non ccessibili, o non tutti ccessibili, in cui cioè, non è possibile usre il metodo dell misur dirett. Per risolvere tli problemi si ricorre ll misur dirett dell distnz tr due o più punti ccessibili e quell di opportuni ngoli. Si considerno in definitiv ltri tringoli in modo tle d poter clcolre, medinte relzioni trigonometriche, gli ltri elementi di essi che si vogliono conoscere;questo metodo prende il nome di tringolzione. Cercheremo di illustrre questo metodo trmite degli esempi. Distnz tr due punti ccessibili, m seprti d un ostcolo. Per clcolre l distnz AB, non misurbile direttmente cus dell prez di un ostcolo, fissimo un punto C d cui risultino visibili i punti A e B e tle che si possno determinre le distnze: CA, CB b e l misur dell ngolo tr essi compreso. Or pplicndo il teorem di Crnot l tringolo A CB, ottenimo: AB AC CB AC BC cos b b cos. Distnz tr un punto ccessibile e uno non ccessibile Ci proponimo or di clcolre l distnz AB, supponendo A ccessibile e B inccessibile. Fissimo un punto C ccessibile, d cui sino visibili i due punti A e B. Bsterà misurre l distnz: e le mpiezze degli ngoli: AC B AC e BCA. A questo punto pplichimo il teorem dei i l tringolo ABC ottenendo: AB AC d cui AB

36 A titolo d esempio vedimo come si può clcolre l distnz Terr- Lun. Presi due punti R ed S posti sullo stesso meridino, clcolimo per prim cos l mpiezz in rdinti dell ngolo S OR. Abbimo: RS r Dove RS indic l lunghezz dell rco di meridino congiungente i due punti ed r il rggio terrestre. Inoltre, qundo l Lun si trov llo Zenit per R misurimo l ngolo di visule che l congiungente SL form con il pino orizzontle. Applicndo or il teorem dei i l tringolo OSL bbimo: OL OS d cui ottenimo OL r cos r cos cos Distnz tr due punti entrmbi non ccessibili. Ci proponimo or di clcolre l distnz AB dove né A, né B sono ccessibili. Fissti due punti C e D entrmbi ccessibili, d cui sino visibili i punti A e B, misurimo l distnz: CD d E le mpiezze degli ngoli dicenti l lto CD nei due tringoli ACD e BCD. Applicndo il teorem dei i l tringolo ACD bbimo:

37 D cui AC AC dei i bbimo: d CD. Considerto poi il tringolo BCD pplicndo nuovmente il teorem BC CD d BC. d cui: Or, del tringolo ABC, sono note le lunghezze dei lti AC e BC e l mpiezz dell ngolo ; quindi l distnz AB può essere clcolt pplicndo il teorem di Crnot: AB AC BC AC BC cos. Metodo dell prllsse Le stelle sono corpi celesti simili l Sole, m posti distnze molto mggiori che proprio per questo sono molto difficili d misurre. Ci sono però lcuni metodi indiretti per clcolre l distnz di un stell prtire d ltri dti. Uno di questi prende il nome di metodo dell prllsse. L prllsse è lo spostmento pprente di un oggetto rispetto llo sfondo, qundo viene osservto d due punti diversi. Supponimo di conoscere tutti i dti rigurdnti il tringolo ABC: lunghezz dei lti, ltezz CH e misur degli ngoli p e q. Si può llor utilizzre questo tringolo per misurre l grndezz FG. Inftti i due tringoli nell figur sono simili: hnno gli stessi ngoli p e q. Due tringoli simili hnno un crtteristic importnte: il rpporto tr le lunghezze di due lti qulsisi è lo stesso in un tringolo e nell'ltro. Se conoscimo l misur dell bse del secondo tringolo, cioè DE, possimo conoscere nche FG. Inftti, per l proprietà dei tringoli simili, srà FG DE CH AB

38 Quest proprietà viene ust dgli stronomi per misurre l distnz di un stell. Provndo gurdre prim con un occhio e poi con l'ltro degli oggetti posti distnze diverse, ci si ccorge che l prllsse è sempre più piccol mn mno che l distnz cresce. Le stelle sono molto lontne, perciò misurndone l posizione d un occhio e dll'ltro non vedrebbe lcun differenz prllsse dell stell. Per poter vedere un piccol differenz nell posizione di un stell rispetto lle stelle vicine, bisogn osservrl d due punti molto distnti tr loro. L'unico modo per misurre l prllsse stellre è osservre l stell d due estremi opposti dell'orbit dell Terr. Per fre questo bisogn compiere le osservzioni distnz di sei mesi l'un dll'ltr. L distnz tr questi due punti è circ 300 milioni di chilometri: ppen sufficienti per misurre l distnz delle stelle più vicine noi...s ed S sono le due posizioni pprenti dell stell S distnz di sei mesi. L'ngolo p nell figur qui sopr è l Durnte l'nno, l stell S sembr percorrere un'ellisse nel cielo. Ess viene chimt ellisse di prllsse. In reltà è l Terr che descrive tle ellisse, orbitndo intorno l Sole. Nel corso dell'nno, un stell vicin sembr percorrere un ellisse nel cielo, rispetto lle stelle che stnno sullo sfondo. Esse sono così lontne che le vedimo sempre nell stess posizione in cielo. Gli stronomi usno spesso come unità di misur delle distnze il prsec. "Prsec" è l'bbrevizione di "prllsse secondo" ed è l distnz dll qule si vede il rggio dell'orbit terrestre

39 esttmente sotto un ngolo di secondo d'rco. prsec equivle 3,6 nni luce. Il prsec, clcolto in modo trigonometrico, geometricmente è il cteto lungo del tringolo rettngolo che h come bse l distnz Terr - Sole, e come ngolo l vertice un secondo (") di grdo sessgesimle. Il metodo dell prllsse si può usre solo per stelle molto vicine, proprio perché oltre un cert distnz l prllsse divent così piccol d non poter più essere misurt. Le prllssi delle stelle sono tutte inferiori d secondo d'rco. Per esempio, l prllsse di Proxim Centuri, l stell più vicin l nostro Sole, è pri 0,8. PROBLEMI RISOLUBILI CON METODI GONIOMETRICI. Conviene, volte, nell risoluzione di problemi geometrici, scegliere come incognit l mpiezz di un ngolo. Le relzioni tr l incognit e i dti che individuimo dll nlisi del problem si trducono, llor, in equzioni o disequzioni goniometriche. Le relzioni che si utilizzno sono quelle che si ricvno di teoremi dell geometri euclide: questi costituiscono delle relzioni tr gli elementi di un figur, che possono essere espresse lgebricmente medinte equzioni e disequzioni. Vedimo lcuni esempi, con e z l utilizzo di prmetri. Problem Il centro dell circonferenz inscritt in un tringolo rettngolo ABC, retto in C, dist 5 e 0 rispettivmente di vertici A e B. Determinre le lunghezze dei lti del tringolo. Svolgimento Poiché il centro dell circonferenz inscritt è il punto d incontro delle tre bisettrici, il segmento OA pprtiene ll bisettrice dell ngolo BAC; nlogmente il segmento OB pprtiene ll bisettrice dell ngolo ABC. Relzioni tr dti e incognite:

40 OA 5, OB 0 ponimo x OAK llor vremo che OBK x 4 x Nel tringolo AOK vremo: Nel tringolo BOK vremo: OK 5x OK uguglindo le due espressioni, quindi: 0 x. Ricvimo or il rggio dell circonferenz 4 5 x 0 x. Abbimo un limitzione, inftti deve essere 4 0 x. 4 Non h so considerre i csi limite x=0 e x = 4 dto che non si vrebbe più un tringolo. Risolvimo or l equzione utilizzndo l formul di sottrzione del o: 5 x 0 cos x x d cui 5 x 5 cos x x e x cos x x. Or, poiché x possimo dividere entrmbi i membri per cosx, ottenendo : tgx tg x punto, spendo che: x ricvimo il vlore di x tg x. A questo x tgx. tg x 5 5 Quindi OK 5x. Clcolimo or i lti del tringolo: AC BC AB AL OM AC LC MB BC OL tgx N.B. Le misure dei lti del tringolo sono un tern pitgoric. 4 Problem Un tringolo rettngolo ABC h l ipotenus BC lung. Indichimo con M il punto medio del cteto AC e con N l proiezione ortogonle di M su BC. Determinre l ngolo A CB in modo che

41 risulti NC + MC = k, dove k indic un numero rele positivo. In qule prticolre cso quest somm vle? Svolgimento Osservzione: tr i dti del problem vi sono due prmetri costnte, mentre il secondo è un prmetro vribile. e k. Il primo è un prmetro Indichimo con x l ngolo ACB. Di teoremi sui tringoli rettngoli, pplicti prim l tringolo ABC retto in A, poi il tringolo NCM, retto in N, ricvimo: AC NC cos x quindi MC cos x cos x cos x cos x L equzione che esprime l relzione dt dl problem è l seguente: cos x cos x k cos x cos x k. Limitzioni: intuitivmente l mpiezz dell ngolo x può vrire tr 0 e : Se fosse x = : llor non si vrebbe più il tringolo ABC, il cteto AC misurerebbe 0 e l relzione dt si ridurrebbe 0 = k, impossibile poiché entrmbi i prmetri sono numeri reli positivi. Se fosse x = 0, ugulmente non si vrebbe il tringolo ABC (ridotto l segmento BC con B A). In questo cso però l relzione dt divent: + = k che è verifict per k = 3. V perciò inclus tr le soluzioni possibili come soluzione limite. Le limitzioni sono quindi: 0 x. Il problem quindi si riduce ll soluzione di: cos x cos x k 0 x Per discutere quest equzione introducimo un nuov vribile: X = cosx. In questo cso se x = 0 llor cosx = mentre se x = llor cosx = 0,pertnto bbimo quest nuov formlizzzione: X 0 X X k e, d ogni vlore di x compreso tr 0 e, corrisponde un vlore di cosx compreso tr 0 e. Il discriminnte dell equzione è positivo se k -, m piochè k è un numero rele positivo, si hnno sempre soluzioni lgebricmente ccettbili. Dobbimo però stbilire se queste soddisfno le - 4 -

42 condizioni poste dl problem: per fre ciò fremo un discussione grfic. Considerimo l equzione X X k come equzione risolvente del sistem: Y Y X k X prbol fscio di rette prllele ll' sse x Rppretimo le due curve nel pino crtesino e considerimo l rco di prbol individuto dlle condizioni del problem: Se 0 k 3 il problem h sempre un soluzione. In prticolre se k = 3 si h l soluzione limite. L equzione h inftti due soluzioni: X = - 3 e X = di cui solo l second è ccettbile: X = llor cosx = e quindi x = 0. In questo cso il tringolo ABC si riduce l segmento BC. Ricerc dell soluzione prticolre: il problem chiede in qule cso l somm NC + MC =. poiché tle somm è k, deve essere k =, cioè: X X 0. Le soluzioni sono: X X 3 3 d scrtre cos x 3 x rccos Problem 3 Si ABC un tringolo equiltero di lto l. sull semicirconferenz di dimetro BC estern l tringolo, determinre un punto P in modo che risulti mssim l somm: Esdo PH l distnz di P dll rett BC. AP AB PH

43 Svolgimento Trccimo per prim cos i segmenti PB e PC, il tringolo CPB è rettngolo in P. Sceglimo come incognit l ngolo x PBA (con 0 x ) e ricvimo subito le espressioni di CP e PB. CP PB lx l cos x Ricvimo l espressione di PH: PH CP CB PB lx l cos x l lxcos x Or ricvimo l espressione del segmento AP. Spendo che: C BA, determinre l lunghezz di AP equivle determinre l distnz tr due 3 punti ccessibili seprti d un ostcolo quindi è sufficiente pplicre il teorem di Crnot. Abbimo AP AB PB AB PBcos 3 x 4l 4l cos x l l cos xcos 3 x 4l 4l 8l cos xcos x 3 Or, utilizzndo le formule di ddizione per il coo, quelle di dupliczione per il o e con opportune semplificzioni rrivimo ll espressione: AP 4l 3l x. A questo punto l relzione del problem divent: AP AB PH 4l 3l x l x l 3 x 4l Limitzioni: 0 x, nei due csi limite x = 0 e x = non esiste il tringolo CPB. Affinché l espressione dt si mssim deve essere x= quindi x e x