XIX CICLO SETTORE SCIENTIFICO DISCIPLINARE GEO/11 SEPARAZIONE DI CONTRIBUTI DI ONDA PIANA E DI CAMPO VICINO PER L INVERSIONE DI DATI MAGNETOTELLURICI

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1 ALMA MATER STUDIORUM UNIVERSITÀ DI BOLOGNA DOTTORATO DI RICERCA IN GEOFISICA XIX CICLO SETTORE SCIENTIFICO DISCIPLINARE GEO/ SEPARAZIONE DI CONTRIBUTI DI ONDA PIANA E DI CAMPO VICINO PER L INVERSIONE DI DATI MAGNETOTELLURICI TUTORE: DOTT.ZACCARIA PETRILLO CANDIDATO: MARIA GIULIA DI GIUSEPPE REFERENTE: C.MO PROF. DOMENICO PATELLA COORDINATORE DEL DOTTORATO: C.MO PROF. MICELE DRAGONI

2 Intoduzione Nei pimi anni 50 Andei Nikolaevich Tikhonov, matematico e fisico usso, intodusse la Magnetotelluica (MT) come metodo di pospezione geofisica, ma cuiosamente, fose a causa della stessa vastità dei suoi inteessi, non ne intuì appieno le sue potenzialità. A pochi anni di distanza, con un famoso aticolo del 953, fu il fisico fancese Louis Cagniad a ivelae a pieno la foza di questa metodologia, condividendone di diitto la patenità. La MT è un metodo a sogente natuale che sfutta le vaiazioni del campo magnetico teeste di oigine estena nella banda di fequenza z. La complessa inteazione del vento solae (sostanzialmente potoni ed elettoni libei) con la magnetosfea teeste genea campi elettomagnetici (EM) che eccitano sistemi di coenti nella ionosfea. La iemissione di campo EM veso la supeficie teeste, compesa nell intevallo di fequenza 0-4 z, è la sogente a bassa fequenza MT. Nell intevallo 0 4 z la sogente è invece legata alle auto-oscillazioni di Schumann del sistema tea-ionosfea eccitate dalla attività tempoalesca, paticamente continua nella fascia ta i topici. Il pincipio su cui si basa la Magnetotelluica è l appossimazione diffusiva del campo EM all inteno di un conduttoe, viste le fequenze MT e l intevallo di esistività Ω m, che caatteizza i mateiali teesti. Il valoe del campo magnetico alla supeficie è deteminato dal campo incidente e dai campi secondai indotti dalle coenti di Foucault, mente il campo elettico è icavato dalla diffeenza di potenziale ta due punti della supeficie. Nonostante la Magnetotelluica si sia dimostata un potente e vesatile mezzo geofisico pe studi fondamentali sia su stuttue continentali che di dettaglio, iceca di idocabui e sogenti geotemiche, i notevoli vantaggi ispetto ad alti metodi di pospezione legati all utilizzo di sogenti natuali sono bilanciati dal non contollo delle sogenti, che appesenta il punto più delicato dell applicazione del metodo, sopattutto in aee fotemente ubanizzate, dove le sogenti di tipo antopico legate alle linee di distibuzione della coente elettica ed alle eti feoviaie, anche esse elettiche, sono difficilmente tattabili sia dal punto di vista matematico che da quello statistico. Queste ultime, infatti, dal punto di vista elettomagnetico, possono essee appesentate da segnali dipolai (campo vicino) che, in geneale, si sovappongono o possono oscuae la sogente MT, impedendo la coetta stima della esistività appaente. In paticolae, il segnale immesso dai teni nel teeno tende a popagasi, mantenendosi coeente pe un aggio dell odine delle decine di chilometi.

3 Questo contesto spinge all utilizzo di nuove e più sofisticate tecniche di analisi dati, capaci di sfuttae, inolte, il caattee altamente multivaiato della natua del poblema e la possibilità di avee un numeo di canali di acquisizione dati più elevato ispetto al passato gazie alle nuove tecniche di acquisizione. Le tecniche di pocessing che si basano su un modello statistico multivaiato, quindi, appaiono essee, anche a seguito della più ecente letteatua, le più pomettenti pe la soluzione delle poblematiche pima accennate. Ta queste l algoitmo più ecente, è quello intodotto da Egbet (997), che pemette di definie uno stimatoe dei paameti MT, chiamato RMEV, che si basa sull analisi obusta di aa di stazioni costituite da multipli canali, e che pemette di esploae in dettaglio la stuttua del segnale elettomagnetico, di fonie una stima del numeo di seie coeenti (d onda piana e non) pesenti nello spazio vettoiale dei dati e di icostuie tutte le elazioni lineai che collegano ta loo singoli canali con singoli canali o guppi di canali a guppi di canali, come, ad esempio, gli elementi del tensoe impedenza, nel caso delle funzioni di tasfeimento ta canali locali magnetici e canali locali elettici, la funzione di tasfeimento magnetico nel caso di canali magnetici di siti diffeenti, ed il tippe nel caso di canali locali magnetici. In questo lavoo di tesi, si è cecato di stimae, utilizzando l analisi multivaiata, le cuve di esistività appaente e fase elative a sondaggi MT effettuati ai Campi Flegei, pe ottenee un imaging elettomagnetico dell aea. I Campi Flegei, totalmente ubanizzati e stuttualmente complessi, appesentano un ambiente in cui, l applicazione dei metodi elettomagnetici è paticolamente complicata, sia dal punto di vista del segnale elettomagnetico, con una sota di bagno in cui sono state immese le stazioni di misua, caatteizzato da una seie di dipoli elettici mobili e contempoanei, i teni locali e nazionali, che cicondano i siti, ceando complessi effetti sulla natua dei campi alla supeficie, a pioi tutti da identificae, sia pe il caattee fotemente 3D delle stuttue geologiche da analizzae, che si aggiunge ad un possibile effetto di sceening del mae. Alla luce di quanto detto, il nucleo del lavoo di tesi è stata la iceca di un citeio che pemettesse di discenee i contibuti associabili a sogenti d onda piana da quelli di campo vicino, di natua antopica, implementando aspetti paticolai delle tecniche multivaiate applicate in maniea standad in MT, insieme ad un lavoo di test, sintetici e non, in fase di invesione dei dati. 3

4 La tesi si sviluppa sostanzialmente in due pati: nella pima pate, che compende i pimi quatto capitoli, di caattee puamente teoico, si sistematizza l intoduzione della metodologia e dei poblemi legati alla natua delle sogenti, olte a sviluppae un utile iassunto delle tecniche di analisi dati. La seconda pate (quinto e sesto capitolo) compende il lavoo speimentale, con le misue di campagna (4 sondaggi MT e 7 sondaggi CSAMT), l effettuazione di test su set di dati contollati pe veificae l estendibilità dell appoccio multivaiato all analisi del segnale MT non solo da un punto di vista teoico, l elaboazione dei dati accolti, analizzati in dettaglio sito pe sito sulla difficile stada della sepaazione del segnale MT dal noise coeente, e l invesione D di un pofilo paallelo alla costa. 4

5 Pincipi teoici. Equazioni di Mawell nei mezzi macoscopici Le equazioni di Mawell, pe il campo elettico E e il campo magnetico B, possono essee concepite come equazioni che foniscono i campi in ogni punto dello spazio, puché siano note le sogenti appesentate dalla densità di caica q e dalla densità di coente J. Se le sogenti sono localizzate e in piccolo numeo, la deteminazione dei campi è un poblema tattabile, ma, in pesenza di aggegati macoscopici di molecole la soluzione delle equazioni è paticamente impossibile. In genee ciò che è impotante è il valoe del campo o della sogente su un volume che è gande ispetto al volume occupato da un singolo atomo o da una molecola. Chiamiamo queste gandezze medie i campi macoscopici o le sogenti macoscopiche. Le equazioni di Mawell macoscopiche sono: v D(, t) = q v B(, t) = 0 v v B(, t) E(, t) + = 0 (.) t v v D(, t) v (, t) = J(, t) t dove E(, t) [Vm - ] è il vettoe intensità del campo elettico, B(, t) [Vsm - ] è il vettoe induzione magnetica, (, t) [Am - ] è il vettoe intensità del campo magnetico, D(, t) [Asm - ] è il vettoe di induzione dielettica o vettoe spostamento elettico, J(, t) [Am - ] è il vettoe densità di coente e q [Cm - ] la densità di caica. Le sogenti del campo elettomagnetico non sono fa di loo completamente indipendenti essendo soggette alla condizione di consevazione della caica, fomalizzata attaveso l equazione di continuità q J + = 0 t (.) L insieme delle equazioni di Mawell coinvolge le componenti dei quatto campi vettoiali E(, t), B(, t), (, t) e D(, t). Pe una loo isoluzione fomale è necessaio espimee i campi deivati, (, t) e D(, t) in funzione di E(, t) e B(, t). Queste elazioni, implicite nelle equazioni di Mawell, sono note come elazioni costitutive ed assumono la foma 5

6 D = D[E, B] e = [E, B]. A queste va affiancata, pe i mezzi conduttoi, la legge di Ohm genealizzata, J = J[E, B]. Queste elazioni, non necessaiamente semplici, iflettono le popietà elettomagnetiche del mezzo mateiale in esame e, nel caso di mezzi omogenei ed isotopi, assumono la semplice foma D = εe (.3) B = µ (.4) dove µ è la pemeabilità magnetica e ε è la pemittività elettica, che nel vuoto assumono ispettivamente i valoi 7 µ 0 = 4π 0 hen/meto e ε0 = faad/meto, mente la legge di Ohm assume la foma J = σe = E (.5) ρ dove σ appesenta la conducibilità elettica del mezzo, ed il suo ecipoco ρ, la esistività elettica.. Condizioni ai limiti sulle supefici di sepaazione ta mezzi divesi Le equazioni di Mawell sono valide all inteno di ogni dominio omogeneo del mezzo mateiale consideato. All intefaccia ta due mezzi omogenei diffeenti i valoi dei paameti che caatteizzano il mezzo (µ,σ,ε) possono avee busche vaiazioni. Quindi nel caso in cui pozioni divese dello spazio siano iempite con mateiali con caatteistiche elettiche divese, il poblema viene tattato isolvendo le equazioni di Mawell all inteno di ogni mateiale e imponendo ai campi, sulle supefici di sepaazione ta mateiali divesi, le condizioni di accodo. Figua.: Condizioni al contono sul campo elettomagnetico all'intefaccia ta due mezzi omogenei. 6

7 Detto nˆ il vesoe nomale alla supeficie di sepaazione ta due mezzi, in un dato punto, se si suppone che siano assenti caiche e coenti estene, valgono, pe le componenti nomali dei campi, le seguenti elazioni: (B B) nˆ = 0 (D D ) nˆ = η (.6) dove η è la densità supeficiale di caiche elettiche lungo l intefaccia ta i due mezzi. Dunque la componente nomale di B è continua nella tansizione attaveso l intefaccia, mente quella di D subisce una discontinuità pai popio a η. Questa condizione si icava applicando il teoema della divegenza ad un cilindetto con basi appatenenti ai mezzi e disposto pependicolamente all intefaccia. Pe le componenti tangenziali dei campi, invece si avà: nˆ ( ) = JS nˆ (E E ) = 0 dove (.7) J S appesenta la densità di coente supeficiale. Questa condizione si ottiene applicando il teoema di Stokes ad un cicuito che va dal mezzo al mezzo lungo un piano passante pe la nomale alla supeficie. Nel caso in cui la densità di caica supeficiale q S e la densità di coente supeficiale J S siano nulle si ottengono delle equazioni la cui validità nel caso che i due mezzi siano dielettici è estendibile senza alcuna modifica dal caso stazionaio a quello non stazionaio e, dunque, al caso di onde elettomagnetiche che attavesino la supeficie di intefaccia ta due mateiali dielettici divesi..3 Onde elettomagnetiche nei conduttoi Consideiamo un onda elettomagnetica incidente su un conduttoe omogeneo e indefinito. Pe effetto del campo elettomagnetico peiodico, gli elettoni libei del conduttoe si muoveanno con moto oscillatoio fozato, e a questo moto si accompagneanno effetti dissipativi. Ci aspettiamo, dunque che quando un onda elettomagnetica si popaga in un conduttoe, l onda si attenui e il conduttoe si iscaldi. Nel caso di un conduttoe ohmico la elazione che lega staticamente la densità di coente J al campo elettico E applicato è la legge di Ohm (.5). Tattandosi di una elazione locale, che lega cioè solo gandezze calcolate nello stesso punto, ci aspettiamo che questa elazione valga anche in condizioni non stazionaie. 7

8 La quata equazione di Mawell nel caso di un conduttoe ohmico saà: E = σe + ε t (.8) calcolando il otoe e utilizzando una nota identità vettoiale (a), otteniamo pe il campo magnetico la seguente elazione = σ( E) + ε ( E) (.9) t e sostituendo la teza equazione di Mawell si ha = σµ + εµ t t (.0) Un equazione fomalmente identica si ottiene pe E applicando l opeatoe otoe alla teza equazione di Mawell e confontandola con la quata. Pe cui in definitiva le equazioni pe la popagazione dei campi elettomagnetici in un mezzo isotopo e omogeneo avente conduttività elettica σ, pemeabilità µ e costante dielettica ε saanno σµ εµ = 0 t t E E E σµ εµ = 0 t t (.) Consideiamo, pe il momento, i paameti µ e ε indipendenti dalla fequenza e sciviamo il campo elettico e quello magnetico come il podotto di una componente sinusoidale nel tempo e di una funzione delle sole coodinate spaziali ( ik + iωt ) ( ik + iωt ) E(, t) = E( ω)e Sostituendo queste espessioni nelle (.) abbiamo E iωσµ E + εµω E = 0 Analizziamo due casi limite: (.) (, t) = ( ω)e iωσµ + εµω = 0 (.3) Nello spazio libeo ed in molti dielettici la conducibilità elettica σ 0 endendo tascuabile il temine in ω. Le equazioni pecedenti diventeanno E + εµω E = 0 (.4) + εµω = 0 (a) A = A + ( A) 8

9 queste equazioni note come equazioni di elmotz sono equazioni d onda stazionaia poiché non compae la dipendenza dal tempo, e il campo elettomagnetico si popaga senza attenuazione. Nei metalli e nei mezzi altamente conduttivi il temine tascuabile è quello in ω. Si ottiene quindi E iωσµ E = 0 iωσµ = 0 (.5) questo tipo di equazione è nota come equazione di diffusione e il campo elettomagnetico di diffonde con un fattoe di attenuazione legato a σ. Queste due elazioni si iducono all equazione di Laplace nel caso di onde elettomagnetiche che si popagano nell aia o in occe caatteizzate da una conduttività molto piccola. Genealmente, queste equazioni sono di difficile isoluzione. Esiste, peò, un caso paticolae, quando si considea un onda piana polaizzata, in cui si ottiene facilmente una soluzione. Assumiamo che l onda si stia popagando lungo l asse z, in modo che il piano sia il piano di polaizzazione.si avà (z, t) e (kz iωt) = = + (.6) 0 da cui sostituendo nella pima delle (.5) le seguenti elazioni = = k = iω z t abbiamo il numeo d onda k, pe un modello quasi stazionaio k ωσµ = iωσµ k = ± ( + i) = ± ( + i)a (.7) (.8) ωσµ con a =. Poiché deve avee un valoe finito quando z +, scatiamo la soluzione con il segno positivo, ottenendo = (.9) iωt (+ i)az az+ i( ωt az) 0e = 0e Consideiamo, come soluzione ichiesta solo la pate eale az = 0e cos( ωt az) (.0) la seconda pate della pecedente espessione caatteizza un semplice moto amonico con un popio shift di fase. L esponenziale, invece, appesenta l attenuazione δ dell onda. 9

10 Le onde elettomagnetiche, quindi, hanno uno smozamento esponenziale con la distanza: un onda che peneta in un conduttoe è smozata pe un fattoe /e=0.369 su una distanza δ = a = ωσµ (.) Questa espessione è l appossimazione valida pe buoni conduttoi. La distanza δ pende il nome di skin depth o pofondità di penetazione. Pe un conduttoe ame il ame δ=0.85 cm pe una fequenza di 60 z e δ= pe 00 Mz. Figua.: Le onde elettomagnetiche penetano in pofondità in modo invesamente popozionale alla fequenza. A ogni fequenza il appoto E/ detemina la esistività elettica media in funzione dello skin depth. Combinando le misue a divese fequenze si ottengono le vaiazioni di esistività in pofondità. 0

11 Il metodo magnetotelluico La magnetotelluica (MT), nata negli anni 50, è uno dei metodi di pospezione geofisica, che pe studiae la stuttua di conducibilità elettica del sottosuolo utilizza come sogente campi elettomagnetici natuali, cioè non podotti dall intevento umano, ma pesenti in natua. Pemette l esploazione di zone impevie, o povee di dati sismici, a costi molto bassi, ceando un minimo, se non popio nullo impatto ambientale. L idea alla base del metodo MT è molto semplice: scelto un punto di ossevazione sulla supeficie teeste, le componenti oizzontali dei campi magnetici ed elettici, misuati in tale punto e associati a sogenti natuali ci pemettono di ottenee infomazioni sulla stuttua elettica del sottosuolo. Il appoto, infatti, ta l intensità del campo elettico e quella del campo magnetico, definisce una quantità che ha le dimensioni di un impedenza elettica e che, in paticolai condizioni, è funzione delle popietà elettiche del mezzo. Figua.: Spetto delle ampiezze delle vaiazioni MT nell'intevallo di fequenze z. La foza del metodo sta nella capacità, che lo ende unico ta le alte tecniche di pospezione geofisica, di esploae un ange di fequenze molto ampio. A fequenze elativamente alte, a causa dell effetto di skin, l impedenza fonisce infomazioni soltanto sulle popietà degli stati più supeficiali. A fequenze più basse, invece, la lunghezza di penetazione del campo aumenta, pemettendo in questo modo l ossevazione di aee più pofonde. Nonostante la sua potenza e vesatilità il non contollo delle sogenti appesenta pe alti vesi anche il punto più delicato dell applicazione MT, sopattutto in aee fotemente ubanizzate, dove a quella MT si sovappongono sogenti di tipo antopico, legate alle linee di distibuzione della coente elettica ed alle eti feoviaie, anche esse elettiche, che, sopattutto in alcune bande di fequenza possono isultae dominanti e che sono, inolte, difficilmente tattabili sia dal punto di vista matematico che da quello statistico.

12 . Sogenti del metodo MT Il metodo magnetotelluico utilizza come sogente le vaiazioni nel tempo della componente di oigine estena del campo magnetico teeste (c.m.t.). Sulla supeficie teeste il 98% cica del c.m.t è di oigine intena alla tea, mente il imanente % è di oigine estena. Il campo magnetico di oigine intena, vaia così lentamente nel tempo, che può essee consideato costante nel ange tempoale analizzato dal metodo magnetotelluica. Figua.: Spetto delle pincipali vaiazioni tempoali del c. m. t.. Le ampiezze delle vaiazioni di oigine intena non sono in scala con quelle delle vaiazioni di oigine estena [Galand, 975]... Sogenti ad alta fequenza Le sogenti MT sono di natua diffeente. Pe fequenze che vanno da a 0 4 z sono pincipalmente dipendenti dall attività meteoologica ed in paticolae dai fulmini legati ai gandi tempoali, che appesentano una sogente di enegia elettomagnetica sostanzialmente unifome data la pesenza più o meno costante di tempoali sulla supeficie teeste. Il punto in cui abbiamo la maggioe attività tempoalesca è localizzato nelle egioni equatoiali, dove le piogge sono pesenti in media 00 gioni all anno. Se si analizza l andamento a beve distanza del campo elettomagnetico geneato da un fulmine, si osseva un alta densità di enegia in una banda che va da a 0 kz. Popagandosi a distanze più gandi le componenti ad alta fequenza si attenuano, mente quelle a fequenza minoe si amplificano gazie ad una popagazione a guida d onda con iflessioni multiple dei fonti d onda ta la supeficie teeste e la ionosfea. Alle noste latitudini questo meccanismo conduce a fonti d onda sostanzialmente piani nella banda di fequenza [-0 4 ] z.

13 Figua.3: Numeo medio di tempoali pe anno sulla supeficie teeste. Figua.4: Spetto della densità di enegia del campo elettomagnetico geneato da un fulmine, in funzione della distanza... Sogenti a bassa fequenza Uno dei vantaggi della MT è la possibilità di esploae gandi pofondità: le fequenze più inteessanti sono, quindi, quelle che vaiano nell intevallo -0-4 z. In questo ange di fequenze le vaiazioni del campo elettomagnetico teeste di oigine estena, sono legate all inteazione del vento solae con il campo magnetico teeste pemanente e con la ionosfea. Nelle vicinanze della tea, ad una distanza pai a 3-4 volte il aggio teeste, le linee di foza del campo magnetico teeste sono abbastanza simmetiche, mente a distanze maggioi, il campo comincia a defomasi: le linee di foza si infittiscono nella pate ivolta al sole, mente si diadano nella pate opposta. Questo accade a causa dell inteazione ta il campo magnetico e il vento solae, ossia il flusso di paticelle caiche che viene espulso senza inteuzione dal sole a velocità compese ta 300 e 800 km/s. Queste paticelle, pincipalmente potoni ed 3

14 elettoni, vengono intappolate nella magnetosfea e deflesse in diezione pependicolae alla loo diezione di popagazione ed alle linee di foza del campo magnetico teeste. L effetto globale di questi fenomeni è una busca diminuzione del c.m.t. fino al livello di qualche nt, in una limitata zona di spazio, detta magnetopausa, che appesenta il limite esteno della magnetosfea, cioè, della zona di spazio influenzata dal c.m.t.. La magnetopausa tende a spostasi avanti e dieto al vaiae dell enegia del vento solae. Il suo bodo è più schiacciato veso la tea nella diezione del vento solae aivando a distanze di 4-5 aggi teesti mente tende ad allungasi, fino a 0-0 aggi teesti, nella diezione opposta. Figua.5: La magnetosfea teeste, inteagendo col vento solae, assume la caatteistica foma a goccia (iquado in alto). Questi fenomeni si accentuano in occasione delle tempeste magnetiche che si veificano in peiodi di più intensa euzione delle macchie solai. Le pulsazioni della magnetopausa geneano all inteno della ionosfea onde magnetoidodinamiche, legate alle coenti elettiche indotte, ed ai conseguenti spostamenti di caiche elettiche, il cui effetto globale è di modificae pofondamente gli effetti magnetici che hanno oigine nella magnetopausa, mente si popagano veso la supeficie teeste. Quando sono ossevati alla supeficie teeste, questi effetti sono classificati come micopulsazioni, se oiginati dalle vaiazioni del vento solae, o come effetti diuni, se oiginati da effetti legati alla otazione del pianeta e della magnetosfea ad esso solidale con la sua foma simmetica. 4

15 Figua.6: Registazioni di Z (componente veticale del c.m.t.), (componente oizzontale nella diezione N-S), D (componente oizzontale nella diezione E-W) ottenute (a) in un giono di quiete magnetica, (b) in un giono di tempesta magnetica. Figua.7:Andamento dei campi MT in occasione di euzione delle macchie solai. Alle noste latitudini, in appossimazione locale, i campi magnetici indotti da questi fenomeni possono essee consideati un fonte d onda piano che incide pependicolamente sulla supeficie teeste e che cope la banda di fequenza [-0-4 ] z. Figua.8: Campi MT geneati dalle isonanze magnetiche. 5

16 . Tensoe impedenza e esistività Pe adattae le equazioni di Mawell alla MT è necessaio fae alcune assunzioni semplificative. Le sogenti MT, come appena visto, copono uno spetto di fequenze che va da 0-4 z a 0 4 z. E dimostato [Madden&Nelson, 964] che in tale banda di fequenze il campo elettomagnetico esteno incide sulla supeficie teeste con un fonte d onda sostanzialmente piano. Quindi, pe sviluppae una base pe deteminae il pofilo di conduttività elettica del sottosuolo, possiamo, quindi, utilizzae un modello fisico pe cui il campo MT, indotto dalle coenti ionosfeiche e magnetosfeiche, ha la foma di un onda piana che viaggia veticalmente all inteno di un mezzo statificato e oizzontalmente unifome. Assumiamo che la tea sia, quindi, costituita da n stati ognuno con esistività ρ n e di spessoe h n e che sia pesente un campo elettomagnetico che non dipende dalle coodinate del piano oizzontale, ma sia funzione della sola coodinata z (b).tale campo oizzontale e unifome, è indotto dalle coenti localizzate nella supeficie libea. Figua.9: Modello pe un mezzo statificato. Questo campo pimaio, a sua volta, genea coenti nel mezzo conduttivo che inducono un campo elettomagnetico secondaio. Dato che la densità di coente indotta è sempe la stessa in ogni piano oizzontale, il campo secondaio avà componenti e E che non dipendono dalle coodinate. Quindi il campo elettomagnetico totale, somma di un campo pimaio geneato nello spazio libeo e di un campo secondaio geneato dalle coenti indotte nel mezzo conduttivo, avà la foma E = (E,0,0) e = (0,,0). In questo caso le equazioni di diffusione diventano d E dz d dz + k E + k = 0 = 0 (.) E E (b) = = = = 0 6

17 dove k ha l espessione data nella (.8). Queste due equazioni sono valide pe i campi elettici e magnetici all inteno di ogni stato ma non sono valide su una supeficie di sepaazione ta due stati successivi. In questo caso dobbiamo sostituie le (.) con le equazioni che caatteizzano le condizioni al contono. Le componenti dei campi elettici e magnetici sono continue quando si passa da uno stato n ad uno n+. E (n+ ) (n+ ) = E = (n ) (n ) (.) dove stiamo assumendo z=h n. Le soluzioni delle equazioni di diffusione pe i campi avanno un espessione comune E (n) iknz iknz = A ne + Bne (.3) dove k n è il numeo d onda pe l ennesimo stato. Pe ottenee un espessione del campo magnetico in temini di coefficienti A n e B n facciamo un passo indieto. Sostituendo la pima delle (.) nella quata equazione di Mawell si ottiene: = σe iωεe (.4) Il pimo temine appesenta le coenti di conduzione, mente il secondo temine, iωε E, appesenta le coenti di spostamento che giocano un uolo fondamentale nella popagazione del campo elettomagnetico. Il appoto ta i due temini di coente è dato da ωε σ = 9 πρν 0 ρ 0 (c) 36π = 0 T (.5) Il ange in cui vaia il peiodo nomalmente utilizzato in MT, vaia da 0.0 a 000 sec, mente la esistività nomalmente incontate vanno da a 000 Ωm. E chiao, peciò, che le coenti di spostamento possono essee tascuate quando applichiamo il metodo magnetotelluico. Questo significa che abbiamo a che fae con un puo pocesso di diffusione, ossia un campo quasi stazionaio che è descitto dal sistema di equazioni E = iωµ = σe E z quindi nel nosto caso si avà = iωµ = ( iωµ ) E z da cui (.6) (c) ε = π F m 7

18 (n) k ωµ ik nz ik nz ( A e B e ) n = (.7) n n iknz ne A appesenta la pate del campo che diminuisce all aumentae di z, pate del campo che cesce al diminuie di z. n ik nz B e, invece, la.. Semispazio omogeneo A questo punto consideiamo il semplice caso di un semispazio omogeneo. Figua.0: Modello di un semispazio unifome Poiché l intensità del campo deve diminuie con il cescee di z, come conseguenza della tasfomazione dell enegia elettomagnetica in caloe, l espessione pe le componenti dei campi saà: ikz E = Ae k = Ae ωµ ikz I campi elettici e magnetici decescono allo stesso modo, all aumentae di z. Pe appesentae un campo che oscilla amonicamente con il tempo, le componenti devono essee scitte nella seguente foma: (.8) ikz iω E = Re(Ae e k ikz = Re Ae e ωµ t iωt Alla supeficie abbiamo E (0) = A k E (0) = ωµ (.9) (.0) dove A contiene infomazioni sulla pate pincipale e secondaia del campo. Patendo dal appoto E ωµ = si possono definie gli elementi Z e Z dell impedenza k E ωµ ωµ ωµ i ρ i Z = = = = 4 = π 4 e e 0 / k (iσωµ ) σ 5T / π π 3 Ω (.) 8

19 Z E = ωµ = k (d) In accodo con le equazioni (.8), pe il caso di un semispazio omogeneo, E / e E / non dipendono dalla coodinata z e imangono costanti pe ogni piano. L impedenza Z e, quindi, definita da un modulo / ρ 3 Z = π 0 Ω (.) 5T e da una fase π pe (E, ) φ = 4 (.3) π π pe (E, ) 4 La fase è indipendente dalla esistività del semispazio unifome, mente il modulo dell impedenza diminuisce all aumentae della conduttività e del peiodo di oscillazione. Dalla elazione nota come fomula di Cagniad, si icava la esistività di un semispazio omogeneo: ρ = Z = Z (.4) ωµ ωµ.. Modello D Passiamo da un semispazio omogeneo ad un caso unidimensionale. Consideiamo un modello di sottosuolo D, oizzontalmente statificato costituito da un insieme di N stati, ognuno caatteizzato da una esistività ρ j (j=,.,n) e da uno spessoe d j (j=,.,n-). I campi si popagheanno ancoa in diezione paallela a z e saanno ancoa valide le espessioni pe Z e Z, ma non saà possibile isalie alla eale esistività del sottosuolo. Possiamo peò definie una esistività appaente ρ a( ω) = Z (.5) ωµ (d) i = e π i / = ± e π i 4 ( + i) = ± 9

20 0 che fisicamente viene intepetata come la esistività eale di un semispazio ideale, omogeneo ed isotopo, che fonisca, pe ogni fequenza, un valoe di impedenza in supeficie, pai a Z. Alla esistività appaente si può associae una fase Re(Z) Im(Z) actg ) ( a = ρ φ (.6) Il legame ta E e può essee espesso nella foma = 0 Z Z 0 E E (.7) con Z =-Z. Nel caso unidimensionale, è inteessante notae che, qualunque sia il numeo degli stati, le componenti oizzontali del campo elettico e magnetico sono latealmente invaianti, essendo 0 = =...3 Modello D Un caso inteessante e molto fequente nella patica, è quello in cui abbiamo una esistività ρ=ρ(,z) che dipende da due paameti (questo è il caso che itoviamo quando siamo in pesenza di una faglia). In questo tipo di simmetia l asse appesenta una diezione di invaianza (asse di stike). Il campo elettico e quello magnetico non vaiano lungo tale diezione, il che implica 0 =. Ricodando che il temine elativo alle coenti di spostamento è tascuabile, la teza e la quata equazione di Mawell si potanno scivee pe componenti nel seguente modo: = µ = µ + = µ t E t z E E t z E z z = σ = σ + = σ z z E E z E z (.8) Ragguppandole in due insiemi di te equazioni indipendenti ta loo, otteniamo

21 E = iωµ z z + = σe z E = iωµ z = σe z Ez E + = iωµ z = σe z (.9) Da queste equazioni si deduce che non esiste campo E indotto da né campo E indotto da. Ne isultano due polaizzazioni indipendenti: (E,, z ) pependicolae allo stike--- modo TE (E, E z, ) paallelo allo stike--- modo TM Figua.: Schematizzazione di un sottosuolo con una discontinuità lateale e elativa scomposizione del campo elettomagnetico. Anche in questo caso possiamo intodue un tensoe impedenza che lega E a, come già fatto nel caso unidimensionale. Questa volta gli elementi diagonali del tensoe saanno ancoa nulli, mente Z saà diveso da -Z. Anche pe il modello D possiamo intodue le esistività appaenti potanno essee utilizzate pe intepetae i casi speimentali. ρ a ij = ωµ Z ij che..4 Modello 3D E sicuamente il modello più geneale, caatteizzato da una esistività ρ=ρ(,,z). In questo caso, ad ogni fequenza ci aspettiamo un sistema lineae E E = Z = Z + Z + Z (.0)

22 comunemente scitto in foma tensoiale E E Z = Z Z Z (.) dove tutti gli elementi del tensoe Z sono, almeno a pioi, divesi da zeo. In fase di intepetazione, peò, dato che la modellistica 3D ichiede notevoli tempi di elaboazione, sopattutto se si studiano stuttue complesse, si ceca sempe di confontae i isultati speimentali con la isposta di modelli D e D..3 Impedenza elettica di supeficie geneata da una sogente dipolae. Il tensoe impedenza di supeficie, Z, che lega le componenti del campo E a quelle di alla supeficie di un conduttoe, può essee intodotto anche nel caso in cui la sogente non è un fonte d onda piano ma assume alte fome. Un caso ilevante ai fini delle applicazioni della Magnetotelluica in ambienti ubanizzati è quello in cui la sogente è appossimabile ad un dipolo elettico paallelo alla supeficie teeste. L inteesse pe le sogenti dipolai nasce dal fatto che le linee feoviaie, ad alimentazione elettica, possono essee schematizzate in questo modo. In effetti i teni geneano un segnale coeente che si popaga pe divese decine di chilometi e che spesso oscua le sogenti di onda piana, isultando, inolte, difficilmente sepaabile. L unica soluzione può essee quella di modellae questo tipo di sogente, sfuttandola pe icavae le infomazioni utili sulla distibuzione di esistività elettica del sottosuolo..3. Dipolo elettico su un semispazio omogeneo Gli aspetti teoici della popagazione all inteno del teeno del segnale elettomagnetico geneato da un dipolo elettico posto sulla supeficie sono stati sviluppati, nel 975, da Goldstein e Stangwa. Essi hanno icavato i valoi di E e geneati da un dipolo infinitesimale posto sulla supeficie di un semispazio di esistività data, sovastato da uno stato di spessoe e esistività noti, del tipo in Figua..

23 Figua. Geometia e sistema di coodinate utilizzati da Goldstein e Stangwa. Le soluzioni sono state utilizzate pe deteminae l attenuazione del campo con la distanza a vaie diezioni dalla sogente e pe icostuie il appoto ta i campi alla supeficie pe icostuie l andamento della esistività appaente pe veificae in quali egioni è ancoa valida l appossimazione di onda piana. In Figua.3, nel iquado sinisto, sono ipotati i valoi del campo elettico oizzontale nella diezione della sogente oizzontale nella diezione otogonale in funzione del paameto E e del campo magnetico ωd µ ρ pe un semispazio di esistività pai a 0.5Ω m. Questo paameto dipende dalla esistività elettica ρ, dalla fequenza ω e dalla distanza dalla sogente d. 3

24 Figua.3: Si ipotano i valoi dei campi E (linea continua con punti) in Vm - e (linea tatteggiata con punti) in Am -, lungo l asse, sotto l assunzione di semispazio di 0.5Ω m e di sogente di potenza unitaia. L asse oizzontale è nomalizzato ispetto al paameto ipotato in figua, dove ρ è la esistività, µ 0 è la pemeabilità magnetica, ω è la fequenza e d la distanza ta sogente e icevitoe. Le linee continue appesentano gli andamenti delle funzioni / e / 3. Nelle vicinanze della sogente entambi i campi decadono come /, mente, al di là di te skin depth ρ δ = di distanza dalla sogente, entambe le componenti decadono come µω 3 mente il appoto E tende al valoe della esistività del semispazio. Nel caso di un semplice semispazio, dunque, è chiao che quando la sogente è appesentata da un dipolo elettico, è possibile utilizzae il appoto E/ pe deteminae la esistività, utilizzando l assunzione MT di sogente di onda piana, a patto di essee distanti almeno te skin depth dal dipolo. Nella situazione descitta da Goldstein e Stangwa la sogente non è, ovviamente, simmetica sul piano oizzontale. Allo scopo di valutae le vaiazioni azimuthali dei campi in funzione della distanza, nel iquado desto della Figua.3 vengono mostati gli andamenti dei due campi oizzontali E e E, a 45 dalla diezione del dipolo. Il appoto di ha un compotamento 4

25 che isulta simile a quello E esistività appaente tende a quella del semispazio., ancoa una volta, al di là di te skin depth di distanza la Figua.4: Mappa dei valoi di esistività appaente calcolati in un quadante del piano ispetto al dipolo elettico sogente(indicato con la feccia nell angolo supeioe desto). La egione all inteno del quato di ciconfeenza indica l aea in cui non isulta valida l appossimazione di onda piana. Il modello isolto utilizza un semispazio omogeneo di 0.5Ω m di esistività ed una fequenza di 00 z. Le egioni ombeggiate appesentano le aee in cui è pesente il massimo accoppiamento ta le componenti utilizzate pe le misue e la sogente. Nel iquado (a) vengono utilizzate le componenti ( E, ), nel iquado (b) le componenti ( E, ). In Figua.4 vengono ipotati i valoi di esistività appaente calcolati alla supeficie del semispazio di esistività pai a 0.5Ω m, calcolati pe entambi i appoti ad una fequenza di 00 z. Al di là di te skin depth i valoi di esistività sono sostanzialmente quelli del mezzo. Le egioni di supeficie ombeggiate appesentano le aee in cui l accuatezza con cui è possibile stimae le vaie componenti è maggioe. Al di fuoi di queste aee le componenti E e (ovveo quelle E e ) assumono valoi bassi, tanto da endee più significativi gli eoi di misua nella patica speimentale. E inteessante notae la complementaietà delle aee elative ai due distinti insiemi di componenti oizzontali otogonali, che fa si che l utilizzo contempoaneo di entambe le coppie fonisca una laga aea di misua..3. Dipolo elettico su una stuttua D Si considei un dipolo elettico, giacente sulla supeficie teeste, ed un modello D di Tea, a stati piani e paalleli, con ρ i e d i, ispettivamente esistività e spessoe dell i-esimo stato. Si 5

26 considei inolte un sistema di assi catesiani otogonali con il piano coincidente con la supeficie teeste e l asse z oientato veso il basso. Si ponga l oigine O nel cento del dipolo sogente e l asse in maniea coincidente con il suo asse e si dicano la distanza ta l oigine O, ed il punto P in cui si intende calcolae l impedenza elettica di supeficie Z e φ l angolo fomato dalla congiungente OP con l asse. Figua.5: Dipolo elettico sogente oientato lungo l asse su una tea statificata. Il campo elettomagnetico geneato da un dipolo elettico oizzontale su un modello di Tea D può essee scitto in coodinate polai [Chistiansen,983] come: E () = E ()cos ϕ j E j() = E ()sen ϕj (.) () = ()sen ϕ () = ()cos ϕ j j j dove E,E,, sono funzioni della sola distanza. Gli elementi del tensoe impedenza, Z ij, in coodinate polai, sono definiti come: E () = Z () + Z ϕ() E () = Z () + Z () (.3) ϕ ϕ e si veifica che, in coodinate polai, Z isulta indipendente da φ, e quindi dall oientazione del dipolo, ed assume la foma: Z =Z =0 u E () Z = u () u E () Z = u () Si noti che, essendo Z e Z indipendenti daϕ, tale saà anche il deteminante di Z. (.4) 6

27 L assunzione di onda piana è soddisfatta in appossimazione di campo lontano, dove Z = Z, come pevisto in un sondaggio MT. In appossimazione di campo vicino, invece, Z e Z isulteanno due quantità eali, diffeenti ta loo, ed indipendenti dalla fequenza. Da questo consegue che la cuva che appesenta il logaitmo della esistività appaente in funzione del logaitmo del peiodo saà una etta con pendenza di 45 mente la fase andà a zeo. Pe un semispazio omogeneo, in paticolae, si ha che Z = Z..4 Funzioni di tasfeimento e Spazio di Risposta La Magnetotelluica è stata intodotta seguendo uno schema classico. Il poblema del appoto ta le misue dei campi elettici e magnetici alla supeficie teeste e la distibuzione di esistività del sottosuolo è stato sviluppato in un quado che, fondamentalmente, uota intono allo studio della popagazione del campo elettomagnetico sulla supeficie ed all inteno di un mezzo omogeneo, di conducibilità finita e non nulla, con l assunzione, pe le Equazioni di Mawell, di un modello quasi-stazionaio. La Tea è stata dappima equipaata ad un semispazio omogeneo ed i isultati ottenuti sono stati, successivamente, genealizzati a modelli meno elementai, di tipod, D e 3D. Questo ha ichiesto l intoduzione di Z, il tensoe impedenza di supeficie, un tensoe complesso di ango due che ha le dimensioni di un impedenza elettica, è dipendente dalla fequenza e che isulta legato da una elazione semplice alla esistività appaente del sottosuolo, che appesenta il paameto fondamentale dell MT. Seguendo un appoccio sviluppato in letteatua in vai modi, anche diffeenti ta loo [Egbet&Booke, 986; Zhdanov &Bedichevsk, 984], è possibile intodue il metodo MT all inteno di un analisi più geneale del legame ta dati geomagnetici di supeficie e caatteistiche elettiche del sottosuolo, L utilità di questo itono alle basi della metodologia, in un contesto mutato e più geneale, sta nella possibilità di fa emegee degli aspetti fisici del poblema che ischiano, nel quado pecedente, di imanee impliciti. In paticolae, seguendo l appoccio sviluppato da Egbet e Booke saà possibile, successivamente, intodue l analisi di tipo multivaiato pe lo studio del segnale MT in modo natuale ed in un contesto fisico chiao, legato allo studio della natua delle sogenti del campo elettomagnetico. Le Equazioni di Mawell in appossimazione quasi statica ed in una egione di conducibilità elettica abitaia σ ( ), assumendo una dipendenza dal tempo del tipo i t e ω sono: 7

28 B = µσe + j E = iωb B = 0 σ E = ε e (.5) Si intoduca un sistema di ifeimento catesiano otogonale, con la supeficie teeste e coincidente con il piano, e si assuma che, all inteno della Tea, sia j = 0. Si assuma, inolte, che in un sottile stato esteno alla supeficie z0 < z < 0 (l atmosfea) sia cheσ siano nulli. Questa appossimazione è ben giustificata pe le fequenze e pe i valoi di conducibilità di nosto inteesse [Rokitansk, 98]. Nella egione z0 < z < 0 si avà, quindi, che B = 0. Questo, insieme alla teza delle equazioni di Mawell, implica l esistenza di una funzione potenziale scalaeφ, tale che B = φ e tale inolte, da soddisfae l equazione di Laplace φ = 0. e j Il potenziale φ può essee espesso come somma di un potenziale inteno potenziale esteno φ e tali che: φ i e di un φ = φ i + φe lim φi = 0 z lim φe = 0 z (.6) E inolte possibile dimostae [Egbet, 987] che sulla supeficie z = 0 il potenziale inteno è una funzione lineae del potenziale esteno, φ = L ( φ ) L opeatoe lineae i σ, ω e. L σ, ω dipende dalla fequenza ω e dalla conducibilità σ e contiene, al vaiae di ω, tutta l infomazione sulla conducibilità elettica σ che può essee ottenuta da misue sulla supeficie teeste. La fomulazione, dati σ, anche se del tutto geneale, pesenta due poblemi. L σ, ω Pimo, la stima dell opeatoe L σ, ω viene fatta a patie da un insieme di ossevazioni del campo magnetico ed elettico effettuate in un numeo di stazioni finito (e genealmente piccolo), non pemettendo, quindi, una stima unica e completa dell opeatoe, che è infinitodimensionale. Secondo le misue a disposizione iguadano i campi totali in supeficie e petanto i potenziali inteno ed esteno, necessai pe stimae l opeatoe, non sono diettamente ossevabili. Queste difficoltà ichiedono una semplificazione del poblema, ossia l assunzione di ulteioi ipotesi estittive che endano possibile la stima di L σ, ω. L esempio più noto di questo tipo di 8

29 appoccio è popio il metodo MT, in cui si assume che le sogenti geneino un fonte d onda piano che incide nomalmente alla supeficie teeste. In geneale, tutti i metodi che si basano su aa di dati geomagnetici (Metodi Magnetovaiazionali, etc.) usano, più o meno implicitamente, ipotesi di questo tipo, che possono essee inquadate in un modello geneale in cui i potenziali esteni ossevabili sono istetti ad un sottospazio a dimensione finita (ed usualmente piccola) dello spazio più ampio, fomato da tutti i potenziali sogente possibili. p Si assume, cioè, che lo spazio Φ = φ φ = φ = Sp{ φ : j,..., p} e : e j j = j= sia di dimensione finita p. nel caso in cui si assume come ipotesi una sogente d onda piana (metodo MT), p= e = { φ =, φ } Φ Sp =. Pe quanto detto in pecedenza, qualsiasi campo magnetico B ossevabile sulla supeficie teeste può essee espesso come il gadiente di un potenziale scalae φ = φ i + φ e, con φ e p = α φ, e dunque: j= i B = [ φ e j j + L σ, ω p ( φ )] = α φ e j= j p [ + L ( φ )] = j σ, ω j j= α B j j (.7) cioè la ealizzazione ossevabile del campo magnetico giace nello spazio p-dimensionale geneato dalle funzioni di base B [ φ + L ( φ )] che danno il campo magnetico totale j = j σ, ω (inteno più esteno) isultante dai potenziali esteni φ j. Pe il campo elettico E è necessaio intodue un nuovo opeatoe lineae L E che lo colleghi al campo magnetico oizzontale B, misuato alla supeficie, secondo la elazione: h p ( B ) = α E ( ) p p E = L E(Bh ) = L E α jbh jl j = α E hj j j (.8) j= j= j= dove E j appesenta il campo elettico associato alla j-ma sogente φ j. La (.7) e la (.8), insieme, implicano che tutte le componenti ossevabili del campo elettomagnetico possono essee scitte come: p F( ) = α F ( ) (.9) j= j j B( ) B j( ) dove F( ) = e F j( ) =. E( ) E j( ) j 9

30 Supponiamo,oa, di avee a disposizione un aa di n stazioni di misua, vaiamente disposte sulla supeficie teeste, ognuna composta da K canali di acquisizione. Il numeo totale di canali saà, petanto, m = K n. Dopo un oppotuno pocessing dei dati a disposizione si otteà, pe ogni fissata fequenza ω, un valoe del campo stimato pe ognuno degli m canali di misua. Mediante tali stime è possibile, fissata una fequenza ω, definie un vettoe b, vettoe dei dati, elativo all aa di stazioni consideate, in questo modo: F b = F m ( ) M ( ) n Risulta inolte possibile intodue un vettoe complesso m-dimensionale (.30) u j che espime il campo associato al j-mo potenziale esteno φ j : u j Fj = Fj m ( ) M ( ) n (.3) Le pime K componenti del vettoe b appesenteanno i campi stimati alla supeficie, sempe alla fequenza fissata ω, elativi alla pima stazione di misua e così via. Analogamente, le pime K componenti del vettoe alla pima stazione dovuta al j-mo potenziale sogente. u j appesenteanno quella componente dei campi misuati Se le misue sono pive di umoe, b può essee espesso, gazie alla (.7) ed alla (.8), come combinazione lineae delle p funzioni fomato da p costanti complesse α j, tale che: p α u j= j j s = b R = Sp { u : j =,..., p} Lo Spazio R, geneato dalle funzioni j u j. Esisteà quindi un vettoe p-dimensionale α, u j, è un sottospazio p-dimensionale di (.3) m C ed è detto spazio isposta. Pe una data fequenza, ω una volta fissato l aa di stazioni di misua, tutti i vettoi dei dati (supposti libei da umoe) fisicamente ossevabili dovanno giacee inr. Risulta chiao, dalla (.3), che i vettoi fomando un sistema lineamente indipendente, u j, appesentano una base di tale spazio, pu non visto che p<m. Inolte il vettoe a m componenti b, appatenendo ad uno spazio che, pe ipotesi, è p-dimensionale, avà m-p componenti lineamente dipendenti dalle imanenti p. 30

31 3 Sia U la matice la cui j-ma colonna è il vettoe di base j u : si supponga, pe fissae le idee che U e b siano patizionate in modo che: p m - p = b b b p p) (m - p p U U U = (.33) La matice U ed il vettoe b saanno tali che: b b b b α = α = = = p p U U U U U U U (.34)se U è non singolae e se R b. Così, assumendo U non singolae, le m-p componenti di b sono legate alle p componenti di b, tamite la matice delle funzioni di tasfeimento = U U T. In questo modo, assumendo che lo spazio delle sogenti sia finito-dimensionale è possibile icostuie, patendo dai vettoi j u, tutte le possibili funzioni di tasfeimento, definite, appunto, dalla matice T. La deteminazione delle funzioni di tasfeimento dalla elazione = U U T non è univocamente legata alla matice U. Infatti sia p p) (m - p p V V V = (.35) una matice le cui colonne fomino una base dir. Esisteà una matice non singolae A tale che V=UA, essendo U è una base dello spazio isposta. Quindi, T U U A) A)(U U V V - = = = (,e.g. le funzioni di tasfeimento isulteanno icostuibili a patie da una qualsiasi base dir. Come esempio consideiamo il caso del tensoe impedenza Z, stimato a patie dai valoi di E e di sulla supeficie teeste. In questo caso si avà che p=, e lo spazio isposta R saà geneato dai due vettoi u e u, coispondenti alle due sogenti polaizzate otogonalmente { }, = φ = φ : = = = = E E E E ; E E E E U U U u ; u (.36)

32 Il tensoe Z, che collega E e, avà la foma: E E Z = U U = (.37) E E E stato intodotto, in questo modo, il concetto di funzione di tasfeimento geomagnetica, che collega lineamente componenti di campi misuate a stazioni divese. L uso del temine ichiede peò una ceta cautela. Infatti una funzione di tasfeimento ha appesentazioni sia nel dominio della fequenza che in quello del tempo. La appesentazione nel dominio del tempo della funzione di tasfeimento, la funzione di isposta impulsiva, non è alto che la tasfomata invesa di Fouie della appesentazione in fequenza consideata finoa. In alti temini, due funzioni u~ (t) e u~ (t) che sono legate lineamente, in fequenza, da una funzione di tasfeimento ( ω ) = T( ω)u ( ), nel dominio del tempo isultano collegate da una u ω ~ t ~ convoluzione T(t)u ~ iω u~ (t) = (t), dove T(t) = dωe T( ω). In una situazione nomale u~ (t) può essee vista come vaiabile di input e u~ (t) come vaiabile di output, mente la funzione di tasfeimento deve essee causale e stabile ~ ( T(t) = 0 pe t < 0. Questo espime la condizione pe cui un sistema fisicamente ealizzabile, non possa fonie un output pima dell input e che, ad un input finito, debba coispondee necessaiamente un output finito. Nel caso dei dati geomagnetici la situazione è molto più complicata: decidee quale sia l input e quale l output isulta totalmente abitaio. Pensando alla appesentazione nel tempo della elazione ta potenziali inteno ed esteno, si potebbe consideae φ e come input e φ i come output. In ealtà, peò, quello che misuiamo alla supeficie teeste è una combinazione di campi inteni ed esteni, ta l alto funzione anche del tipo di simmetia del sottosuolo, che costituisce l incognita che si ceca di deteminae. I campi totali in supeficie non possono dunque essee semplicemente pensati come l output lineae di un potenziale esteno. Una soluzione completa del poblema consisteebbe nella stima dell opeatoe infinitodimensionale L σ, ω che appesenta i potenziali inteni indotti da ogni possibile sogente estena. Come detto in pecedenza, peò, la situazione miglioe in cui possiamo speae è la stima dei campi associati ad una configuazione di sogenti finita. Ad esempio, pe un ipotesi di onda piana, si può tentae la stima dei campi indotti dalle due polaizzazioni otogonali della sogente. In effetti anche questo è impossibile a causa della non dietta ossevazione dei campi esteni, pe cui isulta necessaio intodue un ulteioe ipotesi: esistono dei campi nomali di ifeimento, che possono essee utilizzati pe dedue la foma della sogente 3

33 estena. La scelta di questi campi nomali isulta comunque abitaia, a maggio agione quando p isulta maggioe di due e, più in geneale è pefeibile inunciae del tutto ad un intepetazione del tipo input-output. In ealtà l appoccio più coetto è quello che considea lo spazio isposta R come l entità fondamentale da stimae. La conoscenza di R è infatti completamente equivalente alla conoscenza delle funzioni di tasfeimento, lo spazio isposta è un oggetto pefettamente definito pe un abitaio, ma finito, numeo di sogenti, e, non ichiedendo nessuna scelta di campi di ifeimento, è in sintesi tutto quello che può con cetezza essee stimato dai dati. L intepetazione delle funzioni di tasfeimento, definite a patie dar, è un passo che ichiede infomazioni addizionali o assunzioni che esulano dai dati speimentali e la fomulazione del poblema in temini di deteminazione di R enfatizza questo aspetto. 33

34 3 La stima di Z Il metodo MT si è dimostato, dalla sua intoduzione negli anni 50, ad opea di Cagniad e Tikhonov, ad oggi, un utilissimo mezzo geofisico sia pe studi fondamentali sulle stuttue continentali sia pe studi di dettaglio finalizzati alla iceca di idocabui o sogenti geotemiche. L uso da pate della magnetotelluica di sogenti natuali legate alla vaiazione nel tempo della componente di oigine estena del campo magnetico teeste pemette, come già detto, notevoli vantaggi ispetto ad alti metodi di pospezione, ma si osseva, in geneale, un livello del appoto segnale umoe altamente vaiabile, che spesso è totalmente fuoi dal contollo degli speimentatoi. Questo compota una gande attenzione ai metodi con cui si pocessano i dati. L obiettivo dell analisi dati è estae dal segnale acquisito un insieme di funzioni che siano in gado di appesentae la isposta del mezzo in esame, e che possano essee utilizzate pe intepetane la stuttua conduttiva. Nel caso della MT lo scopo è quello di deteminae il più accuatamente possibile, il tensoe impedenza di supeficie che lega, pe ogni fissata fequenza ω, le componenti oizzontali del campo elettico alle componenti e del campo magnetico,in appossimazione di onda piana. Consideando la (.0), è possibile scivee E E,i,i ( ω) = Z ( ω) = Z ( ω) ( ω),i,i ( ω) + Z ( ω) + Z ( ω) ( ω),i,i ( ω) ( ω) dove (ω), (ω), E (ω) e E (ω) sono le tasfomate di Fouie del campo magnetico ed elettico, in cui è sottintesa la dipendenza dalla posizione, e l indice i, che vaia da ad n, caatteizza il numeo di ossevazioni che si sta consideando. Il campione statistico è ealizzato, utilizzando n intevalli tempoali, di lunghezza T caatteizzati da un passo di campionamento T: la tasfomata di Fouie di ognuno di questi intevalli, daà m T/ fequenze (m T=T), spaziate di /T (isoluzione spettale). Pe un assegnata fequenza ω i є { ω,, ω m/ } esisteanno n distinte valutazioni dell ampiezza e della fase del campo A(ω i ) consideato. Le ω che, peò, compaiono nelle (3.), non sono tutte le m/ fequenze a cui sono state fatte delle ossevazioni, si utilizza, infatti, una popietà del tensoe impedenza, secondo cui Z non vaia apidamente con la fequenza: esiste, cioè, un intono di ω in cui le bae d eoe del tensoe Z sono molto più gandi della vaiazione vea e popia dell impedenza. Si può quindi associae ad un intea banda di fequenza uno stesso valoe di Z. Se supponiamo che in una 34 (3.)

35 35 banda di fequenza cadano l punti pe i quali l impedenza è invaiata, alloa l insieme statistico che caatteizza la Z(ω i ) avà dimensioni ln. Le ω pesenti nelle (3.) sono, appunto le fequenze che caatteizzano le bande cui è associato uno stesso valoe di Z. la convenzione genealmente diffusa, pevede che, pe caatteizzae lo sviluppo di una cuva di impedenza, si utilizzino dai 6 ai 0 punti in fequenza pe decade logaitmica. 3. Il metodo dei minimi quadati Il poblema della stima di Z è ampiamente affontato in letteatua e ha fatto si che venisseo intodotti divesi metodi che, in geneale, si basano sul metodo dei minimi quadati (LS). La stima di Z viene fatta minimizzando la somma dei quadati di uno scato definito da ( ) = = = η = n i i i n i i Z E (3.) Le pime ealizzazioni di questo tipo di stima [Bedichevski, 968; Sims et al.,97] si basano sulla minimizzazione di η e η. In questo modo si ottengono otto equazioni, che possono essee isolte pe deteminae gli elementi dell impedenza:,,,,,, E,, E Z,,,,,, E,, E Z,,,,,, E,, E Z,,,,,, E,, E Z = = = = (3.3) Allo stesso isultato si giunge, in modo più immediato, poiettando le (3.) sul campo magnetico: + = + =, Z, Z, E, Z, Z, E (3.4) si ottengono così due equazioni complesse in due incognite complesse, Z e Z, che possono essee isolte pe calcolae i due elementi del tensoe impedenza. Si pocede in modo analogo pe le componenti Z e Z. In geneale si può scivee [ ] [E] Z = (3.5)

36 dove [AB] è la matice di densità spettale pe i campi A e B, definita come: A, B A, B [ AB] = (3.6) A, B A, B Analogamente si può poiettae la (3.) sul campo elettico, ottenendo Z E = [EE] [E] (3.7) Nelle (3.3) si può notae la pesenza di temini del tipo <A k, A k >con k= o k= e di temini del tipo <A k, B k >, con k=, e c con k k. I pimi, numei eali, definiti come il quadato di n A, A = A ia i (3.8) n i= vengono detti autopowe (AP), mente i temini del tipo <A k, B k > e <A k, B k >, detti cosspowe (CP), sono genealmente numei complessi e si possono definie come n A, B = A ibi (3.9) n i= 3.. Il metodo dei minimi quadati pesati L applicazione del metodo LS standad ichiede alcune ipotesi sui set di dati speimentali da analizzae. Le vaiabili pedicenti (il campo magnetico, nel caso della fomulazione (3.5)) devono essee note senza eoe e le vaiabili pedette (il campo elettico) devono essee non coelate ta loo ed avee la stessa vaianza, i.e. σ (η i )=σ. Nel caso in cui le vaiabili pedette siano sempe scoelate, ma gli eoi abbiano vaianze distinte, i.e. σ (η i )=σ i, è possibile ottenee una stima Z ai minimi quadati pesati (WLS), minimizzando una somma pesata dei quadati dei esidui, del tipo n n i i i i i ) i= i= η = w = w (E Z dove le quantità w i sono dei pesi invesamente popozionali a σ i. L applicazione dei WLS è giustificata da consideazioni sul miglioamento della stima ottenuta, ma sopattutto dal fatto che i LS standad attibuiscono toppo peso ai dati con alta potenza. In situazioni esteme la stima del paameto può essee deteminata quasi integalmente da uno o due punti. Inolte i LS dipendono fotemente dall assunzione di uguale vaianza. 3. Il metodo della Remote Refence Uno dei pincipali poblemi del metodo di analisi dati intodotto pecedentemente, è legato alla pesenza dell effetto di bias. Con questo temine si vuole indicae l eonea iduzione del 36

37 valoe degli elementi del tensoe impedenza. Nel caso in cui vi è umoe andom nello spetto magnetico ed elettico, saà pesente un bias veso il basso, nelle cuve di impedenza calcolate utilizzando la (3.5). Nel caso in cui, si stimi Z E, lo stesso tipo di umoe poteà un bias veso l alto nelle cuve. Ci si può endee conto di ciò, consideando, semplicemente, un segnale come la somma di due temini, il pimo S che appesenta il segnale veo e popio ed un secondo temine N che caatteizza il noise: A = S B = S A B + N + N B A Moltiplicando la pima delle pecedenti espessioni, pima pe A e poi pe B si avà AA AB = S = S A A S S A B + S + S A A N N B A + N + S B A N A N A + N A N B (3.0) (3.) Supponendo che la coeenza ta i segnali sia massima mente quella ta segnale e umoe sia nulla AA AB > S S A A S S A B (3.) si ottengono temini AP sovastimati che poteanno un eoe sistematico nel calcolo degli elementi del tensoe impedenza. Quindi, ogni equazione come le (3.3), che contiene AP saà soggetta ad effetti di bias. Notevoli miglioamenti, nella stima del tensoe Z, si ottengono con il metodo della Remote Refeence (RR) [Clake et al., 978; Gamble et al., 979a]. La necessità di intodue questa nuova tecnica, che utilizza due ulteioi campi R e R, nasce dall incapacità del metodo pecedentemente analizzato, di imuovee efficacemente il noise elettomagnetico dai dati, sopattutto nel caso in cui questo sia anche coelato. L idea sviluppata alla fine degli anni 70 da Gamble, Clake e Goubau, pe miglioae la stima delle componenti di Z consiste nell occupae simultaneamente due siti. I canali della emote, R e R, sono usualmente campi magnetici( si utilizzano campi magnetici peché, in geneale, questo segnale isulta coeente anche in aee molto ampie, ed è meno distubato del segnale elettico) misuati da sensoi posti ad una distanza che va da un minimo di centinaia di meti ad alcune centinaia di km. Si è dimostato che, in pesenza di solo umoe andom, è sufficiente posizionae i magnetometi di ifeimento a poche decine di meti affinché il metodo sia efficace. In geneale la distanza a cui vanno posizionati i sensoi della emote efeence dipende dall oigine e dalla distibuzione spaziale del umoe coeente. 37

38 Poiettando le (3.) sui campi emoti R e R, si ottiene pe le quatto componenti di Z un espessione simile alle (3.3). Z R = [ER][R ] che esplicitata dà 3.3 Metodi obusti L usuale assunzione MT di sogenti spazialmente unifomi, implica una elazione ta E ed, nel dominio delle fequenze, caatteizzata dal semplice modello statistico lineae E = Z + ε (3.3) dove ε appesenta il umoe. Il metodo dei minimi quadati, pe la stima del tensoe Z, spesso non dà buoni isultati, quando si pocessano dati caatteizzati da una fote componente di umoe, poducendo cuve di impedenza che pesentano un pesante effetto di bias e sono fotemente oscillanti. Il fallimento di tale metodo è causato, sopattutto da due inadeguatezze del modello statistico utilizzato. La pima è legata al fatto che il modello in questione è appopiato, solo nel caso in cui il umoe è istetto ai canali elettici, che sono i canali pedetti nel caso di Z, mente i campi magnetici, che appesentano i canali di input, sono consideati pivi di eoe. La seconda inadeguatezza è data dall ipotesi implicita, fatta pe la stima ai minimi quadati, secondo cui gli eoi definiti nella (3.3) sono caatteizzati da una distibuzione gaussiana. Questa ipotesi non è valida pe i dati MT a causa della non stazionaietà sia del segnale che del umoe, e pe la pesenza di outlie causati da eoi di misua e disomogeneità nei campi sogente [Egbet&Booke, 986; Chave et al., 987; Chave&Thomson, 989]. Questo ha motivato l intoduzione di metodi obusti, che sono poco sensibili alla non stazionaietà dei campi e alle inadeguatezze del modello consideato, eagendo gadualmente alle petubazioni. Questi metodi, il CWE (Coheence Weighted Estimates)[Stodt, 983, 986; Jones&Jodicke, 984] e il RME (Regession M-estimate) [ube, 98; Egbet&Booke, 986; Chave et al., 987; Chave&Thomson, 989; Lasen, 989; Sutano&Vozoff, 99] solo pe citane alcuni, sono in gado di opeae uno sceening dei dati, adattando i pesi da applicae al tipo di outlies pesenti, impedendo in questo modo che pochi dati pedominino nella stima. I pesi w i sono, quindi, deteminati dagli stessi dati, con la caatteistica di evidenziane la buona qualità. Pe il metodo RME, ad esempio, i pesi sono deteminati in modo iteativo dalla nomalizzazione dei esidui: nel caso dei cosiddetti pesi di ube, utilizzati da Egbet&Booke [986] e Chave et al. [987] si ha: 38

39 w i =.5 i se se i i.5 >.5 dove la vaianza σ appesenta una stima della scala d eoe. [E i (Z i + Z i )] i = (3.4) σ La deteminazione dei dati pesati avviene attaveso un pocesso iteativo. La stima iniziale dell impedenza si può ottenee applicando ai dati non pesati il semplice metodo dei minimi quadati. I esidui che ne isultano sono, quindi, utilizzati pe deteminae i pesi. 3.4 Metodi Multivaiati Sono state intodotte finoa le tecniche standad pe la stima del tensoe impedenza Z e sono state pesentate tutta una seie di poblematiche che, in ultima analisi, sono legate alla natua univaiata dell appoccio statistico utilizzato. I metodi pesentati sono tutti basati, infatti sui minimi quadati e d utilizzano, pe la stima di Z un modello pe cui ogni canale di output è appesentabile come combinazione lineae di una seie di canali di input, i canali pedicenti, cui si sovappone un temine legato agli eoi. La stima assunta pe il paameto minimizza la somma dei quadati dei esidui secondo una elazione del tipo n n i i i ) i= i= η = = (E Z (3.5) Tutte le vesioni altenative pe questo tipo di appoccio, siano esse pesate o obuste, anche se capaci di ottenee una stima miglioe ispetto ai LS standad, tattano alcune vaiabili come indipendenti e pive d eoe, mente le estanti sono consideate vaiabili dipendenti, che pesentano quindi un umoe che acchiude sia gli eoi di misua che le inadeguatezze legate al modello di sogente assunto Modelli di questo tipo possono essee agionevoli in alcuni casi, ad esempio la stima dell impedenza pe single station MT, dove alcuni campi possono essee misuati più accuatamente di alti, ma l inevitabile pesenza di umoe nei canali pedicenti compota comunque un bias nella stima. Questo tipo di effetto, ampiamente tattato in letteatua, ha condotto, in MT, all intoduzione del metodo della emoe efeence pesentato pecedentemente. Oggi i sondaggi MT pesentano un caattee altamente multivaiato. Vengono effettuati, infatti con multiple stazioni costituite da multipli canali di acquisizione contempoanei, acchiudendo, in questo modo, un infomazione utilizzabile pe sviluppae un modello pe i dati che sia più coeente con la complessità degli aspetti legati alla natua della sogente. 39

40 L intoduzione di nuovi modelli, in funzione di quanto detto finoa, deve tene conto della pesenza di umoe in tutti i canali, sviluppando un appoccio di tipo multivaiato, che offe due tipi di vantaggi. I metodi multivaiati tattano tutte le vaiabili in modo simmetico e sono dunque basati su un appoccio statistico più accettabile. Inolte sfuttano la contempoaneità degli aa che caatteizza i sondaggi MT attuali, pemettendo un analisi delle stuttue coeenti di segnale pesenti nei dati pe testae la validità dei modelli di sogente assunti ed, eventualmente, endeli più adeguati alle eali caatteistiche del segnale e del umoe che caatteizzano gli aa di dati geomagnetici. Supponiamo che le sogenti estene siano elementi dello spazio finito dimensionale Φ e consideiamo un modello che assuma la pesenza di umoe in tutti i canali, genealizzando quello (.3): X k p = b + e = α k k j= jk u + e j k = Uα k + e k (3.6) dove b (vettoe ad m componenti appatenente allo spazio di isposta R, p-dimensionale), u j ed U (U è la matice m p le cui colonne u j appesentano i campi ossevati nelle stazioni di misua elative al j-mo potenziale esteno sogente φ j ) hanno il significato pesentato in pecedenza. I p vettoi complessi α k appesentano l ampiezza e fase delle p funzioni sogente φ j pe il k-mo segmento dei dati. Nel caso di sogente d onda piana, i.e. p=, i vettoi α k appesentano i vettoi di polaizzazione che toviamo nella teoia di popagazione delle onde [Jackson, 975]. Modelli di questo tipo, pe dati eali, sono ampiamente tattati in letteatua, in vai ambiti, dalla statistica all economia, e sono conosciuti, secondo divese nomenclatue, come Facto analsis models [Andeson&Rubin, 956], Multivaiate eos in vaiables models [Glese, 98], Linea functional equations models [Glese&Watson, 973]. Una tattazione completa di modelli di questo genee è stata sviluppata da Andeson, 984. La difficoltà nel deteminae dei campi di ifeimento, è implicita nella elazione (3.6), infatti se A è una qualsiasi matice p p non singolae, si ha che: - ~ X U e UAA e U ~ = α + = α + = α + e e dunque U ~ = UA e ~ α k = A α k danno oigine, k k k k k k k esattamente, agli stessi dati di U e α k. A patie dai dati, non è quindi possibile deteminae unicamente,, né i campi totali coispondenti ad una data sogente né i vettoi di polaizzazione. D alta pate si ha che, detta u~ j la j-ma colonna di U ~ : 40

41 R = Sp { u : j =...p} = Sp{ u~ : j...p} j j = (3.7) lo spazio di isposta isulta essee univocamente deteminato. Si noti che questa è una ulteioe dimostazione di come la quantità fondamentale da stimae sia R piuttosto che i vettoi u j Stima dello spazio isposta Consideiamo, dunque il poblema della stima dello spazio di isposta R, ad una data fequenza ω, patendo da una seie di N vettoi di dati X k, e intoduciamo la matice di densità spettale (SDM), nota anche come matice di covaianza dei campioni, i.e. la matice di tutte le possibili autopotenze e cosspotenze: S = N N X k X k k= dove i vettoi (3.8) X k possono essee consideati dei vettoi complessi m dimensionali casuali, indipendenti e appatenenti ad una stessa distibuzione di pobabilità. Supponiamo, inizialmente, che le assunzioni di dimensionalità p dello spazio delle sogenti e di dati pivi di umoe valgano in maniea esatta. In questa ipotesi si può scivee Ξ = U α dove Ξ è la matice m N la cui k-ma colonna è il vettoe S = N X k. Si ha inolte che: ΞΞ N = Uαα U = UΣaU (3.9) La matice S, pe come è definita, isulta emitiana e positiva e, supponendola non singolae, può essee decomposta come S = VΓV dove Γ = diag( γ,..., γ ), mente V è una m matice m m unitaia, ( VV = m ). La i-ma colonna di V saà un autovettoe di S, coispondente all autovaloe γ i (supposti odinati dal più gande al più piccolo). Se Σa è non singolae, e quindi di ango p, anche la SDM isulteà non singolae e dotata di p autovaloi non nulli. Si avà inolte che: ν i = γ Sν = U [ ΣaU ν] = Uβ γ i i i (3.0) dove β = [ ΣaU ν] è un vettoe complesso p-dimensionale. Questo dimosta che i p γ i autovettoi ν i di S, coispondenti ai p autovaloi, γ i, non nulli di S possono essee espessi come combinazione lineae dei vettoi u j, j =... p e dunque appatengono a R. Essendo ν i, 4

42 p vettoi lineamente indipendenti dello spazio isposta, ne appesenteanno una base e, petanto Sp{ ν : i =...p} = R. L assunzione che i Σ a sia non singolae è agionevole e isulta valida ammesso che tutte le sogenti possibili siano adeguatamente campionate. Quindi, pe dati libei da umoe, gli autovettoi associati agli autovaloi non nulli di S geneano lo spazio isposta. I dati eali saanno sempe contaminati da umoe e la situazione saà, natualmente più complessa. Supponiamo, inizialmente, gli eoi scoelati dal segnale: il valoe atteso della SDM soddisfeà la elazione Σ = dove E(S) = UΣ a U + E(ee ) (3.) = Σ + Σ S N Σ S = UΣaU appesenta la matice di covaianza del segnale veo e popio, pivo di eoi, mente ΣN appesenta la matice di covaianza dell eoe e k. La situazione più semplice è quella in cui gli eoi sulle vaie componenti sono scoelati ta loo e di uguale gandezza, i.e. si avà che i = ΣS + Σ N ) ν i = ( γ i + σ ) Σ N = σ (3.). Quindi, detto ν i l i-mo autovettoe di i m Σν ( ν (3.3) e dunque ν i saà anche autovettoe di Σ = E(S). A diffeenza di quanto veificato nel caso di dati pivi di umoe, tutti gli autovaloi di Σ saanno non nulli. Tuttavia, mente gli m-p autovaloi più piccoli saanno pai σ, i p più gandi imaanno inalteati ispetto al caso pecedente. Questi p autovettoi dominanti definiscono lo spazio isposta R. La matice Σ appesenta il valoe atteso della SDM dei campioni e tendeà a S pe un numeo infinito di dati. Avendo a disposizione un numeo finito di campioni, il valoe di S saà solo distibuito intono a Σ, con una ceta distibuzione di pobabilità, e dunque la stuttua di autovaloi pesentata in pecedenza, isulteà distubata in qualche modo. Comunque, se il γ appoto segnale-umoe, appossimabile a, dove γ è un valoe della dimensione dei γi, σ isulta abbastanza elevato, la distibuzione degli autovaloi dovebbe appossimae quella utile. Dovebbeo, cioè emegee p autovaloi più gandi, cica pai a γ, ispetto a m-p autovaloi della dimensione di σ. Inolte gli autovettoi coispondenti ai p autovaloi più gandi, descivono un sottospazio p-dimensionale che è una foma petubata, agionevolmente vicina, al veo spazio isposta. Σ S, 4

43 Con un buon appoto segale umoe, quindi, è possibile ottenee una buona stima di R, a patie dai p autovettoi dominanti di S: { ν j : j =...p} Rˆ = Sp (3.4) L assunzione di umoe isotopico nelle vaie componenti, ed in paticolae l ipotesi di p-dimensionalità della sogente, isultano nella patica, spesso violate. Esempi di questo tipo sono pesenti in letteatua, e sono stati analizzati in pofondità nell ambito dell analisi dei dati MT accolti nel pogetto EMSLAB negli Stati Uniti, lungo pofili fomati da divese stazioni disposte lungo poche centinaia di chilometi. Nonostante l estensione del pofilo piccola ispetto alla dimensione di coeenza attesa pe la sogente d onda piana, stimata al migliaio di chilometi a medie latitudini [Poath et al., 97], già un analisi qualitativa dei dati dimostava l esistenza di stuttue di autovaloi addizionali nella SDM, pincipalmente a causa del segnale coeente geneato dalla pesenza, seppue a distanze elevate, di eti feoviaie ad alimentazione elettica. Effetti di questo genee sono spesso pesenti nella patica, sopattutto in aee ad elevata ubanizzazione e ichiedono un attenta intepetazione fisica, sia dal punto di vista delle ipotesi sulle caatteistiche e sul numeo di sogenti che da quello degli effetti sulla stima dei paameti. Le agioni pe cui un modello isotopico del umoe isulta inadeguato sono collegate a diffeenti fenomeni. Innanzitutto i dati geomagnetico includono misue di campi diffeenti, elettici e magnetici, spesso effettuati con stumenti divesi. Ma anche pe misue di campi dello stesso tipo, effettuate con stumenti analoghi, l assunzione di eoi di eguale gandezza sui vai canali è spesso discutibile. Ad esempio, la misua dei campi elettici può isentie di umoi che dipendono dal contatto suolo-elettodo e che isultano vaiabili sia ta diffeenti siti di misua che nel singolo sito. Pe i canali magnetici gli effetti del umoe antopico vaiano spesso fotemente da sito a sito, ma anche nel sito stesso. Paticolamente complesse isultano le situazioni in cui alcune fome di umoe isultino collegate ta canali. La matice di covaianza del umoe ΣN dovà dunque avee elementi fuoi diagonale non nulli. Questi effetti possono essee pesenti ta canali di un singolo sito, a causa del umoe cultuale nei canali magnetici, ma anche ta siti divesi, a causa pincipalmente delle linee di alimentazione elettica e delle eti feoviaie elettiche. A queste sogenti sia aggiungono alti effetti non di natua antopica, legati ad esempio, agli effetti della vaiazione diuna della tempeatua sugli stumenti di misua. Infine, e pincipalmente, il umoe coelato può essee oiginato da violazione delle ipotesi sulla dimensionalità della sogente. In questo caso può essee complesso anche stabilie una distinzione ta segnale e umoe, nel senso che gli effetti 43

44 collegati alle sogenti, pu facendo cetamente pate del segnale elettomagnetico, possono condue a modelli inadeguati di sogente ed implicae peicolosi eoi in fase di invesione dei dati, quando si tatta di associae alle cuve speimentali un modello di sottosuolo su base pobabilistica. In geneale, se il modello (3.) non isulta adeguato, gli autovaloi della SDM attesa Σ saanno divesi da quelli della SDM del segnale ΣS e, petanto, la stima Rˆ dello spazio di isposta pesenteà un bias. E possibile dimostae che, detta / Σ N una matice tale / / che Σ N ( ΣN ) = Σ N e ν i gli autovettoi di S' / N / decescente dei elativi autovaloi, Rˆ = Sp{ Σ ν ': i...p} N i = asintoticamente coetto di R. Dato che, genealmente, / N = Σ SΣ, odinati pe gandezza appesenta uno stimatoe Σ N non è nota a pioi, saà necessaio stimae anche questa gandezza tamite oppotuni algoitmi. A questo scopo intoduciamo il metodo RMEV [Egbet, 997] Il metodo RMEV In base a quanto pecedentemente, è possibile assumee pe i dati geomagnetici un modello del tipo X = Uα + e, ed utilizzae, pe lo spazio isposta, uno stimatoe definito a patie k k k dalla diagonalizzazione di una matice del tipo Σ / N, collegata alla matice di covaianza dei campioni speimentali a disposizione. Mente in linea di pincipio il umoe ed i paameti che caatteizzano il segnale sono modellabili in una ampia gamma di fome, in ealtà, pe ottenee dei isultati che siano applicabili speimentalmente, isulta fondamentale estingee le fome possibili pe la matice di covaianza del umoe, Σ. In effetti, uno dei modelli più semplici a cui è possibile pensae è quello pe cui Σ = diag( σ,..., σ ), che coisponde ad un umoe scoelato non solo ta le stazioni di misua, ma anche ta i vai canali di una singola stazione. In teoia, in questo caso, saebbe possibile stimae le σ i pe ogni singolo canale a patie dai dati elativi ad una single-station MT a 5 canali. Nella patica è spesso necessaio assumee modelli più complessi pe Σ, pe tene conto della pesenza di umoe coelato ta i canali di una singola stazione o, nel caso peggioe, di umoe coelato anche ta i divesi siti. Cechiamo di modificae oppotunamente la (3.6) X = U α + Vγ + e = Wβ + e (3.5) k k k k k k N N N m 44

45 Nella (3.5) sono combinati insieme, in una matice W ed un vettoe di polaizzazione β k, i temini legati al segnale, espessi dalla matice U e dal vettoe di polaizzazione α k, e quelli legati alle sogenti di umoe coeente, espessi,analogamente a quanto fatto pe il segnale, da una matice V ed un vettoe di polaizzazione γ k. In questo modello, quindi, il temine e k appesenteà il solo umoe incoeente. Adottando questo appoccio saà dunque possibile icondusi ad una foma, pe Σ N, del tipo diagonale, a patto peò di idue il poblema, in questo modo, alla sola sepaazione ta segnale coeente e umoe scoelato ta i canali. In questo modello, petanto, non sono contemplati gli aspetti ineenti alla sepaazione ta una pate, che può essee intepetata come il segnale veo e popio, ed una pate del segnale tattabile come umoe coeente. Scegliamo, invece, un modello di patenza del tutto geneale. In questo modo isulteà possibile stimae il livello di umoe incoeente nei vai canali e ipulie dai vai outlies, ma, sopattutto, stimae la dimensione di coeenza M dei dati (i.e. il numeo di colonne di W) e quindi la dimensionalità del umoe coeente. i Con una buona stima delle σ, è possibile scalae il vettoe dei dati secondo la elazione: ' X k Ck = (3.6) σ k iducendosi ad uno spazio in cui solo i vettoi coispondenti alla pate coeente dei dati dovebbeo avee una vaianza significativamente maggioe di uno. Utilizzando questi dati scalati pe la diagonalizzazione della matice S' / N / N = Σ SΣ,il numeo di autovaloi maggioi di uno daà una buona stima di M ed i coispondenti autovettoi, iscalati nello spazio oiginaio, daanno una stima di W. Su questa base, il metodo RMEV può essee schematizzato in questo modo: / N / N Si stima la matice S' = Σ SΣ, usando i dati oiginali X i e una pima stima di effetti, pe cominciae si possono pendee in consideazione vaianze unitaie, i.e. Σ N= m ). σ i (in Pe ogni componente k si estaggono gli L autovettoi dominanti della sottomatice di S ottenuta eliminando la k-ma iga e colonna. Si utilizzano gli autovettoi pecedenti e i dati scalati pe stimae i paameti di polaizzazione. Si calcolano i esidui, i pesi e dei nuovi vettoi dei dati, ipuliti. I nuovi vettoi dei dati vengono utilizzati pe ottenee una nuova stima di W. Si eitea fino alla convegenza, ipatendo dalle stime ottenute pe i dati e pe Σ N. Si ottiene una stima definitiva di S utilizzando i valoi dei dati e delle vaianza ottenuti dall iteazione finale. Gli autovaloi ed autovettoi di S daanno una nuova stima di M e di W. 45

46 Si eiteano, fino alla convegenza, i passi pecedenti, tenendo questa volta fissati i valoi i di σ, pe ifinie le stime di M e di W. Se la stima ottenuta compota che M=, alloa W potà essee identificata con U, la isposta della Tea ad una sogente di onda piana, e isulteà possibile stimae le funzioni di tasfeimento. Se, invece, M>, isulta chiaa la pesenza di umoe coeente. In questo caso, non esiste un modo geneale di gaantie l affidabilità dei isultati ottenuti.. In effetti, quando M>, i vettoi di polaizzazione elativi alla sogente MT, α k, e quelli elativi al umoe coeente, γ k, sono combinati insieme nei paameti stimati β k. Disponendo di una stima affidabile di α k, saebbe possibile modificae lo schema pecedente pe ottenee una stima di U, e dunque del tensoe Z elativo ad una sogente di onda piana, anche nel caso M>. Il modo più semplice, pe ottenee una stima di questo genee, è di dispoe di un sito di Remote Refeence che sia quiet, cioè che sia adatto a fonie i canali nomali di ifeimento. In alti temini le caatteistiche del sito, devono essee tali (sogente MT, assenza di discontinuità lateali della esistività), da pemettee di suppoe che i vettoi di polaizzazione stimati in quel sito possano essee assunti anche pe la sogente di onda piana. In questo modo, una volta stimati, dal sito RR, gli α k saà possibile, con una modifica dello schema RMEV, stimae U e successivamente anche V e γ k. Se il umoe coeente è pesente in tutti i siti, una sepaazione di questo tipo isulta impossibile. Lo schema multivaiato pemette, peò, una chiaa diagnostica della pesenza di umoe coeente e, applicandolo a bevi segmenti di dati, può essee possibile tovane alcuni che siano non contaminati. Da questi è possibile icostuie una stima di U ed usala come punto di patenza pe una sepaazione segnale umoe coeente. 46

47 4 Cenni di teoia dell invesione In MT un modello può essee icostuito o a patie da un modelling dietto, che appesenta l unico modo pe ottenee, data una distibuzione di conducibilità elettica, dei dati sintetici o da un invesione che pemette di calcolae, in modo iteativo, un modello di esistività a patie da ossevazioni speimentali. 4. Metodi diffeenziali pe il modelling elettomagnetico Il poblema dietto può essee appesentato da una semplice elazione del tipo d = A(m) (4.) dove d è il vettoe dei dati, A è un opeatoe definito dietto ed m è il vettoe le cui componenti non sono alto che i paameti del modello. In molte delle applicazioni dei metodi elettomagnetici alla geofisica isulta necessaio modellae la isposta di stuttue geoelettiche di foma e dimensioni abitaie, caatteizzate da anomalie di esistività non necessaiamente istette a scala locale. Esistono diffeenti tecniche pe il modelling elettomagnetico dietto, basate fondamentalmente sull implementazione numeica di un appoccio basato sulla foma diffeenziale (DE) delle Equazioni di Mawell (metodi alle diffeenze finite (FD) o agli elementi finiti (FE) ) ovveo sulla loo foma integale (IE). Esistono diffeenti modi di ottenee un analogo numeico delle Equazioni di Mawell ma, nella maggioanza dei casi, si opea la discetizzazione di un modello in un ceto numeo di celle elementai, come mostato in Figua 4. Figua 4.: Esempio di discetizzazione di un modello in celle elementai Si assume la costanza dei paameti elettomagnetici all inteno di ogni cella. 47

48 Viene intodotto un sistema di coodinate catesiano otogonale, con l asse z dietto veso il basso e l asse dietto veso desta; i paameti elettomagnetici ρ, µ, ed ε, vengono consideati costanti all inteno di ogni cella elementae. I singoli nodi della giglia, infine, vengono numeati, con gli indici (i, k, l), lungo le te diezioni coodinate ˆ i { ˆi, ˆj,k ˆ}. La tecnica comune di discetizzazione dei campi pevede che le componenti del campo elettico E siano definite al cento degli spigoli di ognuna delle celle elementai, mente la componente del campo magnetico lungo uno dei te vesoi coodinati nel cento delle due facce della cella elementae otogonali a tale diezione. ˆ i viene definita Figua 4.: Discetizzazione del campo elettomagnetico lungo la giglia. Il vantaggio di una simile discetizzazione è che le componenti di E isultano continue lungo gli spigoli delle celle e quelle di sulle facce. In questo modo, dunque, la giglia isulta composta da due loop elementai: un loop elettico, fomato da quatto componenti di E paallele ai bodi di una faccia della cella, ed un loop magnetico, fomato da quatto componenti adiacenti di. Figua 4.3 I loop elettici e magnetici. 48

49 Le Equazioni di Mawell, vengono discetizzate lungo questi loop. Ad esempio consideiamo: B = E iω E = σ (4.) Integando la pima delle (4.) lungo una faccia S della geneica cella elementae, il cui bodo sia L, ed applicando il teoema di Stoke si ha che: B ds = ( E) ds = E dl iω S S L (4.3) E possibile discetizzae l integale (4.3) icodando che, pe quanto detto in pecedenza sugli andamenti dei campi nelle singole celle, pe il geneico nodo (i, k, l) componenti di E lungo le diezioni cadinali { ˆ ˆ ˆ} i, j, k saanno definite ispettivamente nei nodi i +, k, l, i, k +, l, i, k, l +, mente quelle di nei nodi i, k +, l +, i +, k, l +, i +, k +, l. Consideando, a titolo esempio, una faccia paallela al piano veticale z, si otteà che: iωb(i,k +, l + ) k zl = E(i, k, l) E(i,k, l ) k Ez(i,k, l ) E(i,k, l ) zl (4.4) Pe le alte facce della geneica cella elementae isulteà possibile ottenee espessioni simili. Analoghe fomule possono essee deivate dalla seconda delle (4.). Dalla combinazione di tutte le equazioni algebiche si otteà un sistema di equazioni lineai le cui soluzioni appesenteanno i valoi disceti del campo elettomagnetico nelle celle elementai, ossia la soluzione numeica del poblema elettomagnetico dietto. In paticolae pe la Magnetotelluica, viene assunta una sogente di campo magnetico unifome sulla supeficie della tea (discetizzata) e tamite equazioni discetizzate, come la (4.4), viene popagata nel mezzo pe ogni fequenza; il modello assunto estituisce alla supeficie valoi dei campi E e dai quali si ottiene il tensoe Z (dato sintetico). 4. Il poblema inveso Solitamente il pincipale obiettivo delle indagini geofisiche consiste nella deteminazione di stuttue geologiche e dei paameti che le caatteizzano, a patie da dati speimentali. Ciò costituisce il poblema inveso. Una definizione geneale del poblema inveso può essee schematizzata con una mappa astatta del tipo 49

50 vettoe dei dati speimentali, d = d obs modello m o analogamente come soluzione di un equazione agli opeatoi del tipo: m = A (d) (4.5) uu dove A - è detto opeatoe inveso, m M è una funzione, o un vettoe, che descive i paameti del modello ed appatiene ad uno spazio metico M, e d è il data set a disposizione, che può essee consideato, nel caso di ossevazioni discete, un vettoe appatenente ad uno spazio metico D. Risolvee la (4.5) significa deteminae un modello pedetto m p che genei un vettoe dei dati d p in gado di appossimae, compatibilmente all accuatezza delle noste misue, i dati ossevati. 4.3 Poblematiche elative alla soluzione del poblema inveso Le popietà essenziali del geneico poblema inveso iguadano l esistenza, l unicità e la stabilità della sua soluzione. L esistenza è associata alla fomulazione matematica del poblema inveso dato che, se è pu veo che da un punto di vista fisico si tatta dello studio di stuttue eali, dal punto di vista matematico potebbeo non esseci modelli numeici adeguati a fittae i dati ossevati speimentalmente. La necessità che la soluzione sia unica è evidente, se si pensa solo a come isultati impossibile stabilie quale abbia più significato fisico ta due diffeenti modelli m e m, che geneano lo stesso dato d 0, cioè tali che A(m ) = A(m ) = d 0. La questione della stabilità infine, è altettanto cuciale: infatti spesso piccole vaiazioni del dato possono intodue gandi vaiazioni nella soluzione. Fu il matematico fancese adamad, nel 90, ad intodue pe la pima volta i concetti di poblemi ill-posed e well-posed. Utilizzando la definizione data nel 977 dalla teoia di egolaizzazione di Tikhonov e Asenin (equivalente alla definizione intodotta da adamad) un poblema isulta well-posed se la soluzione m dell equazione (4.5) esiste, è unica e se l opeatoe A - è continuo e definito su tutto lo spazio dei dati D. Se viene meno solo una di queste te condizioni il poblema isulta essee ill-posed 50

51 In ealtà la maggio pate dei poblemi invesi geofisici, e fisici più in geneale sono ill-posed. Questo implica la non deteminazione di una soluzione esatta (e). Pe supeae questo ostacolo Tikhonov [Tikhonov&Asenin, 977] ha dimostato, nell ambito della sua teoia elativa ai metodi di egolaizzazione della soluzione di un poblema inveso, che se si estinge la classe di modelli utilizzati nell invesione, un poblema oiginaiamente ill-posed può diventae well-posed, imponendo dei vincoli ai paameti del modello. 4.4 Cenni di teoia della egolaizzazione Un algoitmo di egolaizzazione, pincipalmente, considea invece di un unico poblema illposed, una famiglia di poblemi well-posed che appossimi il poblema inveso m = A (d ) (4.6), dove α è detto paameto di egolaizzazione. Indicando, inolte, con m α e ispettivamente la soluzione del poblema (4.6) e quella del poblema inveso oiginale (4.5), si assume che m α m t quando α 0. In alti temini, un algoitmo di egolaizzazione è basato sull appossimazione dell opeatoe non continuo A -, con una famiglia di opeatoi invesi continui A α -, detti egolaizzanti, dipendenti dal paameto α. La egolaizzazione deve essee tale che, quando α si annulla, gli opeatoi appesentativi dei temini della famiglia tendano a A -. Poniamo R(d, α ) = A α. α m t, Figua 4.4 :Rappesentazione del compotamento degli opeatoi egolaizzanti R, che a vettoi poco distanti nello spazio dei dati, associano vettoi poco distanti nello spazio dei paameti. (e) Con l espessione soluzione esatta si fa ifeimento all esistenza di una soluzione del poblema inveso che sia unica e stabile. 5

52 Nella Figua 4.4 viene data una appesentazione di facile lettua dell uso della teoia di egolaizzazione di poblemi invesi. Il vettoe d t, appatenente allo spazio vettoiale dei dati D, appesenta il vettoe dati teoici, pivi di umoe. Il vettoe dati speimentali, affetto da noise, è invece indicato con d = d + δd. E immediato ossevae, come l applicazione di un geneico opeatoe A - su δ t dati possimi (f), come ' m δ e d δ e ~ dδ, appatenenti allo spazio D, genea soluzioni, ispettivamente ' m ~ δ, che isultano essee fotemente instabili. In alti temini piccole petubazioni che si veificano nello spazio dati non isultano essee associabili ad altettanto minime petubazioni nello spazio dei modelli M. Contaiamente a ciò, un opeatoe egolaizzante R individua in M soluzioni stabili, indicate con m α e m ~ α (cioè a vettoi poco distanti nello spazio dei dati coispondono vettoi poco distanti nello spazio dei modelli). Uno dei isultati più ilevanti, conseguiti da Tikhonov, è stato dimostae che esiste una soluzione funzionale di misfit del tipo: ϕ m) = A(m) d ( δ dove A(m) d δ m δ tale da minimizzae un funzionale, detto non è alto che la definizione di metica nello spazio dei dati D. (4.7) Questo è equivalente a deteminae, ta i possibili modelli che endono well posed il poblema inveso, quello in coispondenza del quale i dati speimentali isultano essee meglio appossimati. Divesi algoitmi di minimizzazione di ϕ ( m ) sono stati adottati nel tempo Algoitmi di minimizzazione del funzionale di misfit Gli algoitmi di minimizzazione del funzionale ϕ ( m ) maggiomente adottati sono il metodo di Gauss-Newton, il metodo della massima pendenza e quello dei gadienti coniugati. Le te tecniche sono basate sulla comune assunzione che esista un minimo globale di ϕ ( m ). Esse si diffeenziano pincipalmente pe il modo con il quale viene icecato tale minimo. Il metodo di Gauss-Newton, ad esempio, ceca di deteminae la diezione che individua l estemo (f) I vettoi in consideazione devono isultae possimi dal punto di vista della noma intodotta in D. 5

53 globale del funzionale, pe ogni iteazione m n + = m n + δm n con n = uu un unica petubazione appotata ad un modello iniziale m0 M.,..., N, attaveso 3 Figua 4.5: Luogo geometico dei punti appesentativi dei valoi assunti dal funzionale di misfit in R. La iceca del minimo globale di tale funzione, quando si utilizza il metodo di Gauss-Newton, avviene medianteun unica iteazione effettuata nello spazio dei paameti. In sostanza tale metodo ipotizza che si pata da un buon modello iniziale e che l opeatoe A sia lineaizzabile intono m 0. Utilizzando il metodo della massima pendenza, la iceca del minimo globale avviene tamite più iteazioni del tipo m n + = m n + δm n con n =,..., N che soddisfino la condizione ϕ ( m n+ ) < ϕ(m n ). La quantità δm n appesenta la petubazione appotata all n-mo modello. Il metodo, pe ogni iteazione, ceca la diezione di massima ascesa intono ad m n nello spazio dei paameti e si muove in diezione opposta pe congiungee m n con m n +. L intesezione del piano veticale, passante pe tale diezione, con il luogo geometico appesentativo del funzionale di misfit, descive una cuva, della quale viene tovato il minimo associato al vettoe che supponiamo essee m n + (figua). Successivamente ci si muove otogonalmente alla vecchia diezione e si ipete l opeazione di minimizzazione, e così pe ogni iteazione. 53

54 Figua 4.6: (a) Luogo geometico dei punti appesentativi dei valoi assunti dal funzionale di misfit in 3 R. La iceca del minimo globale di tale funzione, quando si utilizza il metodo della massima pendenza, avviene effettuando più iteazioni nello spazio dei paameti. (b) Rappesentazione dell otogonalità delle diezioni di massima pendenza nello spazio dei paameti M. Il metodo dei gadienti coniugati è, in geneale, molto simile a quello appena descitto, anche se pemette una più apida individuazione dell estemo globale. Pe meglio compendee il motivo di tale vantaggio, si supponga di deteminae in M, le pime due diezioni otogonali di massima pendenza del funzionale, denotate con a e b, coispondenti alle pime due iteazioni, in modo del tutto analogo a quello descitto pe il metodo di massima pendenza. Se, come mostato in Figua 4.7, le successive iteazioni vengono effettuate in modo da muovesi nello spazio dei paameti lungo la diezione del vettoe c=a+b, alloa è immediato concludee che il minimo del funzionale veà aggiunto più apidamente di quanto non si faccia adottando il metodo pecedente. Figua 4.7:Evidenza gafica della maggioe apidità di aggiungimento del minimo globale del funzionale di misfit, quando si utilizza il metodo dei gadienti coniugati. 54

55 4.5 Invesione D di dati magnetotelluici e studi di sensitività In questo lavoo di tesi, pe intepetae i dati MT, viene utilizzato il codice di invesione D di Mackie e Rodi [Mackie et al., 997; Rodi&Mackie, 00], che ceca di egolaizzae la soluzione ai minimi quadati mediante una funzione costo, ealizzata tamite un opeatoe diffeenziale che agisce nelle diezioni oizzontale e veticale. La soluzione di tale invesione è fotemente contollata da un paameto di tade-off che influenza significativamente i isultati e che deve, quindi, essee scelto molto accuatamente. Nell algoitmo di egolaizzazione di Rodi e Mackie, basato sul metodo dei gadienti coniugati, l oggetto da minimizzae è il funzionale Φ = Φ + τ Φ d m (4.8) che è combinazione di una funzione f (m) χ del tipo Φ = d d f(m) dove d è il vettoe dei dati, σ è la soluzione dietta del modello m, σ caatteizza gli eoi, e un temine di egolaizzazione di Tickonov Φ = D( m m ) m 0, che è ealizzato da un opeatoe diffeenziale D del pimo o del secondo odine che agisce sulla diffeenza ta il modello m ed un dato modello di patenza m 0 e che ha un notevole effetto di smoothing sui isultati dell invesione. Questi ultimi dipendono fotemente dalle infomazioni stuttuali del modello iniziale m 0, che possono potae ad un bias nel modello finale se non sono consistenti con i dati, e dal paameto di tade-off τ, che contolla il bilancio ta il fitting dei dati e quanto è smooth il modello, ed ha un valoe fissato pe ogni iteazione del pocesso d invesione. Quindi, pe cecae un appopiato modello, si fa ipatie il pocesso con diffeenti valoi del paameto τ ed esploando il compotamento dell eoe.m.s. = Φ d (4.9) N E possibile veificae che, mente pe τ toppo piccoli l algoitmo comincia a diventae instabile, pe valoi maggioi del paameto di egolaizzazione si avà come isultato un modello più smooth. Ciò nonostante, la soluzione che si ottiene è soltanto una delle possibili soluzioni appatenenti ad uno spazio dei modelli multidimensionale. 55

56 Il poblema della non unicità può essee affontato intoducendo la matice di sensitività che non è alto che la misua di quanto i dati vengono influenzati da piccole distosioni del modello. Tale matice si ottiene, automaticamente, quando, nel pocesso di invesione, si lineaizza il poblema dietto, ma di fatto, può essee calcolata pe ogni dato modello. I suoi elementi non sono alto che le deivate paziali dei dati ispetto ai paameti del modello: S = f m (4.0) Il calcolo della matice di sensitività appesenta, in un tipico pocesso di invesione D, la pate più dispendiosa, ma questo tipo di analisi isulta indispensabile pe compendee quali paameti del modello vengono isolti in modo peggioe dai dati, così da poteli escludee dall intepetazione. 56

57 5 Sepaazione di contibuti d onda piana e di campo vicino Nella ealtà, spesso, si possono incontae situazioni molto complesse in cui la modellazione MT, che pevede la pesenza di sole due sogenti di campo elettomagnetico spazialmente unifomi non è totalmente veificata. E, infatti, possibile itovasi in pesenza di sogenti non all infinito, dette sogenti di campo vicino, che non sono caatteizzate da un fonte d onda e che quindi non foniscono campi elettomagnetici elazionati da tensoi d onda piana. Questo avviene, sopattutto, quando si effettuano sondaggi in zone ad elevata ubanizzazione. In questo caso si isconta la pesenza di umoe coeente caatteizzato da un complicata stuttua di coelazione ta le componenti dei campi misuati. Un tipico esempio di noise coeente è quello connesso al passaggio di teni su linee feoviaie alimentate a coente continua. La pesenza di tale sogente, che può essee associata ad un dipolo di ampiezza e potenza vaiabile (sezione.3), si manifesta con una distosione delle cuve di esistività appaente e fase, pe peiodi compesi ta e 300 s, con i dati vei e popi che non appaiono paticolamente scatteati, data la coeenza ta il campo magnetico e quello elettico. In geneale linee elettiche, insediamenti industiali, antenne e ipetitoi, linee feoviaie, taffico veicolae, eti, ecinzioni e tubatue metalliche e qualsiasi tipo di attività ubana sono fonte di umoe antopico. Il metodo RMEV, come intodotto nella sezione 3.4., appesenta una tecnica multivaiata, impotata dalla meteoologia, che si basa sull analisi obusta di aa di stazioni costituite da multipli canali, che pemette di esploae in dettaglio la stuttua del segnale elettomagnetico e di fonie una stima del numeo di seie coeenti (d onda piana e non) pesenti nello spazio vettoiale dei dati. Può essee dimostato che, utilizzando la appesentazione nella base degli autovettoi (empiical othogonal funcion), è possibile icostuie tutte le elazioni lineai che collegano ta loo singoli canali con singoli canali o guppi di canali a guppi di canali, come, ad esempio, gli elementi del tensoe impedenza, nel caso delle funzioni di tasfeimento ta canali locali magnetici e canali locali elettici, la funzione di tasfeimento magnetico nel caso di canali magnetici di siti diffeenti, ed il tippe nel caso di canali locali magnetici. Allo scopo di icostuie cuve di esistività appaente e fase elative ai sondaggi effettuati ai Campi Flegei si è cecato, utilizzando l analisi multivaiata, un citeio che pemettesse di discenee i contibuti associabili a sogenti d onda piana e di campo vicino, di natua antopica. 57

58 5. Test su dati sintetici Pe analizzae in dettaglio lo schema multivaiato, e pe icavae utili elementi intepetativi che contibuiscono a favoie la sepaazione ta contibuti d onda piana e contibuti di campo vicino, sono stati, inizialmente, pocessati dei dati sintetici. Il dataset utilizzato è pate integante del Comdat Poject (CMDT)[Sokolova et al., 994], il cui obiettivo è, appunto, quello di fonie un insieme di dati che simulino seie tempoali eali di isposta nota, utilizzabili pe confontae pogammi di stima delle funzioni di tasfeimento e pe contollae la stuttua del segnale e del umoe, utilizzando nuovi schemi. Il set di dati MT S consiste in quatto seie tempoali sintetiche, con la funzione di canali locali, e due di ifeimento, da utilizzae come emote-efeence, campionate a 0 s e costuite assegnando allo spetto del campo magnetico una stuttua il più ealistica possibile e calcolando lo spetto del campo elettico ipotizzando una stuttua di tipo D. Inizialmente i dati MT S sono stati pocessati pe veificae il coetto funzionamento dell algoitmo RMEV (sezione 3.4.) e la coispondenza ta l ipotesi di sogente di onda piana e l esistenza di due soli autovaloi che emegono dal livello di backgound del noise incoeente. Constatata la buona qualità dei isultati con questo test peliminae, i canali locali sono stati contaminati aggiungendo del umoe coeente. Più pecisamente, pe simulae una sogente mobile di campo vicino (quale, ad esempio, un teno) è stato supposto che gli effetti di una sogente dipolae possano essee appesentati da un segnale MT N modulato sugli assi magnetici ( ed ) ed elettici (E ed E ) come segue: i- π =Rsin N i- π =Rcos N i- π π i- π π E =Rsin + N 0 E =Rcos + N 0 dove i =,, K, N con N il numeo totale di campioni costituenti le seie, ed R appesenta una seie tempoale andom i cui elementi seguono una distibuzione di pobabilità nomale a valo medio nullo. In Figua 5. viene ipotata la stuttua degli autovaloi pincipali (in db) della matice di densità spettale elativa ai dati sintetici con aggiunta di noise, stimati tamite il metodo RMEV, in funzione del peiodo (in s). Nella banda di peiodo 4-60 s compaiono te distinti autovaloi significativamente più gandi di uno che emegono, quindi, dal backgound del umoe incoeente. 58

59 Figua 5.: Autovaloi (in db) della SDM elativa al dataset MT cootto analizzato, in funzione del peiodo (in s). La pesenza di un tezo autovaloe testimonia chiaamente l aggiunta di noise coeente. Si noti che, in pieno accodo con la Figua 5., in cui vengono mostati gli andamenti degli spetti di potenza del segnale e del noise coeente aggiunto, elativi alla componente, il tezo autovaloe decesce al cescee del peiodo fino a 60 s, quando cade definitivamente sotto il livello di backgound. Figua 5.: Spetto di potenza della componente del segnale sintetico (in blu) e del noise coeente aggiunto (in osso). A questo punto sono state analizzate le polaizzazioni dei te autovettoi pincipali, nella banda di peiodo intono a T=0 s, all inteno di quatto fineste tempoali che coispondono 59

60 a quatto distinte posizioni angolai della sogente mobile di noise coeente, nell intevallo Figua 5.3: Diagamma polae degli autovettoi magnetici (linea continua) ed elettici (linea tatteggiata) elativi al dataset analizzato, stimati nella banda intono a T=0 s, all inteno di quatto fineste tempoali contigue. La Figua 5.3 appesenta un plot degli autovettoi elettici (linee tatteggiate) e magnetici (linee continue) nella banda T=0 s. Nonostante il livello del segnale e del noise appaiano simili (Figua 5.), i pimi due autovettoi si pesentano molto stabili, come da pevedesi, essendo questi ultimi appesentativi della sogente MT, quindi, di una sogente di onda piana stabile. Il tezo autovettoe, invece, uota seguendo la sogente mobile MT N. Al diminuie del peiodo il contibuto del noise aggiunto comincia ad essee più fote e gli autovettoi tendono ad essee combinazione lineae delle te sogenti, pedendo diettività. La Figua 5.4 mosta le cuve di esistività appaente (in Ωm) e fase (in gadi) pe i modi TM e TE in funzione del peiodo (in s), stimate utilizzando il metodo RMEV sul dataset sintetico in pesenza ed in assenza di noise coeente, e assumendo che gli autovettoi associati ai due autovaloi dominanti appesentino la sogente MT. Nonostante la pesenza di effetti di bias esidui nella banda di alta fequenza, indicativi della patecipazione della sogente di noise coeente nella stima, la qualità dei isultati ottenuti con il metodo RMEV può essee itenuta più che soddisfacente ispetto a quelle ottenibili con alti metodi. 60

61 Figua 5.4: Cuve di esistività appaente(in Ωm) e fase (in gadi) in funzione del peiodo (in s), stimate col metodo RMEV, utilizzando i dati con l aggiunta di noise coeente (b) e senza (a). Analizzando il compotamento degli autovettoi associati agli autovaloi dominanti è stato, dunque, possibile individuae nella otazione degli autovettoi pobabilmente collegati a sogenti mobili un utile citeio intepetativo pe disciminae contibuti d onda piana da contibuti di campo vicino, al fine di icostuie una coetta stima dei paameti MT anche quando si ha a che fae con segnali cootti da fote pesenza di noise coeente. Applichiamo questo tipo di analisi ai dati speimentali a disposizione. Nel caso eale, una tale applicazione isulta più complessa poiché gli autovaloi dominanti della matice di densità spettale non sono necessaiamente appesentativi della sogente MT di onda piana, endendo la distinzione ta segnale MT e umoe coeente poblematica. 5. Sondaggi MT I Campi Flegei costituiscono un ambiente paticolamente ostico pe l applicazione dei metodi elettomagnetici a causa della combinazione ta la pesenza del mae e la complessità delle stuttue vulcaniche pesenti, che cea effetti molto difficili da modellae. A questo va aggiunta la totale ubanizzazione dell aea che induce foti poblemi di sogente, legati in paticolae alla pesenza delle eti feoviaie ed elettiche e che limita le zone in cui è possibile effettuae indagini geofisiche iducendo notevolmente il numeo di eventuali punti sondaggio. 6

62 La ealizzazione nell aea flegea, di 4 sondaggi MT e 7 sondaggi a sogente contollata CSAMT, costituisce una pate sostanziale del lavoo di tesi ed ha impegnato più di due anni (Figua 5.5). Il metodo CSAMT (Contolled Souce Audio fequenc Magnetotelluic) utilizza, in aggiunta ai campi natuali MT, una sogente di segnale atificiale geneata da un tasmettitoe, tipicamente nella banda [-00] kz: tale tecnica viene usata pe stimae il tensoe impedenza di supeficie Z nella banda ad alta fequenza, dove il segnale natuale isulta paticolamente basso,miglioando notevolmente la qualità dei dati. Figua 5.5: Mappa dei sondaggi MT (in osso) e dei sondaggi CSAMT (in bianco) effettuati nell aea flegea. Come già accennato pecedentemente, l individuazione di siti di misua idonei, cioè con un buon appoto segnale umoe e con una idotta pesenza di noise coeente, appesenta un punto molto delicato quando si effettuano sondaggi elettomagnetici in un aea totalmente ubanizzata, quale quella napoletana. In zone di questo tipo, inolte, il numeo di siti è fotemente limitato anche da poblemi di tipo logistico. Un sondaggio magnetoelluico consiste in un acquisizione delle te componenti otogonali del campo magnetico (,, z ), e delle due componenti oizzontali del campo elettico (E,E ), in un pescelto punto della supeficie teeste, che definiamo sito locale. Nella patica speimentale sono utilizzate divese disposizioni degli stumenti dipendenti sia dal numeo di canali disponibili pe l indagine che da consideazioni logistiche. E abbastanza chiao che un maggio numeo di canali pemette un sovacampionamento dei campi, 6

63 fonendo, petanto, maggioi possibilità di contollo dei singoli canali, sopattutto se questi ultimi sono inseiti in schemi multivaiati in gado di tae il massimo delle infomazioni possibili da aa fomati popio da multipli canali elativi a molteplici stazioni di misua. Duante la campagna MT nell aea flegea sono state utilizzate pe le stazioni, configuazioni di tipo single station e a stella. La pima non è alto che una stazione MT completa a 5 canali, con la tena degli e la coppia degli E disposte in modo che e E siano dietti lungo il nod magnetico. La configuazione a stella pevede, invece, l installazione di due stazioni distinte nello stesso sito, in due sistemi di ifeimento catesiani otogonali uotati ta loo di un angolo noto. 5.. Solfataa In Solfataa sono stati effettuati te sondaggi MT. Due stazioni sono state poste agli estemi settentionale e meidionale del catee, e due sono state installate al cento della fangaia, in configuazione a stella con gli assi omologhi uotati ta loo di 45, in modo da pemettee un sovacampionamento dei campi elettici e magnetici. In paticolae analizziamo il sondaggio effettuato in fangaia. Figua 5.6: Autovaloi della matice di densità spettale elativa ad un sondaggio MT, effettuato in Solfataa con due stazioni, della duata tempoale di 600s e con una fequenza di campionamento di 64z. In Figua 5.6 sono plottati gli autovaloi della SDM elativa ad un dataset della duata di 600s e con una fequenza di campionamento di 64 z, estatto dall intea acquisizione. La pesenza di te autovaloi al di sopa del backgound del noise incoeente (livello zeo) mosta una chiaa evidenza di noise coeente nell intea banda di peiodo analizzata. La maggioe stabilità angolae (Figua 5.7) degli autovettoi associati al pimo e al tezo autovaloe nella banda intono a T=0.4 ci pemette di ipotizzae che essi siano appesentativi della sogente MT. Il secondo autovettoe, che mosta chiai cambiamenti di diezione, è pobabilmente legato alla sogente di campo vicino associabile al teno. 63

64 Questa conclusione è in pieno accodo con il fatto che il livello del segnale associato ai contibuti di campo vicino può essee paagonabile o più alto del livello del segnale MT quando la distanza ta il sito di misua e la sogente di noise coeente è minoe di una decina di chilometi. Figua 5.7:Diagamma polae degli autovettoi magnetici (linea continua) ed elettici (linea tatteggiata) della SDM, calcolati nella banda T=0.4 s, consideando cinque fineste tempoali contigue della duata di 600s (Solfataa). Nella figua successiva vengono mostate le cuve di esistività appaente e fase (in blu nella Figua 5.8) calcolate con il metodo RMEV che di default utilizza i pimi due autovettoi della SDM elativa ai dati in questione;. le cuve pesentano un compotamento distoto nell intea banda di peiodo investigata. I due modi cescono in funzione del peiodo con una pendenza a 45 : questo andamento è tipico di un segnale MT contaminato da sogenti di noise EM non unifomi [Mackie and Madden, 99; Qian and Pedesen, 99]. Ovviamente, ciò è in accodo con il numeo di autovaloi dominanti della SDM (Figua 5.6). 64

65 Figua 5.8:Cuve di esistività appaente calcolate utilizzando il e il autovettoe della SDM elativa ai dati acquisiti in Solfataa (cuve in blu), il e il 3 (cuve in vede) autovettoe ed il e il 3 autovettoe (cuve in osso). In neo sono ipotate le cuve CSAMT. A questo punto icostuiamo la esistività appaente usando anche il tezo autovettoe. Paagonando le cuve ottenute con la pecedente, semba che utilizzando il pimo e il tezo autovettoe, le elative cuve di esistività (in osso nella Figua 5.8) siano miglioi, con un andamento simile a quello delle cuve in vede (ottenute utilizzando il secondo ed il tezo autovettoe) e di quelle in blu, ma appaiono più smooth nel ange di peiodo 0.- s. Nella stessa figua, mostiamo anche le cuve CSAMT elative ad un sondaggio effettuato nello stesso sito di misua MT. Il livello delle cuve CSAMT (in neo) è paagonabile a quello delle cuve MT ottenute utilizzando il pimo ed il tezo autovettoe. Il buon accodo ta i dati CSAMT e quelli MT costituisce un ulteioe confema della possibilità di usae diffeenti combinazioni di autovettoi pe ottenee una miglioe stima del tensoe Z. Le cuve CSAMT, ispetto a quelle MT, pesentano un andamento più egolae. La spiegazione vete sul fatto che, in condizioni favoevoli, pe valoi della distanza, ta sogente dipolae e sito di misua, sufficientemente gandi, in appoto alla skin depth, il segnale dipolae e l appossimazione MT di onda piana foniscono isposte paagonabili, endendo il segnale antopico una buona sogente [Goldstein&Stangwa,975]. Se i dipoli sono toppo vicini, o la fequenza su cui si stimano i paameti è toppo bassa, le due isposte non coincidono e le cuve pesentano degli andamenti distoti e/o non accettabili. Estaiamo dall inteo sondaggio a disposizione un alta finesta tempoale della duata di 30 minuti e pocediamo con un analisi analoga a quella effettuata pe il dataset pecedente. 65

66 Figua 5.9: Stuttua degli autovaloi della SDM (in db) in funzione del peiodo (in s) elativa all acquisizione effettuata in Solfataa della duata di 30 minuti Anche in questo caso la matice di densità spettale elativa è caatteizzata da te autovaloi che emegono dal backgound del noise incoeente, nell inteo ange di fequenza consideato. Figua 5.0:Diagamma polae degli autovettoi magnetici (in vede) ed elettici (in osso) della SDM, calcolati nella banda T=0.4 s, consideando quatto fineste tempoali contigue della duata di 30 minuti. Andando a veificae la diezione degli autovettoi elativi (Figua 5.0) a quatto fineste tempoali contigue, nella banda di peiodo intono a T=0.3 s si itova una fote stabilità angolae del pimo e del tezo autovettoe. Questi ultimi, possono quindi consideasi, ancoa una volta, associabili alla sogente d onda piana. Come fatto nel caso pecedente calcoliamo le cuve di esistività e fase utilizzando i te autovaloi dominanti. 66

67 Figua 5.:Cuve di esistività appaente calcolate utilizzando il e il autovettoe della SDM elativa ai dati acquisiti in Solfataa (cuve in blu), il e il 3 (cuve in vede) autovettoe ed il e il 3 autovettoe (cuve in osso). In neo sono ipotate le cuve CSAMT. Sia la cuva di esistività che quella di fase stimate utilizzando gli autovaloi dominanti (in osso in Figua 5.) che pesentano una maggioe stabilità, pesentano un andamento più smooth di quello delle cuve costuite combinando divesamente gli autovettoi (Figua 5.). Questo semba confemae che la otazione degli autovettoi dominanti appesenta un utile citeio intepetativo pe una possibile icostuzione delle coette cuve di esistività. Anche pe questo dataset le cuve CSAMT sono caatteizzate da un livello paagonabile a quello delle cuve di esistività stimate utilizzando il pimo ed il tezo autovettoe. 5.. Astoni Analogamente a quanto fatto pecedentemente pe il sondaggio in Solfataa, ipotiamo l andamento degli autovaloi della SDM elativa ad una finesta della duata tempoale di h e con una fequenza di campionamento di 64 z, estatta da un sondaggio effettuato con due stazioni MT poste in configuazione a stella, con gli assi omologhi uotati di 45 all inteno del catee degli Astoni. In tutta la banda di fequenza (Figua 5.) sono pesenti te autovaloi dominanti. 67

68 Figua 5.: Andamento in funzione del peiodo degli autovaloi della SDM elativa all acquisizione della duata di un oa a 64 Z agli Astoni. Utilizziamo gli autovettoi dominanti, pe stimae le cuve di esistività e fase. Figua 5.3:Cuve di esistività appaente calcolate utilizzando il e il autovettoe della SDM di Figua 5. (cuve in blu), il e il 3 (cuve in vede) ed il e il 3 autovettoe (cuve in osso). In questo caso con il secondo ed il tezo autovettoe (in vede), si ottengono cuve con un andamento simile a quello delle cuve ottenute con i pimi due autovettoi (in blu) ma con livelli diffeenti: in paticolae i due modi in vede non pesentano effetti di static shift (una vaiazione dei livelli delle cuve associabili a fenomeni di distosione dovuti alla pesenza di disomogeneità elettiche in supeficie). 68

69 Mostando in dettaglio il compotamento dei pimi te autovettoi calcolati nella banda di peiodo intono a T=0 s in quatto fineste vicine della duata di h (Figua 5.4), si veifica la fote stabilità del secondo e del tezo autovettoe come pevedibile dai isultati ottenuti in Figua 5.3 Estaiamo un ulteioe finesta dall acquisizione che stiamo analizzando, questa volta della duata di 0 minuti, e pocediamo come fatto finoa. Nonostante l andamento degli autovaloi della matice di densità spettale (Figua 5.4), sia più egolae ispetto a quello della SDM mostata in Figua 5., anche in questo caso, abbiamo un numeo di autovaloi dominanti maggioe di due. Il metodo RMEV sta quindi diagnosticando la pesenza, nei dati, di ulteioi sogenti di segnale coeente. Figua 5.4: Diagamma polae degli autovettoi magnetici (in vede) ed elettici (in osso), calcolati nella banda T=0 s, consideando quatto fineste tempoali vicine della duata di un oa (Astoni). Selezionando un ange di peiodo intono a T=3 s ed analizzando la posizione angolae degli autovettoi dominanti itoviamo un pimo autovettoe che modifica buscamente la popia diezione al vaiae del tempo (Figua 5.6). 69

70 Figua 5.5: Andamento in funzione del peiodo degli autovaloi della SDM elativa ad una finesta tempoale di 0 minuti (Astoni) Figua 5.6:Plot degli autovettoi dominanti della SDM, elativi a quatto fineste della duata di 0 minuti e calcolati nella banda intono a T=3 s. Nelle cuve di esistività e fase legate al secondo ed al tezo autovettoe (in vede nella Figua 5.7) emege un fote miglioamento nella stima, nettamente più egolae: in paticolae, nelle cuve di esistità appaente è pesente un minoe static shift ispetto a quello che si isconta nei due modi in blu: nonostante ciò pe peiodi supeioi ai 5 s, la esistività (in paticolae il modo più alto) comincia comunque a isalie con una fote pendenza a 45, mente la fase scende buscamente a -90, caatteistiche queste tipiche del segnale dipolae ( sezione.3.). 70

71 Figua 5.7:Cuve di esistività appaente e fase calcolate utilizzando il e il autovettoe della SDM elativa ai dati acquisiti agli Astoni (cuve in blu), il e il 3 (cuve in vede) autovettoe ed il e il 3 autovettoe (cuve in osso). Nel catee degli Astoni non sono stati effettuati sondaggi CSAMT: non possiamo, quindi, effettuae un ulteioe contollo sul livello delle cuve di esistività come fatto pe i sondaggi effettuati in Solfataa Cane Pak Sempe nel quado dell analisi multivaiata, si ipota in Figua 5.8, l andamento, in funzione del peiodo degli autovaloi della SDM elativa all aa di misue contempoanee effettuate con due stazioni MT complete, entambe in configuazione di single-station, in località Campiglione, all inteno di Cane Pak. A bassi valoi del peiodo, fino a s, si nota una stuttua molto complessa con almeno quatto autovaloi al di sopa del livello di backgound del noise incoeente, che si va successivamente semplificando nella banda 3-0 s, in cui sopavvivono te autovaloi, abbastanza distinti ta loo. Pe peiodi maggioi iemege un quato autovaloe, in concomitanza con un geneale abbassamento del appoto segnale-umoe, dovuto pobabilmente alla iduzione del campione statistico su cui vengono effettuate le stime dei paameti. 7

72 Figua 5.8:Andamento degli autovaloi della SDM elativa ai siti di Cane Pak, in funzione del peiodo. L analisi delle diezioni di polaizzazione dei pimi quatto autovettoi della SDM iflette la complessità della stuttua della matice di densità spettale. Nonostante siano state selezionate e analizzate in dettaglio divese fineste tempoali estatte dall acquisizione totale, non è stato possibile individuae delle posizioni angolai stazionaie pe gli autovettoi pincipali. Nel caso in cui non è semplice estae infomazioni utili dalla otazione degli autovaloi dominanti, il metodo RMEV offe comunque, mediante la stima della dimensione di coeenza M, una chiaa diagnostica della pesenza di umoe coeente. Ipotizzando, infatti, la pesenza di una sogente intemittente e utilizzando dati povenienti da una lunga acquisizione, come quelli che abbiamo a disposizione pe Cane Pak, si spea di tovae alcuni intevalli tempoali o alcune bande di peiodo, caatteizzate da una dimensione di coeenza pai a e non contaminate, quindi, da noise coeente. I dati elativi al sondaggio effettuato a Cane Pak sono stati, a tal fine, suddivisi in segmenti tempoali della duata di dieci minuti e ad ognuno di essi è stato applicato lo schema multivaiato RMEV. Gaficando la dimensione di coeenza, ossia il numeo di autovaloi dominanti della SDM elativa ad ogni finesta, in funzione del peiodo, si ottengono i isultati mostati nella figua successiva. 7

73 Figua 5.9: Numeo di autovaloi dominanti della SDM elativa ad ognuno degli intevalli tempoale della duata di dieci minuti, funzione del peiodo e del tempo. E evidente l esistenza di un intevallo tempoale, compeso ta la 80-ma e la 00-ma finesta, in cui vi sono ange di fequenza con dimensione di coeenza dei dataset analizzati uguale a due. Questi intevalli appesentano una fascia oaia che va dalle.00a.m. alle 5.00a.m. e coincidono, appossimativamente, con la sosta nottuna del sevizio feoviaio metopolitano locale. In questo caso i due autovaloi dominanti della SDM possono essee associati alla sogente MT d onda piana ed i elativi autovettoi possono essee utilizzati pe stimae le componenti del tensoe impedenza MT. A confema di quanto detto veifichiamo ( Figua 5.0) la stabilità diezionale dei pimi due autovettoi in quatto fineste contigue appatenenti all intevallo tempoale caatteizzato da M= in un intono di T=s. Figua 5.0: Plot degli autovettoi dominanti della SDM, elativi a quatto fineste della duata di 0 minuti e calcolati nella banda intono a T= s. 73

74 Di seguito mostiamo l andamento delle cuve di esistività appaente e fase stimate mediante i pimi due autovettoi (Figua 5.) Figua 5.: Cuve di esistività e fase stimate utilizzando i pimi due autovettoi della matice di densità spettale Fondi di Baia Pocediamo con l analisi un sondaggio effettuato nell aea di Fondi di Baia. La SDM pe la banda a 64 z elativa ad una finesta tempoale di 600 s, fonisce l andamento degli autovaloi mostato in Figua 5.. Si nota l omai usuale complessità della stuttua. Figua 5.: Autovaloi della matice di densità spettale elative ad un sondaggio MT della duata tempoale di 600s e con una fequenza di campionamento di 64 z. 74

75 Osseviamo nella figua successiva le diezioni elative agli autovettoi pincipali. Il secondo ed il tezo autovettoe mantengono nelle quatto fineste contigue la stessa diezione in un intono di T=.6 s, mente il pimo vaia fotemente la popia posizione angolae. Figua 5.3:Diagamma polae degli autovettoi magnetici (in vede) ed elettici (in osso) della SDM, calcolati nella banda T=.6s, consideando quatto fineste tempoali contigue della duata di 600s (Fondi di Baia) Nella Figua 5.4 sono visibili, nella banda [0.07-5] s i miglioamenti nella stima delle cuve di esistività appaente e fase ottenute dal secondo e dal tezo autovettoe (in vede). Figua 5.4:Stima delle cuve di esistività appaente e fase calcolate utilizzando il e il autovettoe (cuve in blu) ed il e il 3 autovettoe(cuve in vede), nella banda di peiodo [0.07-5] s. 75

76 5..5 Monteleone Il sito di Monteleone si tova nell aea settentionale dei Campi Flegei. L andamento, in funzione del peiodo, degli autovaloi della matice di densità spettale elativa ad una finesta tempoale della duata di dieci minuti, è mostato in Figua 5.5. Figua 5.5: Andamento in funzione del peiodo degli autovaloi della SDM elativa ad una finesta tempoale di 0 minuti (Monteleone). Te autovaloi, due dei quali con un andamento molto simile, sono pesenti al di sopa del livello di noise incoeente nell intea banda investigata. Nella Figua 5.6 sono ipotate le cuve di esistività e fase calcolate utilizzando il secondo ed il tezo autovettoe (in vede). Figua 5.6: Stima delle cuve di esistività appaente e fase calcolate utilizzando il e il autovettoe (cuve in blu) ed il e il 3 autovettoe(cuve in vede). Tale miglioamento nella stime di ρ a e φ è confemata dalla stabilità angolae dei due autovettoi utilizzati (Figua 5.7). 76

77 Figua 5.7: Diagamma polae degli autovettoi magnetici (in vede) ed elettici (in osso) della SDM, calcolati nella banda T=4.3 s, consideando quatto fineste tempoali contigue della duata di oa (Monteleone) Agnano est ed Agnano ovest All inteno della piana di Agnano, più pecisamente nell aea dell Ippodomo, sono state disposte due stazioni MT, a cica km di distanza ecipoca. Anche i dati accolti nei siti di Agnano sono stati analizzati tamite le tecniche multivaiate. In paticolae la stuttua di autovaloi della SDM è ipotata in Figua 5.8:Stuttua degli autovaloi della SDM (db), in funzione del peiodo (s), pe i siti di Agnano. In osso sono ipotati i due autovettoi dominanti. Nonostante l appaente lineaità della stuttua, nelle seie tempoali si mescolano effetti di sogente molto complessi ta loo, che non pemettono l immediata individuazione di intevalli tempoali in cui si ottengono miglioamenti nella stima dei paameti MT con l uso di divesi autovettoi. 77

78 Figua 5.8:Stuttua degli autovaloi della SDM (db), in funzione del peiodo (s), pe i siti di Agnano. In osso sono ipotati i due autovettoi dominanti. Come fatto pe il sondaggio di Cane Pak dividiamo l intea acquisizione in fineste di un oa, al fine di individuae un intevallo tempoale e/o un ange di fequenze in cui la dimensione di coeenza è pai a due, come mostato in Figua 5.9. Figua 5.9 :Numeo di autovaloi dominanti della SDM elativa ad ognuno degli intevalli tempoale della duata di un oa, funzione del peiodo e del tempo. Anche in questo caso, come accaduto pe il sondaggio di Cane Pak, tale intevallo esiste ed è coincidente con la fascia oaia nottuna in cui il sevizio metopolitano locale è femo. Le elative cuve di esistività e fase stimate utilizzando i pimi due autovettoi sono mostate nella figua successiva. Figua 5.30: Cuve di esistività e fase stimate utilizzando i pimi due autovettoi della matice di densità spettale. 78

79 Nonostante l applicazione ai dati speimentali di un potocollo unico pe l individuazione di contibuti d onda piana e contibuti di campo vicino isulta molto complessa è stato comunque possibile effettuae dei miglioamenti nella stima delle cuve di esistività e fase. Pe iuscie a delineae le caatteistiche del segnale elettomagnetico nell aea flegea e le loo conseguenze sulle stime MT è stato necessaio un alto gado di attenzione ed intevento, sito pe sito e cuva pe cuva. 79

80 6 Modelli pe i Campi Flegei Come già accennato nel capitolo pecedente i Campi Flegei appesentano un aea in cui sono pesenti una seie di complicazioni sia teoiche che patiche. Ai complessi effetti di sogente dovuti all elevata ubanizzazione della zona, si sommano, infatti, i poblemi deivanti dal caattee fotemente 3D delle stuttue geologiche da analizzae. E abbastanza chiao che in questo contesto una modellazione dei Campi Flegei non è cosa semplice. Pima di pocedee, quindi, con l invesione dei dati speimentali, analizzati in dettaglio nella sezione 5., sono state sviluppate una seie di simulazioni numeiche pe veificae teoicamente la isposta elettomagnetica dell aea. 6. Modelling 3D Innanzitutto veifichiamo la capacità del metodo magnetotelluico di ilevae un oggetto conduttivo contenuto in un host genealmente esistivo e pazialmente icopeto da uno stato di mae, al fine di pote individuae un eventuale camea magmatica sommesa nell aea dei Campi Flegei. L algoitmo pesentato nella sezione 4., può essee applicato alla modellazione dei campi elettomagnetici in pesenza di stuttue dotate di simmetia D e 3D. in questo ultimo caso, nella patica si considea un host D in cui viene alloggiata una pate 3D. I valoi delle componenti tangenziali del campo magnetico ai bodi del 3D veo e popio vengono imposti, come condizioni al contono, utilizzando i valoi dei campi povenienti dal modelling della stuttua D. questo equivale sostanzialmente ad assegnae a pioi il campo di coenti egionali sia latealmente che veticalmente. Date queste condizioni al contono, ogni slice veticale del modello 3D viene tattata come pate intena di un modello D a scala più ampia. Se si ha l accotezza di costuie un modello in cui il bodo della pate 3D isulti sufficientemente lontano dalle anomalie e sei modelli D sono simili pe ogni slice, alloa le condizioni al contono saanno sufficientemente smooth egli eoi nella soluzione saanno idotti. Consideiamo il seguente modello: una camea magmatica 3D (Figua 6.), assimilata ad un paallelepipedo di km 3 con esistività di Ω m, è inseita in un host occioso omogeneo, con esistività pai a 500 Ω m in contatto lateale con uno stato d acqua di mae pofondo 50 m e con esistività pai a 0.5 Ω m. 80

81 Il top della camea, che è collocata in modo da giacee pazialmente sotto lo stato di mae, si tova a 5 km di pofondità. Figua 6.: Modello 3D che simula l aea vulcanica dei Campi Flegei, nel piano al livello del mae (iquado in alto a sinista) e ad una pofondità di 5 km (iquado in basso a sinista), nel piano z (iquado in alto a desta) e nel piano z (iquado in basso a desta). Si può notae le vaiazione che subiscono le cuve di esistività appaente, elative ai modi TE e TM, nei due casi ( con camea magmatica e senza). I ami iniziali di entambi i modi in entambi i casi, coincidono, come atteso, con la esistività dell host pai a 500 Ω m. Il metodo MT è quindi in gado di ilevae un oggetto conduttivo contenuto in un host genealmente esistivo e icopeto da uno stato di mae. 8

82 Figua 6.: Cuve di esistività appaente e fase pe sondaggi sintetici effettuati lungo la costa (iquado in alto) elativi al modello di Figua 6.. Sono ipotati i modi TE (in osso) e TM (in blu) pe un modello con (linee continue) e senza (linee tatteggiate) camea. 6. Invesione D dei dati sintetici Utilizziamo il codice di invesione di Mackie e Rodi (sezione 4.5) pe modellae i dati sintetici lungo un pofilo di cica 0 km, costituito da 6 sondaggi MT e posizionato paallelamente alla costa come mostato in Figua 6.3. Figua 6.3:Pofilo MT, costituito da sei sondaggi, invetito con il codice D di Mackie&Rodi. 8

83 Come input sono stati consideati i modi TE e TM della esistività appaente e della fase. I modelli ottenuti sono mostati in Figua 6.4. Figua 6.4:Sezione di esistività (in scala logaitmica) in funzione della pofondità (in m) ottenuta tamite l invesione D di Mackie e Rodi. I tiangoli appesentano i punti sondaggio. Pe i te modelli il paameto di egolaizzazione, τ (sezione 4.5), ha un valoe pai a 30. Il misfit elativo a questa invesione è stato sufficientemente basso pe il modo TM, con un valoe pai a 3.5, indicando un buon fitting dei dati sintetici. Pe il modo TE e pe i modi TE e TM congiunti, l.m.s è, ispettivamente, pai a 9.3 e a 7.7. Va specificato che pe gli eoi è stato utilizzato un livello standad del 0% dei valoi pe la esistività appaente e di cica 0 sulla fase. Il modello ottenuto dall invesione TM ileva (Figua 6.4) un conduttoe a pofondità compesa ta i 5 e i 0 km ma dislocato nel piano ispetto alla linea dei sondaggi. Pe isolvee più in dettaglio il poblema, è stato aumentato il numeo di vincoli consideando una pofilo lungo più di 5 km, costituito da 7 sondaggi (Figua 6.5). Figua 6.5: Pofilo MT lungo cica 5 km, costituito da diciassette sondaggi, e posizionato paallelamente alla costa. 83

84 Questa volta sono stati invetiti insieme il modo TM e quello TE. Il modello ottenuto (Figua 6.6) ha una isoluzione miglioe ispetto a quello di Figua 6.4: è possibile identificae un conduttoe ad una pofondità che va di 5 ai 0 km e pefettamente posizionato sotto la linea dei sondaggi nel piano in pieno accodo con il modello mostato in Figua 6.. Figua 6.6: Sezione di esistività (in scala logaitmica) in funzione della pofondità (in km) ottenuta tamite l invesione del modo congiunto TM+TE. I tiangoli appesentano i 7 punti sondaggio. Il paameto di egolaizzazione τ è uguale a 0, mente l.m.s. estemamente basso, pai a.8, confema il buon fitting dei dati sintetici. 6.3 Invesione D dei dati speimentali. Il pofilo MT (Figua 6.7) individuato pe ottenee infomazioni sull immagine stuttuale dell aea flegea, si svolge paallelamente alla costa e agguppa cinque siti di misua: Cane Pak, via Cofanaa, Astoni, Agnano Est ed Agnano Ovest. Figua 6.7: Mappa dei siti del pofilo MT da invetie Ad esclusione di via Cofanaa, dove non sono stati effettuati sondaggi magnetotelluici, ma solo due sondaggi a sogente contollata (CSAMT), gli alti siti sono stati analizzati in dettaglio nella sezione 5.. Vengono ipotate di seguito le cuve di esistività e fase elative al pofilo di Figua

85 Figua 6.8:Cuve di esistività appaente e fase elative al pofilo MT mostato in Figua 6.7. Va sottolineato che il ange di peiodo investigato non è lo stesso pe tutti i punti del pofilo. 85

86 Figua 6.8:Cuve di esistività appaente e fase elative al pofilo MT mostato in Figua 6.7. Sezioni di esistività in funzione della pofondità ottenute tamite l invesione D di Mackie del modo TM, pe divesi valoi di τ e di ρ0. 86

87 Come nel caso sintetico, pe modellae i dati speimentali è stato utilizzato il codice di invesione di Mackie&Rodi. Come dati di input usiamo il modo TM della esistività appaente e della fase. La scelta di invetie solo questo modo vete sul fatto che in pesenza di dati elativi a stuttue 3D (come nel caso dei Campi Flegei) invetiti con codici D il modo TM fonisce isultati miglioi [Siipunvaapon et al., 005]. Pe gli eoi è stato consideato un livello standad del 0% dei valoi di esistività appaente e di 0 sulla fase. Nella Figua 6.9 sono mostati i isultati dell invesione pe divesi valoi della esistività appaente iniziale, ρ 0 e del paameto di tade-off. Pe la compaazione dei vai modelli le pofondità sono state tagliate a 3 chilometi. Inolte l ampia escusione della scala logaitmica di esistività, che cope cinque odini di gandezza non pemette la miglioe visualizzazione delle sezioni ottenute. Pe deteminae un appopiato valoe di τ e pe selezionae, quindi, un modello, ta quelli mostati in Figua 6.9, che meglio fitta i dati speimentali, plottiamo Ф d in funzione di Ф m al vaiae di τ (i cui valoi sono indicati in Figua 6.0) e di ρ 0 (appesentati in figua da diffeenti coloi). Figua : Pe deteminae un valoe ottimale del paameto τ viene plottata la funzione di misfit, Φ d, in funzione di Φ m al vaiae di τ e di ρ 0. Le sezioni caatteizzate da (τ=0. ; ρ 0 =0Ωm), (τ=0. ; ρ 0 =Ωm) e (τ= ; ρ 0 =0Ωm) sono quelle pe cui si ottengono valoi del misfit più bassi. Ad ulteioe confema gafichiamo (Figua 6.) pe diffeenti valoi di esistività iniziale (indicati nella figua con divesi coloi) l.m.s. in funzione del paameto di egolaizzazione τ. 87

88 Figua 6.: Plot semilogaitmico del misfit in funzione del paameto di tade-off τ, al vaiae della esistività iniziale ρ 0 (appesentati da diffeenti coloi). I valoi di misfit più bassi, anche in queso plot, coincidono con i modelli ottenuti con (τ=0. ; ρ 0 =0Ωm) e (τ=0. ; ρ 0 =Ωm). Ta i due modelli scegliamo quello caatteizzato dalla pima coppia (τ; ρ 0 ). Restingendo la scala logaitmica di esistività ed estendendo la pofondità fino a 0 km si ottiene la sezione di esistività mostata in Figua 6.. Emege in tale modello, nella zona ta Cane Pak e via Cofanaa, una stuttua più conduttiva ta i te e i cinque chilometi. Un ulteioe stato conduttivo più supeficiale si evidenzia, ad est, ta uno e te chilometi di pofondità. Più supeficialmente affioano stuttue con esistività più elevata. Una volta fissati i valoi di τ e di ρ 0, consideiamo il modello di Figua 6. quello che fitta meglio il dataset speimentale, ma come accennato nella sezione 4.5, essendo il poblema inveso MT ill-posed alti modelli D possono essee consistenti con i dati. Pe esploae questo aspetto, calcoliamo la Matice di Sensitività S elativa al modello di Figua

89 Figua 6.: Sezione di esistività (in scala logaitmica) in funzione della pofondità, elativa al modello con τ=0. e ρ 0 =0Ωm. La Figua 6.3 mosta uno schema pe la Matice di Sensitività, nel caso MT: ogni colonna contiene le deivate paziali di tutti i dati, (logρ atm, logρ ate, φ TM, φ TE ) pe ogni sito e pe ogni peiodo, ispetto ad un peciso paameto del modello mente ogni iga appesenta la deivate paziale di un singolo dato ispetto a tutti i paameti del modello (la conducibilità di ogni singola cella). Figua 6.3 Schema della matice di sensitività nel caso MT. Le colonne sono elative allo spazio dei dati ed hanno N elementi (N=# siti # peiodi (np) 4 tipi di dato (logρate, logρatm, φte, φtm)). Le ighe contengono i vettoi costituiti dai paameti del modello, logρj, j=,..,m. 89

90 In geneale, il temine sensitività è inteso come l influenza che hanno sui dati piccole vaiazioni dei paameti dei modelli. Anche se il calcolo di S costituisce la pate più dispendiosa di un invesione MT, la sua analisi isulta indispensabile pe capie quali paameti del modello sono meno isolti dai dati, in modo da escludeli dall intepetazione. Nella figua 6.4 mostiamo il compotamento di S pe τ e di ρ 0 scelti. La sensitività, decesce apidamente con la pofondità ed i valoi delle isolinee della matice mostano che le stuttue fino a 5 km di pofondità sono ben isolte dall invesione dei dati MT [Schwalenbeg et al., 00]. Figua 6.4: Matice di sensitività elativa al modello mostato in figua 6.. I modelli pesentati sono evidentemente essenziali e non hanno alcuna petesa di icostuzione compiuta delle stuttue sepolte. Esse possono, comunque, essee utilizzate pe una pima identificazione delle caatteistiche elettomagnetiche dell aea flegea. 90