Si consideri il modello di interazione domanda offerta per un dato bene

Transcript

1 Cpitolo 1 Il controllo controreione 1.1 Introduione Si consideri il modello di interione domnd offert per un dto bene d esempio il grno) presentto in ppendice e si suppong che si possibile, durnte il periodo k, decidere l quntità uk) di bene che si desider esportre o importre se uk) ssume vlori negtivi). Tle quntità ndrà ovvimente sottrrsi ll quntità qk + 1) di bene disponibile nel periodo k + 1. L equione che regol l dinmic del preo pk) srà llor pk + 1) = b pk) + D Q + 1 uk) 1.1) Medinte il controllo uk) è possibile modificre il comportmento del sistem. Ad esempio è possibile scegliere uk) in mnier tle d modificre il vlore del preo di equilibrio e portrlo d un vlore desiderto p. A tle scopo bst scegliere uk) = p + b) D + Q 1.2) Sostituendo inftti l legge di controllo 1.2) nell 1.1) si ottiene l nuov equione lle differene che regol l dinmic del preo pk + 1) = b pk) + p + b) 1.3) L soluione dell equione 1.3) è pk) = ) b k p0) + 1 b ) ) k p per k 0 3

2 4 CAPITOLO 1. CONTROREAZIONE p* Legge di controllo uk) Sistem d controllre pk) Figur 1.1: Schem di controllo ciclo perto e, se b <, il preo pk) tenderà l crescere di k l vlore di equilibrio p. Quest legge di controllo viene dett d ione dirett o ciclo perto) in qunto non dipende dl vlore del preo pk) e viene genert, sull bse dell conoscen del vlore dei prmetri del sistem e del vlore desiderto p, d un processo esterno l sistem d controllre, come mostrto in figur 1.1 Medinte leggi di questo tipo non è però possibile, d esempio, modificre l velocità di convergen l vlore di equilibrio. Non è quindi possibile stbilire un sistem instbile, cioè un sistem per cui b >. Inoltre, un legge di controllo di questo tipo funion solo se si conosce con estte il vlore di tutti i prmetri del sistem e se questi rimngono effettivmente costnti l pssre del tempo. Per esempio, nel cso dell dinmic dell interione domnd offert, si conosce con bbstn precisione il vlore dei prmetri e b mentre si conosce solo con grnde pprossimione il vlore dei prmetri D e Q. Si suppong quindi di conoscere delle stime D e Q dei vlori di D e Q e di utilire tli stime nell legge di controllo 1.2). L equione lle differene che regol l dinmic del preo divent llor pk + 1) = b pk) + p + b) + D Q D + Q ed il nuovo vlore di equilibrio p e srà p e = p + D D + b Q Q + b p Se si sceglie invece un legge di controllo che teng conto del vlore del preo pk) llor è possibile modificre si il vlore del preo di equilibrio che l velocità di convergen. Si scelg d esempio uk) = b pk) + p D + Q 1.4) Sostituendo l legge di controllo 1.4) nell 1.1) si ottiene l nuov equione lle differene che regol l dinmic del preo pk + 1) = p

3 1.1. INTRODUZIONE 5 p* Legge di controllo uk) Sistem d controllre pk) Figur 1.2: Schem di controllo ciclo chiuso l cui soluione è bnlmente pk) = p per k > 0 Tle legge di controllo viene dett controreione o ciclo chiuso) in qunto dipende dl vlore del preo pk) e viene genert si sull bse dell conoscen dei prmetri del sistem e del vlore desiderto p che del vlore ttule dell uscit pk) del sistem che si vuole controllre, come mostrto in figur 1.2 Medinte leggi di questo tipo è quindi possibile stbilire un sistem instbile, cioè un sistem per cui b >. Purtroppo, nche in questo cso, è possibile implementre con successo l legge di controllo 1.4) solo se si conoscono con estte tutti i vlori dei prmetri del sistem. Se inftti si utilino delle stime D e Q dei vlori di D e Q nell legge di controllo 1.4), si ottiene pk + 1) = p + D D Q Q p Per ovvire questo problem si può rgionre come segue. Supponimo di pplicre ll istnte k un dt legge di controllo uk) ncor d definire). Possimo llor ricvre il vlore dei prmetri non noti del sistem dll misur di pk+1) e di pk) e dl vlore di uk). In prticolre, dll equione 1.1) ricvimo D Q = pk + 1) + b pk) uk) 1.5) Possimo dunque utilire, l psso successivo, tle vlore nell leggi di controllo 1.2) o 1.4) ottenendo rispettivmente: e uk + 1) = p + b) pk + 1) b pk) + uk) 1.6) uk + 1) = b pk + 1) + p pk + 1) b pk) + uk) 1.7) Le equioni 1.6) e 1.7) possono quindi essere riscritte nel seguente modo: uk + 1) = uk) + ek + 1) + b ek) 1.8)

4 6 CAPITOLO 1. CONTROREAZIONE p* + ek) { Sistem di controllo uk) Sistem d controllre pk) Figur 1.3: Schem di controllo ciclo chiuso con errore in ingresso uk + 1) = uk) + b) ek + 1) + b ek) 1.9) dove ek) = p pk) è l errore tr il vlore desiderto ed il vlore del preo nel periodo k. Si noti che le equioni 1.8) e 1.9) sono equioni lle differene. Le leggi di controllo uk) sono quindi generte d un sistem dinmico del primo ordine il cui ingresso è l errore ek). Tli leggi non richiedono l conoscen del vlore dei prmetri D e Q e sono tli, come vedremo, d portre il preo pk) l nuovo vlore di equilibrio p. Le due leggi hnno però crtteristiche totlmente diverse come si mostrerà nel seguito. Lo schem di controllo corrispondente lle leggi di controllo 1.8) e 1.9) è mostrto in figur 1.3. Tle schem è lo schem di controllo controreione clssico ed è un prticolriione dello schem di controllo controreione mostrto in figur 1.2. Vedimo or come si comport il sistem ciclo chiuso qundo si pplic l legge di controllo 1.8). Fcendo l trsformt di mbo i membri dell 1.8) si h U) u0) = U) + E) e0) + b E) Posto p0) = 0 e quindi e0) = p e u0) = p si h U) = + b E) 1.10) 1 Lo schem di controllo con le funioni di trsferimento è mostrto in figur 1.4 dove dk) = D Q, k. Dllo schem è fcile clcolre P ): P ) = 1 Z p ) b ) Z dk)) = 1 1 p b D Q

5 1.1. INTRODUZIONE 7 p* + ek) + b { { uk) dk) { { b pk) Figur 1.4: Schem di controllo ciclo chiuso con legge di controllo 1.8) Antitrsformndo, si ottiene 1 pk) = p + D Q b ) k 1 per k > 0 d cui si vede che, se b <, il preo pk) tenderà l crescere di k l vlore di equilibrio p. Lo stesso risultto si può ottenere medinte il clcolo dell rppresentione esplicit del sistem in controreione composto dll 1.1) e dll 1.8), come mostrto nell eserciio Vedimo or come si comport il sistem ciclo chiuso qundo si pplic l legge di controllo 1.9). Fcendo l trsformt di mbo i membri dell 1.9) posto e0) = p e u0) = b)p ) si h d cui U) u0) = U) + b) E) + b E) U) = b) + b 1 E) 1.11) Lo schem di controllo con le funioni di trsferimento è mostrto in figur 1.5. Dllo schem è fcile clcolre P ): P ) = ) 1 b + b Z p )+ 1 Z dk)) = 2 2 ) 1 b + b 2 1 p + D Q 1 Per ntitrsformre si noti che Z 1 [P )] = = p Z 1 [ 1 ] 1 + D Q Z 1 [ 1 + b ] = p δ 1 k 1)+ D Q b ) k 1 δ 1 k 1)

6 8 CAPITOLO 1. CONTROREAZIONE p* + ek) { { b) + b { 1 uk) 1 + dk) b { pk) Figur 1.5: Schem di controllo ciclo chiuso con legge di controllo 1.9) Antitrsformndo, si ottiene 2 p1) = 1 b ) p + D Q e pk) = p per k > 1 Lo stesso risultto si può ottenere medinte il clcolo dell rppresentione esplicit del sistem in controreione composto dll 1.1) e dll 1.9), come mostrto nell eserciio Si noti che mentre nel primo cso si ottiene l convergen sintotic di pk) p, cioè bisogn spettre un tempo infinito ffinché pk) = p, nel secondo cso pk) = p prtire d k = 2 nche nel cso in cui b >, cioè si h un tempo finito di rispost. L figur 1.6 mostr ppunto l ndmento del preo pk) qundo si pplichino le leggi di controllo 1.8) e 1.9). È importnte inoltre notre come lo schem controreione si per costruione cpce di regire disturbi non modellti che giscno sul sistem. Si consideri, per esempio, il cso in cui cus di imprevisti per esempio un grndint che rovin i rccolti) l quntità di grno prodott si minore di quell previst e quindi pk + 1) = b pk) + D Q + 1 uk) + 1 wk) dove wk) rppresent ppunto l quntità di bene ndt rovint. Se wk) = W = cost k, llor il preo tenderà comunque l vlore di riferimento p. Per verificre ciò, si noti che l equione precedente può essere riscritt come pk + 1) = b pk) + D Q + 1 uk) 2 Per ntitrsformre si noti che Z 1 [P )] = p 1 b ) [ 1 Z 1 1 ] + p b [ ] 1 Z D Q [ ] 1 Z 1 = 1 = p 1 b ) δ 1 k 1) + p b δ 1k 2) + D Q δk 1)

7 1.1. INTRODUZIONE 9 p * 0 p * Figur 1.6: Andmento del preo pk) per le leggi di controllo 1.9) lto) e 1.8) bsso) qundo D Q = 2p, = 1.7 e b = 1.1. con D = D + W, e che le leggi di controllo 1.8) e 1.9), non dipendendo dl vlore del prmetro D, funionno correttmente nche qundo si sostituisc D D nell equione 1.1). Quest proprietà viene dett reieione dei disturbi. Si noti infine come lo schem continui funionre nche se il vlore dei prmetri del sistem utiliti nell legge di controllo differisc d quello rele o se il vlore dei prmetri del sistem cmbi con il pssre del tempo. A tle scopo si consideri per esempio il cso in cui il sistem di prten si instbile, cioè il cso b > e non si conosc con precisione il vlore del prmetro o perchè non è possibile stimre con precisione tle prmetro o perchè il vlore del prmetro è cmbito rispetto ll stim ftt qundo si è progettto il controllore). Si sostituisc llor nell 1.11) d il vlore dove rppresent ppunto l incerte con cui si conosce il prmetro: si h llor b) + b U) = E) 1 Con tle legge di controllo si ottiene P ) = b) + b 2 Z p ) + 1) 2 Z dk)) e di conseguen, per k > 0, si h 3 pk) = p p b ) k ) k 1 p b + D Q ) k 1 3 Per ntitrsformre si teng presente che medinte lo sviluppo in frioni prili si

8 10 CAPITOLO 1. CONTROREAZIONE Il sistem ciclo chiuso srà comunque stbile ed il preo pk) tenderà l vlore di riferimento p fintnto che / < 1, cioè fintnto che <. Sono mmesse quindi vriioni di del 100%! Quest proprietà viene dett desensibiliione lle vriioni prmetriche. L discussione precedente mette in eviden come, in generle, si fondmentle cpire in che modo progettre controllori in grdo di grntire determinte proprietà per il sistem ciclo chiuso. L prim proprietà che il controllore deve necessrimente grntire è l stbilità sintotic del sistem ciclo chiuso. Tle proprietà corrisponde l ftto che l effetto di perturbioni sul sistem tende d estinguersi l pssre del tempo un volt terminte tli perturbioni ed è verifict se e solo se tutti gli utovlori dell mtrice dinmic del sistem ciclo chiuso sono interni l cerchio unitrio. Come mostrto nell esempio precedente, tle proprietà può essere verifict, sen dover clcolre gli utovlori, usndo il criterio di Schur Cohn. Nel seguito si mostrerà inoltre un metodo, detto il luogo delle rdici, che permette di grficre l ndmento degli utovlori l vrire di un prmetro del sistem per esempio un prmetro del controllore che si vuole progettre) e si studierà come utilire tle metodo per grntire l stbilità del sistem ciclo chiuso. Un ltr proprietà che il controllore deve grntire è quell che usulmente viene dett fedeltà di rispost. Quest proprietà corrisponde l ftto che si vuole progettre un controllore tle che l rispost del sistem ciclo chiuso tend seguire un ndmento prefissto dto come ingresso l sistem. Ad esempio, nell esempio precedente, si volev che l uscit pk) del sistem tendesse ll costnte p in generle però, il vlore desiderto può essere un generic funione del tempo). Tle proprietà viene solitmente nlit gurdndo due diverse crtteristiche dell rispost del sistem: l prim è l errore regime permnente che misur lo scostmento tr l rispost del sistem regime e l ndmento desiderto; l second è l errore in regime trnsitorio che ci dice in che modo l rispost del sistem tend quell desidert. Ad esempio, i controllori 1.8) e 1.9) producono un errore regime permnente nullo m, come mostrto in figur 1.6, un errore trnsitorio totlmente differente. Nel seguito si studierà, medinte metodi detti di sintesi dirett, come progettre controllori che permettno di inseguire riferimenti stndrd con errore regime nullo e come grntire certe ottiene 1 2 = 1 1) ) =

9 1.2. STABILITÀ 11 proprietà dell errore in trnsitorio. Ad esempio si studierà come grntire un tempo di rispost finito. Come mostrto nell esempio precedente, il controllore deve inoltre grntire che il sistem ciclo chiuso si il più possibile insensibile possibili disturbi reieione dei disturbi) e vriioni dei prmetri del sistem insensibilità lle vriioni prmetriche). Tli proprietà denotno l robuste del sistem ciclo chiuso. Nel seguito si mostrerà come nlire l sensibilità del sistem ciclo chiuso i disturbi ed lle vriioni prmetriche e come progettre controllori che rendno il sistem il più possibile robusto. Infine si studierà l possibilità di effetture un retroione dllo stto invece che dll uscit e si mostrerà come questo è possibile nche qundo non si h disposiione un misur dirett dello stto e cos si possibile ottenere con questo tipo di retroione. 1.2 Stbilità Com è noto, un sistem linere tempo discreto è internmente sintoticmente stbile se e solo se tutte le rdici del polinomio crtteristico dell mtrice dinmic del sistem sono interne l cerchio di rggio unitrio. Inoltre, un sistem linere tempo discreto è esternmente stbile nello stto ero se e solo se tutte le rdici del denomintore dell funione di trsferimento del sistem sono interne l cerchio di rggio unitrio. È quindi importnte vere un criterio che ci permett di dire se tutte le rdici di un ssegnto polinomio sono interne l cerchio di rggio unitrio, sen dover clcolre esplicitmente tli rdici. Ricordimo qui brevemente il criterio di Schur Cohn. Dto un polinomio di grdo n p) = 0 n + 1 n n 1 + n

10 12 CAPITOLO 1. CONTROREAZIONE con 0 > 0, il criterio richiede l costruione dell seguente tbell: dove b k = n n n 1 n 2 n b 0 b 1 b 2... b n 1 b n 1 b n 2 b n 3... b 0 c 0 c 1... c n 2 c n 2 c n 3... c 0 g 0 g 1 g 1 g 0 h 0 n n k k., c k = b 0 b n 1 b n 1 k b k,... Le condiioni necessrie e sufficienti ffinché tutte le rdici del polinomio p) sino interne l cerchio di rggio unitrio sono llor le seguenti b 0 > 0, c 0 > 0,..., g 0 > 0, h 0 > 0 Se il polinomio è di secondo grdo, llor le precedenti condiioni si riducono lle ben note condiioni necessrie e sufficienti vlide ppunto solo per polinomi di secondo grdo) p1) > 0, p 1) > 0, 0 2 > 0 Si noti infine che è nche possibile utilire il criterio di Routh. Inftti, tutte le rdici di p) sono interne l cerchio di rggio unitrio se tutte le rdici del polinomio p s) = p) = s+1 s 1 sono prte rele negtiv. 1.3 Fedeltà di rispost Nel seguito considereremo schemi di controllo controreione del tipo riportto in figur 1.7 dove P ) è l funione di trsferimento del sistem d controllre 4 ; 4 L uso di P ) deriv dll inglese process.

11 1.3. FEDELTÀ DI RISPOSTA 13 rk) + { G) uk) P) yk) 1/K Figur 1.7: Schem retroione uk) e yk) sono, rispettivmente, l ingresso e l uscit del sistem d controllre; G) è l funione di trsferimento del controllore d progettre 5 ; K è l costnte di proporionlità tr il riferimento rk) in ingresso l sistem ciclo chiuso e l ndmento desiderto y d k) che si vuole si seguito dll uscit yk): y d k) = K rk) ek) è l errore tr il vlore desiderto per l uscit e l uscit stess: ek) = y d k) yk) = Krk) yk) Indicheremo inoltre con F ) l funione di trsferimento del sistem ciclo perto, cioè F ) = P ) G) e con W ) l funione di trsferimento del sistem ciclo chiuso, cioè l funione di trsferimento tr il riferimento in ingresso rk) e l uscit yk) che si vuole controllre: W ) = F ) 1 + F ) K = K F ) K 1 + F ) K L espressione di W ) mette in eviden come lo schem di controllo retroione di figur 1.7 si equivlente, dl punto di vist ingresso-uscit, llo schem controreione unitri di figur 1.8. L costnte 1/K nel rmo di reione tiene conto del ftto che, solitmente nel controllo di sistemi meccnici, termici, etc..., l uscit viene misurt 5 L uso di G) deriv dll inglese governor.

12 14 CAPITOLO 1. CONTROREAZIONE rk) K y d k) + { ek) 1K G) uk) P) yk) Figur 1.8: Schem equivlente medinte un pposito dispositivo che trduce il vlore dell uscit velocità, tempertur, etc...) in un vlore di tensione o di corrente. Nei sistemi economici e gestionli che verrnno considerti nel seguito, l uscit rppresent invece un quntità di beni o servii, prei, etc..., e viene direttmente misurt sen bisogno di un trsduttore di misur. Quindi nel seguito, meno di csi prticolri, ssumeremo K = 1 e, l posto degli schemi nelle figure 1.7 e 1.8, fremo riferimento llo schem controreione unitri mostrto in figur 1.9: per cui y d k) + ek) { G) uk) P) yk) Figur 1.9: Schem retroione unitri W ) = F ) 1 + F ) 1.12) Come ccennto precedentemente, l fedeltà di rispost di un sistem, cioè l precisione con cui il sistem di controllo è in grdo di fr inseguire ll uscit yk) il vlore desiderto y d k), viene misurt in bse due crtteristiche principli: l errore regime permnente e l errore in regime trnsitorio. Il primo misur qunto l uscit del sistem regime si discosti dll ndmento regime desiderto, il secondo è un misur dell modlità con cui l uscit del sistem tende quell regime.

13 1.3. FEDELTÀ DI RISPOSTA Errore regime permnente per riferimenti tipici Dto un sistem controreione unitri come quello di figur 1.9, l su fedeltà di rispost regime permnente viene vlutt in bse ll errore regime permnente che il sistem produce qundo l ingresso y d k) si un sequen tipic di form polinomile di ordine 0, 1 e 2, cioè si ordine 0) un grdino, y d k) = K d δ 1 k) = { 0 se k < 0 K d se k 0 Y d ) = K d 1 si vuole quindi che l uscit si costnte e pri K d ; ordine 1) un rmp, y d k) = K d k δ 1 k) Y d ) = K d 1) 2 si vuole quindi che l uscit si un segnle con velocità costnte e pri K d ; ordine 2) un prbol, y d k) = K d kk 1) 2 δ 1 k) Y d ) = K d 1) 3 si vuole quindi che l uscit si un segnle con un ccelerione costnte e pri K d. In prticolre, un sistem si dice di ordine h se l errore in regime permnente d un ingresso tipico polinomile di ordine h è ugule d un costnte divers d ero. Un sistem si dice quindi di ordine 0 se l rispost regime permnente l grdino y d k) = K d δ 1 k) è un grdino di mpie divers d K d. Allo stesso modo, un sistem si dice di ordine 1 se l rispost regime permnente ll rmp y d k) = K d k δ 1 k) differisce dll rmp stess per un costnte non null e di ordine 2 se l rispost regime permnente ll prbol y d k) = K d kk 1) δ 2 1 k) differisce dll prbol stess per un costnte non null. Si consideri quindi un sistem retroione come quello di figur 1.9 e si y d k) = K d δ 1 k). Si ssum inoltre che il sistem ciclo chiuso si

14 16 CAPITOLO 1. CONTROREAZIONE sintoticmente stbile. L errore e 0 regime permnente può quindi essere clcolto pplicndo il teorem del vlore finle 6 : e 0 = lim k [y d k) yk)] = lim 1 1 [1 W )] Y d ) = K d 1 + F 1) ed è diverso d ero se l funione F ) non h poli in = 1. In tle cso e 0 = K d 1 + K p 1.13) dove K p = F 1) è dett costnte di posiione del sistem d nello perto. Inoltre, sempre nell ipotesi che l funione F ) non bbi poli in = 1, l errore e 1 regime permnente ll rmp y d k) = K d k δ 1 k) è K d e 1 = lim [y d k) yk)] = lim [1 W )] k 1 1 = e l errore e 2 regime permnente ll prbol y d k) = K d kk 1) 2 δ 1 k) è K d e 2 = lim [y d k) yk)] = lim [1 W )] k 1 1) = 2 Più in generle, l errore e h regime permnente d un ingresso tipico polinomile di ordine h, con h > 0, è illimitto. L errore e 0 è nullo se e solo se e l funione F ) h lmeno un polo in = 1. Considerimo quindi il cso in cui l funione F ) bbi un polo singolo in = 1. Allor e 0 = 0 e dove e 1 = lim 1 [1 W )] K d 1 = lim 1 K v = lim 1 F ) 1) K d 1 + F ) 1) = K d K v è dett costnte di velocità del sistem d nello perto. Inoltre, K d e 2 = lim [1 W )] 1 1) = 2 e, più in generle, l errore e h regime permnente d un ingresso tipico polinomile di ordine h, con h > 1, è illimitto. 6 lim k yk) = lim 1 1 Y )

15 1.3. FEDELTÀ DI RISPOSTA 17 L errore e 1 è nullo se e solo se e l funione F ) h lmeno un polo doppio in = 1. Considerimo quindi il cso in cui l funione F ) bbi un polo doppio in = 1. Allor e 0 = 0, e 1 = 0 e e 2 = lim 1 [1 W )] K d 1) 2 = lim 1 K d 1) 2 + F ) 1) 2 = K d K dove K = lim 1 F ) 1) 2 è dett costnte di ccelerione del sistem d nello perto. Inoltre, come in preceden, l errore e h regime permnente d un ingresso tipico polinomile di ordine h, con h > 2, è illimitto. L precedente discussione dimostr che il sistem ciclo chiuso di figur 1.9 è di tipo h se e solo se l funione di trsferimento F ) del sistem d nello perto h un polo di molteplicità h in = 1. Inoltre, l errore regime permnente di un sistem di tipo h d un ingresso tipico polinomile di ordine inferiore d h è nullo mentre quello d un ingresso tipico polinomile di ordine superiore d h è illimitto. L tbell che segue rissume il vlore dell errore regime permnente d ingressi tipici polinomili: Tipo di Ingresso Ingresso Ingresso sistem grdino rmp prbol K d δ 1 k) K d k δ 1 k) K d kk 1) 2 δ 1 k) 0 K d 1+K p 1 0 K d K v K d K 3, 4, In mnier del tutto equivlente si possono tbellre le costnti di posiione, velocità ed ccelerione per ogni tipo di sistem. In questo cso si h: e 0 = K d 1 + K p e 1 = K d K v e 2 = K d K

16 18 CAPITOLO 1. CONTROREAZIONE e Tipo di Costnte di Costnte di Costnte di sistem posiione velocità ccelerione K p K v K 0 finit finit 0 2 finit 3, 4, Errore in regime trnsitorio per riferimenti grdino: tempo finito di rispost L bontà del comportmento di un sistem in regime trnsitorio viene vlutt in bse ll errore in regime trnsitorio che il sistem produce qundo le condiioni iniili del sistem sono nulle e l ingresso y d k) è un grdino, y d k) = K d δ 1 k). In prticolre, l rispost yk) del sistem può essere espress come l somm dell rispost regime e di quell trnsitori cosicché per l errore si h dove yk) = ỹk) + y t k) ek) = y d k) yk) = y d k) ỹk) y t k) = e 0 δ 1 k) + e t k) e t k) = y t k) è l errore in regime trnsitorio ed e 0 0 solo se il sistem è di tipo 0. L errore in regime trnsitorio di un sistem sintoticmente stbile, ssumendo per semplicità che il sistem bbi tutti poli semplici, è e t k) = n R i=1 n I R i p k i R h p h k coskθ h + ϕ h ) h=1 dove l prim sommtori tiene conto di tutti i poli reli p i e l second delle coppie di poli complessi coniugti p h = p h e ±jθ h. Se si vuole imporre un prefisst velocità di decdimento dell errore in regime trnsitorio, llor si deve imporre che i poli del sistem ciclo chiuso

17 1.3. FEDELTÀ DI RISPOSTA 19 sino interni d un opportuno cerchio di rggio r < 1, con r tnto più piccolo qunto più rpido si desider si il decdimento. Inftti, k 0, e t k) n R +n I j=0 R j p j k n R +n I j=0 R j r k Se si sceglie r = 0, cioè si impone l mssim velocità di decdimento, llor bisogn imporre che tutti i poli del sistem ciclo chiuso sino nell origine si noti che in questo cso i poli sono coincidenti e quindi imporre tutti i poli in = 0 vuol dire necessrimente imporre che il sistem ciclo chiuso bbi un solo utovlore in = 0 di molteplicità pri lle dimensioni del sistem). In questo cso, ssumendo che il sistem ciclo chiuso si di tipo 0 e posto W ) = n W ) n 1.14) dove n W ) è un polinomio di grdo non mggiore di n, si h E t ) =E) Z {e 0 δ 1 k)} = [1 W )] Y d ) Z {e 0 δ 1 k)} = = [1 W )] K d e 0 ) 1 = K d e 0 ) n K d n W ) n Dll 1.14) e dll 1.12) segue che W 1) = n W 1) = F 1) 1 + F 1) = K p 1 + K p e quindi, tenendo conto dell espressione 1.13) di e 0, si h K d e 0 ) n K d n W ) =1 = K d K ) d K p K d = K p 1 + K p ) Quindi il numertore dell espressione in 1.15) h un rdice in = 1 e si può porre K d e 0 ) n K d n W ) = 1) n) Allor E t ) = n) n 1 d cui, ntitrsformndo, si ottiene che e t k) = 0 k n 1.16)

18 20 CAPITOLO 1. CONTROREAZIONE che mostr come l errore trnsitorio converg ero in un tempo finito. Qundo questo vviene si dice che il sistem h un tempo di rispost finito. Se il sistem è di tipo 1, 2,..., llor, tenendo conto che e 0 = 0 e n W 1) = 1, è semplice ottenere lo stesso risultto. È fcile inoltre mostrre il vicevers, cioè che un sistem con tempo finito di rispost h necessrimente tutti i poli in = 0. A tl fine si ssum che l errore trnsitorio converg ero in n pssi, cioè che vlg l 1.16). Quindi E t ) = e t 0) + e t1) + e t2) + + e tn 1) 2 n 1 dove n) è un polinomio di grdo n 1. Quindi = n) n 1 E) = E t ) + Z {e 0 δ 1 k)} = n) + e n con e 0 0 solo per sitemi di tipo 0. Poiché E) = [1 W )] Y d ) = K d [1 W )] 1 e posto W ) = n W )/d W ), uguglindo le precedenti espressioni si h K d d W ) n W ) d W ) 1 = n) + e n d cui segue che necessrimente d W ) = n. teorem: Vle quindi il seguente Teorem 1 Un sistem con funione di trsferimento W ) h tempo di rispost finito se e solo se W ) h tutti i poli coincidenti in = 0. Si noti infine che l precedente condiione ssicur nche che un sistem di tipo 1 bbi un tempo finito di rispost d ingressi rmp ed uno di tipo 2 bbi un tempo finito di rispost d ingressi prbol. 1.4 L sensibilità i disturbi I sistemi hnno spesso degli ingressi che non sono mnipolbili, cioè ingressi il cui ndmento nel tempo non è possibile modificre in qunto csule o ssegnbile solo d prte di qulcun ltro. Tli ingressi vengono generlmente chimti disturbi e possono gire in diverse prti del sistem in controreione.

19 1.4. LA ROBUSTEZZA 21 y d k) + ek) { G) uk) P) + dk) + yk) Figur 1.10: Disturbo di misur y d k) + ek) { G) dk) uk) + + P) yk) Figur 1.11: Disturbo di ttuione Fr i disturbi più frequenti ci sono i disturbi di misur che sono dovuti l procedimento o llo strumento) di misur dell uscit del sistem controllto ed giscono quindi sull uscit del sistem, come mostrto in figur Altri disturbi frequenti sono i disturbi di ttuione, cioè quei disturbi che giscono sull ingresso del sistem controllto, come mostrto in figur L ntur di questi disturbi dipende ppunto dl fenomeno che li provoc. Di solito o si ssume che il disturbo dk) si un costnte, di cui però non si conosce l mpie, o si ssume che si un sequen letori di cui però si conoscono le crtteristiche. Infine, ci possono essere disturbi che giscono sul rmo di controreione del sistem. Tli disturbi sono per esempio quelli dovuti ll quntiione, fenomeno che vedremo nel seguito. L figur 1.12 mostr quest ultimo cso. Fr i disturbi è possibile includere nche l vriioni prmetriche del sistem controllto o l inccurte del modello del sistem controllto. Per vlutre l influen dei disturbi sul funionmento del sistem nliimo l rispost del sistem qundo si presente un disturbo e y d k) si identicmente nullo. Inftti, grie ll linerità del sistem, l rispost complessiv del sistem qundo sino presenti un ingresso di riferimento y d k) ed un disturbo dk) equivle ll somm delle risposte del sistem clcolte qundo si presente il solo ingresso di riferimento, cioè dk) = 0 k, e qundo si presente il solo disturbo, cioè y d k) = 0 k.

20 22 CAPITOLO 1. CONTROREAZIONE y d k) + ek) { G) uk) P) yk) + + dk) Figur 1.12: Disturbo nel rmo di reione È quindi possibile crtterire il comportmento del sistem rispetto i disturbi nlindo l sol rispost disturbi tipici qundo il riferimento è nullo, così come ftto precedentemente per crtterire l fedeltà di rispost rispetto d ingressi di riferimento. Di solito, nel cso dei disturbi, quest crtteriione viene ftt nlindo solo l rispost regime permnente per disturbi costnti grdino). Si dice llor che un sistem è sttico sttico) rispetto d un determinto disturbo se l rispost regime permnente l disturbo costnte è divers d ero ugule ero). Considerimo il cso di disturbi di misur. L funione di trsferimento disturbo uscit è W d ) = P )G) = F ) e l rispost regime permnente ỹ d un disturbo costnte dk) = K δ 1 k) è 1 K ỹ = lim yk) = lim W d ) D) = k F 1) ed è ugule ero se e solo se l funione F ) h lmeno un polo in = 1. In tle cso il sistem è quindi sttico rispetto disturbi di misur. Se invece l funione F ) non h poli in = 1, llor ỹ = K 1 + K p 0 ed il sistem è sttico rispetto disturbi di misur. L effetto del disturbo srà però tnto più piccolo qunto più elevto è il vlore di K p. Nel cso di disturbi di ttuione si h che l funione di trsferimento disturbo uscit è P ) W d ) = 1 + P )G)

21 1.4. LA ROBUSTEZZA 23 e l rispost regime permnente ỹ d un disturbo costnte dk) = K δ 1 k) è 1 K P 1) ỹ = lim yk) = lim W d ) D) = k P 1) G1) Tle rispost è ugule ero se e solo se l funione G) h lmeno un polo in = 1. In tle cso il sistem è quindi sttico rispetto d un disturbo di ttuione. Se invece l funione G) non h poli in = 1, llor ỹ = K P 1) 1 + P 1) G1) K G1) 0 se P ) non h poli in = 1 0 se P ) h lmeno un polo in = 1 ed il sistem è sttico rispetto disturbo di ttuione. L effetto del disturbo srà però tnto più piccolo qunto più elevto è il vlore di G1). Per concludere considerimo il cso di disturbi genti sul rmo di reione. In questo cso l funione di trsferimento disturbo uscit è W d ) = P )G) 1 + P )G) = F ) 1 + F ) e l rispost regime permnente ỹ d un disturbo costnte dk) = K δ 1 k) è 1 ỹ = lim yk) = lim W d ) D) = K F 1) k F 1) Tle rispost è ugule ero se e solo se l funione F ) h uno ero in = 1. Se però così fosse, nche l rispost del sistem ciclo chiuso d un ingresso di riferimento y d k) grdino srebbe null; inftti W ) = W d ) Bisogn quindi ssumere che F ) non bbi eri in = 1. Il sistem è llor sempre sttico rispetto disturbi nel rmo di reione e K K p 0 se F ) non h poli in = K ỹ = p K 0 se F ) h lmeno un polo in = 1 L effetto del disturbo srà, nel primo cso, tnto più piccolo qunto più piccolo è il vlore di K p. Quindi, tnto più il sistem riduce l effetto dei disturbi di misur e di ttuione, tnto meno i disturbi nel rmo di reione

22 24 CAPITOLO 1. CONTROREAZIONE vengono ttenuti. Al limite, qundo il sistem è sttico rispetto disturbi di misur e di ttuione, il disturbo nel rmo di reione si trsmette inlterto in uscit. Di solito, si pone prticolre ttenione nel relire l retroione in mnier tle d rendere trscurbili i disturbi genti su di ess, e si progett poi il controllore G) in mnier tle d ttenure l effetto dei disturbi di misur e di ttuione. 1.5 L sensibilità lle vriioni dei prmetri Esempio 1 Molti circuiti elettronici nlogici, in prticolre gli mplifictori, vengono reliti usndo schemi controreione llo scopo di migliorrne le prestioni. L introduione dell controreione negli mplifictori e l su formliione viene ttribuit ll ingegnere mericno Hrold S. Blck 7, che negli nni 20 l utiliò per risolvere i problemi di stbilità del gudgno e di distorsione negli mplifictori tubi elettronici per telefoni grndi distne. L ttenuione introdott dlle linee di trsmissione nelle comunicioni telefoniche grndi distne veniv inftti compenst disponendo mplifictori detti ripetitori) intervlli regolri lungo le linee. Si vev quindi un grn numero di mplifictori in csct. L distorsione dei singoli mplifictori si sommv quindi lungo l csct fino rendere inccettbile l trsmissione dei segnli. Inoltre, poiché venivno usti tubi elettronici come elementi ttivi, il fenomeno er ggrvto dlle vriioni del gudgno dei dispositivi l pssr del tempo invecchimento). Inftti, l corrente emess d un ctodo, e quindi l trnsconduttn di un tubo elettronico, si riduce grdulmente mn mno che il ctodo, l pssre del tempo, si deterior. Lo schem fondmentle dell mplifictore controreionto è mostrto in figur 1.13 dove A è un mplifictore con un gudgno nominle pri d A 0 e con vriioni di gudgno mssime dovute effetti di tempertur o ll invecchimento oppure ll sostituione di componenti) pri A. L mplificione è quindi compres nell intervllo A 0 A A A 0 + A Il blocco di reione è un elemento pssivo resistore) ed è tle che il suo 7 H.S. Blck Stbilied Feed-Bck Amplifiers, Electricl Engineering, gennio 1934, pp , ristmpto in Proc. IEEE, vol.72, giugno 1984, pp ; H.S. Blck Inventing the negtive-feedbck mplifier, IEEE Spectrum, vol.14, pp.54-60, dicembre 1977.

23 1.5. LA ROBUSTEZZA 25 V in + { A V out V in A 0 V out Figur 1.13: Amplifictore controreionto vlore di ttenuione β poss essere considerto costnte in frequen e stbile nel tempo. Come vedremo, l proprietà fondmentle di questo schem consiste nell desensibiliione dell relione ingresso-uscit rispetto lle vriioni dei prmetri del blocco diretto. Detto A il gudgno dell mplifictore controreionto, si h che A A = 1 + βa e il suo gudgno nominle A 0 è A 0 = A βa 0 Se βa 0 1, llor A 0 1 β che mostr come l mplificione ciclo chiuso è totlmente indipendente dll mplificione ciclo perto. Quest condiione viene dett di desensibiliione totle. Più precismente si h che, se il gudgno A è soggetto d un vriione A, llor il gudgno ciclo chiuso A è soggetto su volt d un vriione A che può essere clcolt nel seguente modo: A = = A 0 + A 1 + βa 0 + A) A 0 = 1 + βa 0 A 1 + βa 0 + A)) 1 + βa 0 ) A 1 + βa 0 ) 2 A βa 0 ) ) Quindi, ) A A 0 1 βa 0 ) A A 0

24 26 CAPITOLO 1. CONTROREAZIONE e se per esempio e β = 10 3 si h A 0 = 10 6 e A = 10 5 = 10% A 0 A 0 = 10 3 e A = 10 1 = 0.01% A 0 Ponendo quindi due mplifictori controreionti in csct si ottiene l stess mplificione dell mplifictore non controreionto e l distorsione mssim si riduce dl 10% llo 0.02% dell mplificione nominle. È infine interessnte notre che, come visto precedentemente, questo schem permette di ridurre l effetto di disturbi genti sull uscit tnto più qunto mggiore è il termine 1 + βa. Per esempio, fcendo riferimento ll figur 1.14, d può modellre il segnle di uscit indesiderto dovuto ll distorsione. Inftti, l distorsione è cust principlmente delle non linerità dello stdio di uscit dell mplifictore. Si h: V out = A 1 + βa V 1 in βa d d V in + { A + + V out Figur 1.14: Amplifictore controreionto con disturbo sull uscit Considerndo i vlori dei prmetri precedenti e considerndo inoltre due mplifictori controreionti in csct si ottiene quindi che l effetto del disturbo viene ridotto comunque di tre ordini di grnde! Per desensibiliione si intende l riduione dell dipenden dell funione di trsferimento ciclo chiuso dlle vriioni dei prmetri dell funione di trsferimento ciclo perto gudgno, vlore dei poli e degli eri, ecc.) rispetto quell dell funione di trsferimento in ssen di controreione. L dipenden di un funione di trsferimento W ) d un generico prmetro p che interviene nell espressione dell funione è espress in generle

25 1.5. LA ROBUSTEZZA 27 dll cosiddett sensibilità Sp W ), definit come rpporto fr l vriione reltiv dell funione e l vriione reltiv del prmetro che l provoc: S W p ) = W )/W ) p/p = W ) p p W ) Qundo p/p 1 si utili l corrispondente definiione differenile S W p ) = W ) p p W ) Un vlore di sensibilità molto minore mggiore) dell unità indic che l funione W ) è prticmente insensibile fortemente sensibile) lle vriioni del prmetro p; si h poi sensibilità unitri se l funione è direttmente proporionle l prmetro. Dll definiione stess di sensibilità segue che se il prmetro p vri di un quntità p rispetto d un vlore nominle p 0, llor l vriione W ) dell funione di trsferimento W ) rispetto l vlore nominle W 0 ) corrispondente p = p 0, è W ) = Sp W ) ) p W p=p 0 ) 0 Ad esempio, nel cso dell mplifictore controreionto considerto precedentemente, si h A 0 S A A = 1 A 1 + βa) 2 A 1 + βa A 0 p 0 = βa e quindi, come precedentemente clcolto, ) A ) ) A 1 A = SA A = A=A0 1 + βa 0 A 0 1 βa 0 ) A se βa 0 1. Considerimo or le vriioni dell funione di trsferimento W ) di un sistem ciclo chiuso dovute un prmetro p che interviene nell espressione dell funione di trsferimento F ) del sistem ciclo perto. In questo cso, usndo il teorem dell derivione delle funioni composte, si trov che l sensibilità Sp W ) dell funione W ) rispetto tle prmetro è dt dll espressione S W p ) = W ) p p W ) W ) F ) = F ) p W ) F ) = F ) p p W ) = p F ) A 0 F ) W ) = SW F ) S F p )

26 28 CAPITOLO 1. CONTROREAZIONE dove SF W ) rppresent l sensibilità dell funione di trsferimento ciclo chiuso W ) rispetto ll funione di trsferimento ciclo perto F ) e Sp F ) quell dell funione di trsferimento F ) rispetto l prmetro p. Ricordndo che W ) = F ) 1 + F ) si h dunque: d cui S W F ) = F )) 2 F ) F ) 1 + F ) S W p ) = SF p ) 1 + F ) = F ) L sensibilità S F p ) viene dunque ridott ll umentre del fttore 1 + F ). Il cso limite è evidentemente quello, considerto nel precedente esempio, dell desensibiliione totle. Questo vviene qundo, grie un vlore molto lto del fttore 1 + F ), cioè qundo F ) 1 l sensibilità dell funione di trsferimento ciclo chiuso rispetto i prmetri dell funione di trsferimento ciclo perto divent trscurbile. In questo cso, gli scostmenti reltivi dell funione di trsferimento ciclo perto non producono scostmenti reltivi pprebili dell funione di trsferimento ciclo chiuso. Si noti come SF W ) coincid con l funione di trsferimento di un disturbo gente sull uscit del sistem ciclo perto. Quindi, tnto più si riduce l sensibilità i disturbi genti sull uscit del sistem ciclo perto, tnto più si riduce l sensibilità dell funione di trsferimento ciclo chiuso rispetto quell ciclo perto. In prticolre, l sensibilità dell rispost regime permnente di un sistem ciclo chiuso d un ingresso grdino unitrio y d k) = δ 1 k), cioè W 1), rispetto vriioni dell funione di trsferimento ciclo perto è SF W 1) = K p per sistemi di tipo 0 0 per sistemi di tipo 1, 2,... ed è pri ll rispost regime permnente d un disturbo costnte di mpie unitri gente sull uscit del sistem.

27 1.6. LA QUANTIZZAZIONE 29 Inoltre, è possibile clcolre l sensibilità dell funione di trsferimento ciclo chiuso rispetto vriioni nel rmo di reione. Allo scopo si consideri lo schem di figur 1.7 e si ricordi che Si h quindi S W K ) = W ) = KF ) K + F ) F ) 2 K + F )) 2 K KF ) K + F ) = F ) K + F ) In questo cso, gli scostmenti reltivi dell costnte di retroione producono scostmenti reltivi dell funione di trsferimento ciclo chiuso dello stesso ordine di grnde. Inoltre, per K = 1 si h che SK W ) K=1 coincide con l funione di trsferimento di un disturbo gente sul rmo di reione. Quindi, così come è necessrio evitre che ci sino disturbi nel rmo di reione, così è necessrio evitre che ci sino vriioni del vlore dell reione stess. Nell mplifictore controreionto considerto nell esempio precedente, questo è possibile in qunto il rmo di reione consiste in un elemento pssivo che è possibile relire con elevt precisione e crtteristiche costnti nel tempo. Infine, per studire l sensibilità dell posiione dei poli del sistem ciclo chiuso, posiione che determin l stbilità del sistem stesso o quntomeno l velocità di decdimento dell errore trnsitorio, in funione di un prmetro dell funione di trsferimento del sistem ciclo perto, è usule utilire il luogo delle rdici, procedimento grfico che studieremo nel seguito. 1.6 L quntiione Nei modelli che si ffrontno in questo corso lo stto xk) e l uscit yk) del sistem ssumono vlori meno di csi prticolri) nel cmpo dei reli. Spesso invece queste vribili rppresentno quntità di beni che nell reltà ssumono vlori solo sugli interi. Per esempio, nei modelli struttur d età, l componente i-esim dello stto, x i k), rppresent il numero di individui del gruppo i-esimo durnte il periodo k-esimo e ssume quindi nell reltà vlore solo sugli interi positivi. L operione più semplice per risolvere questo problem, è quell di rrotondre il vlore di ogni componente dello stto xk) l vlore intero più vicino, operione che viene dett quntiione ed indict come Q[xk)].

28 30 CAPITOLO 1. CONTROREAZIONE Qundo il vlore di x i k), cioè il numero di individui del gruppo i-esimo, è elevto, llor l errore reltivo che si compie è trscurbile. Inftti cosicché l errore reltivo Q[x i k)] x i k) 0.5 Q[x i k)] x i k) x i k) 0 Qundo invece il numero di individui è bsso, llor l errore non è più trscurbile e l quntiione può produrre nel modello un comportmento sensibilmente diverso d quello del modello stesso sen quntiione. Si consideri d esempio un modello demogrfico unidimensionle in cui l vribile di stto xk) rppresent quindi il numero complessivo di individui dell popolione. In ssen di emigrione ed immigrione, l dinmic dell popolione può essere descritt dl seguente modello: xk + 1) = β + α) xk) = xk) 1.18) yk) = xk) Se = 0.8, llor lo stto del sistem converge ero l pssre del tempo, cioè l popolione tende d estinguersi. Introducendo l quntiione il modello divent: xk + 1) = Q [ xk)] 1.19) yk) = xk) L figur 1.15 mostr l evoluione dell uscit del sistem per i due modelli 1.18)-1.19) qundo x0) = Come previsto, l uscit del modello 1.18) tende ero l crescere di k, mentre, inspetttmente, l uscit del modello 1.19) si ssest d un vlore costnte pri 2. L introduione dell quntiione quindi, pur producendo vlori interi dello stto e quindi più relistici) gener un comportmento sintotico in contrddiione con il ftto che l popolione si estingue. In reltà, il modello 1.18) è vlido solo qundo il numero di individui è elevto poiché i coefficienti α e β rppresentno i coefficienti di ntlità e soprvviven medi dell popolione e non sono quindi indictivi qundo rimngono pochi individui.

29 1.7. ESERCIZI Figur 1.15: Uscit del modello 1.18) rosso) ed uscit del modello 1.19) blu). 1.7 Esercii Il sistem complessivo è descritto dlle seguenti due equioni lle differene pk + 1) = b pk) + D Q + 1 uk) uk + 1) =uk) + p pk + 1)) + b p pk)) Sostituendo nell second equione il vlore di pk + 1) dto dll prim, si ottiene uk + 1) = + b)p D Q) Il sistem complessivo può quindi essere scritto in form mtricile nel seguente modo xk + 1) =A xk) + B 1 dk) + B 2 p yk) =Cxk)

30 32 CAPITOLO 1. CONTROREAZIONE dove xk) = pk) uk) ), yk) = pk), dk) = D Q k 0 e A = b/ 1/ 0 0 Tenendo conto che ) 1, B 1 = A k = ) 0, B 2 = + b b ) k 1 b ) k ) 1, C T = 0 ) si h Ψk) = CA k = b ) k 1 b ) k 1 ) e, per k > 0, W 1 k) =CA k 1 B 1 = 1 k = 1 ) b k 1 ) b k 2 k 2 W 2 k) =CA k 1 B 2 = + b 0 k = 1 b ) k 2 k 2 Spendo che le condiioni iniili sono x0) T = p 0 p p 0 ) ) si h quindi p1) = + b p 0 + D Q + p

31 1.7. ESERCIZI 33 e, per k 2, pk) =Ψk)x0) + D Q = b ) k p [ + D Q k 1 + i=2 = + b b =p + b k W 1 i) + p i=1 k W 2 i) = i=1 b ) k 1 p p 0 )+ ) k 1 p 0 + ) k 1 D Q ) b i 1 b ) ] i 2 k + p b ) k 1 p + D Q + b b ) k 1 p 0 b i=2 + b ) k 1 + p [1 b ) i 2 = b ) ] k 1 = Il sistem complessivo è descritto dlle seguenti due equioni lle differene pk + 1) = b pk) + D Q + 1 uk) uk + 1) =uk) + b) p pk + 1)) + b p pk)) Sostituendo nell second equione il vlore di pk + 1) dto dll prim, si ottiene uk + 1) = b2 Q pk) + b )D + b uk) + p Il sistem complessivo può quindi essere scritto in form mtricile nel seguente modo dove xk) = pk) uk) e b/ 1/ A = b 2 / b/ xk + 1) =A xk) + B 1 dk) + B 2 p yk) =Cxk) ), yk) = pk), dk) = D Q ) 1, B 1 = b ) 0, B 2 = k 0 ) 1, C T = 0 )

32 34 CAPITOLO 1. CONTROREAZIONE Tenendo conto che A 2 = 0 e quindi A k = 0, k 2), si h ) b/ 1/ k = 1 Ψk) = CA k = 0 k 2 e, per k > 0, 1 k = 1 W 1 k) = CA k 1 B 1 = 1 k = 2 0 k 3 0 k = 1 W 2 k) = CA k 1 B 2 = 1 k = 2 0 k 3 Spendo che le condiioni iniili sono si h quindi e x0) T = p 0 b)p p 0 ) ) p1) = b p b)p p 0 ) + D Q pk) = p per k 2 = p b ) p + D Q