Studio di filtri a microonde in microstriscia

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1 Facoltà di gegeria Corso di laurea i gegeria delle Telecomuicazioi Studio di filtri a microode i microstriscia Laureado: Domeico artiromo Relatore: Dott. aolo urghigoli matricola: Correlatore: Dott. aolo accarelli A.A. 1/11

2 1 Strutture periodiche e filtri U filtro è ua rete due-porte che realizza delle fuzioi di trasformazioe o elaborazioe di segali posti sulla porta di igresso. Ua sua fuzioe può essere quella di elimiare determiate frequeze idesiderate permettedo ua buoa ricezioe di quelle per cui è stato progettato. Tipiche risposte i frequeza soo: passa-basso, che permette il passaggio di segali compresi tra zero ed ua frequeza di taglio superiore dipedete dal filtro stesso; passa-alto, che permette il passaggio di frequeze al di sopra di u valore di cutoff; passa-bada, che permette il passaggio di frequeze all itero di u itervallo, la cosiddetta bada passate, atteuado tutte le altre. l complemeto del filtro passa-bada è detto filtro elimia-bada, il quale atteua le frequeze rietrati i rage di valori lasciado passare le altre. U semplice esempio di struttura co proprietà filtrati è forito dalle strutture periodiche, ovvero strutture che presetao simmetria discreta di traslazioe. Ua struttura periodica cosiste ad esempio i ua liea di trasmissioe o ua guida d oda caricata ad itervalli periodici co elemeti reattivi. Queste strutture soo di iteresse per la loro applicazioe per le ode lete, ovvero quelle ode che si propagao ad ua velocità miore della velocità della luce. 1.1 Strutture periodiche Ua guida d oda o ua liea di trasmissioe caricata ad itervalli periodici co ostacoli idetici come elemeti reattivi è detta struttura periodica, essa può assumere varie forme come mostrato i figura 1.1. Spesso gli elemeti di carico soo formati da discotiuità sulla liea, ma i ogi caso vegoo modellate sempre come reattaze cocetrate. Figura 1.1: esempi di strutture periodiche, (a) stub periodici su microstriscia. (b) diaframmi periodici i guida d oda. 1

3 L iteresse i strutture di questo tipo asce da due proprietà fodametali: comportameto di passabada e arresta-bada; propagazioe di ode co velocità di fase molto miore della velocità della luce. La caratteristica di passabada cosiste ell esisteza di bade di frequeze i cui le ode si propagao lugo la struttura seza atteuazioe, metre el caso di arresta-bada le frequeze rietrati i determiate bade vegoo rigettate quidi o avviee propagazioe. La capacità di alcue strutture periodiche di supportare ode co velocità di fase molto miore della velocità della luce è di fodametale importaza per le strutture di iterazioe campo-particelle: ua buoa iterazioe tra u fascio di elettroi e u campo elettromagetico si ottiee soltato se la velocità di fase è uguale alla velocità del fascio elettroico. Siccome gli elettroi hao ua velocità o più grade del 1%, % della velocità della luce, occorre u otevole ralletameto dell oda elettromagetica Aalisi di strutture periodiche ifiite figura 1. è mostrato il circuito equivalete di ua liea ifiita caricata ad itervalli regolari. Ogi cella elemetare cosiste i ua liea di trasmissioe di lughezza d co ua suscettaza i parallelo collegata el mezzo della liea, la suscettaza b è ormalizzata all impedeza caratteristica. Cosiderado la liea ifiita come composta da ua cascata di reti due porte idetiche, si può esprimere la correte e la tesioe della cella -esima attraverso la matrice di trasmissioe ACD che forisce l uscita i fuzioe dell igresso. Quidi avremo: V A V 1 C D 1 (1.1) dove A,, C e D soo i parametri di ua cella elemetare composta da ua liea di trasmissioe d /, ua suscettaza b i parallelo e u altra sezioe di liea di lughezza d /. Figura 1.: circuito equivalete di ua liea di trasmissioe co carichi ad itervalli regolari. tratti di liea privi dei carichi presetao u impedeza caratteristica e ua costate di propagazioe k. Siccome le suscettaze soo poste i parallelo, dalla figura 1.3 si ricava la cofigurazioe della matrice ACD

4 Figura 1.3: cofigurazioe della matrice ACD per elemeti i parallelo che, el ostro caso, assume la seguete forma cos j si cos j si A 1 C D jb 1 j si cos j si cos b b b cos si j si cos b b b j si cos cos si (1.) dove kd co k costate di propagazioe della liea priva di carichi. oiché la struttura è ifiitamete luga, la tesioe e la correte all -esimo termiale differisce da tesioe e correte all +1-esimo termiale soltato per il fattore di propagazioe e d. Quidi d V 1 Ve (1.3) d e (1.4) 1 Sostituedo queste relazioi ella (1.1) si trova V A V V e d 1 1 d C D 1 1e cioè A e V d 1 d C D e 1 (1.5) l determiate della matrice si aulla d d AD e A D e C siccome AD C 1, come richiesto dalle reti reciproche, otteiamo 3 (1.6) d d 1 e A D e

5 d d e e A D Dal mometo che j, abbiamo A D b cosh d cos si (1.7) b cosh d cosh d cos d j sihd si d cos si (1.8) Siccome la parte destra è puramete reale, si possoo avere etrambi i casi e. Caso 1:,. Questo caso corrispode ad ua propagazioe o atteuata e defiisce la bada passate della struttura. La (1.8) si riduce a cos d b cos (1.9) che si risolve ricercado quado l ampiezza della parte destra della formula è miore o uguale ad uo. Caso :,. questo caso l oda o si propaga ma si atteua lugo la liea, questo defiisce la zoa di stop-bad della struttura. oiché la liea è seza perdite, la poteza o è dissipata ma viee riflessa all idietro verso l igresso. L ampiezza della (1.8) è che possiede soltato ua soluzioe defiisce la propagazioe egativa. b coshd cos si 1 (1.1) per ode che si propagao el verso positivo; Siccome le suscettaze dipedoo dalla frequeza, la liea caricata ad itervalli periodici può essere cosiderata u filtro perché preseta sia zoe di passa-bada che di stop bad. Le ode di tesioe e correte defiite dalle (1.3) e (1.4) soo dette ode di loch a causa della loro somigliaza alle ode elastiche che si propagao attraverso u reticolo cristallio periodico. Si può, quidi, defiire ache l impedeza caratteristica di ua cella elemetare, defiita come impedeza di loch, V 1 (1.11) 1 Dalla (1.5) abbiamo d A e V1 1 4

6 V da cui ricavado 1 1 e sostituedolo ella (1.11) troviamo A d e Dalla (1.6) troviamo Quidi l impedeza di loch ha due soluzioi 4 A D A D d e A A D A D 4 (1.1) che per celle simmetriche, siccome A=D sempre, la (1.1) si riduce a A 1 (1.13) Dalla (1.) si vede che è sempre immagiario. Se,, cioè el caso di passa-bada, la (1.7) mostra che cosh d A 1 e la (1.13) mostra che è reale. Se,, caso di stop-bad, la (1.7) mostra che cosh d A 1 e la (1.13) mostra che è immagiario. Ciò è simile al caso dell impedeza i ua guida d oda la quale è reale i propagazioe e immagiaria sotto cutoff Strutture periodiche chiuse Cosideriamo ua struttura periodica o ifiita chiusa su u impedeza L, i figura 1.4. Figura 1.4: struttura periodica chiusa su u impedeza L. Su ua cella elemetare arbitraria, le ode icidete e riflessa soo V V e V e j d j d (1.14) 5

7 V V e e e e (1.15) j d j d j d j d Defiedo le ode icidete e riflessa sull -esima cella i questo modo V V e (1.16) j d V j d V e (1.17) le (1.14) e (1.15) si possoo scrivere come V V V (1.18) V V (1.19) Sul carico, dove N, si ha VN V VN VN VN L N L N (1.) e quidi il coefficiete di riflessioe sul carico sarà VN L / 1 V / 1 N L (1.1) Se il circuito di ua cella elemetare è simmetrico e quidi, la (1.1) si riduce a L L (1.) er elimiare le riflessioi occorre che L, la quale è ua quatità reale per ua struttura seza perdite operate ella zoa di passa-bada. 1. troduzioe ai filtri a microode Ua rete filtrate ideale è ua rete che garatisce ua trasmissioe perfetta per tutte le frequeze comprese all itero della bada passate e u atteuazioe ifiita ella regioe di stop-bad. Queste caratteristiche ideali ella realtà o possoo essere raggiute e quidi l obiettivo durate la fase di progetto è quello di otteere ua buoa approssimazioe dei requisiti etro ua tolleraza accettabile. Alle basse frequeze, i blocchi elemetari co cui vegoo schematizzati i filtri soo 6

8 iduttori e capacità ideali, metre alle frequeze delle microode la progettazioe diveta complicata. Ciooostate, il caso dei filtri a bada stretta è particolarmete semplice dal mometo che molti elemeti presetao caratteristiche i frequeza simili a quelle di reattaze iduttive o capacitive etro ua gamma di frequeze limitata. Quidi, si può usare come modello u filtro prototipo a bassa frequeza. l filtro a microode si realizza sostituedo tutti gli iduttori e le capacità co elemeti idoei per le microode che hao simili caratteristiche i frequeza. La tecica per la sitesi del filtro a bassa frequeza che adremo a trattare è quella dell isertio loss. izialmete occorre descrivere completamete la caratteristica i frequeza fisicamete realizzabile, i seguito si passa alla realizzazioe del filtro idoeo. Tutto il lavoro ecessario per la realizzazioe del filtro è largamete alleggerito attraverso l uso di opportue trasformazioi i frequeza. Questo permette a filtri passa-alto e passa-bada di operare su bade arbitrarie e co arbitrari carichi resistivi a partire da progetti di filtri passa-basso di base. Le caratteristiche di ogi filtro vegoo modificate dalle perdite ma alle frequeze delle microode esse soo molto piccole al puto che la maggior parte dei progetti fa uso di elemeti privi di perdite rogettazioe di u filtro attraverso la tecica dell isertio loss L isertio loss permette u alto cotrollo sulle caratteristiche di ampiezza e di fase elle zoe di passa-bada e di stop-bad. E possibile valutare il ecessario trade-off per meglio soddisfare le esigeze del progetto. Ad esempio, se è importate avere u isertio loss miimo, si può utilizzare ua risposta biomiale. Limitado l atteuazioe, si può otteere ua migliore risposta i fase usado u filtro a fase lieare. Comuque, l isertio loss permette di migliorare le prestazioi i maiera semplice aumetado l ordie del filtro. Nel caso di filtri prototipo, l ordie è uguale al umero di elemeti reattivi. l metodo dell isertio loss defiisce la risposta di u filtro tramite il suo power loss ratio,, pari al rapporto tra la poteza dispoibile dalla sorgete (poteza icidete) e la poteza trasportata al carico. Se la poteza icidete è 1 i i, la poteza riflessa è assumedo che il filtro sia privo di perdite. Quidi i e la poteza trasportata al carico è 1 1 i (1.3) 1 i e 1 (1.4) L isertio loss L i d è defiito come L 1log (1.5) 7

9 quado l impedeza di carico fiale è uguale all impedeza del geeratore. geerale, l isertio loss è defiito come il rapporto tra la poteza trasportata al carico quado è coesso direttamete al geeratore e la poteza trasportata quado è iserito il filtro. l metodo dell isertio loss prevede la iiziale specifica del power loss ratio del coefficiete di riflessioe che forisce il, ovvero l ampiezza i fuzioe di, e quidi si passa alla realizzazioe di ua rete desiderato. Occorre teere presete che o si può scegliere u arbitraria perché o corrispoderebbe a essua rete fisica; le restrizioi imposte su soo coosciute come codizioi di realizzabilità fisica. er ua rete passiva, la poteza riflessa o può superare la poteza icidete e quidi ua restrizioe è che 1 (1.6) Se l impedeza ormalizzata i igresso alla rete è R jx si ha che 1 jx i 1 R 1 R 1 jx Siccome R è ua fuzioe pari perché R R X X e quidi, otteiamo che i metre X è ua fuzioe dispari perché 1 jx 1 jx R R Da questa relazioe è evidete che * * (1.7) è ua fuzioe pari e pertato deve coteere solamete poteze pari di. Qualsiasi fuzioe di impedeza a bassa frequeza, come può essere quella di ua rete composta da soli resistori, iduttori e capacitori, si può esprimere come rapporto di due poliomi i. Di cosegueza, può essere espressa come rapporto tra due poliomi. erciò assume la seguete forma 8

10 M R 1 X M N R 1 X (1.8) dove M e N soo poliomi reali e o egativi i. l power loss ratio si può esprimere come 1 4R M R X 1 1 (1.9) N L ultimo risultato ella (1.9) mostra che N deve essere u poliomio pari dal mometo che corrispode a 4R, duque si può scrivere N Q sostituiamo M co il poliomio pari il quale è u poliomio pari. Se, si può scrivere che 1 (1.3) Q Le codizioi idividuate fiora per soo codizioi ecessarie affiché la rete sia fisicamete realizzabile. Specificado il power loss ratio viee vicolato il coefficiete di riflessioe. Ci soo moltissimi modi per specificare il power loss ratio e per realizzare fisicamete ua rete sebbee molti di questi siao abbastaza complicati e quidi di scarsa utilità pratica. Le teciche largamete usate ell igegeria delle microode soo quelle che foriscoo ella bada passate sia ua risposta massimamete piatta che u ripple costate, ovvero ua Chebyshev respose. Queste caratteristiche corrispodoo a quelle del trasformatore biomiale e del trasformatore multisezioe di Chebyshev. rima di descrivere il trasformatore biomiale e il trasformatore multisezioe di Chebyshev i quarto d oda che servirao per la costruzioe del filtro massimamete piatto e del filtro di Chebyshev da cui poi ricavare il power loss ratio, facciamo ua breve itroduzioe sull adattameto delle impedeze. 1.. Adattameto delle impedeze Quado u carico è coesso ad ua liea di trasmissioe luga alcue lughezze d oda, tra il carico e la liea occorre u mezzo di adattameto per evitare delle riflessioi che aumetao la distorsioe armoica el trasferimeto del segale, riducoo la massima poteza trasportabile provocado l aumeto delle perdite. L adattameto è u aspetto fodametale dell igegeria delle microode, esso abbraccia u ampia parte del processo di progettazioe di u sistema. L idea di base è illustrata i figura 1.5, i cui è visibile ua rete di adattameto posta tra u carico ed ua liea di trasmissioe. 9