I numeri naturali 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, L insieme dei numeri naturali viene indicato col simbolo. Risulta pertanto:

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1 1 Definizione: Tr due insiemi A e B esiste un corrispondenz biunivoc qundo d ogni elemento di A corrisponde un solo elemento di B e d ogni elemento di B corrisponde un solo elemento di A. Definizione: Un insieme si dice finito se non può essere posto in corrispondenz biunivoc con un suo sottoinsieme proprio. Definizione: Due insiemi non vuoti A e B si dicono equipotenti qundo tr essi è possibile stbilire un corrispondenz biunivoc. Insiemi finiti ed equipotenti hnno lo stesso numero di elementi. Vicevers, insiemi venti lo stesso numero di elementi sono equipotenti. Agli insiemi equipotenti possimo ssocire un numero crdinle che chimimo numero nturle. Dunque, d ogni insieme finito è ssocito un numero nturle che esprime qunti sono i suoi elementi. E evidente che uno stesso numero nturle risult ssocito d un insieme finito ed tutti gli insiemi finiti che gli sono equipotenti. Definizione: Un numero nturle esprime l proprietà che hnno in comune tutti gli insiemi finiti tr loro equipotenti, cioè l loro crdinlità. Quindi d ogni insieme finito corrisponde un numero nturle che è lo stesso per tutti gli insiemi tr loro equipotenti. Nel cso dell insieme vuoto, il numero d esso ssocito è lo zero indicto col simbolo 0. A tutti gli insiemi costituiti d un solo elemento fccimo corrispondere il numero uno indicto col simbolo 1. A tutti gli insiemi costituiti d due elementi fccimo corrispondere il numero due, indicto col simbolo. Considerndo poi gli insiemi che si ottengono ggiungendo sempre un elemento ottenimo l successione dei numeri nturli: 0,1,,,4,5,6,7,8,9,10,11,1, L insieme dei numeri nturli viene indicto col simbolo. Risult pertnto: 0,1,,,4,5,6,7,8,9,10,11,1, L insieme dei numeri nturli privto dell zero viene indicto col simbolo: o 1,,,4,5,6,7,8,9,10,11,1,

2 Definizione: Si chim successivo di un numero nturle dto, il numero nturle che immeditmente lo segue nell successione dei numeri nturli. Definizione: Dicimo che il numero nturle è il precedente del numero nturle b se nell successione dei numeri nturli si trov ll sinistr di b e non c è lcun numero nturle tr e b. Nell successione dei numeri nturli ogni numero h un precedente, escluso lo zero, ed un successivo. Il successivo del numero n è il numero n 1, il precedente del numero n è il numero n 1. L insieme è un insieme infinito in qunto non può essere posto in corrispondenz biunivoc con un suo sottoinsieme proprio. Numeri crdinli e numeri ordinli Numero crdinle è quello che indic qunti sono gli elementi di un insieme. Numero ordinle è quello che indic il posto occupto d ciscun elemento di un insieme. L rppresentzione grfic dei numeri nturli E possibile rppresentre i numeri nturli su un semirett sull qule sceglimo un origine O, un unità di misur per i segmenti ed un orientmento positivo. All origine O dell semirett orientt fccimo corrispondere il numero zero. Determinimo poi, prtire d O, un punto A in modo che il segmento unitrio si congruente l segmento OA. Al punto A fccimo corrispondere il numero successivo del numero zero, cioè il numero nturle 1. Al punto B fccimo corrispondere il numero successivo del numero nturle 1, cioè il numero nturle. Se continuimo in questo modo, potremo fre corrispondere d ogni numero nturle un ben preciso punto dell semirett. Stbilimo così un corrispondenz biunivoc tr i numeri nturle e l insieme O, A, B, C, D, E, F, G, H, I, L, M, N, dei punti individuti sull semirett, ricordndo che i segmento OA, AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH, HI, IL, LM, MN, sono tutti congruenti l segmento unitrio. In questo modo bbimo rppresentto su un semirett tutti i numeri nturli. Abbimo così creto un rppresentzione grfic dei numeri nturli, dett rppresentzione crtesin dei numeri nturli.

3 I punti O, A, B, C, D, E, F, G, H, I, L, M, N, sono le immgini geometriche dei numeri nturli 0,1,,,4,5,6,7,8,9,10,11,1,1,15,15,16,. L rppresentzione grfic dei numeri nturli ci permette di formulre l seguente regol: Ogni numero nturle è minore di tutti i numeri che lo seguono ed è mggiore di tutti i numeri che lo precedono. Le quttro principli operzioni ritmetiche con i numeri nturli Le proprietà formli dell ddizione Proprietà commuttiv: bb Proprietà ssocitiv: bcb c Proprietà dissocitiv: L somm di due o più numeri nturli non cmbi se sostituimo d un ddendo l somm di due o più numeri che bbino come somm l ddendo sostituito. bc d se bc d Esistenz dell elemento neutro: Qulunque si il numero nturle n si h: n00n n Il numero 0 è l elemento neutro rispetto ll ddizione

4 4 bc b c cioè l sottrzione è l operzione invers dell ddizione. si chim minuendo, b si chim sottrendo, c si chim differenz. Proprietà invrintiv: b xb x xb x

5 5 Proprietà commuttiv: bb Esistenz dell elemento neutro: 11 il numero 1 è l elemento neutro dell moltipliczione in N. Legge di nnullmento di un prodotto di fttori: Se un prodotto di fttori è nullo, llor lmeno un fttore deve essere nullo. b 0 0 oppure b 0 oppure b 0 Proprietà ssocitiv: bcbcb c Proprietà dissocitiv: bc d se bc d Proprietà distributiv dell moltipliczione rispetto ll ddizione ed ll sottrzione bccb c bccb c

6 6 Definizione: Dti due numeri, b l divisione : b è definit nell insieme N se e solo se: b 0 è multiplo di b. : si chim divisore, il numero q si chim quoziente. bq b q. Il numero si chim dividendo, il numero b Qundo il divisore è lo zero, l divisione è priv di significto. Quindi non è possibile dividere un numero per un numero b 0. Se non è multiplo di b, l divisione non è definit in N perché non esiste nessun numero nturle q che moltiplicto per b di. In questo cso si prl di divisione impropri o divisione con resto. In questo cso scrivimo: bq r e dicimo che q è un quoziente pprossimto. L divisione è l operzione invers dell moltipliczione Proprietà invrintiv: : b x: b x : x: b : x Proprietà distributiv dell divisione rispetto ll ddizione ed ll sottrzione b: c : c b : c b: c : c b : c Se dl dividendo e dl divisore eliminimo eventuli fttori comuni, il quoziente non cmbi x : b x : b

7 7 Nell insieme N un generico numero pri, cioè divisibile per, è indicto col l formul n, mentre un numero dispri, cioè non divisibile per, è indicto con l formul n 1.

8 8 I sistemi di numerzione Premesse: Come bbimo visto, l insieme ordinto dei numeri nturli è infinito ed illimitto, cioè contiene infiniti elementi e non esiste in esso l ultimo numero. Poiché ogni numero deve vere un nome ed un simbolo per rppresentrlo e distinguerlo dgli ltri, si comprende fcilmente che se non si pone lcun legme fr i diversi nomi e i diversi simboli, si dovrebbero usre infinite prole ed infiniti simboli, il che srebbe impossibile. D qui l necessità di crere un metodo che permett di nominre tutti i numeri medinte pochi vocboli opportuntmente combinti tr loro, e di rppresentrli per mezzo di pochi simboli nch essi opportuntmente combinti tr loro. Definizione: Un sistem di numerzione è un insieme di simboli, detti cifre, e di regole per combinrli, per mezzo dei quli è possibile rppresentre qulunque numero nturle. Un sistem di numerzione comport: (1) un lfbeto, cioè un insieme finito e non vuoto di simboli (cifre) utilizzti () un sintssi, cioè un insieme finito e non vuoto di regole medinte le quli è possibile scrivere e leggere i numeri nturli. Possimo distinguere due sistemi diversi di notzione dei numeri nturli: il sistem dditivo e quello posizionle. Nel sistem dditivo il vlore di un numero si ottiene come somm o differenz dei vlori ttribuiti convenzionlmente lle singole cifre. Nel sistem posizionle le cifre che intervengono nell scrittur di un numero nturle hnno vlore diverso second dell loro posizione. Sistem di numerzione decimle: Nel sistem di numerzione decimle, o bse 10, tutti i numeri nturli vengono rppresentti medinte dieci simboli, o cifre che, come è noto, sono: 0,1,,,4,5,6,7,8,9 E si è stbilito che tli cifre rppresentino rispettivmente i primi dieci numeri nturli (zero compreso), cioè i numeri chimti: zero, uno, due, tre, quttro, cinque, sei, sette, otto, nove Il successivo del numero nove si chim dieci. Il numero uno si dice unità semplice o unità del primo ordine. Si sono stbilite le seguenti regole: Dieci unità semplici o del primo ordine formno un unità del secondo ordine, chimt decin

9 9 Dieci decine formno un unità del terzo ordine, chimt centinio Dieci centini formno un unità del qurto ordine, chimt migliio Dieci miglii formno un decin di miglii o unità del quinto ordine Dieci decine di miglii formno un centinio di miglii o unità del sesto ordine, mentre dieci centini di miglii formno un nuov unità, che si chim milione o unità del settimo ordine. Procedendo con lo stesso metodo si trovno le unità degli ltri ordini, cioè i milirdi (o bilioni), i trilioni, e così di seguito. Dieci unità di un ordine formno un unità dell ordine immeditmente superiore. Gli ordini si rggruppno tre tre formndo le clssi. Il numero dieci è l bse di questo sistem di numerzione, che prende il nome di sistem decimle. Si trtt di un sistem: () decimle perché utilizz dieci simboli per rppresentre tutti i numeri nturli e perché dieci unità di qulsisi ordine formno un unità dell ordine immeditmente successivo (b) posizionle in qunto il vlore di un cifr dipende dll posizione che quest occup nell scrittur del numero. In bse lle cose dette, segue che ogni numero nturle contiene un certo numero di unità semplici, un certo numero di decine, un certo numero di centini, e così di seguito. Questo ci consente di scrivere un qulsisi numero nturle come somm i cui termini sono prodotti di un cifr per un potenz del dieci. E l scrittur polinomile di un numero nturle. Il numero 479 può essere scritto in form polinomile nell seguente mnier: per cui possimo ffermre che l cifr rppresent le miglii, l cifr 4 rppresent le centini, l cifr 7 rppresent le decine, l cifr 9 rppresent le unità. Concludendo possimo ffermre che nel sistem di numerzione decimle (cioè in bse dieci) () L lfbeto è: 0,1,,,4,5,6,7,8,9 (b) L sintssi è formt dlle seguenti regole: (1) Le cifre rppresentno, nell ordine, i numeri minori dell bse dieci () Principio dell scrittur posizionle: si scrive il numero sotto form di somm i cui ddendi sono prodotti di un potenz del dieci per un opportun cifr si sopprimono le successive potenze del dieci ed il simbolo posto tr i vri ddendi dell somm

10 10 si scrivono un ccnto ll ltr le cifre che moltiplicno le vrie potenze del dieci, in modo che l prim cifr destr rppresenti le unità semplici, l second cifr d destr le decine, l terz le centini e così di seguito. Osservzione: Ogni cifr h un vlore intrinseco o ssoluto che è il vlore dell cifr pres singolrmente ed un vlore reltivo che dipende dll posizione che occup nel numero. Considerimo il numero 7. In tle numero l cifr 7 h 7 come vlore ssoluto e 700 come vlore reltivo, l cifr h come vlore ssoluto e 0 come vlore reltivo Nel numero 777 i tre 7 hnno lo stesso vlore ssoluto in qunto cifre, m hnno vlori reltivi diversi in qunto occupno posizioni diverse. Inftti il primo 7, d destr, rppresent 7 unità semplici, il secondo 7 decine ed il terzo 7 centini. Come bbimo già detto, llo scopo di usre un numero limitto di vocboli si sono rggruppti gli ordine tre tre, in gruppi chimti clssi come risult sinteticmente dl seguente prospetto.

11 11 I segni 0,1,,,4,5,6,7,8,9 medinte i quli si rppresentno i primi dieci numeri nturli di tle sistem, si dicono cifre rbiche perché furono doperte dgli rbi, che le vevno pprese dgli indini. Le cifre rbiche furono introdotte in Europ nel 100 dl mtemtico pisno Leonrdo Fiboncci. In generle un qulsisi numero nturle n può essere sempre scritto sotto l form di un polinomio (somm di più ddendi) ordinto secondo le potenze decrescenti del numero 10, cioè: n b c m m1 m dove,,, bc sono cifre Approfondimento sui sistemi di numerzione posizionli Il sistem di numerzione d noi usto è un sistem posizionle. Questo signific che le cifre che intervengono nell scrittur di un numero hnno vlore diverso second dell loro posizione occupt. Dicesi bse x di un sistem di numerzione posizionle il numero di cifre fr loro distinte necessrie per rppresentre tutti i numeri. Prendere x 10 (sistem di numerzione decimle, che è quello comunemente utilizzto) vuole dire che utilizzimo i seguenti dieci simboli 0,1,,,4,5,6,7,8,9 per scrivere un qulsisi ltro numero nturle. Un qulsisi numero, in qulsisi bse, può essere scritto in form polinomile. Precismente, se x è l bse ( x sistem binrio, x sistem ternrio, x 10 sistem decimle) di un sistem di numerzione, noi sppimo che x sono le cifre disponibili per l scrittur di un qulsisi numero nturle N e, quindi, il numero N scritto sotto form di polinomio divent: N x x x x x n n 1 o n n1 1 o

12 1 x 10 N n n1 n n1 1 o x 5 x N n n 1 n n1 1 o N n n 1 n n1 1 o Nell prtic il numero N, già espresso in form polinomile, può essere scritto omettendo le potenze dell bse x ed i segni di ddizione tr i termini del polinomio, scrivendo l successione dei coefficienti n n1 n 1 0 dove i coefficienti n n 1 n 1 0 sono tutti minori di x ( n x) Esempi: (5) x primo ordine 0 unità del primo ordine 1 x secondo ordine 1 unità del secondo ordine x terzo ordine unità del terzo ordine Nel sistem binri le cifre che si utilizzno sono due: 0 e 1 Pssggio dl sistem binrio l sistem decimle (Nel sistem decimle risult ) Pssggio dl sistem decimle l sistem binrio Si rgion così: Poiché 5, l mssim potenz del contenut nel 9 è 4 in qunto risult: L mssim potenz del contenut nel 1 è L mssim potenz del contenut nel 5 è in qunto risult: in qunto risult: Quindi:

13 1 Si può procedere nche così: (1) Si divide il numero ( 9 ) per. Il resto (1) rppresent l cifr più destr del numero binrio, cioè rppresent le unità del primo ordine. () Si divide il quoziente ottenuto (14) per ed il nuovo resto ( 0 ) rppresent l second cifr destr del numero binrio () Si procede fino qundo ottenimo un quoziente zero ed un resto 1 (4) L ultimo resto ottenuto (1) è l prim cifr (d sinistr) del numero scritto in form binri, cioè nel sistem di numerzione binrio. Con prole diverse: Per trsformre un numero N dll form decimle ll form binri occorre effetture un successione di divisioni del numero N per, del quoziente ottenuto per, e così di seguito sino d ottenere un quoziente zero. L ultimo resto seguito di resti delle precedenti divisioni, in ordine scendente (cioè d sinistr verso destr) costituisce il numero in form binri. Il clcolo può essere effettuto utilizzndo l seguente tbell: Scrivere, in bse, il numero che, nel sistem decimle, si scrive 75. Ottenimo:

14 14 Operzioni fondmentli nel sistem binrio Premettimo le seguenti tbelle elementri Le quttro operzioni fondmentli, nel sistem binrio, si eseguono con procedimenti simili quelli imprti con i numeri nturli del sistem decimle. Addizione: Disposti i numeri in colonn, si sommno le unità dello stesso ordine tenendo presente che per ogni coppi di un unità dell stess colonn si h un unità dell ordine immeditmente superiore (cioè sinistr) si scrive 0 e si riport 1 nell colonn ll sinistr delle due cifre sommte; dovendo sommre 1 con 1 si scrive 0 e si riport 1 nell colonn immeditmente ll sinistr delle cifre sommte. Nell prim colonn (d destr verso sinistr) bbimo tre 1, si scrive 1 e si riport 1; nell second colonn bbimo, col riporto, tre 1, si scrive 1 e si riport 1; nell terz colonn bbimo il numero 1 del riporto; nell qurt colonn bbimo tre 1, si scrive 1 e si riport 1; nell quint colonn, col riporto, bbimo tre 1, si scrive 1 e si riport 1; nell sest colonn bbimo L somm è così clcolt. Per i riporti ci si regol come nel sistem decimle, ricordndo che un unità di un certo ordine vle due unità dell ordine immeditmente inferiore, per cui: () se un colonn contiene un numero pri di cifre 1, si scrive 0 e si riportno tnti 1 qunto vle l metà dei numeri 1 incolonnti. (b) se un colonn contiene un numero dispri di cifre 1, si scrive 1 e si riportno tnti 1 qunto vle l metà dei numeri 1 incolonnti meno il numero 1 considerto.

15 15 Altro esempio Nell prim colonn bbimo due 1, scrivimo 0 e riportimo un cifr uguli d 1; nell second colonn, col riporto, bbimo quttro cifre uguli d 1, scrivimo 0 e riportimo due 1; nell terz colonn, col riporto, bbimo tre 1, scrivimo 1 e riportimo un 1; nell qurt colonn, col riporto bbimo quttro 1, scrivimo zero e riportimo due 1; nell quint colonn, col riporto, bbimo tre 1, scrivimo 1 e riportimo 1; nell sest colonn, col riporto, bbimo due 1, ottenimo come somm 10. Sottrzione: Disposti i numeri in colonn, si sottrggono le unità dello stesso ordine tenendo presente che qundo si deve sottrrre l cifr 1 dll cifr 0, si prende prestito un unità di ordine superiore che vle due di quell di ordine immeditmente inferiore Nell prim colonn, d destr verso sinistr, bbimo: 110 ; nell second colonn bbimo: (l cifr 0 prende prestito un unità di ordine superiore e divent 10, nel contempo l prim cifr dell terz colonn divent 0 ); nell terz colonn bbimo ) Moltipliczione: Si procede come nel sistem decimle, tenendo presente l tbell dell moltipliczione e quell dell ddizione

16 16 Divisione: Si procede come nel sistem decimle, ricordndo di eseguire l sottrzione secondo le regole dell sottrzione fr due numeri scritti in form binri. Ogni cifr del quoziente o è 0 o è 1. Numerzione dditiv romn I Romni rppresentvno i numeri medinte i seguenti sette simboli, in corrispondenz dei quli bbimo indicto, nell rig successiv i loro vlori. I 1, V 5, X 10, L 50, C 100, D 500, M 1000 L numerzione romn comprende: () l lfbeto, formto dlle cifre I, V, X, L, C, D, M (b) l sintssi, formt dlle seguenti regole: (1) Il vlore del numero è l somm dei vlori dei simboli che esso contiene. () Le cifre dei numeri romni sono sempre scritte dl più grnde l più piccolo (ordine decrescente) e letti d sinistr verso destr.

17 17 () Ogni cifr post immeditmente destr di un cifr mggiore o ugule, si ggiunge quest ultim. Esempi: XVI sedici XI undici DC seicento LXI sessntuno XXVI ventisei (4) Ogni cifr post immeditmente sinistr di un cifr mggiore o ugule, si sottre quest ultim. Esempi: IX 1019 nove XL qurnt CDX quttrocentodieci CMXI novecentoundici (5) Ogni cifr post tr due cifre d ess superiore, si sottre quell di destr Esempi: CIV centoquttro CDX quttrocentodieci CMXI novecentoundici (6) I simboli V, L, D non si rddoppino mi ed i simboli I, X, C, M non si possono ripetere più di tre volte di seguito. All qurt, si deve sottrrre uno dl più vicino simbolo V, L, D. Esempi: III 111, m per indicre il numero nturle 4 si scrive: IV 51 4 XL XXX , m per indicre il numero nturle 40 si scrive: (7) Se si pone su un cifr o su un gruppo di cifre un trttino orizzontle, l cifr o il gruppo di cifre ssumono un vlore 1000 volte mggiore, ponendo due trtti prlleli, il vlore dell cifr o del gruppo di cifre divent volte mggiore. Con prole diverse possimo dire che per indicre l moltipliczione per 1000 si ricorre ll sovrpposizione di un trttino sul vlore d moltiplicre, mentre per indicre l moltipliczione per si sovrppone un doppio trttino l vlore d moltiplicre. V 5000, X 10000, C , M , M Esempi: V VI IV XXII CLI L numerzione romn viene ncor ust per indicre le dte nelle epigrfi, per distinguere pontefici e regnnti, per l numerzione dei cpitoli di un libro ed in ltri pochi csi.

18 18 Sistem di numerzione esdecimle Un ltro sistem di numerzione posizionle, utile nei clcoltori, è quello bse sedici, detto nche sistem di numerzione esdecimle. In questo sistem occorrono sedici simboli o cifre per rppresentre tutti i numeri e questi simboli sono: 0,1,,,4,5,6,7,8,9, A, B, C, D, E, F Sedici unità del 1 ordine formno un unità del secondo ordine, sedici unità del ordine formno un unità del terzo ordine, e così di seguito. Un unità del ordine = Un unità del ordine = Un unità del 4 ordine = 1 16 = 16 unità semplici unità semplici unità semplici Esempi: Scrivere nel sistem decimle, il numero che, in bse sedici, si scrive AE 1 AE A E Scrivere in bse sedici, il numero che nel sistem decimle si scrive 47 Procedendo come nell numerzione binri, ottenimo: B B8 A , B B, C , D , E , F Il concetto di potenz L potenz di un numero è il prodotto di più fttori uguli quel numero. Il fttore che si ripete si chim bse dell potenz ed il numero di fttori uguli prende il nome di esponente dell potenz. 5 n n volte L operzione medinte l qule si clcol l potenz di un numero prende il nome di elevzione potenz. L potenz con esponente zero di un numero qulsisi diverso d zero è sempre ugule d 1 : L prim potenz ( o potenz con esponente 1 ) di un qulsisi numero è ugule l numero stesso 1

19 19 Proprietà delle potenze Il prodotto di due o più potenze venti l stess bse è l potenz che h per bse l stess bse e per esponente l somm degli esponenti n p q n p q Il quoziente di due potenze venti l stess bse è l potenz vente per bse l stess bse e per esponente l differenz degli esponenti m : n m n L potenz di un potenz è l potenz che h per bse l stess bse e per esponente il n nm prodotto degli esponenti L potenz di un prodotto di fttori è ugule l prodotto delle potenze con ugule bcd m n n n n esponente dei singoli fttori L potenz di un quoziente è ugule l quoziente delle potenze con ugule esponente del n b c d dividendo e del divisore b n b n n L nozione di rdice ritmetic Si dice rdice qudrt di un numero il numero x che elevto l qudrto dà come risultto il numero dto.. In simboli bbimo : x x 9 in qunto 9 Si dice rdice cubic di un numero il numero x che elevto l cubo dà come risultto il numero dto.. In simboli bbimo : x x 15 5 in qunto 5 15 Si dice rdice qurt di un numero il numero x che elevto ll qurt potenz dà come risultto il numero dto.. In simboli bbimo : 4 x Si dice rdice ennesim di un numero il numero x che elevto ll potenz ennesim dà 4 x come risultto il numero dto.. In simboli bbimo : n x x n Multipli e divisori di un numero Si dice che il numero è divisore del numero b ( diverso d zero ) se il resto dell divisione del numero per il numero b è ugule zero. Il numero si dice che è multiplo del numero b che su volt si dice sottomultiplo o divisore del numero. Definizione : dto il numero nturle, tutti i numeri nturli b per i quli risult che il quoziente k N è un numero nturle, si chimno divisori del numero. b

20 0 k N kb. è multiplo del numero b secondo il numero k, b è sottomultiplo del b numero secondo il numero k o divisore numero. = dividendo, b = divisore, k = quoziente Criteri di divisibilità per i numeri nturli 01) Criterio di divisibilità per : Un numero è divisibile per se l su ultim cifr è pri, cioè qundo il numero termin con un delle seguenti cifre : 0,, 4, 6, 8. 0) Criterio di divisibilità per : Un numero è divisibile per se l somm delle sue cifre è divisibile per 0) Criterio di divisibilità per 5: Un numero è divisibile per 5 se termin con 0 o con 5. 04) Criterio di divisibilità per 9: Un numero è divisibile per 9 se l somm delle sue cifre è divisibile per 9 05) Criterio di divisibilità per 11 : Un numero è divisibile per 11 se è divisibile per 11 l differenz tr l somm delle cifre di posto pri e l somm delle cifre di posto dispri. 06) Criterio di divisibilità per 7 : ) Un numero è divisibile per 7, se è divisibile per 7 l somm delle sue decine e del quintuplo dell su cifr delle unità. n 69 ; 69 = numero delle decine del numero ; ; 4 7 n 1599 ; ; ; ; 5 n : 7 5 b) Un numero è divisibile per 7, se è divisibile per 7 l differenz fr il numero sue decine (numero scritto senz l cifr delle unità) ed il doppio dell su cifr delle unità. 6 n 69 ; 69 6 ; 9 ; n ; ; ; 0 7 n Per scrivere le decine di un numero bst scrivere lo stesso numero privto dell cifr che rppresent le unità

21 1 c) Terzo criterio di divisibilità per 7 Del numero che si vuole esminre, si elimini l ultim cifr ( cifr dell unità ) e si sottrgg il doppio di ess dl numero formto dlle cifre rimste: il numero così ottenuto è o non è multiplo di 7 ssieme l precedente, ed è più piccolo in qunto h un cifr in meno ripetendo il procedimento si ottengono numeri sempre più piccoli con l stess proprietà di essere o non essere multipli di 7 ssieme l numero di prtenz. si h l divisibilità per 7 se l ultimo numero è 0, oppure 7 oppure 14. Applichimo il procedimento i due numeri 7675 e Il numero 7675 è divisibile per 7 in qunto l ultimo numero ottenuto è il 14 che è multiplo del 7. Il numero 7675 non è divisibile per 7 in qunto l ultimo numero ottenuto è il 9 che non è multiplo del ) Criterio di divisibilità per 1 : Un numero è divisibile per 1 se è divisibile per 1 l somm del numero che esprime le sue decine ( numero scritto senz l cifr delle unità ) e del qudruplo dell su cifr dell unità. n :1 08) Criterio di divisibilità per 17 : ) Un numero è divisibile per 17 se è divisibile per 17 l somm del doppio delle sue decine ( numero scritto senz l cifr delle unità ) e del settuplo dell su cifr dell unità. n : :17 5 b) Un numero è divisibile per 17 se è divisibile per 17 l differenz tr il numero che esprime le sue decine ( numero scritto senz l cifr delle unità ) ed il quintuplo dell cifr dell unità. n ; ; 51:17

22 09) Criterio di divisibilità per 19 : ) Un numero è divisibile per 19 se è divisibile per 19 l somm del numero delle sue decine ( numero scritto senz l cifr delle unità ) e del doppio dell su cifr delle unità. n :19 10) Criterio di divisibilità per 19 : ) Un numero è divisibile per se è divisibile per l somm del numero delle sue decine ( numero scritto senz l cifr delle unità ) e del settuplo dell su cifr delle unità. n : 4 Numeri primi e numeri composti Un numero mggiore di 1 si dice primo se è divisibile soltnto per se stesso e per l unità. un numero non primo, cioè un numero che mmette ltri divisori oltre se stesso e l unità, si dice numero composto. Scomposizione di un numero composto in fttori primi Scomporre il numero composto in fttori primi signific trovre tutti i numeri primi il cui prodotto è ugule l numero Principio fondmentle dell ritmetic Un numero nturle composto si può decomporre in fttori primi in un sol mnier. Mssimo comune divisore e minimo comune multiplo Il mssimo comune divisore (M.C.D.) di due o più numeri è il mggiore dei loro divisori comuni. Per clcolre il M.C.D. di due o più numeri, col metodo dell scomposizione in fttori primi, si decompongono i numeri dti in fttori primi e poi si moltiplicno fr loro i fttori primi comuni, presi un sol volt, con l esponente più piccolo , , M. C. D. 540,840, Due numeri si dicono primi fr loro qundo hnno come M.C.D. l unità.

23 Il minimo comune multiplo (m.c.m.) di due o più numeri è il più piccolo dei multipli comuni diversi d zero. Per clcolre il m.c.m. tr due o più numeri, col metodo dell scomposizione in fttori primi, si decompongono in fttori primi i numeri dti e poi si moltiplicno tr loro i fttori comuni e non comuni, presi un sol volt, ciscuno col mssimo esponente , 4 5 7, , m. c. m. 0,4, Le frzioni Unità frzionri è un qulsisi delle prti uguli in cui è stt divis un grndezz considert come unità. Frzione è l insieme di più unità frzionrie. Il simbolo che rppresent un frzione è costituito d due numeri interi seprti d un trtto orizzontle detto line di frzione. Il numero posto l di sotto dell line di frzione si chim denomintore ed indic in qunte prti uguli è stt divis l unità. Il numero posto l di sopr dell line di frzione si chim numertore ed indic qunte di queste prti uguli sono stte considerte. Il numertore ed il denomintore si dicono termini dell frzione. Un frzione rppresent il quoziente tr due numeri interi. Un frzione di dice propri se il numertore è minore del denomintore. Un frzione propri è minore dell unità. Un frzione si dice pprente se il numertore è multiplo del denomintore. Uun frzione pprente rppresent un o più unità intere. Un frzione di dice impropri se il numertore è mggiore ( m non multiplo ) del denomintore. Un frzione impropri rppresent un numero mggiore dell unità. In ritmetic per numero misto si intende l somm di un numero intero e di un frzione propri. Per pssre d un frzione impropri d un numero misto si procede come segue : ) si divide il numertore dell frzione per il suo denomintore. b) sino Q, R, D rispettivmente il quoziente, il resto, il denomintore dell frzione considert: Risult : N D Q R D N R D Q 8 Q R D 8 6

24 4 Proprietà invrintiv per le frzioni Moltiplicndo o dividendo numertore e denomintore di un frzione per uno stesso numero diverso d zero si ottiene un frzione equivlente quell dt. Semplificre un frzione signific trsformrl in un ltr equivlente vente numertore e denomintore più piccoli. L semplificzione si effettu dividendo numertore e denomintore dell dt frzione per un loro divisore comune Un frzione si dice irriducibile o ridott i minimi termini qundo il suo numertore ed il suo denomintore sono primi fr loro. Per ridurre i minimi termini un frzione bst dividere il suo numertore ed il suo denomintore per il loro M.C.D. I numeri decimli e le loro frzioni genertrici L divisione tr due numeri interi può dre luogo d un numero decimle limitto o d un numero decimle periodico. In un numero decimle, il numero formto dlle cifre ll sinistr dell virgol si chim prte inter del numero decimle, quello formto dlle cifre destr dell virgol si chim prte decimle. Quindi dicesi numero decimle un qulsisi numero formto d un prte inter e d un prte decimle. Si chimno frzioni decimli quelle frzioni che hnno come denomintore un potenz del 10. Per contrpposto, si chimno frzioni ordinrie tutte le frzioni non decimli. Sono frzioni decimli: ,, I simboli, 5647, 0, 05, 6784, 5 rppresentno numeri decimli. Le cifre che precedono (seguono) l virgol rppresentno l prte inter (decimle) del numero decimle. Regol: Per scrivere un numero decimle sotto form di frzione decimle, si scrive l frzione che h per numertore il numero nturle che si ottiene sopprimendo l virgol del numero decimle dto e per denomintore l unità seguit d tnti zeri qunte sono le cifre decimli del numero. 45,45, ,047, , Regol: Un frzione decimle può essere trsformt in un numero decimle trscrivendo il numertore dell frzione e seprndo con un virgol. prtire d destr, tnte cifre qunti sono gli zeri del denomintore, ggiungendo, ll sinistr del numertore, uno o più zeri qundo il numero delle cifre del numertore è inferiore l numero degli zeri del denomintore.

25 5 75 7,5 5, 0, 0, 0, N.B. Il numero delle cifre decimli deve coincidere col numero degli zeri presenti nel denomintore dell frzione decimle. L notzione scientific di un numero decimle Ogni numero può essere scritto come il prodotto di un numero decimle compreso tr 1 e 10 e di un opportun potenz del 10. Si dice pure che il numero è scritto in form esponenzile o con notzione scientific. Di solito le clcoltrici tscbili utilizzno l notzione scientific. Esempi ) E 0 nell clcoltrice con notzione scientific il simbolo 10 divent E 0 b) 150 1,5 10 1,5E 0 ( 10 divent E 0 ) 4 4 c) 7561,756110,7561E 04 ( 10 divent E 04 ) d) 0,0046,4610,46E 0 ( 10 divent E 0 ) Per numeri non troppo grndi quest form di scrittur non è conveniente in qunto si userebbero più simboli di quelli presenti nel numero ; divent vntggios qundo si hnno numeri con molte cifre. Numeri decimli periodici Dicesi numero decimle periodico ogni numero formto d un prte inter (che può nche essere 0) seguit d infinite cifre decimli che, d un certo punto in poi, si ripetono gruppi sempre nello stesso ordine. L cifre o il gruppo di cifre che si ripete dicesi periodo. Il periodo può comincire, oppure no, subito dopo l virgol; nel primo cso il numero dicesi periodico semplice, nel secondo cso dicesi periodico misto. In un numero periodico misto il gruppo delle cifre decimli che precede il periodo si chim ntiperiodo. I numeri decimli periodici si rppresentno scrivendo un sol volt il periodo e soprssegnndolo, oppure mettendolo entro due prentesi rotonde. 8, ,7 8,(7),856,856() Un frzione si dice riducibile qundo il suo quoziente è un numero decimle limitto. Un frzione si dice irriducibile qundo il suo quoziente è un numero decimle illimitto. Teorem N 1 Un frzione irriducibile il cui denomintore non contiene come fttori primi né né 5, è trsformbile in un numero decimle periodico semplice.

26 6 Teorem N Un frzione irriducibile il cui denomintore contiene come fttori primi il o il 5 nche qulche ltro fttore primo, è trsformbile in un numero decimle periodico misto. Teorem N periodico con periodo 9. Non esiste lcun frzione dll qule derivi un numero decimle illimitto Esempio 1,9 1,9 1, Questo signific che i simboli 1, e 1,9 rppresentno lo stesso numero, cioè : 1, 1, 9 Definizione Chimsi frzione genertrice di un numero decimle periodico, quell frzione tle che il quoziente del suo numertore per il suo denomintore è il numero periodico dto. Teorem N 4 L frzione genertrice di un numero periodico semplice è un frzione che h per numertore l differenz fr il numero stesso privto dell virgol ( e con il periodo scritto un sol volt ) ed il numero formto dlle cifre dell prte inter, e per denomintore il numero formto d tnti 9 qunte sono le cifre del periodo. Teorem N , ,7 L frzione genertrice di un numero decimle periodico misto è un frzione che h per numertore l differenz fr il numero stesso privto dell virgol (e con il periodo scritto un sol volt) ed il numero formto dlle cifre dell prte inter seguit d quelle dell ntiperiodo, e per denomintore il numero formto d tnti 9 qunte sono le cifre del periodo, seguiti d tnti zeri qunte sono le cifre dell ntiperiodo. OSSERVAZIONE 41,41,(41) ,18() 0, ,56 0,5(6) << Come si f stbilire se un frzion dà luogo d un numero decimle finito, d un numero decimle periodico semplice, d un numero decimle periodico misto? >> 01) Un frzione, ridott i minimi termini, è trsformbile in un numero decimle finito se il suo denomintore h come fttori potenze del o potenze del 5 o potenze di entrmbi i fttori

27 7 7 1,4 1 1, 5 0, ) Un frzione ridott i minimi termini si trsform in un numero decimle periodico semplice se il denomintore non contiene i fttori e 5. 41,77777,7, 11 0) Un frzione ridott i minimi termini si trsform in un numero decimle periodico misto se il suo denomintore, ssieme d eventuli ltri fttori, contiene come fttori potenze del e del 5, oppure di uno solo di essi , ,918 0, Operzioni con numeri decimli periodici Per eseguire le operzioni con numeri decimli periodici, bst sostituire d essi le corrispondenti frzioni genertrici ed eseguire i clcoli secondo le regole note. Operzioni con le frzioni L somm (differenz) di due frzioni venti lo stesso denomintore è l frzione vente per numertore l somm (differenz) dei numertori e per denomintore lo stesso denomintore. Per ddizionre (sottrrre) due frzioni venti denomintori diversi, si riducono prim llo stesso minimo comune denomintore e poi si pplic l regol per l ddizione (sottrzione) di frzioni venti lo stesso denomintore. Il prodotto di due o più frzioni è l frzione vente come numertore il prodotto dei numertori e per denomintore il prodotto dei denomintori. Per effetture l divisone di due frzione bst moltiplicre l prim frzione per l invers dell second. Per elevre potenz un frzione bst elevre quell potenz si il numertore che il denomintore dell frzione. Un frzione si dice termini frzionri se il suo numertore o il suo denomintore o entrmbi sono delle frzioni.

28 8 Un frzione termini frzionri è ugule l prodotto del numertore per il reciproco del denomintore oppure è ugule d un frzione che h come numertore il prodotto dei termini estremi e come denomintore il prodotto dei termini medi : : : Esempi : : : : Rpporti e proporzioni fr numeri Si dice rpporto fr i numeri e b, con b diverso d zero, il quoziente che si ottiene dividendo il numero per il numero b. Il rpporto fr i numeri e b viene indicto con un delle due seguenti scritture: : b b b 0 Definizione: 4 numeri, b, c, d formno un proporzione, se il rpporto tr il primo ed il secondo numero è ugule l rpporto fr il terzo ed il qurto numero. In simboli bbimo : Lessico : b c : d oppure b 1) I numeri, b, c, d sono i termini dell proporzione ) e b sono gli << estremi >> dell proporzione, b e c sono i << medi >> dell proporzione, e c sono gli << ntecedenti >> dell proporzione, b e d sono i << conseguenti >> dell proporzione. ) Se tr i numeri, b, c sussiste l seguente proporzione : b b : c llor il numero b prende il nome di medio proporzionle fr i numeri e c, mentre il numero c prende il nome di c d

29 9 terzo proporzionle dopo i numeri e b. Un proporzione si dice continu qundo i suoi medi sono uguli. I numeri 6,, 8, 4 formno un proporzione in qunto risult: 6: 8: 4 Il numero 6 è medio proporzionle tr i numeri 1 e in qunto risult: 1:6 6: Teorem fondmentle delle proporzioni fr numeri In ogni proporzione il prodotto dei medi è ugule l prodotto degli estremi. 6: 8: Altre proprietà delle proporzioni fr numeri L proporzione : b c : d fr i numeri, b, c, d gode delle seguenti proprietà formli : 1) In ogni proporzione fr numeri è lecito scmbire ogni ntecedente col proprio conseguente (proprietà dell invertendo) : b c : d b : d : c ) Se 4 numeri, b, c, d sono in proporzione, llor si possono scmbire i medi tr loro o gli estremi tr loro (proprietà del permutndo) : b c : d : c b : d d : b c : ) In ogni proporzione fr numeri, l somm del primo e del secondo termine st l primo (o l secondo) termine, come l somm del terzo e del qurto termine st l terzo ( o l qurto ) termine. (proprietà del componendo) b: c d : C : b c : d b : b c d : d 4) Se in un proporzione il primo termine è mggiore del secondo ( e quindi il terzo è mggiore del qurto), l differenz fr il primo ed il secondo termine st l primo ( o l secondo) termine come l differenz tr il terzo ed il qurto termine st l terzo ( o l qurto ) termine. ( proprietà dello scomponendo o del dividendo ) b: c d : c : b c : d b : b c d : d

30 0 5) In ogni serie di rpporti uguli tr numeri, l somm degli ntecedenti st ll somm dei conseguenti come un ntecedente st l proprio conseguente. : b c : d e: f ce : bd f c: d Clcolo del termine incognito di un proporzione Regol: In ogni proporzione un estremo incognito è ugule l prodotto dei medi diviso per l ltro estremo. Esempio: Clcolre il vlore dell x spendo che: 1:8 : x 8 x 1 Regol: In ogni proporzione un medio incognito è ugule l prodotto degli estremi diviso per l ltro medio. Esempio: Clcolre il vlore dell x spendo che: 15:5 x : 15 x 9 5 Regol: In ogni proporzione continu il medio incognito è ugule ll rdice qudrt del prodotto degli estremi. Esempio: Clcolre il vlore dell x spendo che: 1: x x: x 1 6 6

31 1 Problemi del tre semplice Si chimno problemi del tre semplice quei problemi nei quli intervengono due grndezze direttmente o inversmente proporzionli. Conoscimo un coppi di vlori corrispondenti delle due grndezze ( d esempio X ed Y ) ed un ltro vlore di un di esse ( d esempio di X ); voglimo clcolre il vlore dell grndezz Y che corrisponde ll grndezz X. Osservzione: Si chimno problemi del tre semplice in qunto noti tre vlori voglimo clcolrne un qurto. L denominzione semplice deriv dl ftto che in questi problemi intervengono soltnto due grndezze. I problemi nei quli sono presenti più di due grndezze prendono il nome di problemi del tre composto. Problem del tre semplice qundo le grndezze sono direttmente proporzionli. Un rubinetto vers in 4 ore 160 litri di cqu. Qunti litri di cqu verserà in 7 ore? Per l risoluzione del problem possimo utilizzre il seguente schem convenzionle, nel qule le frecce venti lo stesso orientmento ci dicono che le grndezze presenti nel problem sono direttmente proporzionli. Problem del tre semplice qundo le grndezze sono inversmente proporzionli. Per compiere un determinto lvoro 10 operi impiegno 18 giorni; qunti giorni impieghernno 15 operi venti l stess cpcità lvortiv per compiere lo stesso lvoro? Per l risoluzione del problem possimo utilizzre il seguente schem convenzionle, nel qule le frecce venti orientmento opposto ci dicono che le grndezze presenti nel problem sono inversmente proporzionli.

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