Capitolo 4. La calibrazione. 4.1 Introduzione

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1 Captolo 4 La calbrazoe 4. Itroduzoe I questo captolo erra presa esame l operazoe d calbrazoe della deocamera e della sorgete lumosa. I u sstema d scasoe 3D calbrare ua deocamera sgfca estrarre la poszoe del pao d terra el rfermeto scelto ed ua sere d parametr ecessar alla successa elaborazoe. al parametr egoo dett trsec e soo: lughezza focale ( f o ) cetro dell mmage ( c c ) fattore d dstorsoe radale ( ) Come s edra el paragrafo 4.3 u modo per calbrare la telecamera e quello d quadrare ua scacchera d dmeso ote collocata sul pao d terra. Dalla sua osserazoe e possble rcaare tutte le formazo ecessare. Calbrare la sorgete lumosa sgfca semplcemete troare la poszoe del puto luce el rfermeto scelto. ale operazoe come pu olte mesoato e precedet captol o e ecessara se s utlzza oltre al pao d terra ache u pao ertcale perpedcolare al prmo. Prma d esamare dettaglo d queste procedure e utle rchamare l modello della camera oscura (phole model) che a despetto della sua semplcta resce a schematzzare abbastaza bee ua geerco sstema d deo camera CCD o CID.

2 Captolo 4 Camera oscura P Oggetto Foro O c Asse ottco Z p Pao I Pao F Fgura 4.: Il modello della camera oscura (phole model). Sul pao F della camera e stato pratcato u foro attraerso cu fltrao ragg lumos proeet dalla cadela. Sul pao I parallelo al pao F s forma la cosdetta proezoe percetta della cadela oero la sua mmage rbaltata. 4. Il modello della camera oscura Il modello proposto s basa essezalmete sul prcpo della camera oscura. Lo schema d prcpo e llustrato ella fgura 4.. S cosder ua scatola chusa cu e stato pratcato u pccolo foro su ua delle sue superfc. S dch co F l pao cu e presete l foro. Da u oggetto per esempo ua cadela posto daz l pao F partoo ragg lumos per emssoe dretta o rflessa. Alcu d quest ragg fscoo el foro e formao sul pao I l mmage ertta della cadela. I pa F e I soo dett rspettamete pao focale e pao mmage (o pao reta) e la dstaza tra loro e la dstaza focale f o. Il puto doe e stato pratcato l foro s dca come cetro ottco metre la retta ormale al pao focale passate per l foro e 4

3 La calbrazoe Y Dstaza focale (f o ) P p Oggetto Proezoe percetta dell oggetto ξ p Cetro ottco O c Asse ottco Z Pao mmage Pao focale Pao mmage o ertto Fgura 4.: Schematzzazoe del modello della camera oscura. detto asse ottco. Ife la proezoe ertta dell oggetto sul pao mmage e detta proezoe percetta dell oggetto. ella fgura 4. e stato schematzzato l modello della camera oscura mettedo luce le gradezze ottche e geometrche appea defte. S suppoga adesso d sceglere u sstema d rfermeto d ass cartesa X Y Z d cetro O c cocdete co l cetro ottco come fgura 4.. L asse X e stato scelto ortogoale al pao dduato dall asse ottco e da Y. Se P e u puto dell oggetto la sua poszoe el sstema d rfermeto scelto sara espressa dal ettore X p =[ X p Y p Z p ]. La proezoe percetta d P sul pao mmage ddua l puto ξ p la cu poszoe e data dal ettore ξ p = [x p y p z p ]. Poche ale: X p xp Y p yp = e = p p p p Z z Z z 43

4 Captolo 4 e poche z p e par alla lughezza focale f o l ettore ξp deta: Xp fo Z p Yp fo ξ p = fo = Xp Zp Zp fo (4.) ella pratca puo rsultare comodo rferrs o alla proezoe percetta dell oggetto sul pao mmage (che forsce ua ersoe rbaltata dell oggetto stesso) ma bes alla sua proezoe sul pao mmage o ertto (cfr. fgura 4.). Questa e la ersoe dell oggetto come lo s ede realmete el mro della telecamera. Il pao mmage o ertto (parallelo al pao focale e qud al pao mmage) e collocato ad ua dstaza f o dal cetro ottco a alle del pao focale. Pertato detto mmage s ara : x p l ettore che ddua l puto p proezoe d P sul pao Xp fo Z p Yp fo x p = o f = Xp Zp Zp fo (4.) Se s dde la (4.) per la lughezza focale f o (che s potzza ota dopo aer calbrato la telecamera) s ottegoo le coordate ormalzzate del puto mmage p. I tal modo e possble defre l ettore ormalzzato x p come: x p = x p Xp = p fo Z (4.3) A partre da questo mometo la proezoe percetta p d u geerco puto P sul pao mmage o ertto potra essere dcata stetcamete come mmage del puto P. Ioltre quado s parlera d pao mmage s tedera sempre quello o ertto. 44

5 La calbrazoe O p Immage pxel forta dalla telecamera x c X p Cetro ottco O c Y Raggo ottco Z Asse ottco C X Y p Pao mmage Fgura 4.3: Immage forta dalla telecamera espressa pxel. x p e l geerco pxel e c c e l cetro dell mmage espresso pxel. L obbetto e troare le coordate del puto p assocato a x p el rfermeto della telecamera. o e superfluo otare che la (4.3) o equaletemete la (4.) forscoo la relazoe pu olte rchamata el precedete captolo tra l ettore che ddua u puto P ello scearo e l corrspodete ettore che ddua la proezoe d P sul pao mmage. S cosder adesso u dato puto p ell mmage pxel forta dalla telecamera. S uole determare la poszoe d tale puto el rfermeto (O c X Y Z) ote le sue coordate pxel x p = (x p y p ). S facca rfermeto alla fgura 4.3 per fssare le dee e s cosder u sstema d rfermeto d ass cartesa (O p X p Y p ) soldale co l pao mmage. Le coordate del pxel x p sarao pertato rferte rspetto a tale sstema d rfermeto. La rsoluzoe co cu egoo acquste le mmag defsce l terallo d alor x e y a cu appartegoo le coordate x p e y p. Se per esempo la rsoluzoe d u mmage e 45

6 Captolo pxel sgfca che x p appartee all terallo [ x ] = [3] metre y p appartee all terallo [ y ] = [4]. U altro parametro geeralmete forto dalla procedura d calbrazoe e l cetro dell mmage c c. ale puto e defto come l tersezoe dell asse ottco co pao mmage. Purtroppo l metodo proposto questo laoro per calbrare la telecamera o rede oto c c. uttaa o e ua catta approssmazoe cosderare c c come l cetro geometrco dell mmage. I altre parole c c puo essere alutato ( pxel) el seguete modo: c c = (c x c y ) = x y (4.4) Se s camba l cetro del sstema d rfermeto (O p X p Y p ) facedo cocdere O p co c c e possble esprmere x p come: x p = ( x p - c x y p - c y ) Pertato l puto p el rfermeto (O c X Y Z) assocato al pxel x p sara dduato dal ettore: x p = xp- cx yp- cy f (4.5) doe f e la lughezza focale espressa pxel. Se s ormalzza rspetto a quest ultma quatta coe s dde tutto per f s ottee: x p= xp- c f yp- c f x y (4.6) 46

7 La calbrazoe ormalzzare rspetto a f permette d scolars dalla rsoluzoe del pxel. I altr term se s mmaga u pxel come u quadrato d lato l la rsoluzoe del pxel e la lughezza fsca assocata ad l ( per esempo l potrebbe essere mm). Ddedo tutto per la lughezza focale che pure e espressa pxel s ottegoo gradezze o pu legate alle dmeso fsche del pxel. Co rede la quatta x p equalete a quella espressa ella (4.3). Pertato la (4.6) forsce le coordate ormalzzate del pxel x p =(x p y p ) el rfermeto (O c X Y Z). Fgura 4.4: Equpaggameto ecessaro per calbrare la telecamera. L operazoe rchede semplcemete l poszoameto d ua scacchera sul pao d terra. Fgura 4.5: Immage acqusta per la calbrazoe. Dal cofroto tra la geometra della scacchera (ota) e co che compare ell mmage s possoo estrarre parametr trsec e la poszoe del pao d terra. 4.3 La calbrazoe della telecamera Come atcpato ell troduzoe lo scopo della calbrazoe della telecamera e quello d stmare parametr trsec (lughezza focale cetro dell mmage e fattore d dstorsoe radale) e d dduare la poszoe del pao terra el rfermeto soldale co la telecamera. L operazoe ee solta poszoado ua scacchera d forma ota sul pao d terra al posto dell oggetto da scadre (cfr. fgure 4.4 e 4.5). 47

8 Captolo 4 Raggo ottco O d Xd (P ) Y d X d Z d Pao d terra x c (p ) O c Z Pao mmage Y X elecamera Fgura 4.6: Schematzzazoe delle gradezze goco ell operazoe d calbrazoe. U geerco puto P sulla scacchera (l ertce alto a destra) dduato dal ettore X d ha come mmage l puto p dduato dal ettore x c. A partre dall mmage catturata dalla telecamera s cofrotao le proezo degl spgol o de ertc della scacchera sul pao mmage co quato s coosce a pror della scacchera stessa (per esempo le dmeso de quadrett oppure l umero d quadrett preset). Il metodo e fortemete sprato all algortmo proposto da sa []. S preda rfermeto la fgura 4.6. E stato scelto oltre al solto sstema d rfermeto d ass cartesa (O c X Y Z) co O c cocdete co l cetro ottco ache l sstema d rfermeto (O d X d Y d Z d ) soldale co l pao d terra. Il pao geerato dagl ass X d e Y d cocde co l pao d terra. S cosder u puto P sulla scacchera. S dch co X d l ettore le cu coordate dduao la poszoe d P el rfermeto (O d X d Y d Z d ). Aalogamete s dch co Xc l ettore le cu coordate dduao la poszoe d P el rfermeto (O c X Y Z). Ife s dch co xc l ettore mmage dduate l puto p proezoe d P sul pao mmage 48

9 La calbrazoe ormalzzato el rfermeto (O c X Y Z). L uca cosa d cu s e a coosceza soo le coordate d P el rfermeto soldale co la scacchera. Qud l ettore Le coordate d P el rfermeto della telecamera e ua delle cogte del problema. Xd e oto. Iero esste u uca trasformazoe rgda che permette d passare dal rfermeto (O d X d Y d Z d ) a quello (O c X Y Z) e ceersa. Idcado co R c e rspettamete la matrce d rotazoe e l ettore d traslazoe che defscoo la trasformazoe rgda tra due rfermet e possble passare da u set d coordate all altro tramte la seguete equazoe: c X c = R c X d + c (4.7) Oamete le gradezze Suppoedo che: R c e c soo cogte. X c = Xc Yc Zc e rcordado la (4.3) l ettore mmage ormalzzato xc sara : x c = xc yc zc = Xc Zc Yc Zc (4.8) Per poter esprmere le compoet d x c pxel occorre fare degl ulteror passagg. Iaztutto bsoga cosderare che la telecamera troduce la cosddetta dstorsoe radale douta agl effett d aberrazoe delle let. Per esempo ua retta puo essere sta come ua lea cura. Co accade soprattutto a bord dell mmage. S troduce allora l terzo parametro trseco detto apputo fattore d dstorsoe radale. 49

10 Captolo 4 Le compoet d x c o teedo coto d per se della dstorsoe radale dorao essere modfcate per come segue (la terza compoete per altro baale s omette per sellre la otazoe) : a c x~ c = c b = ( + x c ) x c (4.9) S ot oltre come tal compoet sao ugual a meo del fattore a quelle del ettore espresso ella (4.6). Pertato s puo pesare d moltplcare lughezza focale f. Essedo quest ultma quatta espressa pxel ache x~ c per la x~ c f ara le compoet espresse pxel. Ife traslado rspetto al cetro dell mmage c c s peree al seguete ettore: ~ f ac + cx xc = f bc + cy x c = yc = xc (4.) I defta s e partt dal ettore X d (oto) che ddua u dato puto P sulla scacchera e s e pereut al ettore pxel x c ~ xc le cu coordate esprmoo la poszoe del corrspodete puto p ell mmage. al coordate soo ach esse ote perche msurabl drettamete dall mmage forta dalla telecamera. Idcado co ℵ l operatore che permette d passare da u ettore all altro le quatta da determare coolte ella trasformazoe ℵ soo f c c R c e c. I stes: ~ xc = xc = ( ) ℵ f cc R c c Xd (4.) Pertato la procedura d calbrazoe cosste el troare l set d parametr ( totale scalar) che permettere d far cocdere per og ertce P sulla scacchera la quatta ( f cc R c c ) Xd ℵ co l pxel x c estratto dall mmage. Defedo l errore e come: e = xc ℵ( f c R c c Xd ) 5

11 La calbrazoe e troducedo la seguete fuzoe d costo: = e l operazoe d calbrazoe deta quella d doer troare l seme d scalar che mmzz la fuzoe d costo. Il problema d mmzzazoe della fuzoe o e faclmete rsolble a causa delle o learta trodotte dalle equazo oero a causa del fatto che la trasformazoe: ℵ: Xd ~ xc e fortemete o leare. Il problema ee rsolto modo umerco usado u tpco approcco a gradete dscedete. Ioltre s puo far edere (cfr. Bouguet Peroa []) che l cetro dell mmage c c e dffcle da stmare usado u solo pao d calbrazoe (el caso questoe l pao della scacchera). Qud s scegle c c par al cetro geometrco dell mmage come defto ella (4.4) e s mmzza la fuzoe solo su rmaet 8 parametr scalar preset elle quatta f R c e c. A frote d rsultat spermetal la procedura d calbrazoe rsulta molto stable rspetto al rumore presete ell mmage e coerge ella maggor parte de cas all esatto mmo usado ua codzoe zale fssata e uguale per tutt gl espermet. Co rfermeto alla fgura 4.7 s soo dcate co delle croc tutt gl spgol della scacchera che corrspodoo a put p rappresetao la stma xˆ c (oero a pxel x c ) metre cerchett della poszoe degl spgol dopo la mmzzazoe. Come s puo edere dalla fgura cerchett e croc cocdoo. Questo sta a sgfcare che parametr troat dopo la mmzzazoe redoo la stma co x c l che garatsce suffcete precsoe e rsultat della procedura d calbrazoe. xˆ c pratcamete cocdete S uole mostrare adesso come rcaare la poszoe del pao d terra Π d el sstema d rfermeto soldale co la telecamera ot R c e c. E possble rappresetare 5

12 Captolo 4 Fgura 4.7: Rsultato dell operazoe d calbrazoe. I cerchett rappresetao la stma degl spgol della scacchera (dcat co le croc) dopo la mmzzazoe della fuzoe d costo. Come s puo edere cerchett e spgol s sorappogoo dcado che la calbrazoe e stata effettuata co successo. l pao Π d el rfermeto (O c X c Y c Z c ) tramte l ettore ω d : doe ω d = d d e l ettore ormale utaro al pao Π d el sstema d rfermeto (O c XYZ) metre d d e la dstaza del pao stesso dall orge Oc. Se s dca co ormale utaro al pao Π d el sstema d rfermeto (O d X d Y d Z d ) esso sara : d d d l ettore d = Il ettore rgda defta da d puo essere espresso el rfermeto (O c X Y Z) tramte la trasformazoe R c e c. Pertato d s calcola come: 5

13 La calbrazoe Idcado co d = R c d + c X c l ettore che ddua la poszoe d u puto P sulla scacchera el rfermeto (O X Y Z) e rcordado la propreta del captolo III s puo screre: Xc ω d = d Xc = dd (4.) Se s suppoe X c oto dalla equazoe scalare (4.) s rcaa d d e qud l ettore X c [3].. Per ulteror dettagl sulla calbrazoe della telecamera s puo cosultare Faugeras Fgura 4.8: Equpaggameto rchesto per la calbrazoe della sorgete lumosa. U operatore colloca ua matta ar put del pao d terra. L osserazoe dell ombra proettata dalla matta forsce formazo suffcet per rcaare la poszoe del puto luce. 4.4 La calbrazoe della sorgete lumosa Calbrare ua sorgete lumosa sgfca dduare la poszoe determato sstema d rfermeto. L operazoe puo essere effettuata ar mod. U 53

14 Captolo 4 Fgura 4.9: Immage osserata dalla telecamera durate l operazoe d calbrazoe del puto luce. La poszoe pxel de put b e t s cosete d troare la poszoe del puto luce el rfermeto soldale co la telecamera. metodo semplce e precso che rchede come equpaggameto l solo utlzzo d ua matta e quello che ee proposto d seguto. U operatore colloca ua matta sul pao d terra Π h llumato dalla sorgete lumosa (cfr. fgura 4.8). L mmage catturata dalla telecamera e llustrata fgura 4.9. La matta proetta u ombra sul pao d terra dalla quale s estrae la poszoe pxel della puta (puto mmage t s ) e della base (puto mmage b). S dcho le due gradezze rspettamete co t s e b. al put egoo dduat el rfermeto soldale co la telecamera (O c X Y Z) da ettor t s e b (cfr. fgura 4.) che rsultao ot dopo aer calbrato la telecamera. Per troare la poszoe della puta e della base dell ombra della matta sul pao d terra oero ettor s e B s tersecao rspettamete ragg ottc (O c t s ) e (O c b ) co Π h. Se s assume ota l altezza h della matta s possoo dedurre le coordate della puta. Pertato l puto luce S rappresetato dal ettore S dee gacere sulla retta dduata dal ettore - s. 54

15 La calbrazoe S Sorgete lumosa D Matta s h B P h Pao d terra t s b Camera O c Z X Pao mmage Y Fgura 4.: Schematzzazoe geometrca ella calbrazoe del puto luce. La sorgete lumosa dee gacere sulla retta passate per la puta della matta e per la puta dell ombra proettata dalla matta stessa. Se a questo puto s colloca la matta u altro puto del pao d terra egoo estratt dall mmage osserata due dfferet ettor s e B e qud ua dfferete retta passate per ess. Il puto luce e dduato dall tersezoe tra e. ale tersezoe s determa come segue. Dre che S gace sulla retta sgfca dre che esste uo scalare λ tale che: S = + λ ( s) = + λ (4.3) 55

16 Captolo 4 S λ λ s s Fgura 4.: Localzzazoe del puto luce S. Dalla rsoluzoe del sstema espresso dalle 4.3 e 4.4 s possoo rcaare le compoet del ettore S. Aalogamete dre che S gace sulla retta sgfca dre che esste uo scalareλ tale che: S = + λ ( s) = + λ (4.4) La (4.3) e la (4.4) costtuscoo u sstema d 6 equazo scalar 5 cogte (λλ e le 3 compoet d S ) rsoledo l quale s completa l operazoe d calbrazoe. L aals al solto s complca preseza del rumore. I tal caso le due rette e o s tersecao ecessaramete creado de problem ell dduazoe d S. L dea e allora quella d rpetere la procedura d prma ece che due olte olte. I tal modo s rcaao equazo del tpo (cfr. fgura 4.): S = + λ ( s ) = + λ (4.5) co =. Idcado co la geerca retta dduata dal ettore λ l ettore S ee determato come tersezoe tra le rette el seso de mm quadrat. D seguto ee llustrato come determare tale tersezoe. 56

17 La calbrazoe. S λ S λ S λ S Fgura 4.: Localzzazoe del puto luce S preseza d rumore. I questo caso l puto S ee troato tersecado rette el seso de mm quadrat. Le (4.5) costtuscoo u sstema leare d 3 equazo scalar +3 cogte. La soluzoe cercata e l ettore d parametr p = [ λ λ λ ] e l ettore S tal da mmzzare la somma de quadrat delle dstaze del puto luce S dalle lee. I altr term troducedo la fuzoe d costo ( S p) C defta come segue: C ( S p) = ( + λ ) = S (4.6) l problema deta quello d troare ettor ottm p e S tal da mmzzare la fuzoe d costo ( S p) C. Allo scopo s mpoe che la matrce Jacobaa della fuzoe ( S p) C sa zero: C S C p = (4.7) 57

18 Captolo 4 58 Co porta al seguete seme d equazo (per = ) : S C = S = ( ) = + λ p C = S λ = s doe = s. S ot come l equazoe (4.8) forsca ua espressoe dretta per S come fuzoe de parametr λ λ λ. Iseredo la (4.8) ell seme d equazo (4.9) s ha (per = ): λ - = λ = s µ doe la quatta meda µ e defta come segue: = µ = Rscredo la (4.) forma matrcale s ha: A p = b Doe A e la matrce : A = L M O M M M L L - L M O M M L L (4.8) (4.9) (4.) (4.) (4.)

19 La calbrazoe e b l ettore: b = µ µ M µ Dalla (4.) s rcaa l ettore ottmo p : p = [ λ λ λ ] = A - b (4.4) e qud dalla (4.8) ache la poszoe ottma della sorgete lumosa: S = = S (4.5) co S = λ +. S ot che ell equazoe (4.5) l ettore S ddua la poszoe del puto pu co alla sorgete lumosa S tra quell apparteet alla retta oero rappreseta la proezoe ortogoale d S sulla retta. Se o c e rumore ella msura tutte le rette s tersecao u uco puto dello spazo e la costellazoe d ettor S collassa S. Altrmet preseza d rumore l ettore S che ddua la poszoe ottma per la sorgete lumosa e l ettor medo (detto ache cetrode) dell seme d ettor { S } =... otteut dall equazoe (4.5). Il problema della calbrazoe e pertato completamete rsolto. 59