Manuela Zarattini. Matematica. &Realtà. Figure 2. Pearson Italia spa. Edizioni Scolastiche Bruno Mondadori

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1 Mnue Zrttini M MR Mtemtic &Retà & Figure Edizioni Scostice runo Monddori

2 Mnue Zrttini MR Mtemtic & Retà Figure Edizioni Scostice runo Monddori

3 Progetto editorie Cristin Gtti Cr ono Coordinmento editorie Eis Smniotto Progetto grfico Studio mp di Cinzi Rosic Supervisione grfic e copertin Sivi Rzzini Redzione Edistudio, Mino Fotocomposizione, impginzione, disegni tecnici, fotoito Essegi Grfic, Torino Ricerc iconogrfic Rffe Zvtt Iustrzioni Cinzi Gigino Controo quità Luc Federico H coorto teori de unità 10 Dnie Cmpiotti Hnno coorto gi esercizi Mriste Puon (unità 9) Mrin Muzzni (unità 7, 8 e 10) Immgini di copertin istockpoto.com Referenze iconogrfice rcivio Person Iti, M. ertinetti/rcivio Wite Str, Getty Imges, ICP onine, istockpoto.com, NS, Potos.com I corso propone, nee rurice Gre di mtemtic, quesiti trtti de vrie competizioni di Gioci mtemtici orgnizzti d Centro PRISTEM de Università occoni di Mino L cs editrice ringrzi Luisin icrdi e Mr Cerofoini, cui si devono cuni dei mterii puicti in questo corso. MR Mtemtic & Retà I nesso tr mtemtic e retà, divenuto imprescindiie ne ttue didttic de mtemtic, è messo impidmente fuoco ne qudro di riferimento PIS (cronimo di Progrmm per vutzione internzione de ievo ). In questo mito, competenz mtemtic (itercy) viene definit come segue. L itercy mtemtic è cpcità di un individuo di identificre e comprendere i ruoo ce mtemtic gioc ne mondo ree, di operre vutzioni fondte e di utiizzre mtemtic e confrontrsi con ess in modi ce rispondono e esigenze de vit di que individuo in qunto cittdino impegnto, ce rifette e ce esercit un ruoo costruttivo. Convinti ce si trtti di un impostzione vincente in termini si individui si socii, imo sceto di ispirrci qudro di riferimento PIS per questo nuovo progetto. Tutti i diritti riservti 01, Person Iti, Mino Torino Per i pssi ntoogici, per e citzioni, per e riproduzioni grfice, crtogrfice e fotogrfice pprtenenti proprietà di terzi, inseriti in quest oper, editore è disposizione degi venti diritto non potuti reperire noncé per eventui non voute omissioni e / o errori di ttriuzione nei riferimenti. È viett riproduzione, nce przie o d uso interno didttico, con qusisi mezzo, non utorizzt. Le fotocopie per uso persone de ettore possono essere effettute nei imiti de 15% di ciscun voume dietro pgmento SIE de compenso previsto d rt. 68, commi 4 e 5, de egge prie 1941 n Le riproduzioni effettute per finità di crttere professione, economico o commercie o comunque per uso diverso d queo persone possono essere effettute seguito di specific utorizzzione riscit d: IDRO, corso di Port Romn n. 108, 01 Mino, e-mi segreteri@idro.org e sito we Stmpto per conto de cs editrice presso Ecoook, Ro, Mino Ristmp nno D esso imo trtto due ttenzioni fondmenti: sistemticità con cui viene esercitto i processo di mtemtizzzione; costruzione grdue dee competenze. questo profio cuture e didttico imo ggiunto i più to ggiornmento in termini di didttic mutimedie, integrndo i corso con. Onine o ne su derivzione offine (Digipestr), questo ortorio digite rppresent uno strumento formidie per pprendimento e insegnmento de mtemtic. L soidità de progetto didttico e riccezz de pprto esercittivo, iimittmente ditie grzie MyMtL, fnno di questo corso uno strumento prezioso per pprendere mtemtic in modo ttue e coinvogente.

4 I processo de mtemtizzzione MR Mtemtic e retà f proprie e inee suggerite ne qudro di riferimento PIS prtire d suo punto foce: i nesso dinmico fr mtemtic e retà. I processo utiizzto per risovere proemi de vit ree è cimto, in PIS, mtemtizzzione. Si trtt di un cico ce prte d retà per rrivre mtemtic e successivmente tornre retà. ttrverso questo processo, e strutture mtemtice presenti nee situzioni rei Retà 4 Situzione ree 1 Proem de mondo ree c c Mtemtic 3 Souzione mtemtic possono essere identificte e scoperte, per poi venire utiizzte ne souzione dei proemi. Te processo permette inotre di verificre ccettiità dee souzioni trovte, in rpporto situzione d cui si è prtiti. I nesso tr mtemtic e retà non è quindi senso unico, come spesso simo ituti pensre. c Proem mtemtico c MR MR Mtemtic e retà iut percorrere tutte e tppe de cico: d Retà Mtemtic d Mtemtic Retà MR Le rurice specifice ce iutno percorrere prim prte de cico ( 1 - ) sono: L pertur di unità, ce guid scoprire struttur mtemtic impicit in un situzione ree. Gi esercizi interdiscipinri, ce vedono mtemtic prtire d suo sviuppo storico o de sue ppiczioni. Gi esercizi di proem soving, ce sviuppno retiv competenz prtire d iveo se ( Risovi, Proem guidto ) fino grdo più to ( Proem soving trtti in prte d repertorio PIS). Le rurice specifice ce iutno percorrere second prte de cico ( 3-4 ) sono: I ox di fine prgrfo D mtemtic retà, ce riciedono di coegre o ppicre situzioni rei i concetti ppresi. Gi esercizi Stim i risutto e Stim misur, ideti dndo riievo un dee quttro idee-cive contenute ne qudro di riferimento PIS: ide di quntità. Insistono prticormente su fse 4 de cico, ce comport verific de ttendiiità dei risutti.

5 L costruzione dee competenze differenz di qunto ccde in tri corsi di mtemtic, MR Mtemtic e retà pone e si per costruzione dee competenze fin d iveo de prim conoscenz e ppiczione dei concetti teorici. Tutt prte inferiore di ogni pgin di teori è inftti occupt d esercizi ce guidno cquisizione dee competenze iveo di se. Le competenze vengono poi riprese e sviuppte un iveo più to ne cino esercittivo ce occup second prte di ogni unità. In quest te, e competenze de qudro di riferimento PIS vengono messe in rezione con e rurice didttice contenute ne corso. Competenze (d frmework PIS) Pensiero e rgionmento Come si cimno Fiss i concetti Rifetti Rurice in MR Mtemtic e Retà ce cos servono Fciitno comprensione e pprofondimento dei concetti mtemtici. rgomentzione Impr dimostrre Riciede di competre sempici dimostrzioni geometrice, in vist de iennio superiore. Comuniczione Us i inguggio mtemtico Insegn grdumente utiizzre tutti gi strumenti per comunicre in mtemtic. Modeizzzione D retà mtemtic D mtemtic retà Fi un modeo Stim misur Stim i risutto iutno : trdurre retà in strutture mtemtice; interpretre i modei mtemtici in termini di retà ; vorre con modei mtemtici, vutri e vidri. Formuzione e risouzione di proemi Risovi Proem guidto Proem soving Insegnno risovere proemi, di più sempici i più compessi. Riciede di risovere proemi rgomentndo e motivndo e proprie scete. Rppresentzione Rppresent Costruisci Riciedono di utiizzre e confrontre diverse forme di rppresentzione grfic. Uso de inguggio simoico, forme e tecnico e dee operzioni Uso di sussidi e strumenti Formizz Us i inguggio mtemtico Cco Cco rpidmente Mtemtic con Exce Mtemtic con GeoGer MyMtL / Digipestr Insegnno : decodificre e interpretre i inguggio simoico e forme; vorre con enunciti ed espressioni ce contengono simoi e formue; usre vriii, risovere equzioni ed effetture ccoi. Guidno utiizzo di sussidi e strumenti informtici voti fciitre ttività mtemtic.

6 I ortorio digite MyMtL si present come un progrmm onine con due cni: to docente e to studente. Ce cos offre docente Un cino iimitto di esercizi interttivi d ssegnre in modo prtico e fessiie I docente può scegiere gi esercizi prtire d un indice conforme iro di testo MR Mtemtic e Retà, orgnizzri secondo i percorso ce ritiene più opportuno, integrri con esercizi di propri invenzione, ssegnri inter csse, gruppi o singoi studenti, diversificndo i percorsi di pprendimento. I numero degi esercizi disposizione è virtumente iimitto, percé i vori numerici di ogni esercizio vengono utomticmente rinnovti ogni utiizzo. Un monitorggio continuo de ttività dei singoi studenti L pittform registr ttività di ogni studente psso dopo psso, trsmettendo docente e informzioni retive non soo numero di esercizi svoti correttmente, m nce tempo impiegto per ognuno di essi e tipo di iuti riciesti. Ce cos offre o studente Un iuto, psso dopo psso, ne risouzione degi esercizi Svogendo gi esercizi ssegnti d proprio docente, o studente riceve feedck specifici: qundo negtivi, sono inftti retivi tipo di errore commesso. Inotre, se non s svogere un esercizio, o studente può: visuizzre un esempio simie; competre risouzione guidt de esercizio di prtenz, ricevendo feedck psso dopo psso; termine, ritroverà esercizio di prtenz con i prmetri numerici mutti. Come si ccede MyMtL? dottndo MR Mtemtic e Retà ne versione con MyMtL egto i voumi in vendit, per ogni nno di corso, ogni studente troverà un codice per entrre ne pittform. I docente ce vrà dottto i corso ne versione con MyMtL riceverà d proprio consuente persone i codice di ccesso cne docente. Digipestr Gi esercizi di MyMtL su DVD-Rom L Digipestr è un ortorio digite contenente tutti gi esercizi MyMtL suddivisi in tre DVD-Rom, uno per ogni nno di corso. Ne Digipestr sono presenti tutte e funzionità MyMtL ttivii offine: gi esercizi sono interttivi, si rinnovno ogni utiizzo e sono dotti di risouzioni guidte e di esercizi svoti.

7 INDICE 7 RE DEI POLIGONI 08 Esercizi 1 Figure equiventi re di cuni qudriteri re dei tringoi re di tri qudriteri re dei trpezi e di tri poigoni re dei poigoni regori RIEPILOGO 084 RIPSSO OPERTIVO 089 TEST DI UTOVERIFIC 090 RECUPERO GUIDTO 09 ZON POTENZIMENTO 096 MTEMTIC CON GEOGER 098 Sintesi visiv Esercizi ggiuntivi e di coegmento Esercitzioni con GeoGer 8 IL TEOREM DI PITGOR 100 Esercizi 1 Teorem di Pitgor e terne pitgorice ppiczioni de teorem di Pitgor Tringoi rettngoi con ngoi prticori RIEPILOGO 146 RIPSSO OPERTIVO 149 TEST DI UTOVERIFIC 150 RECUPERO GUIDTO 15 ZON POTENZIMENTO 156 MTEMTIC CON GEOGER 157 Sintesi visiv Esercizi ggiuntivi e di coegmento Esercitzioni con GeoGer

8 9 L CIRCONFERENZ, IL CERCHIO E I POLIGONI 158 Esercizi 1 L circonferenz e i cercio Circonferenze e rette ne pino ngoi centro e ngoi circonferenz Poigoni inscritti e circoscritti Poigoni regori RIEPILOGO 19 RIPSSO OPERTIVO TEST DI UTOVERIFIC 3 RECUPERO GUIDTO 5 ZON POTENZIMENTO 8 MTEMTIC CON GEOGER 9 Sintesi visiv Esercizi ggiuntivi e di coegmento Esercitzioni con GeoGer 10 LE FIGURE SIMILI 30 Esercizi 1 Le simiitudini 3 47 tre proprietà dei poigoni simii I teoremi di Eucide RIEPILOGO 76 RIPSSO OPERTIVO 79 TEST DI UTOVERIFIC 80 RECUPERO GUIDTO 8 ZON POTENZIMENTO 86 MTEMTIC CON GEOGER 87 SOLUZIONI 88 Sintesi visiv Esercizi ggiuntivi e di coegmento Esercitzioni con GeoGer Gossrio mtemtico Tvoe numerice

9 Unità 7 re dei poigoni D retà... Qunto è grnde tu cmer? E tu cs? Per rispondere pensi sicurmente misur de superficie de su pint e quindi qunti metri qudrti corrisponde. Quest misur è crtteristic più utiizzt per descrivere in modo sintetico qusisi itzione, percé d ess si può stiire rpidmente non soo se i uogo è dtto e proprie esigenze, m nce i suo vore commercie in cso di vendit o di ffitto.

10 MR... mtemtic Osserv pint di quest picco cs e e misure indicte su di ess.. Qu è misur de superficie intern di ogni stnz? Cmer d etto:... Cmer d etto:... gno:... Soggiorno con cucin:... 6,99 m 4,4 m 6,99 m 18,40 m. Qu è misur de superficie tote intern cpestie, cioè trscurndo o spessore di muri e preti divisorie?... Ogni misur ce i indicto si cim re e si può ssocire ogni figur dott di un estensione superficie imitt. Per determinre re si confront superficie con un unità di misur degut e questo procedimento è detto nce metodo diretto di misur. Nee pgine ce seguono cpiri ce si può procedere nce con un metodo indiretto di misur, ce permette di ccore re di prticori poigoni conoscendo soo e misure dee ungezze di cuni oro eementi. Studindo quest unità: ti srà utie spere... impreri... utiizzre i sistem di misur dee ungezze qui sono e proprietà fondmenti dei qudriteri e dei poigoni regori qui sono e proprietà fondmenti dei tringoi come disegnre rette perpendicori, distnz di un punto d un rett, e tezze di tringoi e di cuni qudriteri eseguire operzione di rdice qudrt e i concetto di rpporto misurre con i metodo diretto estensione superficie di figure per stiirne re; rezione di equivenz tr figure; differenz tr e rezioni di equivenz, congruenz, isoperimetri; misurre con i metodo indiretto estensione superficie di cune figure deducendo e formue per i ccoo dee ree; e principi formue dirette e inverse per i ccoo dee ree e d ppicre 9 Con i tuo tutor digite potri: individure poigoni equiventi ppicre i criterio di equivenz conoscere e misure di estensione superficie ccore re di tringoi ccore re di qudriteri ccore re di tri poigoni risovere proemi diretti e inversi di ccoo de re di poigoni

11 Unità 7 re dei poigoni 1 Figure equiventi re dee figure Estensione superficie e sistem metrico decime Sppimo ce ogni superficie si ssoci un grndezz cimt estensione superficie. Ne sistem metrico decime unità di misur di quest grndezz è i metro qudrto, ce si indic con i simoo m, e rppresent superficie di un qudrto con i to de ungezz di 1 m. I mutipi e i sottomutipi de metro qudrto si costruiscono medinte un serie di qudrti venti come to, ordintmente, i mutipi e i sottomutipi de metro. Prticmente si ottengono motipicndo o dividendo i metro qudrto per 100, , ,... secondo questo scem: 1 cm 1 mm 1 dm Unità Simoo Mutipi Sottomutipi 1 ciometro qudrto km m km 1 ettometro qudrto m m 1 decmetro qudrto dm 100 m 1 metro qudrto m 1 m 1 decimetro qudrto dm 0,01 m 1 centimetro qudrto cm 0,0001 m 1 miimetro qudrto mm 0, m m dm m dm cm mm COMPETENZE 1 -Fiss i concetti- Qu è unità di misur fondmente de estensione superficie?... Ce unità di misur si ottiene: motipicndo 1 m per 100?... dividendo 1 m per ? Stim misur- Qu è unità di misur più degut per misurre e superfici indicte? Estensione superficie di... cm m km un regione itin pint di un pprtmento un fogio protocoo 10

12 1 Figure equiventi Esercizi pgg < Esempi 1. Si pss d un unità un tr di ordine inferiore motipicndo, ogni vot, per ,8 m (157,8 100) dm dm 3 km ( ) dm dm. Vicevers, per pssre d un unità un tr di ordine superiore, ogni vot si divide per cm (3 100) dm 0,03 dm m ( ) m (74,83 100) m 7,483 m TEORI re Ogni figur pin imitt d un qusisi contorno ciuso, ce in quest unità cimeremo sempicemente figur, occup un prte di superficie con un cert estensione. In genere, fisst un unità di misur, dicimo ce: L misur de estensione superficie di un figur si cim re. L re si indic con. Per esempio, considerimo questo rettngoo e confrontimo su superficie con que de unità di misur ce, in questo cso, è 1 cm cioè un qudrtino con un to ungo 1 cm. re ne inguggio comune indic un qusisi superficie imitt. In geometri invece si distingue: superficie imitt è un figur e re è su misur. 1 cm I confronto è sempice: unità è contenut 10 vote ne rettngoo. L re de estensione superficie de rettngoo, rispetto centimetro qudrto, è 10. Scrivimo: 10 cm Qundo ci occuperemo de ccoo de re ci esprimeremo in modo più sempice e diretto dicendo, per esempio, re de rettngoo è 10 cm. -Stim misur- -Cco- 4 occio re de rettngoo è:... cm Or suddividi i rettngoo in centimetri qudrti e ccone re: in cm :... in mm : Compet. 0 m... dm 0,5 km... m cm... m -Formizz- In genere, un unità di misur di superficie si indic con u, riferit un qudrto con to ungo u. Qu è re de figur rispetto u unità indict? 4 u 5 u 4,5 u ESERCIZI 11

13 Unità 7 re dei poigoni Equivenz di figure Osservimo queste due figure F e G. È sempice cpire ce nno stess re: 4 cm. In genere, fisst un stess unità di misur: F G 1 cm Due figure ce nno stess re si dicono equiventi. I simoo de equivenz tr due figure è. Quindi, riprendendo i nostro esempio, scrivimo F G, ce si egge: F è equivente G o nce F e G sono equiventi. Criterio di equivenz Per riconoscere poigoni o, in genere, figure equiventi, non sempre è necessrio misurre o ccore oro re. Vedimo or come procedere osservndo e due figure e, disegnte finco. Ciscun di esse si può scomporre in due prti rispettivmente congruenti; per esempio, in un tringoo e in un rettngoo. Or è sempice cpire ce sono equiventi:. imo così scoperto i criterio di equivenz dee figure: Se due figure sono scomponiii in uno stesso numero di prti rispettivmente congruenti or sono equiventi. COMPETENZE -Fiss i concetti- -Risovi Se due figure nno stess re or nno sicurmente: stess form stess estensione superficie stess form e stess estensione superficie Se due figure sono scomponiii in uno stesso numero di prti rispettivmente congruenti or: sono congruenti sono equiventi sono coincidenti -Us i inguggio mtemtico- è equivente in simoi si scrive: C Que tr e figure e C è equivente d?... Scrivi equivenz in simoi:... Qu è stto i tuo rgionmento per stiire equivenz? Rppresent- Disegn un figur ce si equivente m non congruente T. T 1

14 1 Figure equiventi Esercizi pgg < Fccimo ncor un tr osservzione sue figure e. Intuitivmente possimo pensre ognun di esse come somm di un tringoo T e di un rettngoo R. Quindi, utiizzndo i simoi di operzione noi noti, scrivimo ce: T R e T R Vicevers, possimo pensre i tringoo T come differenz tr ed R o tr ed R, e quindi scrivere: T R e T R Deducimo or ce: R T T R TEORI Due figure ottenute come somm o differenz di prti rispettivmente congruenti o equiventi sono equiventi. Noi ppiceremo i criterio e e osservzioni svote riferendoci, in prticore, i poigoni. Poigoni congruenti, equiventi, isoperimetrici Due poigoni con o stesso perimetro si dicono isoperimetrici. Or considerimo i perimetro e re di coppie di poigoni (nce concvi) rispetto e unità di misur indicte. Due poigoni non congruenti possono essere: 1 cm 1 cm isoperimetrici non equiventi equiventi non isoperimetrici equiventi e isoperimetrici Due poigoni congruenti, invece, sono sempre equiventi e isoperimetrici: -Fiss i concetti- D mtemtic... L re de figur è... percé unità di misur... è contenut... vote ne su superficie. Utiizz i concetto per risovere u seguente situzione.... retà Le forme nturi pine, come quee di un go o di un prto, nno spesso confini moto irregori. In csi come questi, per ccore re de superficie si può ricoprire pintin o mpp retiv con un reticoo mgie qudrte in cui ogni qudretto indic unità di misur u. Poi si contno tutti i qudretti riempiti d form per meno oro metà. Te numero, rispetto u, è un stim de re effettiv. Più e mgie de reticoo sono fitte e più stim de misur è ccurt. Que può essere un stim de re di questo getto? MR 1 Stiisci se e seguenti ffermzioni sono vere o fse. V F Se due poigoni sono congruenti or sono equiventi Se due poigoni sono equiventi or sono congruenti Se due poigoni sono congruenti or sono isoperimetrici Se due poigoni sono isoperimetrici or sono congruenti u ESERCIZI 13

15 Unità 7 re dei poigoni re di cuni qudriteri re di un rettngoo Considerimo un rettngoo con se ung 5 cm e tezz ung cm. ppicndo i metodo diretto, cioè confrontndo superficie con que de unità di misur scet, trovimo ce re de rettngoo, rispetto centimetro qudrto, è cm 1 cm o stesso risutto possimo rrivre con i metodo indiretto motipicndo tr oro e misure, rispetto centimetro, e : In genere dicimo ce: L re di un rettngoo si ottiene motipicndo misur de se per misur de tezz. L formu dirett è: Le formue inverse sono: Esempio Qu è misur de se di un rettngoo con tezz ung 0 cm e re di 300 cm? Sppimo ce 0 cm, 300 cm e quindi: (300 0) cm 15 cm COMPETENZE 1 -Fiss i concetti- Per ccore re di un rettngoo con e due dimensioni diverse è sufficiente conoscere misur di: meno un dimensione entrme e dimensioni soo un dimensione Un rettngoo e dimensioni unge 5 cm e dm. Que misur de su re è errt? 1 dm 100 cm 10 dm Spieg tu scet: Risovi- inizio de unità i ccoto re de superficie tote intern cpestie de pprtmento: ce vore i trovto?... Qu è re di tutt pint rettngore estern de cs, spendo ce e sue dimensioni sono unge 6,95 m e 5,93 m?... Ce cos indic differenz tr e due ree? 14

16 re di cuni qudriteri Esercizi pgg < Osservimo ce d or in poi in ogni formu per i ccoo de re di un poigono o di tre figure, e misure di ungezz utiizzte, come e, si intendono sempre espresse ne stess unità di misur. Quindi, per esempio, prim di ccore re di un rettngoo occorre ssicurrsi ce e misure dee sue dimensioni sino espresse entrme in centimetri, o in metri ecc. re di un qudrto Considerimo un qudrto con un to di misur. Sppimo ce un qudrto è un prticore rettngoo con se e tezz congruenti. Per ccore su re ppicimo or formu: In ess però, quindi: In genere dicimo ce: (cm, cm) cm (m, m) m... (cm, m)? (cm, dm)? TEORI L re di un qudrto si ottiene motipicndo misur di un to per se stess. L formu dirett, espress con un potenz, è: L formu invers è: ( ) Esempio Qu è ungezz de to di un qudrto con re di 11 dm? Sppimo ce 11 dm e quindi: 11 dm 11 dm 11 dm -Us i inguggio mtemtico- -Risovi- 4 Osserv i qudrto e compet e formue. D C 6 Un iuo rettngore e dimensioni unge,5 m e 30 dm. Determin su re in metri qudrti Stim misur- Que, tr e seguenti misure, rppresent stim ce megio pprossim misur de to di un qudrto di re 10 cm? 3 cm 4 cm 5 cm Un qudrto un to ungo 7 cm. Qu è su re? Un rettngoo re di 80 cm e se ung 10 cm. Qunto è ung su tezz? Un rettngoo dimensioni unge 16 cm e 4 cm, e un qudrto i to ungo 8 cm. Verific ce e due figure sono equiventi. ESERCIZI 15

17 Unità 7 re dei poigoni re di un preogrmm Considerimo un preogrmm P, con se e tezz retiv d ess ce misurno, rispettivmente, e. T P R T P R Ritgimo i tringoo T e disponimoo come ne figur destr: ottenimo i rettngoo R, equivente preogrmm. Deducimo or ce: un preogrmm è equivente un rettngoo ce stess se e stess tezz. Quindi, pssndo re, dicimo in genere ce: L re di un preogrmm si ottiene motipicndo misur de se per misur de tezz. L formu dirett, è: Le formue inverse sono: Esempio Qu è re di un preogrmm con se ung 10 cm e tezz retiv ung 1,5 dm? Sppimo ce 10 cm, 1,5 dm 15 cm e quindi: (10 15) cm 150 cm COMPETENZE Si può determinre re di un preogrmm conoscendo soo e misure dee ungezze di due ti consecutivi? Sì No Percé?... -Fiss i concetti- -Risovi- Compet te. Le figure sono equiventi tr oro? (cm) (cm) (cm ) Rettngoo Qudrto Preogrmm Sì No Percé? D mtemtic... Compet definizione di re di un rettngoo scegiendo tr i termini: quoziente, prodotto, opposti, consecutivi. L re di un rettngoo è i... dee misure di due ti... Utiizz per risovere quest situzione. MR... retà L zon per ssistere un pio, intern pist, è rettngore: rg 60 m e ung 90 m. I giorno de pio zon er gremit di gente. Gi orgnizztori nno ftto un stim de numero degi spetttori ccondo per ogni metro qudrto 4 persone. Secondo quest stim qunte persone nno ssistito pio?

18 3 re dei tringoi Esercizi pgg < 3 re dei tringoi re di un tringoo quunque Considerimo un tringoo T, con se e tezz d ess retiv ce misurno, rispettivmente, e. Trccimo di vertici C e e pree rispettivmente i ti e C e cimimo D i oro punto di intersezione: ottenimo i preogrmm P, formto d due tringoi congruenti T. Deducimo or ce: un tringoo è equivente metà di un preogrmm ce stess se e stess tezz. Quindi, pssndo re, dicimo in genere ce: C C T P D TEORI L re di un tringoo si ottiene motipicndo misur de se per misur de tezz e dividendo i prodotto per due. T P L formu dirett è: Le formue inverse sono: Osservimo ce e formue si ppicno considerndo uno qusisi dei tre ti de tringoo come se, purcé tezz si que retiv d ess. Esempio Sppimo ce re de tringoo C è 336 cm e ce C 30 cm. ppicndo un dee formue inverse, ricvimo misur de tezz H retiv to C, sceto come se: H C = cm,4 cm C H 1 -Fiss i concetti- Un tringoo stess se e stess tezz di un preogrmm con re di 100 cm. Qu è re de tringoo?... Spieg i tuo rgionmento:... I tringoo CD re. Compet e formue. C... C DH D H C 3 4 I tringoo DEF re. Compet e formue. DE... H... K F FE FD Us i inguggio mtemtico- -Formizz- L formu de re di un tringoo si può indicre nce con tre uguginze. Que tr e seguenti è errt? 1 D I E ESERCIZI 17

19 Unità 7 re dei poigoni re di un tringoo rettngoo Considerimo un tringoo rettngoo i cui cteti e ipotenus misurno, rispettivmente, c, e. Possimo considerre un cteto come se e tro come tezz retiv d esso. L re è perciò: In genere dicimo ce: c L re di un tringoo rettngoo si ottiene motipicndo e misure dei cteti e dividendo i prodotto per due. cteto ipotenus c cteto Misur de tezz retiv ipotenus Fccimo un tr osservzione su un tringoo rettngoo. Se indicimo con misur de tezz retiv ipotenus, quest utim è or se de tringoo e indicimo con su misur. D un dee formue inverse ricvimo : M, poicé c, imo: In genere dicimo or ce: c L misur de tezz retiv ipotenus di un tringoo rettngoo si ottiene motipicndo e misure dei cteti e dividendo i prodotto per misur de ipotenus. c c COMPETENZE Us i inguggio mtemtico- -Cco- 5 Osserv i tringoo rettngoo e compet formu per ccore su re. G L H 7 Osserv figur e cco CH. 10 cm C 6 cm C 8 cm CH cm C H 6 -Formizz- Compet e formue inverse ce permettono di ccore e misure e c dei cteti di un tringoo rettngoo: c Risovi- Disegn un tringoo rettngoo ce re 4 cm e un cteto ungo 4 cm. Rifetti: prim cco misur de tro cteto con formu opportun e poi disegn i tringoo. 18

20 3 re dei tringoi Esercizi pgg < Esempio Osservimo in figur e misure retive tringoo rettngoo. Qu è su re e misur de tezz retiv ipotenus? c 18 4 cm 16 cm c 18 cm c 18 4 cm 14,4 cm cm 4 cm TEORI Formu di Erone Quest formu, egt nome di Erone (mtemtico greco vissuto tr i I e II secoo d.c.), permette di ccore re di un qusisi tringoo conoscendo sotnto e misure,, c dei suoi ti: p p p p c p dove indic i semiperimetro Esempio Qu è re di un tringoo i cui ti sono ungi 13 cm, 14 cm e 15 cm? Ponimo 15 cm, 14 cm, c 13 cm e ccoimo i semiperimetro: p ( c) [( ) ] cm 1 cm ppicimo formu di Erone: 1 (1-15) (1-14) (1-13) cm cm 7056 cm 84 cm Per ccore re di un tringoo con formu di Erone è sufficiente conoscere: soo i perimetro soo misur dei ti i perimetro e misur dei ti -Fiss i concetti- -Risovi- Un tringoo rettngoo i ti ungi 3 cm, 4 cm, 5 cm.. Qu è i suo semiperimetro?.... Qu è su re? ppicndo formu di Erone:... ( ) ( ) ( ) cm... Senz ppicre formu di Erone: 3... cm D mtemtic... Se precede un pro, semi- vuo dire metà : quindi semiperimetro è metà de perimetro. Si dice nce ce re di un tringoo è i semiprodotto dee misure de se e de tezz retiv percé te prodotto o si divide per e quindi metà. MR De tringoo C conosci C. Tr e seguenti, scegi un so tr misur ce, insieme C, ti permette di ccore re de tringoo. H C H C Utiizz formu per risovere quest situzione.... retà L Sicii un form moto simie un tringoo. Stim re de su superficie pensndo come un tringoo e considerndo e misure indicte su crtin. 80 km 180 km ESERCIZI 19

21 Unità 7 re dei poigoni 4 re di tri qudriteri re di un romo I romo è un prticore preogrmm. Quindi, su re si può ccore con formu ce conoscimo: Esiste tuttvi un tr formu ce si ppic qundo è not misur di ciscun digone de romo. Considerimo or un romo R 0 con e digoni ce misurno d 1 e d. Trccimo di vertici e C e pree digone D mggiore e di vertici D e e pree digone minore: ottenimo un rettngoo R, con e dimensioni congruenti e digoni de romo. d Osservimo ce i romo è formto d quttro tringoi congruenti, mentre i rettngoo è formto d otto di questi tringoi. R 0 C d d 1 R Deducimo or ce: un romo è equivente metà di un rettngoo con se e tezz unge come e digoni de romo. R 0 R d 1 Quindi, pssndo re, dicimo in genere ce: L re di un romo si ottiene motipicndo e misure dee digoni e dividendo i prodotto per due. L formu dirett è: d d 1 d d 1 d 1 COMPETENZE -Fiss i concetti- -Cco- 1 3 Conoscendo misur di un to di un romo e misur de tezz retiv, que formu si ppic per ccorne re?... Conoscendo e misure dee due digoni di un romo, que formu si ppic per ccore su re?... -Us i inguggio mtemtico- Compet e formue per ccore re de romo CD.... C D H C 4 Cco re (in cm ) de romo prendendo con un rigeo e misure necessrie. Rifetti: i modo più rpido è trccire e sue digoni, misurre e ppicre formu opportun. D C 0

22 4 re di tri qudriteri Esercizi pgg < Le formue inverse sono: d 1 d d d 1 Un romo prticore: i qudrto Un qudrto è un prticore romo con e digoni congruenti. Quindi, per ccorne re, conoscendo misur d di un digone, scrivimo: d d d 1 d d d d TEORI L formu dirett è: d L formu invers è: d d ( ) Esempi 1. Qu è re di un romo con e digoni unge 4 cm e 56 cm? d d 1 4 cm, d 56 cm e quindi: 1 d 4 56 cm 1176 cm. Qunto è ung un digone di un qudrto ce re 400 cm? e quindi: 400 cm d 400 cm 800 cm 8,8 cm (troncto centesimo) -Risovi- -Risovi- 5 L re di un rettngoo è 100 cm e un romo e digoni unge come e dimensioni de rettngoo. 7 Le digoni di un romo sono unge 15 cm e 10 cm. Cco su re. Qu è re de romo?... 6 Spieg i tuo rgionmento:... -Us i inguggio mtemtico- Osserv i qudrto CD e compet formu per ccorne re. C... D C Un digone di un qudrto è ung 6 cm. Cco re. L re di un romo è 100 cm e un digone è ung 10 cm. Qunto è ung tr digone? L re di un qudrto è 50 cm. Cco misur di un digone. ESERCIZI 1

23 Unità 7 re dei poigoni re di un qudritero con e digoni perpendicori Per dedurre formu per i ccoo de re di un detoide e, in genere, di un qusisi qudritero con e digoni perpendicori, possimo ppicre o stesso rgionmento iustrto per i romo. Q T 1 T d 1 T 1 T 1 T d 1 T 4 T 3 T 4 T 3 T 4 d R T T 3 Quindi, in genere: d L re di un qudritero con e digoni perpendicori si ottiene motipicndo e misure dee digoni e dividendo i prodotto per due. L formu dirett è: Le formue inverse sono: d 1 d Esempio d d 1 d d 1 Un detoide re di 90 cm e un digone ung 10 cm. Qunto è ung tr digone? 90 cm 90, d 1 10 cm e quindi: d = cm 18 cm d 1 10 COMPETENZE 11 1 Osserv i seguenti qudriteri. Per ccore oro re puoi ppicre formu de ccoo de re di un detoide?. Sì No Percé?.... Sì No -Fiss i concetti- -Risovi- Percé?... Un qudritero con e digoni perpendicori e digoni unge 3 dm e 50 cm. Cco re in centimetri qudrti e in decimetri qudrti. D mtemtic... Osserv figur e e misure indicte. Compet con e misure e formu per ccore re de qudrto più grnde: (......) Utiizz formu per risovere quest situzione. MR... retà Un tvoo qudrto i to ungo un metro e mezzo. nge vuoe confezionre un tovgi in modo ce pend d ogni to di 0 cm. Srnno sufficienti tre metri qudrti di stoff?

24 5 re dei trpezi e di tri poigoni Esercizi pgg < 5 re dei trpezi e di tri poigoni re di un trpezio quunque Considerimo un trpezio T con e si ce misurno 1 e e con tezz ce misur. Costruimo tri due trpezi congruenti d esso e disponimoi come mostrto in figur per ottenere un preogrmm P. 1 P TEORI T T P 1 Osservimo ce i preogrmm stess tezz de trpezio e su se è ung qunto somm dee si de trpezio. Osservimo inotre ce i trpezio è metà de preogrmm. Deducimo or ce: un trpezio è equivente metà di un preogrmm ce stess tezz de trpezio e per se somm dee si de trpezio. Quindi, pssndo re, dicimo in genere ce: L re di un trpezio si ottiene motipicndo somm dee misure dee si per misur de tezz e dividendo i prodotto per due. L formu dirett è: ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) Le formue inverse sono: Fiss i concetti- -Us i inguggio mtemtico- 1 Le formue dirette e inverse ricvte qui sopr si riferiscono: soo i trpezi sceni soo i trpezi isoscei i trpezi sceni e isoscei Qui sono e misure ce occorre conoscere per ppicre formu de re di un qusisi trpezio? p 1 p 3 4 Osserv i trpezio CD e compet formu per i ccoo de re. ( +...)... D C -Risovi-... Un preogrmm stess tezz di un trpezio e per se somm dee si de trpezio. L re de preogrmm è 50 cm. Qu è re de trpezio?... Spieg i tuo rgionmento:... H ESERCIZI 3

25 Unità 7 re dei poigoni Esempi 1. Qu è re di un trpezio ce e si unge 3 cm e 16 cm e tezz ung 0 cm? Sppimo ce 1 16 cm, 3 cm, 0 cm. Quindi: ( + 1 ) (3 + 16) cm cm 480 cm. Qunto è ung tezz di un trpezio ce re di 0 cm e e si unge 16,5 e 3,5 cm? Sppimo ce 1 16,5 cm, 3,5 cm, 0 cm. Quindi: cm cm 11 cm ,5 + 3,5 40 re di un poigono quunque Per ccore re di un poigono quunque possimo seguire vri metodi, second de proem ce si present. Vedimone cuni ttrverso opportuni esempi. re di un poigono quunque medinte scomposizione Considerimo i poigono S concvo. Non esiste un formu per ccorne direttmente re. Considerimo or i dti riportti ne figur e scomponimo in poigoni, in modo ce risuti fcie ccorne re. 3 m S R 1 m L re de rettngoo R è: R (3 1) m 3 m ( + 3) 1 L re de trpezio T r è: Tr m,5 m 1 1 L re de tringoo T è: T m 0,5 m Quindi re de poigono S è: S (3,5 0,5) m 6 m 1 m 1 m T r T 1 m 1 m COMPETENZE 5 6 -Rppresent- Disegn un trpezio rettngoo ce re 4 cm e e due si unge 3 cm e 1 cm. Rifetti: prim cco misur de su tezz con formu opportun e poi disegn i trpezio trccindo e due si e tezz con e misure note. -Risovi- Cco misur de se di un trpezio cui re è 180 dm e con e si unge 8 dm e 0 dm. 7 Osserv i trpezio CD e e misure indicte. Cco su re con due metodi diversi. 1 metodo D 14 cm Q 14 cm C T H6 cm Utiizz formu dirett. ( +...) metodo Utiizz scomposizione considerndo e ree de qudrto Q e de tringoo T ce formno i trpezio. Q... T... Q T... 4

26 5 re dei trpezi e di tri poigoni Esercizi pgg < re di un poigono quunque medinte sottrzione Vogimo ccore re de poigono P concvo evidenzito in zzurro. In questo cso ccoimo: Q 1 0 cm re de qudrto Q 1 : Q1 40 cm 1600 cm re de qudrto Q : Q 0 cm 400 cm Quindi, re de poigono P è: P ( ) cm 100 cm P Q 40 cm TEORI Ognuno dei due metodi ce imo esminto si può ppicre nce per determinre re di un figur ce non è un poigono. Esempi 1. Qu è re de cornice C? Si può ccore come differenz tr e ree di Q 1 e Q. Quindi: C (40 0 ) cm ( ) cm 100 cm Q 1 0 cm Q C 40 cm. Qu è re de pvimento P? Si può ccore come differenz tr 're de rettngoo R e re de tringoo T. Ccoimo: R (6 10) m 60 m 3 4 e T m 6 m Quindi: P (60 6) m 54 m 6 m R P 10 m 3 m T 4 m 8 -Risovi- Cco re de poigono concvo CFDE, spendo ce: CD 10 cm C 8 cm F 4 cm H 6 cm C re de rettngoo CDE: 1 C CD... re de trpezio CDF: H F (CD + F ) H... re de poigono concvo CFDE: 1... Que metodo i ppicto per ccore re di CFDE? E D D mtemtic... Osserv figur e compet formu per ccore re de trpezio: ( +...)... Utiizz per risovere quest situzione.... retà I unotto posteriore dee uto spesso form di un trpezio isoscee. Queo di un certo tipo di uto queste misure: tezz: 4 cm rgezz mssim: 15 cm rgezz minim: 6 cm Qunto misur su superficie?... D H MR C ESERCIZI 5

27 Unità 7 re dei poigoni 6 re dei poigoni regori re e costnti di un poigono regore Considerimo un pentgono regore con i to ce misur e con perimetro p 5. Suddividimoo in 5 tringoi congruenti, trccindo i segmenti d centro O (punto di incontro degi ssi di simmetri) ogni vertice. Un tezz di ciscuno di questi tringoi è distnz de centro O d to e si cim potem de poigono regore: indicimo su misur con. L se di ogni tringoo coincide con un to de poigono regore, quindi misur. Dunque, re di un tringoo è: L re de pentgono è 5 vote que di un tringoo, cioè: p 5 M 5, ne formu, è proprio i perimetro p de pentgono. I rgionmento ce imo ftto ve per ogni poigono regore e quindi, in genere: L re di un poigono regore si ottiene motipicndo i perimetro per misur de potem e dividendo i prodotto per due. O potem viene d un pro grec ce vuo dire io sso. In geometri si può pensre come i segmento ce si ss perpendicore d centro de poigono regore uno dei suoi ti. L formu dirett è: p Le formue inverse sono: p p COMPETENZE -Fiss i concetti- -Cco- 1 L potem di un poigono regore è distnz de centro: d un to de poigono d un vertice de poigono d un digone de poigono -Us i inguggio mtemtico- Osserv esgono regore CDEF e compet e formue per ccore i perimetro p e re. p... E D p F O C H 3 Cco re (in mm ) de esgono regore prendendo con un rigeo e misure necessrie. Rifetti: misur uno dei suoi ti e, dopo vero trccito, i suo potem, poi ppic formu opportun. F E O D C 6

28 6 re dei poigoni regori Esercizi pgg < Rezione tr misur de potem e misur di un to I mtemtici nno dimostrto ce i rpporto tr misur de potem e misur di un to di un qusisi poigono regore con o stesso numero di ti è sempre ugue. Quindi, per esempio: per ogni pentgono regore risut 0, per ogni esgono regore risut 0, TEORI Te rezione è vid per ogni tro tipo di poigono regore. Per esempio, i rpporto per ogni tringoo equitero è 0,88...; per ogni qudrto è 0,5; per ogni ottgono regore è 1,07... In geometri, questi numeri si dicono costnti dei poigoni regori, percé sono vori fissi ce crtterizzno un poigono regore in se numero dei ti. Quindi, in genere: Costnte è qucos ce non cmi ed è sempre ugue. Inftti, in ogni poigono regore con o stesso numero di ti i rpporto tr potem e un to rimne sempre ugue e non cmi mi, nce se e oro misure cmino. In un poigono regore i rpporto tr misur de potem e misur di un to è costnte e si indic con N (i cui vore dipende unicmente d numero dei suoi ti). In simoi: N eccezione de cso de qudrto, per tutti gi tri poigoni regori N infinite cifre decimi non periodice; pertnto, qundo ne fremo uso, utiizzeremo pprossimzione tronct miesimo. N 0,88 0,5 0,688 -Fiss i concetti- -Formizz- 4 5 Per un poigono regore i numero N è i vore: de rpporto tr misur de potem e que di un to de prodotto de misur di un to e di que de potem de rpporto tr misur di un to e que de potem eccezione de qudrto, per ogni poigono regore, costnte N è un numero: decime finito decime infinito periodico decime infinito non periodico 6 Stiisci se e seguenti scritture sono vere o fse. Nei due ottgoni regori risut ce: V F ESERCIZI 7

29 Unità 7 re dei poigoni D formu precedente ricvimo: N e N Esempio Qu è re di un pentgono regore con un to ungo 10 cm? Sppimo ce 10 cm e costnte de pentgono è N 0,688. Quindi: p 5 (5 10) cm 50 cm N (0,688 10) cm 6,88 cm p 50 6,88 cm 17 cm Rezione tr re e misur di un to Per tutti i poigoni regori con uno stesso numero di ti possimo scoprire un tro rpporto ce non vri e ce ci permette di determinre un tro tipo di costnte. Inftti: per ogni pentgono regore, risut 1,70... per ogni esgono regore, risut, e così vi. Quindi, in genere: In un poigono regore i rpporto tr re e i qudrto de misur di un to è costnte e si indic con N (i cui vore dipende unicmente d numero dei suoi ti). In simoi: N nce costnte N, eccezione di que riferit qudrto, è un numero con infinite cifre decimi periodice. N 0, ,70 COMPETENZE -Fiss i concetti- -Us i inguggio mtemtico- 7 8 Per un poigono regore i numero N è i vore de rpporto tr... e i qudrto de misur de... I rpporto ugue vore per tutti i poigoni: con o stesso numero di ti regori regori e con o stesso numero di ti 9 10 Per ogni: tringoo equitero: N... N... qudrto: N... N... pentgono regore: N... N... -Cco- Consider i pentgono regore e misur de suo potem, e compet ccondo misur de to. 3,44 cm... N 8

30 6 re dei poigoni regori Esercizi pgg < re di un poigono regore con uso dee costnti D rezione N possimo fcimente dedurre ce: L re di un poigono regore si ottiene motipicndo i qudrto de misur di un suo to per i vore de corrispondente costnte N. N TEORI L formu dirett è: N L formu invers è: N Con formu dirett possimo ccore re di un poigono regore, conoscendo soo misur di un suo to. Esempio Qu è re di un pentgono regore con un to ungo 10 cm? L costnte de pentgono è N 1,70 (pprossimt miesimo) e quindi, con un unico ccoo, trovimo ce: N (1,70 10 ) cm (1,70 100) cm 17 cm MR D mtemtic... Compet formu per ccore misur di un to di un poigono regore conoscendo su re : Formizz- Scrivi e formue per ccore re di un poigono conoscendo: e misure di un suo to e di un suo potem:... soo misur di un suo to:... -Rppresent- Disegn un tringoo equitero ce re 0,433 cm. Rifetti: prim cco misur di un suo to con formu opportun e poi disegn i tringoo ce un to con te misur. Utiizz formu per risovere quest situzione.... retà Le pi costruiscono e cee dei fvi con cer ce producono e quindi ne utiizzno meno possiie. Ecco percé e cee sono ffincte e con preti comuni: così non si creno inutii spzi vuoti e inotre un stess prete serve dividere due cee. Inotre, ogni ce sezione esgone regore e non tringore (equiter) o qudrt percé, prità di re, sezione esgone è que con i perimetro minimo. Quindi è form, tr e tre, ce riciede minore quntità di cer per e sue preti. Verific tu stesso: qunto sono ungi i ti de sezione di un ce tringore, qudrt o esgone, tutte di re 1 cm? ESERCIZI 9

31 Unità 7 10 re dei poigoni MPP re di un figur Poigoni equiventi Simoo de re: Unità di misur de estensione superficie: m Sottomutipi de metro qudrto: 1 dm ⴝ 0,01 m 1 cm ⴝ 0,0001 m 1 mm ⴝ 0, m Mutipi de metro qudrto: 1 dm ⴝ 100 m 1 m ⴝ m 100 mm 1 km ⴝ m Hnno stess re Simoo: re di un rettngoo re di un qudrto re di un preogrmm ⴝ re di un romo d ⴝⴛ d1 ⴝ re di un tringoo d1 ⴛ d ⴝ re di un qudritero re di un trpezio con digoni perpendicori d1 d ⴝⴛ ⴝ 1 d1 ⴛ d ⴝ (1 ⴙ ) ⴛ 30 ⴛ