1 CAMPO LONTANO DI UNA ANTENNA

Transcript

1 CAMPO LONTANO DI UNA ANTENNA Uno dei poblemi più impotanti in elettomagnetismo è il calcolo del campo podotto da una data stuttua fisica(antenna), oppotunamente alimentata. Questo poblema può essee decomposto in due sottopoblemi calcolae la coente che si induce su di una antenna a causa della alimentazione; calcolae il campo podotto dalla distibuzione di coente indotta. Il pimo sottopoblema dipende in maniea essenziale dalla stuttua della antenna, che può essee molto vaia. Petanto andà affontato caso pe caso, e nel seguito vedemo alcuni dei casi di inteesse pe questo coso. Il secondo sottopoblema, invece, ammette una soluzione geneale elativamente semplice, che si semplifica ulteiomente se il campo che ci inteessa è quello a gande distanza dalla antenna. Vedemo quindi come pima cosa come si espime il campo elettomagnetico podotto da una distibuzione di coenti elettiche J(), che occupa un volume V J finito, nei punti al di fuoi di V J. Una delle popietà della delta di Diac è J() = J( )δ( )dv () in cui l integale dovebbe essee esteso a tutto lo spazio. Tuttavia, essendo J diveso da zeo solo in V J, basta estendelo solo a questo volume. Ricodando che un integale è una somma, la () affema che la distibuzione di coente J può essee consideata come la somma di tante ditibuzioni elementai J e () = J( )dv δ( ) () che sono dipoli elementai di ampiezza J( )dv, posti in. Pe la sovapposizione degli effetti, detto de e () il campo elettico della coente elementae (), il campo elettico complessivo E() della distibuzione di coenti J() è pai a E() = de e () (3) V J E evidente che la espessione (3) śolo fomalmente semplice, ma il suo utilizzo, nella foma completa, ichiede una valutazione numeica. Se peó ci limitiamo a distanze gandi ta punto sogente e punto campo, sono possibili alcune semplificazioni della (3), dipendenti peò dalla distanza a cui si ci tova. La pima semplificazione si può fae se β ovveo se la distanza ta il punto campo e un qualunque punto della sogente è gande ispetto alla lunghezza d onda. Analoga elazione vale ovviamente anche pe il campo magnetico, e anche a questa possono essee applicate le semplificazioni che vedemo pe il campo magnetico. Tuttavia, in molti dei casi di inteesse, il campo magnetico potá essee ottenuto in modo immediato una volta noto il campo elettico.

2 In tal caso anche la elazione dietta ta coenti e campo può essee espessa in temini semplici. Se la coente ha solo componente z il campo del dipolo () vale de() = j ζ J z( )dv λ e jβ sinθ i θ (4) dove l angolo θ è l angolo ta la congiungente il punto sogente e il punto campo, e l asse polae z. Di conseguenza il vesoe i θ dipende anch esso dalle posizoni del punto sogente e del punto campo. Sommando su tutti i dipoli della sogente segue alloa E() = j ζ J z ( ) λ V J e jβ sinθ i θ dv (5) in cui θ e i θ vaianoal vaiaedel dipoloche consideiamo nellasomma (5), equindinonpossono essee potati fuoi dall integale. La (5) è ancoa abbastanza complessa. Ulteioi semplificazioni sono possibili solo se la distanza è gande ispetto alle dimensioni della sogente medesima. Pe valutae numeicamente quest ultima, si può consideae la minima sfea che include completamente la antenna, e assegnae come dimensione della antenna il diameto D di tale sfea. Se la distanza ta il punto campo e il cento di tale sfea è gande ispetto al semidiameto della sogente D alloa un ossevatoe, posto nel punto campo, vede la sogente come puntifome. In tal caso possiamo consideae, dal punto di vista geometico, tutti i dipoli posti nello stesso punto, e quindi consideae θ e i θ costanti (al vaiae del punto campo). Se indichiamo con θ e i θ i valoi elativi al cento della sogente, la (5) diventa, in questa ipotesi E() = j ζ J z ( ) λ V J e jβ dv sinθ i θ (6) Alte semplificazioni sono possibili esaminando i temini contenenti nella (5) (e quindi, anche, nella (6) ), sempe nella ipotesi che la distanza sia gande ispetto al diameto della sogente. Risulta = ( ) = +( ) = [ i ( ) ] + essendo = i. Estaendo la adice quadata segue = i ( ) + (7) Una coente qualunque può essee sempe decomposta in te pati, ciascuna con una sola componente x, y, z. Basteà applicae la sovapposizione degli effetti pe vedee che tutte le conclusioni di questa sezione sono valide in geneale (mente molte delle fomule vanno modificate)

3 Il secondo fattoe a secondo membo è, pe gande, la adice quadata di +X, con X = i e piccolo. L espansione di Taylo di tale adice è ( + ) X +X + X che va applicata tenendo conto dell odine di piccolezza elativa dei vai temini che isultano nello sviluppo. Patendo dallo sviluppo completo i ( ) [ + +{ i ( ) ]} + [ i ( ) ] possiamo aestaci al secondo odine, e quindi consevando solo un temine del quadato, ottenendo i ( + ) [ +{ i ( = i + Sostituendo la (8) nella (7) si ottiene infine ( ) ]} { + [ i ] } 8 (8) ) [ i ] = ( i ) + [ ( ) (i ) ] (9) Tuttavia, essendo inteessati al campo, la (9) può essee usata solo se l eoe elativo sul campo è piccolo. Pe valutae questo eoe occoe consideae che la (9) dovebbe essee sostituita sia nel temine di ampiezza, sia nel temine di fase. Nel temine di ampiezza basta appossimae, aestandosi al pimo temine. L eoe elativo che si commette vale infatti i D in quanto è la distanza di un punto inteno alla sfea di diameto D dal cento. Se D/, alloa si può appossimae con. Poichè questa è la stessa condizione geometica che abbiamo utilizzato pe gli angoli, possiamo die che se D alloa E() = j ζ J z ( )e jβ dv sinθ i θ (0) λ V J 3

4 Diveso, e indipendente, è il discoso elativo all esponenziale. Possiamo consideae l appossimazione della (9) con due temini (sempe assumendo che D/) e jβ e jβ e jβ ( i ) pe le popietà dell esponenziale. L eoe assoluto vale, unsando la (9) ( ) [ e jβ e jβ e jβ i e j β ( ) (i ) ] j β [( ) (i ) ] Pochè il modulo del valoe veo è unitaio, il modulo di quest ultima quantità (eoe assoluto) è anche l eoe elativo, che vale quindi eoe elativo = β ( ) (i ) Nella espessione pecedente, stiamo calcolando la diffeenza ta il modulo quado del vettoe e il quadato di una sua componente. Quindi ( ) (i ) ( ) D /4. Petanto eoe elativo β e isulteà piccolo oppue no a seconda anche della lunghezza d onda. Infatti stiamo sostanzialmente appossimando un esponenziale con, e questo è possibile (o no) indipendentemente dagli alti temini. La condizione pecedente, infatti, pescinde dagli alti temini dello sviluppo (9). Pe dae foma quantitativa a tale condizione, possiamo icodae che un esponenziale è appossimabile con se il suo agomento è, in modulo, minoe di π/8. Quindi se vale D 4 β D 4 π 8 = D λ () alloa possiamo appossimae l esponenziale nella (0) con i pimi due temini della (9). Se vale la (), e si dice alloa che il punto campo è in campo lontano, o in zona di Faunhofe, si ha quindi E() = j ζ λ e jβ V J J z ( )e jβ(i ) dv sinθ i θ () Notiamo infine che i campi podotti, in zona di Faunhofe, da coenti lungo i x o lungo i y hanno una espessione del tutto simile alla (). L unica diffeenza (olte al fatto di usae J x o J y nell integale) e nel fattoe sinθ i θ, che va ifeito alla diezione della coente. Pe coenti totali, quindi, vanno sommati te temini come (). 4

5 ANTENNE ALTEZZA EFFICACE Il dipolo coto è il più semplice caso di antenna effettivamente ealizzabile. Una antenna è un dispositivo che, se oppotunamente alimentato, poduce un campo elettomagnetico nello spazio. Le fome possibili delle antenne sono le più svaiate. Pe i nosti scopi, comunque, le popietà che ci inteessano sono solo due: Ogni antenna ha una pota di ingesso pe alimentala. Se attaveso tale pota viene fattascoeeunacoentei A,l antennapoducenellospaziouncampoelettomagnetico (effetto) il cui valoe è, in ogni punto, popozionale alla coente di alimentazione I A (causa), in quanto, in elettomagnetismo, le elazioni causa effetto sono lineai. Ogni antenna ha una dimensione massima. Pe valutala numeicamente si può consideae la minima sfea che include completamente la antenna, e assegnae come dimensione della antenna il diameto D di tale sfea. Se esiste una pota di ingesso, e quindi una coente I A la densità di coente isulta popozionale ad I A. La () può alloa essee ulteiomente modificata, scivendo E() = j ζ λ e jβ I A V J J z ( ) I A e jβ(i ) dv sinθ i θ (3) L ultima pate della (3) ovveo J z ( ) V J I A e jβ(i ) dv sinθ i θ, contiene tutte le infomazioni sulla foma della distibuzione di coente. Questo temine (o la sua genealizzazione al caso di distibuzioni di coente tidimensionali) pende il nome di altezza efficace della antenna. L altezza efficace è una funzione di (θ,φ) che si indica con h (e si misua in m). Tenendo anche conto che il campo deve essee localmente una onda piana, possiamo scivee il campo in zona di Faunhofe di qualunque antenna, alimentata da una coente I A nella foma E = j ζi A λ e jβ h(θ,φ) H = ζ i E (4) in cui l altezza efficacce h(θ,φ) è caatteistico della singola antenna e fonisce le popietà diezionali della antenna stessa, ovveo come il campo vaia ispetto alle diezioni angolai θ, φ. Inolte h indica anche la polaizzazione del campo elettico (che viene detta polaizzazione della antenna). Sempe dalle popietà del campo lontano, isulta che h deve essee otogonale a i h i = 0 Pe un dipolo elementae di lunghezza z isulta e pe un dipolo coto di lunghezza l h(θ,φ) = z sinθ i θ (5) h(θ,φ) = l sinθ i θ (6) Le altezze efficaci (e quindi i campi) di tali antenne sono indipendenti da φ pe la simmetia delle antenne stesse. 5

6 Le espessioni (4) valgono nella zona lontana della antenna (detta anche zona di Faunhofe) caatteizzata dal veificasi di tutte le seguenti condizioni pe la distanza ta il punto campo e la antenna [ β D ] D > D λ che possiamo iscivee, pe avee tutte valutazioni quantitative (e con eoi paagonabili), come [ D ] > 0 β = 5λ π > 5D > D λ Natualmente, al vaiae della fequenza e della dimensione della antenna, il collo di bottiglia saà una o l alta di esse. Conviene alloa consideae, in un diagamma, tutte le possibili condizioni. Il diagamma può essee in due dimensioni in quanto ciò che conta sono /λ e D/λ. Le elazioni pecedenti diventano alloa λ > D λ + 5 π λ > 5D λ (7) ( ) D λ > (8) λ ciascuna di queste condizioni dividono il diagamma /λ in funzione di D/λ ipotato in Fig. in due egioni. I confini di tali egioni sono due ette pe le condizioni (7), e un aco di paabola pe la condizione (8). /λ.5 zona di Faunhofe F zona delle sogenti 5/π 0/9π zona dei campi eattivi.5 D/λ Fig. : Regioni di campo lontano e campo vicino. 6

7 La zona di Faunhofe è quella in alto a sinista. La estante pate viene detta di campo vicino, ed è divisa in due egioni. Quella in cui non vale la pima delle condizioni (7) viene detta zona dei campi eattivi. Si può infatti veificae che al di fuoi di questa zona le densità di enegia elettica e magnetica sono uguali, mente in questa zona sono divesi, e quindi vi è flusso di potenza eattiva. La zona intemedia è detta zona delle sogenti pechè in essa la sogente non viene vista come puntifome ma estesa, benchè il flusso di potenza sia puamente eale. Nella Fig. è poi evidenziata anche un alta zona, che esiste solo pe sogenti gandi, ed è indicata con F. Tale zona è detta di Fesnel, ed in essa il campo ha tutte le caatteistiche della zona lontana, salvo il fatto che l onda e, anche localmente, sfeica. Il campo in zona lontana è quello che viene genealmente consideato pe i collegamenti adio. L inteesse pe la zona vicina è cesciuto solo di ecente in quanto i limiti nomativi sulle esposizioni della popolazione vanno essenzialmente veificati nella zona delle sogenti, in quanto, pe le antenne che tipicamente si usano nelle aee ubane, il campo nella zona di Faunhofe è molto più basso dei limiti stessi. La zona dei campi eattivi è invece molto piccola. Pe le antenne pe telefonia cellulae, ad esempio, tale zona temina a 3 meti dalla antenna, una zona in cui l accesso della popolazione è nomalmente intedetto. Il campo in tale zona, quindi, inteessa sopattutto pe chi si occupa della manutenzione degli impianti. 3 PARAMETRI DELLE ANTENNE IN TRASMISSIONE Una antenna in tasmissione é completamente caatteizzata dalla sua altezza efficace. Sono peó utili anche alti paameti, ovviamente collegati alla altezza efficace h(θ, φ). Ricodiamo che il vettoe di Poynting di una antenna, calcolato a gande distanza, é eale e dietto lungo i. Usando l espessione genale del campo lontano di una antenna (4) si ha S(,θ,φ) = ζ E i = ζ Si definisce diagamma di adiazione il appoto I A (λ) h(θ,φ) i (9) F(θ,φ) = S(,θ,φ) S MAX () = h(θ,φ) h MAX dove S(,θ,φ) é la componente adiale del vettoe di Poynting a gande distanza, dato da (9). Il diagamma di adiazione isulta funzione di (θ, φ), ed é nomalizzato al suo valoe massimo. A patie da (9) si ottiene la potemza iadiata da una antenna geneica, come P i = S(,θ,φ) i dω = ζ I A (λ) h(θ,φ) dω (0) essendo dω = sinθdθdφ, e l integale esteso a tutto lo spazio. Si definisce esistenza di adiazione di una antenna il paameto R i (dimensionalmente una esistenza) definito da 7

8 P i = R i I A = R i = P i I A () Pe un dipoloelementae o coto, con altezza efficace massima pai ad h M si ha, usando l espessione giá calcolata della potenza iadiata, R i = πζ 3 ( hm λ ) = 800 ( hm λ ) [Ω] Dal teoema di Poynting segue che la potenza iadiata da una antenna deve entae dai mosetti di ingesso della antenna stessa. Se la antenna non é ideale, vi saá anche potenza dissipata P D nella antenna, e quindi la potenza totale di ingesso vale P in = P i +P D Ma sia la potenza iadiata, P i, sia quella dissipata, P D, sono popozionali a I A. Si puó alloa definie, olte alla esistenza di iadiazione (), una esistenza di dissipazione R D tamite P D = R D I A = R D = P D I A () Se l antenna è usata in tasmissione, pesenteà ai suoi mosetti una impedenza Z in = R in +jx in, detta impedenza di ingesso della antenna. La potenza in ingesso alla antenna vale alloa P in = R in I A (3) pe cui la pate eale della impedenza di ingesso é pai a ] R in = Re [Z in = R i +R D (4) Possiamo intodue una efficienza η (dovuta alle pedite) data da η = Potenza iadiata Potenza totale in ingesso = Ricodando le espessioni (,,4) segue Potenza iadiata Potenza iadiata + Potenza dissipata (5) P i η = P i = = = R i (6) P in P i +P D R i +R D R in L altezza efficace é una misua della iadiazione, espessa tamite il campo iadiato. Conviene intodue una misua diffeente, legata alla potenza iadiata, che é la diettivitá D(θ,φ) = lim R i S(,θ,φ) 4π P i dove il limite non dipende da in quanto S a gande distanza é popozionale a. In temini di campo o di altezza efficace la (7) diventa La lunghezza del dipolo é pai ad h M se il dipolo é elementae e a h M se coto (7) 8

9 D(θ,φ) = lim 4π ζ E ζ E dω = h(θ,φ) h(θ,φ) dω 4π Il valoe massimo della diettivitá si ottiene consideando a numeatoe il massimo della altezza efficace, e puó quindi essee espesso tamite il diagamma di adiazione F(θ, φ) D MAX = 4π h MAX h(θ,φ) dω = 4π F(θ,φ)dΩ Gli integali in(8) sono estesi a tutto lo spazio. La diettivitá D appesenta il appoto ta la potenza iadiata in una diezione, e quella media idiata, e quindi misua la capacitá di una antenna di concentae la pootenza iadiata in una diezione. Si noti anche che la definizione(7) di diettivitá si puó applicae anche a una distibuzione geneica di coenti, senza ifeimento ad antenne o mosetti di ingesso (al contaio delle alte definizioni di questo paagafo). In tal caso solo la pima espessione della (8) é applicabile. Il temine diettivitá, comunque, olte che la funzione D(θ,φ) data dalla (8), indica anche il suo valoe massimo D MAX. Una gandezza analoga alla diettivitá, ma di maggioe inteesse, é il guadagno. La definizione di guadagno é analoga alla (7) G(θ,φ) = lim S(,θ,φ) 4π P in = lim ζ E 4π P in ma coinvolge la potenza entante nella antenna, e quindi isulta piú utile nelle applicazioni. Infatti la (9) collega l effetto (il campo podotto in una data diezione) alla causa di inteesse (la potenza che deve essee fonita alla antenna pe podue quel campo). Invece la (7) usa, come causa, la potenza iadiata, che non tiene conto delle eventuali pedite 3. Evidentemente isulteá G(θ,φ) = ηd(θ,φ) Viene anche talvolta usato il guadagno ealizzato, in cui al denominatoe va la potenza disponibile dal geneatoe, e che quindi tiene conto di eventuali disadattamenti. Se la alimentazione della antenna é fatta con una linea, alloa il guadagno ealizzato vale G R = ( Γ )G essendo Γ il coefficiente di iflessione sulla linea. Possiamo espimee il guadagno in temini della esistenza di ingesso della antenna. Dalla definizione (9) e dalla (3) segue (8) (9) La funzione diettivitá coincide, a meno di una costante, con il diagamma di adiazione. Piú pecisamente, quest ultimo é anche la diettivitá nomalizzata al suo massimo 3 Si tenga anche conto che, al contaio della diettivitá, il guadagno puó essee definito solo pe antenne, coinvolgendo i mosetti di ingesso della antenna. 9

10 G(θ,φ) = lim ζ E(,θ,φ) 4π P in mente la diettivitá, pe una antenna, vale = lim ζ ζ I A 4λ h(θ,φ) = 4π R in I A πζ h(θ,φ) λ (30) R in D(θ,φ) = πζ h(θ,φ) λ R i Pe un dipolo, da (5,6), si tova, da (30), che D(θ,φ) = πζ h M sin θ λ πζ ( ) = 3 hm sin θ = G(θ,φ) = 3 η sin θ 3 λ coisponente a.76 db pe una antenna ideale. Segue che un dipolo, elementae o coto, non é in gado di concentae il campo in una data zona, e quindi poduce campo sostanzialmente in tutto lo spazio. Pe avee guadagni piú elevati, occoe utilizzae antenne piú gandi. 4 ANTENNE FILIFORMI Un asta metallica di lunghezza l e aggio a costituisce una antenna filifome se il fattoe di snellezza Ω = log ( ) l a isulta abbastanza gande (supeioe a 5-0). L asta é divisa in due pati con una piccola inteuzione, detta gap, tamite cui l antenna viene alimentata. Qui e nel seguito log indica il logaitmo natuale. 0

11 E i M Fig. : Alimentazioni di una antenna filifome L alimentazione é costituita da un campo elettico E i, oientato ta i duel lati dal gap (come ta le amatue di un condensatoe), ovveo mediante un anello di coente magnetica (fill cuent), ad esso equivalente. Pe effetto di questa alimentazione sulla coente si induce una coente supeficiale J s, che poduce un campo diffuso E d, ad essa popozionale. Imponendo che sulla supeficie metallica della antenna il campo diffuso e quello di alimentaizone abbiano complessivamente componente tangente all antenna nulla si ottiene una equazione (integale) nella coente indotta, la cui soluzione consente di calcolae tale coente. Un coefficiente di snellezza gande consente di assumee la densitá di coente allineata con la antenna (ovveo avente solo la componente z), e indipendente da φ. La piccolezza di a consente poi di impoe che la densitá di coente si annulli sul bodo della antenna (ovveo non vi sia coente sulle basi del cilindo) J s (z,φ) = J s (z)i z con J s (±l) = 0 La paticolae foma della coente, e la piccolezza di a consente di calcolae il campo di una tale antenna consideando una distibuzione lineae (e non tidimensionale) di dipoli di ampiezza I(z) dz, essendo I(z) la coente totale che scoe sulla antenna. La (3) diventa alloa E() = j ζ l λ e jβ I A l con = z i z. Ricodando che i i z = cosθ, la altezza efficace diventa l I(z) I A e jβ(i ) dz sinθ i θ (3) I(z) h(θ) = e jβz dz sinθ i θ (3) l I A La (3) mosta che la altezza efficace, e quindi il diagamma di adiazione, é (a meno di temini lentamente vaiabili) la tasfomata di Fouie della distibuzione di coente z sulla antenna filifome, consideando come vaiabili coniugate z e u = βcosθ. Questa elazione di tasfomata di Fouie vale (in foma θ i simile) anche pe tutti gli alti tipi di antenne, ed ha una conseguenza molto impotante. Il campo iadiato, come funzione degli angoli, può vaiae tanto più apidamente, quanto più l antenna è gande, in quanto il campo è una funzione a banda limitata, con banda (spaziale) pai alla dimensione della antenna (espessa in temini di lunghezza d onda). Ne segue che antenna con guadagno elevato, dovendo avee una vaiazione molto apida del campoin funzione degli angoli, devono necessaiamente essee gandi ispetto alla lunghezza d onda. In ealta le vaiabili da cui dipende la tasfomata sono i coseni diettoi delle diezioni sotto cui l antenna vede il punto campo.

12 Si puó dimostae che la distibuzione di coente su di una antenna filifome a sezione omogenea é ben appossimabile da I(z) = I A sin[β(l z )] sinβl Questa appossimazione cade in difetto solo se βl = nπ, ovveo pe antenne lunghe un multiplo inteo di λ. In tal caso, infatti, la coente di alimentazione pedetta dalla (33) saebbe nulla (mente la coente vea é cetamente divesa da zeo). Conviene alloa paametae la coente alla coente massima I M scivendo I(z) = I M sin[β(l z )]. Se βl, alloa la coente vaia lineamente ( I(z) = I A z ) l e l antenna filifome é in ealtá un dipolo coto L altezza efficace si ottiene da (3) e vale h(θ) = λ π cos(βlcosθ) cosβl sinβl sinθ (33) i θ (34) L andamento veo (ottenuto tamite un pogamma di simulazione numeica di antenne filifomi, chiamato NEC- ), e il diagamma di adiazione di vaie antenne filifomi é mostato nel file aggiuntivo IVa Paticolae inteesse hanno le antenne a λ/, ovveo quelle pe cui βl =π/ In tal caso isulta I(z) = I A cosβz e h(θ) = λ cos( π cosθ) i θ (35) π sinθ e la sua esistenza di iadiazione vale cica 75Ω. La diettivitá massima si ottiene dalla (30) e vale.64 (.5 db). Petanto neanche una antenna a λ/ é in gado di concentae il campo in una diezione. Tuttavia, avendo una esistenza di ingesso molto piú alta di quella di un dipolo coto, ha nomalmente una efficienza molto alta, e, come vedemo, puó essee adattata molto meglio alla ete di alimentazione. Pe quanto iguada, infine, la eattanza di ingesso, questa dipende in maniea essenziale dal campo nella zona eattiva, e dai dettagli costuttivi della antenna stessa. Una buona appossimazione della eattanza di ingesso pe antenne sottili è X in = ζ π (Ω 3.4) cotβ 0l (36) La pecisione della (36) è buona se Ω > 0 e agionevole pe valoi pocopiù piccoli. In paticolae, pe antenne cote, X in ζ π (Ω 3.4) β 0 l che mosta che un dipolo coto non solo ha una esistenza di ingesso molto piccola, ma ha anche una eattanza di ingesso molto più gande, con un fattoe di meito che può aivae anche al migliaio, e quindi con una banda utile molto piccola.

13 Pe una antenna a λ/, invece, la (36) mosta che la eattanza di ingesso è nulla. In ealtà la eattanza si annulla pe antenne leggemente più cote, con un accociamento dipendente dal aggio a della antenna. Tuttavia nel seguito consideeemo come caatteistiche della antenna a λ/ una impedenza di ingesso pai a 75+j0Ω e altezza efficace data da (35). 4 SISTEMI DI ANTENNE Le antenne filifomi, e in geneale tutte le antenne di dimensioni paagonabili (o piccole) alla lunghezza d onda, hanno pestazioni paagonabili, e non paticolamente elevate. Antenne con pestazioni piú elevate devono necessaiamente essee gandi ispetto alla lunghezza d onda. Questo di puó ottenee o con stuttue gandi (ad esempio, le antenne a iflettoe), oppue utilizzando assieme piú antenne piccole, alimentate in modo coeente, ovveo in modoc he le coenti di alimentazione abbiano la stessa fequenza e una pecisa elazione di fase ta esse. In questo coso ci occupiamo di questo secondo caso, consideando sia insiemi di antenne connesse a un unico geneatoe mediante una ete (detta ete di beam foming, in genee abbeviata con BFN), sia antenne con geneatoi singoli (ovviamente sinconizzati ta loo). Consideemo dappima il calcolo del campo di un sistema di antenne, pe occupaci successivamente del calcolo delle coenti di alimentazione delle vaie antenne. Consideiamo alloa due antenne (ma il discoso si genealizza in modo ovvio al caso di te o piú antenne), poste in A ed B ispettivamente. Qui e nel seguito consideeemo come posizione di una antenna il unto in cui si tova il suo cento di fase, punto da cui si misua la distanza ta antenna e punto campo, ovveo il cento delle sfee equifase del campo lontano. Le antenne hanno coenti di alimentazione I A e I B e altezze efficaci h A (θ A,φ A ) e h B (θ B,φ B ). P P θ A O A B O θ θ B Fig. : Geometia pe il calcolo del campo di due antenne (pe semplicitá sono state consideate due antenne filifomi coplanai) Il valoe delle due altezze efficaci nel punto campo puó essee diveso sia peché le due antenne sono diffeenti, oppue oientate diffeentemente, ma anche peché gli angoli, elativi ai sistemi di ifeimento solidali con le due antenne possono essee divesi. 3

14 Scelto un sistema di ifeimento (con il cento O nella zona delle antenne, e spesso coincidente col baicento dei due centi di fase, o con il cento di fase di una delle due antenne), sia = (,θ,φ) la posizione del punto campo P. Il campo complessivo delle due antenne, se é in campo lontano di ciascuna delle due antenne, vale, gazie alla lineaitá del poblema, E() = j ζi A e jβr A h A (θ A,φ A )+j ζi B e jβr B h B (θ B,φ B ) (37) λr A λr B essendo R A = A e R B = B. La (37) puó essee ulteiomente semplificata se = é in zona di Faunhofe sel sistema complessivo delle due antenne. Indichiamo con D S il diameto del sistema di coenti indotte sulle due antenne. Se > 5D S alloa, in modo analogo a (0), si possono consideae coincidenti tutti i temini geometici, e in paticolae R A = R B =, anche se solo al denominatoe dei campi. Ovviamente, nell esponenziale, tale appossimazione non puó essee fatta. Tuttavia possiamo sommae e sottae in ciascun esponenziale e scivee la (37) come ζ [ ] E() = j λ e jβ I A h A (θ,φ)e jβ(ra ) +I B h B (θ,φ)e jβ(r B ) (38) Il temine in paentesi quade pende il nome di fattoe di intefeenza, e coinvolge tutte e sole le gandezze che, nelle ipotesi fatte, possono essee divese ta le due antenne. I temini R A e R B vengono detti diffeenze di cammino, ed espimono il itado di fase dovuto alla popagazione su tatti di lunghezza diffeente. Il loo valoe dipende solo dalle posizioni elative dei vai centi di fase delle singole antenne ispetto al punto O scelto come oigine. Una ulteioe semplificazione puó essee ottenuta se é in campo lontano del sistema complessivo delle antenne >D /λ. In tal caso, analogamente a (8,9), segue e il campo diventa R A i A R B i B (39) ζ [ E() = j λ e jβ I A h A (θ,φ)e jβ(i A ) +I B h B (θ,φ)e jβ(i ] B ) (40) Se le due antenne sono connesse da una ete di Beam foming, alloa il appoto ta il temine della (40) in paentesi quada e la coente di alimentazione complessiva I in,s é la altezza efficace h S del sistema di antenne (consideato come una unica antenna) h S = [ I A h A (θ,φ)e jβ( i A ) +I B h B (θ,φ)e jβ( i ] B ) I in,s (4) L utilizzo delle (39) pe il calcolo delle diffeenze di cammino si pesta spesso ad una semplice valutazione gafica. Consideiamo ifeimento la Fig., in cui é indicato il cento di fase di una antenna (posta in A) e l oigine O del ifeimento. Il punto cacmpo O é a gande distanza, pe cui nella scala del disegno le vaie congiungenti isultano paallele. Si ha pe la diffeenza di cammino d O R A = i A = d cosα A α Fig : Calcolo della diffeenza di cammino 4

15 essendo d = A, e icodando che il vettoe A punta veso il punto A. Consideiamo il tiangolo ettangolo OAO. La diffeenza di cammino d cosα isulta uguale a AO, ed é positiva, essendo A piú lontano. Segue cioé che le diffeenze di cammino (se vale la (39) ) possono essee calcolate assumendo le congiungenti paallele. Poiettando l oigine sulle vaie congiungenti si ottengono le coispondenti diffeenze di cammino. MUTUA IMPEDENZA: Vedi file aggiuntivo IVc 5 POTENZA DISSIPATA ED EFFICIENZA DI IRRADIAZIONE Abbiamo giá visto che l efficienza η, definita da Potenza iadiata η = Potenza iadiata + Potenza dissipata é uno dei paameti di inteesse nell utilizzo di antenne. Pe calcolala occoe deteminae la potenza dissipata nella antenna. Pe calcolae la potenza dissipata da una antenna filifome di conducibilitá σ, dobbiamo consideae la stuttua della antenna, e in paticolae se il filo da cui é costituita é pieno o vuoto (ovveo é un tubo). Qui ci limiteemo al caso di filo pieno. Si puó alloa assumee una densitá di coente che vaia con z come la coente totale, mente vaia con la distanza dall asse come [ exp R ] (4) δ essendo R il aggio della antenna, e δ la pofonditá di penetazione nel mateiale di cui é costituita. Se la coente sulla antenna é data dalla (33), la elativa densitá di coente J(,z) = J(,z)i z tenendo conto dell andamento (4), vale [ J(,z) = J A exp R ] sin[β(l z )] (43) δ sinβl dove la ampiezza J A puó essee calcolata imponendo la coente pai alla (33): π R Il pimo integale vale πr e esta 0 0 J(,0)dRdφ = I A πrj A R 0 [ exp R ] [ d = πj A exp R ] R δ δ 0 [ exp d = I A δ] 5

16 da cui L integale vale [ ( [ ] ) R R δ exp = δ exp δ] 0 δ πrj A δ ( [ exp R ]) = I A = J A = δ πrδ I A ( [ exp R ]) I A πrδ δ (44) se R δ. La potenza dissipata P D puó essee ottenuta dal Teoema di Poynting: P D = σ π R l 0 0 l Sostituendo la (43) segue E dzdrdφ = σ πr R l 0 l [J(,z)] dz d P D = πr R σ J A L integale vale 0 = πr σ J A exp l [ exp R δ [ R ] δ δ ( exp βl ] d [ R δ l 0 ] [ ] sin[β(l z )] dz sinβl ) l 0 sin [β(l z)] dz sin βl sin [β(l z)] dz = sin ydy = βl sinβlcosβl 0 β 0 β e sostituendo segue P D = πrδ ( [ 4σ J A exp R ]) βl sinβlcosβl δ βsin βl πrδ 4σ J A βl sinβlcosβl βsin βl se R δ. Sostituendo J A da (44) segue infine P D = πrδ 4σ 4π R δ I A βl sinβlcosβl βsin = βl l 6πσδR I A βl sinβlcosβl βlsin βl La (45) mosta che la potenza dissipata cesce con l ma in modo appossimativamente lineae (e non quadatico, come la potenza iadiata). Ne segue quindi che l efficienza di iadiazione aumenta in maniea molto apida al cescee delle dimensioni della antenna filifome. (45) 6

17 6 ANTENNE IN RICEZIONE Vedi file aggiuntivo IVb 7 ANTENNE A RIFLETTORE Antenne di pestazioni elevate debbono necessaiamente essee gandi ispetto a λ. Pe tali antenne, quindi, l ingombo diventa un paameto fondamentale. Il modello ideale di antenna di pestazioni elevate é quella che poduce una distibuzione di coenti (vee o equivalenti) distibuita su di una supeficie piana di aea (fisica) A F, costante su tale supefice, e che iadi solo da uno dei lati. Si dimosta che la diettività di una tale distibuzione vale D F = 4π λ A F (46) e quindi che, pe una tale antenna, aea efficace e aea fisica coincidono. Il valoe di D F è la massima diettività ottenibile con una antenna di aea A F. Pe ogni alta antenna, quindi, la diettività D isulta infeioe a D F. Le antenne effettivamente usate, a micoonde, pe ottenee diettività elevate sono di due categoie: antenne a iflettoe e allineamenti (o aay) di antenne. In questo coso vedemo solo qualche dettaglio di utilizzo delle antenne a iflettoe. Pe una descizione delle antenne a iflettoe si imanda a qualunque testo di antenne, oppue alle pagine di Wikipedia paabolica antenna Le antenne a iflettoe hanno una polaizzazione nominale, ma il campo podotto non è mai esattamente in quella polaizzazione. Petanto la definizione di guadagno di una tale antenna va modificata ispetto alla (9) come G(θ,φ) = lim S (c) (,θ,φ) 4π P in in cui S (c) è il vettoe di Poynting della sola pate del campo nella polaizzazione nominale (componente co polae del campo). Detta S (x) l alta pate del vettoe di Poynting (componente coss polae), il vettoe di Poynting complessivamente podotto vale S = S (c) +S (x). Definiamo (47) 7

18 efficienza di coss polaizzazione il appoto η x =S (c) /S, pe cui G isulta pai al podotto del guadagno definito dalla (9) e di η x. Possiamo espimee il guadagno G di un iflettoe di diameto R mediante la efficenza totale del iflettoe η T come G = η T D F con η T = η L η ap η S η p (48) essendo η L efficenza dovuta alla dissipazione nei conduttoi non pefetti, nomalmente possima al 00% nei iflettoi metallici ma notevolmente più piccola nei iflettoi in plastica conduttiva usati pe la televisione da satellite (DVB S); η ap efficenza di apetua, appoto ta la diettivitá effettiva delle coenti equivalenti pesenti sulla bocca del iflettoe, di aea A F = πr, e la diettivitá massima D F ottenibile con tale apetua; η S efficienzadispill ove, legataallapotenzap S cheilfeediadiamanonvieneintecettata dal iflettoe; Se P F è la potenza complessivamente iadiata dal feed, si ha η S =P S/ P F ; η p efficenza dovuta alla pedita di potenza pe alte cause: potenza che viene iflessa ma bloccata dal feed e dalle stuttue di suppoto; ugosità supeficiale del iflettoe; potenza iadiata nella polaizzazione otogonale a quella nominale. In paticolae l efficienza di spill ove e quella di apetua hanno un compotamento opposto: al cescee della diettività del feed, la pima aumenta e la seconda si iduce. Esiste quindi una configuazione ottimale, in cui efficienza di apetua ed efficienza di spill ove sono paticamente uguali, con un valoe intono al 90% ciascuna. L efficienza η p dipende invece molto dalla configuazione del iflettoe, e dalla pecisione ealizzativa, e vaia dal 65% fino a olte il 90%. L efficienza totale tipica di un iflettoe è quindi vaiabile ta il 50% e il 65%, ma può aggiungee il 75% pe iflettoi ealizzati con paticolae cua (ad esempio, quelli pe applicazioni spaziali). I iflettoi pe DVB S hanno invece efficenze intono al 40 45%. Il diagamma di adiazione pesenta un lobo centale e dei lobi lateali con ampiezza massima infeioe di 0 30 db al massimo del lobo centale. Un esempio di diagamma di adiazione è ipotato in Fig.. Poichè la zona di inteesse è tipicamente quella del lobo centale, possiamo appossimae il diagamma di adiazione di un iflettoe con una espessione semplice. Pe un iflettoe a simmetia di otazione (caso tipico), assumendo un ifeimento polae con asse z otogonale alla bocca del iflettoe (che è anche la diezione di massimo), possiamo appossimae il diagamma di iadiazione F(θ) assumendo [ ] h(θ,φ) h(θ,φ) = h M cos p θ = F(θ) = = cos p θ (49) pe θ (0, π ), e nulla pe θ > π. L esponente p può essee tovato a patie dalla semilaghezza di fascio a 3 db, che indichiamo con θ 3. Si ha infatti, isolvendo: h M la elazione ta p e θ 3 : cos p θ 3 = L efficienza di coss polaizzazione η x é quindi uno dei fattoi di η p. 8

19 Diagamma di iadiazione [db] angolo (dal boadside) [deg] Fig. : Diagamma di un iflettoe con diameto R = 0λ. Pe θ 3 piccolo, si ha anzi p = log0.5 logcosθ 3 = logcosθ 3 (50) cosθ 3 ( θ 3) = logcosθ 3 log( θ 3) θ 3 e quindi p.386 θ 3 = 4550 ( θ3[deg] ) (5) Pe quanto iguada la diettività, questa può essee espessa tamite il diagamma di iadiazione come D(θ,φ) = D M cos p θ (5) e tiene conto non solo della diettivitá della apetua, ma anche della potenza pesa pe spill ove o peché intecettata dalle stuttue del iflettoe. Tale potenza viene comunque iadiata, anche se in diezioni divese da quella otogonale alla bocca del iflettoe, e quindi viene consideata pesa pe quanto iguada il funzionamento del iflettoe. Petanto l efficienza da consideae pe legae guadagno e diettivitá é solo quella dovuta alla dissipazione η L e alla componente coss polae del campo idiato η x D(θ,φ) = η L η x G(θ,φ) (53) La diettività massima D M, può essee ottenuta dalla definizione (8) come La espessione (5) vale sia pe antenne con diettività elevata, sia pe antenne con diettività piccola, come i feed pe iflettoe, o le antenne stampate. In tal caso D M = (p + ), senza appossimazione, nè vale la appossimazione (5) (oocoe usae la (50) ) e le sue conseguenze. 9

20 D M = 4π cos p θdω = 4π π 0 xp,dx = (p+) 4p (54) e sostituendo il valoe di p si aiva a una elazione ta diettività e laghezza di fascio, che è di lago uso: ( D M = ) ( ) logcosθ 3 θ3.77 θ3 = ( 900 ) (55) θ3[deg] pe antenne diettive. La (55) può essee espessa in funzione del aggio R del iflettoe. Si ha infatti, da (40): D M = η ap D F = η ap 4π λ πr = 900 ( θ3[deg] ) = θ 3[deg] = 5 ηap λ R Pe valutae la pecisione della appossimazione(5), in Fig. sono ipotati sovapposti il diagamma veo di Fig. e la sua appossimazione, e la diffeenza ta i due diagammi. Diagamma di iadiazione [db] angolo (dal boadside) esatto appox. [deg] Eoe di appossimazione [db] angolo (dal boadside) Fig. : confonto ta diagamma veo e appossimazione (5) (a sinista) ed eoe di appossimazione (a desta). [deg] Pe l esempio scelto si ha D = 900 e θ 3 = 3. o. L eoe é molto piccolo fino a cica 5 o =.5θ 3 ed accettabile, infeioe a db, fino a θ 3, e questi limiti della appossimazione (5) sono indipendenti dal diameto del iflettoe. Può essee utile anche espimee D M in funzione della ampiezza dell angolo solido Ω p coispondente al lobo pincipale della antenna. Poichè isulta Ω p = πθ 3 D M = 8.7 Ω p Pe antenne a iflettoe di foma ettangolae(o ellittica), la zona illuminata è sostanzialmente ellittica. Non è quindi usabile la (49), ma (se l aea è gande ispetto alla lunghezza d onda) possiamo usae come appossimazione 0

21 D(θ,φ) = D M [ cos p θcos φ+cos q θsin φ ] puchè p e q non siano toppo divesi ta loo (ovveo siano all inteno dello stesso odine di gandezza). I valoi di p e q si possono deteminae a patie dai due angoli a 3 db, θ H 3 e θ E 3, esattamente come nel caso di fascio a simmetia di otazione, e quindi utilizzando la (50) o la (5). Il valoe di D M isulta invece D M = [ 4π Calcolando gli integali si ottiene cos p θcos φdω+ ] cos q θsin φdω D M = [ 4 p+ + ] = q + (p+)(q +) p+q + 8pq p+q Essendo l antenne molto diettiva, si può utilizzae la appossimazione (5) ottenendo D M = 4 (θ3 H ) (θe 3 ).386 = (θ H 3 ) +(θ E 3 ) 8 SENSORI DI CAMPO La tensione a vuoto indotta su di una antenna di piccole dimensioni può essee calcolata agevolmente anche senza assumee alcuna popietà paticolae pe il campo che poduce tale tensione. Infatti la piccolezza delle dimensioni ende valide, nella zona occupata dalla antenna, le equazioni della statica, e in paticolae i pincipi di Kichhoff. Ne segue che su una tale antenna collegata a vuoto, anche se immesa in un campo elettomagnetico, non si inducono coenti. Di conseguenza il campo totale, in pesenza della antenna, coincide con quello in assenza della antenna, ovveo col campo incidente. Nel seguito consideeemo la tensione a vuoto indotta su di un dipolo elementae, e quella su di una spia piana elementae, ovveo una spia di foma egolae e con un aggio piccolo ispetto alla lunghezza d onda. Le tensioni a vuoto indotte su tali antenne veanno calcolate a patie diettamente dalle equazioni di Maxwell. Pe ovviae alle difficoltà ealizzative dei dipoli elementai, vedemo poi che anche la tensione a vuoto su di un dipolo coto può essee calcolata altettanto agevolmente. Più pecisamente, le coenti indotte sono molto piccole, e quindi il campo podotto da esse, che si somma al campo incidente pe podue il campo totale, isulta molto più piccolo di quello incidente, e sopattutto localizzato solo nelle immediate vicinanze del conduttoe costituente l antenna

22 Tutti questi oggetti possono essee utilizzati come sensoi di campo, ovveo pe misuae il campo pesente in un dato punto (pima dell intoduzione del sensoe). In paticolae i dipoli sono sensoi di campo elettico, mente la spia è un sensoe di campo magnetico. Relativamente al loo uso, va consideato che, mente pe una onda piana, usae un sensoe di E o di H è equivalente, pe misuae completamente campi vicini occoe usae due sensoi, uno pe E e uno pe H. In altenativa, se la misua seve a valutae il supeamento o meno dei limiti di esposizione, alloa si può usae solo il sensoe del campo che si considea citico ai fini del ispetto delle nomative. Dipolo elementae Ricodiamo che un dipolo elementae è una antenna filifome, di lunghezza z λ, A sui cui scoe una coente costante con z. A Questo può essee ottenuto aggiungendo al filo veticale due dischi oizzontali (vedi Fig., i D i t in cui il dipolo è ipotato in sezione) di aggio gande ispetto a z, ma sempe piccoli B ispetto a λ, costituenti un condensatoe con B una capacità sufficientemente gande da accumulae caica sufficiente ad evitae che la co- Fig : Dipolo elementae ente debba annullasi all estemità del filo (come avviene in una qualunque antenna filifome). Pe il dipolo di Fig., i mosetti di ingesso (e quindi di uscita) sono i teminali A e B. La tensione a vuoto è quindi, pe definizione V 0 = A B E i D dl = V A V B (56) essendo E il campo totale pesente nella zona del gap della antenna. Data la piccolezza del dipolo, comunque, il campo totale può essee consideato iotazionale, e quindi è possibile spostae il cammino di integazione lungo il C.E.P. ottenendo A V 0 = V A V B = V A V B = E i t dl (57) B Nella zona della integazione della eq. (57) il campo podotto dalla antenna è tascuabile, e quindi si può assumee E E i, essendo E i il campo incidente, ovveo il campo in assenza del dipolo elementae. Tale campo può essee consideato costante in tutta la zona del dipolo elementae (che, icodiamo, è piccola ispetto alla lunghezza d onda), e quindi potato fuoi dall integale; A A V 0 E i i t dl E i i t dl B B Ovviamente anche i t è costante (e pai a i D ) sul cammino di integazione e si ottiene, in definitiva Più pecisamente, come vedemo, di una componente del campo.

23 A V 0 E i i t dl = E i i D B A B dl = E i i D z (58) in quanto l integale vale la lunghezza del cammino di integazione. La (58) ci dice che un dipolo elementae può essee usato come sensoe di campo, ovveo come dispositivo atto a misuae il campo elettomagnetico in un punto dello spazio. Più pecisamente, un dipolo elementae misua una componente del campo. Una misua completa ichiede quindi te dipoli indipendenti, oppue un dipolo che venga fatto uotae nello spazio. Spia elementae Consideiamo una spia costituita da un filo di C.E.P., di foma egolae e di aea S λ. Una tale spia è detta elementae. Nel seguito suppoemo pe semplicità che sia anche piana, e, inizialmente, che sia costituita da un solo anello. Un esempio di tale spia è ipotata in Fig.. La spia di questa figua è cicolae, ma sono possibili ovviamente anche alte A fome (es., quadata, ettangolae, ellittica), A senza che questo altei il calcolo della tensione i t i n i t a vuoto. È solo ichiesto che la foma sia egolae. B IndichiamoancoaconAeB imosetti di ingesso (e quindi di uscita) della spia. B Fig : Spia elementae piana In maniea del tutto analoga a () possiamo scivee V 0 = V A V B = A B E i t dl dove l integale è fatto sulla cuva tatteggiata nella pate desta di Fig.. Poichè l integale di linea di E lungo il C.E.P. della spia è nullo, possiamo estendee l integale a tutto il contono (cicolae, nel caso di Fig. ) della spia, ottenendo quindi V 0 = A B E i t dl = E i t dl (59) L ultimo integale di (59) può essee calcolato icoendo alla Legge di Faaday e si ha V 0 = jω B i n ds (60) S dove l integale è esteso alla supefice della spia. Su tale supefie si può ancoa appossimae il campo totale con quello incidente, B B i = µh i. Poichè anche H i può essee consideato costante sulla spia (e i n è costante essendo la spia piana) segue infine V 0 jωµ H i i n ds jωµh i S S i n ds = jωµh i i n S ds = jωµh i i n S (6) 3

24 La elazione (6) ci dice che una spia elementae piana 3 è un sensoe di campo magnetico, ovveo è in gado di misuae il campo magnetico (o meglio, una componente del campo magnetico) pesente in un punto. Tuttavia una spia con un unico anello non è un sensoe paticolamente efficiente. Pe vedelo, possiamo confontae la isposta, ad una fissata onda piana, di una spia di aggio R con quella di un dipolo elementae lungo R 5 (otogonale alla spia) soggetto alla stessa onda piana. Sia H 0 la ampiezza del campo magnetico dell onda piana; di conseguenza quella del campo eletico vale ζh 0. Risulta, da (6) e (58) pe cui V 0S = ωµ 0 πr H 0 V 0D = R ζh 0 V 0S V 0D = ωµ 0πR H 0 = ωµ 0 R ζh 0 ζ πd 4 = β πr = π βr essendo, pe l ipotesi di dipolo e spia elementae, R molto più piccolo di λ. Questa notevole diffeenza (a paità di campo da misuae) ende le misue di campo magnetico molto meno pecise 4. Pe aumentae, a paità di campo, la tensione a vuoto e quindi miglioae la misua, le spie elementai vengono nomalmente ealizzate con un avvolgimento di N anelli, in modo peò che lo spessoe complessivo sia tascuabile ispetto al aggio. In tal caso la tensione a vuoto diventa 5 V 0 = jωµh i i n NS (6) ed è N volte quella di una singola spia, in modo da compensane la piccolezza della tensione a vuoto. Dipolo coto 3 Se la spia non è piana, si può ancoa potae H i fuoi dall integale, ma non più la nomale, che va invece integata. Ne isulta che una tale spia misua ancoa una componente del campo magnetico incidente, ma questa non saà più una componente catesiana. 5 Il confontodeve essee eseguito nonsolo a paitàdicausa, ovveo dicampo incidente, ma anche a paità di dimensioni, in quanto l ingombo è uno dei paameti impotanti di un sensoe 4 La tensione a vuoto che veà poi misuata è affetta da umoe, che è indipendente dal valoe della tensione. Petanto l effetto del umoe aumenta al idusi della tensione da misuae. 5 Pe dimostae questa elazione occoe consideae che l ultimo integale della (59) va oa esteso a tutto il filo che costituisce il sensoe, e quindi sugli N anelli. Possiamo scivee questo integale come somma di integali, ciascuno su di un anello, e pe ognuno di questi applicae la legge di Faaday come in (60) V 0 = E i t dl = filo n E i t dl = jωn Sn B i n ds S in quanto, essendo lo spessoe del sensoe tascuabile, tutti gli integali di flusso sono uguali. 4

25 La tensione a vuoto icevuta da un dipolo coto può essee ottenuta a patie da quella di un dipolo elementae. Infatti abbiamo visto che il campo podotto da un dipolo elementae o quello di un dipolo coto (con lo stesso momento di dipolo) sono uguali (almeno al di fuoi della zona delle sogenti, che nel nosto caso A è molto piccola). i D D alta pate (e lo vedemo anche più avanti) B il compotamento in tasmissione di una antenna e quello in icezione sono coispondenti. Conseguenza diciòèchedueantennechepoduconolostessocampo (a paità di I A ) in una egione R, iceveanno anche Fig 3: Dipolo coto la stessa tensione a vuoto (a paità di E i ), puchè la sogente del campo incidente sia nella egione R. Pe un dipolo elementae di lunghezza L e un dipolo coto di lunghezza L, la egione R inizia a 0L, ovveo compende sostanzialmente tutto lo spazio. Petanto anche un dipolo coto di lunghezza l può essee usato come sensoe di campo elettico con V 0 = E i i D l (63) essendo i D il vesoe paallelo ed equiveso col dipolo. 9 RISPOSTA AD UNA ONDA PIANA Se il campo incidente è una onda piana, o almeno localmente piana (ovveo con tutte le caatteistiche di una onda piana nella zona della antenna icevente 3 l espessione della tensione a vuoto icevuta assume una espessione paticolamente semplice. Cominciamo a consideae un dipolo elementae, su cui incide una onda piana (vedi Fig. 3) da un angolo θ. Indichiamo con i k il vesoe del vettoe di popagazione k. Risulta (vedi Fig. 4) i D = i k cosθ i θ sinθ Ricodiamo che deve isultae L λ; nella patica un dipolo è consideabile coto se L <λ/ 8 e quindi la egione R è l esteno di una sfea di aggio poco supeioe a λ 3 Peunaantennamolto piccola ispettoalla lunghezza d onda, l unica caatteistica daveificae è che E e H siano otogonali, e con ampiezze nel appoto ζ. In tal caso la diezione di aivo dell onda (ovveo la sua diezione di popagazione) è quella del vettoe di Poynting. Infatti, essendo la zona della antenna piccola ispetto a λ, i campi di una onda piana sono costanti come tutti gli alti, e non è quindi possibile contollane la vaiazione spaziale pe deteminae se il campo è localmente piano, o la sua diezione di aivo. 5

26 E i θ k i D i D θ i k i θ Fig. 3: Dipolo elementae in icezione. Fig. 4: Vesoi pe il caso di Fig. 3. Dalla (58) segue V 0 = E i i D z = E i ( i k cosθ i θ sinθ) z (64) ed essendo E i i k = 0 pe le popietà delle onde piane, segue, iodinando i temini, V 0 = ( zsinθi θ ) E i (65) La gandezza fa paentesi nella (65) è la altezza efficace del dipolo elementae h. Si ha quindi, pe onda piana incidente V 0 = h E i (66) La elazione (66) ha una potata molto più geneale 4. Infatti si dimosta che vale pe qualunque antenna, se il campo incidente è una onda localmente piana. La elazione (66) può essee usata anche in diezione opposta, ovveo pe deteminae le popietà di iadiazione di una antenna a patie da quelle in icezione. Se consideiamo una spia elementae, piana, la tensione a vuoto, pe un qualunque campo incidente, è data dalla (6) che qui H i ipotiamo V 0 = jωµh i i n NS essendo N il numeo di avvolgimenti della spia. Se il campo incidente è una onda piana (vedi Fig. 5), alloa H i = ζ i k E i i n θ k E i e sostituendo nella espessione della tensione a vuoto V 0 segue Fig 5: Spia in icezione 4 In ealtà questa elazione vale solo in assenza di mateiali anisotopi, ovveo di mateiali, quali quelli feomagnetici, le cui popietà elettomagnetiche dipendono dalla diezione del campo. In pesenza di mateiali anisotopi, una elazione come la (66) è ancoa valida, ma il vettoe di popozionalità ta tensione a vuoto e campo incidente è diveso. Tuttavia tali casi non sono comuni, e possiamo quì tascuali. 6

27 V 0 = j ωµ ζ i k E i i n NS = j ωµ ζ NSi n i k E i (67) avendo pemutato cicolamente i te temini del podotto misto. Dal confonto con la (66) segue alloa, pe una spia elementae h = j ωµ ζ NSi n i k = jnβsi n i k e icodando (vedi Fig. 6) che segue i n = i k cosθ i θ sinθ i n i k = ( i k cosθ i θ sinθ) i k = sinθi θ i k e in definitiva = sinθi φ h = jnβs sinθi φ (68) i n θ i k i φ i θ Fig 6: Vesoi coinvolti Riguado ai segni, va icodato che la coente deve entae nella spia dal teminale positivo della tensione a vuoto. In alti temini, la (68) vale se la coente I A gia nello stesso veso di i φ. 0 DIPOLO MAGNETICO E SPIRA Dalla fisica geneale è noto che una spia pecosa da coente continua è equivalente a un dipolo magnetico (equivalenza di Ampèe). In ealtà questa equivalenza vale anche pe coenti sinusoidali. Una spia elementae piana di aea S, con N avvolgimenti, pecosa daunacoente I A equivale a undipolo magnetico di momento Q pai a Q = µ 0 NS I A i n (69) essendo i n la nomale alla spia (vedi Fig. 5 del paagafo pecedente). Pe deteminae il campo di un tale dipolo magnetico, cominciamo col notae che, utilizzando come sogente solo un dipolo elettico di momento P, le equazioni di Maxwell diventano E = jωb = jωµh H = jωd = jωε 0 E+jωP Queste equazioni pesentano una elevatissima simmetia ta le gandezze elettiche e quelle magnetiche, che è ulteiomente incementata se includiamo nelle equazioni anche il dipolo magnetico: E = jωµh jωq H = jωε 0 E+jωP 7