2. EQUAZIONI DEL PROBLEMA ELASTICO - LAVORO DI DEFORMAZIONE

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1 G. Petucci Leioni di Costuione di Macchine 2. QUAZIONI DL PROBLMA LASTICO - LAVORO DI DFORMAZION quaioni indefinite di equilibio L andaento delle tensioni catesiane in un solido di Cauch è descitto dalle funioni p p (,,), p p (,,) e p p (,,), essendo, ad esepio, (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) T p (2.) il vettoe tensione che agisce nel punto di coodinate,, nel piano di noale. Affinché sia ispettato l equilibio in ciascun punto del solido, queste funioni devono ispettae alcune condiioni che sono espesse sotto foa di equaioni diffeeniali. p +( p / )d p p +( p / )d +( / )d +( / )d p d p +( p / )d d p d +( / ) d +( / )d d/2 d/2 C +( / )d Fig.2. - Tensioni agenti sull'eleentino di volue. Fig.2.2 A sinista coponenti di tensione agenti in dieione ; a desta coponenti aventi oento ispetto all asse paallelo a passante pe C. In paticolae, con ifeiento alla fig., si considei un eleento di volue di foa cubica, con lati d, d, d e volue dvddd all inteno del solido. Sulle 6 facce agiscono le aioni povenienti dal esto del solido; sul cubetto agisce inolte una foa estena ad unità di volue pai a F[F F F ] T. In fig.2, a sinista, sono ostate le sole coponenti di tensione che agiscono in dieione. Ricodando che: la foa eleentae agente su ciascuna faccia è data dal podotto della tensione pe la supeficie della faccia stessa, il segno della foa va attibuito concodeente a quello della faccia su cui la tensione agisce, cioè positivo se il vesoe della faccia è concode con il veso dell asse al quale è paallelo e vicevesa, la foa di volue agente si ottiene oltiplicando F pe il volue dell eleentino, l equaione di equilibio dell eleentino in dieione può essee scitta coe segue: + dd dd + + dd + dd + + dd dd + Fddd Seplificando e dividendo pe il podotto dvddd si ottiene: F Questa equaione diffeeniale, ottenuta iponendo che la condiione di equilibio sia veificata in ciascun eleentino del solido, ette in elaione ta loo le funioni (,,), (,,) e (,,) ediante le ispettive deivate paiali. Opeando analogaente ispetto alle dieioni e si ottengono le equaioni di equilibio nelle dieioni coispondenti. Le 3 equaioni possono essee scitte in foa aticiale ottenendo: F F F 2. ij, i Fj (2.2) (2.3) + (2.4)

2 G. Petucci Leioni di Costuione di Macchine Le (4) possono essee scitte anche coe p p p F i, i p + F (2.4b) ovveo F F F (2.5-7) Condiioni di equilibio al contono I contoni esteni di un solido possono essee libei o caicati da foe estene note (fig.3a,b) o vincolati e quindi soggetti alle eaioni vincolai. Siano f[f f f ] T e [ ] T vettoi contenenti ispettivaente le foe e le eaioni vincolai, entabe ad unità di supeficie, agenti su un punto del contono, pe l equilibio, su ciascun punto del contono stesso vale una elaione del tipo: f pn + pn + pn (2.8) Questa equaione è del tutto analoga alla (.2) del pecedente capitolo che ette in elaione le tensioni catesiane con la tensione p n agente su un piano di noale n. In questo caso al posto del vettoe p n si considea la foa estena ad unità di supeficie f (o la eaione vincolae ). La (8), scitta pe esteso nel caso di contono caicato, fonisce: a) n + n + n f n + n + n f (2.9a-c) n + n + n f Ad esepio in fig.3b è ostato il caso di contono con noale paallela all asse il cui vesoe è dato da n[n n n ] T. Paticolaiando le (9) si ottiene f, f, f. Nel caso in cui agisce solo una foa ad unità di supeficie noale alla supeficie Fig.2.3 Foe e tensioni al contono. stessa (ad esepio una pessione) le (9) diventano f,,. In questo caso si evince che la tensione noale al contono in quel punto è popio pai alla foa ad unità di supeficie applicata, ente le tensioni tangeniali sono nulle. Le equaioni indefinite al contono peettono di paticolaiae le funioni delle tensioni ottenute isolvendo il poblea elastico pe casi di caico specifici, coe si vedà nel seguito. Recipocità delle tensioni tangeniali Scivendo l'equaione di equilibio ai oenti dell eleentino di lati d - d, ispetto alla etta paallela all asse passante pe il cento C dell'eleentino stesso (fig.2), tenuto conto del fatto che le tensioni noali e le tensioni tangeniali agenti sulle facce di noale non hanno baccio ispetto a tale asse, si ottiene: ( ( ) ) ( ) 2.2 ( ) (2.a) M + d + d d d 2 + d + d d d 2 tascuando gli infinitesii di odine infeioe legati alle deivate delle tensioni, la (a) diventa: ( ) ( ) M d d d d d d (2.b) da cui (2.) Scivendo le analoghe equaioni di equilibio pe gli assi ed si ottiene: (2.2) In definitiva pe descivee lo stato tensionale sono necessaie solo le 6 coponenti,, e, e. f f n b) f

3 G. Petucci Leioni di Costuione di Macchine quaioni di copatibilità Un solido tidiensionale soggetto a foe estene subisce un cabiaento di configuaione definito defoaione. Tale cabiaento di configuaione copota che ciascun punto di coodinate,, in assi catesiani, è soggetto ad uno spostaento s(,,) le cui coponenti ispetto agli assi di ifeiento sono u(,,), v(,,) w(,,). Lo stato di defoaione è legato agli spostaenti s taite le equaioni di copatibilità. L ipotesi di copatibilità o conguena iplica che nel cabiaento di configuaione non si veifichino laceaioni o copenetaioni ta le pati del solido. La pocedua coetta pe la deteinaione delle equaione di copatibilità ichiede l applicaione del pincipio dei lavoi vituali affinché il lavoo copiuto dalle foe estene sul solido (legato a foe e spostaenti) sia bilanciato con quello dovuto alle foe intene (legato a tensioni e defoaioni). Pe seplicità, in questo caso, esse sono dedotte diettaente. u u u v u u v v 2 v v Fig Dilataione di una fiba infinitesia Fig.2.5 Defoaione di scoiento Si considei la fiba di lunghea ostata in fig.4, se le sue esteità sono soggette a spostaenti oiontali divesi ta loo, essa subisce una vaiaione di lunghea in dieione pai a: (,, ) (,, ) u u + u (2.3) si definisce dilataione assiale in dieione il liite pe tendente a del appoto ta la vaiaione di lunghea u e la lunghea iniiale : u li (2.4) Analogaente, in seguito a spostaenti v e w, si veificano defoaioni longitudinali secondo gli alti assi, date dalle seguenti equaioni: v (2.5, 6) In geneale, inolte, nel cabiaento di configuaione due fibe iniialente disposte in odo paallelo ispettivaente agli assi ed, coe in fig.5, uotano ispettivaente di quantità u/ e 2 v/ (fig.5). La vaiaione coplessiva dell angolo foato dalle due fibe è dato dalla soa di questi teini. Si definisce scoiento il liite pe e tendenti a della soa dei due teini e 2 : v + (2.7) Analogaente, in seguito a otaioni attono agli alti assi, si hanno degli scoienti dati dalle seguenti equaioni: v + + (2.8) In definitiva le equaioni di copatibilità elative al solido tidiensionale sono le seguenti: v v + v + + (2.9) Si noti che le defoaioni sono gandee adiensionali. Pe effetto della defoaione, in ciascun punto del solido, in geneale, si veifica una vaiaione di volue. Si definisce dilataione cubica v la vaiaione di volue subita dall unità di volue. ssa si diosta essee data dalla seguente espessione: dv V + + (2.2) V 2.3

4 G. Petucci Leioni di Costuione di Macchine quaioni costitutive Le defoaioni che si poducono in un copo a causa della tensione applicata, dipendono dalle caatteistiche fisico-eccaniche del ateiale che lo costituisce. Queste caatteistiche sono deteinate in odo speientale (pove eccaniche) e il copotaento del ateiale è caatteiato ediante le equaioni costitutive. Le equaioni costitutive ettono in elaione le tensioni applicate sul ateiale ( e ) e le defoaioni che vi si poducono ( e ). Spesso tali equaioni costituiscono una seplificaione del copotaento eale. In geneale una singola coponente di tensione può povocae defoaioni in tutte le dieioni, questo è il caso dei ateiali foteente anisotopi. Un ateiale è definito: oogeneo se ha popietà uguali in tutti i punti, isotopo se ha popietà uguali in tutte le dieioni. Molti dei ateiali eali obbediscono a queste idealiaioni solo su scala acoscopica. Si noti che un ateiale non oogeneo può essee isotopo in alcuni punti e anisotopo in alti. Copotaento elastico lineae pe ateiali isotopi Molti dei ateiali da costuione pesentano, ento ceti liiti delle tensioni applicate, un copotaento scheatiabile coe elastico lineae: le defoaioni scopaiono se i caichi si annullano; esiste una popoionalità dietta ta caico e l defoaione. Le defoaioni elastiche sono tipicaente associate allo stiaento dei legai atoici nei solidi. Un ateiale elastico lineae, sottoposto ad uno l l stato tensionale onoassiale, pesenta una defoaione longitudinale l (fig.6) che isulta legata Fig.2.6 Tensioni e defoaioni in solidi elastici alla tensione taite la seguente espessione: (2.2) l l nella quale è il odulo di elasticità longitudinale o odulo di Young del ateiale ( l / l ) avente le diensioni di una tensione [N/ 2 ]. Speientalente si osseva anche una defoaione tasvesale di segno opposto a quella assiale. Nei ateiali isotopi essa è data da: nella quale ν è il coefficiente di Poisson del ateiale definito coe t ν l ν l (2.) ν (2.23) Il coefficiente di Poisson è adiensionale e vaia nel capo ν..5. Il valoe ν.5 è un liite esteo che coisponde fisicaente al caso in cui pe tensione onoassiale la defoaione non povoca vaiaione di volue, coe è possibile ossevae paticolaiando la (2) pe tensione onoassiale ediante la (2) e la (): V dv/v.5.5. Se si sottopone il ateiale ad una sollecitaione tangeniale, si osseva una defoaione di scoiento (fig.6) che è legata alla tensione taite la seguente espessione: t G l (2.24) nella quale G è il odulo di elasticità tasvesale (o tangeniale) (G/). In caso di ateiale isotopo si può diostae che è G 2 ( + ν ) (2.25) Le costanti del ateiale, G e ν sono dette anche costanti ingegneistiche; esse legano tensioni onoassiali alle defoaioni isuate nella stessa dieione in cui agisce la tensione e in dieione otogonale e possono essee deteinate diettaente pe via speientale. Nel caso di ateiali isotopi, ovviaente, le costanti ingegneistiche sono uguali in tutte le dieioni, cioè il loo valoe non dipende dalla scelta del sistea di ifeiento. Pe la popietà di oogeneità esse isultano uguali in tutti i punti del solido. Nel caso più geneale di sollecitaione tiassiale, le equaioni costitutive del ateiale elastico lineae, oogeneo e isotopo sono le seguenti: 2.4

5 ( ) ν ν ( ) ν ν G. Petucci Leioni di Costuione di Macchine ( ) ν ν (2.26a) (2.26b) G G G Si noti che le defoaioni tangeniali non sono influenate da tensioni tangeniali in alti piani, cioè non vi è un analogo dell effetto Poisson. Ossevando le (26a,b) è possibile notae che, applicando una tensione onoassiale, si geneano defoaioni solo nella dieione della tensione stessa e nelle dieioni otogonali. In definitiva il copotaento defoativo di un ateiale isotopo elastico-lineae è descitto dalle due sole costanti e ν. Le equaioni (26) possono essee poste in foa aticiale essendo ed vettoi così definiti T C (2.27) T (2.28,29) e la atice C, detta di cedevolea, facilente individuabile nella seguente elaione che è la (27) scitta pe esteso: ν ν ν ν ν ν G G G (2.3) I teini della atice C sono le costanti elastiche del ateiale, funioni diette delle costanti ingegneistiche. È oppotuno evideniae le seguenti caatteistiche della atice di igidea dei ateiali isotopi: le te tene di ei nelle ighe da a 3 iplicano che non vi è accoppiaento ta defoaioni longitudinali e tensioni tangeniali, ente i pii 3 ei nelle ighe da 4 a 6 iplicano che non vi è accoppiaento ta defoaioni tangeniali e tensioni noali; a questo tipo di copotaento viene spesso associato l aggettivo sietico; gli ei in coispondena delle ighe e delle colonne da 4 a 6 deivano dall assena di un effetto siile a quello di Poisson pe le tensioni tangeniali; gli eleenti della atice C si antengono costanti al vaiae dell oientaento del sistea di assi. È oppotuno sottolineae che la popietà di isotopia iguada la costana degli eleenti della atice di cedevolea al vaiae della dieione di applicaione delle tensioni, ovveo dell oientaione della tena catesiana di ifeiento e non della posiione dell oigine della tena stessa: l eventuale a costana degli eleenti della atice di cedevolea al vaiae dalla posiione dell oigine degli assi è elativa alla popietà di oogeneità del ateiale. L espessione (3) può essee scitta in odo inveso esplicitando le tensioni ispetto alle defoaioni: essendo R la atice di igidea, invesa della C. C R (2.3) Defoaioni teiche I ateiali isotopi soggetti a vaiaione di tepeatua subiscono una defoaione uguale in tutte le dieioni espiibile secondo la seguente elaione: ( ) (2.32),, T T T nella quale T e T sono ispettivaente la tepeatua iniiale (alla quale il solido si considea indefoato) e quella finale e è il coefficiente di dilataione teica, che può vaiae con la tepeatua e che ha le diensioni dell inveso della tepeatua (/C ). Il teine a desta delle (32) deve essee soato alle (26) pe ottenee le espessioni globali delle dilataioni copendenti effetto eccanico e teico. 2.5

6 2.6 G. Petucci Leioni di Costuione di Macchine Copotaento elastico lineae dei ateiali ototopi I ateiali eali non possono essee sepe scheatiati coe isotopi in quanto, in vai casi, la diffeena ta le popietà nelle vaie dieioni non è tascuabile. Nel caso dei ateiali foteente anisotopi, la foa più geneale possibile della (3) pevede che la atice C abbia tutti i teini divesi da eo e dipendenti dal sistea di ifeiento scelto. In questo caso la atice isulta counque sietica ispetto alla diagonale, essendo cioè C i,j C j,i con i j, e le costanti indipendenti sono 2. Al contaio di quanto accade nei ateiali isotopi, applicando una tensione onoassiale su un ateiale anisotopo si geneano defoaioni anche in dieioni divese da quella in cui agisce la tensione stessa e dalle dieioni ad essa otogonali, esiste cioè un accoppiaento ta tensioni noali e defoaioni tangeniali e vicevesa. Ta i ateiali anisotopi, gli ototopi sono caatteiati dal fatto che è possibile identificae te piani otogonali ispetto ai quali le caatteistiche defoative isultano di tipo sietico. In paticolae, se si scelgono assi di ifeiento, 2, 3 paalleli a tali piani, da non confondee con gli assi pincipali delle tensioni, le equaioni costitutive assuono una foa siile a quella dei ateiali isotopi: ovveo ν 2 2 ν 3 3 ν2 2 ν ν 3 ν G G3 3 2 G2 2 (2.33) 23 C23 23 (2.33b) Ossevando la (33) si nota che, con il sistea di assi oientato secondo le dieioni di ototopia, siilente ai ateiali isotopi, non si veifica accoppiaento ta tensioni noali/tangeniali e defoaioni tangeniali/noali. Natualente, a diffeena dei ateiali isotopi, i oduli di igidea e i coefficienti di Poisson nelle vaie dieioni isultano diffeenti ta loo. In paticolae, i coefficienti di Poisson nella (33) sono definiti coe ν ij j i (2.34) il pio indice si ifeisce alla dieione di applicaione della tensione e il secondo alla dieione della defoaione tasvesale. Pe la sietia della atice C ispetto alla diagonale, deve essee ν ν (2.35) ij i ji j in conseguena di ciò i coefficienti di Poisson indipendenti isultano 3. In definitiva nella (33) vi sono 9 costanti indipendenti: i 3 oduli i, i 3 oduli G i e solo 3 dei 6 coefficienti ν ij. Se si applicano tensioni in dieioni divese da quelle di ototopia (cioè oientate secondo assi geneici foanti angoli, 2, 3 ispetto agli assi 23), la elaione (33) non isulta più valida, poiché, coe detto, i teini della atice dipendono dalla scelta del sistea d assi. La (33) deve essee infatti iscitta coe: C (2.36) essendo C una atice sietica, a, in geneale, avente tutti i teini divesi da. Tipicaente il copotaento eccanico dei ateiali ototopi viene caatteiato deteinando speientalente o stiando teoicaente i coefficienti della atice C 23 nella (33). Quando necessaio, la atice C elativa ad una ceta oientaione degli assi può essee facilente deteinata a patie dalla C 23 ediante oppotune opeaioni di otaione d assi, coe veà ostato nel paagafo successivo pe il caso bidiensionale. Copositi a fiba lunga I ateiali copositi sono ottenuti cobinando 2 o più ateiali ta loo insolubili ediante iscelaione o incollaggio. In olte applicaioni il ateiale coposito è costituito da una atice di ateiale duttile (polieico o etallico - a anche ceaico) confoata in una laina di spessoe sottile ispetto alle diensioni pincipali e da fibe di infoo di alto ateiale (fibe di veto, cabonio, aaide, di ateiali ceaici ecc) disposte in odo unidieionale (fig.7) o secondo dieioni otogonali. In questo caso il copotaento isulta ototopo e le caatteistiche eccaniche ( i e ν ij ) della laina di ateiale coposito dipendono dalle caatteistiche eccaniche della atice e del infoo (, ν,, ν ). Poiché le fibe hanno diensioni dell odine della decina/centinaio di icon, ai fini dell analisi eccanica il ateiale può essee consideato oogeneo. Pe ottenee elevate popietà di esistena secondo dieioni divese, laine con fibe disposte in diffeenti dieioni vengono incollate ta loo ceando una lasta detta lainato. L analisi del copotaento eccanico delle

7 G. Petucci Leioni di Costuione di Macchine 3 3 a) b) c) 2 2 A A L L Fig.2.7 Copositi a fiba lunga con infoo in dieione : a) schea pe la deteinaione di, b) schea pe la deteinaione di 2, c) possibile disposiione delle fibe. laste ottenute in questo odo è oggetto della teoia della lainaione pe la quale si ianda a testi specialiati, ente nel seguito vengono ostate le elaioni ta le tensioni e le defoaioni agenti nella singola laina. A causa della piccolea dello spessoe, le laine, sollecitate nel loo piano, agiscono in stato piano di tensione. Assuendo una tena di ifeiento catesiana con assi, 2 nel piano della laina con l asse in dieione paallela al infoo e l asse 3 nella dieione dello spessoe (assi della laina), le tensioni in dieione 3 possono essee tascuate ( ). La defoaione lungo 3 in geneale è divesa da, a non fa pate delle vaiabili pincipali del poblea e può essee dedotta sepaataente. Le equaioni costitutive possono essee ottenute dalla (33) in odo seplificato: La (37) può essee posta in foa copatta: ν 2 2 ν2 2 2 G 2 2 essendo C 2 la atice di cedevolea negli assi della laina. La defoaione in dieione otogonale al piano della laina è data da (2.37) 2 C2 2 (2.38) ν3 ν (2.39) La (37) e la (35), paticolaiata pe i e j2, ostano che le costanti elastiche indipendenti pe i ateiali ototopi, nel passaggio del poblea da tidiensionale a bidiensionale, si iducono a 4. I valoi delle costanti devono essee valutati con pove speientali, tuttavia in alcuni casi esse possono essee dedotte diettaente da quelle dei ateiali coponenti. La elaione invesa della (37), che esplicita le tensioni ispetto alle defoaioni, è la seguente: ovveo, in foa copatta, ν ν2ν 2 ν2ν 2 ν 2 2 ν2ν 2 ν2ν G2 (2.4) 2 R2 2 (2.4) nella quale R 2 la atice di igidea negli assi della laina, invesa della C 2. Le (37) e (4) legano ta loo tensioni e defoaioni negli assi della laina. Coe detto, pe ottenee analoghe foule in assi geneici,, anch essi paalleli al piano della laina, foanti angolo ispetto agli assi, 2, isuato dalla dieione alla dieione in senso positivo se oaio, è necessaio icoee alle foule di tasfoaione d assi che, pe il caso delle tensioni, coincidono con le (.6). Ponendo cos e nsen, la tensione e la defoaione negli assi, possono essee ottenute ispettivaente con le seguenti espessioni: 2.7

8 G. Petucci Leioni di Costuione di Macchine a) b) Fig.2.8 Andaento delle defoaioni nei casi di sollecitaione onoassiale e puaente tangeniale al vaiae dell angolo (in gadi) ta la dieione del ateiale e l asse, lungo cui agisce la tensione, ottenute ediante la (2.49). Costanti: 7.5 GPa, 29.8 GPa, G 23. GPa, ν 2.3; a) tensione onoassiale MPa,, ; b) tensione tangeniale MPa,,. 2 2 n 2 n 2 2 n 2 n 2 2 n n n n n 2 2 n n n 2 n n 2 Queste elaioni possono essee scitte nella seguente foa copatta: Ψ Ρ 2 2 (2.42,43) (2.44,45) spiendo 2 e 2 in funione di e ediante le invese della (44) e della (45) (cioè 2 Ψ e 2 Ρ ), intoducendo le espessioni ottenute nella (38) e nella (4) ed esplicitando ispetto a e, si ottiene: Ψ C Ponendo infine si ottiene 2Ρ C Ψ C Ρ Ρ R2Ψ (2.46,47) 2 C R Ρ R2Ψ (2.48,49) R (2.5,5) Queste elaioni consentono di calcolae le defoaioni pe tensioni applicate in dieioni qualsiasi e vicevesa. In fig.8 è ostato l andaento delle defoaioni in una laina ototopa, nel caso di tensione onoassiale (, ) al vaiae dell angolo ta la dieione e la dieione del ateiale. Pe ed 9 la tensione agisce ispettivaente nelle dieioni ( ) e 2 ( 2 ) e il copotaento del ateiale è di tipo sietico, isultando ; pe gli alti valoi di è in genee pesente una defoaione. È inteessante notae coe la defoaione assia non si abbia in coispondena di 9 (caso in cui 2 ) e coe pe 9 la defoaione tasvesale dovuta all'effetto Poisson, in questo caso coincidente con, isulti bassa, nonostante l elevato valoe di ; ciò è dovuto al fatto che le fibe sono disposte in dieione endendo elevata la igidea in tale dieione. Deteinaione del odulo paallelo alle fibe Coe detto, le costanti ingegneistiche, 2, G 2 e ν 2 del ateiale ototopo dipendono dalle costanti elastiche, ν,, ν della atice e del infoo. sse devono essee deteinate speientalente, a, in alcuni casi, possono essee stiate in odo accettabile a patie da quelle dei ateiali coponenti. A tale fine è necessaio inunciae all ipotesi di oogeneità e consideae le diffeenti caatteistiche eccaniche dei 2 ateiali e le diffeenti sollecitaioni agenti su di essi, coe ostato nel seguito. Nel caso in esae (fig.7) A è l aea data dalla soa delle aee delle seioni tasvesali delle fibe di infoo ed A è l aea occupata dalla atice. Natualente l aea della seione tasvesale del ateiale coposito è A A + A (2.52) Poiché la lunghea in dieione è uguale pe le fibe e la atice, le faioni voluetiche di infoo e atice ispetto al ateiale coposito, definite sepliceente coe appoti ta il volue di fiba e di atice e il volue totale, possono essee espesse coe 2.8

9 V A A V V G. Petucci Leioni di Costuione di Macchine A (2.53,54) A In pesena di tensione onoassiale agente in dieione, cioè, le fibe e la atice possono essee consideate eleenti elastici agenti in paallelo. In questo caso l allungaento in dieione isulta uguale pe infoo e atice, pe cui, essendo uguali le lunghee, isultano uguali le defoaioni, e la foa coplessivaente agente nella stessa dieione è data dalla soa delle foe agenti nel infoo e nella atice: A A + A (2.55,56) Le tensioni agenti nel infoo e nella atice e in dieione e la tensione edia agente nella laina sono legate alle coispondenti defoaioni ediante le classiche elaioni costitutive Sostituendo le (57-59) nella (56) e utiliando la (55) pe eliinae le defoaioni, si ottiene V V ( ) A + A + (2.6) A Deteinaione del odulo otogonale alle fibe 2 Nel caso del odulo longitudinale la disposiione effettiva delle fibe nella atice non influena olto il valoe ottenuto con la (6), al contaio, nel caso del odulo tasvesale, una analisi esatta non può essee effettuata e si appossia la geoetia effettiva del coposito (ad es. in fig.7c) con quella ostata in fig.7b. Il isultato che si ottiene deve essee consideato un liite infeioe del valoe effettivo. Nel caso in esae L ed L sono la lunghea totale in dieione delle seioni tasvesali delle fibe di infoo e della atice (vedi fig.7). Natualente la lunghea totale è L L + L (2.6) Poiché la lunghea in dieione e lo spessoe sono uguali pe le fibe e la atice, le faioni voluetiche di infoo e atice ispetto al ateiale coposito possono essee ottenute coe appoti ta le lunghee L ed L e la lunghea totale L L V L V V (2.62,63) L L Lo schea di fig.7b coincide con quello di eleenti elastici disposti in seie; in pesena di tensione onoassiale, la foa agente nella atice e nel infoo è la stessa, pe cui, essendo uguali le seioni, isultano uguali le tensioni, ente l allungaento coplessivo è dato dalla soa degli allungaenti nel infoo e nella atice: L L + L L L + L (2.64,65) Anche in questo caso le tensioni e le defoaioni in dieione 2 nel infoo e nella atice, la tensione edia agente nella laina in dieione 2 e l analoga defoaione sono legate ta loo ediante le classiche elaioni costitutive: ( ) Sostituendo le (66-68) nella (65) a desta, utiliando la (64) pe eliinae le tensioni e dividendo pe L si ottiene L L V V + + (2.69) L L da cui V + V In odo analogo è possibile ottenee le seguenti elaioni ta le alte costanti del ateiale: G G ν2 V ν + V ν G2 V G + V G (2.7) (2.7,72) 2.9

10 G. Petucci Leioni di Costuione di Macchine.2 V.2.5 V.9.5. V.5..5 V Fig.2.9 Andaento delle defoaioni nel caso di sollecitaione onoassiale, al vaiae dell angolo (in gadi) pe divesi valoi di V. MPa, GPa, ν.3, G /[2(+ν )] 38.5 GPa; 5 GPa, ν.33, G /[2(+ν )].9 GPa. In fig.9 è ostato un confonto ta le defoaioni ottenute pe divesi valoi della faione voluetica del infoo, opeando coe nel caso di fig.8. Le caatteistiche dei ateiali sono ipotate nella didascalia. Lavoo di defoaione Nel caso di un solido di ateiale elastico, isotopo e oogeneo, si definisce lavoo di defoaione (poteniale elastico, enegia elastica) ad unità di volue la seguente quantità: ( ) T l (2.73) Il lavoo di defoaione è una quantità scalae positiva pai al lavoo necessaio a potae l unità di volue di un solido dallo stato iniiale indefoato a quello finale defoato. Il lavoo di defoaione coplessivo copiuto dalle foe intene si ottiene integando l espessione pecedente ispetto al volue del solido: T Li dv 2 (2.74) V La (74), scitta pe esteso, diventa L V V ( ) dv (2.75) i V Si ossevi che il lavoo copiuto dalla tensione noale pe defoae un eleentino di volue è dato appunto dalla seguente quantità: dl df du da d dv (2.76) Il teine ½ dipende dal fatto che il lavoo si ottiene passando gadualente dal livello di tensione applicata nullo, con defoaione nulla, al livello finale. Allo stesso odo il lavoo copiuto dalla tensione tangeniale pe defoae un eleentino di volue è dato da: du dw dl df du + df dv dd d + dd d dv (2.77) d d Teoea di Clapeon Indicando con F v ed F s le foe estene, ispettivaente di volue e di supeficie, agenti sul solido e con s i elativi spostaenti, il lavoo di tali foe è dato dalle seguente espessione: T T e 2 v + V 2 S s L F s dv F s ds (2.78) Il teoea di Clapeon affea che l enegia elastica L i iagainata in un solido elastico-lineae è pai al lavoo copiuto dalle foe estene applicate gadualente dal valoe al valoe finale duante il pocesso di defoaione (cioè è uguale alla età del lavoo che le foe copiebbeo se agisseo con l intensità finale duante l inteo pocesso di defoaione): L e L i (2.79) La (79) scitta pe esteso fonisce: V.75 V.5 V.9 V V, V V.75 V.5 V.9 F s dv + F s ds dv (2.8) T T T V v S s V