Tecnica delle Costruzioni

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1 Tecnic delle Cotruzioni D i m e n i o n m e n t o t r u t t u r e econdo Norme Tecniche ed Eurocodici Crlo Sigmund Ingegneri Civile & Ambientle S t r u t t u r e Quderno Tecnico - # Elementi Pitr e Tubi Copi (PARZIALE) di vlutzione - Dicembre 5 Prim edizione Stmpto

2 EUROCODES Spredheet Structurl Deign 4 di Crlo Sigmund. Tutti i diritti riervti. Vi Primo Mggio 8/ - 7 Trcento (UD) info.oft.igmund@ticli.it Editore e utore: Crlo Sigmund Foto in copertin: Prim edizione, Gennio 6 Formto crtceo Sigmund, Crlo Dimenionmento trutture econdo Eurocodici e normtiv itlin Titolo del libro: Tecnic delle Cotruzioni - Quderno Tecnico N. - Elementi Pitr e Tubi Strutture; Progettzione; Eurocodici Strutturli CEN TC/5. Neun prte del preente documento può eere riprodott, memorizzt in un item che ne permett l elborzione, né trme in qulivogli form e con qulivogli mezzo elettronico o meccnico, né può eere fotocopit, riprodott o regitrt ltrimenti, enz previo coneno critto dell editore, trnne nel co di brevi citzioni contenute in rticoli di critic o recenioni. L preente pubbliczione contiene le opinioni dell utore e h lo copo di fornire informzioni precie e ccurte. L elborzione dei teti, nche e curt con crupolo ttenzione, non può comportre pecifiche reponbilità in cpo ll utore e/o ll editore per eventuli, errori, refui e/o inettezze. L utore detiene i diritti per tutti i teti, le tbelle e le illutrzioni contenute in queto documento. Copi (PARZIALE) di vlutzione - Dicembre 5

3 Quderno Tecnico n. Elementi Pitr e Tubi Copi (PARZIALE) di vlutzione - Dicembre 5

4 Copi (PARZIALE) di vlutzione - Dicembre 5

5 Sommrio. Cenni ull teori delle pitre in regime eltico linere 7 Schemtizzzione dell truttur e reltive ipotei 8 Ipotei fondmentli 8 Equzione di Lgrnge 9 Procedur per il clcolo dell equzione delle pitre 9 Momenti principli: formlimo di Mohr 5 Equzioni di equilibrio: momenti principli e linee iottiche 6 4 Vrizioni di tempertur nelle pitre 9 Vrizione uniforme ull inter pitr 9 Vrizione uniforme ullo peore m vribile con,y Grdiente termico ttrvero lo peore 5 Pitre qudrngolri: condizioni l contorno 4 Bordo ppoggito 4 Bordo inctrto 6 Bordo libero 7 6 Cenni ui metodi di oluzione dell equzione dell pitr 7 Soluzione econdo il procedimento di Nvier 7 Soluzione econdo il procedimento di Lévy. Clcolo rpido delle ollecitzioni nelle pitre qudrngolri Pitre rettngolri con crico ditribuito uniforme 4 Formule di clcolo per le mime ollecitzioni e deformzioni 4 Tbelle di clcolo con chemi di vincolo 5 Clcolo delle ollecitzioni econdo il metodo di Grhov 44 Ipotei ll be del clcolo 44 Formule di clcolo e chemi di vincolo 45 Clcolo medinte l uo delle tbelle di Bittner 5 Pitr qudrt in emplice ppoggio u tutti i bordi 5 Pitr rettngolre ppoggit lungo tutti i bordi 55 Pitr rettngolre perfettmente inctrt u tutti i lti 6 4 Clcolo medinte l utilizzo delle tbelle di Bre 74 Pitr ppoggit u tre lti e qurto lto libero 75. Pitre circolri ilimmetriche 79 L equzione delle pitre ilimmetriche 8 Epreioni delle ollecitzioni flettenti 8 Epreioni delle curvture 8 Epreioni dei momenti flettenti in funzione di w 8 Equzione di equilibrio lle rotzioni 8 Equzione di equilibrio ll trlzione 8 Equzione dell componente di deformzione w 84 Condizioni l contorno 84 Bordo eterno inctrto 85 Bordo eterno ppoggito 87 Copi (PARZIALE) di vlutzione - Dicembre 5

6 vi Sommrio 4. Tubi prete ottile in regime fleionle ilimmetrico 9 4 Poizione del problem, ipotei e chemtizzzione 94 Schemtizzzione mtemtic del problem 94 Rigidezz eltic degli nelli 95 Rigidezz eltic delle trice 96 Equzione differenzile elementi cilindrici prete ottile 96 Rpporto delle deformzioni in regime ilimmetrico 97 4 Soluzioni integrli (tubi lunghi, tubi corti) 98 Integrle generle dell oluzione w(z) 99 Integrle prticolre dell oluzione w(z) 4 Condizioni l contorno e coefficienti eltici Convenzione ui egni e reltive funzioni per M e V Determinzione dei coefficienti eltici (per elementi cilindrici lunghi) Prticolri condizioni l contorno 6 Equzioni di congruenz (pproimzione per tubi lunghi) 4 4 Sollecitzioni per grdienti di tipo termico 6 Vrizioni di tempertur u corpo non iperttico 6 Vrizioni di tempertur u tubo iperttico 7 Equzioni delle deformzioni in regime preorio e termico 8 Equzioni delle deformzioni in regime termico come dominnte 9 5. Clcoli ttici ulle tubzioni interrte: cenni teorici e formule prtiche 9 Preione di eercizio 4 Preione nominle 4 Entità dell preione equivlente 4 Limitzione delle ovrppreioni d colpo d riete 4 Po e preione in fe di colludo 4 5 Aetti e zioni ulle tubzioni interrte 4 Condizioni di po 4 Po in trince trett 44 Po in trince lrg e po con rinterro indefinito 48 Po in trince trett con rinterro indefinito 5 5 Proprietà eltiche dei mterili per le condotte interrte 54 Moduli eltici per le tubzioni 54 Moduli di elticità normle dei terreni Ditribuzioni delle zioni verticli ulle tubzioni 56 Ditribuzione delle zioni dovute l rinterro 56 Rezioni verticli delle ree di ppoggio ll zione del rinterro 57 Ditribuzione delle zioni dovute i vribili fii e mobili in uperficie Formule per il clcolo e l verific: teori di De Sedeleer 6 Rezioni orizzontli del terreno per unità di lunghezz del tubo 6 Clcolo delle ollecitzioni flettenti nelle ezioni ignifictive del tubo 69 Clcolo dell mim tenione di trzione di progetto 7 Clcolo dell mim preione di eercizio Verific mime deformzioni e intbilità eltic 76 Verific ll ovlizzzione dell tubzione 77 Verific ll intbilità eltic per depreione intern 8 5 Preme: vlori delle preioni in tubzione 4 Copi (PARZIALE) di vlutzione - Dicembre 5

7 Cenni ull teori delle pitre in regime eltico linere Schemtizzzione dell truttur e reltive ipotei 8 Ipotei fondmentli 8 Equzione di Lgrnge 9 Procedur per il clcolo dell equzione delle pitre 9 Momenti principli: formlimo di Mohr 5 Equzioni di equilibrio: momenti principli e linee iottiche 6 4 Vrizioni di tempertur nelle pitre 9 Vrizione uniforme ull inter pitr 9 Vrizione uniforme ullo peore m vribile con,y Grdiente termico ttrvero lo peore 5 Pitre qudrngolri: condizioni l contorno 4 Bordo ppoggito 4 Bordo inctrto 6 Bordo libero 7 6 Cenni ui metodi di oluzione dell equzione dell pitr 7 Soluzione econdo il procedimento di Nvier 7 Soluzione econdo il procedimento di Lévy r le trutture bidimenionli o di uperficie, in cui un dimenione è lqunto minore Fdelle ltre due, i definicono pitre quelle l cui uperficie medi è pin riultndo cricte prevlentemente d forze genti perpendicolrmente tle uperficie. Generlmente, nello tudio di tli elementi trutturli, i riferice l pitr d un tern di i crteini, y gicenti nel uo pino medio. Lo peore dell pitr può vrire d punto punto purché queto i mnteng empre piccolo e l u vrizione vveng con continuità e immetricmente ripetto un pino medio. In queto documento i trtternno olo pitre peore cotnte. Lo peore dell pitr è coniderto ufficientemente piccolo m non tle d rendere trcurbile l rigidezz fleionle dell pitr te: i tudiernno quindi degli elementi pitr e non quelli detti più pecifictmente come membrn. I crichi, come i è nticipto, devono eere perpendicolri l uo pino medio. Qundo invece le forze eterne ono contenute nel pino medio, tli elementi trutturli vengono denominti ltre. In queto documento, non i trtterà degli elementi ltr. Nell teori Copi (PARZIALE) di vlutzione - Dicembre 5

8 8 Cpitolo : Cenni ull teori delle pitre in regime eltico linere delle pitre, i ffront il problem di determinre lo tto tenionle e le deformzioni dell elemento pitr un volt che ino egnti i crichi e le condizioni vincolri l contorno. Viene introdott l ipotei fondmentle di Kirchoff che conite nel ritenere che un qulii egmento perpendicolre l pino medio (e quindi di lunghezz pri llo peore dell pitr) i mntiene rettilineo e perpendicolre l pino medio nche dopo l deformzione. Quet unzione trov fondmento nel ftto che qunto più piccolo è lo peore dell pitr tnto mggiori riultno in e le deformzioni f per tenioni normli v (di membrn) ripetto lle ditorioni c per tenioni tngenzili di tglio e torione. Schemtizzzione dell truttur e reltive ipotei L ipotei di Kirchoff di rettilineità dei egmenti ortogonli l pino medio dell pitr conente di decrivere le deformzioni e le tenioni medinte un unic funzione delle coordinte del pino medio: l bbmento w w (, y) lungo l e z perpendicolre l pino inizile di gicitur uppoto coincidente con il pino, y. L equzione dell pitr viene quindi epre medinte l funzione che rppreent lo potmento econdo l e z del generico punto P, pprtenente l pino medio. Queto potmento deve eere piccolo, come tutti gli potmenti eltici, in confronto lle dimenioni dell pitr ed in prticolre in confronto llo peore. È lecito coniderre che, meno di infiniteimi di ordine uperiore, gli potmenti del punto P econdo e y ino prticmente nulli in nlogi con l curv eltic dell teori dell trve: il punto P del pino medio quindi i bb olo di w (, y). Il egmento pnte per P quindi può olo ruotre ttorno d eo dell ngolo di infleione dell pitr { (che può coniderri compoto nelle due rotzioni componenti { e { y. Ipotei fondmentli L chemtizzzione dell truttur pitr è bt ulle eguenti ipotei: il mterile è omogeneo, iotropo ed eltico linere; lo peore dell pitr è contenuto, m non troppo d rendere trcurbile l rigidezz fleionle dell pitr te; le deformzioni ono reltivmente piccole ripetto lle dimenioni dell truttur e un trttzione del I ordine è ufficientemente pproimt: ollecitzioni riferite ll configurzione non deformt; le rezioni di vincolo lungo i bordi dell pitr non otcolno gli potmenti nel pino medio: non fornicono componenti di rezione contenute nel pino teo; come coneguenz delle due ipotei or pecificte, deriv l coneguenz che le tenioni v, v y, y y ono nulle nel pino medio dell pitr; vlidità dell ipotei di Kirchoff: immginndo di iolre un elementino infiniteimo di form prllelepiped orientto econdo gli i di riferimento, y, z, di be d dy ed ltezz pri llo peore dell pitr, gli pigoli di queto retno rettilinei nell configurzione deformt e perpendicolri ll uperficie econdo cui i deform il pino medio; le tenioni v z lungo l direzione perpendicolre l pino,y di gicitur inizile dell pitr (quindi indeformt) ono prticmente trcurbili ripetto lle ltre; Copi (PARZIALE) di vlutzione - Dicembre 5

9 Equzione di Lgrnge 9 Figur Deformzione del prllelepipedo elementre econdo l ipotei di Kirchoff. Sitem di riferimento, y, z con pino,y coincidente con il pino medio dell pitr indeformt. y (ntiorrio) w ϕ y ϕ z / P B A z B A ϕ y Ipotei di Kirchoff: AA B B z / pino medio w ϕ y < (orrio) P w P w u( A ) ϕ yz z > w u( A ) > w u( B ) < A pino medio P B pino medio B B A P z z P A B ϕ y A ϕ y ( ) w w, y w > pino medio crichi loclizzti u ree molto ritrette, di dimenioni inferiori llo peore dell pitr, vengono trttti come ci limite. Equzione di Lgrnge Stnte le ipotei opr elencte, il problem iperttico di un porzione rbitrri di pitr comunque crict e vincolt i ffront medinte il coiddetto metodo dell equilibrio. È inoltre ufficiente umere come unic incognit l bbmento w lungo l e z del punto generico P del pino medio. Si trtt di un funzione w w(, y) di due vribili e i otterrà un equzione differenzile lle derivte przili che eprime l equilibrio in direzione z delle forze genti ul prllelepipedo elementre di volume dv da d dy, eendo lo peore finito dell pitr. Procedur per il clcolo dell equzione delle pitre Innnzitutto, i frà coincidere il pino medio dell pitr indeformt con il pino, y del item di riferimento crteino. Per eprimere l equzione di Lgrnge in funzione dell ol funzione incognit w(, y) i eguirà il eguente percoro: utilizzndo l ipotei di Kirchoff, i determinno gli potmenti u, v del generico punto P quot z dl pino medio e in funzione di w(, y); i utilizzno le equzioni di congruenz (dll Scienz delle Cotruzioni) del mezzo continuo per delinere le epreioni delle deformzioni unitrie f e c in funzione di u, v e quindi di w; i introducono le ipotei di omogeneità, iotropi ed elticità linere equzioni di Lmè o legge di Hooke inver coefficienti cotnti per dedurre le tenioni v e in funzione delle deformzioni unitrie f e c, quindi di w; i definicono le epreioni dei momenti flettenti M, M y e dei momenti torcenti M y in funzione di w, imponendo le equzioni di equilibrio ll rotzione del prllelepipedo elementre; Copi (PARZIALE) di vlutzione - Dicembre 5

10 Cpitolo : Cenni ull teori delle pitre in regime eltico linere i impone l equzione di equilibrio ll trlzione in direzione dell e z del prllelepipedo elementre, tr le riultnti dei tgli Z e Z y (prlleli ll e z) e il crico p(, y) gente u un delle due uperfici dell pitr. Di eguito, nell ordine, il dettglio dei pi opr enunciti. Ü Funzioni potmento. Il egmento AB, nel pggio ll configurzione deformt ruot mntenendoi rettilineo (i ved Figur ). In queto modo, i punti non pprtenenti l pino medio preenternno componenti di potmento u e v econdo gli i e y ripettivmente. Poiché per definizione, il egmento AB l l è perpendicolre l pino medio deformto, l u rotzione può eere conidert compot d due rotzioni componenti { e { y che corripondono ll inclinzione dell uperficie del pino medio econdo i due i e y ripettivmente: Z w ]{ y [ ( ) ]{ w y - \ dove gli ngoli di rotzione { ono poitivi e concordi l vero dei ripettivi i. In virtù dell ipotei di Kirchoff, un qulii pigolo del prllelepipedo elementre durnte l deformzione i mntiene rettilineo, quindi il punto generico P ditnz z dl pino medio ubice i eguenti potmenti: Z u z z w ] { y - [ ( ) v z{ z w ] - - y \ I egni meno dipendono dl ftto che le due componenti ono negtive per punti dell pitr quote z > e per vlori poitivi delle derivte przili di w, come riult dll Figur. In ltre prole, rotzioni poitive { y per punti quote z > riultno componenti u > di medeimo vero dell e ; vicever, rotzioni poitive { per punti quote z > riultno componenti v < di vero oppoto ll e y. Ü Equzioni di congruenz. Le equzioni di congruenz del mezzo continuo eltico, che legno gli potmenti u, v lle deformzioni unitrie ili f e lle deformzioni unitrie di corrimento c, i riprendono dll Scienz delle Cotruzioni: f u f v y y g c u v y + y g otituendovi le epreioni di u e v or trovte, i ottiene: Copi (PARZIALE) di vlutzione - Dicembre 5

11 Equzione di Lgrnge f f c y y z w - z w - y z w w z w - c + m- y y y ( ) Ü Tenioni unitrie. Dlle deformzioni coì ottenute, i ricvno le epreioni delle tenioni unitrie pplicndo l form inver dell legge di Hooke (equzioni di Lmè). Tenendo ppunto conto che nel co delle pitre è v z, i criverà: f ^v-ovyh E fy ^vy-ovh E ( 4) y Gcy; y Gcy; y y Moltiplicndo l econd equzione per o e ommndo membro membro con l prim, i ottiene: v E ^ y o f + of h. - ( 5) Anlogmente, moltiplicndo l prim per o e ommndo membro membro con l econd, i ottiene: v E y ^ y o f + of h. - ( 6) Sotituendo le ( ) nelle ultime delle ( 4) e nelle ( 5) e ( 6), i ottiene: v y E z ; E z w w - e + o o vy - e + o o - o w yw - o y Gz w E z w E z w y ^ + oh y + o y Ü 4 Epreioni delle ollecitzioni flettenti e torcenti. In be lle epreioni trovte, congiuntmente ll ipotei di Kirchoff in elticità linere, le tenioni v e i nnullno nel pino medio dell pitr (quindi per z ) perché nel pino medio non ci ono mi forzi di membrn che ono quindi lineri con l incognit z te. Si poono quindi ricvre le epreioni dei momenti flettenti e torcenti. In prticolre, indicti con v, v y e y y i vlori oluti delle mime tenioni i lembi dell pitr, per l ollecitzione flettente elementre dm i h (i vedno chemi in Figur ) in cmpo linere delle tenioni: dm df dy v v v dy b l b l ( 7) 6 che, per unità di lrghezz in direzione y, ume il vlore finito: M v, 6 ( 8) Copi (PARZIALE) di vlutzione - Dicembre 5

12 Cpitolo : Cenni ull teori delle pitre in regime eltico linere Figur Sollecitzioni flettenti e torcenti, in equilibrio con le reltive tenioni lineri, ul generico prllelepipedo elementre. y z / z / dy dm dfσ dmy dfσ y σ y z Tenioni normli dy d d σ df σy / df σy σy σ dmy dfτ y df σ / df σ dy τy z Tenioni tngenzili dy d d τy τ y z / z / df τ / df τ dm dm y dm y dm y σ y σ τy τy vendo indicto con il imbolo M il momento riultnte flettente delle tenioni di membrn v che gicono ull fccett di normle, poiché queto è il imbolimo utilizzto d qui tutti gli utori per l nlii delle pitre. Queto momento M gice ttorno ll e y e quindi il uo vettore rppreenttivo è prllelo quet ultimo e; il imbolimo dottto, pertnto, è divero d quello uto in Scienz delle Cotruzioni. Anlogmente, lle tenioni di membrn v y è ocito il momento flettente elementre dm y che, per unità di lrghezz lungo ume il vlore finito: M y vy. ( 9) 6 Per qunto rigurd i momenti torcenti M y M y, tnte l vlidità dell relzione di reciprocità del tglio (equilibrio delle rotzioni per il generico elementino infiniteimo: y y), l trttzione è nlog quell delle ollecitzioni flettenti, in virtù dell linerità delle tenioni. Ad eempio, per il momento torcente M y i criverà: dm df d y d b y l y b l, ( ) 6 d cui, per unità di lrghezz lungo ume il vlore finito: M M y y & y y 6, con M y M y perché è: y y 6 ( ) In be gli chemi in Figur, i momenti flettenti ono poitivi e riultno tee le fibre inferiori (come nelle trvi); i momenti torcenti, ulle fccette ditnze d e dy dll origine degli i locli, hnno vero tle che le tenioni tngenzili mime nelle fibre più ditnti quot z / riultino equiveri gli i locli e y. I vlori oluti delle mime tenioni v, v y e y y i lembi dell pitr i ottengono numericmente ttribuendo ll vribile z il vlore z / nelle epreioni delle tenioni in funzione di w: v E w w ; E w w - e y + o o v - e - o y o + o o ( ) - y Copi (PARZIALE) di vlutzione - Dicembre 5

13 Equzione di Lgrnge Ü Importnte y E w y -. ( ) + o y Le epreioni dei momenti in funzione di w i ottengono dll otituzione delle epreioni di v e in funzione dell te w, in quelle di M, M y e M y M y in funzione di v e : M M M y y E w w v 6 - e 6 + o o - o y E w w - e + o o ^ - o h y ( 4) E w w vy 6 - e + o o ( 5) ^ - o h y E w y 6 - ^ - oh. ( 6) ^ - o h y Indicndo con D l rigidezz fleionle dell pitr, in nlogi ll rigidezz EJ delle trvi, pri : D E ^ - o h, ed eprimendo le derivte przili del II ordine dell funzione w(, y) in funzione delle curvture nelle direzioni e y, le precedenti relzioni delle ollecitzioni flettenti e torcenti umono l petto: M M y D w w D - e + o o b o y r + r l ( 7) y D w w D - e + o o b o y r + y r l ( 8) My D w { ^- { yh * - ^ - oh -D ^- oh -D^ - oh ( 9) M y y y Come i può notre, l generic ollecitzione flettente M i è proporzionle ll rigidezz eltic D dell pitr e ll omm dell curvtur nel pino dell e i-eimo con l curvtur nel pino perpendicolre ll e i-eimo moltiplict per il coefficiente di Poion o. L nlogi con l teori eltic dell trve riult evidente per il pino dell e i-eimo. Ü 5 Condizioni di equilibrio elementino prllelepipedo. Si coniderno or le condizioni di equilibrio dei momenti genti ul prllelepipedo elementre ttorno gli i e y. Il generico prllelepipedo elementre è lto qunto lo peore dell pitr e preent un ezione trverle infiniteim pri da d dy che riult cotnte lungo tutt l ltezz in virtù dell ipotei di Kirchoff. Dovendo coniderre tutte le ollecitzioni che gicono ulle quttro fcce del prllelepipedo elementre, nelle equzioni di equilibrio i elidono le funzioni delle ollecitzioni genti non incrementte ulle coppie di fccette prllele. In ltri termini, nell equzione di equilibrio intervengono di ftto olo gli incrementi differenzili delle ollecitzioni genti. Tenendo conto che le grndezze flettenti e torcenti, precedentemente clcolte in vlore finito, ono epree in funzione di unità di Copi (PARZIALE) di vlutzione - Dicembre 5

14 4 Cpitolo : Cenni ull teori delle pitre in regime eltico linere Ü 6 Ü 7 lrghezz di uperficie gente, rà necerio moltiplicrle per le dimenioni d e dy del prllelepipedo elementre e i vogliono eplicitre le equzioni di equilibrio elementri. Mntenendo l convenzione di umere come poitivi i momenti concordi con i ripettivi i e y (i ved Figur ), i crivono le due equzioni dei momenti: ttorno ll e : My M dy d y c- m + c- d m dy + ^ Zddy y h y ttorno ll e y: M M d dy y b l + c dy m d - ^ Zdyd h. y vendo coniderto ripettivmente con Z y e Z le riultnti delle zioni tglinti prllele ll e z e genti lungo le fcce trverli del prllelepipedo elementre: / / # #, Zy yz dz; Z z dz -/ -/ che contribuicono gli equilibri ll rotzione meno degli incrementi di ordine uperiore (trcurti). Ad eempio, il contributo lle rotzioni dell coppi di tglio Z che gice ulle due fcce (cicun lrg dy del prllelepipedo elementre) ditnti d è dto d (i ved convenzione egni in Figur ): 6 - ^Z+ vendo trcurto l infiniteimo del III ordine. Pertnto, coniderndo gli equilibri ll rotzione ttorno gli i prlleli e y, trcurndo gli infiniteimi di ordine uperiore, i ottiene l relzione: Z Z M My ] + y [ ( ) My My ] Zy + \ y Condizioni di equilibrio lungo l e z. Rimne or d tbilire l equilibrio ll trlzione lungo l e z perpendicolre l pino medio dell pitr. In queto co, contribuicono ll equilibrio i oli incrementi elementri delle riultnti di tglio dz e dz y. Dett con p p(, y) l funzione ditribuzione del crico normle (preione) ulle uperfici eterne dell pitr, l equilibrio ll trlzione porge: Z Z d dy y dy d pddy Z Zy & b l + c m + - c y + m p ( ) y Equzione di Lgrnge. Sotituendo nell Eq. ( ) le epreioni ( ) e tenendo conto delle relzioni d ( 7) ( 9), i ottiene l equzione lle derivte przili di IV grdo nell incognit w(, y): p M My My w w w p & - e + + o ( ) y y y y D Copi (PARZIALE) di vlutzione - Dicembre 5

15 Momenti principli: formlimo di Mohr 5 Figur Vero di zione delle ollecitzioni flettenti, torcenti e delle riultnti delle zioni di tglio. Zdy y τ yz Zy + dzy d (u lto incrementto) z Tenioni tngenzili // z dy ( ) d τ z ( ) Zyd Z + dz dy (u lto incrementto) y p(, y) τ yz Crico trverle d z dy τ z Tenioni normli dy d Tenioni tngenzili // e // y dy d dm dm y dm y dm y σ y σ τy τy che peo viene indict con l form comptt: d 4 w ^, yh py ^, h. ( ) D L equzione ( ), un volt riolt tenendo conto delle opportune condizioni l contorno, fornice l funzione w w(, y). D quet, per mezzo delle relzioni d ( 7) ( 9) i ottengono le funzioni delle crtteritiche dell ollecitzione M, M y e M y M y. D quete, poi, trmite l ( ) i ottengono i vlori dei tgli Z e Z y. L oluzione dell equzione di Lgrnge per le pitre è, nell mggior prte dei ci, i onero e generlmente, nelle ppliczioni prtiche, conviene ricorrere b opportuni bchi o tbelle che riportno i vlori delle ollecitzioni e degli potmenti per le più frequenti condizioni di crico e di vincolo. Qundo le condizioni di crico o l form dell pitr ono tli d non conentire l uo di tbelle è necerio ricorrere metodi numerici (differenze finite o, meglio, elementi finiti). Momenti principli: formlimo di Mohr Coniderimo l elemento primtico di pitr rppreentto in Figur 4. Sulle fcce lterli d e dy dell pitr, prlleli ripettivmente gli i e y del pino medio, gicono i reltivi momenti flettenti M y, M e i momenti torcenti M y M y (queti ultimi uguli loclmente per l vlidità del principio di reciprocità del tglio). Sezionndo l pitr lungo un pino l cui trcci t pprteng l pino y e con un inclinzione ripetto ll e delle, i può penre di trovre il momento flettente M n gente con tenioni di membrn lungo l direzione n perpendicolre ll ezione di pitr tglit e il momento torcente M nt le cui tenioni di tglio ino prllele ll direzione t dell trcci dell ezione nel pino medio dell pitr (i vedno dettgli in Figur 4). Copi (PARZIALE) di vlutzione - Dicembre 5

16 6 Cpitolo : Cenni ull teori delle pitre in regime eltico linere Figur 4 Elemento primtico di pitr: tti di tenione pini in nlogi l metodo del cerchio di Mohr. Formlimo di Scienz delle Cotruzioni coincidente con etto tenionle per il lembo di pitr quot z / dl pino medio. Scienz delle Cotruzioni Tenioni pitr z / y B σ y τ y y A α α τ y σ t τ t AB y AC BC t n t C Formlimo Pitre Equilibrio rotzioni pitr y B M M y A α α M y M nt M n AB y AC BC t n t C σ y M y σ σ co α + σy in α + τy inα inα τ ( σ σy ) τy coα Mn Mco α + Myin α + Myinα inα Mnt ( M My ) My coα Ü Importnte Equzioni di equilibrio: momenti principli e linee iottiche Coniderndo per un pitr generic un ezione inclint di un ngolo ripetto ll e delle y, i dipongno le zioni flettenti e torcenti come indicto nell Figur 4, in modo che le tenioni ili e di tglio per i lembi dell pitr quot z / riultino concordi con il formlimo del cerchio di Mohr in Scienz delle Cotruzioni. Proiettndo le due equzioni di equilibrio lle rotzioni dell ezione di pitr ABC lungo le direzioni n (normle ll uperficie di trcci BC ) e t (tngenzile ll trcci BC ), i ottengono le eguenti due equzioni: * Mn Mco + Myin + My in M M in ( 4) Mnt ^ - yh My co - Quete due equzioni riultno formlmente nloghe quelle reltive lle tenioni pine tudite in Scienz delle Cotruzioni propoito del cerchio di Mohr. In prticolre, i potrnno determinre i vlori di M n e M nt per mezzo del cerchio di Mohr reltivmente lle tenioni dell pitr ui lembi etremi quot z / (eendo lo peore dell pitr unto cotnte). Momenti principli. Viene inoltre evidenzit l eitenz di momenti principli crtterizzti dl ftto che ei ono i mimi e i minimi l vrire dell ngolo (o, ciò che è lo teo, l ruotre dell orientmento dell elementino ripetto gli i originri, y) e gicono in pini fr loro ortogonli. Queti pini definicono l orientmento dell elementino di pitr tle che il momento torcente i nullo. Il loro inviluppo dà luogo lle triettorie dei momenti principli l cui conocenz è molto utile, pecilmente per diporre le rmture nel modo più opportuno, nel co di pitre in cemento rmto. È opportuno ricordre qui le epreioni delle crtteritiche dell ollecitzione genti ull generic pitr (per unità di lrghezz di pitr): M v, M 6 y vy, M 6 M & 6. 6 y y y y Copi (PARZIALE) di vlutzione - Dicembre 5

17 Momenti principli: formlimo di Mohr 7 Linee iottiche. È evidente che, utilizzndo l teori del cerchio di Mohr coì come not dll Scienz delle Cotruzioni e riferendoci i lembi di pitr quot z / dl pino medio, è poibile trttre lo tto di ollecitzione dell pitr nlogmente llo tto di ollecitzione pino delle tenioni, tipico dell Scienz delle Cotruzioni. Il pggio dlle tenioni pine lle linee iottiche delle crtteritiche dell ollecitzione per unità di lrghezz di pitr (momenti principli) vviene emplicemente moltiplicndo tutte le tenioni per il fttore /6. Eempio Clcolo direzioni delle triettorie dei momenti principli per un pitr in cemento rmto: rmtur lent econdo linee iottiche Si immgini di ver ottenuto per vi numeric l inviluppo SLU (i) dello tto tenionle pino u un delle fcce (ii) di un pitr di peore cotnte ( 5 mm) in cemento rmto ordinrio (illutrzione più vnti). Individure l direzione delle linee iottiche dei momenti principli lungo cui diporre le brre di rmtur. Il vlore del copriferro nominle per le rmture più eterne è c nom mm. In cntiere ono diponibili brre d derenz migliort B45C per l eguente gmm di dimetri: z8, z4 e z6. Soluzione Come noto dll Scienz delle Cotruzioni, l direzione dell orientmento dell elementino pitr cimentto d ole ollecitzioni di fleione (quindi con momenti torcenti nulli) i ottiene trovndo il minimo reltivo delle tenioni ili in condizioni di tenioni tngenzili nulle: elementino orientto lungo le due direzioni principli v e v. L oluzione del minimo reltivo per le tenioni v in funzione di { mmette due oluzioni che differicono di r/. Step (eqn. ) Step (eqn. ) Clcolo ngolo orientmento tenioni principli (per ole fleioni) Angolo di orientmento elementino ol fleione: y y $ 4, c tn, & v v y v v y 5,, ) c vendo tenuto conto che le due direzioni di v e v devono differire di un ngolo retto. Clcolo tenioni principli (minim e mim) Clcolo delle tenioni principli econdo l teori del cerchio di Mohr: v, v vy v vy +! b - l + y 5,, 5,, v 75, MP +! b 4, - l + ^ h * v -47, MP L mim tenione principle ulle fibre dell pitr quot z / è di trzione (v poitiv), mentre l tenione principle minim è di compreione (v negtiv). (i) SLU t per tto limite ultimo. (ii) Fcci quot z / dl pino medio. Copi (PARZIALE) di vlutzione - Dicembre 5

18 8 Cpitolo : Cenni ull teori delle pitre in regime eltico linere Step (eqn. ) Clcolo momenti principli I momenti principli ono i momenti flettenti che grnticono l equilibrio ll infleione e tglio in enz di ollecitzioni tglinti dovuti torione. In be qunto trovto nell trttzione teoric, i h (con, MP, kn/cm ): M M n n ^5 cmh v, kn/ cm, knm/ m 6 ^75 h 8 6 ^5 cmh v, 47 kn/ cm 55, knm/ m 6 - ^ h 6 - Il vlore di M n è poitivo (tende le fibre inferiori dell pitr), mentre il vlore di M n è negtivo (tende le fibre uperiori dell pitr). y M y y σ y B M y B τ y M M n M n M y σ σ σ σ M y M n α M τy σ α τy A α α C A M y M n τ y σ C M My Mn 8,75 knm / m,75 knm / m M y My My 8, knm / m Mn 5, knm / m 5, knm / m 5,5 knm / m σ y σ 5, MP τ y 4, MP σ y, MP τ y 4, MP σ 7,5 MP σ,47 MP Step 4 Clcolo rmture fleione pitr L dipoizione longitudinle delle rmture portnti deve eguire l direzione individut dll ngolo ripetto ll direzione di viluppo initr-detr dell pitr nel pino. Le brre portnti ndrnno quindi dipote ull intrdoo dell pitr (dl lto quindi delle fibre proime z /) e dipote longitudinlmente prllelmente ll direzione individut dll tenione principle v (i ved figur precedente). Le rmture i clcolno in conformità qunto tbilito dlle Norme Tecniche e di coneguenz dgli Eurocodici CEN/TC 5 (verione europe).. Clcolo tenioni di progetto mterili (con c c,5 e c,5): clcetruzzo C5/: f cd 4, MP,4 kn/cm ; ccii per rmtur lent B45C: f yd 9 MP 9, kn/cm.. Clcolo ltezz utile h dell ezione H 5 cm: (eqn. 4) h H- ^cnom+ ztffe + 5, zh 5 - ^+, 8+, 6 / h. cm Copi (PARZIALE) di vlutzione - Dicembre 5

19 Vrizioni di tempertur nelle pitre 9. Mim ollecitzione flettente di progetto (econdo l direzione principle v ): (eqn. 5) MEd Mn 8, knm/ m(per metro di lrghezz dell pitr). 4. Verific quntittivo di rmtur necerio: rmtur emplice o doppi: (eqn. 6) m Ed MEd ^8, knmh, 64, 8 # (emplice). bh fcd ^mh^cmh ^, 4 kn/ cm h 5. Clcolo re rmtur portnte // ll direzione di v : (eqn. 7), / A MEd ^8 knm mh 7, cm / m. 9, hfyd 9, $ ^, mh $ ^9, kn/ cm h Step 5 Dipoizione rmture Sull intrdoo dell pitr, in direzione principle v, i dipongono brre z4 in rgione di z4/ 7,7 cm /m. Ortogonlmente e ll intrdoo, lungo l direzione v verrà comunque prim te, longitudinlmente, un rmtur in rgione di z8/ e con copriferro nominle c nom mm. 4 Vrizioni di tempertur nelle pitre Le trutture bidimenionli in genere quli pitre, ltre, membrne e ltre curve ono peo nche prti di elementi cotruttivi di cldie, erbtoi, rettori chimici e tubi in cui vvengono fenomeni di tipo termico, tipici degli impinti indutrili. In generle, nelle pitre, i poono individure tre regimi termici principli i cui effetti conviene tudire eprtmente per poi combinrli, in virtù del principio di ovrppoizione degli effetti, nelle nlii lineri: vrizione ovunque uniforme vrizione uniforme olo nell generic ezione trverle vrizione ttrvero lo peore. È quindi frequentiimo in queti ci che un delle ollecitzioni più importnti i quell dovut ll tempertur e i uoi grdienti nelle trutture. Lo tudio dei uoi effetti i conduce econdo l teori dell meccnic del continuo in Scienz delle Cotruzioni. Vrizione uniforme ull inter pitr Se i pen un qulii elemento trutturle, libero di vrire il uo volume, ottopoto d un orgente di clore, queti tenderà nturlmente diltri e l tempertur dell orgente di clore è mggiore. Gli potmenti dell elemento, come corpo libero, ono di immedit determinzione. Coefficiente di diltzione termic. Dll elticità ppimo inftti che in un punto generico del continuo, uppoto iotropo, l effetto diretto di un vrizione di tempertur DT > i trduce nell vrizione delle deformzioni unitrie dell elemento. In prti- Copi (PARZIALE) di vlutzione - Dicembre 5

20 Cpitolo : Cenni ull teori delle pitre in regime eltico linere colre, upponendo lmeno teoricmente l enz di tutte le forze eterne e l preenz di un orgente di clore che vri l tempertur medi dell elemento di D T T-T!, i h: f f y f z DT ; c y c yz c z ( 5) con l preenz di un deformzione uniforme volumic in enz (iii) di ditorioni per tglio. Con i è indicto il coefficiente di diltzione termic del mterile dell elemento trutturle; per l cciio e il clcetruzzo eo vle circ: -5 c C -. Il modeto vlore di conente di ritenere nche per queto co di vrizioni termiche l ipotei di deformzioni infiniteime e, di coneguenz, il mntenimento dell vlidità del principio di ovrppoizione degli effetti. È opportuno oervre che l circotnz che i circ lo teo per i due mterili cciio e clcetruzzo conente di ffermre che il mterile compoito cemento rmto po eere coniderto dl punto di vit delle deformzioni termiche come un tutt uno. Le ole vrizioni termiche poono provocre o meno delle tenioni econd dei ci. Il coefficiente di diltzione termic volumetrico viene in generle definito: t V - t c m b l T p V T p dove: t è l denità del mterile; T è l tempertur in un punto P del mterile; V il volume del mterile. Ü Importnte Se i vincoli preenti conentono ll elemento di vrire il proprio volume libermente enz cotrizioni, llor non i detno tenioni. Ciò ccde qundo il item è iottico: vrizioni uniformi di tempertur non provocno l ncit di tenioni interne ll elemento. Se invece l elemento è vincolto ipertticmente, lvo lcuni ci (iv) prticolri, l uo interno i detno delle tenioni tli d dre luogo deformzioni unitrie eltiche che vengono immeditmente cricte ui vincoli ovrbbondnti che le contrtno in condizioni di equilibrio: i det cioè uno tto detto di cozione, oi uno tto di tenione (e deformzioni) ocito forze ttive nulle. Anche vrizioni non uniformi di tempertur poono ccompgnri tti di cozione nulli per ltre di pint qudrngolre ppoggite olo u due lti prlleli. In generle, quindi, l eventule tto di cozione termic è dovuto oltnto prticolri vincoli eterni. Se l elemento trutturle viene liberto d queti vincoli, l vrizione dimenionle è uniforme e pertnto l determinzione degli potmenti è quell del corpo libero che i dilt o contre. Il problem ttico è quindi ricondotto l metodo dell congruenz, dell determinzione di un item di rezioni vincolri che riec d nnullre tli potmenti (iii) In generle, i h c qundo le differenze di tempertur DT T T in funzione di e y (cioè lungo l pitr) ino tnto piccole d comportre trcurbili effetti ulle tenioni z e yz e ulle reltive ditorioni unitrie c. (iv) Si peni d eempio il co di un menol il cui ppoggio (crrello) ull ltr etremità bbi rett d zione vincolre perpendicolre llo viluppo longitudinle dell menol te: il vincolo crrello non impedirebbe inftti ll t inctrt in un etremità di llungri longitudinlmente. Copi (PARZIALE) di vlutzione - Dicembre 5

21 Vrizioni di tempertur nelle pitre Ü Importnte nei punti di conttto-vincolo con il item. Nel co delle trutture pitr, in prticolre qui per le trutture pine, lo tto di cozione è rppreentto d forze gicenti in uno teo pino: cozione di membrn. L oluzione, nei ci molto emplici di form e vincolo è bbtnz immedit. Se d eempio i vincoli ono perfettmente rigidi (v) ulle zone di conttto-vincolo, le ollecitzioni devono nnullre completmente l tendenz del volume dell elemento pitr diltri o contrri: le ollecitzioni devono nnullre le vrizioni termiche. Legge di Hooke in cmpo termico. Come i è vito, nel co di pitr le tenioni v z i poono trcurre ripetto lle ltre tenioni; pertnto econdo l legge di Hooke, tenendo conto delle vrizioni di volume per tempertur, i h: Z T ] f D + ^v- ovyh E f y E T & & ^v - ov h - D [ * * ( 6) ] f T y y E T y D + ^vy- ov f ^v - ov - D h h E (congruenz) \ llorché in un pitr i vincoli pono coniderri perfettmente rigidi ull intero contorno e immetrici ripetto ll geometri dell pitr. In tl co, inftti, le due precedenti relzioni, in virtù delle ( 5) u corpo libero, i trducono nell uguglinz delle tenioni di cozione: v v y. In preenz di immetrie dei vincoli, però, poono ncere ollecitzioni di tipo fleionle. Un eempio può eere un pitr qudrngolre olidle delle nervture di bordo perimetrli che non ubicno l te vrizione termic. L interzione tr l cornice di nervture con l pitr d e olidle induce un prevlente torione nelle nervture ccompgnt evidentemente d un infleione dell pitr. In ogni co, ci più o meno complei che i trovno frequentemente nell prtic tecnic devono eere ffrontti per vi numeric trmite metodo gli elementi finiti. Vrizione uniforme ullo peore m vribile con,y Queto tipo di ollecitzione termic conider l vrizione uniforme dell tempertur lungo tutto lo peore dell pitr m mmette un grdiente termico divero d punto punto per ogni ezione trverle dell pitr. Situzioni di queto genere i preentno pecilmente nei fenomeni trnitori e, mggior rgione, vnno tuditi qui empre con l uilio del metodo degli elementi finiti trmite clcoltore. Grdiente termico ttrvero lo peore Queto tipo di ituzione i preent frequentemente i regime i in condizioni trnitorie. In generle, un differenz di tempertur tr le fcce di un pitr comport un ditribuzione termic non linere. In generle, empre nel co di mterile iotropo, dlle relzioni ( 6) i poono eprimere gli forzi unitri in condizioni di preenz di vrizioni di tempertur: Z E y ] v 6 T o f + of - ^ + o h - [ ( 7) v E ] y 6 y T o f + of - ^ + o h \ - (v) I vincoli pono coniderri prticmente indeformbili; ltrimenti e ne dovrebbe tenere conto dl punto di vit dell congruenz: l elemento trutturle vri il uo volume e, contrtto dll zione di conttto con i vincoli, ret in uno tto di cozione in equilibrio con i vincoli loro volt deformti elticmente. Copi (PARZIALE) di vlutzione - Dicembre 5

22 Cpitolo : Cenni ull teori delle pitre in regime eltico linere dove nche, E, o dipendono dll tempertur m, per vrizioni limitte di tempertur, poono eere coniderti cotnti lmeno in un rnge fito di temperture in cui il fenomeno vviene. Qundo l pitr è vincolt lungo il perimetro con vincolo di perfetto inctro e nel co in cui l ditribuzione di tempertur i uniforme u cicuno trto prllelo ll uperficie medi e vri olo lungo lo peore (DT f (z)), l pitr rimne indeformt ed è ede in ogni punto di momenti flettenti cotnti, qulunque i l geometri dl uo contorno. Se DT è l differenz di tempertur tr intrdoo ed etrdoo dell pitr di peore cotnte, detto con il coefficiente di diltzione linere (uppoto cotnte nell intervllo di vrizione dell tempertur), i h: r f & r D T ( 8) dove r è il rggio di curvtur coneguente ll vrizione termic per un pitr liber che tende coì deformri econdo un uperficie feric. (vi) Operndo econdo il metodo dell congruenz, e l pitr è vincolt u tutto il bordo in condizioni di inctro perfetto, il vincolo deve fornire un rezione cpce di nnullre l curvtur che è preente u tutti i punti dell pitr, in virtù dell deformt di tipo ferico. Pertnto, per qunto vito nelle pgine precedenti (equzioni ( 7), ( 8)), in qulii punto dell pitr vincolt perfetto inctro lungo tutto il contorno, i due momenti flettenti in direzioni perpendicolri dovrnno eere tr loro uguli e di epreione: M M D + o & M M D o r + D T ' ^ h ' ^ h. ( 9) Queti momenti i diffondono con vlore cotnte ull inter pitr che rimne perciò ovunque curvtur compleivmente null, in virtù dell zione dei vincoli perfetti. Eempio Clcolo ollecitzioni di cozione u pitr irrggit d un forno Si conideri un prete di un forno eeguit con delle pitre in cemento rmto (cle di reitenz C/4) e pitre in cciio che portino per irrggimento l inter prete d un incremento di tempertur di circ C ripetto ll tempertur di riferimento T. Vlutre le tenioni di cozione per le pitre in cemento rmto e in cciio, ipotizzndo un vincolo di inctro perfetto lungo tutto il loro bordo. Soluzione Step Clcolo crtteritiche mterili. Moduli eltici dei mterili delle pitre: cemento rmto C/4: E c E cm MP; cciio trutturle: E MP.. Tenione di progetto mterili C/4: clcetruzzo: f cd 8, MP; cciio S75JR: f yd 75/, 5 MP; (vi) In un qulii punto dell pitr l curvtur lungo due direzioni tr loro perpendicolri è l te: (/r /r y ) l deformt è quindi un porzione di uperficie feric. Copi (PARZIALE) di vlutzione - Dicembre 5

23 Vrizioni di tempertur nelle pitre. Coefficiente di diltzione termic (unto cotnte per clcetruzzo e cciio):, / C. Step (eqn. ) Step (eqn. ) Clcolo epreione dell tenione di cozione Tenione di membrn per cozione u pitr peore cotnte in regime eltico in condizioni di vincolo di inctro perfetto lungo tutto il bordo: M 6M D T E 6 v 6 T E o D ^ + oh D ^ + h T W o o D. ^ - h ^ - h Come i può notre, fornendo i vincoli ul bordo dell pitr un rezione cpce di nnullre l curvtur (preente con lo teo vlore /r i lungo il bordo, i perpendicolrmente d eo), l tenione di cozione non riult dipendere dllo peore dell pitr. Clcolo tenioni di cozione nei mterili. Clcolo tenione di cozione nel clcetruzzo rmto (con o,): Ec v T c, $ cc 5 MP o D ^ h. ^ - h ^ -, h Ü (eqn. ) Importnte. Clcolo tenione di cozione nell cciio (con o,): E v T, $ cc 88 MP o D ^ h. ^ - h ^ -, h Ovvimente, in preenz di vincoli di continuità che relizzno inctri przili, come trvi di bordo, nervture prticolri o ppoggi eltici, le ollecitzioni poono eere lqunto inferiori. In ogni co, in line generle, per ci più complei conviene utilizzre metodi utomtici u clcoltore per l integrzione di oneroe equzioni differenzili per mezzo di viluppi in erie. Nel co delle pitre in clcetruzzo rmto, l effetto locle mimo, d ovrpporre quelli dovuti lle ltre zioni (forze eterne, vincoli, ipertticità) è di Dv c 5 MP > f cd 8, MP. Pertnto, qundo i tengono in dovut coniderzione l entità degli tti di cozione di origine termic, i poono interpretre correttmente molti ci di feurzione che i ricontrno in pitre e guci di cemento rmto. Pvimentzioni trdli. Nel co di pitr liber, perciò, l vrizione termic linere uniforme non produce tenioni m un curvtur cotnte. In prticolre, e l pitr è rettngolre ppoggit con un vincolo unilterle ul contorno o ull inter uperficie (come le pvimentzioni trdli pitr in cemento rmto ottopote irrggimento olre), e tende curvri tendendo d un gucio ferico. Di coneguenz, l zione del peo proprio e dei vribili trdli provocno forti ollecitzioni fleionli e di tglio nell intorno degli pigoli dell pitr. Copi (PARZIALE) di vlutzione - Dicembre 5

24 4 Cpitolo : Cenni ull teori delle pitre in regime eltico linere 5 Pitre qudrngolri: condizioni l contorno L equzione di Lgrnge (eqq. ( ) e ( 4) pgin 6) è ovvimente vlid per qulunque form dell pitr; l integrle dell equzione di IV grdo dipende dll form e dlle condizioni di vincolo i bordi, oltre che dl crico p p(, y) gente ulle uperfici dell pitr. Per bbozzre lmeno l ide dei problemi di nlii che i incontrno nello tudio delle pitre qudrte o rettngolri, è necerio eminre il co più emplice di pitr vincolt lungo i bordi rettilinei, prlleli gli i coordinti, y. Il co di vincolo u bordo rettilineo inclinto ripetto l riferimento crteino può eere trttto con un trformzione di coordinte: rotzione degli i, y. I vincoli l contorno di un pitr poono eere di inctro, di ppoggio e infine bordo completmente o przilmente libero. Si eminno di eguito lcuni ingoli ci ignifictivi fcendo riferimento, d eempio, d un bordo rettilineo prllelo uno degli i coordinti del pino, y nel pino medio dell pitr indeformt. Si ceglie, in prticolre, tutto un bordo perimetrle prllelo ll e y (definito dll equzione > ). Bordo ppoggito È opportuno ubito precire che il vincolo di emplice ppoggio i ottintende pplicto ll fibr del pino medio e riult u queto pino correvole. Poiché inoltre, per ipotei, l pitr non è crict nel uo pino medio ed è pin e oggett potmenti l limite infiniteimi, nche e l ppoggio foe non correvole (quindi, fio) gli effetti rebbero di un infiniteimo di ordine uperiore. Scegliendo, come i è detto, un bordo dell pitr poizionto quot > ul item di i crteini celti, i devono vere (i ved chem delle tenioni normli in Figur pgin 5) le due condizioni l contorno (i ved Figur 5): ^w h ^w h M D w w w & & ^ h - e + o o c m y * * ( ) Figur 5 Condizioni cinemtiche l bordo di pitre vincolte. Scelto il co di bordo e vincolo prllelo ll e y quot >. y ( ) ( ) M w w ϕ y Appoggio w w M D + ν y y w y B dy A z w w + ν y w w y y ( ) w M y B A w Z ( M y ) y ( M ) Inctro ( ) Appoggio M y y Mydy ( ) pitr w dy ( w) w z r y y Zdy pitr dy ( ) Z Copi (PARZIALE) di vlutzione - Dicembre 5

25 Pitre qudrngolri: condizioni l contorno 5 Figur 6 Schem delle ollecitzioni ulle fcce di un elementino di pitr in equilibrio. In bo, meccnimo reitente di un vincolo di emplice ppoggio i tgli e lle zioni torcenti. Zdy y τ yz Zy + dzy d (u lto incrementto) z Tenioni tngenzili // z dy d ( ) dy Z τ z ( + ) Z dz dy P y Ω (vincolo lungo e y) z Fy rezioni vincolri l momento torcente My Zyd dm y Equilibrio momenti: Mydy Fy dy M dy Ω P i F b P P Ω d M c y Fy Fy dy Tenioni tngenzili // e // y dy d τy y τy Riultnte vincolre in P: + df M df y y y F + dm dy y P y + df K y M y z dm y y In ltri termini, lungo tutti i punti dell ppoggio (trtto di bordo quot > ) e non ci ono cedimenti vincolri, è null l componente di bbmento lungo l e z (w ) e l rezione flettente M deve riultre null u tutti i punti del bordo in ppoggio. È opportuno oervre che le rotzioni { y ttorno ll e di vincolo > di emplice ppoggio poono eventulmente vrire di intenità lungo l e teo. Di coneguenz i vrà in generle: { y w { y & & w -!!. ( ) y y Quet ultim relzione h come coneguenz che il vincolo di ppoggio rà chimto bilncire nche il momento torcente M y cricto dll pitr in virtù dell poibile vrizione dell ngolo { y lungo il bordo vincolto: ^M h D w - - o! ^ hc m. ( ) y y In tl co, oltre ll evidente rezione Z lungo l e z (i ved Figur 6), deve eerci un ulteriore rezione vincolre che bilnci le coppie torcenti M y. A tl propoito, i ved lo chem in Figur 6: per ogni trtto elementre dy di pitr vincolt in ppoggio lungo il pino medio (line in trtteggio) il momento riultnte M y dy gente lungo il trtto dy deve eere controbilncito d un coppi di forze di intenità F y e di brccio dy. Scegliendo come poitivi i momenti torcenti M y di vero concorde con l e, l equzione di equilibrio ll rotzione ttorno ll e con polo dei momenti nel punto X P, i h: ^Fy + dfyh - Fy dfy & Fy My & dfy dmy. ( ) Dll eme degli equilibri in figur, coniderndo due conci elementri dy conecutivi cvllo del punto P, i not che l rezione riultnte i momenti torcenti nel punto P è dt dll differenz dello crico del concio ucceivo (F y + df y) con quello precedente F y. Ovvero, l riultnte in P i riduce l olo incremento elementre di F y: Copi (PARZIALE) di vlutzione - Dicembre 5

26 6 Cpitolo : Cenni ull teori delle pitre in regime eltico linere ^Fy + dfyh - Fy dfy & dfy dmy ( 4) dove, nell ultimo pggio, i è tenuto conto dell relzione ( ). A queto punto, volendo eprimere le rezioni vincolri in termini di forze per unità di lrghezz di bordo vincolto, bt dividere l precedente equzione per l lrghezz elementre dy ull direzione fit di > : Z y dfy dmy My. ( 5) dy dy y Compleivmente, dunque, tenendo conto i del tglio Z che dell ulteriore rezione R y per momenti torcenti ul vincolo, l rezione lungo l ppoggio vle: My R Z+ Zy & R Z+. ( 6) y Ü Importnte Anlogo dicoro, permutndo gli indici e le vribili e y, per un bordo vincolto in emplice ppoggio prllelmente ll ltro e coordinto. Come i può dedurre dgli chemi in Figur 6, le forze F y dovute i momenti torcenti lungo il vincolo in ppoggio i elidono mutumente d ogni po dy. Quet condizione incontr l u eccezione nel punto di vertice dell pitr dove l rezione rimne l vlore più inteno (i ved punto K in Figur 6), pri proprio F y M y, perché non ci ono ulteriori conci dy eguire che pono intervenire nell ttenuzione dell rezione. Se poi nche lo pigolo perpendicolre convergee nello teo punto di vertice, llor u quello teo punto i ommerebbero le due rezioni più intene delle etremità dei due pigoli, rrivndo quindi l vlore: / Z y, i Fy + Fy My + My My. i L uguglinz delle rezioni vincolri nel punto ingolre K è dovuto ll uguglinz delle ollecitzioni di tglio per torione trme dll pitr ull ppoggio, in virtù dell reciprocità del tglio ulle fccette convergenti u un medeimo pigolo di pitr. Bordo inctrto Lungo tutti i punti del vincolo inctro, empre coniderndo tli punti quot > (i ved Figur 5), l rezione vincolre coniterà di forze tglinti Z, di momenti flettenti M e di momenti torcenti M y (quet ultimo come per il vincolo emplice ppoggio). In queto co, lungo tutti i punti del bordo vincolto (coniderto prllelo ll e y quot > ) ono nulli i l componente di bbmento w econdo l e z e i l rotzione { y ttorno ll e di vincolo : * ^w h w b l ( 7) Inoltre, come coneguenz di pitr inizilmente pin, nel vincolo d inctro deve mnteneri null l curvtur /r y lungo tutti i punti ull direzione : b w r l e- o. ( 8) y y Copi (PARZIALE) di vlutzione - Dicembre 5

27 Cenni ui metodi di oluzione dell equzione dell pitr 7 Ü Importnte Coneguentemente, inoltre, u tutti i punti del vincolo inctro (punti del bordo quot > ) poono eere preenti nche dei momenti M y diveri d zero non forniti direttmente dl vincolo m eitenti per olo effetto Poion dell pitr. Inftti, ricordndo l epreione generle per M y ieme ll condizione l contorno ( 8), può riultre: Z M D w w D ] b r l y y - e + o o b o & y r + y r l [ ( 9) ] M D y o! r \ Pertnto, e in un qulii punto del bordo vincolto inctro eite ed è finito il vlore dell curvtur /r llor rà preente nche un ollecitzione flettente M y non fornit dl vincolo m eitente indirettmente per effetto Poion (e il vlore del coefficiente o è divero d zero). Bordo libero Ipotizzndo, puro titolo di eempio, il bordo libero u punti quot >, lì devono eere nulli il momento M e identicmente null l rezione compleiv R Z + Z y; non eendoci per quet ultim né rezioni di tglio puro Z né componenti di tglio Z y per effetti torcenti ul bordo dell pitr. Ricordndo quindi le formulzioni ( 7) e ( 9) pgin e l prim delle ( ) pgin 4, volgendo i clcoli e riordinndo i ottiene ripettivmente: ^M & w w h e + o o ( 4) y R Z Z w w y & ^ + h e + ^ - oh o. ( 4) y Anlogmente, per un bordo libero prllelo ll e (nziché y, come in queto co di eempio) le epreioni ono formlmente uguli lvo permutre gli indici e le vribili, y. 6 Cenni ui metodi di oluzione dell equzione dell pitr L nlii delle pitre in regime eltico per mezzo dell equzione di Lgrnge preent notorimente notevoli difficoltà mtemtiche, oprttutto per oddifre le condizioni l contorno. È nche per queto motivo che, nell prtic corrente, i problemi reltivi lle pitre i riolvono medinte l utilizzo di tbelle, grfici o, nei ci di mggiore compleità e importnz, per mezzo di metodi numerici gli elementi finiti. Nel co di pitre qudrngolri l crittur delle condizioni i limiti non è coì onero qule può eere invece per pitre generiche bordi rettilinei comunque inclinti, ripetto gli i di riferimento, oppure bordi curvilinei. Soluzione econdo il procedimento di Nvier Secondo il procedimento di Nvier, l oluzione i ottiene viluppndo l funzione del crico p p(, y) in un erie trigonometric doppi: py, in mr nry ^ h / / mn kin b l ( 4) b m n Copi (PARZIALE) di vlutzione - Dicembre 5

28 8 Cpitolo : Cenni ull teori delle pitre in regime eltico linere dove e b ono i lti dell pitr econdo l e e y ripettivmente. Il clcolo i eegue econdo il procedimento di oluzione degli viluppi in erie di Fourier, moltiplicndo mbo i membri per funzioni dimenionli dello teo tipo di quello dello viluppo (funzioni rmoniche eno e coeno); per integrzione ul dominio (vii) i ottengono direttmente i coefficienti mn, tenendo conto che nelle ommtorie doppie i nnullno tutti i coefficienti m! n. In queto modo, l ommtori doppi divent emplice e un econd operzione dello teo tipo port ll determinzione del coefficiente mn nell form: mn b 4 py, in mr nry # # ^ h kin ddy b b l. ( 4) b Succeivmente, eprimendo nche l funzione w w(, y) come uno viluppo in erie di Fourier e introducendo tutti gli viluppi nell equzione di Lgrnge i ottiene un equzione differenzile fcilmente integrbile le cui condizioni l contorno non pongono prticolri compliczioni. Eempio Clcolo delle viluppo in erie di Fourier per un crico uniformemente ditribuito u un pitr rettngolre Si conideri un pitr rettngolre di lti (prllelo ll e ) e b (prllelo ll e y). Si chiede di definire l viluppo in erie di Fourier dell funzione del crico: p(, y) p() p cotnte. Si pproimi l ditribuzione uniforme del crico p cot come un omm infinit di rmoniche decrecenti, bte u un ditribuzione inizile inuoidle. y 4p mπ p(, y) in π m m b y Pitr rettngolre Approimzioni del crico p (u generic ezione quot y) p b y ppoggio ppoggio z (vii) In queto co di pitre pine qudrngolri, gli etremi di integrzioni ono lo zero e le dimenioni plnimetriche, b dll pitr. Copi (PARZIALE) di vlutzione - Dicembre 5

29 Cenni ui metodi di oluzione dell equzione dell pitr 9 Soluzione Dll eme dell figur precedente, l ditribuzione rmonic del crico ditribuito p uniforme deve preentre nell intervllo - b/ # y # b/ lo teo vlore u cicun punto celto quot # #. Queto port come coneguenz l cotnz dell integrle: b (eqn. ) in nr # y k dy cot. b. Clcolo dell intenità dell integrle cotnte (con # in nr y k # ): b b b (eqn. ) in nr y dy in nr y dy # k k# b b b vendo coniderto il vlore medio dell funzione eno nell intervllo compreo tr i due punti di vlore nullo (quindi nei punti di bordo dell pitr: e ).. Adttmento dell integrle di Fourier dell ( 4) per in(nry/b) cot: (eqn. ) py, p in mr nry ^ h in in mr / / mn k mn b l / k. b m n n Moltiplicndo mbo i membri dell (eqn. ) per in(mr/) e poi integrndo d, i ottiene (con p cot): (eqn. 4) p in m in d r k m r mn k d # #. Coniderndo or i oli vlori m,, 5, 7,... e moltiplicndo mbo i membri dell equzione precedente per /r e poi cmbindo l integrle econdo membro con l vribile t r/, i ottiene (per il primo co di m ): (eqn. 5) r in in p p r kd r n & r n d k # # vendo tenuto conto che il vlore dell integrle di in tdt nell intervllo - riult pri r/. Poiché i oerv nche che per m,, 5, 7,... riult in(r/) in(mr/), generlizzndo l equzione precedente, i ottiene: p (eqn. 6) in mr 4p mn k d # con i eguenti vlori: m 57,,,, mn " f mr * " m, 57,,, f che riult evidentemente identic ll ( 4) qundo in e i pong l integrle dell (eqn. ) pri b/ e p(, y) p() p cot.. Sviluppo in erie di Fourier del crico cotnte (quindi per m,, 5, 7,...): (eqn. 7) py, p in m 4p ^ h r in mr ^ h / mn k r / k. m m m 4. Funzione w w(, y) qundo i bordi e riultino non bordi liberi: (eqn. 8) w w, y w y in mr ^ h / m^ h k, m e dove le funzioni w m(y) riulternno incognite e dovrnno oddifre nch ee le condizioni l contorno e l equzione differenzile di Lgrnge del IV ordine. Copi (PARZIALE) di vlutzione - Dicembre 5

30 Cpitolo : Cenni ull teori delle pitre in regime eltico linere Eempio 4 Cotruzione dell equzione di Lgrnge in funzione delle erie di Fourier per pitr rettngolre in emplice ppoggio Coniderndo l geometri dell pitr introdott nell eempio precedente, i cotruic l equzione differenzile del IV ordine definendo le rimnenti grndezze in termini di ommtorie di funzioni inuoidli dell te lunghezz d ond di quelle del crico ditribuito cotnte p(, y). Soluzione Si utilizz l epreione dello viluppo in erie di Fourier dell funzione p(, y) p() p cotnte: 4p (eqn. ) py ^, h p in mr ^ h r / k. m m. Epreione dello viluppo in erie di Fourier per l componente w w(, y): / m (eqn. ) wy ^, h w y in mr m^ h k (eqn. ) (eqn. 4) l formulzione è congruente perché ripett le condizioni l contorno di pitr non liber ui vincoli lungo e (uppoti in queto co bordi ppoggiti).. Condizioni vincolri ulle linee di ppoggio per l pitr i u e i u : w m(y) potmenti lungo z impediti per y - b/ e y b/; wm ^yh momento M nullo: per y - b/ e y b/.. Sotituzione delle epreioni in erie di Fourier nell equzione di Lgrnge: / / 4 4 m r w in m m w '' in m 4 m r k r r - ^ mh k + m m w '''' in mr + / ^ mh k / D mn m m in mr k dove con gli pici i ono indicte le derivzioni ripetto y. Moltiplicndo mbo i membri di quet ultim equzione per in(nr/), poi integrndo tr e, e con: # in n in m " n! m r k r k d * / " n m i nnullno tutte le ommtorie per n! m. L equzione di Lgrnge i riduce quindi : (eqn. 5) w '''' mr w '' mr 4 w 4p mn ^ mh - k ^ mh m + k, con m 57,,,, mn " f D mr * " m, 57,,, f equzione differenzile ordinri del IV ordine nell incognit w m w m(y) funzione nche di m,, 5, 7,... Generlmente, btno pochi termini w m per coneguire un ottim pproimzione, dto che il conttore m riultndo elevto ll quint potenz i trov l denomintore e fttor comune dei vri ddendi che compongono l epreione riultnte per w n. Copi (PARZIALE) di vlutzione - Dicembre 5

31 Cenni ui metodi di oluzione dell equzione dell pitr Soluzione econdo il procedimento di Lévy Il procedimento dovuto Lévy utilizz, per lo viluppo del crico p, un erie emplice del tipo: p in mr / m k ( 44) m dove m m(y) è un funzione dell ol y. Con queto metodo i ottiene un clcolo numerico più rpido (i vedno eempi precedenti), m le difficoltà rimngono elevte in precchi ci di forme, condizioni di crico e di vincolo che pure i ricontrno con frequenz nell prtic tecnic, come pitre trpezoidli, prte dei lti inctrti, prte ppoggiti e prte liberi, crichi tringolri come nel co di prtie per contenimento di liquidi o di terr, crichi uniformi przili come nel co di pvimentzioni di ponti ottopoti pggio di utocrri, forze concentrte, etc. Riferimenti bibliogrfici Gingreco E., Teori e Tecnic delle Cotruzioni, vol. III, Liguori, Npoli, 97. Roi F., Slvi F., Mnule di Ingegneri Civile, vol. II, Scienz delle cotruzioni, Tecnic delle Cotruzioni, Ponti, nd Edizione, Znichelli/Ec, 99-9 Smuelli Ferretti A., Coro tecnico delle cotruzioni. Cenni ull teori delle pitre e tubi in regime eltico linere, Mon editorile ESA, Rom Gennio 988. Zingli A. E., Appunti dlle lezioni di tecnic delle cotruzioni. Elementi di nlii delle trutture. L icurezz, le zioni ulle cotruzioni, Mon editorile ESA, Rom, 988. Cover Art: Copi (PARZIALE) di vlutzione - Dicembre 5

32 Condizioni l contorno e coefficienti eltici (eqn. ). Sotituendo i vlori numerici, i ottiene (vlori crtteritici): Ew^h 487, 8V^h + 9, 44 M^h + 74 * E{ ^h 9, 44V^h +, 9 M^h +, 4. Riolvendo d eempio con il metodo di Krmer i ottiene (ezione z ): vlore dell ollecitzione tglinte: V() - 7,4 N/mm (direzione centripet); ollecitzione flettente: M() 7 Nmm/mm > (trzione lembo interno). Step 4 Step 5 (eqn. ) (eqn. 4) Clcolo ollecitzioni di progetto SLU. Coefficienti przili di icurezz ui crichi/ollecitzioni econdo EN99: Sollecitzione di progetto l tglio: VEd cq V^h, 5V^h, 5 $ ^- 7, 4h 6, N/ mm Sollecitzione di progetto fleione: MEd cq M^h, 5 M^h, 5 $ ^7h 99, 5 Nmm/ mm. Clcolo delle tenioni di progetto nell zon di conneione ldt. Tenione di tglio ul mntello ( 6 mm), nell ezione z (ull ldtur con l pitr di be): V 6, N/ mm Ed 6, N/ mm 6 mm Ed. Tenione flettente ull zon di ldtur tr pitr nervt e mntello: v Ed MEd cqm^h cqm^h 5, ^99, 5 Nmm/ mmh 79, N/ mm Wpl W pl / 4 ^6 mm / mmh Step 6 Clcolo tenione idele econdo il criterio dell Tu ottedric. In termini di tenione idele ull nello di ldtur (vlore di progetto SLU): (eqn. 5) vid ved + Ed ^79, h + ^, 6h 79 N/ mm. Step 7 Tenione per l verific delle reitenze/intbilità lmiere cciio INOX. Si dott nei clcoli di verific il minimo crico unitrio dllo cotmento dll proporzionlità dello,%: f y MP (nche per lvorzione freddo, d CP5 econdo EN 88-). Step 8 Verific ldtur econdo EN Si eegue l verific dell ldtur utilizzndo l teori del dominio ferico con rggio 58, f uw, econdo l EN pr Acciio INOX tipo.4 econdo EN 88-. Mterile di pporto E/G/T 9 9 L (econdo le proprietà meccniche dei conumbili per cciio inoidbile in ccordo con EN 6, EN 7 e EN 7) con b w, e reitenz rottur f u 5 MP. Tenione reitente di progetto ldtur (EN pr eq, (4.4)): (eqn. 6) f vw, d fu / 5/ 5 N/ mm bwc M $, 5 Copi (PARZIALE) di vlutzione - Dicembre 5

33 Cpitolo 4: Tubi prete ottile in regime fleionle ilimmetrico. Eito verific reitenz lmiere ull zon di conneione ldt: v id 79 N/ mm < f vw, d 5 N/ mm (verificto). Eempio 4 4 Step Serbtoio di ccumulo idrico d mc in cemento rmto ordinrio Vlutre le ollecitzioni genti ull pitr di fondo e le preti di un erbtoio in cemento rmto ordinrio () delle tee dimenioni utili dell eempio precedente. Lo peore delle preti del cilindro è cotnte e pri p 8 cm; mentre lo peore dell pitr di fondo è fit pri f 5 cm. Stimre il quntittivo di rmture necerie per le preti del erbtoio e per l pitr di fondo. Si ipotizzi, i oli fini dell reitenz un cle di reitenz del clcetruzzo C5/ (coefficiente di Poion o,5) e rmture in cciio B45C. Soluzione L procedur di oluzione è nlog qunto vito per il erbtoio di ccumulo in cciio. In queto co, però, dovendo coniderre deformbile l pitr di fondo del erbtoio, i deve tenere conto delle equzioni di deformzione dell pitr di fondo ((4 47) pgin 9) ffinché i correttmente definit l equzione di congruenz dell citern con l pitr di fondo chemtizzt ppunto come non infinitmente rigid ll fleione ((4 5) pgin ). Il erbtoio contiene cqu non in preione: il mimo crico preorio ull fondo ( quot inizile z di riferimento) è quindi pri l crico idrottico: Dhcfluido Dhcfluido Hc fluido. Dti di progetto. Dti geometrici delle grndezze che intervengono nel clcolo: peore pitr di fondo: p 5 cm; peore preti mntello erbtoio: m 8 cm; rggio eterno citern: Rm 5, zet 5, $ 45,, 5 m rggio (utile) interno: R 5, z et - m 5, $ 45, -, 8 7, m; preione idrottic ul fondo dell pitr (vlore crtteritico): pc^h Dhcfluido H cfluido ^, mh^ kn/ m h kn/ m ; preione equivlente peo proprio pitr di fondo c p c c (vlore crtteritico): pg^h cpp ccp ^5kN/ mh^, 8 mh 45, kn/ m.. Dti ui mterili: rigidezz fleionle delle preti dell citern (in funzione dell cotnte E ): D m, D Em E 8m, 497EkNm - o ^ h ^ h ^ - 5, h rigidezz fleionle dell pitr (in funzione dell cotnte E ): E p E 5, m Dp, 655EkNm - o ^ h ^ h ^ - 5, h tenione di progetto clcetruzzo C5/: f cd 4,7 N/mm ; Copi (PARZIALE) di vlutzione - Dicembre 5

34 Condizioni l contorno e coefficienti eltici tenione di progetto ccii B45C: f yd 9 N/mm 9, kn/cm ; copriferro nominle rmture più eterne c nom 5 mm. Step (eqn. 7) Clcolo grndezze cotnti di progetto. Si riportno di eguito le grndezze cotnti del clcolo: { M R, 7 m 49, 476 kn Dp + o ^ h ^ h ^, 655E knmh^+, 5h E -,, (eqn. 8) p r H R 7m 59 6 c^h c fluido ^ kn/ m h m E E E $ 8, m E ^ ^ h h (eqn. 9) 4 ^ - o h ^ - 5, h R ^7, mh^, 8 mh 4 -., 48 m & m. 9, m r (eqn. ) (eqn. ) (eqn. ), 67 m / kn D E$, 497 $, 48 E 8, 84 mkn / D E$, 497 $, 48 E 98, 94 kn D E$, 497 $, E. Clcolo delle cotnti ngolri dovute l crico idrulico ull pitr di fondo: (eqn. ) (eqn. 4) (eqn. 5) wp ^h 59, 6 49, 764 d i $ rd Dh E, E Dhc fluidor kn/ m, 7 m 65, 6 rd 8Dp + o ^ h^ h ^ h 8$ ^, 655EkNmh^+, 5h E ccp^r+ mh ^4, 5kN/ m h^, 5 mh 54, 5 rd. 8Dp^+ oh 8$ ^, 655E knmh^+, 5h E Step (eqn. 6) Relzioni di deformbilità dell pitr di be. In riferimento ll (4 47) pgin 9: Z wp ] ^h. [ R Dhc fluidor c R { p - M + Dp + o 8Dp + o + ^ + ] ^ h ^ h f ^ h ^ h 8Dp^+ o \ otituendo i vlori numerici i ottiene: h p h c p m wp ^h. (eqn. 7) * 49, , 6 54, 5 { p ^h - M^h + b + l E E E Copi (PARZIALE) di vlutzione - Dicembre 5

35 4 Cpitolo 4: Tubi prete ottile in regime fleionle ilimmetrico Step 4 (eqn. 8) (eqn. 9) Relzioni di deformbilità per il mntello del erbtoio. In riferimento ll (4 9) pgin 6, con d i e r R: Z w D V D M p r c ] ^ h ^ h+ ^ h + ^h E [ D V D M w p ^h ]{ ^ h ^ h+ ^h+ di \ Dh e otituendo i vlori numerici, i ottiene: Ew^h, 67V^h+ 8, 84 M^h + 59, 6 * E{ ^h 8, 84V^h + 98, 94 M^h + 49, 764 Step 5 (eqn. ) (eqn. ) (eqn. ) Equzione di congruenz deformzioni mntello e pitr di fondo. Si utilizz il item di equzioni dto dll (4 5) pgin : w^h wp ^h. * { ^h { p ^h! e otituendo i vlori numerici, i ottiene: Ew^h, 67V^h+ 8, 84 M^h + 59, 6. * E{ ^h 8, 84V^h + 98, 94 M^h+ 49, , 476 M^h+ 87, 5 Ew^h, 67V^h+ 8, 84 M^h.- 59, 6 * E{ ^h 8, 84V^h + 4, 67 M^h + 4, 747. Riolvendo d eempio con il metodo di Krmer i ottiene (ezione z ): vlore dell ollecitzione tglinte: V() - 59 kn/m (direzione centripet); ollecitzione flettente: M() 9,8 km/m > (trzione lembo interno). Step 6 Clcolo delle ollecitzioni di progetto SLU ul mntello del erbtoio. Si p direttmente lle ollecitzioni di progetto moltiplicndo i vlori delle ollecitzioni crtteritiche per il vlore c Q,5:. Tglio di progetto (per unità di lrghezz di ezione reitente) ull be del mntello: VEd, m cq V^h, 5 $ - 59 kn/ m 88, 5 kn/ m. Sollecitzione flettente di progetto (per lrghezz unitri di ezione reitente) ull be del mntello (pedice m ), con vero ugule quello in Figur 4 7 pgin 9: MEd, m cq M^h, 5 $ ^9, 8 knm/ mh 4, 5 knm/ m Step 7 Clcolo delle ollecitzioni di progetto SLU ull pitr di be. Si p direttmente lle ollecitzioni di progetto moltiplicndo i vlori delle ollecitzioni crtteritiche per il vlore c Q,5:. Sollecitzione flettente di progetto (per lrghezz unitri di ezione reitente) ul bordo dell pitr (pedice p ) in condizioni di continuità con il mntello: MEd, p - cq M^h, 5 $ ^- 9, 8 knm/ mh 4, 5 knm/ m di vero oppoto m ugule in intenità quello gente ul mntello. Copi (PARZIALE) di vlutzione - Dicembre 5

36 Condizioni l contorno e coefficienti eltici 5 Figur 4 8 Schem qulittivo predimenionmento rmture tee fleione nell ol zon di rccordo tr mntello e pitr di fondzione del erbtoio. m 8 cm p 5 cm φ / (correnti) φ / + φ 8 / (correnti + pezzoni) φ 8 / (pezzoni) φ 6 / (pezzoni) Le fibre tee dell pitr, lungo il bordo olidle con l be del mntello, ono quelle uperiori: il egno lgebrico del vlore momento lungo il bordo dell pitr è inftti negtivo.. Sollecitzione flettente di progetto (per lrghezz unitri di ezione reitente) ul centro dell pitr: M,, c M^r h - c M^h + c Ed p Q Q Q otituendo i vlori numerici, i ottiene: c R c p m h fluido ; ^ + h D c R o 6 + E^ 6 + h MEd, p, 5, "- 98, + 64, + 7, 9 knm/ m >. Il vlore dell omm lgebric è poitivo: le fibre tee dell pitr nell u zon centrle, quindi, ono quelle inferiori. Step 8 Preclcolo rmture trzione (bozz in Figur 4 8). Grndezze di clcolo delle ezioni: copriferro nominle rmture più eterne c nom 5 mm; mimo ingombro rmture trverli di riprtizione: D z (tim); mimo dimetro rmture portnti: z m 6 mm (tim); ltezz utile ezioni reitenti mntello: hm m- ^cnom + D + 5, zh 8, - (, 5+, 4+, 8). cm ltezz utile ezioni reitenti pitr di fondo: hp p- ^cnom + D + 5, zh 5, - (, 5+, 4+, 8). 9 cm. (eqn. ). Armture tee ull etrdoo dell pitr di fondo lungo il uo bordo: MEd, p 4, 5 knm/ m Ap,, up 7, 8 cm / m, 87hph fyd, 87^, 9 mh, 8^9, kn/ cm h relizzbile con zf6/; Copi (PARZIALE) di vlutzione - Dicembre 5

37 6 Cpitolo 4: Tubi prete ottile in regime fleionle ilimmetrico (eqn. 4) (eqn. 5). rmture tee ull intrdoo dell pitr di fondo nell prte centrle: MEd, p, 7, 9 knm/ m Ap,, cm / m, 87hph fyd, 87^, 9 mh, 8^9, kn/ cm h relizzbile con un rete z/; 4. rmture tee ull prete del mntello nell intorno dell pitr di fondo: MEd, p 4, 5 knm/ m Ap,, up 4, cm / m, 87hmh fyd, 87^, mh, 8^9, kn/ cm h relizzbile con z/ (correnti) + z8/ (pezzoni) prevedendo preferibilmente un rccordo grdule tr lo peore dell prete e l pitr di be in modo d umentre l ezione reitente dell prete nell interezione con l etrdoo del fondo (i ved ppunto bozz in Figur Sollecitzioni per grdienti di tipo termico Rimnendo nell pproimzione prtic di tubi lunghi qundo cioè l lunghezz d ond m delle perturbzioni cute dlle ollecitzioni l contorno è trcurbile ripetto lle dimenioni longitudinli z, >> m dell elemento idrulico (tubo o citern) è poibile ritenere che il cmpo di tempertur T T(; y; z) vri in mnier trcurbile lungo l coordint z ll interno del trtto z m entro cui i morzno le ollecitzioni trmee dl contorno. In queto co, è poibile vlutre immeditmente i coefficienti eltici reltivi ll preenz di grdienti termici olo trverlmente lle preti del tubo qundo, d eempio, il fluido convoglito ll interno i trovi un tempertur diver d quell mbiente T mb l di fuori del tubo o dell citern. Utilizzndo il principio di ovrppoizione degli effetti, vlido per piccole deformzioni in cmpo eltico linere, è poibile definire nche in co di regime termico le reltive equzioni di deformzione e congruenz. Vrizioni di tempertur u corpo non iperttico Un corpo vincolto iotticmente, come noto, può deformri cu dell preenz di grdienti termici retndo privo di tenioni di cozione. Ad eempio, un vrizione uniforme di tempertur impot u tutto il volume di un tronco di tubzione non provoc lcun tenione, eendo il tubo completmente libero di vrire il uo volume. In tl co, il volume dell elemento idrulico (tubo o citern) i contre o i decontre uniformemente, enz vrire gli ngoli dell u geometri, emplicemente clndo l u form econdo un fttore cotnte u ogni u prte. In prticolre, e indichimo con il fttore cotnte del coefficiente di epnione termic linere del mterile ll tempertur medi T m di riferimento che intere le preti dell tubzione e con DT l vrizione di tempertur tr T m e l tempertur etern T mb, in un qulii ezione # z # m, l vrizione uniforme rdile del tubo (coniderto quindi libero di epnderi o di contrri uniformemente con il uo volume) è: wd DTr r^tm- Tmbh (4 5) Copi (PARZIALE) di vlutzione - Dicembre 5

38 Sollecitzioni per grdienti di tipo termico 7 Figur 4 9 Trtto di tubzione vincolto olo nell ezione ditnz dell lunghezz d ond m e con ollecitzione flettente M et (pplict nell ezione inizile z ) che tende d nnullre in z tutte le deformzioni cute dl grdiente termico (linere) impoto ulle preti del tubo in tutto il trtto z m: incremento rdile del rggio w D e rotzione { DT lembo del bordo. z z λ << T et w T int T int z > T ϕ et ( ) < ( ) z et T et w Met ( ) < et ( ) ϕ et < M T et T T T int T prete tubo intern T int T T / z z z λ << w ( ) w + M Dα ϕ T ( ) M T Dα T T z z ϕ et ( ) ϕ T ( ) < Met < w < ( ) < et ( ) et Tet Tet Tint Tint Tint Tint Tet Tet M < con r rggio indeformto del tubo (o dell citern), ppunto. Per qunto oervto, eendo il tubo coniderto libero qulii movimento, non preenterà in prticolre lcun vrizione ngolre. Pertnto, le rotzioni in ogni uo punto rnno nulle: { D T. Vrizioni di tempertur u tubo iperttico Vicever, e lcune prti del tubo ono vincolte in modo tle d contrtre in qulche modo quelle deformzioni che ltrimenti vverrebbero in pien libertà, ncernno delle rezioni di ollecitzione eltic (in prticolre V DT e M DT) che i poono determinre imponendo delle emplici relzioni di congruenz ulle deformzioni. È il co prticolre riportno nello chem in Figur 4 9: per riportre nche nell ezione inizile di riferimento (z ) le medeime condizioni di vincolo preenti in z m è necerio pplicre in z un momento M et() con un vero che ruoti i lembi del bordo in z di un ngolo { DT < (orrio per l prete di detr e ntiorrio per l prete di initr) e nche che riporti in z il rggio, l vlore indeformto r, con un contrzione rdile - w D <. È il co di oervre, come nche indicto nell Figur 4 9, che l ollecitzione flettente M et() pplict nell ezione z i etingue in intenità prticmente per ditnze z > m: l intero tronco di tubo, inftti, è pproimbile come tubo lungo. Si è già oervto che, qundo ulle preti del tubo (di peore ) è preente un grdiente termico DT, per nnullrne gli effetti delle deformzioni che coì i formno lungo l intero tubo è necerio pplicre in z un ollecitzione flettente M et() di vero tle che lì nnulli l curvtur D T ^h e le ditorioni rdili wdt ^h cute dl cmpo di tempertur (M et() deve gire con deformzioni oppote in vero e uguli in intenità): M M D D T et^ h- T - + o T - + o D D ^ h ^ h D ^ h ^ h < e DT >. Pertnto, fruttndo i coefficienti eltici ulle deformzioni (trlzioni e rotzioni), è poibile generlizzre le relzioni di deformbilità per ol preenz di un grdiente termico D T! (definito qui come differenz tr le temperture tr interno ed eterno dell prete del tubo D T Tint- Tet) ponendo le equzioni termiche in quet form: Copi (PARZIALE) di vlutzione - Dicembre 5

39 8 Cpitolo 4: Tubi prete ottile in regime fleionle ilimmetrico Z D M Z ]{ DT^ h + DT^ h T D M T ]{ D ^ h D ^ h & [ w w D M [ w r T T ] DT^ h D + T T m mb D M D ^ h ] D ^ h ^ - h + DT^h \ \ e emplificndo: Z ^ o { D T T + h ] D ^ h [ ^ o w r T T T T D m- mb + + (4 5) h ] D ^ h ^ h \ Ritornndo inftti l co prticolre in Figur 4 9, in preenz di cmpo termico linere lungo lo peore delle preti del tubo, per llinere i lembi nell ezione z come quelli preenti prtire dll ezione z m, i deve pplicre ul bordo inizile un ollecitzione flettente di vero tle che porti l rotzione ul bordo ugule e contrri quell eitente in z (e quindi non di vlore nullo) e l contrzione ile l vlore nullo (per riportre quindi il vlore del rggio l uo vlore inizile r di tubo indeformto). Ovvero, prtendo dll etto deformto, per riportre le preti del tubo (nell ezione z ) uguli quelle nelle ezioni z > m, i devono imporre in z le eguenti deformzioni compleive: { et^h -{ DT^h < * (4 54) wet ^h In termini mtemtici, i deve vere (proprio per lo chem prticolre in Figur 4 9), pplicndo i primi membri dell (4 54) i coefficienti eltici dell fleione: Z ]{ et^ h D M et ^h < et w & { ^ h - D < [ w w * et D M ] ^ h D + et ^h Met ^h -wdd < \ vendo clcolto l epreione di M et() dll econd equzione e vendol poi otituit nell prim equzione per dedurne il corripondente vlore di { et(). Come i vede, in ccordo con lo chem in figur, per nnullre completmente dll eterno le ollecitzioni cute dll tempertur ull ezione inizilmente liber z, è necerio che l ollecitzione flettente etern M et() i negtiv tendente quindi le fibre eterne del mntello dell tubzione concordemente lle rotzioni { et() < che riultno quindi di vero oppoto ll convenzione tbilit come poitiv nei prgrfi precedenti. Equzioni delle deformzioni in regime preorio e termico A queto punto, potendo generlizzre, fruttndo il item di equzioni ll (4 9) pgin 6 e il principio di ovrppoizione degli effetti, ggiungendo nche i contributi ll deformzioni per grdiente termico trverlmente lle preti dei tubi (o dell citern), i rriv l item generle: Z w D V D M p r w E D M + + c + D + DT ] ^ h ^ h ^ h ^ h c ^hm [ (4 55) D V D M w p ^h { ^ ] h i h D M ^ h+ ^ h+ d + b DT^hl D \ Copi (PARZIALE) di vlutzione - Dicembre 5

40 Sollecitzioni per grdienti di tipo termico 9 Ü Importnte vendo rcchiuo tr prentei tonde econdo membro i due contributi reltivi gli effetti dell tempertur ulle deformzioni. Avendo generlizzto, i ricord qui il ignificto dell opertore d i reltivmente i crichi preori: d nelcodicitern inverticle(oforte perditdicricointubzione) i * nel co ditubzione flngit(odiperdite di crico trcurbili intubzione) Inglobndo le formulzioni generli (4 5) nel item (4 55), i ottengono le due formulzioni opertive per l congruenz lle deformzioni del ingolo tronco di tubzione: Z w D V D M p r ^ o rt T E T c D m- mb + + h ] ^ h ^ h ^ h ^ h ^ h [ D V D M w p ^h ^ o { ^ h h T d D ^ h+ ^ h+ i + + h ] D \ Equzioni delle deformzioni in regime termico come dominnte Qulor gli effetti di tipo preorio pono coniderri trcurbili ripetto gli effetti delle temperture, i potrnno trcurre i termini dipendenti dl crico preorio ripetto i termini dipendenti dgli effetti del grdiente termico. Le equzioni di congruenz delle deformzioni i riduce ll form: Z w D V D M r T T T ^ o D + + m - mb + + h ^ h ] ^ h ^ h ^ h ^ ^ h h [ D V D M T ^ o D { ^ ^ + ^ + + (4 56) h ^ h ] h h h \ vendo per mggiore ettezz pecificto, nche per i coefficienti eltici dipendenti di grdienti di tempertur, che i trtt di grndezze tutte miurte ull ezione inizile di rifermento z. Equzioni di congruenz tr due tubzioni u medeim ezione. Si riport di eguito l epreione formle dell equzione di congruenz delle deformzioni riferite un medeim ezione in comune tr due tronchi di tubzioni di divere crtteritiche termiche. Si definirnno tl propoito un tronco di tubzione initr (pedice ) e un tronco di tubzione detr (pedice d ) ul pino del foglio. Come indicto nello chem in Figur 4, per poter mntenere empre le due incognite iperttiche M() e V() è necerio tenere conto delle relzioni reciproche tr egni e veri congruentemente con l convenzione uulmente dottt. Anche dl punto di vit delle rotzioni, cegliendo d eempio l e delle z orientto lungo lo viluppo longitudinle dell tubzione di initr, le rotzioni dei lembi del contorno quot z del tronco di tubzione di detr vrà egno oppoto ripetto quello di detr (vrindo l derivt dell funzione w ripetto l rggio delle tubzioni). È fcile renderi conto che, dottndo d eempio l formulzione item (4 56) per il tronco di initr, per renderl comptibile nche con il tronco di tubzione di detr i dovrnno per quet ultim imporre le eguenti poizioni ul item (4 56): Vd^h-V ^h/ V^h per il tglio; Md^h M ^h/ M^h per l ollecitzione flettente. Copi (PARZIALE) di vlutzione - Dicembre 5

41 Cpitolo 4: Tubi prete ottile in regime fleionle ilimmetrico Figur 4 Schem di equilibrio delle ollecitzioni iperttiche V, M u un ezione trverle di condott che epr due tronchi di tubzione di crtteritiche geometriche e termiche differenti. Origine del item di riferimento (ezione inizile z ) orientto initr per l tubzione initr nello chem. Motrte le relzioni tr i egni econdo le convenzioni di egno tbilite. z Tubo I ( ) ( ) ϕ < w < I ( ) < ( ) w ϕ < w ( ) w ( ) V ( ) + Vd ( ) M ( ) Md ( ) V ( ) Vd ( ) V ( ) M ( ) z M ( ) Md ( ) z Md ( ) Vd ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) w w ϕ + ϕ d w d ( ) z d w d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) V V V M M M I d d ( ) ( ) ϕ d > w > I d ( ) > ( d ) w ϕ > Tubo d Ü Importnte Un volt pecificte le due formulzioni per il tronco di initr (w e { ) e per il tronco di detr (w d e { d), il item delle equzioni di congruenz ull ezione di continuità quot z dovrà pori in quet form (i ved Figur 4 ): w^h wd^h * (4 57) { ^h -{ d^h L oluzione del item fornirà le due uniche incognite preenti: V() e M() i cui veri ono riferiti ll convenzione dei egni (poitivi) del tronco di tubzione di initr. In prticolre, l formulzione item (4 56) pgin 9 rimrrà formlmente identic per l tubzione di initr (lvo l compr del pedice ulle vrie grndezze: Z w D V D M r T T T ^ o D + + m, - mb + + h ^ h ] ^ h ^ h ^ h ^ ^ h h [ D V D M T ^ o D { ^ ^ + ^ + + h ^ h ] h h h \ mentre per il tronco di tubzione di detr i dovrnno umere le equzioni eguenti: Z w D V T ^ o D d d - + M + rd Tm, d - Tmb + + h ^ h ] ^ h ^ h ^ h ^ ^ h h d D d dd d d [ D V T ^ o D d { d ^ - ^ + M^ + + h ^ h ] h h h d D d dd d d \ dove compre il pedice d per ignificre che i trtt ppunto del tronco detr. Si ricord, in prticolre, che le uddette equzioni delle deformzioni per i due tronchi di tubzioni olidrizzte nell ezione z precindono dll preenz degli effetti preori (preioni e/o perdite di crico ll interno dell tubzione) che quindi vengono coniderti trcurbili ripetto gli effetti termici ulle ollecitzioni. Copi (PARZIALE) di vlutzione - Dicembre 5

42 Sollecitzioni per grdienti di tipo termico Eempio 4 5 Sollecitzioni u un trtto di circuito ttrverto d vpore Un trtto di circuito, ttrverto d vpore cqueo T int C, è cotituito d due tronchi di tubzione in cciio di medeimo dimetro interno z int mm m di differente peore: ripettivmente et, 6, mm (tronco initr) e et,d,5 mm (tronco detr). Il tronco detr, di dimetro minore, è rivetito d un opportun coibentzione. A regime, l tempertur ull uperficie etern del primo tronco (non coibentto) è di T et, 55 C; mentre, nel econdo tronco (coibentto) l tempertur ull uperficie etern dell u prete di cciio è T et,d 9 C. Trcurndo l inevitbile trmiione di clore che i regitr in eno longitudinle ttrvero l ezione di ldtur fr i due tronchi di tubzione e trcurndo inoltre le perdite di crico e l preione nel trtto compreo tr le due lunghezze d ond (m, m d) dei due tubi, oltre le quli i ttenuno del tutto le perturbzioni ull ezione (z ) di dicontinuità cotituit dll nello di ldtur tr i due tronchi, i clcolino le incognite iperttiche nell zon di giunzione trmite ldtur complet penetrzione. Si vluti l ndmento dell ollecitzione flettente longitudinle lungo il trtto di circuito. Figur 4 Schem qulittivo del trtto di circuito con conneione dei due tronchi di tubzione rccordti nell ezione di riferimento z medinte ldtur complet penetrzione. Rppreentto in lto l ndmento dell ollecitzione flettente longitudinle e in bo i grdienti termici (lineri) ttrvero lo peore delle preti dei due tronchi di tubzione. z (non coibentto) z Tubo Soluzione Si procede con il clcolo delle grndezze cotnti che intervengono nel clcolo per i due tronchi di tubzione e poi l clcolo dei reltivi coefficienti eltici. Trttndoi di tubzioni in cciio, con peori reltivmente contenuti ripetto i ripettivi rggi, per brevità e fvore di icurezz nel clcolo delle intenità delle forze iperttiche V() e M(), i clcolernno i coefficienti eltici fcendo riferimento l rggio (utile) interno delle tubzioni. Intnto è opportuno oervre preliminrmente che, potendo ccettre l ipotei conuet di tubi lunghi, nei trtti delle due tubzioni oltre l ripettiv ditnz dell lunghezz d ond m, di morzmento delle perturbzioni (dll ezione di riferimento z ), e ufficientemente prim dell eventule ezione di bordo libero (d eempio, per bocco in tmofer z,), le ollecitzioni flettenti longitudinli (M D T, e M D Td, ) vengono dipeninterno tubo ( ) M D + ν χ z + Tmb C T, T, 6 mm Tet, Tint, 55 C C Tm, λ 77,5 C ( ) ( ) ( ) M M M Tmb C d interno tubo λd d Tet,d Tint,d ( ) M D + ν χ T,d d T,d (coibentto) Tubo d,5 mm Tm,d 9 C C z 95 C Copi (PARZIALE) di vlutzione - Dicembre 5

43 Cpitolo 4: Tubi prete ottile in regime fleionle ilimmetrico dere dll ol preenz del grdiente termico eitente tr gli peori delle reltive preti dei tubi. In prticolre indicndo con, ed, d ripettivmente le lunghezze effettive del tronco di initr e di detr in preenz del olo grdiente termico nei trtti delle due tubzioni definite ripettivmente d: m # z, per l tubzione di initr; m d # z, d per tubzione di detr, le ollecitzioni flettenti longitudinli M D T, e M D Td, coincidono in vlore con le reltive ollecitzioni flettenti circonferenzili. In prticolre, nell fibr circolre lungo il bordo libero dell tubzione (d eempio, ull ezione di bocco in tmofer, con z,) non potendoci eere lcun grdiente termico (tutti i punti dell circonferenz del bordo libero devono trovri ll te tempertur T bordo), l ollecitzione circonferenzile non potrà che eere null. Pertnto, ecludendo le ezioni di bocco (bordi liberi delle tubzioni), procedendo vero l ezione z, lungo i due trtti di tubzione l di fuori delle ripettive lunghezze d ond, le ollecitzioni flettenti circonferenzili i mntengono cotnti e pri l loro vlore mimo e quindi uguli in modulo i ripettivi momenti flettenti longitudinli M D T, e M D Td,. Step Clcolo grndezze cotnti dell oluzione. Cotnti del tubo (in cciio) di initr (pedice ): peore prete tubo: 6, mm; rggio medino del tubo: r,5 (z int + et,) 8 mm; modulo eltico: E N/mm ; coefficiente di Poion: o,; modulo di rigidezz D :, D E E 6mm 9, 78ENmm 4, 54 $ - o ^ h ^ h ^ -, h fttore : 4 4 ^ - o h ^ -, h -, 7 mm r ^8 mmh^6, mmh lunghezz d ond m : $, 4 m. 5 mm r (rrotondto) - ^, 7 mm h grdiente termico (linere) ttrvero l prete del tubo, DT : D T Tint - Tet, ^ - 55h 45 C 6 Nmm tempertur medi dell prete del tubo, T m, (reltiv ll tempertur mbiente): Tint Tet, T T T 55 ^ m, - mbh + mb 57, 5 C Cotnti del tubo (in cciio) di detr (pedice d ): peore prete tubo: d,5 mm; rggio medino del tubo: r d,5 (z int + et,d) 6,75 mm; modulo eltico: E N/mm ; coefficiente di Poion: o,; Copi (PARZIALE) di vlutzione - Dicembre 5

44 Sollecitzioni per grdienti di tipo termico modulo di rigidezz D d:, D Ed E 5mm 6 d 9, ENmm, 85 $ Nmm - o ^ h ^ h ^ -, h fttore d: d 4 ^ - o h ^ -, h, 679 mm r d d ^6, 75 mmh^5, mmh 4 lunghezz d ond m d: $, 4 md. 8 mm r (rrotondto) d - ^, 679 mm h grdiente termico (linere) ttrvero l prete del tubo, DT d: D Td Tint - Tet, d ^ - 9h C tempertur medi dell prete del tubo, T m,d (reltiv ll tempertur mbiente): T T T T T 9 ^ int et, d md, - mb h + mb 75 C Step Clcolo dei coefficienti eltici per le incognite iperttiche. Coefficienti eltici del tubo di initr (pedice ): 6, 6 D 6 $ 454, $ Nmm, 7 mm - ^ h^ h 7, 868 D 6 $ 454, $ Nmm, 7 mm - ^ h^ h, 946 $ D 6 4, 54 $ Nmm, 7 mm - ^ h^ h N mm -5 - N -6 - N mm. Coefficienti eltici del tubo di detr (pedice d ):, 8 Dd 6 $ d 85, $ Nmm, 679 mm - ^ h^ h, 5 Dd 6 $ d 85, $ Nmm, 679 mm - ^ h^ h 7, 4 $ Dd 6 d, 85 $ Nmm, 679 mm - ^ h^ h N mm -4 - N -5 - N mm Step Clcolo componenti di diltzioni e ditorioni termiche. Componenti di deformzione termic per tubo di initr (pedice ): diltzione termic rdile per crico termico uniforme: -5 - wt, r^tm, ^h - Tmbh ^, $ C h^8, mmh^57, 5 Ch, 4 mm ditorione termic curvtur per grdiente (linere) nelle preti: 5 o DT,, $ C 45 C w T, +, 8 mm ^ h ^ h ^ h^ h^ h D - 7 ^, mm h ^6, mmh Copi (PARZIALE) di vlutzione - Dicembre 5

45 Sollecitzioni per grdienti di tipo termico 5 Step 5 Equzioni di congruenz delle deformzioni tr i due tubi nell ezione z Si f riferimento, per qunto oervto in merito ll convenzione dei egni delle incognite iperttiche e delle rotzioni nei due tronchi, l item di equzioni dto dll (4 57) pgin : (eqn. 6) (eqn. 7) w^h wd^h * { ^h -{ d^h Sotituendo le reltive epreioni e emplificndo, i ottiene il item riolvente nelle uniche due incognite V() e M(): Z 6, 6, 8 7, 868, 5 ] c mv^h + c 6-5 mm^h -, 8 [ 6, 557, 97, 777 6, 87 ] c 6-5 mv^h + c mm^h -, \ Riolvendo d eempio con il metodo di Krmer i clcolno (ull ezione z ) i vlori crtteritici delle incognite iperttiche con vero e egno come definiti nell Figur 4 pgin. In prticolre, reltivmente l tronco di initr: vlore dell ollecitzione tglinte: V() - N/mm (direzione centripet); ollecitzione flettente: M() - 5 Nmm/mm > (trzione lembi eterni). Step 6 Clcolo dei vlori delle ollecitzioni longitudinli e circonferenzili per grdiente termico nei trtti comprei dopo l lunghezz d ond e l ezione di bocco. Trtti di tubzione in cui i vvertono olo gli effetti dovuti l cmpo termico (effetti di bordo completmente morzti e ipotei di tubo lungo ): tubzione di initr: m # z < tubzione e m 5 mm; tubzione di detr: m d # z < tubzione e m d 8 mm.,, d, con, lunghezz compleiv del tronco di, con, d lunghezz compleiv del tronco di. Momenti longitudinli per ol preenz del grdiente termico ulle preti dei tubi (lungo le ezioni dei trtti di tubzione con effetti di bordo già diipti) e quindi coincidenti in vlore con i momenti circonferenzili: tubzione di initr (vlore crtteritico): M D D T T, o T, o D D ^ + h D ^ + h -5-6 ^, $ C h ^4, 54 $ Nmmh^+, h ^45 Ch ^6, mmh 486 Nmm/ mm tubzione di detr (vlore crtteritico): M D D T d Td, d o T, d d o D D ^ + h D ^ + h d 6 ^, $ C ^, 85 $ Nmmh^+, h ^5, mmh 7 Nmm/ mm -5 - h ^ Ch Copi (PARZIALE) di vlutzione - Dicembre 5

46 Sollecitzioni per grdienti di tipo termico 7 tubzione di detr, mim tenione longitudinle (ull ezione di ldtur con il tronco dicente in z ): MDTd, ^5 Nmm/ mmh vdcirc,, m vd, lon, m cq 5, 74, N/ mm Wpl, d 6. ^, mm / mmh 4. Mime tenioni di progetto SLU per tglio: tenione ull nello di ldtur tr i due tronchi di tubzione nell ezione di riferimento z : V^h ^ N/ mmh ^h cq 5,. 6 N/ mm. min6 ; d@ ^5, mmh Not. È il co di oervre che per il tronco di tubzione detr, coerentemente con i veri definiti poitivi nello chem in Figur 4 pgin, i vlori delle incognite iperttiche nell ezione z riultno entrmbi negtivi. Reltivmente l tronco di tubzione detr, ciò ignific che l ollecitzione flettente ditribuit M() tende le fibre eterne, mentre l zione tglinte ditribuit V() è centrifug u ogni uo punto del mntello. Proprio un tle vero delle ollecitzioni pieg perché, u queto tronco di tubzione, l ndmento dell ollecitzione flettente, vvicinndoci ll ezione z per punti ll interno dell lunghezz d ond m d, tende d umentre ripetto l vlore M DT,. Ciò è inftti dovuto ll zione di llrgmento, opert dl tronco di initr ui lembi z medinte l zione centrifug V(), che i trduce per il tronco detr in un ulteriore ggrvio dell quot di momento flettente neceri per nnullre in z i oli effetti del grdiente termico, miurti dll entità del momento M DT,d. Riferimenti bibliogrfici Erokhin V. G., Mkhn ko M. G., Smoilenko P. I., Fundmentl of Thermodynmic nd Het Engineering, MIR Publiher Mocow, 986. Smuelli Ferretti A., Coro tecnico delle cotruzioni. Cenni ull teori delle pitre e tubi in regime eltico linere, Mon editorile ESA, Rom Gennio 988. Svet I. T., Tolubinkij V. I., Albovkij A. N., Kirkovkij N. F., Neduzij I. A., Pivovrov L. A., Termotecnic, Edizioni MIR, Moc, 987 Timohenko S., Woinowky-kreiger S., Theory of Plte nd Shell, Second Edition, McGrw-Hill Book Compny, New York, 987. Cover Art: hhttp:// Copi (PARZIALE) di vlutzione - Dicembre 5

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48 5 Clcoli ttici ulle tubzioni interrte: cenni teorici e formule prtiche 5 Preme: vlori delle preioni in tubzione 4 Preione di eercizio 4 Preione nominle 4 Entità dell preione equivlente 4 Limitzione delle ovrppreioni d colpo d riete 4 Po e preione in fe di colludo 4 5 Aetti e zioni ulle tubzioni interrte 4 Condizioni di po 4 Po in trince trett 44 Po in trince lrg e po con rinterro indefinito 48 Po in trince trett con rinterro indefinito 5 5 Proprietà eltiche dei mterili per le condotte interrte 54 Moduli eltici per le tubzioni 54 Moduli di elticità normle dei terreni Ditribuzioni delle zioni verticli ulle tubzioni 56 Ditribuzione delle zioni dovute l rinterro 56 Rezioni verticli delle ree di ppoggio ll zione del rinterro 57 Ditribuzione delle zioni dovute i vribili fii e mobili in uperficie Formule per il clcolo e l verific: teori di De Sedeleer 6 Rezioni orizzontli del terreno per unità di lunghezz del tubo 6 Clcolo delle ollecitzioni flettenti nelle ezioni ignifictive del tubo 69 Clcolo dell mim tenione di trzione di progetto 7 Clcolo dell mim preione di eercizio Verific mime deformzioni e intbilità eltic 76 Verific ll ovlizzzione dell tubzione 77 Verific ll intbilità eltic per depreione intern 8 copo delle verifiche di icurezz delle tubzioni interrte (per fognture, cquedotti, Sgdotti, etc.) è di grntire che l oper di convoglimento idrulico i in grdo nel uo inieme con il terreno di po e con ogni prte dei uoi elementi cotruttivi di reitere con deguto mrgine di icurezz ll zioni cui potrà eere ottopot, i durnte l fe di intllzione e colludo e i durnte l u vit medi di eercizio; icurndo nche l minimizzzione degli interventi di mnutenzione nel tempo. Generlmente, le zioni d coniderre ono: le zioni permnenti, i vribili di eercizio (tr cui preioni, ovrppreioni interne e crichi vigginti in uperficie), le rezioni termiche, i fenomeni di ritiro e quelli vicoi (queti ultimi nel co di tubzioni in c.. o c..p.), i cedimenti vincolri (comprei eventuli cedimenti o mottmenti dei terreni) e le zioni imiche e dinmiche Copi (PARZIALE) di vlutzione - Dicembre 5