2 Classificazione dei modelli di simulazione

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1 Classfcazone de odell d sulazone Coe esposto nel captolo precedente, un odello d sulazone al coputer è uno struento per l'anals de sste che tenta d rappresentare l coportaento de sste stess attraverso un certo nuero d equazon e algort logc, codfcat n un lnguaggo d prograazone. E' opportuno tentare d classfcare odell perché cò perette all'utente d valutare a pror l odello n rapporto alle prestazon che può fornre, sceglendo qund opportunaente n rapporto all'obettvo prefssato. Modell eprc e odell eccancstc La preessa obblgatora è che tutt odell sono, a un certo lvello, eprc; cò che l dfferenza è essenzalente qund l lvello al quale sono eprc. I odell "eprc" sono n sostanza descrzon drette de dat osservat e sono n genere defnt stando paraetr d una regressone ultpla. Quest odell sono costrut prncpalente con lo scopo d descrvere l coportaento d un sstea e d dostrare l'esstenza d relazon tra varabl selezonate, a senza tentare d spegare la natura d queste relazon. La struttura generale e l lvello d dettaglo è n genere seplce. Il lvello d eprso è lo stesso al quale s attua la sta (Acock e Acock, 1991); un esepo è dato da que odell che stano la produzone coe funzone d varabl abental, coe cuul d pogge e/o teperature, o l'accuulo d sostanza secca coe funzone del tepo. Quest odell non perettono alcuna estrapolazone (vale a dre che non perettono alcuna prevsone al d fuor dell'ntervallo de dat utlzzat) e non aggungono alcunché alla conoscenza del sstea. I odell eccancstc tentano nvece per defnzone d spegare le relazon tra gl eleent del sstea odellato. Quest odell sono utl n bologa dat dvers lvell d organzzazone d un organso vvente (strutture cellular, cellule, tessut, organ, ndvdu, popolazon, ecosste). Un odello eccancstco tenta d descrvere l sstea ad un certo nuero d lvell al d sotto d quello cu vene effettuata la sta; n genere, odell d sulazone de sste agrcol non vanno al d sotto d due lvell d quello d'nteresse per le sulazon. Ne odell eccancstc, la rappresentazone de lvell nferor d organzzazone è eprca; cò può accadere o perché non sono char eccans che governano process al lvello nferore o per una scelta delberata n rapporto agl scop o alla facltà d'uso che s vuole abba l odello. La natura della connessone tra lvell d organzzazone nclus nel odello dpendono dalla conoscenza de process convolt, accopagnat da potes ed assunzon. In olt cas, dfferent coponent del odello sono rappresentate a dvers lvell d organzzazone n funzone delle conoscenze a dsposzone, anche se cò va evtato quando possble n quanto l'oogenetà nella rappresentazone del sstea dovrebbe essere preferta. La dfferenza tra odell pù o eno eccancstc può essere llustrata se consderao, per esepo, la sulazone del processo d produzone d boassa d una coltura. L'accuulo d boassa rsulta dalla fssazone d CO da parte delle fogle e dal successvo trasporto ne dfferent organ, quando l fabbsogno n carbono per l antenento della panta e per la sua crescta sa stato soddsfatto. La fotosntes e la resprazone sono process copless, che possono però essere rappresentat facendo rcorso ad alcun eprs. La fotosntes dpende dall'rraggaento cu la fogla è soggetta, che dpende a sua volta dall'rraggaento dell'ntero anto vegetale, che è anche questo un processo coplesso. Un odello eccancstco consdererà tutt quest eleent per calcolare l'accuulazone d boassa, probablente 10

2 usando un passo d'ntegrazone teporale d un nuto o al pù d un'ora. Saranno qund consderate la poszone del sole nel suo evolvers durante la gornata, la struttura spazale del anto vegetale (altezza, angolo d'nserzone delle fogle, loro superfce, ecc.), le propretà ottche del anto vegetale, ecc. Un approcco eprco apaente usato consste nel defnre una regressone lneare tra l cuulo d radazone ntercettata dal anto vegetale durante l cclo bologco e la boassa prodotta durante lo stesso perodo, quanttà queste rlevate durante la sperentazone n capo. La pendenza d questa retta, n genere defnta coe effcenza nell'uso della radazone, rappresenta la quanttà d boassa prodotta per untà d luce ntercettata. Questo valore, oltplcato per l valore d luce ntercettata gornalente (calcolata utlzzando un'altra seplce equazone), perette la sta della produzone gornalera d boassa. Questo secondo approcco non c fornsce spegazon su eccans d ntercettazone della luce nel anto vegetale, a rchede un nput d dat nor senza per questo produrre rsultat peggor. Modell statc e dnac Un odello statco non ha l tepo coe varable. Quest odell raraente hanno un nteresse nelle applcazon bologche, a talvolta odell dnac possono contenere eleent che sono rappresentat statcaente. I odell d regressone sono tpc esep d odell statc; s consderno per esepo que odell d regressone ultpla ne qual la produzone fnale è funzone d alcun paraetr eteorologc. I odell dnac, per contro, contengono l tepo coe varable esplcta. Le loro coponent possono essere espresse n tern d equazon dfferenzal contnue o d equazon dscrete, che sono ntegrate per descrvere l coportaento del sstea nel tepo. Queste equazon, e alcun approcc per la loro soluzone, saranno descrtt pù avant. Modell deternstc e odell stocastc Un odello deternstco effettua una prevsone fornendo coe output un valore nuerco senza dare nessuna sura della dstrbuzone probablstca d quel rsultato. Per esepo, un odello deternstco sulerà la crescta della boassa ad ntervall gornaler, producendo valor per ogn passo d'ntegrazone, a senza fornre alcuna nforazone sulla varabltà d queste quanttà nel capo. Un odello stocastco è caratterzzato nvece dal contenere procedure che tengano conto delle dstrbuzon d probabltà, assee ad eleent che aggungono una coponente casuale nel caratterzzare lo stato d alcune o tutte le varabl. Questo n genere è attuato consderando le varabl ed paraetr del odello coe varabl casual. Vene n questo caso utlzzata la capactà del odello d generare nuer casual oppure s utlzzano ste della varabltà de paraetr, verfcando l'effetto d questa varabltà nel coportaento del sstea. Una tecnca apaente usata n questo tpo d odell è l etodo Monte Carlo, che consste nel generare nuer casual secondo alcune dstrbuzon d probabltà (esponenzale, d Possons, norale) per sulare varabltà. Per esepo, l etodo Monte Carlo può essere utlzzato per generare varabl eteorologche che sono utlzzate coe varabl guda ne odell d sste agrcol oppure per sulare l'ncontro casuale tra predatore e preda nel tepo e nello spazo n odell dnac predatore-preda. Un altro etodo, che è nteredo tra odell deternstc e odell copletaente stocastc, è l etodo della catena d Markov. In questo etodo, la probabltà per una varable d essere n dato stato ad un tepo deternato è legato allo stato edataente precedente della stessa varable. 11

3 I odell deternstc possono counque essere utlzzat con un approcco stocastco. Outputs relatv a perod olto lungh possono, per esepo, essere utlzzat per deternare la probabltà secondo la quale cert sste rspondono al cla. In questo caso le varabl eteorologche sono utlzzate coe varabl guda stocastche, essendo stat ottenut loro valor da un "generatore d cla". Altro etodo consste nel generare sere d paraetr d nput con tecnche stocastche, utlzzando valor ottenut per un nuero corrspondente d sulazon deternstche; gl output delle sulazon sono qund analzzat per stablre le tendenze e la dstrbuzone de rsultat delle sulazon. Tp d odell usat frequenteente nella sulazone d sste agrcol Ne pr approcc nell'uso del coputer nella rcerca n agrcoltura è stata dedcata olta attenzone a odell statc ed eprc, basat su regresson statstche. Questa tendenza è ora utata e sta utando verso l'uso d odell dnac e deternstc, che varano per l loro grado d eprso. La aggor parte d queste note rguarderà questo secondo tpo d odell, anche se saranno llustrat alcun esep d odell stocastc. Inoltre, l'attenzone perlopù sarà dedcata sulle prevson a lvello d coltura, entre sarà rchesta attenzone per consderare gl effett de process che sono alla base del rsultato produttvo. odell regressv odell s sulazone seplc odell sulazone eccancstc d tpo: statstco, statco dnaco dnaco relazon utlzzate: eprco eprco, eccancstco eccancstco, eprco lvell d organzzazone nclus: coltura coltura, panta coltura, panta, organo scala spazale: regonale capo, fogla ntervallo d stagonale gornalero oraro o pù breve esecuzone: uso: gestonale gestonale, rcerca rcerca caratterstche: rchedono olt ann d dat per poter stare paraetr producono outputs con var eleent (produzone, stad d crescta, uso dell'acqua, ecc) producono outputs pù dettaglat (produzone e sue coponent, coportaento degl sto, ecc.) Tabella.1 - Caratterstche d odell coltural couneente utlzzat per l'anals d sste agrcol (odfcato da Stener, 1987) 1

4 Nella tabella.1 sono rportate un certo nuero d caratterstche che sono tpche de odell per colture couneente usat nell'anals d sste agrcol. Il terne colturale è qu utlzzato facendo rferento a sulazon a quel lvello d organzzazone, ncludendo l'effetto delle pratche agrcole, lo svluppo della coltura e la sua nterazone con patogen fungn ed entoatc, la copetzone dovuta alle nfestant e olt altr. Eleent d odell dnac e deternstc La aggor parte de odell utlzzat n agrcoltura sono odell dnac e deternstc. Un approcco largaente utlzzato per costrure quest odell è quello della varable d stato. In questo approcco s assue che n qualsas oento s può quantfcare lo stato d un sstea, e che le odfcazon che l sstea subsce nel tepo possano essere descrtte attraverso equazon ateatche. D seguto sono descrtt prncpal eleent present n odell costrut secondo questo approcco. Varabl Le varabl n un odello dnaco possono essere classfcate coe varabl d stato, d tasso, auslare e d guda. Le varabl d stato sono varabl che defnscono lo stato d un sstea ad un deternato punto nel tepo. Esep d varabl d stato sono quanttà coe la boassa, l carbono dsponble, l contenuto d'acqua nel suolo, l nuero d nsett d una popolazone ecc. Il valore d queste varabl dovrebbe essere teorcaente surable n qualsas oento; dealente queste varabl dovrebbero essere faclente surabl nel sstea reale, facltando la calbrazone e valdazone del odello. Queste varabl rchedono d essere nzalente defnte pra dell'esecuzone della sulazone. Le varabl d tasso sono assocate alle varabl d stato per deternare l loro tasso d cabaento coe funzone del tepo e coe rsultato d qualche specfco processo. Esse rappresentano l flusso d atera o energa tra le varabl d stato, da una sorgente ad una varable d stato, o da una varable d stato ad un punto d accuulo. Queste varabl non possono essere surate stantaneaente, a solo su un ncreento d tepo. Esep d questo tpo d varabl possono essere l tasso d fotosntes, l tasso d trasprazone, l tasso d decadento ecc. Il valore delle varabl d tasso dpende dalle varabl d stato, dalle varabl d guda e da quelle auslare, da paraetr e dalle costant del sstea n relazone a partcolar process fsc, chc e bologc che rchedono una defnzone n tern ateatc. Nell'approcco delle varabl d stato, le varabl d tasso non sono dpendent tra loro. Ogn varable d tasso è qund calcolata ndpendenteente dalle altre varabl d tasso. Per esepo, l tasso d crescta d una panta è connesso strettaente con l tasso d fotosntes, a nell'approcco della varable d stato è l rsultato d operazon sultanee per due process ndpendent. La fotosntes contrbusce ad auentare le rserve e questa quanttà è una delle varabl d stato che nfluenza l tasso d crescta. Le varabl auslare sono quanttà che cabano con l tepo, a la cu defnzone non rappresenta necessaraente l coportaento del sstea. Possono essere defnte perché utl n quanto possono rappresentare una quanttà da coparare con dat rlevat sul sstea reale, oppure perché rappresentano un passo nteredo ne calcol che auta a coprendere l funzonaento del sstea. Le varabl guda sono anche note coe funzon condzonant e rappresentano fattor al d fuor del sstea che agscono a confn dello stesso condzonandone l coportaento. Ne odell 13

5 bologc, esep tpc d varabl guda è dato dalle varabl che descrvono le condzon abental (teperatura, radazone, vento ecc.) e che cabano contnuaente con l tepo. Paraetr e costant I paraetr e le costant sono quanttà che non cabano nel tepo n un odello dnaco. In pratca, paraetr e costant non sono dfferent n rapporto al tpo d effetto che hanno sul odello. Sono counque dfferenzat n quanto per costante s ntende una quanttà l cu valore è stato accurataente deternato e che s rtene non debba cabare qual che sano le condzon n cu opera l sstea. Esep sono l nuero d second n un gorno, la costante gravtazonale, ecc. I paraetr sono nvece quelle quanttà che sono antenute costant durante l'esecuzone della sulazone, a che possono cabare n una successva sulazone per eglo nterpretare, per esepo, le condzon n cu l sstea agsce, o per tenere conto delle dverstà genetche del aterale oggetto della sulazone. Esep d paraetr possono essere la rserva assa d carbodrat, l nuero d se per spga d un cereale, la dstanza potenzale d volo d un predatore ed altro. Il valore de paraetr è n genere ncerto, a è atteso che esso var n un abto ragonevolente pccolo. L'aggustaento del valore de paraetr nell'ntervallo atteso è un'operazone chaata calbrazone, che ha lo scopo d adattare rsultat della sulazone a dat rlevat sperentalente, quando l valore de paraetr nelle condzon studate è scarsa o nella. Modell concettual e dagra relazonal Pra d realzzare un odello dnaco d sulazone, l rcercatore deve svluppare un odello concettuale del sstea d'nteresse. Questo odello ntegra tra loro la coprensone delle coponent del sstea n studo da parte de rcercator che lo svluppano, defnendo le relazon tra queste coponent. I odell concettual sono n genere esplctat attraverso dagra relazonal qual rassuono le relazon e gl eleent pù portant del odello, seplfcano la defnzone delle equazon d tasso e d stato, e facltano nfne la councazone con altr. Un soaro d convenzon couneente utlzzate nel costrure quest dagra, utlzzata per rappresentare odell d pant ndustral, è quella proposta da Forrester nel 1961 e rportata n fg. 1. I dagra relazonal possono non essere olto utl ne odell pù seplc, a sono ndspensabl ne sste pù copless. Coloro che sono nteressat nello svluppare odell d sulazone al coputer dovrebbero svluppare odell concettual e dagra relazonal pra d concare a codfcare l prograa nel coputer. I odell concettual e dagra relazonal sono nella loro essenza qualtatv, e sono qund solo un passo nteredo verso la quantfcazone del sstea dnaco, obettvo d aggor nteresse per rcercator. La sulazone dnaca è un'nsee d tecnche svluppate per realzzare questa quantfcazone. 14

6 varable d stato, o ntegrale del flusso; rsultato fnale d quanto è accaduto flusso e drezone d un'azone attraverso la quale una varable d stato caba; possono essere utlzzat dvers tp d lnee, purché contnue flusso e drezone d un'nforazone valvola nel flusso (tasso) che ndca coe una decsone è presa n questo punto; le lnee che afferscono ndcano n base a qual fattor la decsone è presa sorgente o destnazone la cu consstenza non è d'nteresse paraetro o costante Fgura.1 Sbol convenzonal per dagra relazonal Equazon dfferenzal e fnte Ne odell d sulazone dnaca la odfca delle varabl d stato è descrtta da equazon dfferenzal, che sono basate sulla dervata della varable d stato rspetto al tepo. La dervata è una espressone ateatca del tasso d varazone della varable d stato S : ds = l [( t 0 S ( t + S ( ]/ t [.1] Le equazon dfferenzal nelle sulazon dnache sono espresse n tern d alcune (o tutte) le varabl d stato (S), varabl guda (D), paraetr (P) e costant (C) nclus nel odello: ds = f S, S,..., S, D, D,..., D, P, ) [.] ( 1 n 1 n C La funzone a destra nell'equazone [.] consste generalente n dvers tern, ognuno de qual è un processo che avvene con un deternato tasso. Coe esepo, consderao un'equazone dfferenzale rappresentante l tasso d varazone della rserva d carbono n una panta: dc = P g ( C C C ax ) ax B R [.3] dove C è la rserva d carbono, Pg è l tasso cu avvene la fotosntes, C ax è la assa densone della rserva d carbono, B è l tasso d produzone d boassa, ed R è l tasso cu 15

7 avvene la resprazone. Le varabl d stato sono dpendent, a turno, dalle varabl d stato o d guda, da paraetr e dalle costant. Le equazon dfferenzal descrvono la dnaca d un sstea contnuaente nel tepo. Se l tepo totale (fatto par ad 1) è dvso n untà dscrete t, l valore della varable d stato al tepo t+ t può essere rappresentato coe segue: S ( t + = S ( + f ( * t [.4] dove f ( è l tasso d varazone al tepo t. L'uso d questo tpo d equazon perette d rsolvere equazon dfferenzal coplesse, coe dscusso nel prosso paragrafo. Integrazone d equazon dfferenzal Per deternare l valore delle varabl d stato al tepo t, l'equazone che descrve l utaento della varable deve essere ntegrata rspetto al tepo. Per seplc equazon dfferenzal questa ntegrazone può essere fatta analtcaente. Per esepo, l'equazone dfferenzale dc = kc [.5] ha la soluzone analtca: [ k*( t-t0 )] C ( = C0 * e [.6] L'equazone [.6] perette d deternare l valore d C a qualsas ntervallo dal tepo nzale t 0, nel quale C=C 0. Tuttava, data la coplesstà de sste coltural, l'ntegrazone analtca delle equazon dfferenzal che l descrvono è raraente possble, oppure lo è per ntervall ltat, facendo dventare la rappresentazone del sstea troppo rreale o rstretta perché possa avere una qualche utltà. Per questo otvo n genere s prefersce esprere le equazon dfferenzal coe equazon fnte tpo quella llustrata n [.4]. L'ntegrazone nuerca d equazon fnte s ottene con calcol rcorsv. Consderando per esepo l'equazone rportata n [.4], l calcolo parte con un valore nzale d S (=S 0 a t=t 0. Utlzzando l tasso d varazone, l'ncreento n valore assoluto d S nell'ntervallo t può essere deternato; aggungendo ad esso S 0 s può prevedere l valore d S (t+. Nel passo successvo, S ( assue l valore defnto per S (t+ nel passo precedente, e la procedura appena descrtta è rpetuta fntantoché l perodo stablto per la sulazone è coperto. Metod coun per l'ntegrazone nuerca d equazon nuerche ncludono etod d Eulero, trapezodale e d Runge-Kutta d secondo e quarto ordne. Molt d quest etod sono basat su una espansone della funzone S ( secondo una sere d Taylor, per la quale una dervata ds/ deve esstere nel perodo d'nteresse. Questa espansone può essere espressa coe: ds( d S( S( t + = S( + t t [.7]! dove è un ntero aggore d 0. Se =1, l'espansone s rduce a: 16

8 ds( S( t + = S( + t + ξ [.8] d S( d S( dove ξ è un terne d'errore uguale a t t, usualente chaato! errore d troncaento. Consderando che f t ds ( ) =, e consderando trascurable l terne d'errore, l'equazone [.8] s rduce all'equazone [.4], che è l'equazone dfferenza fnta assocata al etodo d Eulero. Consderando che tern d'errore d grado elevato sono trascurabl, l'errore d'ntegrazone nel etodo d Eulero (s rcord che l tepo totale è fatto par a 1) è dell'ordne d (. Un'esepo de rsultat ottenbl con l etodo d Eulero è rappresentato nella fgura. L'errore dell'approssazone nuerca cresce con l tepo; può essere tuttava rdotto se l'ntervallo d ntegrazone t vene rdotto, n quanto l'errore è proporzonale a t. Nell'equazone.7, se è uguale a due, s ottene una sere d Taylor d secondo ordne: () t d S() t ds t S ( t + = S( + t + + ξ [.9] dove l'errore s rduce a d 3 S () t d S() t 3 3 t t.! Approssazone nuerca con l etodo d Eulero 1.14 Y analtco Eulero 0.98 tepo Fgura. Rsultat d un'approssazone nuerca ottenuta con l etodo d Eulero. Consderando che 17

9 d S t ( ( t + ds() t ds / t [.10] ds( e consderando che t è l tasso d cabaento F () t, e valutando trascurable l'errore, l'equazone [.9] può essere rscrtta coe: F ( ) ( ) ( ) ( t + F( t S t + t = S t + F t t + t [.11] Arrangando nuovaente tern s ottene l'equazone successva, usualente defnta coe etodo trapezodale: ( ) ( ) [ F( t + + F( ] t S t + t = S t + [.1] è portante rlevare coe la dfferenza tra l etodo trapezodale e quello d Eulero consste nel fatto che l pro utlzza la eda delle due pendenze agl estre dell'ntervallo d'ntegrazone coe tasso edo. Dal oento che gl error d troncaento con l etodo trapezodale sono nell'ordne d ( 3, l'accuratezza è aggore d quella del etodo d Eulero. Metod n cu la sere d Taylor è d quart'ordne, coe quello d Runge-Kutta hanno un'accuratezza aggore, con error d lvello ( 5. Quest etod rchedono l calcolo delle dervate pre n dvers punt dell'ntervallo d'ntegrazone, per cu la loro pleentazone n un prograa è olto pù coplessa. Spesso counque gl algort relatv sono dsponbl svolt n lnguagg d prograazone n test odern d anals nuerca, cu l lettore dovrà fare rferento. L'ntervallo d ntegrazone L'ntervallo d'ntegrazone può essere defnto coe (b-a)/n, dove b ed a sono rspettvaente l tepo fnale ed nzale del perodo d'ntegrazone, ed n è l nuero d ntervall. Coe llustrato nel paragrafo precedente, l'ntervallo d ntegrazone è crtco n rapporto all'accuratezza dell'ntegrazone. I glor rsultat sono ottenut, n lnea d prncpo, quando l'ntervallo s approssa a zero, entre gl error d troncaento auentano quando l'ntervallo d ntegrazone è pù lungo. Tuttava, l tepo rchesto per calcol auenta consderevolente all'accorcars dell'ntervallo d ntegrazone; noltre, dal oento che la precsone nell'operare calcol è, n un coputer, ltata da un nuero asso d cfre decal, quando l'ntervallo d ntegrazone è olto breve auentano gl error d arrotondaento. L'andaento degl error d troncaento e d arrotondaento è rportato n fgura.3. Coe conseguenza, l'ntervallo deale è la soluzone d coproesso tra fattor ctat. 18

10 cobnat troncatura arrotondaento passo d'ntegrazone, t Fgura.3 Error dovut alla troncatura e all'arrotondaento nell'ntegrazone nuerca effettuata al coputer. Integrazon nuerche stabl ed accurate rchedono che la varazone delle varabl d stato sa pccola nell'ntervallo d ntegrazone. Una regola couneente accettata è che t non sa aggore da un quarto ad un qunto del pù pccolo coeffcente teporale del sstea. Il coeffcente teporale d un processo è dato dal recproco del tasso caratterstco d varazone. Ad esepo, se l tasso relatvo d crescta d un organso è 0.5 g g -1, l coeffcente teporale è 1/0.5=4 gorn; l'ntervallo d'ntegrazone dovrebbe qund essere tra 0.8 e 1 gorno. Se l contenuto d'acqua del suolo può cabare d 30 senza coportare alcun effetto sulla panta, e se un tasso tpco d evapotrasprazone è 5 g -1, l coeffcente teporale può essere stato coe 30/5=6 gorn; l'ntervallo d'ntegrazone dovrebbe qund varare tra 1. e 1.5 gorn. I process portant nel defnre la crescta d una panta possono copletars n tep d llsecond per reazon a lvello olecolare o d gorn o settane per process a lvello d organo, creando qund proble nel defnre l'ntervallo d'ntegrazone approprato. Questo problea è stato dscusso da Pennng de Vres e van Laar (198). Tass d crescta tpc coe 0.5 kg d -1 s traducono n ntervall d'ntegrazone d un gorno, qund 150 pass d'ntegrazone perettono d sulare un cclo d crescta d 150 gorn. Tuttava, process deternat da varabl guda coe quelle eteorologche (teperatura, radazone ecc.) presentano fluttuazon che sono eglo rappresentate da pass d'ntegrazone d un'ora, facendo qund dventare 4*150=3600 pass d'ntegrazone necessar per sulare l cclo d cu s accennava. Se nell'abto d un odello per coltura s desdera ntrodurre un aggor dettaglo, coe ad esepo se s vuol ncorporare la rsposta al contenuto d'acqua relatvo d crescta e attvtà stoatca, l'ntervallo d'ntegrazone dovrebbe essere ancor pù breve. Quest process reagscono a varazon d poch punt percentual nel contenuto d'acqua delle pante, per esepo del 4%. Se l contenuto d'acqua d una coltura è 5 kg - e l tasso d trasprazone è 0.5 kg - 19

11 ora -1, l coeffcente teporale relatvo ad un cabaento del contenuto drco del 4% è uguale a 0.04*5 kg - / 0.5 kg - ora -1 =0.4 ore. L'ntervallo d ntegrazone rchesto è qund da 0.08 a 0.1 ore. Il nuero d pass d'ntegrazone rchest per sulare un cclo d 150 gorn dventa qund 10*4*150=36000, nuero che rende certaente non pratco quest'ntervallo d'ntegrazone per olt odell per colture. Il problea d ntervall d'ntegrazone d dversa apezza n dvers lvell d organzzazone può essere rsolto con tre approcc dfferent. Il pro è seplceente quello d ntegrare con l'ntervallo pù breve tutt process, auentando l tepo rchesto senza peraltro guadagnare olto n tern d precsone relatvaente a process che peretterebbero t pù lungh. Un secondo approcco può essere quello d avere tep varabl, a può causare confusone nella defnzone de codc del odello. Una terza possbltà, che può trovare applcazone n olt cas, è quello d calcolare, per la varable d stato che rchede l'ntervallo d'ntegrazone pù breve, l suo valore d'equlbro durante l'ntervallo d'ntegrazone del resto del odello. Nell'esepo che vene d seguto llustrato, assuao che l contenuto d'acqua della panta è lo stesso dell'ora precedente e qund l'apertura stoatca, l tasso d trasprazone dalle fogle e l'assorbento d acqua dalle radc vene calcolato con questo valore. Se l tasso calcolato dffersce, l contenuto d'acqua della panta è aggustato teratvaente ntanto che due tass dventano pressoché ugual. Questo equlbro nel contenuto d'acqua della panta è qund usato anche per l calcolo d tutte le altre varabl d tasso che rchedono questa nforazone, dventando noltre la pra sta per l passo successvo. Le tecnche teratve saranno breveente dscusse oltre n questo captolo. Integrazone con effett rcorsv Gl effett rcorsv, n nglese feedback loops o closed loops, sono caratterstche struttural d un sstea nel quale l valore d una varable d stato produce effett sulla varable d tasso, l che produce a sua volta un effetto sulla varable d stato. Quest effett rcorsv possono negatv o postv. Quando l'effetto è postvo l flusso ncreenta l valore della varable d stato e vceversa, così che le due varabl ncreentano contnuaente l loro valore fnché non s gunge ad una ltazone posta dal sstea. Questo tpo d feedback produce uno scostaento da un valore d rferento (spesso attvtà zero), generando un equlbro nstable, l che perette al sstea vvente sulato d evolvers. Gl effett rcorsv negatv tendono nvece a antenere uno status quo, resstendo alla presson dall'esterno e rportando l sstea ad una data condzone d'equlbro. Nonostante l contnuo cabaento delle condzon abental, gl organs vvent sono capac, n notevole sura, d antenere costant le loro condzon nterne. Per antenere questa stabltà, gl organs vvent fanno rferento ad una deternata condzone e coparano ad essa le condzon attual, rspondendo con utaent che tendono appunto a rportare le condzon nterne a quelle ottal. Questo processo, che perette la sopravvvenza, è essenzalente un feedback negatvo. Integrazone con dscontnutà Metod d'ntegrazone d secondo ordne o d ordne superore rchedono la valutazone della dervata pra pù d una volta durante l'ntervallo d'ntegrazone. Cò faclta l'occorrenza d proble con le varabl guda, che n genere non sono dsponbl coe varabl contnue a puttosto coe ede n un ntervallo teporale. Quando un ntervallo copre un punto d dscontnutà, l'errore nel etodo d'ntegrazone può essere notevole. A causa d questo problea, nello svluppare odell d sulazone ne qual sono present un gran nuero d 0

12 varabl guda, è coune esprere tutte le varabl guda n rapporto ad un ntervallo d'ntegrazone coune, e qund usare questo ntervallo coe t nel etodo d Eulero. Tecnche teratve Coe antcpato, le tecnche teratve sono utl nel defnre l valore d varabl d stato l cu coeffcente teporale è pù pccolo dell'ntervallo d'ntegrazone del odello. L'obettvo dell'terazone è quello d trovare un valore per la varable d stato che soddsf l blanco tra flusso n entrata, flusso n uscta e varazone della varable d stato n presenza d un effetto negatvo rcorsvo che controlla l tasso d varazone. Per llustrare questo concetto, consderao l problea d deternare lo stato del contenuto drco della panta, qu rappresentato dal potenzale drco della fogla (ψ f ), ad un tepo t. Questa varable ha un coeffcente teporale olto pccolo, per cu è necessaro deternare un valor che blanc l prelevo d acqua della panta (U) e la sua trasprazone (T), per ogn passo d'ntegrazone. Una sta d U può essere ottenuta dalla seguente equazone: U ( ψ ψ ) R = [.13] S f / dove ψ S è l potenzale drco dello strato d suolo nteressato dalle radc ed R è la resstenza della panta al flusso del lqudo. La trasprazone della panta è una funzone sa d fattor eteorologc, che saranno dscuss ne pross captol, sa della resstenza stoatca (r S ) caratterstca della spece n esae. Qund, assuendo gl altr fattor costant durante l'ntervallo d ntegrazone, la trasprazone (T) può essere espressa coe funzone della sola r S ; usereo la notazone T(r S ) per ndcare questa dpendenza. Dal oento che deve essere rspettata la condzone U=T, l'equazone [.13] può essere scrtta coe: ψ = ψ T( r )R [.14] f S Una ulterore coplcazone è data dal fatto che r S non ha una dpendenza lneare da ψ f, scché l'equazone [.13] può essere rscrtta coe: S ψ f = ψ T( ψ )R [.15] S f L'equazone [.15] non è qund lneare, con ψ f che appare sa nel terne d snstra sa n quello d destra dell'equazone. Dal oento che non è seplce rsolvere l'equazone rspetto a ψ f, d può ndvduare una soluzone nuerca che rsolva teratvaente l'equazone [.15]. In partcolare s deterna l valore d ψ f che eguagl a zero l terne a snstra nell'equazone [.16], ntroducendo un errore accettable: ( ψ ) R ψ = 0 ψ T [.16] S f Durante l'ntervallo d'ntegrazone ψ S vene antenuto costante e defnto attraverso l'terazone che defnsce pra ψ f, qund U ed nfne ψ S. Il valore d partenza d ψ S è quello del passo d'ntegrazone precedente. f 1

13 Esstono dverse procedure nuerche per deternare gl zer d funzon contnue, tra qual quello della bsettrce e quello d Newton sono tra pù utlzzat. La descrzone d quest ed altr etod non sarà trattata n queste note; può essere esanata n test d etod nuerc.