LA CARTA DI SMITH... 2 Introduzione... 2 Visualizzazione di z N, di y N e di ρ L... 6 Visualizzazione dei valori di tensione e corrente in assenza di

Transcript

1 Appnt d amp lttromagntc aptolo 8 part II n d trasmsson A ARTA DI SMITH... 2 Introdon... 2 Vsalaon d, d y d... 6 Vsalaon d valor d tnson corrnt n assna d prdt... 7 alcolo dl ROS... 9 ESERII UMERII SUA ARTA DI SMITH... 0 ) Dtrmnaon d a partr da... 0 Ossrvaon... 2) Dtrmnaon d a partr da... 3) Dtrmnaon d a partr da... Ossrvaon: prodctà (λ/2) dlla carta d Smth... 5 Ossrvaon: tltà dl conctto d mpdna d ngrsso ) Dtrmnaon d a partr da ) Dtrmnaon d a partr da ) Dtrmnaon d a partr da ) Dtrmnaon d a partr da ) Dtrmnaon d not ch sano l ROS d l mnmo d tnson... 2 Ossrvaon sl R.O.S

2 Appnt d amp Elttromagntc aptolo 8 a carta d Smth Introdon Voglamo adsso dscrvr no strmnto ch, nl sgto d nostr dscors, s rvlrà partcolarmnt tl nlla rsolon dgl src, n qanto mtt n rapdo collgamnto alcn dll grand pù mportat fnora ntrodott a proposto dll ln d trasmsson: n partcolar, c rframo all mpdn (d ngrsso d carco) rlatv alla lna d al coffcnt d rflsson. Il pnto d partna sono smpr l qaon dll ln d trasmsson: n prsna d prdt, s tratta dl sstma V() V V I() γ γ + V r γ Vr Rcordandoc ch l coffcnt d rflsson sl carco è stato dfnto com V V, possamo scrvr ql sstma anch nlla forma r V() V V I() γ γ γ ( + ) γ γ ( ) Slla bas d qsto sstma, abbamo dtto ch s dfnsc mpdna d ngrsso, n corrspondna dlla gnrca son dlla lna, la qanttà V() () I() γ γ + γ γ + 2γ 2γ S dfnsc nvc mpdna d ngrsso normalata l rapporto tra l mpdna d ngrsso l mpdna carattrstca dlla lna: () () γ γ + γ γ + 2γ 2γ S dfnsc, noltr, coffcnt d rflsson sll mpdna d ngrsso normalata la qanttà sgnt: ( ) ( j ) j ( 2 ) ( 2 ) γ α β α β α ( ) cos β jsn β Ator: Sandro Ptrll 2

3 n d trasmsson (part II): la carta d Smth.B. S ossrva mmdatamnt ch, n assna d prdt, ossa pr α0, j2β rslta ( ) : n bas a qsta rlaon, ha modlo costant par al modlo d, mntr la fas è 2β, ossa prsnta na dpndna (d natra prodca) dalla dstana dal carco alla qal c ponamo. Qnd, n na lna sna prdt, l coffcnt d rflsson () ha modlo costant (par al modlo d ), mntr la fas vara al varar dlla dstana dal carco. In bas a qsta dfnon, l mpdna d ngrsso normalata s pò sprmr com, vcvrsa, s pò anch scrvr ch + + Esprmamo sa sa, ch sono nmr, n gnral, complss, n notaon cartsana, ossa com somma d na part ral d na part mmagnara: abbamo qalcosa dl tpo + r + jx + + proponamo d samnar qal lgam ntrcorr tra l grand (ttt ral) r, x, v, al fn, vdntmnt, d lgar tra loro, a lvllo grafco, l grand (complss). Ad smpo, s prndamo l sprsson d l andamo a sosttr nll sprsson d, ottnamo ( ) + + r + jx + ( ) Raonalando l dnomnator dlla fraon, ottnamo ch r + jx [ + ( + ) ] ( + ) 2 2 ( ) + v [ ] Facndo calcol sl nmrator, s ottn faclmnt ch 3 Ator: Sandro Ptrll

4 Appnt d amp Elttromagntc aptolo 8 r x ( ) ( ) v v 2v v Possamo adsso far qalch calcolo al fn d vdnar com qst d rlaon rapprsntano, n raltà, d crconfrn nll coordnat v: nfatt, comncamo a lmnar dnomnator, ottnndo [( ) ] 2 2 ( ) + v r v [ ] v x 2v Esgndo prodott a prmo mmbro, ottnamo r + r 2r + rv v 2 2 x + x 2x + xv 2v Raggrppamo a scondo mmbro trmn ch dpndono solo da r /o da x: Raggrppamo ora trmn comn: v + r 2r + rv r 2 2 x 2x + xv 2v x ( ) ( ) r + + r v 2r r 2 2 x + xv 2x 2v x a prma qaon rapprsnta, nl pano (,v), na crconfrna d cntro r r +, 0 d raggo r + ; la sconda qaon, nvc, rapprsnta, smpr nl pano (,v), na crconfrna d cntro, d raggo x x. atralmnt, al varar d valor assnt da r da x, ossa al varar dll mpdna d ngrsso normalata r+jx, è possbl avr crconfrn dvrs. Allora, prndamo n pano cartsano (,v) rapprsntamo tal crconfrn al varar d r d x. Pr qanto rgarda la prma crconfrna, ch dpnd solo da r, abbamo qanto sg: Ator: Sandro Ptrll 4

5 n d trasmsson (part II): la carta d Smth r0 r r2 Pr qanto rgarda, nvc, l altra crconfrna, ch dpnd solo da x, abbamo qanto sg: x0.5 x x2 x-0.5 x- x-2 Mttndo nsm d grafc ottnamo qanto sg: x0.5 x x2 x0 r0 r x-0.5 x- x-2 5 Ator: Sandro Ptrll

6 Appnt d amp Elttromagntc aptolo 8 ò ch s nota sbto è ch ttt crch passano pr l pnto (,0). Il grafco appna ottnto prnd l nom d carta d Smth. Al fn d mostrarn l tltà, possamo ltrormnt prfonarla. In prmo logo, vdnamo la crconfrna d raggo par ad, ch po corrspond alla crconfrna ch s ottn pr r0: x0.5 x2 r0 r0.5 r x0 x-0.5 x-2 Qsta crconfrna contn ttt qant l altr vn normalmnt gradata sa n grad ( qal rapprsntato la fas θ dl coffcnt d rflsson ) sa anch n fraon d lngh d onda (ch rapprsntano, nvc, la dstana dal carco oppr qlla dal gnrator a sconda dl vrso scondo c s lgg la scala). Vsalaon d, d y d Una prma mmdata ossrvaon slla carta d Smth è la sgnt: l pnto P d ntrson tra na dll crconfrn ch s ottngono al varar d r (part ral dll mpdna d ngrsso normalata) na d qll ch s ottngono al varar d x (coffcnt dlla part mmagnara dll mpdna d ngrsso normalata) ndvda vdntmnt n prcso valor dll mpdna d ngrsso normalata r + jx, ossa è rapprsntatvo d tal mpdna. Qnd, s conoscamo l mpdna d ngrsso dlla lna, n corrspondna d na crta son, conoscamo l mpdna carattrstca dlla lna stssa, possamo calcolar possamo assocar a tal mpdna n prcso pnto P slla carta d Smth. Ator: Sandro Ptrll 6

7 n d trasmsson (part II): la carta d Smth S po namo qsto pnto P con l orgn O dgl ass, ottnamo n vttor OP ch rapprsnta l coffcnt d rflsson sll mpdna d ngrsso normalata 2γ. Qsto sgnfca ch la carta d Smth consnt, tra l altr cos, d passar mmdatamnt dal coffcnt d rflsson alla mpdna vcvrsa. Oltr alla mpdna d ngrsso normalata, è possbl anch rcavar l so rcproco, ossa l ammttna normalata y : vdamo com s fa. Abbamo prma vsto ch l mpdna d ngrsso normalata l coffcnt d rflsson s d ssa valgono rspttvamnt + r + jx ammttna d ngrsso è allora y Dall sprsson d y d s ossrva ch, s sosttamo formalmnt con -, ottnamo propro l sprsson d. Essndo n nmro complsso, sosttrlo con - qval smplcmnt a rotar l vttor rapprsntatvo d nlla carta d Smth d 80 ; ddcamo allora ch l ammttna d ngrsso normalata s ottn rotando l pnto rapprsntatvo d d 80 slla carta d Smth. y Qnd, la carta d Smth pò ssr sata sa com carta dll mpdn sa com carta dll ammttn. Tocca smplcmnt a no stablr s, slla carta, lggamo l mpdn oppr l ammttn. Vsalaon d valor d tnson corrnt n assna d prdt Un altra possbltà fornta dalla carta d Smth è qlla d stdar, pr va grafca, l varaon d ampa dlla tnson dlla corrnt lngo la lna d trasmsson consdrata. In partcolar, qsto stdo rslta abbastana smplfcato qando la lna non prsnta prdt. Vdamo prché. 7 Ator: Sandro Ptrll

8 Appnt d amp Elttromagntc aptolo 8 Intanto, rcordando ch, n prsna d prdt, valgono l rlaon gnral V() V V I() γ γ ( + ) γ γ ( ) è charo ch l amp d tnson corrnt sono γ V() V + V γ I() γ γ Inoltr, rcordando ch 2γ, possamo anch scrvr ch V() V V γ I() γ 2γ γ ( + ) V ( + ) 2γ V γ ( ) ( ) ll pots d assna prdt, la part ral d γ, coè la costant d attnaon, val 0, pr c l trmn jβ è pramnt mmagnaro d l so modlo val : qnd qll rlaon s rdcono a V() V + V I() Rportamo qst rlaon slla carta d Smth: sa A l pnto rapprsntatvo d sa B qllo d - ; sa noltr P l pnto (-,0) slla carta: allora, con ovv consdraon gomtrch ddcamo ch l vttor ch ha modlo + è qllo ch congng P con A, mntr qllo ch congng P con B ha modlo. A P + B Ator: Sandro Ptrll 8

9 n d trasmsson (part II): la carta d Smth In dfntva, noto l pnto A, ossa noto l valor dll mpdna d ngrsso normalata oppr dl coffcnt d rflsson s d ssa, samo n grado d conoscr sa l valor d +, dal qal rsalamo al modlo dlla tnson mdant la rlaon V( ) V +, sa l valor d, dal qal rsalamo al V modlo dlla corrnt mdant la rlaon I( ). alcolo dl ROS Un ltror carattrstca pr la qal è tl la carta d Smth è l calcolo dl rapporto d onda staonaro, ch abbamo dfnto com VMAX ROS V MI V V + V r V r + Infatt, consdramo la fgra sgnt: A P + B onfrontamo l sgnt d rlaon: + ROS + S nota ch, facndo rotar pnt A B ntramb n snso oraro, fno a farl allnar con l ass orontal, l ROS è fornto dalla mpdna normalata nl pnto n c è gal al so modlo, ossa ch l valor nmrco dl ROS pò ssr ltto slla scala dll rsstn a dstra dll orgn O. Ttt conctt spost fno ad ora saranno adsso chart mdant dgl smp nmrc. 9 Ator: Sandro Ptrll

10 Appnt d amp Elttromagntc aptolo 8 Esrc nmrc slllla carta d Smth ) Dtrmnaon d a partr da Sa data na lna d trasmsson con mpdna carattrstca nota chsa s d n carco d mpdna. alcolar l coffcnt d rflsson sl carco. Pr prma cosa, rcordamo ch l mpdna non è altro ch l mpdna d ngrsso calcolata pr 0, coè n corrspondna dlla son d carco: qsto lo s capsc sa n modo nttvo, consdrando la dfnon data d mpdna d ngrsso, sa anch n modo pù analtco, n bas alla rlaon cos( β) + j cos( β) + j sn( β) sn( β) D consgna, è charo ch possamo sar la carta d Smth anch con rfrmnto all mpdna d carco. Rcordando ch la carta d Smth s rfrsc all mpdna normalata, l prmo passo consst nl calcolar l valor dlla mpdna d carco normalata: la rlaon da applcar è smplcmnt, Sccssvamnt, bsogna sparar, com somma d na part ral d na mmagnara: r + jx,,, Il pnto P ch, slla carta d Smth, rapprsnta, è qllo d ntrson tra la crconfrna ch s ottn pr r r, qlla ch s ottn pr x x,. x,, r, Qsto pnto P, nto con l orgn O, fornsc n vttor OP ch rapprsnta propro : la proon d qsto vttor sll ass dll ascss dà vdntmnt la part ral d, mntr la proon sll ass dll ordnat dà l coffcnt Ator: Sandro Ptrll 0

11 n d trasmsson (part II): la carta d Smth dlla part mmagnara. In altrnatva, la lngha dl vttor dà l modlo d, mntr l angolo ch sso forma con l ass dll ascss (msrato n vrso antoraro) dà la sa fas (ch, rcordamo, rapprsnta lo sfasamnto tra l onda d tnson rflssa qlla drtta). Ossrvaon In qsto srco, abbamo rcavato l valor dl coffcnt d rflsson sl carco a partr dal valor dll mpdna d carco. E ovvo ch, noto, samo anch n grado d calcolar l coffcnt d rflsson d qalsas 2γ mpdna normalata: basta sar la rlaon, la qal dà l coffcnt d rflsson n corrspondna d na gnrca dstana dal carco. Pr smpo, l coffcnt d rflsson a dstana dal carco sarà 2γ 2) Dtrmnaon d a partr da Sa data na lna d trasmsson d mpdna carattrstca nota. onoscndo l valor d, calcolar l mpdna d carco. S tratta dll srco nvrso al prcdnt. Intanto, conoscr l valor dl coffcnt d rflsson sl carco sgnfca conoscrn modlo fas, pr c samo sbto n grado d ndvdar l pnto P corrspondnt slla carta d Smth. Qsto pnto P è anch qllo rapprsntatvo dll mpdna d carco normalata, ch sarà nlla forma r + jx,,, I d coffcnt r, x, s trovano nl modo sgnt: la part ral r, è qlla c corrspond l nca crconfrna, varabl con r, ch passa pr P; l coffcnt dlla part mmagnara x, è nvc qllo c corrspond l nca crconfrna, varabl con x, ch passa pr P. Indvdat qst d crconfrn, ossa trovato l valor d,, c calcolamo l valor d smplcmnt moltplcando pr l valor dll mpdna carattrstca. 3) Dtrmnaon d a partr da Sa data na lna sna prdt, con mpdna carattrstca 300( ohm ), chsa s n carco 80 + j240( ohm), a lngha d onda λ 2( mtr ). alcolar l valor dll mpdna d ngrsso a dstana ( mtr) dal carco. Ator: Sandro Ptrll

12 Appnt d amp Elttromagntc aptolo 8 Qsto srco pò ssr rsolto n var mod, sa pr va analtca sa pr va grafca: pr qanto rgarda la va analtca, abbamo gà samnato n prcdna n mtodo abbastana comodo ch sfrtta la cosddtta matrc ABD dlla lna; c è po anch n altra strada analtca, ch s basa slla dfnon d coffcnt d rflsson ; pr qanto rgarda, nvc, la va grafca, s tratta vdntmnt d tlar la carta d Smth. omncamo dalla va analtca ch s basa sll mpgo dl coffcnt d rflsson. Il prmo passo è qllo d calcolar l mpdna d carco normalata: OAD j0. 8 Sccssvamnt, calcolamo l coffcnt d rflsson sl carco: j j0. 8 oto qsto coffcnt, possamo calcolar l coffcnt d rflsson a dstana dal carco: 2γ j2β j2β [ ] [ ]... ( ) Infn, noto qsto coffcnt, possamo calcolarc l mpdna d ngrsso normalata, a dstana dal carco, mdant la formla ( ) + ( ) ng ( ) ng ( ) + dnormalando ( ) ng,, ( ) ( ) Qsto è dnq l procdmnto analtco mglor pr rsolvr l srco. Adsso faccamo vdr com gran part d ttt qst passagg analtc possa ssr ffttata mdant la carta d Smth. Il calcolo dll mpdna d carco normalata va fatto comnq, vsto ch la carta d Smth val solo pr l mpdn (o l ammttn) normalat, pr c partamo dal valor d. Indvdamo l pnto P rapprsntatvo d r + jx j08., ossa l ntrson tra la crconfrna pr r0.6 qlla pr x0.8. ongngndo P con l orgn O dlla carta d Smth, ottnamo n vttor OP ch rapprsnta, sa n modlo sa n fas, l coffcnt d rflsson : l modlo d OP s msra smplcmnt con n rghllo (oppr mdant na apposta scala collocata gnralmnt slla part nfror dlla carta d Smth), mntr la fas d OP pò ssr sa ltta col gonomtro (sarbb l angolo ch OP forma con l ass dll ascss) sa mdant la scala gradata strna (basta prolngar OP fno ad ntrscar la scala stssa lggr l valor corrspondnt all ntrson). Ator: Sandro Ptrll 2

13 n d trasmsson (part II): la carta d Smth xx P rr A qsto pnto, consdrando ch la lna è sna prdt (coè αr(γ)0), j2β sappamo ch val la rlaon, n bas alla qal l modlo d ( ) concd con qllo d, mntr è ncognta (pr c va calcolata) la fas d ( ). Smpr n bas alla sddtta rlaon, qsta fas è lgata a qlla d dalla rlaon sgnt: π π ( ) β λ λ Qnd, rplogando, possamo affrmar qanto sg: partndo dal pnto P, s c movamo, n snso oraro, lngo la crconfrna d cntro O raggo OP, ottnamo valor d () n corrspondna d dstan crscnt dal carco; n partcolar, l modlo d () rman costant par al modlo d, mntr la fas vara proporonalmnt a scondo n coffcnt 2β(4π/λ) Partndo dnq da P d ffttando na rotaon n snso oraro d n angolo d valor 4π λ (da lggr, sll opportna scala gradata, sa n trmn d grad sa n trmn d fraon d lngha d onda), ottnamo l pnto Q rapprsntatvo d ng ( ). P rotaon n vrso oraro (vrso l gnrator) Q rr ng xx ng 3 Ator: Sandro Ptrll

14 Appnt d amp Elttromagntc aptolo 8 A qsto pnto, l pnto Q è ndvdato da na crconfrna pr r rng ( ) da na pr x x ng ( ), dal ch ddcamo ch ng ( ) rng ( ) + jx ng ( ). Da n pnto d vsta opratvo, dobbamo dnq scglr s valtar la rotaon 4π λ n trmn d grad oppr n trmn d fraon d lngha d onda. In trmn d grad, la cosa è mmdata, n qanto basta sar n rghllo oppr l apposta scala gradata d c la carta d Smth è fornta. Vdamo prcò l procdmnto da sgr nl caso s vogla tlar la scala gradata n fnon d lngh d onda. a prma cosa da far è lggr, slla sddtta scala, l valor corrspondnt al carco: pr far qsto, basta prolngar l sgmnto OP fno ad ntrscar la scala lggr l valor nl pnto d ntrson. l caso ch stamo samnando, s lgg l valor l 026 λ.. Qsto è dnq l valor n corrspondna dlla son d carco; n corrspondna, nvc, dlla dstana 0.375m dal carco, l valor da lggr è charamnt λ Allora, sommando l , ottnamo l valor l 2 / λ slla scala gradata λ λ ch corrspondrà alla poson dl coffcnt d rflsson a dstana dal carco (faccamo anch ossrvar ch qsto valor l 2 / λ dv ssr par a 2β, l ch c consntrbb d rcavar l valor d β) P rotaon n snso oraro d Q In altr parol, congngndo l orgn O con l pnto slla scala gradata (qlla vrso l gnrator), ottnamo l sgmnto sl qal gac. Avndo po dtto ch l modlo d è costant par a, ddcamo ch l pnto Q rapprsntatvo d () corrspond all ntrson dl sddtto sgmnto con la crconfrna prma traccata d cntro O raggo OP. Una volta trovato Q, samo n grado d trovar, così com fatto nll srco nmro 2, la part ral qlla mmagnara dll mpdna d ngrsso n corrspondna dlla dstana dal carco: cò ch s trova è r.4 x-.2, pr c l mpdna d ngrsso a dstana mtr dal carco è Ator: Sandro Ptrll 4

15 n d trasmsson (part II): la carta d Smth ( ) dnormalando ( ) r ( ) + jx ( ) ( ) ( ) * 4. j2. * 300 ng ng ng ng Ossrvaon:: prodctà ((λ/2)) dlllla carta d Smth Abbamo dtto ch prma ch la fas dl coffcnt d rflsson sl carco è lgata alla fas dl coffcnt d rflsson () nlla gnrca son dalla rlaon π π ( ) β λ λ Qsta formla dc ch, allontanandoc dal carco d na dstana, la rotaon dl coffcnt d rotaon val 4π/λ. Allora, spponamo d allontanarc dal carco d na dstana λ/2: andando a sosttr, ottnamo ch λ 2π 2 Abbamo coè trovato ch, a dstana λ/2 dal carco, la fas dl coffcnt d rflsson non camba ( non camba nmmno l modlo vsto ch samo nll pots d assna d prdt). In altr parol, allontanandoc dal carco d na qanttà mltpla ntra d λ/2, vdamo smpr la stssa mpdna d ngrsso (par a qlla d carco), ossa ossrvamo na rotaon complta dl coffcnt d rflsson. Pr qsto motvo s dc ch la carta d Smth è prodca d prodo λ/2. Ossrvaon:: tlltà dll conctto d mpdna d ngrsso Voglamo adsso far vdr qal possa ssr l tltà dl conctto d mpdna d ngrsso prsntata da na lna d na crta lngha l. Spponamo d avr n gnrator d tnson snsodal V g, dotato d mpdna ntrna g, ch almnta n carco OAD mdant na lna d trasmsson d lngha l : g son A V g + - ass 0 Voglamo calcolar l andamnto V() dlla tnson I() dlla corrnt lngo la lna. Il prmo passo è qllo d andar a calcolar la tnson nlla son ndcata con A nlla fgra prcdnt; pr far qsto, dobbamo smplcmnt costrr rsolvr l crcto qvalnt concntrato rapprsntato nlla fgra sgnt: 5 Ator: Sandro Ptrll

16 Appnt d amp Elttromagntc aptolo 8 g V g + - ng In qsto crcto, ng è l mpdna d ngrsso calcolata prma, la qal rapprsnta l nsm dlla lna d lngha l dl carco OAD vro propro. Qsto crcto s rsolv con mtod tradonal dll lttrotcnca: la tnson a cap d ng, ossa la tnson alla son A, è V A ng V I VA g A + ng g ng ng V g + g A qsto pnto, c rcordamo ch l andamnto dlla tnson dlla corrnt lngo la lna è dato, n lna dl ttto gnral, dalla solon dll qaon d tlgrafst: γ γ V() V + Vr V γ Vr γ I() In qst sprsson, è l mpdna carattrstca dlla lna. Inoltr, n assna d prdt, rslta γjβ. S mttamo n vdna, sa nll sprsson d V() sa n qlla d I(), l γ trmn V (coè l onda drtta), ottnamo γ Vr V V V 2γ V γ 2γ V γ ( ) ( ) γ Vr I V ( ) V 2γ V γ ( ) ( ) ( ) ( ) In bas a qst qaon, ssndo noto d ssndo prcò nota la lgg 2γ ( ), ttto sta a calcolar V. Il calcolo d qsta ampa s fftta a partr dal valor d V A calcolato prma: nfatt, V A è la tnson V() calcolata n l, pr c abbamo ch Andando a sosttr, ottnamo ( + ( l) ) γl V( l) VA V V γ l V A ( + ( l) ) Ator: Sandro Ptrll 6

17 n d trasmsson (part II): la carta d Smth ( ) V( ) + V + ( l) ( ) VA I( ) + ( l) A 4) Dtrmnaon d a partr da Sa data na lna sna prdt, con mpdna carattrstca 300( ohm ), chsa s n carco gnoto, a lngha d onda λ 2( mtr ). alcolar l valor dll mpdna d carco sapndo ch l mpdna d ngrsso, a dstana ( mtr) dal carco, val 420 j360( ohm). S tratta vdntmnt dll srco nvrso al prcdnt, pr c l consdraon da far sono l stss. In prmo logo, c calcolamo l valor dll mpdna d ngrsso normalata:, 4. j2. ( ohm) Il pnto P rapprsntatvo d qsta mpdna è qllo d ntrson tra la crconfrna ch s ottn pr r.4 qlla ch s ottn pr x-.2. Unto qsto pnto con l orgn, ottnamo l vttor OP rapprsntatvo dl coffcnt d rflsson () n corrspondna dlla dstana dal carco. Prolngando l vttor fno ad ntrscar la scala gradata strna (smpr qlla vrso l gnrator), lggamo l valor l λ.. A qsto valor, s sottraamo λ , ottnamo fno a qanto dv rotar l vttor OP, n snso qsta volta antoraro, pr darc la nova poson dl coffcnt d rflsson, qlla corrspondnt al carco : cò ch s ottn è l λ.. Indvdando allora l valor 0.26 slla scala congngndolo con l orgn, ottnamo la dron s c gac ; avndo spposto la lna sna prdt, l modlo d è par a qllo d, pr c basta pntar l compasso n O, traccar la crconfrna d raggo OP ntrscar l sgmnto appna traccato pr ndvdar l pnto Q rapprsntatvo d. Qsto pnto Q è anch rapprsntatvo d,: nfatt, la part ral d tal mpdna è qlla c corrspond l nca crconfrna, con r varabl, passant pr Q, mntr l coffcnt dlla part mmagnara è qllo c corrspond l nca crconfrna, con x varabl, passant smpr pr Q. ò ch s ottn è, j0. 8. ota l mpdna d carco normalata, basta moltplcarla pr l mpdna carattrstca pr ottnr l mpdna d carco ral. 7 Ator: Sandro Ptrll

18 Appnt d amp Elttromagntc aptolo 8 5) Dtrmnaon d a partr da Sa data na lna sna prdt, con mpdna carattrstca 300( ohm ), chsa s n carco gnoto, a lngha d onda λ 2( mtr ). Sapndo ch l mpdna d ngrsso dlla lna val 420 j360( ohm), calcolar la lngha dlla lna stssa. Anch qsto srco è analogo a d prcdnt: conoscamo l valor dll mpdna d carco conoscamo l mpdna d ngrsso dlla lna a dstana dal carco. Voglamo calcolar. Pr prma cosa, normalamo sa l mpdna d carco sa qlla d ngrsso, al fn d potrl rportar slla carta d Smth: sano prcò P Q rspttv pnt rapprsntatv. ongngndo P Q con l orgn, abbamo vttor OP OQ rapprsntatv, rspttvamnt, dl coffcnt d rflsson sl carco dl coffcnt d rflsson a dstana. Prolngando d vttor fno ad ntrscar la scala gradata strna (smpr vrso l gnrator) lggamo rspttvamnt valor l λ. l λ.. a dffrna tra qst d valor ndca qanto val la rotaon, ossa l l 2 λ λ λ Da q ottnamo nfn ch λ ( mtr). 6) Dtrmnaon d a partr da Sa data na lna con prdt, con mpdna carattrstca 300( ohm ), chsa s n carco 80 + j240( ohm), a lngha d onda λ 2( mtr ). alcolar l valor dll mpdna d ngrsso a dstana ( mtr) dal carco, sapndo anch ch la costant d attnaon val α 0. 08( db / mtro ) Qsto srco è dntco al nmro 3, salvo pr l fatto ch, n qsto caso, la lna prsnta dll prdt, com tstmonato dal valor non nllo dlla costant d attnaon α. a rsolon, qnd, è analoga a qlla dll srco 3, salvo a consdrar l prdt. Pr prma cosa, normalamo l valor dll mpdna d carco:, j0. 8 Il pnto P d ntrson tra la crconfrna pr r0.6 qlla pr x0.8 è l pnto rapprsntatvo d,. Invc, l vttor OP è qllo ch c fornsc l valor d (coffcnt d rflsson sl carco). Prolngando qsto vttor fno ad ntrscar la scala gradata strna (qlla vrso l gnrator), lggamo l valor l 026 λ.. Ator: Sandro Ptrll 8

19 n d trasmsson (part II): la carta d Smth A qsto pnto, dobbamo dtrmnar sa d qanto rota l vttor OP pr darc la nova poson dl coffcnt d rflsson (ch ora dvnta ) sa d qanto camba l so modlo n consgna dll prdt. omncamo dalla rotaon, n qanto l dscorso è analogo a qllo d ttt gl src prcdnt: n corrspondna dlla dstana (ohm), ottnamo n valor, slla scala gradata, par a λ Dov s trova qsto valor? Ossrvando propro la scala gradata, s nota com ssa parta dal valor nal 0, dopo n gro complto, trmn al valor 0.5. ò sgnfca ch l valor 0 s ottrrà dopo 20 rotaon complt ch, qnd, l valor sarà n corrspondna d Allora, la nova poson dl coffcnt d rflsson sarà data da l 2 l λ λ λ tto qsto valor slla scala congntolo con l orgn, ottnamo la dron slla qal gacrà l coffcnt d rflsson a dstana mtr dal carco: abbamo coè ndvdato la fas d. Rsta da vdr qanto è lngo l vttor rapprsntatvo d, ossa qanto val l so modlo. l caso dlla mancana d prdt, l modlo ra costant par a, pr c ra mmdato rcavars l vttor fnal. Al contraro, dobbamo q consdrar l j2γ prdt. In bas alla rlaon, ssndo γα+jβ, s ddc ch 2α rflsson è, pr c, a dstana dal carco, l modlo dl coffcnt d Faccamo calcol: ntanto s ha ch Passando da db a pr, ottnamo qnd. 2*0.88 2α db α ( mtr). 63( db) mtro pr α. 63( db) * ( pr) db srv l valor dl modlo d : qsto lo s ottn sll apposta scala gradata sstmata n basso a dstra slla carta d Smth: prolngando l pnto P s tal scala, s lgg 0. 48, pr c 2* Smpr slla stssa scala d prma, andamo a lggr qsto valor mandamo la vrtcal passant pr sso: qsta vrtcal ntrsca l sgmnto ch c dà la dron d n n pnto Q, pr c è rapprsntato dal vttor OQ. 9 Ator: Sandro Ptrll

20 Appnt d amp Elttromagntc aptolo 8 Infn, noto l coffcnt d rflsson a dstana, samo n grado d calcolar qanto val l mpdna d ngrsso normalata a tal dstana dal carco qnd qanto val la rchsta P rotaon n snso oraro d Q Il rsltato fnal è 420 j26( ohm). 7) Dtrmnaon d a partr da Sa data na lna sna prdt, con mpdna carattrstca 300( ohm ), chsa s n carco gnoto, a lngha d onda λ 4( mtr ). alcolar l valor dll mpdna d carco sapndo ch l mpdna d ngrsso, a dstana 0. 5( mtr) dal gnrator, val 44 + j735( ohm). Qsto srco è dntco al nmro 4, salvo l fatto ch la dstana è qsta volta msrata a partr dal gnrator non pù a partr dal carco. D consgna, la rsolon è dntca a qlla dll srco nmro 4, trann pr l fatto ch, com scala gradata, dobbamo sar qlla vrso l carco non pù qlla vrso l gnrator. Il prmo passo è smpr la normalaon dll mpdna d ngrsso:, j2. 45 ( ohm) Il pnto P d ntrson tra la crconfrna ch s ottn pr r.38 qlla ch s ottn pr x2.45 è qllo rapprsntatvo d,, mntr l vttor OP è qllo ch rapprsnta l coffcnt d rflsson a dstana 0.5 (mtr). Prolngando l sddtto vttor fno ad ntrscar la scala gradata (abbamo dtto qlla vrso l carco), s lgg l valor l 0 3 λ.. Ator: Sandro Ptrll 20

21 n d trasmsson (part II): la carta d Smth Il valor dlla scala n corrspondna d na dstana dal gnrator è nvc λ Qnd, dobbamo rotar l vttor OP, n snso qsta volta antoraro, d n tratto par a 0.3, ossa dobbamo arrvar al valor l 2 l λ λ λ a dron ndvdata dall orgn da qsto valor è qlla s c s trova l coffcnt d rflsson sl carco: dato ch samo nll pots d assna d prdt, l pnto Q ch, nto all orgn, dà l vttor OQ rapprsntatvo d tal coffcnt s ottn pntando l compasso nll orgn, traccando la crconfrna d raggo OP ntrscando la dron prma ndvdata. oto l pnto Q, samo n grado d lggr slla carta valor dlla part ral dl coffcnt dlla part mmagnara dll mpdna d carco normalata: s trova, j0. 5. Moltplcando pr l mpdna carattrstca dlla lna, ottnamo. 8) Dtrmnaon d not ch sano l ROS d l mnmo d tnson Sa data na lna d trasmsson, sna prdt, d mpdna carattrstca 300( ohm) ch lavora a lngha d onda λ 0. 8 ( mtr ). Sapndo ch ROS 3 ch la dstana dal carco dl mnmo d tnson è d 0. 26( mtr), calcolar l valor dll mpdna d carco. Esamnamo prma da n pnto d vsta qaltatvo l collgamnto sstnt tra la carta d Smth, massm mnm d tnson d l valor dl ROS. Spponamo ch l pnto rapprsntatvo d na crta mpdna d ngrsso normalata, sa l pnto Q, pr c l vttor OQ è qllo rapprsntatvo dl coffcnt d rflsson. S faccamo ancora na volta l pots ch la lna sa snt da prdt, possamo vrfcar faclmnt ch l ampa dlla tnson, a dstana dal carco, è proporonal al valor d. Infatt, n assna d prdt, sappamo ch valgono l rlaon γ γ γ Vr V V V V V 2γ V γ 2γ V γ ( ) + r ( ) γ γ γ Vr I V V V ( ) V 2γ V γ ( ) r ( ) ( ) ( ) Da qst rlaon, s calcolamo l modlo d V() d I(), ottnamo ch 2 Ator: Sandro Ptrll

22 Appnt d amp Elttromagntc aptolo 8 V( ) V + ( ) V I( ) ( ) In bas a qst rlaon, tnndo conto ch V è na ampa costant al varar d, è vdnt ch V( ) ( qnd anch I( ) ) è proporonal al valor dl coffcnt. Qsto fatto pò anch ssr vdnato slla carta d Smth, com llstrato nlla fgra sgnt: Q A + Q' Da n pnto d vsta gomtrco, è mmdato vrfcar ch l vttor AQ ha modlo +, mntr l vttor AQ' ha modlo. onsdramo pr smpo AQ : da n pnto d vsta gomtrco, qsto vttor s ottn com somma dl vttor OQ dl vttor AO ; n trmn d coffcnt d rflsson, l prmo vttor è rapprsntatvo dlla qanttà complssa, mntr l scondo è rapprsntatvo dlla qanttà +j0, pr c AQ è rapprsntatvo dlla qanttà + qnd l so modlo è +. Il dscorso è ovvamnt analogo pr AQ', ch s ottn qsta volta sottrando OQ' da AO, ossa sommando OQ ad AO. Dtto qsto, è ovvo ch, s modfchamo la dstana (dal carco) alla qal c ponamo, camba l valor d () qnd camba l valor d V( ). In partcolar, l massmo valor d, c corrspond l massmo valor d V( ) d l mnmo d I ( ), s ottn qando pnt Q Q (qst ltmo è rapprsntatvo dll ammttna d ngrsso a dstana ), rotando n snso oraro (vsto ch c allontanamo dal carco), s portano ntramb sll ass dll ascss; dr ch Q s trova sll ass dll ascss qval a dr d cos: Ator: Sandro Ptrll 22

23 n d trasmsson (part II): la carta d Smth n prmo logo, l mpdna d ngrsso è na pra rsstna, vsto ch l ass dll ascss corrspond ad x0; n scondo logo, l valor dll mpdna d ngrsso è anch nmrcamnt par al coffcnt d rflsson, vsto ch qsto valor corrspond al modlo dl vttor OQ. A Q' Q Slla bas d qst consdraon, possamo concldr ch l valor nmrco dl ROS corrspond al valor nmrco dll mpdna d ngrsso normalata corrspondnt al pnto Q, ossa al valor d r n corrspondna dl qal s ottn l nca crconfrna, varabl appnto con r, ch passa pr l pnto Q. Vdamo allora com sfrttar ttto cò nl nostro srco. In prmo logo, dato ch ROS3, crchamo la crconfrna ch s ottn pr r3, n partcolar, consdramo l pnto Q n c ssa ntrsca l ass dll ascss: pntando l compasso nll orgn, traccando la crconfrna d raggo OQ ntrscando l ass dll ascss sl so ramo ngatvo, ottnamo l pnto Q ch corrspond al mnmo d tnson, mntr Q corrspond al massmo. rros3 A Q' Q Ora, n corrspondna dlla dstana d dal carco, ottnamo l valor d λ da lggr slla scala gradata strna (qlla vrso l carco): qsto valor c dà la dron s c gac l coffcnt d rflsson sl carco. Intrscando tal dron con la crconfrna traccata pr ottnr Q, ottnamo propro l pnto P rapprsntatvo dl carco: 23 Ator: Sandro Ptrll

24 Appnt d amp Elttromagntc aptolo A Q' P Q rros3 Qsto pnto P corrspond a valor r. x.3, pr c l mpdna d carco normalata val,. + j. 3 da ssa possamo rcavar. Ossrvaon sll R..O..S.. Tornamo n attmo sll rlaon V( ) V + ( ) V I( ) ( ) In bas a qst rlaon, samo n grado d calcolar l valor massmo d l valor mnmo d V( ) : s ha nfatt ch ( ) ( ) V ( ) V MAX + ( ) V( ) V MI ( ) Da q samo n grado d calcolar l valor dl ROS.: applcando la smplc dfnon, abbamo ch V( ) MAX R. O. S. V( ) MI V V ( + ( ) ) ( ( ) ) + ( ) ( ) Rcordando, nfn, ch, pr na lna sna prdt, rslta possamo concldr ch R. O. S. + ( ), In bas a qsta sprsson, ddcamo ch l ROS è n paramtro carattrstco dlla lna assgnata (vsto ch non dpnd da ) ch l so valor è Ator: Sandro Ptrll 24

25 n d trasmsson (part II): la carta d Smth nvocamnt dtrmnato na volta ch sa assgnato l valor dl carco (coè l valor d ). Qsto val, ovvamnt, nll pots d partna ch la lna sa sna prdt. Pr qanto rgarda valor nmrc dl ROS, è vdnt ch sso vara tra d nfnto: la condon ROS s ottn qando 0, ossa qando samo n condon d adattamnto; s, nvc, rslta (coè qando l carco è pramnt rattvo), allora ROS. Da q ddcamo ch l valor dl ROS dvnta ndcatvo dlla condon d adattamnto dl carco. Ator: Sandro Ptrll -mal: sandry@ol.t sto prsonal: 25 Ator: Sandro Ptrll