Simulazioni di problemi di idraulica con il metodo SPH

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1 Simulazioni di poblemi di idaulica con il metodo SPH Stefano Sibilla Dipatimento di Ingegneia Idaulica e Ambientale, Univesità degli Studi di Pavia stefano.sibilla@unipv.it Paole chiave: metodi Lagangiani in fluidodinamica, Smoothing Paticle Hydodynamics (SPH) SOMMARIO Si pesentano in questo lavoo alcune applicazioni della tecnica Lagangiana SPH (Smoothed Paticle Hydodynamics) alla simulazione di poblemi caatteistici dell idaulica. In paticolae, sono pesentate soluzioni elative a poblemi di moto vaio a supeficie libea, in cui la deteminazione automatica della supeficie libea esa possibile dallo schema Lagangiano dimosta le potenzialità del metodo SPH. ABSTRACT This pape pesents some applications of the SPH (Smoothed Paticle Hydodynamics) Lagangian technique to the simulation of typical hydaulic flows. In paticula, the esults hee epoted concen unsteady fee-suface flows, whee the automatic epoduction of the fee suface yielded by the Lagangian scheme confims the stength of the SPH method. 1. INTRODUZIONE Il metodo SPH (Smoothed Paticle Hydodynamics) è un metodo a paticelle che pemette la soluzione delle equazioni della dinamica del continuo in foma Lagangiana. Sviluppato inizialmente da Lucy [1] e da Gingold e Monaghan [2] pe simulae fenomeni non assialsimmetici in astofisica, è isultato un metodo molto efficace nella simulazione di poblemi di meccanica dei fluidi. Il metodo si basa essenzialmente sulla appesentazione del campo di moto in un sufficiente numeo di punti mobili, ciascuno appesentativo di una paticella fluida: il campo di moto nel continuo è poi ottenuto intepolando in ogni punto i valoi elativi ai singoli punti mobili, attaveso l uso di oppotune funzioni di intepolazione. Attaveso queste funzioni di intepolazione, è possibile ifomulae le equazioni del moto in foma disceta, isolvendo un sistema algebico avente come incognite le vaiabili fluidodinamiche nei punti mobili [3]. Discetizzando le equazioni del moto in foma Lagangiana, si ottiene l acceleazione delle singole paticelle fluide (a massa costante) e, da questa, la loo taiettoia. Pe sua natua, il metodo SPH si dimosta quindi paticolamente adatto a simulae coenti non-stazionaie a supeficie libea [4], non facilmente analizzabili con i tadizionali schemi Euleiani in quanto la deteminazione dei contoni del campo di moto non è agevole a pioi. Alcuni poblemi elativi a questo tipo di coenti sono stati appofonditi negli ultimi anni pesso l Univesità di Pavia: si è, ad esempio, affontato lo studio di coenti apidamente vaiate [5], di getti non stazionai inteagenti con la supeficie libea [6], di onde a fonte ipido [7] o di inteazioni ta coenti fluide e stuttue fotemente defomabili [8]. Il pesente lavoo intende iassumee bevemente le pincipali caatteistiche del metodo SPH ed illustae bevemente alcuni degli esempi applicativi sopa citati. 2. CENNI SUL METODO SPH Il metodo SPH si basa sulla discetizzazione della massa in movimento attaveso N p punti mobili, che possono essee intepetati come appesentativi di paticelle mateiali elementai. I valoi di qualsiasi vaiabile f, in un geneico punto x dello spazio a n dimensioni, sono quindi

2 ottenuti mediante un intepolazione basata sui valoi noti nei punti mobili, attaveso una funzione di intepolazione, o kenel, W ( x, h). Si ichiede che la funzione kenel sia continua, abbia valoi non nulli solo in un cechio con cento in x e aggio 2h (con h definita come smoothing length), ispetti la condizione di nomalizzazione W ( x, h) dx = 1 e tenda alla funzione delta di Diac pe h n R tendente a zeo. Dall identità f ( x ) = f( x ') δ ( x x ') dx ' si icava quindi l appossimazione SPH del valoe f (x) : m f ( x) = W ( x x, h) f ( x ) n R e del suo gadiente: m f ( x) = W ( x x, h) f ( x ) dove le sommatoie sono estese a tutte le paticelle fluide pe cui delle paticelle fluide (fissa) e la loo densità (vaiabile). Intoducendo nelle elazioni (1) e (2) la funzione costante f ( x) 1si ottiene: e m 1 = W ( x x, h) 0 = m W ( x x, h) (1) (2) x x < 2h, m è la massa Applicando le (1) e le (2), e tenendo pesente la (4) pe ottenee una foma SPH simmetica degli opeatoi gadiente e divegenza [3], è possibile ottenee l appossimazione SPH di qualsiasi sistema di equazioni alle deivate paziali. In paticolae, data la natua Lagangiana del metodo, è conveniente fomulae le equazioni di bilancio della geneica vaiabile consevativa f in foma Lagangiana in modo tale da esplicitae diettamente la deivata sostanziale, e quindi da ottenee diettamente la velocità di vaiazione della vaiabile f associata alla paticella mateiale pe cui l equazione viene isolta. Limitandosi al campo della dinamica dei fluidi, le equazioni di Navie-Stokes pe un fluido compimibile possono quindi essee iscitte in foma disceta, tasfomandosi in un sistema algebico avente come incognite i valoi delle vaiabili fluidodinamiche nei punti mobili: D i = m ( v vi ) W(xi x,h) (5) Dt Dv p p m i i = m W(xi x,h) (τ τ i ) W(xi x,h) g Dt (6) i i dove v è il vettoe velocità, p la pessione, τ il tensoe di sfozo, g l acceleazione di gavità; la foma dei temini di pessione [3] e sfozo [5], ottenuta tenendo pesente la (4), soddisfa implicitamente il pincipio di azione-eazione. (3) (4)

3 La soluzione del sistema (5-6) può essee ottenuta utilizzando divesi schemi di integazione tempoale; quello più comunemente utilizzato pevede la soluzione esplicita con sfasamento di mezzo passo tempoale ta la soluzione dell equazione della quantità di moto e quella di continuità [3]. Dalla velocità, attaveso un ulteioe integazione esplicita nel tempo, si icava la taiettoia di ogni paticella fluida. Una maggioe egolaità nei isultati numeici può essee ottenuta applicando tecniche di smoothing ai valoi calcolati isolvendo le equazioni. Detto f T il valoe della geneica vaiabile f nella paticella i ottenuto attaveso l integazione tempoale delle equazioni del moto, il valoe mediato f S al passo di tempo successivo è ottenuto attaveso la media m T f ( x ) W ( xi x, h) S T f ( xi ) = θ f ( xi ) + (1 θ ) (7) < 1i > dove <1 i > appesenta la stima SPH dell unità secondo la (3) valutata nella paticella i. I valoi del paameto di smoothing θ sono assegnati abitaiamente pe ogni vaiabile f del poblema. Gli schemi di smoothing si distinguono in XSPH [3] o dissipativi [5] a seconda che il valoe di T velocità utilizzato pe calcolae le taiettoie delle paticelle fluide sia v S o v. Pe quanto iguada lo studio dei moti incompimibili, in cui l equazione di continuità si iduce alla condizione di solenoidalità del campo di moto, è possibile adottae sia metodi di poiezione, sia assumee pe il fluido una debole compimibilità (WCSPH). Quando, come negli esempi discussi nel seguito, si utilizza uno schema pseudo-compimibile, l esigenza di non idue eccessivamente il passo di integazione tempoale imposto dalla condizione di Couant pota ad adottae un modulo di elasticità a compessione cubica infeioe a quello eale, con il vincolo che il appoto ta velocità locale e velocità (numeica) del suono sia ovunque minoe di 0.1. Pe quanto iguada infine le condizioni al contono di paete, esse possono essee assegnate o intoducendo una baiea di paticelle fisse in coispondenza della paete, o intoducendo una oppotuna foza epulsiva, o con il metodo delle paticelle immagine, in cui paticelle fittizie sono collocate al di là della paete solida, in posizione simmetica ispetto alle paticelle eali, e le loo velocità e pessioni sono assegnate in modo tale da soddisfae le condizioni al contono peviste alla paete (no-slip o fee slip, gadiente nomale di pessione nullo, ecc..). 3. ESEMPI DI APPLICAZIONI IDRAULICHE Il metodo SPH si dimosta paticolamente adatto all analisi di poblemi di moto vaio a fonte libeo. In tali poblemi, caatteistici dell idaulica, la soluzione numeica con i consueti schemi Euleiani è in genee subodinata alla coetta deteminazione del fonte libeo, che isulta ichiedee algoitmi di calcolo appositi (a giglia mobile, o con tecniche di identificazione della supeficie libea, tipo PIC - Paticle In Cell [9], MAC Make And Cell [10], VOF - Volume Of Fluid [11]). Adottando invece tecniche Lagangiane quali il metodo SPH, la deteminazione del fonte libeo isulta automaticamente fonita dalla soluzione delle equazioni del moto e non ichiede modelli aggiuntivi: ciò pemette di isolvee anche i casi in cui i metodi Euleiani sopa citati si dimostano inefficaci. Nel seguito, senza entae nel dettaglio delle soluzioni numeiche, si pesentano alcuni esempi di simulazioni SPH ottenute pesso l Univesità di Pavia. In figua 1è mostato il caso di un getto piano bidimensionale effluente in un ambiente icettoe a bassa pofondità, confinato latealmente. Pe velocità di efflusso e spessoe del getto oppotuni, il getto diviene instabile ed inizia ad oscillae latealmente, inducendo così lo sviluppo di onde che si popagano sul pelo libeo. Il confonto ta le visualizzazioni speimentali e i isultati della

4 simulazione SPH mosta come siano coettamente ipodotti sia il pofilo della supeficie libea, sia le zone di icicolo altenativamente pesenti ai lati del getto. Anche le fequenze di oscillazione misuate e calcolate isultano pessoché coincidenti [6]. In figua 2 sono ipotati i isultati elativi alla simulazione di uno schema semplificato di una valvola pe la iduzione delle sovapessioni. Il fluido è spinto da un pistone (a sinista in figua 2) e la conseguente azione del fluido povoca una defomazione della lamina che pemette l efflusso del fluido stesso. In questo caso, anche la lamina elastica è appesentata da paticelle solide e le equazioni della dinamica dei solidi sono anch esse isolte adottando uno schema SPH, calcolando ad ogni passo il temine di inteazione ta solido e liquido [8]. a) b) t = 1.20 s t = 1.56 s t = 1.92 s Figua 1. Sequenza di immagini in egime di getto oscillante, da Espa et al. [6]; l'intoduzione del coloante avviene all'istante t = 0 s. a) Risultati speimentali. b) Simulazione SPH. t = 0.00 s t = 0.15 s t = 0.30 s t = 0.45 s Figua 2. Simulazione SPH di un dispositivo pe la iduzione delle sovapessione, da Antoci et al. [8]: paticelle fluide (blu), solido elastico (giallo).

5 a) b) t = 0.00 s situazione iniziale t = 0.12 s defomazione della fana all impatto t = 0.32 s fomazione del fangente t = 0.68 s fonte di isalita sulla ampa Figua 3. Simulazione di dam-beak su fondo ipido, con fana di mateiale ad alta viscosità in un invaso, da Gallati et al. [7]. a) Risultati speimentali. b) Simulazione SPH. Un esempio di simulazione della popagazione di un onda in un bacino a seguito di una fana è ipotata in figua 3. L espeimento è ealizzato apendo istantaneamente una paatoia che tattiene una massa di olio siliconico ad alta viscosità, che scoe su un fondo a pendenza di 45 e impatta in un bacino contenente fluido a bassa viscosità (alcool etilico). La simulazione SPH ipoduce coettamente sia l evoluzione della supeficie libea della fana, sia la fomazione e l impatto del fangente sulla ampa, sia la popagazione dell onda nell invaso [7]. Infine si popongono alcuni isultati elativi alla simulazione del classico poblema del isalto idaulico: è ipotato in paticolae l esempio del isalto idaulico geneato in una coente supecitica dalla pesenza di una soglia di fondo [12]. I isultati numeici ottenuti con la

6 simulazione SPH, confontati in figua 4 con espeimenti di laboatoio a pai numeo di Foude, ipoducono coettamente l estensione del isalto idaulico a monte della soglia, il pofilo della supeficie libea ed il passaggio attaveso lo stato citico al di sopa della soglia. a) b) Figua 4. Simulazione del isalto idaulico a monte di una soglia di fondo, da Gallati e Baschi [12]. a) Risultati speimentali. b) Simulazione SPH. Rifeimenti bibliogafici [1] Lucy L.B., A numeical appoach to the testing of the fission hypothesis, Astonomic J., 82, 1977, [2] Gingold R.A., Monaghan J.J., Smoothed paticle hydodynamics: theoy and application to non-spheical stas, Monthly Notices of the Royal Astonomical Society 181, 1977, [3] Monaghan J.J., Smoothed paticle hydodynamics, Annual Review of Astonomy and Astophysics, 30, 1992, [4] Monaghan J.J., Simulating fee suface flows with SPH, Jounal of Computational Physics, 110, 1992, [5] Gallati M., Baschi G., Numeical desciption of apidly vaied flows via SPH method, Atti della IASTED Int. Conf. on Applied Simulation and Modelling, Iaklion, 2002, [6] Espa P., Gallati M., Sibilla S., Fee suface petubation intoduced by a vetical 2D liquid et intoduced fom the bottom of a ectangula tank: numeical study by SPH method, Atti del XXX IAHR Congess, Thessaloniki, 2002, D, [7] Gallati M., Baschi G., Falappi S., SPH simulations of the waves poduced by a falling mass into a esevoi, Il Nuovo Cimento C, 28, 2005, 129. [8] Antoci C., Gallati M., Sibilla S., Applicazione della tecnica Lagangiana SPH alla simulazione di poblemi di inteazione fluido-stuttua, accettato pe la pesentazione al XXX Convegno di Idaulica e Costuzioni Idauliche IDRA [9] Halow F.H., The paticle-in-cell compute method fo fluid dynamics, J. Comp. Phys., 3, 1964, [10] Halow F.H., Welch J.E., Numeical calculation of time-dependent viscous incompessible flow of fluid with fee suface, Phys. Fluids, 8, 1965, [11] Hit C.W., Nicholls B.D., Volume of fluid (VOF) method fo dynamics of fee boundaies, J. Comp. Phys., 39, 1981, [12] Gallati M., Baschi G., Numeical simulation of the ump fomation ove a sill via SPH method, Atti della Int. Conf. on Fluid Flow Technologies CMFF 03, Budapest, 2003.