Orientamatica 2016/2017 Appunti sulle equazioni alle differenze e differenziali

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1 Centro PRISTEM, Università Commercile L. Bocconi (2016) Orientmtic 2016/2017 Appunti sulle equzioni lle differenze e differenzili proff. Angelo Guerrggio e Jcopo De Tullio Centro PRISTEM - Università Bocconi 1 Equzioni lle differenze Le equzioni lle differenze e le equzioni differenzili possono essere considerte lo strumento più utile e comune nell costruzione dei modelli mtemtici. Per certi versi sono simili e d qui in poi ci soffermeremo in prticolre sottolinere le loro nlogie (e le loro differenze). Comincimo con l nlisi delle equzioni lle differenze (finite). Queste possono essere introdotte prtire d lcune loro crtteristiche: ) le equzioni lle differenze sono equzioni funzionli: in un equzione lle differenze l quntità ignot è un funzione y; b) l vribile indipendente di tle funzione ssume solo vlori discreti; indicheremo quest vribile con n : n = 1, 2, 3...; l funzione y srà dunque y(n) o meglio ncor y n ; c) ci interess trovre y n sfruttndo le informzioni dte dll equzione lle differenze: quest uguglinz colleg il vlore incognito y n con i vlori ssunti dll funzione y per i vlori precedenti dell vribile indipendente: n 1, n 2,.... Per chirirci le idee ricorrimo ll esempio di un gioco mtemtico chimto l torre di Hnoi. Esempio 1 Sino dti 3 pletti e n dischi, ciscuno di dimetro diff erente, inizilmente tutti posti sul primo pletto in mnier tle che il disco con il dimetro mggiore si posto ll bse, poi quello con dimetro inferiore e così vi fino ll cim del pletto dove è posto il disco con il dimetro più piccolo. L obiettivo del gioco è trovre il numero minimo di mosse necessrie per trsferire gli n dischi dl primo pletto d un ltro pletto (d esempio 1

2 il secondo) sempre mntenendo l ordine e rispettndo due regole: 1) si può spostre un solo disco ll volt; 2) in nessun istnte del gioco un disco può essere posto sotto un disco di dimetro mggiore. Per provre risolvere il gioco, indichimo con M il numero di mosse; nturlmente è fcile rendersi conto che il numero delle mosse dipenderà d qunti dischi bisogn spostre. Dunque il numero di mosse srà M(n) o (meglio) M n, con n = 1, 2,.... Stimo dunque trttndo un equzione lle differenze: bbimo, inftti, un quntità incognit che è un funzione dipendente d un vribile che ssume solo vlori interi positivi. Come clcolre M n? Supponimo di inizire trsferire n 1 dischi dl primo pletto (lscindo in questo solo quello che er posto ll bse) su un secondo pletto. Per qunto detto, per rggiungere lo scopo srnno necessrie M n 1 mosse. Per spostre il disco lscito sul primo pletto sul pletto lscito libero srà necessri un ulteriore moss. Infine, per trsferire gli n 1 dischi sul disco di dimetro mggiore srnno necessrie ltre M n 1 mosse. Ricpitolndo: per risolvere il gioco e trsferire tutti gli n dischi sono necessrie M n M n 1 = 2M n mosse. Abbimo dunque ottenuto l seguente equzione lle differenze: M n = 2M n che vedremo come si risolverà. Ricordimo che si trtt di un equzione lle differenze del primo ordine (linere): l ordine dell equzione lle differenze è dto dll differenz tr il vlore ssegnto ll vribile indipendente e il vlore inizile. In questo cso: n (n 1) = 1. L soluzione dell equzione lle differenze M n = 2M n si ricv grzie l seguente teorem (ci limitimo l cso delle equzioni lle differenze del primo ordine coeffi cienti costnti). Teorem 2 Dt l equzione del primo ordine linere l su soluzione generle risult: y n = y n 1 + b y n = n y 0 + b n 1 1 Dimostrzione. Dimostrimo il teorem per ricorrenz. Dt l equzione y n = y n 1 + b si h che: y 1 = y 0 + b y 2 = y 1 + b = (y 0 + b) + b = 2 y 0 + b + b y 3 = y 2 + b = ( 2 y 0 + b + b ) + b = 3 y b + b + b 2

3 Generlizzndo: y n = n y 0 + n 1 b + n 2 b b + b + b Riscrivimo qunto ottenuto: y n = n y 0 + n 1 b + n 2 b b + b + b = = n y 0 + b ( n 1 + n ) Il termine tr le prentesi n 1 + n è l somm dei primi n termini dell successione geometric di rgione. Sppimo che quest (per 1) somm vle n 1 1, quindi ottenimo: y n = n y 0 + b n 1 1 Osservzione 3 Abbimo ssunto 1 (cso generle). Nel cso prticolre si bbi = 1 (e b R) si ottiene: y 1 = y 0 + b y 2 = y 1 + b = (y 0 + b) + b = y 0 + 2b y 3 = y 2 + b = (y 0 + 2b) + b = y 0 + 3b... y n = y 0 + nb Esempio 4 Si risolv l seguente equzione y n+2 5y n = 0. Si trtt di un equzione lle diff erenze linere del primo ordine (n + 2 (n + 1) = 1) coeffi cienti costnti. Se l riscrivimo come y n+2 = 5y n+1 1, grzie l teorem ppen enuncito, si ricv l soluzione: y n = 5 n y 0 5n = 5n y n = ( 5n y 0 1 ) Osservimo che l soluzione generle dipende dl vlore inizile y 0. Abbimo visto che dl gioco dell torre di Hnoi si ricv l equzione lle differenze linere del primo ordine coeffi cienti costnti M n = 2M n Dunque l soluzione generle risult: M n = 2 n 1 M 1 + 2n

4 Poiché il gioco h senso per n 1 e M 1 = 1 (è necessri un sol moss qundo si gioc con un solo disco) ottenimo: M n = 2 n n 1 1 = = 2 2 n 1 1 = = 2 n 1 Ad esempio, per trsferire 4 dischi, sono necessrie = 15 mosse. 1.1 Il modello dell rgntel Un ulteriore esempio dell ppliczione delle equzioni lle differenze è il cosiddetto modello dell rgntel (cobweb model). Questo modello, ttribuito ll economist ungherese Nichols Kldor, rppresent l versione dinmic del trdizionle modello del prezzo di equilibro. Considerimo, nel modello istntneo trdizionle, un mercto con un singolo bene. Si suppong che l funzione domnd D(p) si linermente dipendente dl prezzo p (un rett nel pino). Quest prticolre crtteristic è tipic nell costruzione di un modello mtemtico: in probbilità i dti empirici spesso ssegnno un ltr form e ltre proprietà ll funzione domnd, m è rgionevole pensre, in prim pprossimzione, che l funzione domnd bbi un espressione nlitic semplice, cioè si linere (è comunque possibile implementre il modello considerndo funzioni più complicte e quindi più relistiche). Poiché D(p) è un funzione linere, possimo scriverl nell form D(p) = p+b (, b > 0) dove il coef-ficiente ngolre negtivo esprime il ftto che D è decrescente in funzione del prezzo: se p cresce, i consumtori sono meno invogliti ll cquisto di un bene. Osservimo infine che D(0) = b, ovvero b rppresent l domnd mssim (qundo il prezzo è nullo). Anlogmente, introducimo l funzione offert S(p) nch ess linermente dipendente dl prezzo: S(p) = cp d (c, d > 0). L funzione offert è crescente in funzione del prezzo e il vlore negtivo S(0) = d signific che l produzione di un bene inizi ptto che S(p) 0 ossi p d c. 4

5 Il prezzo di equilibrio si ottiene qundo D(p) = S(p), ovvero per p = b+d +c. Fino questo punto non bbimo considerto l vribile temporle. Per questo il modello, nell su versione trdizionle, è di tipo sttico: tutto qunto - l produzione, l offert, l domnd e l uguglinz - vviene nello stesso istnte. Nell reltà le cose sono differenti. Possimo però supporre che ci si contemporneità nell funzione domnd, ovvero un consumtore decide di cquistre nello stesso istnte n in cui conosce il prezzo del bene: D n = p n + b Invece per l offert è diverso. Pensimo, d esempio, un gricoltore che stbilisce le quntità d produrre in nticipo. Ovvero l funzione domnd l tempo n dipende dl prezzo l tempo n 1: S n = cp n 1 d L condizione di equilibrio D n = S n nel cso dinmico ci port un equzione lle differenze linere del primo ordine: p n + b = cp n 1 d p n = c p n 1 + b + d L su soluzione generle, che conoscimo grzie l teorem visto, è dt d: 5

6 p n = = = = ( c ) n p0 + b + d ( c n ) 1 ( ) c = 1 ( c ) n p0 b + d [( + c c ) n ] 1 ( c ) ( n p0 p c ) n + p = ( c ) n (p0 p ) + p = L ndmento del prezzo p n dipende dl vlore c : se c < 1, o c <, si h lim p n = p n + se c > 1, o c >, si h lim p n = n + se c = 1, o c =, si h che p n oscill intorno p Si ricv dunque che il mercto tende l prezzo di equilibrio soltnto nel cso in cui c < 1. Quest ultimo risultto può essere illustrto geometricmente. Comincimo con il cso c < : l rett dell offert è meno inclint rispetto quell dell domnd (e l rett p n = c p n 1 + b+d è meno inclint rispetto ll bisettrice del primo e qurto qudrnte). Considerimo un prezzo inizile p 0, d esempio minore di p. A questo corrisponde un certo vlore dell offert che determin un surplus di domnd, dunque il produttore ument il prezzo portndosi in p 1, m per questo prezzo l domnd è troppo bss e quindi si riduce il prezzo (pssndo p 2 ) per fr crescere l domnd. Proseguendo in questo cso (c > ) si osserv che l sequenz di prezzi {p 0, p 1, p 2,...} converge p. 6

7 2 Un prentesi: l derivbilità di un funzione Un funzione f : R R (cioè tle che un vlore rele ssoci un vlore rele) è derivbile in un punto t 0 pprtenente l dominio dell funzione e in cui l funzione è continu, se esiste finito il limite del rpporto incrementle dell funzione nel punto. Il vlore di tle limite è detto derivt prim di f in t 0 e si scrive: f (t 0 + h) f (t 0 ) lim = f (t 0 ) h 0 h Geometricmente l derivt prim di un funzione f in un punto t 0 rppresent il coeffi ciente ngolre dell rett tngente l grfico di f pssnte per il punto (t 0, f (t 0 )). Possimo quindi ffermre che un funzione f è derivbile in un punto x 0 se e solo se l funzione mmette l rett tngente l grfico nel punto (t 0, f (t 0 )). Quest ultim crtterizzzione ci consente di ffermre che il concetto di derivbilità è un concetto più forte dell continuità. Inftti se pensimo ll funzione f (t) = t, sppimo benissimo che trtt di un funzione continu nel suo dominio (R) m si osserv ltrettnto fcilmente che in x 0 = 0 quest non mmette rett tngente l grfico, dunque l funzione vlore ssoluto di t pur essendo ovunque continu in t 0 = 0 non è derivbile. Dll suddett definizione di derivt prim è possibile ricvre, in form generle, le derivte delle funzioni elementri e le regole per eseguire le operzioni con le derivte. Qui di seguito ricordimo solo lcune derivte che ci servirnno in seguito: 7

8 f(t) = k f (t) = 0 f(t) = t f (t) = 1 f(t) = t 2 f (t) = 2t f(t) = t n f (t) = nt n 1 f(t) = e t f (t) = e t f(t) = ln t f (t) = 1 t Ricordimo inoltre le due seguenti operzioni: derivt dell somm due funzioni ( f (t) + g (t)): f (t) + g (t) derivt del prodotto di un funzione per uno sclre (k f (t)): k f (t) Esempio 5 Clcolre l derivt prim nel punto t 0 = 1 dell funzione f(t) = 3t 4 5 ln t 4e t 6. Si trtt di un funzione continu nel suo dominio (0, + ), clcolimo prim l form generle dell derivt prim: f (t) = 12t 3 5 t 4et. A questo punto l derivt prim nel punto t 0 = 1 (che coincide con il vlore del coeffi ciente ngolre dell rett tngente l grfico di f pssnte per il punto (1, f (1)) = (1, 3 4e)) risult f (1) = 7 4e. 3 Equzioni differenzili Come già nticipto, le equzioni lle differenze e le equzioni differenzili sono per certi spetti simili. Entrmbe rppresentno gli strumenti mtemtici più diffusi nell cosiddett modellizzzione mtemtic ed entrmbe sono equzioni funzionli. L principle differenz tr le due è che nel cso delle equzioni differenzili l quntità incognit è un funzione di vribile continu (non più discret come nel cso delle equzioni lle differenze). Prleremo di equzione differenzile ordinri per sottolinere il ftto che l funzione incognit dipende solo d un vribile. Per introdurre le equzioni differenzili ordinrie in mnier nlog qunto ftto per le equzioni lle differenze, possimo dire che un equzione differenzile è: un equzione funzionle in cui l funzione incognit y dipende d un vribile continu t e per l qule dobbimo trovre l funzione y(t) prtendo d un informzione (equzione) rigurdnte l su derivt y (t). 8

9 3.1 Equzioni differenzili ordinrie del primo ordine Considerimo l loro form generle: y = f(t, y) dove f(t, y) è un funzione dipendente dll vribile indipendente t e dll quntità incognit y(t). Le eventuli soluzioni di un equzione sifftt si dicono soluzioni generli (o integrli generli). L coppi formt dll equzione differenzile ordinri del primo ordine y = f(t, y) e l condizione di pssggio per un determinto punto (t 0, y 0 ): { y = f(t, y) y (t 0 ) = y 0 è detto problem di Cuchy ssocito ll equzione differenzile ordinri del primo ordine. Se verificte lcune condizioni, un problem di Cuchy mmette un e un sol soluzione. Ricordimo (nche se per or di diffi cile comprensione) di seguito un teorem di esistenz locle dell soluzione di un problem di Cuchy: Teorem 6 Se l funzione f è continu rispetto t e y e derivbile con continuità rispetto y in un intorno del punto (t 0, y 0 ), llor il problem di Cuchy { y = f(t, y) y (t 0 ) = y 0 mmette un unic soluzione in un intorno del punto (t 0, y 0 ). Anlizzimo d or in poi solo lcune tipologie di equzioni differenzili ordinrie del primo ordine Primitive di un funzione Considerimo un cso molto specile (e molto semplice) di equzione differenzile del primo ordine, le cosiddette primitive di un funzione. Ricercre un primitiv di un dt funzione g : R R signific trovre l insieme delle funzioni G(t) tli che bbino come derivt l funzione g (t), ovvero G (t) = g(t). In questo cso l form dell equzione differenzile del primo ordine si semplific e divent: y (t) = f(t) 9

10 ovvero l funzione f dipende soltnto dll vribile indipendente t. Ad esempio risolvere l l equzione y (t) = 1 signific ricercre quell funzione y(t) tle che l su derivt prim si 1. M y = t, y = t 1, y = t + 1, y = t sono tutte soluzioni! Possimo dunque ffermre che tutte le soluzioni sono dell form y(t) = t+c (c R). In Mtemtic, per risolvere un problem di ricerc di primitive del tipo y = f(t), si us un prticolre notzione: f(t)dt = G(t) + c (c R) e si legge integrle di f(t) in dt ugule G(t) + c. Se volessimo individure univocmente l funzione primitiv (dett soluzione prticolre) llor è necessrio ggiungere un condizione in più. Ad esempio chiedere il pssggio per il punto (1, 3) ovvero chiedere che y(1) = 3; llor. imponendo il pssggio per il punto ll insieme delle primitive y(t) = t + c, si otterrebbe l soluzione y = t + 2. M cercre l insieme delle primitive e imporre il pssggio per un punto equivle risolvere il problem di Cuchy: { y (t) = t y (1) = 3 Esempio { 7 Risolvere il seguente problem di Cuchy: y (t) = 3e t 2t y (0) = 2 Prtimo col risolvere l equzione differenzile y (t) = 3e t 2t, che si present come un problem di ricerc delle primitive del tipo: (3e t 2t ) dt = 3e t t 2 + c. Imponendo l condizione di pssggio per il punto (0, 2) si ricv l soluzione del problem di Cuchy: y(t) = 3e t t Equzioni differenzili del primo ordine vribili seprbili Un ltro cso prticolre di equzione differenzile del primo ordine sono le cosiddette equzioni vribili seprbili che si presentno nell form: y (t) = p(t)q(y) dove p e q sono funzioni continue (l prim dipendente solo d t e l second solo d y). 10

11 Per risolverle si procede seprndo, destr e sinistr dell uguglinz, le funzioni ttrverso due pssggi: 1) risolvere, se possibile, l equzione q(y) = 0 l cui soluzione è un soluzione prticolre dell equzione differenzile; 2) dopo ver posto q(y) 0, procedere nel seguente modo: 1 q(y) y = p(t) poiché possimo scrivere che y (t) = dy dt (cioè derivt dell funzione y(t) rispetto ll vribile t) d cui 1 dy q(y) dt = p(t) infine 1 dy = p(t)dt q(y) 1 q(y) dy = p(t)dt A questo punto ci simo ricondotti risolvere due problemi di ricerc di primitive sinistr rispetto ll y e destr rispetto ll t. Esempio 8 Risolvere l equzione differenzile y = 2e y t. Nell equzione dt possimo procedere con l seprzione delle vribili (con q(y) = e y e p(t) = 2t). Osservimo che in questo cso q(y) è sempre non null, possimo procedere dunque con l seprzione: dy dt = e y 2t e y dy = 2tdt d cui e y dy = 2tdt e y + k = t 2 + h e y = t 2 + c (con t 2 + c > 0) d cui y(t) = ln ( t 2 + c ) Esempio 9 Risolvere il problem di Cuchy { y (t) = y ( t + 2t 3) y (1) = 1 Comincimo col risolvere l equzione diff erenzile ssocit l problem 11

12 y = y ( t + 2t 3). Si trtt di un equzione differenzile vribili seprbili con q(y) = y e p(t) = t + 2t 3. Per prim cos studimo il cso q(y) = 0, ovvero y = 0. Quest rppresent un soluzione prticolre dell equzione diff erenzile. Ponimo q(y) 0, cioè y 0 e procedimo con l seprzione: dy dt = y ( t + 2t 3) 1 y dy = ( t + 2t 3) dt d cui 1 y dy = ( t + 2t 3) dt ln y = t2 2 + t4 2 + c d cui y(t) = e t2 2 + t4 2 +c Imponimo dunque l condizione di pssggio per il punto (1, 1). L soluzione prticolre trovt y = 0 non rispett il pssggio per il punto, quindi, pur essendo soluzione dell equzione diff erenzile, non è soluzione del problem di Cuchy. Imponimo il pssggio per il punto ll soluzione generle y(t) = e t2 2 + t4 2 +c e ricvimo che c = 1, quindi l soluzione del problem di Cuchy è: y(t) = e t2 2 + t Equzioni differenzili ordinrie del secondo ordine Per qunto rigurd le equzioni differenzili del secondo ordine, ci occupimo soltnto di quelle che si presentno nell form: y (t) = f(t) l cui soluzione generle (che dipenderà or d due prmetri reli) si clcol con il metodo di ricerc di un primitiv eseguit due volte. Fccimo subito un esempio per chirirci le idee; dt: y (t) = 3e t cercndo le primitive di 3e t trovimo l struttur di y (t), in questo cso ottenimo y (t) = 3e t + c. Ricercndo nuovmente le primitive di y (t) trovimo l struttur dell soluzione generle dell equzione di secondo ordine: y(t) = 3e t + ct + b. Il problem di Cuchy per un equzione differenzile del secondo ordine prevede due condizioni inizili (un per l funzione y(t) e un per l su derivt prim y (t)) e si present nell form: y (t) = f(t) y (t 0 ) = y 0 y (t 0 ) = y 1 12

13 Esempio 10 Dett s(t) l legge orri di un moto, sppimo che l su vrizione rispetto ll vribile temporle è l velocità, cioè s (t) = v(t). Anlogmente l vrizione rispetto ll vribile temporle dell velocità è l ccelerzione, cioè v (t) = (t). Dett g l ccelerzione di grvità, risolvere s (t) = g e interpretre il seguente problem di Cuchy: s (0) = 0. s (0) = 0 Si trtt di un equzione differenzile del secondo ordine del tipo s = g, procedendo con l ricerc delle primitive si ricv che: s (t) = gt + c e s(t) = g t2 2 + ct + b. Imponendo le condizioni del problem di Cuchy si ricv che c = 0 e b = 0. Quindi l soluzione del problem di Cuchy risult s(t) = 1 2 gt2 che non è ltro che l equzione del moto di cdut verticle. 3.3 Modello di Mlthus All fine del 700, l oper del pstore nglicno Thoms Robert Mlthus prì un nuov fse dell ppliczione degli strumenti mtemtici nel cmpo demogrfico, fino d llor oggetto di nlisi solo trmite metodi sttistici. Nel suo An Essy on the Principle of the Popultion s It Affects the Future Improvement of Society (1798) espresse l opinione che l umento demogrfico vrebbe condotto scenri ctstrofici. Mlthus ffermv che l rzz umn crescev in progressione geometric (1,2,4,8,16,32,..) mentre l disposizione di viveri in progressione ritmetic (1,2,3,4,5,...). D qui l necessità di introdurre un rigido controllo delle nscite nche ttrverso metodi estremi come guerre e crestie. Il modello mlthusino di studio dell evoluzione nel tempo dell popolzione può essere così descritto: si P = P (t) l funzione che indic il numero un popolzione l tempo t (che ssumimo continuo per meglio pplicre i risultti mtemtici ppen visti). Assumimo inoltre che l funzione P (t) si continu e derivbile (in effetti considerndo l vribile temporle continu il numero di nscite e morti nel corso del tempo f sì che l funzione si evolv con continuità) e denotimo con P 0 = P (0) il numero inizile dell popolzione. Il modello prevede ulteriori ipotesi sull popolzione, deve essere isolt (cioè nessun immigrzione o emigrzione) e non ci devono essere problemi di risorse che impediscono lo sviluppo dell popolzione. Per qunto supposto possimo ffermre che l evoluzione dell popolzione dipend linermente dl numero dell stess: P (t) = rp (t) 13

14 dove r è un costnte, dett potenzile biologico, che indic il tsso di riproduzione dell popolzione. L equzione P = rp è not come legge Mlthusin dell crescit di un popolzione. Si trtt di un equzione vribili seprbili (P (t) > 0): dp dt = rp dp = r dt P 1 P dp = r dt log P = rt + c P = e rt+c P = Ce rt (C = e c ) Poiché, per t = 0, sppimo che P (0) = C, si ricv che C = P 0. L soluzione generle dell legge Mlthusin è dunque P (t) = P 0 e rt. Ovvero un crescit dell popolzione di crttere esponenzile sempre più rpid ll umentre del tsso r. Osservimo che l vrire del tsso r ci ritrovimo dinnzi tre scenri possibili. Cso 1: r > 0. 14

15 Se il potenzile biologico è positivo (il numero delle nscite super quello delle morti) l popolzione è destint ll crescit con velocità esponenzile. Cso 2: r = 0. Se il potenzile biologico è nullo (il numero delle nscite è pri quello delle morti) l popolzione è destint rimnere di numero costnte. Cso 3: r < 0. Se il potenzile biologico è negtivo (il numero delle morti super quello delle nscite) l popolzione è destint ll estinzione. 15