Capitolo V Applicazioni

Transcript

1 Citolo Alizioni. Clolo di sint Pr lolr l sint sritt d fluidi inomrimibili in movimnto sull surfii on ui vngono onttto, si f uso dll quzion di bilnio dll quntità di moto in form globl: I M Π G 0 ( ) Tl quzion dv ssr lit d un oro fluido h ou un volum mtril, oinidnt istntnmnt on il volum di ontrollo su ui vngono lolti i trmini dll (). Tl volum è dlimitto d un surfii, l surfii di ontrollo, ostituit in rt dll surfii su ui si dv lolr l sint in rt d surfii usiliri di form smli. L rt di surfii di ontrollo su ui si dv lolr l sint è imrmbil: u n 0, mntr l rt di surfii di ontrollo usiliri è ostituit d surfii di ingrsso usit dl fluido, su ui u n 0. L iotsi smlifitiv h si dottno usulmnt nl lolo dll sint sono l sgunti:. Il moto è rmnnt;. Il fluido è idl; In virtù dll rim iotsi il rimo trmin rimo mmbro dll () è idntimnt nullo: I0, mntr in virtù dll sond iotsi gli sforzi tngnzili ossono ssr trsurti: dunqu l risultnt dll forz di onttto è dovut l solo sforzo di rssion: Π nd. Pr qunto rigurd il lolo dll forz M, si dv ossrvr h il volum di ontrollo è dlimitto in rt d surfii imrmbili, su ui M0, in rt d surfii usiliri di flusso in, su ui M 0. Su qust ultim si ssum un distribuzion di vloità in ui tutt l lin di flusso sono tr loro rlll, on urvtur null o trsurbil, rttrizzt dll vr dirzion rlll ll norml ll surfii (ntrnt nl volum di ontrollo) vrso risttivmnt onord od oosto tl norml sond h si trtti di surfii di ingrsso o di usit. In ltr rol sino uu n u-u n l distribuzioni di vloità su,, ssndo n,n l normli ll surfii di ingrsso usit, vnti vrso ntrnt nl volum di ontrollo. Il trmin M ssum l srssion: M ( u n) d ρu( u n) d ρu d n ρu d n ρβ n ρβ n ( b) ρu in ui β,β sono i offiinti di rgguglio dll ortt di quntità di moto dfiniti trmit l: u d β ( ) rmttono di srimr gli intgrli nll (b) trmit l vloità mdi sull szion. I offiinti di rgguglio vngono rminti srimntlmnt il loro vlor dind dll ondizioni di moto dll orrnt. Normlmnt l orrnti rs in onsidrzion ni loli tnii si trovno in ondizioni di moto tli d fr ssumr l offiint di rgguglio un vlor

2 rssohé unitrio: β. D or in vnti rtnto, slvo divrsmnt d srssmnt sifito, si ssumrà tl vlor r il offiint unitrio. Dunqu, nll iotsi ost, il flusso dll quntità di moto è un forz il ui vrso è smr onord l vrsor norml ll surfii in su ui gis, vnt vrso ntrnt nl volum di ontrollo. Il unto di lizion dl flusso dll quntità di moto oinid on il ntro di figur dll szion. Si dv inoltr sottolinr h sull szioni di ingrsso usit, vndo ssunto l linrità dll orrnt, stnt l ostnz dll izomtri, l distribuzion dll rssion è di tio idrosttio. Tl ftto smlifi notvolmnt il lolo dll risultnt dll forz di onttto, om si vdrà nll lizioni illustrt di sguito... Sint su l urv. Pl Plton Si un surfii ilindri, rt, l ui dirttri si l urv C, trit sul ino orizzontl (figur.). y i x α i i n i C Figur. Elmnti gomtrii dll l urv Tl surfii si invstit d un gtto libro, ossi d un orrnt linr l ui surfii ltrl si trovi rssion tmosfri, rttrizzto d un vloità ssolut u i, di modulo uniform sull szion, dirtt om l ss x d un szion. Il gtto, doo vr invstito l l, vin dvito d ss in modo tl h l ngolo formto dll ss dl gtto in usit on l dirzion originri si α. L l si inoltr nimt d vloità ssolut i. Pr lolr l sint S sritt dl gtto sull l, ugul in modulo dirzion, oost nl vrso ll sint Π g h l l srit sull rt di gtto onttto on ss, si rnd un volum di ontrollo dlimitto dll surfii in di ingrsso usit dll surfii ltrl dl gtto. Qust ultim, in rt è onttto on l tmosfr in rt è onttto on l l. Di onsgunz l quzion globl fornis: Qust ffrmzion uò ssr giustifit dl ftto h l orrnti rs in onsidrzion normlmnt hnno un rofilo di vloità simmtrio ristto ll ss o ddirittur uniform sull szion.

3 I M G Π 0 I 0 M ρr i ρ R n Π Π g S G ρgk S ρri ρ R n ρgk ( ) Com si vd, l risultnt dll forz di onttto Π sritt sul gtto, oinid on l sint h l l srit sull rt di gtto onttto on ss: Π g. Tutti gli ltri ontributi ll risultnt dll forz di onttto sono nulli, drivndo d surfii immrs in mbint rssion tmosfri: l surfii ltrl dl gtto non onttto on l l l surfii di ingrsso usit, il ui ontorno è rssion tmosfri. I flussi dll quntità di moto sono stti lolti fndo rifrimnto ll vloità rltiv dl gtto ristto ll l: R, R. Alindo il torm di Brnoulli nl sistm di rifrimnto solidl ll l, su un lin di flusso ost sul ino orizzontl z0, tr l szioni di ingrsso di usit si trov h: g R R g () ossi il modulo dll vloità rltiv rst ostnt. Di onsgunz, r l ostnz dll ortt rltiv, nh l szion dl gtto rst ostnt. L roizion dll sint sull dirzion dll ss x è dll: S i ρ ( ) os( ) [ ] ( ) α Si ossrvi h, r απ ossi r un l ftt in modo tl h il gtto bbi vloità rltiv di usit dirtt in snso oosto qull di ntrt (l Plton), si h il mssimo dll sint: S i S x ρ( ) L otnz dut ll l Plton è fornit dll: P S i ρ ( ) ( 5) Inv l otnz originri dl gtto è ri : P g ρ gq ρ g ( 6) Di onsgunz il rndimnto dll l Plton, dfinito om il rorto tr l otnz d ss dut dl gtto l otnz originri di qust ultimo, vl: η ( ) ( 7)

4 L ondizion di ottimo rndimnto l vrir dll vloità dll l, vin ottnut nnullndo l drivt dl rndimnto (7) ristto ll vloità dll l. Si ottngono l du ondizioni:, () 8 L rim orrisond ffttivmnt d un mssimo, mntr l sond l minimo rndimnto ( η 0 ). In orrisondnz dl rimo vlor, l otnz dl gtto, l otnz dut ll l d il rndimnto vlgono risttivmnt: 7 Pg ρ 6 P ρ () 9 6 η Il vlor dl rndimnto ottimo è minor dll unità, ur ssndo stto rivto in ssnz di dissizioni rdit nrgtih, iò si giustifi si on il ftto h llontnndosi l l dll origin dl gtto rt dll otnz originri di qusto dv ssr ss r rggiungr l l, si on il ftto h il gtto ossid ll usit dll l un nrgi inti ssolut divrs d zro. L otnz ss dl gtto r rggiungr l l si uò lolr onsidrndo h durnt un intrvllo di tmo unitrio qust ultim rorr un distnz ri. Di onsgunz l mss di liquido h dv rggiungr l l on vloità, è ri : ρ d ss omt un otnz ri : P 9 ρ ρ ( 0) Si onsidri or h l vloità rltiv di usit vl R ( )i oihé invrt il vrso, m mntin ostnt il modulo. L vloità ssolut di usit vl dunqu, r : ( ) i [ ( )] i ( ) i ( ) Ai R i In onsgunz di tl vlor non nullo dll vloità ssolut di usit, l gtto è ssoito il sgunt vlor dll otnz, lsmnt non utilizzt: P u ( ) A ρ ( ) ρ h dv ssr lolto on l nrgi inti r unità di volum dll vloità ssolut di usit l ortt rltiv dl gtto ristto ll l. In dfinitiv si vd om l somm dll otnz dut ll l, dll otnz di llungmnto (0) di usit () si sttmnt ri ll otnz originri dl gtto. L rirtizion tr l otnz è tl d mssimizzr, nll iotsi ost, l otnz util, ioè qull dut ll l. Tuttvi è intrssnt ossrvr, dll

5 srssion () dll vloità ssolut di usit dl gtto: A, h qust ultim si nnull r. In tli ondizioni si hnno i sgunti vlori dll otnz dl rndimnto: Pg ρ P ρ P ρ Pu 0 η 0. 5 ( ) In tli ondizioni il rndimnto è infrior ristto l so rdnt, m l otnz dl gtto in usit si nnull, l qul os è fvorvol gli fftti dll lizioni rtih, oihé si limin un dll us h gnrno l otnz non utilizzt. Nll rltà inftti l sint rodott d un gtto su un l riurv dl tio sminto vin imigt nll roduzion di nrgi. Pr limitr l ltr us di otnz non utilizzt, l llungmnto dl gtto, si f in modo h il gtto intrtti un sussion di l. Si uò vlutr l umnto di rndimnto dovuto ll sussion di l iotizzndo h, r, nll unità di tmo il gtto si llunghi di un quntità ri φ, ssndo φ un offiint ositivo minor di h tin onto dll rsnz dll moltliità di l. Di onsgunz l otnz nssri ll llungmnto dl gtto è ri : P ρφ ρφ ( ) mntr l otnz originri dl gtto è smr dll (6), on. Sihè l otnz dut ll l è dll diffrnz tr l (6) l (), non vndosi otnz non utilizzt r nrgi inti llo srio: P φ ρ ( 5) Di onsgunz il rndimnto, risult ri : η φ ( 6) Il rndimnto (6) umnt l diminuir di φ, ossi l diminuir dll llungmnto dl gtto. Tl ondizion è soddisftt s si immgin h non n un l si stt invstit dl gtto si omini d llontnr, un nuov l si trovi sotto l zion dl gtto. Ciò è qunto si vrifi nll turbin Plton, ostituit d ruot sull quli sono montt l l in sussion, om in figur.. Pr bilnir l forz gnti sull ruot, l turbin è sottoost ll zion di iù gtti (nh o 5) l l sono doio uhiio. 5

6 Gtto Gtto ist di fino ist dll lto Figur.. L ruot Plton l l doio uhiio.. Sint su un oro invstito d un orrnt Si onsidri un oro di form not, immrso in un orrnt, in quit ristto d ss (figur.). y x n n Si n Figur.. Il oro invstito d un orrnt Si suong h l orrnt si limitt d rti rigid d imrmbili. In figur., il disgno è rifrito l ino orizzontl. L orrnt, di fluido idl in moto rmnnt, doo vr invstito il oro d ssr stt dvit d sso, gnr l si, zon di fluido vll dl oro sd di moti vortiosi, h, nll rltà, si stingu d un rt distnz dl oro. Il moto dll si è strmmnt omlito. Ai fini di un shmtizzzion di rim rossimzion, il fluido nll si uò ssr onsidrto ttto l oro dunqu frmo. In ltr rol, si iotizz h l orrnt h irond l si sorr su qust ultim snz smbir zioni tngnzili h l si si stnd indfinitmnt vll dl oro. Si tng rsnt h nll rltà l mutu zioni tngnzili smbit tr l orrnt l si fnno sì h qust ultim si stingu d un rt distnz vll dl oro, ssndosi omltmnt msolt ll orrnt. 6

7 Allo soo di lolr l sint sritt dll orrnt sul oro, si onsidri il volum di ontrollo dlimitto dll rti imrmbili, dll surfii usiliri in ssnti r l szioni, dll surfii dl oro. L surfii usiliri in ssnt r l szion è ri ll surfii usiliri in ssnt r, diminuit dll surfii ostrior dl oro. L quzion di bilnio dll quntità di moto in form globl, lit l volum di ontrollo dfinito in figur. on l onsut iotsi sull distribuzioni di vloità sull szioni sull linrità dll orrnt nll szioni,, fornis: I 0 M Π G ρgk ρq( ) i ( ) i Π Π S [ ρq( ) ] i ρgk ( 7) In ui Π è l sint h il oro srit sull orrnt, ugul in modulo dirzion, oost nl vrso, ll sint S h l orrnt srit sul oro. I vlori dll rssioni, ssndo onsidrti su un ino orizzontl, sono ostnti su tutt l szion. Il so ontribuis ll sint sul oro on un forz vnt omonnt null ristto ll dirzion dl moto; roittndo l sint su tl dirzion si h: S x ( ) ( ) ρq Avndo srsso:, ossi l surfii usiliri in om diffrnz tr qull in l surfii ostrior dl oro. Pr vr l sint totl h subis il oro in dirzion rlll ll ss x, si dv rò ggiungr ll rdnt srssion l forz sritt dl fluido sull surfii ostrior dl oro: tl forz è rorio ri. Di onsgunz si h: S x ( ) ( ) ( 8) ρq Alindo or il torm di Brnoulli su un dll du lin di flusso, simmtrih ristto l oro, h rtono dll szion rrivno nll, si ottin l diffrnz dll rssioni nll szioni strm in funzion dll vloità: ρg g ρg g ρ ( ) ( 9) Sostitundo infin l diffrnz dll rssioni (9) nll (8) si h: S x ρ ρq ( ) ( ) ( 0) Qust ultim srssion, uò ssr ost in funzion dll vloità di ingrsso, sfruttndo l ostnz dll ortt: 7

8 S C x D ρ C D ρ ( ) L () è l formul dll sint subit d un oro immrso in un orrnt, vlid nll mbito dll iotsi ost. L formul () f rifrimnto, r il lolo dll sint, ll vloità di ingrsso, ll szion di ingrsso dll orrnt ll szion mstr dl oro, ossi ll roizion dll surfii dl oro su un ino rndiolr ll dirzion dl moto. Il offiint di sint C D o drg offiint nll iotsi ost è funzion slusivmnt dll gomtri. Nll rltà dind nh dl moto dll orrnt dll rttristih fisih dl fluido tl dindnz vin solitmnt rttrizzt srimntlmnt. Nl so di un oro immrso in un orrnt non limitt o lontn d rti, l formul () rd vlidità il offiint di drg vin rminto slusivmnt r vi srimntl... Eli Si onsidri un li, ostituit d un rto numro di l h ruotno on vloità ngolr ostnt dsrivnti un r irolr, t diso dll li, in moto di trslzion on vloità ostnt in un fluido in quit. Si vuol lolr l sint h l li il fluido si smbino. A tl soo è oortuno onsidrr iuttosto il fluido in moto di trslzion uniform on vloità di modulo ri vrso oosto qull dll li l li frm, on l l rotnti. L dirzion di si rndiolr l diso dll li. Gli lmnti fluidi h trnsitno r il diso dll li, formno un tubo di flusso (figur.), di szion trsvrsl inizil, vloità rssion risttivmnt ri,, h onvrg vrso il diso dll li, l sur ontinu onvrgr fino d ssumr il vlor., s, Figur.. Rrsntzion shmti dl flusso ttrvrso l li. In orrisondnz dll szion l vloità l rssion dl flusso ssumono risttivmnt i vlori,. Gli ndmnti dll rssion dll vloità, riortti in figur.5 in funzion dll siss s, mostrno om l rssion dll orrnt subis un bruso inrmnto Δ nl ssggio 8

9 ttrvrso il diso dll li, di sguito rurto, mntr l vloità umnt il suo vlor d on ontinuità. s s Δ s Figur.5. Andmnto dll rssion dll vloità. L sint sritt dll li sull orrnt fluid si lol rtnto lindo l quzion di bilnio dll quntità di moto in form intgrl l volum di ontrollo (figur.) omrso tr l szioni, immditmnt rim doo il diso dll li, l surfii ltrl l surfii omlssiv dll l dll li. Si onsidrrà dirttmnt l omonnt slr dll quzion di bilnio dll quntità di moto nll dirzion dl flusso (dirzion onord on s). Dunqu: Π ( ) Π ( ) Δ ( ) 0 Il trmin di inrzi lol I è nullo r l stzionrità dl moto. Il flusso dll quntità di moto M è nullo, oihé dl digrmm dll vloità riortto in figur.5 si ossrv h nll szioni di ingrsso usit i vlori dll vloità si ssumono rtimnt idntii oinidnti on il vlor dll vloità in orrisondnz dl diso dll li:. L Π è l omonnt dll sint sondo l dirzion dl flusso rivut dl fluido d rt dll li h vrso onord on l vloità. Il fluido ioè vin sinto llontnto dl diso dll li. L sint S gnt sull li rtnto h vrso oosto, immginndo l li montt su un mzzo nvl o ro, tndrbb singr il mzzo nll dirzion oost qull dl flusso. Pr srimr l Π in funzion dll quntità not, si dv lir il torm di Brnoulli tr l szioni - -: ρg ρg g g ρg ρg g g ( ) Sottrndo l rim dll sond riordndo h si h: 9

10 ρ Δ ( ) ( ) D ui: Π ρ ( ) ( 5) Si lihi or l quzion di bilnio dll quntità di moto in form intgrl l volum di ontrollo omrso tr l szioni, oinidnt on il tubo di flusso illustrto in figur.. Si h: Π ( ) ρ ρ Π ρq( ) ( 6) 0 In ui si è ftt omrir l ortt in volum, ostnt ttrvrso tutt l szioni onsidrt. Il ontributo dll rssion, onsidrndo h nll szioni ssum lo stsso vlor, è nullo. guglindo l (5) l (6), si uò srimr l vloità di usit dl fluido in funzion dll vloità dl fluido in ingrsso ( ) in orrisondnz dl diso dll li ( ): ρq ρ ( ) ρ ( ) ( ) ( ) ρ ( ) ( ) ( 7) Si, sono not: è in funzion dll rttristih gomtrih dll l dll li dll vloità di rotzion di qust, è l vloità dll orrnt indisturbt, ossi l vloità on ui vnz il diso dll li dunqu il mzzo d ss solidl. Dll sond dll (7) si h dunqu: (8) Di onsgunz, l sint Π rivut dl fluido (ugul oost qull h il fluido imrim sull li), vin srss dll: Π ( ) ( 9) ρ L otnz util ssoit ll sint dll (9) r l vloità : Π rivut dl fluido vin lolt ffttundo il rodotto P f ρ ( ) ( 0) L otnz sorgnt ssoit ll sint rodotto dll (9) r l vloità : Π rivut dl fluido vin lolt ffttundo il P ( ) ( ) ρ Il rorto tr l (0) l (), fornis il rndimnto dll li: 0

11 η intso om il rorto tr l fftto util (l otnz ssoit ll sint) l otnz sorgnt (l otnz lgt l slto di rssion gnrto dll rotzion dll li). Tnto iù il rndimnto è rossimo ll unità tnto iù l li è disgnt in modo ffiint. Si ossrvi rtnto qunto sgu: r umntr il rndimnto si dovrbb fr in modo h i vlori dll vloità, sino il iù ossibil rossimi; in tl modo rò tnto l sint, qunto l otnz motri tndono zro (formul (9) (0)); si uò nsr riò di omnsr l diminuzion dll otnz motri dll sint umntndo l szion dl diso dll li: si hnno rò limiti strutturli us dll forz ntrifugh gnti sull l, sorttutto nll lizioni ronutih. Nll lizioni nvli, l rsr dll dimnsioni dll li, si ggrv il fnomno dll vitzion, lgto ll ssiv diminuzion di rssion subit dll orrnt immditmnt rim di ttrvrsr il diso dll li onsistnt nll gnrzion sussivo rissorbimnto di boll di riform (gs vor). L vitzion è un fnomno ltmnt orrosivo dnnoso r i mtrili.. L quzion di bilnio dll quntità di moto in sistmi non inrzili. Proulsion rzion. Qundo si ffrontno roblmi di dinmi di fluidi in sistmi di rifrimnto in movimnto, è nssrio formulr l quzion di bilnio dll quntità di moto in sistmi non inrzili. Si onsidri rtnto un oro fluido in moto rltivo ristto d un sistm di rifrimnto in moto rigido, on vloità lrzion di trsinmnto risttivmnt d v T, T on vloità di rotzion ngolr d Ω. E noto h l vloità l lrzion di un lmnto fluido v, rtnnt l oro fluido rilvt in un sistm di rifrimnto inrzil sono lgt qull du rilvt nl sistm di rifrimnto in moto u,, dll formul: v v T T Ω r u dω du Ω u Ω Ω r r ( ) in ui r è il vttor distnz dl unto outo dll lmnto fluido dll origin dl sistm di rifrimnto in moto rigido. Si onsidri l quzion di bilnio dll quntità di moto in form globl: d ρv d f d nd μ ( Dn) d ( ) Si uò lir un rtiolr form dl torm dl trsorto, sfruttndo l quzion di bilnio dll mss in form indfinit, l rimo mmbro dll quzion ():

12 d dρv dρ dv ρvd ( v) d v ρdiv( v) d ρ d ρ d ( ) ρvdiv I mmbrodll quzion di ontinuità in form indfinit dv Sussivmnt è ossibil srimr l lrzion ssolut (); dv trmit l sond dll dv ρ d ρ T dω du Ω u Ω Ω r r d ( 5) in modo d srimr l drivt tmorl dll quntità di moto in funzion dll vloità lrzion rltiv, oltrhè dll lrzion di trsinmnto dll vloità di rotzion ngolr. L () si modifi infin nll: du dω ρ d ρ d d d - T Ω u Ω Ω r r f n μdnd ( 6) Al rimo mmbro dll quzion (6) uò or ssr lito il torm dl trsorto sondo l formul (6) dl I itolo. Portndo tutti i trmini sondo mmbro si ottin: t ρud ρu ( u n) d ρ T dω Ω u Ω Ω r r d fd nd - μdnd 0 ( 7) L (7) è l form dll quzion di bilnio dll quntità di moto rt. In rti oinid on l quzion (6) dl I itolo. Si noti rò h: i trmini di inrzi lol di flusso dll quntità di moto sono lolti on l vloità dl fluido rltiv l sistm di rifrimnto non inrzil; omr l intgrl di volum dll forz rnti dovut l moto dl sistm di rifrimnto. L quzion (7) uò ssr lit l lolo dll sint dovut ll rzion di fflusso di roulsori rzion. Si onsidri tl roosito (figur.6) un rzzo, sottoosto ll zion dll forz di grvità, h si sollvi dl suolo on vloità. Dll ugllo osto sul fondo dl rzzo fuoris fluido, risultnt dll ombustion dl rollnt, on vloità rltiv ristto l rzzo ri v, ostnt. Di onsgunz l mss di rollnt ll intrno dl rzzo vri sondo un lgg linr: m f m 0 m& t, ssndo hirmnt m& l ortt in mss usnt dll ugllo. Posto h l fflusso dl fluido vvng rssion, si vuol lolr l sint sritt sul rzzo us dll fflusso dll ugllo. Dll figur.6 si uò vdr om onvng dirttmnt onsidrr l roizion dll quzion globl (7) nll dirzion dll vloità di vnzmnto dl rzzo, individut dl vrsor, omun nh ll dirzion dll vloità rltiv di fflusso dl fluido v. In tl mbito inoltr l vloità è d onsidrrsi om vloità di trsinmnto l su drivt ristto l tmo l lrzion di trsinmnto, di modulo T. olndo or lir l quzion

13 (7) l volum di ontrollo oinidnt on il volum di fluido ontnuto ll intrno dl rzzo, si dv onsidrr qunto sgu: θ -k v Figur.6 Shm dll roulsion rzion su un rzzo il rimo mmbro dll quzion (7) è nullo, in qunto si uò ritnr h l vloità rltiv di fflusso dl fluido ssum, ll intrno dl rzzo, vlori ovunqu trsurbili ristto qullo ssunto in orrisondnz dll szion di fflusso ; il sondo mmbro, vl: ρv m& v, ssndo l uni surfii di flusso; il trzo mmbro, onsidrndo null l omonnti di moto rottorio, vl: d ρ T d m f ; il qurto mmbro, onsidrndo om forz di oro l forz so, vl: f d m g os θ ; f ( ) infin, trsurndo l ultimo mmbro, ossi onsidrndo solo gli sforzi di rssion, si h: n d S, ssndo l rssion di fflusso S l sint rivut dl rzzo d rt dl fluido. In dfinitiv si h: S m g os θ f ( ) m m& v ( 8) f d Com si vd dll (8), rt il trsurbil ontributo o dll rssion di fflusso, l rt util dll sint roulsiv è ffi ll ultimo trmin sondo mmbro dll (8), ossi ll sulsion dll ortt di mss fluid m&. L sint (8) uò ssr insrit nll quzion di quilibrio dinmio dl rzzo, roittt nll dirzion :

14 d d m R mrg os f θ f ( θ ) R m g os( ) m m& v ( 9) in ui m R è l mss dl rzzo R l forz rsistnt l moto. L quzion (9) uò ssr imigt, ssgnt l forz rsistnt l moto, r rminr l ndmnto tmorl dll vloità di vnzmnto dl rzzo. n ultrior lizion dll (7) uò ssr ffttut nl so in ui vi si nl roulsor un szion di ingrsso i, di fluido mbint dnsità ρ, nssrio ll ombustion dl rollnt, vnt dnsità ρ. Tl so si rifris i motori rzion omunmnt imigti ngli ri lo shm di ssi è rrsntto nll figur.7. S - θ -k v Com si vd dll figur.7, il roulsor si muov on vloità in dirzion, in un fluido mbint in quit. L vloità di ingrsso dl fluido mbint, rltiv l roulsor, è dunqu ri. Assumndo un volum di ontrollo oinidnt on qullo dl roulsor, l lizion dll (7), roittt nll dirzion, fornis: t Figur.7 Shm dll roulsion rzion su un romobil ρu ρud 0 ( u n) ρ f d nd -S d ρ v ρ v ρ dω Ω u Ω Ω r r d ( ρ ρ ) g os( θ ) S ρ v ρ v ρ T i ( ρ ρ ) ( ρ ρ ) ( ρ ρ ) g os( θ ) (0) i d d

15 L srssion dll sint mostr om l omonnt util si fornit dll fflusso dll ortt in mss di gs ombusti (rrsntti dll somm dll ortt in mss di rollnt fluido d mbint). Qundo l romobil è in fs di volo di rgim ( 0,os( θ ) 0 ), il trzo qurto trmin dll sint si nnullno qust ultim è dll: S ρ v ρ v ρ. L quzion di bilnio dl momnto dll quntità di moto In luni si, nl lolo dll zioni smbit tr i ori fluidi l mbint strno, è nssrio fr riorso ll quzion di bilnio dl momnto dll quntità di moto in form intgrl. Qust ultim, si ottin imonndo h l vrizion tmorl dl momnto dll quntità di moto di un oro fluido dv guglir il momnto risultnt dll forz di oro dll forz di onttto sritt sul oro ttrvrso l surfii di frontir. Il momnto dll quntità di moto di un oro fluido, h ou il volum mtril, si lol intgrndo sul volum mtril l dnsità di momnto di quntità di moto ρ ( r u) : K ρ ( r u) d ( ) Intndndo di qui in vnti on r, nl lolo dl momnto di un vttor ristto d un olo, il vttor osizion dl unto di lizion dl vttor ristto l olo rslto. L drivt totl dl momnto dll quntità di moto si lol lindo il torm dl trsorto (formul (5), C. I): i dk t ρ ( r u) d ρ ( r u)( u n) d ( ) - in ui è il volum di ontrollo oinidnt istntnmnt on il volum mtril è l surfii di frontir di tl volum. I momnti risultnti dll forz di oro di onttto lit l fluido sono i dll: r f d r ( n μdn) d ( ) Eguglindo l () ll () si rvin ll: t ρ ( r u) d ρ ( r u)( u n) d r f d r ( n μdn) d ( ) - L () è l quzion di bilnio dl momnto dll quntità di moto in form intgrl. Ess si li l oro fluido nllo stsso modo in ui si li l quzion di bilnio dll quntità di moto. A tl soo si uò nh srimr in form omtt om quilibrio di momnti risultnti dll forz di inrzi loli, dl flusso dll quntità di moto, dll forz di oro dll forz di onttto: 5

16 M M M M M I I M G Π M t M ρ r M ρ M ( r u) ( r u)( u n) r f d G Π d ( n μdn) 0 d d ( 5) Si uò inoltr formulr un quzion di bilnio dl momnto dll quntità di moto in form globl nl rifrimnto non inrzil, sgundo un rgionmnto nlogo qullo svolto r ottnr l quzion (7). Snz rirorrr il rgionmnto svolto, si ottin un quzion in form globl in ui il momnto dll forz di inrzi lol dl flusso dll quntità di moto sono lolti on l vloità dl fluido rltiv l rifrimnto in ui omr il momnto dll forz di oro rnti. Ovvimnt tutti i momnti sono lolti ristto d un olo fisso ristto l rifrimnto rltivo. E util mostrr l utilità dll (), lindol l lolo dl momnto risultnt sritto dll zion dl fluido sull ltttur di un mhin idruli rotnt. Qust ultim è rrsntt shmtimnt in figur.6, in ui si rsnt un szion dll mhin on un ino orizzontl. Tl szion mostr un sri di tr di rofili lri, rotnti on vloità ngolr ostnt ω ristto l unto o. L ortt fluid in ntrt ossid un vloità ssolut, v orintt in modo tl d formr un ngolo ri θ on l tngnt ll ironfrnz, di rggio R, irosritt ll l. Tl vloità risult dll omosizion dll vloità rltiv u R dl fluido ristto ll l dll vloità di trsinmnto u T dovut ll rotzion dll l on vloità ngolr ostnt. Il modulo dll vloità ssolut dv ssr rgolto in modo tl h l vloità rltiv dl fluido ristto ll l si tngnt ll l. L rgolzion dll vloità di ingrsso vvin trmit ositi orgni fissi mobili (vlvol di rgolzion, ltttur fiss di invio t.). In usit, l vloità ssolut è orintt in modo tl d formr un ngolo ri θ on l tngnt ll ironfrnz di rggio R. L vloità rltiv srà nlogmnt tngnt ll l. ω u R v θ v u T R o u R θ u T R Figur.6. Rrsntzion shmti di un mhin idruli rotnt. 6

17 Gli ngoli θ,θ, l ortt di fluido in trnsito, l vloità u T, u T (lgt ll vloità ngolr di rotzion ostnt dll mhin) dindono dll gomtri dll dinmi dll mhin. Con tli i si ossono rttrizzr omltmnt i tringoli di vloità di ingrsso usit. Allo soo di lolr il momnto risultnt dll zioni dl fluido sull l, si onsidri il volum di ontrollo dlimitto dll surfii ilindrih irolri trttggit, di rggio R,R dll surfii dll l. L lizion dll quzion di bilnio dll quntità di moto in form globl risult ssi omlit, mntr si rivl rtiolrmnt onvnint l lizion dll quzion di bilnio dl momnto dll quntità di moto. Si ssumrà om olo il ntro di rotzion si suorrnno vrifit l sgunti iotsi:. il moto è rmnnt;. il fluido è idl;. l distribuzioni dll vloità sull ironfrnz di ingrsso usit sono uniformi; Di onsgunz si h, onsidrndo il modulo dll vloità ssolut v l roizioni di vri trmini dll (5) sull ss di rotzion, onsidrto vrtil, rivolto vrso l lto: M M M M I M G Π k 0 k ρ k 0 ( v R os( θ ) v sin( θ ) πr v R os( θ ) v sin( θ ) πr ) k M S k ( 6) Il rimo trmin è nullo r l rmnnz dl moto. Il sondo trmin vin lolto filmnt r l iotsi ost sui mi di vloità in ingrsso in usit. Il trzo trmin è nullo rhé l forz di oro (l forz so) è ovunqu rlll ll ss di rotzion rhé l su risultnt h rtt d zion oinidnt on l ss dll mhin. Infin il qurto trmin oinid dirttmnt, mno dl sgno, on l inognit rt. Inftti l forz dovut ll distribuzion di rssion sull surfii di ingrsso usit hnno dirzion rdil: n onsgu h il loro momnto risultnt, lolto onsidrndo om olo il ntro di rotzion, è nullo. Infin, tnndo onto h l ortt è d: Q v si h, r il modulo dl momnto: ( θ ) πr v sin( θ ) π ( 7) sin R M S ρq ( v R os( θ ) v R os( )) ( 8) θ dirzion vrso oinidono on qull dll ss vrtil, rivolto vrso l lto. L (8) fornis dunqu il modulo dll oi sritt dl fluido sull ltttur dll mhin h rtnto uò ssr misurt sull ss di rotzion. L rltiv otnz si ottin moltilindo l (8) r l vloità ngolr di rotzion dll ss: P S ρqω ( v R os( θ ) v R os( )) ( 9) θ L (9) è un otnz motri s ositiv: in tl so l mhin è un turbin ssorb l otnz (9) dll orrnt h vi trnsit. L (9) è un otnz rsistnt s ngtiv: in tl so l mhin è un om d l otnz (9), fornitl d un motor strno, ll orrnt h vi trnsit. Si dv fr ttnzion l ftto h l otnz (9) è qull dut dll orrnt fluid 7

18 ll mhin, ugul in modulo di sgno oosto qull dut dll mhin ll orrnt fluid. Nll omuni lizioni si f in modo h l omonnt MM ristto ll ss di rotzion si null sull szion di ntrt o di usit, rndndo ssil l dirzion dl flusso in tl szion. (figur.7): v v Pom R R Turbin v v R R Figur.7. Szion di mhin on un ino vrtil. Priò: nll om l ingrsso dll orrnt è ssil nll szion di rggio R ; nll turbin l usit dll orrnt è ssil nll szion di rggio R ; 8