Aritmetica Computazionale. Elettronica dei Sistemi Digitali LA. Complemento a 2. Codifica Binaria: Sommatori. Sommatori Ripple Carry. A.a.

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1 Artmetc Computzonle Elettronc de Sstem Dgtl LA Unverstà d Bologn, sede d Cesen Artmetc Computzonle F.Cmp A S studno possl rchtetture hrdwre (ASIC) per relzzre operzon Mtemtche su segnl compost d strnghe d t, n modo d relzzre le Specfche fsche che c s propone (Funzonlt, Tmng, Power, Are): RAPPRESETAZIOI: Unsgned (Codfc Esdecmle d numer postv) Two s complement (Complemento Due) OPERAZIOI: Addzone Moltplczone (Dvsone, Rdce Qudrt, etc) -> on verrnno trttte { n... } Codfc Bnr: ove rppresent l numero * Tpcmente n puo essere: 8 -> Bytes, 6-> Hlf Word, 3->Word o pu. el cso d rchtetture progrmml (Mcroprocessor, DSP) e fssto, mentre nel cso degl ASIC vene regolto second dell precsone volut n modo d ottmzzre le rsorse utlzzte, ES: { *8 *4 * * } 3 { } Complemento : In modo d fcltre l esecuzone dell sottrzone, I numer negtv sono espress ttrverso l seguente formul: -n (ñ) ES: - - * { } { } Complemento L operzone d complemento d e relzzt ttrverso un negzone t t, che puo essere su volt relzzt con un operzone d or con : x x * * x * x * {,,..., ( x x * } * ) Sommtor OBIETTIVO: Relzzre de crcut ASIC gte level che descrvno l operzone d somm tr vettor d t: { n } { n } {z n z } Sommtor Rpple Crry S vuole relzzre qund l operzone seguente: Voglmo scomporre l operzone su un sngolo t, sr po suffcente replcre volte l stess logc Prolem: Sceglere l corretto TRADE-OFF (Compromesso) tr rsorse fsche (Are e Consumo) e veloct d elorzone S puo scomporre dunque l clcolo n due funzon logche ts, l clcolo dell somm () e del rporto (Crry Out): In generle, l operzone e descrtt dlle seguent mppe d Krnugh per S e Co.

2 Hlf-Adder Full-Adder A/B A/B AB/ Cn AB/ Cn SUM Crry Out S ottene qund S A OR B Co A nd B SUM Crry Out Tle Crcuto, defnto LF ADDER, h pero senso solo se rferto l prmo stdo Dell somm, mentre gl std successv dovrnno tenere conto del CO de precedent. Sr qund necessro un crcuto 3 ngress. Full Adder: Clcolo d Full Adder: Clcolo d Crry-out * * c * * c * * c * * c c*( * * ) c *( * * ) c*( ) c *( ) ( ) c * * c * c Che puo essere scrtto nche come: ot: * ( ) * c c*( ) c*( ) c*(( )*( )) c*( ) c*( ) Full Adder Sommtor Rpple-Crry Cn Cn Cn Cn RIPPLEPropgzone del Crry Vntgg:. Hrdwre fclmente replcle per std. Molto pccolo: uno stdo e clcolto con 5 gtes Cn Svntgg: Ogn stdo deve concludere l propr elorzone prm che l seguente poss ncomncrl: l rtrdo ntrodotto e proporzonle l numero d std, e qund l numero d t degl opernd. Dely o()

3 Sommtor Crry-Lookhed Sommtor Crry-Lookhed S rcord l clcolo per l determnzone del Crryout nel full-dder * * c * c S puo scrvere come * c*( ) Il clcolo de dvers crry out present nel sommtore 4 t puo essere qund descrtto secondo l lgortmo seguente: C G PC C G C 4 G3 PG P3G PP C 3 G PG P C PG P P3PG P PP C 3PPG P3PPPC Defnendo * GEERATE (G), PROPAGATE G Cn * P Sommtor Crry-Lookhed Antcpndo l clcolo del crry secondo qunto descrtto e possle Relzzre l seguente sommtore Crry-Lookhed. G 3 P 3 G P G P G P C 3 C C C p 3 p p p Sommtor Crry-Lookhed Il prncple vntggo d quest sommtor e d offrre, l prezzo d un superore utlzzo d logc un rtrdo nferore. L logc del crry offre nftt un rtrdo, nel cso d dder 4 t, d Due lvell d gtes. Pu n generle s vree Dely o(log n) s 3 s s s Lo svntggo prncple d quest rchtettur e che le equzon logche Dventno troppo complesse oltre l ordne 4. D conseguenz CLA vengono utlzzt d solto n locch gerrchc 4 t. Sommtor Crry-Select D qunto descrtto ppre utle defnre un metodo per l connessone veloce d Std d somm gerrchc compost d un numero d t >. Un possle tecnc e l Crry-Select: Vengono n effett determnt due clcol dvers dpendent d Cn (che dovr essere prodotto n seguto), e un volt eseguto l conto vene selezont l usct opportun n se l vlore d Cn: A 7,4, B 7,4 A 7,4, B 7,4 Sommtor Crry-Select Il vntggo mmedto d quest tecnc e l gudgno n veloct, lo svntggo e l rlevnte umento n termn d re occupt e d consumo. 4-t dd 4-t dd 4-t dd 4-t dd 4-t dd 4-t dd 4-t dd A 3,, B 3, 4-t dder C 3out 4-t dder 4-t dder S 3, S 7,4 mux S 7,4 T dely Tstdo Tmux* std S 7,4 3

4 T Sommtor Crry-Bypss Il Cn d un locco puo essere propgto n usct dllo sesso solo se tutt I P sono d. Se co non succede per lmeno P, (condzone dett d DELETE) non h senso propgre l Cn. 4-t dd 4-t dd 4-t dd 4-t dd P3PPP P3P PP dely Tstdo Typss * std P3PPP Determnzone dell Overflow Se l operzone d somm (o sottrzone) e esegut senz segno, l t d overflow e semplcemente determnto dl Crry-out dello stdo. In cso d operzone n complemento, s utlzz l seguente lgortmo:. Se l t d mggor peso de due opernd e dverso, non c puo essere overflow. Se I due opernd hnno ugule t d mggor peso, l t d mggor peso del rsultto deve essere ugule due t degl opernd OF ( A B )*( A S ) Moltplctor Hrdwre Algortmo d Moltplczone Moltplctore Serle Moltplctore Prllelo Moltplctore Booth-Encoded x * M Y y 3 * Y 3 Y Y Y Y Y Y Y 3 Y Y Y Y - 3 Y Y Y Y Y Y Y Y Z 7 Z 6 Z 5 Z 4 Z 3 Z Z Z M Z * Y xy j j j Moltplctore Rpple-crry d rry FA FA FA FA FA Y Y Y Y3 Moltplctore Rpple-crry d Arry Vntgg: Grnde smmetr (lyout rettngolre) Buone prestzon (elevto prllelsmo) Svntgg: otevole Impego d rsorse Hrdwre Crtcl Pth non en dentfcle Dely: T mult [(M-)(-)]t crry (-)t sum t nd Z7 FA FA FA Z6 Z5 Z4 Z3 Z Z Z 4

5 Moltplctore Crry-Rpple 8-t Y Y Y Y Y 3 Y Y 7 Y Moltplctore Crry-Sve 8-t CRA 8-t CRA 8-t CRA 8-t CRA 8-t CRA 8-t CRA 8-t CRA T dely o() Rsultto przle (8t) Crry-out (t) MERGE ADDER Computzone nel domno dello spzo: strutture d lero L computzone nel domno del tempo, tpc delle mcchne progrmml, s svlupp tpcmente secondo un struttur lnere: ((( )c)d) Rtrdo o() num opernd Per sfruttre ppeno vntgg dell computzone nel domno dello spzo è necessro esplctre pù possle l prllelsmo nsto n un determnto tpo d clcolo, con un struttur logrtmc : ( () (cd) ) Rtrdo o(log ) Moltplctore Crry-Sve 8-t Y Y Y Y 6 4 Y 3 Y Y 7 Y 5 8-t CSA Merge dder 8-t 8-t CSA 8-t CSA 8-t CSA 8-t CSA 8-t CSA 8-t CSA T dely o() Rsultto przle (8t) Crry-Sve out (8t) Moltplctore Wllce Tree Crry-Sve 8-t 8-t CSA 8-t CSA 8-t CSA 8-t CSA 8-t CSA 8-t CSA Merge dder Rsultto przle (8t) Crry-Sve out (8t) Moltplctore d lero d Wllce Vntgg: Cl l complesst dell lero, vene umentt l prestzone Dmnusce l numero d rsorse utlzzte Svntgg: Lyout fortemente smmetrco Dely: T mult (-)t crry t nd t merge o() T dely o(log ) 5

6 Codfc d Booth OBIETTIVO : L complesst de moltplctor e legt l numero d t necessr per codfcre gl opernd, ed e proporzonle. S puo pensre d codfcre l numero nro n ngresso n modo dverso n modo d dmnure l numero d smol necessr descrverlo: d esempo, l numero n se e codfcto con 4 smol, potree essere rppresentto n se 4 con Smol. () * 3 * * * (3) 4 3*4 *4 Lo svntggo e che le operzon d somm e prodotto smolo smolo necessre oer relzzre l lgortmo d moltplczone con se 4 potreero dventre troppo complesse. D certo lo sreero In se 4 usndo un codfc n complemento. M s puo nvestgre un tpo d codfc se 4 che descrv somm e prodotto Tr smol n un modo semplce dl punto d vst dell mplementzone Hrdwre. [ * * * * Codfc d Booth * * ( * ] * * ) [ (Rppr. In Complemento ) * * ] * n ( ) * ( * *( Codfc d Booth n * * * ) [ ) * * * F() J n * 4 * M ] Codfc d Booth F *Y Se dovess fre un prodotto *Y e voless generre prodott przl usndo un moltplctore codfcto n quest form, dovre sostture nell struttur del moltplctore mtrce operzon d shft(*) e d complemento due n luogo de gtes nd. F Y Y Y -Y -Y -Y Codfc d Booth Ogn operzone d prodotto przle vene gestt con un multplexer che selezon le possl uscte tr le operzon mposte - BOOTH ECODIG: Y Y Y -Y MU Ad ogn psso l prodotto przle puo essere shftto d DUE PASSI (nvece che uno) Verso snstr. Il numero d lvell necessr relzzre questo tpo d moltplczone e qund / nvece d, l re e l rtrdo s dmezzno prtcmente, nche se s ntroduce un logc d controllo pu compless. Booth Encoded Multpler 8 t Slde modfct!!! Y Y Y -Y MU 3 Y Y Y -Y 9 t MU 9 t - 8 t dder Elettronc stge de Sstem Dgtl t Y Y Y -Y 8 t dder stge 8 t MU 9 t 8 t dder stge 8 t t Y Y Y -Y MU 7 t t 8 t 6

7 Moltplctore Serle Moltplctore Serle () Bsto su regstr : A Moltplctore B Moltplcndo (64 t) P Regstro ccumulzone przle (64 t) Il Prodotto e sto su un sere d AD t t, Bsto su regstr : A Moltplctore B Moltplcndo (64 t) P Regstro ccumulzone przle (64 t) In quest soluzone P ed A sono conctent, permettendo un notevole rsprmo d rsorse: A (shft left) A 64-t dder B (shft rght) 3-t dder P en P/B (Shft Rght) en 7