Equazioni lineari, Sistemi lineari Piano Cartesiano Retta nel Piano Cartesiano

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1 Percorso didttico di mtemtic Equzioni lineri, Sistemi lineri Pino Crtesino Rett nel Pino Crtesino EGISTO CASALI, ssis VIII ciclo.. 007/008 gennio 008

2 . Destintri e Contenuti Questo percorso didttico si rivolge studenti del Liceo Scientifico di ordinmento. Si rticol in quttro unità didttiche: U.D. Equzioni lineri, rivolto studenti del primo nno U.D. Sistemi di equzioni lineri, rivolto studenti del secondo nno U.D. 3 Pino crtesino, rivolto studenti del terzo nno. U.D. 4 Rett nel pino crtesino, rivolto studenti del terzo nno.. Prerequisiti U.D. Scomposizione di polinomi in fttori Clcolo lgebrico con monomi, polinomi Frzioni lgebriche Prodotti notevoli U.D. Ridurre form normle equzioni Utilizzre il linguggio degli insiemi Risoluzione di equzioni lineri U.D. 3 Teori degli insiemi Clcolo lgebrico Funzioni (primi elementi) Equzioni e disequzioni di primo e secondo grdo Geometri sintetic Vlore ssoluto U.D. 4 Teori degli insiemi Geometri sintetic Clcolo lgebrico Equzioni e disequzioni di primo grdo Modulo o vlore ssoluto di un funzione Pino e coordinte crtesine 3. Accertmento dei prerequisiti Per l comprensione del seguente percorso didttico è indispensbile l conoscenz dei prerequisiti sopr elencti, il cui ccertmento vverrà ( in ognun delle U.D. ) medinte un verific. Se necessrio si provvederà quindi l recupero dei prerequisiti mncnti. Si cercherà comunque di richimre concetti e proprietà ogni volt che questi verrnno utilizzti. 4. Obiettivi OBIETTIVI GENERALI Acquisire le conoscenze, competenze e bilità previste dll unità didttic Comprendere le finlità e cquisire l competenz del clcolo lgebrico

3 Condurre d un pproprito utilizzo del linguggio mtemtico Individure l strtegi di soluzione più degut di un problem, in bse lle indiczioni ricevute Condurre d un pproprito utilizzo del lessico mtemtico Acquisizione e conspevolezz dei vri collegmenti logici che prtono di sistemi lineri Riconoscere il contributo dto dll mtemtic llo sviluppo delle scienze sperimentli OBIETTIVI TRASVERSALI Sviluppre ttitudine ll comuniczione e i rpporti interpersonli fvorendo lo scmbio di opinioni tr docente e llievo e tr gli llievi Amplire ulteriormente il processo di preprzione scientific e culturle degli studenti Contribuire sviluppre cpcità logiche ed rgomenttive Sviluppre lo spirito critico e l ttitudine riesminre criticmente ed sistemre logicmente le conoscenze cquisite Sviluppre l cpcità di sistemre logicmente le conoscenze cquisite OBIETTIVI SPECIFICI Conoscenze Conoscere l clssificzione e l risoluzione di equzioni di primo grdo Riconoscere, impostre e risolvere problemi di primo grdo Conoscere come si present un sistem linere Conoscere l clssificzione dei sistemi lineri Conoscere i metodi di risoluzione dei sistemi lineri Conoscere l definizione di coordinte crtesine sull rett Conoscere le relzioni tr segmenti di un rett Conoscere l definizione di punto medio di un segmento Conoscere l definizione di distnz fr due punti di un rett Conoscere l definizione di sistem di riferimento crtesino Conoscere l definizione di distnz fr due punti nel pino Conoscere l definizione del punto medio di un segmento nel pino Conoscenz dell equzione implicit ed esplicit dell rett Conoscenz dei coefficienti m e q (rispettivmente pendenz ed intercett) Conoscenz dell condizione di prllelismo e di ortogonlità Conoscenz di fscio proprio ed improprio di rette Conoscenz dell equzione che dà l distnz di un punto d un rett Abilità Sper risolvere equzioni di primo grdo intere e frtte Sper individure le equzioni lgebriche di rette, precisndone le crtteristiche Sper impostre e risolvere problemi di primo grdo Clssificre i sistemi di equzioni Risolvere un sistem di equzioni Rppresentre un sistem nel pino crtesino Applicre il concetto di sistem linere ll risoluzione di problemi Sper rppresentre nel pino prodotto crtesino, intersezione e unione di insiemi

4 Sper individure le equzioni lgebriche di rette precisndone le crtteristiche, riuscire rppresentre tli equzioni in un riferimento crtesino ortogonle Dt un rett ed un punto O sper definire un riferimento (o un sistem di scisse); Dti due punti sull rett sper determinre l lunghezz lgebric del segmento ed il reltivo punto medio. Dti due punti qulsisi sull rett sper determinre l distnz fr i punti; Sper disegnre un punto di coordinte dte su un sistem di riferimento crtesino ortogonle; Sper clcolre l distnz tr due punti qulsisi e reltivo punto medio su un sistem di riferimento crtesino ortogonle; Sper disegnre le due bisettrici dei qudrnti -3 e -4 rispettivmente; Sper individure le crtteristiche di prticolri punti quli segno delle coordinte in corrispondenz dei differenti qudrnti, punti pprtenenti uno dei due ssi e ltri csi prticolri; Essere in grdo di pplicre le conoscenze e le competenze cquisite nche i cmpi diversi, per esempio in fisic: - Composizione dei vettori velocità; - Scomposizione dei moti bidimensionli; - Studio degli urti elstici; Sper ricvre l equzione dell rett Sper riconoscere l equzione dell rett Dt l equzione di un rett sper determinre l distnz di un punto dll rett stess Sper disegnre un rett nel pino crtesino Essere in grdo di determinre l condizione di perpendicolrità dte l equzioni di due rete Determinre l equzione esplicit dell rett Trovre un punto che soddisfi l equzione dell rett Riconoscere l condizione di prllelismo Essere in grdo di pplicre proprietà già note di geometri sintetic contesti di geometri nlitic Essere in grdo di risolvere problemi di geometri dndone un interpretzione nlitic Essere in grdo di pplicre le conoscenze e le competenze cquisite nell interpretzione dei grfici che descrivono sistemi fisici (moto uniformemente ccelerto, moto rettilineo uniforme, moto costnte). 5. Metodologie didttiche Durnte lo svolgimento delle lezioni si cercherà di richimre i concetti fondmentli. Per fissre e chirire il legme tr spetti lgebrici e di geometri nlitic, oltre lle esercitzioni in clsse, si utilizzernno, nelle ore di lbortorio mtemtico il softwre Cbrì. Al termine di ogni lezione si fissernno le nuove nozioni ttrverso lo svolgimento di esercizi. 6. Mterili e strumenti utilizzti Lvgn e gessi Libro di testo Lbortorio di Mtemtic dotto di softwre Cbrì 7. Controllo dell pprendimento L ndmento e l efficci dell metodologi didttic utilizzt vengono controllte ttrverso verifiche formtive, discussioni in clsse, svolgimento di esercizi in clsse e cs e ttrverso verifiche sommtive.

5 8. Misurzione L misurzione si ttu ttrverso: Verific per l ccertmento dei prerequisiti Prove orli individuli Verific sommtiv 9. Grigli per l misurzione Per determinre gli esiti dell verific sommtiv ttribuimo d ogni esercizio un punteggio. L diversità di punteggio tr i vri esercizi rispecchi i livelli diversi di difficoltà in termini di conoscenze e bilità per svolgerli. Il punteggio finle ottenuto srà poi trsformto in voto seguendo l grigli per l vlutzione decis in collegio docenti dell reltiv scuol. (Diprtimento di mtemtic) Eventulmente, si seguirnno due griglie differenti: un per il biennio ed un per il triennio. 0. Recupero Affinché l ttività didttic risulti efficce e complet, si prevede di svolgere, eventulmente, ttività di recupero così rticolte: Recupero d effetture in clsse durnte le ore curricolri, ttrverso l ripres dei concetti non ben compresi e lo svolgimento di esercizi rigurdnti tli rgomenti. Attività pomeridine con studenti crenti Assegnzione l singolo studente di esercizi mirti, in modo d risolvere i suoi problemi e superre le sue difficoltà Per individure gli rgomenti che necessitno di recupero, si livello collettivo si livello individule, ci si vvrrà di tutti i tipi di verific.. Tempi dell intervento didttico Per l U.D. sono previste 5 ore di lezione frontle più le ore dedicte d esercizi in ul. Per l U.D. sono previste 0 ore di lezione frontle più le ore dedicte d esercizi. Per l U.D. 3 sono previste 0 ore di lezione frontle ed esercizi in ul. Per l U.D. 4 sono previste 5 ore di lezione frontle, esercizi e lbortorio. Sono escluse dl computo le ore necessrie per l effettuzione e l correzione/discussione dell verific sommtiv. I tempi per il rggiungimento degli obiettivi prefissti dipendernno nche dl livello di pprendimento rggiunto dgli llievi.. Bibliogrfi 3 Algebr M.Scovenn, P.Bucchi, G.Fbbri, R.Silvestroni. (CEDAM) Linementi di mtemtic N.Dodero, P.Broncini, R.Mnfredi. (GHISETTI e CORVI) Oggetto Mtemtic P.Avnzini, P.Muri. (GHISETTI e CORVI) Complementi di lgebr e nozioni di nlisi mtemtic G.Zwirner. (CEDAM)

6 Sviluppo dei contenuti U.D. : EQUAZIONI LINEARI Dl problem ll equzione Un problem è un proposizione con l qule, noti i vlori di lcune grndezze (dti), si chiede di determinrne ltri ( vlori incogniti ), che bbino con i dti determinte relzioni. Esempi: ) Individure il numero che ddizionto dà come somm il doppio di 9. b) L somm di tre numeri è 74; se il primo è il doppio del secondo e il terzo super di 4 il secondo, quli sono i tre numeri? c) Il perimetro di un rettngolo è 0 cm e l ltezz è 3/5 dell bse diminuiti di 7 cm. Clcolre l re del rettngolo. d) Il perimetro di un rettngolo è 0 cm e l ltezz è 3/5 dell bse diminuiti di 7 cm. Clcolre l re del rettngolo. Se esistono vlori dell incognit ( o delle incognite) che verificno le condizioni imposte dl problem, questo si dice possibile ; questo vlore ( o tle insieme di vlori) si dice soluzione del problem. L enuncito del problem pone sempre tr i dti e l incognit un legme, cioè un relzione,che si può scrivere sotto form di uguglinz. E proprio ttrverso tle uguglinz che vviene l ricerc dei vlori incogniti del problem. Sotto opportune condizioni, tle uguglinz viene dett equzione, l qule h come obiettivo nturle, quello di guidrci verso l soluzione del problem. Uguglinze tr espressioni Si considerino le seguenti espressioni: A 6 e B 3. Poiché si l prim espressione si l second rppresentno il numero 4, consegue che esse sono uguli e si scrive: A B. E lecito scrivere llor: 6 3. Sino dte le espressioni: C 7 e D 8 4. L prim espressione rppresent il numero 5 e l second il numero 4. Poiché le due espressioni non rppresentno l medesim entità, si dice che esse sono diverse e si scrive: C D. Quindi, si h: Sino dte le espressioni letterli (polinomi): X 3 e Y 3, dove l letter rppresent un generico numero rele. I vlori numerici rppresentti dlle due espressioni dipendono di vlori che sono ttribuiti ll letter. Diftti, per 5, si h: X , Y

7 Si può scrivere, llor: X 5 Y 5. Eseguendo l moltipliczione nell second espressione, si h: Y 3 3. Come si vede, entrmbe le espressioni rppresentno l medesim entità, perciò si può scrivere: X Y, ossi: 3 3. () L () rppresent un uguglinz sempre ver ossi indipendentemente di vlori numerici che sino ttribuiti ll letter. Si dice che ess è un uguglinz incondiziont, l qule è denomint identità. L espressione scritt prim del segno di uguglinz rppresent il primo membro dell identità, quell scritt dopo tle segno ne rppresent il secondo membro. Sino dti i seguenti polinomi di primo grdo in m : P m m 7 e Q m m 4. Per m 4, si h: P , Q Si può scrivere: P 4 Q 4. Per m, si h: P 7 7 5, Q 4 5. Si può scrivere: P Q. Come si vedrà prossimmente, le due espressioni dte rppresentno un uguglinz soltnto per m. Si può dire llor che m 7 m 4 equzione. è un uguglinz condiziont, l qule è denomint Definizioni : IDENTITA :L identità è un uguglinz letterle verifict per qulsisi vlore ttribuito lle lettere che vi compiono. EQUAZIONE :Un equzione lgebric è un uguglinz tr due espressioni lgebriche che risult verifict solo d prticolri vlori delle incognite in ess contenute. Esempi di identità :. b b b ;

8 . b b b ; b 3 b 3b b ; b b b b ; b b b b b b ; Bisogn osservre, però, che esistono nche uguglinze tr espressioni letterli che non sono verificte per lcun vlore delle incognite in esse contenute. Tli uguglinze vengono dette impossibili. Alcuni esempi : ) b 3 0 ) 5 5 Equzioni. Clssificzione Dt un equzione, le lettere, di vlori delle quli dipende se l uguglinz è verifict o no, sono dette incognite ( meglio ncor vribili ). Gli eventuli vlori dell vribile, che fnno ssumere vlori uguli i due membri dell equzione (ossi, l verificno),si dicono soluzioni, o rdici dell equzione. L insieme S di tutte le soluzioni si chim insieme delle soluzioni. Occorre questo punto fre l seguente osservzione: un uguglinz che può essere possibile in un certo insieme numerico, può essere impossibile in un insieme numerico diverso. Ad esempio, l equzione : è verifict per, e per nessun ltro vlore di.però, se si vuole che ssum soltnto 3 vlori interi, llor tle uguglinz risult impossibile nei numeri interi. Questo esempio mette in luce che l insieme delle soluzioni di un equzione dipende dl dominio dei due membri dell equzione; ciò è chiro se si pens che S deve essere un sottoinsieme di ciscuno dei domini delle espressioni. In bse qunto detto, dt l equzione A( ) B( ) in cui l vribile è, se D è il dominio comune delle espressioni A() e B(), in generle si h : D è detto dominio dell equzione. In questi termini, se : S r r D e A( r) B( r) S D, l equzione è determint, (esempio, con D, 6 S 8 ) S D, l equzione è un identità, (esempio, con D, ( ) S ) S, l equzione è impossibile ( esempio, con D, 3 S ) Qundo srnno consolidte le tecniche di risoluzione, è opportuno fornire esempi di equzioni le cui soluzioni sono di ntur divers in bse l dominio scelto.

9 Un equzione si dice lgebric se in ess compiono soltnto operzioni di tipo lgebrico: ddizione, sottrzione, moltipliczione, divisione, potenz, estrzione di rdice. Un equzione lgebric si dice rzionle se in ess non compiono operzioni di estrzione di rdice. Un equzione rzionle si dice inter se l vribile non compre l denomintore di qulche frzione. Un equzione rzionle si dice frtt se l vribile è presente nel denomintore di qulche frzione. Un equzione si dice: numeric, se oltre ll incognit vi figurno solo numeri, letterle, se contiene nche ltre lettere d considerre costnti Un equzione lgebric inter si dice ridott in form normle se è del tipo A( ) 0, dove il primo membro è rppresentto d un polinomio in cui è stt ftt l riduzione dei termini simili. ESEMPI DI EQUAZIONI ALGEBRICHE INTERE A UNA INCOGNITA RIDOTTE IN FORMA NORMALE ; ; ; ; GRADO DI UNA EQUAZIONE ALGEBRICA INTERA CON UNA VARIABILE Si dice grdo di un equzione lgebric con un incognit ridott form normle il mssimo esponente che l incognit present nell equzione. Negli esempi precedenti, le equzioni sono rispettivmente di primo, secondo, terzo e sesto grdo. Si dimostr che il numero mssimo delle rdici di un equzione lgebric è espresso dl grdo dell equzione. Ad esempio: Un equzione di primo grdo mmette l mssimo un rdice. Un equzione di secondo grdo mmette l mssimo due rdici. Un equzione di terzo grdo mmette l mssimo tre rdici. E così vi. L più generle equzione lgebric inter è rppresentt dll espressione:

10 ... 0 n n n 0 n dove 0,,,,...,, n n n sono numeri reli (coefficienti) e n è un numero nturle. Per riconoscere il grdo di un equzione inter occorre ridurl form normle. Alcune osservzioni: L espressione A( ),ridott form normle o è ncor un polinomio nell vribile, oppure è un costnte ( un numero ). Se è un costnte, e tle costnte è null, l equzione è chirmente un identità e tle è chirmente nche l equzione dt. Se è un costnte divers d zero, l equzione è evidentemente impossibile. Se invece è un polinomio nell vribile, di grdo mggiore o ugule d uno, nche l equzione A( ) 0 è di grdo mggiore o ugule d uno. Equzioni equivlenti Due equzioni lgebriche si dicono equivlenti se sono dello stesso grdo e mmettono le stesse rdici. Ciò signific che due equzioni sono equivlenti se l insieme S dell prim equzione, coincide con l insieme S dell second equzione. E ovvio quindi che, in tl cso, è indifferente risolvere l un o l ltr, perché in ogni cso si trov sempre lo stesso insieme S. Per risolvere un equzione, si cerc di sostituirl con un ltr equivlente, m di form più semplice; reiterndo tle rgionmento, pplicndo opportune trsformzioni,si rriverà dover esminre l equzione equivlente lle precedenti dell form più semplice possibile, stbilendo se l equzione di prtenz (equivlente quell trovt), è identic, impossibile, o determint, e, in quest ultimo cso, determinndone l soluzione. E quindi necessrio conoscere le trsformzioni che permettono di sostituire un equzione con un ltr equivlente. Tli trsformzioni derivno d due teoremi detti Principi di equivlenz delle equzioni. PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA DELLE EQUAZIONI Considerimo l equzione: il cui insieme soluzione soluzione è S Se ddizionimo i due membri dell equzione uno stesso numero, d esempio 3, ottenimo l equzione il cui insieme soluzione soluzione è ncor S 7. L equzione ottenut è quindi equivlente quell di prtenz. Se sottrimo i due membri dell equzione inizile ( 7 4 ) uno stesso numero, d esempio 4, ottenimo l equzione: il cui insieme soluzione soluzione è ncor S 7. L equzione ottenut è quindi equivlente quell di prtenz.

11 Anche se si ddizion o si sottre un espressione letterle i due membri di un equzione, si ottiene un equzione equivlente quell dt. Possimo quindi enuncire l seguente regol, chimt primo principio di equivlenz delle equzioni: se si ddizion o si sottre i due membri di dominio D di un equzione, uno stesso numero o un stess espressione letterle, nch ess di dominio D, si ottiene un equzione equivlente ll dt. E importnte sottolinere il ftto che l espressione letterle che si ggiunge ( o si toglie) d mbo i membri dell equzione, deve vere lo stesso dominio dell equzione. In cso contrrio le equzioni potrebbero non essere equivlenti. Vedimo or lcune conseguenze di questo principio: TRASPORTO DEI TERMINI DA UN MEMBRO ALL ALTRO DI UN EQUAZIONE Considerimo l equzione = 6 Applicndo il primo principio di equivlenz, sottrimo i due membri il numero 4 : = 6 4 Eseguendo i clcoli ottenimo l equzione equivlente 4 = 6 4 Confrontndo quest ultim equzione con quell di prtenz, osservimo che il termine noto + 4 è scomprso dl primo membro e compre nel secondo con il segno cmbito: = 6 4 = 6 4 Nello stesso modo possimo semplificre ulteriormente l equzione: 4 6 = 4 = 4 In generle vle l regol del trsporto: in ogni equzione un termine qulsisi può essere trsportto d un membro ll ltro, purchè si cmbito di segno. In questo modo si ottiene un equzione equivlente quell inizile. ELIMINAZIONE DEI TERMINI UGUALI NEI DUE MEMBRI DI UN EQUAZIONE Considerimo l equzione : 6 0 = in cui compre il termine 0 in entrmbi i membri. Applicndo il primo principio di equivlenz, possimo ddizionre i due membri l opposto di 0 cioè + 0 e ottenimo = Eseguiti i clcoli, l eq. divent:

12 6 = 4 + Possimo quindi notre che in quest ultim equzione sono scomprsi i due termini uguli che comprivno nell prim (cioè i termini 0). In generle vle l regol: se due termini uguli figurno uno nel primo membro, l ltro nel secondo membro di un equzione, possono essere eliminti. Osservimo in questo cso l possibilità che vengno considerte, in conseguenz di tle procedimento,soluzioni che fccino perdere di significto i termini dell ltr. Ad esempio: non è equivlente in qunto l soluzione dell second equzione f perdere di significto l termine soppresso. Riduzione form normle Un equzione può sempre essere ridott d un ltr equivlente, nell qule uno dei due termini si zero. Inftti, direttmente dl primo principio, A( ) B( ) A( ) B( ) B( ) B( ) A( ) B( ) 0 SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA DELLE EQUAZIONI Considerimo l equzione: 7 4 il cui insieme soluzione soluzione è S 7. Se moltiplichimo i due membri dell equzione per uno stesso numero 0, d esempio 3, ottenimo l equzione 3 4 il cui insieme soluzione soluzione è ncor S 7. L equzione ottenut è quindi equivlente quell di prtenz. Se dividimo i due membri dell equzione inizile ( 7 4 ) per uno stesso numero 0, d esempio, ottenimo l equzione: 7 4 il cui insieme soluzione soluzione è ncor S 7 L equzione ottenut è quindi equivlente quell di prtenz. Considerimo desso l equzione 3 5 moltiplicndo i due membri per, divent: 3 5 Tli equzioni non sono equivlenti, perché l prim h l unic soluzione = 4, mentre l second (si può vedere che..) h le due soluzioni = 4 e = 0.

13 Perciò, qundo si moltiplicno i due membri per un fttore contenente l vribile, si possono introdurre delle soluzioni estrnee. Occorre, in tl cso, discutere ogni soluzione dell equzione risultnte per escludere quelle estrnee. Tli soluzioni sono quelle che nnullno il termine moltiplicto, senz verificre l equzione propost. Divent necessri l condizione che il termine moltiplictore non si nnulli, se si vuole ottenere un equzione equivlente quell dt. Il discorso è in un certo qul modo opposto, se si vuole dividere entrmbi i membri di un equzione per un termine M() contenente l vribile. Per esempio, l equzione: 0, dividendone i due membri per + 4, divent 0 0 ( 4)( 5) Quest ultim equzione mmette l soluzione = 5, che è nche l soluzione dell equzione di prtenz. Però, l equzione propost mmette nche l soluzione = - 4, che è proprio l soluzione di + 4 =0, ottenut uguglindo zero il polinomio per cui sono stti divisi entrmbi i membri. L equzione ottenut non è equivlente quell dt. Perciò, qundo si dividono i due membri per un termine M() contenente l vribile, si possono sopprimere delle soluzioni dell equzione di prtenz, e precismente quelle dell equzione M() = 0. Occorre, in tl cso, ggiungere lle soluzioni dell equzione trsformt, nche le eventuli soluzioni dell equzione M() = 0 che verificno nche l equzione dt. Possimo quindi enuncire il seguente teorem, chimto secondo principio di equivlenz delle equzioni: se si moltiplicno o si dividono i due membri di un equzione A( ) B( ) di dominio D per uno stesso numero diverso d zero, oppure per un stess espressione lgebric M(), nch ess di dominio D e che non si nnulli mi ( ftt slv l osservzione precedente ), si ottiene un equzione equivlente ll dt. Dl secondo principio di equivlenz delle equzioni derivno lcune importnti conseguenze. Divisore comune Se tutti i termini dei due membri dell equzione sono divisibili per uno stesso numero, si può sostituire ll equzione dt, quell equivlente, ottenut dividendo tutti i termini per tle divisore comune. Per esempio, poiché tutti itermini dell equzione : 6 4( 3) 0 sono divisibili per 4,dividendo i due membri per 4, si ottiene l equzione equivlente : Eliminzione dei denomintori Considerimo l equzione: Riducimo i due membri dell equzione llo stesso minimo comun denomintore:

14 Applicndo il secondo principio di equivlenz possimo moltiplicre entrmbi i membri per il minimo comune denomintore () e poi semplifichimo (8 3) (4 6) Ottenimo così l equzione: che è equivlente quell di prtenz m priv di frzioni. In generle: un equzione con coefficienti o termini noti frzionri si può trsformre in un equzione equivlente senz frzioni se si riducono i due membri l minimo comune denomintore e si moltiplicno poi per esso. Cmbio dei segni di un equzione Considerimo l equzione: Applicndo il secondo principio d equivlenz, moltiplichimo per i due membri : (- ) (- 0-9 ) (7-6) (- ) ottenimo : che è equivlente quell inizile In generle: Se si cmbi il segno tutti i termini di un equzione si ottiene un equzione equivlente ll dt. Osservzione : è importnte rimrcre il ftto che le tecniche di clcolo viste, come il trsporto e l eliminzione dei denomintori ( e come tutte le ltre ) sono conseguenze dei principi di equivlenz delle equzioni. Equzioni lineri Un'equzione linere (nell vribile ) è un'equzione che si riduce in form normle d un binomio di primo grdo nell vribile, uguglito zero : A B 0 dove A e B sono costnti. Le equzioni lineri si chimno nche equzioni di primo grdo. A è dett coefficiente dell incognit. B è dett termine noto.

15 Esempi di equzioni lineri: 3 + = = - = 0 Dt un equzione linere di dominio D= nell vribile, A B 0 si h che : Se A = 0 e B = 0, llor S = (equzione identic). () Se A = 0 e B 0, llor S = { } (non mmette soluzione). () Se A 0, llor S = {- B/A} (mmette l'unic soluzione = - B/A). (3) D ciò deducimo inoltre che l soluzione di un'equzione linere del tipo (3), di dominio, dove A e B sono numeri interi (e A 0), è sempre un numero rzionle. A volte possimo trsformre equzioni pprentemente complicte in equzioni lineri. Esempio: Equzione dt: ( + ) = + 5 Toglimo le prentesi l membro sinistro ed eseguimo le trsformzioni indicte finco: + + = = 5 - = 4 : = che ci dà l soluzione. I monomi sono stti eliminti e l'equzione si è rivelt linere. Alcuni esempi dei csi precedentemente illustrti, in cui supponimo D= : ( in ogni pssggio, è stto pplicto il principio di equivlenz pproprito ) Svolgendo i clcoli, si h: Riducendo i termini simili in entrmbi i membri, si h: Seprndo i termini incogniti d quelli noti, si h: Riducendo i termini simili, si h: 7.

16 Moltiplicndo entrmbi i membri per, si h: 7. D cui:. 7 S ( cso (3) ) Svolgendo i clcoli, si h: 3 4. Riducendo i termini simili in entrmbi i membri, si h: 5 5. Come si vede, i due membri sono identici. Quindi l equzione è indetermint. S = ( cso () ) 3 5. Svolgendo i clcoli, si h: Riducendo i termini simili in entrmbi i membri, si h: Sottrendo 3 d entrmbi i membri, si h: 5. che è senz dubbio FALSO L equzione è impossibile. Ess non è verifict d nessun vlore che si ttribuito ll vribile. S ( cso () ) Osservzione : nel primo esempio, l equzione è determint, e l insieme soluzione è S. 7 Si dice nche che l equzione è VERIFICATA per. Questo perché è possibile 7 VERIFICARE che l uguglinz si soddisftt d tle vlore, semplicemente ndndo sostituire nell equzione di prtenz ( o in un qulsisi delle uguglinze equivlenti ) ll vribile l soluzione d noi trovt. Se si rriv,svolgendo i clcoli, d un uguglinz tr i due membri, l equzione è verifict per tle vlore, e l soluzione trovt è pproprit. In cso contrrio, invece, l equzione non è verifict per tle vlore.

17 Equzioni frzionrie Si ricord che un equzione rzionle si dice frtt se l incognit è presente nel denomintore di qulche frzione. Fccimo verdere or come l risoluzione di un equzione frzionri, si poss fr dipendere dll risoluzione di un equzione inter. In generle, un equzione frzionri si può presentre nell seguente form: A( ) C( ) B( ) D( ) dove A(), B(), C(), D() sono polinomi nell vribile e B() e D() non sono polinomi nulli ed lmeno uno di loro non è costnte. Dicimo subito che : se un equzione frzionri è determint, nessuno dei vlori dell vribile che rendono nulli i denomintori può essere soluzione dell equzione stess. Inftti per tli vlori l equzione perde significto. Ad esempio, l equzione : nel cso che si determint, non può vere come soluzioni quei vlori dell per i quli risult: 5 0 e 8 0, cioè i vlori 5 e 8 Esclusi quindi tli vlori per l vribile dll insieme di definizione, si può, nel cso più generle, pplicre il secondo principio d equivlenz, come segue: A( ) C( ) B( ) D( ) A( ) D( ) C( ) B( ) eliminndo dlle soluzioni di quest ultim, quelle eventuli che rendono nullo il prodotto B( ) D( ) Esempio. i numertori si nnullno per =, perciò D { R }. Adesso è possibile pplicre il principio di equivlenz, moltiplicndo entrmbi i membri per ( ), d cui si ottiene in seguito :, ossi e quindi si h nche :

18 Poiché le equzioni considerte nei vri pssggi sono tutte equivlenti, S * è il loro insieme soluzione; m esso non è l insieme soluzione dell equzione di prtenz. Anzi, per quest ultim l insieme soluzione risult essere S, cioè l equzione dt è impossibile. Equzioni letterli Finor si sono considerte solo equzioni coefficienti numerici, in cui ppunto non figurno ltre lettere oltre ll vribile. In un equzione possono figurre, oltre ll vribile, ltre lettere,b,c,d,. dette prmetri che si suppone rppresentino vlori numerici noti. In tl cso l equzione ssume un form più generle,e divent un prticolre equzione numeric qundo si ssegn d ogni letter un determinto vlore numerico. Queste equzioni sono dette equzioni letterli. Risolvere un equzione letterle signific risolvere le infinite equzioni numeriche che ess rppresent. Se l equzione è determint ed è di primo grdo, l su soluzione è in generle dt d un espressione contenente i prmetri, m può nche ridursi, in prticolri csi, d un numero determinto. Anche queste equzioni si risolvono pplicndo le regole già esposte per le equzioni numeriche. E importnte osservre che i vlori numerici che le lettere possono ssumere devono essere tli d non fr perdere di significto qulche termine dell equzione. Inoltre, può ccdere che per prticolri vlori dei prmetri, l equzione risulti impossibile o identic; in tl cso occorre precisre i vlori di tli prmetri. Fre queste osservzioni su di un equzione, signific discutere l equzione. Fccimo qulche esempio : Risolvimo e discutimo l equzione : Applicndo i principi di equivlenz e rccogliendo si h ( ) se 0 si possono dividere entrmbi i membri per e si h se 0, cioè se l equzione è impossibile, essendo 0 Risolvimo e discutimo l equzione : m m m m m ( ) 3 m

19 Prim di tutto occorre che si m 0 ossi m. Sotto tle condizione possimo moltiplicre entrmbi i membri per m, ottenendo m( ) ( m) m m 3 m( m) d cui, eliminndo le prentesi e fcendo i clcoli, si h osservimo che : m m 4 m m( m) ( m)( m) se m 0 l equzione è impossibile, vendo : 0 4 se m l equzione è identic, vendo : 0 0 se m è diverso d tutti i vlori precedenti il prodotto m( m ) è diverso d zero, per cui si possono dividere entrmbi i membri per tle quntità, ottenendo m m e l equzione risult determint. Ricordimo inoltre che se m l equzione perde di significto; quindi l equzione precedente è determint se e solo se m 0, m, m. Appliczioni E molto vsto il pnorm pplictivo delle equzioni lineri. Oltre ll risoluzione di problemi di primo grdo (ed ll loro discussione ), le equzioni lineri trovno utilizzo intenso nell fisic: in prticolre, nell ultim unità didttic sviluppt (terzo nno del liceo), verrà evidenzito il modo con il qule l equzione linere divent uno strumento per indicre le relzioni tr grndezze fisiche dell meccnic. Soprttutto nel biennio, le equzioni di primo e secondo grdo vengono spesso impiegte nell risoluzione di problemi di geometri pin.

20 U.D. : SISTEMI LINEARI EQUAZIONI CON PIU VARIABILI. Nell Unità didttic precedente si è osservto come i problemi conducno delle equzioni d un vribile. Esistono problemi che portno considerre equzioni due o più vribili. Esempi: Determinre due numeri spendo che l loro somm è 7. Determinre due numeri spendo che l loro differenz è 5. Determinre due numeri spendo che l somm del qudrto del primo, e del secondo è. Determinre tre numeri spendo che l loro somm è 0. Se indichimo con e i numeri cercti nei primi tre esempi, e con,, z i tre numeri cercti nell ultimo esempio, possimo impostre l equzione che ci permette di discutere l esistenz e l ricerc di tli vlori. Prendimo titolo esemplifictivo il primo problem. L equzione che occorre considerre è : 7 Si trtt di un equzione due vribili l cui soluzione consiste nel determinre tutte le coppie di numeri che sostituiti lle incognite, trsformino l uguglinz dt in un identità. In questo cso esistono infinite coppie di numeri che verificno l equzione. Alcune di tli coppie sono: 5 e ; Inftti: e 3; Inftti: e 3; Inftti: e ; Inftti: e così vi. L equzione dt è verifict d infinite coppie di numeri. H inftti infinite soluzioni. Per determinre un soluzione prticolre dell equzione dt, si può procedere nel modo seguente: Si suppong di conoscere un delle due incognite. Si pong, d Esempio,. Sostituendo nell equzione, si h: 7 Così fcendo, si rriv d un equzione d un vribile, l cui soluzione è 5. Un soluzione dell equzione dt è rppresentt dll coppi e 5. Tutte le coppie di numeri che riuscimo trovre ( infinite coppie ) con tle semplice metodo, sono le soluzioni del problem. Per risolvere l equzione: 0 z che trduce il problem dell ultimo esempio, si procede nello stesso modo; vlgono per ess le stesse considerzioni dell esempio precedente :

21 si trtt di un equzione tre vribili, l cui soluzione consiste nel determinre tutte le terne di numeri che l verificno. Definizione Dte due espressioni lgebriche A e B,delle quli lmeno un conteng lmeno due lettere, dette vribili, si dice equzione in più vribili, l uguglinz : A B scritt llo scopo di stbilire se esistono vlori delle vribili per le quli le due espressioni ssumono lo stesso vlore, e di determinre tli vlori nel cso che esistno. Le eventuli coppie ordinte di vlori delle vribili, che fnno ssumere vlori uguli i membri dell equzione, si dicono soluzioni dell equzione. L insieme S di tutte le soluzioni si chim insieme delle soluzioni. Un equzione si dice lgebric se in ess compiono soltnto operzioni di tipo lgebrico: ddizione, sottrzione, moltipliczione, divisione, potenz, estrzione di rdice. Un equzione lgebric si dice rzionle se in ess non compiono operzioni di estrzione di rdice. Un equzione rzionle si dice inter se le vribili non compiono l denomintore di qulche frzione. Un equzione rzionle si dice frtt se lmeno un incognit è presente nel denomintore di qulche frzione. Un equzione,rispetto i coefficienti, si dice: numeric, se oltre lle incognite vi figurno solo numeri, letterle, se contiene nche ltre lettere d considerre costnti Anche per le equzioni in due vribili vlgono i principi di equivlenz già considerti per le equzioni in un vribile. dove P(,) è un In bse tli principi, si può ottenere un equzione del tipo P, 0 polinomio nelle vribili e, coefficienti interi e ridotto form normle. In tl cso l equzione si dice ridott form normle. Il grdo di P(,) si dice grdo dell equzione. Esempio : l equzione ed è di grdo. 3 3 ridott form normle è 4 3 0

22 Equzioni lgebriche lineri in due vribili Un equzione linere ridott form normle, si può scrivere dove,b,c sono tre numeri dti. Osservimo subito che: b c se bbimo 0 0 c con c 0 se bbimo llor è un identità., llor è impossibile Negli ltri csi, un equzione di questo tipo è verifict d infinite coppie ordinte di numeri. Tli coppie rppresentno le infinite soluzioni dell equzione. Nel nostro esempio inizile 7 si può scrivere S,, 7. Osservimo che l equzione 7, pur mmettendo infinite soluzioni, non è un identità. Ess non è verifict d tutte le possibili coppie di numeri, m solo d quelle per le quli l somm di tli numeri dà come risultto 7. Un tle equzione è dett indetermint. Sistemi di due equzioni in due vribili Se considerimo un coppi di equzioni nelle stesse vribili,ciscun di queste,in generle, mmetterà infinite soluzioni, come già visto. Può verificrsi che lmeno un delle soluzioni dell prim equzione si nche soluzione dell second. Cioè può ccdere che bbino lmeno un soluzione in comune. Ad esempio considerimo in le due equzioni : 3 4 e Per qunto detto prim i due insiemi soluzione sono : S,, 3 4 e S,, Or, risult che (4,) dte. S S.Inftti i numeri 4 verificno entrmbe le equzioni Come visto nell esempio precedente, l prim equzione è verifict d infinite coppie di numeri e così pure l second. L coppi di numeri trovt è un soluzione comune delle due equzioni dte. Se due o più equzioni sono considerte insieme llo scopo di trovre le soluzioni comuni, si dice che l insieme di tli equzioni costituisce un SISTEMA DI EQUAZIONI. Per specificre, d esempio, che le due equzioni seguenti: 3 8 e 4 3 formno un sistem, si scrive :

23 Ogni eventule soluzione comune tutte le equzioni di un sistem, si chim soluzione del sistem. Se S ed S sono rispettivmente gli insiemi soluzione dell prim e dell second equzione, risolvere il sistem signific determinre l insieme S S S Anloghe considerzioni si possono fre per sistemi di tre o più equzioni. Un sistem si dice : determinto, se mmette un numero finito di soluzioni indeterminto, se mmette infinite soluzioni impossibile, se non mmette soluzioni. Sistemi equivlenti Due sistemi si dicono equivlenti, qundo hnno lo stesso insieme soluzione. Quindi, qundo tutte le soluzioni del primo sistem sono tutte e sole le soluzioni del secondo sistem, e vicevers. Si osserv che Due sistemi equivlenti d un terzo, sono equivlenti tr loro Se tutte o d lcune equzioni di un sistem si sostituiscono ltrttnte equzioni, rispettivmente equivlenti quelle sostituite, si ottiene un sistem equivlente l dto. Occorrerà procedere, quindi, in modo nlogo quello visto per le equzioni, cercndo di ottenere sistemi equivlenti di form più semplice trmite opportune trsformzioni, fino giungere ( sempre che si possibile ) d un sistem equivlente, in ogni equzione del qule compi un sol vribile. Tli successive trsformzioni si possono effetture pplicndo opportuni metodi, che verrnno considerti in sede di risoluzione di lcuni esempi. Per or osservimo che: se in un sistem figur l equzione 0 0 c con c 0, il sistem è impossibile, cioè S, per vi del ftto che contiene un equzione impossibile. se in un sistem figur l equzione 0 0 0, trlscindo tle equzione si ottiene un sistem equivlente quello di prtenz se si cmbi l ordine delle equzioni di un sistem si ottiene un nuovo sistem equivlente quello di prtenz. ( perché S S S S ).

24 Sistem di due equzioni lineri in due vribili E un cso molto importnte di sistem linere. Esso può essere scritto nell seguente form: b c ' b ' c ' () dove,, b, b indicno numeri rzionli noti. I numeri,, b, b si chimno coefficienti delle vribili, mentre c, c, si chimno termini noti. Considerimo or il problem di decidere se il sistem () mmette soluzioni, ed in cso ffermtivo, qunte ne mmette. Vedimo prim due csi prticolri: se tutti i coefficienti ed i termini noti sono nulli, llor il sistem () si scrive e llor ogni coppi (,) di numeri rzionli è soluzione del sistem. se i coefficienti,, b, b sono nulli, e lmeno uno dei termini noti c, c, non è nullo, llor il sistem () è impossibile. Trlscindo i csi estremi, vedimo or due situzioni prticolri molto frequenti: Sistem linere digonle Un sistem linere si dice digonle se, ridotto form normle, è del tipo c b c oppure b ' c ' ' c ' con,b diversi d zero, oppure b, diversi d zero. Tli sistemi si risolvono immeditmente, ottenendo l d un equzione e l dll ltr. Esempio 3 7 h come soluzione l coppi 3 3 cioè: 3 S ;3. Sistem linere tringolre Un sistem si dice tringolre se mnc un vribile in un delle due equzioni. Ad esempio: c ' b ' c ' con,, b diversi d zero.

25 E fcile verificre che un sistem tringolre come quello precedente mmette un e un sol soluzione. Ricvndo il vlore di nell prim equzione, lo si sotituisce nell second, ottenendo il sistem equivlente : c c ' ' c b ' Vedimo or il cso più generle, in cui i coefficienti delle vribili sino tutti diversi d zero. Considerimo il sistem: b c ' b ' c ' in cui 0, b 0, ' 0, b ' 0. In tl cso, si può dimostrre che il sistem linere è : determinto, se b ' ' b 0 impossibile, se b ' ' b 0 e cb ' c ' b 0 indeterminto, se b ' ' b 0 e cb ' c ' b 0 Trlscimo l dimostrzione di tle teorem, per vederne subito lcune ppliczioni. Nel sistem : individuimo 5, b, c, ' 0, b' 4, c ' 5 si h quindi b' ' b 5 ( 4) 0 ( ) 0 e cb ' c ' b 3 ( 4) 5 ( ), condizioni per le quli il teorem ci ssicur che il sistem è impossibile. Dividendo entrmbi i membri dell second equzione per si ottiene il sistem equivlente : D cui è evidente che non esistono coppie ordinte del tipo (,) che soddisfno entrmbe le equzioni. Osservimo che, in tl cso, i coefficienti delle vribili sono tr loro proporzionli,senz esserlo i termini noti. 5 Nel sistem :

26 individuimo 3, b, c 5, ', b' 3, c ' 8 I coefficienti soddisfno ll condizione b ' ' b 0,dunque, dl teorem, si h che il sistem considerto è determinto, ed mmette un sol soluzione. L ricerc di tle soluzione vviene trmite metodi che verrnno più vnti esposti. Osservimo che, in tl cso, i coefficienti delle vribili non sono tr loro proporzionli. Nel sistem : individuimo 5, b, c, ' 5, b' 6, c ' 3 I coefficienti delle vribili ed itermini noti soddisfno ll condizione: b ' ' b 0 e cb ' c ' b 0, dunque il sistem è indeterminto. Dividendo entrmbi i membri dell second equzione per 3 si ottiene il sistem equivlente : 5 5 Tle sistem è equivlente d un equzione in due vribili ( 5 ) ed h infinite soluzioni. 5 Tli soluzioni sono le infinite coppie ordinte del tipo,,con ( d esempio ). Osservimo che i coefficienti delle incognite ed i termini noti sono tutti fr loro proporzionli. Rissumendo le osservzioni ftte, si h che: il sistem linere b c ' b' c ' con ' 0, b' 0, c ' 0 è b determinto, se i coefficienti delle vribili non sono tr loro proporzionli. Cioè se ' b' impossibile, se i coefficienti delle vribili sono fr loro proporzionli, senz esserlo i termini b c noti. Cioè se ' b' c ' indeterminto, se i coefficienti delle vribili e i termini noti sono tr loro proporzionli. b c Cioè se ' b' c ' b D ciò che si è detto, il sistem si dovrà risolvere solo nell ipotesi che si ' b '. Un cso prticolre m piuttosto importnte di sistem linere in due vribili, è quello comprendente equzioni lineri omogenee. In tle sistem c c ' 0 e quindi esso si present nell form b 0 ' b ' 0

27 Come si può fcilmente intuire ( e dimostrre ), tle sistem mmette sempre l soluzione : 0,0. b D qunto detto prim segue che se il sistem h l unic soluzione 0,0 ; ' b' b mentre se ' b ', essendo nche b c, il sistem è indeterminto. b' c ' Metodi di risoluzione Accnto i metodi per determinre l ntur del sistem e delle soluzioni,esistono metodi risolutivi che possono essere presi in considerzione, di volt in volt, second del prticolre tipo di sistem con cui bbimo che fre. E opportuno fre esempi di sistemi indeterminti o impossibili. Inizimo col considerre il: Metodo di sostituzione. Dopo ver effettuto tutte le operzioni presenti nel sistem e ridotto i monomi simili, considerimo il sistem nell su form più generle b c ' b' c' nel qule si suppone b ' b' Si esplicit un delle due equzioni, ossi si ricv un vribile in funzione dell ltr ( conviene esplicitre l vribile più comod,se c è quest possibilità ) e l si sostituisce nell restnte equzione che, riducendosi d un sol vribile, si risolve fcilmente. Infine il vlore dell vribile così ottenuto lo sostituimo nell equzione in cui l ltr vribile er stt mess in evidenz. Esempio : (3 ( ) 3) 5 5 5( 5( 0 ) ) ( ) ( ) 4 5 Osservimo che il metodo consiste nel trsformre il sistem dto in uno tringolre equivlente.

28 Metodo del confronto. E un vrinte del metodo di sostituzione. Dopo ver effettuto tutte le operzioni presenti nel sistem, ridotto i monomi simili,si ottiene il sistem nell form più generle b c ' b' c' Occorre poi esplicitre entrmbe le equzioni rispetto ll stess vribile ed uguglirle. Si ottiene così un equzione in un sol vribile, fcilmente risolvibile. Il vlore ottenuto si sostituisce in un delle due equzioni di prtenz (indifferentemente). Esempio : cmbio segno nell second equzione uguglio le due equzioni: d cui che dà 7 7 ; tle vlore viene riportto nel sistem Metodo di riduzione Dopo ver effettuto tutte le operzioni presenti nel sistem, ridotto i monomi simili e posto il sistem nell form cnonic, - si individu il minimo comune multiplo dei coefficienti di un vribile - si trov il fttore che consente di ottenere tle m.c.m. (e il suo opposto) per l vribile considert - si sommno lgebricmente in colonn le due equzioni: in questo modo scompre un vribile - si risolve l equzione così ottenut d un sol vribile - scelt si può ripetere il procedimento per l eliminzione dell ltr vribile oppure effetture il metodo di sostituzione. Esempio : considerimo il sistem ridotto in form cnonic : Cerchimo di eliminre l : il m.c.m. tr e 5 è 60, perciò si moltiplic nel modo seguente:

29 (+) sommndo le due equzioni, si ottiene: d cui 3 A questo punto è fcile sostituire quest ultimo vlore trovto in un delle equzioni equivlenti, per trovre. Anlogmente ( ed in questo cso prticolre, più comodmente ) è possibile cercre di eliminre l, dl sistem inizile : per eliminre l non sono necessrie ltre operzioni. Bst sommre lgebricmente le due equzioni : 9 (+) d cui Il vlore di è ricvbile con il metodo di sostituzione d un qulsisi delle equzioni. E quindi : 3 Metodo di Crmer Si chim mtrice qudrt di ordine due un tbell con quttro numeri ordinti in due righe e due colonne, del tipo e f g h in cui e, f, g, h sono numeri. Per esempio: 3 0 Si chim determinnte di un mtrice qudrt di ordine due numero dto dll espressione e h f g. Si h cioè: e g f h e si indic con e g f h il e f g h = e h f g

30 Per esempio : Il determinnte dell mtrice qudrt 3 0 è 3 = 3 0 ( ) 0 b c Dto il sistem linere ' b' c ' b mtrice. Ad esempio : ' b' si chim mtrice dei coefficienti del sistem linere l l mtrice dei coefficienti del sistem linere è l mtrice 3 3. Risoluzione: Dopo ver posto il sistem nell form cnonic ' b b' c c' Si definisce delt, delt, delt, rispettivmente, le seguenti espressioni: b ' b' b' ' b c b c' b' c b' c' b c ' c' c' ' c L soluzione si trov ponendo ; Dovrà essere necessrimente 0. Esempio : ( ) ( )

31 E quindi: 33 3 Sistemi frtti I procedimenti indicti per risolvere i sistemi lineri in due vribili, si prestno nche per risolvere sistemi frtti ( in cui ci sono denomintori contenenti lmeno un vribile ). Tli sistemi, ridotti form normle, diventno sistemi lineri. Il metodo di riduzione è nlogo quello visto per le equzioni frtte in un vribile; per questo motivo ci sono gli stessi inconvenienti già visti per le equzioni : potrebbe ccdere che il sistem ottenuto con tle riduzione, bbi come soluzione dei numeri che nnullno qulche denomintore. Occorre quindi verificre che le soluzioni trovte soddisfino nche il sistem di prtenz. Visto che l trttzione è nlog quell delle equzioni frtte, fornimo solo un piccolo esempio: considerimo il sistem 3 Deve essere 0 e 0 quindi Applicndo i principi di equivlenz, e riducendo form normle, si h =0 d cui 6 = Poiché l soluzione (0,) è contrrir lle nostre condizioni ( nnull il denomintore dell prim equzione ), il sistem risult impossibile. Sistemi letterli Per risolvere i sistemi lineri letterli ( cioè quelli che oltre lle vribili contengono ltre lettere, che vengono considerte prmetri) occorre : escludere per i prmetri quei vlori che, eventulmente, fnno perdere di significto d un (lmeno) delle equzioni del sistem. vedere, poi, se esistono prticolri vlori dei prmetri per i quli il sistem divent impossibile, o indeterminto. In ciò consiste l discussione del sistem.

32 Risolvimo questo sistem, come esempio: d cui si hnno i seguenti sistemi equivlenti: b b ( ) b ( b ) Discussione: se b 0, cioè se b : il sistem è determinto, ed h come soluzione b, b b se b e 0, cioè, llor S. Il sistem è impossibile se b e 0, cioè, llor S, e. Il sistem è indeterminto. Sistemi di tre equzioni lineri in tre vribili Nell risoluzione di problemi di vri ntur, si present frequentemente il cso di dover risolvere sistemi con tre equzioni lineri, in tre vribili. Tli sistemi si possono risolvere con i metodi studiti per i sistemi di due equzioni lineri. Ridotti in form cnonic, essi sono del tipo ' '' b cz d b' c' z b'' c'' z d' d'' in cui, b, c, ', b', c ', '', b'', c '' sono i coefficienti delle vribili, e d, d ', d '' sono i termini noti. Alcuni esempi di risoluzione : Metodo di sostituzione Dopo ver effettuto tutte le operzioni presenti nel sistem, ridotto i monomi simili, e portto il sistem nell form normle, si esplicit l prim delle tre equzioni, rispetto d un qulsisi delle tre vribili, ossi si ricv un incognit in funzione delle ltre due, e l si sostituisce nelle restnti equzioni che, riducendosi, si risolvono fcilmente.

33 3 4 3z z z 0 6 ricvo nell prim equzione e l sostituisco nelle ltre due 3 0 3z ( 0 3z) 4( 0 3z) z z z 4 0 6z 8 40 z z z 6 0 3z 7 7z 7 4z 56 divido per 7 l second e l terz equzione z z z ricvo nell second equzione e lo sostituisco nell terz equzione z ( z 3 3) 0 z 3z 8 ricvo z nell terz equzione z z z Ottenuto il vlore di un vribile lo sostituimo nell second equzione nell qule l ltr vribile er stt mess in evidenz e poi rislimo fino ll prim equzione, ottenendo le tre soluzioni, ossi i vlori delle tre vribili,, z. z z z z z 5 Metodo di Crmer Si chim mtrice qudrt di ordine tre un tbell con nove numeri ordinti in tre righe e tre colonne, del tipo b c A ' b ' c ' '' b '' c '' in cui,b, c,,b, c,, b, c sono numeri b c Si chim determinnte dell mtrice A, e si indic con A oppure con ' b' c ', il '' b'' c '' numero : b' c ' ' c ' ' b' b c b'' c '' '' c '' '' b'' in cui i determinnti delle mtrici qudrte di ordine

34 due b' c ' ' c ' ' b' ; ; b'' c '' '' c '' '' b'' si clcolno con il metodo già visto. Esempio : A Il determinnte di tle mtrice è: 3 3 A 3 3 ( 0) 3( 5) Risoluzione: dopo ver posto il sistem nell form cnonic ' '' b cz d b' c' z b'' c'' z d' d'' Clcolimo i quttro determinnti Delt, Delt, Delt, Delt z, rispettivmente, le seguenti espressioni : b c b ' c ' ' c ' ' b ' ' b ' c ' b c b '' c '' '' c '' '' b '' '' b '' c '' d b c b ' c ' d ' c ' d ' b ' d ' b' c ' d b c b '' c '' d '' c '' d '' b'' d '' b '' c '' d c d ' c ' ' c ' ' d ' ' d ' c ' d c d '' c '' '' c '' '' d '' '' d '' c '' b d b ' d ' ' d ' ' b ' z ' b ' d ' b d b'' d '' '' d '' '' b '' '' b'' d ''

35 L soluzione si trov ponendo: z z Dovrà essere necessrimente 0. Esempio : 3z z z [( 4) ( )] [ ( )] 3[ ( )] [( 4) ( )] [ 0 ( 3)] 3[ 5 ( 6)] [ 0 ( 3)] [ ( )] 3[3 ( 5)] z [ 6 ( 5)] [3 ( 5)] [ ( )] E quindi: 4 60 z 5. Osservimo il ftto che è essenzile che si 0.

36 Appliczioni Appliczioni di vri ntur sono ttribuibili lle equzioni lineri in due vribili, ed i sistemi di due equzioni lineri in due vribili. Nell unità didttic dedict ll rett nel pino crtesino si proverà suggerire i collegmenti tr gli rgomenti fino d or trttti, ed i temi di geometri nlitic. Nturlmente bbimo già citto i problemi in due ed in tre incognite, come ppliczioni nturli dei sistemi lineri.

37 U.D. 3 : PIANO CARTESIANO Coordinte Crtesine su un rett Per introdurre i sistemi di riferimento prtimo dl concetto di rett orientt. Dt un rett r fissimo su di ess un punto O, detto origine, che l divide in due semirette. Su un di queste due semirette fissimo un punto U e ssumimo il segmento OU come unità di misur. Definimo positiv l semirett che contiene il punto U e negtiv l ltr. Tle rett determin un rett orientt che h un verso positivo e un verso negtivo. Si dice che su r è stto introdotto un sistem di riferimento o un sistem di scisse. E opportuno disegnre rette con divers direzione e versi opposti quello di figur, per evitre l misconcezione che il verso positivo vd sempre preso come in figur. O U Q r O U Possimo definire or l sciss di un punto Q come il numero rele che rppresent l distnz del punto Q dll origine O con l seguente convenzione sul segno: Positivo se il punto si trov sull semirett positiv Negtivo se il punto si trov sull semirett negtiv Il punto O corrisponde ll sciss 0 (zero). Per indicre che il punto Q h sciss si utilizz l seguente notzione: Q(). In questo modo bbimo definito un corrispondenz biunivoc fr i punti dell rett e i numeri reli, per cui srà sempre possibile ssocire d un punto un sciss e vicevers d un sciss un unico punto dell rett. In quest fse è utile presentre lcuni esempi numerici di rppresentzioni di punti sull rett orientt. Relzioni tr segmenti di un rett Intendimo or introdurre il concetto di segmento orientto, importnte nche per l futur trttzione dei vettori. A() B(b) r Fissimo un rett orientt r e due punti A() e B(b) su di ess. Definimo segmento orientto AB il segmento di estremi A e B, concepito come insieme di punti ordinti d A B. Possimo or definire l lunghezz lgebric del segmento orientto AB o misur del segmento orientto AB come l differenz fr l sciss b e l sciss. AB = b- Osservimo or che AB è un numero rele positivo nel cso in cui B segu A, cioè b si mggiore di, mentre è un numero rele negtivo nel cso in cui B preced A, cioè b si minore di.