Cartone, colla, e delle forbici sono essenziali, ma anche strumenti utili come un compasso, un righello, una matita, una calcolatrice e un computer.

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1 telle di Ntle John Andesen 1 Intoduzione Allo sopo di tove tenihe d insegnmento stimolnti, gli insegnnti di mtemti si dedino d un ie in ontinu evoluzione pe tove gomenti e ttività ffsinnti. Pogette e elizze poliedi fom di stell (pe esempio stelle di Ntle) potee essee un tle ttività. e gli studenti sono ituti i tdizionli eseizi on t e penn poilmente non vnno molt fidui in un tle inizitiv e l pendenno ll legge. à ompito dell insegnnte f pie gli studenti l utilità dl punto di vist mtemtio di un tle ttività. Poilmente luni insegnnti dovnno povl pe onto loo pim di potel ette ome un ppoio seio ll mtemti. Peequisiti di mtemti A questo punto poilmente vi spetteeste un list di onosenze e ilità mtemtihe neessie. Gli esempi venno in seguito pehé pim di tutto vete isogno di un mente pet e uon volontà di osseve modelli e stuttue. Un mi studentess un volt disse (pim di ve povto) he non sà neessi tnt mtemti pe ostuie questo tipo di stelle. Lei mi disse he see possiile fe tli stelle usndo un ighello, delle foii e un pezzo di tone sul tvolo in uin. Povndo sopiete he l pogettzione di modelli è molto utile. tsene seduti spohi di oll povndo inolle dei pezzi he non omino, è un situzione piuttosto sgdevole. Poilmente vi ogeete he un po di geometi see utile. D lt pte in ete situzioni siete ostetti ostuie dei modelli pe ompendee l stuttu geometi dei soggetti esminti. Bill Whetlnd, un hitetto he h lvoto pe Utzon s Dwing Offie , disse l os seguente in un pogmm sull ostuzione del eto dell ope idney (nle televisivo Dnese D, Mggio 003): Qundo vi tovte di fonte d un supefiie ompless, d esempio quell di un mhin, è molto meglio fe un modello: dopo lo potete osseve, misue, e toe piete in questo modo di os si ttt. Nei vosti pimi tenttivi di ostuie delle stelle, non doveste impiege topp mtemti. Povte pim on mezzi semplii. Usndo le voste ilità geometihe più semplii sete in gdo di fe l vost pim stell. Poi vi ogeete he più mtemti impiegte, più ontollo vete sul poesso di ostuzione. Impiegndo mtemti più sofistit sete in gdo di ostuie modelli più sofistiti. L uso di lge vettoile e geometi nliti snno di gnde iuto nelle fsi suessive. 3 Mteili tone, oll, e delle foii sono essenzili, m nhe stumenti utili ome un ompsso, un ighello, un mtit, un loltie e un ompute. Fig. 1 Dopo l geometi iv il momento di vedee se i pezzi omino.

2 4 telle di Ntle Appoio di esplozione Pesentte un oggetto i vosti studenti d esempio l stell nell foto sotto. L pim sfid sà fe un opi dell stell. Poi poteste fe un opi in sl dives dll oiginle, e lte no on un numeo diveso di punte otteete fome geometihe divese (punte più lunghe o ote). In quest fse del poesso potete liee l vost fntsi. Pe esempio poteste fe un stell ome quell he si vede in seondo pino nell foto in Fig.. Fig. tell oiginle ompt in un negozio di te e tiginto e un vesione modifit in seondo pino. 4.1 ompiti Fig.3 E un line di lune vesioni diffeenti [1] ove un stell e fe un opi 1:1 di ess. [] Fe delle stelle simili quelle in [1] m in sl dives (più gndi e/o piole). [3] Fe delle stelle on un numeo diveso di punte. 5 telle di Ntle Alune istuzioni ome insegnte sete tentto di iute toppo gli studenti in quest fse, limitndo l loo etività nel poesso di sviluppo e elizzzione dei podotti. D lt pte, qundo si lohenno, dovete iutli e inoggili si dl punto di vist psiologio he mtemtio. Plndo metfoimente, temini ome impltu e zon di sviluppo possimle possono essee tovti nell lettetu. Un desizione dettglit dell ppoio d seguie può essee neessi pe iute inizie. Qui non sà dto un mnule he vi guideà psso dopo psso us dell mnnz di spzio. Potete tove di più sull pgin we del pogetto. Un lt os fondmentle è endesi onto dell impotnz dell geometi. Inftti, i gioni d oggi l uso di un softwe geometio non può essee tsuto l uso di un softwe può endee il lvoo più poduttivo e pievole, poihé ument l peisione e offe l possiilità di speimente nei dettgli l pogettzione. Le foto sotto dnno luni suggeimenti sul pssggio d desizione geometi oggetti fisii.

3 Fig. 4 egliete n ome numeo di punte dell stell (qui è ffigut un stell inque punte). Poi segliete il ggio e dei ehi gienti sul pino di simmeti. Potete ostuie un stell pitt, he sevià ome se pe ee le due metà del solido fom di stell. Fig. 5 Il solido fom di stell è omposto di due metà identihe, isun delle quli è in effetti un pimide he h ome se un poligono fom di stell. Dovete ostuie degli sviluppi pini di isun delle due metà he poi dovete itglie, piege e inolle lle si. Fig. 6 Lo sviluppo pino di metà stell è omposto di tingoli onguenti ome il tingolo B nell foto. L misu dei lti può essee ottenut on misuzioni o on dei loli. L ppoio dei loli vi pemette di fe oezioni peise nel pogetto senz vee un stell ve. L uso di un pogmm ome Geometes kethpd pemette di fe modifihe dinmihe. Fig. 7 otto è mostto uno sviluppo di stell inque punte (ompost di tingoli) ome quell dell foto sop(i tonini d inolltu sonno omessi). B B n Fig. 7 viluppo di tingoli inque punte Le elzioni f i divesi elementi sono issunte nelle seguenti figue, dove denot il ento dell stell. D queste figue potete misue o lole e ostuie.

4 h h B B B Fig. 8 I tingoli neessi pe lo sviluppo in Fig. 7. Vedi nhe Fig. 4 Fig. 6. Le elzioni lgeihe possono essee ottenute usndo il eoem di Pitgo e il eoem del oseno. 5.1 ompiti (1) () (3) + os Fig. 9 elzioni deivnti d Fig. 8 [1] egliee luni vloi pe, e h. lole, e. ostuie l stell e ontolle l gndezz (misue, e h). [] Use un pogmm di geometi dinmi pe ostuie uno sviluppo. [3] egliee luni vloi pe, e. Potete detemine i vloi di h, e? 6 Un indgine ppofondit sul polem dell pogettzione: No tgli. Nell pim sezione ho evemente illustto he i sono gndi oppotunità pe fe delle indgini mtemtihe livello nhe supeioe di suol medi. onsidete questo polem: Possimo ostuie uno sviluppo di stell in modo he non i sino dei tgli he deno essee inollti? Lo sviluppo in Fig.7 h un tglio. Quli sono le ondizioni pe evite il tglio? Pe pim os si ossev(fig. 7 nd Fig. 8) he l nglo dello sviluppo B deve essee 360 n Ponendo os e usndo il teoem del oseno nel tingolo si ottiene he deve essee soddisftt l seguente equzione (4) +

5 dove, e sono ome in Fig. 7 e 8. ostituendo (1), () e (3) d Fig. 9 in (4) ottenete: + ( + ) (5) Dopo ve iodinto, elevto l qudto ed espnso l'espessione divent: with sin (6) + h ( 1 ) h isolvendo ispetto h si ottiene: ( + ) (7) h + Pe essee non negtivo il dindo in (7) devono essee soddisfte le ondizioni: + tn tn sin 1 ( + + ) > > + > x + > x x + 1 > 0 Il disiminte D del polinomio di seondo gdo nell ultim disequzione è: D qui potete ottenee l ondizione: ( ) D 4 e le dii sono 1 sin n < os x ± 1± Qundo quest ondizione è soddisftt, potete lole h d e e ostuie uno sviluppo senz tgli. Le fomule sop possono essee uste fissndo (1) e disegnndo h ome funzione di pe moste he più piolo è ispetto, più sà lt l stell. Lettue onsiglite pe ppofondie Jenkins, G., Be, M. Ppe Polyhed in olou, quin, UK, (Jnuy 15, 010) (Jnuy 15, 010) (Jnuy 15, 010), on x