GEOMETRIA ANALITICA 1. DI COSA SI OCCUPA LA GEOMETRIA ANALITICA

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1 GEOMETRIA ANALITICA. DI COSA SI OCCUPA LA GEOMETRIA ANALITICA pg.. DISTANZA FRA DUE PUNTI SUL PIANO CARTESIANO. COORDINATE DEL PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO 6. CONDIZIONE DI APPARTENENZA DI UN PUNTO A UNA CURVA 8 5. COME TROVARE L INTERSEZIONE FRA DUE CURVE DI EQUAZIONI DATE 9 6. SEGMENTI ORIENTATI Due dimostrzioni Dividere un segmento in prti proporzionli due numeri dti Individure su un rett AB un punto P tle che si bbi AP = k AB Coordinte del bricentro di un tringolo 7. ESERCIZI 8. L EQUAZIONE DI UNA RETTA 9 9. RETTE ED EQUAZIONI DI GRADO. ESEMPI ED ESERCIZI. APPROFONDIMENTI SUL COEFFICIENTE ANGOLARE 9. ESERCIZI SUL COEFFICIENTE ANGOLARE. CONDIZIONI DI PARALLELISMO E PERPENDICOLARITA. EQUAZIONE DELLA RETTA PASSANTE PER DUE PUNTI ASSEGNATI 6 Condizione di llinemento di punti 7 5. FASCIO PROPRIO DI RETTE 8 6. FASCIO IMPROPRIO DI RETTE 7. ANCORA SUI FASCI DI RETTE 8. ASSE DI UN SEGMENTO 5 9. CAMBIAMENTO DI RIFERIMENTO CARTESIANO 6. DISTANZA DI UN PUNTO DA UNA RETTA 7. BISETTRICE DI UN ANGOLO 8. ESERCIZI (ASSE, DISTANZA, BISETTRICE) 9. ESERCIZI CONCLUSIVI SULLA RETTA 5. LA PARABOLA NEL PIANO CARTESIANO 5 5. ESERCIZI SULLA PARABOLA 6 6. LA CIRCONFERENZA NEL PIANO CARTESIANO ESERCIZI SULLA CIRCONFERENZA LUOGHI GEOMETRICI 8 9. L ELLISSE NEL PIANO CARTESIANO 8. ESERCIZI SULL ELLISSE 9. L IPERBOLE NEL PIANO CARTESIANO. ESERCIZI SULL IPERBOLE. LE CONICHE, IN GENERALE, NEL PIANO CARTESIANO L equzione generle di un conic nel pino crtesino 7 Coniche degeneri 8 Un conic è individut d 5 punti 9 Esercizi con trsformzioni geometriche 5 Geometri nlitic, di Gincrlo Zilio, è distribuito con licenz Cretive Commons Attribuzione - - Non commercile - - Non opere derivte. Internzionle

2 . DI COSA SI OCCUPA LA GEOMETRIA ANALITICA L Geometri Anlitic svilupp l ide secondo l qule, così come un singolo punto del pino crtesino è individuto, ossi è loclizzto in modo univoco, dll coppi ( b), delle sue coordinte, ltrettnto un line (curv o rett) sul pino crtesino, se è sufficientemente regolre, potrà essere individut d un equzione nelle due vribili e, nel senso che potrà essere ssocit un opportun equzione nelle due vribili, LA QUALE SIA VERIFICATA DALLA COPPIA (, ) DELLE COORDINATE DI TUTTI I PUNTI DELLA CURVA, E DI ESSI SOLTANTO. A) Ad un equzione in due vribili, tnto se ess si present sotto l form = f( ) (dett form esplicit ), qunto sotto l form F(, ) = ( form implicit ), è possibile ssocire sul pino crtesino un insieme di punti, e precismente l insieme di tutti e soli punti (, ) tli che l coppi (, ) si soluzione dell equzione. Tle insieme di punti può essere chimto, indifferentemente, il grfico dell equzione considert, l curv ssocit ll equzione considert, o il luogo geometrico ssocito ll equzione considert. Ad es., ll equzione = corrisponde l insieme di tutti e soli i punti, tli che l coppi (, ) delle loro coordinte soddisfi l equzione. Si trtt dunque di quei punti l cui ordint è metà dell sciss: ed essi formno un rett (figur qui finco). B) E VICEVERSA: dt, sul pino crtesino, un curv γ con certe ben determinte crtteristiche: d es., un circonferenz di cui sino note le coordinte del centro e l misur del rggio oppure un rett pssnte per due punti di coordinte ssegnte (per evitre equivoci: considereremo sempre l rett come un cso prticolre di curv!) oppure ncor, il luogo geometrico dei punti venti l proprietà di essere equidistnti d un punto fissto e d un rett fisst ecc. ecc. ecc. è possibile rislire ll equzione cui tle curv è ssocit!!! Si trtterà di trovre un uguglinz, contenente e, l qule si verifict dlle coordinte di tutti e soli i punti che fnno prte dell curv in questione. L equzione di un ssegnt curv γ si scriverà trducendo in coordinte un proprietà CARATTERISTICA dei punti di γ, ossi un proprietà di cui godono TUTTI I PUNTI di γ ED ESSI SOLTANTO. Prendimo d es. l circonferenz di centro l origine e rggio 5. Per determinre l equzione di quest curv γ, cercheremo di stbilire qule si l condizione ll qule deve soddisfre un punto (, ) del pino crtesino, per pprtenervi. γ è il luogo dei punti del pino crtesino, l cui distnz dll origine è ugule 5 unità di misur. Quindi un punto P(, ) del pino crtesino pprterrà γ se e soltnto se risulterà PO = 5. M per quli vlori dell coppi (, ) è verifict l relzione PO = 5? Se noi trducimo in coordinte l relzione PO = 5, otterremo (vedi qui finco) + = 5 che è perciò l equzione cerct. Un punto del pino crtesino f prte dell circonferenz γ se e solo se l coppi (, ) delle sue coordinte soddisf tle equzione. L distnz fr due punti (, ) e (, ) nel pino crtesino è dt dll formul d = ( ) + ( ). Dunque PO = ( ) + ( ) = + per cui si vrà PO = 5 se e solo se + = o nche + = 5 5

3 . DISTANZA FRA DUE PUNTI SUL PIANO CARTESIANO Considerimo dpprim il cso di due punti che si trovno entrmbi sull sse quindi hnno ordint : A(,) e B(,). Dl disegno : d(a,b) = AB=... Osservimo che nche = 5 = Dl disegno : d(a,b)= AB=7... Osservimo che nche = = + = 7 ( ) Dl disegno : d(a,b)= AB=... Osservimo che nche = = + = Perciò per clcolre l distnz fr due punti, entrmbi pprtenenti ll sse, ci bsterà clcolre l differenz fr le loro scisse (bbimo visto che ciò è vero negli esempi proposti; riflettendo un ttimo per generlizzre, si intuisce che il procedimento srà vlido sempre; tuttvi, dell regol è nche possibile dre un dimostrzione rigoros. Noi preferimo rimndre quest un fse successiv, perché qundo vremo introdotto l Identità di Chsles, ess permetterà di orgnizzre tle dimostrzione molto comodmente, senz dover distinguere vri csi). E evidente comunque che si dovrà scrivere per prim l sciss mggiore e poi sottrrre d ess quell minore, perché se si fcesse il vicevers, si otterrebbe un numero negtivo d es., con riferimento lle nostre tre figure, non srebbe stto corretto scrivere d(a,b) = = A B, perché l differenz è negtiv. Tuttvi, cpit volte di non spere qule si l sciss mggiore, mgri perché le due scisse sono incognite, oppure perché sono dipendenti d un prmetro. Supponimo che i due punti di cui devo clcolre l distnz sino P(k, ) e Q( k +, ). Come frò stbilire qule fr le due scisse è l mggiore? Il problem è che fr le due quntità k e k +, può essere mggiore l prim oppure l second, second del vlore che si pens di ttribuire l prmetro k! Ad esempio, con k = è mggiore k, con k = 5 è mggiore k +. Potrei llor risolvere l questione in questo modo: dti due punti posti entrmbi sull sse, per clcolrne l distnz io frò l differenz fr le loro scisse, prendendole in un ordine qulsisi, con l intes che, se d questo clcolo dovesse uscire un vlore negtivo, il risultto corretto srà l opposto del numero d me trovto. M ciò equivle fre il vlore ssoluto dell differenz delle scisse! E in definitiv si può dire che l distnz fr due punti, pprtenenti entrmbi ll sse, è IL VALORE ASSOLUTO dell differenz fr le loro scisse (prese in un ordine qulsisi): d(a,b) = = Si può evitre il vlore ssoluto soltnto qundo si riesce d impostre l differenz in modo che quest si sicurmente positiv, ossi qundo si s per certo qule fr le due scisse è l mggiore, così d poter scrivere (sciss mggiore) (sciss minore) ESEMPIO A( 7,); B(,) d(a,b) = 7 = = o nche, più semplicemente, d (A,B) = 7 = (scrivo prim l sciss mggiore e le sottrggo l sciss minore) ALTRI ESEMPI: A(5,); B(,); C(,) AB = 5 = 6 = 6; AC = 5 = = ; BC = ( ) = = ( ) P(k,); Q( k +,) PQ = ( k + ) (k ) = k + k + = 7 k = k 7 ( NOTA) NOTA : due numeri fr loro opposti hnno ugul vlore ssoluto : di qui l possibilità, se lo si desider, di cmbire i segni entro le stnghette

4 L stess formul d(a,b) = differenz scisse = = vle nche se i due punti A, B, pur non gicendo sull sse, hnno l stess ordint e di conseguenz stnno su di un rett che è prllel ll sse. Inftti (figur qui sinistr): A' e B' sono le proiezioni di A, B rispettivmente, sull sse. A' h dunque l stess sciss di A, e B' l stess sciss di B. A(, ); B(, ); A'(,); B'(,) AB = A'B' = = ( A' e B' stnno sull sse per cui si può pplicre un formul già vist). NOTA - si legge segnto. L soprllinetur è ust per rendere l ide di un vlore fissto. ESEMPIO (con riferimento ll figur precedente): A(,); B(6,) AB = 6 = 6 = 5 Se i due punti considerti si trovno entrmbi sull sse o su di un prllel ll sse (insomm: se hnno l stess sciss, null o non null), vremo nlogmente l formul: d(a,b) = differenz ordinte = = ESEMPIO: L(,); M(, 8) LM = 8 = ( 8) = Occupimoci infine del CASO GENERALE. Trccindo due opportuni segmenti, uno orizzontle e l ltro verticle, fremo sì che AB diventi l ipotenus di un tringolo rettngolo l qule pplicheremo il teorem di Pitgor. Cso generle d(a,b) = AB = AH + HB = + = ( ) ( ) = + ( NOTA) NOTA : il qudrto rende inutili le stnghette di vlore ssoluto. Pens d esempio che 5 = 5, + 7 = + 7 ( ) ( ) A(, ) B(, ) H(, ) (H h l stess sciss di B e l stess ordint di A) ESEMPIO (con riferimento ll figur): A(, ); B(,) ( ) ( ) AB = + ( ) = + = = 5 = 5 ALTRO ESEMPIO: C(,); D( 8,7) CD = 8 ( ) + 7 = ( 7) + = = 65 = 5 Se i due punti hnno l STESSA ORDINATA: d(a,b) = ( ) ( ) RICAPITOLAZIONE Se i due punti hnno l STESSA ASCISSA: d(a,b) = CASO GENERALE: d(a,b) = ( ) + ( ) OSSERVAZIONE L formul reltiv l cso generle è pplicbile, volendo, nche i csi in cui i due punti bbino ugul sciss o ugul ordint (qui, comunque, sono più comode le due formule specifiche ). Con riferimento ll OSSERVAZIONE: inftti, se, d es., è =, si h d(a,b) = ( ) + ( ) = ( ) + = ( ) = Ad esempio, i punti (9, ) e (,) hnno l stess ordint. Per clcolrne l distnz, si può utilizzre tnto l formul specific per punti di ugule ordint: AB = 9 = = qunto l formul generle: AB = ( 9) + ( ) = ( ) + = + = =

5 ESERCIZI SVOLTI SULLA DISTANZA DI DUE PUNTI ) Determin il perimetro del tringolo di vertici A(, ); B(, ); C(, ) AB = ( ) + ( ) = ( ( ) ) ( ) = + = = ( 9) + ( ) = 8+ = = 5 = 5 AC = ( ) + ( ) = ( ( ) ) ( ) = + = = 5 + ( ) = 5+ = = 69 = BC = = ( ) = = (comunque l'uso delle stnghette er superfluo perché simo prtiti dll'sciss mggiore sottrendole quell minore) p (ABC) = = ) Dimostr che il tringolo di vertici E(,); F(,9); G(, 5) è isoscele, e clcol l su bse ( ) ( ) EF = ( ) + ( ) = ( ) + 9 = + = + = = = ( ) ( ) EG = ( ) + ( ) = ( ) + 5 = + = + = = = 8 ( 6) 6 6 EF!!! = FG = ( ) + ( ) = ( ) ( 5 9) = + = = + = + = = ( ) 96 ) Trov l lunghezz del segmento DE di estremi D( 5, ); E(, ) DE = 5 = 5, =, < Ovvimente, si srebbe potuto nche prtire dll sciss mggiore per sottrrle quell minore, evitndo così di dover introdurre il simbolo di vlore ssoluto: ( sciss mggiore) ( sciss minore) DE = = 5 ) Sono dti A(, k ) e B(, 8 k). Per quli vlori di k l distnz di questi punti vle 6? ( ) d(a,b) = 8 k k = 8 k ; 8 k = 6 8 k = ± 6 In effetti, con k = si h A(,) e B(,7) d cui AB= 6; con k = 7 si h A(,7) e B(,) d cui AB = 6 8 k = 6; k = ; k = 8 k = 6; k = ; k = 7

6 6. COORDINATE DEL PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO Se il segmento st sull sse : Supponimo di conoscere (sciss di A) e (sciss di B); voglimo trovre M. Avremo AM = MB. Se A st sinistr di B (come nell nostr figur), tle relzione divent + M = M; M = + ; M = E se A fosse invece destr di B? Allor srebbe + M = M; M = + ; M = ( come prim) In definitiv, se il segmento AB gice sull sse, si vrà, qulunque si l posizione reciproc dei due estremi A e B, + M = Un dimostrzione lterntiv dell formul è riportt nel successivo prgrfo sull identità di Chsles. ESEMPIO Il punto medio del segmento di estremi A(7,); B(9,) è il punto M tle che M = = = = 8 ; l ordint di M vle invece evidentemente nch ess. Dunque è il punto M(8,). Se il segmento gice sull sse, si otterrà in modo del tutto nlogo: ESEMPIO Se E è il punto medio di CD, con C(, 5); D(, ) Cso generle + M = 5 E, =,, llor ( ) Proiettimo A, B, M sull sse. Le tre proiezioni A', B', M' vrnno le stesse scisse dei punti inizili. Per il Piccolo Teorem di Tlete, essendo AM = MB, risulterà nche A'M' = M'B' quindi M' srà il punto medio di A'B'. Allor, potendosi pplicre un formul già cquisit (dto che il segmento A'B' gice sull sse ), vremo + M' = e perciò (dto che M = M' ) pure + M =. Allo stesso modo, proiettndo sull sse, si otterrebbe + M =. In definitiv, in qulsisi cso, dti due punti A(, ) e B(, ), il punto medio M del segmento AB vrà sempre coordinte + + M = ; M =. L ASCISSA DEL PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO È LA MEDIA DELLE ASCISSE DEGLI ESTREMI, LA SUA ORDINATA È LA MEDIA DELLE ORDINATE. ESEMPIO I punti medi dei lti del tringolo ABC, con A(, ); B(, ); C( /,) sono: ,, + ;,, + ;, = = = 6,

7 ESERCIZI SVOLTI SUL PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO ) Clcol le coordinte del punto medio del segmento AB, essendo A(,); B(,) A + B + A + B + M = = = ; M = = = = M, 7 ) P, ; Q, 5. Punto medio di PQ =? 5 6 P + Q 5 5 M = = = = P + Q M = = = = 8 M, 8 ) Clcol l lunghezz dell medin FM del tringolo DEF, essendo D(, ); E(,); F(, ) D + E + M = = = = D + E + M = = = M, F, ( ) FM = ( ) + ( ) = = ( ) + + = = + = + = = = ) Per quli vlori di, b i due punti P(, + b) e Q( b +,b) sono simmetrici rispetto ll origine? Dobbimo determinre, b in modo che il punto medio del segmento PQ coincid con l origine. M tle punto medio h coordinte + b +, + b + b b +, + = b b+ = e coinciderà con l origine se e solo se, + b = sistem dl qule si ricv =, b= 5 5

8 8. CONDIZIONE DI APPARTENENZA DI UN PUNTO A UNA CURVA Si dt l equzione di un curv: = f( ) oppure F(, ) = form esplicit form implicit e si dto un punto di coordinte note: P(, ). Come fccimo stbilire se il punto pprtiene oppure no ll curv considert? Ricordimo che l equzione di un curv sul pino crtesino è quell uguglinz che è verifict dlle coordinte di tutti e soli i punti che pprtengono ll curv. Pertnto un punto pprtiene d un curv di equzione ssegnt se e soltnto se, sostituendo le coordinte del punto l posto di e di rispettivmente, nell equzione dell curv, si ottiene un uguglinz ver. ESEMPI Considert l curv C : + + =, quli fr i punti seguenti vi pprtengono? P(,); Q(,); R(,); S(,) P(,) C? + + = ; = ; = SI'! Q(,) C? + + = ; = ; = NO! R(,) C? ( ) + + = ; + + = ; = NO! S(,) C? ( ) + + = ; = ; = SI'! Per qule vlore del prmetro l curv di equzione C : + + 8= pss per il punto (, )? Sostituendo, si dovrà trovre un uguglinz ver! ( ) ( ) + + 8= ; = ; = ; = Fr le due curve seguenti, C : + = C : + + 5= qule pss per l origine? Sostituendo (, ) l posto di (, ), si vede che pss per l origine soltnto l second curv, non invece l prim. In generle, PASSANO PER L ORIGINE tutte e sole le curve l cui equzione h TERMINE NOTO NULLO. Si dice termine noto il termine che non contiene né, né.

9 5. COME TROVARE L INTERSEZIONE FRA DUE CURVE DI EQUAZIONI DATE 9 Per trovre le eventuli INTERSEZIONI fr due curve ssegnte bst prendere le equzioni ssocite lle due curve e porle SISTEMA. Inftti i punti di intersezione fr due curve sono i punti che pprtengono si ll un che ll ltr curv. Or, un punto pprtiene si ll prim che ll second curv se e solo se le sue coordinte verificno tnto l equzione dell prim, qundo l equzione dell second, ossi il sistem formto d tli due equzioni. ESEMPI Trovre le intersezioni fr le due curve (si trtt di due circonferenze) di equzioni C : + + = C : = + + = = () () = () + + = = ; ( ) + + =... ; = = = = per cui le due curve si intersecno nei due punti A(,) e B(, ) Trovre le intersezioni fr le due curve (si trtt di due rette) di equzioni r : + = r : = + = = = + = imposs. Questo sistem è dunque impossibile e perciò le due rette non hnno lcun punto di intersezione: sono prllele.

10 6. SEGMENTI ORIENTATI IDENTITA DI CHASLES (Michel Chsles, frncese, 79-88) DUE DIMOSTRAZIONI Spesso ccde che un segmento gicente sull sse, o sull sse, o su di un prllel d uno degli ssi crtesini, veng considerto come segmento orientto. Ad un segmento orientto gicente su di un rett orientt viene ttribuit misur positiv se l orientmento del segmento coincide con l orientmento dell rett, negtiv in cso contrrio. Per un segmento che si disposto obliqumente sul pino crtesino, di solito non interess pensre d un orientzione (nche se volte invece lo si f). Esempi: SIMBOLOGIA (IMPORTANTE!) AB = BA = PQ = QP = HS = 5 SH = 5 HT = TH = ZW (o ZW) = 5 (segmento non orientto) Purtroppo d un libro di testo ll ltro l simbologi dottt per questo rgomento può cmbire precchio. Noi fremo così: il ftto che un segmento si debb pensre come orientto o no, verrà volte dichirto esplicitmente, ltre volte invece srà d desumere dl contesto utilizzeremo lo stesso simbolo, d esempio AB, si per indicre il segmento orientto AB, si per indicre l misur di questo ( = numero reltivo) si per indicre il segmento non orientto AB, si per indicre l misur di questo ( = numero ssoluto) evidentemente, nel cso il segmento si d pensrsi orientto, srà AB BA, se NON orientto srà AB = BA un eventule uso del cppello (AB) indicherà sempre esclusivmente un segmento NON orientto, o l misur di questo, interpretbile nche come il vlore ssoluto dell misur di un segmento orientto. Per le misure reltive di segmenti orientti su di un rett orientt vlgono le seguenti ovvie relzioni: () AB = BA () AB + BA = Vle poi l seguente NOTEVOLISSIMA relzione: () AB = AC + CB, dett IDENTITA (o formul ) DI CHASLES, dove AB, AC, CB sono misure reltive di segmenti orientti su di un rett orientt, e L INTERESSE DELL IDENTITÀ STA NEL FATTO CHE ESSA È VALIDA QUALUNQUE SIA LA POSIZIONE RECIPROCA DEI TRE PUNTI A, B, C. Vedimo innnzitutto qulche esempio che mostri in modo semplice come l identità effettivmente funzioni.

11 I. Ordine A-C-B AB = AC + CB II. B-C-A AB = AC + CB 7 III. A-B-C AB = AC + CB IV. C-B-A AB = AC + CB 7 + V. C-A-B AB = AC + CB VI. B-A-C AB = AC + CB + 7 E vedimo or come si poss DIMOSTRARE l identità di Chsles non pensndo d un esempio prticolre, m IN MODO DEL TUTTO GENERALE (fremo ncor riferimento l riqudro precedente, m immgin di togliere i qudretti ed i numeri!) I. Nel primo cso (A-C-B) l uguglinz d dimostrre è ovvi: AB = AC + CB II. Nel cso (B-C-A) l uguglinz ovvi è BA = BC + CA AB = CB AC AB = AC + CB III. Nel cso (A-B-C) l uguglinz ovvi è AC = AB + BC AC = AB CB AB = AC + CB IV. Nel cso (C-B-A) l uguglinz ovvi è CA = CB + BA AC = CB AB AB = AC + CB V. Nel cso (C-A-B) l uguglinz ovvi è CB = CA + AB CB = AC + AB AB = AC + CB VI. Nel cso (B-A-C) l uguglinz ovvi è BC = BA + AC CB = AB + AC AB = AC + CB A l t r e o s e r v z i o n i Si A un punto dell sse ; llor vremo = OA (misur reltiv di segmento orientto) A Anlogmente, se B è un punto sull sse, vremo B = OB (misur reltiv di segmento orientto) L identità di Chsles è prezios perché permette di effetture lcune dimostrzioni importnti in un colpo solo, in termini del tutto generli, senz dover ricorrere lboriose distinzioni di csi. Dimostrzione dell formul per l distnz fr due punti sull sse Scrivimo innnzitutto AB = AO + OB (O indic l origine, le scritture AB, AO, OB vnno lette come misure reltive di segmenti orientti). Abbimo scritto, coi tre punti A, B e O, l identità di Chsles, e sppimo quindi che l uguglinz è vlid qulunque si l posizione del punto O rispetto i due punti A, B!!! M dll relzione scritt segue AB = OA + OB = A + B = B A (vedi ltre osservzioni ) e ciò signific che l misur RELATIVA di un segmento orientto, gicente sull sse, è dt dll differenz fr l sciss del secondo punto (quello l qule rriv il segmento) e l sciss del primo punto (quello dl qule prte il segmento). Se or considerimo l misur ASSOLUTA del segmento AB (= l misur di AB pensto come non orientto), quest misur (che è poi l distnz d(a,b) tr i due punti) srà il vlore ssoluto dell misur reltiv di AB, pensto orientto; vremo quindi d(a,b) = AB = c.v.d. B A Dim. dell formul per il punto medio di un segmento gicente sull sse (nlogo discorso per l sse ) Si h AM = MB (misure reltive di segmenti orientti; il bello è che l uguglinz vle tnto nell situzione in figur, qunto con A, B scmbiti di posizione!). M d AM = MB segue (ricordimo qunto dimostrto poc nzi sull misur reltiv di un segmento orientto, gicente sull sse : ess si clcol sottrendo dll sciss del secondo punto, l sciss del primo punto): A + B M A = B M M = A + B M = c.v.d.

12 DIVIDERE UN SEGMENTO IN PARTI PROPORZIONALI A DUE NUMERI DATI Innnzitutto, cos vuol dire? Fccimo un esempio. Se è richiesto di dividere un segmento lungo cm in due prti che stino fr loro come :, llor si richiede di determinre le prti, in modo che vlg l proporzione : = : (o, il che è lo stesso, permutndo i medi, : = :), e si, nturlmente, + =. In prtic, il segmento dev essere spezzto in due tronconi che pesino u e u rispettivmente, essendo u un segmentino che dunque dovrà essere l + = 5 prte del segmento dto. M llor si trtterà di fre i /5 e rispettivmente i /5 del segmento stesso! = = 6 e 5 = =. 5 Dividere un segmento s in due prti che stino fr loro come :b (, b interi >) signific spezzre s in modo che vlg l proporzione : = : b o, il che è lo stesso (permutndo i medi) : = :b e si, nturlmente, + = s. Con l proprietà del comporre gli ntecedenti e i conseguenti pplict ll proporzione scritt nell second form ottenimo : ( + ) :( + b) = :b ossi: s s s b = = s ; = = s + b +b b + b +b In Geometri Anlitic, il problem viene di solito interpretto in questo senso: sono dte le coordinte degli estremi di un segmento AB; trovre le coordinte di quel punto P del segmento, che lo divide in due prti per cui AP:PB= :b (o AP : = PB : b ), essendo, b due interi > fissti. Se si proiettno A, P, B sull sse (vedi figur) il Teorem di Tlete ci dice che AP : PB = A 'P ' : P 'B' e quindi A'P':P'B' = :b o nche (permutndo i medi) A'P': = P'B':b dove possimo pensre A'P', P'B' come segmenti orientti (l proporzione resterebbe vlid nche qulor essi fossero entrmbi negtivi), per cui vremo: ( P A) : = ( B P) :b e dunque + : + b = : ( P A B P ) ( ) ( P A) P A B A = = = + + b + b + b ( ) ( ) P A B A P A B A + b Anlogmente, proiettndo sull sse, si otterrebbe l formul = + ( ) ESEMPIO Che coordinte h il punto F, che divide (vedi figur) il segmento di estremi D(,); E(6, ) in prti che stnno fr loro come :? F = D + ( E D) = + ( 6 ( ) ) = + 7 F = D + ( E D) = + ( ) = P A B A

13 INDIVIDUARE SULLA RETTA AB UN PUNTO P TALE CHE SI ABBIA AP = k AB Si può procedere come per il problem precedente, ttrverso le proiezioni A', P', B' sull sse AP A'P' = k = k per il Teorem di Tlete AB A'B' e poi quelle sull sse, considerndo segmenti orientti. Si trov = + k( ); = + k ( ) P A B A P A B A Il problem presente, se si desider che il punto P pprteng l segmento, vrà soluzione solo qundo k ; se invece ccettimo che P, pur dovendo stre sull rett AB, poss nche essere esterno l segmento, llor srà mmissibile qulunque vlore di k e, in prticolre, dre k un vlore < porterà trovre il punto P esternmente l segmento e dll prte di A (qui nche l rett AB è penst orientt, d A verso B); dre k un vlore > porterà trovre il punto P esternmente l segmento e dll prte di B. ESEMPIO Sono dti i due punti A(,); B(5,) ; determinre su AB un punto P tle che si AP = AB. P = A + ( B A) = + ( 5 ( ) ) = + 8= + = 5 P = A + ( B A) = + ( ) = + = + = ALTRO ESEMPIO Sempre con riferimento i punti precedenti, determinre sull rett AB un punto Q tle che si AQ = AB. Q = A ( B A) = ( 5 ( ) ) = 8= = 5 Q = A ( B A) = ( ) = = = e il punto Q 5, si trov sul prolungmento di AB dll prte di A. COORDINATE DEL BARICENTRO ( = punto di incontro delle medine) DI UN TRIANGOLO Un proprietà not del bricentro di un tringolo, è che esso divide ciscun medin in due prti, tli che quell contenente il vertice è doppi dell ltr (quindi, è i dell inter medin: AG = AM ). Considerimo llor l figur qui finco. Avremo B + C G = A + ( M A) = A + A = = A + = = B C A B C A... e nlogmente si procede per l ordint. Coordinte del BARICENTRO G di un tringolo ABC: G A + B + C + + = ; G = A B C ESEMPIO Il bricentro del tringolo ABC, con A(,); B(,); C(, ), h coordinte + +, = (, ). Disegn tu l figur!

14 7. ESERCIZI SULLA DISTANZA FRA DUE PUNTI ) Clcol le distnze fr le seguenti coppie di punti: ) A,;B6, ( ) ( ) b) A( 8, ); B( 7, 5) c) A, ( ;B, ) ( 7) d) A(, ); B, e) A, ( ;B6, ) ( ) f) A,;B, ( ) ( ) g) A, ; B, 6 h) A,;B ( ) ( π,) i) O,;P ( ) ( b, ) ) Determin il perimetro del tringolo di vertici A(, ); B(, 9); C(, ) ) Determin il perimetro del tringolo di vertici D( 7,); E(7,); F(, 9) ) Trov il perimetro di PQR, con P(,); Q(, ); R(5,6) (il risultto conterrà un rdicle) 5) Il tringolo di vertici D(,); E(, ); F( 7,) è isoscele: dimostrlo, e clcol l su bse. 6) Verific che il qudriltero di vertici A(,6); B(,); C(7, ); D( 5,) è un prllelogrmmo, utilizzndo esclusivmente l formul per l distnz fr due punti. 7 7) Verific che il qudriltero di vertici A(,); B(, ); C (, ); D (, ) è un qudrto, utilizzndo esclusivmente l formul per l distnz fr due punti. 8) Verific che il tringolo di vertici O (, ); A(, ); B(,6) è rettngolo utilizzndo esclusivmente l formul per l distnz fr due punti. 9) Determin quel punto P dell sse che è equidistnte d A(, ) e d B(, ) (indiczione: il generico punto dell sse h coordinte (, ) ; il problem è perciò risolto dll equzione ) ) Determin quel punto P dell sse che è equidistnte d O(,) e d Q(, 5 5 ) (indiczione: il generico punto dell sse è (,); il problem è perciò risolto dll equzione ) ) Qule punto dell rett = è equidistnte dll origine e dl punto A(, )? Indiczione: un generico punto dell rett = h coordinte (, ) ) Determin il centro e il rggio dell circonferenz pssnte per i tre punti A(,); B(, ); C(8, ) (indiczione: il centro è quel punto P, di coordinte (, ), tle che PA = PB = PC. Bsterà perciò impostre le due equzioni PA = PB e PA = PC e porle sistem ) SUL PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO ) Clcol le coordinte del punto medio del segmento AB, essendo ) A,5;B ( ) (,9) b) A(, ); B(,) c) A(, ); B(,) d) A, ; B, 5 g) A(.6,. ); B(.,.5) h) A, ; B, ) Clcol le coordinte dei punti medi I, L, M, N dei lti del qudriltero ABCD, essendo A(,); B(, 5); C(5,7); D(,7) Il qudriltero che h per vertici i punti medi dei lti di un qudriltero qulsisi è sempre un prllelogrmmo: verificlo in questo cso prticolre, consttndo i lti opposti di ILMN sono due due uguli. P,;Q,. Che coordinte h N, punto medio di PM? 5) M è il punto medio di PQ, essendo ( ) ( ) e) A ( k, ); B(, ) f) A ( + b, b) ; B ( b, b) 6) Nell esercizio 6 si è verificto che ABCD, con A(,6); B(,); C(7, ); D( 5,), è un prllelogrmmo; m llor le sue digonli dovrebbero tglirsi scmbievolmente per metà, vle dire i loro punti medi dovrebbero coincidere. Verificlo. 7) Se M, ( ) è il punto medio del segmento AB e A(,), quli sono le coordinte di B? 8) Se M, è il punto medio del segmento AB e A, 6, quli sono le coordinte di B? T, S, 9) Trov le coordinte del punto R, simmetrico di ( ) rispetto ( ) ) Trov il qurto vertice del prllelogrmmo che h tre vertici in A, ; B(,); C(,) ) Per qule vlore di k il segmento di estremi A(,); B(k, k) h come punto medio il punto ( k, k )?

15 SULL EQUAZIONE DI UNA CURVA (FORMA ESPLICITA, FORMA IMPLICITA) ESEMPI Portre l equzione 8 = in form esplicit 5 Si trtt di isolre primo membro: 8 8 = ; = 8+ ; = 8 ; = ; = Vicevers: Portre l equzione = + in form implicit Portre tutto membro, in modo che il membro si ; srà bene mndre pure vi i denomintori: = + ; = 9 + ( bbimo moltiplicto per ); 9 + = ESERCIZI ) Port le seguenti equzioni in form esplicit: ) + = b) + = c) + 6= d) + = e) 5 = f) = g) + + 6= h) = i) + = j) = k) + = l) + = (eq. di grdo) ) Port le seguenti equzioni in form implicit: 7 m) = + 8 n) = + o) = p) = 5 q) = r) = + s) = t) = SULL APPARTENENZA DI UN PUNTO A UNA CURVA ) E dt l curv C: + = 5. Stbilire quli fr i punti seguenti vi pprtengono: A(,); B(,6); C(, 5) 5) E dt l curv di equzione = 6. Stbilire quli fr i punti seguenti vi pprtengono: P(,/ ); Q(, ); R(,) 6) Per qule vlore del prmetro k il punto A(,) pprtiene ll curv di equzione ( k ) + k+ 8=? 7) Per qule vlore di l curv + + = pss per l origine? 8) Determinre m in modo che il punto P( m, m+ ) pprteng ll rett + 5= 9) Trovre i punti di sciss dell curv + = 5 ) Trovre il punto di ordint dell rett r:5 + = SULL INTERSEZIONE DI DUE CURVE ) Trov il punto d intersezione delle due rette r : = + e r : = + 9. ) Determin i vertici del tringolo i cui lti sono le rette di equzioni: =, = +, = 5 ) In qule punto si tglino le due rette r : = e r :6 =? ) Trov i punti di intersezione fr: C: + = 5 ed r: + + 5= (sistem di grdo sup. l ) 5) Trov i punti comuni ll circonferenz + = 5 e ll iperbole = 6 (sistem di grdo sup. l ) SULLA DIVISIONE DI UN SEGMENTO IN PARTI, E SUL BARICENTRO DI UN TRIANGOLO 6) A(,); B(9,5). Determin i punti P, Q, R, S, T che dividono il segmento AB, rispettivmente: ) in prti proporzionli i numeri e 5 (P) b) in prti proporzionli i numeri e (Q) c) in modo che si AR = RB d) in modo che si AS = AB e) in modo che si AT = AB 7) Determin il bricentro: ) di ABC, con A (, ); B(, 5); C(, ) b) di DEF, con D(, ); E(,); F(,) 5 c) di ILM, con I, ; L, ; M, 6 8) Se due vertici di ABC sono A(,); B(,) e il bricentro è G(,), che coordinte h il vertice C? 9) Se un vertice di ABC è A(, ) e il bricentro è G(,), che coordinte h il punto medio M di BC? ) Se un vertice del tringolo ABC è A(5,5) e il bricentro è G( 9, 5), qunto misur l medin AM?

16 6 RISPOSTE ) ) b) 7 c) d) 5/ e) 5 f) g) / h) π π +,6 i) + b ) ) ) ) In effetti, è DE = DF = 5. bse = EF = 5 = 5 6) Occorrerà controllre che i lti opposti sino due due uguli. E si trov AB = DC = e AD = CB = 5. 7) Si deve verificre che i quttro lti sono uguli, e pure le digonli sono uguli! Si trov AB = BC = CD = DA = 5/, AC = BD = 5 5 = 8) Bst verificre che l somm dei qudrti di due lti ugugli il qudrto del lto rimnente: si potrà llor concludere che il tringolo è rettngolo per l inverso del Teorem di Pitgor. 9) L equzione è ( ) + ( + ) = ( ) + ( + ) e per mndr vi le rdici si elevernno l qudrto entrmbi i membri. Si trov P(,). ) Anlogo l problem precedente. Si trov P(,). ) Il punto è P(, ). Il problem si risolve con l equzione ( ) + ( ) = ( ) + ( ) ( ) + ( ) = ( ) + ( + ) ) Il centro è (5,), il rggio è 5. Il sistem risolvente è ( ) + ( ) = ( 8) + ( + ) 7, d), 85 e) k +, f), g) (.5,.5) h), 8 ; due lti opposti di ILMN misurno 5 e gli ltri due 6 ) ) (, 7) b) c) (, ) ) (, ); (, ); (,7 ); (, ) 5) N, 6) In effetti, si AC che BD hnno per punto medio 5, 7 7) B6, ( 5) 8) B, 9 6 9) R(, 8) ) D, ) Per nessun vlore di k: dovrebbe risultre simultnemente si + k + k = k che = k, m le due equzioni hnno soluzioni diverse: non esiste un vlore di k che le soddisfi entrmbe. ) ) = + b) = + c) = + d) = e) = f) = 5 g) = + 6 h) ( l condizione si può = i) = scrivere, m ben gurdre è inutile : spresti dire perché?) j) =± + k) = + l) = ± + ) + = = = m) + 8= n) o) p) o + = o 5 5 = o 7 = =, q) + = r) + = s) t) =, con con, ) A: sì, pprtiene B: no C: sì 5) P: sì Q: sì R: no 6) k = 7) = / 8) m = 9) (, ); (,) ), ;, ;,6 ( /5, ) ) (, 5 ) ) ( ) ( ) ( ) ) In nessun punto: sono prllele ) A(, 5); B(, ) 7 ± 7 7 ± 7 5) intersezioni:, ;, 5 6) P, 9 7 Q, R(, ) S, T( 5, 7) 7) ) (, ) b), c) 9, 6 6 8) C(6,) 9) M(,7) ) AM = 9

17 7 ALTRI ESERCIZI (risposte ll pgin successiv) ) I punti (, ) del pino crtesino le cui coordinte soddisfno le due condizioni 5,5, formno un rettngolo. Qul è l su re? Che coordinte h il punto di intersezione delle digonli? ) Che figur geometric formno, sul pino crtesino, ) i punti per i quli il vlore ssoluto dell ordint vle? b) i punti (, ) per i quli >? c) i punti (, ) per i quli + > 5? ) E possibile, sul pino crtesino, trovre punti A, B, C tli che AB =, BC = 6, AC = 8? E tre punti P, Q, R per cui PQ =, QR = 8, RP =? ) Quli sono i punti sull sse che vedono il segmento AB, con A(,) e B(,), sotto un ngolo retto? Puoi rispondere quest domnd conoscendo esclusivmente l formul per l distnz fr due punti e il Teorem di Pitgor col suo inverso! (Equzione di grdo) 5) Scrivi l equzione del luogo dei punti che sono equidistnti di due punti O(,) e A(,). Verific che i due punti di coordinte (,) e (,) soddisfno entrmbi, com er prevedibile, l equzione trovt. Port quest in form esplicit e disegn l curv: vedri che si trtt, ovvimente, di un rett. In Geometri, che nome si dà quest rett? 6) Se un punto P h coordinte (, ) ) dll origine b) dll sse c) dll sse?, qul è l espressione, contenente e/o, che fornisce l su distnz 7) Qul è il luogo dei punti che hnno l proprietà di essere equidistnti dll origine O(,) e dll sse? Puoi rispondere si col rgionmento geometrico puro, senz pensre lle coordinte, si scrivendo l equzione del luogo geometrico 8) Consider il tringolo rettngolo OAB, con O(,); A(,); B(, b ), e verific che l medin reltiv ll ipotenus è ugule metà dell ipotenus stess.

18 RISPOSTE ) Are = 8. Le digonli si intersecno in ( ).,8 ) ) Sono distribuiti su due rette, prllele ll sse, di equzioni = e = rispettivmente. b) Un semipino, privto dell su rett origine c) + > 5 equivle + > 5. M + è l distnz di (, ) dll origine. Allor l figur è formt d tutti i punti del pino, trnne quelli del cerchio di centro O e rggio 5. ) E possibile, sul pino crtesino, trovre punti A, B, C tli che AB =, BC = 6, AC = 8? No, perché in un tringolo ciscun lto è sempre minore dell somm degli ltri due ( relzione tringolre ), mentre qui non è <6+8. Inoltre i tre punti non possono essere llineti, perché in questo cso, fr i segmenti in gioco, ce ne srebbero due con somm ugule l terzo segmento: or, ciò coi nostri segmenti non vviene. E tre punti P, Q, R per cui PQ =, QR = 8, RP =? Sì. I tre punti srnno llineti, con R compreso fr P e Q. ) Un punto P dell sse h coordinte P (,). L ngolo APB srà retto se e solo se PA + PB = AB. Si trov che i due punti hnno coordinte (, ) e (, ). P, del pino e si trduce in coordinte l condizione PO Ci si liber dlle rdici elevndo l qudrto. Si trov = +, rett che è l sse del segmento AB. 5) Si consider il generico punto ( ) 6) ) b) c) + 7) Il luogo è l sse. Tutti, e soli, i punti dell sse, ossi tutti e soli i punti di sciss null ( = ) 8 hnno l proprietà di essere equidistnti dll origine e dll sse. + = ; + = + = = =. 8) In effetti, AB = + b e OM = + b = PA.

19 8. L EQUAZIONE DI UNA RETTA Equzione di un prllel ll sse Qul è l equzione dell rett, prllel ll sse, pssnte per il punto A(5,)? In generle: un RETTA PARALLELA ALL'ASSE h equzione = k, essendo k l ordint costnte di tutti i suoi punti, o, se si preferisce, l ordint di uno qulsisi dei suoi punti. Equzione di un prllel ll sse 9 I punti dell rett in questione sono tutti e soli i punti del pino crtesino, che godono dell proprietà di vere ordint ugule. P(, ) r = Quindi l uguglinz = costituisce l equzione dell rett considert. Qul è l equzione dell rett, prllel ll sse, pssnte per il punto A(5,)? I punti dell rett in questione sono tutti e soli i punti del pino crtesino, che godono dell proprietà di vere sciss ugule 5. P(, ) r = 5 Quindi l uguglinz = 5 costituisce l equzione dell rett considert. In generle: un RETTA PARALLELA ALL'ASSE h equzione = k, essendo k l sciss costnte di tutti i suoi punti, o, se si preferisce, l sciss di uno qulsisi dei suoi punti. Equzioni degli ssi crtesini Anche i due ssi crtesini stessi possono essere visti come prticolri rette collocte nel pino crtesino. L equzione dell ASSE, visto come prticolre rett inserit nel pino crtesino, è = : inftti un punto P(, ) pprtiene ll sse se e solo se l su ordint è null. L equzione dell ASSE, visto come prticolre rett inserit nel pino crtesino, è = : inftti un punto P(, ) pprtiene ll sse se e solo se l su sciss è null.

20 Rett pssnte per l origine (e non coincidente né con l sse, né con l sse ) Scrivere l equzione dell rett pssnte per O(,) e per A(6,) Nell figur, bbimo segnto le coordinte di lcuni punti dell rett in questione. Si cpisce chirmente che pprtengono ll rett considert tutti e soli i punti P(, ), l cui ordint è l metà dell sciss. P(, ) r = Pertnto l rett considert h equzione =. Generlizzndo, se si v prendere l rett pssnte per l origine e per un ltro punto A(, ) (con, ), si può dimostrre che l equzione di un tle rett è = m, vendo posto m =. Inftti: P(, ) r PP'O simile con AA'O, e P situto nello stesso qudrnte di A, oppure nel qudrnte opposto l vertice P'P:OP' = A'A:OA' : = : = = = m Nell proporzione P'P:OP' = A'A:OA' i segmenti in gioco vnno pensti come ORIENTATI e, quindi, le loro misure come RELATIVE: d esempio, nell nostr figur, è P'P >, OP' <, A'A >, OA' < (e risult poi m < ). A ben gurdre, l cten di biimpliczioni h senso solo pensndo il punto P(, ) distinto dll origine. Inftti, in cso contrrio, il tringolo PP'O srebbe ridotto d un punto, e comunque ci ritroveremmo con dei segmenti di misur null denomintore. M se considerimo soltnto l equzione ll qule simo pervenuti ll fine, ossi l = m, vedimo che ess risult soddisftt nche dlle coordinte =, = dell origine. L equzione = m è stt ricvt supponendo, e quindi nche m =. Tuttvi, l equzione dell sse, che già sppimo essere =, si può, volendo, pensre come ottenibile scrivendo = m e poi ponendo m =. Quindi, in definitiv, possimo concludere che qulsisi rett per l origine h equzione dell form = m, trnne l rett verticle per l origine (ossi l sse ), l cui equzione ( = ) NON si può porre sotto l form = m. L equzione di un rett pssnte per O(,) e per A(, ) (e non coincidente con l sse ) è = m, vendo posto m =. In ltre prole, pres un qulsivogli rett per l origine (non coincidente con l sse ), l su equzione è sempre dell form = m dove l costnte m è il rpporto fr l e l di un punto qulsisi ( prte l origine) dell rett stess. In = m, l costnte m è dett COEFFICIENTE ANGOLARE perché crtterizz l inclinzione dell rett in questione, ossi l ngolo che quest form con l sse delle. Bsti pensre che ponendo = si ottiene = m, quindi ll rett considert pprtiene, in prticolre, il punto (, m). Perciò se m > l rett srà in slit (ovvio: se supponimo, come solitmente è, che l sse si orizzontle!) se m < srà in disces e qunto più grnde è il vlore ssoluto di m, tnto più l inclinzione dell rett srà ccentut. Nel cso m =, l equzione divent = (sse, inclinzione orizzontle ).

21 Rett (non prllel ll sse ) in posizione generic Dt un rett r non prllel ll sse, considerimo l rett usiliri r ', prllel d r e pssnte per O. Poiché l rett r ' pss per l origine, l su equzione srà dell form = m, con m costnte opportun. Se or considerimo un coppi di punti P r e P' r ', situti su di un stess prllel ll sse, possimo osservre che l misur del segmento orientto P'P si mntiene, l vrire di P, costnte: l indicheremo con q. I punti di r sono perciò tutti e soli quei punti del pino crtesino, che si possono ottenere prtire d un punto di r ', lscindone inltert l sciss m incrementndo (lgebricmente) l ordint dell costnte q. Ciò signific che, mentre il punto di sciss dell rett r ' h ordint m, il punto di sciss dell rett r h ordint m + q. Perciò l uguglinz che è verifict dlle coordinte di tutti e soli i punti che pprtengono ll rett r, è l uguglinz = m + q Concludendo, l equzione di un rett in posizione generic (con esclusione però delle rette prllele ll sse ) è = m + q, essendo m, q due costnti opportune. SIGNIFICATO DI q nell equzione = m+ q Nell equzione = m+ q, se si pone =, si ottiene = q ; quindi l rett = m+ q pss per il punto (, q). Ciò comport che dt l rett di equzione = m+ q, q rppresent l ordint del punto di quell rett, vente sciss ; in ltre prole, q è l ordint del punto in cui l rett tgli l sse delle. L costnte q viene perciò dett ordint ll origine : modo conciso per ffermre che q è l ordint di quel punto dell rett che st sopr (se q > ) o sotto (se q < ) l origine. Nturlmente, se q = ritrovimo come cso prticolre l rett pssnte per l origine. SIGNIFICATO DI m nell equzione = m+ q L costnte m, che come bbimo visto è il coefficiente ngolre dell rett r ' pssnte per l origine e prllel ll nostr rett r : = m + q, viene ncor dett coefficiente ngolre e conserv lo stesso significto che vev in relzione d un rett = m pssnte per O: individu dunque l inclinzione dell rett, con le solite corrispondenze: m > rett in slit ; m < rett in disces ; m = rett orizzontle (voglio dire, prllel ll sse ); m grnde inclinzione (slit o disces) ripid. Quindi rette fr loro prllele hnno ugul vlore di m (figur qui sinistr) e rette che intersecno l sse nel medesimo punto hnno ugul vlore di q (figur qui destr).

22 9. RETTE ED EQUAZIONI DI PRIMO GRADO CASO GENERALE E CASI PARTICOLARI Un equzione dell form = m si può pensre come cso prticolre di = m+ q (con q = ). E d ltronde, nche il cso = k = costnte (rett prllel ll sse ) può essere visto come cso prticolre di = m + q (con m = ). In definitiv, possimo dire che qulunque rett non prllel ll sse (pssnte o non pssnte per l origine; prllel o non prllel ll sse ) h sempre un equzione dell form = m+ q. Le sole rette che non sono rppresentbili con = m + q sono quelle prllele ll sse : le equzioni di tli rette si contrddistinguono inftti per l form = k, che non si può evidentemente ricondurre = m + q. M ci chiedimo srà possibile dire che pure due equzioni dell form = m+ q e = k hnno qulcos che le ccomun? L rispost è ffermtiv: sono entrmbe equzioni di grdo (osservimo che m, come d ltronde q e k, è un simbolo utilizzto per indicre un costnte numeric, quindi non f grdo, non contribuisce l grdo). Approfondimo questo spetto. Se portimo tutti i termini dll stess prte dell =, le due equzioni diventernno rispettivmente m + q = e k = dl che si vede che sono entrmbe dell form + b + c = (polinomio di grdo nelle vribili,, uguglito ). Cos possimo dunque dire questo punto? Possimo dire che l equzione di un qulsisi rett nel pino crtesino può essere sempre portt sotto l form + b + c = (polinomio di grdo si dice nche: linere nelle vribili,, uguglito ). Il bello è che VALE ANCHE IL VICEVERSA, cioè è vero pure che qulunque equzione dell form + b + c = vrà, come grfico corrispondente, un rett! Vedimolo per bene. Prendimo un qulsivogli equzione dell form + b + c = Prim di tutto, osservimo che, se e b fossero entrmbi nulli, l equzione si ridurrebbe + + c = e llor nel cso fosse nche c =, srebbe verifict dll coppi (, ) delle coordinte di qulsisi punto del pino (in prtic, il luogo geometrico corrispondente srebbe tutto il pino!) nel cso invece fosse c, non srebbe verifict dll coppi (, ) delle coordinte di nessun punto del pino (in prtic, il luogo geometrico corrispondente srebbe il luogo vuoto!) Possimo perciò escludere il cso = b= dll nostr ttenzione, come troppo nomlo.

23 Se or nell equzione considert è = (eb ) llor l nostr equzione si potrà scrivere come c b + c = ; b = c; = b e rppresenterà il luogo dei punti l cui ordint è ugule quel vlore fissto (l equzione non pone invece lcun vincolo ll sciss), luogo che evidentemente consiste in un rett prllel ll sse. Se nell equzione considert è b= (e ) llor l nostr equzione si potrà scrivere come c + c = ; = c; = e rppresenterà il luogo dei punti l cui sciss è ugule quel vlore fissto (l equzione non pone invece vincoli ll ordint), luogo che evidentemente consiste in un rett prllel ll sse. Supponimo infine che si b. Allor prtire d + b + c = possimo fre i seguenti pssggi: c b = c; = b b c Or, quest equzione è dell form = m+ q, con m =, q b = b ; noi precedentemente bbimo ftto vedere che ogni rett non prllel ll sse h un equzione di quell form, m ttenzione ciò non equivle d ver dimostrto nche il vicevers, ossi che qulsisi equzione dell form = m + q rppresenti sempre un rett! Insomm, rest pert l questione: m se io, nziché prtire d un dt rett per scriverne poi l equzione, scelgo mio rbitrio due numeri m e q, e poi scrivo l equzione = m + q, posso essere sicuro che il grfico corrispondente srà sempre un rett? Oppure ci srnno dei vlori, per l coppi di prmetri m, q, tli che il grfico ssocito ll equzione = m + q non si un rett? Un semplice rgionmento di tipo dinmico srà sufficiente sciogliere il dubbio. Fissimo nostro rbitrio i vlori di m e di q. Per iutrti meglio fissre le idee, frò or un cso prticolre, m l possibilità di generlizzre ti pprirà ll fine del tutto evidente: prenderò m=, q = 7. Posso esser certo che l equzione = 7 h come grfico un rett? Sì, perché con l immginzione io potrei, d es., prtire d un qulunque rett pssnte per l origine, poi cmbirne l inclinzione in modo tle che, qulor se ne scrivesse l equzione, il suo coeff. ngolre veng d essere esttmente (siccome il coeff. ng. m di un rett per O coincide, come si è visto, con l ordint del punto di sciss, mi bsterà fr sì che l rett per O ttrversi il punto (, ) ) e infine bbssrl, sempre conservndo l inclinzione stbilit, fino che l ordint ll origine diventi ugule 7. L prticolre rett cui srò pervenuto in questo modo, vrà come equzione proprio = 7; quindi, posteriori, posso dire che l equzione = 7 h come grfico un rett. Rissumimo e perfezionimo. Ogni RETTA h un equzione che è DI PRIMO GRADO in,, ossi un equzione che è esprimibile sotto l form + b + c = ; e VICEVERSA, ogni equzione DI PRIMO GRADO in,, ossi esprimibile sotto l form + b + c =, h come grfico un RETTA. Questo è il motivo per cui in mtemtic nziché dire DI GRADO si può dire nche LINEARE. Osservimo che in un equzione linere + b + c = i coefficienti, b, c SONO DETERMINATI A MENO DI UNA COSTANTE DI PROPORZIONALITÀ, nel senso che, se nche li si moltiplicsse tutti e tre per uno stesso numero rele non nullo, l equzione sostnzilmente non cmbierebbe, perché srebbe verifict sempre dlle stesse coppie (, ) di prim, quindi l rett corrispondente srebbe esttmente l stess. Ad esempio, le diverse equzioni = ; + = ; = ; + = ; = ;... rppresentno TUTTE LA MEDESIMA RETTA.

24 . ESEMPI ed ESERCIZI (LE RISPOSTE AI QUESITI SONO ALLA FINE DELLA RASSEGNA) ) Disegn (se vuoi, puoi nche utilizzre un unico riferimento crtesino!) le rette di equzioni: ) = b) = c) = d) = e) = f) = g) = h) + = ) Scrivi le equzioni delle rette qui sotto rffigurte: ) b) ) Consider il punto A( k +, k ), dove k è un prmetro. I) Disegn l posizione che il punto A ssume: per k = ; per k = ; per k = ; per k = ; per k = ; per k = ; per k = ; per k = II) Per qule vlore del prmetro k il punto A( k +, k ) : ) pprtiene ll rett di equzione =? b) pprtiene ll rett di equzione =? c) pprtiene ll sse? d) pprtiene ll sse? e) h distnz dll origine ugule 5? f) coincide con l origine? ) Dto il punto P(, ), scrivi l espressione, contenente e/o, che fornisce l distnz (ssolut) di P: ) dll origine b) dll sse c) dll sse d) dll rett di eq. = e) dll rett di eq. = 5) Disegn (puoi utilizzre un unico riferimento crtesino) le rette di equzioni: ) = b) = c) = d) = e) = f) = g) = h) 5 + = 6) Scrivi le equzioni delle rette qui sotto rffigurte: 7) Se un punto P h coordinte (, ), che coordinte vrà il punto simmetrico di P rispetto: ) ll origine? b) ll bisettrice del e qudrnte? c) ll bisettrice del e qudrnte?

25 5 8) Disegn le rette di equzioni: ) = + b) = + c) = + d) = e) = + f) + + = g) = + h) = i) = + l) = m) = 5 5 n) 5 + = 9) Fr le rette qui sotto rppresentte, stbilisci quli sono quelle che hnno I) m > II) m < III) m = IV) q > V) q < VI) q = ) b) c) d) e) f) g) h) ) E dt un rett di equzione = +q. Determinre q supponendo che l rett pssi: ) per l origine b) per il punto c) per il punto d) per il punto C, A(,) B(,6) ( ) ) E dt un rett di equzione = m+. Determinre m supponendo che l rett: D(,) E(5,) (, ) ) pssi per l origine b) pssi per il punto c) pssi per il punto d) pssi per e) si prllel ll rett di equzione = f) si prllel ll sse delle scisse. ) E dt un rett di equzione = m + q. Determinre m e q supponendo che l rett pssi: ) per A(,) e per B(,) b) per A(,) e per B(, ) c) per A(, ) e per B(,) d) per A(,) e per B(, ) e) per A( 5, ) e per B(, ) f) per A(,) e per B(,) ) Scrivi le equz. delle rette seguenti (puoi scegliere due punti sul grfico e operre come nell es. precedente): ) Trov lgebricmente il punto d intersezione delle seguenti coppie di rette, poi disegnle per controllre: ) r: = +, s: = + b) r: =, s: = c) r: =, s: = d) r: = +, s: = + e) r : = +, s : sse f) r: = + 7, s: = ) Cos hnno in comune le due rette di equzioni r:5 5 =, s:6 =?

26 RISPOSTE ) 6 ) ) = b) = ) I) (vedi figur) Le vrie posizioni di A( k +, k ) sembrno distribuite su di un rett. Srà proprio così? Sì, perché se un punto h come coordinte = k + = k llor, per ogni vlore di k, si h k = = ( ) ; = 5 per cui il punto strà sull rett di equzione, ppunto, = 5 + = = = = II) ) Se k + =, quindi per k = b) Per k = c) Per e) Se ( ) ( ) ( ) ( ) k = d) Per k = k + + k = 5; k + + k = 5; ( equzione di grdo) k = k = f) Non può coincidere con l origine, per nessun vlore di k. k + = Inftti il sistem { è impossibile. D ltronde, l rett = 5 non pss per l origine. k = ) ) PO = + = distnz dll'origine b) PB = = distnz d sse c) PC = = distnz d sse d) PD = = distnz d rett = e) PE = = distnz d rett = Immgin di spostre P portndolo in diverse posizioni nel pino crtesino e in diversi qudrnti: ti renderi conto che le stnghette di vlore ssoluto ci vogliono proprio.

27 7 5) 6) Sono tutte rette non verticli per l origine, quindi l loro equzione srà dell form = m ; si trtt solo di determinre, cso per cso, il coefficiente ngolre m! Se ricordimo che m =, ossi che m è ugule l rpporto fr l ordint e l sciss di un punto qulsisi dell rett in esme, vremo: ) = b) = c) = d) = e) = f) = 8) 7) Punto P(, ) ) Simmetrico rispetto ll origine: P'(, ) b) Simmetrico rispetto ll bisettrice del e qudrnte: P''(, ) c) Simmetrico rispetto ll bisettrice del e qudrnte: P'''(, )

28 8 9) I) m > :, c, f II) m < : b, g, h III) m = : d IV) q > : d, f, h V) q < : b, c VI) q = :, g ) E dt un rett di equzione = +q. Determinre q supponendo che l rett pssi per un punto ssegnto. ) Per l origine. Immeditmente: q = b) Per il punto A(,) Allo scopo di determinre q, bst porre l condizione di pprtenenz del punto (,), sostituendo le sue coordinte (,) l posto di (, ) nell equzione: = + q; q = c) Per il punto B(,6) q = 6 5 d) Per il punto C(, ) q = ) E dt un rett di eq. = m+. Determinre m supponendo che l rett pssi per un punto ssegnto. Si procede ponendo l condizione di pprtenenz del punto, come per il quesito precedente. Si trov: ) impossibile, per nessun vlore di m l rett dt può pssre per l origine! b) m = c) m = /5 d) m = / e) due rette non verticli sono prllele se hnno lo stesso coeff. ngolre: m = f) m = ) E dt un rett di equzione = m+ q. Determinre m e q supponendo che l rett pssi per due punti A, B ssegnti. ) Per A(,) e per B(,) Successivmente, impreremo un formul pposit per scrivere l equzione dell rett pssnte per due punti fissti. Per or, possimo procedere nel modo seguente: scriveremo le due condizioni di pprtenenz di A e di B rispettivmente, ponendole sistem; otterremo dunque un sistem di due equzioni nelle due incognite m, q. Nel nostro cso il sistem srà: { = m + q m q ossi m q { + = = + m+ q = m = Si trov:{ per cui l rett cerct è = q = 5 b) m=, q = c) m=, q = d), m = q = e) m=, q = f) impossibile 8 8 ) ) = + b) = + c) e) = f) = g) = + d) = = h) = ) Trov lgebricmente il punto d intersezione delle seguenti coppie di rette. Come sppimo, per trovre i punti di intersezione fr due curve nel pino crtesino si pongono le loro due equzioni sistem, e si risolve quest ultimo. = + = = + = ) r: = +, s: = + {...{ r s: (, ) b) (, ) c), d) ( 6,5) e), f) (,7 ) 5) Cos hnno in comune le due rette di equzioni r:5 5 =, s:6 =? Rppresentno l stess rett! Inftti, semplificndo l equzione per 5 e l per, si ottiene l stess equzione 6=. Questo esercizio è per ricordre che i coefficienti dell equzione di un rett in form implicit sono determinti meno di un fttore di proporzionlità, ossi meno di un costnte moltiplictiv.

29 9. APPROFONDIMENTI SUL COEFFICIENTE ANGOLARE BISETTRICI DEI QUADRANTI E RETTE INCLINATE DI 5 L bisettrice del e qudrnte h equzione = (è il luogo dei punti del pino crtesino l cui ordint è ugule ll sciss). Quindi il coefficiente ngolre m = contrddistingue le rette che, rispetto ll sse orizzontle, sono inclinte di 5 in slit ( + 5 ). L bisettrice del e qudrnte h equzione = (è il luogo dei punti del pino crtesino l cui ordint è ugule ll opposto dell sciss). Quindi il coefficiente ngolre m = contrddistingue le rette che, rispetto ll sse orizzontle, sono inclinte di 5 in disces ( 5 ). RETTE CON INCLINAZIONE MAGGIORE, O MINORE, DI 5 Un rett, con inclinzione (in slit o in disces) > 5, h m > ; un rett, con inclinzione (in slit o in disces) < 5, h m < Due rette, che sino ugulmente inclinte, m un in slit e l ltr in disces, hnno coefficienti ngolri fr loro OPPOSTI. Si può dimostrre che due rette PERPENDICOLARI hnno coefficienti ngolri fr loro ANTIRECIPROCI (si dice ntireciproco l opposto del reciproco). LA PROPRIETA FONDAMENTALE DEL COEFFICIENTE ANGOLARE Le bisettrici dei qudrnti Prendi un rett qulsisi: che so, l = +. Adesso, ssegn due vlori, per clcolre i corrispondenti vlori di e determinre dunque due punti dell rett stess. Ad esempio, puoi porre =, e vri quindi = + = 5e di conseguenz un primo punto A(, 5) ; poi puoi porre =, e vri quindi = + = d cui un secondo punto B(, ). Or vi clcolre il rpporto ( = quoziente) fr l differenz delle ordinte e l differenz delle scisse dei due punti ottenuti: Δ 5 6 = = = = NOTA Δ Come hi potuto vedere, il risultto di questo clcolo coincide col coefficiente ngolre m dell rett. Prov con un ltr coppi di punti, fi nuovmente il clcolo: otterri ncor lo stesso vlore, il vlore del coefficiente ngolre. Prendi un ltr rett, consider un coppi di suoi punti: vedri che il clcolo Δ, ovvero Δ, drà sempre il coefficiente ngolre m di quell rett. Vle dunque (ne dimo l dimostrzione generle ll pg. seguente) l formul Δ = = m (importntissim!) Δ Dt un rett di equzione = m + q, il suo coefficiente ngolre m è ugule l rpporto fr l differenz delle ordinte e l differenz delle scisse di due punti qulsisi dell rett stess. Ecco un rett = +, e due suoi punti A(, 5); B(, ). Δ Clcolimo = ; Δ vremo 5 6 = =. M è il coeff. ngolre!!!

30 NOTA - Il simbolo Δ è sovente utilizzto, in mtemtic, per indicre differenz. Ad es., fr due persone che hnno risp. 5 nni e 7 nni, c è un differenz di età Δ e = 7 5 =. Presi, in Fisic, due istnti di tempo successivi t e t, nei quli l velocità di un corpo è risp. v e v, llor nell intervllo di tempo Δ t = t t l incremento di velocità (>, < o = ) è dto d Δ v = v v. Dimostrzione Considerimo un rett non verticle r: = m + q e prendimo su di ess due punti qulsisi A(, ) e B(, ). Poiché i due punti sono stti presi sull rett r, risulterà = m+ q e = m+ q. Insomm, le coordinte dei due punti in questione srnno (, m+ q) e (, m+ q). Or si h Δ ( m + q) ( m+ q) m + q m q m( ) = = = = Δ C.V.D. = m E utile ed importnte osservre (vedi figur) che le due quntità Δ e Δ corrispondono lle due misure (con segno) dei due segmenti orizzontle ( Δ ) e verticle ( Δ ) che occorre percorrere per pssre dl primo punto l secondo misure CON SEGNO, nel senso che il segmento orizzontle ndrà preso col segno positivo se viene percorso d sinistr verso destr, negtivo se viene percorso d destr verso sinistr; e llo stesso modo il segmento verticle ndrà preso col segno positivo se viene percorso dl bsso verso l lto, negtivo se viene percorso dll lto verso il bsso. Qunto sopr ci dice che in un funzione linere, ossi dell form = m+ q l incremento di è proporzionle ll incremento corrispondente di : il rpporto fr questi due incrementi è costnte. Si può dimostrre che VALE ANCHE IL VICEVERSA: se due grndezze, sono legte fr loro in modo tle che l incremento di è proporzionle ll incremento corrispondente di (se rddoppi uno, rddoppi nche l ltro ) llor l relzione tr le due grndezze è dell form = m+ q. Segnlimo infine che molti testi chimno AFFINE un funzione dell form = + b, riservndo il termine LINEARE solo, o prevlentemente, l cso in cui b = ( = ). ENGLISH coefficiente ngolre = slope (lett.: pendenz), o grdient ordint ll origine = -intercept Δ/ Δ = rise over run = spostmento verticle frtto spostmento lterle

31 DISEGNARE UNA RETTA CONOSCENDONE UN PUNTO E IL COEFFICIENTE ANGOLARE Se noi sppimo che un rett pss per un dto punto P, e conoscimo il coefficiente ngolre m di quell rett, potremo disegnre l rett con precisione nche senz ver determinto l costnte q dell equzione = m+ q. Inftti, poiché sppimo che per il coefficiente ngolre vle l formul m Δ = = Δ, ci bsterà fre il disegno in modo che l rett pssi per P e per un ltro punto P per ottenere il qule prtiremo d P e ci sposteremo prim orizzontlmente di un segmento orientto Δ poi verticlmente di un ltro segmento orientto Δ, dopo ver scelto Δ e Δ in modo tle che il loro quoziente si ugule quel vlore m che ci interess. Ad esempio (figur ), per disegnre l rett pssnte per P (,) e vente coefficiente ngolre m =, possimo prtire d P e poi spostrci di verso destr ( Δ = ) e di verso l lto ( Δ = ). Troveremo così il nuovo punto P, tle che l rett PP vrà m = Δ/ Δ = e srà perciò l rett desidert. Fccimo un ltro esempio (fig. ). Per disegnre l rett pssnte per A (, 5) e di coeff. ng. m = /, possimo prtire d A e spostrci di verso destr ( Δ = ) poi di verso il bsso ( Δ = ). Rggiungeremo così un nuovo punto B e congiungendo A con B il gioco srà ftto. SIGNIFICATO GONIOMETRICO DEL COEFFICIENTE ANGOLARE Quest osservzione può essere compres solo d chi possiede qulche nozione di trigonometri. Indichimo con α ( α < 8 ) l ngolo che l nostr rett form con l sse orientto delle scisse. L trigonometri ci insegn che CB BAC AC = tg e llor in definitiv, tenendo conto che BAC = α (ngoli corrispondenti formti d due prllele con trsversle), vremo CB m= = tg α AC Insomm, il coefficiente ngolre di un rett è ugule ll tngente goniometric dell ngolo α ( α < 8 ) che l rett stess form con l sse orientto delle. Nell figur qui finco l ngolo in questione è cuto, m puoi tu stesso controllre che l relzione vle, compreso il segno, nche nel cso l ngolo si ottuso (e pure per l ngolo nullo cui è possibile pensre nel cso di un rett prllel ll sse ).

32 . ESERCIZI SUL COEFFICIENTE ANGOLARE ) Qunto vle il coefficiente ngolre delle rette seguenti? ) = b) = c) = d) = 7 e) = f) = g) = 8 5 h) + 5= i) + = l) + 5= m) = n) = o) + = p) = q) = r) = s) b c k + = + ) Determin i coefficienti ngolri delle rette sotto indicte, poi disegnle. Potri osservre che se due rette hnno: + + = t) ( ) coefficienti ngolri UGUALI, llor sono PARALLELE; coefficienti ngolri opposti, llor hnno l stess inclinzione, m un in slit e l ltr in disces; coefficienti ngolri ANTIRECIPROCI l uno dell ltro (NOTA), llor sono PERPENDICOLARI; coefficienti ngolri reciproci l uno dell ltro, llor un di esse form con l sse un ngolo ugule ll ngolo che l ltr form con l sse. NOTA: ntireciproco vuol dire: "l'opposto del reciproco": 7 d es., sono ntireciproci l'uno dell'ltro i due numeri 5 e, oppure i due numeri e ) = b) = + c) = + 5 d) + + 6= e) = f) = g) = + h) = + i) = + l) = + m) = ) Determin il vlore del prmetro k in modo che l rett = ( k ) + 5 ) formi con l sse un ngolo di +5 b) formi con l sse un ngolo di 5 c) si prllel ll sse d) si prllel ll sse ) Determin, trmite l formul m=δ/ Δ, il coefficiente ngolre di ciscun delle rette pssnti per le seguenti coppie di punti: ) A,;B,7 ( ) ( ) b) C(, ); D(, 6) c) E(, ); F(,) d) G(, ); H(, ) e) I, ; J, 6 f) H, ; K, g) L,;M, ( ) ( ) h) P,;Q, ( ) ( 6) 5) Disegn l rett pssnte per il punto indicto, e vente il coefficiente ngolre specificto finco: ) A(, ); m = b) A(, ); m = c) A(, ); m = d) A(, ); m = e) B(, ); m = f) B(, ); m = g) B(, ); m = h) B(, ); m = 5 7 RISPOSTE ) ) b) c) o) p) 5 ) ) b) c) d) d) e) non esiste, q) r) è"infinito" s) e) f) 6 non esiste, g) h) i) l) m) n) 7 è"infinito" ( se b ; se b =,"infinito") t) k : = ( k ) + k b f) g) h) i) ) ) k = b) k = c) k = d) impossibile ( = per nessun vlore di k) ) ) m = b) m = c) m = d) m = e) m = f) l) m) 9 m = g) m = " infinito" h) m = 5) Ecco un secondo punto (tnto per fre un esempio) per cui l rett pss, oltre quello dto:,, B,, ) (, ) b) ( ) c) ( 5, ) d) ( 5, ) e) (,5 ) f) ( ) g) ( ) h) ( )

33 . CONDIZIONI DI PARALLELISMO E PERPENDICOLARITA CONDIZIONE DI PARALLELISMO FRA DUE RETTE (NON VERTICALI) Due rette non verticli r: = m+ q; r': = m' + q' sono PARALLELE se e solo se hnno UGUAL COEFFICIENTE ANGOLARE: r// r' m = m', come d es. r: = 7 ed s: = + Ciò si deve l ftto che, come bbimo ripetutmente osservto, il coefficiente ngolre di un rett esprime l su inclinzione rispetto ll sse ; or, è evidente che il prllelismo fr due rette si vrà se e solo se le due rette srnno ugulmente inclinte rispetto ll sse e quindi se e solo se (nel cso di rette non verticli) vrnno ugul coefficiente ngolre. L biimpliczione r// r' m = m' potrebbe nche essere dimostrt nel modo seguente: r: = m+ q e r': = m' + q' sono prllele se e solo se, cercndone le intersezioni trmite il sistem = m+ q {, non se ne trov nessun oppure se ne trovno infinite ' = m ' + q' (cso, quest ultimo, in cui le rette srebbero coincidenti, quindi prllele in senso esteso ). Perciò si vrà r // r' se e solo se il sistem risulterà impossibile, oppure indeterminto. M l equzione risolvente del sistem è m + q = m' + q '; ( m m') = q' q e i csi di impossibilità o indeterminzione si hnno qundo si nnull il coefficiente di, ossi con m = m'. CONDIZIONE DI PARALLELISMO FRA DUE RETTE QUALSIASI (FORMA IMPLICITA!) L condizione di prllelismo esmint precedentemente non può rigurdre due rette prllele che sino entrmbe verticli (per le rette verticli il coefficiente ngolre non è definito!). Tuttvi, se si considerno le equzioni di due rette in form implicit, è possibile scrivere un condizione di prllelismo vlid universlmente, nche per le rette verticli. Si potrebbe dimostrre che, per le due rette r: + b+ c = ; r': ' + b' + c' =, ess è b r// r' ' b' = Ad esempio, r:6 + 7= ed s : 9 5+ = sono prllele ( r s 6 ) perché = 6 ( 5) ( ) 9= 9+ 9= 9 5 CONDIZIONE DI PERPENDICOLARITA FRA DUE RETTE (NON PARALLELE AGLI ASSI) Due rette non prllele gli ssi r: = m+ q; r': = m' + q' sono PERPENDICOLARI se e solo se HANNO I COEFFICIENTI ANGOLARI ANTIRECIPROCI: 5 r r' m' = ( nche: mm' = ) Ad esempio, r: = ed s: = + m 5 r s. Con riferimento ll figur: in luogo delle due rette = m+ q, = m' + q' possimo considerre le rispettive prllele per l origine, ossi le rette trtteggite = m e = m'. Inftti è evidente che le due rette considerte inizilmente sono perpendicolri se e solo se risultno perpendicolri queste ultime. Considerimo llor i due punti, rispettivmente dell = m e dell = m', di sciss : A(, m) e B(, m'). AOB rettngolo in O AB = OA + OB ( ) ( ) sono perpendicolri ( ) m m' = + m + + m' m mm' + m' = + m + + m' mm' = mm' = m' = / m C.V.D. CONDIZIONE DI PERPENDICOLARITA FRA DUE RETTE QUALSIASI (FORMA IMPLICITA!) Per fissre un condizione di perpendicolrità che non esclud le rette prllele gli ssi, simo costretti ncor un volt ricorrere lle equzioni in form implicit. Si potrebbe dimostrre che, per le due rette r: + b+ c = ; r': ' + b' + c' =, l condizione è r r ' ' + bb' = Ad esempio, r:+ + 9= ed s:6 8+ = r s 6 + 8= = sono perpendicolri ( ) perché ( )

34 ESEMPI - ESERCIZI ) Dt l rett =, riconosci quli fr le seguenti rette sono d ess I) prllele II) perpendicolri ) = + b) = c) = d) = e) + + 6= ) Stbilisci qule coefficiente ngolre hnno tutte le rette prllele ll rett che pss per l coppi di punti: ) A, ( ;B, ) ( ) b) C, ; D, 8 c) E5,;F5, ( ) ( ) d) H, ( h) ;K( k, ) (, h k ) ) Stbilisci qule coefficiente ngolre hnno tutte le rette perpendicolri ll rett che pss per ciscun delle quttro coppie di punti ), b), c), d) dell esercizio precedente ) Verific, utilizzndo esclusivmente i coefficienti ngolri, che il qudriltero ABCD è un prllelogrmmo. Ripeti poi l stess verific utilizzndo, invece, l formul per l distnz fr due punti. 8 ) A(,;B ) (, );C(, );D(,) b) A(, ); B, ; C, ; D(, ) 5) Verific, utilizzndo esclusivmente i coefficienti ngolri, che il tringolo ABC è rettngolo. Ripeti poi l stess verific utilizzndo, invece, l relzione pitgoric. Clcol nche l medin reltiv ll ipotenus, consttndo che è ugule metà dell ipotenus stess. 5 D, ; E, ; F 8, ) A(, 8 ); B(,8 );C(, ) b) ( ) ( ) 6) Consider il tringolo di vertici A( 8, ); B(, ); C(,) e verific (nei tre possibili csi) che l congiungente i punti medi di due lti qulsisi è sempre prllel l lto rimnente, e ugule ll su metà. 7) Consider le due rette di equzioni: r: = ( k + ) + ( k ); s: = +. Per qule vlore del prmetro k sono prllele? Per qule sono perpendicolri? Scrivi nche le equzioni delle rette così trovte, verificndo così l correttezz delle tue risposte. 8) Stesso quesito precedente, per le coppie di rette ) r: = ( p+ ) ; s: = ( p ) b) r: = + b; s: = + c 9) Consider le due rette di equzioni: r:+ + 5= ; s: k + = dove k è un prmetro, e, senz portre in form esplicit, stbilisci per quli vlori di k esse sono: I) prllele II) perpendicolri. ) Stesso quesito precedente, per l coppi di rette r: h+ ( h ) + ( h+ ) = ; s: ( h ) + ( h+ ) + ( h ) = Scrivi nche le equzioni delle rette così trovte, verificndo così l correttezz dei vlori di h individuti. RISPOSTE ) ) né nè b) c) d) e) né nè ) ) ) ) 5 m = b) m = c) m = " non esistente"," non definito"," infinito"( rett verticle) d) m = b) 5 m = c) m = d) k m = h ) ) mab = = mdc perciò AB DC; mad = = mbc perciò AD BC Invece con le distnze :AB= 5= DC; AD= = BC e un qudriltero coi lti opposti due due uguli è un prllelogrmmo. 5 b) mab = = mdc perciò AB DC; mad = = mbc perciò AD BC ( entrmbe verticli) Invece con le distnze :AB= = DC; AD= = BC h m = k

35 5 5) ) m AB = e mbc = perciò AB BC ( ABC = 9 ) Invece con l relzione pitgoric : AB =, BC = 5, AC = 5 quindi AB + BC = + 5 = 65 = AC d cui ABC = 9 5 b) m DE = e mdf = perciò DE DF ( EDF = 9 5 ) Invece con l relzione pitgoric : 9 65 DE =, DF 5 5 =, EF = quindi DE + DF = 69 + = = EF d cui EDF = ) Ad esempio, i punti medi di AB e BC hnno coordinte, e, e l loro congiungente h coefficiente ngolre, come rett,, e misur, come segmento, 5; or, AC h coefficiente ngolre, come rett, ncor e misur, come segmento,cioè 5. A te le ltre verifiche. 7) Sono se m = m' ossi k + = ; k =. In tl cso si trtt delle rette = + e = Sono se m = ossi k + = ; k =. In tl cso le rette sono = e = +. m' p Perciò non si può vere prllelismo per nessun vlore di p, mentre il cso di perpendicolrità corrisponde lle rette =, = b) se = ; = ; se = ; = ; =± Con = ledue rette sono entrmbe orizzontli, quindi prllele; con = si trtt delle rette = + b, = + c, in effetti perpendicolri, con = le due rette sono = + b, = + c, in effetti perpendicolri. 8) ) se p + = p... impossibile!; se p + = ; p = ; p = ; p = 9) Condizione di prllelismo in form implicit per due rette + b + c =, ' + b' + c' = : b =. ' b' Dunque : = ; 6 k = ; k = k Condizione di perpendicolrità : ' + bb' =. 8 Dunque :k 8=, k = ( ) ( ) ) Prllelismo : h h = ; h h + h = ;... h = h h+ Con h =, le rette risultno essere rispettivmente 9 + = ; + 9 = ; = = ; + 9 = ; = + 9 in effetti prllele m m = = ( ) ( )( ) Perpendicolrità : h h + h h + =. h =, h =± Con h =, le rette risultno essere rispettivmente + = ; = e = ; = in effetti perpendicolri un verticle, l ' ltr orizzontle Con h =, le rette risultno essere rispettivmente + = ; = + e + = ; = + in effetti perpendicolri. ( )

36 6. EQUAZIONE DELLA RETTA PASSANTE PER DUE PUNTI ASSEGNATI: LA FORMULA Voglimo un formul che ci consent di scrivere immeditmente l equzione dell rett pssnte per due punti, P(, ) e P(, ), di coordinte ssegnte. Impostimo l seguente cten di biimpliczioni (ovvimente, i segmenti trtteggiti in figur sono prlleli gli ssi crtesini; i segmenti dell proporzione vnno pensti orientti): P(, ) PP HP:SP = PH:PS ( segmenti orientti) ( ):( ) = ( ):( ) = LA FORMULA CHE DA LA RETTA PASSANTE PER DUE PUNTI ASSEGNATI è dunque = Ess però vle solo per rette che non sino né orizzontli ( = stess ordint) né verticli ( = stess sciss). In tl cso, inftti, provndo d pplicrl si otterrebbe un denomintore nullo. D ltr prte, se è noto che i due punti in gioco individuno un rett prllel uno degli ssi, scrivere l equzione dell rett stess è immedito. Osservimo che, eliminndo i denomintori nell formul di cui sopr, si ottiene l su VARIANTE = ( )( ) ( )( ) l qule, invece, HA IL VANTAGGIO DI VALERE SEMPRE, nche per le rette prllele gli ssi. ESEMPI Scrivere l equzione dell rett che pss per i due punti A( 6,7); B(,) I due punti A, B non hnno né l stess sciss, né l stess ordint: l rett AB non è prllel né ll sse, né ll sse, e possimo utilizzre l formul = ; = ; = ; = ; = ; = 8; = + 8; = ; = + In effetti, vedimo dll figur che l rett è in disces (questo v d ccordo col coefficiente ngolre < trovto) e l ordint ll origine vle, come il q dell equzione d noi ricvt. Scrivere l equzione dell rett che pss per i due punti A(,); B(, ) Quest volt A, B hnno l stess sciss, e l formul non è pplicbile. D ltr prte se i due punti hnno l stess sciss, llor l rett è verticle, e l su equzione si può scrivere immeditmente: =. Puoi verificre che l vrinte ( )( ) = ( )( ) condurrebbe, ftti i clcoli, ll stess conclusione =.

37 7 CONDIZIONE DI ALLINEAMENTO DI TRE PUNTI Supponimo di vere, nel pino crtesino, tre punti di coordinte, ;, ;,. Esiste un formul per stbilire se sono llineti, ossi se pprtengono tutti e tre un medesim rett? P,P,P ( ) ( ) ( ) Considerimo l equzione dell rett pssnte per i primi due; scrivimol utilizzndo l formul nell versione senz denomintori, che è vlid, come sppimo, qulunque si l posizione dei due punti considerti: ( )( ) = ( )( ) Or, il terzo punto pprterrà tle rett se e solo se, sostituendone le coordinte nell equzione, si otterrà un uguglinz ver (condizione di pprtenenz). Dunque il terzo punto pprterrà ll rett individut di primi due, e perciò i tre punti srnno llineti, se e solo se ( )( ) = ( )( ) condizione che può nche essere scritt utilizzndo un determinnte: = Ad esempio, utilizzimo l condizione per stbilire se i tre punti 7 A( 5, ); B, ; C(, 6) 5 5 sono llineti oppure no =? =? 6 =? =, OK : sono llineti ESERCIZI ) Scrivi (portndol successivmente in form esplicit) l equzione dell rett AB, con: ) A(,); B( 6,) b) A(, ); B(, ) c) A(, 6 ); B(,) d) A, ; B, e) A(,5); B(, ) f) A(, ); B(,) g) 7 A, ; B, h) A,;B, ( ) ( ) ) E dto il tringolo ABC, con A(,); B(, ); C(, 6). Scrivi le equzioni delle due medine reltive i lti AB e AC ( = delle rette su cui gicciono tli medine), poi clcol le coordinte del loro punto di intersezione. Verific infine che nche con l ben not formul per le coordinte del bricentro di un tringolo si srebbe giunti l medesimo risultto. ) Dopo ver dimostrto che ABCD, con A( 5, ); B(5, ); C(6,); D(,), è un prllelogrmmo, congiungi il vertice A col punto medio M del lto DC e il vertice C con il punto medio N nel lto AB e verific che i due segmenti AM e CN dividono l digonle DB in tre prti uguli DE = EF = FB. Verific inoltre che il punto medio G di AE, il punto medio H di CF e il punto di intersezione I delle digonli del prllelogrmmo sono llineti fr loro. ) Verific, con l pposit formul, che i tre punti A(,5); B(,); C(5, ) sono llineti. Scrivi l equzione dell rett r su cui gicciono. Indic poi con s l rett prllel d r e pssnte per l origine O, consider il punto D(, ) e determin le coordinte dei tre punti A', B', C' in cui le tre congiungenti A D, BD, CD intersecno l rett s. RISPOSTE ) ) = + b) = c) = d) = e) = f) = 7 g) = h) = ) G, ) E(, ); F(, ); G, ; H, ; I, A', ; B'(,); C'(,8) ) ( )

38 5. FASCIO PROPRIO DI RETTE 8 EQUAZIONE DELLA RETTA PASSANTE PER UN PUNTO DATO P(, ) E AVENTE COEFFICIENTE ANGOLARE ASSEGNATO m L equzione dell rett pssnte per P(, ) e vente coefficiente ngolre ssegnto m si scrive medinte l formul = m( ) Esempio: scrivere l equzione dell rett pssnte per A5, ( ) e prllel ll bisettrice del e qudrnte (di equzione Avremo m ; (, ) ( 5,) = ). = = e quindi, pplicndo l formul = m ( ) : = ( 5 ); = + 5; = + 8 L GIUSTIFICAZIONE dell formul = m ( ) si può effetture medinte le seguenti tre puntulizzzioni: ) l equzione scritt rppresent certmente un rett (per il ftto che si trtt di un equzione di grdo nelle due vribili, ); b) tle rett h coefficiente ngolre m (se si portsse in form esplicit, il moltiplictore di risulterebbe essere m) c) tle rett infine pss certmente per P(, ) in qunto sostituendo, l posto di e rispettivmente, si ottiene un uguglinz ver. Le tre osservzioni di cui sopr dimostrno A POSTERIORI l vlidità dell formul. Un procedimento che, invece, consente di RICAVARE l formul stess è il seguente. L equzione di un generic rett che bbi come coefficiente ngolre il numero ssegnto m è = m+ q, con quell m fissto, e q invece lscito indicto, imprecisto. Sppimo che q indic l ordint del punto in cui l rett tgli l sse verticle: second del vlore di q l rett si troverà spostt più in lto o più in bsso. M noi voglimo determinre quel prticolre vlore di q per il qule l rett in questione risult pssre per il punto ssegnto P(, ). Bene! Lo troveremo imponendo l condizione di pssggio per il punto P(, ). Tle condizione fornisce l uguglinz = m + q d cui q = m. L rett che ci interess è dunque = m + ( m) ; = m m; = m( ) ESERCIZIO Dto il tringolo ABC, con A(,); B(5,); C(,), trov le coordinte del piede dell ltezz reltiv ll bse BC. Δ C B mbc = = = = = Δ C B 5 Dunque mah = = mbc AH : = ( ); = 9; 7 = BC : = ( 5 ); 6 = + ; + 6 =, oppure con l formul per l rett pssnte per due punti B B 5 = ; = ; = 5 C B C B 7 = H = AH BC: ;...; H 5, + 6= :

39 FASCIO PROPRIO DI RETTE 9 Se nell equzione = m ( ) pensimo, fissti ed m vribile (o, se si vuole, fissto m imprecisto), interpreteremo tle equzione come l equzione dell fmigli di tutte le rette pssnti per P(, ), esclus l rett verticle. Esempio: l fmigli di tutte le rette non verticli pssnti per il punto E(,) è rppresentt dll equzione = m( ) L fmigli di tutte le rette pssnti per un punto fissto P viene chimt il fscio proprio di centro P. Quindi possimo dire che ESERCIZIO Fr le rette del fscio di centro S, ( ) L equzione = m( ) rppresent, l vrire di m, il FASCIO PROPRIO DI RETTE DI CENTRO P(, ), CON ESCLUSIONE DELLA RETTA VERTICALE Nell figur, lcune fr le infinite rette del fscio proprio di centro P(, ), determinre: ) quell prllel ll rett + 7 = b) quell perpendicolre ll rett che pss per A(,5) e per B(, ) c) quell che pss, oltre che per S, nche per C(,) + = m Fr le rette di questo fscio, quell prllel ll + 7 = srà l rett che h lo stesso suo coefficiente ngolre. Ricvimo llor il coefficiente ngolre di + 7 =, portndo l equzione in form esplicit: + 7 = ; 7 = + ; = Dunque il vlore di m che ci interess è m =, 7 e questo punto l rett richiest srà + = ( ) 7 Svolti i clcoli, si ottiene = + o, in form implicit, 6 + = 7 ) L equzione del fscio in questione è ( ) b) Che coefficiente ngolre h l rett AB, con A(,5) e B(, )? Per determinrlo, potremmo scrivere l equzione di tle rett con l formul per l rett pssnte per due punti di coordinte ssegnte = oppure (molto più rpidmente!) servirci dell formul m= Δ/ Δ. Δ 5 Dunque mab = = = 6 e perciò, per qunto rigurd l rett richiest, perpendicolre d AB, Δ m = m = 6 d cui + = ( ) ecceter. 6 AB c) Possimo scrivere, con l pposit formul, l equzione dell rett pssnte per i due punti S e C; oppure, in lterntiv, fr le rette del fscio di centro S, determinre quell pssnte per C(,) ponendo l condizione di pprtenenz di quest ultimo punto ll rett + = m( ). per determinre il vlore di m che interess. Puoi, per esercizio, procedere tu, in entrmbi i modi.

40 ( ) + b ( ) = E L EQUAZIONE DEL FASCIO PROPRIO DI CENTRO (, ), NESSUNA RETTA ESCLUSA Inftti, l equzione ppen scritt rppresent certmente un rett (è di grdo in, ) tle rett pss certmente per P(, ) perché sostituendo, l posto di, rispettivmente, si ottiene un uguglinz ver; infine: fcendo vrire l coppi di prmetri, b, si possono ottenere tutti i possibili coefficienti ngolri (notre che il coefficiente ngolre è dto d / b; or, scegliendo un vlore di b non nullo e fcendo poi vrire, possimo fr sì che l frzione / b ssum qulsisi vlore d noi desiderto) e inoltre, ponendo b = e ttribuendo d un vlore qulsisi purché non nullo, si ottiene l rett ( ) = ; = ; = ossi l rett verticle pssnte per (, ) Qundo, in un problem, è richiesto di determinre l equzione di un rett, di cui si conosce il pssggio per un dto punto P(, ), in modo che tle rett verifichi nche un ulteriore condizione: se si s già per certo che l rett cerct non è verticle, si utilizzerà l rppresentzione = m ( ) ; se invece non è escluso che l rett cerct poss eventulmente essere verticle, IN TEORIA si dovrebbe utilizzre l rppresentzione ( ) + b ( ) = che, contrrimente quell'ltr, non esclude l rett verticle; tuttvi, il ftto che qui intervengno DUE prmetri nziché uno, è molto scomodo (tenimo presente nche il ftto che l coppi di prmetri srebbe comunque determint meno di un costnte di proporzionlità ), per cui si preferisce di solito comportrsi nel modo seguente: si utilizz, per rppresentre l rett, l formul = m ( ) ; si v poi controllre in modo diretto se nche l rett verticle = è soluzione del problem ssegnto. Quest osservzione è utile in prticolre in relzione del problem, che si incontr negli sviluppi successivi dell Geometri Anlitic, di condurre d un dto punto le tngenti un dt conic. ESERCIZIO Consider il rettngolo di vertici A(, ), B(, ), C(,), D(,) e prendi sul lto AB un punto P qulsisi, d esempio quello di sciss : P(, ). Or per P trcci: l prllel ll digonle BD, che intersechi l ltr digonle AC in E; l prllel d AC, che intersechi BD in F; l perpendicolre d AC, che l intersechi in H; e infine l perpendicolre BD, che l intersechi in K. Verific or che l somm PE + PF è ugule mezz digonle del rettngolo, mentre l somm PH + PK è ugule,8. Cmbi or l posizione di P su AB, vrindone l sciss, rifi i clcoli, e constteri che l somme PE + PF, PH + PK non mutno il loro vlore rispetto prim. Come si spieg questo ftto? Altri esercizi pg. Le digonli hnno equzioni per cui, d esempio, = (AC) e l rett PE vrà equzione + = m( + ) con = (BD) m = 5 e quindi + = ( + ); =. Or per trovre le coordinte di E si porrà quest equzione sistem con l equzione dell rett AC ecc. ecc. Prosegui tu. Rigurdo lle dimostrzioni richieste, per l prim è sufficiente l geometri euclide di bse, per l second ci vogliono similitudini e proporzioni.

41 6. FASCIO IMPROPRIO DI RETTE EQUAZIONE DELLA GENERICA RETTA PARALLELA AD UNA RETTA NON VERTICALE ASSEGNATA = m+ q FASCIO IMPROPRIO DI RETTE Si dt un rett r: = m+ q (esempio: = ). L generic prllel d r si indicherà con = m+ k, dove k v penst come un vribile, oppure come un costnte rbitrri, un prmetro. Riprendendo il nostro esempio, l generic prllel ll rett = è l rett = + k, k. L insieme (si può nche dire: l fmigli ) di tutte le infinite rette prllele d un rett fisst, viene detto fscio improprio o fscio di prllele. Quindi possimo dire che: Inftti: Nell figur, lcune fr le infinite rette del fscio improprio di tutte le prllele ll = se pensimo m fissto e k vribile, l equzione = m+ k rppresent il FASCIO IMPROPRIO DELLE RETTE AVENTI COEFFICIENTE ANGOLARE m. Esempio: l fmigli di tutte le rette prllele ll = 5+ è rppresentbile con l equzione = 5 + k, k L equzione del fscio improprio costituito d tutte le rette prllele ll sse è invece = k, con k pensto vribile. FASCIO IMPROPRIO IN FORMA IMPLICITA Supponimo che l equzione di un dt rett r si scritt in form implicit: + b + c =. Allor, se si vuole rppresentre nliticmente il fscio improprio delle rette prllele d r, il modo più veloce è di sostituire il numero ssegnto c con un costnte rbitrri k : + b + k =, k Esempio: l fmigli di tutte le rette prllele ll + 5= è rppresentbile con l equzione + k =, k + b + k =, k ESERCIZIO Scrivi l equzione del fscio di rette prllele: ) ll rett di equzione = + b) ll rett di equzione = Risposte: ) = + k, k b) + k =, k Altri esercizi pg. k b : = fscio delle prllele con coeff. ng. b b b k b = : + k = ; = fscio delle rette verticli

42 7. ANCORA SUI FASCI DI RETTE LA COMBINAZIONE LINEARE DELLE EQUAZIONI DI DUE RETTE, SE SI LASCIA INDETERMINATO UNO DEI COEFFICIENTI (O ENTRAMBI), ESPRIME UN FASCIO Considerimo le equzioni di due rette r: + b+ c = s: ' + b' + c' =. Supponimo (lmeno per or) che tli due rette non sino prllele, m si intersechino invece in un punto P (, ). Rigurdo or ll scrittur + b + c + k ( ' + b' + c' ) =, dove k è un coefficiente rele, possimo dire che esprime ncor l equzione di un rett, perché è di grdo nelle vribili, e quest rett pss senz ltro per P (, )!!! Inftti P, poiché pprtiene si d r che d s, è tle che le sue coordinte (, ) soddisfno si ll equzione di r che quell di s; si h perciò + b + c = e nche ' + b ' + c' =, per cui si vrà pure, per qulsisi vlore di k, + b + c + k ( ' + b' + c' ) = P, + b + c + k ' + b' + c' =. il che signific ppunto che ( ) pprtiene ll rett ( ) Ricpitolndo, l equzione + b + c + k ( ' + b' + c' ) = individu senz ltro un rett pprtenente l fscio di centro P (, ) Fccimo un esempio. Le due rette r: + 5=, s: + =. si intersecno, come tu stesso puoi verificre fcendo il sistem, nel punto P ( ) + 5+ k( + ) = è ncor l equzione di un rett, pssnte per P (, ).,. Or, Se prendimo, tnto per dire, k = 7, l specific rett srà ( + ) = = 5+ = e quest rett pss per (, ) in qunto, con l sostituzione =, =, l uguglinz risult ver: 5 + = ; = OK Ci chiedimo desso: m l scrittur in esme + b + c + k ( ' + b' + c' ) = è in grdo di esprimere, scegliendo in mnier opportun il vlore d ssegnre k, QUALSIASI rett del fscio in questione, oppure no? Possimo rispondere quest domnd provndo indgre se, preso un qulsivogli punto P (, ) del pino, si sempre possibile trovre un vlore di k per il qule l rett corrispondente pssi per P. Dunque: l rett + b + c + k ( ' + b' + c' ) = psserà per P (, ) se e solo se + b+ c + k ( ' + b' + c' ) = k( ' + b' + c' ) = ( + b+ c) + b+ c' k = ' + b ' + c' ( purché si ' + b' + c, ltrimenti il vlore di k non esiste). + b + c + k + b + c = pssi per P (, ), se e soltnto se risult ' + b ' + c, ossi se e soltnto se il punto P NON pprtiene ll rett s : ' + b ' + c' =!!! M llor srà possibile determinre un vlore di k tle che l rett ( ' ' ')

43 Di conseguenz l equzione + b + c + k ( ' + b' + c' ) = permette di rppresentre, l vrire di k, qusi tutte le rette del fscio di centro P, m non proprio tutte. Rest esclus inftti ogni rett PP, tle che il punto P pprteng ll rett s e llor, ben pensrci, rest esclus l sol rett s! In reltà, si può osservre che, qunto più si prendono vlori di k grndi, tnto più l rett rppresentt dll equzione + b + c + k ( ' + b' + c' ) = tende identificrsi con l rett s. Ad esempio, nell figur qui finco, bbimo preso r: + 5=, s: + = e bbimo poi considerto ltre rette t, t, t,... ottenute considerndo l equzione + b + c + k ( ' + b' + c' ) = e ssegnndo k vlori crescenti. L ide che ci fccimo è che l rett + b + c + k ( ' + b' + c' ) = potrebbe ndre identificrsi con l rett s.. solo se k potesse rggiungere il vlore infinito! RIASSUNTO: FASCIO PROPRIO INDIVIDUATO DA DUE RETTE Dte le equzioni di due rette r: + b+ c =, s: ' + b' + c' = incidenti in P (, ) : l scrittur + b + c + k ( ' + b' + c' ) = ( k ) indic, l vrire di k, tutte le rette del fscio proprio cui pprtengono r ed s, con l sol eccezione di s. Si ottiene l rett r con k =, si ottiene un rett prossim s con k tendente infinito ( k ). e l scrittur λ ( + b + c) +μ ( ' + b' + c' ) = ( λ, μ, non entrmbi nulli) indic, l vrire dei prmetri, tutte le rette (nessun esclus) del fscio proprio di cui fnno prte r ed s. L rett r si ottiene con l combinzione λ, μ = L rett s si ottiene con l combinzione λ =, μ ANALOGAMENTE, PER IL FASCIO IMPROPRIO Dte le equzioni di due rette r: + b+ c =, s: ' + b' + c' = prllele fr loro: l scrittur + b + c + k ( ' + b' + c' ) = ( k ) indic, l vrire di k, tutte le rette del fscio improprio cui pprtengono r ed s, con l sol eccezione di s. Si ottiene l rett r con k =, si ottiene un rett prossim s con k tendente infinito ( k ). e l scrittur λ ( + b + c) +μ ( ' + b' + c' ) = ( λ, μ, non entrmbi nulli) indic, l vrire dei prmetri, tutte le rette (nessun esclus) del fscio improprio di cui fnno prte r ed s. L rett r si ottiene con l combinzione λ, μ = L rett s si ottiene con l combinzione λ =, μ UNIFICANDO LE DUE SITUAZIONI In definitiv, dte due qulsisi rette r: + b+ c =, s: ' + b' + c' =, il fscio (proprio od improprio) d esse individuto si può indicre con + b + c + k ( ' + b' + c' ) = ( k ) λ + b + c +μ ' + b' + c' = λ, μ, non entrmbi nulli o con ( ) ( ) ( ) L second scrittur non esclude nessun rett del fscio, l prim scrittur h il vntggio di contenere un prmetro solo m esclude l rett s, l qule corrisponde d un situzione limite di k estremmente grnde : per così dire, si otterrebbe con k =.

44 ESERCIZIO SVOLTO Verific che l equzione ( + ) = ( + ) rppresent, l vrire di, un fscio di rette, con l eccezione di un singol rett. Determin le crtteristiche del fscio e individu l rett mncnte. Risoluzione ( + ) = ( + ); + = + ; + = ; + ( ) = Si trtt dunque del fscio individuto dlle due rette = ( sse ) e =. Quest ultim è l rett mncnte : l equzione rppresent tutte le rette del fscio, trnne l =. = = Poiché il sistem { h come soluzione l coppi = {, il fscio è proprio, con centro in (, ). = ESERCIZIO SVOLTO Stbilisci le crtteristiche dei due fsci seguenti, e determin l rett che essi hnno in comune. F : = m( ) F : b + + = ( ) ( ) Risoluzione F : = m( ) è il fscio di tutte le rette pssnti per il punto (, ), privto dell rett verticle. F : ( + + ) + b( + + ) = è il fscio (nessun rett esclus) individuto dlle due rette + + = e + + =. Poiché queste sono prllele fr loro, si trtt di un fscio improprio: il fscio delle rette venti m =. L rett che i due fsci in questione hnno in comune è, fr le rette di equzione = m, quell di coefficiente ngolre = ; = + ESERCIZI ( ) ossi l ( ) ) Determin le crtteristiche (proprio o improprio, rette genertrici, eventule centro, eventuli rette escluse) di ciscuno dei fsci seguenti: ) ( k + ) ( k + ) 6( k + ) = b) ( λ +μ ) + ( λ μ ) = c) h( ) = k( + ) d) ( ) ( ) h+ h+ = e) + = + f) ( )( ) ( ) + b b = ) Spieg perché l seguente equzione NON rppresent, l vrire di k, tutto un fscio di rette, = k + m solo un prte di un fscio. Quli sono le rette escluse? ( ) ) Determin l rett comune ll seguente coppi di fsci: ) il fscio generto dlle due rette 5 + =, 5 = e quello generto dlle due rette + + =, =, + b+ + b =, b b) ( ) = e ( ) RISPOSTE ) ) Fscio proprio generto d r: 6= e s : 6=, di centro (, ), privto dell rett s b) Fscio proprio di centro l origine (genertrici: =, = ), nessun rett esclus. c) Fscio improprio delle rette prllele ll bisettrice del e qudrnte (genertrici: =, + = ), nessun rett esclus. d) Fscio proprio generto d r: = e s : =, di centro (, 8), privto dell rett s e) Fscio proprio generto d r: = + e s : =, di centro (,8), privto però si di r che di s f) Fscio improprio delle rette di coeff. ng. m = / (genertrici: + + 6=, + + = ) privto dell rett + + = ) L equzione si può portre sotto l form = ( k + ) 6 e dunque rppresent le rette per (, 6) m solo quelle di coefficiente ngolre (ed esclus nche quell verticle) ) ) = b) =

45 8. ASSE DI UN SEGMENTO 5 L sse di un segmento è, per definizione, l rett che è perpendicolre l segmento stesso nel suo punto medio. M in Geometri si dimostr che l sse di un segmento risult nche essere il luogo di tutti e soli i punti del pino, venti l proprietà di essere equidistnti dgli estremi del segmento considerto. Ne consegue che per scrivere l equzione dell sse di un segmento AB di cui sino note le coordinte degli estremi, possimo procedere in due modi. Esempio. Scrivere l equzione dell sse del segmento AB, essendo A(,); B(,) MODO Clcolimo le coordinte del punto medio M di AB: A + B + A + B + M = = = ; M = = = d cui M, Clcolimo il coefficiente ngolre dell rett AB: Δ B A mab = = = = Δ + 6 B A Il coeff. ng. dell sse srà l ntireciproco del coefficiente ngolre del segmento: m = = 6 mab Or bsterà scrivere l equzione dell rett pssnte per M, e vente coeff. ng. 6 m = : 5 utilizzeremo l formul = m ( ) ottenendo = 6( ) = 6+ MODO (metodo dei luoghi geometrici ) L sse di un segmento è il luogo dei punti del pino, venti l proprietà di essere equidistnti dgli estremi del segmento stesso. M nel pino crtesino l equzione di un luogo geometrico si scrive considerndo il generico punto P(, ), scrivendo l uguglinz che crtterizz il luogo, cioè l uguglinz che è verifict se e soltnto se P pprtiene l luogo, e infine trducendo in coordinte tle uguglinz. P(, ) luogo PA = PB PA = PB ( + ) + ( ) = ( ) + ( )... = = 6+ ESERCIZIO Determin le coordinte del circocentro ( = punto di intersezione degli ssi dei lti) del tringolo ABC, con A(, ); B(, ); C(, 5). Bst scrivere le equzioni di due qulsisi dei tre ssi, e porle sistem per trovre il punto in cui si tglino. Fi il disegno, ed esegui tu. Il circocentro cercto risulterà vere coordinte (, ). Altri esercizi pg. 9

46 6 9. CAMBIAMENTO DI RIFERIMENTO CARTESIANO A prtire dl vecchio sistem di riferimento O, voglimo pssre d un nuovo sistem di riferimento O' XY, trslto rispetto l precedente e tle che l nuov origine O' bbi coordinte ssegnte (,b) [NOTA]. NOTA. - S intende che tli coordinte sino reltive l vecchio riferimento, perché nel nuovo l origine O' si troverà, ovvimente, d vere coordinte (,). Che relzione intercorre fr le coordinte (, ) di un punto nel vecchio riferimento e le coordinte (X,Y) dello stesso punto nel nuovo riferimento? Semplicissimo rispondere! Bst osservre l figur per rendersi conto che X = () { Y = b () { = X + = Y + b Le () o, indifferentemente, le (), vengono chimte le equzioni del cmbimento di riferimento per trslzione degli ssi. ESEMPIO Si vuol pssre dl riferimento O l nuovo riferimento O' XY, trslto rispetto ll ltro, e tle che O'(, ). ) Scrivere le equzioni del cmbimento di riferimento. b) Che coordinte vrnno, nel nuovo riferimento, i vertici del tringolo ABC, se nel vecchio riferimento le coordinte sono A(,7); B(,); C(, )? c) Se un punto D h coordinte (, ) nel riferimento O'XY, che coordinte h lo stesso punto D in O? Y X = = + = = Y X + b) Vecchio rif. : A(, 7); B(,); C(, ) Nuovo rif. : X = { Y A(, 8); B(,); C(,) = + X Y c) Nuovo rif. :D(, ) Vecchio rif. : = X + { D(6, ) X Y = Y ) { o, il che è lo stesso, { PROBLEMA TIPICO Dt l equzione di un curv nel vecchio riferimento, scrivere l equzione dell stess curv nel nuovo, trslto rispetto l precedente. ESEMPIO Dt, in O, l curv di equzione + = 5, scrivine l equzione nel nuovo riferimento, trslto rispetto l precedente, con O'(,) { ; { ; { X = X = + = X Y = b Y = = Y + + = 5 ( X ) + ( Y + ) = 5... X + Y 8X + Y 8 = ESERCIZIO Nel riferimento O, sono dti i due punti A(,); B(,). ) Che coordinte h l origine O, nel riferimento O'XY trslto rispetto l precedente, e tle che O'(,)? b) Scrivi l equzione dell rett AB si in O che in O'XY. Risposte: ) O'(, ) b) = + ; Y = X + 5

47 7. DISTANZA DI UN PUNTO DA UNA RETTA Trmite un cmbimento di riferimento per trslzione degli ssi sremo or in grdo di ricvre un importnte formul dell Geometri Anlitic: l formul per l distnz di un punto d un rett. DAPPRIMA SI DETERMINA LA FORMULA IN UN CASO PARTICOLARE: si suppone che il punto ssegnto si l origine. Indichimo con r: + b+ c = l rett in questione. Con riferimento ll figur, d(o, r ) = OH è l ltezz reltiv ll ipotenus del tringolo rettngolo AOB, nel qule A, B sono le intersezioni di r, rispettivmente con l sse e con l sse. c + b + c = + c = = ( ) c A: A, = = = c + b + c = b + c = = ( b ) c B: b B, b = = = c c c c OA = = ; OB = = b b c c c c b c + c c ( + b ) c AB = b + b = + = = = + b b b b c c cteto cteto OA OB b c OH = = = = ipotenus AB c b + b + b Abbimo così trovto che l distnz dell origine dll rett r: + b+ c = è dt dll formul () d = c + b (Si può osservre posteriori che l formul,. ricvt sotto l ipotesi b, conserv l su vlidità nche nei due csi = ; b= ) SUCCESSIVAMENTE, CI SI PONE NEL CASO GENERALE. Si desider determinre l distnz del punto P(, ) dll rett r: + b+ c = : insomm, or il nostro punto non è più necessrimente l origine. M noi ci ricondurremo l cso prticolre già esminto, trmite un cmbimento di riferimento che porti l origine in P(, )! Scrivimo l equzione dell rett r: + b+ c = nel nuovo riferimento. X = = X + Y = = Y + + b + c = ( X + ) + b( Y + ) + c = ; X + + by + b + c = ; X + by + + b + c = TERMINE NOTO Nel riferimento XPY, il punto di cui ci stimo occupndo è l origine: possimo perciò pplicre l precedente formul () ottenendo: TERMINE NOTO + b + c d = d(p, r) = =. Concludendo ( coeff. di X ) + ( coeff. di Y ) + b + b + c d(p, r) = FORMULA PER LA DISTANZA DI UN PUNTO DA UNA RETTA + b ESERCIZIO Serviti dell formul per clcolre un ltezz e poi l re di ABC, con A(,); B(5,); C(,). (Risultto: re = 7/) Altri esercizi pg. 9

48 8. BISETTRICE DI UN ANGOLO L bisettrice di un ngolo è definit come quell semirett che h origine nel vertice dell ngolo e lo divide in due prti uguli. M in Geometri si dimostr che l bisettrice risult essere pure il luogo dei punti, pprtenenti ll ngolo, che hnno l proprietà di essere equidistnti di due lti dell ngolo. ESEMPIO. Dti i tre punti: A(,); B(,); C(,9), scrivere l equzione dell bisettrice dell ngolo BAC. Scriveremo l equzione dell bisettrice richiest trducendo in coordinte l proprietà crtteristic PH = PK, essendo P(, ) il generico punto del pino crtesino, H e K le sue proiezioni sui due lti dell ngolo considerto. Per esprimere in coordinte le due distnze PH e PK (ciscun delle quli è l distnz di un punto d un rett), bbimo bisogno innnzitutto delle equzioni delle due rette AB, AC. eq. rett AB : = ; = ;... ; = + oppure + = eq. rett AC : = ; = ;... ; 9 = 7 5 oppure 7 5= Or impostimo l uguglinz PH = PK, cioè d(p,ab) = d(p,ac) dove P è il generico punto P(, ). Sppimo che per clcolre l distnz di un punto d un rett dobbimo pplicre l formul + b + c d(p, r) = ossi dobbimo: + b considerre l equzione dell rett in form IMPLICITA: + b + c = prenderne soltnto il primo membro + b + c sostituire l posto di, le due coordinte del punto in questione rcchiudere qunto ottenuto entro le stnghette di vlore ssoluto dividere per l quntità + b Equzione bisettrice: PH = PK ovvero d(p,ab) = d(p,ac) perché nel nostro cso il punto è P(, ) e quindi = + 9+ si trtt di... sostituire l posto di e l posto di! = 5 + = = 7 5; = =± (7 5) = ; = Che è successo? Il luogo d noi considerto er un SEMIRETTA, m qui bbimo ottenuto le equzioni di DUE RETTE! Il ftto è che impostndo l uguglinz d(p,ab) = d(p,ac) e trducendol in coordinte, noi bbimo scritto, ppunto, l equzione del luogo dei punti l cui distnz dll rett r = AB è ugule ll distnz dll rett r = AC ; e tle luogo è costituito dlle SEMIRETTE BISETTRICI DI BEN ANGOLI ( opposti l vertice), o, se si preferisce, dlle due rette un delle quli f d bisettrice per l ngolo BAC e per il suo opposto l vertice, l ltr f d bisettrice per l coppi di ngoli opposti l vertice che sono dicenti BAC. Or, fr le due rette trovte, un delle due ndrà scrtt. E evidente che l rett che v bene per noi è quell in slit ovvero con coeff. ngolre >: l =. ESERCIZIO Trovre le coordinte dell incentro del tringolo formto dlle tre rette 5 = + ; = + ; 5 8 = [Soluzione: I ( ), ] Altri esercizi pg. 9

49 9. ESERCIZI (ASSE, DISTANZA, BISETTRICE) ) Scrivi l equzione dell sse del segmento vente per estremi i punti A e B, procedendo prim nell uno e poi nell ltro dei due modi possibili: I) perpendicolre quel segmento, pssnte per il punto medio del segmento stesso II) luogo dei punti del pino, venti l proprietà di essere equidistnti dgli estremi del segmento. ) A(,5); B(7,) b) A(,7); B(,) c) A(,); B(,) d) A, ; B, ) Qul è il punto del pino equidistnte dll tern di punti indict? ) A (,5); B(,); C(, ) b) A (, ); B(, ); C(, ) c) A(,); B(,); O(,) ) Clcol l distnz del punto W(,) dlle seguenti rette: 9 5 ) = + b) = + 5 c) = d) + + = e) = ) Qunto vle l distnz del punto (, ) dll rett di equzione + b + c =? 5) Consider il tringolo di vertici O(,); B( 8, 6); C(,9) e clcol le distnze del punto P(,) di suoi tre lti. 6) Consider il tringolo di vertici A( 7, ); B(,); C(,) e clcol le distnze del punto P(,) di suoi tre lti (uno dei clcoli prevede l rzionlizzzione di un frzione). 7) Per ciscun delle seguenti coppie di rette, scrivi le equzioni delle bisettrici dei due ngoli che esse formno. 5 7 ) = + e = + b) 8 5+ = e = c) + = e + 5 = d) = e 6 7 = e) = e = 8) Sono dti i tre punti O (,); A(,); B(,). Scrivi l equzione dell bisettrice dell ngolo AOB e, dett C l intersezione di tle bisettrice con AB, verific, sul tringolo AOB, che vle (Teorem dell Bisettrice) l proporzione AC:CB = OA:OB 9) Trov, nei due csi, il centro dell circonferenz inscritt e dell circonferenz circoscritt l tringolo ABC. ) A(, ); B(,); C(, ) b) A(,); B(9,); C(9,) ) E dto il tringolo di vertici A (,); B(5,); C(5,). Determin le equzioni dei tre: ) ssi b) bisettrici c) medine e le coordinte di: circocentro, incentro, bricentro ) Stesse richieste dell esercizio precedente, per il tringolo di vertici O(,); A(,9); B(, 7) RISPOSTE ) ) = 6 b) + 5= c) = d) = ) ), b), 5 c), ) ) d = b) d = c) d = d) d = e) d = 5 9 ) d = + b+ c 7 5),, + b 7 5 6),, 7) ) 7 + = ; 7+ = b) = ; 9 8 = c) + + = ; + = d) 7 = ; + 7 = e) = ; = 8) = 9) ) 5, ; 5, 8 ) ) = ;+ 56= ; + = ; b) = ; = ; = + 5; c) = ; = 6; = + 8 Circ :, ; inc :, ; br :( 7,) b) ( 6, ) ; 9,6 ) ) = ; 5 = ; 8 65 = ; 9 5 b) = ; = 7 75; = + ; c) = ; = ; + 6 = 8 7 Circ.:, ; inc.: (, ); br.:,

50 5. ESERCIZI CONCLUSIVI SULLA RETTA ) ) Clcolre l distnz fr le due rette prllele = + ; =. b) Scrivere l equzione del luogo dei punti del pino crtesino, equidistnti dlle due rette considerte. ) Fr le rette pssnti per il punto (,), quli intercettno sull sse un segmento doppio di quello intercettto sull sse? ) Sull rett r: = + determinre un punto C in modo che il tringolo ABC, essendo A(, ); B(5, ), bbi re 5. ) Per qule vlore del prmetro il bricentro del tringolo di vertici (, ); ( b, + ); ( b, +b) cde nel punto (, )? 5) Per qule vlore di k i due punti A( k, k + ) e B( k, 5 k) sono llineti con l origine? 6) Trovre i vertici di un tringolo rettngolo isoscele, dto il vertice dell ngolo retto C(, ) e l equzione dell ipotenus + =. 7) Qul è il punto, sull rett + =, equidistnte di punti A(, ) e B(7,)? 8) Di un tringolo ABC sono noti i vertici A(, ) e B(7,5) nonché l ortocentro L(, ). Determinre il vertice C. 9) Dti A(, 5) e B(, ), determinre i punti, sull rett = +, che vedono il segmento AB sotto un ngolo di 9. ) Sono dti i punti: A(,); B(,); C(6, t), con t >. Si chiede di determinre il qurto vertice del prllelogrmmo ABCD, in modo che l rett BD individui con gli ssi crtesini un tringolo di re 8. ) E dto il tringolo ABC, con A (, ); B(, ); C(, 5). Dopo ver verificto che il tringolo è isoscele (il che iuterà svolgere più velocemente il problem), determinre le coordinte: del circocentro; del bricentro; dell incentro; dell ortocentro; del punto P, sul segmento AC, tle che PO + PC =. ) Determinre i punti, sull rett =, equidistnti dlle due rette r, s di equzioni: = ; + 6 = ) Stbilire per qule vlore di i punti A(, ); B( +, ); C(, ) NON possono essere vertici di un tringolo. ) Determinre un rett orizzontle ffinché i suoi due punti di intersezione A, B con le rette = ; + = 9 individuino, insieme con le rispettive proiezioni A', B' sull sse delle scisse, un rettngolo di re 6 RISPOSTE: ) : d = 5 b: = + ) = + ; = + ; = (l ultim soluzione è degenere ) ) C(, ); C(6,7) ) =, b= 5) Per k = e nche per k = 6) A, ; B, ) (, ) 8) C,5 5 9) (, 5) e, 5 5 ) t = 9 ) circocentro:, ; incentro: 7 5 5, ; bricentro:, 7 ; ortocentro: 5, P(,); P, 5 5 ) ( ) 9 9, ;, 7 ) = ) ± 7 = ; = ; =

51 5 ALTRI ESERCIZI ) Stbilisci per qule vlore di k il punto A( k, k) ) è tle che il bricentro di AOB, essendo O l origine e B(, ), st sull rett + + = ; b) è tle che l sse del segmento OA pss per W(/, ) ) Di un tringolo ABC sono noti il vertice A (, ) e il punto medio M(, 5) del lto AC; si s inoltre che il vertice B pprtiene ll rett di equzione + = e infine che l re del tringolo è 5. Trovre le coordinte dei vertici B e C. ) ) Trovre i vlori del prmetro k per cui le due rette: r: = k+ k s: = ( k ) + si intersecno sull sse delle scisse. b) In corrispondenz del minore fr i due vlori trovti, scrivere le equzioni delle bisettrici degli ngoli formti dlle due rette e clcolre l distnz fr i due punti in cui tli bisettrici intersecno l sse delle ordinte. ) Consider le due rette r: = + ; s: = + e prendi due punti, A su r e B su s, venti l stess ordint. Dette A' e B' le proiezioni di A e B rispettivmente, sull sse delle scisse, determin le coordinte di A e di B in modo che il rettngolo A'B'BA bbi re 5. 5) Trov il vlore di k per cui le due rette r: k+ = ; s: ( k + ) + + = sono perpendicolri; verific poi che, in questo cso, il loro punto di intersezione h coordinte, 6) Determin le coordinte dei vertici dei due tringoli isosceli, venti per bse il segmento di estremi A(,); B(5, ) e venti re 5. 7) Per quli vlori del prmetro k l tern di punti A(, k); B( k, k + ); C( k, ) è tle che l ngolo BAC è retto? 8) Considerto il tringolo di vertici: A(, ); B(7, ); C(, ) ) verificre che è isoscele sull bse BC; b) scrivere l equzione dell medin AM, l qule risulterà nche ltezz e bisettrice; c) determinre le coordinte del bricentro G; d) determinre le coordinte dell ortocentro E; e) determinre le coordinte del circocentro K; f) determinre le coordinte dell incentro I. RISPOSTE: ) ) k = 6 b) k = / k = ) C(,7); 8 B (,6), B, ) ) k k ; b) = + + = + ; d = = = ( ) ( ); ( ) ( ) 5 ) A(, 5); B(, 5) A(, ); B, 5) k = 6) C(, ); C(,) 7) k =, k = ) ) AB = AC = 5 b) = c) G(, ) d) E, e) K, 6 6 f) I,

52 5. LA PARABOLA NEL PIANO CARTESIANO Cos si intende per prbol? L definizione di prbol può essere post in più modi, ssi diversi l uno dll ltro, che si dimostrno esser fr loro equivlenti. Noi sceglieremo, come l mggior prte dei libri di testo, l definizione seguente. DEFINIZIONE DI PARABOLA Si dice prbol il luogo dei punti del pino, venti l proprietà di essere equidistnti d un punto fisso F detto fuoco e d un rett fiss d dett direttrice. Un prbol h evidentemente (NOTA) un sse di simmetri (l perpendicolre ll direttrice pssnte per il fuoco, trtteggit e indict con nell figur). Il punto medio V del segmento di perpendicolre FW condotto dl fuoco ll direttrice pprtiene ll prbol e ne è detto il vertice. L prbol f prte, con l ellisse e con l iperbole, di un fmigli di importntissime curve chimte CONICHE. NOTA Che l perpendicolre ll direttrice pssnte per il fuoco si sse di simmetri per l curv precedentemente definit, è del tutto intuitivo: tuttvi, è nche fcilmente dimostrbile coi ben noti teoremi dell Geometri euclide. Fccimo vedere che se un punto P pprtiene ll curv, llor vi pprterrà senz ltro nche il simmetrico di P rispetto ll rett. Inftti, con riferimento ll figur: si P un punto pprtenente ll prbol; si P' il simmetrico di P rispetto ll rett ; indichimo con L l proiezione di P' su d. E immedito osservre che i due tringoli PKF, P'KF sono uguli per il Criterio e dedurne che P 'F = PF ; è poi P'L = PH in qunto distnze di due rette prllele. essendo llor P F= PH, perché P pprtiene ll prbol, srà pure P'F = P'L, quindi nche P' pprterrà ll prbol, come volevsi dimostrre. LA PARABOLA NEL PIANO CARTESIANO Supponimo dpprim, per semplicità, che l sse dell prbol coincid con l sse, e il vertice con l origine. Il fuoco F vrà llor coordinte (, k) e l direttrice vrà equzione = k. L costnte k potrà essere positiv o negtiv; nell figur, l bbimo suppost positiv. P(, ) fuoco F(, k) direttrice d : = k PF = PH PH =.(P, ) + ( dist d ) ( ) + ( k) = + k k + k = k = + k + k = ossi =, se ponimo =. k k

53 Fin qui, bbimo dimostrto che l equzione dell prbol di fuoco è Vicevers, =, con 5 F(, k ) e direttrice d: = k = k (e dunque, inversmente, fisst d rbitrio un costnte non null, l equzione k = ). = rppresenterà sempre un prbol: inftti, se si prov scrivere l equzione dell prbol di fuoco F, e direttrice d: =, si trov proprio =. L essenzile del discorso può essere rissunto nel qudro seguente. L equzione = rppresent un prbol con vertice nell origine, sse coincidente con l sse, fuoco F(,k ) con k = e direttrice d : =. L quntità fornisce l distnz orientt vertice-fuoco (se è positiv, il fuoco st sopr il vertice, se negtiv sotto). Se or ndimo disegnre l funzione = per diversi vlori di, = = = / = / = = potremo osservre che con >, l prbol h l concvità rivolt verso l lto ; con <, l prbol h concvità rivolt verso il bsso. Ciò è perfettmente coerente col ftto che k, ordint del fuoco, essendo ugule /( ), h lo stesso segno di : poiché or l prbol gir intorno l fuoco, con >, k> l concvità srà verso l lto, con <, k< l concvità srà verso il bsso. Inoltre: Il numero viene spesso chimto il prmetro dell prbol. E dvvero fondmentle ricordre che l quntità fornisce l distnz orientt vertice-fuoco. qunto più è grnde, tnto più l prbol è rpid nel suo impennrsi (verso l lto o verso il bsso), mentre se è piccolo vremo, invece, un prbol che si impenn lentmente e h un curvtur più dolce. Per questo, l costnte è dett pertur dell prbol.

54 EQUAZIONE DI UNA PARABOLA CON ASSE PARALLELO ALL ASSE, E VERTICE V(, ) E giunto il momento di bbndonre l ipotesi che il vertice dell nostr prbol coincid con l origine: voglimo inftti porci in condizioni più generli. Il vertice dell prbol potrà or stre in un posizione qulsisi: indichimolo con V(, ). Continueremo però ncor supporre che l sse dell prbol si prllelo ll sse (e quindi l direttrice, che è perpendicolre ll sse, si prllel ll sse ). Possimo ricvre l equzione dell nostr prbol ponendoci inizilmente in un riferimento crtesino usilirio, nel qule il vertice dell prbol coincid con l origine, per poi ritornre l riferimento crtesino inizile. Pssimo dunque l nuovo riferimento crtesino XVY, vente l origine in V, e trslto rispetto l sistem di riferimento originrio O. Nel riferimento XVY, l prbol vrà equzione dell form Y = X, dove =, k =, essendo k l ordint del fuoco nel nuovo riferimento k (k è l misur con segno del segmento orientto vertice-fuoco VF). M le equzioni del cmbimento di riferimento sono X = Y = { 5 per cui, ritornndo l vecchio riferimento O, l equzione Y = X diventerà = ( ) Pertnto EQUAZIONE DI UNA PARABOLA CON ASSE PARALLELO ALL ASSE NOTO IL VERTICE = ) (, ) ( Se sviluppimo i clcoli, otterremo = ( ) = + = + + b c = + b+ c Abbimo così scoperto che è l equzione dell prbol con sse prllelo ll sse e vertice Il segmento orientto vertice-fuoco (VF) h misur reltiv EQUAZIONE GENERALE DI UNA PARABOLA CON ASSE PARALLELO ALL ASSE Un prbol con sse prllelo ll sse h equzione dell form dove l quntità = + b+ c (, b, c, ) fornisce l misur reltiv del segmento orientto vertice-fuoco VF

55 55 Occupimoci or del vicevers: dt un equzione dell form = + b+ c, dove, b, c sono tre costnti reli ( ), simo sicuri che ess rppresenti sempre un prbol? Per rispondere, ndimo vedere se è sempre possibile pssre dll form = + b + c ll form = ( ), che individuerebbe l prbol con sse prllelo ll sse e vertice (, ). b c b b b c = + b+ c; = + + ; ; = b b c b b c b b c = ; ; + ; = + = + Δ b c b + = + OSSIA ( ) b, b c Δ = con = = = Possimo llor trrre l conclusione seguente. L equzione = + b+ c, qulunque si il vlore dell tern di coefficienti reli, b, c ( ), rppresent sempre un prbol con sse prllelo ll sse. b Δ Il vertice di tle prbol h coordinte =, =, si h cioè V b Δ, Con >, l prbol h l concvità rivolt verso l lto ; e con <, h l concvità rivolt verso il bsso. Il numero è detto il prmetro dell prbol. Qunto più il vlore ssoluto di è grnde, tnto più l prbol è rpid nel suo impennrsi (verso l lto o verso il bsso), mentre se il vlore ssoluto di è piccolo vremo, invece, un prbol che si impenn lentmente e h un curvtur più dolce. Per questo, il numero è detto pertur dell prbol. E il fuoco dell prbol, che coordinte vrà? E qule srà l equzione dell direttrice? Per rispondere, è sufficiente ricordre il ruolo che il prmetro ricopre in tutto questo discorso: = k, ovvero k =, con k = misur con segno del segmento orientto vertice-fuoco. Δ Δ Δ Srà llor F = V + = + = ; d : = V = = +Δ RIASSUMENDO: DALL EQUAZIONE DI UNA PARABOLA ALLE COORDINATE DI VERTICE E FUOCO E ALLE EQUAZIONI DI ASSE E DIRETTRICE Nell prbol di equzione = + b+ c, si h Le ordinte che compiono in tli formule possono essere ricostruite senz ftic prtire dll sol sciss del vertice b V = Inftti, poiché V st sull prbol, si h subito V = V + bv + c e bsterà poi tenere presente che l ordint F del fuoco e l ordint costnte d di tutti i punti dell direttrice possono essere ricvte dll ordint V del vertice, ddizionndole e rispettivmente sottrendole l quntità misur reltiv del segmento orientto = vertice-fuoco = VF = WV V b, Δ ; F b, Δ ; d: +Δ = Ovvimente, essendo l sse prllelo ll sse, l sciss del vertice e quell del fuoco coincidono nche con l sciss costnte di tutti i punti dell sse di simmetri dell prbol: b b F = V = ; sse: =.

56 ESEMPI SVOLTI ) E dt l prbol di equzione = 8. Disegn l curv, poi determin: le coordinte del vertice e del fuoco; l equzione dell sse e dell direttrice. Qunto vle il prmetro di quest prbol? Qunto vle l pertur? 56 Qundo si deve disegnre un prbol, b conviene innnzitutto clcolre l quntità, che esprime: l sciss del vertice, l sciss del fuoco e l sciss costnte di tutti i punti dell sse di simmetri. b Nel nostro cso, è = =+. Dunque potremo disegnre per prim cos, trtteggito, l sse di simmetri =+, che ci srà molto utile in qunto, nel disegnre poi l prbol, dopo ver ) dto un vlore, ) clcolto il corrispondente vlore di, ) e segnto sul foglio il punto corrispondente, potremo, senz ltri clcoli, posizionre immeditmente un ltro punto: il simmetrico del precedente, rispetto ll sse. Per fre un esempio, con riferimento ll figur qui finco, dopo ver segnto il punto (, 8), 8. potremo subito segnre nche il punto ( ) Or, per qunto rigurd l ordint del vertice, b l cui sciss è V = =, ess potrà essere clcolt: trmite l formul Δ ( ) ( 8) + 6 V = = = = = 9 oppure, più semplicemente e senz bisogno di ricordre formule, sostituendo l sciss not nell equzione dell prbol: = 8= 8= 9 V Per l ordint del fuoco, e l ordint costnte di tutti i punti dell direttrice, di può procedere con le formule note oppure ricordre soltnto che l distnz orientt vertice-fuoco è = = e, ddizionndo poi sottrendo quest quntità ll ordint del vertice, si ottengono rispettivmente l ordint del fuoco e l ordint che crtterizz l direttrice. Dunque: 5 F = V + = 9 + = direttrice : = V = 9 = 7 Il prmetro di quest prbol vle = L pertur vle = =. = Come spiegto qui sinistr, un volt determint un coppi (, ) e quindi disegnto un punto, se ne può subito segnre un ltro ossi il simmetrico, rispetto ll sse trtteggito, del punto individuto prim. Ciò permette di risprmire, pressppoco, l metà dei clcoli.

57 57 ) Scrivi l eq. dell prbol, con sse prllelo ll sse, pssnte per i punti A(,); B(,5); C(, 7). L equzione generle di un prbol con sse prllelo ll sse è = + b + c. Ci sono prmetri d determinre, dunque: m bbimo ppunto condizioni, le condizioni di pprtenenz dei punti. A(,) = ( ) + b ( ) + c = b+ c b+ c= B(,5) 5 = + b + c 5 = + b+ c + b+ c= 5 7 C(, 7) b c 7 6 b c = + + = b+ c= 7 () () b= ; b= () b = () + + c = 5; + c = () () 5 = 5; = () 6+ + c= 7; 6+ c= () + c= ; c= 5 L prbol che ci interess è perciò l = ) Scrivere l eq. dell prbol, con sse prllelo ll sse, che h per vertice V(,) e pss per P(,). Determinre successivmente: il fuoco; l equzione dell sse e dell direttrice; il prmetro; l pertur. L equzione di un prbol di cui si noto il vertice si può scrivere con l formul = ( ) che nel nostro cso divent = ( ) Determineremo il vlore del prmetro imponendo l pprtenenz del punto P(,) e quindi scrivendo = ( ) ; = 9 ; =. L equzione è perciò ( ) ; ( ) ( ) ; ; ; = = = + = + + = + + Or, per qunto rigurd il fuoco è F = V = ; F = V + = + = + = =. 9 L direttrice h equzione d: = V ; = ; = ; = + ; =. L sse h equzione = quindi = ; il prmetro è F = ; l pertur è ) Scrivere l equzione dell prbol di vertice V(,) e direttrice d: = METODO ALGEBRICO = ( ) quindi = ( ) ; = ( ) ; = + L direttrice h equzione: ( ) +Δ + = = = = d cui = ; = Equzione dell prbol: = ( ) ; = + = + ( ) = =. METODO GEOMETRICO (più efficce!) Dll figur si vede che il fuoco (che gice sull sse, un distnz dl vertice ugule quell che il vertice h dll direttrice) deve ver coordinte (,). M l prbol che h per fuoco F(,) e per direttrice d: = non è ltro che il luogo dei punti P(, ) equidistnti dl fuoco e dll direttrice: quindi PF = PH ; ( ) + ( ) = + ( ) + ( ) = ( + ) = + + = + ; = +

58 CASI PARTICOLARI di = + b + c c = : = + b 58 In questo cso (termine noto nullo) è certmente verifict l condizione di pprtenenz dell origine, che h coordinte (,), ll curv; pertnto l prbol pss per l origine. In generle, è utile tener presente che un qulsivogli curv lgebric ( = curv l cui equzione si può portre sotto l form: polinomio nelle vribili, uguglito zero) pss per l origine, se e solo se l su equzione mnc del termine noto. b = : = + c b In questo cso, si h V = = e quindi il vertice dell prbol st sull sse delle ; l sse delle coincide con l sse di simmetri dell prbol. Quest ultimo ftto si comprende ncor meglio se si pens che, poiché mnc il termine in e soprvvivono solo il termine in e il termine noto, se si mut in, l corrispondente rimne l medesim; insomm, vlori opposti di corrisponde lo stesso vlore di (, f( ) = f( ) : si dice che l funzione è pri ). M ciò comport ppunto che l prbol presenti un simmetri rispetto ll sse verticle. b= c= : = Come bbimo già visto e come si deduce dl ftto che qui sono verificti contempornemente entrmbi i csi prticolri esminti in precedenz, l prbol h il vertice nell origine. c = : = + b b= : = + c b= c= : = l prbol pss per l'origine l prbol è simmetric rispetto ll'sse l prbol h il vertice nell'origine PARABOLA CON ASSE DI SIMMETRIA PARALLELO ALL ASSE Se si pens d un prbol con sse di simmetri prllelo ll sse delle, i ruoli di e di sono scmbiti m il discorso rimne ovvimente il medesimo. Pertnto, confrontndo le due situzioni:

59 59 PARABOLA RUOTATA Se venisse richiesto di determinre l equzione dell prbol vente per fuoco il punto F(,) e per direttrice le rett r: = 5 ( 5 = ), bsterebbe considerre il generico punto P(, ) del pino crtesino e porre l condizione che le due distnze di P dl punto F e dll rett r sino uguli. PF = PH 5 ( ) + ( ) = + ( ) = = = = Questo è solo un esempio: si potrebbe dimostrre, in generle, che l equzione di un prbol comunque dispost nel pino crtesino si può sempre scrivere sotto l form + b + c + d + e + f = e inoltre che, in quest equzione, risult sempre b c=!!! ESEMPI SVOLTI 5) Scrivere l equzione dell prbol che h per direttrice l sse, per sse l sse e che pss per A (,). = + c ( h per sse l ' sse, quindi b = ) +Δ direttrice di equzione = : = ; pssggio per (,) : = + c; = + c +Δ= + c = ; c = c = ; c = + c = = Il sistem h un sol soluzione:. Dunque l prbol cerct h equzione = + c = 6) Un prbol con l sse prllelo ll sse h per fuoco il punto F(,) e che pss per A (,8). Qul è l su equzione? Prbol con sse prllelo ll sse : equzione = + b + c e fuoco Δ b,. Dunque: Δ = b + c= 8 b= 8 b= 8 b = b = c= ; c= = b + c ( pssggio per P) 6+ 8b+ c= 8 ( 8 ) b + c= + = 8 6± ± 6 + = 8 ; = ; 6 = ; 6, = = = 6 6 = 6 = b= b= c = c = = + + = + 6 Ci sono perciò prbole che risolvono il problem : e

60 6 7) Scrivere l equzione dell prbol, con l sse prllelo ll sse, che pss per i due punti (,) e (,) ed è tngente ll rett di equzione =. Equzione generle b c : = + + (,) : ( ) ( ) ; PASSAGGIO PER = + b + c = b + c (, ) : ; 9 PASSAGGIO PER = + b + c = + b + c Condizione di tngenz : fcendo il sistem fr l prbol e l rett, questo sistem dovrà vere un sol soluzione = + b+ c = Scrivimo l ' equzione risolvente del sistem : + b + c = Quest equzione di grdo vrà un sol soluzione se, e soltnto se, Δ= ( ) ( ) ( ) ( ) b c b c = ; = Δ= b c + = CONDIZIONE DI TANGENZA ( b ) ( c ) () () + = 8+ b= ; + b= ; b= b + c = () + + c = ; c = 9+ b+ c= () ( ) ( + ) = ( ) ( ) ( ) = ; 6+ = ; 6 6= ; = = ; = non ccettbile ( con =, non si vrebbe un prbol!) = b = = = Pertnto l prbol che risolve il problem è l = c= = = 8) Scrivere l equzione dell prbol, con l sse prllelo ll sse, tngente ll rett = + e ltresì tngente, nell origine, ll rett =. = + + Equzione generle : b c = + b ( bbimo già tenuto conto del ftto che c = Pssggio per l ' origine (,): c = Condizione di tngenz con l rett = : fcendo il sistem fr l prbol e l rett, questo sistem dovrà vere un sol soluzione ) = Scrivimo l ' equzione risolvente del sistem : + b = ; + ( b + ) = ( ) ( ) Δ= b + = b + = b = CONDIZIONE DI TANGENZA

61 6 Condizione di tngenz con l rett = + : fcendo il sistem fr l prbol e l rett, questo sistem dovrà vere un sol soluzione = ( bbimo già tenuto conto del ftto che b = ) = + Scrivimo l ' equzione risolvente delsistem: = + = Δ = + = = CONDIZIONE DI TANGENZA bbimo utilizzto, per comodità, il Δ / nzichè il Δ; è chiro che Δ= se e solo se Δ/= ( ) = c = b = ; pertnto l prbol che risolve il problem è l = 9) Determinre le equzioni delle due rette tngenti ll prbol = 6, condotte dl punto A(, 7) Scrivimo l equzione dell generic rett pssnte per A(, 7) : + 7 = m( ) Ponimo sistem l rett con l prbol; il sistem ottenuto vrà un equzione risolvente di grdo; noi in quest equzione risolvente porremo l condizione Δ = = = m( ) 6+ 7 = m( ) + = m m m+ + m= + m + + m = ( ) ( ) ( m) ( m) ( m)( m ) ( m+ )( m ) = m= m= Δ= + + = + + = Le due tngenti cercte sono perciò le rette t : + 7= ( ); + 7= + ; = 6 t : + 7= ( ); + 7= ; = ) Determinre l equzione dell rett tngente ll prbol dell esercizio precedente, nel suo punto di sciss. L' ordint del punto è = 6 = ( ) ( ) 6= + 6=. Il punto è (,). Generic rett per (,): = m( + ); = m + m Sistem con l prbol : = 6 { = m+ m Equzione risolvente : 6= m + m; m 6 m = ; ( + m) ( 6+ m) = Condizione di tngenz Δ= : ( + m) + (6+ m) = ; + m + m + + 8m = m + m+ 5 = m+ 5 = m= 5 ( ) Com er geometricmente prevedibile (dto che in questo cso il punto pprtenev ll curv) si è trovt UNA SOLA rett tngente: quell di equzione = 5.

62 6 ) L prbol di equzione = + 6 determin, con l sse delle, un regione limitt chius. Qunto misur il lto del qudrto inscritto in tle regione? Considerimo un rett r prllel ll sse, di equzione = k. Voglimo determinre il prmetro k in modo che, dette A e B le intersezioni di r con l prbol, e dette C e D le proiezioni di B e A rispettivmente sull sse, il rettngolo ABCD bbi i lti tutti uguli fr loro. = + 6 = k + 6 = k + 6 k = ± ( 6 k ) ± + + k ± 5 + k, = = = 5+ k + 5+ k A, k B, k + 5+ k 5+ k AB = =... = 5 + k AD = k k 5 5 5, + k = k + k = k k k = = ± + 5 = L soluzione che ci interess è evidentemente solo quell negtiv: k = 9 che corrisponde ll rett = 9 e l qudrto di lto k = 9 = 9. Il vlore di k positivo corrisponderebbe l qudrto nell second figur, che non è però quello richiesto dl problem. IN ALTERNATIVA, si srebbe potut ssumere come incognit l misur ( > ) di uno qulsisi dei due segmenti uguli ED = CF =α. L risoluzione srebbe stt llor ( +α ) ( α ) ( ) ( ) D, ; E, = +α + +α 6= 9 6α+α +α 6 = α 5α A AD 5 ; DE 5 ( ) =α α = α +α = α+ α= α L equzione risolvente è α 5α = 5 α che può essere ricondott, d esempio, l sistem misto α α α 5 ( 5 α α=± α ) ± 9 7± 9 α α= α α α= + α α= Tenuto conto che deve essere nche α>, si vede che l unic soluzione ccettbile è α= 7 9 l qule poi port ll stess misur, per il lto del qudrto, trovt con l ltro (più comodo) metodo.

63 5. ESERCIZI SULLA PARABOLA ) Trovre vertice, sse, fuoco, direttrice dell prbol = ; disegnre l curv. ) Trovre vertice, sse, fuoco, direttrice dell prbol = ; disegnre l curv ) Trovre vertice, sse, fuoco, direttrice dell prbol = + ; disegnre l curv. ) Scrivere l equzione dell prbol, con sse prllelo ll sse, pssnte per i tre punti A(,); B(,); C(,) ; determinrne vertice, sse, fuoco, direttrice. 5) Scrivere l equzione dell prbol, con sse prllelo ll sse, vente vertice in V (,) e pssnte per A (,). SUGGERIMENTO IMPORTANTE Conviene utilizzre l formul = ( ) : in questo modo, inftti, c è un solo prmetro d determinre nziché! 6) Scrivere l equzione dell prbol con fuoco F(,) e direttrice d: = 7) Un prbol h vertice in V, e fuoco in 6 F, ( ). Determinrne l equzione. 8) Scrivere le equzioni delle prbole di vertice V(,) e pertur = 9) Scrivere l equzione dell prbol, con sse prllelo ll sse, pssnte per i tre punti A(,); B(,); C(,) ; determinrne vertice, sse, fuoco, direttrice. ) Scrivere l equzione dell prbol vente per fuoco l origine, e per direttrice l rett + = ( Occhio! Non essendo l sse di simmetri prllelo né ll sse, né ll sse, l equzione non srà dell form = + b + c o = + b + c ) ) Condurre, dl punto A(,), le rette tngenti ll prbol di equzione = +, e clcolre l re del tringolo AST, essendo S, T i punti di conttto. ) Scrivere l equzione dell rett tngente ll prbol = nel suo punto di sciss. ) Scrivere l equzione dell prbol (con sse verticle) pssnte per i due punti A(,) e B(,) e tngente nel punto B ll rett di coefficiente ngolre. Successivmente, scrivere l equzione dell rett tngente ll prbol in A. ) Nel segmento prbolico che l = + 6 determin con l sse, inscrivere un rettngolo il cui perimetro misuri 8. 5) Nel segmento prbolico che l prbol = 6+ 5 determin sull sse, inscrivere: ) un rettngolo di perimetro b) un rettngolo di re 6 c) un qudrto d) un rettngolo di digonle

64 6 6) Disegnt l prbol = 8, determinre l equzione dell rett, d ess tngente, prllel ll rett + = 7) Verificre che le due rette tngenti condotte d un prbol d un punto qulsisi dell su direttrice, sono sempre perpendicolri. OSSERVAZIONE: non è restrittivo supporre che l prbol bbi il vertice nell origine e l sse coincidente con l sse. In questo modo, i clcoli srnno più semplici. 8) Dimostr che il luogo dei centri delle circonferenze pssnti per A(,) e tngenti ll sse è un prbol, e scrivine l equzione. 9) Dt l funzione = +, disegnrne il grfico e scrivere le equzioni delle due semirette tngenti nel punto ngoloso di sciss. ) Scrivi l equzione dell prbol con sse verticle pssnte per i punti (,); (,); (,7) e l equzione dell prbol con sse verticle, di vertice (,8) e pssnte per (,). Fr le rette = +q, ) quli sono quelle che, complessivmente, hnno intersezioni con le due prbole? b) Quli sono quelle che hnno intersezioni? c) Quli sono quelle che hnno intersezioni? d) Quli sono quelle che hnno sol intersezione? ) Condurre un rett prllel ll sse, in modo che le due prbole = + e = + determinino su di ess un segmento ugule. 7 ) Sull prbol vente vertice V(, ) e fuoco F,, determinre i punti le cui distnze dgli ssi crtesini sino un il doppio dell ltr. ) Scrivere l equzione dell prbol di vertice V(, ) e tngente ll rett =. Dopo ver verificto che tle prbol pss per l origine e per il punto A(,), determinre, sull rco OA di prbol, un punto P in modo che: ) l re del tringolo PAO misuri ; b) l re del tringolo PAO si mssim

65 SOLUZIONI 5 ) V, ; : ; F, 6 ; d: = = ) V, ; : = ; F, ; d: = 8 V,; : = ;F,; d: = ) ( ) ( ) ) = + = ( ) ; V A(, ); sse: = ; F, ; d: = 5) = + 6) = + 7) = + 8) Se l pertur è =, il prmetro potrà essere = ( prbol) oppure = ( prbol). Utilizzndo l equzione = ( ) di un prbol noto il vertice, vremo immeditmente: = ( + ) ; = ; = + 6+ ( prbol) ; = ( + ) ; = 6 9; = 6 7 ( prbol). 9) ; V, ; sse : ; F 7, 7 = + + = ; d: = ) = ) t: = ; t : = 6+ ; Are = 6 ) = + ) = + + ; = 8 ) bse =, ltezz = 5 opp. b =, h = 9 (soluzione degenere) 5) bse =, h = 5b) bse =, h = oppure b =, h = c) lto = ( 5 ) 5d) due soluzioni entrmbe degeneri, in cui il rettngolo h bse e ltezz, o vicevers 6) = 7) L prbol = h come direttrice l rett =. Un punto generico dell direttrice h dunque coordinte k,. L generic rett per questo punto vrà equzione + = m( k) e scrivendo l condizione di tngenz di quest rett con l prbol, si trov un equzione, nell incognit m, le cui soluzioni m, m sono, per qulsisi vlore di k, ntireciproche l un dell ltr. Segue l tesi. 8) = + 9) = ( ); = 5 6 ( ) ) = + 7, = + 6 intersezioni con < q< < q< < q< intersezioni con q=, q=, q=, q= intersezioni con q< q> per nessun vlore di q si h sol intersezione ) L rett in questione h equzione dell form = k ; si trov che k può ssumere i vlori:,, oppure. ) 5± 5 = + ; ( ±, ± ); ( ± 5, 5 ); (, );, ;, 8 ) = + ; ) P(,); P (, ) V b) P, (l rett dovrà essere tngente!)

66 66 6. LA CIRCONFERENZA NEL PIANO CARTESIANO L circonferenz di centro C (, ) Pertnto l su equzione si ottiene coi pssggi seguenti: PC = r ( ) ( ) () + =r () ( ) ( ) + = r = r r = α β γ () + +α +β +γ = Dti dunque il centro C (, ) e rggio r è il luogo dei punti P(, ) tli che PC = r. e l misur r del rggio, l equzione si scriverà sotto l form () o, meglio, già sotto l form (), poi si frnno i clcoli per portrsi ll form definitiv (). ESEMPI ) Scrivere l equzione dell circonferenz di centro (,6) e rggio 5 (che è poi proprio quell dell figur sopr!) ( ) ( ) ( ) ( ) + 6 = = = = Per esercizio, prendi or qulche punto che dll figur risulti pprtenere ll circonferenz, d esempio il punto (, ) o il punto (, 6) e controll, sostituendo, che le sue coordinte verificno l equzione trovt. ) Scrivere l equzione dell circonferenz di centro A(, ) e pssnte per B( 6,) Per prim cos clcolo il rggio ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) r = AB = = 7 + = = 65 = 5. Poi : + + = 5 ; = 65; = ) Scrivere l equzione dell circonferenz di dimetro AB, con A(, ); B(,) + + Innnzitutto determino il centro, punto medio del dimetro: C, =, ( ) ( ) + + Poi clcolo il rggio, d esempio come metà del dimetro: r = =. Infine: ( ) + + ; ; = = + + = 6 Osservimo che prtire dll () si può rislire lle coordinte del centro e ll misur del rggio trmite le formule seguenti: α β α= = β= = γ = + r r = + γ = d cui r = + γ

67 67 ESEMPIO Determinre centro e rggio dell circonferenz di equzione + + = 8 Innnzitutto dobbimo portre l equzione nell form stndrd =, che è poi quell in relzione ll qule vlgono le formule ricvte in precedenz. In questo cso si trtterà di portre tutto membro e dividere per : + + 9=. Or: 9 69 = = = = r = ( ) + ( 9) 9 = + + = = 6 6 Supponimo invece che si dt un equzione dell form + +α +β +γ = con αβγ,, scelti in modo rbitrrio. Srebbe or un errore dre per scontto che l equzione dt rppresenti per forz un circonferenz. Considerimo inftti l equzione + +α +β +γ = e cerchimo di ricondurl, se possibile, col metodo del completmento del qudrto, ll form (). Avremo: α α β β α β α β +α + + +β + +γ = ; = + γ α β α β + = + γ α β Tutto or dipende dl segno dell quntità secondo membro + γ. Inftti, se tle quntità è <, si vede che l equzione non può essere soddisftt d lcun coppi (, ) (un somm di due qudrti non potrà mi dre come risultto un numero negtivo) e sremo costretti concludere che l equzione dt rppresent il luogo vuoto. α β Se poi è + γ=, l equz. dt srà verifict se e solo se si nnullno contempornemente α β entrmbi i qudrti primo membro, e quindi le loro bsi; m ciò vviene solo con =, =. α β Perciò, in questo cso, l equzione è soddisftt dlle coordinte di un punto soltnto: il punto,. Il luogo che l equzione rppresent è in questo cso puntiforme (potremmo, con un po di fntsi, pensre d un circonferenz di rggio nullo, ridott l solo centro). Se, infine, è α β + γ >, l equzione può essere scritt come α β + = r, vendo posto α β r = + γ α β e rppresent effettivmente un circonferenz, di centro, e rggio Rissumendo, e impostndo il discorso d un punto di vist prtico, diremo dunque che: α β r = + γ. Dt un equzione dell form + +α +β +γ=, noi ci spettimo in generle che rppresenti un circonferenz,, del centro e l misur r del rggio con le formule e ndimo subito clcolrne le coordinte ( ) α β α β = ; = ; r = + γ Se, tuttvi, pplicndo l terz formul ci ritrovimo con un rdicndo negtivo, dovremo fre mrci indietro e concludere che l equzione ssegnt non rppresentv un circonferenz bensì il luogo vuoto. Nel cso poi il rdicndo ci risulti nullo, concluderemo che l equzione ssegnt rppresent un circonferenz degenere, di rggio nullo, ridott perciò l suo solo centro.

68 68 ESEMPI SVOLTI - PROBLEMI SULLA CIRCONFERENZA Srà molto utile tenere sempre presenti le osservzioni che seguono. Un circonferenz + +α +β +γ = pss per l origine se e soltnto se l su equzione h γ=, ossi: mnc del termine noto, è dell form + +α +β = h il centro sull sse se e soltnto se l su equzione mnc del termine con, vle dire h β= h il centro sull sse se e soltnto se l su equzione mnc del termine con, vle dire h. α= Se in un qulsisi problem occorre determinre n prmetri, si imposterà tle scopo un sistem con n condizioni contenenti quei prmetri. ) Scrivere l equzione dell circonferenz pssnte per i tre punti A(,); B(,); C(,5). Il problem può essere risolto CON METODO ALGEBRICO O CON METODO GEOMETRICO. Il metodo lgebrico ( METODO DELL APPARTENENZA ) consiste nello scrivere l equzione dell generic circonferenz + +α +β +γ=, per poi determinre l tern di coefficienti α, β, γ scrivendo le condizioni di pprtenenz dei tre punti A, B, C e fcendone il sistem. Γ : + +α +β +γ = A(,) Γ: ( ) + +α ( ) +β +γ = B(,) Γ: ( ) + +α ( ) +β +γ = C(,5) Γ : + 5 +α +β 5 +γ = 9+ 9 α+ β+γ = α+ β+γ = 8 α = + 6 α+ β+γ = α+ β+γ =... β = d cui Γ : + = + 5+α+ 5β+γ= α+ 5β+γ= 6 γ= Il metodo geometrico ( METODO DEGLI ASSI ) consiste nel tener presente che in un circonferenz l sse di un cord pss sempre per il centro; perciò il centro di un circonferenz può essere individuto come punto di intersezione degli ssi di due corde qulsisi. Fcile poi clcolre il rggio; dopodiché, noti centro e rggio, si potrà scrivere l equzione sotto l form + = r ( ) ( ) Asse di AB: + + = = ( ) ( ) ( ) ( ) Asse di BC: ( + ) + ( ) = ( ) + ( 5 )... + = + = = Intersezione D dei due ssi:... D(,) + = = Rggio: Equzione circonferenz: ( ) ( ) ) Scrivere l equzione dell circonferenz di centro A(,) e pssnte per B(,5) ( ) ( ) r = AB = ( ) + 5 = + 9 = ( ) Circonferenz di centro A, e rggio : ( + ) + ( ) = ( ) = = ( ) ( ) DA = + + = 5 + = 5; + + = 5; + =

69 69 ALTERNATIVA, decismente meno conveniente L equzione di un circonferenz è sempre dell form + +α +β +γ =. Or, dette (, ) le coordinte del centro, sppimo che vlgono le formule α β = α= = β=., =, vremo dunque d cui ; d cui Nel nostro cso, essendo ( ) ( ) γ = quindi resterà d determinre solo γ. A tle scopo, possimo porre l condizione di pprtenenz del punto B(,5) e otterremo: ( ) ( ) 5 +γ = ; γ = ; γ = In definitiv l equzione srà: = ) Scrivi l equzione dell circonferenz che pss per i due punti O(,) e A(7, ) e h il centro sull rett di equzione + + = MODO E noto che in un circonferenz il centro st sull sse di ogni cord. Allor per trovre il centro bsterà scrivere l equzione dell sse del segmento OA e successivmente trovre l intersezione fr tle sse e l rett + + =. Asse di OA : P(, ) PO = PA PO = PA + = ( ) ( ) ( ) ( ) + = = 7 5= Intersezione fr l sse trovto e l rett + + =, per determinre il centro: { { 7 5= =... C(, ) + + = = Rggio: ( ) ( ) Equzione circonferenz: ( ) ( ) r = CO = + = = 5 = = + + = MODO Pres l generic equzione di un circonferenz + +α +β +γ= bbimo prmetri α, β, γ d determinre e dobbimo quindi fre un sistem con condizioni. Apprtenenz di O(,) : γ= Apprtenenz di A(7, ) : α β+γ =, 7α β+γ = 5 α β Apprtenenz del centro, che h coordinte,, ll rett + + = : α β + =, α β+ =, α+β= γ= α= 6 7 α β+γ= 5... β= 8 d cui l'equzione : = α+β= γ=

70 7 ) Scrivi l equzione dell circonferenz che h per centro il punto C(,) ed è tngente ll rett = + MODO Il rggio dell circonferenz srà l distnz fr il centro C(,) e l rett = + ; + =. + r = = 9+ Equzione: ( ) + ( ) = = = = + + = MODO (purmente lgebrico, molto meno conveniente!) Pres l generic equzione di un circonferenz + +α +β +γ = l conoscenz delle coordinte del centro C(,) ci ssicur (vedi esercizio, ALTERNATIVA ) che è α= = 8, β= =. Dunque l equzione srà + 8 +γ =. Per determinre poi γ possimo porre l condizione di tngenz con l rett = +. In prtic, il sistem finlizzto determinre le intersezioni rett-circonferenz, ossi il sistem = +, + 8 +γ = dovrà vere sol soluzione. Scrivimo dunque l equzione risolvente del sistem + (+ ) 8 (+ ) +γ = γ= 8 +γ = e domndimoci: per qule vlore di γ quest equzione, che è di grdo, h eccezionlmente sol soluzione nziché? Un equzione di grdo h sol soluzione ( = soluzioni coincidenti fr loro) se e soltnto se Δ=. Quindi dovrà essere Δ=, onche Δ 56 8 = ; ( ) ( +γ ) = ; 6 + γ = ; γ = = 5 L equzione cerct è = =

71 7 5) Scrivere l equzione dell circonferenz che h centro in A(, ) e stcc sull rett r: = + un cord BC l cui lunghezz è 6. Ftto un disegno pprossimtivo, possimo trccire l perpendicolre AH dl centro A ll cord BC. Com è noto, tle perpendicolre tglierà metà l cord stess, quindi si vrà BH = HC =. Se llor clcolimo l lunghezz del segmento AH, che è poi l distnz del centro A(,) dll rett r: = + ; + =, potremo poi, con Pitgor, determinre il rggio AC e infine, essendo noti il centro e il rggio, scrivere l equzione richiest AH = d(a, r) = = = AC AH HC 8 ( ) = + = + = + = Equzione circonferenz di centro ( ) ( ) ( A,) e rggio / : + = ; + + = = In ALTERNATIVA, si srebbe potuto (metodo lgebrico, in questo cso molto meno conveniente): I) scrivere l equzione dell circonferenz vente per centro il punto A(, ), lscindo indict con r l misur del rggio: ( ) ( ) + = r II) determinre le coordinte dei punti di intersezione di quest circonferenz con l rett r: = + : ( ) + ( ) = r = + = + ( ± r ) ; ( ) ( ) ± r = r ; + + r = ;, = = r 5 + r 5 = = B: C: r 5 5 r 5 r r = + = + = = + = + = III) Clcolre l distnz BC (che dipende dl prmetro r) e poi domndrsi per qule vlore di r tle distnz risult ugule proprio 6 + = B: = C: + = = r 5 r 5 5 r 5 5 r 5 + r 5 r r 5 5 r 5 BC = + = r 5 + r 5 = + = r 5 r 5 r 5 r 5 = 6 ; r 5= 7; r = ; r = ; r = =, ecc. =

72 7 6) Condurre dl punto P(,6) le tngenti ll circonferenz di equzione + + =. S intende che sono richieste le equzioni di queste due rette tngenti. Il problem può essere risolto con METODO ALGEBRICO o con METODO GEOMETRICO. Il metodo lgebrico ( METODO DEL DELTA) consiste nel porre l equzione dt sistem con l equzione dell generic rett per P + + = 6 = m( ) per poi determinre i vlori di m per i quli questo sistem di grdo, nziché portre due vlori per l coppi (, ) quindi due punti di intersezione rett-circonferenz port d un sol coppi (, ), quindi d un solo punto di intersezione. L equzione risolvente srà un equzione di secondo grdo contenente il prmetro m nei coefficienti. M un equzione di secondo grdo mmette un sol soluzione se e solo se Δ =! Corggio: + + = = m m + 6 = m m+ 6 ( m m 6) ( m m+ 6) = Considero or l sol equzione risolvente. + ( m m+ 6) + ( m m+ 6) = Svolgo i clcoli, ordino i termini ( prim quelli con, poi quelli con, infine i termini noti, ossi quelli non contenenti né né ) + m + m+ 6 ** m + m m + m m+ ** = ** + m m+ m + m m+ 8 = + m m 7m+ + m m+ 8 = ( ) ( ) ( )

73 7 A questo punto NON MI INTERESSA risolvere l equzione: mi interess invece cercre quli sono i vlori di m per cui l equzione h sol soluzione nziché. E tli vlori di m srnno quelli per i quli il Δ dell equzione (o, indifferentemente, il Δ dell formul ridott, ossi il Δ/ ) è ugule. Δ = ( m 7m+ ) ( + m )( m m+ 8) = m + 9m+ m + m 8m m + m 8 m m ** ** m m = 8 7 ± ± 65 7 ± 5 = m, = = = = = Le due rette tngenti hnno dunque equzioni: + 8m = 6 = m( ) con m = o, rispettivmente, m = e sono perciò: 7 t : 6 = ( ); = + + 6; = + t : 6 = ( ); = + 6; = + Il metodo geometrico ( METODO DELLA DISTANZA ) consiste nello scrivere l equzione dell generic rett per P: 6 = m( ) e nell imporre l condizione che tle rett bbi distnz, dl centro dell circonferenz (le cui coordinte sono immeditmente ricvbili dll equzione), ugule l rggio dell circonferenz stess (nch esso ricvbile dll equzione). + + = α β C, =, r = + + = 5 ( ) Distnz dell rett 6 = m( ) ossi = m m+ 6 o nche m m + 6= dl centro (, ) : m ( ) m+ 6 m+ m+ 6 m+ 7 d = = = m + m + m + d = 5 m + 7 = 5 m + m+ 7 = 5 m + m+ m+ 9 = 5m + 5 m + m+ = m 7m = 7± / vlori uguli quelli m, = = determinti / col metodo precedente!

74 7 7) Condurre dl punto P(,) le tngenti ll circonferenz di centro A(,) e rggio 5. L interesse di questo problem st nel ftto che il punto è esterno, quindi le tngenti sono due, m scrivendo l equzione dell generic rett per P = m( ) e poi pplicndo il metodo del delt o il metodo dell distnz, di tngente se ne trov un sol. E per forz! L second tngente è, in questo cso, un rett prllel ll sse, quindi non rppresentbile sotto l form = m ( ). L tngente mncnte, dunque, non verrà determint col clcolo, m semplicemente dll osservzione del disegno. Metodo del Δ : ( + ) + ( ) = 5 = m( ) = 5 = m m = = m m + + ( m m+ ) + 6 ( m m+ ) 5 = + m + m + m+ m m+ 6 m + m 5 = + m m+ 8m+ 6+ m 6m+ 65= ( + m ) ( m 9m ) + ( m 6m+ 65) = Δ = ( m 9m ) ( + m )( m 6m+ 65) = m + 8m + 9 6m m + 5m m + 6m 65 m 6m 65m 9m 56 = 56 8 m = = Un tngente h dunque equzione = ( ) = + ; L'ltr tngente equzione che si tre direttmente dll figur : = + = In ALTERNATIVA, metodo dell distnz: imponimo che si ugule 5 l distnz dell rett m( ) = m( ) = m m m m + = m ( ) m+ = 5 m + m m+ 5m+ 9 5m = dl punto A(,) = 5; = 5; 5m+ 9 = 5 m + ; m + m + 9m+ 8 = 5m ; 9m = 56; m = =... stesse conclusioni di prim. 9 5

75 8) Scrivere l equzione dell rett tngente nell origine ll circonferenz L differenz fr questo problem e i due precedenti st nel ftto che QUESTA VOLTA IL PUNTO APPARTIENE ALLA CIRCONFERENZA. Oltre l metodo del delt e l metodo dell distnz, bbimo llor disposizione nche un terzo e comodissimo metodo, che potremmo chimre METODO DELLA PERPENDICOLARITA : l tngente cerct è semplicemente l rett, pssnte per l origine, e ivi perpendicolre l rggio che h un estremo nell origine. 75 Determinimo dunque il coefficiente ngolre dell rett CO: Δ C O mco = = = = Δ C O dopodiché srà m t = d cui: t: = + 6 = 9) Scrivi le equzioni delle circonferenze, col centro sull sse, tngenti lle due rette 7 r: = ; r : = +. METODO GEOMETRICO Fcendo l figur si vede che il problem h soluzioni. In ciscuno dei due csi, il centro può essere determinto come intersezione fr l sse e un delle bisettrici (trtteggite) degli ngoli formti dlle rette r, r. Il rggio srà poi l distnz fr il centro così trovto e r o, indifferentemente, r. Noti il centro e il rggio si scriverà l equzione richiest. Fi tu tutti i clcoli. Il METODO ALGEBRICO è più pesnte. Vedimolo. Si scrive l equzione dell generic circonferenz che h per centro un punto C,k ( ) sull sse e rggio indicto con r: + k = r. ( ) ( ) Tle equzione contiene due prmetri k, r. Si trtt or di determinre tli due prmetri in modo che l circonferenz si tngente entrmbe le rette r, r. Condizione di tngenz con + ( k) = r ( ) r : + k = r r = : 7 = + + ( k) = r 7 + k ( + k) + ( 6+ 8k + k r) = = r 5 Δ ( 7 k) + ( 9 8k + k r) = = ( + k) 5( 6 + 8k + k r) = Δ = ( 7 k) 5( 9 8k + k r) = k 8k 6+ 5r = 6k + k 96 + r = ( ) k k 6 r ( eq.) k 8k 6+ 5r = + + = 6k k 96 r 6k k 96 r + + = + + = ( )( ) () () k k ; k k ; k k ; k k + + = + = = = = k = k = r = ; r = 5; r = r = ; r = 5; r = 5 = 5

76 76 5 ) Scrivi le equzioni delle circonferenze tngenti lle tre rette =, =, = +. Il metodo geometrico è di grn lung il più efficce. Si trtt di trovre i centri intersecndo le bisettrici di opportuni ngoli, poi Procedimo. Equzioni di b e b 6, bisettrici degli ngoli formti dlle rette = e = ( = ) : = ; = ; 5 = ; 5 =± ( ) ( 5 ) 5 I) 5 = ; 5 + = ; ( 5 + ) = ; = = = ( b ) ( 5+ ) 5+ II) 5 = + ; 5 = ; ( 5 ) = ; = = = ( b6 ) Equzioni di b e b5, bisettrici degli ngoli formti d = e = + ( + 5= ) : = ; = ; 5 = + 5; 5 = ± ( + 5) I) 5 = + 5; 5 = 5; 5 = 5; ( ) ( 5)( 5+ ) ( 5 ) 5( 5 ) ( b5 ) 5 ( ) ( + 5)( 5 ) ( ) ( ) 5 5+ = = = II) 5 = + 5; 5 + = + 5; 5 + = + 5; = = = ( b )

77 77 5 Equzioni di b e b, bisettrici degli ngoli formti d = ( = ) e = + ( + 5= ) : = ; = ; =± ( + 5) I) = + 5; = 5; = + 5; = + ( b ) II) = + 5; = + 5 ( b ) 5 = b b (F) : = + ( 5 ) 5( 5 ) ( 5 ) 5( 5 ) 5 = + 5 = ; 5 5 = 5 ; ( 5 5) = ( 5 ); ( 5 ) ( ) ( 5 5) = = = = = = = = = F, Rggio dell circonferenz di centro F, : r = d( F, = ) = F = = Equzione dell circonferenz di centro F, : e rggio = : = ( 5 5) ( 5 5) ( 5 5) ( 5 5) + = onche ( ) ( ) ( ) = 5 5 = Abbimo proposto questo esercizio come esempio di problem con clcoli più complicti del solito; prosegui or tu, se lo desideri, con le equzioni delle ltre tre circonferenze.

78 7. ESERCIZI SULLA CIRCONFERENZA 78 ) Scrivere l equzione dell circonferenz di centro K(,) e tngente ll rett =. ) Determinre l equzione dell circonferenz pssnte per A(, ) e B(, ) e tngente ll rett = 7. ) Scrivere l equzione dell circonferenz pssnte per A(,) e tngente ll rett r: = + nel suo punto di sciss. ) Scrivere l equzione dell circonferenz inscritt nel tringolo OAB, con: O(,); A(,); B(, ) poi l equzione dell circonferenz circoscritt l medesimo tringolo. 5) Determinre le equzioni delle circonferenze tngenti gli ssi e pssnti per il punto (,) 6) E richiest l equzione dell circonferenz pssnte per O, per il punto (, ), e che stcc sull rett + = un cord lung. 7) Scrivere le equzioni delle tngenti comuni ll circonferenz di centro C(,) e rggio r = e ll circonferenz di centro C (, ) e rggio r = 8) Scrivere le equzioni delle due circonferenze tngenti ll rett r: = nel suo punto di sciss, e venti rggio 5. 9) Trovre i centri delle circonferenze tngenti lle rette =, =, e venti rggio unitrio. ) Sono dte: l circonferenz C di centro (, ) e rggio ; e l circonferenz C di centro (, ) e rggio. ) Dl punto A (,6) conduci le due rette tngenti ll C e scrivine le equzioni. Verific poi che le due rette in questione risultno tngenti nche ll C. b) Le due circonferenze mmettono, oltre lle due tngenti comuni già trccite, nche ltre due tngenti comuni: scrivine le equzioni.

79 SOLUZIONI = ) ) Due soluzioni: + = = ) = + + = ; = ) 5) + + = ; = + = 6) 7) 8 = ; = 5 5 8) + = ; = 9) Ben circonferenze sono soluzioni del problem. I loro centri sono, rispettivmente: C +, ; C, ; C +, ; C, ( ) ( ) ( ) ( ) ) ) = + 6; = b) = + ; =

80 8. LUOGHI GEOMETRICI Si dice luogo geometrico l insieme costituito di punti (del pino, o dello spzio) che godono di un determint proprietà geometric. 8 In Geometri Anlitic, l equzione di un luogo geometrico si ricv scrivendo l uguglinz cui soddisfno tutti e soli i punti P(, ) del pino crtesino, che fnno prte del luogo, e trducendol poi in coordinte. Scrivi l equzione del luogo dei punti l cui distnz d O(,) è doppi dell distnz d A(,) Il luogo in questione è l insieme di tutti e soli i punti P(, ), tli che PO = PA. Trducendo in coordinte quest uguglinz, vremo: + = ( ) + ; = Quest equzione individu l circonferenz di centro (,) e rggio. Scrivi l eq. del luogo dei punti l cui distnz dll rett = è doppi dell distnz dll sse. r: = ; sse : = { P(, )/ d(p, r) = d(p, sse ) } = = ; = ; =± ; = Il luogo in questione è perciò costituito d un coppi di rette. Scrivi l equzione del luogo dei punti che vedono il segmento AB, con A(,) e B(,), sotto un ngolo retto. RISOLUZIONE L geometri euclide ci insegn che il luogo in questione è l circonferenz di dimetro AB: è perciò immedito determinre l equzione richiest. NOTA. E del tutto spontneo fr rientrre nche i due punti A e B nel luogo, come posizioni limite. Osservimo che, stretto rigore, per tli punti l ngolo in questione è indeterminto ; e fr i vlori dell indeterminzione c è nche il vlore 9. RISOLUZIONE Se non si intuisce subito l ntur del luogo, si potrà procedere come segue: Δ { P(, )/ mpa = } ( ricordimo che per il coeff. ngolre vle l formul m = m ) PB Δ = ; =, con ; + = + +, con,, + + 6=, con,, L equzione ricvt è quell di un circonferenz (fcile poi controllre che quest circonferenz h centro nel punto medio di AB e rggio ugule ll metà di AB, quindi risult vere per dimetro AB). E vero tuttvi che le condizioni poste privno l circonferenz in esme di lcuni punti: quelli di sciss o, e quelli di ordint. Si trtt dei due punti A e B (del cui diritto di pprtenere l luogo bbimo già discusso nell NOTA) e dei due punti S(,) e T(,). Rigurdo d S e T, nch essi pprtengono senz dubbio l nostro luogo, perché: SA è prllelo ll sse, SB è prllelo ll sse quindi ASB = 9 ; TA è prllelo ll sse, TB è prllelo ll sse, quindi AT B = 9. Perché dunque i nostri pssggi lgebrici hnno portto d estrometterli? Ciò è vvenuto per il ftto che, qundo si utilizzno i coefficienti ngolri, restno tglite inesorbilmente fuori le rette prllele ll sse ; e SA, TB sono per l ppunto tli. Perciò il procedimento d noi seguito er ftlmente destinto d escludere lcuni punti, che invece pprtengono pieno diritto l luogo in questione. Pertnto posteriori, riconoscendo che nche S e T fnno prte del luogo, semplicemente ignoreremo le condizioni poste, e diremo che il luogo cercto è l circonferenz di equzione + + 6= NESSUN PUNTO ESCLUSO.

81 8 RISOLUZIONE All stess equzione vremmo potuto pervenire nche con un ltro metodo. Il luogo dei punti P(, ) per i quli APB = 9 può essere pensto come il luogo dei punti P(, ) per cui il tringolo APB è rettngolo in P. M se un tringolo è rettngolo, llor in esso l somm dei qudrti dei cteti è ugule l qudrto dell ipotenus; e vicevers, se in un tringolo l somm dei qudrti di due lti è ugule l qudrto del lto rimnente, llor il tringolo è rettngolo, con l ngolo retto che è opposto ll ultimo lto menzionto (Teorem di Pitgor e suo inverso). In definitiv, P(, ) pprtiene l nostro luogo se e solo se PA+ PB = AB ( ) + ( ) + ( ) + ( ) = ( ) + ( ) + + 6= EQUAZIONI PARAMETRICHE DI UN LUOGO GEOMETRICO Considerimo le seguenti equzioni, in cui i vlori di e di vengono ftti dipendere d un prmetro t: = t +, con t = t Se noi fccimo vrire t, vrierà in corrispondenz l coppi (, ) ; d esempio: ( ) = = = / t= (,) t= (,) t=,... = = = / Le equzioni considerte individuno perciò un luogo di punti sul pino crtesino: l vrire di t in, il punto (, ) = ( t +, t ) si muove sul pino crtesino, descrivendo un curv. Ci chiedimo or: è possibile pssre dlle equzioni prmetriche ll ordinri equzione crtesin F(, ) = del luogo? Sì, e molto fcilmente. Bst inftti isolre il prmetro in un delle due equzioni, e poi ndre sostituire nell ltr. = t + t= = t = ( ) +... = + equzione crtesin del luogo Esempio Scrivere l equzione del luogo descritto di bricentri dei tringoli ABP, essendo: A(,); B(6,); P un punto dell rett = Indichimo le coordinte di P con ( α, α). Avremo: α 9+α α α G = = = ; G = = = 9 +α = quindi: che sono le equzioni prmetriche del luogo considerto. α = 9 + Pssimo or ll equzione crtesin: α= ; =... = 6 Attività Con GeoGebr, utilizzndo lo strumento Luogo, costruisci il luogo dei bricentri dei tringoli ABP. Esercizio Determinre il luogo dei punti di intersezione delle rette di equzioni: r:+ + k =, r: k = l vrire del prmetro k in (soluzione: = 5 ) Esercizio Scrivere l equzione del luogo (già d noi in precedenz considerto) dei punti che vedono il segmento AB, con A(,) e B(,), sotto un ngolo retto, interpretndolo come luogo dei punti di intersezione di due rette r ed s, pssnti rispettivmente per A e per B, e perpendicolri fr loro.

82 9. L ELLISSE NEL PIANO CARTESIANO 8 DEFINIZIONE DI ELLISSE Si dice ellisse il luogo dei punti del pino per i quli è costnte l somm delle distnze d due punti fissi, detti fuochi : PF + PF = costnte Indicheremo l somm costnte con k, e l distnz fr i due fuochi = distnz focle) con c. E divertente costruire un ellisse di costnte k, e distnz focle c, ttrverso un semplice esperienz. Prendi un cordicell di lunghezz k, e fiss, sull lvgn, due punti F, F l cui distnz vlg c. Chiedi due compgni di tenere fisse le estremità dell cordicell, rispettivmente in F e in F ; tu, intnto, trmite un pezzetto di gesso che terri con l mno, descriveri il punto P tirndo l cordicell in modo che le sue due prti, dl gessetto l punto fisso F e dl gessetto F, sino belle diritte e tese. Muovendo il gessetto, mentre l cordicell è tenut sempre tes, sull lvgn pprirà un ellisse: inftti l somm PF PF si mnterrà sempre ugule ll lunghezz costnte dell cordicell. + E evidente che, fisst l distnz focle c, c è un vincolo per l costnte k : l cordicell, di misur k, dovrà essere per forz più lung di FF = c ( k > c, k >c). Con riferimento ll figur, l disuguglinz tringolre ci dice inftti che k = PF+ PF > FF = c. Se scegliessimo k < c, il luogo dei punti P per cui PF+ PF = k srebbe vuoto; se poi prendessimo k = c, il luogo degenererebbe in dillo tu! Insomm: dovrà essere k > c ( k > c) ffinché il luogo non si né vuoto, né degenere. Si intuisce, si constt d buoni disegni, e si potrebbe fcilmente dimostrre, che un ellisse è dott di due ssi di simmetri: l rett pssnte per i due fuochi (dett sse focle ) e l sse del segmento che h per estremi i due fuochi (dett sse trsverso ). L curv possiede pure un centro di simmetri (chimto, per brevità, semplicemente il centro dell ellisse): esso è l intersezione O fr l sse focle e l sse trsverso, ossi il punto medio del segmento che h per estremi i fuochi. Si dicono vertici dell ellisse i punti di intersezione dell curv coi suoi ssi di simmetri. Nell figur, bbimo indicto i quttro vertici con V,V,V,V. I segmenti che congiungono le coppie di vertici opposti vengono detti gli ssi dell ellisse (sse mggiore, sse minore ). M llor, cos dobbimo pensre qundo un person ci prl degli ssi di un ellisse? Quell person st pensndo delle rette o dei segmenti? In effetti c è un cert mbiguità. M il contesto del discorso renderà senz ltro chiro qule debb essere l interpretzione corrett. E possibile dimostrre (lo lscio te per esercizio!) che, in un ellisse: l sse mggiore è sempre quello contenente i fuochi; l sse mggiore è ugule ll costnte dell ellisse (ossi l somm costnte di cui prl l definizione, quell che bbimo indicto con k )

83 8 L EQUAZIONE DELL ELLISSE Per semplicità, supporremo inizilmente che gli ssi del riferimento crtesino coincidno con gli ssi di simmetri dell ellisse. In queste condizioni, si prlerà di ellisse riferit i suoi ssi, o nche di ellisse in posizione cnonic (brevemente: ellisse cnonic ). Se l ellisse è in posizione cnonic, il centro ( = centro di simmetri) dell ellisse coinciderà con l origine e i fuochi strnno o sull sse, o sull sse. In ciscuno dei due csi, l origine srà il punto medio del segmento F F. Supponimo dpprim che i fuochi stino sull sse. In questo cso, l posto di indicre l somm costnte con k, l indicheremo con (quest scelt è dettt d motivi di opportunità che si comprendernno solo posteriori). Avremo dunque: F( c,); F ( c,) P(, ) PF + PF = (*) ( + c) + + ( c) + = + c+ c + + c+ c + = ; + c+ c + = c+ c + + c + c + = + c + c + c+ c + c = c+ c + ; c+ c + = c c + c + = c+ c c + = c ( c ) + = ( c ) Essendo or = k > c, srà nche > c e quindi c >. Potremo llor porre c = b ; l nostr equzione diventerà b + = b e dividendo per il secondo membro, che è sicurmente non nullo, otterremo (**) + = ( b = c) b Abbimo fin qui ftto vedere che, se un punto P(, ) pprtiene ll ellisse di fuochi F( c,) e F ( c,) e costnte, llor le coordinte (, ) di P verifichernno l equzione (**). Si può poi dimostrre che vle nche il vicevers, ossi che, se un punto (, ) è tle che le sue coordinte verifichino l (**), llor (, ) pprtiene ll ellisse di fuochi F ( c,); F ( c,) e costnte (NOTA) Rest così stbilito che l ellisse di fuochi F ( c,) e F ( c,) e costnte h equzione + = ( b = c) b NOTA. L dimostrzione è lscit llo studente: b consiste nel controllre che ogni punto P di coordinte, ± è tle che PF+ PF =, ossi verific l equzione (*) : ( + c) + + ( c) + =. Osservimo che questo ftto non è d considerrsi scontto priori: inftti i pssggi lgebrici d noi effettuti prtire dll equzione inizile, che contenev rdicli qudrtici, hnno comportto ben due elevmenti l qudrto: e sppimo che, elevndo l qudrto i due membri di un equzione, può cpitre che si intrufolino nell equzione flse soluzioni, soluzioni non ccettbili. Ciò nel nostro cso non è vvenuto, m teoricmente vrebbe potuto vvenire.

84 E se i fuochi stessero sull sse? 8 In questo cso, l posto di indicre l somm costnte con k, l indicheremo con b e, ftti i clcoli, perverremo ll equzione b + ( b c) = b( b c) ; ponendo or b c = (posizione lecit in qunto b= k > c) l equzione ssumerà l form b + = b e finlmente, dopo ver diviso per b, + = ( = b c) b Si cpisce questo punto che l scelt di indicre l costnte dell ellisse ( = l somm costnte di cui prl l definizione) con nziché con k qundo i fuochi stnno sull sse, con b nziché con k qundo i fuochi stnno sull sse, è motivt dl ftto che in questo modo, in entrmbi i csi, si perviene formlmente ll stess equzione. Ricpitolimo: Considert un ellisse cnonic coi fuochi sull sse, se si indic con c l su distnz focle e con l su costnte, l su equzione è + = ( b = c) b Considert un ellisse cnonic coi fuochi sull sse, se si indic con c l su distnz focle e con b l su costnte, l su equzione è + = ( = b c) b Dunque un ellisse cnonic, si che bbi i fuochi in orizzontle, si che li bbi in verticle, h sempre equzione dell form () + = b Dt or un equzione dell form (), ci domndimo: rppresenterà sempre un ellisse, qulunque sino i vlori dei due prmetri, b? L rispost è ffermtiv. Inftti: Se > b, ponimo b = c e ndimo ricvre l equzione dell ellisse di fuochi ( ± c,) e costnte : troveremo l (). Ciò prov che l (), nel cso > b, rppresent un ellisse (coi fuochi in orizzontle). Se b >, ponimo b = c e ndimo ricvre l equzione dell ellisse di fuochi (, ± c) e costnte b : troveremo l (). Ciò prov che l (), nel cso b >, rppresent un ellisse (coi fuochi in verticle). Se poi b =, ben gurdre l () è l equzione di un circonferenz! Or, potri fcilmente verificre che un circonferenz può essere vist come un prticolre ellisse in cui i fuochi sono coincidenti, sovrpposti. Inftti, qundo dicimo che l circonferenz di centro O e rggio r è il luogo dei punti P per i quli PO = r, potremmo nche dire che si trtt del luogo dei punti P per i quli PF+ PF = r, vendo posto i due punti F,F entrmbi in O.

85 85 STUDIO DELL EQUAZIONE + = b Intersecndo l curv + = con gli ssi, vremo che: b i punti di intersezione A,A con l sse orizzontle hnno coordinte: A(,); A(,) i punti di intersezione B,B con l sse verticle hnno coordinte: B (, b); B (, b). Cso dei fuochi in orizzontle: PF + PF = + = b = = con b c c b Cso dei fuochi in verticle: PF + PF = b + = b = = con b c c b Quindi, IN OGNI CASO, è il semisse orizzontle, b è il semisse verticle. Occorre poi sempre ricordre che l costnte dell ellisse (NOTA) è ugule ll sse mggiore, l sse mggiore è quello contenente i fuochi ( = i fuochi stnno sull sse mggiore). NOTA. Ricordimo che: per costnte dell ellisse intendimo l somm costnte di cui prl l definizione, quell che vevmo in generle indicto con k e che per l ellisse cnonic bbimo preferito indicre con nel cso i fuochi fossero in orizzontle, con b per fuochi in verticle Dlle osservzioni ppen ftte segue che: se > b, llor i fuochi sono in orizzontle se b>, llor i fuochi sono in verticle In ogni cso, l semidistnz focle c si ottiene estrendo l rdice qudrt dell differenz fr e b, con l intes che quest differenz veng clcolt sottrendo dl numero mggiore il minore, in modo d vere risultto positivo: c = > b se b > b se b. Potremmo nche dire che c = b

86 86 RIASSUNTO DEL RIASSUNTO SULL ELLISSE NEL PIANO CARTESIANO Se >b: fuochi in orizzontle PF + PF = c = b b + = Se b>: fuochi in verticle PF + PF = b c = b In definitiv: qundo mi dnno un equzione dell form () + =, b io dico: Che bello! Ho un ellisse. L misur del semisse orizzontle è, quell del semisse verticle è b. Posso subito fre, quindi, il disegno, spendo che i vertici in orizzontle hnno scisse ± e quelli in verticle hnno ordinte ± b (se l memori mi trdisce, NO PROBLEM: cerco le intersezioni di () con gli ssi e ritrovo queste cose utomticmente). Dove stnno i fuochi? Ovvimente, sul semisse mggiore, che potrà essere quello orizzontle o quello verticle, second dei csi. E che coordinte hnno? Mi bsterà ricvre l semidistnz focle c, perché poi le coordinte dei fuochi srnno: ( ± c,)se i fuochi sono in orizzontle, (, ± c) se sono in verticle. M come ricvo c? Semplice: c potrà vlere b oppure b ; bsterà scegliere, fr le due differenze, quell che dà risultto positivo. Potremmo nche dire che c è il vlore ssoluto di b : c = b. Inversmente, qundo un problem mi prl di un ellisse cnonic, devo pensre d un ellisse riferit i suoi ssi, cioè d un ellisse colloct in un sistem di riferimento i cui ssi crtesini coincidno con gli ssi di simmetri dell ellisse. So che l equzione srà dell form () + = b e si trtterà di determinre i vlori delle due costnti, b (o direttmente:, b, sfruttndo due opportune condizioni che il problem mi fornirà.

87 87 ECCENTRICITA DI UN ELLISSE Un ellisse può essere più o meno bislung, può discostrsi in misur mggiore o minore dll form circolre. Poiché un ellisse è individut dll su distnz focle c e dll su costnte k, si comprende che dovrà essere il rpporto ( c)/( k) = c/ k determinre l form dell curv. Figur Fig. Fig. Nell sequenz di figure sovrstnti è stt tenut fiss l distnz c tr i due fuochi: c = 6 in tutti e tre i csi. E stto invece ftto crescere, nel pssggio dll figur ll e poi ll, il vlore dell grndezz k ( k = PF+ PF, essendo P il generico punto dell'ellisse). Con ciò, si è ftto vrire il rpporto c/ k, che è ndto decrescendo. Si può osservre che qunto più il rpporto c/ k diminuisce, tnto più l ellisse tende d ssomiglire d un circonferenz. L quntità c/ k (semidistnz focle/semicostnte dell ellisse, o, se si preferisce: semidistnz focle/semisse mggiore., viene chimt eccentricità dell ellisse e indict con il simbolo e. semidistnz focle semidistnz focle distnz focle e = = semicostnte dell ' ellisse semisse mggiore = sse mggiore. Poiché l semidistnz focle è sempre più piccol del semisse mggiore, e srà sempre compres fr e. Se l quntità e è piccol (cioè, vicin ), l ellisse tende d ssomiglire d un circonferenz; se invece e è grnde (cioè, vicin ), l ellisse si discost dll form circolre, ossi ppre bislung, eccentric. Per cpire meglio, supponimo che l nostr ellisse si colloct in un riferimento crtesino, e riferit i suoi ssi. L su equzione srà llor, come sppimo, dell form + =, dove, b srnno i due semissi. b Supponimo, per fissre le idee, che il semisse mggiore si quello orizzontle, cioè. Allor potremo scrivere: semidistnz focle c b b b e = = = = = semisse mggiore

88 Di qui si vede che e risult più grnde, qundo è più piccolo il rpporto b/ fr il semisse minore e il mggiore. M un piccolo rpporto semisse minore/semisse mggiore comport, è evidente, un form più bislung dell ellisse. Può l eccentricità di un ellisse essere ugule? No, perché l costnte dell ellisse dovrebbe essere ugule ll distnz focle, e l ellisse, in tli condizioni, degener in un segmento. Può essere e =? Ciò richiederebbe un distnz focle null, cioè che i due fuochi sino sovrpposti, coincidenti. In effetti, è possibile pensre coincidenti i due fuochi: l curv si riduce, in questo cso, d un circonferenz. 88 In definitiv: nell ellisse si h e < ; e = nel cso dell circonferenz, mentre in un ellisse molto bislung, eccentric si h e prossimo. ALCUNI ESEMPI DI ESERCIZI SULL ELLISSE CANONICA ESEMPIO Disegn e studi l ellisse di equzione + = 5 9 Abbimo = 5, b = 9 = 5, b=. Ci converrà disegnre immeditmente i vertici ( ± 5, ); (, ± ). Il semisse mggiore risult essere (che è il semisse orizzontle): quindi i fuochi sono in orizzontle. Clcolimo l semidistnz focle: c = b c = 6 c=. Perciò i fuochi hnno coordinte ( ±, ). L eccentricità vle e= c/ = / 5. ESEMPIO Disegn e studi l ellisse di equzione + = Prim di tutto dobbimo portre l equzione sotto l form + =. b A tle scopo, occorre dividere per : vremo così + =. =, b = =, b=. Ci converrà disegnre immeditmente i vertici ( ±, ); (, ± ). Il semisse mggiore risult essere b (che è il semisse verticle): quindi i fuochi sono in verticle. Clcolimo l semidistnz focle: c = b c = c=. Perciò i fuochi hnno coordinte (, ± ) L eccentricità vle e= c/ b= /.

89 89 ESEMPIO Scrivi l equzione dell ellisse cnonic di costnte ( = somm costnte), pssnte per (,) Se l costnte ( = somm costnte) è, llor l semicostnte è 5: m llor, srà = 5 o piuttosto b = 5? Beh, fcendo un disegnino, si vede che di ellissi cnoniche con costnte, pssnti per (,), ce n è due: un con i fuochi in orizzontle, e l ltr coi fuochi in verticle. Il problem h quindi due soluzioni. Distinguimo i due csi: FUOCHI IN ORIZZONTALE ( = sse mggiore orizzontle): = 5 + =, e ponendo l condizione di pprtenenz del punto (,) si ottiene: 5 b =. 5 b 6 L equzione in questo cso è dunque + = + 6 = FUOCHI IN VERTICALE ( = sse mggiore verticle): b = =, e ponendo l condizione di pprtenenz del punto (,) si ottiene: 75 =. 8 L equzione in questo cso è dunque + = 8 + = ESEMPIO Determin l equzione dell ellisse cnonic pssnte per W(,) e tngente ll r: + 5= Scrivimo l equzione generle + =. b Abbimo or bisogno di due condizioni, per determinre i due prmetri, b. Un condizione srà dt dll pprtenenz di W(,); l ltr srà l condizione di tngenz rett-ellisse, ottenibile ponendo sistem l equzione dell rett con quell dell ellisse e imponendo ll equzione risolvente del sistem l condizione Δ=. Si ottiene in definitiv: + = 9 6 ESEMPIO 6 Determin l equzione dell rett tngente ll ellisse + =, nel suo punto A di coordinte (, ) Qundo si h UNA CURVA DI GRADO (ellisse, circonferenz, prbol, iperbole) E UN PUNTO P(, ) CHE APPARTENGA (occhio, è indispensbile!) ALLA CURVA, si potrebbe dimostrre che il problem di scrivere L EQUAZIONE DELLA RETTA TANGENTE A QUELLA CURVA IN QUEL SUO PUNTO si può risolvere semplicemente pplicndo l seguente comodissim REGOLA DEGLI SDOPPIAMENTI: si effettuno, nell equzione dell curv, le sostituzioni ed è ftt! Nel nostro cso, vremo + = ossi + =. Controll tu stesso che col metodo del Δ = si otterrebbe l medesim equzione.

90 9 ESEMPIO 6 Considert l ellisse di equzione + =, 5 6 determin le coordinte del suo punto più vicino ll rett = 7. Fcendo un disegno, ci si rende conto che si trtt del punto P di conttto con l ellisse, di un delle due tngenti ll curv prllele ll rett dt e quindi venti coefficiente ngolre m =. M un generic rett di coefficiente ngolre h equzione dell form = + k: ponimo dunque tle equzione sistem con l equzione dell ellisse, llo scopo di determinre il vlore di k per il qule si h tngenz. = + k + = 5 6 ( + k) + = ( k+ k ) = k+ 5k = 5k+ 5k = Δ Condizione di tngenz : = ( 5k) ( 5k ) = 65k 5 ( k 6) = Semplificndo per 5: 5k k 6 = ; 5k k = ; 6k = 656; k = ( ) k = ( l soluzione < viene esclus : corrisponderebbe l punto più LONTANO) Con k =, lrettè= + e le coordinte del punto P di intersezione fr l rett e l'ellisse si possovo ricvre ponendo k = nell'equzione risolvente del sistem 5k+ 5k =, che divent così = = = ( 5) = = = + = + = = Si h pertnto 5 6 P,

91 ESEMPIO 7 - Nell ellisse di equzione + = inscrivi il rettngolo di re mssim = ; 5 6 =... =± 5 5 (nel e qudrnte si prenderà il segno + ) Detto P(, ) il vertice del rettngolo pprtenente l qudrnte, si vrà bse rettngolo = 8 ltezz rettngolo = = 5 = Are ( d mssimizzre) = 8 6 = 5 = con 5 Or, determinre il vlore di per il qule l quntità 6 S( ) = 5 5 ssume il suo vlore mssimo (nell intervllo 5) è fcile se si conoscono le cosiddette derivte m noi possimo cvrcel ugulmente nche senz di queste. Inftti UNA QUANTITA POSITIVA E MASSIMA QUANDO E MASSIMO IL SUO QUADRATO! S ( ) = 5 ( 5 ) 56 con 5 5 = = 5 5 Possimo or per comodità ndre cercre il vlore di per il qule è mssim l quntità ottenibile dividendo l precedente per 56, ossi S ( ) = con 5, 56 5 o nche, posto = t, t t = t + t con t L funzione z = t + t con t 5 5 h come grfico un rco di prbol (vedi figur). Il punto più lto di quest prbol è il vertice, che si h con b 5 t = = = 5 che corrisponde = = =, 5 ( ) = b se d cui = 5 = 5 = = = = =, = ( ltezz) E in definitiv llor, fr tutti i rettngoli inscrivibili nell ellisse ssegnt, quello di re mssim è il rettngolo le cui dimensioni orizzontle e verticle misurno risp. 5 e.

92 9 TRASLAZIONE DI UNA CURVA NEL PIANO CARTESIANO Abbimo visto, nel cpitolo sulle trsformzioni geometriche del volume, che, dt un curv di equzione = f () oppure F(, ) =, e considerto un numero positivo p, se l posto di si sostituisce p, l nuov curv h un grfico che, rispetto quello dell curv mdre, è trslto orizzontlmente con effetto bstin contrrio, ossi: è trslto verso DESTRA di p unità. Anlogmente, l sostituzione + p port un curv figli trslt verso SINISTRA di p unità rispetto ll curv mdre. ELLISSE TRASLATA Considerimo un ellisse, che si colloct nel pino crtesino in modo d essere trslt rispetto ll posizione cnonic. Quest ellisse vrà il suo centro di simmetri in un punto P(, ) nziché nell origine. Ess potrà essere penst come ottenibile per trslzione, prtire dll ellisse cnonic vente gli stessi semissi. Dunque l equzione di un ellisse trslt, di centro (, ), srà ( ) ( ) + = b D ltronde, l nostr ellisse, nel sistem di riferimento usilirio XPY vente origine in P (, ), e trslto rispetto l sistem inizile O, si troverà in posizione cnonic, e quindi vrà equzione dell form X Y + =, b essendo, b i semissi orizzontle e verticle; or, tornndo l sistem O trmite le equzioni di cmbimento di riferimento { X =, Y = si ricv ppunto l equzione ( ) ( ) + = b ESEMPIO Scrivi l equzione dell ellisse di fuochi F(5,); F (9,) e semisse mggiore. Il centro di simmetri dell curv è il punto (7,). I fuochi sono in orizzontle: dunque il semisse mggiore è quello orizzontle. Perciò = ( = 9). L semidistnz focle è c =. c = b b = c = 9 = 5 ( 7) ( ) In definitiv l equzione srà + = 9 5 ESEMPIO - Scrivi l equzione dell ellisse di fuochi F(,); F (, ) e semisse mggiore 5. ( + ) Soluzione: + = 6 5 ESEMPIO - Qul è l equzione dell ellisse trslt di centro (, ) e semissi, 5? ( ) ( + ) ( ) ( + ) Due possibilità: + = ; + =

93 9 DIETRO-FRONT: DALL EQUAZIONE ALLA CURVA SE POSSIBILE Dunque l equzione dell ellisse trslt di centro (, ) è: ( ) ( ) () + = b Se sviluppimo i clcoli e liberimo di denomintori, ottenimo un equzione dll form: () m + n + p + q + r = E lecito or chiedersi se un equzione che si present sotto l form (), ossi un equzione di grdo in,, mncnte del termine rettngolre, rppresenti sempre un ellisse. L rispost è negtiv. Innnzitutto, si può dimostrre che condizione necessri ffinché l () individui un ellisse è che m, n sino concordi. M tle condizione non è poi sufficiente, perché, nche con m, n concordi, () potrebbe rppresentre un luogo puntiforme, o il luogo vuoto. Nell prtic, qundo è dt un equzione dll form (), con m, n concordi, ed è richiesto di studire l curv corrispondente, si cerc di ricondurre l () ll form (), mmesso che ciò si riveli possibile, pplicndo il metodo del completmento del qudrto. ESEMPIO = Potrebbe trttrsi di un ellisse, in qunto i coefficienti di e sono concordi. ( ) + ( + 6 ) + = ( ) = + + ( ) 8+ = + ( + ) = 8 ( + + ) = e l ultim equzione ottenut rivel trttrsi di un ELLISSE TRASLATA, di centro, e semissi = (semisse orizzontle), b = (semisse verticle). ESEMPIO = Si ottiene, dopo opportuni pssggi: ( ) 9 + ( + ) = LUOGO VUOTO ESEMPIO = ( ) ( ) = LUOGO PUNTIFORME, RIDOTTO AL SOLO PUNTO,5.

94 . ESERCIZI SULL ELLISSE (soluzioni ll fine dell rssegn) A prtire dll equzione di un ellisse stbilisci qunto vlgono I. le lunghezze dei semissi orizzontle ( ) e verticle ( b ); II. le coordinte dei vertici e dei fuochi; III. l costnte (somm costnte delle distnze di un punto di fuochi) k IV. l eccentricità disegn l curv ) + = ) + = ) + = ) = 5 6 5) 9 + = 5 6) + = 7) = 8) + ( ) = Scrivi l equzione di un ellisse conoscendone i fuochi e l costnte (=somm costnte) k. 9 9) F ( ±, ); k = ) F (, ± ); k = ) ( ), F, ± ; k = ) F,, ± ; k = 5 ), ( ) Scrivi l equzione di un ellisse conoscendone i vertici. Determinne i fuochi e l costnte (=somm costnte) k. 5) ( 8, ); (, 6), ± ± ) ( ) ±, ;, ± 5 F ± 5, ; k = 6, F ± 5, ; k = 6 ), ( ) Scrivi l equzione di un ellisse cnonic conoscendone uno dei semissi ( è quello orizzontle, b il verticle) e spendo che pss per un punto P ssegnto. Determin inoltre i fuochi dell curv e il vlore dell su costnte (=somm costnte) k. 7) = 5; P, 5 8) 6 = 8; P, 5 7 9) b = ; P(, 5) Scrivi l equzione di un ellisse conoscendone i fuochi e spendo che pss per un punto P ssegnto. F,, ; P, 5 ) ( ) 9 ± ) F, (, ± ); P, ) F, ( ±, ); P(, ) Scrivi l equzione di un ellisse cnonic spendo che pss per l coppi seguente di punti: 6 ), ;, 5 5 ), 5 ;, 5) (, ); (, ) Determin l equzione di un ellisse cnonic prtire dlle informzioni seguenti ( semisse orizzontle, b verticle, c semidistnz focle, e eccentricità) 6) = 7, b= 7) = 9, c= 8) =, c= 9) b=, c= ) = 5, > b, e= ) = 5, < b, e= ) b=, e= ) = 5, > b, e= ) =, < b, e= 5) < b, c=, e= 6) c=, e= Port in form stndrd le seguenti equzioni (ciscun rppresent un semiellisse); disegn l curv: 7) = 8) = 5 9) 9 = ) = Consider l curv ssocit ll equzione dt, e determin i vlori del prmetro per i quli I) rppresent un ellisse II) rppresent un ellisse coi fuochi sull sse III) rppresent un ellisse coi fuochi sull sse IV) rppresent un circonferenz ) k + k = ) + = k k + ) + = k k ) k + 7 k =

95 95 Scrivi l equzione dell rett tngente d un ellisse in un suo punto. 5) + = P(, 8 ) 6 6) + = P, ) + = P(, ) 9 6 Scrivi le equzioni delle rette tngenti d un ellisse ssegnt condotte d un dto punto esterno. 8) P(, 8 + = ) 9) + = P (, ) 5) + = P (, 5 ) Scrivi l equzione di un ellisse cnonic di cui si conoscono un rett tngente, e un second condizione. 5 5) Tngenz con l rett t : = ; pssggio per P 5, 5 5) Tngenz con l rett t : = + ; sse minore = 5) Tngenz con l rett t : + = ; somm costnte = k = 5 5) Tngenz con l rett t : + 6 = ; semidistnz focle = c = 55) Qundo l Terr si trov in felio (il punto di mssim distnz dl Sole) tle distnz misur circ km,5 8. L distnz minim ( perielio ) è invece di km,7 8 circ. L orbit dell Terr intorno l Sole è di form ellittic, e il Sole ne occup uno dei fuochi. Spresti, prtire d questi dti, determinre pprossimtivmente l sse mggiore dell ellisse? E l eccentricità? (Troveri che è dvvero piccol piccol determin il suo vlore con cifre significtive) 56) Anche l orbit dell Lun intorno ll Terr è ellittic; l Terr ne occup uno dei fuochi. Il perigeo è il punto di minim distnz dell Lun dll Terr: l distnz è di circ 6 mil chilometri. L'pogeo è il punto di mssim distnz dell Lun dll Terr: distnz pri 5 mil chilometri circ. E mggiore l eccentricità dell orbit lunre intorno ll Terr o quell dell orbit terrestre intorno l Sole? 57) Qunto distno dll origine i punti di intersezione delle due ellissi + = b e + =? b b i vlori ssoluti delle ordinte di due punti con l stess sciss, situti rispettivmente sull ellisse e sull circonferenz circoscritt ll ellisse, 58) Dimostr che in un ellisse + = ( > b) stnno fr loro come b:. 59) Determin l misur del lto del qudrto inscritto nell ellisse di equzione + = b 6) Determin l misur del lto del qudrto circoscritto ll ellisse di equzione + = b 6) Dt l ellisse + =, determin l re del rettngolo inscritto, vente due lti pssnti per i fuochi.

96 96 6) Le figure I), II), III) mostrno l ellisse + = 5 6 e un qudrto con due vertici su di ess (un solo vertice nell ultimo cso) e gli ltri vertici sugli ssi crtesini. Determinre il lto del qudrto in questione. I) II) III) 6b) Generlizzimo: rispondi gli stessi quesiti I), II), III) dell esercizio precedente con riferimento ll ellisse di equzione + = b 6) Intersec l ellisse + = con un rett = k ( k > ) 5 6 in modo che il rettngolo in figur bbi re 6) Nell ellisse determin 65) Nell ellisse b + = b in modo che si unitrio il lto del qudrto inscritto nell ellisse. + = b determin i punti di conttto delle quttro tngenti prllele lle digonli del rettngolo circoscritto ll ellisse. 66) Sull ellisse di equzione + =, determinre i punti equidistnti dl fuoco superiore e dl vertice che si trov sul semisse delle scisse positive. 67) Determin le coordinte del punto in cui l normle ( = perpendicolre ll tngente) ll ellisse + = nel suo punto P, vente ordint e pprtenente l qudrnte, intersec ulteriormente l ellisse. 68) Qul è l lunghezz del segmento che un ellisse + = b stcc sull digonle del rettngolo circoscritto? 69) Cos hnno di prticolre le curve seguenti? + = ) b) + + =

97 97 7) Dt un ellisse di costnte ( = somm costnte), giustific rigorosmente l seguente ffermzione: i punti P interni ll ellisse sono tli che PF + PF < ; per quelli esterni si h invece PF+ PF >. 7) Dimostr che, dt un circonferenz γ di centro O e un punto A interno d ess, il luogo dei punti del pino venti l proprietà di essere equidistnti d γ e d A è un ellisse. Dove si trovno i fuochi di quest ellisse? 7) L ellisse di equzione h, com è noto, fuochi di coordinte + =, con > b, b ( c ) ( b ) ( c ) ( b ) F =, =, ; F =, =, ed eccentricità c b e = =. Dimostr or che, dti tre numeri positivi, b<, c= b, e considerti il punto F ( c, ) e l rett d : =, c nche il luogo dei punti P tli che si bbi PF c =, PH dove PH indic l distnz di P dll rett d, h per equzione + =. b Allo stesso modo, si potrebbe provre che si perviene ll equzione + = b c pure ricercndo il luogo dei punti per i quli è ugule il rpporto delle distnze dl punto F ( c, ) e dll rett d : =. c In definitiv, l ellisse + = ( > b) b può essere penst come luogo dei punti per i quli è costnte il rpporto delle distnze d un fuoco e d un direttrice, ed in tl cso h come direttrici le due rette =± c mentre il rpporto costnte è ugule c b = ).

98 98 SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI SULL ELLISSE ( ) ( ) ( ± 9,) (, ± 5) ( ±,) (, ± 5) = 5 ± 5, ) F, ( ±, ); k = ; e= b =, ± 5 = 9 ) F, (, ± ); k = ; e= b = 5 5 ) ) 5) 6) 7) = F, ( ±, ); k = 6; e= b = 5 ( ± 5,) (, ± ) = 5 + = ; F, ( ±, ); k = ; e= 5 9 b = 5 5 5, = ± F,, + = ; k e 5 ± = ; = 5 b = 6 9, ± = ( ±, ) + = F,, ; k ; b, ± = = e = ±, = ± 5 5 F,, + = ; k e ± 5 = ; = b = 5 9, ± 5 8) = ( ± ) + =, F, ( ±, ); k = ; e = = b =, ± ( ) 9) + = ) + = ) + = ) + = ) 5 + = opp. + = opp = 6 ) + = ) + = F, (, ± 6 ); k = 6 6) = opp. + 5 = ; F,, ; k ± = 5 7) + = ; F, ( ±, ); k = 5 6 8) + = ; F, (, ± 5 ); k = ) + = ; F, (, ± ); k = 6 ) + = ) + = ) + = ) + = ) + = 5) + = ) + = 7) + = 8) + = opp. + = 9) + = opp. + = ) + = ) + = ) + = opp. + = ) + = ) + = 5) + = 6) + = opp. + = / 5 99/ 5 99/ 5 / 5

99 : poiché il risultto di un rdice qudrt è sempre, in tutti i csi l equzione ottenut ndrà bbint ll condizione. Le curve in questione srnno delle semiellissi. 7) + =, con 8) + =, con 9) + =, con ) + =, con ) Ellisse con k > ) Ellisse con k > In tl cso, l ' ellisse h SEMPRE i fuochi sull ' sse Ellisse coi fuochi sull ' sse con k > Circonferenz per nessun vlore di k Ellisse coi fuochi sull ' sse con < k < Circonferenz con k = ) Ellisse con k > Ellisse coi fuochi sull ' sse con k > Ellisse coi fuochi sull ' sse con < k < Circonferenz con k = ) Ellisse con < k < 7 Ellisse coi fuochi sull ' sse con < k < 7 Ellisse coi fuochi sull ' sse con < k < Circonferenz con k = 5) = 6 6) 5 5 = 7) = + 8 8) = + 6, = 5 9) = +, = ) = +, = ) + = oppure + = 5) + = opp. + = 5) + = 5) TROVI LE RISOLUZIONI COMPLETE DEGLI ESERCIZI 55 7 ALLE PAGINE 5 55) sse mggiore km,99 8; e,67 56) Coi dti forniti, si trov e,55 57) d = b + b 58) Vedi pg. 59) b + b 6) lto qudrto I ) 9 9 6b) lto qudrto I) = b b 6) k = k = 6) b = / 6) ( b ) + 6) re = lto qudrto II ) = 8 89 = 89 9 lto qudrto II ) = b + = 8 lto qudrto III ) = = lto qudrto III ) = b + b + + b 65), b ;, b ;, b ;, b 8 66) (, );, 7 67), 5 68) ( + b ) 69) ) è un luogo puntiforme b) è il luogo vuoto 7, 7, 7) Vedi pg. 5

100 RISOLUZIONE DI ALCUNI FRA GLI ESERCIZI 55) Qundo l Terr si trov in felio (il punto di mssim distnz dl Sole) tle distnz misur circ km,5 8. L distnz minim ( perielio ) è invece di km,7 8 circ. L orbit dell Terr intorno l Sole è di form ellittic, e il Sole ne occup uno dei fuochi. Spresti, prtire d questi dti, determinre pprossimtivmente l sse mggiore dell ellisse? E l eccentricità? (Troveri che è dvvero piccol piccol determin il suo vlore con cifre significtive) sse mggiore km,5 + km,7 = km,99 distnz focle km km = km,5 8 e,67,99 8 L' orbit è " qusi circolre": eccentricità molto piccol 8 8 8,5 8,7 8,5 8 56) Anche l orbit dell Lun intorno ll Terr è ellittic; l Terr ne occup uno dei fuochi. Il perigeo è il punto di minim distnz dell Lun dll Terr: l distnz è di circ 6mil chilometri. L'pogeo è il punto di mssim distnz dell Lun dll Terr: distnz pri 5mil chilometri circ. E mggiore l eccentricità dell orbit lunre intorno ll Terr o quell dell orbit terrestre intorno l Sole? sse mggiore km 5 + km 6 = km 768 e =, 57 distnz focle km 5 km 6 = km ) Qunto distno dll origine i punti di intersezione delle due ellissi + = e + =? b b b + = b ( b ) b b + = b b b b b = = = b b b + = b + = ( b + ) ( b ) b b ( b ; d ' ltronde, se fosse b = si trtterebbe di cinconferenze!) b b = =± + b + b b P = + b b b Per evidenti motivi di simmetri, si vrà pure P = P = d cui d = + b + b ( il tringolo OHP h gli ngoli di 9,5,5 : in tli tringoli, si h ipotenus = cteto ) b i vlori ssoluti delle ordinte di due punti con l stess sciss, situti rispettivmente s ull ellisse e sull circonferenz circoscritt ll ellisse, stnno fr loro come b:. 58) Dimostr che in un ellisse + = ( > b) Ellisse : + = b b b b =± b b = ; = ; = b = ; =± ( ) ( ) Circonferenz dirggio : + = ; = ; =± Rpporto fr i vlori ssoluti delle ordinte di due punti con l stess sciss : b b =

101 59) Determin l misur del lto del qudrto inscritto nell ellisse di equzione + = b = + = b + = b b = = = b b b b b =± + b d cui b lto qudrto inscritto = + b + = b 6) Determin l misur del lto del qudrto circoscritto ll ellisse di equzione + = b Ricerc dell equzione dell rett, inclint di 5 in disces e tngente ll ellisse nel qudrnte: = + k ( + k) + b = b + ( + k) = b b + k + k = b + + = Δ = ( b ) k ( k b ) ( k ) ( + b )( k b ) = k ( k b bk b ) k + = + b bk + b = k k = b + b b k = + b k = + b ( ) lto qudrto circoscritto = + b = + b ( in un tringolo con gli ngoli di 9,5,5, si h ipotenus = cteto ) 6) Dt l ellisse + =, determinre l re del rettngolo inscritto, vente due lti pssnti per i fuochi. + = + = =± =, b =, c = b = = c= F, ( ± ) = =± =± =± bse =, ltezz = = =, re =

102 6) Le figure I), II), III) mostrno l ellisse + = 5 6 e un qudrto con due vertici su di ess (un solo vertice nell ultimo cso) e gli ltri vertici sugli ssi crtesini. Determinre il lto del qudrto in questione. I) II) III) =± = 5 5 = 5 = 5 = 5 9 = = 9 = 9 lto qudrto I) = = =± = 5 = 6( 5 ) = = = 6 = = lto qudrto II) = = = 5 6 = + = = = = = lto qudrto III) = = 6b) Generlizzimo: rispondi gli stessi quesiti I), II), III) dell esercizio precedente con riferimento ll ellisse di equzione + = b b b =± =± b b = = b = b = b b b ( ) = = b b = ( + b ) = b ( + b ) = b b = + b b = b + b = + b b = b + b lto qudrto I) = + b lto qudrto II ) = + b + = b = + = b b + = b + b = b ( ) b = + b b = + b b lto qudrto III ) = b + b

103 6) Intersec l ellisse = con un rett = k ( k > ) in modo che il rettngolo in figur bbi re + = = 6 ltezz rettngolo = k 5 5 bse rettngolo = 6 = 6 k 5 Are rettngolo = 6 k k ( )( ) 5 6 k k = ; 6 k k = ; 6 k k = 8; k 6 k + 8 = = ; = = = = = k k k k k k 6) Nell ellisse + = determin b in modo che si unitrio il lto del qudrto inscritto nell ellisse. b b b = ( il lto del qudrto inscritto vle, vedi esercizio 59) + b + b b = = ; b= + b ; b = + b ; b = ; b = + b 65) Nell ellisse + = determin i punti di conttto delle quttro tngenti b prllele lle digonli del rettngolo circoscritto ll ellisse. Il coefficiente ngolre dell digonle scendente è ( ) b m =. + = b b = + k b k + b b k k + = ; + k k ; ; b + + = = b b b b+ b+ bk + k= b; b + bk + k b= Δ = bk b k b = ; b k b k b = ; ( ) + = ; = ; = ; =± k k b k b k b k b + = b b = + b b + bb + b b = ; b b b b b = = b b... + = + = = + b + ( ) = ; + = Oltre l punto b, così trovto gli ltri punti di tngenz sono evidentemente, b b b, ;, ;, per motivi di simmetri,

104 66) Sull ellisse di equzione + =, determinre i punti equidistnti dl fuoco superiore e dl vertice che si trov sul semisse delle scisse positive. Il luogo dei punti del pino, equidistnti dgli estremi di un segmento, è l sse di quel segmento! ( ) ( ) + = + =, F, V ( ) ( ) ( ) ( ) sse di FV : + = = + + = = + + = + = = + = + = = + = + + = = = ± + 8 = =... = (, );, = = = = = = 9 67) Determin le coordinte del punto in cui l normle (perpendicolre ll tngente) ll ellisse + = nel suo punto P, vente ordint e pprtenente l qudrnte, intersec ulteriormente l ellisse. + = = = = =± =± P, Tngente ( regol sdoppimenti): ; ; m + = + = = + = mnormle = = ( ) Normle : = + = = + Intersezione dell normle trovt con l ' ellisse : + + = = = 5 ± + 7 ± 7 ± 6 = 7 = = = = = 7 7 = Q = = + = + = + = = = 5, 5

105 68) Qul è l lunghezz del segmento che un ellisse stcc sull digonle del rettngolo circoscritto? + = b b = b + b 5 = = = + = b =± b b =± =± b b + b + b PQ = OQ = + = + = = = + ( b ) 69) ) è un luogo puntiforme: l unico punto (, ) che soddisf ll equzione è inftti l origine (,). b) è il luogo vuoto: l su equzione non è inftti verifict d lcun coppi (, ). 7) Dt un ellisse di costnte ( = somm costnte), giustific rigorosmente l seguente ffermzione: i punti interni ll ellisse sono tli che PF+ PF < ; per quelli esterni si h invece PF+ PF >. P Si P un punto interno ll ellisse. Congiungimo P con F ed F ; prolunghimo l congiungente FP fino d incontrre l ellisse in P. Essendo, per l disuguglinz tringolre su PPF, PF < PP + PF, srà P F + P F < P F + P P+ PF = PF + PF =. E in modo del tutto simile si prov l second prte dell sserto. 7) Dimostr che, dt un circonferenz γ di centro O e un punto A interno d ess, il luogo dei punti del pino venti l proprietà di essere equidistnti d γ e d A è un ellisse. Dove si trovno i fuochi di quest ellisse? Dll figur: PA + PO = PB + PO = r = costnte Ellisse di fuochi A, O 7), b<, c= b P (, ) F = ( c, ) PF c = = c PH ( ) ( ) ( b ) + ( ) c + c b = ; = ; c b b ; b b + b + = b ; b b + b + = b + b + = b + b + = b ; b b + = b + ; b + = b ; b b + b b = ; + = b b

106 ESERCIZI SULL ELLISSE TRASLATA 6 ) (Esercizio svolto) Scrivi l equzione del LUOGO dei punti P(, ) del pino crtesino per i quli l distnz dl punto A,) ( è ugule / dell distnz dll rett r: = 5. Troveri un ellisse in posizione NON cnonic: determinne il centro, i semissi, i vertici, i fuochi, l eccentricità. P (, ) A(, ) r: = 5 d( P,A) = d( P, r) ( ) + ( ) = 5; ( ) + = 5; + + = = + ( ) 9 5; ; + = + = ( ) + = + + = ; ; 8 9 6; 8 9 6; 8 9 6; 8 + = + 9 = 8; + = 9 Si trtt di un ellisse trslt di centro C (, ) =, 9 semissi = =, b= vertici ( ) (, ) ( ) ±, =, ± =, e ( b) = ;, ± =, ±, ± = semidistnz focle ottenibile (essendo > b) dll formul 9 c = b = = c= (, ) fuochi ( ± c, ) =, ± =, ( ) Determin centro, semissi, vertici, fuochi, costnte ed eccentricità dell ellisse di equzione: ) ( ) ( ) + = ) ( + 7 ) ) ( ) = 6) ( ) + = ) ( ) ( + ) 9 6 Port le seguenti equzioni di ellissi trslte sotto l form ( ) ( ) + = b così d determinrne il centro e i semissi: 8) + = = 7) ( ) ( ) = = 9) = ) = ) = 59 ) = 8 ) = ) + 6 8= 6 5) = ) = 88 7) = 7 8) = 9) =

107 Scrivi l equzione dell ellisse trslt con le seguenti crtteristiche (C centro di simmetri, semisse orizzontle, b semisse verticle, c semidistnz focle, k = somm costnte, e = eccentricità) ), b, centro di simmetri C(, ) ) F ( 5, ), C( 6, ), = 5 ) F(, ), F(, ), k = ) ( ) ( ) 7 = = ) Vertici (, ); (, ); ( 7, ); ( 7,+ ) 5) Centro in C(, ), pssggio per P, 5, b = 6 6) Pssggio per i punti, ; (, );, 5 ; ( 5,) 5 7) Centro in C,, un fuoco in, pssggio per P, ( ) F(,) ( ) 8) Un fuoco in F(, ), due vertici opposti in, e, 5 9) Fuochi in F (, ) ed F (, ), pssnte per P, ) D quli punti è formto il grfico delle curve seguenti? ) + + = b) + + = c) = RISPOSTE = 5 (,) ( 7,) ) C(,) F(, ), F( 6, ); k = ; e= b =,, 5 ) ( ) ( ) ( ) ( 6, ) (, ) ( ) ( ) k ( 7, ± 5) (, ) ( 6, ) ( ) ( ) (, ) (, 6) (,) (,) = 9 C 7, F 7,, F 7, ; = ; e= b = 5 5 = 5 C, F,, F, ; k = ; e= b = 5 ) ( ) ) C, = 5 5 F,,F, ; k ; e,, + = = b = 6) ( ) (,) ( +,) (, ) (,) ( ) ( ) = 5 C, F 5,, F + 5, ; k = 6; e= b = 7) ( ) (, ) (, ) = 8 C, F 6 6,,F, ; k ; e b,, 5 5 = = = ) ( ) 5 + ( + ) = 9) ( ) ( ) ) ( ) ( ) + = ) ( + ) ( ) ) ( ) ( 5) + = + = ) ( + 5 ) 6 + = 9 8 ) 8) 7) + = ) ( ) + ( + ) = ) ( + 7 ) ( ) 9 ) ( ) ( 5 ) 8) 5 F,5, F 7,5, e =.8 + = ) ( + ) ( + ) + = 6 ( ) 9 + = 5 + = ) ( 6 ) = 5) ( + ) + = 6) = 9) ( ) ( ) + + = 5 + = 5 6 5) ( ) ( ) + = 9 6 ( + 9) ) + = + = ) ( + ) ( ) + = = 7) ( + ) ( ) ) Dl solo punto (, ) ) b) E il luogo vuoto c) Dl solo punto (, ) + = 8

108 8 ESERCIZI MOLTO BELLI MA DIFFICILI (trovi le risoluzioni dei primi tre d pg. ) ) Disegnre un ellisse utilizzndo due circonferenze concentriche Trcci l circonferenz di centro l origine e rggio, poi un ltr circonferenz di centro l origine m di rggio b diverso d. Se or conduci dll origine un semirett s che intersechi l circonferenz di rggio in A e quell di rggio b in B, e indichi con P l intersezione fr l prllel ll sse per A e l prllel ll sse per B, IL LUOGO DELLE POSIZIONI DI P SARÀ UN ELLISSE!!! Giustificre quest ffermzione è molto semplice se si hnno nozioni di goniometri. M senz coinvolgere l goniometri, ci si può ugulmente riuscire ricvndo l equzione del luogo innnzitutto in form prmetric, per poi pssre successivmente ll form crtesin. Si clcolernno le coordinte di A e di B ttrverso l intersezione fr l rett = m e le due circonferenze, poi se ne dedurrnno le coordinte di P (che conterrnno il prmetro m) e infine si eliminerà m fr le due equzioni =..., =... ottenute. Ci vuoi provre? ) Costruzione dell tngente un ellisse in un suo punto b) Podri di un ellisse rispetto un fuoco Ecco un metodo per trccire l tngente d un ellisse in un suo punto P. I. Con centro in un fuoco F si trcci l circonferenz vente rggio ugule ll sse mggiore dell ellisse (quindi nche ll somm costnte PF+ PF); II. poi si congiunge F con P e si prolung tle congiungente fino d incontrre l circonferenz in un punto W; III. infine si trcci l sse r di WF. Tle sse psserà per P (P è inftti equidistnte dgli estremi di WF, perché PW = FW PF = ( PF+ PF) PF= PF) e srà l tngente cerct, come si dimostr (provci!) prendendo, sull sse r, un ltro punto P' distinto d P e fcendo vedere che esso non può pprtenere ll ellisse. (Per quest dimostrzione, bst l vecchi geometri sintetic, ossi senz coordinte) Definizione - Si dice PODARIA (NOTA) di un curv rispetto un punto (detto polo) il luogo geometrico delle proiezioni di quel punto sulle rette tngenti ll curv. NOTA : podàri, con l ccento sull prim : ossi curv dei piedi, curv delle proiezioni A prtire dll figur, ti chiedo di giustificre, ncor con l geometri sintetic, che: In un ellisse, l PODARIA DI UN FUOCO è l circonferenz vente per dimetro l sse mggiore Indiczioni per l dimostrzione: detti M, N i punti medi di FF e di WF, consider l congiungente MN

109 9 ) Proprietà focle dell ellisse in relzione ll riflessione dell luce Un proprietà notevole dei fuochi di un'ellisse consiste nel ftto che l normle ll ellisse in un suo punto (si dice normle l perpendicolre ll tngente) divide per metà l ngolo formto di segmenti che uniscono questo punto con i due fuochi. Di conseguenz un rggio di luce che prt d uno dei fuochi e colpisc l ellisse, verrà riflesso nell ltro fuoco. Lo stesso vle per le onde sonore: se si bisbigli in un fuoco di un cmer volt ellittic (NOTA), le onde sonore si rifletternno sull volt e ndrnno concentrrsi tutte nell ltro fuoco, dove potrnno essere udite distintmente d un person che occupi quell postzione. Le ltre persone nell stnz non sentirnno null! Idele per spettegolre!!! NOTA tle cioè che il soffitto si un pezzo di ellissoide di rotzione, ossi bbi l form che si otterrebbe ruotndo un ellisse intorno d un suo sse, in questo cso l sse non contenente i fuochi. Vedi figur qui finco, trtt dl sito dell mostr virtule Oltre il compsso. Vuoi provre dimostrre quest proprietà? Ai fini dimostrtivi, l ellisse è colloct in un riferimento crtesino, in posizione cnonic. Vedi figur qui finco: t è l tngente ll ellisse in un suo punto P, n è l normle in. Si trccino le congiungenti PF e PF e, prezzo di impegntivi clcoli, si f vedere che, scrivendo l equzione dell bisettrice dell ngolo FP F, si ottiene l equzione dell normle in. P P ) Sino A, B due punti fissti, e r > AB un segmento. Dimostr che il luogo dei centri C delle circonferenze che pssno per B e sono tngenti ll circonferenz di centro A e rggio r, è un ellisse vente per fuochi A e B. 5) Dimostr che, dt un circonferenz γ di centro O e un punto A interno d ess, il luogo dei punti del pino venti l proprietà di essere equidistnti d γ e d A è un ellisse. Dove si trovno i fuochi di quest ellisse? 6) Dt un ellisse + =, giustific rigorosmente l seguente ffermzione: b preso un punto P (, ) se esso è interno ll ellisse, llor + < ; b se invece è esterno, si h + >. b 7) Dt un ellisse di costnte ( = somm costnte), giustific rigorosmente l seguente ffermzione: i punti P tli che PF + PF < sono interni ll ellisse; quelli per cui PF + PF > le sono esterni.

110 RISOLUZIONI ) Disegnre un ellisse utilizzndo due circonferenze concentriche = m A: + = ; ( ) + m = + m = = + m =± =± + m + m m = m =± + m e llo stesso modo b =± = m B :... + m b + = mb =± + m Dunque il punto P dell figur (che è poi il generico punto dell curv che ci interess) h coordinte dte d: mb = = ± ; = = ± + m + m P A P B dove vlgono o i due segni + contempornemente, oppure i due segni contempornemente. =± Le equzioni + m sono le equzioni prmetriche del luogo. mb =± + m Pssimo or ll equzione crtesin, risolvendo rispetto l prmetro m e sostituendo. Innnzitutto, llo scopo di isolre il prmetro, conviene dividere membro membro le due equzioni, ottenendo mb = m = b Dopodiché potremo scrivere b =± = = = b b b b b Possimo questo punto semplificre per (osservimo per l occsione che i pssggi precedenti erno effettubili solo supponendo ; vedremo in che modo l sciss null, per or provvisorimente esclus llo scopo di poter effetture determinti pssggi lgebrici, si recuperbile ll fine), ottenendo: b + = b che, divis per b, fornisce + = ellisse cnonic di semissi, b. b Avevmo escluso dll nostr considerzione l sciss ; possimo or osservre che i punti P di sciss ottenibili con l costruzione descritt (semirett condott dll origine intersezioni di quest con le due circonferenze P = A, P = B) sono i due punti (, ± b), che risultno nch essi soddisfre ll equzione ottenut. Dunque effettivmente l + = è l equzione del luogo in questione. b

111 ) Costruzione dell tngente un ellisse in un suo punto Ecco un metodo per trccire l tngente d un ellisse in un suo punto P. I. Con centro in un fuoco F si trcci l circonferenz vente rggio ugule ll sse mggiore dell ellisse (quindi nche ll somm costnte PF+ PF); II. poi si congiunge F con P e si prolung tle congiungente fino d incontrre l circonferenz in un punto W; III. infine si trcci l sse r di WF. Tle sse psserà per P (P è inftti equidistnte dgli estremi di WF, perché PW = FW PF = ( PF+ PF) PF= PF) e srà l tngente cerct, come si dimostr (provci!) prendendo, sull sse, un ltro punto P' distinto d P e fcendo vedere che esso non può pprtenere ll ellisse. Preso sull sse r di WF un punto P' distinto d P, vremo: P'F+ P'F = P'F+ P'W (inftti P'F = P'W perché P' pprtiene ll sse di WF, e i punti dell sse di un segmento sono equidistnti dgli estremi del segmento stesso). M + > P'F P'W F W (per l disuguglinz tringolre su P'F W : in un tringolo, ciscun lto è sempre minore dell somm degli ltri due), quindi P'F + P'F > F W = PF + PF. Poiché l somm P'F+ P'F NON e ugule ll costnte PF + PF dell ellisse, P' non può pprtenervi, c.v.d. b) Podri di un ellisse rispetto un fuoco Si dice PODARIA di un curv rispetto un punto (detto polo), il luogo geometrico delle proiezioni di quel punto sulle rette tngenti ll curv. Dimostr che In un ellisse, l PODARIA DI UN FUOCO è l circonferenz vente per dimetro l sse mggiore Nell figur compiono (vedi il precedente esercizio ) l tngente r d un ellisse in un suo punto P, costruit come sse del segmento WF, e l proiezione N del fuoco F su tle tngente. Detti M, N i punti medi dei segmenti FF e WF rispettivmente, vremo che il segmento MN, in qunto congiungente i punti medi di due lti del tringolo FF W, è ugule ll metà del terzo lto FW. M FW h lunghezz costnte l vrire di P: dunque nche MN, l vrire di P, h lunghezz costnte. E perciò il punto N, l vrire di P, descrive un circonferenz di centro M e rggio ugule ll metà di FW, quindi dimetro ugule FW=ssemggiore dell'ellisse.

112 ) Proprietà focle dell ellisse in relzione ll riflessione dell luce Il nostro obiettivo è di fr vedere che se si prende un qulsivogli punto P (, ) e si considerno le due congiungenti e PF, n PF l normle ll ellisse in P coincide con l bisettrice dell ngolo FP F. dell ellisse Utilizzndo l regol degli sdoppimenti, scrivimo innnzitutto l equzione dell rett tngente ll ellisse in P (, ) + = b b+ = b : b b b b = ; = + m t il coefficiente ngolre dell rett tngente, vremo: b t = mn P n = b P Perciò, indicto con m e di conseguenz, detto il coefficiente ngolre dell normle ll ellisse in, srà m Scrivimo or l equzione dell normle n in : n: = mn ( ) = ( ) b = + b b Or scrivimo le equzioni delle due rette e PF ; PF successivmente potremo determinre l equzione dell bisettrice dell ngolo FP F. Rett PF, con F ( c,) e P (, ) : = + c = + c ( + c) = ( + c) + c = + c c + c = ( + c) + c =

113 Rett PF, con P (, ) e F ( c,) : c = c ( c) = ( c) c = c + c c = ( c) c = Equzione dell bisettrice dell ngolo FP F individuto d PF e PF : bisettrice = P, / d P, P F = d P, P F { ( ) ( ) ( ) } ( + c) + c ( c) c = + ( + c) + ( c) dove possimo osservre che i denomintori coincidono con le distnze PF e PF rispettivmente. Sciogliendo il vlore ssoluto vremo ( + c) + c ( c) c =± + ( + c) + ( c) e, fr le due rette bisettrici dei due ngoli opposti l vertice formti dlle rette PF e PF, ndimo considerre quell ottenibile utilizzndo il segno. Inoltre, per opportunità di clcolo, cmbimo di segno entrmbi i numertori. Dunque: ( + c) c ( c) + c = PF PF PF ( + c) PF PF c= PF ( c) + PF PF c PF + PF c PF PF c= PF + PF c+ PF PF c (PF + PF ) + c(pf PF ) (PF + PF ) c(pf PF ) = Moltiplichimo or tutto per PF + PF e otterremo, tenendo conto che ( ) PF + PF = ( ) = e PF PF = c, l equzione c + c = ( c) + c = ( c) = c Ricordndo or che c = b potremo scrivere: b = c ; c c = ; = b b b Utilizzimo l relzione c = b e vremo: ( b ) = b b b = + b M l ultim equzione scritt (che è, ricordimolo ncor, l equzione dell bisettrice dell ngolo formto dlle due rette PF e PF ) risult coincidere con l equzione dell normle ll ellisse in d noi determint ll inizio! L sserto è perciò dimostrto. P

114 . L IPERBOLE NEL PIANO CARTESIANO DEFINIZIONE DI IPERBOLE Si dice iperbole il luogo dei punti del pino per i quli è costnte l differenz delle distnze d due punti fissi, detti fuochi : PF PF = costnte Indicheremo l differenz costnte con k, e l distnz fr i due fuochi ( = distnz focle) con c. Si osserv che l curv è distribuit su due rmi distinti: il rmo costituito di punti P per i quli PF PF = k il rmo costituito di punti P per i quli PF PF = k Con riferimento ll figur, ricordndo che in un tringolo l differenz fr due lti è sempre minore del terzo lto, vremo k = PF PF < FF = c. Se scegliessimo k > c, il luogo dei punti P per cui PF PF = k srebbe vuoto; se poi prendessimo k = c, il luogo degenererebbe in dillo tu! Insomm: dovrà essere k < c ( k < c) ffinché il luogo non si né vuoto, né degenere. Si intuisce, si constt d buoni disegni, e si potrebbe fcilmente dimostrre, che un iperbole è dott di due ssi di simmetri: l rett pssnte per i due fuochi (dett sse focle ) e l sse del segmento che h per estremi i due fuochi ( sse trsverso ). L curv possiede pure un centro di simmetri (detto, per brevità, semplicemente il centro dell iperbole): esso è l intersezione O fr l sse focle e l sse trsverso, ossi il punto medio del segmento che h per estremi i fuochi. Si dicono vertici dell iperbole, i punti di intersezione dell curv con l sse focle. E fcile dimostrre che, in un iperbole, l distnz tr i vertici è ugule ll costnte dell iperbole (ossi ll differenz costnte di cui prl l definizione, quell che bbimo indicto con k ). Con riferimento ll figur qui finco, inftti, poiché per ogni punto P del rmo destro dell iperbole si h PF PF = k ed essendo V un punto del rmo destro dell iperbole, srà pure VF VF = k quindi VV + VF VF = k dove nel semplificre bbimo tenuto conto che è VF = V F per motivi di simmetri.

115 Per semplicità, supporremo inizilmente che gli ssi del riferimento crtesino coincidno con gli ssi di simmetri dell iperbole. In queste condizioni, si prlerà di iperbole riferit i suoi ssi, o nche di iperbole in posizione cnonic (brevemente: iperbole cnonic ). 5 L EQUAZIONE DELL IPERBOLE Se l iperbole è in posizione cnonic, il centro di simmetri dell iperbole coinciderà con l origine e i fuochi strnno o sull sse, o sull sse. In ciscuno dei due csi, l origine srà il punto medio del segmento F F. Supponimo dpprim che i fuochi stino sull sse. In questo cso, l posto di indicre l differenz costnte con k, l indicheremo con (quest scelt è dettt d motivi di opportunità che lo studente comprenderà posteriori). Avremo dunque: F ( c,); F ( c,) P(, ) PF PF = Quest equzione equivle PF PF =± ossi PF PF = PF PF = (PF PF = ). Perciò se P(, ) pprtiene ll curv si vrà PF PF =± d cui seguono le uguglinze (*) ( + c) + ( c) + =± + c+ c + =± + c+ c + + c + c + = + c + c + ± c+ c + c =± c + c + ± c+ c + = c c + c + = c c + ( c ) + = ( c ) Essendo or k < c ( k < c) srà nche = k < c, quindi < c, e dunque c <. Converrà perciò cmbire i segni di tutti i termini, ottenendo ( c ) = ( c ) Poiché si h c >, potremo porre c = b, e l nostr equzione diventerà b = b. Dividendo or per b otterremo: (**) = ( b = c ) b Abbimo fin qui ftto vedere che, se un punto P (, ) pprtiene ll iperbole di fuochi F( c,); F ( c,) e costnte, llor le coordinte (, ) di P verifichernno l equzione (**). Si può poi dimostrre che vle nche il vicevers, ossi che, se un punto (, ) è tle che le sue coordinte verifichino l (**), llor (, ) pprtiene ll iperbole di fuochi F( c,); F ( c,) e costnte. Rest così stbilito che l iperbole di fuochi F ( c,); F ( c,) e costnte h equzione = ( b = c ) b

116 E se i fuochi stessero sull sse? 6 In questo cso, l posto di indicre l differenz costnte con k, l indicheremo con b e, ftti i clcoli, otterremo b + ( b c) = b( b c) Essendo or k < c ( k < c) srà nche b= k < c, b < c, b c < Cmbieremo perciò i segni di tutti i termini: b + ( c b) = b( c b) Grzie ll positività di c b, potremo porre c b =, ottenendo b + = b; b = b Dividendo infine per b l equzione ssumerà l form = ( c b = ) b Ricpitolimo: Considert un iperbole cnonic coi FUOCHI SULL ASSE, se si indic con c l su distnz focle e con l su costnte, l su equzione è = ( b = c ) b Considert un iperbole cnonic coi FUOCHI SULL ASSE, se si indic con c l su distnz focle e con b l su costnte, l su equzione è = ( = c b) b Si cpisce questo punto che l scelt di indicre l costnte dell iperbole ( = l differenz costnte di cui prl l definizione) con nziché con k qundo i fuochi stnno sull sse, con b nziché con k qundo i fuochi stnno sull sse, è motivt dl ftto che, in questo modo, si ottengono, nei due csi, due equzioni con ugul primo membro. Occhio però: qundo i fuochi stnno sull sse, il secondo membro è +, mentre qundo i fuochi stnno sull sse, il secondo membro è. In definitiv, un iperbole cnonic h sempre equzione dell form =± e precismente: b = se i fuochi sono in orizzontle (in questo cso, l costnte è ) b = se i fuochi sono in verticle (in questo cso, l costnte è b ) b Or ci domndimo: dt un equzione dell form =, ess rppresenterà sempre b un iperbole coi fuochi in orizzontle, qulunque sino i vlori dei due prmetri, b? L rispost è ffermtiv. Inftti: posto c = + b, se ndimo ricvre l equzione dell iperbole di fuochi ( ± c,) e costnte, otterremo proprio = b E dt un equzione dell form =, ess rppresenterà sempre b un iperbole coi fuochi in verticle, qulunque sino i vlori dei due prmetri, b? L rispost è ffermtiv. Inftti: posto c = + b, se ndimo ricvre l equzione dell iperbole di fuochi (, ± c) e costnte b, otterremo proprio =. b

117 7 RIASSUNTO DEL RIASSUNTO SULL IPERBOLE NEL PIANO CARTESIANO Cso dei fuochi in orizzontle: PF PF = = b con b = c c = + b Cso dei fuochi in verticle: PF PF = b = b con = c b c = + b Se è dt un equzione dell form =±, b noi sppimo che ess rppresent un iperbole in posizione cnonic, nel senso che gli ssi di simmetri dell curv coincidono con gli ssi crtesini. Pertnto, se prendimo l equzione dt e l ponimo sistem prim con l equzione dell sse ( = ) e poi con l equzione dell sse ( = ), otterremo che uno degli ssi crtesini viene intersecto dll curv, l ltro no. L sse che viene intersecto dll curv, ne è l sse focle; i punti di intersezione trovti sono i vertici dell iperbole. E poi sempre utilissimo ricordre che l costnte dell iperbole (NOTA) è sempre ugule ll distnz tr i due vertici. NOTA: Per costnte dell iperbole intendimo l differenz costnte di cui prl l definizione, quell che vevmo in generle indicto con k, e che per l iperbole cnonic bbimo preferito indicre con nel cso i fuochi fossero in orizzontle, con b per fuochi in verticle Si qundo l equzione è =, si qundo è =, vle l relzione c = + b b b che permette di ricvre l semidistnz focle c (e quindi le coordinte dei fuochi), prtire di due prmetri, b. Inversmente, qundo un problem mi prl di un iperbole cnonic, devo pensre d un iperbole riferit i suoi ssi, cioè d un iperbole colloct in un sistem di riferimento i cui ssi crtesini coincidno con gli ssi di simmetri dell iperbole. So che l equzione srà dell form =±, b e precismente: = se i fuochi sono in orizzontle, = se i fuochi sono in verticle. b b Si trtterà di determinre i vlori delle due costnti, b (o direttmente:, b), sfruttndo due opportune condizioni che il problem mi fornirà.

118 8 GLI ASINTOTI DI UNA CURVA Avri notto che, qundo ci si llontn di fuochi, l iperbole tende d ttenure l su curvtur, ssumendo un ndmento qusi rettilineo. In effetti si può dimostrre che esistono due rette, dette gli sintoti dell iperbole, lle quli l curv si vvicin sempre più, mn mno che ci si llontn di fuochi. Per drti un ide preliminre, seppure sommri, di cos si intend, in Mtemtic, per sintoto, ti dirò che si prl di sintoto ogniqulvolt si è in presenz di un rett, ll qule un curv si vvicin indefinitmente, si vvicin di tnto qunto noi voglimo, qundo il punto sull curv viene ftto llontnre indefinitmente, viene ftto tendere ll infinito. L IPERBOLE POSSIEDE DUE ASINTOTI! E possibile dimostrre che un iperbole è un curv dott di due sintoti. A tle scopo, pensimo l iperbole colloct in un riferimento crtesino, con gli ssi scelti in modo d coincidere con gli ssi di simmetri dell iperbole (posizione cnonic). Supponimo inoltre che i fuochi stino sull sse. L equzione dell curv srà llor = b e il grfico si presenterà come nell figur qui finco. Nell stess figur è rppresentt nche un rett per l origine, di equzione = m. Ponimo sistem tle equzione con l equzione dell iperbole: vremo = () b = m L equzione risolvente del sistem è () ( b m ) = b che divent () b = sotto l condizione b b m ossi m ±. b m b Qundo m =± l equzione () non può essere portt sotto l form (), e risult impossibile ( = priv di soluzioni); m l equzione () è impossibile pure se il secondo membro dell () è negtivo. b Or, si h b m < se e solo se ( b b b m < m b > ) ossi m < m >. In definitiv: dt l iperbole =, b un rett = m b b NON l intersec se è m m ; b b invece l intersec qundo m < <. Possimo nche dire che l iperbole = b è tutt contenut ll interno dell coppi di ngoli opposti l vertice b b che hnno per lti le due rette = e = e sono bisecti dll sse. b Le due rette =± ( trtto continuo nell figur)

119 9 sono, fr le rette per l origine, le prime non intersecre l iperbole. Dimostreremo or che esse fnno d sintoti obliqui per l iperbole, nel senso sopr specificto: un punto sull curv molto lontno è vicinissimo ll rett. Inftti: esplicitimo l equzione dell nostr iperbole rispetto : = b = b; b = b b; b b b ; = =± Noi considereremo innnzitutto quell prte dell nostr iperbole, che cde nel primo qudrnte, cioè quell prte di iperbole che è b =+ individut dl sistem > e fremo vedere che mmette come sintoto obliquo l rett b =. b Detto P il punto di sciss > dell curv =, b e detto P' il punto, vente l stess sciss, dell rett =, ci proponimo di fr vedere che l differenz P' P fr le rispettive ordinte (corrispondente, nell figur, ll lunghezz del segmento PP' ), tende qundo tende ll infinito. b b b b + P' P = PP' = = ( ) = ( ) = + ( b ) b b = = = b Si h perciò P' P = PP' = ; m or, se pensimo di fr tendere + + (vle dire, se pensimo di ssegnre vlori positivi grndi, molto grndi, rbitrrimente grndi), il denomintore di quest frzione si frà grndissimo, mentre il numertore rest costnte, e quindi il vlore dell frzione diventerà piccolissimo. b Si esprime questo ftto scrivendo lim PP' = lim = b Considerzioni di simmetri ci portno or stbilire che ciò che vviene nel qudrnte con l rett =, b vverrà nche nel con l medesim rett, e vverrà pure nel e nel, con l rett =. b Abbimo così provto che le due rette =± fnno d sintoti obliqui bilterli (cioè: si con + che con ) per l iperbole =. b Si potrebbe nlogmente fr vedere che, nche nel cso dei fuochi in verticle (equzione = ), b b le equzioni dei due sintoti sono sempre =±. Ricpitolndo: tnto l iperbole = qunto l = b b mmettono come sintoti obliqui bilterli (cioè: si verso destr che verso sinistr ) b le due rette =±

120 ECCENTRICITA DI UN IPERBOLE Nell ellisse, l eccentricità er un numero, compreso fr e, tnto più grnde ( = più vicino ) qunto più l ellisse si discostv dll form circolre. Nel cso dell iperbole, l eccentricità è invece un numero mggiore di, che è tnto più grnde qunto più l forbice degli sintoti è divrict. Si pone, rigurdo ll iperbole, l seguente definizione: semidistnz focle semidistnz focle c e = = = semicostnte dell ' iperbole semidistnz fr i vertici k ed essendo il numertore mggiore del denomintore (NOTA), srà certmente e >. NOTA: Come sppimo, l costnte dell iperbole, ossi l differenz costnte di cui prl l definizione, è minore dell distnz focle: k < c k <c. Con riferimento d un iperbole cnonic, vremo e = c se i fuochi sono in orizzontle c se i fuochi sono in verticle b UNA VISUALIZZAZIONE DELLA RELAZIONE FRA, b, c ; UN METODO PER DETERMINARE GEOMETRICAMENTE L INCLINAZIONE DEGLI ASINTOTI Considerimo il cso in cui i fuochi sino in orizzontle; un nlog costruzione si potrebbe effetture coi fuochi i n verticle. Ricordimo che c = + b. Ne consegue che intersecndo l circonferenz di centro l origine e rggio OF = OF = c con l perpendicolre ll sse condott per il vertice (,), si ottengono due punti N, N' l cui distnz dll sse è un segmento di lunghezz b. Se questo punto si trccino le due rette O N, ON', esse vrnno perciò coefficienti ngolri b/ e b/ rispettivmente: srnno dunque gli sintoti dell iperbole.

121 ESEMPI DI ESERCIZI SULL IPERBOLE CANONICA ESEMPIO - Studi e disegn le iperboli cnoniche seguenti: = ; 9 6 = 9 6 = 9 6 =, b=, c= + b = 5 = 5 I fuochi sono in orizzontle perché il membro è +. Fuochi: ( ± 5,). Vertici: ( ±, ). b Asintoti: =± =±. c 5 Eccentricità: e = = = 9 6 =, b=, c= + b = 5 = 5 I fuochi sono in verticle perché il membro è. Fuochi: (, ± 5). Vertici: (, ± ). b Asintoti: =± =±. c 5 Eccentricità: e = = b ESEMPIO - Consider l iperbole cnonic di fuochi F (, ) ( ), = ± e vertici V, = ±,. Scrivi l equzione dell curv, e determinne gli sintoti e l eccentricità. Disegno. I fuochi sono in orizzontle, quindi equzione è dell form =. b Abbimo c = e =. Ricordndo che c = + b, si ricv b = 5 b= 5. L equzione è perciò =. 5 b 5 c Gli sintoti hnno equzioni: =± =±. L eccentricità vle e = =. ESEMPIO - Studi e disegn l iperbole cnonic, vente i fuochi sull sse, semidistnz focle, e pssnte per W(,). L equzione, poiché i fuochi sono in verticle, è dell form =. b L condizione di pprtenenz del punto W fornisce = ; si h poi + b = c =. b Ponendo sistem le due condizioni si trov: = + 5; b = 5, per cui l equzione è = Asintoti: b 5 5 =± =± =± =± 5 ±, c + 5 Eccentricità: e = = = = + 5,9 b

122 ESEMPIO - Scrivi l equzione dell iperbole cnonic coi fuochi sull sse, tngente ll rett di equzione = e pssnte per il punto ( ) A, 6. L equzione, poiché i fuochi sono sull sse, srà dell form =. b Occorre or porre condizioni per determinre i vlori dei prmetri, b. L 6 6 condizione può essere il pssggio per il punto A(, 6 ), che ci fornisce =. b L condizione è l tngenz rispetto ll rett =. Dovremo mettere sistem l equzione dell iperbole con l equzione dell rett, per poi, nell equzione risolvente del sistem stesso, porre Δ =. = = b = = b 9 + = = 6b 9 + = 6 b b 6b ( 6b 9 ) + ( + b ) = Δ = 6 + ( + b )( 6b 9 ) = Semplificndo per : 9 + ( + b)( b ) 6 9 = 9 + 6b 9 + 6b 6b = + 6b 9 = 9 6b = Dunque 6 6 6b 6 b 6b 6 = b = = b ; ; b b + b = = = 9 6b + 6b + 6b 6 = b 9 9 b 96b = 6b + b 6b b + = b b + 6= b 8b b + 6= b b b = ( ) ( ) ( b )( b ) = b = = = = = b = b b = = = = Ci sono pertnto due distinte iperboli che risolvono questo problem: un h equzione = 9 e l ltr h equzione = o nche = o 7 6 =

123 ESEMPIO 5 - Consider l curv di equzione =. Determinne le crtteristiche, disegnl, e scrivi l equzione dell rett che è d ess tngente nel punto di sciss. = = = ( ) = ; =, = Si trtt perciò dell metà superiore ( ) di un iperbole coi fuochi sull sse. V = ±, = ±,, I vertici di quest iperbole hnno coordinte ( ) ( ) F = ±, = ± +, 5 5 = ± +, = ±, = ±, ; b gli sintoti hnno equzioni =± =± =±, 5 c 5 l eccentricità è = i fuochi, ( c ) ( b ) L figur è l seguente:, ( ) 9 8 Il punto di sciss h ordint = = = = = = ed è dunque (, ). Trttndosi di un punto che pprtiene ll curv, l equzione dell rett tngente si può scrivere pplicndo l comod REGOLA DEGLI SDOPPIAMENTI, l qule fferm che l equzione dell rett tngente un curv di grdo γ nel suo punto (, ) si può ottenere effettundo, nell equzione + b + c + d + e + f =, le sostituzioni Nel nostro cso l equzione è (, ) =,, per cui si vrà = ed è ( ) t: = o nche t:+ + =.

124 IPERBOLE TRASLATA Se considerimo un iperbole, che si colloct nel pino crtesino in modo d essere trslt rispetto ll posizione cnonic, quest iperbole vrà il suo centro di simmetri in un punto P(, ) nziché nell origine, m vrà pur sempre gli ssi di simmetri, uno orizzontle e l ltro verticle. L equzione di un iperbole trslt, di centro (, ), è ( ) ( ) = ± ( + se i fuochi sono in orizzontle, se sono in verticle). b E chiro che l iperbole trslt eredit tutte le crtteristiche dell iperbole cnonic. In prticolre: l costnte dell iperbole ( = l differenz costnte di cui prl l definizione, l qule, è sempre importnte ricordrlo, coincide nche con l distnz tr i due vertici) è se i fuochi sono in orizzontle, b se i fuochi sono in verticle Vle l relzione c = + b, essendo c l semidistnz focle; b I coefficienti ngolri degli sintoti sono ±. Occhio, però: nche gli sintoti sono trslti! Essi non si incrocino più nell origine, bensì nel punto (, ) che f d centro di simmetri per l curv. b Le equzioni degli sintoti sono perciò = ± ( ) ESEMPIO - Scrivi l equzione dell iperbole trslt di fuochi F(,); F(,7) e costnte. Disegn l curv. c=, b= = 8 =. ( + ) Il centro h coordinte (, ) e perciò l equzione è ( ) =. 8 b Gli sintoti hnno coeff. ng. ± =± =± ±,5 ed equzioni =± ( +) DIETRO-FRONT: DALL EQUAZIONE ALLA CURVA Prendendo l equzione dell iperbole trslt di centro (, ) e liberndol di denomintori, si ottiene un equzione dll form: m + n + p + q + r = con m ed n DISCORDI. Vicevers, un equzione che si present sotto l form m + n + p + q + r = con m, n DISCORDI, può essere SEMPRE ricondott, col metodo del completmento dei qudrti, d un delle tre forme ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =+ ; = ; = b b b e quindi rppresent SEMPRE: un iperbole trslt (coi fuochi che potrnno essere in orizzontle, o in verticle); oppure, qulor il secondo membro risulti essere, un coppi di rette. In quest ultimo cso si pens d un iperbole degenere nei suoi sintoti. NOTA Ricorderi che un equzione dell stess form m + n + p + q + r =, m con m, n CONCORDI, potev rppresentre, second dei csi, un ellisse, oppure un luogo puntiforme, oppure il luogo vuoto. ESEMPIO - Studire l curv di equzione + = L equzione è di grdo in,, e mnc del termine rettngolre ; i coefficienti di, sono discordi; ess rppresenterà llor un iperbole trslt, eventulmente degenere nei suoi sintoti. Avremo: ( 6 ) = ; ( ) = ; ( ) + 6 = ; ( ) = e finlmente ( ) = : iperbole di centro C(,). Il secondo membro è, quindi i fuochi sono in verticle. =, b = c = + b = 5. L costnte dell iperbole è b =. I fuochi hnno coordinte (, 5); (, + 5) e i vertici sono (, ); (, ).

125 5 ESEMPI DI ESERCIZI SULL IPERBOLE TRASLATA ) Scrivi l equzione del LUOGO dei punti P (, ) del pino crtesino per i quli è costnte, e unitri, l differenz delle distnze di due punti A(,5) e ( ) B,5. Si trtt evidentemente di un iperbole; determin il centro, i vertici, gli sintoti, l eccentricità dell curv. MODO I due fuochi sono in orizzontle, hnno distnz 6, sono simmetrici rispetto l punto (, 5); possimo llor pensre di ottenere l nostr iperbole trslndo destr di e in lto di 5 l iperbole di fuochi orizzontli ( ± c,) = ( ±,) e costnte k = =. Avremo dunque c= ( c = 9), = = d cui subito 5 b = c = 9 =. L equzione dell iperbole cnonic d cui ricveremo per trslzione l nostr è dunque L iperbole richiest è in definitiv ( ) ( 5) = 5 Il suo centro è (, 5 ) ; i vertici dell iperbole cnonic corrispondente sono, ± quindi i vertici dell nostr srnno ± +, 5 ossi, 5 e, 5. Gli sintoti dell iperbole cnonic corrispondente sono b 5 / =± =± =± / quindi gli sintoti dell nostr iperbole srnno 5=± 5( ) L eccentricità, per entrmbe le iperboli, è c e = = = 6 / MODO Possimo pensre di trsferirci, provvisorimente, nel riferimento crtesino O'XY rispetto ll qule l nostr iperbole è in posizione cnonic, scriverne l equzione e infine ritornre l sistem di riferimento O di prtenz. In O'XY le coordinte dei fuochi sono (, ) e ( +, ) X Y X Y per cui è c = e l equzione, tenuto conto che k = = =, = 5 + b = c b = c = 9 =, 5 =. 5 srà X Y = 5 Or, le equzioni del cmbimento di riferimento sono per cui vremo in definitiv ( ) ( 5) = 5 X = Y = 5

126 MODO 6 Più lborioso srebbe stto procedere scrivendo direttmente l equzione del luogo geometrico P, A,5 B,5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) =± ( + ) + ( 5) =± + ( ) + ( 5) ( + ) + ( 5) = + ( ) + ( 5) ± ( ) + ( 5) + + = ± ± 8+ + = ( 8+ + ) = ( ) = = + 5 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 5) = 5 5 = 5 = 5 = 5 5 ( ) ( 5) = 5 ) Se si sottopone l iperbole γ di equzione = ll trslzione di vettore v= i j, essendo i, j i versori degli ssi crtesini, qul è l equzione dell curv così ottenut? ' = + L trslzione considert h equzioni e, come è noto, ' = per scrivere l equzione dell curv immgine occorre ) invertire le equzioni dell trsformzione ) sostituire nell equzione dell curv ) sopprimere gli pici. Perciò: ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' ' = + + = = = = ' + ', immgine di γ D ltronde, si potev giungere ll equzione nel riqudro nche più rpidmente, se si tenev presente che un trslzione di vettore v= i j è un trslzione destr di unità e in bsso di unità, per cui (effetto bstin contrrio : ce ne simo occupti qundo bbimo prlto di mnipolzioni di grfici ) si può ottenere semplicemente sostituendo, nell equzione dell curv, l posto di e + l posto di. Ancor: l trslzione in esme port l origine O (,), che è il centro dell iperboleγ, nel punto (, ), che srà il centro dell iperbole immgine γ ' d cui immeditmente l equzione di quest ultim.

127 7 IPERBOLE EQUILATERA Un iperbole si dice equilter qundo i suoi sintoti sono perpendicolri fr loro. Dto che un iperbole è individut dll su costnte k e dll su distnz focle c, l perpendicolrità degli sintoti dipenderà dl verificrsi di un opportun relzione fr k e c. Ci domndimo qule si tle relzione. Per rispondere, potremmo studire l nostr iperbole pensndol colloct in un riferimento crtesino, rispetto l qule l su posizione si cnonic. Supponimo inoltre, per mggiore consuetudine, che i fuochi sino in orizzontle. In tl cso l equzione è =. b b M noi sppimo che gli sintoti hnno equzioni =± ; pertnto essi srnno perpendicolri qundo il coefficiente ngolre b b srà tle d determinre un ngolo di 5 con l sse :, b = =. Abbimo così scoperto che nel cso di un iperbole cnonic, l condizione ffinché si equilter è espress d b = (è evidente che lo stesso vle pure per l iperbole trslt). Essendo poi c = + b, si h che tle condizione b= equivle ll condizione c = ossi c=. Questi risultti si estendono nche l cso dei fuochi in verticle, b essendo nche qui ± i coefficienti ngolri degli sintoti. Un iperbole cnonic = ± è equilter (cioè: h gli sintoti perpendicolri) b se e solo se b o, equivlentemente, c= = b ; = ( ) in ltre prole, qundo l su equzione si present sotto l form = ± ( = ± ) Sppimo che l costnte dell iperbole, ossi l differenz costnte k di cui prl l definizione, vle per l iperbole cnonic coi fuochi in orizzontle, b per l iperbole cnonic coi fuochi in verticle. Allor l condizione b=, equivlente c=, equivle pure c= k. E quest condizione prescinde dl ftto di pensre o meno l curv nell mbito di un riferimento crtesino. In definitiv, bbimo scoperto che un iperbole, considert indipendentemente dl ftto di essere inserit o meno in un riferimento crtesino, è equilter se e solo se fr l su semidistnz focle c e l su semicostnte k sussiste l relzione c c= k ; il che si verific se e solo se risult e = = k Insomm, l perpendicolrità degli sintoti si h qundo il vlore dell eccentricità è.

128 8 IPERBOLE EQUILATERA RIFERITA AI SUOI ASINTOTI Dunque un iperbole si dice equilter se e solo se i suoi sintoti sono perpendicolri, il che vviene se e solo se fr l semicostnte k dell iperbole e l su semidistnz focle c sussiste l relzione c= k. Se gli sintoti sono perpendicolri fr loro, potremmo pprofittrne per scegliere gli sintoti stessi come ssi del riferimento crtesino, nel qule studire l iperbole. Che equzione ssumerebbe l curv in questo cso? E molto fcile rispondere. I fuochi e i vertici strebbero sull bisettrice del primo e terzo qudrnte, oppure, in lterntiv, sull bisettrice del secondo e qurto qudrnte. Supponimo dpprim che i fuochi stino sull =. Allor, ffinché si poss indicre sempre con c l semidistnz focle, ssegneremo i fuochi coordinte c, c e c, c Trducendo in coordinte l condizione c c PF PF = k = = = c, otterremo, ftti i vri clcoli, l equzione c =. c Ponendo questo punto = p, l equzione ssumerà l form = p ( p > ). Se invece i fuochi stnno sull =, vremo c c F, = ±, e, ftti i clcoli, perverremo ll equzione c = ; c dopodiché, posto ncor = p, otterremo = p ( p > ) In definitiv: L equzione di un iperbole equilter ( = con sintoti perpendicolri), riferit i suoi sintoti, ossi inserit in un riferimento crtesino i cui ssi coincidno con gli sintoti dell iperbole stess, è dell form = h Nel cso h >, l curv è contenut nel e qudrnte; Nel cso h <, l curv è contenut nel e qudrnte. h Osservndo che = h può essere scritt come =, si vede che l curv risult essere il grfico dell FUNZIONE DELLA PROPORZIONALITA INVERSA. 6 ESERCIZIO: E dt l curv di equzione: =. ) Disegnl b) Trovne vertici e fuochi.

129 Viene così chimt un funzione dell form 9 LA FUNZIONE OMOGRAFICA + b = c + d purché il suo grfico non si riduc un rett; purché, quindi: si c ; si d bc ; inftti, se l quntità d bc è null, llor (vedi NOTA), il grfico degener nuovment e in un rett (precismente, in un rett col buco ). NOTA + b Supponimo che nell funzione = (già stimo supponendo c ) si bbi d bc =. c + d Allor è d = bc. M il verificrsi dell condizione d = bc implic l possibilità di semplificre l funzione. Inftti: Se d è diverso d zero, llor vle l proporzione : c= b: d e perciò esiste un costnte λ tle che = λc b= λd. Di conseguenz l frzione + b è semplificbile: c + d + b λc + λd λ( c + d) d = = = = λ con l condizione c + d, cioè c + d c + d c + d c. L funzione considert rppresent un rett con buco. Se d =, dovrà essere bc = e quindi, essendo c, ne risulterà b = : dunque l frzione ssumerà l form cioè si vrà ( con l condizione c = c = c ). Rett con buco. Il dominio ( = l insieme dei vlori di per cui esiste il corrispondente vlore di ) di un funzione omogrfic NON è tutto : d inftti, per l presenz del denomintore c + d, l è clcolbile soltnto se è c + d c. d Qundo prendimo molto vicino l vlore, il denomintore dell frzione è molto vicino zero, c mentre il numertore ssume un vlore molto vicino d d d + b bc d bc c + = =. c c M un frzione in cui il denomintore è piccolissimo rispetto l numertore, h un vlore grndissimo: d esempio,, =. Possimo sintetizzre tutto il discorso nell scrittur + b lim =. dc c + d Pertnto l rett d = f d sintoto verticle per l funzione. c E interessnte nche il comportmento dell qundo si f, in vlore ssoluto, grndissimo (tende infinito): b + + b è inftti lim = lim = ± c + d ± d c c + (i fttori si semplificno; le frzioni b/ e d/ tendono qundo tende ) Quindi, qundo tende ciò signific che l rett +, oppure, l corrispondente tende l vlore = f d sintoto orizzontle per l funzione. c c :

130 Rissumendo, l funzione omogrfic + b = c + d h sempre due sintoti: d uno verticle, di equzione = c l ltro orizzontle, di equzione = c 9 = = + = Le figure di quest pgin mostrno che il grfico di un funzione omogrfic present un evidente somiglinz con quello dell iperbole equilter riferit i suoi sintoti In effetti, si può dimostrre che h =. ogni funzione omogrfic è interpretbile come un iperbole equilter riferit i suoi sintoti, TRASLATA. I vertici di quest iperbole si potrnno fcilmente determinre intersecndo l curv con un bisettrice degli sintoti; i fuochi, ricordndo che l loro distnz dl centro è ugule ll distnz dl centro dei vertici, moltiplict per.

131 DIMOSTRAZIONE DEL TEOREMA: OGNI FUNZIONE OMOGRAFICA È INTERPRETABILE COME UN IPERBOLE EQUILATERA RIFERITA AI PROPRI ASINTOTI, TRASLATA Considerimo un funzione omogrfic + b = c + d Voglimo fr vedere che il suo grfico è ottenibile per trslzione prtire d un curv dell form POSSIAMO PROCEDERE IN DUE MODI MODO: MEDIANTE UNA TRASLAZIONE DEL RIFERIMENTO Ponimoci nel riferimento crtesino XO' Y, trslto rispetto quello inizile, vente l origine nel punto O' d, c c. Che equzione ssumerà l nostr curv in tle nuovo riferimento? Le equzioni del cmbimento di riferimento sono: d d X = + X c = c. Y = = Y + c c Dunque vremo: ( X d/ c) b X / Y + ; Y d c + b + = = ; c c X d/ c + d cx d +d c Y = X ( ) d bc d / c + b X ; Y = c cx X Quindi, in effetti, vist in un opportuno riferimento, trslto rispetto quello inizile, l nostr curv risult essere un iperbole equilter, riferit i propri sintoti (equzione dell form: ordint = costnte / sciss) MODO: MEDIANTE UNA TRASLAZIONE DELLA CURVA Sottoponimo l curv + b = ( c, d bc ) c + d ll trslzione di vettore v di componenti d, c c. Tle vettore di trslzione è stto, ovvimente, scelto in modo che il punto di intersezione fr i due sintoti dell funzione omogrfic considert, veng trsportto nell origine.. h =. Che equzione ssumerà l curv dopo l trslzione? Sppimo che per trslre un curv di equzione F (, ) =, bst considerre le componenti v, v del vettore di trslzione e sostituire, nell equzione dell curv, v l posto di e v l posto di. + b Or, pres l equzione = c + d, se ndimo sostituire d l posto di, e + l posto di, c c d bc otterremo, dopo qulche pssggio, = c. Di conseguenz, un opportun trslzione port l curv coincidere con un iperbole equilter riferit i propri sintoti (equzione dell form: ordint = costnte / sciss). Se or noi immginimo di prendere quest iperbole e sottoporl ll trslzione di vettore opposto, otterremo proprio l nostr curv inizile; e ciò dimostr, ppunto, che l curv d noi considert è un iperbole equilter, riferit i propri sintoti, e poi trslt.

132 UNA PROVA FINALE SULL ELLISSE E SULL IPERBOLE ) Scrivi l equzione dell ellisse cnonic tle che l rett 5+ 6 = ttrversi l sse in un suo fuoco e l sse in un suo vertice. ) Scrivi l equzione dell ellisse cnonic pssnte per, e tle che il rettngolo d ess circoscritto bbi re 8. ) Scrivi le equzioni degli sintoti e determin l eccentricità dell iperbole di equzione 6+ 7=. ) Scrivi l equzione dell iperbole cnonic coi fuochi sull sse, vente sintoti di equzioni =± e tle che l re del tringolo individuto dgli sintoti e dll tngente in un vertice vlg 8. 5) Trcci il grfico dell funzione = + 6) Scrivi l equzione del luogo dei punti per i quli l distnz dl punto K(,) è l metà dell distnz dll rett =, verificndo che si trtt di un ellisse con eccentricità ½. 7) Verific che l distnz di un fuoco dell iperbole =, d un sintoto, vle b. b 8) Verific che il lto del qudrto coi lti prlleli gli ssi e i quttro vertici sull iperbole = b vle b b (supponi b >, ltrimenti il qudrto in questione non esisterebbe) 9) Clcol l re del tringolo che l rett tngente ll curv = 6 nel suo punto di sciss, determin con gli ssi crtesini. 9 ) Generlizzzione: clcol l re del tringolo che l rett tngente ll curv = k nel suo generico punto di coordinte ( t,... ) determin con gli ssi crtesini: troveri un vlore costnte, indipendente d t. ) Giustific l seguente ffermzione: Dti su di un pino un punto fissto A e un circonferenz fisst γ, ll qule A si esterno, il luogo dei centri P delle circonferenze pssnti per A e tngenti γ è un iperbole. SOLUZIONI ) + = 69 5 ) 9 + = oppure + = ) =± ; e= 5/ ) = 6 6) + = 9) S = 9 ) S = k ) Detto C il centro dell circonferenz γ, T il punto di tngenz, si h: Se PC > PA : PC PA = (PT+ TC) PA = PT + TC PT = TC = r = COSTANTE Se PA > PC : PA PC = PA (PT CT) = PT PT + CT = CT = r = COSTANTE

133 . ESERCIZI SULL IPERBOLE A prtire dll equzione di un iperbole stbilisci qunto vlgono I. le coordinte dei vertici e dei fuochi II. l costnte (differenz costnte delle distnze di un punto di fuochi) k III. le equzioni degli sintoti IV. l eccentricità disegn l curv ) = ) = ) = ) = ) = 6) = 7) = ) + = 9) = ) = ) ) = + 5 ) = ) = 6 5) = Scrivi l equzione di un iperbole conoscendone i fuochi e l costnte ( = differenz costnte) k. ( ) 6) F ±, ; k =6 7) F, ± ; k =,, ( ) Scrivi l equzione di un iperbole conoscendone i vertici e i fuochi. Determinrne l costnte e gli sintoti. 8) V ( 5, ); F (,) ± ± 9) V (, ± ); F (, ± ),,,, Scrivi l equzione di un iperbole conoscendone i vertici e gli sintoti. ) V, ( ±, ); = ± ) V, ( ±, ); = ± ) V, (, ± ); =± Scrivi l equzione di un iperbole conoscendone i fuochi e gli sintoti. ) F ( ± 5, ); =± ) ( ), 7 5 F, ± 5, ; =± 6 5) F,, ± ; =± Scrivi l equzione di un iperbole conoscendone i vertici e spendo che pss per un punto P ssegnto. 5 V, ±, ; P, 6) ( ) 9 V, ; P 5, 7), ( ± ) 8), ( ) V, ± ; P, 5 Scrivi l equzione di un iperbole conoscendone i fuochi e spendo che pss per un punto P ssegnto. 9) F (, ); P(, ), 5 F, ; P, ± ), ( ) ± ) ( ) Scrivi l equzione di un iperbole cnonic coi fuochi sull sse spendo che: ) h come sintoti le rette e pss per il punto ) h come sintoti le rette =± P(, ) =± e pss per il punto P( 5,) ) h eccentricità e = e pss per P, 6) 5) h eccentricità / 6) pss per l seguente coppi di punti: ( 6, ); (, ) 7) pss per l seguente coppi di punti: (, 6 ); (, ) 5 5 8) pss per l seguente coppi di punti:, ;, 9) h come sintoti le rette =± e h eccentricità 5 ) h come sintoti le rette =± e h eccentricità ( ± F, 5, ; P, e = e pss per P6, ( )

134 Scrivi l equzione di un iperbole cnonic coi fuochi sull sse spendo che: ) h come sintoti le rette ) h come sintoti le rette ) h eccentricità e pss per =± e pss per il punto P(, ) =± e pss per il punto P( 8, 5 ) e = P( 6, ) ) h eccentricità e = 5/ e pss per P, 5) pss per l seguente coppi di punti: (, ); (, 5 ) 6) pss per l seguente coppi di punti: ( 8, ); (, 5 ) 7) h come sintoti le rette =± e h eccentricità 5 6 8) h come sintoti le rette =± e h eccentricità Riscrivi le seguenti equzioni, in modo che il secondo membro si + o ; disegn l curv: 9) = 5) = 6 5) = + 5) = 9 +, con Consider l curv ssocit ll equzione dt, e determin i vlori del prmetro per i quli I) rppresent un iperbole II) rppresent un iperbole coi fuochi sull sse III) rppresent un iperbole coi fuochi sull sse 5) + p p = 5) p + p = 55) + = p 9 p Scrivi l equzione dell rett tngente d un iperbole in un suo punto. 9 56) = P 5, ) 5 P, 6 P, = 58) = ( ) 59) = 6 P(, 6) Scrivi le equzioni delle rette tngenti d un iperbole ssegnt condotte d un dto punto esterno. 6) = (,) 6) = (,) 6) = 9 (9,9) Scrivi l equzione di un iperbole cnonic, coi fuochi sull sse, di cui si conoscono un rett tngente, e un second condizione. 6) Tngenz con l rett t: = ; pssggio per P( 6, ) 6) Tngenz con l rett t : = ; sintoti =± 65) Tngenz con l rett t: = ; distnz fr i vertici ugule 66) Tngenz con l rett t: = ; eccentricità ugule ) Tngenz con l rett t: = nel punto di coordinte (5, ) Scrivi l equzione di un iperbole cnonic, coi fuochi sull sse, di cui si conoscono un rett tngente, e un second condizione. 68) Tngenz con l rett t: = + ; pssggio per P(, 5 ) 69) Tngenz con l rett t: 5 = ; sintoti =± 7) Tngenz con l rett t: = + ; distnz fr i fuochi ugule 6 7 ) Tngenz con l rett t: + = nel punto (, )

135 5 7) Consider l iperbole di equzione = 6 e dimostr che l re del rettngolo che le perpendicolri gli ssi crtesini per un suo punto qulsisi P(, ) formno con gli ssi crtesini stessi si mntiene costnte, dovunque si prend, sull iperbole, il punto P. 7 ) Consider, in generle, un iperbole di equzione = k e dimostr che le perpendicolri gli ssi crtesini per un suo punto qulsisi P(, ) formno con gli ssi crtesini stessi si mntiene costnte, dovunque si prend, sull iperbole, il punto P. 7) Consider l iperbole di equzione = e dimostr che b il prodotto delle distnze di un suo punto qulsisi P(, ) di due sintoti si mntiene costnte b (troveri che questo prodotto costnte vle ). + b 7 ) Secondo te, l esercizio precedente dimostr che in QUALSIASI iperbole, nche l di fuori di un riferimento crtesino, è costnte il prodotto delle distnze di un punto dell curv di suoi sintoti? 7) Consider l iperbole di equz. = 6, scrivi l equzione dell rett d ess tngente nel suo punto di sciss e dimostr che tle tngente individu, insieme gli sintoti, un tringolo di re. Verific che lo stesso vviene per il punto dell iperbole che h sciss 6. 7 ) Consider l iperbole di equzione = 6 e dimostr che l tngente d ess in un suo punto (, ) individu, insieme gli sintoti, un tringolo l cui re si mntiene costntemente ugule. 7 ) Consider l iperbole di equzione = k e dimostr che l tngente d ess in un suo punto (, ) individu, insieme gli sintoti, un tringolo l cui re si mntiene costntemente ugule k. 75) Consider l iperbole di equzione = e dimostr che b l tngente d ess in un suo punto individu, insieme gli sintoti, un tringolo l cui re si mntiene costnte, verificndo che tle re costnte vle b. 76) Consider l iperbole di equzione = b e dimostr che, trccite per un suo punto qulunque le prllele gli sintoti fino d incontrre gli sintoti stessi, l re del qudriltero così ottenuto si mntiene costnte (Clcoli lboriosi, m impostndoli nel migliore dei modi Ti converrà decismente trccire un figur indictiv! Troveri che quest costnte vle 77) Dt un iperbole cnonic coi fuochi sull sse, stbilisci qunto misur il lto di un qudrto che bbi i vertici sull iperbole stess. In certi csi però tle qudrto non esiste. Qundo? b ).

136 6 78) Consider l iperbole di equzione = 8 e dimostr che sull tngente d ess nel suo punto A di sciss 6, pprtenente l qudrnte, gli sintoti stccno un segmento il cui punto medio è proprio A. Verific che lo stesso vviene nche per il punto B, situto nel qudrnte e vente ordint. 78 ) Consider l iperbole di equzione = b e dimostr che sull tngente d ess in un suo punto P(, ) gli sintoti stccno un segmento il cui punto medio è proprio. 79) Dimostr che, dt un circonferenz γ di centro A e un punto B d ess esterno, il luogo dei punti equidistnti d γ e d B è un rmo di iperbole. Qunto vle l costnte ( = differenz costnte) di quest iperbole? Dove sono i suoi fuochi? 8) Dimostr che, dte due circonferenze γ e γ ' di centri O e O' e rggi r ed r ' un estern ll ltr, il luogo dei centri C delle circonferenze che sono tngenti si γ che γ ' è un iperbole. Dove sono i fuochi di quest iperbole? Qunto vle l su costnte ( = differenz costnte delle distnze di un punto qulsisi di fuochi)? 8) L iperbole di equzione = h, com è noto, b F = c, = + b, ; F = c, = + b, fuochi di coordinte ( ) ( ) ( ) ( ) c + b ed eccentricità e = =. Dimostr or che, dti tre numeri positivi, b, c= + b, e considerti il punto F ( c, ) e l rett d : =, c PF c nche il luogo dei punti P tli che si bbi =, dove PH indic l distnz di P dll rett d, PH h per equzione =. b Allo stesso modo, si potrebbe provre che si perviene ll equzione = b c pure ricercndo il luogo dei punti per i quli è ugule il rpporto delle distnze dl punto F ( c, ) e dll rett d : =. c In definitiv, d tutto ciò emerge che l iperbole = può essere penst come luogo dei punti b per i quli è costnte il rpporto delle distnze d un fuoco e d un direttrice, ed in tl cso h come direttrici le due rette c + b =± mentre il rpporto costnte è ugule = ). c 8) Stbilisci d quli punti è formto il grfico delle curve seguenti: ) 9 = b) 9 + = c) 9 = d) = e) P = f) ( ) 9 =

137 7 SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI SULL IPERBOLE V, ±, F, ± 5, ; k = 6; 5 =± ; e= V, ±, F, ± 5, ; k = 8; 5 =± ; e= V,, ± F,, ± 5 ; k = 6; 5 =± ; e= V,, ± F,, ± 5 ; k = 8; 5 =± ; e= V ±, F ± 5, ; k = ; =± ; e= 5 ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) 5), ( ), ( ) 5 V, F, 5 ± ± ; k = ; =± ; e = 8 V,, 5 ± F, ±, ; k = ; =± ; e 5 = 5 V,, ± F,, ± ; k = ; =± ; e= 6),, 7) ( ) 8) ( ) ( ) 9) V, ( ±, ) F, ( ±, ); k = ; =± ; e= ) V, (, ± ) F, (, ± ); k = ; =± ; e= ) V, ( ±, ) F, ( ±, ); k = ; =± ; e= ) V, (, ± 5) F, (, ± 5 ); k = ; =± ; e= ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5) ( ) ( ) ( ) ( ) V,, V, ; F,, F, ; k = ; sintoti =, = ; e= V 6, 6,V 6, 6 ; F,,F, ; k = ; sintoti =, = ; e = V,,V, ; F 6, 6,F 6, 6 ; k = 6; sintoti =, = ; e = 6) = 7) = 9 7 8) = ; k = ; =± 9) = ; k = ; 5 5 =± ) = ) = ) = ) = ) = 5) = ) = 7) = 8) = ) = ) = ) = 9 6 ) = ) 6 = 6 5) = 9 7 6) = 7) = 8) = 9) = ) = ) = ) = ) = ) = ) 7) = 6 = 8) = 6 9

138 8 Poiché il risultto di un rdice qudrt è sempre, in tutti i csi l equzione ottenut ndrà bbint ll condizione. Ciscun delle curve in questione srà l metà di un iperbole (un solo rmo oppure due metà di un rmo ) 9), = con 5) =, con 5) =, con 5) 9 =, 6 9 5) Iperbole con < p < In tl cso, l ' iperbole h sempre i fuochi sull ' sse 5) Iperbole con p < p > L' iperbole h i fuochi sull ' sse se p <, sull ' sse se p > 55) Iperbole con p < < p <. L' iperbole h i fuochi sull ' sse se p <, sull ' sse se < p < 56) = 57) 5 = 58) + = 59) 6+ + = 5 6) =, = ) =, = 6) Soltnto un tngente: = 6) = 6) 8 = 9 65) = 66) = 67) = ) = 69) 5 = 7) = 7) = 8 7) L bse del rettngolo vle e l ltezz, per cui l re vle = = 6 = 6 = costnte. 7 ) L bse del rettngolo vle e l ltezz vle, per cui l re vle = = k = costnte. b 7) Gli sintoti, com è noto, hnno equzioni =± ossi, in form implicit, ± b =. ± b Le distnze del punto P(, ) di due sintoti vlgono e il loro prodotto è + b b b b b + b = =. b + b + b + b + b + Poiché però P(, ) pprtiene ll iperbole di equzione =, si h = b b b quindi b b = b e perciò il prodotto delle distnze è ugule =. + b + b 7 ) Sì, perché presi su di un pino un riferimento crtesino e un qulsivogli iperbole, bst eventulmente sottoporre l curv d un opportun trslzione e rotzione per portrl in posizione cnonic coi fuochi sull sse ; oppure, pres un iperbole, bst, sul suo pino, scegliere un riferimento crtesino nel qule l iperbole si in posizione cnonic, coi fuochi sull sse. 77) b lto qudrto = ( se b > ; ltrimenti il qudrto " inscritto" non esiste) b 79) I punti P equidistnti d γ e d B sono tli che PA PB = r = costnte ( r = rggio di γ ) L costnte è dunque ugule l rggio diγ, i fuochi sono in A e in B. 8) I centri C delle circonferenze tngenti si γ che γ ' sono tli che CO CO' =r r' ( ser> r '), CO' CO =r' r( ser' > r) Dunque i fuochi dell iperbole sono O e O' e l costnte è r r'. 8) ) equivle ( )( ) + = e dunque ll coppi di equzioni + = =. Il suo grfico è perciò formto d due rette incidenti: si trtt di un iperbole degenere nei suoi sintoti. b) è un conic degenere di tipo ellittico, che si riduce un punto solo (l origine). c) h come grfico l coppi di rette =, = (iperbole degenere nei suoi sintoti) d) è il luogo vuoto e) h come grfico l coppi di rette =± (iperbole degenere nei suoi sintoti). f) si può pensre costituit dll rett 9 = contt due volte, o, in ltre prole, dll coppi di rette sovrpposte r :9 =, r :9 =. Quest conic è comunque considert di tipo prbolico perché Δ = (vedi pg. 7)

139 9 ESERCIZI SULLA FUNZIONE OMOGRAFICA Disegn l seguente funzione omogrfic, dopo verne determinto il centro. 5 ) = ) 6 5) = 6) = + ) = 7) + 7 = 6 + = + 6 ) = 8) + + = Disegn l seguente funzione omogrfic, scrivendo nche le equzioni dei suoi sintoti e ssi di simmetri, e determinndo inoltre le coordinte dei vertici e dei fuochi. 9) = ) = + ) = ) = 8 6 ) = ) 5 + = 5 + b 5) Determin i prmetri bcd,,, in modo che l funzione omogrfic = c + d bbi come sintoti le rette =, = e pssi per il punto,. (si cpisce che i prmetri, b, c, d non sono determinti in modo unico, bensì meno di un costnte di proporzionlità ) + b 6) Determin i prmetri bcd,,, in modo che l funzione omogrfic = c + d bbi per sintoto verticle l rett = e intersechi gli ssi crtesini nei due punti, e (,). ( ) 7) Scrivi l equzione dell funzione omogrfic pssnte per i tre punti (, ), (, ), (, ) e scrivi poi l equzione dell rett d ess tngente nel punto (, ) Attenzione: se si vuole pplicre l regol degli sdoppimenti, occorre sempre preliminrmente portre l equzione sotto l form + b + c + d + e + f = Altrimenti l regol non funzion! 8) Determin l equzione di un funzione omogrfic che bbi per centro il punto (, ) e si tngente ll rett = 6 nel punto,. 9) Determin l equzione di un funzione omogrfic che bbi come sintoto orizzontle l rett =, che intersechi l sse delle nel punto di ordint, e l sse delle nel punto di sciss 6. Scrivi l equzione dell rett tngente ll curv nel suo punto di sciss 6. ) Determin l equzione di un funzione omogrfic che bbi un vertice in ( ) E richiest nche l equzione dell rett tngente nel vertice di cui sopr., 5 e il centro di sciss. ) Scrivi l equzione dell funzione omogrfic i cui fuochi sono i punti di coordinte F, e ( ) F (, 5) ) Scrivi l equzione dell funzione omogrfi tle che uno dei suoi vertici si il punto V (,) e che l ltro vertice, posto nel qudrnte, bbi distnz 5 dll origine del sistem di rif. crtesino. Stbilisci per quli vlori del prmetro k l seguente equzione NON rppresent un funzione omogrfic e dì, in questi csi, qule luogo geometrico esprime. ) = ( k ) + + k + ) k 6 = + 5) + = k + k + 6) k = k 5

140 RISPOSTE ) ) ) C, C, ( ) C(,) ) C, 9) sintoti : =, = ; ssi : = +, = V(, + ) V( +, ) F 6,+ 6 F + 6, 6 ( ) ( ) ( ) 7 9 ) sintoti : =, = ; ssi : =, = + V, V, F, F 6, ) sintoti : =, = ; ssi : =, = V, V, F, F, ) 6) 7) C, C(, ) C, ( ) 8) C(,) ) sintoti : =, = ; ssi : =, = + 5 V( 6, 6) V( + 6, + 6) F, F +, + ( ) ( ) ) sintoti : =, = ; ssi : =, = V, V, F 6, 6 F 6, 6 ( ) ( + ) ( ) ( + ) ) 5 + = ( 5)( ) = E ' un iperbole " degenere nei suoi sintoti", ossi che si riduce ll coppi di rette = 5, = 5) Si cpisce che i prmetri bcd,,, non sono determinti in modo unico, bensì meno di un costnte di proporzionlità. Diftti, se d es. il vlore di tutti e venisse rddoppito, l frzione membro resterebbe ugule prim! d = c Si può impostre il sistem = che, vendo incognite m solo equzioni, c b = d è indeterminto con grdo di libertà ( delle incognite potrnno essere espresse in funzione dell restnte). = c d= c Si h b= c = c dunque risolvono il sistem le quterne dell form ; c qulsisi ( purché b= d= c ) d = c c = = + fr di esse, l qutern. L funzione omogrfic richiest si può scrivere, d es., come = b = + 6. d = ) = 7) = ; = + 5 8) = 9) = ; = ) = ; + = 6 ) = ; ) = + + ) Occorre individure i vlori di k per i quli si nnull il coefficiente di denomintore k + risult = k + Si ottiene così: k = (rett = ); k = (rett ) k = (rett =, privt del punto (, ) ) 5) k = (rett 6) k = 5 (rett + = ); k = (rett 5 = ); k = (rett =, privt del punto =, senz il punto 7 =, privt del punto, ), ), 7 ); k = 7 (rett =, senz 7, )

141 ESERCIZI SULL IPERBOLE CANONICA TRASLATA Determin centro, vertici, e sintoti dell iperbole di equzione: ) ( + ) ( ) = ) ( ) = ) ( ) = 9( + ) = + 5) ( ) ( ) ) 9( 5) ( ) + = 6) ( ) = + Port le seguenti equzioni di iperboli trslte sotto l form ( ) ( ) così d determinrne il centro, i vertici e gli sintoti: 7) + =± b = 8) = 9) + 9= 9 + 6= 8 ) 6 = 5 ) 8 55= ) Scrivi l equzione dell iperbole trslt con le seguenti crtteristiche ( C centro di simmetri, fuochi, V vertici, c semidist. focle, k= differenz costnte, e = eccentricità) ( ) ( ) F,, ) F,, F, ; ) V,,V,8 ; F,,F,9 5) C(, ); un sintoto è = + 5; pssggio per (,) 6) Asintoti = + 5, = + ; pssggio per (, 9) V ±,5 ; sintoti + 5=, + 5= 7) ( ), 8) ( ) ( ) 9) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k = ( ) ( ) ( ) ( ) F 5,, F + 5, ; sintoti = 8, = + V, ; V, 6 ; pssggio per 8, ) F,, F, ; pssggio per 6, 5) C, ; e= ; pssggio per 9,8 ) e = ; V (, ), V (, ) C,; un sintoto è + = ; ciscun fuoco h distnz dl vertice più vicino ) C(, ); pssggio per (, ) e per (, ) ) ( ) Riconosci le crtteristiche delle figure ssocite lle seguenti equzioni: 5) + = 6) = 7) ( ) + = 8) = 9) ( ) ) = ( + ) ( ) = ( + ) ) + + = ) + = ) ( ) = RISPOSTE ) C, ( ), ( ) V = ±, = =± + ) ( ) ( 5) ( ) /9 C5, ( ) ( ) + = V, = 5, ± + =± 5 ( 5, ) (, ) ) ( ) = C, ( ), ( ) V =, ± =± 5) ( + ) ( ) ( ), = C, ( ) V =,± ( ) =± + ) ( ) ( + ) = /9 ( ) + =± ( ) 5 6) C, V, =, ± = / C, V,, = ± =±

142 7) ( ) ( ) 9 = C, V, ( ), = ( ± ) =± ( ) ) ( ) = 9 C, ( ) V, = ( ±,) =± 8) ( + ) ( ) = 9 C(,) V, =, ± =± ( + ) ) ( + ) = 9 C, V, ( ), = ( ± ) =± ( + ) 6 9) ( 5) = C5, V 5, ( ), = ( ± ) =± ( 5) ) ( ) ( + ) = C(, ) V, =, ± + =± ( ) ) ( ) ( ) 7 = ) ( ) ( ) = 5) ( ) ( ) 6) ( ) 5 ( ) + = 6 7) 9 6 ( ) = 8) ( ) 9 5 9) ( 5) = ) ( + ) ( + ) 8 ) ( ) ( ) + + =8 ) = 5 5 = 9 5) Iperbole degenere nei suoi due sintoti + + =, + = 6) Iperbole degenere nei suoi due sintoti + =, + = 7) Conic di tipo ellittico, degenere nel solo punto (, ) 8) ( ) + ( + ) = : conic di tipo ellittico, degenere nel punto (, ) 9) Iperbole degenere nei suoi due sintoti =, + + = ) Conic di tipo ellittico, degenere nel solo punto, ) ( ) ( ) : iperbole degenere nei suoi sintoti + = 6 ( + ) = + 5 ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + = + =, + = + = = 6 6 oppure = 6 9 ) E un conic degenere di tipo prbolico, che consiste nell rett = contt volte ) ( + ) = : è un conic degenere di tipo prbolico, che consiste nell rett + = contt volte

143 . LE CONICHE, IN GENERALE, NEL PIANO CARTESIANO Si dicono coniche tre prticolri curve - o meglio: tipologie di curve - chimte, rispettivmente, ellisse, prbol e iperbole. Eccone le definizioni. Si dice ellisse il luogo dei punti del pino per i quli è costnte l somm delle distnze d due punti fissi, detti fuochi Si dice prbol il luogo dei punti del pino, equidistnti d un punto fisso F (detto fuoco ) e d un rett fiss d (dett direttrice ) Si dice iperbole il luogo dei punti del pino per i quli è costnte l differenz delle distnze d due punti fissi, detti fuochi M cos possono vere in comune tre curve pprentemente così diverse fr loro? E perché mi vengono chimte coniche? Bene: sezionndo con un pino un doppi superficie conic (illimitt d entrmbe le prti) si può ottenere, second dell inclinzione del pino secnte rispetto ll sse del cono: Figure trtte dl sito btc.montn.edu/ceres/ (Montn Stte Universit) un curv chius oppure un curv pert, d un solo rmo oppure un curv pert, due rmi Si può or dimostrre che queste tre tipologie di curve, definite tridimensionlmente, corrispondono proprio lle tre definizioni di ellisse, prbol e iperbole viste ll inizio, definizioni le quli erno bste esclusivmente su considerzioni di geometri pin!!!

144 Ad esempio, per qunto rigurd l ellisse, vle il seguente teorem (Dndelin, 8): Qundo l intersezione fr un superficie conic e un pino è un line chius, quest line può essere penst come il luogo dei punti P del pino secnte per i quli si h PF +PF = costnte, dove: F,F sono i punti di conttto fr il pino secnte e le due sfere dell figur (ciscun delle quli è tngente l pino secnte e ll superficie conic) mentre l costnte è l distnz, misurt lungo l superficie conic, fr le due circonferenze lungo le quli le sfere toccno l superficie conic. DIMOSTRAZIONE (senz pprofondire i dettgli ) P, il generico punto dell line di cui ci stimo occupndo, è tle che PF = PA e PF = PB (tngenti ll sfer d uno stesso punto esterno!), per cui PF +PF = PA+PB= AB= costnte (costnte perché AB h sempre l stess lunghezz: l distnz, misurt lungo l superficie conic, fr le due circonferenze, è sempre l medesim, dovunque veng misurt). Le coniche bbondno di sorprendenti e mervigliose PROPRIETA Citimone un rigurdnte l ellisse: si può dimostrre che se un rggio - d esempio di luce - uscente d un fuoco imptt sull curv, il rggio riflesso psserà per l ltro fuoco! L volt di quest cmer è un ellissoide di rotzione. Se un person bisbigli pino pino con l bocc in corrispondenz di uno dei fuochi, un mico con l orecchio nell ltro fuoco potrà udire chirmente ogni su prol, mentre tutti gli ltri presenti nell stnz non sentirnno null. Un vrinte consiste nel pizzre due fimmiferi nei due fuochi: fregndo uno di essi per ccenderlo, ecco che si ccenderà istntnemente pure quell ltro. Anche l prbol gode di un proprietà notevole per qunto rigurd l riflessione. Un rggio che viggi prllelmente ll sse di simmetri dell prbol, qundo imptt sull curv, viene riflesso nel fuoco. Questo ftto h un ppliczione notevolissim in tecnologi: le ntenne prboliche sono inftti crtterizzte d un form prboloide di rotzione; le onde elettromgnetiche provenienti d lontno vengono concentrte nel fuoco, dove è collocto il dispositivo di ricezione.

145 5 Le coniche sono le curve ssocite relzioni lgebriche di secondo grdo. E possibile dimostrre che un equzione dell form + b + c + d + e + f =, ossi un equzione di secondo grdo in due vribili, rppresent sempre, nel pino crtesino, un conic (eventulmente degenere), e precismente: un conic di tipo ellittico se b c < un conic di tipo prbolico se b c = un conic di tipo iperbolico se b c > Esempi: 9 + = Ellisse, con centro di simmetri nell origine e fuochi sull sse delle. Form implicit dell ' equzione : + = =, b=, c = 9, d =, e=, f = 6 = < 9 6 b c tipo ellittico = + Prbol, con sse di simmetri prllelo ll sse. Form implicit dell ' equzione : + = =, b=, c =, d =, e=, f = b c = tipo prbolico 9 = Iperbole, con centro di simmetri nell origine e fuochi sull sse delle. Form implicit dell ' equzione : = =, b=, c = 9, d =, e=, f = 6 = > 9 6 b c tipo iperbolico = ( 9 = ) = Iperbole degenere in un coppi di rette ( = ) Ellisse trslt e ruott

146 6 Le coniche hnno un importnz strordinri nel mondo fisico. Ogniqulvolt un corpo celeste orbit intorno d un ltro (l Lun intorno ll Terr, i Pineti intorno l Sole, le Comete intorno l Sole ) l triettori dell orbit srà sempre un conic!!! Di norm si trtt di un ellisse (d es., le orbite dei pineti intorno l sole sono delle ellissi, di cui il sole occup sempre uno dei fuochi), m nel cso di un comet potrebbe trttrsi (se l comet non è periodic ) nche di un rmo di iperbole: l comet pss in prossimità del sole un sol volt, poi si llontn verso gli spzi stellri e non si vvicinerà mi più. Il tipo di orbit dipende dll energi totle (cinetic+potenzile) del corpo orbitnte: E < orbit ellittic E = orbit prbolic E > orbit iperbolic L figur sopr riportt è trtt dl sito The Celestil Sphere di Vik Dhillon, Sheffield Universit, UK Qui finco: l orbit dell comet Kohoutek e l orbit dell Terr. Quest comet percorre un trgitto ellittico fcendo un giro completo ogni circ 75. nni. L comet di Hle-Bopp fotogrft d Philipp Slzgeber il 9 mrzo 997 Il ftto che l ttrzione grvitzionle generi triettorie form di conic, è legto ll proprietà dell forz F di ttrzione grvitzionle di essere inversmente proporzionle l qudrto dell distnz d delle due msse m,m che si ttrggono: Gmm F= (G = costnte di grvitzione universle ) d Se l forz responsbile del moto h quest espressione, si può fr vedere che le possibili triettorie del moto sono esclusivmente le curve ssocite d equzioni di grdo, ossi, come bbimo visto, le coniche. Se lncimo un oggetto verso l lto (non verticlmente) l forz di grvità lo porterà muoversi lungo un rco di prbol.