Sommario. Ricerca di una serie convergente a π e suo binomio di potenziamento. 1.1 Serie convergente a π. 2.1 Binomio di potenziamento

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1 Ricerca di ua serie covergete a π e suo biomio di poteziameto Sommario Itroduzioe pag. CAP. Serie covergete a π pag. ( π c) = Area = Serie covergete a π CAP. Pi Greco modificato - π modificato pag. 7 L ampiezza δ e l errore E R, E T pag. 7 Caratteristica Geometrica Fodametale (CGF) pag. 8 Coclusioi pag. 0 ( π ) = ( π ) ( π ) modificato c c ( π modificato ) < π 4. Biomio di poteziameto APPENDICE Il π calcolato co la trigoometria pag. Fraco Meeghi Pagia di

2 Ricerca di ua serie covergete a π e suo biomio di poteziameto Itroduzioe C è sempre ua (almeo) domada ed ua motivazioe alla base di ua ricerca. La mia prima domada è stata semplicemete: perché o me la trovo io ua successioe covergete a π che coseta di determiare il valore attraverso il calcolo eseguito da u semplice software piuttosto che iserire, baalmete, detto valore i ua costate di programmazioe? - Si vede bee come la motivazioe, potete spita verso u qualsivoglia traguardo, o potesse essere di ordie pratico ma dovesse essere ricodotta ad altro; va ifatti ricercata ella mia passioe, per la creazioe di software, che aveva avuto origie quado lo strumeto di sviluppo era, a quel tempo, il GW Basic; quidi, essedo uo sviluppatore autodidatta, tutto ciò è stato mosso puramete da semplice diletto. Trovata la successioe covergete a π, mi soo posto u secodo problema: u valore umerico che esprima ua misura (o u rapporto fra lughezze come el caso del π) ha seso se accompagato dall idicazioe della sua precisioe, cioè dall errore commesso ella sua valutazioe. Ifatti, o avrebbe alcu sigificato idicare u π co ceto cifre dopo la virgola se già il secodo decimale risultasse sbagliato; tale approssimazioe sarebbe assolutamete icompresibile. A questo iterrogativo u software, che ha l ambizioe di calcolare u valore irrazioale come il π, riesce facilmete a dare ua risposta. Questa secoda domada, ache se baale, ha però avuto il pregio di veicolare il terzo e, a mio avviso, più importate quesito: - riesco a visualizzare (*) l errore che si commette (e si riduce) ad ogi progressivo calcolo co la serie trovata? Perché, se la risposta fosse affermativa, potrebbe essere possibile ridurre l etità di questo errore dovuta al umero fiito delle iterazioi di calcolo Si otao, ella formulazioe della precedete domada, diversi ostacoli che si frappogoo al migliorameto della precisioe del valore di π a parità del umero dei loop di calcolo eseguiti. È proprio a questo migliorameto che si riferisce il termie usato di poteziameto per il calcolo del π. L obiettivo raggiuto, e ciò o era scotato, ha cosetito di trovare u semplice biomio capace, grossomodo, di raddoppiare il umero di cifre corrette alle quali si era perveuti arrestado l operazioe all eesima radice della serie trovata. Come si vedrà, la soluzioe del terzo quesito, che ha portato alla formulazioe del biomio, è stata possibile grazie alla fortuata scoperta di ua fodametale proprietà geometrica che si avrà modo di icotrare ello studio degli errori (CAP. ) che si trova ella II a parte di questa (fruttuosa) ricerca. L autore Fraco Meeghi Dedico la ricerca alla mia famiglia (*) Per me la rappresetazioe grafica è u elemeto fodametale ai fii della compresioe e soluzioe di u problema; capisco, altresì, che i matematici, capaci di be altro co le loro astrazioi, o possao che sorridere per questa mia affermazioe. Per chi vuole stampare la ricerca per fare u fascicoletto ho riportato ella parte fiale del documeto la copertia, la prima e l ultima pagia. Fraco Meeghi Pagia di

3 Ricerca di ua serie covergete a π e suo biomio di poteziameto CAP. Serie covergete a π La prima assuzioe qui utilizzata per ricavare l espressioe della serie covergete a π è che il del raggio sia uitario i modo che l area del cerchio (approssimato da poligoi regolari) coicida co il π. Le Aree Area dei poligoi regolari (v. Fig.,,, 4) sotto calcolate covergoo, per tale motivo, al valore π. Fig. = 0 (essu calcolo) 0. ( ) Area = = ( ) AB = 0 fie =0 Fig. = (primo calcolo) AB = AC = AB = h CB = CO = = AB AreaT = h = AC h = = 4 Fraco Meeghi Pagia di

4 Ricerca di ua serie covergete a π e suo biomio di poteziameto. Area = Area0 + 4 AreaT = + 4 AB = (,8) = AC + h = + = + + = fie = Fig. = (secodo calcolo) AB = AC = AB = CO = AC = = = 4 + = + 4 h CB = CO = + AreaT = h AC = + = + 4 AreaT = h AC = 4 = 4 4 Area = Area+ 8 AreaT = + 8 = 4. Area = 4 (,06) ( ) ( ) AB = AC + h = + + = AB = = + 4 fie = Fraco Meeghi Pagia 4 di

5 Ricerca di ua serie covergete a π e suo biomio di poteziameto Fig. 4 = (terzo calcolo) (Immagie co soli lati) AB = + AC = AB = + ( ) CO = AC = + 4 = + = CO = + + h CB 4 = CO = AreaT = h AC = + + AreaT = AreaT = + 4 ( + ) = Area = Area + 6 AreaT = Area + 6 AreaT = Area = = (,) È evidete la covergeza dell Area, per cui è facile verificare come il valore di π (Area ) si ottega co l approssimazioe dipedete dal umero di lati del poligoo iscritto el cerchio. 4. è il umero di (radici quadrate) che soo state utilizzate. ( π c) = Area = Fraco Meeghi Pagia 5 di

6 Ricerca di ua serie covergete a π e suo biomio di poteziameto Si osservi che il umero di lati N L del poligoo regolare è: N L = (+) Es.: co = 5 il cerchio è approssimato da u poligoo regolare di N L = (+) = (5+) =8 lati. 5 ( ) Area π = = =,40 c 5 5 Cofroto co l elegate formula di Leibiz: π = Per il cofroto sulla velocità di calcolo (si dispoe di u computer da,8 GHz e di u software realizzato appositamete) si vuole cercare la mole di lavoro che deve essere svolta da u PC per otteere u risultato co u grado di precisioe pari a 0, Si può verificare che per otteere quato proposto co la formula di Leibiz vegoo richieste somme i u tempo di circa 8 secodi. Il valore otteuto è: π =,45955 (il valore corretto è π =,45965 ) Co la formula 4. soo sufficieti loop (v. sotto) per otteere π =,45957 co u tempo di calcolo trascurabile; il risultato è immediato! Il software per calcolare il π co la serie di LOOP comprede (per la formula 4. precedetemete ricavata) le segueti istruzioi:. omissis. omissis iizializzazioe variabili Errore = per etrare el primo Loop A = 0 Sqr() PG = 0 itero = 0 Approssimazioe = 0, Fie iizializzazioe variabili Do While Errore > Approssimazioe iizio Loop ' Istruzioi per la ricerca di PG, secodo la formula 4. (la formula dei poligoi). itero = itero + PG = ( ^ itero) * Sqr( - A) A = Sqr( + A) Errore = Abs(PiGreco - PG) cotrollo errore i valore assoluto Loop cotiua il loop fichè la codizioe i Do While è vera.. omissis. omissis fie Fraco Meeghi Pagia 6 di

7 Ricerca di ua serie covergete a π e suo biomio di poteziameto CAP. Pi Greco modificato - π modificato Lo studio che segue porterà al sorpredete poteziameto della formula 4. del Pi Greco (π c ) pi greco calcolato co radici quadrate riuscedo co u semplice algoritmo a raddoppiare, all icirca, il suo umero di cifre corrette (v. Tab. ). Il valore calcolato di Pi Greco (π c ) ha seso, ifatti, quado se e cooscao ache i limiti etro i quali è coteuto; determiata l ampiezza δ di tale approssimazioe si potrao successivamete dedurre, quidi, le cifre corrette! Il valore reale di π è pertato compreso fra (π c ) e (π c ) + δ. Riducedo l ampiezza δ si aumeta la precisioe del valore calcolato (π c ) (v. Tab. ). 5. ( πc) < π < ( πc) + δ L ampiezza δ e l errore E R, E T No cooscedo l area del cerchio (π) o si cooscoo eppure i due errori, i eccesso E R e difetto E T (v. paragrafo CGF). Si coosce, ivece, la somma E R +E T = δ δ, ovviamete, coicide co l area dei triagoli relativa al calcolo di ordie. Il massimo valore di δ, i relazioe al umero di radici, si calcola co la formula che segue; Area totale Triagoli isosceli : AT AreaT δ + = δ = δ 6. ( πc) ( πc) Tab. π =,45965 (umero di loop) = NL = (π calcolato) < π,884,0647,45,655,40 Errore reale [π - (π calcolato)] = 0,7 0,080 0,005 0, ,006 AT δ = 0,884 0,04 0, ,050 0,0078 AR =. AT =, , ,996 0,00 0,00757 Fraco Meeghi Pagia 7 di

8 Ricerca di ua serie covergete a π e suo biomio di poteziameto Es.: Per = 4 si cofrotio i dati otteuti (formule 4, 5, 6) co quelli della tabella (Tab. ). ( π ) < π < ( π ) δ oppure : ( π ) + AT < π < ( π ) + + AR c 4 c 4 4 c 4-4 c 4-4,655 < π <,655+0,050 oppure :,45 + 0,050 < π <,45 + 0,00,655 < π <,56 6 (v. Fig. 5) Fig. 5 Caratteristica Geometrica Fodametale (CGF) Il uovo sviluppo si basa su ua caratteristica geometrica isospettata, otata osservado come l errore commesso approssimado l area del cerchio (coicide col valore π essedo r = ) co rettagoli (sempre più piccoli e di base pari alla lughezza della corda ) corrispoda all area E R metre l errore commesso dall approssimazioe co triagoli corrispoda all area E T (Fig. 6, 7, 8, 9, 0). È risultato fodametale, ello studio dell errore, scoprire che il rapporto fra gli errori E R /E T tede ad u valore costate al tedere di all ifiito. Si è così perveuti, da queste semplici osservazioi di tipo geometrico, ad u sostaziale quato iatteso migliorameto della precisioe del (π c ). Caso = 0 Fig. 6 E = 0,75 E R0 T0 Fraco Meeghi Pagia 8 di

9 Ricerca di ua serie covergete a π e suo biomio di poteziameto Caso = Fig. 7 E =,645 E R T Caso = (scala :) Fig. 8 E =,908 E R T Caso = (scala 4:) (scala 8:) Fig. 9 E =,977 E R T Caso = 4 => Caso = 5 => E E =,994 E R4 T4 =,9986 E R5 T5 Fraco Meeghi Pagia 9 di

10 Ricerca di ua serie covergete a π e suo biomio di poteziameto ER 7. Caso => lim = E T Questo importatissimo limite ha come cosegueza che: δ E T > E T = Fig. 0 Ed ecco il potete algoritmo, strumeto di calcolo sorpredetemete semplice: 8. ( π ) ( π ) ( πmodificato ) = ( πc ) ( πc ) ( π modificato ) = δ + 4 modificato c < π Coclusioi Dalla tabella della pagia seguete (Tab. ) si ota che la precisioe del π modificato è costituita da u umero di cifre corrette almeo doppio rispetto al umero di zeri dopo la virgola della correzioe δ/. Il grado di precisioe lo si desume dalle cifre ivariati fra l ultimo π modificato e quello immediatamete precedete. Lo stesso si può dire per (π c ). FINE Fraco Meeghi Pagia 0 di

11 Ricerca di ua serie covergete a π e suo biomio di poteziameto Tab. Pi Greco: Valutazioe dell'approssimazioe, calcolo dell'errore, correzioe Data di verifica della teoria: 4/08/00 π =, (umero di loop) = NL = (π calcolato) < π, , , , , , , , Errore reale [π - (π calcolato)] = 0, , , , , , , , AT δ = 0, , , , , , , , AR =. AT =, , , , , , , , δ/ 0, , , , , , , , (π modificato) < π, ,947570, , , , , , Errore reale [π - (π modificato)]= 0, , , , , , , , Esempi di calcoli tabulati co valori (π calcolato) di ordie, (δ) errore di ordie, (π modificato) pi greco poteziato di ordie Fraco Meeghi Pagia di

12 Ricerca di ua serie covergete a π e suo biomio di poteziameto APPENDICE Il π calcolato co la trigoometria. La formula per il calcolo del Pi Greco l ho ricavata il geaio 00 ed a fie 0 (dopo due ai) scopro (fialmete!) che era già ota da tempo, otteuta tramite la trigoometria. È stata ua fortuita scoperta perché mi trovavo i ua grade libreria a curiosare quado la mia attezioe è stata catturata dal titolo La favolosa storia della radice quadrata di di u libro che riportava i copertia ua grade radice di due (*). La successioe che coverge a π, si diceva el volume, è stata ricavata dallo studio del cos(π/ k ) al tedere di k all ifiito! No c era la dimostrazioe che, peraltro, o è stata difficile da otteere. Ifatti si ricava da ote fuzioi trigoometriche e la procedura per arrivare alla serie cercata la propogo di seguito:. cos( α + β) = cos( α) cos( β) se( α) se( β). cos( α) cos ( α) se ( α) = (duplicazioe: poedo β = α) α α cos α = cos se (bisezioe: poedo α = α). ( ) α α cos( α ) = α se = = se se se cos ( α ) α ( α ) α α = = cos cos cos cos α + cos cos = ( α ) α Caso ) α = 90 se cos ( 45 ) ( 45 ) ( ) cos 90 = = = ( ) + cos 90 = = (*) Editore Bollati Borighieri autore Beoît Rittaud pag. 9 Fraco Meeghi Pagia di

13 Ricerca di ua serie covergete a π e suo biomio di poteziameto Caso ) α = 45 cos( 45 ) ( ) se,5 = = = ( ) cos,5 Caso ) α =,5 + cos ( 45 + ) = = = + se(, 5 ) = cos(,5 ) + = = + cos(, 5 ) = + cos (,5 ) + + = = + +.è, ora, del tutto evidete come proceda lo sviluppo della serie. Il doppio del se(,5 ) rappreseta la lughezza di uo dei 6 lati (l ) del poligoo regolare iscritto el cerchio di raggio r = e di circofereza c = π. Il poligoo approssima sempre meglio la circofereza quato più il umero dei suoi lati tede all ifiito. π > 6 l = π > 8 + π = lim +... (c.v.d.) Il metodo geometrico da me seguito ha potuto portare, a differeza del metodo trigoometrico sopra esposto, all idividuazioe del biomio. pag. che impiegato ella fase fiale potezia il calcolo del π e che co ua semplice operazioe i pochi istati riesce, quidi, a determiare u umero di cifre corrette almeo doppio di quelle appea trovate co la formula. pag. otteute, magari, dopo aver fatto lavorare u super computer per giorate itere. È chiaro, quidi, cosa ciò comporti: ua forte riduzioe dei tempi di calcolo, di u computer, a parità di precisioe otteuta. e allora glielo vogliamo dare u aiuto ache al Super Computer? F.M. Fraco Meeghi Pagia di

14 Quadero 0 Stampato: febbraio 0 Collaa: GLI APPUNTI (moografie) Ig. Fraco Meeghi Docete di Disciplie Meccaiche all I.I.S. di Vittorio Veeto TV ALLA RICERCA DEL PI GRECO La stessa formula coseguita co metodo trigoometrico è qui otteuta i modo diverso attraverso l approccio geometrico. La ricerca sul π si soda ache attraverso u varco aperto dalla scoperta di ua particolare caratteristica geometrica i cui sviluppi hao riservato alla fie ua piacevole sorpresa!

15 Cap. : geaio 00 Cap. : 4 agosto Metodo dei triagoli per trovare il valore di ache Pitagora (*) l avrebbe potuto calcolare (*) Pitagora [(Samo?), c. 575 a.c. Metapoto, c. 495 a.c.] Fraco Meeghi Frotespizio

16 Cap. : geaio 00 Cap. : 4 agosto 00 = Fraco Meeghi ultima pagia