POLITECNICO DI TORINO Repository ISTITUZIONALE

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1 POLIECNICO DI ORINO Reostory ISIUZIONALE Aut d toografa Orgal Aut d toografa / C. Sea. - ELERONICO. - (3). Avalablty: hs verso s avalable at: 583/58647 sce: Publsher: Publshed DOI: ers of use: oeaccess hs artcle s ade avalable uder ters ad codtos as secfed the corresodg bblograhc descrto the reostory Publsher coyrght (Artcle begs o et age) Arl 9

2 3-rattaeto delle Msure toografche Coyrght : Lceza Creatve Coos 3. by-c-d

3 Preessa utto l ostro rattaeto era assato chaato eora delle Msure ed era basato sulla gestoe d quell che s chaavao error accdetal (adesso fluttuazo accdetal ) e er ess effettvaete serve. Serve ache er cos dett error grossola a eglo rcorrere er quest al etodo delle reterazo de es er elarl o rdurl o ad altr test e rocess. Serve oco o ulla er gl error ssteatc : a urtrooo ache quest tervegoo quado s sura, così coe gl altr error e sotto cert asett soo ache ù ercolos ( ossoo avere ache valor ù elevat). Occorrerebbe trovare u odo er teere coto d tutto e o solaete d ua arte. La Statstca qud sotto questo uto d vsta o serve o serve a oco. S dovrebbe agre logcaete questo odo:. Vedere se le sure ossoo essere affette da error ssteatc. Se sì, vedere coe fare er elare la ssteatctà ell orgao d sura (a l errore ssteatco d taratura d u caoe o uò essere elato; s deve rcorrere alla retzoe co cao dvers, dedet) 3. Se o, alcare la teora statstca che vee qu descrtta er elare gl error (fluttuazo) accdetal. Occorre fare ache attezoe a esare che le dstrbuzo d errore sao solaete quelle gaussae e fare attezoe a cas d varabl tra loro dedet. S vedrà el dettaglo: Il cocetto d gradezza e della sua sura dretta S troducoo cocett d: varable statstca ad ua o ù deso e della raresetazoe stetca; d evet aleator o stocastc, d varabl casual e d alcue dstrbuzo ortat S affrota l roblea della sta de araetr, o dell fereza statstca, ua oolazoe coosta da u uero ltato d estrazo a caso, co l rco d assa versglaza che orta al rco de quadrat, er otteere eda e varaza erche. S esaa l cocetto d eda oderata, co u eseo S assa qud alle sure drette, dstguedo tre cas classc (co l ortate caso della sovrabbodaza, l 3 ), e sottocas lear e o. S arofodsce l calcolo della varaza dell utà d eso e s forsce la rsoluzoe, co l ratco etodo reteratvo, d u ccolo sstea (3 equazo 3 cogte)

4 3 -INDICE RAAMENO delle MISURE. Sche troduttv. Gradezze fsche e geoetrche 3. Msure e fluttuazo accdetal 4. Feoe collettv 5. Grafc 6. Varable statstca ad ua desoe 7. Raresetazoe stetca d varabl 8. Valor cetral 9. Dsuguaglaza d chebyceff. Fuzoe cuulatva d frequeza. Eveto aleatoro o stocastco. Legge erca del caso 3. Varabl casual 4. Eveto aleatoro coosto da ù var rabl Dstrbuzoe boale o d Beroull 4 6. Dstrbuzoe d Posso Dstrbuzoe orale o d Gauss Varable statstca doa Problea della sta de araetr d ua dstrbuzoe 77. Prco d assa verosglazaa 79. Prco de quadrat 8. Meda e varaza erche Eseo d calcolo Meda oderata 5. Eseo d eda oderata 6. Msure drette 7. caso sottocaso leare 8. caso sottocaso o leare 9. caso sottocaso leare 3. caso sottocaso o leare 3. 3 caso sottocaso leare 3. 3 caso sottocaso o leare 33. Valutazoe d o 34. Rsoluzoe d u ccolo sstea (et e 6 le statstca todo reteratvo) 9 3

5 Itroduzoe Idvduare le LEGGI della NAURA Aals del FENOMENO REALE Scheatzzazoe d alcue sue caratterstche Nasce l FENOMENO ASRAO Fare ese o dall OICA: defzoe delle ABERRAZIONI Afftà rocedurale 4

6 LE GRANDEZZE NON esste u uca sura vera d ua GRANDEZZA Cos è ua GRANDEZZA (secodo Euclde, secodo Russell, ecc.) Itroduzoe del cocetto d QUANIA Class d gradezza d DIVISIBILIA Class d gradezza d DISANZA Le gradezze s ruscoo CLASSI Ad es. k,, ecc. soo gradezze della Classe delle Lughezze Possbltà d stablre CONFRONI tra gradezze della stessa classe, ecc. Corrsodeza tra raort d gradezze e uer real ostv 5

7 Itroduzoe MISURARE Msurare ua Gradezza otteere ua CORRISPONDENZA co de uer Oerazoe d MISURA estraea alla Gradezza. E u ezzo uao d raresetare la gradezza Coe s fa ua MISURA DIREA Defre le utà cao u.c. S soao le u.c., s cofrotao co la gradezza e s fa u oerazoe d coteggo Seretalete le sure cabao el teo Dstguere tra ERRORI GROSSOLANI, SISEMAICI, ACCIDENALI 6

8 Euclde (V lbro degl Eleet ): GRANDEZZE. le gradezze vegoo rartte CLASSI, forate cascua d ENI;. s stablscoo oortu rocedet d cofroto tra due gradezze della stessa classe; 3. l raorto tra due gradezze è sere u uero reale ostvo (sura ); 4. l raorto è se le due gradezze soo ugual. Eudosso da Cdo (ebro dell Accadea latoca). La gradezza o è coceta coe u uero, a coe u ettà geoetrca che uò varare odo cotuo. Defsce l cocetto d raorto tra gradezze e quello d uguaglaza o roorzoe tra due raort d gradezze (sa razoal che rrazoal). Russell ( I rc della ateatca ):. le gradezze soo cocett astratt che coredoo ua oltelctà d ter;. se ua gradezza s artcolarzza, dveta ua QUANIA d gradezza. Le quattà o ossoo essere aggor o or (relazo valde solo er gradezze della stessa classe). Hao solaete la roretà dell uguaglaza. 7

9 GRANDEZZE secodo Russell CLASSI d GRANDEZZE d DIVISIBILIA : u utto (o u Isee fto o ltato) s correla co l uero d art selc che lo coogoo. Ha sgfcato la soa. DISANZA: soo quelle gradezze che devoo avere u uto o u eveto d rfereto (ad es. l teo). No ha sgfcato l oerazoe d soa. 8

10 COME SI FA UNA MISURA DIREA:. Defre le utà caoe (u.c.);. S soao le u.c. e s cofrotao co la gradezza da surare; 3. S fa u oerazoe d coteggo delle u.c. FLUUAZIONII ACCIDENALI Itroduzoe del cocetto d FLUUAZIONE ACCIDENALE: utte sure vere della stessa gradezza Poolazo d MISURE POSSIBILI Estrarre u uco valore raresetatvo: la MEDIA Accoare la valutazoe uerca della varabltà de dat: la VARIANZA 9

11 No è facle dare la defzoe d sceza SAISICA. Ma così è ache er altre sceze. Og sceza è cotuo rogresso, qud o la s uò crcoscrvere e qud defre erfettaete. Seza dubbo la SAISICA rchede cotegg. Perette d dare u valore quattatvo (sura) a feoe collettv. FENOMENO COLLEIVO: relatvo ad ua collettvtà d cas sgol (oolazoe d dvdu) relatvo ad u caso sgolo, su cu s effettua ua collettvtà d osservazo Quas tutte le sceze fao rcorso alla SA ISICA: ad eseo sceze che hao er oggetto ua collettvtà d et, della quale studao u asetto sceze seretal, ecc.

12 Occorre dre acora qualcosa sulle corrsodeze Esse ossoo essere relatve a: dstrbuzo o dstrbuzo Le dstrbuzo ossoo essere: d frequeza d quattà Le o dstrbuzo s dstguoo : sere storche - d stato - d oveto sere terrtoral uerche o tabelle, geerale. Eseo d dstrbuz oe d quattà: La Baca Y ha coteggato che el 5 s soo avut: cabal ordare tratte asseg bacar.854.3

13 GRAFICI GRAFICI d DISRIBUZIONI SEMPLICI d DISRIBUZIONI DOP PPIE d NON DISRIBUZIONI

14 Secodo u carattere d qualsas to: - dagra sbolc o ctogra - grafc: a seget a astr a coloe - areogra Secodo u carattere ordato: - rettleo ISOGRAMM - cclco: GRAFICI DISRIBUZIONI SEMPLICI grafco a ragg grafco a settor crcolar d uguale aezza Secodo u carattere quattatvo rettleo dscreto 3

15 A coloe suddvse A cerch suddvs Cartodagra a raresetazo suddvse: - leare - areale Stereogra GRAFICI d DISRIBUZIONI DOPPIE Delle sere terrtoral Cartogra: - a tratteggo - a coloe - a cerch - sto (coloe e cerch) Delle sere storche GRAFICI d NON DISRIBUZIONI 4

16 Var t d dagra: alcu ese -a torta FIG. -ad aello 5/ / 4 9/ 6/ / / Sere Sere 8/ 7/ / / 3-a bolle 4-radar 5

17 VARIABILE SAISICA A AD UNA DIMENSIONE S reda esae u see be deterato d dvdu (oolazoe), caratterzzat da u attrbuto che uò assuere valor argoetal,..., dvers., Classfcare la oolazoe secodo l attrbuto vuole dre esaare tutt gl dvdu della oolazoe e deterare,er oguo d ess, l valore argoetale ; qud s rocede ad u raggruaeto d valor argoetal (e qud d dvdu), defedo u tervallo d raggruaeto : s assue che tutt valor argoetal cores questo tervallo, assuao l valore argoetale teredo. 6

18 S otrà allora scrvere ua corrsodeza uerca: { F F F dove gl soo ordat seso crescete e gl raresetao l uero d dvdu che hao l val lore argoetale (frequeza assoluta). E evdete che (essedo N uero totale dvdu): F S ossoo trodurre le frequeze { {... f f... f N relatve: Questa corrsodeza uerca s chaa varable statstca ad desoe (a s ossoo defre, aera aaloga, ache se ù colessa, varabl a o ù deso). f f F F N 7

19 Raresetazoe grafca della v.s. ad desoe: ISOGRAMMA y S dvda l asse secodo l tervallo d raggruaeto ; la ezzera d og tervallo sa corrsodeza del valore della varable. Per og tervallo costruao u rettagolo d altezza y tale che: y y f FIG. L area racchusa da og rettagolo rareseta la frequeza relatva f, corrsodete al valore argoetale. L stograa dà ua raresetazoe vsva d coe valor argoetal sao dstrbut tra gl dvdu della oolazoe. 8

20 Per u uero N d dvdu olto elevato, co valor che s susseguoo ad tervall olto rstrett, se o esstoo dscotutà elle frequeze d gru vc, l stograa uò essere raresetato co ua curva cotua y ϕ( ) chaata curva d frequeza (sere che o s troducao eleet estrae o cogruet co l to d varable esaato). y yϕ() b ( ) ϕ d a a b FIG.3 9

21 RAPPRESENAZIONE SINEICA d ua Varable Statstca Occorre trodurre l cocetto d MOMENO, che dà forazo quattatve global sulla dstrbuzoe. o S chaa oeto del K grado della varable: Per varable cotua: ( ) f Esaao alcu oet raresetatv: Moeto d grado: k k b k ( ) ϕ ( )d a ( ) f k F N N Idca geercaete quale è la oszoe della varable sull asse delle, erché valor argoetal s dstrbuscoo toro al valore della eda. MEDIA N k r r

22 Moeto d grado: ( ) f VALORE QUADRAICO MEDIO (questo valore ha, er o, oco sgfcato ratco) ). S cosder ua uova varable statstca, così defta: v M Varable SCAR RO Questa varable ha la stessa dstrbuzoe della varable : v v f v f v f - oeto d grado: - oeto d grado: f ( v ) v f ( v) ( f M ( M ) f ) f v VARIANZA

23 La varaza dca coe la varable è dstrbu dsersoe. Per quato rguarda l calcolo della eda: Per quato rguarda l calcolo della eda: ( ) f M Per quato rguarda la varaza : ( ) ( ) ( ) N M f M v ( ) ( M f M ( ) ( f M f M f M f M ta toro alla eda: è, coè, u dce d N r r N N F F ( ) F M devaza della dstrbuzoe ) f M ) ( ) M f M Devaza stadard o s.q..

24 VALORI CENRALI I statstca, oltre la eda, s defscoo altr valor cetral ella dstrbuzoe: MEDIANA: è quel valore dell argoetoo corrsodeza del quale l ordata ha la caratterstca d dvdere la curva d frequeza due art d aree equvalet; MODA o NORMA: è quel valore dell argoeto er l quale s ha l asso d frequeza (ordata) f. S ossoo avere ù ode: - uodale - bodale - trodale - ecc. FIG.4 3

25 DISUGUAGLIANZAA d CHEBYCHEFF (o teorea d BYENAYME -CHEBYCHEFF) La varaza è u dce d dsersoe abbastaza sgfcatvo: s uò fatt dostrare che la aggor arte de valor argoetal è coteuta etro lt M±3, qualuque sa la dstrbuzoe. Ifatt, scrvao: (le v sao ordate orde crescete). v f v f v f... v f... v S reda u valore teredo v e ad esso dao l valore c. S azzero tutt valor v or d c. S ogao ugual a c tutt quell aggor. Sarà allora: c ( f f... f v f f ) f f... f f S oe da cu f c S rcav ( frequeza relatva degl scart feror a c): Ioedo cλ s ottee: f λ ( f ). 4

26 La dsuguaglaza d chebycheff: f λ è sgfcatva er λ>. I artcolare: er λ er λ3 f 4 f 9,75,89 coè: er qualsas varable statstca, aleo l 75% degl scart ha u valore ferore o uguale a ±, e aleo l 89% ha u valore ferore o uguale a ±3. S uò dre ache che la frequeza relatva de te er che soo o ter ad u toro della eda, o uò suerare u certo lte ( è u caso artcolare del ù geerale teorea d Markov). 5

27 FUNZIONE CUMULAIVA DI FREQUENZA { f E la varable orgara: f f f S defsce fuzoe cuulatva d frequeza la seguete: { Y t t t t co: t f t f f FIG.5 t f f f Σf Il valore t rareseta la frequeza relatva d tutt gl dvdu che hao u valore argoetale ferore od uguale a. Le curve cuulatve d frequeza soo assa ut l er trovare radaete l uero d dvdu che hao valor argoetal cores u tervallo qualsas. 6

28 EVENO ALEAORIO O SOCASICO E u eveto del quale o s uò revedere la odaltà d uscta. Ad eseo. esare ad ua oeta che vee lacata: o è a ossble revedere se, a laco effettuato, s verfcherà l eveto testa o l eveto croce. ESRAZIONE a CASO U artcolare eveto aleatoro è l estrazoe a caso. S es ad u ura co u certo uero N d alle, tutte ugual tra loro, a co scrtto u uero dsttvo su og alla. All atto dell estrazoe tutte le alle soo detche e ch effettua l estrazoe o deve oter sceglere e coè o deve esserc ragoe d estrazo referezal. S estrae ua alla, s legge l uero sora scrtto e la s rgetta all tero dell ura. S cotua queste estrazo u uero d volte N, grade a acere (N >>N ). S ottee la corrsodeza: { f f f che s chaa VARIABILE SAISIC CA CAMPIONE. 7

29 LEGGE EMPIRICA del CASO Se creetao l uero N d estrazo a caso, so a valor olto grad, c s accorge che: valor argoetal della varable caoe assuerao tutt valor ror della oolazoe assoggettata alle estrazo a caso; le frequeze f corrsodet ad og valore argoetale tedoo a stablzzars ed a covergere verso l valore roro della frequeza d quell argoeto ella oolazoe, quale s sarebbe otteuto facedo u dage d to statstco. Da questa legge s ossoo trarre due cocluso: ) o s uò a revedere l estrazoe d u deterato dvduo o d u valore argoetale. E revedble, vece, la dstrbuzoe, e coè: doo u certo uero N d estrazo a caso, s uò revedere la dstrbuzoe de valor argoetal (ovvero le frequeze) della varable caoe; ) Esste la ossbltà d ostulare l essteza d ua oolazoe. Coè tutte le volte che l dage su u feoeo aleatoro ostra ua stabltà statstca, s uò essere autorzzat ad agare ua oolazoe gota, a deterata, che fa da sfodo al feoeo aleatoro. Questa oolazoe s chaa POPO OLAZIONE POSSIBILE. 8

30 VARIABILII CASUALI Se s effettua ua sere sere crescete d estrazo a caso da oolazoe d cooszoe ota, o da oolazoe ossble, s ottee ua sece d VARIABILE LIMIE, ca aratterzzata acora da ua sere d valor argoetal, corrsodeza de qual s defscoo delle frequeze lte : solo che, essedo l uero d estrazo a caso fto, la varable che così s defsce o ha l carattere d u oerazoe gà eseguta e crstallzzata, a d ua VARIABILE EORICA dvere, defble coè doo u uero d estrazo fto. A questa varable s da l oe d VARIABILE CASUALE ed alle frequeze lte, relatve a valor argoetal, s da l oe d PROBABILIA : { Σ c 9

31 PROBABILIÀ defzoe a osteror: è l lte a cu tede la frequeza d u dato valore argoetale della varable caoe, quado l uero d rove tede all fto defzoe a ror : è l raorto tra uero cas favorevol al resetars dell eveto uero d cas ossbl No sceglao la defzoe a osteror che resuoe che sao effettvaete state fatte delle rove e che da queste s guga alla defzoe della varable casuale. Per varable casuale cotua s defsce: F d f ( ) d ( ) f ( ) d essedo f() destà d robabltà essedo F() fuz zoe d dstrbuzoe E er MOMENI : k b a k ( ) f ( ) d 3

32 Proretà delle robabltà cooste: se u eveto aleatoro A rsulta dal cocorso d due evet aleator dedet B e C d robabltà b e c, la robabltà dell eveto A è data dal rodotto delle robabltà d B e C: Se l orde d uscta degl evet C e B o ha ortaza, s ha: I geerale: a a a ' b c ' b c c! b... essedo! uero delle dsoszo ossbl degl evet attes. Proretà delle robabltà total: se u eveto aleatoro A uò resetars co o odaltà dverse B e C ogua delle qual ha robabltà b e c, la robabltà d A è data dallaa soa delle robabltà: a b c 3

33 Alcu ese caso: c soo 4 alle colorate odo dverso: coe ossoo essere ssteate fla? La oszoe uò essere occuata da ua alla qualsas (4 dvers od d occuare la oszoe); c soo 3 od d occuare la oszoe, od d occuare la 3 oszoe, odo d occuare la 4 oszoe. Qud 43 4 R.: C soo 4 od d sstearee le alle. caso: s vogloo ssteare 7 e ersoe attoro ad u tavolo rotodo a) oguo uò sedere u osto qualsas; la ersoa uò sedere u osto qualsas, le restat 6 ersoe 6! 7 od dvers b) due ersoe o devoo esseree vce: le ersoe ossoo essere ssteate! od dvers e le altre 5 5! od dvers. Qud! 5! 4 od dvers d ssteare le 7 ersoe, co due che sedoo vc. R.:s dovrà qud fare od d ssteare le ersoe, teedo coto della restrzoe osta. 3 caso : sceglere tra u totale d 9 ersoe, u cotato coosto da sole 5 ersoe. 9 R.: 9!/5! 98765/ 5! 6 od d sceglere l cotato 5 4 caso : u dado che robabltà ha l uscta del 3 o del 5? R.: /6 /6 /3 (robabltà ù vataggosa, totale). 5 caso : qual è la robabltà d uscta del 3 e del 5? R.: /6 /6 / 36 ( robabltà coosta). 3

34 EVENO ALEAORIO COMPOSO co o ù evet aleator. OPERAZIONI co VARIABILI CASUALI Se u feoeo aleatoro rsulta dalla cocotaza d due o ù feoe aleator, l roblea è quello d defre la varable casuale relatva al fe oeo aleatoro coosto. Devoo essere ote: le varabl casual cooet la odaltà ateatca co cu s ottee l rsultato S abba la varable casuale: e la varable casuale Y y g y g Voglao otteere la varable casuale soa delle due: coè, rcoducedoc allo schea dell estrazoe a caso, suoao d estrarre a caso u dvduo della oolazoe ossble defto dalla varable e d estrarre a caso u dvduo dalla varable Y y g j k g k j 33

35 Nell esegure u uero olto grade d doe estrazo, tutt valor s coberao co valor y e darao luogo ad ua sere d t valor della soa ( co odaltà ateatca defta). e qud s avrà la varable coosta s j y k s S f La deduzoe della dstrbuzoe della varable coosta uò alle volte essere olto colessa e sesso occorre rcorrere a soluzo arossate. s f s t f t f 34

36 Cerchao le relazo che erettoo, ot oet d e grado della e della Y, d rcavare oet d e grado della varable casuale coosta S: t ( s ) s f ( j ± y k ) j k j j k j j k k g ± y f k jk g k REGOLA N.: l valore edo d ua varable casuale soa (o dffereza) d due varabl casual è ar alla soa (o dffereza) de valor ed delle varabl casual cooet: ± ( s) t ( s ) s f ( j k j j g k j k j REGOLA N.: l valore quadratco edo d ua varable soa (o dffereza) d due varabl casual è la soa d valor quadratc ed delle varabl cooet auetata (o duta) del doo rodotto delle due ede. j j k ( ± y ) ( s) ( ) ( y) ( ) ( y ) j ± k j g k j j j j j k Modaltà S j yk ( ) ( y ) ± y k k y ) f jk ( j ± y k ) k j g k j k j k ± j y k j g y k k j g g k k 35

37 ( s ) ( v ) y REGOLA N.3: la VARIANZA d ua varable casuale soa (o dffereza) d due varabl casual è la soa delle varaze casual cooet. I geerale, data la fuzoe: W a ± by± cz s ha (REGOLA N.4): ( W ) ( W ) a a ± b ± ( ) ( Y ) ( Z ) b c c ( ) ( Y ) ( Z ) 36

38 Relogo Poolazo d dvdu defbl co esattezza, essedo gl dvdu osservabl uo er uo: tco della varable statstca: rsultato d eseret ( cocreta, fta, dscreta ). Poolazo defte e elle qual s fao estra azo a caso olto uerose: varable statstca caoe. Poolazoe be defta, a o s ossoo teo, ecc : s crea ua varable caoe. osservare tutt gl dvdu er otv ecooc, d Caso delle oolazo ossbl, defbl facedo u uero fto d rove. S costrusce ua varable casuale, che ossa raresetare questa oolazoe, basata su certe otes: soo odell terretatv ( qud astratt, lltat, cotu ). Postulazoe d ua dettà forale tra VARIABILE SAISICA e VARIABILE CASUALE, che dscede dalla loro coleta (forale) dstgubltà. 37

39 PRODOO d DUE VARIABILI CASUALI Il valore edo del rodotto d due varabl casual è l rodotto de valor ed delle varabl casual cooet: ( P ) ( ) ( Y ) Il valore quadratco edo del rodotto d due varabl casual è uguale al rodotto de valor quadratc ed delle varabl cooet: ( P) La varaza del rodotto d due varabl casual vale: P P ( ) ( P) ( ) ( ) ( Y ) ( ) ( ) ( Y ) Y Y Y Y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) essedo: ( ) ( Y ) ( ) ( ) ( Y ) ( Y ) 38

40 QUADRO SINOICO (coe varabl lt-teorche) PROBABILIA Lte cu tede la frequeza er N Aaloga defzoe de oet Varabl casual cobazoe d varabl statstche Oerazo sulle varabl casual regola: M s regola: q s 3 regola: s 4 regola Probabltà otal: t a b c Cooste: t a b c 39

41 DISRIBUZIONE BINOM Pesao ad ua oolazoe d cu u attrbuto è ha allora ua varable casuale del to q q che s uò scrvere q La s cob volte, soado valor argoe q q s ottee coè ' q MIALE o d BERNOULLI è caratterzzato da due sol valor argoetal. S q etal: ' ' q q q q 4

42 Se s coba la uova varable co la varab '' q q q Se s cotua er cobazo, la varable Y Se s cotua er cobazo, la varable Y DISRIBUZIONE BINOMIALE: q q q Y Note la eda e la varaza della varable, s o q q ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ble orgara s avrà: così defta rede l oe d così defta rede l oe d q ottegoo la eda e la varaza della Y: q ) q Y Y Y ) ( ) ( 4

43 S è vsto che (dstrbuzoe d Beroull) la robabltà -esa è: P q ( ) olto grade Poedo v - e suoedo v olto ccolo, doo arecche aolazo, s rcava: P( v) e oedo: h q e πq v q h P( v) e π s ottee: h v esressoe arossata della robabltà assocata al valore argoetale v 4

44 Raresetazoe grafca della dstrbuzoe d Beroull: P FIG.6. q.9 43

45 Ce sulla DISRIBUZIONE d POISSON E detta ache degl evet rar e veee costruta sull otes che la robabltà dell eveto o sa costate, a var al varare del uero d cobazo che s effettuao (l/). P uero delle cobazo olto alto robabltà dell eveto favorevole olto ccola q -, rossa ad λ.5 λ λ λ 3 λ 6 Λ cost.ostva assegata I valor argo.,,,.. PROBABILIA DELL EVENO : λ λ e!. FIG Meda varaza λ 44

46 I geerale erò le dstrbuzo o sooo setrche rsetto al loro asso, a hao ua delle loro code ù luga dell altra e coè: grade curtos ² ccola ² grade Asetrca a s. Asetrca a d FIG.8 Il coeffcete d setra α3 µ3 /³ erette d dre se la dstrbuzoe è setrca a destra (ostva) o a sstra (egatva). Se α3 la dstrbuzoe è setrca. Il coeffcete d curtos α4 µ4 /4 sura l grado d rdezza della dstrbuzoe. Nella curva orale l coeffcetee è ar a 3 ed l coeffcete d setra è zero. 45

47 Verso la dstrbuzoale orale 46

48 DISRIBUZIONE NORMALE o d GAUSS Cosderata cotua la varable casuale così deterata, defao la robabltà ftesa d che lo scarto sa coreso tra v e (vdv): h h v d e dv π Ua dstrbuzoe d questo to s chaa NORMALE. Saao geerale che: E qud: ( M ) y( v) e π e l, v h (defzoe d fuzoe NORMALE defta soltato da araetr M e ) FIG.9 M d v v dv P( ) h M π V 47

49 Alcue roretà: h h v d e dv π h h v v d ( v) v e dv π Coè la eda della varable scarto è ulla. La curva delle fluttuazo accdetal deve essere setrca, rsetto alla retta a, essedo a l ascssa del asso. S otzza oltre che la curva abba coe cao d defzoe tutto l asse reale e che questo sa u astoto della curva. La curva orale yf() deve avere equaz zoe: dy y( a) d b er y o egatva 48

50 Calcolao l tegrale dell equazoe dfferezale; er ra cosa s searao le varabl: dy a d y b E qud o ache ( a) dy a d y b log y c bb Posto s ha Ossa ( a) e coè O ache c log y log y log y y y e b ( a) log y c b ( a ) b y y e a b S detera co E qud y π b ( ) y e π ( a) b FIG. y 49

51 S soo gà vste alcue roretà: ) h h v ( coè l area coresa sotto la fuzoe vale ) d e dv ) π h h v v d v e dv ( v) π (Coè la eda della varable scarto è ulla). 3) varaza h h v v e dv π h h s chaa sura d recsoe. 5

52 S troduce la VARIABILE SCARO SANDARDIZZAA: (l raorto è u uero uro: cò rede ossble fare dvers). L esressoe della uova fuzoe dveta: Questa uova varable ha eda ulla e varaza uguale La dstrbuzoe orale è teressate erché s trova tabulata e forsce la robabltà che u valore argoetale z geerco sa coreso tra due lt a e b. Dal valore d z s assa qud al valore d e d v. I artcolare, er l valore dello scarto v: er λ s trova l valore d robabltà,683 λ s trova l valore d robabltà,954 λ 3 s trova l valore d robabltà,997 Cò vuol dre che elle dstrbuzo oral, la oolazoe d sure ossbl ha: l 68,3% degl scart cores tra ± l 95,4% degl scart cores tra ± l 99,7% degl scart cores tra ±3 Nel caso delle oolazo d sure ossbl, a dstrbuzoe orale, s oe lo scarto ar a ±3 coe lte ratcaete valcable (cocetto d OLLERANZA) cofrot tra dstrbuzo secodo caratter o araetr a. z FIG. g ( z ) M 3 e π 68,7% 95,45% 99,73% z 3 5

53 Alcue dstrbuzo teorche cotue S rortao alcue dstrbuzo utl cas artcolar : Dstrbuzoe t d Studet Dstrbuzoe Ch Quadro χ² ² È la dstrbuzoe della soa d varabl casual VC oral dedet χ² N s²/ ² [ (-)² (-)² (- )² ] / ² assue valor [, ] Il valore edo della dstrbuzoe vale l uero vale l uero d grad d lbertà e la varaza vale. Il valore edo vale zero La varaza vale /(-).ede a ua orale er Dstrbuzoe F d Fsher Per la dstrbuzoe tede alla orale. Per la dstrbuzoe tede alla orale. 5

54 y VARIABILE SAISICA DOPPIA (o a due deso) 3 Y F F F 3 Y F F F 3 Y 3 Y j F j F j F 3j Y F F F 3 P P P 3 j F j Frequeze assolute P F Q F P j j j j Q F F Q F F Q F jj F j Q j Per avere vece le frequeze relatve occorre F F P P N Essedo: j N fare: F P j Q F Q j j 53

55 S defscoo le VARIAZIONI SAICHE MARGINALI y y... y Y Q Q... Q ed rsettv oet (eda e varaza) M ( ) P N M ( Y ) j y j Q N j ( M ( ) ) P N Y ( y j M ( Y ) ) j Q j N S ossoo otteere altre VARIABILI SAISIC CHE SEMPLICI, del to: y y... y j... y Y f f... f... f j Per 54

56 La scrttura recedete equvale a scrvere varabl del to : Y y... y y f f... f d P dvdu y y... y Y d P dvdu f f... f fo a Y Y y y... y f f... f d P dvdu I base alle relazo scrtte ra, er og coloa sarà: eda arzale M [ ] varaza arzale Y( ) y M ( ) y [ ] Y j y f j P ( y ) My f j P 55

57 abella a 4 coloe ed rghe M y y P M y y P M y ± y M y y P M y ± y M y y P M y ± y M y y P M y ± y 56

58 Curva d regressoe Se s rortao dat relatv alla eda su u grafco, s uò costrure la curva d regressoe: My My My I caso d erfetta dedeza tra la varable e la y My 3 FIG. My My My 3 57

59 Curva d varabltà Se s rortao dat relatv alla varaza su u grafco, s uò costrure la curva d varabltà: y y3 y I caso d erfetta dedeza tra la varable e le y s ha y y FIG

60 My My y My My - y FASCIA DI REGRESSIONE I questa fasca è coreso aleo l 75% degl dvdu della oolazoe My 3 y3 My 3 My 3 - y3 My y My My - y FIG.4 59

61 S reda u caso qualsas d fasca d regressoe. S ossoo resetare 3 cas: a) R / F My R F Perfetta dedeza b) Raorto teredo tra e c) R / F erfetta dedeza FIG.5 6

62 VARIABILE SA ISICA DOPPIA o a due deso Voledo tradurre ter aaltc le cosderazo svolte recedeza, s cosder ua uova varable statstca doa così costruta: y My P My P P P My P P My P P P P P P N S defsce varaza della tabella dervata della erfetta dedeza: P y y y N ( ) M M y PD 6

63 Il raorto y PD y η s chaa INDICE d PEARSON, e sosttusce l aalogo raorto R/F Rcordado l sgfcato d varaza s uò acora scrvere: FIG.6 R F η ypd y ( M ) ( y j M y ) j M y y P Q j η η S ha erfetta INDIPENDENZA S ha erfetta DIPENDENZA L dce d PEARSON o dà erò forazo crca la FORMA della CORRELAZIONE tra e Y. 6

64 Lo studo della fora della correlazoe reseta dverse dffcoltà. Se s fa l otes che questa fora sa leare, s uò redere esae l coeffcete d correlazoe leare ry, così defto: r y r y ± r y f j v v j j N j j Caso d PERFEA DIPENDENZA LINEARE y f j P y M M y M M M y N j N y y ( )( ) Caso d PERFEA INDIPENDENZA (la correlazoe è ulla o o faclete terretable. I questo caso s studa l coeffcete ) EOREMA d BONFERRONI : r f j M y j M y N y η y y y 63

65 È stato trodotto, lctaete, l cocetto d MOMENO MISO: y j y Il oeto sto calcolato rsetto alle ede rede l oe d COVARIANZA: j f j N f ( M ) ( y ) j M M M N y y j y y y Qud la covaraza è uguale al oeto sto statstche argal (abbr: v.s..) duto del rodotto tra le ede delle varabl 64

66 L esressoe della fuzoe destà d robabltà, el caso cu le due varabl e Y sao dedet e dstrbute co la legge orale è: M y M y M ymy y y f (, y) e e π π y e π Se vece le due varabl e Y soo correlate, l esressoe dveta: y f, y π ρ ( ) y e y My y M M M y ρ ( ρ ) y y ρ è l COEFFICIENE d CORRELAZIONE e uò assuere valor cores tra - e. 65

67 Fuzoe DENSIA d PROBABILIA Z FIG. 7 Y Nel ao zcost, la fuzoe destà d robabltà assue la seguete fora M M y M y y M y ( ρ ) ρ y y Questa curva è sere u ellsse. Poedo K s ottee l ellsse SANDARD. Poedo K4 s ottee l ellsse d UGUALE CONCENRAZIONE K 66

68 ESEMPIO d VARIABILE SAISICA DOPPIA M().78 Y65 Y7 Y375 Y48 3 Y585 Q3 Q3 Q37 3 Q48 3 Q54 M(y)76.4 P5 P6 P38 P46 N5 VARIABILI SAISICHE MARGINALI Y

69 Svluado calcol er rcavare eda e varaza rsetto a s ottee: M ( ) ( ) ( ) ( ) (.7.78). (.75.78).4 (.8.78).3 (.85.78).4.36 ±.5 E rsetto a Y sarà: M ( y) ( ) ( ) ±

70 S hao le seguet varabl statstche selc: Y f f f 3 f 4 f 5 4 M ( y) 65,4 7, 75,4 7 ( y) (65 7), 4 (75 7), 4 M ( y) 7,6 75,333 8,5 76, ( y) (7 76, ),6 (75 76, ),33 (8 76, ),5 3,86 M ( y 3) 65,5 7,5 75,5 8,375 85,5 76, 5 ( y3) (65 76, 5),5 (7 76, 5),5 (75 76, 5), 5 (8 76, 5),375 (85 76, 5).5 35,93 M ( y4) 75,6 8,33 85,5 8,9 ( y4) (75 8,9),6 (8 8,9),33 ( 85 8,9),5,36 69

71 S ossoo raccoglere rsultat ua tabella a 4 coloe e rghe: M (y) s (y) P s (y) s (y) 3s (y), ,47 8,9 3,4,75 76, 3,86 6 3,7 7,4,,8 76,5 35,93 8 5,99,9 7,9,85 8,9,36 6 3,37 6,7, Vedao ora la curva d regressoe, la curva d varabltà e la fasca d regressoe 7

72 Curva d Regressoe Curva d Varabltà ,7,75,8,85,7,75,8,85 FIG.8 FIG.9 7

73 F R Fasca d regressoe < R F < FIG. 7

74 S costrusce la tabella dervata della erfetta dedeza: My,7,75,8, , , ,9 6 6 My76, M( y ) My 76, y (7 76,), (76, 76,),4 (76, 576,),3 (8,9 76,),4 3,6 yd 73

75 Da cu s uò rcavare l dce d Pearso: y d 3,6 η,35 37,5 y,7,75,8,85,78 y Vy V -,8 -,3 65 -,4 \5,8,,7 \5,4 3\5, 7-6,4 \5,4 \5,4 \5,4 3\5, 75 -,4 \5,8 \5,8 \5,8 \5,4 7\5,8 8 3,6 3\5, 85 8,6 76,4 5\5, 5\5,4 3\5, \5,8 8\5,3 \5,4 3\5, 4\5,6 8\5,3 6\5,5 r y y, 83 y y Covaraza Coeffcete d correlazoe leare 74

76 DIAGRAMMA a DISPERSIONE Rortado rsultat dell eseo recedete su u grafco, s avrà: Y FIG.,7,75,8 S hao dvers t d curva terolatrce:,85? Relazoe Leare y a b Relazoe o Leare y a b c 75

77 Esste ù d ua sola curva d u certo to che terola l see de dat. Per evtare valutazo ersoal, è ecessaro defre quale uò essere la glore curva terolatrce : se, ad eseo, s utlzza l etodo de quadrat, la glore curva terolatrce è quella che ha la roretà d redere a la quattà: d d d... Y (,y) d d (,y) (,y) FIG. 76

78 PROBLEMA delle SIME de PARAMERI d UNA DISRIBUZIONE U roblea rlevate della statstca ateatca è quello dell fereza statstca coè l roblea d coe s ossoo trovare forazo sulla costtuzoe d ua oolazoe basados su u uero ltato d estrazo, costtuet de cao, estratt a caso dalla oolazoe stessa. Il roblea s uò scdere due: Stablre coe araetr della oolazoe s ossoo rcavare dal caoe. Stablre che recsoe hao quest araetr ( qu s tralasca questa trattazoe ) S abba u feoeo aleatoro defto da ua dstrbuzoe avete destà d robabltà f(), co valor argoetal deft u tervallo a-b. Da questa oolazoe ossble, che ha eda e varaza ² (valor teorc), soo stat estratt a caso valor. da qual s vogloo dedurre, ella glore delle aere, le ste de araetr teorc e ²- Queste ste (o valor erc) sarao ua fuzoe degl valor estratt ed geerale s otrà orre : h (,,..., ) g (,..,..., ) 77

79 dove h e g soo chaate fuzo estator. Vedao qual crter s ossoo usare er scelta degl estator:. Ua sta è cosstete se al tedere all fto del uero d cao estratt, essa tede al valore teorco. Ua sta è affetta da errore ssteatco se la eda della oolazoe delle ste o cocde co la eda della dstrbuzoe da cu è estratto l caoe (BIASED) 3. U sta è effcete se fra tutte le ste cofrotabl è quella che ha varaza a 4. Ua sta è ù lausble quado la s ottee utlzzado l rco d assa versglaza 78

80 Prco della Massa Versglaza Rcordao che la fuzoe f() che rareseta ua dstrbuzoe d robabltà, dede da oet della dstrbuzoe. Co rfereto al caoe χ χ χ estratto a caso, s uò osservare che er og valore d è defta la robabltà ftesa d f ( ) d S osserva oltre che la robabltà coosta dagl valor dedet χ χ χ vale dp d. d.d e coè: dp f ( ) f ( )... f ( ) d( ) 79

81 Se questa esressoe otesso ettere valor teorc (cogt) della eda e della varaza, otterreoo u certo valore er dp; se vece troducao le ste ( che s cosderao ote) d quest valor, avreo ovvaete de valor dvers d dp! Fra tutt valor delle ste, sarà lausble assuere quell che redoo assa dp. Il asso d dp s ottee quado è assa la fuzoe: V f ( ) f ( )... ( ) f detta fuzoe d VERISIMIGLIANZA E coè basta fare V V ( ) Queste equazo cosetoo d rcavare e 8

82 Prco de M Quadrat Data ua gradezza da surare, gacchè o s uò effettuare u uero troo grade d osservazo, s estrae u ca aoe ltato... S vuole vedere coe da questo caoe s ossao dedurre le ste e : s rcorre al rco d MASSIMA VERISIMIGLIANZA. Per og s ha la seguete fuzoe destà d robabltà ( otes dstrbuzoe orale) : f ( ) ( ) π e d 8

83 etre la fuzoe d VERISIMIGLIANZAA è V (,..., ) (π ) e Questa fuzoe dveta assa quado è o l esoete dell esoezale e coè ( ) ( ) ovvero: v Questo esre l rco de quadrat: coè el caso d ua dstrbuzoe gaussaa, hao assa versglaza quelle ste che soddsfao alla codzoe che la soatora de quadrat degl scart sa a. 8

84 MEDIA e VARIANZA EMPIRICHE ) Dal rco de quadrat dervado rsetto ad s ha δ ( ) ( ) δ ed uguaglado a zero s ottee questa sta della eda è cosstete e o è affetta da errore ssteatco, fatt ha ua eda: M ( M M M [ ] [ ]... [ v... [ ]) ed ha coe varaza: ( )... 83

85 ) Per la sta della cosderao vece la V ( ) V f ( ) f ( ) f ( ) e ( Π ) Oerao ua trasforazoe co l segue ete algorto er selfcare l calcolo delle dervate lv l Π l ( ) Ache adesso avrà assa versglaza er quel valore della sta che rede a lv: l lv V ˆ ˆ l V ( ) ˆ ˆ 4 ˆ ( ) Da cu ˆ ( ) questa sta della varaza è erò affetta da errore ssteatco 84

86 Ifatt (( ) ( )) ( ) ( Predao esae l tere: ( ) ( ) ( ) ( ) ( E qud ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ˆ ( ) ( ) ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) 85

87 Calcolao la eda della oolazoe ˆ ˆ ( ) M M M ( ) ˆ Coè la sta della è affetta da errore ssteatco (la eda d o cocde co ) Ivece o è affetta da errore ssteatco la seguete sta: ˆ ( ) 86

88 Cocludedo, er deterare la sura d ua gradezza s eseguoo sure... S assue coe sta della eda della oolazoe delle sure ossbl la S calcola la varaza stata: E lo scarto quadratco edo (s.q..): v S calcola lo s.q.. della oolazoe delle edee artetche: E qud s scrve v... v ( ) ± ± 87

89 3 FIG.3 3 Alle volte, s coosce la varaza della dstrbuzoe delle sure ossbl caratterstca dello strueto - etodo - abete (forta dal costruttore) s S uò scrvere allora che: ± s S dovrebbe verfcare (all auetare del uero d osservazo) che sogl a : otare che l uso d s o cosete essu cotro ollo crca la recsoe effettvaete otteuta elle sure fatte. s 88

90 ESEMPIO d CALC COLO della MEDIA e VARIANZA, EMP PIRICHE o SIMAE La gradezza, u agolo, è stato surato 8 volte, co uguale recsoe: calcolare la eda, l errore edo d ua osservazoe e l errore edo delle eda 89

91 Valor osservat Scart V

92 Valor osservat '7 ''.5 Scart v V v 64, 5 9

93 S.q.. d ua sgola osservazoe: v 64.5 ± ± ± ''.95 S.q.. della eda ''.95 ± ± '' Il valore attedble dell agolo è: ± 48 '7''.5 ± ''.46 ''.5 9

94 Grafco d e. FIG.4 6' ' ' '. 5 ' '.5 6' ' 93

95 Meda Poderata Ua gradezza vee surata co struet, etod, codzo abetal dverse:... ± ± ± S vuole deterare la eda coue alle vare dstrbuzo, utlzzado l rco d assa versglaza: ( ) f e π ( ) che s uò scrvere troducedo l cocetto d eso ( ) f e π (fuzoe destà d robabltà dell eveto ) ( ) 94

96 varaza dell utà d eso. Qud: V Il asso della V s ottee quado Da cu (,,...,,, ( ) ) (,,..., ) ( π ) e ( ) La Meda oderata vale S dostra che la eda oderata è ua buoa sta ( s tralasca la dostrazoe ); Ivece er la varaza, così coe vsto rece edeza er ˆ, che la sta è affetta da errore ssteatco ed ache qu covee assuere : o ( ) 95

97 Osservazo La varaza dell utà d eso o A ror (arbtrara) A osteror calcolata co: o ( ) Il eso è adesoale. E u fattore che erette qualche odo d coarare tra loro le sure fatte, assegado a cascua u valore arbtraro, che e dca l affdabltà o l eso: valor d eso bass fao cotare eo, etre valor d eso alt,erettoo d fare cotare d ù le sure state glor. 96

98 La varaza della eda oderata Rcavata dal a ror teorcaete dedete dalle varaze,,..., o Rcavata dal a osteror dà l dea della cogrueza elle vare deterazo,..., 97

99 Procedura d calcolo S fssa a acere o o S calcolao es S calcola la eda oderata S calcola o ( ) S calcola ± 98

100 ESEMPIO DI MEDIA PONDERAA Sa la gradezza (ad eseo u agolo) ): s soo effettuate delle osservazo co struetazo dverse, otteedo le tre seguet sere o oolazo: ± 48 4 ± 5 Calcolo es: k 5 9 ± ± 48 4 ± 5 k,5 3 3 ± 3 k 5 3 Poedo k 5 (a ror) 99

101 v 9 9-3,6,96 7 5,5 56,,4,9 76 6,4 4,9 4 v v, 66, v ' 3''.6 6,, 3''.6

102 .A osteror ( 3. ) 7, 4. ±4''. 43 7,8 7 I deftva: 48 4' 3''.6 ± 4''.

103 Alcue brev cosderazo sul trattaeto delle sure. Le sure d gradezze a rgore o soo roro delle estrazo a caso da oolazo ossbl. Occorre recsare fatt che le estrazo tato o soo a caso (aleatore) a soo oerazo fatte d solto co attezoe ed oltre che la oolazoe ossble da cu s estrae deve essere esata coe ua oolazoe coesa, co dvdu olto sl. La s otrebbe erò esare ( è ua oolazoe vrtuale!) coe s vuole, ache co dvdu olto dvers tra loro: a o è l caso che teressa le sure toografche. Qud la s deve esare coe ua oolazoe ossble a coesa. Ma coesa quato? Dede dalla struetazoe d sura, dalle codzo abetal cu s oera, dall oeratore e dalla sua abltà e caactà ell usare la struetazoe. utte forazo che c vegoo forte dalle stesse sure fatte, co valor sgfcatv rcavat (utlzzado la statstca) della eda e della varaza. Alcu studos rfutao o soo olto crtc su questo uso della Statstca: rfutao fatt l cocetto d oolazoe ossble accoato al cocetto d ua gradezza: ua gradezza ha er loro u uco valore d sura ( o è esable che sa aragoata ad u qualcosa che ulsa e/o sa varable). La fluttuazoe accdetale è ua afestazoe dell caactà dell uoo e delle sue struetazo, d deterare quest uco valore. Qud o c è ua oolazoe d dvdu della gradezza a ua oolazoe d dv du che ascoo dalla sura della gradezza, forta da struetazo caac d deterare l vero valore. I deftva, la oolazoe s sosta dalla gradezza alla sura della gradezza, a s ha sere a che fare co ua oolazoe d dvdu (valor o sgole osservazo) che bsoga saere trattare. Né s uò esare che questa oolazoe struetale sa sere la stessa e qud dvduable ua volta er tutte erché caberà er effetto degl altr araetr (abete ed oeratore). S arla effett, e e abbao acceato, d us forto da costruttor degl struet, erò o sgfcatvo er le oerazo d sura ratcaete effettuate.

104 MISURE INDIREE Abbao fora trattato le MISURE DIREE d gradezze, ache co eso dverso.esste erò u ao cao che è quello delle MISURE INDIREE d gradezze. S ossoo verfcare seguet tre ca as:. la gradezza cogta da surare drettaete è fuzoe d gradezze,,..., surate drettaete: f (,,...,. le gradezze cogte,,..., sooo tate quate le gradezze L, M,..., N surate drettaete:(caso dell equlbro) f(,,..., / L, M,..., N ) co,,, 3. le gradezze surate drettaete L, M,..., N soo uero aggore delle gradezze cogte,,..., :(caso della sovrabbodaza) f(,,..., / L, M,..., N ) ) co,,, > 3

105 CASO: sottocaso leare a b c 3 Le gradezze,, 3 soo state surate drettaete, coè cooscao la loro eda stata e la loro varaza stata. Voglao deterare la oolazoe d sure ossbl che defsce la, coè deterare eda stata e la varaza ( otes d dstrbuzoe orale ): l sottocaso s rsolve faclete, co le regole vste el caso d cobazo d varabl casual: a b c 3 a b c (Gradezze tra loro dedet ) 3 4

106 CASO: sottocaso o leare Sao O,O O delle ste delle ede S uò allora scrvere f (,... ) teorche,. O ν O ν.. O ν essedo gl scart ν suffceteete ccol. f ν ν ν ( O, O... O ) f (,,... ) f (,... ) (svluo sere d aylor). f f ν ν... f ν 5

107 S uò, qud, scrvere che: f f f ( O O O f ν,... ) (,... )... coè la dffereza delle due fuzo è ua cobazoe leare degl scart ν. Possao calcolarc la eda della dffere eza delle due fuzo : f M [ f ( O, O... O ) f (,... )] M [ ν e coè f ν ν f M [ ν ]... ] f O, O... O ) f ( (,... ) dal che s vede che la eda teorca d s otterrebbe troducedo le ede teorche delle e che questa equvale a che ad trodurre le ste d O. 6

108 Qud: )..., ( O O O f Per la varaza s ha: f f e se s utlzzao le varaze state: f f ( legge della roagazoe degl s.q.. ) ( legge della roagazoe degl s.q.. ), sao dedet. )..., ( f f f... el caso cu le gradezze, el caso cu le gradezze, 7

109 CASO: sottocaso leare a b... u a b... u... a b...uu S è suosto che el sstea og equazoe cotega ua sola sura dretta ( ): cò o lede la geeraltà della trattazoe. S cosder la atrce de coeffcet e la sua versa C a b... u α α... α a b... u C - a α... α a b... u α α... α A j j j ( ) D coleeto algebrco del Essedo α Aj tere d osto j Ddeterate della atrce C La atrce versa è chaata soluzoe deterata del sstea. 8

110 Le soluzo del sstea soo, er la rego t t t t t t α α α α α α t t t α α α... E qud er le ede state: α α α α α α α α α... ola d Craer: 9

111 E er le varaze state α α α α α α α α α... α α α Ed l ro sottocaso è così rsolto.

112 f CASO: sottocaso o leare (,... \ L, M,...,, N ),,.. Occorre effettuare la learzzazoe del sstea. Suoao ot de valor arossat delle cogte S uò orre:,,... essedo le correzo cogte,a ccole, tal che quadrat e le oteze sueror sao trascurabl. S ha ertato: f (,,... / L, M,..., N ),,...

113 E svluado sere co svluo arrest ( ) N M L f,...,, /..., f e oedo ( M L f,...,, /..., a f f S ottee: u b a u b a u b a tato a ter lear:... f f ) N u f b...

114 Coè s ha l sstea vsto el sottocasoo e gà trattato. I questo caso erò le o soo delle sure drette, a soo fuzo d sure drette e qud vale: f f L L M f M N... N N Ache qu s otzza che L, M,.,N sao tra loro dedet e che tra loro dedet sao ache var. 3

115 3 caso : Osservazoe dretta d gradezze edate u uero esuberate d sure drette. sottocasoo leare a b... u a b... u a b... u a b... u Se troducao valor stat delle, s ottee u sstea coatble ed occorre trodurre degl scart v cogt: a b... u v 4

116 Ma l sstea da coatble dveta deterato ( cogte equazo). Osservao erò che le ede ossoo essere trovate alcado l crtero d sta del rco d assa verosglaza ( fatt l caoe dsoble de è esuberate, essedo ess fuzo de valor delle ). Rcordao che la fuzoe destà d robabltà del dato è: ϕ (,,,...,, ) ( ) π e Ed troducedo l cocetto d eso ϕ e π ( ) 5

117 La fuzoe d verosglaza V vale: ( ) ( V π... ) e ( ) Sarà verosle assuere que valor de araetr, che redao assa la V: questo asso s ha quado ( ) o ache v Il o s ha er que artcolar valor 6

118 (essedo a b u ) ) Che soddsfao l sstea ( ) ( ) ( ) Queste equazo aggute alle equazo del sstea geerato rsolvoo coletaete l roblea. 7

119 Svluado l sstea ra scr ed essedo a tto: ( ) ( )... b u ( ) ( )

120 S ottee: ( ) ( ( ) ( ( ) ( b a ( ) ( u Predao esae ad eseo la ra a a a ( ) ( )... u b a a ( ) u b a a ) ) ) ) (... ) (... b b a a ) ) (... u u a equazoe e svluaola:... a a a ( ) u b a a... a a a 9

121 Che uò essere così scrtta fora stetca: [ aa ] [ ab ].... [ a u ] [ a ] E così er le altre equazo: s ottee deftva l SISEMA NORMALE [ aa ] [ ab ] [ b a ] [ b b ]... au a... [ bu ] [ b ] [ ua ] [ ub ]... [ uu ] [ u ] Questo sstea forsce valor ù lausbl delle. [ ] [ ]

122 Itroducedo valor sora otteut el sstea delle equazo geerate, s ossoo calcolare gl scart v a b... u v Che rsultao qud ache coe: v È facle costatare le seguet tedeze [ a ] [ b ] [ ] v v u v (utl er l cotrollo de calcol) I seguto verrà trattato l calcolo delle varaze.

123 3 Caso: sottocaso o leare S trovao valor arossat f (,,... / L, M,... N ),,...,,... > delle cogte e s oe:... f (,,... / L, M,... ) N s svlua sere: f (,,... / L, M,... N ) da cu ovvero essedo f... a b... u a b... u v ( f,,... / L, f M,..., N coè c sao così rdott al caso leare gà esaato. ) f

124 S deve calcolare la varaza del tere oto d og equazoe f L -Vedao la trattazoe NOAZIONE MARICIALE: Sa A la atrce de coeffcet e l vettore e ter ot a a A... a L f M S calcola l eso del tere oto geerco b b b u u... u S oltlca og rga della atrce A er l eso che coete al tere oto e s esegue l rodotto d atrc. f M... N N M 3

125 Questo rodotto erette l calcolo de coeff u u u b b b a a a I ter ot vece s ottegoo effettuado Il sstea orale uò stetzzars u u u b b b a a a da cu ( ) N A A cet del sstea orale. u b a u b a u b a l rodotto N... N A A N A A 4

126 S è vsto che: Calcolo delle varaze delle α [ a ] α[ b ]... α [ u ] α [ a ] α [ b ]... α [ u ] α [ a ] α [ b ]... α [ u ] k k k α [ a ] α [ b ] svluao la geerca: k k ( a a... a ) α k... α k ( b b... b ( α a α b α u ) ( α a α b α u )... k k... k... α k α b ) [ u ] ( b... b )... k ( α a α b α u ) k k k k k... k e qud co le solte legg: 5

127 ed essedo ( α a α b... α )... u... u... k k k ( α k a α k b... α k ) Ma s dostra che e qud essedo ( α a α b... α u ) k k k [ ( α a α b α u ) ] k k... k k ( α k a α k k b... α k u ) ( α ka α k b... α ku ) ( α ka α k b... α ku ) k [ ( k a αk b α... α ku α v α kk (calcolo a osteror della varaza dell utà d eso) ) ] kk 6

128 OSSERVAZIONI INDIREE Scrvere SISEMA EQUAZIONI GENERAE LINEARIZZAO Scrvere SOLUZIONI SISEMA NORMALE Eslctare la ettedo evdeza ter ot Cosderare la forazoe e calcolare la d ua uova varable casuale fare lo svluo el caso d tre sole cogte S ottee k kk α 7

129 VALUAZIONE SISEMA delle EQUAZIONII GENERAE Cosderare le ede teorche sa delle cogte che delle gradezze surate scrvere sstea equazo geerate learzzate coteete le correzo er avere ede teorche Sottrarre questo sstea dal sstea equazoe geerato d to tradzoale Cosderare l caso d 3 equazo cogte Elevare al quadrato e soare Cosderare la (IIf) ua uova varable casuale Calcolare l valore geerale e qud E d e er u valore stato s oe e MEDIO { } M v M { v } 8

130 RISOLUZIONE d UN CON IL MEODO RE ELIMINAZIONI SUCC S abba ad eseo sstea d 3 equaz N PICCOLO SISEMA EIERAIVO DELLE CESSIVE o l seguete o 3 cogte:

131 rga 8-3.N rga rga

132 . 3 S dvdoo coeffcet d, e.n. er l coeffcete d e s caba d sego (ella equazoe). S oltlca l coeff cete d della equazoe er l coeffcete d odfcato ( equaz.) e s soa al coeff. d della equaz. S oltlca acoraa l coeff. d della equazoe er l coeffcete d 3 odfcato ( equa az.) e s soa al coeff. d 3 della equaz e così d seguto. 3

133 Qud s oltlca l coeffcete d della 3 equazoe er l coeffcete d odfcato ( equazoe) e s soa al coeffcete d della 3 equazoe e così d seguto. 3. S ottee l sstea rdotto: che uò essere faclete rsolto. 3

134 SISEMA NORMALE RISOLUZIONE LINEARE NON LINEARE rocedet oeratv er la rcerca d valor aross. delle cogte Algort esatt: A. d Gauss A. d CHOLESKY A. d HOUSEHOLDER,ecc Algort teratv Metodo del GRADIENE CONIUGAO (CG) Metodo d CHOLESKY coleto gradete cougato (IGCG) 33