RUOTE DENTATE ELLITTICHE ELLIPTICAL GEARS

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1 Istituto Tenio Industrile Aldini Vlerini CLASSE 5C MECCANICA A.S. 001/00 Are di progetto: RUOTE DENTATE ELLITTICHE ELLIPTICAL GEARS Istituto Tenio Industrile Aldini Vlerini Bologn Are progetto ruote dentte ellittihe 1

2 Ringrzimenti: A nome di tutti, rgzzi ed insegnnti, è doveroso un sentito ringrzimento ll ditt Nnni Ingrnggi he i h dto l possibilità di visitre i propri loli, ogliendoi on esemplre pzienz e disponibilità, e h donto ll istituto vlido, nonhé ostoso, mterile per il nostro studio. Gli llievi: Brid Mtteo Cevenini Lu Elefnte Giovnni Fenr Filippo Finelli Mtteo Gmberini Federio Grgnelli Mro Gzzillo Frneso Giovnnini Rirdo Gruppi Mro Impstto Dvide Le Alessndro Mestrini Polo Pgni Federio Priori Giomo Provenzni Dniele Red Ernesto Simoni Federio Tibldi Dniele Trebbi Frneso Turrini Simone Zmbelli Andre Gli insegnnti Altvill Cludio Bvieri Giuli Benni Mro Burnelli Andre Cnestri Trotti Pier Antonio Collin Dnilo D Amore Sndr Foresti Cosett Lorenzetti Giorgio Msotti Alessndr Pldino Angiolino Piotrowsk Bozenn Telmon Andre Istituto Tenio Industrile Aldini Vlerini Bologn Are progetto ruote dentte ellittihe

3 Indie: Introduzione pg. 3 Rihimi di mtemti: gli ngoli, gli rhi e l loro misur. pg. 5 Rihimi di mtemti: relzioni tr gli elementi di un tringolo qulunque pg. 6 Il teorem delle proiezioni ed il teorem del oseno. pg. 7 l ellisse pg. 10 Rihimi di mtemti: definizione di derivt di un funzione di un vribile pg. 15 Alune grndezze fisihe definite ome derivte di ltre pg. 18 Studio inemtio di un oppi di ruote dentte ellittihe pg. 1 Legge rotzioni (spostmenti ngolri dell ruot ondott in funzione dei grdi di rotzione dell ruot onduttrie pg. 1 Grfio rotzioni in grdi dell ruot ondott in funzione dell rotzione dell onduttrie pg. 1 Legge dell veloità ngolre dell ruot ondott in funzione dei grdi di rotzione dell ruot onduttrie pg. 5 Digrmm dell ndmento dell veloità ngolre dell ruot ondott in funzione degli ngoli di rotzione dell ruot onduttrie pg. 5 Legge dell elerzione ngolre dell ruot ondott in funzione dei grdi di rotzione dell ruot onduttrie pg. 7 Digrmm dell ndmento dell elerzione ngolre dell ruot ondott in funzione degli ngoli di rotzione dell ruot onduttrie pg. 7 Commento dei grfii pg. 9 Crtteristihe ostruttive pg. 33 Criteri di selt delle ruote ellitihe pg. 35 Istituto Tenio Industrile Aldini Vlerini Bologn Are progetto ruote dentte ellittihe 3

4 Introduzione: L energi oorrente l funzionmento delle mhine opertrii è fornit, sotto form d energi ineti, d mhine motrii (i motori he l ottengono ome risultto finle dell trsformzione d energi d ltro tipo. Qulunque si il tipo di motore, l potenz he esso fornise è trsmess i vri orgni dell mhin opertrie, on le modifihe rihieste dlle loro speifihe esigenze. Ad esempio, in un tornio il moto deve ndre si l mndrino si l rrello portutensili per relizzre, rispettivmente, il moto di tglio ed il moto d limentzione. Mentre il primo deve muoversi di moto rottorio il seondo è guidto spostrsi di moto rettilineo. Nell mggior prte dei si periò non bst limitrsi trsmettere il moto m bisogn provvedere trsformrlo. Le oppite ruot dentt vite senz fine, rohetto e dentier, biell e mnovell, oppure, per ontinure eentrii, mme e punterie sono tutti menismi di trsformzione del moto. In un nihi di tle ontesto si inserisono gli ingrnggi ellittii, oppie di ruote dentte d intersse ostnte e profilo omplementre venti l rtteristi di trsformre un moto rottorio uniforme in un moto sempre rottorio m on veloità ngolre vribile nello stesso giro. Quindi le suddette onsentono di modulre l veloità ngolre sull sse d usit, restituendo un moto elerto/deelerto. Fino d or l uso degli ingrnggi ellittii è stto poo diffuso, si per l diffioltà nell loro ostruzione, si per l prtiolrità dell trsformzione del moto he relizzno. Esse sono utilizzte d ostruttori di mhine d stmp, tessili ed utomtihe i quli possono vere, ome già ennto, le seguenti esigenze: -vrire l veloità nell ro di un giro di un lm, un sldtore, uno spingitore. Istituto Tenio Industrile Aldini Vlerini Bologn Are progetto ruote dentte ellittihe

5 -effetture movimenti ilii, posizionmenti rpidi - smorzti, -diltre i tempi utili e ontrrre i tempi morti in ili ripetitivi. Nessun libro di testo di meni e disegno tuttvi trtt tle rgomento in mnier pprofondit. Proprio l mnnz d informzioni rigurdo tli ruote dentte i h spinto seglierle ome tem dell re di progetto. In prti i simo prefissti di rispondere lle stess domnd he sorge spontne nel vedere il tlogo dell ditt Nnni Ingrnggi he le produe e ommerilizz: Come funzionernno?. Noi pensimo di vere risposto in mnier esuriente l suddetto quesito. Buon lettur. Gli llievi e gli insegnnti dell VC meni Istituto Tenio Industrile Aldini Vlerini Bologn Are progetto ruote dentte ellittihe 5

6 Rihimi di mtemti: gli ngoli, gli rhi e l loro misur. Angoli e rhi: Se in un pino si trino due semirette venti l origine in omune il pino diviso in due prti, isun delle quli viene himt ngolo. Le due semirette vengono dette i lti dei due ngoli e l origine omune il loro vertie. Dt un ironferenz vente il entro nel vertie di un ngolo, si him ro irolre quell prte di ironferenz intern ll ngolo e vente per estremi i punti di intersezione on i lti dell ngolo stesso. Misur degli ngoli e degli rhi: Per misurre un grndezz oorre fissre l unità di misur. Le più uste unità di misur degli ngoli sono il grdo ed il rdinte. Si him grdo l 360 prte dell ngolo giro. I suoi multipli sono il minuto primo ( o sempliemente primo, he è 1/60 di grdo, ed il minuto seondo ( o sempliemente seondo he è 1/60 di primo. Si him rdinte l ngolo l entro di un ironferenz, di rggio rbitrrio, he sottende un ro di lunghezz ugule l rggio stesso (si teng presente he se un ngolo l entro di un ironferenz sottende un ro lungo qunto il rggio iò suede per ogni ltr ironferenz onentri on l prim. Ovvimente, se l lunghezz dell ro sotteso è, d esempio, metà di quell del rggio, l ngolo è di mezzo rdinte; se è doppi di quell del rggio, l ngolo è di due rdinti; e osì vi. L ngolo giro, he sottende l inter ironferenz (l ui lunghezz è π volte quell del rggio, è di π rdinti; l ngolo pitto è di π rdinti; l ngolo retto è di π/ rdinti. In generle, l misur in rdinti di un ngolo he sottende un ro irolre di lunghezz l, è l/r essendo r il rggio dell ironferenz di ui l ro è prte. Per qunto onerne l unità di misur degli rhi irolri risult onveniente ssumere ome unità l ro in ui ngolo l entro orrispondente è l unità di misur degli ngoli. Si h osì l ro grdo, he è l ro di ironferenz he orrisponde ll ngolo l entro di un grdo, e l ro rdinte, he è l ro di ironferenz he orrisponde ll ngolo l entro di un rdinte. Seguendo quest onvenzione l misur di un ro di ironferenz e l misur del orrispondente ngolo l entro sono espresse dllo stesso numero. E di importnz prti spere ome si pss dll misur di un ngolo (o di un ro in grdi, ll misur in rdinti dello stesso ngolo ( o ro, e vievers. Dette e le misure, rispettivmente in grdi ed in rdinti, di uno stesso ngolo (o ro si h: D quest proporzione si rivno le due formule: 360:π : / π e /π l prim delle quli dà l misur in rdinti, not quell in grdi, l seond l misur in grdi, not quell in rdinti. Istituto Tenio Industrile Aldini Vlerini Bologn Are progetto ruote dentte ellittihe 6

7 Angoli ed rhi orientti e loro misur: E spesso neessrio ttribuire d un ngolo un orientzione. Un ngolo si die orientto qundo i suoi lti sono onsiderti in un ero ordine, qundo ioè è stbilito qule dei due deve onsiderrsi ome primo. In tl so l ngolo può essere pensto ome generto dll rotzione del primo lto (lto origine verso il seondo (lto termine, fino ll sovrpposizione dei due. Convenendo di onsiderre positiv un rotzione he vviene nel verso ntiorrio e negtiv quell he vviene nel verso orrio, l ngolo dell prim figur viene detto ngolo positivo mentre quello dell seond figur viene detto ngolo negtivo. L misur di un ngolo orientto si ottiene premettendo ll su misur ssolut il segno se l ngolo è positivo, il segno se è negtivo. Qunto si è detto per gli ngoli vle nhe per gli rhi. Rihimi di mtemti: relzioni tr gli elementi di un tringolo qulunque Medinte il teorem dell ord, l ui definizione è he l misur di un ord di un ironferenz è ugule l prodotto tr l misur del dimetro ed il seno di uno qulunque degli ngoli ll ironferenz he insistono su uno dei due rhi sottesi dll ord, si può dimostrre il teorem dei seni (o di Eulero, he stbilise un relzione tr gli elementi di un tringolo. Questo fferm he in un tringolo qulunque è ostnte il rpporto tr l misur di un lto ed il seno dell ngolo opposto; ioè he inditi on A, B, C i tre vertii di un tringolo, α, β, γ i tre ngoli orrispondenti e on, b, le misure dei lti rispettivmente opposti gli ngoli di vertii A, B, C (seguiremo d or in poi quest onvenzione per indire gli elementi di un tringolo si h: b senα senβ senγ Istituto Tenio Industrile Aldini Vlerini Bologn Are progetto ruote dentte ellittihe 7

8 Inftti, se onsiderimo l ironferenz irosritt l tringolo e pplihimo d ogni lto il teorem: e quindi: r senα, b r senβ, r senγ r b r r senα senβ senγ Per l proprietà trnsitiv dell uguglinz si h periò: b senα senβ senγ Il teorem delle proiezioni ed il teorem del oseno. Ci proponimo or di dimostrre he in un qulunque tringolo l misur di un lto è ugule ll somm dei prodotti di quelle degli ltri due lti per il oseno dell ngolo he isuno di questi form on il primo; ioè tr gli elementi di un qulsisi tringolo vlgono le relzioni: b os γ os β b os γ os α os β b os α E questo il teorem delle proiezioni. Per dimostrrlo onsiderimo le figure seguenti. α β γ πγ Istituto Tenio Industrile Aldini Vlerini Bologn Are progetto ruote dentte ellittihe 8

9 α β γ Nell prim l ltezz AH del tringolo ABC de internmente l lto BC; si h pertnto: BH HC osβ b os γ Nell seond l ltezz AH de esternmente l lto BC; in questo so si h pertnto: BH CH osβ b os (π γ osβ b osγ Per il lto vle dunque, in ogni so, il teorem delle proiezioni; in modo nlogo si dimostr he vle nhe per isuno degli ltri lti. Come immedit onseguenz del teorem delle proiezioni si h il seguente teorem, detto del oseno (o di Crnot: in un tringolo qulsisi,il tringolo dell misur di ogni lto è ugule ll somm dei qudrti delle misure degli ltri due, diminuit del doppio prodotto delle misure di questi per il oseno dell ngolo tr essi ompreso; vlgono ioè le relzioni: b b os α b os β b b os γ Lo dimostrimo per un lto, d esempio per. Considerimo le tre uguglinze he esprimono il teorem delle proiezioni per isuno dei lti e, seguendo l ordine nel qule sono stte sritte, moltiplihimo mbo i membri dell prim per, mbo i membri dell seond per b, mbo i membri dell terz per : Istituto Tenio Industrile Aldini Vlerini Bologn Are progetto ruote dentte ellittihe 9

10 b os γ os β -b - b os γ b os α - - os β b os α Sommndo membro membro queste tre uguglinze e riduendo i termini simili, si ottiene: - b - - b os α d ui si riv b - b os α he è qunto volevmo dimostrre. Vle l pen di osservre he il teorem di Pitgor può essere onsiderto un so prtiolre del teorem di Crnot. Inftti, se α 90 è os α 0 e pertnto per il teorem di Crnot si h: b he è ppunto l relzione tr ipotenus e teti espress dl teorem di Pitgor. Istituto Tenio Industrile Aldini Vlerini Bologn Are progetto ruote dentte ellittihe 10

11 Rihimi di mtemti: l ellisse Generlità: Si die ellisse il luogo dei punti del pino per i quli è ostnte l somm delle distnze d due punti fissi, detti fuohi. Indihimo on F 1 ed F i due fuohi, on ( > 0 l loro distnz, on ( > 0 l somm ostnte delle distnze dei punti dell elisse di fuohi; se P è un generio punto del luogo dovrà llor essere ( fig.1 : PF 1 PF Figur 1. L ellisse è il luogo dei punti P per i quli è: PF PF, essendo F1 ed F due punti fissi ( denominti fuohi ed un ostnte. L ondizione ffinhè questo luogo esist è he si: e quindi PF 1 PF > F!F > ossi >. L elisse non può vere punti interni l segmento F 1 F ; per questi punti è inftti l somm delle distnze di fuohi. Semplii onsiderzioni i portno d ffermre he l elisse h due ssi di simmetri : l rett dei fuohi e l rett d ess perpendiolre nel punto medio del segmento F 1 F. Inftti, se il punto P pprtiene l luogo, se ioè vle l relzione PF 1 PF, nlog relzione verrà per i punti P e P, simmetrii di P rispetto lle due rette ( fig.. Istituto Tenio Industrile Aldini Vlerini Bologn Are progetto ruote dentte ellittihe 11

12 Figur. L rett F1F dei fuohi e l rett quest perpendiolre nel punto medio O del segmento F1F sono ssi di simmetri per l elisse. Se P pprtiene ll elisse, pprtengono ll urv nhe P e P. L elisse è pure simmetri rispetto l punto O intersezione dei due ssi di simmetri (fig. 3. Inftti, se per un punto P vle l relzione PF PF, l stess relzione vrrà nhe per il punto P, simmetrio di P rispetto d O. Il punto O viene himto entro dell elisse. Figur 3. L elisse gode di un simmetri entrle rispetto l punto medio O del segmento vente per estremi i fuohi. Se P pprtiene ll elisse, pprtiene ll urv nhe P. Istituto Tenio Industrile Aldini Vlerini Bologn Are progetto ruote dentte ellittihe 1

13 Equzione dell ellisse riferit i suoi ssi: Dt un ellisse di fuohi F 1 ed F e di entro O, fissimo un sistem di riferimento rtesino on l sse delle sisse oinidente on l rett F 1 F e on l origine nel entro O. Indindo on l distnz fole si h: ( 1 ;0 F e F ( ;0 Se è l somm ostnte delle distnze dei punti dell ellisse di fuohi, l ondizione ffinhè un generio punto P(; pprteng l luogo è he si: PF PF 1 Figur : Si vuole trovre l equzione rtesin dell ellisse rispetto d un sistem di riferimento vente per ssi gli ssi di simmetri dell ellisse stess. Clolndo PF1 e PF on l formul dell distnz tr due punti ottenimo: ( ; PF (. PF 1 L ondizione di pprenz di P ll ellisse può llor osì venir sritt: ( ( Quest ultim è l equzione del luogo in esme, m l form in ui si present è poo prti, us dei rdili ontenuti; erhimo pertnto di rendere rzionle l equzione. A tl fine trsportimo uno dei rdili nel membro di destr ed elevimo l qudrto entrmbi i membri: Istituto Tenio Industrile Aldini Vlerini Bologn Are progetto ruote dentte ellittihe 13

14 Istituto Tenio Industrile Aldini Vlerini Bologn Are progetto ruote dentte ellittihe 1 ( ( ; ( (. Svolgendo le operzioni indite e sopprimendo i termini uguli nei due membri ottenimo: ( ; (. Isolimo il rdile rimsto, dividimo i termini dell equzione per ed elevimo nuovmente l qudrto i due membri: ( ( ( [ ] ( ( (. ; ; ; ; Ponimo or b (poihé > è 0 > : b b e dividimo per b i termini dell equzione: 1 b Quest ultim è l equzione dell ellisse riferit i propri ssi (ioè d un sistem di riferimento i ui ssi oinidono on gli ssi di simmetri del luogo stesso; ess prende il nome di equzione noni o normle. I punti d intersezione dell ellisse on l sse delle sisse e on quello delle ordinte si ottengono risolvendo i sistemi: b 1 0 e b 1 0

15 Essi vengono himti i vertii dell ellisse e sono: V 1 (- ; 0 V ( ; 0 V 3 (0 ; b V (0 ; -b Mndndo per questi punti le rette prllele gli ssi rtesini si ottiene un rettngolo entro il qule luogo è tutto ontenuto. L ellisse è tutt ontenut nel rettngolo i ui lti pssno per i suoi quttro vertii e sono prlleli i suoi ssi di simmetri. Inftti, poihé è: b 1 è nhe ertmente 1 e 1 b Di onseguenz srà e b b Ciò signifi he ogni punto dell ellisse h l siss ompres tr ed e l ordint ompres tr b e b. I segmenti V 1 V e V 3 V, di lunghezze rispettivmente e b, vengono himti ssi dell ellisse, sse mggiore il primo, sse minore il seondo ( e b sono quindi i semissi. Il segmento F 1 F, di lunghezz, viene himto sse fole ( è pertnto il semisse fole. Il rpporto viene generlmente indito on e e himto eentriità. Per il numero e vle l relzione 0 e 1 L ellisse è tnto più shiit qunto più il vlore di e è viino d 1. per e 0 si h un erhio; inftti se 0 e di onseguenz b ; l equzione si ridue llor ll form 1 e quindi Istituto Tenio Industrile Aldini Vlerini Bologn Are progetto ruote dentte ellittihe 15

16 Rihimi di mtemti: definizione di derivt di un funzione di un vribile I problemi fondmentli i quli si deve fr rislire l origine del onetto di derivt sono due: quello dell determinzione dell equzione dell tngente d un urv in un suo punto e quello del lolo dell veloità di un orpo in moto. Dremo or un definizione purmente nliti di derivt di un funzione di un vribile e ne illustreremo poi il signifito geometrio (tngente e quello inemtio (veloità ed elerzione. Si f( un funzione definit in un intervllo di estremi e b e sino un punto interno detto intervllo ed il vlore ssunto dll funzione per. Se ll vribile indipendente dimo un inremento (positivo e negtivo, se ioè pssimo dl punto o l punto o, pprentemente nh esso ll intervllo di definizione, nhe l vribile dipendente, ioè l funzione, subirà un vrizione; ess psserà inftti dl vlore f( o l vlore f( o. Chimimo inremento dell funzione, e lo indihimo on i simboli o f(, l differenz f ( 0 f ( 0 (vedi figur; il vlore di tle inremento dipende nturlmente di vlori di o e di e può essere positivo, negtivo o nullo. f( tr l inremento subito dll funzione f( e l inremento dto dll vribile indipendente ; e preismente, rpporto inrementle sinistro quello orrispondente d un <0 e rpporto inrementle destro quello orrispondente d un >0. Il rpporto inrementle dell funzione f(, orrispondente d un determinto vlore dell inremento dell vribile indipendente, è un indie del ome vri l funzione nell intorno del punto o ; esso viene nhe himto l vrizione medi dell funzione orrispondente ll vrizione subit dll vribile indipendente. Un volt fissto o il vlore del rpporto inrementle dipende unimente dl vlore di, è ioè un funzione dell vribile. Proponimoi or di vedere os suede di detto rpporto per 0. Istituto Tenio Industrile Aldini Vlerini Bologn Are progetto ruote dentte ellittihe 16

17 Se ttribuimo vlori sempre più pioli in vlore ssoluto, se ioè fimo tendere 0 (si vlori negtivi he per vlori positivi, l inremento f( tenderà nh esso 0 e se f( è f ( 0 ontinu in o ; il lim si presenterà periò nell form indetermint. 0 0 Null si può pertnto dire in generle del vlore di detto limite; se esso esiste ed è finito viene himto derivt dell funzione f( in o. Diimo dunque he: l derivt dell funzione f( nel punto o è il limite, se esiste ed è finito, del rpporto inrementle f ( f ( 0 f ( 0 l tendere omunque 0 dell inremento dell vribile indipendente (on l prol omunque intendimo dire he v ftto tendere 0 si per vlori positivi he negtivi. L derivt si indi in genere on uno dei seguenti simboli: Sriveremo dunque: ' ' f ( 0 ; ; ( 0 [ Df ( ] 0 f '( 0 f ( 0 f ( 0 lim 0 Alune grndezze fisihe definite ome derivte di ltre Allo sopo di hirire meglio il onetto di derivt, riportimo or luni semplii esempi di grndezze fisihe definite ome derivte di ltre grndezze. A Veloità istntne Si P un punto he si muove di moto vrio su un triettori r (he per sempliità supporemo rettiline, sull qule è fissto un sistem di oordinte sisse di origine 0. L posizione del punto P è individut, istnte per istnte, dll siss s, he risult funzione del tempo t. Si: ss(t l funzione he esprime l dipendenz di s d t, ioè l osì dett legge orri o equzione del moto. All istnte t 0 l siss del punto P srà llor s ( t 0 ed ll istnte t0 t srà s( t 0 t. Lo spzio perorso d P nell intervllo di tempo t è dunque: s( t s( t0 t s( t0 Istituto Tenio Industrile Aldini Vlerini Bologn Are progetto ruote dentte ellittihe 17

18 s( t Mentre il rpporto inrementle t P perorre lo spzio s ; è ioè: è, per definizione, l veloità medi v m on l qule v m s t s( t t t s( t ( 0 0 t Se il moto non è uniforme, l veloità medi per vlori di t sempre più pioli v m vri l vrire di t v vri sempre meno l vrire di t m, m, in generle,. Il vlore ui tende il rpporto inrementle s( t t, l tendere 0 di t, viene himto veloità istntne di P nell istnte t 0 ; indindo on v(t l veloità istntne di P srà llor: s( t0 t s( t0 v( t lim v lim s' ( t 0 0 m t 0 t 0 t L veloità di un punto P in un istnte t 0 è dunque l derivt rispetto l tempo dello spzio s(t. B Aelerzione istntne Ritornimo nor ll esempio del punto P he perorre l triettori rettiline r. Se v t e v( t 0 t sono le veloità di P rispettivmente negli istnti t 0 e t0 t, l vrizione di veloità subit dl punto nell intervllo di tempo t è v t v( t t v( ( 0 ( 0 t0. Com è noto, si definise elerzione medi m, reltiv ll intervllo t, il rpporto tr l vrizione di veloità v e l intervllo t nel qule l vrizione è vvenut: m v t v( t t t v( t ( 0 0 t Il vlore ui tende detto rpporto qundo t 0 viene himto elerzione istntne di P nell istnte t 0. L elerzione ( t 0 in un istnte t 0 è dunque l derivt, rispetto l tempo, dell veloità v(t: v( t0 t v( t0 ( t lim lim v'( t 0 0 m. t 0 t 0 t Istituto Tenio Industrile Aldini Vlerini Bologn Are progetto ruote dentte ellittihe 18

19 ρ ρ Studio inemtio di un oppi di ruote dentte ellittihe: Lo studio inemtio di un oppi di ruote dentte ellittihe denti dritti è ffrontto riferendosi lle ruote di frizione ellittihe primitive dei suddetti ingrnggi. Riero un relzione he leghi l rotzione dell ruot ondott ( vribile dipendente o di usit ll ngolo di rotzione dell ruot onduttrie ( vribile indipendente o di ingresso. ρ ρ π π Osservndo ttentmente l figur si deduono importnti informzioni: - Gli ellissi sono infulrti nei fuohi; - L intersse tr i due lberi durnte il moto rimne nturlmente invrito (F F 1 ost.; - I tringoli F 1 PF ed F 1 PF sono uguli. L ultim onsiderzione è quell più signifitiv. L ngolo di rotzione dell ruot ondott, per l similitudine dei tringoli, è quello desritto di segmenti F 1 P ed F P, vribili on l posizione di P sull ellisse. M tle ngolo pprtenente l tringolo desritto sull ruot ondott lo individuo nhe sul tringolo ostruito sull ellisse motrie, in virtù dell similitudine dei tringoli. Eo he i si liber di un grn frdello! All lue di qunto detto lo studio del moto di un oppi di ruote di frizione ellittihe si riondue ll nlisi del moto di un punto su un ellisse. L rotzione ert v espress in funzione di. Istituto Tenio Industrile Aldini Vlerini Bologn Are progetto ruote dentte ellittihe 19

20 Istituto Tenio Industrile Aldini Vlerini Bologn Are progetto ruote dentte ellittihe 0 I segmenti F 1 P ed F P sono, ome già detto, vribili seond dell posizione oupt d P he dipende, su volt, d. Il tringolo F 1 PF, nel generio istnte di moto, è un tringolo qulsisi e, ome tle, v studito on il Teorem di Crnot. Applio il suddetto l fine di rivre i lti PF 1 e PF in funzione di. os( ( π ρ ρ ρ os ρ ρ ρ ρ os ρ ρ os ( ρ ρ Il legme inognito fr gli ngoli ed è fornito dl Teorem dei seni pplito l tringolo F 1 PF he, riordimo, è generio. E un fse delit, si seglie di ffidrsi l lto in qunto è l unio del tringolo restre immutto poihé rppresent l distnz tr i due fuohi. Applio il teorem dei seni ngolo PF F π π π π ( 1 ( ( sen sen π ρ sen sen sen os ( ( ( π ρ π on sen(π sen sen rsen os on e espressi in rdinti 360 os sen rsen π π π π on e espressi in grdi Con gli ngoli selti in figur si è verifito he i risultti oinidono on quelli del tlogo dell ditt Nnni Ingrnggi m le rotzioni presentno sfsmenti di : iò è imputbile ll differente selt delle posizioni di prtenz dell oppi di ruote.

21 Si orregge immeditmente l disordnz tenedo onto dello sfsmento di nelle rotzioni, iò evit di ridisegnre ompletmente l figur preedente: 360 sen π ( π π rsen π ( os 360 L legge dell veloità ngolre viene rivt sempliemente derivndo rispetto l tempo l espressione ppen determint. Oorre osservre he l ngolo dipende d il qule, su volt, è funzione del tempo ( wt. Pertnto sono in presenz di un relzione del tipo: ((t. Andndo derivre otterò: d dt d d d dt on w d dt poihé l veloità ngolre è l derivt dell ngolo spzzto rispeto l tempo. Per determinre l espressione dell elerzione derivo l veloità ngolre dell ruot ondot rispetto l tempo, rgionndo nlogmente. Le funzioni suddette verrnno riportte più vnti. Tle fse di lolo può essere demndt trnquillmente ll elbortore. I grfii dell relzione sono stti relizzti on l loltrie grfi in dotzione nel sistem opertivo del Mintosh (Grphing Clultor 1.1 m è possibile utilizzre per l mbiente Windows il progrmm Derive 5 dell Softwre House. Istituto Tenio Industrile Aldini Vlerini Bologn Are progetto ruote dentte ellittihe 1

22 Legge rotzioni (spostmenti ngolri dell ruot ondott in funzione dei grdi di rotzione dell ruot onduttrie: 360 π π 360 sin sin π 360 ( π os π 360 ( π Legend: ngolo di rotzione in grdi dell ruot ondott (vribile di usit; ngolo di rotzione in grdi dell ruot onduttrie (vribile di ingresso; semisse mggiore dell ellisse; b semisse minore dell ellisse; metà dell distnz fole. Grfio rotzioni in grdi dell ruot ondott in funzione dell rotzione dell onduttrie: (esempio: ruot ellitti on semisse mggiore 65 mm; semisse minore b 61,83 mm; metà distnz fole 1,6665 mm oppi di ruote ditt Nnni Ingrnggi odie Istituto Tenio Industrile Aldini Vlerini Bologn Are progetto ruote dentte ellittihe

23 Ingrndendo mggiormente il pino rtesino: Istituto Tenio Industrile Aldini Vlerini Bologn Are progetto ruote dentte ellittihe 3

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25 Istituto Tenio Industrile Aldini Vlerini Bologn Are progetto ruote dentte ellittihe 5

26 Legge dell veloità ngolre dell ruot ondott in funzione dei grdi di rotzione dell ruot onduttrie: π ( π os π ( os π ( π ( sin 90 π 90 os ( π π ( sin 1 π ( os π ( os w π Legend: veloità ngolre dell ruot ondott (vribile di usit; ngolo di rotzione in grdi dell ruot onduttrie (vribile di ingresso; semisse mggiore dell ellisse; b semisse minore dell ellisse; metà dell distnz fole; w veloità ngolre dell lbero onduttore. Digrmm dell ndmento dell veloità ngolre dell ruot ondott in funzione degli ngoli di rotzione dell ruot onduttrie: (esempio: ruot ellitti on semisse mggiore 65 mm; semisse minore b 61,83 mm; metà distnz fole 1,6665 mm; w 100 rd/s oppi di ruote ditt Nnni Ingrnggi odie Istituto Tenio Industrile Aldini Vlerini Bologn Are progetto ruote dentte ellittihe 6

27 Con un sl più entut: Istituto Tenio Industrile Aldini Vlerini Bologn Are progetto ruote dentte ellittihe 7

28 π π w π ( sin π ( os 90 π ( π ( sin os π ( os ( π ( sin os π π ( os π π ( os π ( 8100 os sin 3 ( π ( os sin ( 1 π ( os π π ( os 90 π ( os sin ( 1 π π ( os π sin ( π ( 90 os π ( os π ( π sin π ( os 5 π ( os π π ( os π ( 5 os sin 3 ( π ( os π ( sin 1 π ( os π π ( os ( ( sin sin 1 π ( os π ( 90 os Legge dell elerzione ngolre dell ruot ondott in funzione dei grdi di rotzione dell ruot onduttrie: ( π ( π ( 3 π π π ( π ( 3 π 1/ ( π π Legend: Y.. elerzione ngolre dell ruot ondott (vribile di usit; X ngolo di rotzione in grdi dell ruot onduttrie (vribile di ingresso; semisse mggiore dell ellisse; b semisse minore dell ellisse; metà dell distnz fole; w veloità ngolre dell lbero onduttore. Digrmm dell ndmento dell elerzione ngolre dell ruot ondott in funzione degli ngoli di rotzione dell ruot onduttrie: (esempio: ruot ellitti on semisse mggiore 65 mm; semisse minore b 61,83 mm; metà distnz fole 1,6665 mm; w 100 rd/s oppi di ruote ditt Nnni Ingrnggi odie Istituto Tenio Industrile Aldini Vlerini Bologn Are progetto ruote dentte ellittihe 8

29 Con un sl più entut: Premess: tutti i grfii seguenti sono stti ostruiti riferendosi sempre ll oppi di ruote ellittihe prodotte dll ditt Nnni Ingrnggi, odie venti: semisse mggiore 65 mm; semisse minore b 61,83 mm; metà distnz fole 1,6665 mm; intersse 130 mm. Istituto Tenio Industrile Aldini Vlerini Bologn Are progetto ruote dentte ellittihe 9

30 Commento dei grfii: - legge delle rotzioni In verde: rotzione in grdi dell ruot ondott denti dritti ellitti in funzione dell rotzione dell ruot onduttrie; In ros: rotzione in grdi dell ruot ondott denti dritti irolre in funzione dell rotzione dell ruot onduttrie. Se esmino le rotzioni di un oppi di ruote dentte denti dritti irolri venti ugul numero di denti e stesso dimetro primitivo, il grfio srebbe un rett inlint di 5 pssnte per l origine (bisettrie del I e III qudrnte. Nei punti in ui l legge delle rotzioni (verde interse l rett (ros le ruote ellittihe sono nelle posizioni di qudrtur, ioè hnno i semissi mggiori llineti sull medesim rett. fig.1 0, 0. fig.,. E opportuno osservre he l form dell legge delle rotzioni è l seguente: f( rsen(f( Essendo rsen(f( un quntità osillnte si pise perhé il grfio bbi il suddetto ndmento. Ad un giro dell ruot morie orrisponde un giro dell ruot ondott. Il rpporto di trsmissione, vribile istnte per istnte, è nel periodo unitrio. Istituto Tenio Industrile Aldini Vlerini Bologn Are progetto ruote dentte ellittihe 30

31 legge dell veloità ngolre dell ruot ondott: L line orizzontle di olore fusi rppresent l veloità ngolre dell lbero dell ruot motrie, he è ostnte nel tempo e pri nell esempio di figur w 100 rd/s. L line in verde rppresent l veloità ngolre dell lbero su ui è lettt l ruot ondott, vribile nell ro di un giro. Per gli intervlli di nei quli l line verde gie l di sotto dell line ros, l ruot ondott ruot più lentmente dell ruot motrie. Vievers per gli intervlli di nei quli l line verde gie l di sopr dell line ros, l ruot ondott ruot più veloemente dell ruot motrie. D ltronde l funzione degli ingrnggi ellittii è proprio quest, ioè ottenere un veloità ngolre vribile nell ro dello stesso giro, mntenendo un rpporto di trsmissione medio pri d 1:1. L veloità ngolre dell ruot ellitti ondott vri d 50 rd/s 00 rd/s, venendo ioè nell ro di un giro ftt vrire tr w/ e w. L entità dell suddett vrizione dipende dll geometri dell ingrnggio. Istituto Tenio Industrile Aldini Vlerini Bologn Are progetto ruote dentte ellittihe 31

32 - legge dell elerzione ngolre dell ruot ondott: Dove l veloità ngolre dell ruot ondott present vlore minimo ( 0 e 360 l elerzione è null. Ciò è onfermto e giustifito dl ftto he l elerzione ngolre sturise dll derivt prim rispetto l tempo dell veloità ngolre dell ruot ondott. Quest ultim gir periò on veloità ngolre pressohé ostnte eslusivmente negli intorni dei punti 0 e 360. Notre he nell intervllo 0 - l elerzione è positiv, pur se inostnte. Inftti l veloità st umentndo: l ruot onduttrie st elerndo l ruot ellitti ondott. Notre infine he nell intervllo -360 l elerzione è negtiv, pur se inostnte. Inftti l veloità st diminuendo: l ruot onduttrie st rllentndo l ruot ellitti ondott. Lo studio inemtio di un oppi di ruote ellittihe h portto relzioni l ui vlidità è onfermt si di dti del tlogo dell ditt Nnni Ingrnggi si dll simulzione eseguit on il progrmm Autod 000. Un ulteriore onferm si h dl rffronto tr i nostri" grfii on il prospetto he Nnni fornise i suoi Clienti. Se i è permesso vorremmo umilmente sottolinere un inongruenz nei suddetti digrmmi: l elerzione h segno meno qundo l veloità ngolre dell lbero ondotto è resente... e vievers Istituto Tenio Industrile Aldini Vlerini Bologn Are progetto ruote dentte ellittihe 3

33 Istituto Tenio Industrile Aldini Vlerini Bologn Are progetto ruote dentte ellittihe 33

34 Crtteristihe ostruttive: I denti di un ruot dentte ellitti non sono tutti uguli, ome mostrno hirmente le figure seguenti: iò è dovuto l ftto he, durnte l denttur (eseguit on un denttrie tipo Pfuter CNC il retore non ingrn on l ironferenz primitiv bensì on un ellisse primitivo. In tl modo vri il rggio di urvtur dell superfiie su ui rotol il segmento he desrive il profilo d evolvente del fino del dente. Il psso tuttvi deve restre nvrito lungo l ellisse primitivo, ondizione neessri per l ingrnmento. Istituto Tenio Industrile Aldini Vlerini Bologn Are progetto ruote dentte ellittihe 3

35 E fondmentle per il funzionmento dell ingrnggio posizionre i denti ome in figur (notre l presenz dei riferimenti rppresentti di bulini : Istituto Tenio Industrile Aldini Vlerini Bologn Are progetto ruote dentte ellittihe 35

36 Criteri di selt delle ruote ellitihe: Qulittivmente si er di dre un tri per il progettist d seguire per segliere l oppi di ruote ellittihe opportune. Lo sopo è ottenere un erto rpporto tr le veloità ngolri mssime e minime he si verifino nell ro di un rotzione omplet, situzioni, ome già visto, he si hnno nelle posizioni di qudrtur. R R1 R R1 w w1ost w w1ost Ruot ondott 0 Ruot motrie Ruot ondott Ruot motrie Poihé si sono sempre prese ome esempio le ruote ellittihe on semisse mggiore 65 mm; semisse minore b 61,83 mm; metà distnz fole 1,6665 mm dell ditt Nnni Ingrnggi (odie , si ontinu on esse: w m w min 00rd / s 50rd / s Come rrivo tele risultto senz pssre ttrverso l uso dell legge on il rispettivo grfio? Anlizzimo le situzioni delle ruote ellittihe in qudrtur: Istituto Tenio Industrile Aldini Vlerini Bologn Are progetto ruote dentte ellittihe 36

37 R ,6665 3,3335mm R 65 1, ,6665mm w min w ost R 1 R 3,3335mm 86,6665mm 1/ w m w ost R R 1 86,6665mm 3,3335mm periò: R r v w w ost m R 1 w min R w 1 os t quindi R ( R R 1 r v w m w min ( R 1 R (r r Giondo sulle forme delle ruote ellittihe rivo il rpporto tr le veloità desiderto. Il tlogo evit i loli poihé fornise già tli vlori. Istituto Tenio Industrile Aldini Vlerini Bologn Are progetto ruote dentte ellittihe 37