Claudio Cereda - appunti sparsi sulla costruzione dei campi numerici - curiosità e spunti di riflessione dicembre 2006 pag. 1

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1 Claudio Cereda - apputi sparsi sulla costruzioe dei campi umerici - curiosità e sputi di riflessioe dicembre 2006 pag. 1 Gli isiemi umerici Operazioi U isieme umerico è u isieme su cui soo state defiite delle operazioi. Ua operazioe è ua scatola dotata di due igressi e di ua uscita che associa a due elemeti dell isieme (1 e 2 operado) u terzo elemeto dell isieme (risultato). L operazioe viee idicata co u simbolo (per esempio ) e se a e b rappresetao i due operadi e r il risultato si scrive: r = a b A volte si distigue tra operazioi itere (quelle per le quali il risultato appartiee all isieme di parteza) ed operazioi estere (quelle che madao verso u altro isieme). Nel seguito itederemo co operazioe la sola operazioe itera (i questo seso diciamo che ell isieme dei aturali la sottrazioe o è itera voledo dire che o è sempre eseguibile). Termiologia esseziale o Ua operazioe si dice commutativa se a b = b a cioè se o è importate l ordie di esecuzioe degli operadi. o Ua operazioe si dice associativa se (a b) c = a (b c) cioè se i caso di operazioe ripetuta o importa l ordie di esecuzioe (i ua operazioe associativa o è ecessario specificare le paretesi). o Data ua operazioe defiita su u isieme umerico A si dice che l elemeto e di A è l elemeto eutro rispetto a se a si ha a e = e a = a ovvero se e o iflueza mai il risultato della operazioe. I u campo umerico è sempre richiesta l esisteza dell elemeto eutro. o Data ua operazioe defiita su u isieme umerico A e cosiderato u geerico elemeto a di A si dice che l elemeto a di A è: l iverso di a rispetto a se a a = a a = e ovvero se a combiato co a produce l elemeto eutro. Dato u campo umerico o è detto che esista l iverso; la sua esisteza, come vedremo, è strettamete collegata alla possibilità di eseguire la operazioe iversa di o Si chiama operazioe iversa di e la si idica co 1 quella operazioe che combiado il risultato della operazioe diretta co il r 1 a = r 1 b II operado produce il primo. Cioè: b r = a b r 1 b = a o Quado sull isieme soo state defiite due operazioi (per esempio idicate dai simboli e ) si dice che vale la proprietà distributiva di rispetto a se a (b c) = (a b) (a c) Come si allargao gli isiemi umerici? L isomorfismo L isomorfismo è la ozioe più importate da cosiderare ella costruzioe dei campi umerici. Essi vegoo costruiti a partire da quello cocettualmete più semplice (l isieme dei aturali che è associato alla operazioe psicologica dell avere lo stesso umero di elemeti) cercado attraverso ampliameti di produrre isiemi che superio le limitazioi (i difetti) dell isieme precedete. Si tega presete che i diversi isiemi umerici soo tra loro eterogeei (cioè soo fatti di cose diverse o cofrotabili) e che le operazioi su di essi soo defiite solo tra elemeti di uo stesso isieme (o ha seso addizioare u umero aturale ad u umero itero o ad ua frazioe). Esiste cioè l addizioe tra i aturali che è diversa dalla addizioe tra gli iteri che a sua volta è diversa dalla addizioe tra frazioi. a b r = a b

2 Claudio Cereda - apputi sparsi sulla costruzioe dei campi umerici - curiosità e sputi di riflessioe dicembre 2006 pag. 2 Per questa ragioe (quado ci sarà rischio di cofusioe) racchiuderemo il simbolo di operazioe i u circolio distiguedo tra + e. Osserviamo ora che = 5 e che (+2) (+3) = (+5) e cioè che se associamo ai umeri aturali gli iteri positivi e alla addizioe tra aturali + la addizioe tra iteri la corrispodeza si coserva ache ei risultati. Ovvero: = = +5 Abbiamo semplificato al massimo, ma l isomorfismo tra isiemi strutturati (cioè su cui siao state defiite delle operazioi) è ua corrispodeza biuivoca tra il primo isieme ed u sottoisieme del secodo che si coserva attraverso i risultati delle operazioi. Così l isieme dei umeri aturali che avete già studiato è i isomorfismo co gli iteri positivi, quello delle frazioi appareti del tipo 1 è i isomorfismo co quello dei aturali e così via. N Z + Z Duque se si ragioa i maiera astratta e formale è sbagliato affermare che ella costruzioe degli isiemi umerici si opera attraverso ampliameti successivi co l isieme precedete che fa da sottoisieme proprio di quello successivo. Si procede per corrispodeze e geeralizzazioi e o per iclusioi ache se proprio l isomorfismo garatedo la coservazioe delle corrispodeze cosete di utilizzare scritture improprie o ibride che hao il vataggio di ecoomizzare i simboli e tempo di scrittura = = = = 11 4 Il pricipio di coservazioe delle proprietà formali Dopo aver chiarito che quado si costruisce u isieme umerico più vasto si deve dire da cosa è costituito e come soo defiite le operazioi su di esso asce ua domada: esiste qualche criterio da seguire el decidere i cosa cosista (cioè come sia defiita) la uova operazioe? La risposta è affermativa e asce dalla esigeza di costruire ua matematica i cui i diversi livelli parlio tra loro. Il criterio utilizzato oto come pricipio di ivariaza delle proprietà formali afferma che el uovo isieme devoo cotiuare a valere le proprietà valide ell isieme precedete e che el uovo isieme si dovrà fare i modo che vegao elimiati alcui dei difetti dell isieme precedete. Per esempio, ell isieme degli iteri esiste l iverso rispetto alla addizioe (detto opposto), si può sempre fare l operazioe di sottrazioe (operazioe iversa della addizioe) e cotiuao a valere le proprietà commutative, associative e distributive valide sui aturali. Ifie l isomorfismo ci garatisce che le due operazioi di sottrazioe costruite sui due isiemi producao risultati corrispodeti. Relazioi Dato A B si chiama relazioe tra A e B u suo geerico sottoisieme e si scrive R A B a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 b1 b2 b3 b4 b5 b6 b7 b8 b9

3 Claudio Cereda - apputi sparsi sulla costruzioe dei campi umerici - curiosità e sputi di riflessioe dicembre 2006 pag. 3 Forma deotativa R = {(a 1,b 1 ),(a 1,b 2 ) }, si scrive ache a 1 R b 1 ; b 1 è detto immagie di a 1; a 1 è detta cotroimmagie di b 1. Nella forma cootativi la relazioe esprime la proprietà che cosete di defiire le coppie. Saper defiire il domiio: isieme delle cotroimmagii e il codomiio: isieme delle immagii a D b (a,b) R b C a (a,b) R D = {a 1, a 2, a 4, a 6,a 7 } C = {b 1, b 2, b 4, b 6 } R = {(a 1,b 1 ), (a 2,b 1 ), (a 4,b 2 ), (a 4,b 6 ), (a 6,b 4 ), (a 7,b 2 )} Relazioi di equivaleza Vegoo defiite i A A co la richiesta che siao riflessive, simmetriche e trasitive Sia R A A o riflessiva: a D (a,a) R o simmetrica: (a,b) R (b,a) R o trasitiva: (a,b) R (b,c) R (a,c) R. Idicheremo le geeriche relazioi di equivaleza co ~. Ua geerica relazioe di equivaleza i A A ha la proprietà di idurre su u isieme A ua particolare partizioe i sottoisiemi A 1, A 2, A 3, I effetti presi due elemeti qualsiasi di A o essi soo equivaleti e allora appartegoo ad uo stesso sottoisieme oppure o lo soo e allora appartegoo a sottoisiemi diversi. Si chiama isieme quoziete di A rispetto alla relazioe ~ l'isieme A / ~ ={ A 1, A 2, A 3, } Poiché tutti gli elemeti di A i soo equivaleti tra loro se e assume uo come rappresetate di classe e si scrive A i = [a i ] Per esempio o l'isieme dei umeri aturali può essere partizioato i pari e dispari e si può assumere A 1 = [1] e A 2 = [2] o l'isieme degli studeti di ua scuola può essere partizioato i classi e uo dei due delegati può essere preso come rappresetate di classe o l'isieme delle frazioi può essere suddiviso i isiemi di frazioi tra loro equivaleti A 0 ={ 0 1, 0 2, 0 3, 0 4, }, A 1 ={ 1 1, 2 2, 3 3, 4 4, }, A 2 ={ 1 2, 2 4, 3 6, 4 8, }, e si scrive A 0 =[ 0 1 ] A 1 =[ 1 1 ], A 2 = [ 1 2 ], Relazioi di ordiameto Ua relazioe R si dice di ordie (largo) se è: o Riflessiva (a,a) R o Atisimmetrica (a,b) R (b,a) R a = b o Trasitiva (a,b) R (b,c) R (a,c) R Quado o vale la proprietà riflessiva la relazioe si dice di ordie stretto e la atisimmetrica diveta (a,b) R (b,a) R La relazioe si dice di ordie totale (si dice ache che l isieme è totalmete ordiato) quado vale la proprietà di tricotomia cioè (a,b) si verifica sempre ua sola delle tre segueti possibilità o (a,b) R oppure (b,a) R oppure b = a. Idichiamo co a b la geerica relazioe di ordie che leggeremo a è miore o eguale a b o ache a precede b. La relazioe che scambia le coppie è idicata da e si legge a è maggiore o eguale a b defiizioe U isieme A totalmete ordiato si dice deso se (a,b) co a b c a c c b ( si scrive ache a c b e si legge c è compreso tra a e b). U isieme o deso si dice discreto.

4 Claudio Cereda - apputi sparsi sulla costruzioe dei campi umerici - curiosità e sputi di riflessioe dicembre 2006 pag. 4 Si osservi che se u isieme totalmete ordiato è deso esso ha ecessariamete ifiiti elemeti perché si può applicare a cascata la proprietà di esisteza dell elemeto itermedio. defiizioe U isieme A totalmete ordiato si dice limitato superiormete se c a, a c; se la proprietà o vale cioè se a c c > a l isieme si dice illimitato superiormete. Valgoo le defiizioi aaloghe per la limitatezza e illimitatezza iferiore.

5 Claudio Cereda - apputi sparsi sulla costruzioe dei campi umerici - curiosità e sputi di riflessioe dicembre 2006 pag. 5 Isieme dei umeri aturali N tramite la relazioe di equipoteza La relazioe di equipoteza Cosideriamo come isieme uiversale quello degli isiemi fiiti e cosideriamo i U U la seguete relazioe detta di equipoteza: due isiemi si dicoo equipoteti se e solo se esiste ua corrispodeza biuivoca tra gli elemeti dei due isiemi. Si vede immediatamete che si tratta di ua relazioe di equivaleza e la idicheremo co. La relazioe che abbiamo appea defiito è quella che si forma ella mete umaa verso i 2 o 3 ai che ci mette i grado di imparare a cotare. Nota Bee : o cofodere il umero tre cioè [{a,b,c}] co il simbolo 3, e questo co la sua rappresetazioe che dipede dal sistema di umerazioe (i biario è 11), co il suo ome (i italiao tre, a c b la defiizioe del cocetto di tre i iglese three, i tedesco drei, i fracese trois, ). Il umero è u cocetto (classe di equivaleza): 3 = [{a,b,c}]. Defiizioe Si chiama umero aturale m la classe di equivaleza di tutti gli isiemi che possoo essere messi i corrispodeza biuivoca co il particolare isieme M di cui diciamo che ha m elemeti. La successioe dei aturali o 0 = [ ] 1 = [A] co A = {a} 2 = [B] co B = {a,b} eccetera Quado i umeri aturali vegoo defiiti i maiera molto astratta si parte dall isieme vuoto e si procede a crescere utilizzado sempre l isieme vuoto su livelli liguistici via via più elevati. 0 = [ ] 1 = [{ }] 2 = [{,{ }}] eccetera o cocetto di successore di u umero aturale: sia = [A] si passa a +1 per aggiuta ad A di u sigolo elemeto che o sia già presete i A. Questo è esattamete il meccaismo co cui, i età ifatile, si impara a cotare. Idicheremo il successore di co e osserviamo che,!. Dato il umero sarà detto precedete. Si costruisce i questo modo u isieme totalmete ordiato: 0, 1, 2, 3, el quale ogi umero aturale è dotato di u successore metre ciò o è vero per il precedete perché lo 0 o è successore di alcu umero. Le operazioi i N Addizioe defiizioe: Siao = [A ] e m = [A m ] co A A m = si poe allora s = + m = def [A A m ] A A m s = + m = [A ] m = [A m ] o termiologia: addedi, somma, o proprietà: commutativa e associativa, + m = (+1) + (m 1) (questa è la proprietà co cui i bambii imparao a fare le somme).

6 Claudio Cereda - apputi sparsi sulla costruzioe dei campi umerici - curiosità e sputi di riflessioe dicembre 2006 pag. 6 o elemeto eutro: 0 perché A = A o ordiameto: > m! p 0 = m + p Moltiplicazioe defiizioe: Siao = [A ] e m = [A m ] si poe allora m = def [A A m ] o termiologia: fattori, prodotto, multiplo di secodo m m p o proprietà: commutativa, associativa, m = + + (m termii), 0 = 0 perché co l'isieme vuoto o si formao coppie o distributiva rispetto alla addizioe: (m+p) = m + p (si dimostra i maiera baale co il prodotto cartesiao: vedi immagie a lato) o elemeto eutro: 1 = [{a}] perché u isieme di elemeti forma coppie co uo di u solo elemeto Sottrazioe defiizioe: come operazioe iversa della addizioe: m = d m = d +. Si vede subito che ciò è possibile solo se m o termiologia: miuedo, sottraedo, differeza o proprietà: dal puto di vista isiemistico rivia alla differeza tra isiemi co la premessa ulteriore che sia M N. Da ciò deriva ache la proprietà ivariativa (m + h) ( + h) = m Divisioe defiizioe: come operazioe iversa m : = q m = q. Si vede subito che ciò è possibile solo se m è u multiplo di. o termiologia: dividedo, divisore, quoziete o divisioe co resto: si chiama resto il umero r più piccolo del divisore tale che m = q + r o proprietà ivariativa: (m:p) = (m):(p) Sia m:p = q (per defiizioe) m = pq (proprietà della moltiplicazioe) m = (pq) = (p)q (m):(p) = q o proprietà scomposizioe: (m):p = (m:p) Sia m:p = q m = pq m = (pq)=(q)p (m):p = q =(m:p) Poteze defiizioe: come moltiplicazioe ripetuta m = mm m (co fattori); la defiizioe o ha seso per = 0 = 1) o termiologia: base, espoete, poteza o proprietà: m m p = m +p si dimostra applicado la defiizioe o estesioe della defiizioe: se =p=1 e si vuole coservare la validità della proprietà si ha m 1 m 1 = m 1+1 = m 2 = m m e pertato m 1 = m se p=0 e si vuole coservare la validità della proprietà si ha m m 0 = m +0 = m = m 1 e pertato m 0 = 1 No si defiisce 0 0 perché i tale caso o si riesce a ripetere il ragioameto precedete o proprietà: m :m p = m p per p si dimostra applicado la defiizioe e ripetutamete la proprietà (m):(p) = (m:p) o proprietà: (m ) p = m p si dimostra applicado la defiizioe attezioe a o cofodere (m ) p co m (p ) che richiede il calcolo prevetivo di p ; il risultato è l'espoete di m; esempio m (32) = m 9 metre (m 3 ) 2 = m 3 2 = m 6 o proprietà: m p = (mp) si dimostra applicado la defiizioe e le proprietà associativa e commutativa

7 Claudio Cereda - apputi sparsi sulla costruzioe dei campi umerici - curiosità e sputi di riflessioe dicembre 2006 pag. 7 Numeri primi defiizioe: si dice che m è u divisore di se si può eseguire la divisioe : m cioè!q qm = o proprietà: 1 è divisore di tutti i umeri; lo 0 ammette come divisori tutti i aturali trae lo 0; ammette sempre come divisore o defiizioe: u umero si dice primo se o ammette altri divisori oltre a 1 e o defiizioe: due umeri e m si dicoo primi tra loro se o ammettoo altri divisori comui oltre all'uità o termiologia e competeze: scomposizioe i fattori primi, MCD, mcm o problemi: quati soo i umeri primi? esiste u metodo per geerarli tutti? esiste u metodo per geerare alcui i automatico? esiste u algoritmo per calcolare MCD? Pregi e difetti di N o E' totalmete ordiato, è limitato iferiormete, è illimitato superiormete, o è deso. o Le operazioi di addizioe e moltiplicazioe soo chiuse; o così le operazioi iverse o Lo 0 e l'1 soo gli uici umeri aturali dotati di iverso che coicide co il umero stesso (0 + 0 = 0 e 1 1 = 1).

8 Claudio Cereda - apputi sparsi sulla costruzioe dei campi umerici - curiosità e sputi di riflessioe dicembre 2006 pag. 8 Isieme delle frazioi Geesi Co le frazioi si teta di riparare ad uo dei difetti dell'isieme N: si costruisce u isieme i cui la divisioe è sempre possibile. Si teta ioltre di risolvere u problema esseziale per la misurazioe e collegato alla divisioe: costruire u isieme umerico i cui si possa operare co multipli e sottomultipli di ua gradezza eseguedo su di essi le 4 operazioi algebriche (si rifletta sul caso dei segmeti, ma ache sul problema classico delle fette di torta: cosa sigifica 2 3 di u segmeto? La risposta è 2 volte u terzo. E cos'è u terzo? U segmeto che riportato tre volte dà il segmeto origiario. Due volte u terzo è la stessa cosa di u terzo di 2 volte? E così via. Defiizioe e relazioe di equivaleza Defiizioe : si chiama frazioe ua coppia ordiata di umeri aturali di cui il secodo o sia mai lo zero. Si scrive F = {(,m) (,m) N N 0 } e co N 0 si itede N {0}. La ragioe di questa esclusioe dello 0 si vedrà più avati. Termiologia e simboli: è detto umeratore, m è detto deomiatore e si scrive (,m) = m. Attezioe, per ora, m o ha alcu sigificato speciale (vuol solo dire coppia ordiata). Relazioe di equivaleza : due frazioi si dicoo equivaleti se soo uguali i prodotti icrociati e la equivaleza si scrive ~. Simbolicamete m ~ p q q = mp Resta da far vedere che la relazioe è di equivaleza. Mi limito alla trasitività (che è la più difficile) Trasitività m ~ p q p q ~ r s m ~ r s dimostrazioe m ~ p p q q = mp q ~ r s ps = qr Soo vere per ipotesi Devo dimostrare che s = mr Per otteere s moltiplico tra loro le due relazioi tra umeri aturali e ottego: (q)(ps) = (mp)(qr) Riorgaizzo (commutativa e associativa) ed ottego (s)(qp) = (mr)(qp) Divido per qp e ottego s = mr Isieme quoziete : ell'isieme delle frazioi la relazioe di equivaleza iduce ua partizioe i classi di equivaleza. L'isieme delle classi di equivaleza è detto isieme dei umeri razioali (u umero razioale è l'isieme di tutte le frazioi equivaleti ad ua frazioe data). Così il umero razioale [ 1 2 ] è l'isieme di tutte le frazioi equivaleti a 1 2 e cioè{1 2,2 4,3 6, } Classi speciali : [ 1 1 ] = {1 1,2 2,3 3,,, }diveterà l'elemeto eutro rispetto al prodotto [ 0 1 ] = {0 1,0 2,0 3,, 0, }diveterà l'elemeto eutro rispetto alla somma [ 1 ] = { 1,2 2,3 m 3,, m, }è quella che chiamiamo di solito frazioe apparete e che farà da pote co l'isieme dei umeri aturali (isomorfismo).

9 Claudio Cereda - apputi sparsi sulla costruzioe dei campi umerici - curiosità e sputi di riflessioe dicembre 2006 pag. 9 Proprietà ivariativa m mp ~ p dimostrazioe m mp ~ p (m)p = (mp) che è vera (basta applicare la proprietà commutativa e associativa) Duque i ua frazioe si può moltiplicare o dividere umeratore e deomiatore per uo stesso umero otteedo ua frazioe equivalete (da qui il ome ivariativa che sigifica o cambia; i realtà la frazioe cambia ma quella che si ottiee è equivalete, cioè se la sostituisco co ua equivalete i tutte le operazioi si ottegoo risultati equivaleti) Ua frazioe si dice ridotta ai miimi termii quado applicado la proprietà ivariativa si scrive la frazioe equivalete i cui il umeratore e il deomiatore soo primi tra loro. D'ora i poi si suppoe sempre di operare co frazioi ridotte ai miimi termii (che soo più semplici da maeggiare). La moltiplicazioe Defiizioe : m p q = p m q La moltiplicazioe tra frazioi si riduce alla moltiplicazioe tra umeri aturali Prima di proseguire sorge u problema: se al posto di m e di p q cosidero due frazioi ad esse equivaleti cosa ottego come prodotto? La risposta, come dimostreremo tra breve, è che si ottiee ua frazioe equivalete; e se o fosse così la ostra defiizioe sarebbe da scartare perché porterebbe a cotraddizioi ei coti (il risultato di ua moltiplicazioe cambierebbe a secoda della particolare frazioe equivalete che si usa ei calcoli). Qualuque operazioe sugli isiemi umerici deve rispettare l'equivaleza, cioè se gli operadi vegoo sostituiti da operadi equivaleti si deve otteere u risultato equivalete. Questo è il primo criterio che vicola il modo di defiire le operazioi. Teorema sulla equivaleza m ~ ' m' p q ~ p' q' m p q ~ ' m' p' q' dimostrazioe per ipotesi è m' = m' pq' = qp' metre si deve dimostrare che (p)(m'q') = (mq)('p') Se si moltiplicao le prime due uguagliaze membro a membro si ha: (m')(pq') = (m')(qp') Basta ora usare la proprietà commutativa e associativa e si ha (p)(m'q') = (mq)('p') L'elemeto eutro: è 1 1 ifatti 1 1 p q = 1 p 1 q = p q Proprietà: si dimostra che è commutativa e associativa Iverso ed operazioi iverse Data ua operazioe dotata di elemeto eutro si chiama iverso di u umero rispetto alla operazioe quel umero (se esiste) che composto co il umero di parteza forisce l'elemeto eutro. Se idichiamo co l'operazioe dotata di elemeto eutro u e co α e α u geerico umero e il suo iverso dovrà essere α α = u L'iverso rispetto alla addizioe viee di solito chiamato opposto (ed esiste solo tra i umeri relativi e tra i vettori); l'iverso rispetto alla moltiplicazioe viee di solito chiamato reciproco (ed esiste ell'isieme delle frazioi). La esisteza dell'iverso si collega sempre co la eseguibilità della operazioe iversa di ua data operazioe perché come vedremo, ache se o i modo sistematico, la operazioe iversa si esegue

10 Claudio Cereda - apputi sparsi sulla costruzioe dei campi umerici - curiosità e sputi di riflessioe dicembre 2006 pag. 10 attraverso quella diretta applicata all'iverso del secodo operado (la sottrazioe ei relativi si esegue come addizioe co l'opposto; la divisioe elle frazioi si esegue come moltiplicazioe co il reciproco). La divisioe Defiizioe : m : p q = r s r s p q = m La divisioe viee defiita come operazioe iversa della moltiplicazioe e pertato diremo che u umero è il quoziete di ua divisioe se, moltiplicadolo per il divisore, si ottiee il dividedo. Teorema sull'iverso Il reciproco di ua frazioe m diversa dallo zero esiste sempre e vale m Dimostrazioe m m = m m = m m ~ 1 1 (si soo usate la defiizioe, la proprietà commutativa e quella ivariativa) Duque l'iverso o reciproco di ua frazioe si ottiee scambiado il umeratore co il deomiatore. Lasciamo al lettore la riflessioe su cosa accade quado la frazioe è lo zero delle frazioi. Teorema sulla divisioe m : p q = m q p ovvero la divisioe si esegue moltiplicado per l'iverso Dimostrazioe Applico la defiizioe di divisioe, vado cioè a vedere se il quoziete moltiplicato per il divisore dà il dividedo: m q p p q = m q p p q = m qp pq ~ m 1 1 = m Duque ell'isieme delle frazioi la divisioe si può sempre eseguire e si esegue moltiplicado la frazioe dividedo per il reciproco (iverso) del divisore. Perché pesiamo che m = : m? Come sappiamo, i geerale :m o esiste eppure siamo abituati ad idetificare la frazioe m co la divisioe :m. Come mai? La ragioe è da ricercare ell'isomorfismo tra l'isieme delle frazioi appareti e l'isieme dei umeri aturali. Idichiamo la corrispodeza co : m =? 1 : m 1 = 1 1 m = 1 1 m = m Duque : m o si può fare i geerale ma, attraverso l'isomorfismo, viee a corrispodere alla frazioe m che ha ivece seso. m Cosa vuol dire e quato fa p? Ache questa è ua scrittura isesata come la precedete ma la usiamo grazie agli isomorfismi. La scrittura è isesata perché i ua frazioe il umeratore e il deomiatore devoo essere dei umeri aturali. Ma se facciamo corrispodere a p la frazioe p 1 e al simbolo di frazioe m p m : p 1 = m 1 p = mp quello di divisioe avremo che:

11 Claudio Cereda - apputi sparsi sulla costruzioe dei campi umerici - curiosità e sputi di riflessioe dicembre 2006 pag. 11 Aalogamete: m 1 : m p = 1 p m = p m p Attezioe, ciò che determia il risultato è la posizioe della liea di frazioe pricipale che sarebbe bee abituarsi a scrivere per prima. Quado si icotrerao egli esercizi quelle assurde frazioi su più livelli ricordarsi del sigificato che abbiamo stabilito qui; così facedo o si sbaglia. La addizioe Defiizioe : m + p q = q + p m m q Osservazioi: se si addizioao due frazioi appareti viee il corrispodete della somma tra aturali; se al posto di k m si cosidera la frazioe equivalete m k, si applica la defiizioe e poi si applica la proprietà ivariativa si ottiee ua frazioe equivalete (provare per credere). Se m e q o soo primi tra loro la somma q + p m risulta coteere sia al umeratore che al m q deomiatore u fattore comue che, dopo essere stato elimiato (proprietà ivariativa) porta al seguete risultato (più difficile da dire, ma più semplice da eseguire: m + p (a:m) + (a:q) p q = a dove si è posto a = m.c.m.(m,q) E' abbastaza istruttivo l'esercizio cosistete el verificare che, sostituedo agli addedi frazioi equivaleti, si ottiee ua frazioe equivalete. L'ordiameto i F Defiizioe: m > p q q > mp Si rifletta sulla semplicità della defiizioe che, ovviamete, rimada a proprietà dei aturali e che ci cosete di eseguire cofroti attraverso semplici moltiplicazioi. Si vede subito che la defiizioe rispetta le richieste delle relazioi di ordie totale stretto (provare). Proprietà di illimitatezza Presa ua frazioe e esiste sempre ua più grade. Lasciamo la dimostrazioe al lettore osservado che basta moltiplicare per ua frazioe apparete ed applicare la defiizioe di ordiameto. Proprietà di desità L'isieme delle frazioi è deso e ce lo garatisce il seguete teorema che afferma che prese due frazioi qualsiasi esiste sempre ua frazioe compresa tra le due che si ottiee facedo la semisomma: ( m > p q ) m > 1 2 m + p q > p q Dimostrazioe Per ipotesi è mq > p Per dimostrare che m > 1 2 m + p q deve esserem > mq+p 2q m2q >(mq+p) = mq + p mq > p mq > p (vera per ipotesi). Si è sottratto il termie comue mq e poi si è diviso per il fattore comue. Aalogamete si dimostra l'altra metà della disuguagliaza. Riflettiamo sull'ifiito Abbiamo appea dimostrato che tra due frazioi ache viciissime e esistoo sempre ifiite altre cioè che le frazioi soo tra loro ifiitamete ravviciate. Duque tra due frazioi ache viciissime e esistoo ifiite altre. Verrebbe da pesare che le frazioi, per via della desità, siao molte di più dei umeri

12 Claudio Cereda - apputi sparsi sulla costruzioe dei campi umerici - curiosità e sputi di riflessioe dicembre 2006 pag. 12 aturali. E ivece se ci si mette a cotarle, utilizzado la relazioe di equipoteza tra isiemi si scopre che le frazioi soo tate quate i umeri aturali. Sembra u paradosso, ma è così. Lo stesso Cator che ha dato per primo la dimostrazioe diceva o ci credo, ma lo vedo. La decomposizioe Se α, β e γ soo umeri aturali o frazioi valgoo alcue proprietà di decomposizioe che è bee ricordare: α + β = α γ γ + β α γ β + γ = 1 1 = β + γ β α α + γ α La loro dimostrazioe deriva da tutte le proprietà viste fio ad ora.

13 Claudio Cereda - apputi sparsi sulla costruzioe dei campi umerici - curiosità e sputi di riflessioe dicembre 2006 pag. 13 L'isieme degli iteri Z (zahle = umero) L'isieme dei umeri iteri viee ivetato per disporre di u isieme umerico chiuso rispetto alla sottrazioe. La defiizioe attraverso ua relazioe di equivaleza ha il vataggio di o usare i be oti simboli di + (più) e (meo) che combiao molti disastri cocettuali (il simbolo viee ad assumere be 3 sigificati diversi, operazioe, opposto e sego del umero) ma risulta u po' faticosa da digerire; per questo e acceeremo solo alla fie per far vedere che ache i umeri iteri, come le frazioi, possoo essere pesati come particolari coppie di umeri aturali e che pertato tutto si può costruire dai umeri aturali e cioè dagli isiemi e cioè dalla logica delle proposizioi seza scomodare simboli speciali come il + e il dei umeri relativi. La defiizioe Cosideriamo l'isieme S dei segi {+, } e l'isieme N dei aturali. L'isieme Z è defiito come S N co la precisazioe che si cosidera (+,0) = def (,0) (la ragioe sarà vista el seguito). Duque chiamiamo umeri iteri delle coppie aveti come primo elemeto u simbolo (o è obbligatorio usare + e ) e come secodo elemeto u umero aturale. Il primo elemeto della coppia viee detto sego; il secodo viee detto valore assoluto o modulo e sarà idicato co. Se due umeri hao lo stesso sego soo detti cocordi se hao sego diverso soo detti discordi. Duque u umero itero z sarà idicato come (±,) e (+,) idicherà quello che chiamiamo umero positivo metre (,) idicherà quello che chiamiamo umero egativo. Tutti gli ambieti di programmazioe cotegoo due fuzioi che restituiscoo il sego e il modulo di u itero. Per esempio u Excel esse si chiamao SEGNO() e ASS() Esempio: SEGNO(+5) = 1 (per idicare positivo) SEGNO( 5) = 1 (per idicare egativo) e SEGNO(0) = 0 (per idicare l idiffereza dello zero). ASS( 4) = 4 e così via. Nel seguito idicheremo il sego co sig() La addizioe e la sottrazioe La defiizioe di addizioe è stata vista dettagliatamete alle medie e ci limitiamo a sitetizzarla osservado che, come al solito, si cerca di dare ua defiizioe che coservi la corrispodeza tra ua parte del uovo isieme (iteri positivi) e quello vecchio (aturali). Sia duque z = z 1 + z 2 ; si hao i segueti casi: a) z 1 e z 2 cocordi sig(z) = sig(z 1 ) e = b) z 1 e z 2 discordi si hao 3 possibilità: b1) 1 > 2 sig(z) = sig(z 1 ) e = 1 2 b2) 1 < 2 sig(z) = sig(z 2 ) e = 2 1 b3) 1 = 2 sig(z) = ± e = 2 1 = 1 2 = 0 Come si vede la defiizioe è piuttosto oiosa e il modo più semplice per ricordarla è quello di associare ai umero iteri dei segmeti orietati e tradurre l operazioe tra umeri i operazioe tra segmeti i cui al sego si associa il verso. I effetti l isieme degli iteri è stato ivetato per descrivere operazioi cotabili di etrata e uscita e movimeti (+2)+(+3) = +5 ( 2)+( 3) = 5 (+3)+( 2) = +1 (+2)+( 3) = 1 3 La operazioe di addizioe risulta commutativa e associativa e ha come elemeto eutro sia (+0) che ( 0). Per questa ragioe, cioè per evitare di avere due elemeti eutri e poiché al puto è impossibile associare u verso si poe per defiizioe (+0) = ( 0) e oi idicheremo l'elemeto eutro come 0 Z. La sottrazioe (come i tutti i campi umerici) viee defiita come operazioe iversa della addizioe; si ha cioè (per defiizioe):

14 Claudio Cereda - apputi sparsi sulla costruzioe dei campi umerici - curiosità e sputi di riflessioe dicembre 2006 pag. 14 z = z 2 z 1 z 2 = z + z 1 L'esisteza dell'iverso (opposto) Preso u geerico z, l'iverso z sarà quel umero tale che z + z = 0 Z Si vede subito che, i base alla defiizioe di addizioe tale umero esiste sempre e si trova cambiado il sego di z Teorema z = z co metre z e z discordi ovvero: l'opposto si ottiee cambiado il sego del umero seza cambiare il suo valore assoluto. Dimostrazioe Poiché z e z soo discordi la somma si ottiee come differeza dei valori assoluti, ma poiché essi soo uguali si ottiee come valore assoluto 0. Si può sempre eseguire la sottrazioe Questa possibilità è garatita dalla esisteza dell'opposto. Si dimostra ifatti che la sottrazioe si può sempre eseguire come addizioe co l'opposto. Teorema z = z 2 z 1 = z 2 + z 1 Dimostrazioe Si tratta di far vedere che se z 2 z 1 = z cioè se z + z 1 = z 2 ache (z 2 + z 1 ) + z 1 = z 2. Ma ciò è immediatamete vero applicado la proprietà associativa e la defiizioe di iverso: (z 2 + z 1 ) + z 1 = z 2 + ( z 1 + z 1 ) = z Z = z 2 Corollario Poiché la addizioe si può sempre fare, e l iverso esiste sempre si può sempre fare ache la sottrazioe. La moltiplicazioe Defiizioe Posto z = z 1 z 2 si poe z = z 1 z 2 per garatire l'isomorfismo co i umeri aturali e pertato z 0 Z = 0 Z. Ma come defiire il sego del prodotto? Facevo l'itis e mi chiedevo ma perché (+)(+) = ( )( ) = (+) e perché (+)( ) = ( )(+) = (-); si poteva fare diversamete? Mi soo laureato i Fisica seza avere l'occasioe di scoprire la risposta ache se, dagli studi di fisica, mi era ormai chiaro che si poteva fare diversamete. Le giustificazioi di questa defiizioe estere alla matematica soo umerose: per esempio, i fisica, dove si lavora co umeri relativi, la velocità può essere positiva o egativa e deve seguire le sorti degli spostameti da cui si geera dividedo per u itervallo di tempo che, a sua volta può essere positivo o egativo. Ma quali soo le ragioi itere alla matematica? z 1 z 2 z 1 z 2 + +? +? +?? Il sego del prodotto Osserviamo itato che le possibilità soo 2 4 = 16 perché abbiamo 4 casi co 2 possibili risposte ogi volta. Per la proprietà commutativa deve essere (+)( ) = ( )(+) e duque siamo scesi a 8 possibilità. Se deve valere la proprietà distributiva deve essere (+)(+) (+)( ) e ( )( ) (+)( ). Dimostriamo la prima delle due: cosideriamo due umeri positivi z 1 =(+,a) e z 2 = (+,b)

15 Claudio Cereda - apputi sparsi sulla costruzioe dei campi umerici - curiosità e sputi di riflessioe dicembre 2006 pag. 15 z 1 0 Z = 0 Z = z 1 [ z 2 + ( z 2 )] = (+,a)[ (+,b) + (,b)] = (++,ab) + (+,ab) duque (+)(+) è opposto di (+)( ) perché la somma deve fare 0 Z Allo stesso modo ipotizzado che sia z 1 =(,a) si dimostra che ( )( ) è opposto di (+)( ) e duque che (+)(+) e ( )( ) devoo avere lo stesso sego. Ci siamo ridotti a due sole possibilità etrambe fuzioati, el seso che etrambe ci garatiscoo la validità delle proprietà fodametali: la prima è la ordiaria regola che mette i isomorfismo l'isieme dei aturali co quello degli iteri positivi; la secoda fuzioa ache lei ma stabilisce l'isomorfismo ivece che co gli iteri positivi co quello degli iteri egativi. L'ordiameto Si stabilisce il criterio che cosete poi di collocare i umeri iteri sulla retta a) umeri positivi z 1 > z 2 z 1 > z 2 b) umeri egativi z 1 > z 2 z 1 < z 2 c) umeri discordi z 1 > z 2 sig(z 1 ) = + L'elevameto a poteza Siao z 1 =(±,a) Z e z 2 =(±,b) Z se si vuole coservare l'isomorfismo tra iteri e positivi e aturali è ovvio porre per defiizioe (±,a) (+,b) = def (±,a) b Ma che sigificato dare a (±,a) (,b)? Si dà ua defiizioe che ci cosete di estedere e poteziare le proprietà dell'elevameto a poteza. Precisamete: (±,a) (,b) 1 = def (±,a) (+,b) l'elevameto ad espoete egativo corrispode a predere il reciproco della poteza ad espoete positivo. Si dimostra che, co questa defiizioe, valgoo sempre le 4 proprietà fodametali dell'elevameto a poteza già viste ell'isieme dei umeri aturali ma ora esse valgoo seza più dover fare distizioi o limitazioi. Ci limitiamo per esempio al caso della moltiplicazioe el caso di espoete discorde (e faremo u uso disivolto dei simboli, el seso che ammetteremo la possibilità di usare i modo esteso i simboli). α β α γ = α (+,b) α (,c) = (±,a) (+,b) Adesso ci soo due possibilità: Se b > c α β α γ = = (±,a) (+,b c) = α β+γ (±,a) (+,c) = (±,a) (+,b) : (±,a) (+,c) = (±,a) (+,b) : (±,a) (+,c) Se b < c α β α γ 1 = = (±,a) (+,c b) = (±,a) (,c b) = α γ+β Si cosiglia seza pretedere di svolgere le dimostrazioi formali di redersi almeo coto attraverso esempi umerici di cosa sigifichio e come si semplifichio espressioi co poteze ad espoete itero i cui si usao le proprietà formali per il calcolo. Perché (α +2 ) 3 = α 6? (α +2 ) = (α +2 ) +3 = (α 2 ) 3 = α 2 3 = 1 1 α 6 = α +6 = α 6 si soo usate ell'ordie: la defiizioe di poteza ad espoete egativo, la defiizioe di poteza ad espoete positivo, il teorema sulla poteza di poteza valido per espoete aturale, la defiizioe di poteza ad espoete positivo, la defiizioe di poteza ad espoete egativo. Il risultato del tutto è che ell'elevameto a poteza si possoo usare per gli espoeti iteri le stesse proprietà (seza le restrizioi che si avevao) valide per le poteze ad espoete aturale. Si osservi ache che ho utilizzato i maiera disivolta la equivaleza tra divisioe e frazioe di cui si è già discusso i uo dei paragrafi precedeti.

16 Claudio Cereda - apputi sparsi sulla costruzioe dei campi umerici - curiosità e sputi di riflessioe dicembre 2006 pag. 16 Ceo all'isieme degli iteri seza l'uso dei simboli di sego Itroduzioe Cosideriamo le coppie (5,3),(6,4),(4,2),(21,19), e cerchiamo di scoprire cosa le accomua; di solito la prima risposta che viee spotaea è che la differeza tra il primo elemeto e il secodo fa 2. Ma come è oto la sottrazioe ha il difetto di o essere sempre eseguibile. Cosa hao i comue (1,5),(3,7),(10,14)? Potremmo ache dire che hao i comue il fatto che la differeza tra il secodo e il primo fa sempre 4. Ma c'è u modo più elegate di dire il tutto e che fuzioa i etrambi i casi: (5,3) equivale a (6,4) perché 5+4 = 3+6 (1,5) equivale a (3,7) perché 1+7 = 5+3 Ua uova relazioe di equivaleza Per farla breve prese due coppie di umeri aturali (m,) e (p,q) si dice che (m,) ~ (p,q) m+q = +p e si dimostra direttamete che la relazioe che abbiamo appea stabilito è ua relazioe di equivaleza (provare per esercizio). Si osservi che si tratta mutatis mutadis della stessa relazioe già usata per le frazioe (ma dove là si usava il prodotto qui si usa la somma). Fatto questo abbiamo u ripartizioe delle coppie i classi di equivaleza di tipo diverso: quelle il cui primo elemeto è maggiore del secodo e quelle i cui è miore; i mezzo ci sta la classe i cui elemeti soo uguali. (0,3) ~ (1,4) ~ (2,5) ~ (,+3) questa classe corrispoderà a 3 (1,3) ~ (2,4) ~ (3,5) ~ (,+2) questa classe corrispoderà a 2 (2,3) ~ (3,4) ~ (3,5) ~ (,+1) questa classe corrispoderà a 1 (3,3) ~ (4,4) ~ (5,5) ~ (,) questa classe corrispoderà a ±0 (1,0) ~ (2,1) ~ (3,2) ~ (+1,) questa classe corrispoderà a +1 (2,0) ~ (3,1) ~ (4,2) ~ (+2,) questa classe corrispoderà a +2 (3,0) ~ (4,1) ~ (5,2) ~ (+3,) questa classe corrispoderà a +3 Le operazioi Ci limitiamo ad esamiare il caso della addizioe che risulta defiita i maiera molto aturale sommado i termii delle coppie: (m,)+(p,q) = def (m+p,+q) Il calcolo si fa sempre allo stesso modo seza regole strae sul sego. Esempio: (0,3) + (9,4) = (0+9,3+4) = (9,7) ( 3) + (+5) = +(5 3) = +2 La moltiplicazioe viee defiita i maiera u po' più macchiosa ma ache questa defiizioe ha il vataggio di coteere la mitica regola dei segi i modo aturale: (m,) (p,q) = def (mp+q,p+mq) Provare co qualche esempio umerico come i questo caso: (1,4) (9,4) = (9+16,36+4) = (25,40) ( 3) (+5) = 15 = 15

17 Claudio Cereda - apputi sparsi sulla costruzioe dei campi umerici - curiosità e sputi di riflessioe dicembre 2006 pag. 17 L'isieme dei umeri razioali Q Viee costruito mettedo isieme i vataggi di Z e di F e utilizzado la relazioe di equivaleza già utilizzata per le frazioi. U umero razioale è duque la classe di tutte le frazioi relative equivaleti ad ua frazioe data. I questo isieme le 4 operazioi soo sempre possibili, esistoo gli elemeti eutri, ogi umero ammette l'iverso rispetto alla addizioe (opposto) e moltiplicazioe (reciproco). L'isieme è totalmete ordiato, illimitato (superiormete ed iferiormete) e deso. Si può defiire l'elevameto a poteza co base razioale ed espoete itero co la certezza che valgao le 4 proprietà fodametali. Problemi aperti Cosa sigifica l'elevameto a poteza co espoete frazioario? L'operazioe iversa dell'elevameto a poteza (estrazioe di radice) o risulta i geerale possibile. Ci servirà u altro isieme umerico. rappresetazioe degli isiemi umerici Nel calcolo si sfrutta la corrispodeza per isomorfismi tra l'isieme più ristretto e u sottoisieme dell'isieme più vasto; ciò cosete di scrivere espressioi che, a rigore, o hao sigificato perché grammaticalmete illegittime. Per esempio per la quale solitamete scriviamo disivoltamete = i realtà corrispode alla addizioe tra il umero razioale relativo rappresetato dalla classe di equivaleza co la classe di equivaleza rappresetata dal umero razioale relativo 2 3 I aturali N soo i corrispodeza biuivoca co gli iteri positivi Z +, gli iteri Z soo i corrispodeza biuivoca co quei razioali che hao come rappresetate di classe le frazioi appareti

18 Claudio Cereda - apputi sparsi sulla costruzioe dei campi umerici - curiosità e sputi di riflessioe dicembre 2006 pag. 18 Riepilogo di scritture improprie e proprietà ormalmete utilizzate el calcolo α β = α + ( β) cosete di trattare la sottrazioe come ua addizioe α(β + γ) = αβ + αγ proprietà distributiva molto utilizzata i etrambi i versi el calcolo letterale α = 1 α cosete di iterpretare l'opposto come moltiplicazioe per 1 e poiché la sottrazioe può essere ridotta ad ua addizioe co l'opposto (α + β) = α β cosete di trasformare l'opposto di ua somma i ua differeza ( 1) 2k = +1 ( 1) 2k+1 = 1