Confronto dei libri. Lazzarini, Sarnataro Algebra 1 Re Fraschini, Grazzi Algebra 1

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1 Cofroto dei libri Lazzarii, Sarataro Algebra 1 Re Fraschii, Grazzi Algebra 1 Il cofroto tra i due testi l ho effettuato su capitolo riguardate gli isiemi umerici. Questo è uo dei primi argometi che si svolgoo i ua classe prima, ed è u argometo che io cosidero fodametale per vari motivi. Il primo è che i ragazzi hao già studiato le regole del calcolo e quidi, per gli alui co ua buoa preparazioe è ua oiosa ripetizioe, metre per quelli che vi hao trovato difficoltà è pur sempre ua ripetizioe che spesso o affrotao co maggiore attezioe di quella che vi hao prestato el corso della scuola media e che rischia el cotempo di far loro provare subito u seso di fallimeto ( o mi riuscivao e o mi riuscirao ) Fodametale, quidi, è il riproporre lo studio degli isiemi umerici sotto u diverso aspetto che iteressi i più preparati e cotemporaeamete rimotivi i più svogliati e dia loro la possibilità di mettersi alla prova su qualcosa di diverso, qualcosa su cui o si setao subiti i situazioe svataggiata. Lo studio dei aturali, i particolare, è importate perché lo studio di problemi di aritmetica è u aspetto della matematica poco presete ei programmi delle superiori. Iiziare si dalla prima ad educare i ragazzi al modo di ragioare tipico di questo settore della matematica è utile perché poe le basi per ulteriori approfodimeti egli ai successivi al fie di redere più completa la preparazioe dei ragazzi. Il testo di Lazzarii e Sarataro affrota lo studio di N e di seguito Z, Q e itroduce i ultimo i umeri irrazioali. Completa la trattazioe co le dimostrazioi della umerabilità di N; Z e Q e della o umerabilità di R. La trattazioe è decisamete completa ed offre la possibilità di approfodire fio a quato ciascuo ritiee più opportuo o adatto alla classe. Lo studio di tutti gli isiemi è affrotato a partire dal tipo di struttura i relazioe alle operazioi che vegoo defiite. L acceto è quidi posto sulle proprietà delle operazioi e o sulle regole del calcolo. La trattazioe è abbastaza rigorosa e illustrata co esempi. Importate è ache lo studio delle cogrueze modulo e dei sistemi di umerazioi diversi da 10. Nel complesso il materiale proposto è davvero ampio e ecessita di ua scelta accurata per evitare di disperdersi. Alcui aspetti positivi si utilizzao le lettere sia per euciare le proprietà sia per sviluppare piccole dimostrazioi si guida dall osservazioe di ua proprietà i casi particolari alla geeralizzazioe ( e coseguete dimostrazioe ) o vegoo proposti quatità di esercizi che iducao alla memorizzazioe di procedure meccaiche stimola la capacità critica motivado e giustificado le regole apprese ella scuola media la parte degli esercizi è be curata e preseta tipologie diverse di esercizi parecchi dei quali soo di tipo dimostrativo. soo preseti cei a problemi storici Alcui aspetti egativi Maca lo studio più geerale del cocetto di operazioe le proprietà delle operazioi sembrao essere vicolate agli isiemi umerici

2 Il testo di Re Fraschii e Grazzi preseta ua scelta totalmete diversa. l isieme N è defiito mediate classi di equivaleza e subito dopo si passa alle operazioi seza defiizioi é proprietà. Successivamete è presetato Z poi Q a e ifie Q. Alcui aspetti positivi: è presetato il cocetto geerale di operazioe e delle relative proprietà può adare bee se si vuole fare u ripasso veloce del calcolo e porre piuttosto l attezioe sulla geeralizzazioe di operazioe Aspetti egativi il valore assoluto è defiito come il umero seza sego si poe troppo l acceto sui meccaismi di calcolo o soo preseti dimostrazioi é ella teoria é proposte come esercizi le schede di laboratorio soo scarse e o molto sigificative Aalisi del perché della scelta del libro di testo per il trieio del Liceo scietifico Tecologico: Adreii,Maara, Prestipio Matematica Cotroluce ed. Etas Il libro di testo deve rappresetare u puto di riferimeto per gli alui. Per quelli più deboli u posto dove trovare spiegazioi semplici e be orgaizzate, esempi guidati e osservazioi che aiutio ad idividuare i puti caratterizzati uo schema di ragioameto; per gli alui più motivati ( o ache più dotati) deve servire per avere a disposizioi suggerimeti e stimoli per l approfodimeto. U buo testo deve avere ache ua raccolta varia di problemi, itesa come possibilità offerta agli alui di mettersi alla prova su esercizi e problemi di varia difficoltà e diversa tipologia. Dovedo cambiare il testo per le classi del trieio ho scelto Matematica Cotroluce perché avevo avuto occasioe di utilizzarlo e e avevo apprezzato la struttura. La presetazioe di ogi argometo è orgaizzata co precisioe, coereza, abbastaza schematica e seza iutili divagazioi, ma co rigore. Ogi capitolo è corredato da esempi e, cotemporaeamete, soo preseti suggerimeti ed osservazioi più approfodite. U altro pregio è la soluzioe di alcui problemi mettedo i rilievo la possibilità di approcci diversi e di utilizzo di varie metodologie risolutive. L adozioe di u libro o comporta ecessariamete che ogi spiegazioe dell isegate sia del tutto uguale a quella forita dal testo, é che ogi ozioe o procedura ivi descritta sia da predere i cosiderazioe. I questo seso io desidero che i miei alui usio il testo come riferimeto per cofrotare e completare gli apputi presi i classe, per provare gli esempi proposti riflettedo sulla soluzioe, per abituarsi a leggere e imparare qualcosa di uovo i maiera autooma. Maria Teresa Cappagli

3 Cofroto di testi sull argometo: I radicali La scelta di questo argometo è dovuta al rapporto o equo tra l impego e la premura co cui lo propogo e i risultati spesso demoralizzati otteuti i classe. Le difficoltà da me icotrate el presetare i radicali soo duplici: da u lato è forte la ecessità di sellire u argometo che agli occhi dei ragazzi sembra essere u po a se state e u po seza essua logica itera, co tate formule da imparare appiccicate qua e là, co quei valori assoluti che ci devoo essere quado o sembra e viceversa, co somme e sottrazioi che di fatto, di tali operazioi, hao solo il ome, e dall altro lato per la careza di u sostego che il libro di testo dovrebbe forire. A mio parere, l impostazioe forse più semplice e digeribile, ma sicuramete la più capibile e quidi accettabile per i ragazzi (e per questo motivo è quella che propogo ai miei alui) è quella che premette la paretela tra radicali e poteze ad espoete razioale, presetado così le proprietà dei radicali come applicazioe delle proprietà delle poteze. Purtroppo questo approccio o l ho riscotrato i essu libro di testo tra quelli da me cosultati fi ora. Sicuramete u motivo ci sarà, ma ad oggi mi è acora igoto. Per questo lavoro ho cofrotato tra loro quattro libri di testo, i primi tre da me utilizzati i classe i varie esperieze (perché adottati i precedeza i tali classi), metre l ultimo è u testo che utilizzo per predere esercizi e sputi: Trifoe Bergamii - Mauale di algebra Zaichelli [TB] Dodero Barbocii Mafredi Lieameti di matematica Ghisetti e Corvi [DBM] Oriolo Coda Algebra e iformatica Modatori [OC] Veè Michelotti Matematica Sasoi [V] Ho esamiato, attraverso u cofroto, prima come vegoo itrodotti i radicali e di seguito come vegoo affrotati I tutti i casi è il capitolo precedete a quello delle equazioi di II grado INTRODUZIONE [TB] Il capitolo comicia così: Qual è il umero positivo che elevato al quadrato dà 9? Possiamo rispodere co facilità che 3 ha le caratteristiche cercate; possiamo ache dire che 3 è la radice quadrata di 9 e scrivere 9 = 3. Cosidera la radice cubica e poi coclude: I geerale la radice -esima è l operazioe iversa della poteza di espoete Di seguito: Si può dimostrare che dato u umero reale positivo a e u umero aturale diverso da 0, esiste uo e u solo umero reale positivo b tale che risulta a = b. Def: dato u umero aturale diverso da 0 e u umero reale a positivo o ullo, la radice aritmetica -esima di a è quel umero reale b, positivo o ullo, la cui poteza co espoete è uguale ad a: a = b b = a No solo o sembra esserci logica ella sequeza dei predicati espressi, ma si può creare dell iutile cofusioe ell utilizzo poco sesato di lettere uguali co valeze diverse, per esprimere prima il cocetto di poteza e poi di radicale. Il termie radice aritmetica compare solo qui, metre

4 si fa u po di cofusioe tra radice e radicale. Vegoo elecati di seguito i casi particolari e tra questi troviamo: ( ) a a = (co dimostrazioe) e si coviee che 0 a o abbia sigificato. C è poi u acceo alle codizioi di esisteza per le espressioi letterali (gli esempi richiedoo ua padroaza o idifferete del calcolo co le disequazioi). [DBM] L argometo comicia co u richiamo ad ua parte già precedetemete trattata (a proposito dei umeri reali): l operazioe di estrazioe di radice quadrata da u umero positivo o ullo era stata i precedeza defiita come operazioe iversa dell elevameto al quadrato: a = b b = a co a 0 eb 0. Si fa subito chiarezza su cosa si itede per radice e per radicale (quadratico) e si spiega il perché della limitazioe su a e b: metre per a è chiaro, per b l argometazioe è la seguete: suppoiamo di dover determiare la radice quadrata del umero positivo 4: si può osservare che esistoo due umeri (opposti) il cui quadrato è 4. L operazioe di radice quadrata sarebbe quidi defiita i modo equivoco se o si precisasse quale dei due umeri scegliere come radice del umero 4; perciò si coviee di scegliere, come radice quadrata del umero positivo 4, il umero positivo +, cioè il umero cocorde di sego co 4:pertato è 4 = e o scriveremo mai 4 =-. Segue la defiizioe di radice cubica co l osservazioe che a e b o devoo essere ecessariamete o egativi, e poi si geeralizza co, putualizzado che il caso a<0 verrà defiito el seguito. La defiizioe data o differisce da quella trovata i [TB], ma segue u osservazioe iutile (avedo già supposto b 0 ), che appesatisce ulteriormete quato appea esposto (poteva forse essere più sesato o metterlo elle ipotesi ed osservarlo dopo): Se è dispari, b ha sempre lo stesso sego di b, e quidi, dall uguagliaza b = a si deduce che, avedo cosiderato a 0, risulta sez altro b 0. U osservazioe: o parla di radicali aritmetici ed algebrici ma fa la distizioe tra radicali i R + 0 e radicali i R, a partire dall iizio. [OC] L argometo viee preceduto da ua breve itroduzioe (come è solito fare questo testo per tutto ciò che viee proposto, cercado di dare ua collocazioe storica, ua giustificazioe di ciò che viee trattato o semplicemete per richiamare cose già ote). Si fa riferimeto al fatto che già alle scuole medie i ragazzi hao lavorato co le radici, quadrate e cubiche (spesso i problemi di geometria), e vi hao lavorato co la cosapevolezza del fatto che queste o soo altro che le operazioi iverse dell elevameto a poteza (cfr formule iverse per il calcolo del lato di u quadrato ota l area o il volume). A tale proposito, si fa osservare che, diversamete dalla somma e dalla moltiplicazioe, l elevameto a poteza possiede due operazioi iverse : x 3 = 8 e 3 x = 81 e questo perché l elevameto a poteza o gode della proprietà commutativa. Segue dicedo: Riteiamo opportuo ricordare le proprietà delle poteze e le eleca, ma poi o sviluppa il discorso i questa direzioe e segue la strada classica, dado subito la defiizioe geerale (o differete da quella presete egli altri testi). Fa otare (a differeza degli altri) che l uguagliaza ( a ) = a si ha per defiizioe (ache se o giustifica mai che ( ) a a = e lo usa come dato di fatto). Ache qui troviamo si coviee che 0 a o abbia sigificato. A differeza degli altri autori, i questo testo i radicali o vegoo presetati i relazioe ai umeri irrazioali; l uico acceo lo troviamo i questa parte dell esposizioe, come semplice osservazioe: l estrazioe di radice, agedo su Q, può portare ad u risultato che o appartiee a Q. E dego di ota, ifie, il tetativo di giustificare la preseza di tale argometo prima di

5 etrare el vivo della trattazioe: i radicali servoo o solo i geometria, ma ache i algebra, ad esempio, ella risoluzioe delle equazioi di secodo grado e di grado superiore. [V] I radicali vegoo presetati all itero del capitolo relativo ai umeri reali (particolarmete sigificativa l itroduzioe, ella quale si cerca di fare chiarezza sul cocetto e sull uso dei umeri reali e ella quale è presete ua breve ma icisiva ota storica). Il capitolo iizia co ua domada: Perché o soo sufficieti i umeri razioali? Il lettore è ivitato a riflettere su alcui problemii : il rotolameto di u cerchio su ua retta r, la determiazioe del raggio di ua circofereza sotto determiate codizioi, e per fiire u problemio algebrico: x = 8 ha soluzioi razioali? (la teoria delle equazioi di II grado o è acora stata affrotata). Segue dimostrazioe dell irrazioalità di 8, itroduzioe di R, e el presetare gli irrazioali distigue tra irrazioali algebrici: se si possoo pesare come soluzioe di ua equazioe del tipo x = a co N-0 e irrazioali trascedeti. Si chiede come soo fatti gli irrazioali algebrici e come poter operare co loro. A tal fie cosidera prima gli irrazioali soluzioe dell equazioe x = a (co a 0 ) e dà la seguete defiizioe: Dati due umeri reali positivi o ulli p e q, q è la radice quadrata aritmetica di p, e si idica co p, se e solo se q = p Da otare l uso frequete della calcolatrice e il cofroto col calcolo mauale No ci soo altre precisazioi o osservazioi e si parte co le proprietà PROPRIETA E CONCLUSIONI I tutti e quattro i casi le proprietà soo riportate co rigorose dimostrazioi. I alcui casi ( [TB] e [DBM]) soo u eleco di formule che sembra o abbiao essua coessioe logica, affiacate da esempi più o meo sigificativi e (i [DBM]) da osservazioi prolisse e iutili (che lasciao poco spazio alla ricerca e scoperta persoale, tarpado completamete le ali all ituizioe). [OC] ha il merito di presetare la logica itera delle varie proprietà e i essi tra esse, per quato possibile. [V] è il più sello: utilizza pochissime proprietà e ricava tutte le altre egli esercizi, che seguoo costatemete la teoria. I tutti i testi, prima di cocludere, si fa acceo alle poteze co espoete razioale: tutti trae [V] trovao giustificazioe delle proprietà delle poteze ad espoete razioale ei radicali; solo [V] ribalta la questioe, mostrado come tutto è molto più semplice (ma perché allora o farlo all iizio?) [TB] La prima proprietà presetata è la proprietà ivariativa, da cui si fa seguire -la semplificazioe di radicali (co tato di regola per l applicazioe ( cercare il M.C:D. ), che sarebbe aturale se si fossero itrodotte le poteze, e u osservazioe sul valore assoluto) -la riduzioe dei radicali allo stesso idice (seza giustificazioe e corredata di formula ( cercare il m.c.m. ) ). Segue: -moltiplicazioe -trasporto di u fattore fuori dal sego di radice (co regola) -divisioe -poteza (si coclude: i particolare ( ) a = a =a )

6 -radice di u radicale (compare u osservazioe che appesatisce otevolmete il carico di regole: per la proprietà commutativa della moltiplicazioe si ha m m a = a pertato è possibile scambiare gli idici delle radici ) -trasporto di u fattore detro al sego di radice -addizioe e sottrazioe -le espressioi irrazioali( ad u certo puto, seza dare spiegazioi, si recita: può essere ecessario applicare ai radicali le regole studiate per i poliomi e le frazioi algebriche ) -razioalizzazioe ( si esamiao solo due casi seza dare spiegazioe della tecica di calcolo da usare) -radicali quadratici doppi -equazioi e sistemi co coefficieti irrazioali Si coclude la carrellata co u paragrafetto relativo alle poteze co espoete razioale, sembra al solo scopo di dare sigificato a tali poteze, facedo vedere che soo imparetate co i radicali (seza dimostrazioe, ma dadoe la defiizioe) e si aggiuge: Per le poteze co espoete razioale valgoo le proprietà delle poteze co espoete itero. Esse possoo essere dimostrate mediate le proprietà dei radicali Nelle espressioi irrazioali, ivece di operare co i radicali, possiamo operare co le poteze. Il capitolo si coclude co l itroduzioe dei radicali algebrici, per i quali viee addirittura coiata a lg a lg ua uova simbologia e si afferma 16 = ± 4 [GCM] Vegoo presetate due proprietà defiite fodametali I proprietà: ( ) a =a e II proprietà: a =a e poi si comicia come el testo precedete, seppur co ordie leggermete diverso: -la semplificazioe di radicali -la riduzioe dei radicali allo stesso idice (seza giustificazioe e corredata di formula). -moltiplicazioe e divisioe (prima co lo stesso idice poi co idice diverso) -addizioe e sottrazioe -trasporto di u fattore detro al sego di radice (si giustifica: talvolta è utile, quado forse avrebbe avuto più seso itrodurre prima il caso di u trasporto fuori) -trasporto di u fattore fuori dal sego di radice (co regola e tati sottocasi a secoda della relazioe tra idice ed espoete) -poteza -radice di u radicale -razioalizzazioe (seza dare spiegazioe sufficiete della tecica di calcolo da usare, si presetao 4 casi) -radicali quadratici doppi Segue la defiizioe dei radicali i R, distiguedo il caso pari e dispari e, per il secodo caso, dimostrado che se b>0 i radicali i R + 0 e i radicali i R coicidoo. Dopo aver dato la uova defiizioe di radicale, si eucia il teorema dell esisteza e uicità della radice e si propoe ua ulteriore defiizioe: Se è u umero aturale diverso da zero, si defiisce radice -esima del umero reale a diverso da zero e la si idica co a, quel umero reale b, se esiste, che ha lo stesso sego di a e tale che b = a. Si ripercorroo poi tutte le proprietà verificado che soo valide ache per i radicali i R (ma la dimostrazioe precedete a cosa serve?). Si coclude col paragrafo relativo alle poteze co espoete razioale, a gradi liee allo stesso modo di [TB], co la differeza che si cerca di dimostrare che tali poteze equivalgoo all operazioe di estrazioe di radice:

7 perché 3 5 possa essere cosiderata ua poteza, per lei devoo valere le proprietà delle 3 3 poteze: 5 = 5, ma per defiizioe si ha = 5 (oostate tale argometazioe si ridimostrao le proprietà a partire dai radicali) Segue u ulteriore paragrafo relativo alle poteze co espoete irrazioale. [OC] Si eucia e si defiisce la proprietà fodametale e da questa si fa discedere: a)la semplificazioe (co attezioe al valore assoluto) b)riduzioi di più radicali allo stesso idice (dadoe giustificazioe (cfr tra radicali) e richiamado la tecica aaloga per la riduzioe di più frazioi allo stesso deomiatore) Da b) segue c)moltiplicazioe e divisioe (evideziado la simmetria dell uguagliaza).; Dall osservazioe che ella moltiplicazioe si può arrivare ache a trovare dei radicali della forma 3, ci si chiede se possoo essere ridotti alla for ma di u uico radicale: segue d)trasporto di u fattore sotto il sego di radice (co attezioe ai segi) e per la simmetria dell uguagliaza segue d)trasporto di u fattore fuori dal sego di radice (ma co formula farragiosa) Si presetao di seguito le altre operazioi: -elevameto a poteza -estrazioe di radice -somma e sottrazioe (osservado:...similmete a quato accade per le proprietà delle poteze per la somma e sottrazioe, o vi soo teoremi per l addizioe e la sottrazioe di radicali ) -razioalizzazioe (co spiegazioe;solo due casi, rimadado il resto agli esercizi) -radicali doppi (la trattazioe dei quali è giustificata dal fatto che possoo icotrarsi ella risoluzioe di alcue equazioi di grado superiore al I) -semplificazioe di espressioi irrazioali Prima di cocludere viee presetato u paragrafo relativo alle poteze co espoete razioale, co la stessa logica di [DBM], a partire dalla seguete osservazioe: 1 1 a quato vale il prodotto a? Si coclude co la defiizioe dei radicali algebrici per geeralizzare il caso di a R: soo quei umeri reali x che soddisfao l equazioe x = a [V] Tutta la teoria viee svolta prima solo el caso di radicali quadratici; poi si geeralizza ad. Vegoo presetate le segueti proprietà: - ( p ) = p = p -moltiplicazioe -divisioe -elevameto a poteza co tati esempi chiarificatori, i cui, seza regole, ma applicado semplicemete le precedeti proprietà, si fa discedere: -trasporto di u fattore detro e fuori dal sego di radice (come semplice esercizio, che trova poi applicazioe)

8 -somma e sottrazioe (facedo vedere i particolare che a + b > a + b (co dimostrazioe), e spiegadola come semplice applicazioe della proprietà associativa, i aalogia col calcolo letterale) Nell esposizioe c è grade attezioe ai casi dubbi, che possoo portare ad errore, a cosa fare e cosa o fare e astuzie di calcolo -razioalizzazioe (giustificado ogi sigolo passaggio, e procededo o per casi, ma per esercizi, facedoe vedere subito ua pratica applicazioe ella semplificazioe di espressioi irrazioali) Si sposta poi il problema sulla risoluzioe di equazioi del tipo x = a, attraverso l esame di alcui esempi: da x =5 si ha 5 x = 5, specificado che 5 rappreseta sempre ua quatità 1 = positiva o ulla e che 5 è la radice aritmetica di 5, 5 e - 5 soo le radici algebriche di 5. Attraverso esempi, richiamado cose già ote o ituibili si arriva alla defiizioe di radice -esima, facedo vedere il legame tra radice aritmetica e algebrica. Negli approfodimeti viee trattata tutta la parte relativa ai radicali aritmetici di idice, co pochissima teoria (o è altro che la geeralizzazioe dei casi già trattati) e molti esercizi. Si coclude co le poteze ad espoete razioale, ma i modo completamete diverso dagli altri testi: Tutte queste radici, questi idici, queste proprietà possoo redere le cose u po cofuse, allora i matematici, pigri e amati della semplicità, hao trovato ua otazioe migliore Come hao ragioato? La p, per defiizioe è legata alla poteza. Perché allora o esprimere u radicale sottoforma di poteza? 1 Poedo p = p x si arriva a dimostrare (agevolmete) che x =. Si coclude: le proprietà dei radicali o soo altro che le usuali proprietà delle poteze! Si completa co u paragrafetto sulle fuzioi y = x (disegate per puti co l utilizzo del calcolatore) e poi sui umeri complessi, itrodotti a partire dal problema della risoluzioe di 6 equazioi del tipo x = 1 e x = 3 Maria Grazia Marzario