Leonardo Sasso. Nuova Matematica. Statistica Probabilità MODULO. a colori. con elementi di Informatica. Edizione AZZURRA per la riforma

Transcript

1 Leoardo Sasso Nuova Matematica a colori Statistica Probabilità MODULO E co elemeti di Iformatica Edizioe AZZURRA per la riforma

2

3 Leoardo Sasso Nuova Matematica a colori Statistica Probabilità MODULO E co elemeti di Iformatica Edizioe AZZURRA per la riforma

4 iteret: Redattore resposabile: Redazioe: Tecico resposabile: Progetto grafico: Copertia: Ricerca icoografica per la copertia: Impagiazioe: Disegi: Moica Martielli Giovai Malafaria, Barbara De Berardis Gia Battista Vivalda Carla Devoto Simoa Coriola, Simoa Speraza Cristia Colombo M.T.M. Leprechau Art Director: Nadia Maestri L autore rigrazia i professori Alessadra Biglio, Agela Coti, Rossella Cortese, Federica Dete, Mariagela Garozzo, Aa Maria Gugole, Paola Lorezi, Cateria Mellao, Lorezo Rubii, Giuseppe Vasta, Cristia Zucchii per la collaborazioe e la cosuleza didattica. Rigrazia ioltre i professori Stefao Moretti, Giuseppe Vasta e Mariagela Garozzo per il cotributo dato alla stesura degli esercizi. GeoGebra è u software libero co istallazioe sotto liceza Creative Commos Microsoft Excel è u marchio depositato di Microsoft Corporatio Proprietà letteraria riservata 01 De Agostii Scuola SpA Novara 1ª edizioe: geaio 01 Prited i Italy Le fotografie di questo volume soo state forite da: Archivio Dea Picture Library. Foto copertia: istockphoto L Editore dichiara la propria dispoibilità a regolarizzare evetuali omissioi o errori di attribuzioe. Nel rispetto del DL 74/9 sulla traspareza ella pubblicità, le immagii escludoo ogi e qualsiasi possibile itezioe o effetto promozioale verso i lettori. Tutti i diritti riservati. Nessua parte del materiale protetto da questo copyright potrà essere riprodotta i alcua forma seza l autorizzazioe scritta dell Editore. Fotocopie per uso persoale del lettore possoo essere effettuate ei limiti del 15% di ciascu volume dietro pagameto alla SIAE del compeso previsto dall art. 68, commi 4 e 5, della legge aprile Le fotocopie effettuate per fialità di carattere professioale, ecoomico o commerciale o comuque per uso diverso da quello persoale possoo essere effettuate a seguito di specifica autorizzazioe rilasciata da CLEARedi, Cetro Liceze e Autorizzazioi per le Riproduzioi Editoriali, Corso di Porta Romaa, Milao autorizzazioi@clearedi.org e sito web Evetuali segalazioi di errori, refusi, richieste di chiarimeto di fuzioameto tecico dei supporti multimediali del corso o spiegazioi sulle scelte operate dagli autori e dalla Casa Editrice possoo essere iviate all idirizzo di posta elettroica scrivi@scuola.com Stampa: LITORAMA GROUP Milao Ristampa: Ao:

5 Idice TEMA A Dati e previsioi Uità 1 Richiami e complemeti di statistica 1 Itroduzioe alla statistica Idici di posizioe e di variabilità 5 3 Tabelle a doppia etrata 8 4 Dipedeza e idipedeza statistica 1 5 Correlazioe e regressioe 16 ESERCIZI Sitesi Coosceze e abilità 3 Riepilogo 37 Prova di autoverifica 40 Laboratorio di iformatica 41 Verso le competeze 47 Verso le prove Ivalsi 50 TEMA B Calcolo combiatorio e probabilità Uità Calcolo combiatorio Uità 3 Probabilità 1 Itroduzioe al calcolo delle probabilità 85 Valutazioe della probabilità secodo la defiizioe classica 91 3 I primi teoremi sul calcolo delle probabilità 95 4 Probabilità composte ed eveti idipedeti 98 5 Il teorema delle probabilità totali e il teorema di Bayes 10 Matematica ella storia La ascita e gli sviluppi del calcolo delle probabilità 107 ESERCIZI 109 Sitesi 109 Coosceze e abilità 110 Riepilogo 131 Prova di autoverifica 137 Laboratorio di iformatica 138 Verso le competeze 14 Verso le prove Ivalsi 145 Verso l Uiversità 148 Risposte alle prove di autoverifica 151 Idice aalitico Itroduzioe al calcolo combiatorio 54 Disposizioi e permutazioi 56 3 Combiazioi 60 4 Il teorema del biomio di Newto 65 ESERCIZI 69 Sitesi 69 Coosceze e abilità 70 Riepilogo 81 Prova di autoverifica 84 III

6 Risorse multimediali Esercizi iterattivi Materiali per il Modulo E: Glossario Esercizi co traccia guidata Figure diamiche Materiali per il Laboratorio di iformatica Da l accesso al portale studete di zoamatematica cosete di cimetarsi autoomamete co prove di autoverifica costatemete aggiorate e implemetate, oppure di eseguire le prove persoalizzate che il docete assegerà alla classe. IV

7 TEMA A Dati e previsioi La statistica è ua disciplia all ordie del gioro. Basta sfogliare u giorale per trovare dati statistici sui prezzi dei prodotti i commercio, sugli apprezzameti dei programmi televisivi e ache su risultati politici o ecoomici. I medicia, questa disciplia è uo strumeto di fodametale importaza per classificare e aalizzare la diffusioe delle patologie e i loro legami co i fattori che le determiao. Ioltre, tutti i settori della scieza impiegao i metodi della statistica per ordiare e aalizzare idatiumericiotteuti egli esperimeti. Studiado i metodi di presetazioe dei dati della statistica scopriremo come, mediate opportui grafici, sia possibile redere ituitivi dati che altrimeti o sarebbero altro che ua sterile successioe di umeri. Però proprio su questo puto bisoga prestare attezioe: ifatti, i alcui casi chi trae delle coclusioi co grafici o percetuali lo fa i maiera o corretta, scegliedo la rappresetazioe dei dati i base al risultato che vuole suggerire. Studiado questa Uità capiremo perciò quato sia importate saper leggere i dati co metodi corretti, seza dover dipedere dall iterpretazioe di altri. PREREQUISITI 3Numeri reali e itervalli Le quattro operazioi Le percetuali Estrazioe di radice Ordii di gradezza COMPETENZE 3Utilizzare il liguaggio e i metodi propri della matematica per orgaizzare e valutare adeguatamete iformazioi qualitative e quatitative Uità 1 Richiami e complemeti di statistica Tutte le azioi sviluppate del modo dispogoo di u istituto azioale di statistica, che studia per esempio lo sviluppo demografico della popolazioe, l adameto della produzioe agricola e idustriale e tati altri aspetti fodametali per la gestioe di u Paese. I Italia l istituto azioale di statistica, l ISTAT, èpresete dal 196 ed è la pricipale fote di statistica ufficiale a supporto dei cittadii e delle istituzioi.

8 Uità1 Richiami e complemeti di statistica 1. Itroduzioe alla statistica Tema A Attezioe! I questo e el prossimo paragrafo richiamiamo siteticamete i pricipali cocetti di statistica che hai appreso el primo bieio. Il liguaggio della statistica Il primo passo per iiziare lo studio della statistica è cooscere il sigificato di alcui termii specifici. POPOLAZIONE E UNITÀ STATISTICA L isieme degli idividui oggetto di u idagie statistica si chiama popolazioe (o uiverso o collettivo); ciascu idividuo facete parte della popolazioe viee chiamato ache uità statistica. Alcue idagii statistiche cosetoo di iterpellare tutti i membri della popolazioe; i altri casi, per motivi di costi e di tempi, bisoga limitarsi a sottoporre le domade o le richieste di iformazioi solo a ua parte della popolazioe, che viee chiamata campioe. CARATTERE Si chiama carattere la proprietà che è oggetto di studio i u idagie statistica. Per esempio, il peso di ua persoa può essere u possibile carattere di u idagie. I corrispodeza di ogi idividuo della popolazioe, il carattere oggetto di studio assume ua determiata modalità; per esempio, il carattere «peso» può assumere i corrispodeza di u dato idividuo la modalità 7 kg, i corrispodeza di u altro la modalità 80 kg e così via. MODALITÀ Si chiama modalità ciascua delle variati co cui u carattere può presetarsi; le modalità osservate si chiamao dati. Modi di dire «Variabile» e «mutabile» soo, i questo cotesto, sostativi. Si usa talvolta parlare di valori di ua variabile, aziché di modalità di ua variabile. I caratteri si classificao secodo le segueti defiizioi. CARATTERI QUANTITATIVI E CARATTERI QUALITATIVI U carattere le cui modalità soo espresse da umeri è detto carattere quatitativo (o variabile), u carattere le cui modalità o soo espresse da umeri è detto carattere qualitativo (o mutabile). ESEMPI Caratteri quatitativi I giori di asseza di uo studete i u ao scolastico La quatità, i kilogrammi, di mele vedute da u egozio i u gioro Il umero di multe dato i u gioro dai vigili di ua città Caratteri qualitativi Il gusto di gelato preferito Il tipo di alimetazioe (bezia o diesel) delle macchie che ci soo i u parcheggio Il colore delle automobili vedute da u agezia i u gioro Le variabili (ovvero i caratteri quatitativi) si classificao ulteriormete a secoda del tipo di valori che possoo assumere.

9 VARIABILI DISCRETE E VARIABILI CONTINUE Ua variabile si dice discreta quado può assumere soltato u umero fiito di valori (o u isieme di valori che può essere posto i corrispodeza biuivoca co l isieme dei umeri aturali); si dice cotiua quado può assumere (almeo teoricamete) tutti i valori reali di u determiato itervallo. Tipicamete, le variabili discrete soo quelle che si rilevao cotado (per esempio il umero dei figli i ua famiglia o il umero dei dipedeti di u azieda), metre le variabili cotiue soo quelle che si rilevao mediate misurazioi (per esempio il peso di u bambio a ua certa età o la temperatura massima gioraliera registrata a Milao i u dato gioro). ESEMPI RIASSUNTIVI Feomeo studiato Popolazioe Carattere Modalità Tipo di carattere Uità 1 Richiami e complemeti di statistica Il colore degli occhi degli italiai Tutti gli italiai Il colore degli occhi Verdi, azzurri, marroi ecc. Qualitativo Altezza (misurata i metri) degli studeti di ua classe Gli studeti della classe La misura dell altezza 1,7 m; 1,85 m; 1,78 m Quatitativo cotiuo L ao di ascita degli iscritti a ua palestra Tutti gli iscritti alla palestra L ao di ascita..., 1970,..., 1981, 1965,... Quatitativo discreto Distribuzioi di frequeze Ricordiamo azitutto alcue defiizioi. Termie Frequeza (assoluta) di ua modalità Frequeza relativa di ua modalità Frequeza percetuale di ua modalità Frequeza cumulata di ua modalità di u carattere quatitativo Sigificato Il umero di volte i cui ua modalità è stata osservata Il rapporto tra la frequeza assoluta della modalità e il umero di idividui della popolazioe La rappresetazioe i percetuale della frequeza relativa La somma delle frequeze di tutte le modalità miori o uguali a quella cosiderata Ua prima forma di elaborazioe dei dati, volta a otteere ua maggiore sitesi, cosiste el costruire ua tabella i cui riportare, per ciascua delle modalità differeti x 1, x,..., x k osservate, la rispettiva frequeza assoluta; questa tabella, i cui si aggiuge di solito u ultima riga i cui si riporta il totale delle frequeze (vedi la tabella qui a fiaco), è detta distribuzioe di frequeze del carattere esamiato. Il umero rappreseta il umero complessivo di uità della popolazioe. Nella costruzioe della tabella bisoga ricordare, se il carattere è quatitativo, di ordiare le modalità i seso crescete. I modo del tutto aalogo si possoo costruire le distribuzioi di frequeze relative o percetuali, sostituedo le frequeze assolute co quelle relative o percetuali. x 1 f 1 x f x k Totale Frequeze f k 3

10 Tema A Dati e previsioi ESEMPIO Distribuzioe di frequeze Suppoiamo di avere rilevato, i ua classe di ua scuola, il colore degli occhi degli allievi. Il risultato della rilevazioe forisce i così detti dati grezzi, che abbiamo raccolto ella seguete tabella i cui a ogi uità statistica (cioè a ogi studete) è stata associata la modalità del carattere osservata, cioè il colore ero (N), marroe (M) azzurro (A) o verde (V). Studete Colore degli occhi N M A N N M A V V M M N N V V N M N Associado a ogi modalità la sua frequeza assoluta, la tabella dei dati grezzi si sitetizza ella seguete, che rappreseta la distribuzioe di frequeze del carattere esamiato. Colore degli occhi Numero di studeti Nero 7 Marroe 5 Azzurro Verde 4 Totale 18 I alcui casi, prima di costruire la tabella che rappreseta la distribuzioe di frequeze, è utile accorpare le modalità i itervalli tra loro disgiuti, detti classi. ESEMPIO Distribuzioe di frequeze suddivisa per classi Nella stessa classe i cui prima abbiamo rilevato il colore degli occhi degli studeti, rileviamo ora la loro statura. Il risultato della rilevazioe forisce i dati grezzi riassuti ella seguete tabella. Studete Altezza (i cm) Suddividedo le possibili altezze degli studeti (misurate i cm) ei segueti itervalli: (160, 165]; (165, 170]; (170, 175]; (175, 180]; (180, 185]; (185, 190] otteiamo la distribuzioe di frequeze rappresetata ella tabella qui a fiaco. Altezza (i cm) (160, 165] 1 Frequeza (165, 170] 3 (170, 175] 3 (175, 180] 4 (180, 185] 5 (185, 190] 4

11 Pricipali rappresetazioi grafiche Esiste ua grade varietà di grafici utilizzati i statistica, ma i più importati si possoo ricodurre alle quattro categorie di cui puoi vedere alcui esempi ella tabella seguete: diagrammi a barre, diagrammi circolari, diagrammi cartesiai e istogrammi. Diagramma a barre (rettagoli distaziati) Voti i u compito i classe Frequeza Voto Diagramma circolare Diagramma cartesiao Istogramma (rettagoli affiacati) Colore degli occhi i u isieme di persoe marroi 80% 8% 1% azzurri verdi Prezzo Adameto del prezzo di u prodotto Ai Stipedi i u azieda per fasce d età Stipedi medi [0,35) [35,50) [50,65) Fasce d età Uità 1 Richiami e complemeti di statistica Prova tu ESERCIZI a p. 3 a. Nell isieme degli studeti che hao superato l esame di Stato i ua data scuola si esegue u idagie statistica che ha per oggetto il voto coseguito. Idica, per questa idagie statistica: la popolazioe, il carattere, alcue possibili modalità del carattere, e stabilisci se il carattere è quatitativo o qualitativo; i caso sia quatitativo, specifica se è discreto o cotiuo. b. Cosidera la tabella dei dati grezzi dell ultimo esempio di questo paragrafo (relativa alla rilevazioe delle altezze i ua classe di studeti). Suddividi i dati elle classi (160, 170], (170, 180], (180, 190] e costruisci ua tabella che rappreseti la distribuzioe delle frequeze assolute e relative delle classi.. Idici di posizioe e di variabilità Richiamiamo i questo paragrafo le formule e i metodi per determiare i pricipali idici di posizioe (media, moda, mediaa) e di variabilità (variaza e deviazioe stadard). Gli idici di posizioe e di variabilità cosetoo di sitetizzare i pochi umeri sigificativi le pricipali caratteristiche del feomeo idagato. I particolare, gli idici di variabilità foriscoo iformazioi sull attitudie di u feomeo a maifestarsi sulle varie uità statistiche co modalità diverse e distati tra loro. Il caso i cui è data ua distribuzioe di dati grezzi Ci riferiamo a u carattere quatitativo, di cui soo stati osservati i valori x 1, x,..., x. Termie Defiizioe Esempio Media aritmetica (idicata co x o co ) ¼ x ¼ x 1 þ x þ ::: þ x La media dei tre umeri, 4 e 6 è: x ¼ þ 4 þ 6 ¼ 4 3 5

12 Tema A Dati e previsioi Termie Defiizioe Esempio Mediaa Ordiati i umeri x 1, x,..., x i seso crescete (o decrescete) la loro mediaa è: il umero che occupa la posizioe cetrale, se è dispari; la media aritmetica dei due umeri che occupao le posizioi cetrali, se è pari. La mediaa dei tre umeri: 4, 5, 6 ¼ 3 (dispari) è il umero 5. La mediaa dei quattro umeri: 4, 5, 6, 7 ¼ 4 (pari) è la media aritmetica dei due umeri che occupao le posizioi cetrali, quidi è 5 þ 6 ¼ 11. Moda Il dato (o i dati) che hao la massima frequeza. Dati i umeri: 1,, 3, 4, 3 la moda è il umero 3, che compare co frequeza massima, uguale a. Variaza (idicata co V o co ) p Deviazioe stadard ¼ ffiffiffi V ¼ V ¼ ðx 1 xþ þ ::: þðx xþ oppure ¼ V ¼ x 1 þ ::: þ x x Cosideriamo i due umeri 4 e 8. La loro media aritmetica è: x ¼ 4 þ 8 ¼ 6 La loro variaza, i base alla secoda formula, è: ¼ V ¼ 4 þ 8 6 ¼ 4 La deviazioe stadard di 4 e 8, ipbase alla variaza poc azi calcolata, è ¼ ffiffiffi 4 ¼. Il caso i cui è data ua distribuzioe di frequeze Nel caso che sia assegata ua distribuzioe di frequeze, occorre teere presete che: per il calcolo della media e della variaza si utilizzao le formule segueti: x ¼ x 1f 1 þ x f þ ::: þ x k f k f 1 þ f þ ::: þ f k ¼ x 1 f 1 þ ::: þ x k f k f 1 þ ::: þ f k x dove x 1, x,..., x k soo i valori osservati, rispettivamete co frequeze f 1, f,..., f k, del carattere (quatitativo) i esame; per il calcolo della mediaa coviee ricorrere al calcolo delle frequeze cumulate, come spiegato el prossimo esempio. ESEMPIO Valori medi el caso di ua distribuzioe di frequeze U idagie effettuata su u campioe di famiglie ha prodotto la distribuzioe di frequeze rappresetata ella tabella qui sotto. Determiiamo la media, la mediaa e la moda della distribuzioe. Numero di figli per famiglia Frequeza

13 Il umero medio di figli per famiglia è dato dalla formula: x ¼ 0 9 þ 1 7 þ 40 þ 3 0 þ 4 3 þ þ 7 þ 40 þ 0 þ 3 þ 1 ¼ ¼ 1,84 Per il calcolo della mediaa determiiamo prelimiarmete le frequeze cumulate: Numero di figli per famiglia Frequeza Frequeza cumulata þ 7 ¼ þ 40 ¼ þ 0 ¼ 96 Uità 1 Richiami e complemeti di statistica þ 3 ¼ þ 1 ¼ 100 Il umero complessivo di famiglie itervistate è ¼ 100 (ultima frequeza cumulata). Le due famiglie che occupao le posizioi cetrali soo la ciquatesima e la ciquatuesima. Dalla coloa delle frequeze cumulate deduciamo che le famiglie dalla umero 37 alla umero 76 hao figli, quidi i particolare hao figli le famiglie corrispodeti alle due posizioi cetrali. La mediaa è, per defiizioe, la media fra i figli di queste due famiglie, duque è. La moda della distribuzioe è chiaramete, che corrispode alla massima frequeza (uguale a 40). Il caso i cui è data ua distribuzioe suddivisa per classi Se è data ua distribuzioe di frequeze suddivisa per classi: a. si assume come media della distribuzioe il valore che si ottiee sostituedo ciascua classe co il suo valore cetrale (cioè co la semisomma degli estremi della classe) e calcolado la media delle distribuzioe di frequeze così otteuta; b. si assume come mediaa il valore cetrale della classe che cotiee la mediaa; c. si assume come classe modale quella che ha maggiore frequeza se le classi hao la stessa ampiezza, e quella che ha maggiore desità di frequeza i caso cotrario. Rifletti 1. Il sigificato della mediaa è il seguete: almeo il 50% delle famiglie hao u umero di figli maggiore o uguale a e almeo il 50% delle famiglie hao u umero di figli miore o uguale a.. Nell esempio qui a fiaco la mediaa e la moda coicidoo. I geerale o è detto che ciò avvega. Ricorda Si chiama desità di frequeza il rapporto tra la frequeza della classe e la sua ampiezza. ESEMPIO Valori medi el caso di ua distribuzioe suddivisa i classi U idagie effettuata su u campioe di idividui ha prodotto la seguete distribuzioe di frequeze. Determiiamo media, mediaa e moda della distribuzioe. Peso (i kg) Frequeza 40 p < p < p < p < p < Ô 7

14 Tema A Dati e previsioi Ô a. Sostituedo ogi classe co il suo valore cetrale otteiamo la seguete distribuzioe di frequeze. Per esempio, il valore cetrale della classe 40 p < 50 è: 40 þ 50 ¼ 45 Peso (i kg) Frequeza A questo puto il peso medio p può essere ricavato co ua media aritmetica poderata: p ¼ þ þ þ 85 8 þ þ 48 þ 45 þ 8 þ 3 ¼ ,4 kg b. Per idividuare la classe che cotiee la mediaa della distribuzioe è utile calcolare le frequeze cumulate: Peso (i kg) Frequeza Frequeza cumulata 40 p < p < p < p < p < Il collettivo è composto complessivamete da 10 idividui (pari), la mediaa è data perciò dalla media fra il sessatesimo e il sessatuesimo peso osservato. Dalla coloa delle frequeze cumulate si deduce che i pesi osservati dal umero 17 al umero 64 appartegoo alla classe 50 p < 60. Pertato ache la mediaa appartiee a tale classe. Come approssimazioe 50 þ 60 della mediaa prediamo il valore cetrale di tale classe: ¼ 55. Il peso mediao è quidi 55 kg. c. Dal mometo che le classi hao la stessa ampiezza (uguale a 10), la classe modale è quella che ha maggiore frequeza, ossia 50 p < 60. Prova tu ESERCIZI a p. 6 Cosidera il seguete isieme di dati: 1, 4, 7,, 3, 4, 4, 8, 8, 3, 1, 1,, 5, 4 Determia la media, la mediaa e la moda. [Media ¼ 3,8; mediaa ¼ moda ¼ 4] 3. Tabelle a doppia etrata 8 Nei paragrafi precedeti abbiamo richiamato le ozioi fodametali relative alla statistica uivariata, ossia a quella parte della statistica che si occupa dell aalisi dei dati proveieti dalla rilevazioe di u solo carattere su ua data popola-

15 zioe. I questo e ei prossimi paragrafi vogliamo ivece itrodurre le ozioi di base relative alla statistica bivariata: vogliamo cioè vedere come si estedoo le ozioi della statistica uivariata quado vegoo rilevati cogiutamete due caratteri, diciamo e Y. L obiettivo ulteriore che ci porremo, i questo uovo cotesto, sarà quello di scoprire e mettere i luce evetuali relazioi tra e Y. Distribuzioi cogiute e margiali Suppoiamo duque che due caratteri e Y siao osservati (isieme) su ciascua delle uità che compogoo la popolazioe i esame. Il risultato della rilevazioe è u isieme di coppie ordiate (x, yþ che possoo essere rappresetate i ua tabella come quella qui sotto, detta tabella dei dati grezzi: Uità statistiche Modalità di rilevata Modalità di Y rilevata 1 x 1 y 1 Uità 1 Richiami e complemeti di statistica x y x y ESEMPIO Tabella dei dati grezzi Su ua popolazioe formata da cique amici si soo rilevati due caratteri: l età (Þ elacittàdi ascita (YÞ. I dati grezzi possoo essere orgaizzati ella tabella sottostate. Nome Età Città di ascita Alberto 30 Milao Maria 35 Torio Giovai 3 Milao Paola 30 Milao Alessadro 3 Roma Nell ambito della statistica uivariata abbiamo visto che per redere i dati grezzi meglio leggibili è utile costruire la tabella che e rappreseta la distribuzioe di frequeze. Similmete si procede ell ambito della statistica bivariata, costruedo ua tabella a doppia etrata, che riporti le frequeze co cui si maifestao le varie coppie di modalità osservate. Più precisamete, suppoiamo che il carattere abbia maifestato le modalità distite: x 1, x,..., x k e che il carattere Y abbia maifestato le modalità distite: y 1, y,..., y h Costruiamo ua tabella di k þ 1 righe e h þ 1 coloe coveedo di riportare ella prima coloa le modalità x 1, x,..., x k di e ella prima riga le modalità y 1, y,..., y h di Y. Nella casella all icrocio tra ua riga, diciamo la i, e ua coloa, diciamo la j, riporteremo la frequeza assoluta della coppia ðx i, y j Þ, che el seguito idicheremo co il simbolo f ðx i, y j Þ. Le frequeze assolute di queste coppie soo dette frequeze cogiute e la tabella così costruita viee detta distribuzioe doppia di frequeze. Altre otazioi La frequeza cogiuta della coppia ðx i,y j Þ viee spesso idicata ache co il simbolo f ij. 9

16 Tema A Dati e previsioi ESEMPIO Distribuzioe doppia di frequeze I riferimeto all esempio precedete, il carattere (età) maifesta tre modalità distite: 30, 3, 35; così pure il carattere Y (città di ascita) maifesta tre modalità distite: Milao, Torio, Roma. I dati grezzi possoo essere orgaizzati ella seguete tabella a doppia etrata, costruita secodo le modalità poc azi descritte. Y Milao Torio Roma La tabella a doppia etrata che rappreseta le frequeze cogiute di e Y si completa di solito co u ultima riga, dove vegoo riportate le somme delle frequeze di ciascua coloa, e u ultima coloa, dove vegoo riportate le somme delle frequeze di ciascua riga. L ultima riga e l ultima coloa rappresetao le cosiddette distribuzioi margiali dei due caratteri, cioè le distribuzioi di e Y che si avrebbero se ciascuo di essi fosse stato rilevato sigolarmete. All icrocio dell ultima riga e dell ultima coloa si poe il umero complessivo di uità della popolazioe. ESEMPIO Distribuzioi margiali I riferimeto alla tabella dell esempio precedete, e risultao le distribuzioi margiali messe i evideza sull ultima riga e sull ultima coloa: Osserva Il umero complessivo di uità del collettivo è uguale sia alla somma delle frequeze margiali di, sia alla somma delle frequeze margiali di Y. Y Milao Torio Roma Totale Totale fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} Distribuzioe margiale di Y Numero complessivo di uità del collettivo 9 >= Distribuzioe margiale di >; 10 Altre otazioi La frequeza margiale f ðx i Þ viee idicata ache co il simbolo f i e la frequeza margiale f ðy j Þ co il simbolo f j. Il puto posto prima o dopo l idice idica il feomeo che è stato trascurato, per ricordare che si sta lavorado co frequeze margiali. Nel seguito idicheremo le frequeze (dette frequeze margiali) che costituiscoo le distribuzioi margiali di e Y rispettivamete co i simboli f ðx 1 Þ; :::; f ðx k Þ e f ðy 1 Þ; :::; f ðy h Þ. È ioltre possibile otteere le distribuzioi margiali relative di e Y costruedo i rapporti tra le frequeze margiali e il umero complessivo di uità del collettivo. Distribuzioi codizioate Facciamo acora riferimeto alla tabella dell ultimo esempio. Se per esempio fissiamo l attezioe sulla riga corrispodete alla prima modalità di, x 1 = 30, leggiamo come si distribuisce il carattere Y tra le uità della popolazioe che maifestao la modalità x 1 di. Per questo motivo si dice che tale riga rappreseta la distribuzioe codizioata di Y rispetto alla modalità x 1 di.

17 Y Distribuzioe codizioata di Y rispetto alla modalità x 1 ¼ 30 di Milao Torio Roma Totale Totale Più i geerale, fissare l attezioe su ua sola riga (o coloa) della tabella (escludedo quelle delle modalità e dei totali) sigifica restrigersi alla sottopopolazioe che preseta ua data modalità di (o di YÞ: ciascua di queste righe o coloe, sigolarmete presa, rappreseta perciò ua particolare distribuzioe codizioata. È ache possibile costruire le distribuzioi codizioate relative, poedo a rapporto le frequeze cogiute che appartegoo alla distribuzioe codizioata cosiderata co i corrispodeti totali di riga o di coloa. Per esempio, i riferimeto alla tabella sopra, la distribuzioe codizioata di rispetto a y 1 ela corrispodete distribuzioe codizioata relativa soo rappresetate qui sotto. I simboli La distribuzioe di codizioata a ua modalità y j di Y si idica co il simbolo jy j. Aalogamete va iterpretato il simbolo Yjx i. Uità 1 Richiami e complemeti di statistica Distribuzioe codizioata jy 1 Distribuzioe codizioata relativa 30 / / /3 Totale 3 1 SINTESI I dati grezzi raccolti i seguito alla rilevazioe cogiuta di due caratteri e Y possoo essere orgaizzati i ua tabella a doppia etrata del tipo seguete, che rappreseta la distribuzioe doppia di frequeze di e Y: Frequeza assoluta co cui la modalità x i si preseta cogiutamete alla modalità y j Y y 1... y j ::::: y h Totale x f ðx 1 Þ x i f ðx i, y j Þ x k f ðx k Þ Somme per riga: foriscoo la distribuzioe margiale di Totale f ðy 1 Þ f ðy h Þ Somme per coloa: foriscoo la distribuzioe margiale di Y Numero complessivo di uità del collettivo L orgaizzazioe dei dati i ua tabella a doppia etrata permette di riassumere molti tipi di iformazioi: 1. il comportameto cogiuto di ediy: èrappresetato elle caselle della tabella o apparteeti ai bordi, dove soo riportate le frequeze cogiute di e Y; Ô 11

18 Tema A Dati e previsioi Prova tu Ô. il comportameto di e Y, cosiderati sigolarmete: è rappresetato sull ultima coloa e sull ultima riga della tabella, dove soo riportate le frequeze margiali di e Y; 3. il comportameto di u carattere ( o YÞ codizioatamete a ua modalità dell altro: è rappresetato sulle righe e sulle coloe itere alla tabella, cosiderate sigolarmete. ESERCIZI a p. 9 Soo stati itervistati i 0 studeti di ua classe e su ciascuo soo stati rilevati cogiutamete due caratteri : il sesso (M ¼ maschio, F ¼ femmia) e Y: il umero di ore che dedicao mediamete allo studio i ua giorata. Si soo otteuti i dati ella seguete tabella: M M F M M F M F M F F M F M F M F M M F Y a. Costruisci ua tabella a doppia etrata che orgaizzi i dati grezzi e idividua le distribuzioi margiali dei due caratteri e Y. b. Determia la distribuzioe di, codizioata alla modalità «3 ore di studio al gioro» e la corrispodete distribuzioe codizioata relativa. c. Determia la distribuzioe di Y, codizioata alla modalità «femmia» e la corrispodete distribuzioe codizioata relativa. 4. Dipedeza e idipedeza statistica Come già aticipato, lo studio statistico di due caratteri e Y, rilevati cogiutamete su ua data popolazioe, si poe tra i vari obiettivi ache quello di stabilire se sussiste qualche relazioe di dipedeza tra e Y. I metodi che esporremo i questo paragrafo per valutare l evetuale dipedeza tra due caratteri possoo essere applicati sia a caratteri quatitativi sia a caratteri qualitativi, perché farao riferimeto solo alle frequeze; tuttavia, ella pratica si utilizzao prevaletemete per caratteri di tipo qualitativo, poiché per caratteri quatitativi esistoo strumeti statistici più adeguati (che preseteremo el prossimo paragrafo). Dipedeza e idipedeza Dati due caratteri e Y, per stabilire se dipede o meo da Y viee aturale l idea di cofrotare le distribuzioi di codizioate alle modalità di Y co la distribuzioe margiale di (che esprime il comportameto di cosiderato sigolarmete). Se c è idipedeza, c è da aspettarsi che il codizioameto di alle modalità di Y o abbia alcu effetto, ossia che le distribuzioi codizioate si mategao uguali a quella margiale. Occorre però prestare attezioe a u aspetto: le frequeze margiali si riferiscoo all itera popolazioe, metre le frequeze codizioate si riferiscoo soltato alla sottopopolazioe che preseta la modalità rispetto cui stiamo codizioado. No sarebbe perciò corretto eseguire il cofroto tra le frequeze assolute: il cofroto deve essere fatto tra frequeze relative. Queste cosiderazioi portao alla seguete defiizioe. 1 INDIPENDENZA Il carattere si dice idipedete da Y se le distribuzioi codizioate relative di rispetto alle modalità di Y soo uguali alla distribuzioe margiale relativa di.

19 Ogi qualvolta due caratteri o soo tra loro idipedeti, si dirà che esiste ua dipedeza tra di essi; i particolare, se i due caratteri soo qualitativi, la dipedeza si chiama coessioe. Si può dimostrare che la relazioe di idipedeza è simmetrica: è idipedete da Y se e solo se Y è idipedete da. Idipedeza tra due caratteri TEOREMA 1.1 Due caratteri e Y, di cui soo state osservate rispettivamete le modalità distite x 1,..., x k e y 1,.., y h, su ua popolazioe costituita da uità, soo idipedeti se e solo se risulta: f ðx i, y j Þ¼ f ðx iþf ðy j Þ per ogi i ¼ 1,..., k e per ogi j ¼ 1,..., h [1.1] DIMOSTRAZIONE Facciamo riferimeto per maggiore chiarezza alla geerica tabella che rappreseta la distribuzioe doppia di frequeze di e Y. Osserva La codizioe di idipedeza [1.1] richiede i pratica che ogi frequeza cogiuta sia uguale al prodotto delle corrispodeti frequeze margiali, diviso per. Uità 1 Richiami e complemeti di statistica Y y 1 y... y j... y h Totale x 1 f ðx 1, y 1 Þ f ðx 1, y Þ... f ðx 1, y j Þ... f ðx 1, y h Þ f ðx 1 Þ Distribuzioe di Y codizioata a x 1 x i x k f ðx k Þ Totale f ðy 1 Þ f ðy Þ... f ðy j Þ... f ðy h Þ Distribuzioe margiale di Y Data la simmetria della relazioe di idipedeza, possiamo imporre per esempio che Y sia idipedete da, cioè che le distribuzioi codizioate relative di Y siao uguali alla distribuzioe margiale relativa di Y. Fissiamo l attezioe sulla secoda riga della tabella, che rappreseta la distribuzioe di Y codizioata alla modalità x 1 di. La corrispodete distribuzioe codizioata relativa si ottiee poedo a rapporto le frequeze co il corrispodete totale di riga: f ðx 1, y 1 Þ f ðx 1 Þ, f ðx 1, y Þ,..., f ðx 1, y h Þ f ðx 1 Þ f ðx 1 Þ Aalogamete, la distribuzioe margiale relativa di Y è data da: f ðy 1 Þ, f ðy Þ,..., f ðy hþ Affiché queste due distribuzioi di frequeze relative siao uguali dovrà essere: f ðx 1, y 1 Þ f ðx 1 Þ ¼ f ðy 1Þ, f ðx 1; y Þ f ðx 1 Þ ¼ f ðy Þ,..., f ðx 1; y h Þ f ðx 1 Þ ¼ f ðy hþ ossia: f ðx 1, y 1 Þ¼ f ðx 1Þf ðy 1 Þ f ðx 1, y Þ¼ f ðx 1Þf ðy Þ,..., f ðx 1, y h Þ¼ f ðx 1Þf ðy h Þ Altrettate aaloghe uguagliaze scaturiscoo codizioado Y rispetto alle modalità x,..., x k. I defiitiva deve essere: f ðx i, y j Þ¼ f ðx iþf ðy j Þ per ogi i ¼ 1,..., k e per ogi j ¼ 1,..., h 13

20 Tema A Dati e previsioi È importate fare alcue osservazioi. a. La formula [1.1] è coerete co il fatto che la relazioe di idipedeza statistica è simmetrica. b. Le frequeze cogiute che realizzao la codizioe di idipedeza statistica, ossia le frequeze che si ottegoo tramite la formula [1.1], vegoo chiamate frequeze teoriche di idipedeza, per distiguerle da quelle effettivamete osservate: per o cofoderle co queste ultime, idicheremo le frequeze teoriche di idipedeza co u apice, co il simbolo f 0 ðx i, y j Þ. c. A ogi tabella che rappreseta ua distribuzioe doppia di frequeze osservate è possibile affiacare la tabella teorica di idipedeza, che si costruisce mateedo fisse le distribuzioi margiali e sostituedo le frequeze cogiute osservate co quelle teoriche di idipedeza. L idipedeza tra i due caratteri i esame sarà verificata se e solo se la tabella teorica di idipedeza coicide co la tabella delle frequeze osservate. ESEMPIO Idipedeza tra due caratteri Cosideriamo la tabella qui sotto a siistra (che si riferisce a due caratteri qualitativi osservati su u collettivo di 50 uità) e costruiamo la tabella teorica di idipedeza (a destra). Y y 1 y Totale x x x Totale Tabella osservata ¼) Y x x x y 1 y Totale ¼ 15 ¼ 9 ¼ ¼ 10 5 ¼ 6 15 ¼ 4 10 Totale Tabella teorica di idipedeza Poiché le due tabelle o coicidoo, cocludiamo che i due caratteri e Y o soo statisticamete idipedeti. È importate osservare che, metre le frequeze cogiute osservate soo costituite da umeri iteri, le frequeze teoriche di idipedeza i geerale o lo soo (dal mometo che soo otteute come rapporto tra il prodotto delle corrispodeti frequeze margiali e il umero complessivo di uità della popolazioe). La situazioe di perfetta idipedeza statistica può quidi realizzarsi solo el caso fortuito i cui tutte le frequeze teoriche di idipedeza soo umeri iteri. Ache ammettedo che si verifichi questa ipotesi, è facile capire che è comuque molto raro che la tabella delle frequeze osservate coicida esattamete co la tabella teorica di idipedeza. Quest ultima va quidi iterpretata come ua situazioe ideale dalla quale è importate capire quato i dati reali si trovao distati. 14 La misura del grado di dipedeza Per misurare il grado di dipedeza di due caratteri e Y dobbiamo quidi cofrotare la tabella delle frequeze osservate co quella teorica di idipedeza: il grado di dipedeza sarà tato più elevato quato più la tabella delle frequeze osservate è lotaa dalla tabella delle frequeze teoriche di idipedeza. Gli idici statistici che misurao tale «lotaaza» si basao sulle differeze tra le frequeze osservate e quelle teoriche; tali differeze soo dette cotigeze e possoo essere così defiite:

21 cðx i, y j Þ ¼ f ðx i, y j Þ f 0 ðx i, y j Þ cotigeza frequeza cogiuta frequeza teorica di idipedeza della coppia ðx i, y j Þ della coppia ðx i, y j Þ della coppia ðx i, y j Þ Si può dimostrare che la somma di tutte le cotigeze è sempre ulla. Pertato, per sitetizzare i u uico idice tutte le differeze, o è possibile basarsi semplicemete sulla somma delle cotigeze. L idice sitetico più oto, dovuto al matematico e statistico Karl Pearso ( ), si basa (per ragioi aaloghe a quelle viste quado abbiamo itrodotto la variaza) sui quadrati delle cotigeze e viee idicato co la lettera greca (chi) elevata al quadrato. INDICE CHI-QUADRATO Dati due caratteri e Y, siao x 1,...,x k e y 1,..., y h le differeti modalità co cui si maifestao, rispettivamete, e Y; l idice chi-quadrato (o chi-quadro) è così defiito: ¼ k h c ðx i, y j Þ [1.] f 0 ðx i, y j Þ i¼1 j¼1 L idice soddisfa le proprietà che ragioevolmete ci aspettiamo da u idice che misuri la dipedeza di due caratteri; ifatti: è uguale a 0 se e solo se e Y soo idipedeti (ifatti vale 0 se e solo se tutte le cotigeze soo ulle); cresce al crescere delle cotigeze. L idice può essere calcolato più rapidamete tramite la formula seguete, che si dimostra essere equivalete alla [1.] e ha il vataggio di cosetire di evitare il calcolo delle cotigeze e delle frequeze teoriche di idipedeza. FORMULA ABBREVIATA DELL INDICE CHI-QUADRATO Dati due caratteri e Y, siao x 1,...,x k e y 1,..., y h le differeti modalità co cui si maifestao, rispettivamete, e Y su ua popolazioe di uità; l idice di coessioe chi-quadrato può essere calcolato tramite la formula: 0 1 ¼ h f ðx i, y j Þ f ðx i Þf ðy j Þ 1 A [1.3] i¼1 j¼1 ESEMPIO Idice chi-quadrato I riferimeto alla tabella dell esempio precedete, calcoliamo l idice di coessioe. Y y 1 y Totale x x ¼) 15 ¼ þ þ þ þ þ ¼ Rifletti Il sigificato della [1.] è il seguete. Per calcolare l idice chi-quadrato di ua distribuzioe doppia di frequeze occorre: 1. per ogi frequeza cogiuta, calcolare la cotigeza, elevarla al quadrato e dividerla per la corrispodete frequeza teorica di idipedeza;. sommare tutti i risultati otteuti. La doppia sommatoria ella formula [1.] sigifica che la somma deve icludere gli addedi proveieti da tutte le frequeze cogiute della distribuzioe doppia. Rifletti I pratica, per calcolare l idice chi-quadrato di ua distribuzioe doppia di frequeze i base alla [1.3] si procede così: 1. per ogi frequeza cogiuta, la si eleva al quadrato e si divide il quadrato per il prodotto delle corrispodeti frequeze margiali;. si sommao tutti i risultati otteuti, quidi si sottrae dalla somma 1 e si moltiplica il risultato per. La doppia sommatoria ella formula [1.3] sigifica che la somma deve icludere gli addedi proveieti da tutte le frequeze cogiute della distribuzioe doppia. Uità 1 Richiami e complemeti di statistica x ¼ 5 9,8 Totale Si poe ora il problema di iterpretare l idice chi-quadrato. Il valore trovato ell esempio precedete è tato o poco? È idice di ua coessioe forte o debole? Per rispodere a queste domade occorre ormalizzare l idice, cioè trasformarlo i u umero compreso tra 0 e 1, i modo che sia facilmete iterpretabile. Questo obiettivo si ottiee dividedo l idice per il suo valore massimo. 15

22 Tema A Dati e previsioi Si dimostra che il valore massimo che può assumere l idice (cioè il valore che assumerebbe el caso di perfetta coessioe) è uguale al prodotto tra (il umero complessivo di uità del collettivo) e il miimo tra k 1eh 1 (essedo k e h rispettivamete il umero di modalità differeti maifestate da e YÞ. Si giuge così alla formula seguete: ESEMPIO Idice ormalizzato ¼ mi fk 1, h 1g Idice chi-quadrato ormalizzato I riferimeto all ultimo esempio svolto, ormalizziamo l idice di coessioe. Idice ormalizzato ¼ mi fk 1, h 1g ¼ ¼ 50, k ¼ 3, h ¼ ¼ mi f3 1, 1g ¼ mi f, 1g ¼ ¼ ,056 1 Pertato la coessioe tra i due caratteri e Y è circa il 5,6% della massima possibile: u grado di coessioe molto basso. Prova tu ESERCIZI a p. 3 Si soo rilevati due caratteri (l attuale posizioe lavorativa) e Y (il sesso) su u collettivo di 100 persoe. La distribuzioe doppia di frequeze di e Y che si è otteuta è quella rappresetata i tabella. Verifica che e Y soo coessi e valuta il grado di coessioe, calcolado l idice e ormalizzadolo. Attuale posizioe lavorativa Sesso F M Totale Disoccupato Occupato Totale [ 9,1; ormalizzato 0,091] 5. Correlazioe e regressioe Come abbiamo aticipato el paragrafo precedete, per idagare sull esisteza di possibili relazioi tra due caratteri quatitativi e Y è possibile itrodurre strumeti più adeguati di quelli appea visti, perché è possibile lavorare ache sullemodalità di e Y (metre per caratteri qualitativi è ecessario limitarsi alle frequeze). I questo paragrafo itroduciamo questi uovi strumeti. 16 Correlazioe Premettiamo che la dipedeza tra due caratteri di tipo quatitativo viee chiamata correlazioe (per distiguerla dalla dipedeza tra due caratteri qualitativi che, come abbiamo visto, viee chiamata ivece coessioe).

23 U idice statistico molto utilizzato per valutare la correlazioe tra due caratteri quatitativi è la cosiddetta covariaza, così defiita. COVARIANZA Siao e Y due variabili statistiche di medie x e y, rilevate cogiutamete su u collettivo di uità. Siao x 1, x,..., x i valori osservati di e y 1, y,..., y i corrispodeti valori osservati di Y. Si chiama covariaza di e Y, e si idica co il simbolo Y, il umero così defiito: Y ¼ P i¼1 ðx i xþðy i yþ [1.4] Il sigificato della covariaza appare chiaro se iterpretiamo geometricamete la formula [1.4]. Immagiiamo di avere rappresetato i u piao cartesiao i puti di coordiate ðx i, y i Þ, co i ¼ 1,..., : si ottiee ua «uvola» di puti. Defiiamo baricetro di questa uvola il puto di coordiate ðx, yþ e tracciamo le parallele agli assi cartesiai passati per tale puto. Queste rette dividoo il piao i quattro agoli retti, che umeriamo i seso atiorario come idicato i fig. 1.1 a partire da quello i alto a destra. A secoda che il puto ðx i, y i Þ sia itero all agolo I, II, III o IV, gli scarti ðx i xþ e ðy i yþ hao il sego illustrato i fig. 1.1 e di cosegueza il prodotto ðx i xþ ðy i yþ ha il sego illustrato i fig. 1.. Uità 1 Richiami e complemeti di statistica Y II = x I Y II = x I ( x x i )< 0 ( x x)> ( y y i )> 0 ( y y)> i 0 i 0 + III IV Y = y III IV Y = y ( x x i )< 0 ( x x)> ( y y i )< 0 ( y y)< i 0 i 0 + O O Figura 1.1 Il sego degli scarti dei valori osservati dalle rispettive medie. Figura 1. I puti iteri ai quattro agoli retti umerati cotribuiscoo al calcolo della covariaza secodo i segi idicati. Teedo coto di queste ultime cosiderazioi, possiamo giugere alle segueti riflessioi. a. Se la covariaza è positiva, la maggioraza dei prodotti ðx i xþðy i yþ soo positivi, quidi la maggior parte dei puti di coordiate ðx i, y i Þ deve cadere iteramete ai due agoli retti I e III; la uvola di puti deve perciò avere la forma i fig. 1.3 a pagia seguete: tale forma è idicativa di ua relazioe di tipo lieare crescete tra le variabili e Y. b. Se la covariaza è egativa, la maggioraza dei prodotti ðx i xþðy i yþ soo egativi, quidi la maggior parte dei puti di coordiate ðx i, y i Þ deve cadere iteramete ai due agoli retti II e IV; la uvola di puti deve perciò avere la forma i fig. 1.4: tale forma è idicativa di ua relazioe di tipo lieare decrescete tra le variabili e Y. c. Se la covariaza è ulla, i puti soo sparpagliati seza alcua regolarità oppure soo disposti secodo relazioi diverse e lotae da quella lieare (per esempio ciò accade el caso di ua relazioe quadratica). 17

24 Tema A Dati e previsioi Y = x Y = y Y = x Y = y O O Figura 1.3 Nuvola di puti che geera ua correlazioe positiva. Figura 1.4 Nuvola di puti che geera ua correlazioe egativa. La covariaza si può calcolare più rapidamete rispetto alla defiizioe mediate la formula seguete, che si può dimostrare essere equivalete alla [1.4]. FORMULA «ABBREVIATA» PER IL CALCOLO DELLA COVARIANZA Siao e Y due variabili statistiche di medie x e y, rilevate cogiutamete su u collettivo di uità. Siao x 1, x,..., x i valori osservati di e y 1, y,..., y i corrispodeti valori osservati di Y. Lacovariaza di e Y è espressa dalla formula: Y ¼ P i¼1 x i y i x y Ua volta appurata ua correlazioe tra due variabili statistiche e Y, si poe il problema di stabilire se essa è forte o debole. Questo obiettivo si raggiuge, similmete a quato già visto per l idice chi-quadrato, costruedo u idice relativo, otteuto poedo la covariaza a rapporto co il suo valore massimo. A quest ultimo proposito vale il seguete teorema. TEOREMA 1. Miimo e massimo della covariaza La covariaza di due variabili e Y può assumere valori apparteeti al seguete itervallo: Y Y Y dove e Y soo le deviazioi stadard di e Y. Teedo coto del teorema 1., siamo i grado di itrodurre l idice relativo cercato. 18 Altre otazioi 1. Il coefficiete di correlazioe lieare è stato proposto da Karl Pearso ( ) e Auguste Bravais ( ); per questo è ache oto come idice di Bravais-Pearso.. Il coefficiete di correlazioe lieare tra due variabili e Y viee talvolta idicato co la lettera. COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE LINEARE Si chiama coefficiete di correlazioe lieare di due variabili e Y, si idica co il simbolo r, il umero così defiito: r ¼ Y Y È importate fare alcue osservazioi. a. Per come è stato defiito, risulta sempre 1 r 1. b. Il sego del coefficiete di correlazioe lieare è lo stesso della covariaza e dà iformazioi aaloghe: u coefficiete r > 0 idica ua relazioe lieare crescete, metre u coefficiete r < 0 idica ua relazioe lieare decrescete. c. Si può dimostrare che l idice di correlazioe r è uguale a 1 se e solo se tra Y e sussiste ua perfetta relazioe lieare. Tato più r è vicio a 1, quato

25 più il modello lieare iterpreta bee la relazioe che sussiste tra Y e ; tato più r è vicio a 0, quato più il legame tra Y e (se c è) èdistate da quello lieare, come illustrato elle figure della seguete tabella. r = 1 a. Tra e Y sussiste ua perfetta correlazioe lieare positiva, ovvero i puti soo allieati su ua retta co pedeza positiva. r 0,8 b. Tra e Y sussiste ua forte correlazioe lieare positiva. r 0,3 c. Tra e Y sussiste ua debole correlazioe lieare positiva. r = 0 d. Tra e Y o sussiste alcu legame di correlazioe lieare. Uità 1 Richiami e complemeti di statistica r 0,3 r 0,8 r 1 e. Tra e Y sussiste ua debole correlazioe lieare egativa. f. Tra e Y sussiste ua forte correlazioe lieare egativa. g. Tra e Y sussiste ua perfetta correlazioe lieare egativa, ovvero i puti soo allieati su ua retta co pedeza egativa. ESEMPIO Calcolo del coefficiete di correlazioe lieare I 4 supermercati di ua ota catea soo stati rilevati la superficie di esposizioi, i migliaia di metri quadrati (), e il fatturato settimaale, i migliaia di euro (Y). Soo stati otteuti i dati riassuti ella seguete tabella: x i 0, 0,5 0,8 1 y i Determiiamo il coefficiete di correlazioe lieare di e Y. Per determiare il coefficiete di correlazioe lieare dobbiamo calcolare, Y (le deviazioi stadard di e Y)e Y (la covariaza di e Y). Al fie di agevolare i calcoli, è utile orgaizzare il lavoro i ua tabella come quella qui di seguito. x i y i x i y i x i y i 0, , , , , , , , P xi ¼,5 P yi ¼50 P xi y i ¼390 P x i ¼1,93 P y i ¼ Attezioe! Talvolta, come ell esempio qui a fiaco, per brevità si omettoo gli idici di sommatoria, sottitededo che la somma va estesa a tutti gli idici i. Ô 19

26 Tema A Dati e previsioi Ô Possiamo ora comodamete determiare tutti gli elemeti che ci servoo: x ¼ P xi 4 ¼ P x i 4 P y Y ¼ i y ¼ 4 P xi y i Y ¼ 4 ¼,5 4 ¼ 0,65 y ¼ P yi x ¼ 1,93 4 ð0,65þ ¼ 0, x y ¼ ¼ , ¼ 16,5 ¼ 50 4 ¼ 130 Cocludiamo che il coefficiete di correlazioe lieare è uguale a: r ¼ Y Y ¼ 16,5 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 0,987 0, Regressioe Dopo avere scoperto l esisteza di ua relazioe lieare tra le due variabili e Y, i base all aalisi di u diagramma cartesiao o al calcolo del coefficiete di correlazioe (che deve essere vicio a 1Þ, ci propoiamo di determiare la fuzioe lieare che iterpreta meglio tale legame, el seso che ora precisiamo. 1. Cosideriamo ua geerica fuzioe lieare di equazioe y ¼ mx þ q e, per ogi puto P i ðx i, y i Þ apparteete alla uvola che rappreseta i dati, cosideriamo il corrispodete puto Q i ðx i, y 0 i Þ di ascissa x i apparteete alla retta che costituisce il grafico della fuzioe y ¼ mx þ q. Costruiamo quidi i vari segmeti P 1 Q 1,..., P i Q i,..., P Q (vedi la fig. 1.5, che visualizza il caso i cui ¼ 5). y Q 5 P 3 P 1 Q Q 3 Q 4 P 5 y = mx + q Q 1 P 4 P O x Figura 1.5. Calcoliamo le lughezze dei vari segmeti P 1 Q 1,..., P i Q i,..., P Q ; i geerale sarà: P i Q i ¼jy i y 0 i j 3. Eleviamo al quadrato tali lughezze e le sommiamo: 0 Modi di dire La retta di regressioe è chiamata ache retta dei miimi quadrati. i¼1 ðy i y 0 i Þ [1.5] 4. Questa somma esprime, tramite u uico umero, ua misura della distaza complessiva fra i dati y i osservati e i valori teorici y 0 i calcolati sul grafico della retta. Scegliamo, come fuzioe lieare che meglio approssima i dati, quella per cui la somma [1.5] risulta miima. La retta che costituisce il grafico di questa fuzioe si chiama retta di regressioe e la sua equazioe può essere determiata i base al teorema seguete, che ci limitiamo a euciare.

27 Retta di regressioe TEOREMA 1.3 Date due variabili e Y, di valori medi rispettivamete x e y, laretta di regressioe che esprime Y i fuzioe di è la retta che passa per il puto di coordiate ðx, yþ e che ha come coefficiete agolare m il cosiddetto coefficiete di regressioe, così defiito: m ¼ Y Ne segue che l equazioe della retta di regressioe è: ESEMPIO y y ¼ mðx xþ dove m ¼ Y Calcolo della retta di regressioe [1.6] I 4 supermercati di ua ota catea soo stati rilevati la superficie di esposizioi, i migliaia di metri quadrati () e il fatturato settimaale, i migliaia di euro (Y). Soo stati otteuti i segueti dati: Osserva Il puto di coordiate ðx, yþ è quello che abbiamo defiito baricetro della uvola di puti che rappreseta i dati osservati. Uità 1 Richiami e complemeti di statistica x i 0, 0,5 0,8 1 y i Scriviamo l equazioe della retta di regressioe che esprime Y i fuzioe di. Nell esempio precedete abbiamo visto che il coefficiete di correlazioe lieare tra e Y è circa 0,987. Essedo questo coefficiete prossimo a 1, la retta di regressioe è certamete u modello che iterpreta molto bee il legame tra e Y. Abbiamo già calcolato ell esempio precedete i valori che servoo a scrivere l equazioe della retta di regressioe: x ¼ 0,65 y ¼ 130 ¼ 0, Y ¼ 16,5 Il coefficiete agolare della retta di regressioe è uguale a: m ¼ Y ¼ 16,5 0, ,87 Formula [1.6] L equazioe della retta di regressioe è perciò: y 130 ¼ 176,87ðx 0,65Þ [1.7] y y x x Se e ricava che l equazioe esplicita della [1.7] è approssimativamete: y ¼ 176,87x þ 19,46 Prova tu ESERCIZI a p. 34 Si soo rilevati su cique idividui l età (Þ e la pressioe arteriosa (YÞ, e si soo otteuti i dati ella tabella seguete: Età Pressioe a. Calcola il coefficiete di correlazioe lieare e valuta se sussiste ua relazioe lieare tra e Y. b. Determia l equazioe della retta di regressioe che esprime Y i fuzioe di. [a. r 0,975; b. y ¼ 0,97x þ 97,74] 1