TEORIA DELLA PROBABILITÀ

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1 Itroduzioe alla TEORIA DELLA PROBABILITÀ DICCA Uiversità di Geova Versioe: Luigi Carassale

2 Sommario Itroduzioe... 5 Teoria della Probabilità Eveti e sazio camioario Probabilità Defiizioe classica (eveti equirobabili, Lalace, 8) Defiizioe emirica (frequetista, Vo Mises 90) Defiizioe assiomatica (Kolmogorov 933) Teoremi classici della robabilità Teorema dell eveto comlemetare Teorema dell eveto totale....4 Probabilità codizioata e comosta... 3 Variabili Aleatorie Defiizioe Distribuzioe di robabilità Fuzioe di robabilità (di ua variabile aleatoria discreta) Desità di robabilità (di ua variabile aleatoria cotiua) Valore atteso Mometi statistici di ua variabile aleatoria Fuzioe caratteristica di ua variabile aleatoria cotiua Cumulati * Etroia * Trasformazioi lieari di variabili aleatorie Trasformazioi o-lieari di variabili aleatorie Raresetazioe della relazioe robabilistica fra due gradezze Distribuzioe cogiuta di robabilità Desità cogiuta di robabilità Variabili aleatorie statisticamete idiedeti Valore atteso di fuzioi di due variabili aleatorie Somma di variabili aleatorie... 35

3 3..6 Correlazioe e covariaza Distribuzioe codizioata di robabilità di ua variabile aleatoria * Variabili aleatorie a valori comlessi * Modelli di variabili aleatorie Modello uiforme Modello ormale (o Gaussiao) Modello ormale bi-variato Prorietà delle variabili aleatorie Gaussiae Modello log-ormale Modello Modello t di Studet Modello F Modello di Rayleigh Modello di Weibull Raresetazioi arossimate della desità di robabilità * Esasioe i serie di fuzioi ortogoali * Priciio di massima etroia * Trasformazioe o-lieare di variabili Gaussiae * Successioi di variabili aleatorie e distribuzioi di estremo Successioi di variabili biarie Successioe di variabili cotiue Distribuzioe dei valori estremi Distribuzioi asitotiche Vettori Aleatori Defiizioe Mometi statistici Modello ormale (Gaussiao) Gradezze statistiche di ordie sueriore al secodo * Etroia ed iformazioe mutua * Raresetazioe di vettori aleatori Aalisi a comoeti riciali (PCA)

4 6.7 Simulazioe di vettori Gaussiai Equatio Chater (Next) Sectio 4

5 Itroduzioe La teoria della robabilità è u formidabile strumeto matematico adatto allo studio qualitativo e quatitativo di iumerevoli roblemi igegeristici. Essa coivolge la raresetazioe rigorosa e la maiolazioe razioale dell aleatorietà, la quale è u igrediete esseziale del modo fisico che osserviamo, così come delle sue idealizzazioi matematiche. Seguedo u aroccio di tio realista che redilige l elaborazioe di descrizioi caaci di raresetare arti secificate del modo fisico risetto alla ricerca di suoste leggi di atura, il cocetto di aleatorietà è esteso oltre il suo aturale alveo degli eveti a esito uramete casuale icludedo, i modo ragmatico, le icertezze determiate da ua arziale coosceza della realtà o dalla arziale adeguatezza delle leggi imiegate er descriverla. Procededo lugo questa geeralizzazioe, il formalismo della teoria della robabilità è imiegato er trattare razioalmete oiioi soggettive o er aalizzare la sesibilità di sistemi uramete determiistici risetto ai arametri di modello. Le reseti disese si refiggoo l obiettivo di forire gli strumeti matematici ecessari er lo studio qualitativo e quatitativo di sistemi igegeristici caratterizzati da icertezze. Gli argometi trattati comredoo lo studio delle variabili aleatorie a valori scalari e vettoriali. Tutte le gradezze matematiche trattate soo sistematicamete resetate attraverso tre assi cocettuali: () defiizioe, rima qualitativa e oi matematica/formale; () stima a artire da ua oolazioe di dati disoibili; (3) simulazioe di dati comatibili co ua gradezza assegata. La trattazioe qui esosta si basa largamete sull imostazioe adottata el Corso di Diamica delle strutture svolto all Uiversità di Geova alla fie degli ai 90 del rof. Giovai Solari. Quella trattazioe è stata oi estesa a comredere argometi e alicazioi tiiche di altre discilie dell igegeria civile e ridimesioado o rimuovedo asetti secifici della meccaica delle strutture. Malgrado questa imostazioe cosolidata, queste disese rimagoo scritte di getto e o retedoo di sostituire gli ottimi libri di testo disoibili. Il loro obiettivo è viceversa comlemetare, el forire ua guida allo studete er affrotare l eslorazioe di ua materia eccezioalmete vasta co la visioe ragmatica dell igegere. Alcui argometi secialistici legati essezialmete alla raresetazioe e aalisi delle rorietà o-gaussiae di variabili aleatorie soo stati itrodotti i occasioe del corso di dottorato Aalisi qualitativa di feomei aleatori svolto el 0. Questi soo idetificati mediate u asterisco alla fie del titolo e la loro lettura è raccomadata come arofodimeto er gli studeti iteressati. L uico asetto determiistico ierete questo testo è la reseza di errori (ma il loro umero e localizzazioe soo aleatori). Sarò grato a chi vorrà segalarmi errori o suggerirmi migliorameti. La revisioe di amie arti di testo e la realizzazioe di umerose figure è dovuta a Michela Marrè Brueghi. Per questo rezioso (e faticoso) lavoro le soo molto grato. Equatio Chater (Next) Sectio 5

6 Teoria della Probabilità Il cocetto di robabilità, utilizzato a artire dal '600, è divetato co il assare del temo la base di diverse discilie scietifiche. I rimi studi che ortaroo successivamete a cocetti legati alla robabilità ossoo essere trovati a metà del VI secolo i Liber de ludo aleæ di Girolamo Cardao (scritto el 56, ma ubblicato solo u secolo e mezzo doo, el 663) e i Sulla scoerta dei dadi di Galileo Galilei (ubblicato el 656). I articolare, Galileo siegò il motivo er cui, laciado tre dadi, il 0 sia iù robabile del 9 oostate che etrambi i risultati si ottegao da u uguale umero di combiazioi. La ascita del cocetto modero di robabilità viee attribuita a Blaise Pascal (63-66) e Pierre de Fermat (60-665). Nel 657 Christiaa Huyges (69-695) scrisse u Libellus de ratiociiis i ludo aleæ, il rimo trattato sul calcolo delle robabilità, el quale itroduceva il cocetto di valore atteso. Nel 73 viee ubblicato ostumo Ars coectadi di Jakob Beroulli, dove veiva dimostrato il teorema che orta il suo ome, oto ache come legge dei gradi umeri. Successivamete, de Moivre ervee ad ua rima formulazioe, oi geeralizzata da Pierre Simo Lalace (749-87), del Teorema del limite cetrale. La teoria della robabilità raggiuse così basi matematicamete solide e, co esse, il rago di uova discilia.. Eveti e sazio camioario I teoria della robabilità si cosidera u feomeo osservabile esclusivamete dal uto di vista della ossibilità o meo del suo verificarsi, rescidedo dalla sua atura. U ruolo cetrale i questo cotesto è svolto dal cocetto di eveto. Si cosideri ua sigola osservazioe o misura di u feomeo (es. la tesioe di servameto i u rovio metallico soggetto alla rova di trazioe, il umero di studeti i u aula, la velocità del veto i u determiato luogo e i u dato istate). Se il feomeo i esame è determiistico, il risultato dell osservazioe (o dell eserimeto) uò essere redetto co esattezza. Se il feomeo è aleatorio, il risultato dell osservazioe o è oto a riori; tuttavia è ossibile idetificare u isieme, che cotiee tutti i ossibili risultati dell eserimeto. L isieme è chiamato sazio camioario; gli elemeti di soo detti uti camioari. Si defiisce eveto, E, u isieme di uti camioari (e quidi di risultati ossibili dell osservazioe). Lo sazio camioario Ω cotiee tutti i ossibili uti camioari, quidi gli eveti soo sottoisiemi dello sazio camioario. Si defiisce eveto elemetare l eveto che cotiee u solo uto camioario; eveto certo, quello che cotiee tutti i uti camioari (cioè coicide co lo sazio camioario); eveto imossibile, quello che o cotiee uti camioari. Gli eveti vegoo ormalmete idicati co lettere maiuscole. Dati due eveti A e B, si idica co AB la loro uioe, ovvero l'eveto costituito dal verificarsi dell'eveto A oure dell'eveto B. Si idica co AB la loro itersezioe, ovvero l'eveto costituito dal verificarsi sia dell'eveto A che dell'eveto B. Se AB = i due eveti A e B vegoo detti mutuamete esclusivi o icomatibili Il 9 si ottiee co le sei combiazioi (,,6), (,3,5), (,4,4), (,,5), (,3,4), (3,3,3), il 0 co le sei combiazioi (,3,6), (,4,5), (,,6), (,3,5), (,4,4), (3,3,4). Tuttavia, metre ua combiazioe di tre umeri uguali uò resetarsi i u solo modo, ua co due umeri uguali uò resetarsi i tre modi diversi, ua co tre umeri diversi i sei modi diversi. Si uò quidi otteere il 0 i 7 modi ( ), il 9 i 5 modi ( ). Il Cavalier de Méré (u accaito giocatore assato alla storia er questo) aveva calcolato che otteere almeo u 6 i 4 laci di u dado era equivalete ad otteere almeo u doio 6 i 4 laci. Tuttavia, visto che giocado secodo tale covizioe ivece di vicere erdeva, scrisse a Pascal lametado che la matematica falliva di frote all'evideza emirica. Da ciò scaturì ua corrisodeza tra Pascal e Fermat i cui iiziò a deliearsi il cocetto di robabilità ell'accezioe frequetista. 6

7 (o ossoo verificarsi simultaeamete). Il comlemeto di u eveto A risetto a Ω, Ω\A, è detto egazioe di A e idica il suo o verificarsi (ovvero il verificarsi dell'eveto comlemetare). Esemio.. Eveti. Nel lacio di u dado, i ossibili risultati soo i umeri,, 6. Oguo è u uto camioario ω dello sazio camioario Ω = {,, 3, 4, 5, 6}. Si cosiderio i segueti eveti: A = occorreza di u umero ari =,4, 6; B = occorreza di u umero disari =, 3, 5; C = occorreza del umero = ; D = occorreza del umero 7 = ; E = AB = ; A e B soo eveti icomatibili; C è u eveto elemetare, D è u eveto imossibile, E è l eveto certo.. Probabilità Esistoo diverse defiizioi di robabilità. Nel seguito si forirao 3 defiizioi che hao rilievo er la loro imortaza storica o utilità ratica... Defiizioe classica (eveti equirobabili, Lalace, 8) Secodo la rima defiizioe di robabilità, er questo detta classica, la robabilità P(A) di occorreza dell eveto A è defiita come: N (.) N A P A dove N è il umero di risultati ossibili (assumedo che siao equirobabili) e NA è il umero di risultati favorevoli all eveto A. Esemio.. Defiizioe classica di robabilità Lacio di ua moeta Ω = {T, C}; sia A:=T, allora P(A) = /; Lacio di u dado Ω = {,,,6}; sia A = {, }, allora P(A) = /6 = /3; Estrazioe umero roulette: Ω = {0,,,90}; sia A = estrazioe umero disari = {, 3,,89}, allora P(A) = 45/9. La defiizioe classica cosete di calcolare effettivamete la robabilità i molte situazioi. Ioltre, è ua defiizioe oerativa e forisce quidi u metodo er il calcolo. Preseta tuttavia diversi asetti egativi o irrilevati: si alica soltato a feomei co risultati equirobabili; resuoe u umero fiito di risultati ossibili; la defiizioe è circolare erché utilizza la ozioe di robabilità (eveti equirobabili) er defiire la robabilità stessa. 7

8 .. Defiizioe emirica (frequetista, Vo Mises 90) Per suerare tali difficoltà, Richard vo Mises ( ) roose di defiire la robabilità di u eveto come il limite cui tede la frequeza relativa dell'eveto al crescere del umero degli eserimeti. Si cosideri u eserimeto che ossa essere rietuto u umero ifiito di volte e si assuma che u eveto E si sia verificato u umero E di volte durate l esecuzioe di eserimeti. La robabilità di occorreza dell eveto E si defiisce come il limite er che tede a ifiito della sua frequeza relative E/: (.) lim E P E Esemio.3. Defiizioe frequetista di robabilità: covergeza alla defiizioe classica Si simuli il lacio di u dado e si verifichi mediate la defiizioe (.) che l eveto A = {, } ha robabilità /3. Il codice Matlab riortato i Figura - geera ua successioe di umeri casuali, x, mediate il comado rad. I valori di x così geerati soo comresi ell itervallo chiuso [ -53, ]. A artire da x, il codice geera umeri iteri, y, casuali equirobabili comresi fra e 6. La Figura - mostra i rimi 0 risultati di ua sequeza casuale. La Figura -3 mostra la covergeza della robabilità calcolata mediate la defiizioe frequetista al valore otteuto dalla defiizioe classica (/3). Si osserva che er avere ua buoa corrisodeza fra i due valori soo ecessari circa 0 4 eserimeti. % Covergeza defiizioe frequetista robabilità % Esemio: lacio di u dado % = umero eserimeti % A = eveto % y = risultati eserimeti % fa = eleco eveti favorevoli () e sfavorevoli (0) % PA = robabilità di occorreza eveto A = e6; x = rad(,); y = roud(6 * x + 0.5); A = [ ]; fa = zeros(,); for k=: fa(k) = sum(a==y(k)); ed PA = cumsum(fa)./ (:)'; figure() lot(:0,y(:0),'xr') ylim([0 7]) grid o xlabel('') ylabel('y_') figure() semilogx(:,pa, :, oes(,)*legth(a)/6,'r--') xlabel('') ylabel('_e/') grid o set(gca,'xmiorgrid','off') Figura -. Codice Matlab er verifica covergeza defiizioe frequetista di robabilità. 8

9 y Figura -. Lacio di u dado: uti camioari corrisodeti a 0 eserimeti E / Figura -3. Covergeza della frequeza relativa al valore della robabilità defiita mediate la (.). La defiizioe frequetista, come quella classica, è oerativa, cioè cosete di calcolare raticamete la robabilità di eveti i molte circostaze; ioltre, è coerete co quato forito dalla defiizioe classica el caso di eveti equirobabili. Tuttavia è ecessario osservare: il "limite" delle frequeze relative o corrisode all'aalogo cocetto matematico; ad esemio, data ua successioe {a}, si dice che a è il suo limite se er ogi ε > 0 esiste u umero aturale N tale che a - a < ε er ogi > N, e, comuque dato ε, è semre ossibile calcolare N; ella defiizioe frequetista, ivece, N o è semre calcolabile; o tutti gli eserimeti soo rietibili; ad esemio, ha sicuramete seso chiedersi quale sia la robabilità che vi sia vita su Marte o che tra 50 ai il tasso di atalità i Africa diveti la metà di quello attuale, ma i casi simili o è ossibile immagiare eserimeti rietibili all'ifiito...3 Defiizioe assiomatica (Kolmogorov 933) L'imostazioe assiomatica della robabilità vee roosta da Adrey Nikolaevich Kolmogorov el 933 i Grudbegriffe der Wahrscheilichkeitsrechug (Cocetti fodametali del calcolo delle robabilità). Va otato che la defiizioe assiomatica o è ua defiizioe oerativa e o forisce idicazioi su come calcolare la robabilità. Il ome deriva dal rocedimeto er "assiomatizzazioe" basato sull'idividuare di cocetti rimitivi, da cui idividuare i ostulati e, er via deduttiva, i teoremi. 9

10 L'imostazioe assiomatica muove dal cocetto di σ-algebra, o classe additiva. Dato u qualsiasi eserimeto casuale, i suoi ossibili risultati costituiscoo gli elemeti di u isieme o vuoto Ω, detto sazio camioario, e ciascu eveto è u sottoisieme di Ω. La robabilità viee vista, i rima arossimazioe, come ua misura, cioè come ua fuzioe che associa a ciascu sottoisieme di Ω u umero reale o egativo tale che la somma delle robabilità di tutti gli eveti sia ari a. Si assuma che ogi eveto ello sazio camioario sia associato a u umero reale P(E), chiamato robabilità di E. Questo umero soddisfa le tre segueti codizioi:. La robabilità è u umero o-egativo: P(E) 0;. La robabilità dell eveto certo è uitaria: P(Ω) = ; 3. Dati due eveti A e B defiiti come mutuamete esclusivi, allora P(AB) = P(A) + P(B). Si osservi che, come cosegueza degli assiomi recedeti, ecessariamete, P(E). I tre assiomi itrodotti da Kolmogorov soo coereti co la defiizioe emirica forita da Vo Mises e co la defiizioe classica euciata da Lalace..3 Teoremi classici della robabilità Dagli assiomi recedeti si ricavao i teoremi di seguito riortati..3. Teorema dell eveto comlemetare Si defiisce eveto comlemetare E c = \E dell eveto E, l eveto che comrede tutti i uti camioari di Ω o comresi i E (Figura -4). E E c Figura -4. Eveto comlemetare. U eveto E e il suo comlemetare E c soo mutuamete esclusivi, cioè la loro itersezioe forisce l eveto vuoto, metre la loro uioe geera l eveto certo EE E E c c 0 (.3) Alicado alla (.3) l Assioma 3 si deduce: c PE P E (.4) I articolare, essedo Ω c =, l alicazioe della (.4) dimostra che l eveto vuoto ha robabilità di occorreza zero (P(0) = 0). La (.4) e l assioma dimostrao che P(E). 0

11 Esemio.4. Probabilità dell eveto comlemetare Sia P = 0-6 la robabilità di collasso di ua struttura i u ao. La robabilità che tale struttura o collassi i u ao è P = Teorema dell eveto totale Il teorema della robabilità totale cosete di calcolare la robabilità dell'uioe di due, ovvero la robabilità che si verifichi almeo uo di essi. Essa è la somma delle robabilità dei sigoli eveti se soo mutuamete esclusivi; i caso cotrario, alla somma va sottratta la robabilità dell itersezioe. Si cosideri due eveti E e E i (Figura -5): EE E E Figura -5. Eveto totale. L uioe degli eveti E e E uò essere scritta come: E E E E E E E E (.5) dove (E E) cotiee i uti camioari reseti i E, ma o i E (E E è defiito aalogamete). I tre eveti raresetati dagli isiemi del termie di destra della (.5) soo mutuamete esclusivi, quidi er l Assioma 3 risulta: P E E P E E P E E P E E (.6) Da Figura -5 risulta ioltre che E E E E E E E risulta ertato:. La robabilità di occorreza dell eveto P E E P E P E E (.7) Sostituedo la (.7) (e u esressioe aaloga er E E) ella (.6), la robabilità di occorreza dell eveto totale E E risulta: P E E P E P E P E E (.8) Dalla (.8) e dall assioma di ositività discede la codizioe: P E E P E P E (.9) Esemio.5. Probabilità dell eveto totale. Si cosideri il lacio di u dado e si cosiderio i segueti eveti:

12 E,,3 ; E 3,4 ;,,6 Alicado la defiizioe (.) risulta: PE PE PE E Alicado il teorema dell eveto totale risulta: PE E PE PE PE E 3; Probabilità codizioata e comosta Si dice robabilità codizioata di A dato B, e si scrive P(A B), la robabilità che l'eveto A ha di verificarsi quado si saia che B si è verificato. P A B P A B PB 0 (.0) P B La defiizioe di robabilità codizioata uò essere facilmete siegata cosiderado il caso di uo sazio camioario coteete N uti camioari equirobabili. Sia NB il umero di risultati favorevoli er l eveto B e NAB il umero di risultati favorevoli cotemoraeamete er gli eveti A e B (e quidi er l eveto A B). Sostituedo ella (.0) la defiizioe classica di robabilità (Eq. (.)): P A B N N N (.) N N N AB AB La robabilità codizioata P(A B) uò essere duque iterretata come la robabilità di occorreza di A ello sazio camioario ridotto determiato da B (Figura -6). B B A B Figura -6. Probabilità codizioata. Esemio.6. Probabilità codizioata. Si cosideri il lacio simultaeo di due dadi. Si voglia determiare la robabilità di occorreza del umero 7 (eveto A), dato che uo dei due dadi ha forito il umero (eveto B). Lo sazio camioario cotiee i 36 uti camioari equirobabili: (, ), (, ), (, 3), (, 4), (, 5), (, 6), (, ), (, ), (, 3), (, 4), (, 5), (, 6), (3, ), (3, ), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, ), (4, ), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, ), (5, ), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, ), (6, ), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6). Il umero di risultati favorevoli a A è N A = 6, quidi P(A) = /6; il umero di risultati favorevoli a B è N B=, quidi P(B) = /36; il umero di risultati favorevoli

13 simultaeamete ad A e B è N AB =, quidi P(AB) = /8; il umero di risultati favorevoli a A, dato che si è verificato B soo su ossibilità, quidi P(A B)=/. Attraverso il cocetto di robabilità codizioata si erviee al teorema della robabilità comosta, che cosete di calcolare la robabilità dell'itersezioe di due o iù eveti, ovvero la robabilità che essi si verifichio etrambi. Nel caso di due eveti, si ha P A B P A B P B P B A P A (.) Nel caso che la robabilità di A dato B, P(A B), sia uguale a P(A), i due eveti vegoo defiiti stocasticamete (o robabilisticamete, o statisticamete) idiedeti e dalla stessa defiizioe segue ua diversa formulazioe della robabilità comosta, caso articolare del recedete: P AB P A PB (.3) Esemio.7. Eveti statisticamete idiedeti. Si cosideri i segueti eveti legati al lacio di u dado:,,3,4,5,6 ; A, ; B,3,5 ; C,4,6 P A /6; PB 3/6; PC 3/6 ; A B, P A B /6 PA PB A, B idiedeti; B C, PB C 0 PB PC B, C diedeti. Si osserva che gli eveti A e B soo idiedeti, ma o mutuamete esclusivi, metre gli eveti B e C soo mutuamete esclusivi, ma o idiedeti. Si otrebbe osservare, i roosito, che due eveti mutuamete esclusivi o ossoo essere statisticamete idiedeti, i quato la realizzazioe di uo comorta la o-realizzazioe dell altro. Il codice Matlab riortato i Figura -7 valuta, alicado la defiizioe frequetista, la robabilità di occorreza dell eveto A = {, } e la robabilità di occorreza di A codizioata all occorreza di B = {, 4, 5}. La Figura -8 mostra che, all aumetare del umero di eserimeti, le robabilità P(A) e P(A B) tedoo al medesimo valore. Ciò idica che gli eveti A e B soo statisticamete idiedeti. 3

14 % Esemio: lacio di u dado % verifica che gli eveti A = [ ] e B = [ 4 5] soo statisticamete % idiedeti. % % = umero di eserimeti % y = risultati eserimeti (laci dado) % fa = eleco eveti favorevoli () e sfavorevoli (0) er A % fb = eleco eveti favorevoli () e sfavorevoli (0) er B % fab = eleco eveti favorevoli () e sfavorevoli (0) er A e B % cotemoraeamete % PA = robabilità di occorreza eveto A % PAcB = robabilità di occorreza di A dato B = e5; x = rad(,); y = roud(6 * x + 0.5); A = [ ]; B = [ 4 5]; fb = zeros(,); fab = zeros(,); for k=: fa(k) = sum(a==y(k)); fb(k) = sum(b==y(k)); fab(k) = sum(a==y(k)) & sum(b==y(k)); ed PA = cumsum(fa)./ (:)'; PAcB = cumsum(fab)./ cumsum(fb); Figura -7. Codice Matlab er verifica idiedeza statistica mediate defiizioe frequetista di robabilità P(A), P(A B) Figura -8. Probabilità di A (liea blu), e robabilità di A dato B (liea rossa). Equatio Chater (Next) Sectio 4

15 3 Variabili Aleatorie I teoria della robabilità, ua variabile casuale (o variabile aleatoria o variabile stocastica o radom variable) uò essere esata come il risultato umerico di u eserimeto quado questo o è revedibile co certezza (ossia o è determiistico). Ad esemio, il risultato del lacio di u dado uò essere matematicamete modellato come ua variabile casuale che uò assumere uo dei sei ossibili valori,, 3, 4, 5, 6. Bruo de Fietti defiiva umero aleatorio (termie suggerito dallo stesso er deotare la variabile casuale) u umero be determiato ma o oto er careza di iformazioi. 3. Defiizioe Dato uo sazio camioario Ω su cui è defiita ua misura di robabilità, ua variabile aleatoria è ua fuzioe (misurabile) dallo sazio camioario a uo sazio misurabile (es. l isieme dei umeri aturali, l isieme dei umeri reali, ecc.; Figura 3-). I questo caitolo, si cosiderao variabili aleatorie a valori scalari (dette moo-variate). Variabili aleatorie a valori vettoriali soo defiite ei caitoli successivi. Ua variabile aleatoria è defiita cotiua se ha valori i itervalli cotiui di. Ua variabile è detta discreta si ha valori i u isieme di umeri fiito o umerabile (es. ). Ua variabile aleatoria è detta mista se assume valori i u isieme cotiuo, ma ossiede u umero discreto di valori aveti robabilità di occorreza fiita. Nel seguito, le variabili aleatorie verrao idicate co lettere maiuscole (es. ), metre le corrisodeti lettere miuscole (es. x) verrao utilizzare er idetificare geerici valori assuti da, detti realizzazioi. La realizzazioe x uò essere iterretata come l immagie del uto camioario attraverso (Figura 3-). x = () x Figura 3-. Variabile aleatoria. 3. Distribuzioe di robabilità La distribuzioe di robabilità (o distribuzioe cumulativa, o cumulative distributio fuctio, CDF) è ua fuzioe che defiisce la robabilità che la variabile aleatoria assuma valori miori o uguali ad u arametro i. F P (3.) La distribuzioe di robabilità è defiite er qualsiasi valore dell argometo i e ossiede le segueti rorietà (facilmete deducibili dalla (3.) e dagli assiomi della teoria della robabilità): 0 F P P (3.) 5

16 F P P (3.3) P F F (3.4) Dalla (3.4) discede (er l assioma di ositività) che la distribuzioe di robabilità è ua fuzioe o-decrescete i cui valori aartegoo all itervallo chiuso [0, ]. Sarebbe ossibile dimostrare ache l imlicazioe iversa: ua fuzioe o-decrescete che soddisfa le codizioi (3.) e (3.3) rareseta la distribuzioe di robabilità di ua qualche variabile aleatoria. Esemio 3.. Stima distribuzioe di robabilità di ua variabile aleatoria discrete La Figura 3- mostra il codice Matlab er la stima della distribuzioe di robabilità di ua variabile aleatoria discreta, raresetativa dei risultati del lacio di u dado. La Figura 3-3 mostra la distribuzioe di robabilità stimata. Si osserva la struttura discotiua della fuzioe, tiica delle variabili aleatorie discrete. I salti ella fuzioe raresetao robabilità fiite di avere risultati i corrisodeza dei valori,,,6. % stima distribuzioe di robabilità di v.a. discreta = e5; = roud(6*rad(,) + 0.5); % lacio di u dado xi = lisace(-, 0, 300); F = zeros(size(xi)); for k=:legth(xi) F(k) = sum(<=xi(k))/; ed lot(xi,f,'.') xlabel('\xi') ylabel('f_(\xi)') grid o ylim([0.]) Figura 3-. Codice Matlab er stima distribuzioe di robabilità: esemio variabile aleatoria discreta 0.8 F () Figura 3-3. Distribuzioe di robabilità dei risultati del lacio di u dado stimata mediate il codice di Figura 3-. Esemio 3.. Stima distribuzioe di robabilità di ua variabile aleatoria cotiua Il codice riortato i Figura 3-4 stima la distribuzioe di robabilità della variabile aleatoria cotiua, il cui sazio camioario è geerato attraverso ua trasformazioe o-lieare di umeri casuali Gaussiai u. Per ogi valore (k) dell ascissa discretizzata, la distribuzioe 6

17 di robabilità è otteuta valutado la robabilità dell eveto (k) mediate la defiizioe frequetista. La Figura 3-5 mostra la distribuzioe di robabilità stimata. % stima CDF della variabile aleatoria = e5; % umero eserimeti u = rad(,); = u + 0.*u.^ *u.^3; % geerazioe sazio camioario er xi = lisace(-0, 0, 300); % defiizioe ascissa discretizzata F = zeros(size(xi)); for k=:legth(xi) F(k) = sum(<=xi(k))/; ed lot(xi,f) xlabel('\xi') ylabel('f_(\xi)') grid o ylim([0.]) Figura 3-4. Codice Matlab er stima distribuzioe di robabilità 0.8 F () Figura 3-5. Distibuzioe di robabilità di ua variabile aleatoria cotiua stimata mediate il codice di Figura Fuzioe di robabilità (di ua variabile aleatoria discreta) Si cosideri ua variabile aleatoria discrete che uò assumere gli valori discreti ( =,,). Si defiisce fuzioe di robabilità di la fuzioe: P P (3.5) che defiisce, la robabilità di realizzazioe di ogi ossibile valore. La fuzioe di robabilità e la distribuzioe di robabilità soo legate dalla relazioe: F P P F F (3.6) (3.7) 7

18 dove - idica u umero reale miore, ma arbitrariamete vicio a. La Figura 3-6 mostra la fuzioe di robabilità e la corrisodete distribuzioe di robabilità di ua variabile aleatoria discreta F () 0.6 P () Figura 3-6. Fuzioe di robabilità e distribuzioe di robabilità di ua variabile discrete. Esemio 3.3. Stima della fuzioe di robabilità Si cosideri u eserimeto realizzado laciado due dadi. Sia otteuto come somma dei risultati foriti dai due dati. La Figura 3-7 riorta il codice er simulare il lacio di due dadi; la fuzioe di robabilità è valutata attraverso la fuzioe riortata i Figura 3-7 realizzata itroducedo la defiizioe frequetista di robabilità ella (3.5). La Figura 3-9 mostra la fuzioe di robabilità (a) e la distribuzioe di robabilità (b) stimata sulla base di 0 5 laci di dadi simulati. % esemio lacio di due dadi = e5; = roud(6*rad(,) + 0.5); % lacio di u dado = roud(6*rad(,) + 0.5); % lacio di u dado = + ; [P, xi] = f(); figure() for k=:legth(xi) lot(xi(k)*[ ],P(k)*[0 ],'b',xi(k),p(k),'.b') hold o ed hold off xlim([0 4]) grid o xlabel('\xi') ylabel('p_(\xi)') Figura 3-7. Codice Matlab er simulazioe del lacio di due dadi. 8

19 fuctio [P, xi] = f(x) % stima fuzioe di robabilità er v.a. discreta di cui soo disoibili % realizzazioi coteute el vettore x % P = fuxioe di robabilità % xi = ascissa P xi = mi(x):max(x); % ascissa fuz di robabilità P = zeros(legth(xi),); z = x - mi(x) + ; for k=:legth(x) P(z(k)) = P(z(k)) + ; ed P = P / legth(x); ed Figura 3-8. Codice Matlab er stima dai dati della fuzioe di robabilità di ua variabile aleatoria discreta P () F () (a) (b) Figura 3-9. Fuzioe di robabilità (a) e distribuzioe di robabilità (b). 3.4 Desità di robabilità (di ua variabile aleatoria cotiua) La distribuzioe di robabilità, F, di ua variabile aleatoria cotiua,, è ua fuzioe cotiua i, ma o ecessariamete derivabile. Si assuma che i uti i cui F o è derivabile formio u isieme umerabile. Ove F è derivabile, si defiisce la desità di robabilità () (o robability desity fuctio, o df) come derivata di F risetto all argometo : d F d (3.8) I virtù delle rorietà di F si deducoo le segueti rorietà della desità di robabilità: F 0 (3.9) d (3.0) d (3.) d P F F (3.) I cui si è suosto che, ei uti dove o è defiita (F o derivabile), essa assuma u qualsiasi valore ositivo fiito. 9

20 La Figura 3-0 descrive la relazioe fra e F defiita dalla (3.0): l ordiata F() equivale all area sottesa da a siistra dell ascissa. La Figura 3- mostra che l occorreza di u uto * i cui F o è derivabile si riflette i ua discotiuità i. () F () F (x) F (x) x x Figura 3-0. Relazioe fra desità e distribuzioe di robabilità. () F () F (x) F (x) x * x * Figura 3-. Puti sigolari ella desità di robabilità. La (3.) afferma che l area sottesa dalla desità di robabilità, comresa fra due valori di ascissa, e, rareseta la robabilità che la variabile aleatoria assuma u valore comreso i tale itervallo (Figura 3-). Poedo = e = +, la (3.) uò essere riscritta ella forma: (3.3) d P Nella quale, l alicazioe del teorema della media imoe di assumere che sia cotiua i. 0

21 () P(x x ) F (x ) F () F (x ) x x x x Figura 3-. Sigificato robabilistico di desità e distribuzioe di robabilità. L alicazioe della defiizioe emirica di robabilità alla (3.3) forisce uo strumeto er stimare la desità di robabilità attraverso la relazioe: lim (3.4) dove () è il umero di volte i cui il valore di è comreso ell itervallo (, + ] i eserimeti. La desità così otteuta è raresetata da u istogramma (Figura 3-3) che, se è sufficietemete iccolo uò essere iterretato come la discretizzazioe di ua fuzioe di variabile cotiua. () (x)/ x x+ Figura 3-3. Stima della desità di robabilità. Esemio 3.4. Stima della desità di robabilità. Si cosideri la variabile aleatoria del recedete Esemio 3. e si stimi la desità di robabilità utilizzado la defiizioe frequetista.

22 % stima df della variabile aleatoria = e6; % umero eserimeti u = rad(,); = u + 0.*u.^ *u.^3; % geerazioe sazio camioario er xi = lisace(-0, 0, 300); % defiizioe ascissa discretizzata = zeros(size(xi)); Dx = xi() - xi(); for k=:legth(xi) (k) = sum( > xi(k)-dx/ & <= xi(k)+dx/)//dx; ed lot(xi,) xlabel('\xi') ylabel('_(\xi)') grid o xlim([-6 6]) Figura 3-4. Codice Matlab er stima desità di robabilità () Figura 3-5. Desità di robabilità stimata mediate il codice riortato i Figura 3-4. Il codice riortato i Figura 3-4 è molto semlice erché imlemeta brutalmete l estimatore defiito dalla (3.4). Sfortuatamete, tale algoritmo è iuttosto iefficiete, avedo ua comlessità comutazioale ari a. I alterativa, la desità di robabilità uò essere stimata mediate la fuzioe riortata i Figura 3-6, che ha comlessità comutazioale ari a. fuctio [, xi] = df(x,nx) % stima df er v.a. cotiua di cui soo disoibili le realizzazioi % raccolte el vettore x % = df % xi = ascissa df % Nx = umero uti ascissa df xi = lisace(mi(x),max(x),nx)'; Dx = (max(x)-mi(x)) / Nx; % ascissa discretizzata df % amiezza itervalli = zeros(nx,); z = (x - mi(x)) / (max(x) - mi(x)); % x è maato i [0 ] z = roud((nx-) * z)+; % umero d'ordie itervallo ascissa for k=:legth(x) (z(k)) = (z(k)) + ; ed = / legth(x) / Dx; % ormalizzazioe ed Figura 3-6. Codice Matlab er stima distribuzioe di robabilità.

23 3.5 Valore atteso Il valore atteso (o media, o exectatio) di ua variabile aleatoria, è u umero E[] che formalizza l'idea euristica di valore medio di u feomeo aleatorio. I geerale il valore atteso di ua variabile aleatoria discreta è dato dalla somma dei ossibili valori di tale variabile, ciascuo moltilicato er la robabilità di essere assuto (ossia di verificarsi), cioè è la media oderata dei ossibili risultati. Se la variabile aleatoria uò assumere i valori ( =,, ), il valore atteso è defiito dalla relazioe: P (3.5) E Per ua variabile aleatoria cotiua il valore atteso è essere defiito mediate u itegrale. E df d (3.6) Si osservi che la defiizioe di valore atteso otteuta attraverso l itegrale di Stieltes ella (3.6) uò essere alicata ache ei casi i cui la fuzioe desità di robabilità o è defiita, come er le variabili aleatorie discrete e miste. Il valore atteso è u oeratore lieare che dallo sazio delle variabili aleatorie coduce ello sazio dei umeri reali. Esso gode quidi delle rorietà: a b a b dove e soo variabili aleatorie, metre a e b soo costati reali. E E E (3.7) Il valore atteso ha la rorietà di mootoia, cioè se ua variabile aleatoria aartiee all itervallo [a, b], allora ache il suo valore atteso E[] aartiee ad [a, b]. Il valore atteso di ua variabile aleatoria di cui è disoibile u isieme di realizzazioi uò essere stimato attraverso la media statistica. Ciò uò essere dimostrato facilmete el caso di variabili aleatorie discrete (il cocetto è altrettato valido er le variabili cotiue) sostituedo la defiizioe frequetista di robabilità ella (3.5) E (3.8) dove rareseta il umero di volte che si è realizzato il valore el corso di eserimeti, co grade a sufficieza. La (3.8) cotiee la somma dei risultati ossibili moltilicati er il umero di volte che questi si soo realizzati. Questa somma corrisode alla somma dei valori xk realizzati dalla variabile aleatoria egli eserimeti (ammesso che sia grade a sufficieza a fi che l isieme dei risultati xk cotega tutti i risultati aveti ua robabilità di occorreza sigificativa). La (3.8) uò duque essere riscritta ella forma: E xk (3.9) k 3

24 Il cocetto di valore atteso uò essere esteso al caso di ua variabile aleatoria legata, attraverso ua fuzioe determiistica, ad ua variabile aleatoria di cui è ota la desità di robabilità (cioè, = f(), co f fuzioe determiistica). Il valore atteso di è forito dalle esressioi: f f P E E (3.0) E E f f d (3.) er i casi di variabili aleatorie discrete e cotiue, risettivamete. 3.6 Mometi statistici di ua variabile aleatoria Si defiisce mometo statistico di ordie k (k ) di ua variabile aleatoria il valore atteso della oteza di ordie k di : k mk E k,, (3.) Sostituedo la (3.) elle (3.0) e (3.), oedo f() = k, si ottegoo le esressioi: m k P k,, (3.3) k k k mk d,, (3.4) Il mometo statistico di ordie, = m[], è detto valore medio (o media); il mometo statistico di ordie, = m[], è detto valore quadratico medio (o media quadratica). Si defiisce mometo statistico cetrale di ordie k (k ) di ua variabile aleatoria la quatità: E k k,3, k (3.5) Il mometo statistico cetrale di ordie, = [] è detto variaza, metre la sua radice quadrata,, è detta deviazioe stadard. I mometi statistici cetrali soo legati ai mometi statistici da relazioi ricorsive. Arrestadosi all ordie 4, risultao: m m m 3m m m m 4 m m 6m m 3m (3.6) Nel caso i cui è ua variabile aleatoria cotiua, la media = m[] rareseta, da u uto di vista grafico, la osizioe (ascissa) del baricetro dell area sottesa dalla desità di robabilità; ertato, la media misura la osizioe della fuzioe di desità di robabilità risetto all asse reale. La media ha la medesima dimesioe (uità di misura) delle realizzazioi della variabile aleatoria. 4

25 La variaza = [] rareseta il mometo d ierzia dell area sottesa dalla desità di robabilità risetto all asse baricetrico; ertato, la variaza rareseta ua misura di disersioe, itoo al valore medio, delle realizzazioi di ua variabile aleatoria. La deviazioe stadard ha la medesima dimesioe delle realizzazioi della variabile aleatoria. I accordo co le (3.6), media, variaza e media quadratica soo legate dalla relazioe: (3.7) Il raorto fra deviazioe stadard e media è detto coefficiete di variazioe: I (3.8) Il mometo cetrale di ordie 3, adimesioalizzato co la deviazioe stadard è detto skewess (o coefficiete di asimmetria). Il mometo cetrale di ordie 4 adimesioalizzato co la deviazioe stadard è detto kurtosis (o coefficiete di iattezza). skw ; kurt (3.9) Lo skewess è geeralmete idicato co il simbolo 3. Frequetemete, al valore del kurtosis defiito dalla (3.9) si sottrae 3; i questo caso modo si ottiee u valore detto coefficiete di eccesso (o eccesso di kurtosis), geeralmete idicato co il simbolo 4. ; (3.30) La Figura 3-7 mostra l effetto della media e della deviazioe stadard sulla forma della desità di robabilità. La media determia ua traslazioe della curva lugo l asse delle ascisse, metre la deviazioe stadard cotrolla l amiezza della curva (alla quale corrisode u abbassameto er coservare l area uitaria). La Figura 3-8 mostra l effetto di skewess e coefficiete di eccesso sulla forma della desità di robabilità. La codizioe 3 = 0 corrisode ad ua fuzioe simmetrica risetto alla media; la codizioe 3 > 0 rareseta la situazioe i cui la desità di robabilità ha la coda di destra iù alta della coda di siistra. Ua variabile aleatoria avete 4 > 0 è detta suergaussiaa e ha desità di robabilità alta sulla moda (ascissa corrisodete al icco) e sulle code; ua variabile aleatoria avete 4 < 0 è detta subgaussiaa e ha desità di robabilità bassa sulla moda e sulle code; il caso 4=0 corrisode alla distribuzioe Gaussiaa che verrà descritta el seguito. Per lo studio delle code della distribuzioe è geeralmete coveiete diagrammare le fuzioi di desità di robabilità co ordiata i scala logaritmica, come mostrato i Figura 3-9 er i casi già discussi i Figura 3-8. È ossibile dimostrare che il coefficiete di eccesso è iferiormete limitato a 4 = -; tale valore è attito da variabili aleatorie co desità del tio: (3.3) 5

26 Ua variabile aleatoria è detta stadardizzata se è cetrata risetto alla sua media e scalata i modo da avere variaza uitaria: ˆ (3.3) da cui ovviamete risulta ˆ 0 e ˆ = 0 = = = = 0 = (), () (), () = 0 = , (a) , (b) Figura 3-7. Desità di robabilità: iflueza della media (a) e deviazioe stadard (b). (), (), Z () = = 0 3 = = 0 3 = 0 4 = 0 (), (), Z () = 0 4 = 5 3 = 0 4 = 0 3 = 0 4 = ,, (a) ,, (b) Figura 3-8. Desità di robabilità: iflueza skewess (a) e coefficiete di eccesso (b) (), (), Z () (), (), Z () ,, (a) ,, (b) Figura 3-9. Desità di robabilità (scala logaritmica): iflueza skewess (a) e coefficiete di eccesso (b). 6

27 I mometi statistici della variabile aleatoria ossoo essere stimati a artire da u isieme di sue realizzazioi x ( =,,) attraverso u esressioe aaloga alla (3.9) m k k k E x (3.33) 3.7 Fuzioe caratteristica di ua variabile aleatoria cotiua Si defiisce fuzioe caratteristica (o fuzioe geeratrice dei mometi) della variabile aleatoria, la fuzioe a valori comlessi: i E ex i e d (3.34) dove l argometo è defiito i R. I base alla (3.34), la fuzioe caratteristica è la trasformata di Fourier della desità di robabilità, ertato essa determia comletamete la struttura robabilistica di. La fuzioe caratteristica uò essere raresetata attraverso la serie di McLauri: d k (3.35) k 0 k k k! d 0 Oerado er derivazioe sulla (3.34), i termii della (3.35) risultao ella forma: 0 k d k k k i E i mk k,, k d 0 (3.36) che, sostituedo ella (3.35), foriscoo u esressioe della fuzioe caratteristica i termii di mometi statistici. k i k mk (3.37) k! k La (3.37) dimostra che, cooscedo i mometi statistici fio all ordie ifiito, è ossibile raresetare la fuzioe caratteristica e quidi la desità di robabilità. I questo seso, la coosceza dei mometi statistici è equivalete alla coosceza della distribuzioe di robabilità, quidi determia comletamete la struttura robabilistica della variabile aleatoria. 3.8 Cumulati * Si defiisce log-fuzioe caratteristica Ψ(θ) della variabile aleatoria il logaritmo aturale della fuzioe caratteristica Φ(θ); tale fuzioe uò essere esasa attraverso la serie di McLauri come segue: d log! d 0 i! (3.38) 7

28 i cui coefficieti κ[] soo detti cumulati. I cumulati soo legati ai mometi statistici ed ai mometi cetrali attraverso le relazioi ricorsive riortate i aedice A; tali relazioi, fio all'ordie 4, hao la forma: m m m m 3m m m m 3m 4m m m m 6m (3.39) Si osserva che il quarto cumulate adimesioalizzato risetto alla deviazioe stadard corrisode al coefficiete di eccesso defiito i (3.30). 3.9 Etroia * Sia ua variabile aleatoria discreta co fuzioe di robabilità P(ξ). Si defiisce etroia (di Shao) la quatità: H P log P (3.40) dove la sommatoria è estesa a tutti i valori ξ che uò assumere. Cosiderado la fuzioe f log diagrammata i Figura 3-0, l'etroia uò essere geeralizzata ella forma: f P H (3.4) f() Figura 3-0. Fuzioe f() ell'itervallo [0,] Dalla (3.4) si osserva che H è u umero o egativo ed è ullo el caso i cui sia determiistica (u articolare ξ ha robabilità uo e tutti gli altri hao robabilità zero). I geerale H è iccola se u valore ξ ha ua robabilità di occorreza domiate, metre H è grade se molti valori ξ hao robabilità di occorreza comarabile. I termii qualitativi, l'etroia misura il grado di "aleatorietà" di ua variabile aleatoria o, i termii iù corretti, secifica quato ua variabile aleatoria è strutturata. I teoria dell'iformazioe l'etroia è utilizzata er quatificare il coteuto di iformazioe di u caale digitale. 8

29 Sia ora ua v.a. cotiua; si defiisce etroia (differeziale) la quatità: H log d (3.4) dove l'itegrazioe è estesa all'itero domiio di defiizioe di. A differeza dell'etroia di Shao, l'etroia itegrale uò assumere valori egativi (dato che la fuzioe desità di robabilità uò essere maggiore di uo); da u uto di vista qualitativo ossiede il medesimo sigificato. 3.0 Trasformazioi lieari di variabili aleatorie Sia ua variabile aleatoria cotiua e ua sua trasformazioe lieare tale che = a + b co. Le risettive distribuzioi di robabilità soo legate dalla relazioe ab, b b F P Pa b P F a a (3.43) Segue che le desità di robabilità soo legate dalla relazioe df df b d a d b a a Le fuzioi caratteristiche di e ed i loro logaritmi soo legate dalle relazioi E exi E ex i a b a a b a b E ex i ex i ex i (3.44) (3.45) log a i b (3.46) Dalla (3.46) segue che i cumulati delle due variabili aleatorie e soo legati el seguete modo a b a (3.47) Nel caso articolare i cui b = 0 la (3.47) vale ache er i mometi e assume la forma m a a m (3.48) La (3.48) dimostra che mometi e cumulati di ordie soo oeratori omogeei di grado. Ifie l'etroia di e si relazioao el seguete modo 9

30 log H d b b log d a a a a log d a H log a (3.49) da cui si deduce che l'etroia aumeta co la scala a ed è ivariate risetto alla osizioe. I altri termii, fissata la forma della distribuzioe di robabilità, l'etroia cresce all'aumetare della variaza ed è ivariate risetto al valor medio. 3. Trasformazioi o-lieari di variabili aleatorie Sia ua variabile aleatoria cotiua e = g() co g fuzioe mootoa crescete. La fuzioe di distribuzioe F uò essere relazioata a F imoedo che P sia ari a P g dove g - è la fuzioe iversa di g (Figura 3-). Figura 3-. Trasformazioe mootoa crescete. Da questa uguagliaza discede la relazioe: che i termii di desità di robabilità risulta: F F g (3.50) g d d g d d df df dg dg (3.5) Se la fuzioe g è mootoa decrescete la relazioe che lega F e F uò essere ricavata eguagliado P e P g (Figura 3-). 30

31 Figura 3-. Trasformazioe mootoa decrescete. Da questa uguagliaza discedoo le relazioi F F g g dg d (3.5) Le (3.5) ossoo essere uificate er comredere sia il caso di fuzioe crescete che decrescete attraverso la relazioe: g Le etroie di e soo legate dalla relazioe dg d (3.53) log H d dg log d d g dg H log d d dg dg g log g d d d (3.54) L'itegrada ella (3.54) forisce u cotributo ositivo all'etroia er i valori di ξ er cui dg d, metre forisce u cotributo egativo quado dg d. Questo effetto è esato dalla desità di robabilità. 3. Raresetazioe della relazioe robabilistica fra due gradezze Nei aragrafi recedeti si è discusso su come raresetare, robabilisticamete, variabili aleatorie cotiue e discrete. I molte alicazioi è ecessario raresetare cotemoraeamete iù variabili aleatorie e defiire le mutue relazioi statistiche che le goverao. Ad esemio, ha seso chiedersi quale sia la relazioe statistica che itercorre tra il modulo elastico di u rovio di acciaio 3

32 e la sua tesioe si servameto, oure fra la velocità del veto (i u determiato luogo, ad u certo istate) e la sua direzioe. Al fie di sviluare strumeti er raresetare la mutua relazioe robabilistica fra diverse gradezze, si cosiderio due variabili aleatorie, e, co valori i. Per semlicità si assuma che e siao variabili aleatorie cotiue. 3.. Distribuzioe cogiuta di robabilità La distribuzioe cogiuta di robabilità, F(,), delle variabili aleatorie e è, er defiizioe, la robabilità che si verifichi l eveto er la geerica coia di valori e i :, F P (3.55) I questo cotesto, le distribuzioi di robabilità F() e F() delle variabili aleatorie e (cosiderate searatamete) soo chiamate distribuzioi margiali di robabilità. I geerale, la coosceza delle distribuzioi margiali o è sufficiete a defiire la distribuzioe cogiuta; viceversa, ota la distribuzioe cogiuta, le margiali risultao:,, F P F F P F (3.56) La distribuzioe cogiuta di robabilità gode delle segueti rorietà (dimostrabili facilmete attraverso la defiizioe (3.55) e gli assiomi della teoria della robabilità):, 0, 0 F P P F P P F, P P 0 F, P P (3.57) Ioltre, co semlici assaggi è ossibile dimostrare che F(,) è ua fuzioe o-decrescete di, : F F, F,, F, (3.58) cioè la distribuzioe cogiuta di robabilità è ua fuzioe o-decrescete di e. 3.. Desità cogiuta di robabilità Si cosideri le variabili aleatorie e defiite dalla distribuzioe cogiuta di robabilità F(,), suosta derivabile er ogi e i, salvo che, al iù, i isiemi di misura ulla (uti o liee). Si defiisce desità di robabilità cogiuta: F,, (3.59) Per la (3.58), la desità di robabilità risulta o-egativa. La (3.59) uò essere ivertita alicado il teorema fodametale del calcolo itegrale (i forma bi-dimesioale) 3

33 F (3.60),, d d er la quale il valore della distribuzioe cogiuta el uto (, ) corrisode al volume sotteso dalla desità cogiuta el domiio defiito dai uti (, ) co e F (,) (,) (a) (b) Figura 3-3. Distribuzioe cogiuta (a) e desità cogiuta (b) di robabilità di due variabili aleatorie cotiue. Alicado il teorema dell eveto totale, è ossibile dimostrare le relazioi (Figura 3-4): P P F, F, F, F, P P P, d d (3.6) Figura 3-4. Raresetazioe grafica dell equazioe (3.6). Da cui discede, er l assioma di ormalizzazioe della robabilità:, d d (3.6) 33

34 Sostituedo la (3.60) ella rima delle (3.56) si ottiee l esressioe della distribuzioe margiale di robabilità ella forma: F F,, d d la quale, derivata risetto a forisce la desità margiale di robabilità: (3.63), d (3.64) Oerado aalogamete risetto alla variabile, si ottiee la desità margiale di robabilità della variabile aleatoria :, d (3.65) I maiera equivalete, le variabili aleatorie e ossoo essere raresetate attraverso la fuzioe caratteristica cogiuta, E exi i i e, d d (3.66) che corrisode alla trasformata di Fourier bi-dimesioale della desità di robabilità cogiuta. Nota la fuzioe caratteristica cogiuta, le fuzioi caratteristiche margiali ossoo essere otteute aullado uo dei due argometi della fuzioe:,0 0, (3.67) Si defiisce log-fuzioe caratteristica cogiuta il logaritmo aturale di, log, (3.68) 3..3 Variabili aleatorie statisticamete idiedeti Due eveti A e B soo defiititi statisticamete idiedeti se la robabilità comosta della loro occorreza è ari al rodotto della robabilità di occorreza dei due eveti cosiderati sigolarmete (P(AB) = P(A)P(B)). Due variabile aleatorie e si defiiscoo statisticamete idiedeti se gli eveti { } e { } soo statisticamete idiedeti. Da questa defiizioe segue immediatamete che, e soo statisticamete idiedeti se e solo se la distribuzioe (desità) cogiuta di robabilità è ari al rodotto delle distribuzioi (desità) margiali. Lo stesso vale er le fuzioi caratteristiche.,,, F F F (3.69) 34

35 La log-fuzioe caratteristica di due variabili aleatorie statisticamete idiedeti è la somma delle log-fuzioi caratteristiche margiali, (3.70) 3..4 Valore atteso di fuzioi di due variabili aleatorie Nel aragrafo 3.5 si itroduce il cocetto di valore atteso, defiito come la media di tutti i ossibili valori realizzabili da ua variabile aleatoria, esati attraverso la loro robabilità di occorreza. Attraverso l equazioe (3.) il cocetto di valore atteso è esteso ad ua variabile aleatoria = f() defiita, a artire dalla variabile aleatoria, attraverso la fuzioe determiistica f. I questo aragrafo si cosidera ua variabile aleatoria Z defiita attraverso ua fuzioe determiistica f(,) sulla base di due variabili aleatorie e. Il valore atteso della variabile aleatoria Z è defiito come la media dei ossibili valori = f(,) assuti da Z, esati attraverso la loro robabilità di occorreza (,)dd: E Z E f, f,, d d (3.7) Dalla secoda delle (3.69) discede che se e soo statisticamete idiedeti, allora er ogi fuzioe f e g er qui i valori attesi esistoo. E f g E f E g (3.7) 3..5 Somma di variabili aleatorie Sia Z = +, co e due variabili aleatorie. La fuzioe caratteristica di Z uò essere esressa ella forma: i iz i i e d E e E e e, d d, (3.73) Z Z da cui si evice che: Se e soo statisticamete idiedeti, allora: Z, d (3.74) d (3.75) Z Z (3.76) Z (3.77) Z,,... (3.78) 3..6 Correlazioe e covariaza Date due variabili aleatorie e, si defiisce correlazioe il valore atteso del loro rodotto: 35