RUOLO DELLA MODELLAZIONE GEOMETRICA PARTE 4 CURVE E SUPERFICI ... IN QUESTA LEZIONE E LIVELLI DI MODELLAZIONE

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1 RUOLO DELLA MODELLAZIONE GEOMETRICA E LIVELLI DI MODELLAZIONE PARTE 4 CURVE E SUPERFICI Prof. Danele Regazzon Dpartmento d Ingegnera... IN QUESTA LEZIONE Modell 2D/3D Modell 3D/3D Dmensone delle prmtve d modellazone Dmensone dell oggetto 3D 2D D D 2D 3D Dmensone dello spazo d modellazone

2 ... IN QUESTA LEZIONE Modell d crve e sperfc Splne e Fergson Coons Bézer B Splne NURBS Nvole d pnt e trangol CURVE B SPLINE Defnzone Vettore de nod Crve aperte nform Crve nform/perodche Crve non nform 2

3 DEFINIZIONE Dat n+ pnt d controllo P, ogn pnto della crva è dato da: P ( ) = n = PNP N, k ( ) mn mn max BASI Bas B SPLINE B-splne dove: P defnscono l cosdetto POLIGONO d CONTROLLO k controlla l grado (k ) delle fnzon polnomal N, k () N, k () sono defnte rcorsvamente dalla formla d Cox de Boor: t t N, () = se t t + = altrment N. k ( t) N, k( ) ( t ( ) t t k k ) N t k 2 k n + t sono dett nod e correlano l parametro a pnt d controllo, k t ( ) VETTORE DEI NODI T={t, t, t 2,, t m } m=n+k nforme aperto (open nform) agl estrem valor de nod s rpetono con molteplcta gale all ordne k della crva, ed noltre valor de nod ntermed sono eqspazat nforme/perodco (nform/perodc) valor de nod sono eqamente spazat non nforme (non nform) agl estrem valor de nod s rpetono con molteplcta gale all ordne k della crva, ed noltre valor de nod ntermed non sono eqspazat 3

4 CURVE B SPLINE APERTE UNIFORMI (/6) vettore de nod: nforme aperto: agl estrem valor de nod s rpetono con molteplcta gale all ordne k della crva valor de nod ntermed sono eqamente spazat le crve passano per pnt estrem d controllo la tangente nel prmo pnto e parallela alla retta che congnge prm de pnt. La tangente nell ltmo pnto e parallela alla retta che congnge gl ltm de pnt CURVE B SPLINE APERTE UNIFORMI (2/6) SCELTA DEI NODI S defnscono t come sege: t = se <k t = k+ se k n t = n k+2 se >k n+k n k+2 4

5 CURVE B SPLINE APERTE UNIFORMI (3/6) FUNZIONI DI MISCELAMENTO K= 6 pnt d controllo n=5 n k+2 6 n+k 6 k t = <k t = k k n t = k+ k n t = t n k 2 n = n k+2 >n t 2 = 2 t 3 = 3 t 4 = 4 t 5 = 5 t 6 = 6 N, () N, () N 2, () N 3, () N 4, () N 5, () 6 CURVE B SPLINE APERTE UNIFORMI (4/6) FUNZIONI DI MISCELAMENTO K=2 6 pnt d controllo n=5 n k+2 5 n+k 7 t = <k k t = k+ k kk n n t = nn k+2 k 2 >n n t = t = t 2 = t 3 = 2 t 4 = 3 t 5 = 4 t 6 = 5 t 7 = 5 N 2,2 () N 3,2 () N 4,2 () N 5,2 () N,2 () N,2 () 5 5

6 CURVE B SPLINE APERTE UNIFORMI (5/6) FUNZIONI DI MISCELAMENTO K=3 N,3 () N 3,3 () N,3 () N 4,3 () n = 5 N 2,3 () N 5,3 () CURVE B SPLINE APERTE UNIFORMI (6/6) ESEMPIO 6

7 CURVE B SPLINE UNIFORMI/PERIODICHE (/6) I valor de nod sono eqamente spazat Le crve NON passano per pnt estrem d controllo Le fnzon d mscelamento s rpetono s ntervall sccessv del parametro CURVE B SPLINE UNIFORMI/PERIODICHE (2/6) SCELTA DEI NODI E FUNZIONI DI MISCELAMENTO Spesso nod sono defnt con passo, nzando dal valore Ogn fnzone d mscelamento sccessva è na versone traslata della precedente, secondo: N,k () = N +,k ( + t) = N +2,k ( + 2t) dove t = ntervallo fra nod adacent 7

8 CURVE B SPLINE UNIFORMI/PERIODICHE (3/6) SCELTA DEI NODI E FUNZIONI DI MISCELAMENTO k=3 n=3 vettore de nod: [ ] N,3 () N,3 () N 2,3 () N 3,3 () CURVE B SPLINE UNIFORMI/PERIODICHE (4/6) ESEMPIO P P 2 P P 3 B splne perodca qadratca defnta da 4 pnt d controllo P START = /2 (P PSTART P ( P ) P ) 2 P END = /2 P (P END 2 + ( P 3 ) 2 P3 ) 2 P START = P P P END = P 3 P 2 8

9 CURVE B SPLINE UNIFORMI/PERIODICHE CHIUSE (5/6) S consdera: t = N,k () = N, (( +n+) n mod(n+)) )mod( n )), k(, n+ n CURVE B SPLINE UNIFORMI/PERIODICHE CHIUSE (6/6) ESEMPI 9

10 CURVE B SPLINE NON UNIFORMI (/2) SCELTA DEI NODI Vettore de nod: S possono sceglere valor mltpl de nod ntern S possono sceglere spazatre non gal fra valor de nod Le forme delle fnzon d mscelamento sono dverse per ntervall dvers SUPERFICI B SPLINE (/2) I pnt slla sperfce sono dat da: P (, w) P= (, w) P j N,k P() jn, Nk ( j,l (w) ) N j, l ( w) dove: m n = j= m n j P,j sono vertc del poledro caratterstco e formano n array rettangolare (m+) x (n+) N,k () e N j,l (w) sono le fnzon base B splne l grado d N,k () e N j,l (w) e controllato da k e l

11 SUPERFICI B SPLINE (2/2) N,k () e N j,l (w) sono defnte rcorsvamente dalla formla d Cox deboor: Vettor de nod: N, () = se = altrment [U] = [,, 2,, m+k ] [W] = [w, w, w 2,, w n+l ] N j, (w) = se = altrment N, () = se = altrment,,, ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( k k k k k k N N N j j w w w,,, ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( j l j l j l j j l j l j j l j w w w w N w w w w N w w w N SUPERFICIE B SPLINE APERTA/UNIFORME forma matrcale dove P st (,w) = U k M k P kl M lt W l T U k = [ k k 2 ] W l = [w l w l 2 w ] M k e M l T sono le matrc d trasformazone sate per le crve B splne,, 2 : 2 : w l n t k m s

12 ESEMPIO sperfce bcbca B splne k=l=4 m=n=8 vettore de nod: [ ] POLYGON NET v LINEE PARAMETRICHE DEFINITE ALLA FINE DI OGNI INTERVALLO PARAMETRICO (,w=,,2,3,4,5,6) SUPERFICI B SPLINE B Splne nforme/perodca Sperfc chse 2

13 PROPRIETÀ DELLE CURVE E SUPERFICI B SPLINE Dat necessar pnt che devono essere approssmat dalla crva/sperfce e che defnscono l polgono/poledro d controllo grado delle crve Caratterstche.. ndpendenza del grado della crva dal nmero de pnt d controllo carattere locale mnmzza le oscllazon, coè non presentano ondlazon dstant da pnt d controllo contengono le Bezer come caso partcolare Lmte: non s rescono a rappresentare n manera precsa le conche CURVE NURBS (/2) NURBS = Non Unform Ratonal B Splne fornscono na rappresentazone esatta d crve qadratche (conche) hanno le caratterstche analtche e geometrche delle B splne non razonal nvarant rspetto a trasformazone prospettca 3

14 CURVE NURBS (2/2) Dat n+ pnt d controllo P, ogn pnto della crva è dato da: dove: n P( ) PR, k( ) P defnscono l cosdetto POLIGONO d CONTROLLO R, k () sono le fnzon d base razonal e sono date da: N, k( ) h R, k( ) h n N ( ) h, k h sono pes Le N,k () sono le fnzon d base B splne defnte s na base non nforme ESEMPI CURVE NURBS (/2) 4

15 SUPERFICI NURBS I pnt slla sperfce sono dat da: P (, w) dove: n m P j j R, ( ), w j P,j sono vertc del poledro caratterstco e formano n array rettangolare (m+) x (n+) R,j () sono le fnzon base razonal e sono date da: R h, jn, k( ) N j, l( w) (, w), j h n m, h N ( ) N ( w), j j j, j, k j, l ESEMPI SUPERFICI NURBS 5

16 PROPRIETÀ DELLE CURVE E SUPERFICI NURBS Dat necessar pnt che devono essere approssmat dalla crva/sperfce e che defnscono l polgono/poledro d controllo grado della crva pes Caratterstche... attraverso la manpolazone de pol e de pes s ottene na grande vareta d forme permettono d rappresentare con n nca formlazone qalsas tpo d crva CONFRONTO: BÉZIER, B SPLINE, NURBS 6

17 ESEMPIDIMODELLAZIONEDISUPERFICI(/3) Stylng n atovettra con qattro rote sterzant anteror e de rote motrc posteror ESEMPI DI MODELLAZIONE DI SUPERFICI (2/3) per pnt per crve 7

18 ESEMPIDIMODELLAZIONEDISUPERFICI(3/3) Blend srfaces Model 8

19 9

20 2

21 ESEMPI (/3) 2

22 ESEMPI (2/3) ESEMPI (3/3) 22

23 NUVOLE DI PUNTI E TRIANGOLI NUVOLE DI PUNTI Scatola cambo Strmento per rlevo 3D 23

24 SUPERFICI A POLIGONI Poledr: sperfc a polgon consstono n n nseme d polgon planar (normalmente trangol) Polgono defnto da Vertc (pnt) Spgol (lnee che connettono pnt)... tpcamente trangol ESEMPI (/4) Modello dgtale 3D rlevato Sstema ATOS x, y, z x 2, y 2, z 2 x 3, y 3, z 3 x 4, y 4, z 4.. x n, y n, z n Nvola d pnt Oggetto fsco Manchno Gacca Modello dgtale 3D del manchno 24

25 ESEMPI (2/4) Trangol Trangol RAPPRESENTAZIONE MEDIANTE PUNTI RILEVATI TRIANGOLI (.STL) RAPPRESENTAZIONE OTTIMIZZATA SUPERFICI NURBS ESEMPI (3/4) 25

26 ESEMPI(4/4) PROTESI PER ARTO INFERIORE MODELLAZIONE INVASO 26

27 PROTESI PER ARTO INFERIORE MODELLAZIONE INVASO LA PROSSIMA LEZIONE L evolzone delle tecnologe per modellare n modo: Parametrco Varazonale Featre based 27

28 DOCUMENTAZIONE Sto Web Mortenson M.E., Geometrc Modelng, Ed. John Wley & Sons, 997 Foley J.D., Van Dam A., Fener S.K., Hghnes J.F.,Compter Graphcs: prncple and practce second edton n C, Addson Wesley Pblshng Co.,