11. Prima del contatto le sfere hanno segno opposto qundi la forza è attrattiva e la sua intensità

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1 pitolo 6 Soluzioni. Esseno ientiche: f f 6 A 0 Tot cui Tot 0. e quini nche ll inizio: i i Tot A ( 0 0 ) 7 0. Per risponere è sufficiente iviere l eccesso i cric per quell i un elettrone: elettroni 5. uno ccostimo neutro A negtivo e tocchimo con un ito iventimo tutto un unico conuttore con esso e quini verso il lto i riosso i A si ensno criche positive mentre nel punto più lontno, cioè nei nostri piei quelle negtive. uno stcchimo il ito resterà cric positivmente, pertnto ttirerà A, respingerà D e ttirerà per inuzione. 7. Si trtt i un processo i inuzione eletrosttic in cui l cric coinvolt complessivmente è null. uini sull sfer grne vremo 0.00 μ.. uno il plloncino è ccostto sull porzione i sfer rivolt esso sono inotte criche negtive, mentre l cric positiv in eccesso sull regione oppost si port il più lontno possibile l plloncino e cioè terr, grzie l filo. () Se in questo istnte il filo è rimosso l sfer si trov quini vere un eccesso i cric negtiv. () Se in questo istnte il plloncino è lscito nre il fenomeno inuttivo si riequilibr e l sfer torn immeitmente essere neutr e così rimne nche opo il tglio el filo, che non h lcun effetto sullo stto i cric. mg E T. Prim el conttto le sfere hnno segno opposto quni l forz è ttrttiv e l su intensità vle: 5 A.00 ( 50 ) in 8.0 r Dopo il conttto, l cric totle, che si conserv, si riprtisce in moo ugule esseno le ue sfere ientiche: L L T E mg

2 f A fin f (.0 ) Il tringolo elle forze e quello che h per ipotenus il filo sono simili, quini si h: E mg L mg E.800 L che uguglit ll espressione ell legge i oulomb à: q( q) 5 E k.800 E q E W A A W E q q q. () Su entrmbi i corpi gisce l grvità, che prità i mss vrà l stess intensità, quini i ue vettori ell grvità hnno l stess lunghezz. () Poiché non c è ccelerzione nell irezione verticle, il pino i ppoggio eve esercitre un forz vincolre irett verticlmente e ugule e oppost ll grvità: nche in questo cso i ue vettori sono uguli per entrmbi i blocchi e uguli i vettori ell grvità. () Il blocco i sinistr è respinto ll repulsione elettric elle blocco i estr e vicevers. Le ue forze sono ovvimente uguli, come prevee il terzo principio ell inmic. hi fosse tentto i fre un elle ue lung il triplo ell ltr pensi che entrmbe le intensità sono ottenute ll stess formul: k q q r E / () Il ftto che i blocchi sino fermi implic un ttrito esttmente ugule ll forz elettric e quini un ttrito che è lo stesso per i ue blocchi. Tuttvi è noto che l ttrito sttico fr ue superfici vri zero fino un vlore mssimo, pri l prootto i S per l componente normle l pino ell forz vincolre. on sppimo se qui si si in conizioni i mssimo ttrito, tuttvi to che S 0.8 nche nel cso mssimo, l forz i ttrito eve essere minore ell forz normle, quini isegneremo ttrito e forz elettric uguli fr loro m più corti ell forz vincolre e ell grvità. 7. L forz su q si clcol pplicno il principio i sovrpposizione e consierno i volt in volt prim le coppie q, q come se q non ci fosse, e poi q, q come se q non ci fosse. Dopo sommeremo i ue contributi: q( q) k xˆ q( q) k x ( ) ˆ Sceglieno un sse elle scisse orientto verso estr bbimo: x x x lcolno il fttore / ottenimo:

3 x cioè: 5.6 xˆ Per q bbimo xˆ per l terz legge ell inmic, e inoltre: ( q)( q) k x x x 5.8 cioè xˆ Triplicno il fttore enomintore riuce el vlore preceente. 8. lcolimo l intensità ell forz su q : q q q ( q) k ; k ; q ( q) k lcolimo le componenti in un sistem i coorinte come in figur, speno che sin 5 cos 5 / : x 0, y ; x, y 0 ; x sin 5 y cos 5 D cui sommno si ottiene: x 0 0 y lcolimo il fttore comune / : (.0 0 ) , inse reno si h pertnto: x.7 0 (.).5 0 y.7 0 (.).67 0 x y (.50 ) (.67 0 ) q q ˆx q q 5. ŷ 8 - [(.5) (.67) ] Per l ngolo ovremo prim clcolre il vlore ell rco che h per tngente y / x, m poi si eve ggiungere 80 l vlore to ll clcoltrice visto che x 0 e y 0 quini il vettore h l test nel secono qurnte: y tn 0.7 x 80 tn ( 0.7)

4 ˆ 6 y ˆx T 5.0 T 5.0 lcolimo or l intensità ell forz su q : q q q ( q ) q ( q) 6 k ; k ; k ( ) D cui, proiettno sugli ssi e sommno, come nel cso preceente, si ottiene: x cos 6 y sin 6 6 ( ).78 0 Il vettore h l test nel primo qurnte visto che x 0 e y 0 quini: 6 y tn.0 tn (.0) 76. x. Vist l simmetri el problem, l forz elettric E fr i ue plloncini eve essere irett orizzontlmente e ll equilibrio bilncit ll componente orizzontle ell tensione T el filo. Verticlmente vremo l spint i Archimee A irett verso l lto, intensità pri l peso ell ri spostt: A rivg ri r g bilncit ll componente verticle ell tensione. Scrivimo l legge i ewton in irezione verticle e ricvimo T : A rivg r gri Ay Ty A T cos 0 T cos( ) cos( ) cos( ) e sostituimol nell coniizone i equilibrio in orizzontle: sin( /) Ex Tx E T sin 0 r rig 0 cos( /) e teneno conto che sin( /) tn 0.00 possimo ricvre: cos( /) gr tn( / ) 0 ri 6 (.00 ) 8.0 m (.0) m 80 m 8.0 m 6.50 m 0.65 m mg E E mg 0. Per il principio i zione e rezione l forz elettric è l stess su entrmbe le criche. L simmetri i tutto l pprto impone poi che sino le stesse tnto l cric qunto l tensione sui ue fili. In irezione verticle bbimo: T cos 5.0 mg 0 cui: mg T.00. cos In irezione orizzontle, sceglieno l pllin estr:

5 T sin5.0 E 0 cui: T sin E. Uguglino questo risultto ll espressione fornit ll legge i oulomb: E si rriv : E (5.6 0 )(.50 0 ) q 0 k L forz elettric E che esercit su eve, ssieme ll componente orizzontle ell tensione T el filo, fornire l forz centripet ffinché compi 0 giri l minuto, su i un orbit il cui rggio vle: r sin 5.77 m. otogrfno il moto sul pino el foglio, si h lungo l sse verticle: T cos mg 0 T mg / cos. v Sull sse orizzontle bbimo: T sin E m. r Ricvimo or l velocità: speno che 0 giri l minuto sono 0.5 giri in un secono, il che corrispone un perioo i seconi (vlori estti), bsterà iviere l lunghezz r i un giro per seconi e vere che v r m/s. Sostitueno r bbimo: sin r mg E m E m( r g tn ) cos r.000 ( tn 5.0 ).06 0 E che uguglit ll espressione ell legge i oulomb e risolt rispetto : r E k L forz è il risultto ell somm elle ue componenti verticli elle forze con cui A e tirno sé, mentre le componenti orizzontli, che per l simmetri ell configurzione sono uguli e opposte, si nnullno. Risult: A A cos A A A 6 cos( / 6) A A Ay y A sin k sin k 6 A 6 A / 6 A k.0 0 A ( ) E confrontno con il vlore fornito l testo ottenimo: A T mg A E 5.00 cm 5

6 E A A E / 6 E A E 6. Dlle coorinte ei punti si h che A e sono iniviuti segmenti che formno ngoli rispettivmente i e 6 come in figur. Di conseguenz nell origine vremo: 6 A.00.0 EA k.0 OA E k.60 O lcolimo le componenti lungo gli ssi el cmpo ovuto A nell origine: EAx E cos A EAy EA sin E A E 6 e el cmpo ovuto nell origine: Ex E cos Ey E sin il risultnte E EA E secono l regol el prllelogrmm si ottiene sommno le componenti x ey : Ex EAx Ex (.50.0 ).60 Ey EAy Ey ( ) e l irezione è quell per cui E form con l sse x un ngolo tle che: E y rctg rctg rctg( 0.).6 E.60 x L intensità i E vle invece: E Ex Ey E E 7. Ricvimo le componenti x e y el cmpoe : Ex E cos( ) 6.00 ( 0.6).0 Ey E sin( ) 6.00 (0.7).0 E P(;) Dto che E EA E, per ifferenz possimo clcolre le componenti x e y el cmpo ovuto ll cric incognit. E sufficiente fre il conto nell irezione verticle: 5 Ey Ey EAy Ey E A sin A e esseno: 6 A.00.0 EA k.0 OP si h: 6

7 5 Ey Ey EA sin e poiché come si vee l isegno il cmpo E è tutto verticle, bst confrontre il vlore trovto con l formul i oulomb per vere :.00.0 Ey E k O cui: Le linee i forz inicno un curv ll qule il cmpo elettrico è tngente e contengono informzioni sul vlore el cmpo punto per punto. uini un cric post in un regione ove vi si un cmpo verrà impress un spint nell irezione ell tngente ll line i forz e si muoverà, in generle, tglino le linee i forz contigue. Perché ess si poss spostre lungo un percorso curvo che segu il trccito elle linee i forz occorrerebbe un forz che si in prte centripet, che bbi cioè un componente perpenicolre ll triettori. Il che è impossibile proprio per l efinizione che si è t i line i forz. el prticolre cso el cmpo i un cric puntiforme, si h l coincienz per cui l line i forz e l su tngente coinciono (lo stesso vviene nche in ltri csi, esempio uno strto pino uniformemente crico). Pertnto, l triettori i un cric si svilupp lungo le linee i forz, m si trtt, lo ripetimo, i un coincienz. A E A 5 H P(; ) E E. Il cmpo E A nel punto P è iniviuto un vettore che form con l sse elle scisse un ngolo ugule HAP ˆ. Abbimo ˆ PH HAP rctn rctn 6.6 HA e l su intensità vle: 6 A EA k.0 AP mentre E nel punto P è iniviuto un vettore che form con l sse elle scisse un ngolo ugule : ˆ HP PH rctn rctn 6.6 H e l su intensità vle: E k.0 P Ricvimo le componenti x e y el cmpoe : E E cos( 6.6 ) E cos(6.6 ) x A ( ).7 0 E E sin( 6.6 ) E sin(6.6 ) y A [.0 ( 0.5).0 0.5] 0.0 e il suo moulo: E A E A rctn E rctn 7

8 A E rctn E P(; ) E E Ex Ey Dopo il conttto le ue sfere srnno criche ciscun con: 6 6 A vremo quini: 6 A EA k 0.50 AP che è nche il vlore i E to cheap P. Risult or: E E cos( 6.6 ) E cos( ) x A [ ( 0.8)] 0.00 E E sin( 6.6 ) E sin( ) y A [0.50 ( 0.5) 0.50 ( 0.5)] 0.00 Il cmpo risultnte è pertnto verticle verso il bsso e l su intensità vle uesto vlore ovvimente non mut inverteno l posizione elle criche, to che esse sono uguli. E E A A( ;) E ( ;) E ( ; ) (;) ( ;) E 0. el punto A si h l influenz el cmpo, iretto verticlmente in bsso, e el cmpo che form l ngolo con l sse elle scisse. Per ricvre le funzioni E trigonometriche i el qule possimo ricvre le funzioni trigonometriche i ci servimo el suo complementre il cui seno e coseno vlgono: lunghezz cteto opposto sin lunghezz ipotenus ( ) ( ) 7 lunghezz cteto icente cos lunghezz ipotenus ( ) ( ) 7 e esseno - bbimo: cos cos e sin 7 sin. 7 lcolimo quini il cmpo risultnte in A, mnteneno inicto il vlore i. Prim le intensità:.00.0 E k 0 A 7 ( ) ( ) 80 E k.00 A ( ) 0 quini le componenti lungo gli ssi e l loro somm: 8

9 .0 Ex E cos E cos 0.00 (0) Ey E sin E sin 0.00 (.0) l intensità el cmpo risultnte srà llor: 6.0 x y E E E Moltiplicno il vlore i el cmpo nel punto A così ottenuto per l cric 7 A.8 0 ivi posiziont ottenimo l forz che A subisce: E.0 0 A A A e inverteno si ottiene infine: Dllle coorinte ei punti si ricv che O è l metà i un tringolo equiltero e pertnto ˆ O, che è nche ugule ll ngolo fr E A e E. Abbimo: 6 6 A EA k.50 A / / E k 5.0 A / / Sommno le componenti si h: Ex EA cos(0) E cos( ) ( ) Ex EA sin(0) E sin( ) ( ) cui: E Ex Ey Tuttvi, esseno noto l ngolo fr i ue vettori, in questo cso srebbe convenuto pplicre il teorem i rnot per clcolre l intensità el cmpo risultnte: E EA E EA E cos ( / ) Per un elemento X l scrittur A ZX inic in lto sinistr l mss tomic (o numero i mss), e in bsso sinistr il numero tomico, cioè l cric (positiv) el nucleo. Il nucleo i He h quini mss tomic e numero tomico, cui: M He He 7 7 m.67 0 kg 6.70 kg P e L forz si clcol moltiplicno l cric per il vlore el cmpo trovto: 5 E He A (0; ) ( ; 0) O ( ; 0) E E E

10 e l ccelerzione ll legge i ewton m : 5.0 m/s.0 m/s 7 M He Un vlore, come si vee, molto grne nche se l forz è molto piccol, to che l mss è nch ess piccol rispetto i vlori mcroscopici.. Un vi i risoluzione lterntiv si h fissno un riferimento crtesino e proiettno le forze. qe irezione orizzontle: qe T sin mx 0 T sin mg irezione verticle: T cos mg my 0 T cos Uguglino i risultti si ottiene: q E q E qe mg tn rctn sin cos mg mg tn e ricorno che sin, cos si ottiene: tn q E T mg mg q E mg tn. In q entrno 8 linee i forz, mentre q ne escono. uini l intensità el cmpo elettrico originto q eve essere mggiore i un fttore 7 i quello 8 originto q. ello stesso rpporto, con segno invertito, sono i vlori elle ue criche: q q 7 7. L figur qulittiv qui lto è stt ottenut teneno presente che: () ogni line i cmpo ev essere orientt in moo che esc lle criche positive (o ll infinito) e v in quelle negtive (o verso l infinito), () le linee sono perpenicolri lle superfici egli oggetti; () le linee sono più fitte nelle punte e più re ove è pitto. 0. Il mssimo flusso si h quno l superficie è post con l normle prllel l cmpo elettrico: ( ) cos 0 00 m / mx E A E ( E) mx 00 A m m E.000 lcolimo or il flusso elettrico per 0.0 : ( E) A E cos 0.0 ( E) m / 8 m / che corrispone ll ttrversmento i 8 linee i cmpo.. Visto che line/m /, si h: ( ) E A cos 0 m / S E cui 0

11 ( ) S E 0 E /.6 / A cos 0.0 cos 0.0 Il mssimo flusso si h quno l supericie è post con l normle prllel l cmpo elettrico: ( E ) A E cos m.6 / 8 m / mx. L re el tetto può essere clcolt prteno quell ell pint. L pint ell cs h lto 6 m.0 m, misur che coincie con quell el lto orizzontle el tetto. L ltro lto è lungo qunto l ipotenus i un tringolo rettngolo i cteto mggiore / e ngolo icente esso i 5.0, cioè /( cos 5 ) el complesso l superficie el tetto misur: / 6 A m m cos 5.0 cos L ngolo fr l normle uscente l tetto e il cmpo vle: lcolimo or il flusso, ricorno che V/m / : ( E) A E cos5 [0 ( 0.57)] m /.650 m / 5 E ˆn. Un ettro è un ppezzmento i re A 00 m 00 m = 0000 m Ricorno che V/m /, clcolimo il flusso el cmpo elettrico terrestre ttrverso il terreno. Orientno l normle verso il bsso il flusso viene positivo esseno: ( E) A E cos 5.0 [ ] m /.6 0 m / uini l ppezzmento è ttversto linee 6. Inverteno l relzione el teorem i Guss, consierte le sei fcce el prllelepipeo bbimo: 5 ( E) [ ( ) ]. μ int 0 S 7. lcolimo il vlore i q l teorem i Guss pplicto S : q q q q q q q q q q ( ).0 0 clcolimo il vlore i q l teorem i Guss pplicto S : S q q q q q q q q q q q q ( ) q q S S q 8. Dl teorem i Guss:

12 q 6 6 ( ).0 q 0 0 q 0 0 = q q q q q q q q q (. 6.60) μ 8.07 μ 60 E 5. onsierimo l bottigli complet el tppo, che è un cerchio i superficie: R. (.0 0 ) m.5 0 esseno l bottigli, chius col tppo, sempre vuot, il teorem i Guss prevee un flusso nullo ttrverso i ess, pertnto l somm el flusso ttrverso l bottigli sommto quello ttrverso il tppo eve fre zero: T 0 T T Il flusso ttrverso il tppo si clcol fcimente consierno che il versore esso normle è l sse ell bottigli, quini form nel cso () un ngolo nullo col cmpo, nel cso () un ngolo retto e nel cso () un ngolo i 60 : m m E S cos 0 ( ) m E S cos 0 0 m m E S cos 60 ( ) 0. m 56. L cric intern ll superficie cubic si ottiene moltiplicno l lunghezz ell igonle s in centimetri per 5.00 μ : s s (5.00 μ) int cui si h il flusso pplicno il teorem i Guss, eguglire l vlore fornito l testo: 5 / s (5.00 μ) /.500 m / int s m 0.6 m