I NUMERI RAZIONALI. È stato dimostrato che i ragazzi hanno significative difficoltà ad apprendere e applicare i concetti legati ai numeri razionali.

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1 I NUMERI RAZIONALI È stto dimostrto che i rgzzi hnno significtive difficoltà d pprendere e pplicre i concetti legti i numeri rzionli. Esempio: Il N.A.E.P. (Ntionl Assesment of Eduction Progress) h dimostrto che i rgzzi hnno significtive difficoltà d pprendere e pplicre i concetti legti i numeri rzionli. Per esempio si è scoperto che l mggior prte dei 3enni e dei 7enni er in grdo di sommre frzioni con ugul denomintore, m solo /3 dei 3enni e solo i 2/3 dei 7enni che er in grdo di sommre frzioni er in grdo di eseguire correttmente Altre ricerche hnno vvlorto un ss cpcità nei clcoli con le frzioni e nell risoluzione di prolemi connessi. Ciò sorprende vist l enfsi che viene dt nell scuol si sulle ilità procedurli si sugli lgoritmi computzionli. Si può supporre che questi risultti scdenti sino un conseguenz dirett dell enfsi post sulle procedure piuttosto che sullo sviluppo ccurto dell comprensione dei concetti sottesi. Molti dei punti di difficoltà nell scuol sono legti lle idee sui numeri rzionli. Ktleen Hrt scrive Le frzioni sono uste in un numero notevole di questioni mtemtiche differenti e con svriti significti; è quest vrietà di significti ttriuiti lle frzioni che proilmente rende rgione delle difficoltà che i rgzzi incontrno nel comprenderle. 53

2 Ripercorrimo il cmmino delle frzioni: ) Nscono nell scuol elementre, di solito in terz, come opertori su: - grndezze: segmenti, rettngoli, qudrti,.. - oggetti: torte, stecche di cioccolto, - insiemi di oggetti - numeri questo modello primitivo comport che: - un oggetto veng diviso in un certo numero di prti uguli (lmeno 2) - di queste prti ne vengono considerte lcune (=lmeno m non tutte) dl pdv mtemtico signific che si considerno frzioni con ; < ; >. 2) Successivmente (4 e 5 elementre) tle modello primitivo viene mndto in crisi dll introduzione delle frzioni improprie (>), delle frzioni pprenti (=k), e dell frzione null (=). Le frzioni nte come opertori, diventno rpporti, divisioni, risultto di un divisione (quoziente), numeri nturli, numeri con l virgol 54

3 3) Nell scuol medi si ridisce l origine delle frzioni come opertori, m nscono le frzioni negtive (non h senso considerrle come opertori), e i numeri rzionli. - Che differenz c e tr frzioni e numeri rzionli dto che si scrivono nello stesso modo? devo pensrlo come frzione o come numero rzionle? 4) Nell scuol medi si introducono nche le operzioni sulle frzioni e sui numeri rzionli denotndole con gli stessi simoli. - Si trtt di operzioni diverse o no? - Se no perché distinguere le frzioni di numeri decimli? - Se sì, dove st l diversità? L nlisi delle componenti del concetto di numero rzionle suggerisce un ovvi rgione del perché l comprensione complet dei numeri rzionli è un compito di pprendimento difficile. Le diverse interpretzioni in cui i numeri rzionli si possono interpretre si chimno sucostrutti: ) prti di un intero 2) decimli 3) rpporto 4) divisione indict 5) opertore 6) misur di quntità discrete o continue Un comprensione complet dei numeri rzionli richiede non solo l comprensione di ciscuno dei 6 sucostrutti seprtmente, m nche di come sono interrelti. 55

4 Anlisi teoriche e ricerche empiriche suggeriscono che strutture cognitive diverse sono necessrie per trttre ciscuno dei 6 sucostrutti. Sono stti identificti stdi nel pensiero sui numeri rzionli dei rgzzi per esminre l grdule differenzizione e l progressiv integrzione dei sucostrutti. Un spetto importnte di tli studi è stto quello di osservre se o no i soggetti che givno d un dto stdio in un sucostrutto, gissero livello prgonile in compiti che coinvolgevno un ltro sucostrutto. Sono stte studite nche le relzioni fr ilità specifiche e certe comprensioni silri dei numeri rzionli. Anlizzimo or i diversi sucostrutti. Prte di un intero e misur L interpretzione prte di un intero dei numeri rzionli dipende direttmente dll ilità di riprtire un quntità continu o un insieme discreto di oggetti in sottoprti uguli. Questo sucostrutto è importnte in sé e fondmentle per tutte le ltre interpretzioni ed è considerto utile per stilire il linguggio dtto. L interpretzione prte di un intero è puntulmente introdott molto presto nel curriculum scolstico: i mini hnno un comprensione primitiv del processo di frzionmento: regioni geometriche, insiemi di oggetti discreti, rett di numeri sono i modelli più comunemente usti per rppresentre le frzioni nell scuol. L interpretzione che us le regioni geometriche coinvolge un interpretzione dell nozione di re. Si è riscontrto che esiste un relzione fr il concetto di re dello studente e l su ilità d imprre i concetti legti lle frzioni. 56

5 Il modello dell rett numeric ggiunge un ulteriore ttriuto non presente nei modelli dell regione geometric o degli insiemi, in prticolre qundo viene utilizzto un segmento numerico di lunghezz mggiore dell unità. Uno dei compiti richiedev l loclizzzione sul segmento numerico di frzioni. Tle segmento er lungo o 2 unità e ciscun segmento unitrio er suddiviso su volt d un numero di segmentini uguli pri, o 2 volte il denomintore. I risultti degli studi ftti indicno che per per gli studenti ll inizio er più fcile ssocire l frzione un punto qundo l lunghezz er ed il numero dei segmentini ugugliv il denomintore. Lo studio suggerisce un difficoltà di percezione dell unità di riferimento. Qundo l lunghezz del segmento er 2 volte l unità di misur qusi il 25% del cmpione usò l intero segmento come unità; inoltre si osservò che /3 non veniv identificto come 2/6. ide imprecis e non flessiile di frzione In un ltro studio si è riscontrto che i rgzzi si comportno considerevolmente meglio con le quntità discrete rispetto quelle continue. Un possiile spiegzione è che l soluzione dei compiti con quntità continue richiede uno schem mentle en sviluppto, mentre per le quntità discrete i compiti possono essere risolti semplicemente ttrverso un prtizione. Poiché le strtegie uste dgli studenti per le quntità discrete sono così mrctmente differenti d quelle utilizzte per le quntità continue è rgionevole ssumere che le strutture cognitive ssocite ll risoluzione dei prolemi sui numeri rzionli reltivmente l modello discreto sono diverse d quelle ssocite ll risoluzione di prolemi reltivi l modello continuo. si riferisce d un prte frzionri di un singol quntità 57

6 Rpporti Il rpporto è un relzione che port con sé l nozione di grndezz reltiv, perciò è più corretto usrlo come un indice comprtivo piuttosto che come numero. Esprime cioè un relzione fr 2 quntità. Divisioni indicte ed elementi di un cmpo quoziente In tl cso il simolo indic l operzione di divisione indict. L considerzione di un numero rzionle come divisione coinvolge lmeno 2 livelli di sofisticzione:. 8/4 o 2/3 interpretti come divisione risultno nello stilimento di un equivlenz fr 8/4 e 2 e fr 2/3 e,(6). 2. 8/4 e 2/3 come elementi di un cmpo quoziente (fuori dll portt di uno studente delle medie) Opertori Tle sucostrutto impone sul numero rzionle interpretzione lgeric: è un funzione che un - trsform un figur geometric in un ltr simile volte più grnde - trsform un insieme in un ltro con volte elementi. Qundo si oper su quntità continue (per esempio lunghezze) si può pensre come d un llungtore o riduttore. Ogni segmento di lunghezz l su cui oper è llungto di volte e poi ridotto di un fttore. 58

7 Un interpretzione moltiplictore divisore è dt d nel cso in cui operi su un insieme discreto; il numero rzionle trsform un insieme di n elementi in un insieme di n elementi. L interpretzione dei rzionli come opertori risult prticolrmente utile nello studire l equivlenz di frzioni e l operzione di moltipliczione di frzioni. In tle interpretzione il numero rzionle è relizzto come un mcchin che d un input di lunghezz o crdinlità produce un output di lunghezz o crdinlità. Il prolem di trovre frzioni equivlenti d un frzione dt è quello di trovre un mcchin che oper l stess trsformzione input-output. L moltipliczione di frzioni coinvolge l composizione di mcchine. In conclusione: ll se c e il sucostrutto prtizione di un intero d cui discendono rpporto, opertore, quoziente e misur. Il rpporto divent silre per l equivlenz tr frzioni, l opertore per l moltipliczione, l misur per l ddizione. 59

8 Ogni frzione è un coppi ordint (, ) di numeri con. Dove prendimo e? Dipende dl livello scolstico e dll oiettivo che ci ponimo. Nell scuol elementre: (, ) NxN dove N è l insieme dei numeri nturli diversi d. Se voglimo usre le frzioni per costruire i numeri rzionli possimo ottenere solo i numeri rzionli ssoluti. Nell scuol medi e nel iennio delle superiori: (, ) ZxZ. Con quest scelt possimo costruire il cmpo ordinto dei rzionli. Se però ccettimo i denomintori negtivi sorgono compliczioni legte ll introduzione dell ordinmento; pertnto considerimo (, ) ZxZ +. Scrivimo l frzione (, ) nell form usule ZxZ +. Addizione: tle operzione viene introdott in un form un po complict: c d + c = d d (*) è il simolo per l ddizione tr frzioni (di seguito useremo +) + è il simolo dell ddizione in Z. Aimo cioè definito l ddizione tr frzioni usndo l ddizione già not e definit in Z. 6

9 - è un operzione intern ZxZ + perché il secondo memro di (*) è ncor un elemento di ZxZ + ; - è commuttiv - è ssocitiv - l elemento neutro : inftti: + + = = Ai rgzzi dà fstidio l definizione (*) e spesso ricorrono ll definizione più semplice c + c + = d + d (**) L definizione (**) è più semplice e in ccordo con qunto vviene nell moltipliczione. Present però degli inconvenienti: nell prtic rele: mettendo insieme due mezze torte non ne ottenimo un m due qurti con l (**) l frzione non è più elemento neutro perché + = + fremmo un psso indietro rispetto ll struttur dditiv di Z. 6

10 moltipliczione c c = d d (***) - indic l moltipliczione tr frzioni mentre le due moltipliczioni secondo memro sonor numeri interi reltivi. - + È intern ZxZ - Commuttiv - Associtiv - Distriutiv rispetto ll ddizione - l elemento neutro : = l definizione formle di moltipliczione è semplice m è difficile l su interpretzione. I modelli migliori forse sono quelli che fnno intervenire l re. 62

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12 Ordinmento: Si, ZxZ + > c d d > c l relzione è un relzione di ordine stretto e totle perché gode dell proprietà - ntiriflessiv - ntisimmetric - trnsitiv - tricotomi nell scuol viene introdott secondo 3 step:. confrontre frzioni con lo stesso denomintore: è mggiore quello con numertore mggiore 2. confrontre frzioni con lo stesso numertore: è mggiore quello con denomintore minore 3. confrontre frzioni venti numertore e denomintore diversi: è necessrio trsformrle in frzioni equivlenti e pplicre (serve ver introdotto il concetto di frzioni equivlenti e scegliere il denomintore d ssegnre lle frzioni, fcile se le frzioni hnno numertore e denomintori piccoli, m..) Alcuni concetti trdizionli d rivisitre nell mito dell ordinmento tr frzioni: 64

13 Concetto di Successivo: Definizione: Il numero è successivo di se. > 2. fr e non c è nessun ltro numero. nel mondo delle frzioni, dei numeri decimli e dei numeri rzionli nessun numero h successivo perché non è mi verifict 2. Concetto di numero pri: Definizione: Un numero si dice pri se è divisiile per 2. Molti insegnnti sono convinti che,6 è pri perché è divisiile per 2. Tutti i numeri decimli e tutte le frzioni sono divisiili per 2 e quindi sono pri?????? Questo concetto in un miente diverso d N perde di significto. In Z ogni elemento h opposto e in ZxZ +? Considerimo per esempio l frzione 4 3 : L cndidt nturle d esserle oppost è = 4. Se così fosse: Applicndo (*) si h: = 4 6 le frzioni 6 e sono diverse perché sono diverse le coppie ordinte (, 6) e (, ). 65

14 Quindi imo mplito Z con un insieme lgericmente più povero. È lecito spettrsi che ogni frzione con numertore diverso d zero mmett invers Se così fosse dovree risultre: = M pplicndo (***) risult: = 2 2 Come risolvere tle situzione? Per eliminre le due nomlie è necessrio compttre in un sol clsse tutte le frzioni che hnno il numertore ugule e e compttre in un ltr clsse tutte le frzioni che hnno il numertore ugule l denomintore. Non si possono però compttre solo questi due tipi di frzioni e le ltre no. frzioni equivlenti definizione: due frzioni e c si dicono equivlenti se d È un RDE in qunto gode delle proprietà: d = c. - riflessiv - simmetric - trnsitiv 66

15 Con quest RDE tutte le frzioni vengono compttte in clssi ed ogni frzione st in un e un sol clsse. Ogni clsse è formt d un frzione e d tutte quelle equivlenti in se ll definizione dt: In generle si introducono con diversi esempi: colorre rettngoli, confrontre segmenti =,,, =,,, =,,, ciscun clsse si dà il nome del cpostipite ovvero dell frzione con numertore e denomintore primi fr loro, m ogni frzione dell clsse si può prendere come rppresentnte. 67

16 Z = insieme dei numeri reltivi ZxZ + = insieme delle frzioni Q = insieme formto d clssi di equivlenz A cos ci serve? Se riuscimo definire in Q: - Un ddizione con le usuli proprietà - Un moltipliczione con le solite proprietà - Un ordinmento con le solite proprietà Q è un insieme numerico che chimeremo insieme dei numeri rzionli In Q è possiile introdurre l operzione di ddizione come in (*) solo che tle operzione deve essere definit tr le clssi di frzioni equivlenti: c d + c + = d d Quest operzione è: - intern Q - ssocitiv - commuttiv - l elemento neutro - ogni clsse (clsse neutr. che indicheremo con h un oppost. Inftti + = 2 = (Q, +) è un gruppo elino 68

17 In Q si introduce un moltipliczione esttmente come nell insieme delle frzioni: c c = d d - intern Q - ssocitiv - commuttiv - l elemento neutro che indicheremo con = = - ogni clsse con (Q, x) è un gruppo elino h un invers ed è l clsse. Inftti = (clsse neutr rispetto x). (Q, +) e (Q, x) sono collegte tr loro dll proprietà distriutiv dell moltipliczione rispetto ll ddizione. (Q, +, x) è cmpo (corpo commuttivo) In Q è possiile introdurre un ordinmento con l definizione precedente pplict lle clssi e non lle singole frzioni. c < d [ d] < [ c] tle ordinmento è stretto e totle. L ordinmento ci consente di prlre di numeri positivi e negtivi second che sino mggiori o minori di. Qundo >? 69

18 7 Deve essere: [ ] [ ] [ ] [ ] > > > L RDO è comptiile con l ddizione: se + > + > f e d c f e d c L RDO è comptiile con l moltipliczione: > > > f e d c f e f e d c e (Q, +, x) è un cmpo ordinto Q è denso: dti due numeri rzionli e esiste un numero rzionle c compreso tr e cioè tle che <c< o <c<. Bst considerre 2 +. È per questo motivo che non h senso prlre di successivo in Q Q è rchimedeo, cioè, dti > e in Q, esiste un numero nturle n tle che n >. Tutte le definizioni dte in Q sono en poste ovvero NON dipendono dl rppresentnte scelto. Le definizioni dte in Q sono stte dte per clssi di frzioni equivlenti, m noi imo sempre usto un rppresentnte dell clsse.

19 Può sorgere il sospetto che prendendo rppresentnti diversi dello stesso numero si ottengno risultti diversi. Esempio: Prendimo come rppresentnti di 2 numeri due cpostipiti: 4 3 e = prendimo ltri due rppresentnti: 6 4 e = se i risultti ottenuti fossero rppresentnti di clssi diverse l definizione dt di somm in Q sree ml post. M sono rppresentnti dell stess clsse. 7

20 Qunti sono i numeri rzionli? Esttmente qunti sono i numeri nturli e i numeri interi reltivi. L dimostrzione è dovut Cntor (845-98) le frzioni vengono visitte tutte seguendo le frecce scrtndo le frzioni che rppresentno un numero rzionle che si è già incontrto: