MathClub blu. Matematica. M. Rainotti D. Ciceri. Matematica. Mirella Rainotti Domenico Ciceri. Matematica. con CD-Rom. Composizione del corso

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1 MCLUB_lu_MAT_Lyout 6/05/ 6: Pgi mm MthClu lu Mtemtic Il corso Trttzioe di Alger, Proilità, Elemeti di iformtic, Geometri Schede Mtemtic e stori Modelli e reltà, percorso di pprofodimeto per imprre rgiore co i modelli mtemtici Esercizi grduti e orgizzti per rgometo preceduti d esercizi svolti e guidti Plestr per il recupero (co estesioe olie e su CD-Rom) Clu 5 cerchi, esercizi per l eccellez Iformth, schede per il lortorio che utilizzo i softwre Derive ed Excel O lie su I ZONA MATEMATICA per il docete: esercizi per l erogzioe e l correzioe utomtic di verifiche, modificili o creili co il softwre etutor per lo studete: esercizi per il recupero e il potezimeto co utocorrezioe Nelle Risorse We dedicte l volume: 0 lerig oject iterttivi Schede co lezioi iterttive relizzte i GeoGer su tutti gli rgometi di Geometri, ggiorte ulmete Esercizi per il recupero ggiorti ulmete Modelli per le prove INVALSI e OCSE-PISA MthClu lu Il CD-ROM Dtse di esercizi iterttivi per l utovlutzioe 6 schede su tutti gli rgometi di Geometri, co lezioi iterttive relizzte i GeoGer Filmti e imzioi co ote e suggerimeti per l utilizzo di GeoGer Guid itroduttiv ll uso dei softwre Derive, GeoGer e Cri 766 esercizi per il recupero Eglish for Mth: glossrio iligue itlio-iglese dei termii mtemtici e dei cocetti chive M. Riotti D. Ciceri Mirell Riotti Domeico Ciceri Composizioe del corso Altre opzioi di cquisto Alger + CD-Rom + Prove INVALSI Alger + CD-Rom Alger + CD-Rom Geometri + CD-Rom ISBN ISBN ISBN ISBN Per il docete Guid per l isegte + CD-Rom ISBN i er ic U m.c L o D B r -6 B D- 97 tti U c -0 o L + 8 L i HC -6 uo. r T tic 8 c m MA m 8-8 s e 7 m t 9 D m ce is Questo volume, sprovvisto del tllocio lto, è d cosiderrsi copi di sggio-cmpioe grtuito, fuori commercio (vedit e ltri tti di disposizioe vietti: rt. 7, c., L. 6/9). Fuori cmpo ppliczioe i.v.. (D.p.r. 6/0/7,. 6, rt., co, lett. d.) MATHCLUB BLU mtemtic + cd-rom ( elemeti idivisiili) prezzo di vedit l pulico 6,00 (defisclizzto 5,00) ISBN ISBN ISBN Mtemtic Mtemtic + CD-Rom + Prove INVALSI Mtemtic + CD-Rom Mtemtic + CD-Rom Mirell Riotti Domeico Ciceri MthClu lu Mtemtic co CD-Rom

2 Mirell Riotti Domeico Ciceri MthClu lu Mtemtic MthClu lu De Agostii Scuol S.p.A. - Novr

3 iteret: e-mil: Redttore resposile: Tecico resposile: Redzioe: Progetto grfico: Coperti: Impgizioe e prestmp: Stefo Gci Giluigi Rochetti Moic Mttei; Giov Sergio Crl Devoto Simo Coriol Bm, Vprio d Add (MI) Art Director: Ndi Mestri I coteuti dell sezioe Iformth soo cur del professor Domeico Ciceri. Le schede sull modellistic Modelli e reltà soo cur di Alerto Aoddolo e Giovi Giffi. Si rigrzi il professor Atoio Re per l collorzioe didttic prestt ell relizzzioe dell oper. Le illustrzioi i coperti e elle pgie di pertur delle uità soo stte relizzte d Vito Crt. Derive è u mrchio registrto dell Texs Istrumets Ic. Excel è u mrchio registrto dell Microsoft Corp. CEDAM Scuol è u mrchio registrto e cocesso i licez d Wolters Kluwer Itli s.r.l. De Agostii Scuol SpA. Proprietà letterri riservt 0 De Agostii Scuol SpA Novr ª edizioe: luglio 0 Prited i Itly Le fotogrfie di questo volume soo stte forite d De Agostii Editore Picture Lirry; istockphoto. Nel rispetto del DL 7/9 sull trsprez ell pulicità, le immgii escludoo ogi e qulsisi possiile itezioe o effetto promoziole verso i lettori. Tutti i diritti riservti. Nessu prte del mterile protetto d questo copyright potrà essere riprodott i lcu form sez l utorizzzioe scritt dell Editore. Fotocopie per uso persole del lettore possoo essere effettute ei limiti del 5% di ciscu volume dietro pgmeto ll SIAE del compeso previsto dll rt. 68, comm, dell legge prile 9.6. Le riproduzioi d uso differete d quello persole potro vveire, per u umero di pgie o superiore l 5% del presete volume, solo seguito di specific utorizzzioe rilscit d AIDRO Corso di Port Rom, 08 0 Milo e-mil: segreteri@idro.org; Evetuli seglzioi di errori, refusi, richieste di chirimeto/fuziometo dei supporti multimedili o spiegzioi sulle scelte operte dgli utori e dll Cs Editrice possoo essere ivite ll idirizzo di post elettroic degostiiscuol@degostiiscuol.it. Stmp: A.G.F. Itli - Peschier Borromeo (MI) Ristmp Ao MthClu lu De Agostii Scuol S.p.A. - Novr

4 INDICE Presetzioe VII Uità RADICALI. Rdicli ritmetici Codizioi di esistez Sego di u rdicle ritmetico. Proprietà ivritiv dei rdicli Semplificzioe di u rdicle Riduzioe di più rdicli llo stesso idice 6. Moltipliczioe e divisioe di rdicli ritmetici 7. Trsporto di u fttore sotto rdice 0 5. Trsporto di u fttore fuori rdice 6. Potez e rdice di u rdicle ritmetico 7. Somm lgeric di rdicli ritmetici 5 8. Espressioi co i rdicli ritmetici 7 9. Rziolizzzioe del deomitore di u frzioe 8 0. Rdicli doppi 0. Equzioi e disequzioi coefficieti irrzioli. Poteze co espoete rziole. APPROFONDIMENTO Rdice sim lgeric i 5 S.O.S. Sitesi 8 ESERCIZI Codizioi di esistez, Semplificzioe di u rdicle, 5 Riduzioe di più rdicli llo stesso idice, 9 Moltipliczioe di rdicli ritmetici, Divisioe di rdicli ritmetici, 5 TEST, 8 VERIFICA, 9 Trsporto di u fttore sotto rdice, 50 Trsporto di u fttore fuori rdice, 5 Potez di u rdicle ritmetico, 56 Rdice di u rdicle ritmetico, 58 Somm lgeric di rdicli ritmetici, 59 Espressioi co i rdicli ritmetici, 6 Rziolizzzioe del deomitore di u frzioe, 65 Rdicli doppi, 69 TEST, 70 Esercizi vri, 7 Equzioi coefficieti irrzioli, 7 Disequzioi coefficieti irrzioli, 75 Poteze co espoete rziole, 76 Rdice -sim lgeric i, 80 VERIFICA, 8 PALESTRA PER IL RECUPERO 8 CLUB 5 CERCHI 8 INFORMATH Semplificzioe di rdicli 85 Uità PIANO CARTESIANO E RETTA. Ascisse su u rett 88 Coordite crtesie 88. Distz tr due puti 89. Puto medio di u segmeto 90. Bricetro di u trigolo 9 5. Rett psste per l origie 9 Il coefficiete golre 9 Le isettrici dei qudrti 9 6. Equzioe geerle dell rett 9 7. Rett psste per u puto Rett psste per due puti Rette prllele Rette perpedicolri 99. Equzioe dell sse di u segmeto 0 MthClu lu De Agostii Scuol S.p.A. - Novr

5 INDICE IV. Distz di u puto d u rett 0. Fuzioi defiite trtti 0. Fuzioi co vlore ssoluto 0 5. Risoluzioe grfic di u disequzioe liere Disequzioi lieri i due icogite Sistemi di disequzioi lieri i due icogite 08 MODELLI E REALTÀ U prolem di rimlzi 0 S.O.S. Sitesi ESERCIZI 5 Il pio crtesio, 5 Equzioe dell rett, 9 Rett psste per uo o due puti, Rette prllele e rette perpedicolri, 5 Asse di u segmeto. Distz puto-rett, 8 Esercizi di riepilogo, 9 TEST, VERIFICA, Fuzioi trtti, Fuzioi co vlore ssoluto, Disequzioi lieri i due icogite, PALESTRA PER IL RECUPERO 5 CLUB 5 CERCHI 7 INFORMATH Equzioe esplicit di u rett 8 Rett per due puti 0 Prllelismo e perpedicolrità Le fuzioi lieri Uità SISTEMI LINEARI. Equzioi i due icogite 6 Clssificzioe delle equzioi i due icogite 7 Equzioi lieri itere i due icogite 7. Sistemi di due equzioi i due icogite 8. Sistemi determiti, impossiili, idetermiti 50. Metodi di risoluzioe dei sistemi lieri 5 Metodo di sostituzioe 5 Metodo del cofroto 5 Metodo di riduzioe (o di ddizioe e sottrzioe) Metodo di Crmer (o dei determiti) 5 5 Prolemi risoluili co sistemi di primo grdo Sistemi frtti Sistemi letterli Sistemi che si risolvoo co rtifici Sistemi di più equzioi i più icogite 6 9. APPROFONDIMENTO Le mtrici 6 Operzioi co le mtrici 67 MODELLI E REALTÀ Per u pugo di voti 70 S.O.S. Sitesi 7 ESERCIZI 76 Equzioi e sistemi i due icogite, 76 Sistemi determiti, impossiili, idetermiti, 77 Metodi di risoluzioe dei sistemi lieri, 80 Prolemi risoluili co sistemi di primo grdo, 87 TEST, 9 VERIFICA, 9 Itersezioe di due rette, 9 Iterpretzioe grfic dei sistemi lieri, 95 Sistemi frtti, 97 Sistemi letterli, 0 Sistemi risoluili co rtifici, 07 Sistemi di più equzioi i più icogite, 0 Mtrici, VERIFICA, PALESTRA PER IL RECUPERO 5 CLUB 5 CERCHI 7 INFORMATH Sistemi lieri 8 Iterpretzioe grfic dei sistemi lieri Uità EQUAZIONI DI SECONDO GRADO. Dl prolem ll equzioe 8. Risoluzioe di u equzioe di secodo grdo 8 Equzioi icomplete 8 Equzioi complete Formul risolutiv ridott. Equzioi frtte 6. Equzioi letterli 8 5. Relzioi tr coefficieti e rdici 0 6. Scomposizioe del triomio x + x + c 7. Regol di Crtesio 8. Equzioi prmetriche 6 9. Prolemi di secodo grdo 7 MATEMATICA E STORIA Sezioe ure di u segmeto 9 S.O.S. Sitesi 50 ESERCIZI 5 Equzioi di secodo grdo icomplete, 5 Equzioi di secodo grdo complete, 55 Equzioi MthClu lu De Agostii Scuol S.p.A. - Novr

6 INDICE frtte, 6 Equzioi letterli, 6 TEST, 69 VERIFICA, 70 Relzioi tr coefficieti e rdici, 7 Scomposizioe del triomio x + x + c, 77 Regol di Crtesio, 8 Equzioi prmetriche, 8 Prolemi di secodo grdo, 9 TEST, 97 VERIFICA, 97 PALESTRA PER IL RECUPERO 98 CLUB 5 CERCHI 99 INFORMATH Equzioi di secodo grdo 00 Uità 5 EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO. Equzioi di grdo 06. Equzioi iomie 06. Equzioi triomie 08. Equzioi iqudrtiche 0 5. Equzioi riduciili per scomposizioe 6. Equzioi reciproche 7. APPROFONDIMENTO Il teorem fodmetle dell lger 7 MODELLI E REALTÀ Coltivre il lievito di irr 8 S.O.S. Sitesi ESERCIZI Equzioi iomie, Equzioi triomie, 6 Equzioi iqudrtiche, 0 Equzioi riduciili per scomposizioe, 5 TEST, 7 Equzioi reciproche, 8 Esercizi vri, TEST, VERIFICA, PALESTRA PER IL RECUPERO 5 CLUB 5 CERCHI 6 INFORMATH Equzioi di grdo superiore l secodo 7 Uità 6 SISTEMI ALGEBRICI NON LINEARI. Sistemi di secodo grdo 5 Risoluzioe dei sistemi di secodo grdo: metodo di sostituzioe 5. Sistemi simmetrici 55 Sistemi simmetrici elemetri 55 Sistemi simmetrici di secodo grdo e di grdo superiore l secodo 56 Sistemi ricoduciili sistemi simmetrici 58. Prticolri sistemi di qurto grdo 59. Prolemi 6 S.O.S. Sitesi 65 ESERCIZI 67 Sistemi di secodo grdo, 67 Sistemi simmetrici, 7 Sistemi di grdo superiore l secodo, 86 Prolemi, 9 TEST, 0 VERIFICA, 0 PALESTRA PER IL RECUPERO 0 CLUB 5 CERCHI 05 INFORMATH Sistemi lgerici o lieri 06 Uità 7 PARABOLA E CIRCONFERENZA. Grfici di fuzioi di secodo grdo Studio delle fuzioi y x e y x. L prol come luogo geometrico. Studio dell fuzioe y x + x + c. Itersezioi di rette e prole 6 Itersezioi co gli ssi coorditi 8 5. Tgeti u prol per u puto ssegto 6. L circoferez 7. Le fuzioi circolri 5 L fuzioe seo 5 L fuzioe coseo 9 L fuzioe tgete Relzioe fodmetle 8. I trigoli rettgoli MODELLI E REALTÀ U visit i fric 5 S.O.S. Sitesi 9 ESERCIZI Studio dell fuzioe y x, Studio dell fuzioe y x + x + c, Itersezioi di rette e prole, 9 Tgeti u prol per u puto ssegto, 5 Esercizi vri sull prol, 5 TEST, 55 VERIFICA, 56, Circoferez, 57 Fuzioi circolri, 59 Risoluzioe dei trigoli rettgoli, 6 PALESTRA PER IL RECUPERO 6 CLUB 5 CERCHI 65 INFORMATH Fuzioi goiometriche 66 Grfico delle fuzioi goiometriche 68 V MthClu lu De Agostii Scuol S.p.A. - Novr

7 INDICE Uità 8 DISEQUAZIONI ALGEBRICHE. Itroduzioe 70. Disequzioi rzioli itere di secodo grdo 7. Uso dell prol elle disequzioi 7 Sego del triomio di secodo grdo 75. Disequzioi di grdo superiore l secodo Disequzioi frtte Sistemi di disequzioi i u icogit Equzioi co vlori ssoluti 8 8. Disequzioi co vlori ssoluti 8 9. Disequzioi letterli 8 S.O.S. Sitesi 85 ESERCIZI 88 Disequzioi lieri: u ripsso, 88 Disequzioi rzioli itere di secodo grdo, 89 Uso dell prol elle disequzioi, 9 Disequzioi di grdo superiore l secodo, 98 Disequzioi frtte, 500 Sistemi di disequzioi i u icogit, 50 VERIFICA, 509 Equzioi e disequzioi co vlori ssoluti, 50 Disequzioi letterli, 5 Prolemi risoluili co disequzioi, 55 TEST, 5 VERIFICA, 5 PALESTRA PER IL RECUPERO 5 CLUB 5 CERCHI 55 INFORMATH Disequzioi di secodo grdo risolte grficmete 56 Disequzioi di secodo grdo risolte lgericmete 58 Uità 9 DATI E PREVISIONI: PROBABILITÀ. Itroduzioe 5. Eveti certi, impossiili e csuli 5. Spzio delle proilità. Eveti 5. Defiizioe clssic di proilità 55 Proilità cotrri Proprietà dell eveto somm Eveti idipedeti e dipedeti. Teorem del prodotto Legge empiric del cso Altre defiizioi di proilità 5 Proilità frequetist 5 Proilità soggettiv 5 MATEMATICA E STORIA L scit dell teori dell proilità 5 MODELLI E REALTÀ Il cledrio di Orzio 55 S.O.S. Sitesi 58 ESERCIZI 59 Spzio delle proilità. Eveti, 59 Proilità clssic, 59 Proilità frequetist, 55 Proilità soggettiv, 55 TEST, 55 VERIFICA, 555 PALESTRA PER IL RECUPERO 556 CLUB 5 CERCHI 557 INFORMATH Simulzioe del lcio di due ddi 558 Uità 0 ELEMENTI DI INFORMATICA. Gli lgoritmi strutturti 56. Ricerc e sviluppo degli lgoritmi 568. Il prolem dell computilità 579 L defiizioe di lgoritmo 579 L mcchi di Turig 580 Fuzioi o computili 58 MATEMATICA E STORIA Ricord: il cucchiio o esiste. L itelligez rtificile d Turig Mtrix 58 ESERCIZI 58 Gli lgoritmi strutturti, 58 GEOMETRIA Uità POLIGONI EQUIVALENTI. Premess 588. Figure equiscompoiili (o equivleti) 588. Somm e differez tr poligoi 59. Poligoi equivleti 59 VI MthClu lu De Agostii Scuol S.p.A. - Novr

8 INDICE Prllelogrmmi equivleti 59 Equivlez tr trigolo e prllelogrmm 59 Equivlez tr trigolo e trpezio 59 Poligoi equivleti 59 Cso geerle Teoremi di Euclide e di Pitgor 595 MATEMATICA E STORIA Il teorem di Pitgor e l scit dell mtemtic strtt 597 MODELLI E REALTÀ U griglit i cmpg 598 S.O.S. Sitesi 60 ESERCIZI 60 Poligoi equivleti, 60 Teoremi di Euclide e di Pitgor, 607 TEST, 60 VERIFICA, 6 CD-ROM Poligoi equivleti I teorem di Euclide Teorem di Pitgor II Teorem di Euclide Uità TEORIA ELEMENTARE DELLA MISURA. Segmeti commesurili e icommesurili 6. Misur dei segmeti 66. Proprietà dell misur dei segmeti 68. Assiom dell cotiuità Rpporto tr segmeti Grdezze omogeee L clsse dei poligoi e l re 6 8. Formulrio 6 Teoremi di Pitgor e di Euclide Appliczioi del teorem di Pitgor 65 S.O.S. Sitesi 67 ESERCIZI 68 Segmeti commesurili e icommesurili, 68 Misur dei segmeti, 69 L clsse dei poligoi e l re, 6 TEST, 69 VERIFICA, 650 CLUB 5 CERCHI 65 CD-ROM Misur dei segmeti Are dei poligoi Clcolo di p Uità PROPORZIONALITÀ E CORRISPONDENZA DI TALETE. Proporziolità tr segmeti 65. Grdezze proporzioli 655. Corrispodez di Tlete 657. Teorem di Tlete Cosegueze del teorem di Tlete Medie e ricetro di u trigolo 66 S.O.S. Sitesi 66 ESERCIZI 665 Proporziolità e corrispodez di Tlete, 665 TEST, 667 VERIFICA, 667 Teorem di Tlete e sue cosegueze, 668 TEST, 67 VERIFICA, 67 CD-ROM Teorem di Tlete Appliczioi i trigoli Prtizioe di u segmeto Bricetro di u trigolo Uità SIMILITUDINE. Trigoli simili 676. Criteri di similitudie dei trigoli 676. Proprietà dei trigoli simili 679. Poligoi simili 680 MODELLI E REALTÀ Qulche coto dvti ll fotocopitrice Teoremi di Euclide e di Pitgor Secti e tgeti u circoferez Omotetie 685 Defiizioe di omoteti 686 Proprietà delle omotetie Composizioe di due omotetie 688 Composizioe di due omotetie co lo stesso cetro 688 Composizioe di due omotetie co cetri diversi 689 Omoteti di cetro O e rpporto h: tell rissutiv Similitudie Rpporto di similitudie 69 VII MthClu lu De Agostii Scuol S.p.A. - Novr

9 INDICE. Similitudii dirette e idirette 69 Similitudii dirette 69 Similitudii idirette 69 Similitudii: tell rissutiv 69. APPROFONDIMENTO Sezioe ure di u segmeto 695 Costruzioe dell sezioe ure di u segmeto co rig e compsso 695 MODELLI E REALTÀ Il lupo ico 696 S.O.S. Sitesi 699 ESERCIZI 700 Trigoli simili, 700 Omotetie, 709 TEST, 75 VERIFICA, 76 CLUB 5 CERCHI 77 CD-ROM Criteri di similitudie dei trigoli Secti e tgeti u circoferez Omoteti Omoteti e similitudie L sezioe ure Tell dei simoli mtemtici 79 VIII MthClu lu De Agostii Scuol S.p.A. - Novr

10 Presetzioe Mth Clu lu è u corso progettto e scritto teedo coto delle Idiczioi zioli per il quiqueio dei uovi licei (DPR 89, 5/0/00) e, ello specifico, per il uovo liceo scietifico e il uovo liceo scietifico delle scieze pplicte. Le Idiczioi zioli (scdite i due iei e 5 o) suddividoo gli oiettivi specifici di ppredimeto i quttro temi: Aritmetic e lger Geometri Relzioi e fuzioi Dti e previsioi I primi volumi del corso (Mth Clu lu,, e Mth Clu lu Geometri) propogoo gli rgometi reltivi l primo ieio mteedo u suddivisioe tr rgometi per il primo e per il secodo o co riferimeto ll prtic didttic più diffus. Nell Guid per l isegte soo specificte le competeze che lo studete dovree rggiugere ll fie del primo ieio, e per ogi competez quli soo le ilità e le coosceze coivolte e i quli Uità del corso soo riscotrili. Si è scelto ltresì di proporre u Uità sull Logic (che se o più citt espressmete elle Idiczioi) si per l su vlez formtiv, si per l vlez propedeutic llo studio dell Geometri. Le crtteristiche di Mth Clu lu Semplificzioe Nell esposizioe dell teori si è cercto di utilizzre u liguggio semplice e fcilmete ccessiile per gli studeti. Gli rgometi soo stti itrodotti ttrverso esempi i modo d redere più evidete e ituitiv l esposizioe successiv. Gli esercizi soo orgizzti co riferimeto i prgrfi dell teori e differeziti per tipologie, evitdo tecicismi ripetitivi o csistiche sterili (Idiczioi zioli, Mtemtic, Liee geerli e competeze). IX MthClu lu De Agostii Scuol S.p.A. - Novr

11 X PRESENTAZIONE Trttzioe di uovi rgometi el primo ieio Itroduzioe lle fuzioi goiometriche, collegdole ll equzioe di u circoferez, cosiderdo u puto che si muove sull circoferez ed esprimedo le sue coordite i fuzioe dell golo. Itroduzioe i vettori, presetti i Geometri qudo si ffroto le trslzioi. Itroduzioe lle mtrici e l clcolo mtricile, ffrotti ell Uità dedict i sistemi lieri. Collegmeti co l fisic Il corso forisce gli strumeti mtemtici di se per lo studio dei feomei fisici e propoe esercizi trtti dll fisic. Modello mtemtico e modellizzzioe A questo rgometo, più volte ricorrete elle Idiczioi, soo dedicte le schede, ricorreti i tutto il corso, ititolte Modelli e reltà, che e preseto diverse csistiche i form di dilogo fr due giovi studeti. Rgiore e dimostrre Tutt l impostzioe del corso è filizzt d iture lo studete impostre il rgiometo i modo mtemticmete corretto. Vegoo proposte d esempio: semplici ppliczioi del pricipio di iduzioe, schemtizzzioi sulle procedure opportue per impostre l risoluzioe dei prolemi lgerici e geometrici, l itroduzioe l cocetto di lgoritmo per l soluzioe dei prolemi. Dti e previsioi L trttzioe degli rgometi di sttistic e proilità previsti per il primo ieio viee ffrott i due specifiche Uità. Cooscez e uso degli strumeti iformtici Due Uità del corso preseto il cocetto di lgoritmo, l su rppresetzioe e u itroduzioe l cocetto di clcolilità, come previsto dlle Idiczioi zioli. Tutto il corso è corredto d u ricco pprto di schede dedicte si l lortorio di lger co utilizzo di Excel e Derive, si l lortorio di Geometri co uso di GeoGer, esercizi dimici e lezioi su CD-ROM i cui si visulizzo psso per psso le costruzioi geometriche e si itergisce co le figure. Mtemtic e stori Le ruriche Mtemtic e stori, distriuite elle Uità del corso, rccoto curiosità o eddoti mtemtici e cotestulizzo gli rgometi di mtemtic el cotesto storico i cui si soo sviluppti. Geometri Nel volume Mth Clu lu Geometri e ell sezioe di Geometri dei volumi e di Mth Clu lu Mtemtic, gli rgometi soo trttti d u puto di vist geometrico sitetico, lscido l trttzioe litic MthClu lu De Agostii Scuol S.p.A. - Novr

12 ell sezioe dedict ll Alger; il percorso di ppredimeto trccito dl mule è itegrto dl CD-ROM llegto l corso e dlle estesioi olie che, sfruttdo le crtteristiche del softwre GeoGer, offroo origili strumeti di lvoro, utili l docete el mometo dell spiegzioe e llo studete ello studio persole. CD-ROM Zo Mtemtic offlie, esercizi iterttivi per l utovlutzioe. Plestr per il recupero, esercizi svolti e guidti per ffrotre i puti critici dell teori. Eglish for Mth, glossrio iligue itlio-iglese dei termii chive e delle pricipli locuzioi utilizzte i Mtemtic. Guide itroduttive i softwre: Derive GeoGer (per Mth Clu lu Mtemtic) Cri (per Mth Clu lu Mtemtic) GEOMETRIA olie (per Mth Clu lu Mtemtic), lezioi ed esercitzioi iterttive di Geometri. Il sito we dedicto l corso Plestr per il recupero, ulteriori esercizi svolti e guidti per ffrotre i puti critici dell teori. 0 lerig oject iterttivi. Aggiormeti periodici reltivi ll Geometri. (Per il docete) Soluzioi di verifiche e test coteuti el volume crtceo. Zo Mtemtic Zo Mtemtic è il portle di De Agostii Scuol dedicto ll isegmeto e ppredimeto dell mtemtic, cui si può ccedere dll home pge del sito si direttmete si dll sched dedict questo corso (digitdoe il titolo o il codice ISBN). Dopo l uteticzioe è possiile ccedere u dtse di esercizi e l softwre etutor, progettto per l verific e l vlutzioe dell ppredimeto si i modlità docete si i modlità studete. Modlità docete: co il softwre etutor è possiile: modificre e crere verifiche per l clsse, modulri o di fie periodo; sommiistrrle ll clsse, si vi we si su formto Word stmpile; correggere utomticmete le verifiche stesse; moitorre lo stto di esecuzioe; scegliere e impostre i prmetri di vlutzioe (sitetici o litici); costruire u registro dell clsse. Modlità studete: lo studete h disposizioe u miete i cui: svolgere utoommete esercizi per il recupero e il potezimeto co utocorrezioe; svolgere le verifiche persolizzte ssegtegli dl docete (co pssword). PRESENTAZIONE XI MthClu lu De Agostii Scuol S.p.A. - Novr

13 PRESENTAZIONE Le pgie del corso TEORIA I pertur di Uità prerequisiti, oiettivi e competeze cosetoo di ffrotre cospevolmete i coteuti Nell colo mrgie del testo vegoo evideziti richimi sitetici ll teori espost (ttezioe), preciszioi e cocetti teorici di Uità precedeti (memo) Nell esposizioe dell teori soo evideziti defiizioi, ssiomi, teoremi e regole Gli esempi itroducoo gli rgometi i modo d redere più evidete e ituitiv l esposizioe successiv ESERCIZI E PROBLEMI Le pgie di esercizi soo orgizzte co riferimeto i titoli dei prgrfi dell teori Gli esercizi soo scditi i: - Cooscere i fodmetli - Esercizi svolti e guidti - Test - Verific U sterisco idic gli esercizi di mggiore complessità Le pgie di S.O.S. Sitesi ripropogoo i cocetti essezili dell teori prim di ffrotre gli esercizi XII MthClu lu De Agostii Scuol S.p.A. - Novr

14 PRESENTAZIONE SCHEDE E LOGHI Curiosità e riferimeti ll stori dell mtemtic Sputi di pprofodimeto teorico Quesiti ed esercizi rispost immedit l termie dei pricipli prgrfi di teori Esercizi per chi h difficoltà superre i puti critici dell teori, co estesioe olie sul sito Esercizi per il potezimeto e l eccellez, spesso trtti d gre di mtemtic Teori ed esercitzioi per studire utilizzdo il computer Visulizzzioe psso per psso delle costruzioi geometriche sul CD-ROM llegto i volumi Mth Clu lu Geometri e Mth Clu lu Mtemtic L mtemtic serve semplificre le cose complesse. Il modo che ci circod è iftti icrediilmete complesso; st pesre l moto dell Lu, ll form di u fogli, ll imprevediilità e ll evescez di u rcoleo, l sofisticto sistem visivo di u mosc. E ll complessità dell tur si ggiugoo le costruzioi e le ivezioi dell uomo: edifici che sfido l forz di grvità, sofistictissimi cogegi meccici, computer e ltri strumeti elettroici. L mtemtic forisce o solo il liguggio, m che il metodo per iterpretre i feomei fisici e chimici, per fre ordie ell complessità dell iologi e dell geologi, per iutrci migliorre e iovre l tecologi esistete. I molti csi si rggiuge questo fie relizzdo dei modelli del feomeo che si itede studire: si isolo gli spetti che si ritegoo fodmetli si idividuo le leggi che li lego tr loro e che e determio il comportmeto si cerc di trdurre queste leggi i liguggio mtemtico. Per questo scopo l mtemtic dispoe di u vocolrio ricchissimo: umeri, vriili, equzioi, poligoi, vettori e fuzioi soo solmete lcui dei vocoli su disposizioe. Il risultto di quest trduzioe è il modello mtemtico: u versioe pprossimt dell reltà, volutmete imprecis, m sufficietemete semplice d poter essere lizzt medite deduzioi logiche. I diloghi tr Ilri e Orzio, due rgzzi u po fuori dll ordirio, ci iuto cpire come fuzio quest modellizzzioe dell reltà. Ilri è ppssiot di mtemtic e riesce d pplicrl lle situzioi più disprte. Orzio preferisce l stori, m segue voletieri Ilri elle sue vveture itellettuli, zi spesso viee d lui lo sputo per u uovo prolem d studire. Le discussioi dei due mici prtoo sempre d u prolem cocreto, m spesso il rgiometo mtemtico li port porsi domde più strtte, iterrogrsi su questioi più teoriche: so ee che il cofie tr teori e ppliczioi o è mi etto, che ciò che ieri ci semrv troppo teorico o strtto potrà oggi iutrci risolvere u prolem cocretissimo. Come leggere i diloghi di Ilri e Orzio? Possiilmete co i mo crt e pe, per poter chirire trmite esempi o clcoli i pssggi che o vi covicoo. E mgri lvordo coppie, o piccoli gruppetti. M sempre teedo l mete pert: provte riflettere sulle domde che i due mici lscio sez rispost e, soprttutto, poetevee di uove. No import se o riuscirete rispodere molte di queste domde: il solo ftto di esservele poste vi vrà ftto imprre sull mtemtic più di quto possite immgire. XIII MthClu lu De Agostii Scuol S.p.A. - Novr

15 PRESENTAZIONE GEOMETRIA olie L estesioe digitle del liro, coteut el CD-ROM llegto l volume e periodicmete ggiort e rricchit ell pgi we dedict Mth Clu sul sito offre origili strumeti di lvoro, utili l docete el mometo dell spiegzioe e llo studete ello studio persole. GEOMETRIA olie preset vere e proprie lezioi iterttive di Geometri, offredo uovi sputi di riflessioe e uove occsioi di studio dell geometri, sfruttdo le possiilità didttiche offerte d GeoGer. Questo mterile complet il percorso di ppredimeto trccito dl liro di testo e e rede più efficce l compresioe. Evidezimo qui le pricipli crtteristiche. GeoGer L miete GeoGer si crtterizz, oltre che per l su semplicità d uso, per l ricchezz di strumeti deguti lle costruzioi geometriche, llo studio dell geometri litic e ll lisi mtemtic. Sul CD-ROM e sul sito dedicto l volume soo preseti spiegzioi e istruzioi prtiche sull utilizzo del softwre GeoGer. Euciti e figure Le lezioi iterttive ripredoo euciti e figure preseti el volume crtceo e possoo essere utilizzte dl docete lezioe utilizzdo u proiettore o u LIM, mteedo più ttiv l ttezioe dello studete durte l lezioe frotle. XIV Costruzioi geometriche Spiegzioe psso per psso delle costruzioi geometriche. Si può visulizzre ogi pssggio scorredo le vrie fsi i vti e ll idietro. L isegte, ricorredo ll impiego dei uovi strumeti tecologici, può proiettre le costruzioi e utilizzrle per le spiegzioi; lo studete può itergire co le figure e fre esperimeti di geometri che i modo utoomo. MthClu lu De Agostii Scuol S.p.A. - Novr

16 PRESENTAZIONE Aimzioi Le figure geometriche crete utilizzdo gli strumeti grfici possoo essere trsformte dimicmete sez che vego meo le proprietà che le defiiscoo. Cliccdo sul pulste i sso siistr elle schede che prevedoo u imzioe, vegoo visulizzte le trsformzioi dimiche delle figure metre cmi il vlore di u prmetro di costruzioe. Attività GEOMETRIA olie preset umerose ttività iterttive e propoe llo studete ulteriori esercizi per pprofodire le coosceze cquisite. Filmti I filmti riproducoo psso per psso tutte le fsi opertive ecessrie lle costruzioi geometriche co GeoGer. L utilizzo di questi strumeti cosete di studire le costruzioi reiterdo l proiezioe secodo le ecessità. Dl puto di vist didttico i processi di ppredimeto che si itedoo promuovere si rissumoo priciplmete elle tre zioi: Sperimetre ttrverso l costruzioe degli oggetti geometrici otteut pplicdo le proprietà che li defiiscoo. Verificre (o scoprire), dopo ver costruito u oggetto sull se di lcue proprietà, l presez di uove proprietà o previste m ormi evideti. Riflettere, cioè coettere le ituizioi e le ipotesi iizili co uovi ftti e coclusioi; dlle proprietà geerli ricooscere il prticolre e vicevers. Dl puto di vist metodologico si vuole dotre di uovi strumeti l ttività di studio persole e l tempo stesso fvorire mometi di ppredimeto collortivo. XV MthClu lu De Agostii Scuol S.p.A. - Novr

17 Uità RADICALI Prerequisiti Spere che cos si itede per umero rele Sper clcolre il vlore di espressioi lgeriche Oiettivi Cooscere le rdici ritmetiche -sime di u umero rele Sper operre co i rdicli ritmetici Sper defiire l potez espoete rziole di u umero rele Sper sviluppre espressioi lgeriche letterli (e o letterli) coteeti rdici -sime Competeze Utilizzre correttmete le teciche e le procedure del clcolo umerico Utilizzre correttmete le teciche e le procedure del clcolo letterle Dimostrre semplici formule lgeriche MthClu lu De Agostii Scuol S.p.A. - Novr

18 Uità RADICALI. Rdicli ritmetici DEFINIZIONE Dto u umero itero positivo, si chim rdice -sim ritmetic del umero rele o egtivo il umero rele o egtivo che, elevto, dà come risultto. Tle umero rele o egtivo si idic co: ATTENZIONE! 0 è priv di sigificto e, dll defiizioe, risult che. Quidi, se e soo umeri reli o egtivi, si h l equivlez: ( ) Il simolo si chim rdicle ritmetico, il umero rdicdo e il umero idice del rdicle. Ioltre:, che si scrive più semplicemete, si legge rdice qudrt di ; si legge rdice cuic di. Qudo, i u rdicle, il rdicdo h l form m, llor m si dice espoete del rdicdo. L operzioe co l qule si pss d u umero l umero si chim estrzioe di rdice -sim. ESEMPI 5 5 Poiché, risult e si legge l rdice quit di è ugule. 9 8 perché 9. perché 8. idice del rdicle sego di rdice rdicdo rdicle MEMO È importte osservre che: se è u umero positivo che è u umero positivo; se 0 llor perché. 8 Codizioi di esistez I se ll defiizioe, i rdicli ritmetici, si di idice pri si di idice dispri, devoo vere il rdicdo positivo o ullo. Qudo, el rdicdo, compioo lettere (che supporremo sempre rppresetre umeri reli), è ecessrio stilire per quli vlori ttriuiti esse il rdicdo risult positivo o ullo. L isieme di questi vlori si dice isieme di esistez, e si dicoo codizioi di esistez (C.E.) le codizioi che devoo essere rispettte dlle lettere perché i rdicli io sigificto. TEORIA MthClu lu De Agostii Scuol S.p.A. - Novr

19 . Rdicli ritmetici ESEMPI Determire le codizioi di esistez dei segueti rdicli ritmetici. TEORIA x Poiché e x, essedo poteze co espoete pri, soo sempre o egtivi, il rdicle esiste per ogi vlore di e di x. x Poiché 0 per ogi vlore di, il rdicle esiste per x 0. x y Poiché x 0 per ogi vlore di x, il rdicle esiste per y > 0, cioè per y >. Si osservi che per y il rdicdo perde sigificto perché si ull il deomitore. x + x Perché questo rdicle esist, deve essere x +. x 0 Risolvimo grficmete l disequzioe frtt: N(x) D(x) N(x) D(x) Si trov quidi che il rdicle esiste per x x>. Sego di u rdicle ritmetico Il rdicle esiste per ogi vlore, perché è sempre o egtivo. D ltr prte, per defiizioe, è quel umero che, elevto l qudrto, dà il rdicdo, cioè. Pertto, semreree ovvio porre: Tuttvi, quest ugugliz o sempre è ver. Iftti, per esempio, per è ver m o lo è per, perché ( ). Ricorddo che il vlore di ogi rdicle è, per defiizioe, u umero positivo o ullo, isog porre: se 0 se < 0 MthClu lu De Agostii Scuol S.p.A. - Novr

20 Uità RADICALI Per esempio: x se x 0 cioè x ( x) x x se x< 0 cioè x> Toreremo cor, el seguito, su questo rgometo.. Proprietà ivritiv dei rdicli Molto utile elle ppliczioi è l proprietà ivritiv, che possimo eucire el modo seguete. PROPRIETÀ INVARIANTIVA Il vlore di u rdicle ritmetico o cmi se si moltiplico si l idice dell rdice si l espoete del rdicdo per uo stesso umero p itero positivo: m p Dimostrzioe Per provre l ugugliz, st verificre che i due umeri reli o egtivi, p e mp m, elevti llo stesso espoete do risultti uguli. Elevimo duque ll potez p-esim i due memri dell ugugliz (). mp () memro m p ( ) ( ) m p m p m p ( ) per le proprietà delle poteze per defiizioe di rdice -sim ritmetic memro p mp p mp ( ) per defiizioe di rdice -sim ritmetic Poiché, elevdoli llo stesso espoete, i risultti soo uguli, possimo cocludere che i due umeri soo uguli. Per esempio: Semplificzioe di u rdicle Per l proprietà simmetric dell ugugliz, l () può essere lett che d destr siistr. Possimo llor ffermre che il vlore di u rdicle ritmetico o cmi se si dividoo si l idice del rdicle si l espoete del rdicdo per u loro divisore comue positivo. Ne segue che è possiile semplificre u rdicle dividedo l idice del rdicle e l espoete del rdicdo per il loro M.C.D. TEORIA MthClu lu De Agostii Scuol S.p.A. - Novr

21 . Proprietà ivritiv dei rdicli Per esempio: 9 vedo diviso l idice dell rdice e l espoete del rdicdo per x y x y ( 5x y ) 5x y co x 0 TEORIA x + x + x x( ) x( + ) 6 x ( + ) x ( + ) Se l idice del rdicle e l espoete del rdicdo o ho fttori i comue, il rdicle si dice irriduciile. Per esempio, soo irriduciili i rdicli: 7 perché l idice del rdicle e l espoete del rdicdo soo primi tr loro Ricordimo che, per defiizioe:. i rdicli ritmetici esistoo qudo i loro rdicdi soo umeri o egtivi;. i rdicli ritmetici, qudo esistoo, soo umeri o egtivi. Queste due circostze si devoo verificre si prim si dopo l semplificzioe. I prticolre, ei csi i cui compioo lettere ei rdicdi, occorre fre, di volt i volt, u discussioe, come verrà chirito egli esempi che seguoo. ATTENZIONE! + + perché + ( + ) 6 0x y o si può semplificre perché l espoete del coefficiete è. ESEMPI Semplificre i segueti rdicli ritmetici. 6 Il rdicle esiste per ogi vlore di e di, perché e soo due poteze di espoete pri. Poiché può quidi essere si positivo si egtivo, doimo scrivere: 6 6 se 0 ( ) se < 0 x x+ Il rdicle h sempre sigificto perché il rdicdo x x+ ( x ) è sempre o egtivo, ovvero risult ( x ) 0 per ogi x. Per pplicre l proprietà ivritiv, doimo distiguere due csi, i modo che, semplificzioe vveut, il rdicdo risulti sempre positivo o ullo. 5 MthClu lu De Agostii Scuol S.p.A. - Novr

22 Uità RADICALI cso x Si h x 0, quidi cso x < ( x ) x Si h x < 0, quidi x > 0. Poiché ( x ) ( x), si ottiee: Oppure, più rpidmete, possimo scrivere: dove x idic il vlore ssoluto di (x ) ( x ) x ( x ) x Teedo coto delle osservzioi dell esempio precedete, imo: se ( ) se < ATTENZIONE! È ecessrio riflettere ttetmete per evitre grvi e frequeti errori. Per esempio: o è ugule, m ; ( x y) x y m ( x y) x y 6 x xy+ 9y 6 ( x y) x y 5 6 ( 9 6+ ) ( ) ( + ) + Riduzioe di più rdicli llo stesso idice L proprietà ivritiv permette di trsformre due o più rdicli i ltrettti rdicli equivleti co lo stesso idice. Per ridurre più rdicli llo stesso idice, detto miimo comue idice, si procede el seguete modo:. si semplific, se possiile, ciscu rdicle;. si determi il m.c.m. degli idici;. si sseg come idice, ogi rdicle, il m.c.m. degli idici e si moltiplic l espoete di ogi rdicdo per il quoziete tr il m.c.m. e l idice del rdicle. ESEMPIO Ridurre llo stesso idice i rdicli,, suppoedo positivi tutti i rdicdi. Prim di tutto semplifichimo i rdicli. Si ottiee: Determiimo il m.c.m. degli idici: m.c.m. (, 6, 8). 6 TEORIA MthClu lu De Agostii Scuol S.p.A. - Novr

23 . Moltipliczioe e divisioe di rdicli ritmetici Assumedo come idice comue, otteimo i segueti rdicli equivleti quelli dti: TEORIA cioè: VERIFICA LAMPO Completre. ) Il simolo rppreset u umero rele qudo... ) si chim... ed è u umero... c) si chim... e deve essere u umero... Dire quli dei segueti simoli rppreseto umeri reli. ) 5 ) 0 c) d) 8 e) 8 f) 7 Dire per quli vlori di x i segueti rdicli ritmetici ho sigificto. 5 0 x x x xx ( ) x Completre. ) ( x ) se x... se x <... se x 0 ) x oppure... se x < 0 x... 5 y y (...) oppure ( ).... Moltipliczioe e divisioe di rdicli ritmetici Vedimo or come operre co i rdicli. TEOREMA Se e soo umeri reli o egtivi e è u umero itero positivo, llor: () ( π 0) () 7 MthClu lu De Agostii Scuol S.p.A. - Novr

24 Uità RADICALI Dimostrzioe Per provre l () è sufficiete dimostrre che, elevdo etrmi i memri ll potez sim, si ottegoo risultti uguli. Iftti, per l proprietà dell potez di u prodotto e per defiizioe di rdice sim, si h: ( ) ( ) ( ) e ( ) I risultti otteuti soo uguli, quidi l () è dimostrt. I modo logo è possiile dimostrre l (). È importte osservre che due rdicli si possoo moltiplicre o dividere tr loro solo se ho lo stesso idice. I cso cotrrio, è ecessrio ridurli prim llo stesso idice. Per esempio: co 0 5 Poiché gli idici soo diversi, per poter eseguire l moltipliczioe è ecessrio ridurre i rdicli llo stesso idice. Il m.c.m. tr gli idici è, quidi si h: : : : co 6 6 : 9 : > 0, > 0 Le uguglize () e () possoo che essere lette d destr siistr, così d otteere ltrettte proprietà utili elle ppliczioi. Proprietà distriutiv dell estrzioe di rdice -sim rispetto ll moltipliczioe L rdice -sim ritmetic del prodotto di fttori o egtivi è ugule l prodotto delle rdici -sime ritmetiche dei sigoli fttori. I simoli: Per esempio: TEORIA ATTENZIONE! Semplificdo 0 5 o è ecessrio mettere il vlore ssoluto perché, per le codizioi di esistez del rdicle, deve essere 0. Null sppimo ivece del sego di, per cui semplificdo 0 è ecessrio mettere il vlore ssoluto. MthClu lu De Agostii Scuol S.p.A. - Novr

25 . Moltipliczioe e divisioe di rdicli ritmetici ( x y) y ( x y) y x y y Proprietà distriutiv dell estrzioe di rdice -sim rispetto ll divisioe L rdice -sim ritmetic del quoziete di due umeri o egtivi e (co 0) è ugule l quoziete delle rdici -sime ritmetiche del dividedo e del divisore. I simoli: Per esempio: TEORIA x y x x ( x 0, y> 0) y y + + ( + ) + VERIFICA LAMPO Eseguire le operzioi tr rdicli dopo ver determito, se ecessrio, le codizioi di esistez. ) ) c) d) e) x x x x y y 6 x : y x : y x y Completre (x, y Œ ). ) ) x y c) x x + x (...) (...) Completre (,, x Œ ). x... )... ) x MthClu lu De Agostii Scuol S.p.A. - Novr

26 Uità RADICALI. Trsporto di u fttore sotto rdice Nelle espressioi co i rdicli, volte occorre eseguire delle moltipliczioi i cui uo dei fttori è u rdicle e l ltro o. Per esempio, per clcolre il prodotto 5, osservimo izitutto che, per defiizioe, ; quidi possimo scrivere: I geerle, se e soo umeri reli o egtivi, si h: e che: e co 0 I questi csi si dice che si è trsportto il fttore (o il fttore ) sotto il sego di rdice. Si può quidi eucire l seguete regol. REGOLA Trsporto di u fttore o egtivo sotto il sego di rdice U fttore o egtivo che moltiplic u rdicle può essere trsportto sotto rdice come fttore del rdicdo, purché si moltiplichi il suo espoete per l idice del rdicle. L operzioe di trsporto sotto il sego di rdice richiede u cert ttezioe qudo il fttore fuori rdice è egtivo oppure o se e coosce il sego. Per esempio, se si vuole eseguire l moltipliczioe: si deve teere presete che questo prodotto è egtivo, perché i fttori soo discordi. Perciò, per grtire l vlidità dell ugugliz, si dovrà scrivere: 8 D queste cosiderzioi segue che l operzioe di trsporto può essere effettut che qudo il fttore d trsportre sotto il sego di rdice è egtivo. Si può quidi eucire l seguete regol. ATTENZIONE! È u errore scrivere: ( ) 8 REGOLA Trsporto di u fttore egtivo sotto il sego di rdice Per trsportre sotto rdice u fttore egtivo che moltiplic u rdicle, si deve trsportre sotto rdice il vlore ssoluto del fttore, lscido il sego meo fuori dl rdicle. ESEMPI Portre sotto rdice il fttore estero ei segueti prodotti. Supporre,, x, y positivi TEORIA MthClu lu De Agostii Scuol S.p.A. - Novr

27 5. Trsporto di u fttore fuori rdice ( ) TEORIA 5 x y x y x y 6 x y x 6 ( + ) + ( + ) ( + ) + ( + )( + ) + + Portre sotto rdice il fttore estero ei segueti prodotti. 7 Doimo distiguere due csi, secod del sego di : se co 0 0 llor se < 0 llor ( ) 8 ( ) 5 Poiché è u umero egtivo, imo: ( ) 5 5 ( ) 9 Le codizioi di esistez soo x 0 x, cioè l espressioe esiste per x x>. Aimo due csi: se x x x llor x < 0, quidi: x x ( x+ )( x ) ( x ) x + x se x> llor x > 0, quidi: x x ( x+ )( x ) ( x ) x + x 5. Trsporto di u fttore fuori rdice Per l proprietà distriutiv dell estrzioe di rdice rispetto ll moltipliczioe e ll divisioe (prgrfo ), si h, se 0: perché. e co 0 MthClu lu De Agostii Scuol S.p.A. - Novr

28 Uità RADICALI Per esempio, suppoedo e umeri positivi, si h: I geerle, si può quidi eucire l seguete regol. REGOLA Trsporto fuori dl sego di rdice di u fttore o egtivo di espoete multiplo dell idice Dto u rdicle di idice, u fttore del rdicdo, co se o egtiv ed espoete m k (cioè multiplo di ), può essere trsportto fuori dl sego di rdice come fttore co ugul se ed espoete k (quoziete tr m e ). Cosiderimo or il rdicle co, cocordi. Utilizzdo le proprietà delle poteze, tle rdicle può essere scritto el modo seguete: 8 8 Si osservi che: è l espoete del fttore del rdicdo; è l idice del rdicle e che : co resto. Quidi:, quoziete tr e, è l espoete del fttore portto fuori rdice;, resto dell divisioe, è l espoete del fttore che rime sotto il sego di rdice. Si può quidi eucire l seguete regol, che geerlizz l precedete. REGOLA Trsporto fuori dl sego di rdice di u fttore o egtivo di espoete mggiore dell idice Dto u rdicle di idice, u fttore del rdicdo, co se o egtiv ed espoete m mggiore di (m o multiplo di ), può essere przilmete trsportto fuori dl sego di rdice el modo seguete: fuori rdice si scrive il fttore co espoete ugule l quoziete q dell divisioe m; sotto rdice rime il fttore co espoete ugule l resto r dell divisioe m. Per esempio, suppoedo,, x, y e z umeri reli o egtivi, si h: 5 7 x y x x y y xy xy MEMO Dto m co m > e m q + r, si h: m q+ r q q ( ) q q r r r r x y x y x y ( x y) xy z 8z z ( z) z x ( x y) ( z) co z 0 z 6 + x x x x x + + TEORIA MthClu lu De Agostii Scuol S.p.A. - Novr

29 5. Trsporto di u fttore fuori rdice Cosiderimo ifie l situzioe i cui o si coosce il sego dell se dell potez che rppreset il fttore d portre fuori dl sego di rdice. I tl cso, si deve procedere teedo presete che il rdicle dto e l espressioe otteut devoo vere lo stesso sego. TEORIA ESEMPI Portre fuori dl sego di rdice i fttori possiili ei segueti rdicli. 9x y Si osservi che, per l esistez del rdicle, deve essere y 0 e x qulsisi. Perciò risult: MEMO, se pri,se dispri x y x y x y se x 0 x y se x< 0 5( ) Osservimo che ( ) è sicurmete positivo o ullo, quidi il rdicle esiste per ogi. Tuttvi, ( ) può essere positivo o egtivo o ullo, quidi si h: ( ) 5 se > 5 0 se ( ) 5 se < + co e cocordi. Si h: ( + ) ( ) I prticolre: ( ) se > 0 se ( ) se < VERIFICA LAMPO Trsportre sotto il sego di rdice i fttori esteri. I + : ) 5... ) ( x+ y)... x + y c)... d)... 6 MthClu lu De Agostii Scuol S.p.A. - Novr

30 Uità RADICALI I : ) 5... )... c) d) ( ) 5 x x Portre fuori dl sego di rdice i fttori possiili. I + : ) x y 6... ) c) d) x + y ( ) x ( + y) x I : ) 8x 6x...( ) ) y y+ y Potez e rdice di u rdicle ritmetico REGOLA Se è u umero rele o egtivo e m,, p soo umeri iteri positivi, llor: p p () Per esempio: ( ) 9 ( ) m m (5) ( ) TEORIA MthClu lu De Agostii Scuol S.p.A. - Novr

31 7. Somm lgeric di rdicli ritmetici Le uguglize () e (5) possoo che essere lette d destr siistr, così d otteere ltrettte proprietà utili elle ppliczioi. TEORIA Rdice di u potez p p ( ) co 0 Per esempio: ( ) ( ) Rdice di idice m Per esempio: m m co 0 m 7. Somm lgeric di rdicli ritmetici I u espressioe del tipo: il umero rele è detto coefficiete del rdicle x. Due espressioi del tipo: x co x 0 x e x cox 0 i cui i rdicli ho lo stesso idice e lo stesso rdicdo e che differiscoo solo per il coefficiete, si dicoo rdicli simili. Per esempio, soo rdicli simili le espressioi: 5 co, cocordi I rdicli simili si trtto come i moomi simili e, pertto, voledo ddiziore lgericmete due o più rdicli simili, si devoo pplicre le stesse regole uste per l somm di moomi simili. REGOLA Somm lgeric di rdicli simili L somm lgeric di due o più rdicli simili è u rdicle simile i rdicli dti, che h come coefficiete l somm lgeric dei coefficieti. 5 MthClu lu De Agostii Scuol S.p.A. - Novr

32 Uità RADICALI ESEMPI Clcolre l somm lgeric dei segueti rdicli x+ x y x+ y x+ y co x 0 e y 0 x xy + xy co y 0 e x 0 Appretemete, i quest somm o compioo rdicli simili. Osservimo però che el secodo e el terzo rdicle si possoo portre fuori dll rdice lcui fttori. Si h quidi: x y x+ y x ( y+ y ) x ( y) x 5 5 x y x xy+ x y co x 0, y 0 x xy x xy + x y xy ( x x + x y) xy x( xy ) xy OSSERVAZIONE Se i rdicli o soo simili, l somm deve essere lscit idict. Perciò, per o icorrere i grvi errori, si deve teere presete che, i geerle: e Vicevers: e + + o è ugule o è ugule o è ugule o è ugule + + cioè, i rdicli i cui il rdicdo è u somm lgeric o soo sostituiili co due o più rdicli. I modo logo: qudo, i u rdicle, il rdicdo è u somm, o si può portre fuori dll rdice u ddedo. VERIFICA LAMPO Clcolre. ) ( 5) ) ( x) c) 6 TEORIA MthClu lu De Agostii Scuol S.p.A. - Novr