ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO INTEGRALE

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1 ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO INTEGRALE DOTT. G. DI MEGLIO Indice Introduzione 1 1. Uguglinz e Disuguglinze di Young 1 2. Clcolo dell Lunghezz dell Curv-Grfico di un Funzione di Clsse C Volume di un Solido di Rotzione 8 4. Mss di un Cilindro con Densità Vribile 13 Esercizi 15 Introduzione Le presenti note sono proposte come integrzione ed pprofondimento degli rgomenti trttti lezione. In prticolre, vengono qui proposte ppliczioni del Clcolo Integrle si questioni di interesse purmente mtemtico, si (e specilmente) questioni d interesse geometrico e fisico. Ho cercto di mntenere l trttzione per lo più sul pino euristico, poiché le giustificzioni rigorose di lcune formule presuppongono l conoscenz di rgomenti di Anlisi più vnzti (i quli sono usulmente esposti durnte le lezioni di Anlisi Mtemtic II e di Fisic Mtemtic). Più che concentrrsi sugli spetti purmente formli, il lettore frebbe bene comprendere ed metbolizzre le idee di bse, in vist delle loro ppliczioni in cmpo ingegneristico. 1. Uguglinz e Disuguglinze di Young Sino, A 0, b >, B > A ed f : [, b] [A, B] un funzione continu, strettmente crescente e suriettiv. Per noti ftti, l strett monotòni di f grntisce che f è pure invertibile e l funzione invers f 1 : [A, B] [, b] è continu e strettmente crescente. Le ipotesi poste su f grntiscono che entrmbe f ed f 1 sono integrbili nei rispettivi intervlli di definizione e ci proponimo di clcolre: (1) B A f 1 (y) d y. Notimo innnzitutto che l essere f biiettiv e crescente implic che f() A, f(b) B ed f(x) A 0, cosicché f è non negtiv in [, b]; nlogmente, bbimo f 1 (A), f 1 (B) b e dunque f 1 (y) 0, cosicché nche Dte: 29 gennio

2 2 DOTT. G. DI MEGLIO f 1 è non negtiv in [A, B]. Conseguentemente, i due integrli presenti nell (1) coincidono con l misur dei rettngoloidi R f ed R f 1 reltivi d f ed f 1, cioé: (2) (3) B A f(x) d x m (R f ) f 1 (y) d y m ( R f 1). Fcendo un disegno (cfr. figur), si not nche che l unione di R f con un copi R di R f 1 (ottenut d R f 1 medinte un simmetri ssile, che preserv l misur di Peno Jordn degli insiemi del pino) form un plurirettngolo P, precismente quello che h vertici nei punti di coordinte (, 0), (b, 0), (b, B), (0, B), (0, A) ed (, A); dto che R R f coincide col grfico di f, il qule è un insieme di misur null secondo Peno Jordn, per l proprietà dditiv dell misur bbimo: (4) m (R f ) + m ( R f 1) m(p ). L misur di P si clcol molto fcilmente: inftti, P si ottiene eliminndo dl rettngolo I [0, b] [0, B] il rettngolino J [0, [ [0, A[, sicché: (5) m(p ) m(i) m(j) b B A. Infine, mettendo insieme le (2), (3), (4) e (5), trovimo: (6) B A f 1 (y) d y b B A che risponde ll questione sollevt sopr. D ltr prte, notimo pure che l misur del plurirettngolo P è certmente più grnde dell misur del rettngolo di vertici (, A), (b, A), (b, B) ed (, B), cioè R [, b] [A, B],l qule vle m(r) (b ) (B A). Ne consegue l disuguglinz: (7) B A f 1 (y) d y (b ) (B A) (l qule potev esser ricvt nche dll (6), tenendo presente che b B A (b ) (B A)). L (6) e l (7) cessno d esser vlide qundo l funzione f non è suriettiv, poiché in tl cso l funzione invers f 1 non può esser definit su tutto il codominio [A, B] di f. Tuttvi si può rimedire questo inconveniente in mnier semplicissim: bst inftti consttre che gli estremi A e B nel secondo integrle ed l secondo membro possono essere sostituiti, rispettivmente, con f() e con f(b) senz lterre in lcun modo l dimostrzione dell uguglinz fornit sopr. Ftt tle sostituzione, l (6) e l (7) si mutno in: f(b) f() f(b) f() f 1 (y) d y b f(b) f() f 1 (y) d y (b ) (f(b) f()), le quli, differenz delle (6) e (7), hnno il pregio di conservre l loro vlidità nche nel cso in cui f non si suriettiv: inftti, nelle ipotesi poste, l f è dott di invers definit nell intervllo [f(), f(b)] [A, B] ed ivi continu e strettmente crescente, di modo che l integrle l primo membro h senso (e continu d esprimere l misur di un rettngoloide).

3 ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO INTEGRALE 3 D ltr prte, l essere 0 e f() A implic che f() A ed, nlogmente, l essere b > 0 ed f(b) B import b f(b) b B; d queste relzioni segue immeditmente che: b f(b) f() b B A. Mettendo insieme qunto ppen detto con l uguglinz determint in precedenz, possimo ffermre che in generle vle l relzione: l qule è più debole dell (6). f(b) f() f 1 (y) d y b B A, Possimo compendire qunto cquisito nell seguente proposizione: Uguglinz e Disuguglinze di Young Sino, A 0, b >, B > A ed f : [, b] [A, B]. Se f è continu e strettmente crescente in [, b] vlgono le seguenti relzioni: (uy) (dysup) (dyinf) f(b) f() f(b) f() f(b) f() f 1 (y) d y b f(b) f() f 1 (y) d y b B A f 1 (y) d y (b ) (f(b) f()), le quli sono, rispettivmente, dette uguglinz di Young e disuguglinze di Young 1 (superiore ed inferiore) per le funzioni crescenti. 2. Clcolo dell Lunghezz dell Curv-Grfico di un Funzione di Clsse C 1 Considerimo un funzione f : [, b] R che si derivbile ovunque in [, b] ed bbi derivt continu in [, b], finnco negli estremi dell intervllo. Digrmmto il grfico di f sul pino crtesino Oxy, ci proponimo di clcolre l lunghezz dell curv Γ grfico di f. 2 Intuitivmente, un modo sensto per determinre l lunghezz di tle curv sembr tentre di pprossimre Γ con curve elementri di cui sppimo vlutre l lunghezz, d esempio con poligonli 3 venti vertici sull curv, e cercre di migliorre sempre più tli pprossimzioni. L senstezz di tle intuizione discende dll nlogi con il cso dell misur dell lunghezz di un circonferenz, che può esser ftt pprossimndo l circonferenz con il perimetro di poligoni regolri in ess inscritti. 1 W. H. Young ( ), mtemtico inglese. 2 Qui stimo sfruttndo il senso comune del lettore. Inftti, non bbimo fornito lcun definizione di lunghezz di curve nel pino, né tntomeno bbimo proposto un definizione senst di curv. Ciò, rigore, ci impedisce di prlre di lunghezz di un curv e, mggior rgione, di usre formule per clcolrl. Questo spetto formle dell fccend verrà chirito durnte il corso di Anlisi II e, per or, chiedimo l lettore di ccontentrsi delle nozioni di curv e lunghezz che il proprio senso comune gli suggerisce. 3 Dovrebbe esser noto dll Geometri Elementre che un poligonle, o spezzt, è un curv ottenut giustpponendo un numero finito di segmenti venti due due un estremo in comune.

4 4 DOTT. G. DI MEGLIO Un buon modo per crere un poligonle Π inscritt nell curv Γ è il seguente: si fiss un decomposizione D { x 0 < x 1 < < x n 1 < x n b} di [, b] e si considerno i segmenti venti per estremi i punti su Γ individuti dlle scisse x 0,..., x n, cioè P 0 (x 0, f(x 0 )), P 1 (x 1, f(x 1 )),..., P n (x n, f(x n )). Inftti, i segmenti Π 1 : P 0 P 1, Π 2 : P 1 P 2,..., Π n : P n 1 P n hnno due due un estremo in comune e, perciò, individuno un poligonle. L lunghezz di ogni segmento Π k è clcolbile elementrmente come distnz che sepr i punti P k 1 e P k, cioé: lungh(π k ) (x k x k 1 ) 2 + ( f(x k ) f(x k 1 ) ) 2, e l lunghezz totle dell poligonle Π D è l somm delle lunghezz dei segmenti che l compongono, ossi: l D : lungh (Π D ) n lungh(π k ) k1 n k1 (x k x k 1 ) 2 + ( f(x k ) f(x k 1 ) ) 2. Non è difficile consttre che l lunghezz l D dell generic poligonle Π D è un numero positivo mggiore od ugule l numero (b ) 2 + ( f(b) f() ) 2 (che rppresent l lunghezz del segmento AB). Le ipotesi poste su f ci consentono di esprimere in un mnier più utile l quntità l D. Invero, il Teorem di Lgrnge ci ssicur che in ogni intervllino [x k 1, x k ] dell decomposizione D esiste lmeno un punto ξ k tle che: f(x k ) f(x k 1 ) x k x k 1 f (ξ k ) e ciò ci consente di sostituire l quntità f (ξ k ) (x k x k 1 ) l posto di f(x k ) f(x k 1 ) nell espressione di l D, ottenendo: l D n k1 n k1 (x k x k 1 ) 2 + ( f (ξ k ) ) 2 (xk x k 1 ) ( f (ξ k ) ) 2 (xk x k 1 ). L quntità terzo membro è un somm integrle di Riemnn reltiv ll funzione ϕ : [, b] [0, + [ definit ponendo ϕ(x) : 1 + ( f (x) ) 2, precismente è l somm integrle determint d D subordint ll scelt dei punti ξ 1,..., ξ n : l D σ D (ϕ; ξ 1,..., ξ n ). Poiché l funzione ϕ è un funzione continu in tutto [, b], ll infittirsi l decomposizione D l quntità σ D (ϕ; ξ 1,..., ξ n ) diviene sempre più prossim l numero rele positivo λ ϕ(x) d x (indipendentemente dll scelt dei punti ξ 1,..., ξ n ); ciò signific che, ll umentre dei vertici dell poligonle inscritt Π D, l lunghezz l D pprossim sempre più il numero: λ 1 + ( f (x) ) 2 d x,

5 ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO INTEGRALE 5 il qule può essere ssunto come vlore dell lunghezz dell curv Γ. Pertnto: (8) lungh (Γ) 1 + ( f (x) ) 2 d x. Osservzione 1 (Interpretzione Euristic dell (8)) L formul (8) che fornisce l lunghezz dell curv-grfico di un funzione di clsse C 1 può essere interprett come segue: L lunghezz dell curv-grfico di un funzione C 1 è l somm di infinite lunghezze elementri d l di infiniti segmenti infinitesimi, ognuno dei quli è l ipotenus di un tringolo rettngolo venti cteti di lunghezz d x e f (x) d x. Tle interpretzione è del tutto euristic. Esempio 1 (Lunghezz di un Ctenri) Considerimo l funzione f : [, b] R definit ponendo f(x) : k cosh x k. L curv-grfico Γ di f è dett ctenri e rppresent l configurzione di equilibrio, sotto l zione di un cmpo grvitzionle uniforme, di un filo pesnte fissto nei due estremi, rispettivmente nei punti di coordinte A (, k cosh k ) e B (b, k cosh b k ). Dto che il coseno iperbolico è un funzione derivbile con derivt continu in R, l f risult un funzione derivbile con derivt f (x) sinh x k continu fin negli estremi di [, b]; pertnto l lunghezz di Γ è clcolbile medinte l uso dell formul (8), l qule fornisce: lungh(γ) 1 + sinh 2 x cosh 2 x k d x cosh x k d x [ k sinh x k ] b k d x k sinh b k k sinh k in cui bbimo usto l relzione fondmentle dell trigonometri iperbolic, cioè cosh 2 x sinh 2 x 1. In molte ppliczioni è utile determinre relzioni estte o pprossimte tr l lunghezz dell curv l, le distnze orizzontle d e verticle h che seprno i punti di sospensione, e l costnte k (l qule è legt lle crtteristiche fisiche del filo sospeso, e.g. ll su densità linere).

6 6 DOTT. G. DI MEGLIO Dto che: d b h k cosh b k k cosh k sinh b sinh b + sinh d sinh b + l k sinh b k k sinh k sinh b cosh b + sinh d cosh b + per le formule di prostferesi iperboliche, bbimo: cosh b + l sinh d sinh b + h sinh d ed usndo nuovmente l relzione fondmentle ricvimo: l 2 h 2 4k 2 sinh 2 d l qule, prendendo le rdici e dividendo per d, si riscrive: sinh d d l2 h 2. d Notto che l 2 > h 2 + d 2 (perché l lunghezz dell curv Γ è mggiore dell lunghezz del segmento AB) e notto che l funzione ψ :]0, + [ R definit d: ψ(t) : sinh t t è strettmente crescente in ]0, + [ 4, possimo ffermre che, un volt note le tre quntità l, d ed h, è possibile determinre un unico vlore k per cui l si soddisftt. Esempio 2 (Lunghezz di un Arco di Circonferenz) Nel pino crtesino Oxy considerimo l circonferenz Γ di rggio r > 0 e centro (0, 0). Come noto, i punti di tle curv sono tutti e soli quelli le cui coordinte soddisfno l equzione x 2 + y 2 r 2. Fissimo un ngolo Ω del pino, delimitto dlle semirette uscenti dll origine ed 4 Inftti, si h: ψ t cosh t sinh t (t) t 2 (t tnh t) cosh t t 2, con cosh t t 2 > 0, dunque il segno di ψ (t) dipende dl segno di t tnh t; d ltr prte si h: ( ) 1 t tnh t 1 dunque t tnh t > 0 per t > 0. cosh 2 t sinh2 t cosh 2 t tnh 2 t > 0

7 ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO INTEGRALE 7 venti nomlie ϑ 1 < ϑ 2 comprese strettmente tr 0 e π: evidentemente, tle ngolo gice completmente ll interno del semipino delle ordinte positive e stcc su Γ un rco Γ ϑ1,ϑ 2 con estremi nei punti A (r cos ϑ 1, r sin ϑ 1 ) e B (r cos ϑ 2, r sin ϑ 2 ). Voglimo clcolre l lunghezz dell rco Γ ϑ1,ϑ 2. I punti dell rco Γ ϑ1,ϑ 2, cdendo nel semipino delle ordinte positive e nell strisci delimitt dlle rette verticli per A e B, sono llor crtterizzti dl soddisfre l equzione dell circonferenz e dlle ulteriori condizioni y > 0 ed r cos ϑ 2 x r cos ϑ 1. Sotto tli condizioni l equzione x 2 + y 2 r 2 è esplicitbile rispetto ll y: ess fornisce y r 2 x 2 ptto che x [r cos ϑ 2, r cos ϑ 1 ]. Ne consegue che un punto P (x, y) pprtiene ll rco Γ ϑ1,ϑ 2 se e solo se esso è un punto dell curv-grfico dell funzione f : [r cos ϑ 2, r cos ϑ 1 ] R definit ponendo: f(x) : r 2 x 2. Dto che il rdicndo è strettmente positivo nell intervllo di definizione, l f è derivbile con derivt f (x) x continu in [r cos ϑ r 2 x 2, r cos ϑ 2 1 ] e ciò rende possibile clcolre l lunghezz dell rco Γ ϑ1,ϑ 2 usndo l formul (8): r cos ϑ1 lungh(γ ϑ1,ϑ 2 ) 1 + x2 r cos ϑ 2 r 2 x 2 d x r cos ϑ1 r 2 r 2 x 2 d x r r r cos ϑ 2 r cos ϑ1 1 r cos ϑ 2 r cos ϑ1 1 ( x d x r )2 1/r r cos ϑ 2 1 ( x d x r )2 [ rccos x ] r cos ϑ1 r r(ϑ 2 ϑ 1 ), r cos ϑ 2 cosicché l lunghezz dell rco Γ ϑ1,ϑ 2 è ugule l prodotto dell mpiezz ϑ 2 ϑ 1 dell ngolo Ω per il rggio dell circonferenz. Notimo esplicitmente che, mndndo ϑ e contempornemente ϑ 2 π, l rco Γ ϑ1,ϑ 2 tende coincidere con l semicirconferenz Γ + che gice nel semipino delle ordinte positive. Pertnto possimo ritenere intuitivmente rgionevole l relzione: lungh(γ + ) lim lungh(γ ϑ1,ϑ 2 ) lim r(ϑ 2 ϑ 1 ) πr, ϑ 1 0 +, ϑ 2 π ϑ 1 0 +, ϑ 2 π l qule restituisce un risultto di Geometri Elementre, dl qule segue l not relzione: lungh(γ) 2 lungh(γ + ) 2πr. Esempio 3 (Lunghezz di un Arco di Prbol) Considerimo l funzione f : [, b] R definit ponendo: f(x) : αx 2, con α 0. Ci proponimo di clcolre l lunghezz dell curv-grfico Γ di f. Dto che l f è derivbile con derivt continu in [, b], possimo pplicre l (8):

8 8 DOTT. G. DI MEGLIO bbimo: lungh(γ) 2αxsinh t 1 2α 1 4α 1 4α 1 4α 1 4α 1 + (2αx)2 d x 1 2α settsinh(2αb) settsinh(2α) settsinh(2αb) settsinh(2α) cosh 2 t d t [t + cosh t sinh t]settsinh(2αb) settsinh(2α) [ t + sinh t 1 + sinh 2 t 1 + sinh 2 t cosh t d t ] settsinh(2αb) settsinh(2α) (settsinh(2αb) + 2αb 1 + (2αb) 2 settsinh(2α) 2α 1 + (2α) 2 ) 2αb (2αb) 2 log 2α (2α) + 1 (b 1 + (2αb) ) 1 + (2α) 2. Osservzione 2 Non sempre l integrle che figur in (8) è clcolbile elementrmente, nche nel cso di funzioni di ordinri mministrzione. 3. Volume di un Solido di Rotzione Considerimo un funzione f : [, b] [0, + [ continu. Digrmmto il grfico di f sul pino crtesino Oxy, ci proponimo di clcolre il volume del solido di rotzione S generto nello spzio Oxyz dll rotzione complet del rettngoloide di f ttorno ll sse delle scisse x. 5 Un modo sensto per determinre il volume di tle solido sembr consist nell pprossimre, dll interno e dll esterno, il solido S con solidi elementri di cui sppimo vlutre il volume. L senstezz di tle intuizione discende dll nlogi con il cso di figure pine: inftti, ben vedere, su un tle pprossimzione si bs l costruzione dell misur di Peno Jordn degli insiemi del pino. Un modo bbstnz nturle di pprossimre il solido S consiste nel suddividerne l ltezz, ossi l intervllo [, b], in intervllini e di considerre opportuni cilindretti che si formno tr i pini perpendicolri ll sse x pssnti per gli estremi degli intervllini. Fissimo llor un decomposizione D { x 0 < x 1 < x 2 < < x N 1 < x N b} e considerimo i cilindri (circolri retti) C n generti ruotndo ttorno ll sse delle scisse i rettngoli di bse il segmento dell sse corrispondente ll intervllo [x n 1, x n ] ed ltezz ugule d m n, essendo m n : min [xn 1,x n] f. Poiché per ogni indice n il rettngolo che gener C n è contenuto nel rettngoloide R f, è evidente che C n S per n 1, 2,..., N e d ciò segue che il pluricilindro C D corrispondente ll unione dei cilindretti C 1, C 2,..., C N è contenuto in S. 5 Qui stimo nuovmente sfruttndo il senso comune del lettore. Inftti, non bbimo fornito lcun definizione di volume per solidi spzili e ciò, rigore, ci impedisce di prlre di volume di S e, mggior rgione, di usre formule per clcolrlo. Questo spetto formle dell fccend verrà chirito durnte il corso di Anlisi II e, per or, chiedimo l lettore di ccontentrsi dell nozione di volume che il proprio senso comune gli consente di percepire.

9 ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO INTEGRALE 9 Un semplice clcolo mostr che il volume di ogni cilindretto C n è: vol(c n) π m 2 n (x n x n 1 ) cosicché il volume del pluricilindro inscritto C D è: N v D (f) π m 2 n (x n x n 1 ). n1 Anlogmente, considerimo i cilindri (circolri retti) C n generti ruotndo ttorno ll sse delle scisse i rettngoli di bse il segmento dell sse corrispondente ll intervllo [x n 1, x n ] ed ltezz ugule d m n, essendo M n : mx [xn 1,x n] f. Poiché l unione dei rettngoli or detti contiene il rettngoloide R f, è evidente che il pluricilindro C D, corrispondente ll unione dei cilindretti C 1, C 2,..., C N contiene S. Un semplice clcolo mostr che il volume di ogni cilindretto C n è: vol(c n) π M 2 n (x n x n 1 ) cosicché il volume del pluricilindro circoscritto C D è: N V D (f) π Mn 2 (x n x n 1 ). n1 Evidentemente bbimo v D (f) V D (f) e però si può dire di più, cioé che i due insiemi numerici: H {v D (f), D decomposizione di [, b]} K {V D (f), D decomposizione di [, b]} sono seprti e perciò hnno sup H inf K. Sempre in nlogi col cso bidimensionle, sremmo tentti di chimre volume di S l unico numero seprtore dei due insiemi H e K, qulor esso esist. Mostrimo che ciò è effettivmente possibile, poiché le ipotesi ftte su f ci consentono di ffermre che senz dubbio le clssi H e K hnno un unico numero seprtore. Fisst un decomposizione D, considerimo le quntità v D (f) e V D (f). Poiché f è non negtiv in [, b] e π > 0, per ogni indice n bbimo: ( ) 2 π m 2 n π min f [x n 1,x n] ossi: π min f 2 [x n 1,x n] min π f 2 [x n 1,x n] ( π Mn 2 π mx f [x n 1,x n] π mx f 2 [x n 1,x n] mx [x n 1,x n] π f 2 π m 2 n π M 2 n min g [x n 1,x n] mx g, [x n 1,x n] con g : [, b] [0, + [ definit ponendo g(x) : πf 2 (x); d ciò segue che le quntità v D (f) e V D (f) coincidono, rispettivmente, con le somme di Riemnn ) 2

10 10 DOTT. G. DI MEGLIO inferiore e superiore reltive ll funzione g determinte dll decomposizione D, cioé che: v D (f) s D (g) V D (f) S D (g). Conseguentemente bbimo: H {s D (g), D decomposizione di [, b]} K {S D (g), D decomposizione di [, b]} e, dto che g è evidentemente continu in [, b], dll teori dell integrle di Riemnn consegue che tli due insiemi hnno effettivmente un unico numero seprtore, cioè il numero: g(x) d x π f 2 (x) d x. Pertnto, possimo ritenere vlid l formul: (9) vol(s) π f 2 (x) d x. Un buon motivo per ritenere corrett l (9) è che ess restituisce risultti già noti dll Geometri Elementre. Per lumeggire le rgioni di tle ffermzione proponimo lcuni esempi. Esempio 4 (Volume di un Cilindro Circolre Retto) Considerimo l funzione f : [0, h] [0, + [ definit ponendo f(x) : r (con r, h > 0) e clcolimo il volume del solido C generto dll rotzione ttorno ll sse delle scisse del rettngoloide R f. Usndo l (9) trovimo: vol(c) π h 0 πr 2 [x] h 0 πr 2 h, r 2 d x e ciò concord con le formule dell Geometri Elementre, in qunto C è un cilindro circolre retto con ltezz h e rggio di bse r. Esempio 5 (Volume di un Tronco di Cono Circolre Retto) Considerimo l funzione f : [0, h] [0, + [ definit ponendo: f(x) : R r h x + r

11 ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO INTEGRALE 11 (con h, r, R > 0 ed r < R) e clcolimo il volume del solido T ottenuto ruotndo il rettngoloide R f ttorno ll sse delle scisse. Usndo l (9) trovimo: vol(t) π π π π 3 π 3 h 0 ( ) 2 R r h x + r d x h ( R r R r 0 h h [ ( ) ] 3 h 1 R r 3 h x + r 0 [ (R ) ] 3 r h h + r r 3 h R r h R r h R r h R r (R3 r 3 ) π 3 h(r2 rr + r 2 ). ) 2 x + r d x Anche questo risultto concord con le formule dell Geometri Elementre, in qunto T è un tronco di cono circolre retto di ltezz h, con bse minore di rggio r e bse mggiore con rggio R. In prticolre, prendendo r 0, dll precedente si tre l not formul per il volume del cono circolre retto con ltezz h e bse di rggio R, cioè: vol(t) π 3 hr2. Esempio 6 (Volume di un Sfer) Clcolimo il volume del solido S che si ottiene fcendo ruotre intorno ll sse delle scisse il rettngoloide reltivo ll funzione f : [ r, r] [0, + [ definit ponendo f(x) : r 2 x 2 (con r > 0). Per l (9) bbimo: r vol(s) π r ( r π ( π (r 2 x 2 ) d x r 2 d x r r r r 2 [x] r r 1 3 [x3 ] r r π (2r 3 23 ) r3 4 3 πr3, ) x 2 d x ) e ciò concord con l not formul dell Geometri Elementre, in qunto S è l sfer di centro O e rggio r dello spzio Oxyz. Esempio 7 (Volume di un Ellissoide di Rotzione) Considermo l funzione f : [, ] [0, + [ definit ponendo: f(x) b 2 x 2.

12 12 DOTT. G. DI MEGLIO Il volume del solido di rotzione E ottenuto fcendo ruotre R f ttorno ll sse delle scisse è dto d: b 2 vol(e) π 2 (2 x 2 ) d x [ π b2 2 2 x 1 ] 3 x3 π (2 b ) πb2. Fcendo un disegno si vede che il solido E è un ellissoide di rotzione, con centro nell origine del sistem di riferimento Oxyz e semissi di lunghezz, rispettivmente,, b e b. Osservzione 3 Notimo esplicitmente che l integrndo π f 2 (x) rppresent l re dell sezione S x del solido S determint dl pino perpendicolre ll sse delle scisse condotto per il punto di sciss x [, b] (inftti, tle sezione è un cerchio di rggio f(x)). Conseguentemente, l formul (9) può essere riscritt come: (10) vol(s) re (S x ) d x, ed in tle form ess vle nche per solidi sensti 6 che non sono di rotzione. Inftti, l formul (10) fferm che per conoscere il volume di un solido sensto S bst conoscere l funzione x A(x) re(s x ), che descrive le ree di tutte le sue sezioni determinte dl fscio di pini perpendicolri ll sse delle scisse, ed integrrl nell intervllo su cui ess è definit, cioè dll sciss del primo pino del fscio che incontr S fino ll sciss b dell ultimo pino del fscio che incontr S. All luce dei risultti del Clcolo Integrle, l formul (10) non è poi così sorprendente. Inftti, considerimo un figur pin F che si costituit di punti compresi tr i grfici di due funzioni f, g : [, b] R continue e tli che f(x) g(x). L re (o, per dirl correttmente, l misur di Peno Jordn) di F si clcol semplicemente fcendo l differenz tr gli integrli di g ed f estesi d [, b], ossi: re (F) g(x) d x f(x) d x, e tle formul può, per proprietà distributiv, essere riscritt come segue: ( ) re (F) g(x) f(x) d x. L integrndo g(x) f(x) l secondo membro è l lunghezz del segmento F x che l rett perpendicolre ll sse delle scisse condott per x [, b] stcc sull figur F, perciò possimo scrivere: (11) re (F) lungh (F x ) d x, 6 Così come ci sono insiemi del pino i quli non è possibile ssegnre un re (poiché non misurbili secondo Peno Jordn, d esempio), così esistono insiemi dello spzio cui non è possibile ssegnre un volume. Qui e nel seguito ci limitimo considerre dei solidi sensti, che sino limitti ed i quli si poss ssegnre (nche intuitivmente) un volume.

13 ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO INTEGRALE 13 in complet nlogi con l (10) (seppure con un dimensione in meno ). Osservzione 4 (Interpretzione Euristic delle Formule (10) e (11)) L formul (10) che fornisce il volume come integrle di un re può essere interprett come segue: Il volume del solido S è dto dll somm dei volumi elementri d V re (S x ) d x di infiniti cilindri infinitesimi, ognuno dei quli vente bse con re A(x) re(s x ) ed ltezz d x ; nlogmente, l formul (11) che fornisce l re come integrle di un lunghezz può essere interprett come segue: L re dell figur F è dt dll somm delle ree elementri d A lungh (F x ) d x di infiniti rettngoli infinitesimi, ognuno dei quli vente bse con lunghezz l(x) lungh(f x ) ed ltezz d x. Tli interpretzioni, seppure intuitive ed utilissime per semplificre molti clcoli nelle ppliczioni, sono del tutto euristiche e non si possono inscrivere in un qudro teorico elementre: pertnto, esse non trovno posto nell Teori dell Integrzione che viene propost nei corsi di Anlisi. Osservzione 5 Notimo che le (10) e (11) forniscono un giustificzione del cosiddetto Principio di Cvlieri sull equiestensione di solidi e di figure pine, il qule fferm che: (1) due solidi S ed S hnno ugule volume se e solo se ogni pino pprtenente d un fissto fscio di pini prlleli che incontr S ed S stcc, su ognuno dei due solidi, sezioni venti l stess re; (2) due figure pine F ed F hnno ugule re se e solo se ogni rett pprtenente d un fissto fscio di rette prllele che incontr F ed F stcc, su ognun delle due figure, sezioni venti l stess lunghezz. 4. Mss di un Cilindro con Densità Vribile Considerimo un cilindro circolre retto C vente ltezz h e rggio di bse r, costituito d un mterile omogeneo vente densità volumic costnte ρ > 0. Scelto opportunmente un sistem di riferimento Oxyz dello spzio, il solido C può essere pensto come generto dll rotzione rispetto ll sse delle scisse del rettngoloide reltivo ll funzione f : [0, h] [0, + [ definit ponendo f(x) : r. Visto che l densità volumic esprime il rpporto tr mss e volume, è evidente che l mss m(c) può essere clcolt come prodotto: (12) m(c) ρ vol(c). In molte ppliczioni csi reli, l densità ρ del mterile costituente un certo solido può conservre un minimo di vribilità (dovut fttori fisici o cust dll uso di mterili non del tutto omogenei). Ad esempio, se il solido C fosse un cmpione di suolo derivnte d un prov di crotggio, strtificzioni di mterili diversi potrebbero corrispondere densità

14 14 DOTT. G. DI MEGLIO diverse: in tl cso, l densità ρ del mterile costituente il cilindro non risult costnte e, nzi, dipende dll ltezz dello strto dell crot che stimo nlizzndo. Pertnto, possimo porci il problem di clcolre l mss di un cilindro costituito d mterile non omogeneo; in prticolre, di un cilindro costituito d mterile vente densità vribile in funzione dell sol ltezz. 7 In tl cso, come notto più sopr, il cilindro può essere pensto come ottenuto ruotndo il rettngoloide reltivo ll funzione f(x) : r definit in [0, h] e l densità vribile si può esprimere ttrverso un funzione ρ : [0, h] [0, + [. Sull funzione ρ fremo, per comodità di clcolo, l ipotesi che ess si un funzione continu. 8 Per clcolre l mss del cilindro C procedimo come l solito, cioè pprossimndo con un po di buon senso. Fisst un decomposizione D {0 x 0 < x 1 < < x n 1 < x n b}, suddividimo il cilindro C in n cilindretti C 1,..., C n, sezionndo C con pini prlleli lle bsi pssnti per i punti x k D. Se l ltezz dei cilindretti è sufficientemente piccol, l densità volumic in ognuno di essi è pressoché costnte e si può pprossimre con un qulsisi vlore ssunto dll funzione ρ in un fissto punto dell intervllo [x k 1, x k ]. Detto ξ k un qulsisi punto di [x k 1, x k ], l mss di C k si può clcolre usndo l (12), cioè moltiplicndo ρ(ξ k ) per il volume di C k : cosicché: m(c k ) ρ(ξ k ) vol(c k ) m(c) ρ(ξ k ) πr 2 (x k x k 1 ), n m(c k ) k1 n πr 2 ρ(ξ k )(x k x k 1 ). k1 Dett µ : [0, h] [0, + [ l funzione che ssegn µ(x) : πr 2 ρ(x), l precedente si può riscrivere come: n m(c) µ(ξ k )(x k x k 1 ) σ D (µ; ξ 1,..., ξ n ), k1 perciò l mss di C è un quntità pprossimbile con l somm di Riemnn σ D (µ; ξ 1,..., ξ n ), reltiv ll funzione continu µ(x) : πr 2 ρ(x) rispetto ll decomposizione D e subordint ll scelt dei punti ξ 1,..., ξ n. Per definizione di integrle, ll infittirsi dell decomposizione D le somme σ D (µ; ξ 1,..., ξ n ) diventno prossime l numero: h 0 µ(x) d x h 0 πr 2 ρ(x) d x, ed inttuitivmente possimo identificre l mss del cilindro C proprio con tle numero. Pertnto, l mss di C è fornit dll formul: h (13) m(c) πr 2 ρ(x) d x, 7 Ovvimente, ltre situzioni sono possibili; m qui sceglimo di limitrci d un cso molto semplice. 8 Tle ssunzione è bbstnz restrittiv, in qunto il mterile costituente il cilindro potrebbe essere molto disomogeneo : d esempio, in un crot del tipo detto in precedenz, uno stto di terriccio potrebbe essere sovrpposto d uno strto di rgill comptt ed, in tl cso, l funzione densità vrebbe un discontinuità di slto nel pssggio tr uno strto e l ltro. 0

15 ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO INTEGRALE 15 l qule restituisce l (12) in cso di densità costnte. Osservzione 6 (Interpretzione Euristic dell (13)) Ricordndo le notzioni del prgrfo precedente, chimimo C x l sezione di C determint d un pino perpendicolre ll sse delle scisse pssnte per il punto di sciss x [0, h]. Visto che C x è un cerchio di rggio r, l formul (13) può essere riscritt: m(c) h 0 h 0 ρ(x) πr 2 d x ρ(x) re(c x ) d x e tle uguglinz può essere interprett come segue: L mss di un cilindro formto d mterile di densità vribile in funzione dell ltezz è l somm delle msse elementri d m ρ(x) re(c x ) d x di infiniti cilindri infinitesimi, ognuno dei quli h bse con re(c x ), ltezz d x e densità ρ(x). Osservzione 7 (Generlizzzione dell (13)) L interpretzione euristic ppen fornit ci consente di intuire che l formul (13) può essere generlizzt solidi di rotzione qulsisi. Invero, se S è il solido di rotzione ottenuto ruotndo il rettngoloide di f : [, b] [0, + [ e se il mterile che costituisce S h densità ρ : [, b] [0, + [ dipendente unicmente dll ltezz, l mss totle di S può essere ottenut sommndo le infinite msse elementri d m di cilindri infinitesimi venti bse con re(s x ) πf 2 (x), ltezz d x e densità ρ(x), ossi: (14) m(s) π ρ(x) S x d x ρ(x)f 2 (x) d x. Esercizi Esercizio 1 Modificre l formul (9) in modo d riuscire clcolre il volume del solido ottenuto ruotndo il rettngoloide R f di un qulsisi ngolo ϑ ]0, 2π] ttorno ll sse delle scisse. Esercizio 2. Usndo un rgionmento euristico si trovi un motivzione per l formul: per(s) 2π f(x) 1 + (f (x)) 2 d x che restituisce l re lterle del solido di rotzione S ottenuto ruotndo il rettngoloide R f di un funzione di clsse C 1 in [, b]. b. Clcolre l re lterle dei solidi di rotzione elementri (cilindro, tronco di cono, cono e sfer) e confrontre i risultti ottenuti con le formule dell Geometri Elementre.

16 16 DOTT. G. DI MEGLIO c. Come si deve modificre l formul precedente per clcolre l superficie lterle del solido ottenuto ruotndo R f ttorno ll sse delle scisse di un qulsisi ngolo ϑ ]0, 2π]? Esercizio 3. Considert l funzione f h : [1, h] [0, + [ (con h > 1) definit ponendo f h (x) : 1/x, clcolre il volume del solido di rotzione S h ottenuto ruotndo R f ttorno ll sse delle scisse. b. Posto, per ogni h ]1, + [, v(h) : vol(s h ) ed s(h) : per(s h ), clcolre i limiti: lim v(h) e lim s(h). h + h + Per clcolre il secondo limite si consigli di minorre opportunmente l integrle che fornisce s(h) ed usre il Teorem del Confronto. c. Si S il solido ottenuto ruotndo ttorno ll sse delle scisse il rettngoloide (non limitto!) sotteso l grfico dell funzione f : [1, + [ [0, + [ definit ponendo f(x) : 1/x. È possibile ssegnre intuitivmente d S un volume ed un re lterle? Se sì, quli? 9 Esercizio 4 Un sfer di legno vente rggio R > 0 viene fort, lungo un dimetro, con un trpno vente punt di dimetro d > 0. Clcolre il volume del solido ottenuto. Esercizio 5 Sino > 0, f : [, ] [0, + [ un funzione pri, di clsse C 1 in [, ], tle che f( ) 0 f(). Detto S il solido di rotzione che si ottiene ruotndo il rettngoloide R f ttorno ll sse delle scisse, possimo definire le tre misure geometriche: vol(s) π per(s) 2π sec(s) 2 f 2 (x) d x, f(x) 1 + (f (x)) 2 d x, f(x) d x le quli restituiscono, rispettivmente, il volume di S, l re lterle di S e l re delle sezioni di S determinte d pini che contengono l sse di rotzione.. Dimostrre che vle l disuguglinz: per ogni t [0, π]. per(s) t sec(s) 0 b. Usre l relzione: per 3 (S) 36π vol 2 (S), 9 Il solido S venne scoperto d G. B. Torricelli e, viste le sue prdossli proprietà, l su dignità di oggetto mtemtico venne mess in dubbio per lungo tempo.

17 ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO INTEGRALE 17 dett disuguglinz isoperimetric 10, per dimostrre che, per ogni t [0, π], esiste un costnte c c(t) 0 tle che: (per(s) t sec(s)) 3 c vol 2 (S). Guglielmo Di Meglio, PhD Università degli Studi di Npoli Federico II Diprtimento di Mtemtic e Appliczioni Rento Cccioppoli Complesso Universitrio Monte Snt Angelo vi Cinti, 80126, Npoli ITALY 10 Tle disuguglinz esprime il ftto che l re lterle di un solido di rotzione è mggiore dell re lterle dell sfer che h lo stesso volume. Inftti, detto V > 0 il volume del solido S, l sfer S vente lo stesso volume di S h rggio r 3 3V 4π e re lterle per(s ) 4π(r ) 2, e perciò: per(s) per(s ) per 3 (S) per 3 (S ) per 3 (S) 4 3 π 3 (r ) 6 ( ) 3V 2 per 3 (S) 4 3 π 3 4π per 3 (S) 36π V 2 per 3 (S) 36π vol 2 (S).

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