LABORATORIO DI FISICA per Scienze e Tecnologie per l'ambiente. AA 2011/2012 ESPERIENZA N.1

Transcript

1 LABORATORIO DI FISICA per Scenze e Tecnologe per l'ambente AA 011/01 ESPERIENZA N1 Determnazone della dstrbuzone degl error n una sere d msure rpetute della stessa grandezza fsca 1 Introduzone Scopo dell' esperenza è verfcare che gl error casual nella msura d una grandezza fsca rpetuta molte volte nelle stesse condzon spermental seguono la dstrbuzone normale o d Gauss Nell' esperenza proposta, la grandezza da msurare è l' ntervallo d tempo mpegato da una sltta che scvola su un pano nclnato con attrto trascurable, per percorrere una dstanza prefssata Descrzone dell' apparato spermentale L apparato spermentale è costtuto da una gudova a cuscno d ara schematcamente rap-presentata n Fg1, l cu scopo è d realzzare un moto vrtualmente senza attrto della "sltta", da un pccolo elettromagnete (EC) montato alla sommtà della gudova e da un cronometro elettronco collegato a due traguard fotoelettrc anch' ess fssat sulla gudova Questa è così composta: un tubo metallco lungo all ncrca 14 m a sezone rettangolare, sulla cu facca superore sono pratcat numeros forelln per la fuoruscta dell ara compressa; l tubo costtusce l pano sul quale s forma, al passaggo d una sltta opportunamente sagomata, un cuscno d ara n modo che la sltta stessa possa scorrere con attrto radente trascurable un basamento metallco sul quale l tubo è montato, che per mezzo d una vte mcrometrcav può varare la sua nclnazone rspetto al banco d lavoro, approssmatvamente orzzontale Un gro della vte corrsponde ad una varazone d nclnazone δθ=5' un compressore d ara, a portata varable, collegato ad un estremo della guda tramte un mancotto flessble I due traguard fotoelettrc T1 e T sono collocat a fanco della guda e possono essere fssat n dverse poszon lungo una scala mllmetrata soldale col basamento Ess sono collegat ad un cronometro elettronco; l elemento fotosensble emette un mpulso elettrco al passaggo della sltta, senza che con essa v sa contatto materale Il cronometro elettronco, per l quale segnal da due traguard funzonano rspettvamente da start e stop per la msura del tempo; nella scala "10" l cronometro msura temp con sensbltà par a 01 ms La partenza del conteggo è automatcamente preceduta dall azzeramento (che può anche essere ottenuto manualmente premendo l pulsante reset ) S utlzzerà la sltta con due magnetn sottl (senza velcro) L' elettromagnete, posto all estremtà snstra della guda, ha l compto d rlascare la sltta mprmendole un mpulso mnmo e rproducble, cò s ottene tenendo premuto l pulsante collegato all'elettromagnete EC T 1 T al compressore V Fg 1 - Schema dell'apparato spermentale al cronometro

2 3 Operazon spermental e presa dat a S accende l compressore, regolandone la portata corrspondente alla poszone,5 o 3 della manopola E opportuno non modfcare la poszone della manopola durante l ntera procedura d presa dat b S defnsce approssmatvamente la poszone d orzzontaltà della gudova ponendo su d essa la sltta n poszone centrale e ruotando la vte mcrometrca fnché la sltta, lascata lbera d scorrere, rmane n quete A questo punto s sblocca la ghera alla base della vte mcrometrca (medante una pccola vte laterale) e la s ruota n modo che lo spgolo dell'astcella corrsponda alla tacca d rfermento sulla vte mcrometrca c Scelta dell'nclnazone S ruot ora la vte mcrometrca d un certo numero ntero d gr S consgla un numero compreso fra 4 e 10 d S poszonano traguard ad una dstanza d crca 30 cm, con l'unco accorgmento che la prma fotocellula non deve essere troppo vcna all'elettromagnete S verfca che quando la sltta passa n corrspondenza de traguard muovendos verso destra s ottenga l'nzo e la fne del conteggo Se dovesse accadere l contraro, controllare che l commutatore 'start-stop' sa sulla poszone 'start'' e Portare la sltta all'estremtà snstra della guda, n modo che l magnetno adersca all'elettromagnete fsso Tenendo premuto l pulsante, s otterrà l rlasco della sltta Rpetere alcune volte la procedura e verfcar che temp d transto sono crca ugual S nza qund la presa dat; s suggersce d rpetere la msura almeno 00 volte Allo scopo d evtare error sstematc, s facca attenzone a: - non urtare l tavolo o la gudova; - non toccare la vte d lvellamento; - non varare la portata del compressore; - non premere l pulsante durante l conteggo 4 Anals de dat Un esempo d dat (smulat) è rportato n tabella alla fne I 00 valor d tempo sono elencat nelle colonne galle Innanztutto, s calcola l valore medo <t> delle N msure: 1 < t > N e la devazone standard del campone: σ ( t < t ) N j= 1 t j 1 j > N 1 Le colonne banche a destra de dat, n tabella, rappresentano gl scart dalla meda: z k = t t, che per nostr scop sono pù convenent da rappresentare Una prma valutazone qualtatva della coerenza nterna de dat può essere ottenuta costruendo l'deogramma delle N msure o meglo de loro scart, ovvero valor z k n funzone del numero d msura k, come n fg Le due lnee orzzontal n questa fgura corrspondono a ± σ Questa rappresentazone può mettere n evdenza cambament ntervenut durante la msura (ad es movment meccanc, derva dell'elettronca ) che possono nfluenzare l rsultato La rappresentazone pù mportante della dstrbuzone delle msure è costtuta dall stogramma degl scart (fg 3) ovvero l numero d msure comprese negl ntervall (tutt ugual) n cu s è dvso l'asse z Per costrure l'stogramma bsogna sceglere un valore opportuno dell'ntervallo z Per questo s prenda la metà della devazone standard, eventualmente arrotondata per comodtà: z σ / La convenenza d questa scelta s può apprezzare dal fatto che, per una dstrbuzone gaussana, la teora prevede che l 99 % de valor degl scart dalla meda sano compres n un ntervallo d k

3 σ ampezza ± 3 ntorno allo zero S ottene così una dstrbuzone con qualche decna d contegg negl ntervall central S passa qund a verfcare se la dstrbuzone ottenuta approssmatvamente la legge normale degl error casual, sa n modo grafco che n modo quanttatva Grafcamente, s sovrappone all'stogramma spermentale la curva gaussana La denstà d probabltà gaussana è esprmble come f ( x x) 1 σ ( x) = e σ π dove x è l valore medo e σ la devazone standard Se s usano gl scart z la dstrbuzone è centrata ntorno allo zero 0,300 deogramma degl scart 0,00 0,100 0,000-0, ,00-0,300 Fg Ideogramma relatvo ad una sere d 00 msure de temp d percorrenza d un tratto prefssato della gudova da parte d una sltta 60 stogramma degl scart ,36-0,3-0,7-0,3-0,18-0,14-0,09-0,05 0,00 0,05 0,09 0,14 0,18 0,3 0,7 0,3 0,36 Fg 3 Istogramma degl scart dalla meda per dat relatv alla Fg

4 La gaussana così scrtta è normalzzata all'untà (l'area sottesa vale 1) e non è drettamente confrontable con l'stogramma delle msure L area d un canale dell stogramma n cu cadono n msure è n z ; percò, essendo z costante, l'area totale è: n z = z n = N z s dovrà moltplcare la dstrbuzone gaussana per questo fattore per poterla confrontare, ottenendo ( z) z Aexp σ = f con A N z = σ π S tratta allora d calcolare questa funzone per valor corrspondent al centro d ogn sngolo canale dell'stogramma La curva gaussana così ottenuta è mostrata n Fg 3 sovrapposta all'stogramma E' opportuno che punt della curva sano calcolat al centro de var ntervall, altrment nel grafco ottenuto con EXCEL curva e stogramma rsultano "sfasat" Per un confronto numerco della dstrbuzone spermentale con la dstrbuzone normale, che uno s aspetta, s procederà al calcolo del "ch-quadro" (χ ), dato dalla formula: χ ( N G ) = dove N è l conteggo spermentale nell'ntervallo k-esmo e G l valore della gaussana al centro dell'ntervallo Per questa somma s consderno ntervall central e, se n uno d quest ntervall non c sono contegg, s consder l denomnatore par a 1 Convene dvdere l Ch-quadro per l numero d punt (10 o 11): orentatvamente, se l valore ottenuto rsulta mnore d possamo dre che la nostra dstrbuzone è n buon accordo con una dstrbuzone gaussana, entro le ncertezze statstche; se l valore è maggore d 10 la dstrbuzone non è compatble con una gaussana La relazone dovrà contenere: ttolo, nom degl autor e breve ntroduzone (scopo della msura e strument a dsposzone) l numero del tavolo; l'nclnazone scelta per la gudova e la poszone de sensor d start e stop la tabella delle N msure, e loro scart l tempo medo e la sua devazone standard l'deogramma delle msure l'stogramma degl scart con sovrapposta la dstrbuzone gaussan d confronto l calcolo del ch-quadro breve commento fnale se opportuno (ad es la dstrbuzone ottenuta è effettvamente normale? L'deogramma evdenza problem nel corso della msura? ) s rporteranno anche, esplctamente l valore z dell'ntervallo scelto per l'stogramma l valore della costante d normalzzazone della gaussana La relazone dovrebbe essere un documento Word, o equvalente, comprensvo d tabelle e fgure, e può essere nvata per posta elettronca N

5 Appendce Consgl per costrure l'stogramma e la gaussana n EXCEL Supponamo d aver effettuato N msure d tempo ( t, con k=1n), d cu s è calcolata la meda t, la devazone standard σ gl scart dalla meda z = t t Rportare le N msure (tpcamente 00) n una colonna EXCEL Supponamo, per fssare le dee, che sano nella colonna B, dalla casella B3 alla B0 (coè nell'ntervallo B3:B0) Nella colonna A s è rportato l numero progressvo corrspondente calcolare la meda e la devazone standard delle msure Cò ottene n EXCEL con le funzon MEDIA(C3:C0) e DEVST(C3:C0) Coè scrvendo, ad es nella casella B05 "= MEDIA(C3:C0)" e analogamente per la devazone standard Non è necessaro scrvere queste formule a mano: basta scrvere nella casella selezonata l segno "=", qund selezonare la funzone desderata nel menu funzon (premere " v " a fanco d "Σ" sulla barra degl strument) e selezonare con l mouse le caselle da consderare; calcolare gl scart, ad es nella colonna C, da C3 a C0 Il modo pù semplce è scrvere nella casella C3 "=B3 - $B$05" e trascnando la casella fno alla C0 Nel trascnamento l rfermento B3 vene aggornato a B4, B5 mentre l $ garantsce che l rfermento alla casella B05 (meda) non vene modfcato Ora c sono tutt gl element per dsegnare l'deogramma come n fg Convene usare la modaltà Dspers(X,Y), qund selezonare Sere, Aggung, sceglendo come valor X l numero progressvo d msura e come Y gl scart Per cambare l formato de dat sul grafco (ad es elmnare la lnea che l congunge, cambare forma e colore ) "clccare" su un punto qualsas con l pulsante destro del mouse e selezonare "Formato sere d dat" Per nserre le lnee corrspondent a +/- 1 devazone standard, creare una tabella come la seguente, dove la a colonna corrsponde a +σ, la 3 a a σ: 0 0,096-0, ,096-0,096 Aggungere quest dat n tabella selezonando Aggung come n precedenza Per costrure l'stogramma è necessaro defnre una sere d ntervall d larghezza opportuna z, e trovare l numero d msure che cade n ognuno d quest ntervall Sceglere un valore opportuno z d larghezza degl ntervall, per esempo la metà della devazone standard (nell'esempo d fg 4 l valore z (nella casella J1) è defnto propro come "=B05/" costrure una colonna degl ntervall, ad es da -10 z a +10 z, cò s può fare preparando dapprma una colonna d nter da -11 a +10, nell'esempo H4:H5, e a fanco (I4:I5) la colonna degl ntervall [Basta scrvere n I4 " =H4*$J$1" e trascnare la casella fno a I5 Ora abbamo la "matrce de dat" (D3:D0) e la "matrce delle class" (I4:I5), con cu calcolare l numero d event ne dvers ntervall (class) Il modo pù semplce è utlzzare la funzone FREQUENZA d EXCEL Nella casella J5 selezonare la funzone FREQUENZA(matrce_dat; matrce_class), ovvero scrvere "=FREQUENZA(D3:D0;I4:I5)" Per usare la funzone n modaltà "matrce" bsogna a questo punto con l mouse, selezonare le caselle da J5 a J5 Nota: qu non s deve "trascnare" la funzone ma solo selezonare le caselle) premere l tasto F premere contemporaneamente Ctr - Shft - Enter Ora c sono dat per l'stogramma Come "tpo d grafco" s scegle "stogramma" e come dat l'ntervallo J5:J5 (le "etchette" n ascssa saranno L5:L5, cu valor sono la meda fra l valore corrspondente e quello precedente nella colonna I, ovvero s scrva n L5: "=(I5+I4)/"

6 e s trascn fno a L5 Questo perché nella casella J5 la funzone frequenza mette l numero d valor che cadono fra I4 e I5 ecc Bsogna ora calcolare la dstrbuzone normale o gaussana da confrontare con dat Essa sarà calcolata ne punt L4:L5 Defnre n casella 5 "=DISTRIBNORM(J1; meda; devstd; 0)*N* z" Dove "meda"=0 se stamo consderando gl scart, "devstd" può essere copata manualmente o nserre l rfermento alla casella n cu s trova l valore (nel nostro esempo $B$1, col $ per motv spegat sopra) N è l numero d msure (00 nel nostro esempo), e z sarà $J$1 S moltplca per N*Dz per far sì che la dstrbuzone normale (per sè d area untara) abba la stessa area dell'stogramma Per fare la fgura selezonare la modaltà "Istogramma" qund Sere, Aggung Attenzone: n questa modaltà non s nserscono valor X,Y, ma solo valor Y (Valor: nell'esempo M5:M5) mentre n ascssa l programma assume numer successv a partre da 1 Per mettere le "etchette" guste nserre valor L5:L5 [Etchette asse categore (X)] Il rsultato sono due stogramm; per traccare una lnea "clccare" sul secondo stogramma (gaussana) col pulsante destro del mouse, selezonare "Tpo d grafco" e qund Lnee Per queston d stle (colore e spessore della lnea, eventuale elmnazone de punt ecc) clccare su uno de punt (o sulla lnea) e selezonare "Formato sere d dat" k t z 1 1,686 0,189 1,51 0,04 3 1,314-0, ,654 0, ,575 0, ,583 0, ,48-0, ,391-0, ,501 0,00 <t> 1,505 σ 0,089 Fg 4 Tabella delle msure, corrspondente per potes alle colonne B, C, D z 0,0464 Istogr zcentr gauss Nk - Gk -11-0, , ,479 0, , ,441 0, , ,394 0, ,35 0-0,348 0, ,78 1-0,301 0,0-5 -0,3 1-0,55 0,91-0,09 0, , ,09 3,17-1,83 0,6669

7 -3-0, ,16 8,63-0,37 0, , ,116 18,6 6,6 3, , ,070 30,11-1,89 0, , ,03 38,67 0,67 0, , ,03 38,67-4,33 0,4367 0, ,070 30,11 4,11 0, , ,116 18,6-0,74 0, , ,16 8,63-1,37 0, ,3 3 0,09 3,17 0,17 0, ,78 1 0,55 0,91 7 0,35 0 0,301 0,0 8 0, ,348 0,04 9 0, ,394 0, , ,441 0,00 Χ /11 0,49 Fg 5 Tabella utlzzata per costrure l'stogramma, con la curva della dstrbuzone normale Per potes le colonne sono H - O, e le rghe vanno da 1 a 7 Le ultme due colonne corrspondono al calcolo del "ch-quadro" Resta da calcolare l ch-quadro, che c serve come stma d quanto bene (o male) la dstrbuzone spermentale approssma la dstrbuzone normale Utlzzamo soltanto gl ntervall central, nell'esempo da -5 z a +5 z (11 valor) La colonna N (Nk - Gk) rappresenta le dfferenze fra valor dell'stogramma e quell della gaussana: l'elemento N10 corrsponde a "=M10-J10" e analogamente gl altr La casella O10 corrsponde nvece a "=N10^/J10" e la casella O7 corrsponde alla somma d quest valor dvso 11 (numero d punt sommat): "=somma(o10:o0)" Senza entrare n ulteror dettagl, possamo consderare buono l'accordo se questo valore è mnore d 1, accettable se è dell'ordne delle untà, dubbo se dell'ordne delle decne o pù (nell'esempo l'accordo è buono)