Università degli Studi La Sapienza. Facoltà di Economia. Anno accademico Matematica Finanziaria Canale D - K. Capitolo 2 Rendite

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1 1 Mateatca Fazara Uverstà degl Stud La Sapeza Facoltà d Ecooa Ao accadeco Mateatca Fazara Caale D - K Captolo 2 Redte Atoo Abal Atoo Abal a.a

2 2 Mateatca Fazara Captolo 2 Operazo fazare coposte 2.1 Cocett d base Ua redta corrspode a u see d rate dspobl a deterate scadeze k1 ( R, t k k Cosderado u rege fazaro traslable, s defsce valore captale d ua redta la soa delle dverse rate, rportate fazaraete a ua deterata epoca e partcolare: Valore attuale o valore zale: valore captale della redta ad u epoca T aterore o uguale all epoca zale t1 V R v T k t k T k1 Motate o valore fale: valore captale della redta ad u epoca T posterore o uguale all epoca fale t W R r T k T t k k1 Valore (captale: valore captale della redta ad u epoca T tereda rspetto agl estre dell tervallo (t1,t A R r R v T s T t k s t k T t k T t k T Atoo Abal a.a

3 3 Mateatca Fazara S defsce operazoe fazara coposta quell operazoe che scaba l porto VT o WT oppure AT (deoat valore co la redta delle rate (deoata flusso degl port o delle rate. Nel caso d valore attuale s defsce cash-flow dell operazoe coposta l see del valore attuale e del flusso delle rate, che assue le seguet fore, a secoda che s tratt d vesteto oppure d fazaeto ( V T, T, ( Rk, t k k1 ( VT, T, ( Rk, t k k1 e aalogaete el caso d otate k1 ( Rk, t k,( WT, T k1 ( Rk, t k,( WT, T Ua redta s dce equtervallata se gl tervall d tepo tra due successve rate soo tutt ugual k1 ( R, t kw k e tale caso rsulta: Valore attuale: valore captale della redta ad u epoca T aterore o uguale all epoca zale t + w T k ( t kw T k1 V R v Motate o valore fale: valore captale della redta ad u epoca T posterore o uguale all epoca fale t + w Atoo Abal a.a

4 4 Mateatca Fazara T k T ( t kw k1 W R r Valore (captale: valore captale della redta ad u epoca T tereda rspetto agl estre dell tervallo (t + w, t + w A R r R v T k T ( t kw k ( t kw T ( t kw T ( t kw T 2.2 Classfcazoe delle redte Ipotzzado d operare ell abto del rege fazaro della captalzzazoe coposta co tasso d'teresse uperodale effettvo costate (legge fazara traslable e scdble, l valore captale della redta ad ua qualsas epoca T rsulta T t T t T k k k 1 k 1 k k A R ( 1 R r e le redte possoo essere classfcate secodo dvers crter: perodche (equtervallate, partcolare utervallate o o perodche, a secoda che l tervallo d tepo tercorrete tra due rate cosecutve sa costate ( partcolare, utaro oppure o, costat ( partcolare: utare o varabl, a secoda della costaza o eo dell porto delle dverse rate, tere o frazoate, ossa dscrete, oppure cotue, a secoda che le rate sao rferte a perod utar (ad es. ao oppure a frazoaet d tal perod utar (ad es. seestr, quadrestr, trestr, bestr, es, ecc. oppure ad u see d tep d tpo cotuo (cosderable coe caso lte d frazoaet Atoo Abal a.a

5 5 Mateatca Fazara teporaee o perpetue, a secoda che l uero delle rate sa fto oppure fto, atcpate o postcpate, a secoda che le rate sao rferte all epoca zale o all epoca fale d cascu perodo d rfereto della redta, edate o dfferte, a secoda che la pra rata sa rferta, oppure o, al pro perodo d rfereto della redta. Eserczo 2.2 (1 - Valore captale d ua redta >>> 2.3 Valor attual e otat: redte utervallate varabl tere teporaee Cosderat dvers fluss d'port, possoo cosderars dvers tp d redta e relatv valor attual al tepo zale: redta edata postcpata d durata par ad perod utar k1 ( R, k k V R ( 1 0 k k1 k W R ( 1 k1 k k k k k ( ( k ( 0 k 1 k 1 W R 1 1 R 1 r V V v W 0 0 W r V redta edata atcpata d durata par ad perod utar k1 ( R, k 1 k ( k 1 k 0 k ( ( k ( 0 k 1 k 1 V R 1 1 R 1 rv Atoo Abal a.a

6 6 Mateatca Fazara ( k 1 k k ( ( k ( k 1 k 1 W R 1 1 R 1 r W V v W 0 W r V 0 redta dfferta d t perod postcpata d durata par ad perod utar k1 ( R, k t k ( k t t k t t / V0 Rk ( 1 ( 1 Rk ( 1 v V0 k 1 k 1 redta dfferta d t perod atcpata d durata par ad perod utar k1 ( R, k t 1 k t ( k 1 t ( 1 Rk( 1 v V0 ( k t 1 k1 t / V0 Rk ( 1 k1 ( t 1 ( k 1 t 1 ( 1 Rk( 1 v V0 k1 Eserczo 2.3 (1 - Valor attual e otat >>> redta edata postcpata d durata par ad perod utar, progressoe artetca d pra rata R e ragoe p Rk ( R p ( k 1, k k1 p R ( 1 ( k 1 R g a k k V0 R ( 1 p ( k 1( 1 k 1 k 1 k k R p 1 p k 1 ( ( ( k 1 k 1 Atoo Abal a.a

7 7 Mateatca Fazara a k k W R ( 1 p ( k 1( 1 k 1 k 1 k k R p 1 p k 1 ( ( ( k 1 k 1 V v W a a 0 a a W r V0 se p=0 (e qud g=0, la redta cocde co la redta edata postcpata costate d durata par ad perod utar ( R, k k1 Rk 0 V R ( 1 k1 k W R ( 1 k1 k V v W 0 0 W r V redta edata atcpata d durata par ad perod utar, progressoe artetca d pra rata R e ragoe p Rk ( R p ( k 1, k 1 k1 p R ( 1 ( k 1 R g 1 a ( k 1 ( k 1 V0 R ( 1 p k ( 1 k 0 k 1 a ( k 1 ( k 1 W R ( 1 p k ( 1 k 1 k 1 V v W a a 0 W r V a a 0 se p=0 (e qud g=0, la redta cocde co la redta edata atcpata costate d durata par ad perod utar ( R, k 1 k1 Rk ( k 1 V0 R ( 1 k1 ( k 1 W R ( 1 k1 V v W 0 W r V 0 Eserczo 2.3 (2 - Redte progressoe artetca >>> Atoo Abal a.a

8 8 Mateatca Fazara redta edata postcpata d durata par ad perod utar, progressoe geoetrca d pra rata R e d ragoe q Rk k1 ( R q, k k1 R k1 ( 1 g R 1 q g k 1 k V0 R q ( 1 k 1 q k 1 k R 1 q g k 1 k W R q ( 1 ( 1 k 1 q k 1 k V v W g g 0 W r V g g 0 se q=1 (e qud g=0, la redta cocde, coe gà vsto, co la redta edata postcpata costate d durata par ad perod utar redta edata atcpata d durata par ad perod utar, progressoe geoetrca d pra rata R d ragoe q Rk k1 ( R q, k 1 k1 R k1 ( 1 g 1 q g k 1 ( k 1 V0 R q ( 1 R k 1 k 1 ( k1 1 q g k 1 ( k 1 W R q ( 1 ( 1 R k 1 k 1 ( k1 V v W, W r V g g g g 0 0 se q=1 (e qud g=0, la redta cocde, coe gà vsto, co la redta edata atcpata costate d durata par ad perod utar Eserczo 2.3 (3 - Redte progressoe geoetrca >>> Atoo Abal a.a

9 9 Mateatca Fazara 2.4 Valor attual e otat: redte utervallate utare tere teporaee Cosderado redte d durata par a perod utar, co evetuale dffereto, (potzzado, ache per l seguto, > 0 rsulta Valore attuale d ua redta postcpata edata 1 v 1 v 1 v 1 ( 1 k k a ( 1 v v k 1 k 1 1 v r 1 Motate d ua redta postcpata edata k k 1 v r 1 ( 1 1 ( k 1 k 1 s 1 r v r a r Valore attuale d ua redta atcpata edata k 1 k 1 v k 1 k 1 d d a v r v r a a a a a 1 v 1 a 1 Motate d ua redta atcpata edata ( k 1 k r 1 k 1 k 1 d d s r r r r s s s s s r 1 s 1 1 Valore attuale d ua redta postcpata dfferta d t perod Atoo Abal a.a

10 10 Mateatca Fazara t t 1 v v v k t t k t t t / a v v v v a v k 1 k 1 t t 1 v 1 v ( a a t t Valore attuale d ua redta atcpata dfferta d t perod k t 1 k t t / a v r v r t / a a a t 1 / a a a t t t 1 t 1 k 1 k 1 Eserczo 2.4 (1 - Redte: valor attual e otat >>> Eserczo 2.4 (2 - Redte: valor attual >>> Eserczo 2.4 (3 - Redte: odfca delle codzo >>> Eserczo Valor attual e otat d redte postcpate e atcpate edate ell potes che l tasso d teresse rsult ullo o egatvo k k1 a 1 s a s 1 1 h 1 h 1 k k ( ( h k 1 k 1 1 ( ( h h 1 1 ( ( h h 1 1 ( ( h h 1 a 1 1 h s s s 1 a 1 h s a a a 1 a 1 h s s s s 1 s 1 h a a a Atoo Abal a.a

11 11 Mateatca Fazara 2.5 Valor attual e otat: redte utervallate utare tere perpetue Cosderado redte d durata fta, rsulta Valore attuale d ua redta postcpata edata 1 v 1 a l a l Valore attuale d ua redta atcpata edata a 1 1 a d Valore attuale d ua redta postcpata dfferta d t perod t t 1 1 v v a v a a a t t / t Valore attuale d ua redta atcpata dfferta d t perod 1 1 v v v a v a a a d d d t t / t t t t 1 Eserczo 2.5 (1 - Redte perpetue: valutazoe >>> Eserczo 2.5 (2 - Redte perpetue: calcolo del tasso >>> 2.6 Valor attual e otat: redte utervallate utare frazoate teporaee Cosderado redte d durata par a perod utar, rsulta Atoo Abal a.a

12 12 Mateatca Fazara Valore attuale d ua redta postcpata edata 1 v 1 ( v 1 1 ( 1 1 k 1 1 v 1 1 k1 1 1 j j a a v a Valore attuale d ua redta atcpata edata 1 v d 1 v a a r a r a a a 1 1 ( ( 1 1 j v j Motate d ua redta postcpata edata 1 r 1 s s r a r a s ( ( 1 j j j Motate d ua redta atcpata edata 1 v d r 1 s s r s r s s s 1 1 ( ( 1 1 j v j Eserczo 2.6 (1 - Redte frazoate: valutazoe >>> Eserczo 2.6 (2 - Redte frazoate: valutazoe >>> 2.7 Valor attual e otat: redte utervallate utare frazoate perpetue Cosderado redte d durata fta, rsulta Valore attuale d ua redta postcpata edata Atoo Abal a.a

13 13 Mateatca Fazara 1 ( ( a l a l a j j j Valore attuale d ua redta atcpata edata j 1 ( ( d d a l a l a d j j 2.8 Valor attual e otat: redte utervallate utare cotue teporaee Cosderado redte d durata par a perod utar, rsulta Valore attuale d ua redta edata a 1 v a l a l a a ( ( d d d 1 v a l a l a a d ( ( j 1 v 1 e Motate d ua redta edata s ( ( r 1 s l s l s s j r 1 e 1 ( ( d d d r 1 s l s l s s d Atoo Abal a.a

14 14 Mateatca Fazara 2.9 Valor attual e otat: redte utervallate utare cotue perpetue Valore attuale d ua redta d durata fta a ( ( 1 a l a l a 1 ( ( d d 1 a l a l a d I dvers rsultat possoo essere replogat e seguet sche: 1 v 1 v 1 1 Itera a a a a d d 1 v 1 v 1 1 Fraz a a a a ( ( ( ( j j 1 v 1 e 1 Cot a a Tep post Tep at Perp post Perp at Itera r 1 r 1 s s d Fraz ( r 1 ( r 1 s s j Cot s Tep post Tep at r 1 e 1 Eserczo 2.9 (1 - Redte cotue: valutazoe >>> I dvers rsultat otteut co rguardo (teporaee e perpetue alle redte cotue Atoo Abal a.a

15 15 Mateatca Fazara a 1 v 1 e a 1 r 1 e 1 s possoo essere otteut drettaete, fatt t t e 1 e a e dt 0 0 t t e 1 a e dt 0 0 ( t ( t e e 1 s e dt 0 0 I geerale, cosderado u tasso stataeo d tpo varable, le forule scrtte precedeza s trasforao 0 t w dw 0 a e dt 0 t w dw 0 a e dt 0 w dw t s e dt bs Valor attual e otat: valutazo approssate Rcordado le forule approssate relatve a tass oal d teresse e d scoto 1 j d 1 d 2 è possble costrure le espresso approssate de fattor correttv relatv alle forule delle redte frazoate j Atoo Abal a.a

16 16 Mateatca Fazara d d d d 2 d 1 d 2 2 da cu, el caso d durata fta, rsulta Valore attuale d ua redta frazoata postcpata edata 1 1 a a 1 a a ( 1 v j 2 2 ( Valore attuale d ua redta frazoata atcpata edata d 1 1 a a 1 d a a ( 1 v 2 ( 2 Motate d ua redta frazoata postcpata edata 1 1 s s 1 s s ( r 1 j 2 2 ( Motate d ua redta frazoata atcpata edata d 1 1 s s 1 d s s ( r ( Eserczo 2.6 (3 - Redte frazoate: valutazoe appross >>> e el caso d durata fta Valore attuale d ua redta postcpata edata Atoo Abal a.a

17 17 Mateatca Fazara a a 1 ( j 2 2 Valore attuale d ua redta atcpata edata ( d a a 1 d 2 d d 2 Rcordado le forule approssate relatve al tasso stataeo (d teresse e d scoto 1 2 d d 1 2 è possble costrure le espresso approssate de fattor correttv relatv alle forule delle redte cotue d d 1 d 1 d d 1 2 d da cu, el caso d durata fta, rsulta Valore attuale d ua redta edata a 1 a 1 a a ( 1 v 2 2 a a d d 1 2 a 1 a a ( 1 v 2 2 Motate d ua redta edata Atoo Abal a.a

18 18 Mateatca Fazara s 1 s 1 s s ( r s s d d 1 2 s 1 s s ( r e el caso d durata fta a a a a d d a 1 d d d 2 I dvers rsultat possoo essere replogat e seguet sche: Tep post Tep at Fraz ( 1 ( 1 a a ( 1 v a a ( 1 v 2 2 Cot 1 1 a a ( 1 v a a ( 1 v 2 2 Perp post Perp at Fraz a a 2 d Cot a a ( ( 2 d 2 Tep post Tep at Fraz ( 1 ( 1 s s ( r 1 s s ( r Cot 1 1 s s ( r 1 s s ( r Atoo Abal a.a

19 19 Mateatca Fazara 2.10 Valor attual e otat: redte utervallate varabl ( progressoe artetca tere teporaee e perpetue Cosderado redte teporaee d durata par ad perod utar, rsulta Valore attuale d ua redta postcpata edata ( g k k k ( Ia ( 1 g ( k 1 v ( 1 g v g kv k 1 k 1 k 1 k p ( 1 g a gkv... g R k1 ( Ia kv v v a v k h 1 k k k h 1 / h 1 h 1 k 1 k 1 h 1 h 1 k h h 1 h 1 ( g1 h 1 ( v v 1 v v h1 a v ( d 1 v 1 d d 1 v a ( g ( Ia ( 1 g a g ( Ia ( 1 g a g v ( Ia a ( o Valore attuale d ua redta atcpata edata 1 a v r ( 1 a v 1 ( Ia r ( Ia d ( g1 a r ( 1 v v a ( 1 v 1 v r Ia a ( 1 a ( Ia ( 1 g a g ( Ia ( 1 g a g ( g v d ( Ia a ( o Atoo Abal a.a

20 20 Mateatca Fazara Motate d ua redta postcpata edata ( Is r ( Ia ( g1 s s ( Is ( 1 g s g ( Is ( 1 g s g ( g ( Is s ( o Motate d ua redta atcpata edata ( Is ( ( g1 s r ( s 1 r s ( 1 r 1 1 r Is s ( 1 ( 1 d 1 1 ( Is ( 1 s ( Is ( 1 g s g ( Is ( 1 g s g ( g d ( Is s ( o Eserczo Valore attuale (caso: g=1 d ua redta teporaea postcpata dfferta d t perod t / t t t t t t / a v a a ( t v tv tv tv t t ( Ia t t a ( t v a tv t t t tv ( 1 v ( Ia ( Ia t a t t t / Atoo Abal a.a

21 21 Mateatca Fazara Cosderado redte d durata fta, rsulta Valore attuale d ua redta postcpata edata a v k a Ia kv l 2 k1 d ( a 1 g g g 1 g ( 1 ( ( ( Ia o a Ia ( g 1 g a g d 2 2 Valore attuale d ua redta atcpata edata r ( Ia r ( Ia 2 d d d d a 1 g g g 1 g ( 1 ( ( ( Ia o a d Ia ( g 1 g a g d d d 2 d d d Eserczo Valore attuale (caso: g=1 d ua redta perpetua postcpata dfferta d t perod tv t t t t 1 1 t tv v v t/ ( Ia ( Ia ( Ia t t t/ a 2 a d d Eserczo 2.10 (1 - Redte progressoe artetca >>> Eserczo 2.10 (2 - Redte progressoe artetca >>> Eserczo 2.11 (3 - Redte progressoe artetca >>> Atoo Abal a.a

22 22 Mateatca Fazara Eserczo Valor attual e otat d redte postcpate e atcpate edate ell potes d ragoe par all opposto del tasso d teresse a v ( ( Ia ( 1 a a a v v a v ( 1 ( Ia ( 1 a ( 1 ( a a v v ( ( ( d s Is 1 s s s s Is 1 s 1 s s r d ( ( ( ( ( Eserczo a ( 1 ( Ia ( 1 a 0 d a ( 1 ( Ia ( 1 a 0 2 d d d Valor attual e otat d redte postcpate e atcpate edate ell potes d tasso d teresse ullo ( g ( 0 ( Ia ( Ia 0 0 ( g ( Ia 0 g 0 ( 1 g( k 1 ( g ( g g ( 1 ( Is 0 k1 ( Ia ( g ( Is 0 0 g Atoo Abal a.a

23 23 Mateatca Fazara 2.11 Valor attual e otat: redte utervallate varabl ( progressoe geoetrca tere teporaee e perpetue Valore attuale d ua redta postcpata edata k 1 g 1 1 g 1 g 1 g 1 g ( g k 1 k k 1 k 1 k1 q ( Ga ( 1 g v ( Ga ( 1 g g g a g ( ( g 1 g 1 g 1 g Ga 1 g g ( 1 g g 1 g g k ( Ga a ( o Valore attuale d ua redta atcpata edata ( ( Ga g ( g ( g ( Ga r ( Ga 1 ( Ga a a g ( g g g 1 g 1 g 1 g ( Ga a ( o Motate d ua redta postcpata edata Atoo Abal a.a

24 24 Mateatca Fazara ( 1 ( Gs r g ( g ( g ( Gs r ( Ga ( Gs ( 1 g s ( g 1 g 1 g g ( Gs s ( o Motate d ua redta atcpata edata ( ( Gs r g ( g ( g ( Gs r ( Gs ( Gs ( 1 g s ( g g 1 g g ( Gs s ( o Valore attuale d ua redta postcpata edata ( ( Ga k g ( g k 1 k 1 1 ( Ga ( 1 g v ( g k 1 1 g k 1 1 g 1 ( Ga g g ( ( Ga o a 1 Valore attuale d ua redta atcpata edata ( ( Ga g ( g ( g ( Ga r ( Ga ( g 1 ( Ga g g ( ( Ga o a 1 d Atoo Abal a.a

25 25 Mateatca Fazara Eserczo 2.11 (1 - Redte progressoe geoetrca >>> Eserczo 2.11 (2 - Redte progressoe geoetrca >>> Eserczo 2.11 (3 - Redte progressoe geoetrca >>> Eserczo Valor attual e otat d redte postcpate e atcpate edate ell potes d tasso d teresse ullo ( Ga ( Ga ( Gs ( Gs ( g 0 ( 0 ( Ga 0 0 g a g ( s g 1 g g ( Ga s 0 1 g 1 g 0 g ( g 0 k1 ( 1 g ( g 0 k 1 q ( g 0 g ( 0 ( Ga 0 ( g ( Ga 0 g 0 k1 ( 1 g ( g ( g 1 ( Ga k1 q ( Ga 0 0 g 0 g 2.12 Proble relatv alle redte: rcerca del valore attuale e del otate, della rata, della durata e del tasso d teresse/scoto Rcerca del valore attuale e del otate d ua redta costate tera 1v A R a R 1v A R a R d Atoo Abal a.a

26 26 Mateatca Fazara v A R a R t / t v t v A R a R t / t v d t A R R d R a A R a Rv A R t / a t Rv A R t / a d t r 1 S R s R r 1 S R s R d Rcerca della rata d ua redta costate tera A A A Ad R A R A a 1 v a 1 v A A R A / a v v t / t t t A Ad R A / a v v t / t t t A A R A A a R A Ad a A t A R A t / A r R A t / Ad r a a t / t / t S S R S s r 1 S S d R S s r 1 Nota: Atoo Abal a.a

27 27 Mateatca Fazara r 1 1 v r 1 r 1 r 1 d d r 1 d d 1 v r 1 r 1 r 1 d d Rcerca della durata d ua redta costate tera A 1 v 1 lg ( 1 a a v 1 a r R 1 a lg ( 1 a 1 a a A 1 v 1 lg ( 1 ad a v 1 ad r R d 1 ad lg ( 1 a 1 a a d t t t A v v t 1 lg ( 1 a r t / a v 1 a r r t R 1 a r lg ( 1 a t v a t / a t t t A v v t 1 lg ( 1 ad r t / a v 1 ad r r t R d 1 ad r lg ( 1 a t v a t / a d S r 1 lg ( 1 s s r 1 s R lg ( 1 s Atoo Abal a.a

28 28 Mateatca Fazara S r 1 lg ( 1 sd s r 1 sd R d lg ( 1 s Rcerca del tasso d'teresse d ua redta costate tera 1 v r 1 a a a r ( r 1 r 1 r 1 1 a r a r r 1 0 a r ( a 1 r 1 0 è u equazoe troa d grado +1 ell cogta r, la quale preseta l edata soluzoe r = 1, ossa = 0, e poché preseta due varazo d sego e coeffcet, per l teorea d Carteso, preseta u altra soluzoe postva, che s può dostrare essere uca e tale per cu r > 1 ossa > 0. Tale tasso, deoato T.I.R. (Tasso Itero d Redeto ovvero I.R.R. (Iteral Rate of Retur può essere calcolato co etod d tpo uerco, ache el caso d redte co rate o costat, a tutte dello stesso sego. Aalogaete rsulta 1 v r 1 1 a a a r ( r 1 r 1 1 d r 1 1 a r a r r 1 0 ( a 1 r a r 1 0 t t v v r 1 t t / ( t a a a r r 1 r 1 r t 1 t a r a r r 1 0 t t v v r 1 t 1 t / ( t 1 a a a r r 1 r 1 d r t t 1 a r a r r 1 0 Atoo Abal a.a

29 29 Mateatca Fazara r 1 s s s ( r 1 r 1 r s r s 1 0 r s s s ( r 1 r r r ( s 1 r s 0 d Nota: Ipotzzado redte varabl utervallate postcpate, le equazo del T.I.R., per l valore attuale e d otate, rsultao k A Rk ( 1 S Rk ( 1 k1 k1 k Rcerca del valore attuale e del otate d ua redta costate frazoata (rata R tera da suddvdere rate frazoate d porto R1/ par ad u 1/ d R 1 v 1 v 1 j 1 ( A R a R R ( 1 v 1 v A R a R R 1 d 1 R ( R A R a j 1 1 R ( R A R a d 1 1 r 1 r 1 1 j 1 ( S R s R R ( r 1 r 1 S R s R R 1 d 1 Rcerca della rata d ua redta costate frazoata A 1 A ( Aj R A, R 1 ( a 1 v 1 v Atoo Abal a.a

30 30 Mateatca Fazara Ad 1 A ( A R A, R 1 ( a 1 v 1 v A R A A j R A a (, ( 1 1 Nota: A ( R A A, R Ad ( a 1 1 A 1 S ( Aj R A, R 1 ( s r 1 r 1 Sd1 S ( S R S, R 1 ( s r 1 r 1 j j r 1 ( ( j j 1 v r 1 r 1 r 1 r 1 ( ( 1 v r 1 r 1 r 1 ( ( ( ( ( ( ( ( j j Rcerca della durata d ua redta costate frazoata Atoo Abal a.a

31 31 Mateatca Fazara A ( 1 v 1 lg ( 1 a j a v 1 a j r R j 1 a j lg ( 1 a a 1 ( a j A ( 1 v 1 lg ( 1 a R 1 a lg 1 a v 1 a r ( a 1 ( a a S ( r 1 lg ( 1 s j s r 1 s j R j lg ( 1 s S ( r 1 lg ( 1 s s 1 s R lg ( 1 s Rcerca del tasso d'teresse d ua redta costate frazoata 1 v r 1 a a a r r 1 r 1 1 ( ( j j r 1 1 a r a r r 1 0 a r ( a 1 r 1 0 è u equazoe d grado frazoaro ell cogta r, la quale preseta la soluzoe r = 1, ossa = 0, ed evetual altre soluzo calcolabl co etod d tpo uerco. Aaloghe rsultao le equazo per otat ed valor attual d redte atcpate. Rcerca del valore attuale e del otate d ua redta costate cotua Atoo Abal a.a

32 32 Mateatca Fazara 1 v A R a R R A R a r 1 S R s R Rcerca della rata d ua redta costate cotua A A A R A R A A a 1 v a S A R A s r 1 Nota: r 1 1 v r 1 r 1 r 1 Rcerca della durata d ua redta A 1 v 1 lg ( 1 a a v 1 a r R 1 a a 1 a a S r 1 lg ( 1 s s r 1 s R s Rcerca del tasso d'teresse/scoto 1 v r 1 a a a r lg r r 1 ( a lg r 1 r 1 0 r Atoo Abal a.a

33 33 Mateatca Fazara è u equazoe trascedete ell cogta r, la quale preseta la soluzoe r = 1, ossa = 0, ed evetual altre soluzo calcolabl co etod d tpo uerco. Aaloghe rsultao le equazo per otat ed valor attual d redte atcpate. Rcerca del valore attuale e del otate d ua redta progressoe artetca tera (R,p(=Rg ( 1 g( 1 v g ( a v ( g A R ( Ia R ( 1 g( 1 v g ( a v ( g A R ( Ia R d ( g R ( g A R ( Ia 2 ( g R ( g A R ( Ia d S R ( Is R ( g ( 1 g( r 1 g ( s e partcolare S R ( Is R ( g ( 1 g( r 1 g ( s d a A R ( Ia R v a A R ( Ia R v d R A R ( Ia d R A R ( Ia 2 d Atoo Abal a.a

34 34 Mateatca Fazara s S R ( Is R s S R ( Is R d A R Ia Rv ( ( A R Ia Rv ( ( 1 A R ( Ia R ( Ia 0 ( ( S R ( Is R ( S R ( Is Rr ( Rcerca delle rate d ua redta progressoe artetca tera (R,p(=Rg A( 1 g( k 1 ( g A( 1 g( k 1 Rk A( 1 g( k 1( I ( g k1 Ia 1 g 1 v g a v ( ( ( ( A( 1 g( k 1 ( g A( 1 g( k 1 d Rk A( 1 g( k 1( I ( g k1 Ia 1 g 1 v g a v ( ( ( ( k1 A( 1 g( k 1 ( g A( 1 g( k 1 Rk A( 1 g( k 1( I ( g ( Ia g 2 k1 A( 1 g( k 1 A( 1 g( k 1 d R A 1 g k 1 I Ia g ( g k ( ( ( ( g ( S ( 1 g( k 1 ( g S ( 1 g( k 1 Rk S ( 1 g( k 1( I ( g k1 ( Is ( 1 g( r 1 g ( s S ( 1 g( k 1 ( g S ( 1 g( k 1 d Rk S ( 1 g( k 1( I ( g k1 ( Is ( 1 g( r 1 g ( s Atoo Abal a.a

35 35 Mateatca Fazara e partcolare Ak Ak R Ak ( I Ia a v k k1 ( Ak Ak d R Ak ( I Ia a v k k1 ( k1 2 Ak ( g Ak Rk Ak ( I ( Ia g k1 Ak Ak d Rk Ak ( I ( Ia g S k S k R S k ( I Is s k k1 ( S k S k d R S k ( I Is s k k1 ( k1 R Ak Ak ( k Ak ( I ( ( Ia v k1 R Ak Ak ( k Ak ( I ( 1 ( Ia v k1 R S k ( k S k ( I ( ( Is S k k1 R S k ( k S k ( I ( ( Is S k r Rcerca della durata d ua redta progressoe artetca tera (R,p(=Rg >>> rsolvere co etod uerc Rcerca del tasso d'teresse d ua redta progressoe artetca tera (R,p(=Rg >>> rsolvere co etod uerc Rcerca del valore attuale e del otate d ua redta progressoe geoetrca tera (R,1+g ( R R ( Ga 1 g ( g A R ( Ga R R ( Ga a ( g g 1 g 1 g g ( R ( Ga R g ( g A R ( Ga R ( Ga R a ( g g 1 g g Atoo Abal a.a

36 36 Mateatca Fazara ( R ( Ga g ( g A R ( Ga ( g R R ( Ga g g ( R ( Ga g ( g A R ( Ga ( g R ( 1 R ( Ga g g ( 1 R ( Gs R ( 1 g ( g S R ( Gs R ( Gs R ( 1 g s ( g 1 g 1 g g ( R ( Gs R ( 1 g ( g S R ( Gs R ( Gs R ( 1 g s ( g g 1 g g Rcerca delle rate d ua redta progressoe geoetrca tera (R,1+g k 1 A( 1 A( 1 ( ( Ga k1 g A( 1 g k 1 ( g Rk A( 1 g ( G ( g k 1 k ( ( k1 ( Ga A 1 g A 1 g ( g ( Ga a g 1 g g k Atoo Abal a.a

37 37 Mateatca Fazara A( 1 A( 1 ( ( Ga k k 1 k1 g A( 1 g k 1 ( g Rk A( 1 g ( G ( g k 1 k 1 ( ( k1 ( Ga A 1 g A 1 g ( g ( Ga a g 1 g g k1 A( 1 g k 1 ( g k 1 k ( g k1 ( Ga g R A( 1 g ( G A( 1 g ( g k1 k1 A( 1 g k 1 ( g k 1 g k ( ( ( ( g ( Ga 1 g R A 1 g G A 1 g S ( 1 A( 1 ( ( Gs k 1 ( k k1 g S ( 1 g k 1 ( g Rk S ( 1 g ( G ( g k 1 ( k ( ( k1 ( Gs A 1 g A 1 g ( g ( Gs s g 1 g g S ( 1 A( 1 ( ( Gs k 1 ( k 1 k1 g S ( 1 g k 1 ( g Rk S ( 1 g ( G ( g k 1 ( k 1 ( ( k1 ( Gs A 1 g A 1 g ( g ( Gs s g 1 g g Atoo Abal a.a

38 38 Mateatca Fazara Rcerca della durata d ua redta progressoe geoetrca tera (R,1+g ( ( Ga a ( 1 1 g a g g 1 1 A ( ( ( g 1 g 1 g g ( Ga R Ga 1 g g a g g 1 lg ( 1 a ( g 1 1 g 1 a ( g lg ( 1 lg ( 1 g 1 ( g a ( Ga g Aaloghe relazo rsultao el caso d otat e d valor attual d redte atcpate. Rcerca del tasso d'teresse d ua redta progressoe geoetrca tera (R,1+g >>> rsolvere co etod uerc Eserczo 2.12 (1 - Rborso d u prestto >>> Eserczo 2.12 (2 - Rcerca della rata >>> Eserczo 2.12 (3 - Calcolo d ua pesoe >>> Eserczo 2.12 (4 - Ivesteto be cultural >>> Atoo Abal a.a

39 39 Mateatca Fazara t / Appedce Forula geerale per l calcolo del valore attuale d ua redta a ( 1 edata t ( 1 dfferta ( 1 teporaea 0 perpetua 1 ( 1 tera j frazoata t1 ( 1 j w ( 1 ( 1 perpetua j 0 postcpata ( w 0 atcp tera ( w 1 j atcp fraz ( w 1 Atoo Abal a.a

40 40 Mateatca Fazara Esercz svolt Excel Mcrosoft Eserczo 2.2 (1 - Valore captale d ua redta >>> Eserczo 2.3 (1 - Valor attual e otat >>> Calcolare valor attuale e otat d ua redta utervallata varable tera teporaea Atoo Abal a.a

41 41 Mateatca Fazara Eserczo 2.3 (2 - Redte progressoe artetca >>> Calcolare valor attuale e otat d ua redta utervallata varable progressoe artetca tera teporaea Atoo Abal a.a

42 42 Mateatca Fazara Eserczo 2.3 (3 - Redte progressoe geoetrca >>> Calcolare valor attuale e otat d ua redta utervallata varable progressoe geoetrca tera teporaea Atoo Abal a.a

43 43 Mateatca Fazara Eserczo 2.4 (1 - Redte: valor attual e otat >>> Tabulare valor attual (edat e dffert e otat d redte (postcpate ed atcpate al tasso effettvo e per le dverse durate da 1 ad 20 perod utar a 1 v 1 v a d r 1 r 1 s t t t/ a v t/ a v 1 1 s d 1 v 1 v d Atoo Abal a.a

44 44 Mateatca Fazara Atoo Abal a.a

45 45 Mateatca Fazara Eserczo 2.4 (2 - Redte: valor attual >>> Tabulare valor attual d redte postcpate per dvers tass effettv da 2% a 20% (oppure da k% a 10k% e per le dverse durate da 1 ad 10 (oppure da w a 10w perod utar a ( ( 1 Atoo Abal a.a

46 46 Mateatca Fazara Atoo Abal a.a

47 47 Mateatca Fazara Eserczo 2.4 (3 - Redte: odfca delle codzo >>> U soggetto doveva pagare u debto d aotare C edate rate costat postcpate al tasso effettvo. Dopo pagata la s-sa rata, tale soggetto chede d raddoppare l resduo perodo d rborso, a l credtore ell accettare la rchesta, poe l raddoppo del tasso d'teresse e l atcpazoe del pagaeto delle rate. Calcolare: l aotare della rata orgaraete pattuta, l aotare della rata odfcata. Rata orgara C R C a 1 ( 1 1 Debto resduo (dopo l pagaeto della s-sa rata a s 1 ( 1 D R a C C s a 1 ( 1 ( s s 1 Rata odfcata a R C C ( ( ( ( ( s Ds s ( 1 ( 1 d 2 2 ( s a a a ( s 2 2 ( s 2 Atoo Abal a.a

48 48 Mateatca Fazara Eserczo 2.5 (1 - Redte perpetue: valutazoe >>> Calcolare valor attual (postcpat ed atcpat d redte perpetue al tasso effettvo del 5% a, a 1 d Eserczo 2.5 (2 - Redte perpetue: calcolo del tasso >>> Atoo Abal a.a

49 49 Mateatca Fazara A frote del pagaeto d ua redta perpetua d rata par a R, u soggetto ottee d pagare rate postcpate d porto par a R1. Calcolare l tasso effettvo al quale è stata effettuata l operazoe. R D R a R 1 ( 1 R 1 1 ( 1 D R1a R 1 R R1 R1 ( 1 1 ( 1 1 R R R R R Eserczo 2.6 (1 - Redte frazoate: valutazoe >>> Tabulare valor attual e otat (postcpat ed atcpat d ua redta d 20 aualtà al tasso effettvo del 5% per dvers frazoaet: 1, 2, 3, 4, 6, 12, 24, 52, 365, 8760, , 2, 3, 4, 6, 12, 24 52, 365, 8760, ( a, a, s, s ( ( ( ( Atoo Abal a.a

50 50 Mateatca Fazara Atoo Abal a.a

51 51 Mateatca Fazara Eserczo 2.6 (2 - Redte frazoate: valutazoe >>> Calcolare l otate del versaeto d 4 (es. 40 rate trestral d porto R (es. 1000, captalzzazoe coposta base ad u tasso oale co covertbltà quadrestrale j3 Atoo Abal a.a

52 52 Mateatca Fazara 3 j R s 4R s j 3 3 j j3 3 ( V 4R s 3 4 ( ( R s R R R s Eserczo 2.6 (3 - Redte frazoate: valutazoe appross >>> Rpetere l eserczo precedete, cosderado le forule approssate per l calcolo de tass ecessar all effettuazoe del calcolo. Atoo Abal a.a

53 53 Mateatca Fazara ( 4 V 4R s 4R s j j 3 j j 3 1 j 3 j V 4R 3 s 3 4 j j j 1 4 j3 1 j 3 j j3 3 j Eserczo 2.9 (1 - Redte cotue: valutazoe >>> Dato l tasso effettvo del 6%, calcolare l valore attuale d ua redta cotua d rata aua d 1000 per ua durata d 10 a. Rpetere l eserczo ell potes che l 6% sa oale stataeo lg( 1 R A R a R a R a a R 1 a l( Atoo Abal a.a

54 54 Mateatca Fazara e A R a R a R a R 1 a 2 Eserczo 2.10 (1 - Redte progressoe artetca >>> Tabulare valor attual e otat d redte (postcpate ed atcpate progressoe artetca d ragoe g = 10% al tasso effettvo del 5% e per le dverse durate da 1 ad 20 perod utar Atoo Abal a.a

55 55 Mateatca Fazara Atoo Abal a.a

56 56 Mateatca Fazara Eserczo 2.10 (2 - Redte progressoe artetca >>> Tabulare valor attual d redte postcpate progressoe artetca d ragoe g = 100% per dvers tass effettv da 2% a 20% (oppure da k% a 10k% e per le dverse durate da 1 ad 10 (oppure da w a 10w perod utar Atoo Abal a.a

57 57 Mateatca Fazara Eserczo 2.10 (3 - Redte progressoe artetca >>> Calcolare l valore attuale d ua redta edata atcpata co rate progressoe artetca d pra rata par ad 1000 e ragoe par a 400, teporaea co durata par a 13 a (oppure perpetua al tasso d teresse del 6% auo. Atoo Abal a.a

58 58 Mateatca Fazara ( 04. d V ( Ia a 13 ( a 400 ( Ia 600 a V 1000 Ia ( a 400 Ia ( ( ( Atoo Abal a.a

59 59 Mateatca Fazara Eserczo 2.11 (1 - Redte progressoe geoetrca >>> Tabulare valor attual e otat d redte (postcpate ed atcpate progressoe geoetrca d ragoe g = 3% al tasso effettvo del 5% e per le dverse durate da 1 ad 20 perod utar Atoo Abal a.a

60 60 Mateatca Fazara Atoo Abal a.a

61 61 Mateatca Fazara Eserczo 2.11 (2 - Redte progressoe geoetrca >>> Tabulare valor attual d redte postcpate progressoe geoetrca d ragoe g = - 25% per dvers tass effettv da 2% a 20% (oppure da k% a 10k% e per le dverse durate da 1 ad 10 (oppure da w a 10w perod utar Atoo Abal a.a

62 62 Mateatca Fazara Eserczo 2.11 (3 - Redte progressoe geoetrca >>> Calcolare l valore attuale d ua redta edata atcpata co rate progressoe geoetrca d pra rata par ad 1000 e ragoe par a 1.03, teporaea co durata par a 13 a (oppure perpetua al tasso d teresse del 6% auo. g V 1000a. 1 g V Atoo Abal a.a

63 63 Mateatca Fazara Eserczo 2.12 (1 - Rborso d u prestto >>> Atoo Abal a.a

64 64 Mateatca Fazara Trovare quato tepo s estgue u debto d 10000, pagado rate aue postcpate d 800 al tasso effettvo auo d teresse del 5%. A f del perodo d rborso, cosderare u uero tero d rate e calcolare l evetuale rata a saldo. Codzoe d coereza de dat del problea A A a a R R 800 Calcolo del perodo d rborso lg( 1 a lg lg( 1 lg [ ] Hp 1 Rata tegratva d tpo aggutvo A R a R v a R [ ] 1 21 [ ] R ( a ( Hp 2 Ulta rata co tegrazoe A R a R v a R [ ] 20 [ 1 ] R ( a ( Atoo Abal a.a

65 65 Mateatca Fazara Atoo Abal a.a

66 66 Mateatca Fazara Eserczo 2.12 (2 - Rcerca della rata >>> U soggetto versa eslete e atcpataete 1000 per 10 a al fe d otteere, alla coclusoe de versaet, ua redta esle postcpata per u perodo d tepo par al doppo d quello d versaeto (20 a. Ipotzzado d utlzzare u tasso effettvo auo d 0.08, calcolare la rata esle che l soggetto potrà otteere. Dat del problea Rata esle da versare R R 1000 Tasso d teresse Rata aua da versare R R 12 R Durata versaet 10 Durata cass Motate al tere del perodo d versaeto Atoo Abal a.a

67 67 Mateatca Fazara ( d M R s R s R s s Rata aua e esle da rscuotere s 1 M M j s 1 Rˆ R R ( a 2 a a a2 2 2 j j s R r a s a s s r a Rˆ R r R r R r a a v a a v a r R v Rˆ Rˆ Atoo Abal a.a

68 68 Mateatca Fazara Atoo Abal a.a

69 69 Mateatca Fazara Atoo Abal a.a

70 70 Mateatca Fazara R R, 0, Rˆ 12 ( ( 1 2 ( k 1 1 k 0 k 0 k , ( 12 ( ( Mk R( 0 Mk 1 r R ( k k 0 k 0 Atoo Abal a.a

71 71 Mateatca Fazara Eserczo 2.12 (3 - Calcolo d ua pesoe >>> U soggetto versa aualete e postcpataete u cotrbuto d per u certo uero d a al fe d otteere, alla coclusoe de versaet, ua pesoe aua postcpata dello stesso porto. Calcolare la durata del perodo d pesoe al varare della durata del perodo d cotrbuzoe (e ovvaete del tasso d redeto applcato al otate cotrbutvo. Idcare ache per quale durata del perodo cotrbutvo la redta pesostca rsulta perpetua. Cotrbuto auo da versare R Tasso d redeto Durata del perodo d cotrbuzoe 1 Durata del perodo d pesoaeto 2 Atoo Abal a.a

72 72 Mateatca Fazara Motate cotrbutvo al tere del perodo d versaeto M R s 1 Rata aua d pesoe M Rs R a a Durata del perodo d pesoaeto ( ( 1 lg lg( 1 lg( 2 ( 1 2 lg( s a ( 1 2 ( ( ( Redta pesostca fta lg lg ( 1 lg( 2 ( 1 1 lg( 1 2 lg( 2 ( 1 lg 2 l 1 l 2 2 lg( 1 lg( 1 2 ( ( Atoo Abal a.a

73 73 Mateatca Fazara Adaeto del otate cotrbutvo t 1 M ax ( M ( 1 ( t ( t, 0 ( 1 ( 1 t t Atoo Abal a.a

74 74 Mateatca Fazara Atoo Abal a.a

75 75 Mateatca Fazara Atoo Abal a.a

76 76 Mateatca Fazara Eserczo 2.12 (4 - Ivesteto be cultural >>> Ua sttuzoe pubblca operate ell abto de be artstc e cultural effettua u vesteto, che prevede cost e rcav tal da perettere valutazo d tpo fazaro, ecooco e socale: Tepo fale de cost d'vesteto M Tep zale e fale d valutazoe P, N Tasso d ercato d rfereto Cost d'vesteto M t0 C t Cost d gestoe (costo zale G 1, tasso d creeto G N t1 G G ( 1 t 1 t 1 G Rcav per vedta bglett (rcavo zale B 1 creeto B, tasso d N t 1 Bt B1 ( 1 B t1 Rcav per vedta lbr (rcavo zale L 1, tasso d creeto L Atoo Abal a.a

77 77 Mateatca Fazara N t 1 Lt L1 ( 1 L t1 Itrot dvers (troto zale D 1 e tasso d creeto D N t 1 Dt D1 ( 1 D t1 Itrot turstc (troto zalt1 e tasso d creeto T N T T ( 1 t 1 T t1 t 1 Iposte su rcav per vedta lbr e trot dvers (alquota d posta a N t1 S a ( L D t t t Cosderado tre dvers cash-flow: Cash-flow fazaro, dervate da cost d vesteto e d gestoe, dalle poste, da rcav per vedta bglett e lbr e dagl trot dvers N t0 Cff B L D C G S t t t t t t t Cash-flow ecooco otteuto dal cash-flow fazaro o cosderado le poste N t0 Cfe Cff S t t t Atoo Abal a.a

78 78 Mateatca Fazara Cash-flow socale otteuto dal cash-flow ecooco aggugedo gl trot d tpo turstco N t0 Cfs Cfe T t t t deterare se e per qual orzzot teporal W f, W e e W s l vesteto artstco culturale preseta, elle tre dverse potes (fazara, ecooca e socale, u tasso tero d redeto ˆ,, ˆ, e ˆ, o ferore al prefssato tasso f W f ew e auo d redeto. sw s Orzzote del T.I.R. fazaro (cost d vesteto e d gestoe, dalle poste, da rcav per vedta bglett e lbr e dagl trot dvers N Q QP K0 Cff ( 1 ˆ 0 ˆ ˆ k t f, Q f, Wf 1 f, Wf Orzzote del T.I.R. ecooco (de, o cosderado le poste N Q QP K0 Cfe ( 1 ˆ 0 ˆ ˆ k t e, Q e, We1 e, We Orzzote del T.I.R. socale (de, aggugedo gl trot d tpo turstco N Q QP K0 Cfs ( 1 ˆ 0 ˆ ˆ k t s, Q s, Ws1 s, Ws Atoo Abal a.a

79 79 Mateatca Fazara Atoo Abal a.a

80 80 Mateatca Fazara Atoo Abal a.a

81 81 Mateatca Fazara Atoo Abal a.a

82 82 Mateatca Fazara Esercz svolt Apl Dyalog Eserczo 2.2 (1 - Valore captale d ua redta >>> Eserczo 2.3 (1 - Valor attual e otat >>> Eserczo 2.3 (2 - Redte progressoe artetca >>> Eserczo 2.3 (3 - Redte progressoe geoetrca >>> Atoo Abal a.a

83 83 Mateatca Fazara Eserczo 2.4 (1 - Redte: valor attual e otat >>> Atoo Abal a.a

84 84 Mateatca Fazara Eserczo 2.4 (2 - Redte: valor attual >>> Atoo Abal a.a

85 85 Mateatca Fazara Eserczo 2.4 (3 - Redte: odfca delle codzo >>> Atoo Abal a.a

86 86 Mateatca Fazara Eserczo 2.5 (1 - Redte perpetue: valutazoe >>> Eserczo 2.5 (2 - Redte perpetue: calcolo del tasso >>> Eserczo 2.6 (1 - Redte frazoate: valutazoe >>> Atoo Abal a.a

87 87 Mateatca Fazara Eserczo 2.6 (2 - Redte frazoate: valutazoe >>> Eserczo 2.9 (1 - Redte cotue: valutazoe >>> Eserczo 2.10 (1 - Redte progressoe artetca >>> Atoo Abal a.a

88 88 Mateatca Fazara Atoo Abal a.a

89 89 Mateatca Fazara Eserczo 2.10 (2 - Redte progressoe artetca >>> Atoo Abal a.a

90 90 Mateatca Fazara Eserczo 2.10 (3 - Redte progressoe artetca >>> Eserczo 2.11 (1 - Redte progressoe geoetrca >>> Atoo Abal a.a

91 91 Mateatca Fazara Atoo Abal a.a

92 92 Mateatca Fazara Eserczo 2.11 (2 - Redte progressoe geoetrca >>> Eserczo 2.11 (3 - Redte progressoe geoetrca >>> Atoo Abal a.a