Soluzioni dei problemi proposti

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1 Probabltà e Statstca per le Sceze e l Igegera, /ed, P. Erto - Copyrght 8, The McGraw-Hll Compaes srl Soluzo de problem propost Captolo.9 Il umero telefoco può termare co dfferet coppe ordate ( ). Per cu la coppa 99 (come del resto qualsas altra delle possbl) ha probabltà /.. La probabltà o può essere msurata come se fosse u parametro fsco. La probabltà d u eveto è ua valutazoe umaa, effettuata base ad u seme d formazo (o esaustve) dspobl e che crescoo cotuamete co l espereza. I quest ambto, certamete rsultat d evetual prove spermetal rpetute trovao u posto mportate, ma o costtuscoo é uo strumeto e é ua procedura d msura della probabltà.. Gl evet a e b hao la stessa probabltà. Se qualcuo rspodesse è pù probable l eveto b lo farebbe certamete perché s rferrebbe o gà a questa specfca successoe (uca, come la a, ell ambto delle possbl) ma all seme delle 94 successo caratterzzate da se T e se C.. Ha ragoe, fatt, essedo: Pr{ B} Pr{ B A} Pr{ A} + Pr{ B A} Pr{ A} Pr{ A} l eguaglaza Pr{ AB} Pr{ BA} segue mmedatamete. Il rsultato vale geerale per le estrazo seza rmessa da u ura composta da d elemet dfettos e b buo. Ifatt abbamo: d d d Pr{ A} ; Pr{ B A} ; Pr{ B A} d + b d + b d + b da cu:

2 Probabltà e Statstca per le Sceze e l Igegera, /ed, P. Erto - Copyrght 8, The McGraw-Hll Compaes srl 54 Soluzo de problem propost Pr{ B} Pr{ B A}Pr{ A} + Pr{ B A}Pr{ A} d d d b d + Pr{ A}. d + b d + b d + b d + b d + b. L apparete paradosso è cosegueza del fatto che s cofodoo due evet d- è acqusto del bgletto vcete da parte d ua specfca persoa ; l vers: l prmo secodo è semplcemete acqusto del bgletto vcete. Il prmo è raro metre l secodo è certo..4 La probabltà che amc sao at gor dvers è: !.88 88% ! qud la probabltà che almeo due sao at ello stesso goro è par a crca l %..5 Le probabltà rcheste possoo essere calcolate faclmete co l auto de dagramm d Ve: a) Pr{ A B} ; b) Pr{ A B} Pr{ A} + Pr{ B} Pr{ B ( A B)} (.5) +.4 (.4.).8; c) { A B} { A B} Pr Pr.6.4; d) { A B} Pr (.5) + (.4) Dall equazoe Pr{ A B} Pr{ A} Pr{ B A} Pr{ B} Pr{ A B} otteamo: Pr{ A} Pr{ B A} 4 Pr{ B}. Pr{ AB} 5.7 Teedo coto delle potes d compatbltà ed s-dpedeza, le probabltà rcheste soo: a) Pr{ B C} ; b) Pr{ A B C} Pr{ A} + Pr{ B C} Pr {( A B) ( A C) } ; Pr { A ( B C) } Pr {( A B) ( A C) } c) Pr{ AB C} ; Pr{ B C} Pr{ B C} Pr {( B C) ( B C) } Pr{ B C} d) Pr{ B C B C}.6. Pr B C Pr B C { } { }.8 Utlzzado le soluzo del problema precedete, e teedo coto acora ua volta delle potes d compatbltà ed s-dpedeza, le probabltà rcheste soo: a) Pr A B C Pr A B C.46 ; { } { }

3 Probabltà e Statstca per le Sceze e l Igegera, /ed, P. Erto - Copyrght 8, The McGraw-Hll Compaes srl Soluzo de problem propost 54 b) Pr {( A B C) ( A B C) ( A B C) } {( )} {( ) ( )} Pr A B C Pr A B A C Pr{ B} Pr{ C}.6. Le asserzo essuo de tre s verfca e almeo uo s verfca soo tra loro complemetar. L compatbltà d A sa co B che co C mplca le dettà A B B e A C C..9 Coveamo d dcare col prmo umero l puteggo realzzato da Aldo e col secodo quello realzzato da Bruo. a) Qualuque sa l puteggo realzzato da Aldo, Bruo e realzza uo maggo- re: Pr{[ ( > )] [ ( > )] [ ( > )] [4 ( > 4)] [5 ( > 5)]} ; b) Bruo realzza u puteggo maggore oppure realzza lo stesso d Aldo e vee favorto dal successvo laco della moeta: Pr{[ ( > )] [ ( > )] [ ( > )] [4 ( > 4)] [5 ( > 5)]} + + Pr{[( ) ( ) ( ) (4 4) (5 5) (6 6)] (croce)} ; c) Bruo realzza u puteggo maggore d 4 oppure realzza ache lu 4 e vee favorto dal successvo laco della moeta: Pr{( > 4)} + Pr{(4) (croce)} L successo d u cclo può avvere maere dverse a secoda che o resca l prmo terveto o o resca l secodo o o rescao etramb. Aalogamete per l secodo cclo. I totale c soo maere dfferet cu s può verfcare l successo de due ccl. Og maera ha probabltà ( ) 4 per cu la probabltà d successo d etramb ccl è Il successo d u cclo può avvere ua sola maera, ossa quado etramb gl tervet rescoo. U solo successo può verfcars 6 maere dverse a secoda che l successo sa captato al prmo od al secodo cclo () oché a secoda che o sa ruscto l prmo o l secodo o etramb gl tervet (). Og maera ha probabltà ( ) 4 per cu la probabltà d u solo successo è Due success possoo verfcars ua sola maera allorché etramb ccl soo coroat da successo ossa quado s verfca ua successoe d 4 tervet rusct. La probabltà che cò accada è ( ) La probabltà dell eveto A può essere calcolata come rapporto tra l umero d coppe d carte d dear (evet favorevol) ed l umero d coppe d carte (evet

4 Probabltà e Statstca per le Sceze e l Igegera, /ed, P. Erto - Copyrght 8, The McGraw-Hll Compaes srl 544 Soluzo de problem propost possbl) che possoo essere estratte dal mazzo: 9 Pr{ A} Aalogamete, la probabltà dell eveto B può essere calcolata come rapporto tra l umero d coppe d carte d dear e d basto (evet favorevol) ed l umero d coppe d carte (evet possbl) che possoo essere estratte dal mazzo: Pr{ B} Cosderado cascuo de due evet come cocomtaze d specfche estrazo (ed utlzzado ua smbologa tutva) abbamo rspettvamete: { } { I II } Pr{ I } Pr{ II I } 9 Pr A Pr d d d d d.58 ; 4 9 Pr{ B } Pr{ ( Id IIb) ( Ib IId )} Pr{ Id} Pr{ IIb Id} + Pr{ Ib} Pr{ IId Ib} Etramb gl evet s possoo presetare C 5, maere dverse (compatb- l) ossa a secoda del umero d ordamet possbl d 5 pezz d cu d u tpo e d u altro. Ioltre, cosderado che ogua delle maere costtusce ua cocom- taza d evet elemetar la cu probabltà composta è sempre la stessa, otteamo che: Pr{ A}.4; Pr{ B} Le stesse probabltà possoo essere valutate come rapporto tra l umero d dfferet grupp d 5 pezz d cu dfettos (evet favorevol) ed l umero d dfferet grupp d 5 pezz qualsas (evet possbl) potezalmete estrabl da etramb lott: 5 5 Pr{ A}.4; Pr{ B} Per l lotto A rsultat soo dfferet; per l lotto B lo soo molto meo:

5 Probabltà e Statstca per le Sceze e l Igegera, /ed, P. Erto - Copyrght 8, The McGraw-Hll Compaes srl Soluzo de problem propost Pr{ A} Pr{ B} I geerale, le valutazo caso d estrazoe co e seza rmessa tedoo a cocdere quato pù è ferore a. l rapporto tra l umero d pezz estratt ed l umero d pezz preset el lotto..7 Nell potes che lac possao essere rteut evet s-dpedet (perché - d al- aztutto le codzo d laco soo omogeee, oché soo asset feome leameto o af fatcameto del cocorrete) la probabltà p d cetrare l bersaglo almeo ua volta lac è l complemeto all utà d o cetrarlo ma. Pertato, dovedo essere p (.75).99, trovamo per tetatv che 4. Ifatt ad corrspode p.98 e ad 4 corrspode p La probabltà d vcere u tero è: p : che term d scommessa coerete può essere espressa dal rapporto a ( a+ b) p, essedo a la somma che samo dspost a scommettere per guadagare b se l eveto T s verfcherà. Da cu, teedo coto che deve essere b ( a+ b) p, otteamo che la scommessa coerete sarebbe d a euro cotro b.747, euro..9 Applcado l teorema d Bayes abbamo: Pr{ cotamat cotamat} Pr{ cotamat cotamat} Pr{ cotamat} Pr{ cotamat} 4 Pr{ cotamat esemplar cotamat su } Pr{ } ( ) : 4. A pror possamo dre che l lotto esamato ha la stessa probabltà ( ) sere quello dcato co A, B o C. Ioltre le probabltà d estrarre u esemplare d scelta da lott A, B e C soo rspettvamete, e. L eveto cu samo teressat mplca la cocomtaza che l lotto esamato sa quello dcato co C (l uco che ha esemplar d a scelta) e che da questo sa estratto u esemplare d a scelta. Ap- plcado l teorema d Bayes, la probabltà d questo eveto è: d esa

6 Probabltà e Statstca per le Sceze e l Igegera, /ed, P. Erto - Copyrght 8, The McGraw-Hll Compaes srl 546 Soluzo de problem propost {( ) } a a a a Pr C scelta scelta Pr{ C scelta} Pr{ scelta C} Pr{ a scelta C } Pr{ C } Pr{ a C } a Pr{ scelta} S ot che questa probabltà è pù che dmezzata rspetto a quella assoluta (graze all applcazoe del teorema d Bayes che ha permesso l utlzzo dell formazoe spermetale l esemplare cotrollato è d a scelta ): Captolo a a { } { } { } Pr C Pr C Pr scelta C. > Idcado co b u pezzo buoo e co c u pezzo cattvo, possbl rsultat della prma estrazoe soo: { b b},{ b c}, { c b}, { c c}, rspettvamete d probabltà p /5 9/49, p /5 /49, p /5 /49, p 4 /5 9/49. Pertato, applcado la regola d Bayes, la rchesta probabltà è data complessvamete dalla somma: Pr{ b} p+ ( p + p) + p Applcado l Teorema d Bayes, la probabltà che l esemplare sa o coforme ( C ), ua volta che è stato scartato (SC), è data da: Pr{ C SC} Pr{ SC C} Pr{ C} Pr{ CSC} Pr{ SC} Pr{ SC C} Pr{ C} + Pr{ SC C} Pr{ C} (.). Graze all potes d s-dpedeza o è ecessaro calcolare la probabltà d C. Ifatt: Pr{ A B C} Pr {( A B) C} Pr{ A B}. Pr C 5 4 { }. Ache se rsulta Pr{ A B C} Pr{ A} Pr{ B} Pr{ C}, gl evet A B e C o soo s-dpedet perché Pr{ A B } Pr{ A} Pr{ B}, Pr{ A C} Pr{ A} Pr{ C }, e Pr{ B C} Pr{ B} Pr{ C}.. A dffereza del problema precedete, ora rsultao verfcate le codzo Pr{ A B} Pr{ A} Pr{ B}, Pr{ A C} Pr{ A} Pr{ C}, Pr{ B C} Pr{ B} Pr{ C}. Tuttava, essedo Pr{ A B C} Pr{ A} Pr{ B} Pr{ C}, ache questa volta gl evet A B e C o

7 Probabltà e Statstca per le Sceze e l Igegera, /ed, P. Erto - Copyrght 8, The McGraw-Hll Compaes srl Soluzo de problem propost 547 soo s-dpedet..4 Idcado co d I e d II l umero de pezz o coform estratt, rspettvamete dal I e dal II lotto (ell potes che l cotrollo de lott avvega dpedetemete uo dall altro) la probabltà d superare l cotrollo è: 7 7 Pr{ ( di ) ( dii ) } Pr{ di } Pr{ dii }.5. Vceversa, se la fortura avvee u uca soluzoe, la probabltà d superare l cotrollo è levemete ferore e par a: 4 4 : Da dat ostro possesso possamo rcavare le seguet valutazo (dcado co C l eveto l copercho -esmo copre la moeta, co P l eveto abbamo putato sul copercho e co S l eveto l avversaro ha scoperto l copercho ): Pr { C} ;,, Pr { S ( C P) } ; Pr{ S ( C P) } ; Pr{ S ( C P) } e qud, applcado la regola d Bayes, abbamo le valutazo a posteror: Pr{ C} Pr{ S ( C P)} Pr{ C S ( C P) } Pr C Pr S C P Pr { C S ( C P ) } { } { ( ) } + + ( ) { C} Pr{ S ( C P)} Pr Pr { C} Pr{ S ( C P) }. + + ( ) Qud, acora ua volta abbamo la coferma che la stratega del cambameto della putata è quella che sfrutta meglo le formazo d cu dspoamo al mometo..6 I cas possbl soo 6 6, metre quell favorevol ad u casso more d 6 euro soo quell rportat ella tabella seguete:

8 Probabltà e Statstca per le Sceze e l Igegera, /ed, P. Erto - Copyrght 8, The McGraw-Hll Compaes srl 548 Soluzo de problem propost Caso Vedta Icasso,,,, 4,, 4 4,, 4 5,, 5 6,, 5 7,, 5 8,, 5 9,, 5,, 5 Probabltà ( 6) ( 6) ( 6) ( 6) ( 6) ( 6) ( 6) ( 6) ( 6) ( 6) Coseguetemete: Pr{casso 6} Pr{casso < 6} L eveto s verfca se e solo se le prme vedte hao per oggetto altrettat prodott d costo ferore a 5 euro ed l terzo o: 4 4 Pr{ A } L eveto s verfca se e solo se le prme vedte hao per oggetto altrettat prodott d costo ferore a 6 euro: 5 Pr{ B} L eveto almeo u successo ( ) è l complemetare dell eveto essu successo ( ). Dovedo essere: Pr{ } Pr{ } (.6).9 rcavamo che l umero mmo d tetatv da effettuare è: l(.) x.5. l(.4). Le coppe dstte d lettere soo D 4, 4 metre le trplette dstte d cfre soo D, 9 8. Qud soo codc dsttv che possamo realzzare. Pertato, la probabltà d volarlo co u tetatvo co- x

9 Probabltà e Statstca per le Sceze e l Igegera, /ed, P. Erto - Copyrght 8, The McGraw-Hll Compaes srl Soluzo de problem propost 549 dotto a caso è par a Il umero d codc dfferet è aumetato d u fattore P5 ( P P) par al umero d possbl ulteror ordamet. Il umero totale è qud par a Ovvamete, gugamo allo stesso rsultato ache moltplcado l umero d possbl scelte delle lettere ( C 4, 76) e delle cfre ( C, ) per l umero delle possbl permutazo d 5 oggett dstt ( P5 ). La corrspodete probabltà d volarlo co u tetatvo codotto a caso è, qud, volte pù bassa d prma.. Per quato e sappamo, co la stessa probabltà l tecco può aver sosttuto ua scheda d u qualsas tpo co ua d u qualsas altro, purché dfferete dal prmo. Applcado la regola d Bayes: Pr{ A} Pr{ A ( A B) } Pr{ A B} + Pr { A ( A C) } Pr{ A C} + + Pr { A ( A D) } Pr{ A D} + Pr { B ( B A) } Pr{ B A} + + Pr { B ( B C) } Pr{ B C} + Pr { B ( B D) } Pr{ B D} + + Pr { C ( C A) } Pr{ C A} + Pr { C ( C B) } Pr{ C B} + + Pr { C ( C D) } Pr{ C D} + Pr { D ( D A) } Pr{ D A} + + Pr { D ( D B) } Pr{ D B} + Pr { D ( D C) } Pr{ D C} Il rsultato è ovvo, essedoc smmetra tra 4 cas possbl.. Le probabltà rcheste soo: Pr{ L} 86.86; Pr L D ; Pr LU { } { } Il fatto che le probabltà codzoate sao dverse da quelle assolute dcao che l occupazoe dpede dal sesso..4 Applcado la regola d Bayes abbamo: Pr{ L} Pr{ L D} Pr{ D} + Pr{ LU} Pr{ U} ossa la probabltà assoluta cocde co la meda pesata d quelle codzoate..5 Applcado l teorema d Bayes abbamo: Pr{ C} Pr{ S C} Pr{ CS} Pr{ C} Pr{ S C} + Pr{ C} Pr{ S C} essedo le probabltà d dagos (corretta o scorretta) delle probabltà codzoate per atura. La valutazoe.86 può essere terpretata come u aggorameto del dato storco. alla luce del rsultato spermetale e delle qualtà dagostche del

10 Probabltà e Statstca per le Sceze e l Igegera, /ed, P. Erto - Copyrght 8, The McGraw-Hll Compaes srl 55 Soluzo de problem propost sstema adoperato..6 Applcado uovamete l teorema d Bayes e teedo coto della valutazoe della probabltà d o coformtà appea effettuata, abbamo: Pr { C ( S S) } Pr{ CS} Pr{ S C} { C S} { S C} + { C S} { S C} Pr Pr Pr Pr Rscotramo u evdete ed ulterore affevolmeto della memora del dato storco assoluto Pr{ C }. (valdo per tutta la produzoe) ella valutazoe rguardate u esemplare specfco. Questa secoda applcazoe del teorema d Bayes dffersce dalla prma ucamete per la sosttuzoe dell formazoe a pror Pr{ C }. co quella aggorata Pr{ CS } Basta applcare la regola d Bayes: Pr{ S} Pr{ S C} Pr{ C} + Pr{ S C} Pr{ C} avedo questa volta, ovvamete, utlzzato la valutazoe della probabltà d o coformtà relatva a tutt gl esemplar e o quella relatva all esemplare esamato..8 Acora ua volta basta applcare l teorema d Bayes teedo coto che la coppa msta ( AA ) può verfcars due modaltà dverse (la prma pompa d tpo A coppa co la secoda d tpo A e vceversa): Pr{ AA } Pr{ GAA } Pr{ AA G} Pr{ AA } Pr{ GAA } + Pr{ AA } Pr{ GAA } + Pr{ AA } Pr{ GAA } C, C,.4 7 C, C, C7, C,. C, I effett sarebbe opportuo valutare almeo la probabltà delle altre tre potes alteratve ( AA, AA e AA ). Rpetedo l applcazoe del teorema d Bayes utlzzado gl stess dat d prma, rsulta Pr{ AA G} Pr{ AA G}.887 e Pr{ AA G }.44. Pertato l potes della fortura coforme alle rcheste ( AA ) rsulta probable solo al 4%, cotro l 86% dell uoe degl altr tre cas d o coformtà ( AA, AA e AA).. È facle rcooscere che gl stat soo e soo costtut da stat (-), (-) e (-) e dalle coppe d stat equvalet (-) e (-), (-) e (-), (-) e (-).

11 Probabltà e Statstca per le Sceze e l Igegera, /ed, P. Erto - Copyrght 8, The McGraw-Hll Compaes srl Soluzo de problem propost 55 Attesa l potes d s-dpedeza è facle calcolare la probabltà d og stato come prodotto delle due probabltà co pedc corrspodet. Tuttava cas pù compless rsulta utle rcorrere alla svluppo della poteza: ( p ) + p+ p p + p + p + pp+ pp + pp che forsce automatcamete le probabltà d tutt gl stat teedo ache coto dell essteza d probabltà ugual. Captolo.9 La dffereza quadratca meda rspetto ad u geerco valore x, della v.a. X, è data da: E{ [ X x] } E{ ( X E{ X} ) + ( E{ X} x) } Var{ X} + ( E{ X} x) che assume l valore mmo per x cocdete co la meda (smlmete al fatto che l mometo d erza è mmo rspetto al barcetro).. La seguete Cdf è relatva ad ua v.a. msta, defta sul semasse postvo, co u accumulo d massa el puto x, d valore F ( x ) F( x ): F( x) Fx ( ) Fx ( - ) x x Questa v.a., pur essedo o cotua, ha u seme d defzoe cotuo.. La dffereza cosste el fatto che u seme d evet a probabltà ulla può verfcars cotraramete ad u seme d evet mpossbl.. La rsposta è affermatva: ua v.a. msta ha queste caratterstche.. La meda della v.a. dscreta è per defzoe data da:

12 Probabltà e Statstca per le Sceze e l Igegera, /ed, P. Erto - Copyrght 8, The McGraw-Hll Compaes srl 55 Soluzo de problem propost y y y ( ) ( y ) E{ y} y p ( p) p p ( p) y y y y m m x m x p p ( p) p x x avedo posto m ed y x..4 La rchesta varaza è: Var{ } ( ) y y p py ( p) y y da cu, utlzzado rsultat del Problema., otteamo: y Var{ y} ( p) p p+ y py( p) y y y y ( ) ( y ) ( p) + p [( y ) + ] p ( p) y y ( p) + p ( ) p + p p ( p)..5 La meda della v.a. cotua è: } λx λx λ + λx dx x o. E{ x x e dx xe e [ e λ ] λ λ.6 Utlzzado la soluzoe del Problema.5, otteamo che la rchesta varaza è data da: ( ) Var{ x} x e λxdx x e λx λ λ x x + e λ dx λ + + λ λ λ λ.7 Dalla trasformazoe versa X ( Y) deducamo ( y) qud: { π ( ) } ( ) fy ( y) + y y ; < y<. dx e dy.8 La fuzoe Y cos( X) o è buvoca (essedo ua curva covessa e smme- trca rspetto all asse delle ordate) ell tervallo π x π, a cu corrspode y. Dal suo dagram ma deducamo: da cu: [ x) F ( π ) ] [ F ( π ) F ( x) ] [ F ( x) ] [ F ( x) ] FY ( y) FX ( X + X X + X X

13 Probabltà e Statstca per le Sceze e l Igegera, /ed, P. Erto - Copyrght 8, The McGraw-Hll Compaes srl Soluzo de problem propost 55 dfy ( y) dx dx fy ( y) fx ( x) fx ( x) dy dy dy + { f X [ arcos( y) ] fx [ arcos( y) ]} y ( π ) y ; per y essedo la dervata della trasformata versa: dx darcos( y). dy dy y.9 La fuzoe Y X + o è buvoca per x (a cu corrspode y ). Ivece è buvoca per < x (a cu corrspode < y 5). Pertato, essedo la trasformata versa e la sua dervata ugual rspettvamete a: dx X Y ; ( y ) dy abbamo: y per y ; f ( ) Y y y per < y 5. 6 Per ulterore eserczo, s verfch che è par all utà l tegrale della fy ( y ) per y 5. dx dy e. Dalla trasform azoe versa X ( Y ) deducamo ( y ) qud: ( ) fy ( y) y ; y 9.. La pdf della vta resdua all età t o è altro che ua pdf codzoata a T > t : Pr{( t< T t+ dt) ( T > t )} Pr{( t< T t+ dt) T > t} Pr{ T > t} f () t T t dt λt e λ dt ( λte λ t t ) dt; t> t. FT ( t ) e λ t È come dre che la massa d probabltà che compete a (, t t+ dt) è rmasta quella orgara; vece, le alteratve possbl soo dmute del tratto (, t ). Pertato, solo dvdedola per FT ( t ), l suo tegrale esteso da t ad rsulta essere uguale all utà. Ovvamete, gugamo allo stesso rsultato se calcolamo la dervata della

14 Probabltà e Statstca per le Sceze e l Igegera, /ed, P. Erto - Copyrght 8, The McGraw-Hll Compaes srl 554 Soluzo de problem propost Cdf codzoata a T > t (.7).. Utlzzado l operatore speraza matematca per l calcolo della meda: 4 5 x x { } E{ Y} E X + + dx + + e per l calcolo del mometo secodo: { } 5 7 x x 4 44 E{ Y } E ( X + ) abbamo ache due added per calcolare la varaza: Var{ Y} E{ Y } [ E{ Y} ] Ovvamete otteamo gl stess rsultat ache se vece della pdf della v.a. X utlzzamo la pdf della v.a. Y otteuta come soluzoe del problema.9. Ad esempo per la meda abbamo: y.5 5 y.5 + ( ) ( ) E{ Y} y fy ( y) dy y dy y dy Iaztutto calcolamo la Cdf della v.a. X (defta per x ) tegrado la pdf data: + x F ( ) X x ; per x 9 essedo 9 la costate d tegrazoe della pdf (ecessara affché la Cdf sa postva, o decrescete e tale che F X ( ) ed F X () ). Per defzoe d Cdf d Y è: F Y ( y) Pr{ Y y} Pr{ X y } Pr{ y X y } Pr{ X y } Pr{ X y } FX ( y ) FX ( y ). Cosderado che la fuzoe d trasformazoe è ua parabola co vertce el puto (,), deducamo che all tervallo d defzoe [,] per X corrspode l tervallo [,5] per Y. Ioltre, poché a valor y > corrspodoo valor egatv x < per qual FX ( x ), possamo scrvere: ( ) ( ) + ( y ) + y y ; per y F ( ) Y y ( y ) ( y ) + + ; per < y Calcolamo la Cdf della v.a. X tegrado la pdf data x FX ( x) ; per x.

15 Probabltà e Statstca per le Sceze e l Igegera, /ed, P. Erto - Copyrght 8, The McGraw-Hll Compaes srl Soluzo de problem propost 555 Per defzoe d Cdf d Y è: { } FY ( y) Pr{ Y y} Pr{ X y } Pr X ( y ) ( y ) FX ( y ) ; per y 9..5 Impoamo che sa par a.5 l valore della Cdf d Y : F { Y ( y) Pr{ Y y} Pr ( X ) y} Pr{ y X + y} + y y FX ( + y) FX ( y) da cu rsulta che la medaa d Y è y, la quale o corrspode a quella d X (par ad 8, per smmetra) ragoe della trasformazoe o buvoca. Se vece, ad esempo, la trasformazoe fosse stata Y ( X ), avremmo avuto per Y la medaa y 7..6 Applcado la defzoe d meda abbamo: E{ X} x PX ( x) + x fx ( x) dx oltre, essedo: 8 E { X } x PX ( x ) + x fx ( x) dx 8 abbamo: { } [ ] Var{ X} E X E{ X}. È teressate otare che otteamo lo stesso rsultato se ( aaloga al teorema d Huyges) sommamo le varaze delle due masse parzal ( 46e6), rspetto alle loro rspettve mede ( ed ), alla varaza rspetto alla meda globale ( ) delle due masse cocetrate elle loro rspettve mede: ( x ) 6 dx+ (4 6) ( ) + ( 6) ( ) Applcado la defzoe d Mgf abbamo: 4 t () tx ( ) tx etx e Φ X t e PX x + e fx ( x) dx t + 6 t da cu, ad esempo, possamo calcolare la meda: ' te t e t + e t + te t E{ X } Φ X () lm 6 t. x.8 La fuzoe è o decrescete e soddsfa le due codzo FX ( ) ed FX ( ). Essedo a grad caratterzza ua v.a. dscreta. I tre salt dvduao suo tre possbl valor (,, ) cu competoo rspettvamete le seguet probabl- t

16 Probabltà e Statstca per le Sceze e l Igegera, /ed, P. Erto - Copyrght 8, The McGraw-Hll Compaes srl 556 Soluzo de problem propost tà: PX () F ( + X ) F ( X ) ; 5 PX () F ( + X ) FX ( ) ; 6 5 PX () FX ( + ) FX ( ) 6 6 La Mgf è: Φ () t t X t + e + e. 6.9 Il cercato modello d pdf deve essere tale che: 4 4 f ( xdx ) axdx 8a X qud la formulazoe della pdf è semplcemete l prodotto 8x.. Impoedo che sa: f ( x) dx a l( + x) al() abbamo a l(). X [ ]. Dervado la Cdf abbamo: ; per x < fx ( x) a; per x b; a> ; per x> b Essedo per cotutà FX ( b ), deducamo che deve essere ab.. La formulazoe dela pmf ed valor che essa assume soo: 9 x 5 x PX ( x) ; x,,5; 5.58;.9;.7 ;.68 ;.5 ;.5 5. Il valore atteso o solo è dverso da quell che può assumere la v.a. ma è ache sorpredetemete basso: 5 E{ X} x PX ( x).5. x. Per essere costrett ad effettuare x estrazo, seza rmessa, per trovare ache l decmo esemplare dfettoso, vuol dre che s verfca la seguete cocomtaza: elle prme x estrazo soo trovat 9 esemplar ed all' x -esma s trova l decmo. Qud la probabltà d x è:

17 Probabltà e Statstca per le Sceze e l Igegera, /ed, P. Erto - Copyrght 8, The McGraw-Hll Compaes srl Soluzo de problem propost x PX ( x) ; x,,,,. ( x ) x.4 Se dobbamo effettuare x lac per otteere u umero ferore a, vuol dre che s verfca la seguete cocomtaza: e prm x lac compaoo tutt umer ugual o superor a ed all' x -esmo l prmo ferore a. Qud la probabltà d x è: x PX ( x) ; x,,,..5 La varaza della somma delle tre v.a. è: { } Var{ } + Var{ } + Var{ } { } + Cov { X, X } + Cov { X, X } Var X + X + X X X X + Cov X, X + utlzzado le (.6) e (.8) abbamo: Var{ X}.; Var{ X}.8; Var{ X}.; { X X } { X X } { X X } Cov, 5.66 ; Cov, 8. ; Cov,.59 qud l rchesto scarto tpo è: Var X + X + X { }.6 Il umero d pezz dfettos che l operatore troverà è la somma Y d v.a. X che, assumedo valor e rspettvamete co probabltà p. e q p.99, hao tutte meda E{ X } p+ q p. Per la leartà dell operatore speraza matematca abbamo: E{ Y} E X E{ X} p. come, del resto, era tutvo prevedere..7 È suffcete rpetere lo stesso ragoameto mpegato per rsolvere l problema precedete otteedo che l umero atteso d guast è E{ Y} P+ P + P. Per cotrollare questo rsultato, è suffcete otare che u guasto s verfca se a guastars è l uo o l altro o l altro acora; due guast s verfcao se cotua a fuzoare solo l uo o solo l altro o solo l altro acora; tre guast s verfcao solo se s guastao tutt. Pertato la pmf del umero d guast è: PY () P+ P + P PY () ( P) PP + P( P) P + PP ( P) PY () PP P da cu è facle cotrollare che:

18 Probabltà e Statstca per le Sceze e l Igegera, /ed, P. Erto - Copyrght 8, The McGraw-Hll Compaes srl 558 Soluzo de problem propost Y. E{ Y} P ( ) P + P + P.8 Ua successoe d x pezz coform seguta da u pezzo dfettoso (che determa l mme dato arresto della lea) è prodotta co probabltà p x ( p). Pertato l umero atteso d pezz coform prodott, tra due arrest cosecutv della lea, è (cfr. Appedce A): p E{ X} ( ) x x PX x x p ( p). p x x.9 È ecessaro segure u ragoameto aalogo a quello che c ha permesso d rsolvere l problema precedete, facedo però attezoe che questa volta l umero massmo d spezo utl è fto e par ad : ( p ) E{ X} ( ) x x PX x x p ( p) p x x p e, qud, la meda cercata è par alla somma parzale della sere gà cosderata el problema precedete (cfr. Appedce A)..4 Le v.a. X ed Y hao stessa meda e varaza: a a E{ X} E{ Y} xdx ; a Var{ X} Var{ Y} a xdx a a a a a 4 da cu essedo E{ } u operatore leare: E{ Z} E{ X Y} E{ X} E{ Y} teedo coto che Var{ } e u operatore o leare e che l s-dpedeza d X ed Y mplca Cov{ X, Y } : a Var{ Z} Var{ X} + Var{ Y}. 6.4 Il modello è valdo, fatt la fuzoe è postva ed oltre: (, ) x f XY x y dx dy e dy ( e ) dy e e. Le pdf margal soo: x ( ) x e f ; ( ) x X x e dy fy y e dx e e e co mede: x ( ) e x y E{ X} ; E{ Y} e e. Le due v.a. soo s-dpedet perché vale l equazoe f ( xy, ) f ( x) f ( y. ) XY X Y

19 Probabltà e Statstca per le Sceze e l Igegera, /ed, P. Erto - Copyrght 8, The McGraw-Hll Compaes srl Soluzo de problem propost Per calcolare la pdf della v.a. Z X Y, possamo sceglere come varable d comodo V X : ev fzv ( z, v) fxy [ x( z, v), y( z, v) ] J e dove J. La v.a. V rsulta lmtata ferormete dal valore della Z, ossa dalla dffereza aleatora e che separa X da Y. Ioltre V è lmtata superormete dal lmte fsco costtuto dalla capeza utara del serbatoo. Qud è Z V. Itegrado la f ( zv, ) tra z ed rspetto a v, otteamo la rchesta pdf: ZV ( ) v v e e fz z e dv e e z e z e l cu tegrale tra ed, ovvamete, è par all utà. Il valore atteso del volume d acqua resdua è: e ez E{ } ( ) z Z z f ( ) Z z dz e z.9 e e..4 La Pr{ X > } Pr{ X }.6.5. La Cdf d X è: {.6 x ; per < x 5 FX ( x).8 +. x; per 5 < x 5 da cu possamo verfcare che Pr{ X > } F X ().5. La meda d X è: 5 5 E{ X}.6 xdx+. xdx 4. 5 La medaa è d poco ferore alla meda ed è par a.5, essedo F (.5).5. La varaza è: X { } [ ] Var{ X} E X E{ X}.6 x dx+. x dx qud lo scarto tpo è La Mgf è: { tx 5 tx 5 tx 5 5 } ( t t ) Φ X ( t) E e.6e dx+.e dx.4e +.e.6 5 t da cu, ad esempo, possamo calcolare la meda: ' E{ X} Φ ().4 5t(5 ). 5t X e t e (5t ).6 t + t e5t e5t lm [ 7 +.5(5t ) ] + [ (5t ) ] 4 t avedo applcato la regola dell Hôptal..45 Per tale v.a. la Mgf o esste perché l tegrale dverge. Ifatt, tegrado per part abbamo: z

20 Probabltà e Statstca per le Sceze e l Igegera, /ed, P. Erto - Copyrght 8, The McGraw-Hll Compaes srl 56 Soluzo de problem propost tx tx tx e e x x + x e dx dx essedo quello a secodo membro u oto tegrale o covergete ell tervallo [, )..46 La Cf d X è: t X ( ) { } Ψ () E t x X t e e dx t ed è legata alla Mgf dall dettà Ψ () t Φ ( t)..47 La Mgf d X è: X t t X () t E{ etx e + e Φ }..48 Utlzzado la soluzoe del problema precedete, abbamo: X ' X ( t ) t E{ X } Φ () { } [ ] '' Var{ X} E X E{ X} ΦY (). ( ) t t.49 Essedo la pdf cotua x, è ulla la probabltà che l lvello d emsso sa par esattamete al valore lmte. Il valore atteso del dao è: 4 (9 x ) x 9 5 x dx x Essedo le v.a. X ed Y s-dpedet, abbamo: t( X+ Y) { } Φ () t E e Φ () t Φ () t Z X Y dove le due Mgf a secodo membro soo rspettvamete: () t t tx e e Φ X t xe dx + ; t > t t π π s( ) s( ) cos( ) t () ty y ty t y y eπ + Φ Y t e dy e ( t ) ( t + + ). Per l calcolo del secodo tegrale s ot che valgoo etrambe le seguet equazo: ty s( y) ty cos( ) ty t e dy e d y e cos( y) cos( y) e ty dy + ty s( y) s( ) ty tys( ) ty e dy y de e y e cos( y) dy t t t da cu:

21 Probabltà e Statstca per le Sceze e l Igegera, /ed, P. Erto - Copyrght 8, The McGraw-Hll Compaes srl Soluzo de problem propost 56 ty s( ) cos( ) cos( ) ty e y + te y y e dy + t che sosttuto ua delle due equazo precedet forsce l tegrale defto utlzzato el calcolo d Φ () t. Captolo 4 Y 4.9 Le potes redoo possble l applcazoe del modello Bomale. Fssado p. ed, la Cdf bomale c forsce: Pr{ Y } P ( y) y Y qud, solo ua volta og prelev rleveremo pù d prov quat oltre l lmte tollerable. 4. Dalla defzoe d perodo d rtoro, deducamo che l eveto s verfca og.8.5 a. Allo stesso rsultato perveamo cosderado la v.a. Y X + essedo X la v.a. Geometrca (co p.8) che cota l umero d a che precedoo quello cu s verfca l eccesso d pogga. Per cu l perodo d rtoro dell allagameto rsulta essere come prma T ( p).5 a. 4. Possamo adottare l modello d Posso co μ.8 otteedo: Y y 4 y P ( y) P ( y) ( ).99 Y coè è par a crca l % la probabltà che la sogla vega superata (tuttava, se le cosegueze fossero grav l rscho sarebbe o trascurable). 4. Adottamo l modello d Posso co μ 5.5: Y P ( y) P ( y) (.665+.) y y Y qud, la probabltà o è trascurable, essedo par a crca l %. 4. Prelmarmete, otamo che essere costrett a sommstrare l farmaco ad e- sattamete 6 pazet (uo dopo l altro) per osservare che mafestao effett collateral, equvale ad accumulare 4 osservazo eset da effett prma delle che vece e soo caratterzzate. Pertato, possamo applcare l modello Bomale Negatvo co p.7 e m. La rchesta probabltà è qud: Y y 5 y 4 P ( y) P ( y) ( ).4. Y ty 4.4 Applcado l modello Ipergeometrco co N 8 e D, otteamo che per

22 Probabltà e Statstca per le Sceze e l Igegera, /ed, P. Erto - Copyrght 8, The McGraw-Hll Compaes srl 56 Soluzo de problem propost l umero medo d cofezo avarate rscotrate è D N.75. Pr{ } 4.5 Applchamo l modello d v.a. Bomale, Y, co p.95. Dobbamo dvduare l valore d per cu Pr{ Y }.98 rsolvedo per tetatv l equazoe: py( p) y >.98 y y. Il um ero d esemplar da portare è 4; fatt per abbamo Pr{ Y }.857 e per 4 abbamo Pr{ Y }.986. Applcado l modello Bomale Negatvo co p.5, y ed m abbamo: P Y () Pr{uo solo guasto tra prm tre} Pr{l quarto fuzoa} Al collaudo degl esemplar prelevat dalla lea A è applcable l modello B- omale. A quello degl esem plar prelevat dal lotto B (seza rmessa, come è prass e collaud) è applcable l modello Ipergeometrco. I rsultat soo raccolt ella tabella seguete e soo dcatv del lvello d approssmazoe che comporta l applcazoe del modello Bomale caso d estrazoe seza rmessa d u cam- o trascurable rspetto a quella del poe d dmesoe lotto. lea A prob. d superare l collaudo > Pr{ } > lotto B frazoe d coform Pr{ 5 }.64 >. Pr{ }.74 > I meda arrvao 6. auto al secodo. Applcado l modello d Posso abbamo: Y y y P ( y) PY ( y) ( ) Possamo applcare l modello Bomale co p.94, avedo fssato l valore della Cdf Rsolvedo per tetatv la seguete equazoe: 9 y p y( p ) y. y

23 Probabltà e Statstca per le Sceze e l Igegera, /ed, P. Erto - Copyrght 8, The McGraw-Hll Compaes srl Soluzo de problem propost 56 otteamo che deve essere 4, fatt, per, 4 e 5 abbamo rspettvamete che la Cdf.6,. e La formulazoe della Mgf è: { + } { } ty t(4x ) t 7t Φ X () t E e E e.e +.7 e. 4. La v.a. Z umero complessvo d rcheste è defta come somma d due v.a. s-dpedet: Z X + Y, dove X rappreseta la v.a. umero d rcheste d tpo tecco e Y la v.a. umero d rcheste d tpo commercale. Sa X che Y s pos- d Posso co parametr, rspettvame- soo rteere dstrbute secodo u modello te, λ X rcheste d tpo tecco/muto e λ Y 5 rcheste d tpo commerca- le/muto. Per la rproducbltà della v.a. d Posso, Z è ua v.a. d Posso d para- λ λ + λ 5 rcheste/muto, per cu abbamo: metro Z X Y { } ( 5 5) λ 5 5 Z 5; z ; t5; Pr Z e.9.! 4. È plausble rteere che l estrazoe avvega seza rmessa per cu possamo u- tlzzare l modello Ipergeometrco co N, D, e k. La rchesta probabltà è: Pr{ K }.59. Poché la frazoe d campoameto (rapporto tra l umero d pezz estratt,, ed l umero d pezz preset el lotto, N ) è more del %, è possble rteere che l estrazoe avvega co rmessa e, qud, approssmare l modello pergeometrco co quello bomale co p D N. ed. Abbamo: Pr{ }. (.) K La v.a. X umero goralero d autocarr attv può essere rteuta d tpo bomale d parametr 5 e p 5.4. Il rscho rchesto è: 5 5 Pr( 5) Pr( 5).4x (.4) 5 x X > X x. x 4. Possamo adottare l modello Bomale co p e otteedo:

24 Probabltà e Statstca per le Sceze e l Igegera, /ed, P. Erto - Copyrght 8, The McGraw-Hll Compaes srl 564 Soluzo de problem propost y Pr{ Y 8} PY ( y ) y y 8 y La probabltà che tre amc totalzzo due vcte u mese s calcola agevolme te teedo coto dell potes d s-dpedeza degl est delle 4 gocate complessve: 4 4 p 4 ( p ) ( 4.97 ) ( 4.97 ) 4. dove p è la probabltà d vcere u ambo gocado due umer su d ua specfca ruota calcolata ell Esempo Il umero X d caddat da esamare prma d trovare l prmo doeo è ua v.a. Geometrca co parametro p.6. Il umero totale d caddat da esamare per trovare l prmo doeo è X +. Pertato, per x +, abbamo che la probabltà rchesta è: p9 p ( ) 4.6 Il umero d serm et a vuoto, Y, rchesto per raggugere l credto ecessaro ad otteere l caffè è ua v.a. Bomale Negatva co parametr p. ed m. Pertato la probabltà rchesta è: 4 P () ( ) 6..9 Y p p Il umero d allev Gestoal che captao egl 8 post della prma fla è ua v.a. Ipergeometrca K d parametr N 5, D ed 8. Pertato la probabltà rchesta è: 5!! 8! ( 5 8 )! P K (5) ! ( 5 )!! ( )! 5! Dalle sole formazo ostro possesso possamo valutare la probabltà del mafestars della cogestoe accordo ad ua v.a. d Posso co: λ gor da cu otteamo che la probabltà d cogestoe ua settmaa è: Pr essua cogestoe 7 gor e λ e { } 7 Essedo Cov{ X, X }, abbamo: E[ Z] E[ X] + E[ X] p+ p p Var Z Var X + Var X pq + pq pq.7. [ ] [ ] [ ] y

25 Probabltà e Statstca per le Sceze e l Igegera, /ed, P. Erto - Copyrght 8, The McGraw-Hll Compaes srl Soluzo de problem propost 565 Graze all potes d s-dpedeza ed all eguaglaza p p, possamo affermare che soo soddsfatte le codzo d rproducbltà della Bomale. Pertato la v.a. Z è bomale co parametr p p p ed Adottado l modello d Posso co λ put/set, per x 5 set, s ottee: Captolo 5 5 y ( x) λ y λ Pr{ Y 5} e x.67; y! Pr{ Y 7} Pr{ Y 5} Pr{ Y 6} La rchesta pdf sste sul segmeto (, ) e, qud, dovedo essere smmetrca e d area utara, deve essere u tragolo soscele co vertce el puto (, ). Pertato la sua pdf è costtuta da due segmet seguet: z per z fz ( z) { z per < z 5. Aalogamete al problema precedete, la rchesta pdf sste su u segmeto d lughezza utara (che parte dall orge degl ass) e, qud, deve essere u tragolo soscele co vertce el puto (/, ) affché la sua area sa utara. Pertato la sua pdf è costtuta da due segmet seguet: { 4z per z ; f ( z) 4 4z per < z. 5. Per la dmostrazoe è suffcete formulare la Mgf della v.a. Tragolare defta el problema precedete e verfcare che essa cocde co quella della v.a. Z, meda d due v.a. Uform rdotte, gà rcavata prma (cfr. Problema Error! Referece source ot foud.): du X U ; U X ; x dx x du x ( ) [ ( ) ( )] X U U ; f x f u + f u e < x< dx π e traslado d / verso sstra la fuzoe tegrada del secodo tegrale: tz tz t tz t e 4 z dz + e + ( 4 z) dz e 4 z + e ( 4 z) dz ( ) 4 z et ( 4 z) tz 4 de et +. t t 5. La v.a. bdmesoale ( X, Y ) è dstrbuta uformemete sul quadrato Q d lato utaro.

26 Probabltà e Statstca per le Sceze e l Igegera, /ed, P. Erto - Copyrght 8, The McGraw-Hll Compaes srl 566 Soluzo de problem propost z> Y T s z< T X z< z> La retta X + Y z terseca gl ass e put (, z ) e ( z,), essedo z uo specfco valore d Z. I put ( X, Y ) d Q, sottostat questa retta, rspettao la dseguaglaza X + Y < z. Se z, l tersezoe co gl ass cade all tero del lato d Q e dett put appartegoo al tragolo rettagolo T cluso tra la retta e gl ass. Il rapporto tra le aree d T e Q forsce la probabltà d dett put: area d T z FZ ( z) Pr{ X + Y z} ; se z. area d Q Se vece è z >, l tersezoe co gl ass cade all estero del lato d Q ed put, che rspettao la dseguaglaza X + Y < z, soo tutt quell che appartegoo a Q meo quell che appartegoo al tragolo rettagolo T s cluso tra la retta e l agolo del quadrato d coordate (,). Il rapporto tra le aree d Q Ts e Q forsce la probabltà d questo secodo seme d put: area d Q area d Ts ( z) F ( ) Pr{ } Z z X + Y z ; se z>. area d Q La Cdf cercata è l uoe d queste due formulazo e la sua dervata cocde co la pdf d cu al Problema (5.9 ). 5. Aalogamete alla meda d due v.a. Uform rdotte (cfr. Problema Error! Referece source ot foud. ), la meda Z d v.a. Uform rdotte s-dpedet, Y, ha la seguete Mgf: et Φ Z () t ; Z t Lo svluppo sere d Mac Laur d questa Mgf forsce: Y.

27 Probabltà e Statstca per le Sceze e l Igegera, /ed, P. Erto - Copyrght 8, The McGraw-Hll Compaes srl Soluzo de problem propost 567 da cu, fe, otteamo: ( ) ( ) et t t t t t ! t ψ ( ) + t + + +! ψ ( ) lm ψ ( ) lm e e + che costtusce la Mgf d ua v.a. ad u sol valore, / (co probabltà utara). Vale la pea otare che, accordo col teorema del lmte cetrale, essa cocde pure co la Mgf d ua v.a. Gaussaa (co meda / e varaza ulla). 5.4 È suffcete esprmere fuzoe del modello Espoezale la probabltà codzoata assegata: f ( x ) dx λe λx dx Pr { x< X x+ dx X > x} λ dx. F ( x ) e λx 5.5 La rchesta vta meda è: x x y X ( ) λ λ ( λ) ( λ) y y e dy ( ) ( π λ) f x dx x e dx y e y dy Γ λ λ avedo utlzzato la trasformazoe y λ x. 5.6 Suppoedo che la sosttuzoe del compoete crtco avvega u tempo trascurable, l umero d guast segue ua legge d probabltà d Posso co λ.. Se Y è l umero d guast ed è l umero d rcamb, l avara cocde co l eveto { Y > }. Qud: y t λx y λx 6 ( ) Pr{avara} Pr{ Y > } e <. y! Rsolvedo per tetatv questa dsequazoe trovamo che solo per abbamo u valore ferore a 6 e par a.5-7 (fatt per abbamo 9.6 e per abbamo 4. 5 ). β 5.7 La pdf Webull è ( ) ( w α ) f ( w) ( β α) w α e da cu: W β

28 Probabltà e Statstca per le Sceze e l Igegera, /ed, P. Erto - Copyrght 8, The McGraw-Hll Compaes srl 568 Soluzo de problem propost β β + ( ) ( w α ) β β β dw E{ W} β w α e dw α z e dw β α α Γ + ; z ( w α) ; w α z ; z. β dz β 5.8 Dalla Cdf relatva al gruppo A, abbamo che la probabltà d macato allarme è crca del 6%: X μ A.8.65 Pr{ X <.8} Pr{ < } Pr{ U <.5}.6. σ A.59 Dalla Cdf relatva al gruppo B, abbamo che la probabltà d falso allarme è crca del %: X B μ B.8.9 Pr{ X B >.8} Pr{ > } Pr{ U >.85}.. σ B La probabltà che l lvello ematco d acdo urco sa superore a 7 mg/dl è: { X } X μ { X 7 5.4} { U } σ Pr > 7 Pr > Pr > X l cu verso forsce l perodo d rtoro T 8.5, ossa, meda, og crca 8 soggett cotrollat e trovamo uo co lvello ematco d acdo urco superore a 7 mg/dl. 5. Codzo sfavorevol sgfca rapporto XY< che, a sua volta, mplca che sa X Y <. La v.a. Z X Y è ach essa Normale co meda μz μx μy e scarto tpo σ σ + σ, per cu: Z X Y Z μ Z 4.6 Pr{ Z < } Pr{ < } Pr{ U <.69}.45 σ.7 Z qud, crca l 5% de cas l dosaggo mpegato o rsulta effcace. 5. Se le prm e 9 o 8 o 7 hao peso complessvo g l eveto { < } s verfca. Covee qud calcolare la probabltà dell eveto complemetare { } che s verfca solo quado le prme hao peso complessvo g. Questo secodo eveto s verfca l 5% delle volte, vsto che l peso d caramelle è ua v.a. ormale propro d meda μ μ X Impoedo che sa: λ eλxdx eλx eλ abbamo che per λ l() la fuzoe può essere assuta come modello d pdf ell tervallo [, ]. La Mgf d questo modello è: z

29 Probabltà e Statstca per le Sceze e l Igegera, /ed, P. Erto - Copyrght 8, The McGraw-Hll Compaes srl Soluzo de problem propost 569 { etx} λ t e Φ X () t E λ + λ + t da cu, ad esempo, calcolamo la meda: λ t( λ + ) λ t + λ eλ ( λ + t) t ' e + t e + e + E{ X } Φ X () λ.557. λ 5. Da dat ostro possesso rteamo plausble l mpego del modello d Posso per la pmf delle v.a. Y A umero d pezz d tpo A ed Y B umero d pezz d tpo B co, rspettvamete, λ A 65.4 pezz d tpo A/muto e λ B 5. pezz d tpo B/muto. Se rteamo s-dpedet le v.a. Y A ed Y B, la rproducbltà del modello d Posso c garatsce che la v.a. Y YA + YB umero d pezz è ua v.a. d Posso co λ λa + λb pezz/muto. La v.a. T tempo tercorrete tra gl evet cotat dalla v.a. d Posso è d tpo Espoezale, per cu rsulta: { T.6 } Pr e La v.a. Y superfce complessva rcoperta da fogl d allumo è otteuta come somma d v.a. Gaussae: Y X, essedo X la v.a. superfce rcoperta dall -esmo foglo d allumo. La rproducbltà del modello Normale c garatsce che Y è ach essa ua v.a. Normale d meda μy μ m e scar- X to tpo σ. m Y σ. Pertato, l umero mmo d fogl d allumo è quello tale che: Y μy 5 5 Pr{ Y > 5} Pr{ > } Pr U.99 σ > >. Y.. Utlzzado le tabelle della Normale stadard, s deduce che l prmo percetle u. è uguale a.; per cu l valore mmo d è quello che soddsfa la seguete dsuguaglaza: 5 <... Il umero d fogl è 6; fatt per 5 abbamo Pr Y > 5.5 e per 6 abbamo Pr{ Y > 5} { } 5.5 Per la rproducbltà della v.a. Normale, la v.a. Z R S è ach essa ua v.a. Normale co meda μ μ μ e scarto tpo σ σ + σ Z R S Poché: Pr R> S Pr Z R S > { } { } λ Z R S

30 Probabltà e Statstca per le Sceze e l Igegera, /ed, P. Erto - Copyrght 8, The McGraw-Hll Compaes srl 57 Soluzo de problem propost la rchesta probabltà è: Z μ Z 87 Pr{ Z > } Pr{ Z } Pr{ } Pr{ U.97}.98. σ Z 5.6 Rteedo plausble l adozoe del modello d Posso, abbamo: (.5 5) y λ x.5 5 { Y } e y y!.5; 5; Pr.85. Il calcolo d questa sommatora rsulta alquato laboroso. Dveta pù semplce se approssmamo l modello d Posso d parametro μ Y co u modello Normale d parametr: μ μ Y 5 e σ σy μy 5 5. Pertato, ua buoa approssmazoe della probabltà rchesta è: Y μ Pr{ Y } Pr{ } Pr{ U.9}.84. σ 5 L addzoe del valore.5 mglora l approssmazoe, poché la destà gaussaa che s estede da.5 a +.5 vee assegata al valore possoao. A- alogamete, qualora avessmo voluto calcolare Pr{ Y } avremmo dovuto sottrarre l valore.5. L approssmazoe gaussaa adottata è valda quato pù la pmf della v.a. d Posso ha forma smmetrca. I pratca cò accade quado μ >. 5.7 Calcolamo aztutto la probabltà che u prodotto sa coforme: 9.7. X μ X.. Pr{ 9.7 < X.} Pr{ < }. σ X. Pr{.5 < U.5} FU (.5) FU (.5) Applcado l modello d v.a. Bomale, Y, co e p.8664, abbamo: Pr{ 75} ( ).8664 y y Y PY y (.8664).9995 y. y 75 y 75 Il calcolo d questa sommatora rsulta alquato laboroso. Dveta pù semplce se approssmamo l modello Bomale d parametr e p.8664 co u modello Normale d parametr: μ μ Y p e σ σ Y p( p).4. Ua buoa approssmazoe della probabltà rchesta è: Y μ Pr{ Y 75} Pr{ } Pr{ U.57} σ.4 La sottrazoe del valore.5 mglora l approssmazoe. Qualora avessmo voluto calcolare Pr{ Y 75} avremmo dovuto, vece, aggugere l valore.5. L approssmazoe gaussaa adottata è tato pù valda quato pù la pmf della v.a. Bomale ha forma smmetrca. I pratca cò accade quado p >. p > e ( ) 5.8 Sulla base delle formazo ostro possesso è ragoevole assumere u mo-

31 Probabltà e Statstca per le Sceze e l Igegera, /ed, P. Erto - Copyrght 8, The McGraw-Hll Compaes srl Soluzo de problem propost 57 dello Gumbel (de massm) per la v.a. X, assegado a parametr d poszoe e scala, a e b, valor tal da coferre alla dstrbuzoe la meda e la devazoe stadard forte (cfr. Appedce A): E{ X } a bγ () a+.577b 77 Var{ X} bπ 6 7 da cu s rcavao valor a 6.5 e b Qud: e ( ) ( ) Pr{ X > } FX e.; T 4.5 a Idcado co T la durata complessva e co T quella della geerca battera, abbamo: μt E{ T+ T + T} h σ T Var{ T} Var{ T+ T + T}.5.6 h. Geeralzzamo ad u qualsas l rsultato precedete e cosderamo l quatle u.9 della Normale Stadard. Otteamo l valore corrspodete al umero d battere cercato maggorado le soluzo della seguete equazoe d grado: 5 μ u.9; (5 μ) u.9 σ σ la cu soluzoe è.; qud, assumamo par ad 4 l umero rchesto. 5. Per la v.a. X Normale d parametr μ 5 cm e σ 6 cm, è mmedato calcolare: Pr{49 < X 54} FX ( 54) FX ( 49) F U F U (.55 ) L tervallo, smmetrco rspetto alla meda μ, s ottee mpoedo: Pr{ μ δ < X μ+ δ} FX ( μ+ δ) FX ( μ δ) δ δ δ F U F U F U.5 σ σ σ da cu, cosultado la tabella della coda destra della Gaussaa stadard, s rcava: δ u.75.; δ.σ.9 σ e qud l tervallo d msure rcercato è 5±.9, compreso tra crca 48 e 5 cm.

32 Probabltà e Statstca per le Sceze e l Igegera, /ed, P. Erto - Copyrght 8, The McGraw-Hll Compaes srl 58 Soluzo de problem propost Captolo No avremmo essu motvo per gudcare aomala la successoe d tutte croc (o tutte teste), per l semplce motvo che og successoe ha la stessa probabltà (/ 6 ) d verfcars co lac rteut corrett d ua moeta rteuta perfetta. L sttva sesazoe d sorpresa che proveremmo è dovuta semplcemete al fatto che tra tutte le 6 possbl successo ce e soo: ua sola co 6 croc se co testa qudc co teste vet co teste qudc co 4 teste se co 5 teste ua sola co 6 teste Per cu, è aturale essere abtuat ad osservare uo de 6 rsultat (co almeo testa) tra 64 possbl. Tale abtude c duce pure a cofodere casuale co dsordato: casuale sgfca solo che è stato scelto a caso tra tutte le alteratve possbl, e tra queste può pure essere estratta ua molto ordata, come la suddetta successoe d 6 croc. 6. Le frequeze competet a cascu tervallo d'età soo:.,.4545,.44 l'età meda e quella medaa soo rspettvamete: 54.89, Essedo μ 6 e σ, dalla dsuguaglaza d Chebyshev abbamo: Pr{ X 6 k} ; k k per cu l rchesto lmte ferore d probabltà è: Pr{ X 6 < } > ( ) Meda e varaza, calcolat utlzzado la fuzoe d probabltà emprca, soo: 6 6 ( ) x x P 7.58; s x x P.576. Meda e varaza, calcolat dal campoe d dat, soo: x x 7.58; s ( x x) Ordat seso crescete due campo d determazo: NA MI el prmo caso, essedo dspar l umero d determazo, la medaa è subto d-

33 Probabltà e Statstca per le Sceze e l Igegera, /ed, P. Erto - Copyrght 8, The McGraw-Hll Compaes srl Soluzo de problem propost 58 vduata ella 5 determazoe, 66. mm. Nel secodo caso, l umero d determazo è par e qud la medaa cade tra la 4 e la 5 determazoe ed è uguale a ( ) Dalla dseguaglaza d Chebyshev e dalle tabelle della dstrbuzoe Normale per k,.5, 4 s ottegoo rspettvamete seguet valor delle code: k.5 Chebyshev.5.6. Normale Assocamo alla geerca rpetzoe -esma la v.a. beroullaa X che assume valor e a secoda che l eveto A s verfch o meo. La meda delle X è propro la frequeza d A e coverge alla meda delle mede delle X, p p, perché la varaza della somma delle qud, rapportata ad r. X è Var{ } Var{ } X X pq e, soddsfa la codzoe rchesta dalla legge de grad ume- 6.6 La msura della gradezza X è data dalla meda artmetca d tutte le sue valutazo dspobl. I prodott X e X m m c forscoo rspettvamete la somma delle ed m valutazo dspobl; pertato la msura d X è: ( X + Xm m) ( + m) che equvale alla meda pesata delle due msure dspobl. 6.7 Le msure X ed X m soo affette rspettvamete dagl error med S S ed Sm S m (essedo S l errore medo delle + m valutazo) da cu rsulta: S S; m S Sm. Pertato, pes attrbut alle msure X ed X m, el problema precedete, soo versamete proporzoal alle stme delle loro rspettve varaze. 6.8 Impoedo la codzoe rchesta ed utlzzado l valore.8 del 9 percetle della Cdf Normale s ottee: X Pr{ x + 5} Pr.9;.8; 6. σ Trasformado la lmtazoe mposta all errore assoluto d S ua corrspodete lmtazoe alla v.a. Ch-Quadrato, s ottee Pr{.5 S < S σ <.5 S} Pr{.75 S < σ <.5 S} σ Pr (.75 ) < ( ) < (.5) S { χ } Pr 5.6 < < ; ν.

34 Probabltà e Statstca per le Sceze e l Igegera, /ed, P. Erto - Copyrght 8, The McGraw-Hll Compaes srl 58 Soluzo de problem propost 6. Meda, medaa, varaza (corretta), devazoe stadard, quartl e rage soo rspettvamete: x x.,, x ˆ s ( x ) ( ) 4.5. x., s 4.9, ˆx.5 9., x ˆ , Max( x,, x ) M( x,, x ) Arrotodado l valore m +. log ( ) 4.88 abbamo m 5 da cu, arrotodado [Max( x,, x) M( x,, x)] m.4, segue u ampezza dell tervallo Δ x. Arrotodado per dfetto M( x,, x ) 4. abbamo che l estremo ferore del prmo tervallo è uguale a 4. Arrotodado per eccesso Max ( x,, x ).4 ed essedo tero l rapporto ( 4) 6 fssamo al valore l estremo superore dell ultmo tervallo. A 6 tervall così dvduat corrspodoo le frequeze assolute {, 4, 6,,, } e le destà d frequeza f ( Δ x) { 45,4 45, 6 45,, 45, 45}. 6. Sulla base de calcol gà effettuat, l stogramma ed l dagramma Stem-ad- Leaf, del campoe della v.a. X esamato e due problem precedet, soo rspettvamete: f x Meda, medaa, varaza (corretta), devazoe stadard, quartl e rage soo rspettvamete: y y 4.,, y ( ) ( ) 9 ˆ.5 4. s y y.4, s 4.4, ŷ.5 9., y ˆ , Max( y,, y ) M( y,, y ) Arrotodado l valore m +. log ( ) 4.88 abbamo m 5 da cu, arrotodado [Max( y,, y ) M( y,, y )] m.96, segue u ampezza dell -

35 Probabltà e Statstca per le Sceze e l Igegera, /ed, P. Erto - Copyrght 8, The McGraw-Hll Compaes srl Soluzo de problem propost 58 tervallo Δ y. Arrotodado per dfetto M( y,, y ) 4. abbamo che l estremo ferore del prmo tervallo è uguale a 4. Arrotodado per eccesso Max( y,, y ) ma essedo o tero l rapporto (5 4) 5. fs- superore dell ultmo tervallo. A 6 tervall così d- samo al valore 5 l estremo vduat corrspodoo le frequeze assolute {,, 5,,, } e le destà d frequeza f ( Δ y) { 45, 45,5 45, 45, 45,}. 6.5 Sulla base de calcol gà effettuat, l stogramma ed l dagramma Stem-ad- Leaf, del campoe della v.a. Y esamato e due problem precedet, soo rspettvamete: f y Utlzzado valor M( x,, x ) 4., Max( x,, x ).4, x ˆ.5 9., x ˆ , oché M( y,, y ) 4., Max( y,, y ) 48.9, y ˆ e y ˆ , gà calcolat precedeza, rchest grafc Box-Plot, rspettvamete del campoe della v.a X e d quello della v.a. Y, soo: v.a. Y v.a. X 4 5 x, y 6.7 La meda, medaa, varaza (corretta), devazoe stadard, quartl e rage soo rspettvamete:

36 Probabltà e Statstca per le Sceze e l Igegera, /ed, P. Erto - Copyrght 8, The McGraw-Hll Compaes srl 584 Soluzo de problem propost x x 8.96,, x ( ) ( ) 7. ˆ.5 s x x 7, s 7., ˆx. 5 4, x ˆ.75 9, Max( x,, x) M( x,, x ). 6.8 Il vettore de dat ordat e quello delle frequeze relatve x, quello delle corrspodet frequeze assolute soo: P x {,, 4, 5, 9, 4, 5, 6, 9,,, 4, 8,, 6, 9, 4, 4, 6, 6, 65, }; {,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, }; P {.4,.4,.8,.4,.4,.4,.4,.8,.4,.4,.8,.4,.4,.4,.4,.4,.4,.4,.4,.4,.4,.4}. 6.9 Sulla base de calcol gà effettuat, l dagramma a barre ed l dagramma Stemad-Leaf, del campoe della v.a. X esamato e due problem precedet, soo rspettvamete:.8 P x È evdete che l dagramma a barre essedo alquato patto rsulta meo formatvo dello Stem-ad-Leaf che, vece, sembra far travedere meglo la forma della legge d probabltà. 6. I questo caso l Box-Plot evdeza che u dato è addrttura dstate dalla medaa pù d volte la dstaza terquartlca par a xˆ.75 xˆ