La probabilità di sbagliare tutto

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1 La probabilità di sbagliar tutto Umbrto Crruti Univrsità di Torino Quanto scommttrst? Sul tavolo davanti a m c è un mazzo di 50 cart numrat da a 50, accuratamnt mscolat, con il numro coprto. Sulla suprfici di lgno sono disgnati 50 rttangoli numrati anch ssi da a 50. Prndo la prima carta dl mazzo la mtto nl rttangolo numro, prndo la sconda la mtto nl rttangolo numro 2, così via fino alla fin dl mazzo. S anch in un sol posto il numro imprsso sulla carta coincid con qullo dl rttangolo sul qual è stata posata, io prdo. Vinco s solo s nssuna carta si trova al posto giusto, s gli accoppiamnti sono tutti sbagliati. S prdo vi do 00 uro, s vinco dovt darmn 300. Ci stat? Sarst disposti a puntar di più? Qual è la scommssa qua? E s l cart fossro 20, o 0? Pr rispondr a qust domand ci srv il principio di inclusion-sclusion. Il principio di inclusion-sclusion Siamo 20 amici, andiamo a cna in un posto alla moda, dov (a nostra insaputa) srvono solo Pizza Carn. Nl nostro gruppo 6 amano la pizza, 9 amano la carn, 6 sia l una ch l altra. Quanti di noi rimarranno dlusi? La domanda quival a chidrsi quanti tra i 20 non amano né la carn né la pizza. Siamo 20, lviamo i 6 ch amano la pizza i 9 ch amano la carn ottniamo = 5. Qualcosa non va! In fftti abbiamo sottratto du volt i fortunati ch apprzzano ntrambi gli alimnti. Dobbiamo riaggiungrli. La risposta satta è quindi 20 (6 + 9) + 6 = Ampliando qusto tipo di ragionamnto non è difficil convincrsi dlla validità dl sgunt Torma

2 Torma Sia assgnato un insim X con N lmnti. Su X sono dfinit m proprità P i. Poniamo N i = numro dgli lmnti di X ch godono dlla proprità P i. N i,j = numro dgli lmnti di X ch godono dll proprità P i P j. N i,j,k = numro dgli lmnti di X ch godono dll proprità P i, P j P k Allora il numro V dgli lmnti di X ch non godono di alcuna dll proprità dfinit è V = N i m N i + i<j m N i,j i<j<k m Vdiamo una applicazion dl torma ai numri primi. N i,j,k + ( ) m N,2,...,m () Ricordiamo ch ogni numro composto ha un divisor primo minor o ugual alla sua radic quadrata. Siano p, p 2,..., p m i numri primi n. Sia X = {, 2,..., n 2 }. Sia P i (x) la proprità: p i divid x. Dnotiamo con π(x) in numro di primi x. S V è il numro dgli intri in X ch non soddisfano ad alcuna P i, allora si ha π(n 2 ) = V + m (2) Infatti, s un x n 2 non è divisibil pr alcuno di p i, è crtamnt primo, con l cczion di, ch non vin considrato primo. A qusti V primi bisogna poi aggiungr gli m primi p, p 2,..., p m, i quali, pur ssndo primi, soddisfano rispttivamnt a P, P 2,..., P m prtanto non sono contati in V. Il numro dgli intri z divisibili pr y è ovviamnt z (dov w è y n la part intra di w). Quindi nl nostro caso N i,j,...,h = 2 p i p j...p h. Utilizzando la () la (2) ottniamo ch π(n 2 ) = n 2 i m n2 p i + i<j m n2 + + ( ) m + m (3) p i p j p p 2... p m Esmpio 2 Prndiamo n = 0. Allora m = 4 p = 2, p 2 = 3, p 3 = 5, p 4 = 7. Prtanto ( ) ( π(00) = ( ) ) n 2

3 4 = 00 ( )+( ) (3+2++0)+0+4 = 25 Ci sono dunqu 25 primi 00. Si noti ch abbiamo ottnuto qusto risultato da una formula (un algoritmo ffttivo) ch ricv in input (com dati iniziali) i 4 primi minori di 0. Qusto fatto non è pr nulla banal dovrbb stupir. Più in gnral l sprssion (3) ci prmtt di calcolar quanti primi sistono nll intrvallo [n+, n 2 ] s noi sappiamo quali sono i primi nll intrvallo [2, n]. Pr smpio s io ho un lnco di 68 primi minori di 000 mdiant la (3) posso vnir a sapr ch tra ci sono sattamnt primi! La soluzion dl problma Ritorniamo all nostr cart numrat ai rttangoli sul tavolo. Supponiamo di avr n cart. Ess possono ssr dispost ngli n rttangoli in n! modi divrsi. (Ricordiamo ch il fattorial n! = n(n )(n 2)... conta il numro dll prmutazioni di n oggtti). Sia X l insim dll n! disposizioni dll n cart ngli n rttangoli. Sia P i (x) la proprità: nlla disposizion x la carta i va nl rttangolo i. Vogliamo calcolar il numro V dll disposizioni ch non soddisfano ad alcuna di qust proprità. Qust disposizioni (ch sono i casi favorvoli a m, qull ch mi fanno vincr) sono dtt spiazzamnti, o dismutazioni o dérangmnts. Calcoliamo N i, il numro dll disposizioni pr l quali P i è vra. S pr smpio i = 3 la carta 3 va nl trzo rttangolo. L altr n cart possono andar dov vogliono, sono possibili tutt l prmutazioni. Prtanto N i = (n )!. Calcoliamo N i,j. Pr smpio siano i = 4 j = 0. S P 4,0 è vra, la carta 4 va nl quarto rttangolo la 0 va nl dcimo. Com prima, l rimannti n 2 sono libr, ci possono ssr tutt l prmutazioni. Dunqu N i,j = (n 2)!. E chiaro a qusto punto ch il numro N i,j...h non dipnd dai valori assunti dagli indici, ma soltanto dal numro dgli indici. S ci sono s indici, il numro val (n s)!. Quando calcoliamo i <i 2 < <i s n N i,i 2,...,i s sommiamo tant volt uno stsso numro: N i,i 2,...,i s = (n s)!. Quant volt lo sommiamo? S s = ci sono n N i. S s = 2 dobbiamo contar quant sono l coppi di posti. Abbiamo n cart, ci sono dunqu ( n 2) coppi. In 3

4 gnral, pr un qualsiasi s, ci sono ( n s) sottoinsimi di s cart. Ricordiamo ch i numri ( ) n n! = (4) s (n s)!s! si dicono binomiali, sono i cofficinti ch appaiono nlla famosa utilissima sprssion (dovuta a Nwton) Prtanto i <i 2 < <i s n s=n ( ) n (a + b) n = a s b n s (5) s N i,i 2,...,i s = ( ) n (n s)! = n! s s! Utilizzando la (6), la (), ricordando ch nl nostro caso N = n!, ottniamo ch il numro D n dgli spiazzamnti è (6) infin D n = n! n!! + n! 2! n! n! + + ( )n 3! n! (7) s=n ( ) s D n = n! s! Quindi, poiché D n è pr m il numro di casi favorvoli, il numro complssivo di casi (dll prmutazioni) è n!, la mia probabilità P (n) di vincr con n cart è sattamnt Dn n!, ovvro P (n) = s=n ( ) s Ecco l lnco dll probabilità satt pr n ch varia da a 0 { 0, 2, 3, 3 8, 30, 53 44, , , , 648 } Lo 0 inizial dipnd dal fatto ch con carta sola non si può sbagliar! Vdiamo ora i valori approssimati a 6 cifr di qust probabilità s! (8) (9) 0.0, 0.5, , 0.375, , , , , , Sorprsa! Qusti valori sono quivalnti (nlla pratica) addirittura da 5 cart in su: la probabilità è circa 0.36, qualcosa più di un trzo. Da 9 cart in poi l probabilità coincidono fino alla ssta cifra dcimal! Com si spiga? 4

5 Un risultato apparntmnt paradossal Com è chiaro dalla sua sprssion (9) la mia probabilità di vincr, P (n), aumnta (risptto a P (n )) di s n pari,, vicvrsa, diminuisc dlla n! stssa quantità s n è dispari. Prò il fattorial crsc talmnt in frtta ch l diffrnz si avvicinano rapidamnt a 0. Si intuisc subito ch la squnza di P (n) convrg a qualcosa, anch molto vlocmnt! Con un minimo di analisi si vd subito ch ( s=n lim P (n) = lim n n ( ) s ) = s! dov = è la bn nota costant di Napir, la bas dl logaritmo natural. Prtanto la probabilità ch crchiamo è = Possiamo ora rispondr all domand post all inizio. La probabilità ch voi vinciat è Q(n) = P (n). Nl caso di 50 cart P (n) si può assumr ugual a. Dunqu, s sit stati al patto, la mia spranza di guadagno è P (50) 300 = 300 uro, pari a circa uro. La vostra è Q(50) 00 = 00 uro, pari a circa uro. Com si è visto, giocar con 0, 20, 50 o anch 00 cart non cambia sostanzialmnt nulla. S i posti dllo stadio olimpico sono stati tutti prnotati, tutt l prson vngono, poi si sidono a caso, la probabilità ch nssuno si sida al posto ch gli è stato assgnato è smpr all incirca = La scommssa qua si ottin guagliando la mia spranza di guadagno con la vosta, cioè rispttando la uguaglianza X = Y dov X Y sono rispttivamnt il mio il vostro guadagno in caso di vittoria. Sgu ch X Y = = Prtanto una scommssa (quasi :) qua sarbb stata; s prdo vi do 00 uro, s vinco m n dat 72. 5

6 Spiazzamnti probabilità La squnza dgli intri D n soddisfa a molt intrssanti idntità. Tra qull più importanti ricordiamo D n = nd n + ( ) n (0) D n = (n )(D n + D n 2 ) () k=n ( ) n n! = D n k (2) k k=0 Soffrmiamoci in particolar sul significato dlla (2). Supponiamo ch una prmutazion fissi du lmnti i j. Allora i rimanti n 2 dvono ssr spiazzati. Poiché il numro dll coppi è ( ) n 2 ci sono sattamnt ( n 2) Dn 2 prmutazioni ch fissano du lmnti. Più in gnral ci sono ( ) n D n k (3) k prmutazioni ch fissano k lmnti su n. La (2) sprim il fatto ch ch s sommiamo il numro dll prmutazioni ch fissano 0,, 2,..., n lmnti, troviamo tutt l n! prmutazioni. Esmpio 3 Tniamo bn a mnt ch quando diciamo ch una prmutazion σ fissa k lmnti intndiamo dir ch σ fissa sattamnt k lmnti, né più, né mno. Pr smpio, il numro di prmutazioni ch fissano n lmnti è 0: s σ fissa n lmnti dv fissar anch il rimannt. S n = 6 la distribuzion è la sgunt {265, 264, 35, 40, 5, 0, } Ci sono 265 prmutazioni ch non fissano nulla (gli spiazzamnti), 264 ch fissano lmnto, 35 ch fissano du lmnti,..., 0 fissano 5 lmnti (qulla idntica) li fissa tutti. La probabilità ch qualcosa non cambi di posto Da quanto dtto sgu ch la probabilità ch una prmutazion, prsa a caso, fissi k lmnti su n è 6

7 ( n ) Dn k k n! Ricordando l dfinizioni di D n (8) di binomial (4) ottniamo ( n ) Dn k k n! = k! s=n k ( ) s Poiché k è costant, il limit pr n di qusta prssion è (4) k! La convrgnza è vlocissima, ai fini pratici, la (4) rapprsnta la probabilità ch una prmutazion fissi k lmnti, indipndntmnt da n (ovviamnt si dv avr n > k). S k = 0 (0! = )ritroviamo la probabilità di uno spiazzamnto. Ponndo k = scopriamo ch la probabilità ch una prmutazion fissi lmnto è ancora. Aumntando il numro di punti fissi la probabilità tnd rapidamnt a 0. E circa pr k = 2, pr k = 3 d è vicina a 0 7 pr k = 0. S k = 20, è Concludiamo con du smpi. I particolari l dimostrazioni si trovano nlla lttratura citata. I vicini di tavola In occasion dl pranzo dlla cna social di un convgno, i partcipanti vngono fatti sdr intorno ad un grand tavolo rotondo. Qual è la probabilità ch a sra almno uno si ritrovi accanto alla stssa prsona? Si prova ch qusta probabilità tnd a 2 = Più in gnral, la probabilità ch, nll stss ipotsi, sattamnt k coppi si ritrovino vicin è 2 k 2 k! Pr smpio, pr k = 2, 3, 4 ottniamo, rispttivamnt, l probabilità , , I rgali di Natal Nlla class di Silvia (quarta lmntar), è tradizion, pr Natal, ch i bambini si facciano un piccolo dono rciproco. I nomi dgli alunni vngono scritti su strisciolin di carta, ch sono post in una grand scatola. La scatola vin scossa bn bn, poi ogni bimbo prnd uno di biglitti, ch contin (qusta è la rgola) il nom dl compagno al qual darà il rgalino. 7 s!

8 S si stra il proprio nom, si rimtt il foglio nlla scatola. Vin quindi prodotta una prmutazion ch è uno spiazzamnto. Silvia stra il nom dlla sua amica Batric. E accad ch Batric stra il nom di Silvia! Silvia si stupisc pnsa ch si tratti di un vnto cczional. Si dimostra prò ch in qusto caso la probabilità tnd (smpr molto vlocmnt) a 2 = La probabilità ch si vrifichi qusto vnto è quindi più vicina a 2 ch a 3. 2 Quanto abbiamo visto ci dà almno un insgnamnto. E strmamnt improbabil ch l cos vadano a posto pr caso! S i libri dlla nostra bibliotca vngono, pr uno schrzo di pssimo gusto, rimscolati in modo totalmnt casual, la probabilità ch almno du di ssi si ritrovino al loro posto è appna più grand di. Infatti l probabilità di 4 uno spiazzamnto o di un singolo succsso valgono ntramb. Prciò almno du libri si ritrovranno al loro posto con probabilità 2 = Un calcolo analogo ci dic ch in mno di 6 casi su 0000 almno 5 libri saranno a posto. E ritrovrmo almno 0 libri dov rano prima soltanto con probabilità 0 8 (cioè praticamnt MAI). 8

9 Bibliografia [] Bngt Aspvall, Th dinnr tabl problm, Stanford Dpartmnt of Computr Scinc, Rport No. STAN-(X ), 980. [2] Umbrto Crruti, Il Paradosso dl Complanno, Blog [58], 4 Gnnaio 2008 [3] Brian Conry and Tom Davis, Drangmnts, [4] Klly M. McGuir, Gorg Mackiw, Christophr H. Morrll, Th Scrt Santa Problm, Th Mathmatical Gaztt, Vol. 83, No. 498 (Nov., 999), pp [5] Danila Romagnoli, Problmi di combinatorica, Quadrno 43 - Giugno