Seminari di matematica Quaderno di appunti:

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1 Lceo Scetfco Statale Reato Caccool d Scafat Darteto d Mateatca e Fsca Sear d ateatca 000 Quadero d aut: Probabltà e statstca Lug Paarello

2 Lug PANARIELLO: Probabltà e statstca ag. SOMMARIO. CONCETTO ELEMENTARE DI INSIEME...3. PRODOTTO CARTESIANO FRA DUE O PIU INSIEMI...4. CONCETTO ELEMENTARE DI PROBABILITA NEGLI INSIEMI FINITI.... Probabltà d u eveto PROPRIETA ELEMENTARI DELLA FUNZIONE DI PROBABILITA Ese d roble rsolt INDIPENDENZA...8. PROBABILITA CONDIZIONATA IL TEOREMA DI BAYES LE MEDIE NUMERICHE SCARTI MODA E MEDIANA VARIABILI CASUALI SISTEMI DI DUE VARIABILI CASUALI...3. LA LEGGE DEI GRANDI NUMERI.... DISTRIBUZIONE BINOMIALE d Beroull...6

3 Lug PANARIELLO: Probabltà e statstca ag. 3. CONCETTO ELEMENTARE DI INSIEME Og eleco o collezoe d oggett del esero e detta INSIEME. Gl oggett che lo coogoo soo dett ELEMENTI. Per dcare che è u eleeto dell see S s scrve S, etre S sgfca che o è eleeto d S. S dce che l see A è arte dell see B, ov vero che è cluso oure coteuto B, se A lca che B, ed tal caso s scrve A B. Se A è cluso B uò ache catare che AB. Se erò A è dverso da B ed è cluso B s dce che è strettaete cluso B oure che è arte rora d B e s uò scrvere A B. Alcu se artcolarete ortat ateatca soo: N 0 see de uer atural 0,,,3, N see de uer atural ostv,,3, Z see de uer ter,-3,-,-,0,,,3, Q see de uer razoal u uero razoale è ua classe d frazo euvalet, corede lo zero e uer ostv e egatva. d solto N e Z vegoo cosderat art d Q R see de uer real see de uer coless see vuoto, rvo d ualuue eleeto A volte u see vee secfcato facedo l eleco degl eleet caso fto o forulado la roretà che caratterzza gl eleet dell see. Nel seguete eseo lo stesso see A vee descrtto due od: A {,4,6,8} { N: è ar e <0} Per u see fto A è ossble cotare l uero d oggett, otteedo u uero chaato ORDINE d A oure CARDINALITA d A. Tale uero verrà dcato co A Dat due se A, B clus u see abete S, s oe: A B { S: A oure B} detto UNIONE d A e B. Se rsulta A BS s dce A,B RICOPRONO S A B { S: A e B} detto INTERSEZIONE d A e B. Se rsulta A B s dce che A,B soo DISGIUNTI. A-B { S: A e B} detto DIFFERENZA fra A e B o eglo coleetare d B A A c { S: A } detto COMPLEMENTARE DI A S

4 Lug PANARIELLO: Probabltà e statstca ag. 4 Se A,B,C, soo art d S a due a due dsgute e la loro uoe rcore S s dce che esse forao ua PARTIZIONE DELL INSIEME S. Le legg fodaetal che regolao le oerazo fra se soo: Legg d deoteza Legg assocatve Legg coutatve Legg dstrbutve A AA A B C A B C A B B A A B C A B A C Legg d dettà A S A e A Legg d coleetaretà A A c S A A c S c c S, Legg d De Morga A B c A c B c A B c A c B c Osservazo e r esercz:. Illustrare grafcaete, ove ossble, le legg fodaetal rortate ella recedete tabella. Rartre l set S de 6 sbol alfabetc uscol ua PARTIZIONE coosta da tre art avet ualche sgfcato lgustco 3. Nell abete N uer atural, {0,,, }, osto A{0,,4,6,8, }{ N/ è ar}, B{,3,,7, } { N/ è dsar}, rsulta che A, B forao ua artzoe d N. Trovare altre tre artzo d N 4. I aera eleetare u see vee defto FINITO se su oggett s ossoo cotare altret vee defto INFINITO. L see vuoto s aovera ovvaete fra gl se ft co uero zero d oggett. S uò dostrare che la a uerostà fta è uella d N tale uerostà è detta uerable.. Ad eseo vertc d u olgoo costtuscoo u see fto, a ut d uo de suo lat soo ft. 6. S ot, ell eseo, che A e B soo ft, ur essedo art rore d N. U see fto uò avere lo stesso uero d oggett d ua sua arte rora. 7. Dre uale de seguet se è vuoto. A{ N/ è ar e ro}, B{ R/ > }, C{ 0} Rsosta: B 8. Dato A{a,b,c}, dre uale scrtture è sbaglata: A, A, 3 A R. 9. Se A B, B C, C A, uale cosegueza e ossao trarre? R. ABC. PRODOTTO CARTESIANO FRA DUE O PIU INSIEMI Ua oerazoe u o ù colessa fra gl se è l cosddetto rodotto cartesao. Dat due se A e B, cosderao tutte le COPPIE ORDINATE a,b costtute da due eleet a,b res ell orde d scrttura elle aretes tode, co a A e b B. L see d tutte le coe fora u uovo see dcato co AB e detto PRODOTTO cartesao d A er B. Se uo de due se è vuoto l rodotto s assue vuoto er defzoe. S ot che AB BA salvo l caso cu o sa AB, ed tal caso s uò scrvere AB AA A. L abete d AB è uello d S, uato avedos a A e b B, sarà ache a,b S coscché a,b SS S Osservazo e r esercz: Costrure AB, ove A{,,3} e B{,,r,s}. Notare che AB ha eleet e che ud vale l PRINCIPIO DI MOLTIPLICAZIONE l uero d oggett d AB è l uero d A er l uero d B, sere che A e B sao etrab ft. Qud AB A B Se uo de due se A,B è fto, e l altro è o vuoto, ache AB è fto. Se geoetra aaltca cosderao l asse coe asse reale R e l asse coe ua coa dell asse reale R, ut del ao soo raresetat da coe d coordate del to, co R e R e ertato l ao cartesao s rareseta edate l rodotto cartesao R R che euvale ad R. Se cosderao se A, A, A 3,.,A, ossao costrure tutte le -le ordate a, a, a 3,.,a, ove s tede che a A, a A,, a A. I tal caso otteao l rodotto cartesao degl se, dcato co A A A 3.A. Se gl se soo ugual ad A otteao AA A A Ad eseo u rfereto cartesao trdesoale Oz delle sazo coorda lo sazo su R 3, e og uto s rareseta co ua tera d coordate,,z chaate rsettvaete ascssa, ordata e uota Il rodotto cartesao degl se A, A, A 3,.,A, è costtuto da oggett, essedo l rodotto delle uerostà sgol se A. Qud A A A 3.A A A A 3. A e A!!A

5 Lug PANARIELLO: Probabltà e statstca ag.. CONCETTO ELEMENTARE DI PROBABILITA NEGLI INSIEMI FINITI Suoao che tutt ossbl est d u dato esereto, ovvero d ua data rova o d ua ossble evetualtà, vegao cosderat coe u see S che vee chaato sesso S PAZIO CAMPIONARIO oure SPAZIO DEGLI EVENTI ovvero SPAZIO DELLE PROBABILITA e co altr o slar. U sgolo uto o eleeto d S è ud u eveto eleetare. Ad eseo se lacao u dado stadard a 6 facce uerate da a 6 e cosderao coe eveto eleetare l uscta d u uero coreso fra e 6, otreo orre S{,,3,4,,6}. Se vece lacao due dad, uo rosso e l altro ero er dstguerl, e coveao d dcare l uscta coe coa d uer r,, dove r è l uero dato dal rosso e b è l uero dato dal baco, allora lo sazo caoaro sarà SA AA se oao A { N/ 6} Faccao l caso che S sa u see fto e che er og suo er og eveto eleetare S sa stata defta ua robab ltà, coè u uero reale coreso ell tervallo [0,], coè 0, aera che la soa d tutte le robabltà al varare d tutto S, sa. Possao ud defre gl SPAZI DI PROBABILITA S FINITI co le seguet tre caratterstche: Lo sazo degl evet S è fto Per og S è defto l uero reale R, co 0, detto robabltà dell eveto eleetare S Se er og scelta d, S, s dce che lo sazo è EQUIPROBABILE ovvero che gl evet stess soo eurobabl I tal cas rsulta, dove S è l orde d S. S Cosderao ad eseo l laco del dado. S{,,3,4,,6} e ud S 6. Se cosderao u dado deale cu o v sa otvo d rteere che la robabltà d uscta d ua facca ossa suerare uella d u altra facca, vuol dre che dovreo cosderare uo sazo EQUIPROBABILE cu s avrà 6 6 * Se erò abbao otvo d rteere che lo sazo o sa eurobable, o otreo assuere la stessa robabltà er cascu eveto eleetare e ud dovreo rocedere dversaete. I od d rocedere NON APPARTENGONO DI PER SE AL CALCOLO DELLE PROBABILITA, otedo dedere ache da cosderazo del tutto soggettve. Ad eseo s otrao fare de calcol olto sofstcat sul blacaeto eccaco del dado, sull attrto ell ara, sull elastctà del tavolo ecc. I tal caso uò tervere aera sostazale la bravura del calcolatore. Tuttava v è u etodo erco abbastaza accettable che couue o retra ella teora ateatca della robabltà, che PARTE doo la defzoe de uer. Questo etodo cosste el fare u certo uero d lac ad eseo 0 e cotare le uscte dell, del, del 3 ecc. Raccogledo dat ua tabella del to FACCIA DEL DADO TOTALI NUM. USCITE PROBAB. FRAZIONE 8/0 /0 4/0 8/0 /0 7/0 0/0 PROBAB. o/oo otteao valor d robabltà, er da a 6, fora frazoara o llesale o ercetuale o altre fore euvalet. L ortate è otare che la soa delle sgole è sere.. Probabltà d u eveto I uo sazo d robabltà S è defta gà zalete la fuzoe delle robabltà degl evet ELEMENTARI, coè de sgol eleet che coogoo S. U EVENTO vece è u sottosee A d S. Ad eseo, el laco del dado, cu S {,,3,4,,6}, ossao cosderare l eveto A {,3,} chaadolo uscta d u uero dsar, oure B {4,,6} chaadolo uscta d u uero della secoda età. Il sgolo eveto eleetare uò sere cosderars coe see. Ad eseo C {4} uò essere defto coe uscta d u uadrato erfetto ar etre D {,4} è l uscta d u uadrato.

6 Lug PANARIELLO: Probabltà e statstca ag. 6 La robabltà d u eveto A è la soa delle robabltà de sgol evet eleetar. E evdete che S etre s oe, er ovv otv, 0. Torado all eseo del laco del dado: Caso dello sazo eurobable: A B 3/6 ½ 0.00 C / D /6 / Caso dello sazo NON EQUIPROBABILE descrtto ella tabella dell eseo * A,3,} 3 8/0 4/0 /0 63/0.0% B {4,,6} 4 6 8/0 /0 7/0 6/ % ecc. S ot che l uscta d tre uer dffersce, el caso NO N EQUIPROBABILE, a secoda d ual uer sceglao. Defzoe selfcata el caso EQUPROBABILE: Quado c trovao uo sazo eurobable og eveto A cosste u certo uero A d evet eleetar. Poché og eveto eleetare ha robabltà / A avreo la robabltà dell eveto A data da A A / S e coè l raorto fra CASI FAVOREVOLI e CASI POSSIBILI dove tedao che A rareset tutt cas favorevol e S rareseta la raccolta d tutt cas ossbl. Vegoo lacat due dad a facce eurobabl. Qual è la robabltà P d realzzare la soa 8? I cas ossbl soo 36 66, corrsodet a tutte le ossbl coe,,,,6 6, 6,6 d uscte. I cas favorevol soo solo e recsaete,6, 3,,4,4,,3,6,. Pertato P / % 3. PROPRIETA ELEMENTARI DELLA FUNZIONE DI PROBABILITA La fuzoe delle robabltà degl evet eleetar s cosdera ud estesa a tutte le art d S edate la defzoe A dove A è ua arte d S artcolare 0, S A e da uesto uto d vsta A è ua fuzoe che oera sulle art A d S, coè sugl evet d S. Le roretà rcal d tale fuzoe d robabltà soo: 0 A, er ualuue eveto A 0, S A B A B, sere che A e B sao dsgut, coè A B, ed tal caso due evet A e B s dcoo coatbl A B C A B C, sere che A,B,C, sao a due a due recrocaete coa tbl e ud A,B,C, rareseto ua artzoe d S, ovvero u rcoreto d S co art a due a due dsgute Se A B allora A B A-B A-A B ovvero, euvaleteete, A A-B A B A B A B A B A B CA B C A B B C C A A B C.3 Ese d roble rsolt La roulette orale è coosta da 37 uer da 0 fo a 36 eurobabl, d cu 8 soo ross e 8 soo er. Lo zero è verde. Probabltà d uscta del rosso: 8/37 Probabltà d uscta el ro terzo da a : /37 Probabltà d uscta d u uero ostvo dvsble er,0,,0,,30: 6/37 Probabltà d uscta d due ross cosecutv: le coe d uer ross soo 8834, le coe total soo Pertato la robabltà cercata è 34/ 369 ercetuale crca 3.667%, frazoe crca 00/43 Probabltà che due gocate escao etrab color rosso e ero: Coe rosso/ero 34, coe ero/rosso 34, coe bcolor / 369 doa della recedete. Probabltà che tre gocate o esca a u uero della ra età La ra età va da a 8. I cas favorevol soo le tere che cotegoo 9 uer, zero e altr 8 cores tra 9 a 36. Qud soo cas favorevol, etre tutt cas ossbl soo '63. La robabltà è duue 6 89/0'63, crca 3.4% ovvero 00/738 Se acasse lo zero roulette a 36 uer el caso recedete la robabltà sarebbe /8.

7 Lug PANARIELLO: Probabltà e statstca ag. 7 I u toreo a uattro suadre A,B,C,D s sa che la robabltà d vttora d A è doa d uella B ed l uadrulo d uella d C. La robabltà che vca D è del 30%. S dcao le robabltà d vttora d A,B,C R. 40%, 0%, 0% 3 Da u ura coteete 0 alle uerate da 0 a 9 vegoo estratte 3 alle orde croologco seza rebussolaeto, cosderado l caso eurobable odo da forare uer a 3 cfre dstte ad eseo 3, 0, ecc. S chede la robabltà che l uero estratto sa aggore d 400. I cas ossbl soo evdeteete le dsoszo D Occorre cotare duue uer aggor d 400. A tale scoo otao che la ra cfra estratta deve essere ecessaraete coresa fra 4 e 9 soo 6 cas. Qud la secoda cfra uò essere ua delle raet 9 e la terza ua delle raet 8. Abbao duue cas favorevol. La robabltà è duue 43/7060% 4 Da u ura coteete 0 alle uerate da 0 a 9 vegoo estratte 3 alle orde croologco co rebussolaeto, cosderado l caso eurobable odo da forare uer a 3 cfre ad eseo, 084, ecc. S chede la robabltà che l uero estratto sa dvsble er 3. Evdeteete uer ossbl vao da 000 fo a 999 e ud soo 000. Il ro è dvsble er 3. Og uero dvsble er tre è seguto da due che o lo soo. Qud da 000 fo a 998 abbao 333 uer dvsbl er tre e 666 o dvsbl. Aggugedo l 999 abbao 334 uer dvsbl er tre er cu la robabltà è 334/000. S calcol la robabltà che estraedo cue uer del lotto da u ura co 90 uer eurobabl esca u refssato tero. Le cue che cotegoo l tero vcete s ottegoo uedo al tero vcete tutte le ossbl cobazo degl 87 uer restat res a due a due coè C 87, etre le cue ossbl soo C 90. Pertato C 87 / C 90 / S calcol la robabltà che gocado su cue uer al lotto esca u tero, co ua estrazoe stadard d cue uer, su ua ruota restablta. Gocado u tero refssato la robabltà d vcta è crca / 748 eseo. 3. Gocado su uer è coe aver utato su 0 ter uat e soo cores ua cua. Pertato le robabltà dvetao 0/ 748, crca / 7 uato cas favorevol dvetao 0 volte ù. Osservao esressaete che se abbao dec ruote NON ossao selceete oltlcare acora er 0 ache se realtà la robabltà aueta acora d crca 0 volte. Ed fatt se s trattasse selceete d ua oltlcazoe er l uero d ruote basterebbe gocare su u uero olto alto d ruote ovvero euvaleteete d gocare ù volte ù 7 er avere la robabltà d uscta d u tero aggore d. 7 Vegoo dstrbute carte a testa a 4 gocator d oer. Qual è la robabltà che l ro gocatore abba u trs d ao? E u full? E u oer? E scala reale? E colore? Suoao che l azzo d carte sa costtuto da valor A J Q K su uattro se 3 carte. Soo ossbl C 3 cobazo d carte. Le cobazo che cotegoo u dato trs ad eseo u trs d J soo C 8 le cobazo d due carte rese dalle 8 che o soo J.oché abbao 3 trs ossbl 4 d A, 4 d K, ecc., le cobazo coteet u trs soo 3 C 8. Facedo l raorto fra uesto uero e C 3 otteao trs 08/'798 /6.6 crca. I full d ao soo ù rar. La dsoszoe deve coteere u trs ed ua coa. I trs ossbl soo 3. Le coe ossbl soo 6 er og valore 6 d A, 6 d K, ecc. e ud tutto soo 48. Ad u dato trs ossao aggugere erò solo le 4 coe che o hao lo stesso valore del trs ad eseo ad AAA o osso aggugere AA, a solo KK, QQ ecc. E ud full ossbl soo 48 3'36. Pertato full 36/ C 3 /3 crca Le dsoszo coteet u oer soo e ertato la robabltà del oer d ao è oer 4/C 3 /898 crca Le scale real soo artcolar cobazo d carte delle stesso see e recsaete {A,7,8,9,0} scala a, {7,8,9,0,J}{8,9,0,J,Q}{9,0,J,Q,K} scale ede, {0,J,Q,K,A} scala assa. I tutto soo ud 0 cas favorevol e ud sc. reale 0/ C 3 /403 crca Le cobazo d colore soo 4 C 8 4 u colore è ua cobazoe d carte rese dalle 8 che hao lo stesso see, l tutto oltlcato er 4 se. Pertato colore 4/C 3 /898 8 Ia scatola d 0 laade ve e soo 4 dfettose. Qual è la robabltà che rededoe 0 le laade s cosderao eurobabl ve e sa ua sola dfettosa? e aleo ua dfettosa? V soo C 0 0 od d redere 0 laade dalla scatola. Le cobazo d 9 laade buoe soo vece C Qud le cobazo d laada dfettosa 4 ossbltà e d 9 laade buoe C 46 9 ossbltà soo, er l rco d oltlcazoe, 4 C Qud la robabltà cercata è 4 C 46 9 / C crca La robabltà che aleo ua sa dfettosa è coleetare della robabltà che essua sa dfettosa che è evdeteete u caso olto ù selce da calcolare, vsto che l caso aleo ua c costrgerebbe a cosderare ed a s oare cas d dfettosa, dfettose,, 0 dfettose. Le cobazo d laade tutte buoe soo evdeteete C 40 0 e ercò la robabltà che sao tutte buoe è C 40 0 / C La robabltà coleetare, che o tutte sao buoe, e ud ua aleo sa dfettosa, rsulta

8 Lug PANARIELLO: Probabltà e statstca ag INDIPENDENZA S dce che gl evet A,B,C, soo recrocaete dedet se l verfcars d uo o ù d ess o flueza l verfcars o eo de restat. Qud l verfcars sultaeo d A,B,C, s uò calcolare co la forula A B C... A B C... ove la sultaetà è data dall tersezoe A B C.. Ad eseo el laco d ua oeta, l uscta del terzo laco testa o croce o è fluezata dall esto del ro e del secodo laco. Ifatt tal caso abbao lo sazo degl evet S TTT, TTC, TCT, TCC, CTT, CTC, CCT, CCC d 8 evet eleetar. Il caso terzo laco croce è dato dall eveto A { TTC, TCC, CTC, CCC} che ha robabltà 4/8/ coe se recedet lac o fossero a avveut. Il caso secodo laco testa è dato vece dall eveto B {TTT, TTC, CTT, CTC} che ha ach esso robabltà /8. Il caso secodo laco testa e terzo laco croce è raresetato ovvaete da A B { TTC, CTC} avete robabltà // /4 Possao ora chederc se l eveto B sa fluezato o eo dall eveto e tre lac escoo esattaete teste, C{ TTC, TCT, CTT} che ha robabltà 3/8 d verfcars. Per saerlo basta cofrotare B C {TTC,CTC} /8/4 co BC/43/83/3 er vedere che o s tratta d evet dedet. I effett la robabltà che l secodo laco sa testa e e tre lac esca esattaete due volte testa è d ¼. Metre 3/3 rareseta la robabltà che DUE sere d tre lac, ella ra sere l secodo laco sa testa e ella secoda sere escao esattaete due teste. Medate dagra ad albero è ossble valutare ueros cas d calcolo robablstco cu s verfcao seueze dedet. Il grafco rareseta ua sfda d scacch fra Vcezo e Gusee. S assue che, ella sgola artta, la robabltà d vttora d Vcezo sa /3 e uella d Gusee d /3. La sfda cosste artte seueza fché uo de due vce due volte d seguto oure tre volte tutto. Tutt cas ossbl soo rortat el dagraa ad albero ed og rao rareseta la robabltà rferta alla sgola artta. Voglao calcolare la robabltà che Vcezo vca tre artte. Notao u solo ercorso GVV cu Vcezo vce tre artte. La sua robabltà è /3/3/34/7 La robabltà che vca due artte è vece /3/34/9. La robabltà che Vcezo vca eo d uattro artte è ud 4/94/76/7 suerore al 0% Le robabltà d vttora d vttora della sfda er Gusee s ottegoo soado le robabltà de ercors che terao co G, e soo eo d /3: /3/3/3/3/3 /3/3/3 /3/3/3/3 /3/3/3/3/3 /3/3 4/43 /7 /8 4/43 / /43 9/ PROBABILITA CONDIZIONATA Sesso occorre defre la robabltà d u eveto A saedo che s è gà verfcato l eveto T avete robabltà o ulla d verfcars e che A e B o soo dedet. Tale robabltà vee chaata robabltà codzoata d A dato T ed dcata co A T La robabltà vee defta co la forula A T A T T che ha l seguete sgfcato: S rdefsce lo sazo degl evet, ltadolo all see T ed assegadogl robabltà codzoata, coè T T. L eveto A codzoato da T è et altro che A T e ud s sura la sua robabltà T facedo l raorto fra la robabltà S e la robabltà d T S.

9 Lug PANARIELLO: Probabltà e statstca ag. 9 I artcolare se s tratta d uo sazo eurobable basta cosderare raort uerc, avedos A T A T S A T A T caso d sazo eurobable T T T S Ioltre s osserva che la robabltà codzoata c cosete d esrere u ortate Teorea d oltlcazoe : A B A B A Nel caso s abbao tre evet A,B,C, otedo scrvere: A B C A B C C B A avreo ache A B C A B A C A B B A A B A che otrebbe essere svluato al caso d evet. Esso affera che la robabltà dell eveto coguto d ù evet è data dal rodotto della robabltà del ro, er la robabltà del secodo codzoata dal ro, er la robabltà del terzo codzoata dalla coguzoe del ro e del secodo ecc. Eseo : U ura cotee 0 bgle uerate da a 0 co eurobabltà ell estrazoe. Se e estraggoo tre. S vuole la robabltà che sao tre ar. La robabltà che l ro sa ar è /0. La robabltà che l secodo sa ar doo che l ro è gà stato ar è 4/9. La robabltà che l terzo sa ar doo che gà l ro ed l secodo soo stat ar è 3/8. La robabltà cercata, er l teorea d oltlcazoe è /04/93/8 /. Lo stesso rsultato s ottee cosderado le C 0 3 cobazo ossbl e le C 3 cobazo favorevol. C 3 /C 0 3 Eseo : Vee lacato u dado truccato aera che uer ccol --3 abbao età robabltà d uscta d uell grad Se esce l uero vee lacata volte ua oeta co testa e croce eurobable. S vuole saere la robabltà che testa esca due volte. La robabltà d uscta d u uero ccolo --3 co l dado è d /9 etre er uer grad è /9. S oterà che la soa 3/93/99/9. La robabltà che esca due volte testa lac dede da : 0; /4; 3 3/8; 4 6/6; 0/3; 6 /64 Ogua delle se robabltà è codzoata dall usct a d e ud va oltlcata er /9,,3 oure er /9 4,,6. Le se robabltà otteute otrao o soars uato valor dstt d soo evet coatbl. S ha ud P0/9/4/93/8/96/6/90/3/9/64/98/ Eseo 3: La forula A B A B A s rduce a A B A B ogualvolta rsulta B B A. Quest ulta ha l sgfcato d dedeza d B rsetto ad A: l eveto A uò verfcars o eo seza fluezare la robabltà d B. S rottee tal odo la forula della robabltà d evet cogut dedet 6. IL TEOREMA DI BAYES I fora selfcata l Teorea d Baes detto ache delle robabltà delle cause s uò otteer e dalla legge coutatva dell tersezoe er cu A B A B A B A B B A Ifatt da essa ossao rcavare che rareseta la forula cercata. A B A B A B Eseo : Abbao due acche, a che roduce 400 ezz al goro d cu eda 8 dfettos, b che roduce 600 ezz al goro d cu eda 6 dfettos. Da u caoe d 00 ezz se e estrae uo a caso ed esce dfettoso. S vuole cooscere la robabltà che la causa del dfetto sa stata la ra accha. Cosderao gl evet: A l ezzo è stato rodotto dalla acchaa co robabltà A600/000 B l ezzo è dfettoso co robabltà B4/000 B A l ezzo è dfettoso e saao che è stato rodotto da a co robabltà B A6/600 La robabltà cercata coè d A B l ezzo è stato rodotto da a e saao che è dfettoso verrà forta dal teorea d Baes e c dà: A B600/0006/600000/46/4

10 Lug PANARIELLO: Probabltà e statstca ag. 0 Eseo : I ua scuola l raorto uerco asch/fee è d 4 a 9. Il % delle fee e l 30% de asch suera l altezza d 70 c. S scegle a caso u allevo e la sua altezza suera 70 c. S vuole saere la robabltà che sa ascho. Cosderao gl evet: A l allevo è ascho co robabltà A4/ B l all evo suera 80 c co robabltà B/009/330/004/ fare dagraa ad albero B A l allevo suera 80 c e s sa che è ascho co robabltà B A30/ La robabltà cercata coè A B l allevo è ascho e s sa che suera 80 c c vee data dalla forula d Baes che forsce A B / aggore del 0%. 7. LE MEDIE NUMERICHE Sa dat uer,,.,. S defsce eda artetca degl uer uel uero che sosttuto al osto degl lasca alterata la loro soa. Naturalete rsulta che derva da ovvero... S defsce eda geoetrca degl uer uel uero g che sosttuto al osto degl lasca alterato l loro rodotto. Qud g. g ovvero g, da cu dscede g Se uer o soo cosderat ua sola volta, el seso che soo,., soo, le ede, ur raedo dello stesso sgfcato, cabao forula otedo scrvere... g uer soo chaat es de uer e le eda soo chaate ede esate. Posto. eso totale de uer, l uero ha robabltà d usc ta f /. Il uero f o suerore ad è detto freueza relatva del uero. Per la eda artetca s ha l ortate forula f... Naturalete se es soo tutt ugual artcolare torao alla forula della eda o esata co f / S defsce oltre eda uadratca de uer,,.,, l uero sosttuto al osto degl uer o caba la soa de uadrat. Pertato avedos......, ovvero..., otreo scrvere la forula della eda uadratca... Se a uer attrbuao es ovvero le freueze f ossao calcolare la eda uadratca co le forule... f... f.4 SCARTI Data u valore o calcolato a artre da uer,,.,, s defsce scarto d rsetto ad o o selceete scarto -eso la dffereza resa algebrcaete co sego - o. Lo scarto uadratco edo è ullo se e solo se o, coè se è la eda artetca degl uer. Ifatt - o - o o o - o - o e l ulta esressoe è zero se e solo se o f

11 Lug PANARIELLO: Probabltà e statstca ag. Lo scarto uadratco edo coè la eda uadratca degl scart s aulla solo se gl scart soo tutt ull e coè se gl uer soo tutt ugual ad o. Noralete lo scarto uadratco edo s valuta rsetto alla eda artetca de uer. Lo scarto uadratco edo rareseta la dsersoe de uer toro al loro valore ed o. I artcolare s uò dostrare che la eda artetca rede MINIMO lo scarto uadratco edo, che dchereo tal caso co. Ifatt cosderao l uero o h, essedo h la dffereza fra l uero o e la eda artetca, e calcolao lo scarto uadratco edo rsetto ad o, che dchereo co. Per verfcare la uestoe del o otreo aturalete cosderare l uadrato dello scarto uadratco edo er evtare calcol sotto radce: o h h h ] [ ] [ h h Nell ulto e4bro rcooscao la ra soatora che rareseta lo scarto uadratco edo rsetto alla eda artetca, coè, e la secoda soatora che è la eda artetca degl scart rsetto alla eda artetca, che è zero. Pertato l o s otterrà uado h 0 e ud er o Il uadrato dello scarto uadratco edo s chaa varaza de uer Essa uò essere calcolata ache coe dffereza fra l valore uadratco edo al uadrato e la eda artetca al uadrato, fatt X dove X è l valore uadratco edo degl uer e la eda artetca. I coclusoe, s defsce lo scarto uadratco edo rsetto alla eda: X Nel caso cu uer fossero affett da es e freueze f, lo scarto uadratco edo dveta aturalete X f dove è l eso totale, dove X è l valore uadratco edo esato degl uer e la eda artetca esata. 8. MODA E MEDIANA Sao dat valor uerc dstt,,, che suoao d aver gà ordato: < < < che ua sere d rove s soo resetat rsettvaete volte,., volte, coè co freueze f /. U valore d aggor freueza, coè co f o ferore alle altre, s chaa oda. Rchaa vece edaa u valore c che bartsce le rove odo che età de uer sa o suerore a c e l altra età sa o ferore a c. Cosderao ad eseo la tabella:

12 Lug PANARIELLO: Probabltà e statstca ag. X P F / 6/ 7/ 3/ 3/ / C 8 8 FC / 8/ / 8/ / / Nella ra rga soo rortat uer,,, 6, ella secoda es ovvero l uero d usct e la freueza assoluta, ella terza la freueza euvalete ad ua robabltà d uscta Nella uarta rga è rortata la freueza assoluta cuulata, coè l uero d rove cu l uero o è stato suerato. Ad eseo ella uarta coloa s legge che l uero 6 è uscto 4 volte, ovvero 4 volte su, che er 8 volte l 6 o è stato suerato soo usct 0,, 6, che uesto è avveuto 8 volte su. Naturalete l 0, valore asso de uer, ha freueza cuulata assa, coè /. La oda è 4 valore ù freuete. La edaa è acora 4, fatt elle rove abbao che er volte soo usct uer da 0 a 4, e er altre volte soo usct uer da 4 a 0 Calcolao vece la eda artetca: Lo scarto uadratco edo è X Coe eserczo rovare ache che dove rareseta l valor uadratco edo esato delle 9. VARIABILI CASUALI Suoao che ello sazo degl evet S sere ltadoc al caso fto sa assegata ua varable casuale o aleatora X, ovvero er cascu eveto eleetare a S sa dato u valore uerco reale XXa dedete da a S uò defre la robabltà PX o che la varable assua l valore o, cosderado tutt gl a S er cu a o, e soado tutte le loro robabltà a. I odo aalogo s defscoo le robabltà P o X che la varable X sa coresa fra o ed, PX che o suer, ecc. S defsce valore edo d X su S oure valore atteso, valore serato ecc. la eda oderata rededo la robabltà coe eso o coe freueza de valor ossbl d X, ovvero dove a è la robabltà dell eveto eleetare A. µ X a X a a S I odo aalogo s defscoo la varaza VARX, lo scarto uadratco edo, l valore uadratco edo X, la oda, la edaa ecc. I artcolare l valore edao X c deve bartre S, odo PX<X c ½ e PX>X c ½ Se l valore X rareseta l re o u goco d azzardo, l valore serato µx rareseta la seraza d reo. I tal caso l goco s cosdera euo se l valore serato è ar alla utata del gocatore, coè alla tassa d gresso el goco. Ad eseo cosderao l goco della roulette 37 uer eurobabl, se s uta sul uero gusto s vce 36 volte la osta. Detta P la osta sul uero N fra 0 e 36, vcereo 36T u caso e 0T0 36 cas. Le robabltà soo rsettvaete /37 e 36/37. La seraza è 36T/37036/3736/37T < T. Qud l goco o è euo, uato la vcta eda è ferore alla utata. Eseo : Su u bersaglo crcolare d raggo 3 vegoo segat due cerch cocetrc d ragg e. U tratore ha robabltà 7% d colre l bersaglo e ell abto del bersaglo le robabltà soo roorzoal alle aree. I ut soo segat el grafco. S chedoo: ut serat valore edo ut, la varaza, lo scarto uadratco edo, la oda, la edaa. Le aree de cerch soo roorzoal a uadrat de ragg ; 4; 3 9, le aree de ut soo duue roorzoal da detro verso fuor a, 3, la soa è 9. Le robabltà devoo rartrs l totale 7% d colre l bersaglo e ertato soo da detro verso fuor 8%, 4%, 40%.6

13 Lug PANARIELLO: Probabltà e statstca ag. 3 Gl evet e relatv valor d X varable casuale soo: a fuor bersaglo X0; robabltà a8% 00%-7% b colsce zoa cetrale X0; b8% c colsce zoa tereda X0; c4% d colsce zoa erferca X; d40% Il valore serato de ut è: µx Il valore uadratco edo è: X La varaza : VarX X -µ X Lo scarto uadratco edo : Var X.48 La oda è ut, oché l caso d è l ù freuete. La edaa Xc è. Ifatt PX< a 8% ½ X>bc3% ½ e Eseo : U cassetto cotee 0 bacoote d cu false. Il cassere e estrae ua alla volta e e verfca la valdtà. S chede l valore atteso d bacoote estratte ra d trovare ua falsa. Detto X l uero d bacoote estratte PRIMA d uella falsa, le robabltà soo: PX0 è la robabltà che la ra bacoota sa falsa è /0 PX è robabltà che la secoda sa falsa e che la ra è buoa è /0/9 PX è la robabltà che la terza sa falsa saedo che le recedet soo buoe è /04/9/8 PX3 è la robabltà che la uarta sa falsa saedo che le recedet soo buoe è /04/93/8/7 PX4 è robabltà che la uta sa falsa saedo che le recedet soo buoe è /04/93/8/7/6 PX è robabltà che la sesta sa falsa saedo che le recedet soo buoe è /04/93/8/7/6/ µ X Provare er eserczo che P X L eseo recedete uò trasforars goco cosderado u azzo d 0 carte d cu d cuor e d cche. S estraggoo le carte fo a che o e esce ua d cche. S redoo 600 $ dal baco er og carta rossa uscta ra d uella d cche. La seraza d vttora è 600/6 00 $. Pertato la utata eua è d 00$. S uò erdere tutto se esce cche d ra ao, s ossoo vcere00$ se esce cche d secoda ao. Ma se esce cche d sesta ao s redoo 3000$ d cu 00 $ d vcta, a la cosa è olto robable cata eda ua volta og gocate. Se la utata vee ortata a 600$ l goco dveta favorevole al baco che guadaga eda 00$ a utata. 0. SISTEMI DI DUE VARIABILI CASUALI Sao X, Y due varabl casual etrabe su uo sazo d robabltà fto S. La X ossa assuere gl r valor,, r co le robabltà PX,, PX r r La Y ossa assuere gl s valor,, s co le robabltà PY,, PY r s La robabltà che X, Y ossao assuere sultaeaete l valor X e Y verrà dcata co Se e solo se le varabl X ed Y soo dedet avreo ovvero PX e Y PX PY

14 Lug PANARIELLO: Probabltà e statstca ag. 4. Eseo : Sa S lo sazo d robabltà assocato al laco d due oete co testa T e croce C eurobabl. Lo sazo degl evet è costtuto da TT,TC,CT,CC. Cosderao coe varable X l uero d croc che esce el laco. Qud valor assut da X sarao co rob. ¼, co rob. ½ e 0 co rob. ¼. Cosderao oltre la varable Y che rareseta 0 se o esce croce rob. ¼ oure se esce ualche croce rob. ¾. Costrureo la tabella X, Y,, X Y /4 0 0 /4 0 / /4 ¾ 0- /4 / /4 Nell ulta coloa soo rortate le robabltà, ell ulta rga soo rortate le robabltà. Le robabltà sgole soo calcolate edate raort fra cas favorevol e cas ossbl. S ot che X0 e Y0 ¼ o cocde co PX0Y0 /6. Pertato le due varabl X ed Y o soo dedet. Eseo : Cosderao vece due dad eurobabl, uo rosso ed uo baco, e s dcao X l uero uscto dal dado rosso ed Y vece dch se l dado rosso da ù d 4 e zero caso cotraro Y X /9 /9 /9 /9 /9 /9 /3 /8 /8 /8 /8 /8 /8 /3 /6 /6 /6 /6 /6 /6 S ota che PX e Y PXPY er,,6 e 0,. Qud le due varabl soo dedet. Dagl ese recedet, ovvero co u selce ragoaeto, ossao ache dedurre che:,,... r... s Per le due varabl casual X ed Y s defsce la soa XY che assue tutt valor co le robabltà, l rodotto XY che assue valor co le robabltà. Pù geerale s defsce ualuue fuzoe fx,y delle due varabl assuedo che ossa valere f, co robabltà.... r... s S defsce o la covaraza covx,y delle due varabl oedo covx,y... r... s e µ valor ed d X ed Y Nell eseo la covaraza è 3/6. Nell eseo la covaraza è 0. La covaraza è zero ogualvolta le due varabl soo dedet. Ed fatt tal caso s ha:... r... s µ µ... r... s... r... s µ µ... r... s... r... s µ µ µ, essedo µ µ µ µ µ µ µ µ... s... r µ µ µ µ µ µ µ µ 0... r... s

15 Lug PANARIELLO: Probabltà e statstca ag. Quado due varabl hao covaraza zero s dcoo o correlate. Qud due varabl dedet soo sere o correlate. Il teorea verso o vale, ud due varabl dedet o dedet otrebbero rsultare robablstcaete o correlate. La correlazoe uò essere ostva all auetare d ua robablete aueta l altra e vceversa o ega tva all auetare d ua l altra robablete dusce a secoda che covx,y>0 o covx,y<0. Nell eseo la covaraza ostva 3/6 ostra che X ed Y soo ostvaete correlate: l aueto d Y da 0 ad l uscta d ua croce aueta l valor e robable d X l uero d croc uscto. Date due varabl casual X,Y s ha, er la eda e la varaza: µ X Y X Y µ X µ Y... r... s... r... s... s... r Var X Y X Y µ µ µ µ µ... r... s µ... r... r... s... s... r... r... s... s µ X µ µ µ Var X Var... r... s... r... s Cov X, Y I artcolare se X, Y o soo correlate artcolare se soo dedet: Var X Y Var X Var S ossoo cosderare ù d due varabl casual X,Y, Z, S uò dostrare che µ X Y Z... µ X µ Y µ Z... e che, se soo recrocaete dedet: Var X Y Z... Var X Var Y Var Z.... LA LEGGE DEI GRANDI NUMERI Cosderao ua varable casuale X sullo sazo d robabltà S, avete evet eleetar d robabltà,.,, co valore edo µ. La varaza VarX è data da X µ. Sa θ u uero ostvo scelto a acere. Se ella forula della varaza che è ua soatora d uer a egatv sosttuao ter X -µ che soo ù ccol d θ co zero e sosttuao uell ù grad co θ, alla fe trovereo ua soatora che certaete o è suerore a uella d arteza. Pertato otreo scrvere: X µ θ θ θ * * P X µ θ dove l sbolo * sotto alla soatora sgfca che essa è estesa solo a ter che dao X -µ θ. Mettedo θ evdeza rsulta la soatora delle robabltà degl evet cu X -µ θ, e ud la robabltà colessva che dchao co PX -µ θ. D altra arte X -µ θ euvale erfettaete a X -µ θ e ud PX -µ θ P X -µ θ. Avreo duue: θ P X µ θ dsuguaglaza d Tchebchef: Se oao θ avreo ua forula ù ù sgfcatva: P X µ Ad eseo la robabltà che l valore della varable casuale X s dstacch dalla eda d u valore d aleo 3 è ferore ad /9. Suoao ora d avere ua successoe varabl casual dedet X, X,.,X, sullo sazo degl evet S, co la codzoe che tutte abbao lo stesso valore edo µ e lo stesso scarto uadratco edo e ud la stessa varaza. S abba coè µ µ µ e. S uò allora cosderare la cosddetta eda caoara delle re varabl. Il valore serato della eda caoara sarà acora µ, fatt:

16 Lug PANARIELLO: Probabltà e statstca ag. 6 X... X µ X... µ X µ... µ µ µ M µ µ Per la varaza, trattados d varabl dedet, rsulta: X... X Var M Var Var X X Var X Var X... [... ] Qud la seueza X,,X ha, coe eda caoara, ua varaza ferore alle sgole varabl X. Se alchao la forula d Tchebchef alla eda caoara M, rferta alle re varabl, e teao resete che la varaza è / avreo: P M µ θ er cu, ssado al lte er s ha θ l P M µ θ 0 ovvero, cosderado l eveto cotraro, l P M µ < θ Il teorea dostrato è oto coe Legge debole de grad uer. L attrbuto debole derva dal odo cu è cogegato l lte. Cerchao d rcostrure l sgfcato robablstco. Co S abbao dcato uo sazo fto d robabltà e co X,,X,. ua successoe d varabl casual su S, dedet recrocaete, co lo stesso valore edo µ, la stessa varaza VarX, e ud co lo stesso scarto uadratco edo. I ratca ossao esare d retere u esereto, sere co le stesse odaltà, er u uero d volte. Se o cabao odaltà resterao costat er cascu esereto l valore serato µ e lo scarto uadratco edo. Sa X la varable casuale che s vuole valutare. Og esereto couto forsce u valore seretale d X. I eseret forscoo valor,, e la eda caoara assue l valore M / Fssato u uero θ ostvo, ccolo a acere, ossao calcolare la robabltà che l uero dffersca oco da µ coè che la eda caoara doo eseret dffersca oco dal valore serato µ: l oco è dato dal uero θ. La legge de grad uer affera che l lte d uesta robabltà è e che ud er grad uer sao uas cert che la dffereza fra l valore della eda caoara ed l valore serato è ccolo. Tuttava la casualtà sta el esereto è la stessa del esereto! Qud secodo la legge de grad uer uò catare che l valore uscto el esereto sa uo de ù robabl.. DISTRIBUZIONE BINOMIALE d Beroull Cosderao rove retute ed dedet d u esereto co due est, uo chaereo successo d robabltà e l altro d successo d robabltà -. Cosderado ua varable casuale X, assuereo X caso d successo e X0 caso d successo. La robabltà d otteere esattaete success rove co 0 è data da B. Ifatt l caso artcolare cu a success zal seguoo - success ha robabltà data l dedeza -. Tutt gl altr cas s ottegoo cosderado l loro uero, che euvale al uero d cobazo d orde e classe, che soo C, da cu la forula Se soao tutt valor d B da 0 a otterreo aturalete ed fatt B Il recedete calcolo sega l otva del oe dstrbuzoe boal alla dstrbuzoe d robabltà B

17 Lug PANARIELLO: Probabltà e statstca ag. 7 Eserczo: Pelè sega rgor co la robabltà 0.8 dell 8%. Calcolare la robabltà che trado volte seg 3 gol, oure 4 gol, oure aleo u gol. La ra robabltà è B % La secoda è B % La terza è la coleetare d B0 e coè -B % Calcolao l valor edo serato d success e la varaza doo rove dove X 0, è la varable casuale e B : h X h µ Eseo : Lacado l dado eurobable abbao robabltà /6 che esca 6. Lacado l dado 600 volte c s asetta che l 6 esca volte ovvero 600/600 volte. Eseo : Se Pelè tra 00 rgor 8% d successo, ual è l uero serato s d gol?