CAP. 6 - CONDUZIONE ELETTRONICA NEI SOLIDI.

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1 CAP. 6 - CONDUZION LTTRONICA NI SOLIDI. Teoia di Dude pe la conduzione nei etalli. Te anni dopo la scopeta dell'elettone, Dude costuì la sua teoia della conduzione elettica e teica dei etalli, consideando l'insiee degli elettoni coe un gas al quale applicò le leggi della teoia cinetica dei gas pefetti. Un etallo deve essee consideato coe costituito da un gas di paticelle caiche negativaente e uno di paticelle caiche positivaente; Dude assunse che queste ultie paticelle fosseo paticaente fee e che il gas di paticelle negative fosse costituito dai soli elettoni di conduzione e non da quelli di coe. Tipicaente la densità di elettoni è 10 c -3, una densità olto aggioe di quella dei gas ai quali si applica la teoia cinetica. Inolte, vi sono le seguenti assunzioni fondaentali: 1) ta un uto e il successivo, l'inteazione e-e ed e-ione è tascuabile, pe cui senza capi esteni gli elettoni si uovono in linea etta ta un uto e il successivo e se vi sono capi esteni il loo oto è govenato dalla II legge della dinaica. L'ipotesi di inteazione tascuabile e-e è nota coe 'appossiazione di elettone indipendente' e quella iguadante l'elettone - ione di 'appossiazione di elettone libeo'. ) Gli uti che cabiano le velocità degli elettoni sono quelli con gli ioni (quelli ta elettoni non sono ipotanti). 3) La pobabilità che un elettone subisca un uto nell'intevallo di tepo dt è dt/τ, τ essendo il tepo di ilassaento ovveo il tepo edio che intecoe ta un uto e il successivo. 4) La velocità con cui un elettone eege da una collisione dipende dalla tepeatua locale e non dipende dalla velocità pia dell'uto. La densità di coente j = env dove v è la velocità elettonica edia che è nulla in assenza di capi esteni. In pesenza di un capo elettico v o la, sia velocità di un elettone subito dopo un uto: all'istante t, v = v o + a t = v o +, v o = 0 pe cui e t. ssendo la diezione di eegenza, casuale v = e t = e τ e quindi j = e nτ = σ V.AUGLLI - Fisica degli Stati Condensati. Cap. 6 Conduzione elettonica nei solidi 1

2 essendo σ la conducibilità elettica. Tipicaente, a R.T., τ s. Assuendo 1 v o = 3 kt si tova v o 10 7 c/s, e quindi il libeo caino edio l = v o τ = 1 10 Å. Vogliao oa calcolae l'ipulso edio pe elettone all'istante t+dt, noto quello all'istante t. La pobabilità che un elettone non collida dopo un tepo dt è 1- dt/ τ e se vi sono foze estene l'ipulso auenteà di f (t)dt; il contibuto di tutti gli elettoni che non utano nell'intevallo dt all'ipulso pe elettone saà il podotto della fazione (1-dt / τ ) pe il loo ipulso edio pe elettone: p ( t + dt ) = (1 - dt / τ) [ p ( t ) + f ( t ) dt ]= = p (t) dt p (t) + f ( t)dt + O(dt) τ Il contibuto all'ipulso pe elettone degli elettoni che utano (con pobabilità dt/) è del II odine (dt/τ contibuto di tutti gli elettoni: e passando al liite: f (t)dt p (t + dt) - p (t) = dt τ d p (t) dt ) e quindi possiao scivee consideando il = p (t) + f ( t)dt + O(dt) p ( t) τ + f (t) L'effetto degli uti è, petanto, quello di intodue un teine di sozaento nell'equazione del oto dell'elettone. Il odello di Dude può endee conto, anche se solo in pate, del valoe del coefficiente Hall e della agnetoesistenza. Applichiaolo al calcolo del coefficiente Hall. z y v B -e v B B y f = -e( + v La foza agente su ciascun elettone è: B ); essendo la velocità degli elettoni divesa, tale foza deve essee intesa coe foza edia. L'equazione del oto è: j V.AUGLLI - Fisica degli Stati Condensati. Cap. 6 Conduzione elettonica nei solidi

3 d p (t) dt In condizioni stazionaie, posto ω c = e + p B p τ = eb ed essendo j = en σ o = ω c τ j y + j σ o y = ω c τ j + j y p, si ottiene: con σ o = ne τ. Posto =0, la tensione Hall è: j y y = ω τ c j = B σ o ne j ; il coefficiente Hall è: R = y Bj = 1 ne e peette di calcolae n in un etallo. In ealtà R dipende da B, T e da coe è pepaato il capione. La teoia di Dude non iesce a spiegae valoi positivi di R, coispondenti a caiche elettiche positive. ssendo ω c la fequenza di ivoluzione di un elettone libeo in un capo agnetico, ω c τ piccolo significa che gli elettoni descivono un piccolo aco di ciconfeenza pia di utae nuovaente, ente ω c τ gande significa che gli elettoni descivono più ivoluzioni pia di utae nuovaente. Calcolo della conducibilità a.c. col odello di Dude. Calcoliao la coente indotta in un etallo da un capo elettico vaiabile (t ) = Re( (ω )e iωt ). L'equazione del oto è: d p (t) p ( t) = e dt τ p (t ) = Re p (ω )e iωt Cechiao soluzioni stazionaie della foa: Sostituendo nella (1) si ha: p (ω ) = e (ω ) (1) e quindi: iω 1 τ j (ω ) = ne p (ω) = σ (ω ) (ω ) τ iω = [ ]. dove σ (ω ) è la conducibilità elettica a.c., dipendente dalla fequenza: σ (ω ) = ne / σ dc 1 1 iωτ. Applichiao questo isultato alla popagazione della adiazione e.. in un etallo. Il isultato che abbiao ottenuto non tiene conto del fatto che ha associato V.AUGLLI - Fisica degli Stati Condensati. Cap. 6 Conduzione elettonica nei solidi 3

4 B un capo pe cui nell'equazione (1) doveo consideae un teine e v B, a essendo B=/c, tale teine è v/c più piccolo di quello dovuto ad e quindi è tascuabile (v=j/ne 10-1 c/s, v/c 10-9 ). Inolte è funzione anche di pe cui la foza, in ealtà dipende dal punto; pe lunghezze d'onda della adiazione olto aggioe del libeo caino edio, si può assuee costante. Petanto, usando le equazioni di Mawell e icecando soluzioni dipendenti dal tepo del tipo ( ) = = t = t (µ oσ + 1 c t ) = iω c Definiao la costante dielettica coplessa: = o e iωt, si ha: = Β t B = (µ o j + ε o µ o t t ) = σ iω = ω 1+ iσ ε o c c c ε o ω ε (ω ) = 1 + Ad alte fequenze ωτ >>1 e quindi: ε(ω) = 1 + i σ o ω τε o ω p è detta fequenza di plasa. Le soluzioni dell equazione σ o iσ (ω ) ε o ω σ(ω ) = 1 iωτ σ i o ωτ = 1 ω p ω, ω p = σ o τε o = ne ε o ; () ω = ε( ω) c hanno, pe ε eale e negativo (ω p > ω ), un decadiento esponenziale pe cui la adiazione non si popaga; pe ε positivo, la soluzione ha andaento oscillatoio e si popaga nel etallo (natualente pe alte fequenze). La fequenza di soglia alla quale il etallo diventa taspaente è ν p = ω p. L'accodo con i dati π speientali è olto buono pe i etalli alcalini. Se si assue che la densità di caica possa avee un copotaento oscillatoio ρ( t ) = ρ(ω )e iωt, l'equazione di continuità è: j (ω ) = iωρ(ω ); V.AUGLLI - Fisica degli Stati Condensati. Cap. 6 Conduzione elettonica nei solidi 4

5 pe la legge di Gauss: iωρ(ω) = σ ρ(ω) ε o (ω) = ρ(ω ) ε o ε o e quindi ρ(ω ) σ (ω) iσ (ω ) iω = ε o ω = 0. Ma abbiao tovato che condizione affinchè l'onda si popaghi è: ω = ω p ; infatti, se a σ (ω ) sostituiao σ o i / ωτ otteniao ω = σ o / ε o τ = ω p. Abbiao tovato, quindi, che l'onda di densità di caica si popaga se ω ω p ; tale onda si chiaa oscillazione di plasa ed è una oscillazione collettiva longitudinale di un gas elettonico. Il quanto di tale oscillazione è il plasone. Conducibilità teica di un etallo. La legge speientale di Wiedeann- Fanz stabilisce che il appoto ta conducibilità teica ed elettica k/σ è popozionale alla tepeatua T e il nueo di Loentz k/σ T è cica lo stesso pe un gan nueo di etalli. Dude assunse che la coente teica fosse potata dagli elettoni di conduzione nei etalli. Stabilite le condizioni stazionaie in una baa etallica in cui esiste un gadiente di tepeatua e un flusso di caloe, definiao la densità di coente teica j q coe un vettoe paallelo al flusso di caloe di odulo pai all'enegia teica pe unità di tepo e di aea noale al flusso. Pe la legge di Fouie, j q è popozionale al j q =-k T : T. Sebbene la velocità edia degli elettoni che aivano in un punto può essee nulla, pe l'assunzione 4 fatta all'inizio di questo capitolo, gli elettoni povenienti da una egione a tepeatua più alta avanno una enegia edia aggioe di quelli povenienti da egioni a più bassa tepeatua, pe cui ci saà un flusso netto veso la egione a tepeatua più bassa. Supponiao che il oto degli elettoni sia lungo l'asse e che in un punto età elettoni povengono da egioni a più alta T e età da egioni a più bassa T. Sia (T) l'enegia edia pe elettone in un etallo in equilibio alla tepeatua T. Gli elettoni che giungono in dalle egioni a più alta T hanno subìto l'ultio uto, in edia, in -vτ, pe cui avanno enegia edia (T(-vτ)) e la densità di coente teica a loo dovuta saà : (T(-vτ)) n/ v, dove n è il nueo di elettoni pe unità di volue; gli elettoni povenienti da egioni a più basse T poteanno una densità di coente teica pai a (T(+vτ)) n/ (-v); petanto: j q =n/ v[ (T(-vτ)) - (T(+vτ))] V.AUGLLI - Fisica degli Stati Condensati. Cap. 6 Conduzione elettonica nei solidi 5

6 T 1 >T T -vτ X +vτ j t =(T(-vτ))(n/)v j t =(T(+vτ))(n/)(-v) Sviluppando in seie di Taylo pe vτ piccolo: j q = n v (T( )) vτ T Nel caso tidiensionale: v pe cui: j q T T (T ( )) vτ T = v y = v z = v 3 = 1 3 nv τ d dt ( T). ssendo l'enegia teica pe elettone, d dt = nv τ T T è la capacità teica pe elettone d e se N è il nueo di elettoni, N= è l'enegia teica totale pe cui: n scivee: dt = N V j q d dt = 1 V dove k = 1 3 v τc v = 1 3 vlc v Il appoto d dt. Posto c v la capacità teica specifica, possiao = 1 3 v τc v ( T ) = k ( T ) k σ = è la conducibilità teica. 1 3 v τc v ne τ assuendo 1 v = 3 k BT e c v = 1 3 v c v ne, = 3 nk B si ha: k 3 σ = che è la legge di Wiedeann - Fanz. Il valoe speientale di k k B e T σt è cica il doppio del nueo di Loentz 3 Nel odello che abbiao sviluppato vi sono due eoi che iplicano un fattoe 100 ciascuno, a che si elidono: il pio è che il caloe specifico elettonico è cica 100 volte più piccolo di 3 nk B, il secondo è che v k B e. degli elettoni è V.AUGLLI - Fisica degli Stati Condensati. Cap. 6 Conduzione elettonica nei solidi 6

7 cica 100 volte più gande. Infine, avendo assunto l'enegia teica dipendente dal punto dell'uto in elazione alla tepeatua del posto, ciò iplicheebbe velocità aggioi dove la T è più alta, cioè aveo dovuto assuee la velocità dipendente dalla posizione, a ciò intoduce un fattoe dell'odine dell'unità. La teoia di Soefeld pe la conduzione nei etalli. Sebbene il odello di Dude spieghi olti fatti speientali, esso fa pedizioni eate, pe esepio, cica il caloe specifico elettonico. La teoia di Soefeld considea ancoa un gas di elettoni libei e indipendenti, a ad esso applica la statistica di Fei-Diac invece di quella di Mawell 1 f ( v) = 4 πh 3 1 ep v 3 / 1 µ kt + 1 f v ( v) = n ep B πkt kt inolte, l'equazione del oto è quella di Schoedinge. Deteiniao le popietà fondaentali di un gas di elettoni nello stato fondaentale, confinati in un volue cubico V. Supponiao che il potenziale all'inteno del cubo sia nullo e infinito all'esteno. Questa è la situazione assunta da Soefeld pe gli elettoni libei in un etallo. L z ; V out I O V in =0 L y L V.AUGLLI - Fisica degli Stati Condensati. Cap. 6 Conduzione elettonica nei solidi 7

8 Nell'appossiazione di elettoni indipendenti, deteiniao i livelli enegetici di un singolo elettone e poi iepiao questi livelli tenendo conto del pincipio di Pauli. L'equazione di Schoedinge pe un elettone libeo è: h + y + ψ( ) = ψ ( ) z (3) Se poniao Ψ (,y,z) = X()Y (y)z (z) la (3) può essee sepaata in te d X equazioni; pe la X() si avà, pe esepio: d + h X = 0. La soluzione è: X()= 1/ sin n π L L (4) con autovaloe = h π L n, con n inteo. Posto k = πn L, k y = πn y L, k z = πn z n n y n z = h π n L + n ( y + n z )= h l'enegia dello stato fondaentale è 111 = 3h π degenei, a, pe esepio, n n y n z = 41 h π L l'enegia è quindi data da: k ; (4a). Gli stati 111 o sono non L L è 9 volte degenee poichè coisponde alle seguenti tene: 16, 16, 16, 61, 61,61, 434, 443, 344. Ciascuna tena coisponde ad uno stato diveso, cioè, ad una divesa configuazione nello spazio della densità di pobabilità, a tutti hanno la stessa enegia e coispondono ad un unico livello. Una quantità di gande ipotanza nello studio delle popietà elettoniche dei solidi è la densità degli stati N(). Definiao N()= 0 N()d il nueo di stati con enegia inoe di, pe cui N()= d nueo di stati con enegia fa e +d. d N(); N()d è il V.AUGLLI - Fisica degli Stati Condensati. Cap. 6 Conduzione elettonica nei solidi 8

9 Pe valutae N(), teniao pesente che: n + n y + n z = L h π n n y n z = R (5) Tale equazione appesenta una sfea di aggio R, nello spazio n. Il nueo di stati N() con enegia inoe di è dato dal nueo di punti appesentativi che si tovano nel pio ottante pe cui solo valoi positivi di n hanno senso; poichè ogni punto si tova ad un vetice delle celle unitaie in figua, N() è il volue dell'ottante: 1 4π N() = 8 3 La densità di stati saà: L h π N()= d d 3/ N()= L3 4π = L 3 6π h h e tenendo conto dello spin, la densità di stati totale saà N()=N t = 3 L π h 3/ 3/ 1/. 3/ 3/ 1/ (6) V.AUGLLI - Fisica degli Stati Condensati. Cap. 6 Conduzione elettonica nei solidi 9

10 N() F Densità totale degli stati in funzione dell'enegia pe il odello dell'elettone libeo. A T=0 K tutti gli stati sono occupati fino alla enegia di Fei. La soluzione della (3) è un'onda stazionaia soggetta alle condizioni al contono a =0 e =L. Il valoe di aspettazione dell'ipulso dell'elettone che ψ=0 oscilla ta le paeti della scatola di potenziale è zeo e quindi l'onda stazionaia non è idonea a descivee una coente in un etallo. A tale scopo è conveniente usae coe soluzione della (3) un'onda piana, del tipo e i k, che peò non soddisfa le pecedenti condizioni al contono. Se avessio una egione unidiensionale piuttosto che una scatola, poteo iaginae di chiudee su sé stesso il filo pe peettee la cicolazione di una coente (l'analogo tidiensionale è difficile da iaginae). Con una tale opeazione =0 viene a coincidee con =L e la condizione al contono diventa ψ (0) = ψ(l) e dψ = dψ. In d =0 d =L geneale, nel caso tidiensionale tali condizioni sono note coe condizioni al contono di Bon-von Kaan e si scivono coe: ψ (,y,z + L ) = ψ (, y, z) ψ (,y + L, z ) = ψ (, y, z) ψ ( + L, y, z ) = ψ (, y, z) Consideando quindi che deve essee ψ (0) = ψ(l), si ha 1 = e ikl e quindi kl = πn con n=0, ± 1, ±,... (onde che si uovono in veso opposto hanno lo Ψ ik stesso autovaloe dell'enegia). Se ( ) saanno: k = h k = h π L = 1 V e (n) e, in geneale, [ ] k = h π L (n ) + (n y ) + ( n z ), gli autovaloi dell'enegia V.AUGLLI - Fisica degli Stati Condensati. Cap. 6 Conduzione elettonica nei solidi 10

11 Sebbene questa espessione sia divesa dalla (4a), la densità degli stati che si ottiene è la stessa. Possiao veificae che h h = i i con autovaloe h k : pe cui un elettone nel livello h k /. h e i Ψ k ik ( ) = hke Ψk ik ( ) ha un ipulso è un autostato dell ipulso, hk e quindi una velocità Passiao a calcolae il nueo totale di elettoni libei in un etallo. Ogni stato è occupato da due elettoni con spin opposto (pincipio di Pauli). Gli elettoni libei nel etallo, N e, occupeanno i livelli fino ad una ceta enegia F, pe cui isulteà: N e = F N 0 t ()d = V Posto n=n e / V, si ha F = h cinetica degli elettoni in teini di F : c = F N 0 t ()d = V 5π 3π h 3/ 3/ F (3π n) /3. Possiao espiee l'enegia h L'enegia cinetica edia pe elettone è quindi 3 5 F. 3/ F 5/ = 3 5 N e F La coelazione che esiste ta spazio n e spazio k si ottiene dalle elazioni che legano k ad n. Il nueo di stati possibili nello spazio k, ovveo il nueo di punti in una egione olto gande, è paticaente il volue contenuto in quella egione diviso il volue pe punto che nel caso 3d è ( π / L ) 3, cioè: Ω /( π / L ) 3. k y k π/l V.AUGLLI - Fisica degli Stati Condensati. Cap. 6 Conduzione elettonica nei solidi 11

12 Petanto il nueo di valoi peessi di k pe unità di volue nello spazio k è: V /8π 3. Possiao sisteae un elettone in ciascuno stato e associae due elettoni con spin opposti alla stessa onda piana. Il aggio della sfea dello spazio k in cui sisteiao tutti gli elettoni si indica con k F e il nueo di k peessi è: V 4 8π 3 3 πk 3 F ; il nueo di elettoni pe unità di volue saà: n = N V = 1 V k 3 FV 6π = k 3 F 3π La sfea di Fei è la sfea che contiene i livelli occupati e la supeficie della sfea sepaa i livelli occupati da quelli vuoti. L'ipulso, la velocità e l'enegia di Fei sono definiti coe: p F = hk F, v F = p F /, (k F ) = h k F = h (3π n) / 3 = F Possiao icavae una espessione geneale della densità degli stati, nel caso in cui l'enegia dipende solo dal odulo di k (supeficie sfeica di enegia): N()= V /8π πk 3 = k 3 V 6π e quindi N()= d d d N()= dk N() dk d = Vk π d dk Calcoliao la densità degli stati nel caso di un etallo bidiensionale. L'espessione (5) diventa: n + n y = L h π = R, che è l'equazione di una ciconfeenza. N() saà l'aea del I quadante: N()= π 4 L h π e la densità degli stati saà indipendente dall'enegia: N()= d d N()= 1 L h π Nel caso unidiensionale, si ha: n = L h π = l, essendo l la lunghezza; L N()= l = () 1/ hπ 1/ e d L N()= N()= ( / )1/ d hπ 1/ 1 V.AUGLLI - Fisica degli Stati Condensati. Cap. 6 Conduzione elettonica nei solidi 1

13 In tutto quanto detto si è assunto lo stato fondaentale alla tepeatua T=0 K; se T è diveso da zeo, dobbiao consideae gli stati eccitati. Abbiao visto che a T=0 K solo gli stati con < F sono occupati, ciò significa che la funzione distibuzione di Fei è f = 1, k k s ( )< F f = 0, k k s ()> F 1 ssendo f = ( e µ )/kt + 1 li f = 1 pe k T 0 k s ( )< µ li µ = F. T 0 La densità di distibuzione degli stati di enegia peessa è data dalla densità pe unità di volue, ente quella degli stati occupati è data da: n()d = N t () V f()d = 1 π h 3/ e F 1/ ( )/kt +1 d Caloe specifico elettonico. L'enegia intena U e saà l'enegia ( k ) dell'elettone nel livello pe il nueo edio di elettoni nel livello: U e = n()d = N t ()f()d 0 0 V.AUGLLI - Fisica degli Stati Condensati. Cap. 6 Conduzione elettonica nei solidi 13

14 e c e dove = U e confontae con T ; si può diostae che, con qualche appossiazione, g( F ) c e = π 3 k BTg( F ) = π 3 k BT 3 è la densità degli stati al livello di Fei; tale isultato è da 3 nk B della statistica classica che è cica 100 volte più gande. n F ffetto teoionico. Affinchè un elettone in un etallo possa passae dalla supeficie al livello di vuoto, esso deve possedee una enegia aleno pai alla funzione lavoo,, più l'enegia di Fei, F. Con ifeiento alla figua poniao: Φ = o F livello di vuoto Φ livello di Fei O fondo della B.C. Metallo F Supeficie Vuoto Nell'appossiazione di elettone libeo, l'enegia è tutta cinetica, pe cui la densità di stati occupati nel etallo, è data da: n()d = N t ()f()d = 8π 3 h 3 v dv ( )/kt +1 e F Pe calcolae la densità di coente teoionica consideiao il podotto della densità di stati occupati pe la caica pe la coponente della velocità degli elettoni. Consideiao la coponente v della velocità essendo questa pependicolae alla supeficie del etallo. Pe integae su tutte le velocità degli elettoni, sostituiao l'integazione su 4πv dv con una integazione su tenendo conto che solo gli elettoni con enegia aggioe di dv dv y dv z Φ + F possono sfuggie dalla supeficie: V.AUGLLI - Fisica degli Stati Condensati. Cap. 6 Conduzione elettonica nei solidi 14

15 essendo iscivee coe: j = e3 h 3 j = e3 h 3 + dv y dv z (Φ+ F ) 1/ v dv ( )/kt +1 e F F >> kt possiao tascuae l'unità al denoinatoe e e F /kt + dv y dv z v (Φ+ F ) 1/ ep (v + v y + v z ) kt dv da cui si ottiene la foula di Richadson: j = 4πe h 3 (kt) e Φ/kT = AT e Φ/kT (Si tenga conto che + e β d = π β ). La costante A vale 10 A/c K. Il gafico del logj/t in funzione di 1/kT peette di icavae la funzione lavoo del etallo (dell'odine di qualche ev). La costante A non isulta la stessa pe tutti i etalli e ciò può essee dovuto al diveso stato della supeficie, alla dipendenza da T della funzione lavoo, alla iflessione degli elettoni alla supeficie del etallo. La teoia di Soefeld tova anche il giusto valoe del nueo di Loentz. Tuttavia, nonostante i successi, la teoia dell'elettone libeo non spiega la dipendenza della costante Hall dal capo agnetico e da T, il segno di R H, la dipendenza della conducibilità dalla tepeatua, ecc., pe cui saà necessaio abbandonae questo odello. ffetto teoionico in un etallo 1D / N( ) = π j 1/ 1/ / v h / kt f 1/ e = e( / ) hπ ( Φ+ ) f = 1 d = v dv ep( v / kt ) v ( vdv ) = / v e kt kt e f / Φ / kt = e ep( ( Φ + f ) / kt ) = kte hπ h coe si può ossevae la dipendenza coplessiva dalla tepeatua cabia ispetto al caso 3D. V.AUGLLI - Fisica degli Stati Condensati. Cap. 6 Conduzione elettonica nei solidi 15