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1 BRUNO DE FINETTI A poposto d coelazoe SOCIETÀ AN. TIPOGRAFICA EMILIANA FERRARA 937-V

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3 . Come spesso avvee, ache el caso della «coelazoe» molte dscusso o hao oge che da ua cofusoe d cocett. Da qualche tempo s sete dmostae e petee ua quattà d lavo che è ecessao dstguee quel cocetto d «coelazoe» che s estseca el «coeffcete d coelazoe» d Bavas, e quello cospodete al cocetto d «dpedeza stocastca» del calcolo delle pobabltà. Se così dffuso è l bsogo d chae questo puto, voà de cetamete che ache la cofusoe ea abbastaza dffusa, pobablmete a cagoe del fatto che due cocett soo equvalet el caso delle dstbuzo gaussae, e dell'abtude gustfcata e daosa d cosdeae la dstbuzoe gaussaa modo toppo esclusvo come se dovesse appesetae la egola quas tutt cas pesetat dal calcolo della pobabltà e dalla statstca, e se og dvesa foma d dstbuzoe costtusse u caso eccezoale o egolae ache lo stesso ome d «legge omale» può cotbue a tale mpessoe, e saebbe fose pecò pefeble abbadoalo. No vede alcu motvo d aggugee paola pe chae la dstzoe fa due cocett che ma avebbeo dovuto potes cofodee e che almeo pe quato m costa soo sempe stat teut be dstt da culto d calcolo delle pobabltà se o m sembasse che, scopedo che l coeffcete d coelazoe o ha quel sgfcato che pe u compesble equvoco gl ea stato da talu attbuto, s pes d ave co cò svuotato l coeffcete d coelazoe d og sgfcato. Saebbe come pesae che le tebbatc soo utl pechè abbamo dmostato ad u tale che le scambava pe mul che esse o sevoo a macae l gao! Pecò peso o sa del tutto utle espoe bevemete l sgfcato del coeffcete d coelazoe secodo l calcolo delle pobabltà, tato pù che fose qualche cosdeazoe potà sultae 3

4 uova, almeo ella foma e ella luce cu vee posta secodo l puto d vsta della teoa de ume aleato. Iolte toccheò fe la questoe della temologa pù adatta pe evtae stascch dell'equvoco acceato e pe ovvae ad alt coveet che vedemo: la questoe è peò talmete tcata che, seza pote pesetae poposte soddsfacet, m lmteò a chae qual esgeze s dovebbe ceca d spettae el pedee ua delbeazoe meto.. Dato u umeo aleatoo, e dcheemo, come è d'uso, co M la «speaza matematca» e co ;M M lo «scostameto quadatco medo». È oto che la speaza matematca gode della popetà addtva: M + Y M + MY, e cò basta a solvee tutt poblem cu s hao soltato combazo lea d ume aleato e basta la coosceza della speaza matematca. Se vece Z f, Y è fuzoe o leae d e Y, oppue se, tale fuzoe essedo leae, teessa ua coosceza della dstbuzoe d pobabltà d Z pù pecsa d quella che s duce alla detemazoe della speaza matematca, occooo atualmete alt elemet. Il pmo è apputo l coeffcete d coelazoe, che basta, seme ad M e, pe tutt poblem d «secodo gado», cu s tatt coè d detemae la speaza matematca d ua qualuque fuzoe d secodo gado d dat ume aleato,...,. Fa poblem d secodo gado ve e soo due d teesse patco mmedato, e che bastao a mostae l'eome mpotaza del coeffcete d coelazoe d cu esgoo l'toduzoe: soo poblem cosstet ella detemazoe della speaza matematca del podotto.y d due ume aleato e Y e dello scostameto quadatco medo della loo somma +Y ovva geealzzazoe de due poblem, è l calcolo della speaza matematca del podotto d due combazo lea d dat ume aleato, e patcolae del quadato d ua tale combazoe leae. Pe affotae la questoe geeale, cosdeamo ua geeca fuzoe d secodo gado d dat ume aleato,,...,, e sa Z Σ j a j j possamo suppoe, seza dmue la geealtà, a j a j. 4

5 Idcado co ; M la speaza matematca d, possamo scvee Z Σ j a j [; + ; ] [; j + j ; j] Σ j a j ; ; j + + Σ j a j ; j ; j + Σ j a j ; j ; j e la speaza matematca d Z sulta MZ Σ j a j ; ; j + Σ j a j ; M j ; j + Σ j a j M[ ; j ; j] Σ j a j ; ; j + Σ j a j M[ ; j ; j] pechè M j ; j M j ; j ; j ; j 0. S vede così che potemo detemae og caso MZ cooscedo, olte gl ; M, tem M[ ; j ; j]. Pe j è pe defzoe M ; ; pe j la coosceza degl M e o basta vece a detemae M[ ; j ; j ma dà peò ua lmtazoe dalla quale sulta spotaea l'toduzoe del «coeffcete d coelazoe». 3. Essedo fatt ed Y due ume aleato cosdeamo la loo combazoe leae Z t + ty, ove t è u qualuque umeo eale; avemo Z t M[ ; + ty Y; ] M ; + t M[ ; Y Y; ] + + t MY Y; + t M[ ; Y Y; ] + t Y. Cosdeado t come u paameto, Z t sulta duque fuzoe d secodo gado d t; d'altode Z t è pe sua atua postvo o o al pù ullo, e qud dev'essee M[ ; Y Y; ] <.Y, che è la lmtazoe aucata; vedemo tosto che questa lmtazoe è la pù pecsa possble, el seso che M[ ; Y Y; ] può effettvamete assumee tutt valo compes fa ±.Y estem clus. Appae così spotaea la coveeza d todue l «coeffcete d coelazoe», defto apputo da 5

6 M[ Y Y ], Y Y che sulta compeso sempe fa ±, e che o dpede da evetual coeffcet postv d popozoaltà da cu possao vee affett e Y coè, se a > 0 e b > 0, a, by, Y; pù geeale a, by ±, Y sego +o a secoda che a e b hao seg ugual od oppost. Pe la speaza matematca del podotto d due ume aleato e Y s ha alloa geeale la fomula M.Y M.MY +, Y..Y da cu s appede subto che M.Y è ad og modo compeso ta M.MY ±.Y, mete pe lo scostameto quadatco medo della somma s ha + Y + Y +, Y Y da cu + Y sulta compeso ad og modo ta Y e + Y. A secoda del sego d, Y s dà che e Y soo coelat postvamete o egatvamete: ess soo aduque coelat postvamete quado M.Y > M.MY ossa + Y > + Y; egatvamete quado all'opposto M.Y < M.MY ossa + Y < + Y. Se 0, ossa M.Y M.MY, ossa + Y + Y, due ume aleato s dcoo o-coelat. Soo patcolae o coelat ume aleato stocastcamete dpedet, pechè è oto e s vede faclmete che, el caso dell'dpedeza, M.Y M.MY; o vale peò atualmete l'affemazoe ecpoca. Pe dmostae che può effettvamete assumee tutt valo ta e + basta cosdeae due ume aleato dpedet e ' che, seza dmue la geealtà, potemo suppoe abbao M M' 0, ', e defe po, scelto compeso fa e + l, l umeo aleatoo Y come segue: Y + '. S ha Y M + +,, Y M. Y M M ', c.d.d. + ' 6

7 4. I cas estem, Y ± sgfcao vece che e Y soo leamete dpedet. L'equazoe Z t 0 ha alloa fatt la adce t ± Eoe. k sego + o a secoda che + o. Ma pechè u umeo aleatoo abba scostameto quadatco medo ullo è ecessao che sa ulla la pobabltà d uo scato dalla speaza matematca supeoe ad u ε comuque pccolo, ossa, se s accetta l pcpo esteso delle pobabltà total coè: esteso alle class umeabl, l umeo aleatoo ha pobabltà uguale ad uo d sultae uguale alla speaza matematca. Nel osto caso e cosegue che, a meo d cas d pobabltà ulla, Z t Z t ;, ossa ; ky Y;. Voe peò pecsae ache qu la modfcazoe che occoe se s tee come è ma opoe d dove abbadoae l pcpo esteso delle pobabltà total. Alloa può essee 0 e qud Pob. { ; > ε} 0 pe og ε > 0, seza che sa ecessaamete Pob. { ; > 0} 0; se ad es. /, co «teo scelto ad abto» el seso che og teo detemato ha pobabltà ulla è ; 0, ma Pob. { > 0}. Pe evtae d dove petee cotuamete ua pecsazoe del geee, e pe o usae ua foma a goe esatta, come s avebbe affemado el caso pecedete che è sez'alto ; k Y Y;, tego oppotuo todue l sego Y, da leggee «cocde co Y», pe dcae che la dsuguaglaza Y > ε ha pobabltà ulla qualuque sa ε > 0, ossa che M Y 0. Possamo alloa espmee altettato coettamete quato bevemete la coclusoe tovata dcedo che se, Y ± sulta ; ky Y;, ove k è postvo o egatvo seme co. E l'eucato saà esatto sa pe ch accetta che pe ch o accetta l pcpo delle pobabltà total, salvo la dvesa tepetazoe della defzoe d «cocdeza». 5. No m sto a dlugae sul sgfcato che ha l «coeffcete d coelazoe» come dce statstco d «cocodaza», sgfcato spesso lumeggato, ed ache ecetemete su queste stesse page dal Peta ; la fomula M.Y assume del esto tutto l'aspetto mate- Cf. questo Supplemeto, A. II,. -3, 936 L'ostacsmo al coeffcete d coelazoe?. 7

8 matco d tale sgfcato. Puttosto può essee utle u ceo su d ua possble tepetazoe geometca, atta a edee tutve le elazo fa speaze matematche, scostamet quadatc med e coeffcet d coelazoe. Pochè d ume aleato possamo cosdeae delle combazo lea, potemo tepetal come vetto d uo «spazo astatto». Cosdeado come modulo del vettoe, e qud Y come dstaza d, Y de due vetto e Y, veamo a defe uo spazo dstazale, o spazo «D» el seso d Féchet, puchè s cosdeo appesetat da u medesmo vettoe tutt ume aleato la cu dffeeza cocda co u umeo fsso. Ifatt ed + a hao «dstaza» ulla, pechè + a a, a 0, e vesamete Y 0 sgfca Y a. I og alto caso è Y > 0, e vale come sostazalmete, s e vsto el. 3 la dsuguaglaza tagolae Y Y Y +. D pù, lo spazo S così defto sulta uo spazo astatto metco, o spazo D M, quato che Y, Y v s può tepetae come podotto teo essedo fuzoe leae omogeea smmetca d e Y che s duce al quadato del modulo pe Y. I coeffcete d coelazoe fgua qud come coseo dell' «agolo» fa vetto e Y, agolo che s può uvocamete defe poedo, Y cos α, Y, 0 α, Y π ossa α compeso ta 0 e 80. La fomula gà vsta pe + Y dvee alloa + Y + Y +. Y cosα, Y, e s vede, codado l teoema d Caot, che + Y è l tezo lato d u tagolo quado gl alt due soo e Y e acchudoo u agolo α, Y. Nel caso della o-coelazoe o, patcolae, dell'dpedeza c s duce al teoema d Ptagoa: + Y è l'poteusa del tagolo ettagolo d cu e Y soo catet. La fomula pe MY dce aalogamete che l teme coettvo da aggugee a M.MY è l podotto teo de vetto appesetatv d e Y, coè Y cos α, Y. Cf. la ma ota Spaz. astatt metc DM, «Att Accad. Potfca», A. LIII, sess. VI,

9 La o-coelazoe sgfca otogoaltà; la coelazoe postva o egatva sgfca vece che α è spettvamete acuto od ottuso; cas estem ± dcoo che α 0 sp. α π, ossa che due vetto e qud, a meo d'u umeo fsso addtvo, ume aleato o dffescoo che pe ua costate moltplcatva, spettvamete postva o egatva.. Molte popetà ote degl spaz metc potao suggee mag adatte pe studae e solvee va poblem. Og umeo aleatoo Y s può ad es. scompoe ella somma d uo popozoale ad compoete paallelo e d uo o coelato ad compoete otogoale. Pù geealmete, dat ume aleato,,..., leamete dpedet pe cu coè o esstao de coeffcet a 0, a, a,..., a tal che ecessaamete a 0 a + a a, s potà espmel come combazo lea d ume aleato o coelat a scostameto quadatco medo utao Y Y... Y sstema utao otogoale co MY 0, Y, Y, Y j 0 j, e pe vaà la solta espessoe del modulo d'u vettoe. Se α, Y è l'agolo d due ume aleato e Y, u tezo umeo aleatoo Z o potà fomae co e co Y due agol α, Z ed αy, Z qualuqu, ma s avà ovvamete, se s pesa all'mage geometca α, Y α, Z + αy, Z π α, Y; l caso estemo α, Z + αy, Z α, Y s ha se e solo se Z a + by, a > 0, b > 0 vettoe complaae, compeso ell agolo cocavo fa due vetto, e l'alto α, Z + αy, Z π α, Y se e solo se Z a + by a > 0, b > 0 codzoe pedetta pel vettoe opposto. Cò mette luce che v soo delle lmtazo fa gad d coelazoe due a due d dves ume aleato. I patcolae, se te ume aleato soo tutt ta loo ugualmete coelat, o potedo ess fomae due a due u agolo, supeoe a Eoe. ossa a 0, l coeffcete d coelazoe o può essee moe d /. Aaloghe lmtazo sussstoo pe quatto o pù ume aleato, e può teessae patcolae d estedee la pecedete ceca al caso d pù ume aleato ugualmete coelat due a due. Abbas duque ume aleato,... ugualmete coelat; pe comodtà l suppoemo a speaza matematca ulla e scostameto quadatco medo uguale cò altea modul ma o gl agol de vetto!. Dmostamo che, sotto questa potes, codzoe ecessaa e suffcete peché l coeffcete d coelazoe agguga l mmo valoe comue possble è che Σ 0. Poamo fatt 9

10 0 Y Eoe. Σ, Y: se o fosse Y 0, avemmo così otteuto ua uova eupla Y, Y... Y d ume aleato ugualmete coelat e co coeffcete d coelazoe pù pccolo. Dmostamolo. S vede aztutto che Y sulta o-coelato co cascuo degl Y ; povamolo pe Y : + + j j YY ' ove Σ' sgfca la somma estesa a tem j; 0, + YY M l che, essedo MY MY 0, sgfca Y, Y 0. Pecò MY Y j M j Y fatt j Y + Y Y j + Y Y Y j + YY + Y j + Y, e l secodo teme ha M 0, e patcolae pe j 0 Y Y M Y M Y ove s scva 0 Y, mete pe j, MY Y j 0. Abbamo tosto alloa c.d.d Y Y Y Y M Y Y j j j < Sa duque Σ 0; avemo Σ 0, 0, ' ossa + + Σ Σ Σ M M j j : cu da otteamo co cò seme l cecato mmo d e la pova che la codzoe Σ 0 è ache suffcete. Tutto questo agoameto assume u aspetto tutvo se se e pesa l'tepetazoe vettoale, ove sgfca che vetto d S, pe fomae due a due u medesmo agolo quato pù gade possble, debboo avee dezoe e seso de agg coguget l ceto O d u smplesso equlateo a suo vetc; l'agolo α d due vetto così costut è dato da cos α Eoe.. Se abbamo u -

11 seme fto d ume aleato o u seme che s può edee umeoso a pacee, ad es. moltplcado delle «pove» d u feomeo, ess o possoo essee qud patcolae ugualmete coelat se o essedo o o-coelat, o coelat postvamete; questa coclusoe può essee teessate pechè mosta ua dffeeza tseca pofoda ta le possbltà d esplcas d ua coelazoe postva e d ua coelazoe egatva. Pù che pe l'teesse che può avee la questoe sè, la tattazoe del pesete poblema s popoeva peò d dae u esempo dell'utltà dell'tepetazoe vettoale el suggee e edee tutv pocedmet e calcol. Ossevamo acoa a tale poposto che ache l semplce pocedmeto pe mostae che, Y può assumee tutt valo ta e +l ea suggeto dall'ovva cosdeazoe geometca che, dat due vetto uta otogoal u e v, u cos α + v se α è u vettoe utao fomate co u u agolo α. 6. Azchè appesetae co u medesmo vettoe tutt ume aleato la cu dffeeza cocde co ua costate, s può bessmo adottae ua appesetazoe cu sao appesetat da u medesmo vettoe soltato ume aleato cocdet. Se, come dstaza d', Y de ume aleato e Y, azchè Y, s cosdea ;M Y, s ha fatt d', Y 0 se e solo se Y. No s ha peò ua appesetazoe totalmete uova : pochè M [ M ] + [ ] s vede subto che og vettoe del uovo spazo S' s può scompoe due compoet che sultao otogoal fa loo : l pmo appeseta u umeo fsso coè ;, l alto u umeo aleatoo a speaza matematca ulla. I alte paole, scvedo ; + ; due compoet ; e ; sultao otogoal. Il pmo è u puo umeo fsso, ossa l compoete secodo l' «asse de ume eal», e l «modulo» e è l «modulo» o «valoe assoluto» el seso usuale ; ; pe l secodo s ha pe defzoe M ;, e qud l'pepao otogoale all'asse de ume eal è lo spazo S cosdeato el paagafo pecedete; lo s può petato cosde-

12 ae come poezoe dello spazo S' e Y s appesetao sul medesmo vettoe d S se Y α, ossa Y paallelo all'asse de ume eal lugo l quale s effettua la poezoe. L'ossevazoe del Peta 3 che la elazoe ta ;M, M e è taducble gafcamete el teoema d Ptagoa assume così u sgfcato geometco pecso S': la meda quadatca ;M è l modulo del vettoe che appeseta, mete M e soo modul de due compoet otogoal ; e ;. 7. Può essee teessate aggugee qualche ossevazoe elatva a de cas patcola. Il caso pù semplce, quello degl evet, peseta la patcolatà otevole che, pe esso, la o-coelazoe sgfca dpedeza stocastca. Sao fatt E' ed E" due evet, E E'E" l covefcas d ess, e dchamoe le pobabltà co p' PE', p" PE", p PE, e gl scostamet quadatc med co ' ;p'q', '' ;p''q'' al solto dcado q' p', q" p''. È alloa p p'p" + ''', ed è p' p p'' dpedeza stocastca se e solo se 0. L'equvaleza fa due cocett d o-coelazoe e dpedeza sussste geeale quado due ume aleato e Y cosdeat hao cascuo soltato due valo possbl, x e x, y l e y a goe: se «cocdoo» co de ume aleato ' e Y' godet d tale popetà: ; ', Y ; Y'. I og alto caso lo poveemo ta poco l cocetto d dpedeza, è effettvamete pù stetto d quello d o-coelazoe. Nel caso degl evet s può dcae ua fomula pe che e mosta sotto u alto aspetto l sgfcato. La pobabltà PE'/E" d E' subodatamete ad E' vega dcata co p' + ρ: alloa ρ 0 el caso d dpedeza, ρ > 0 sp. ρ < 0 el caso d coelazoe postva o egatva, ed è ache PE"/E' p"l + ρ tale fatto costtusce sostazalmete l teoema d Bayes. Possamo alloa scvee p p' p' ' + ρ p' p'' + ' '' da cu 3 Cf. questo Supplemeto, A. II,. -3, 936 Il teoema d Ptagoa e la Statstca.

13 , ' '' ρ p' p'' D'altode, posto dcados co «E;» la egazoe d «E» q' P E', q'' P E'', q P E' E'', q q' q' ' + τ, è ache e qud q q' q'' + τ q' q'' + ' '' ' '' τ q' q'' Moltplcado membo a membo le due espesso ' '' ρτ p' q' p'' q'', ma ' p' q', '' e falmete ρ τ p'' q'', e s vede subto che l sego d è quello d ρ e d τ, che hao ecessaamete l medesmo sego. Il coeffcete d coelazoe espme qud la meda geometca fa l coeffcete d aumeto o dmuzoe della pobabltà che u eveto s vefch vefcados l'alto o o s vefch o vefcados l'alto. U'alta ossevazoe che e scede, è che, assegate le pobabltà p' e p", l coeffcete d coelazoe o può pù vaae ta e +, ma soltato fa ;p' p" / q' q" e + ;p' q" / q' p" supposto p' < p", p' + p" l; egl alt cas saebbeo da scambae p' co p" sp. p co q. Il lmte feoe è soltato se p' + p'', quello supeoe è + soltato se p' p'' e qud solo pe p' p'' ½ due lmt soo ±. Ma è possble che due lmt, chamamol l ed, sao comuque possm allo zeo basta pedee molto pccola p'; pù geeale, scelt ad abto l ed, puchè sa, come ecessao, l < 0 <, è possble detemae p' e p'' d modo che p' p'' q' q'', p' q'' / q' p'' / + la soluzoe è uvoca, e pecsamete p' l / l, p'' / l. 8 Le cocluso aggute pel caso patcolae degl «evet» 3

14 mostao che, geeale, quado sao assegate le legg d pobabltà d due ume aleato ed Y, o è pù possble che, Y assuma u qualuque valoe ta e +; è del esto ovvo, pochè alloa deve aves a Y + b a > 0 sp. a Y + b a < 0, che due lmt soo aggugbl solo se le due fuzo d patzoe Φ e Φ soo sml Φ ξ Φ aξ + b, a > 0, sp. at-sml Φ ξ Φ aξ + b, a < 0, sp. pechè lo sao etamb sml e smmetche Φ ξ Φ aξ + b Φ aξ + b. I geeale, due valo estem ed s ottegoo cosdeado due cas estem cu ed Y sao fuzo decescet o cescet l'uo dell'alto; tale ultmo caso, se assume l valoe ξ tale che Φ ξ t, Y assume l valoe η tale che Φ η t; el caso opposto, a ξ tale che Φ ξ t cospode η tale che Φ η t. Idcado co ξt ed ηt valo pe cu Φ ξ t, sp. Φ η t fuzo vese, l coeffcete d coelazoe sulta e due cas estem cosdeat ξ t η t dt ξ t η t dt 0 0 pu d ave «omalzzato» e Y così che la speaza matematca e sa ulla e lo scostameto quadatco medo e sa utao 4. Pe dmostae che due cas cosdeat foscoo effettvamete valo estem ed l, ossevamo aztutto che, se ella dstbuzoe d pobabltà sul pao ξ, η s avesseo due pobabltà ugual p cocetate due put ξ, η e ξ, η co ξ > ξ ma η < η, aumeteebbe del teme pξ ξ η η spostado le due pobabltà ξ, η e ξ, η, cò che o altea le dstbuzo Φ e Φ. Salvo qualche ulteoe pecsazoe e tem coettv che s possoo ede tascuabl, l medesmo agoameto sussste pe pobabltà o cocetate- e due put ξ, η e ξ, η, ma coteute loo to. Fchè a ξt o s facca cospodee ηt, s può sempe qud aumetae col pocedmeto d'vesoe acceato, e aalogamete s può sempe fa dmue fchè a ξt o s facca cospodee η t. E famo completado ua dmostazoe lascata sospeso: 4 S ot che ξη dt può tepetas come coseo dell'agolo ta le due fuzo ξ ed η ello spazo fuzoale, e qud l lmte supeoe d cos, Y è l coseo d ξt ed ηt ello spazo fuzoale. Aaloghe cosdeazo pe l mmo allaccao la metca dello spazo de ume aleato e dello spazo fuzoale. 4

15 che o-coelazoe e dpedeza cocdoo soltato se Φ e Φ hao tutta la pobabltà cocetata cascua due sol put. Fssamo u valoe a ta 0 ed, e faccamo cospodee a ξt η t η + a t se se t a t > a Avemo a a ξ t η t dt + 0 a ξ t η + a t dt, e al vaae d a ta 0 ed, a vaa co cotutà ta gl estem ed. Pe u ceto valoe a a 0 saà a 0 0. S vede subto che tale dstbuzoe, o-coelata, o cocde co quella del caso d dpedeza, salvo l caso detto. S può ache ossevae che, pe og ta e, la dstbuzoe è uvocamete detemata pe Φ e Φ avet pobabltà cocetata due sol put, mete og alto caso v soo fte soluzo. 9. Nella pesete ota ho sempe usato l teme «coelazoe» el sgfcato che s estseca ella msua del «coeffcete d coelazoe». Ma, come s è acceato pcpo, detto teme è stato usato pù sgfcat dstt, e dvese soo le opo sulla temologa che saebbe oppotuo adottae pe evtae l polugas d og possbltà d equvoc. Esamamo bevemete la questoe, le poposte che soo state fatte e quelle che s potebbeo suggee. Uo de sgfcat cu è stato usato l teme d «coelazoe» è, come detto, quello cospodete alla «dpedeza stocastca» del calcolo delle pobabltà; msuae tale gado d «dpedeza» o meglo, come è pefeble de sempe quado s tatta d dc, «detemae u umeo che da ua ceta dea d tale gado d "dpedeza"» sgfca defe u dce che assume valo estem e due cas estem cu e Y soo stocastcamete dpedet oppue soo fuzo l'uo dell'alto, e egl alt cas valo temed, pù vc a questo o a quell'estemo a secoda che, base a u ceto cteo laga msua abtao s è dott a cosdeae la «dpedeza» come pù o meo stetta. A dffeeza del coeffcete d coelazoe, d cu l'elemeto essezale è l sego, u dce d dpedeza se all'dpedeza e alla dpedeza fuzoale s fao cospodee valo 0 e o potà vaae 5

16 che fa 0 e. Pe la temologa, s potebbe: o stable d cosevae l teme d «coelazoe» el seso d «dpedeza stocastca» cu fu mpopamete usato, stabledo atualmete d abbadoalo og seso dveso; o usae l teme d «dpedeza», maga co la specfcazoe «stocastca», come s usa el calcolo delle pobabltà; o fe todue u teme uovo e dveso. Quest'ultma soluzoe semba la mgloe, peché l teme d «coelazoe» s pesta meglo el seso cu qu stesso lo abbamo usato, mete quello d «dpedeza», se o s vuole petee sempe «stocastca», può spesso geeae ambgutà co la dpedeza el seso dell'aals. Tale coveete è dveuto sesble da quado el calcolo delle pobabltà s pala coetemete d ume aleato, pe qual s debboo usae etambe le ozo d dpedeza, ell'uo e ell'alto seso; olte, è poco oppotuo che ozo così dspaate sao cotaddstte ta loo solo da u avvebo. Cò meglo s'addce alla semplce dstzoe d dves cas patcola della stessa ozoe, come elle locuzo «leamete dpedete», «algebcamete dpedete», che espmoo mod patcola d «dpedeza» u uco seso, quello dell'aals. Tovae ua uova paola o è peò tato facle, se s vuole da u lato che essa eda tutvo l sgfcato, come è pu ecessao dato che l teme espme u cocetto d uso coete ella patca p. es. asscuatva e dovebbe etae el lguaggo comue, e dall'alto che goda d molte almeo fa le possbltà gammatcal d cu è cco l vocabolo «dpedeza» e che soo utlssme se o ecessae el calcolo delle pobabltà. Esso fatt dà luogo, sa pe l affemazoe che pe la egazoe, al ome, vebo, avvebo, e aggettvo usable seso tastvo o flessvo, come sulta dalla tabella... dpedete da Y dpedete da Y e Y dpedet ta loo e Y dpedet ta loo dpedeza dpedeza dpede da Y o dpede da Y......, dpedetemete da Y,......, dpedetemete da Y,... Il teme d «coessoe», poposto da G e Peta, dà 6

17 l'aggettvo coesso utlzzable etamb mod coess ta loo, e coesso co, ma egazoe.e vebo m sembao utlzzabl coettee, scoesso. Quato al seso, coessoe chama puttosto qualcosa d gdo, è de pe es. che de sch soo coess o m pae s attagl bee all'dea. S potebbe popoe «flueza» fluezato da, fluete su, fluezats, flusce su, s fluezao; come seso cosdeee tale paola come la soluzoe deale, pechè ede mpeccablmete l pecso sgfcato della «dpedeza stocastca», ma ha l gave dfetto d o ammettee la egazoe: la egazoe col «o» o-fluezats, ecc. uscebbe alquato pesate, pechè gà ad es. fluezats è u po' stacchato. S potebbe popoe «legame» legat ta loo, legato a che ha machevolezze gammatcal aaloghe a quelle d «coessoe», ma m semba u po' pù adeete al seso: «legae» è ue modo pù elastco che «coettee», e olte, dcedo ad es. che due sch soo legat ta loo, m semba che s'tusca l sgfcato ache dpedetemete dalla evetuale covezoe d'todue tale temologa el lguaggo scetfco. I faces usao gà del esto l teme «lo lée» pe dcae la dstbuzoe d pobabltà d u umeo aleatoo cospodete a u valoe detemato d u alto: se tale umeo aleatoo s dce «legato», la locuzoe d «dstbuzoe legata» taduzoe d «lo lée» sulteebbe d pe sè collegata al teme espmete l cocetto geeale. Ossevamo acoa che «coelazoe» che abbamo escluso pe ago d'alta dole, o s pesteebbe gammatcamete modo pù oppotuo. Essteà qualche alta paola adatta allo scopo ma pù duttle? Meteebbe d cecala, pma d pedee ua decsoe: comuque, dovedo sceglee fa tem cosdeat, dae la pefeeza a uo de due ultm flueza o legame. 0. L'alto sgfcato è quello pe quale G e Peta hao poposto l teme d «cocodaza» sp. dscodaza, dffeeza. Tale cocetto è aalogo, ma pù geeale, d quello d coelazoe el seso stetto cospodete coè ad. È aalogo pechè guada la tedeza d u umeo aleatoo ad assumee pefeetemete valo maggo o mo a secoda del valoe maggoe o moe assuto dall'alto. Qud s ha da dstguee l seso cocodaza 7

18 o dscodaza, così come pe la coelazoe postva o egatva. Ma l cocetto d cocodaza è pù geeale pechè compede geecamete tutt gl aspett sotto cu tale tedeza può essee cosdeata e studata aspett che s estsecao alt dc che fuoo popost come quell d omofla che s potao todue. Data la poszoe a sè che ha l coeffcete d coelazoe el calcolo delle pobabltà e che ho cecato d lumeggae, tego che saebbe oppotuo segue la poposta d G - Peta adottado l teme d «cocodaza» pe l seso geeco, ma sevado quello d «coelazoe» pe l solo sgfcato cospodete ad. Altmet la fase «coelat postvamete» o avebbe alcu seso defto, pechè o è detto che u alto dce d cocodaza. debba sultae sempe postvo egatvo o ullo a secoda che sa postvo egatvo o ullo. Secodo Féchet, saebbe vece oppotuo chamae «dce d leatà» egl seveebbe l teme d «coelazoe» al sgfcato d «dpedeza stocastca». Tale deomazoe o s pesteebbe peò a dedue l'equvalete d «coelato», «coelato postvamete o egatvamete», «o-coelato», locuzo dspesabl, come s'è vsto, el calcolo delle pobabltà. M semba olte che essa cospoda a u'dea u po' lmtata guado al sgfcato d, che dcheebbe soltato la tedeza a ua «egessoe leae»; l sgfcato fodametale d, quale abbamo cecato d lumeggae, è vece del tutto dpedete dal fatto che la dstbuzoe d pobabltà abba o o abba tedeza ad addesas lugo ua detemata lea, e che questa, ove essta, sa ua etta o ua cuva. La sola dffeeza è che, se tale lea è etta, può dae u'dea dell'addesameto della dstbuzoe too ad essa, se tale lea o esste essu equvoco può sogee, mete se esste ed è cuva bsoga avvete d o cedee che coseta acoa la coclusoe che susssteva el caso d egessoe ettlea.. Acoa ua sola ossevazoe, pe chae come u dce d cocodaza possa o cocdee eppue come sego co, e seme pe suggee quello che m semba fose l pù semplce e tsecamete sgfcatvo dce d cocodaza e che o m sulta sa stato cosdeato. Pe espmelo el modo pù semplce cosdeamo u caso patcolae: data la dstbuzoe de matmo secodo le età de coug, cosdeamo la pobabltà che, scegledo a caso e dpedetemete due coppe, la pù govae delle 8

19 mogl sa quella del pù govae de mat. Dette e Y l, e Y, l'età dello sposo e della sposa elle due coppe, abbamo coè da cosdeae la pobabltà c che Y Y > e, se φx, y dx dy è la pobabltà che le età de due spos sao compese spettvamete fa x e x + dx, y e y + dy, s può espmee 0, c ϕ x, y ϕ ξ, η dx dy dξ dη C ove C è l campo defto da x ξ y η > 0, ossa lmtato da pa x ξ, y η. S può cosdeae c come dce d cocodaza: s avebbe cocodaza, dscodaza o dffeeza a secoda che c sult maggoe, moe od uguale a /; saebbe c, sp. c 0, solo e cas estem cu l'età della sposa fosse spettvamete fuzoe cescete o fuzoe decescete dell'età dello sposo. Oa è facle vedee che c o ha ecessaamete lo stesso sego d : basta ossevae che c mae alteato sosttuedo ad e Y due loo fuzo cescet f, g fatt è alloa [f f ] [gy gy ] dello stesso sego d [ ] [Y Y ] mete, Y e [f, gy] possoo avee bessmo seg dffeet 5. Noostate tale dvestà d compotameto fa c e, esste fa d ess u'aaloga d sgfcato che vale la pea d'esse messa levo. Se, olte al sego d Y Y voglamo cosdeae ache l valoe pe dae a og dsuguaglaza u peso tato maggoe quato maggo soo le dffeeze e Y Y, all'tegale che espme c adebbe sosttuto l seguete x ξ y η ϕ x, y ϕ ξ, η dx dy dξdη M[ Y + Y Y Y ed è facle vedee che tale espessoe vale ] 5 Ad es., se valo possbl pe, Y soo, co pobabltà /4 0, / a, /4 è, Y 0 pe a ; vaado a ta 0 e esclus, ossa. sosttuedo co la sua fuzoe cescete g a + Eoe. +, s ha vece > 0 pe a >, < 0 pe a <. 9

20 Y, Y. Il sgfcato d c può essee cosdeato petato come l'aalogo d quello d, quado s vogla pescdee dalla gadezza delle dsuguaglaze pe ossevae solamete l seso. 0