Campi ciclotomici e geometria combinatoria

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1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BARI Dottorato d Rcerca n Matematca XX Cclo A.A. 2006/2007 Settore Scentfco-Dscplnare: MAT/03 Geometra Tes d Dottorato Camp cclotomc e geometra combnatora Canddato: Vncenzo GIORDANO Supervsore della tes: Prof. G. KORCHMÁROS Coordnatore del Dottorato d Rcerca: Prof. L. LOPEZ

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3 3 In questa atmosfera n cu la carne s corrompe, n cu corp s dsfano per l umdtà, n cu tutto marcsce; n questa atmosfera che, per eccesso d vta, affretta la morte, m sono aggrappato a esser mmateral, a enttà deal che né l caldo soffocante né l umdtà potevano corrompere. All esuberanza nforme contro la quale nulla s può fare, ho voluto contrapporre l rgore controllato. Per resstere a quel delro d matere destnate a perre, m sono mmerso nella purezza mmoble del crstallo. S sono ma vste defnzon matematche mputrdre su due ped, teorem lquefars, ragonament ammuffre, assom fnre dvorat da verm? Ho scelto la matematca, e non soltanto perché è stata la matera nella quale m ero formato n orgne. T verrà da rdere, ma è stato n quelle crcostanze, n cu ne andava della ma ncolumtà fsca, che m sono reso conto del fatto che la matematca è mputrescble. Per sfuggre alla pregnanza del reale che m soffocava, ho dovuto fare appello a una pura attvtà dello sprto... da Il Teorema del pappagallo Dens Guedj

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5 Indce Rngrazament 7 Prefazone 8 1 Rsultat prelmnar d Teora Algebrca de Numer Camp d numer e anell d nter Fattorzzazone prma n anell d nter Gruppo d decomposzone d un deale prmo n un campo cclotomco Teorema della dscesa d campo Strutture combnatore fnte Dsegn Il teorema d Mnkowsk Insem d dfferenze Dsegn e matrc d Hadamard Applcazon della Teora Algebrca de Numer alla Geometra Combnatora Caratter d grupp abelan fnt Teorema de moltplcator per nsem d dfferenze relatv abelan Lmtazone dell esponente d Schmdt Insem d dfferenze affn Pan affn cclc Somme d Gauss e somme d Esensten su camp fnt Pan affn abelan

6 6 INDICE Bblografa 156

7 Rngrazament Il prmo rngrazamento va al Prof. G. Korchmaros per averm costantemente seguto e gudato lungo tutto lo svolgers del lavoro e per la fduca che ha sempre rposto n me. Desdero po rngrazare l Prof. A. Mor dell Unverstà d Torno, per suo consgl prezos, e Proff. V. Abatangelo e B. Larato per l auto e l supporto che m hanno offerto nel mo lavoro. Infne, l rngrazamento pù sentto alla ma famgla, per l suo contnuo ncoraggamento e supporto. Dedco questa tes a mo padre.

8 8 Rngrazament

9 Prefazone Un approcco effcace allo studo degl nsem d dfferenze d un gruppo fnto G consste nel tradurre la loro defnzone n un equazone nell anello gruppale ntero Z[G] e nell analzzare tale equazone applcando la teora de caratter lnear compless. Utlzzando nozon e rsultat classc d Teora Algebrca de Numer, n rfermento soprattutto a camp cclotomc, è così possble pervenre, n modo molto elegante, a numeros rsultat d Geometra Combnatora (rsultat d non-esstenza, teorem su moltplcator) e provare, almeno n parte, alcune congetture profonde, quale la ben nota congettura sulle matrc d Hadamard crcolant. Il lavoro che ha naugurato le rcerche n questo ambto, è quello d Turyn (1965) [20], n cu vene ntrodotto l concetto baslare d auto-conugo. Contrbut notevol n questa drezone sono dat, n partcolare, ne lavor d Yamamoto (1963) [21] e d Mann (1965) [16]; l dea d applcare tale approcco a pan proettv cclc, è stata svluppata nel lavoro fondamentale d Hall (1947) [8]. Obettvo d questa tes, è d mostrare concretamente la potenza e l eleganza d tale approcco nell affrontare problem d Geometra Combnatora. Nel prmo captolo della tes, vengono descrtt alcun rsultat prelmnar d Teora Algebrca de Numer; vene descrtta n modo completo e dettaglato la struttura del gruppo d decomposzone d un deale prmo n un campo cclotomco, che svolge un ruolo d fondamentale mportanza nella tes. Vene enuncato e dmostrato l teorema della dscesa d campo ( feld descent ); la dmostrazone dpende essenzalmente da alcun lemm sugl ordn moltplcatv che s possono rcavare da rsultat pù general espost nel volume d Jacobson [12]. Per la completezza dell esposzone, s è preferto fornre la dmostrazone d tal lemm. Nel secondo captolo, sono ntrodotte le strutture combnatore fnte, oggetto d studo della tes: dsegn, le matrc d Hadamard, pan affn e proettv d ordne fnto e gl nsem d dfferenze.

10 10 Prefazone Il terzo captolo è dedcato ad alcune applcazon alla Geometra Combnatora de rsultat presentat nel prmo captolo. Due rsultat central sono l teorema su moltplcator d nsem d dfferenze relatv abelan e la lmtazone dell esponente d Schmdt [19]. Quest ultma consente d dmostrare la valdtà della congettura sulle matrc d Hadamard crcolant, sotto una certa potes non molto strngente relatva agl ordn d tal matrc. Nel quarto captolo s studano cosddett nsem d dfferenze affn, così chamat pochè danno orgne a pan affn. Hoffman ha studato pan affn cclc nel suo celebre artcolo del 1952 [9]. Nella presente tes, s dà una dmostrazone pù esplcta del Teorema 3.1 d Hoffman, fornendo anche la dmostrazone de lemm prelmnar da lu solo ctat. Utlzzando un teorema su moltplcator provato nel terzo captolo, s ottene una generalzzazone del Teorema 3.1 d [9]. Facendo uso anche d consderazon d carattere geometrco, vengono provat alcun teorem sugl nsem d dfferenze affn abelan e, n partcolare, su oval nvarant rspetto al gruppo de moltplcator. Medante un modello cclco del pano affne classco AG(2, q), con q e (q +1)/2 dspar, un opportuno nseme d (q +3)/2 punt d una conca vene esteso ad un (q + 7)/2-arco con l aggunta d due punt mpropr estern alla conca medesma. La tes s conclude con la descrzone d una varante non-abelana generale del test d Mann per nsem d dfferenze dvsbl, dovuta ad Arasu-Jungnckel-Pott [3] e d un teorema d Arasu-Pott [5] che dà luogo ad alcun rsultat d non-esstenza.

11 Captolo 1 Rsultat prelmnar d Teora Algebrca de Numer 1.1 Camp d numer e anell d nter In questa sezone s elencano rsultat standard d Teora Algebrca de Numer. Per le dmostrazon, n gran parte omesse, s rmanda a test Number Felds d D.A.Marcus [17] e A Classcal Introducton to Modern Number Theory d K.Ireland e M.Rosen [11]. Defnzone Un numero complesso α s dce un numero algebrco se è zero d un polnomo non nullo a coeffcent nter. S dce un ntero algebrco se è zero d un polnomo monco a coeffcent nter. Proposzone Un numero razonale r Q è un ntero algebrco se e solo se r Z. Proposzone L nseme d tutt numer algebrc è un campo. Proposzone L nseme d tutt gl nter algebrc è un anello che sarà denotato con A. Defnzone Un sottocampo K d C è detto un campo d numer (algebrc) se esso è una estensone fnta d Q. L anello R = A K è detto l anello degl nter (algebrc) n K. Osservazone Nel seguto per deale s ntenderà sempre deale non nullo.

12 12 Rsultat prelmnar d Teora Algebrca de Numer Lemma Sa β K, R = A K, con K un campo d numer. Esste un ntero b Z, b 0, tale che bβ R. Proposzone Ogn deale I d R contene una base d K su Q. In questa sezone K e L sono sottocamp d C, K L, L estensone fnta d K, [L : K] = n, n 1. Teorema (Teorema dell elemento prmtvo) Esste α L tale che L = K(α). Teorema Sa σ : K C un monomorfsmo. Allora esstono esattamente n monomorfsm dstnt (o mmerson) σ : L C( = 1,..., n) che estendono σ. Corollaro Con le stesse notazon precedent, esstono esattamente n monomorfsm σ : L C ( = 1,..., n) che fssano elemento per elemento K (coè tal che σ (a) = a, a K, ). Ha senso, qund, la seguente: Defnzone Sa K un campo d numer, [K : Q] = n. Sano σ 1, σ 2,..., σ n monomorfsm d K n C che fssano Q. Per ogn α K, s ponga T (α) = σ 1 (α) + σ 2 (α) + + σ n (α) N(α) = σ 1 (α) σ 2 (α) σ n (α) T (α) è detta tracca d α, N(α) norma d α. Proposzone α K, T (α) Q e N(α) Q. T (α) Z e N(α) Z. Se α R, allora Dmostrazone. Sa α K e p(x) l polnomo mnmo d α su Q, deg(p(x)) = d. Charamente d n, dal momento che [K : Q] = [K : Q(α)] [Q(α) : Q] e [Q(α) : Q] = d. Dunque [K : Q(α)] = n d. Se t(α) e n(α) sono rspettvamente, la somma e l prodotto de d conugat d α, allora è facle vedere che T (α) = n d t(α) N(α) = n(α) n d

13 1.1 Camp d numer e anell d nter 13 Per le formule d Vète, applcate al polnomo p(x) Q[X], s ha che t(α) Q e n(α) Q. Dunque, anche T (α) e N(α) sono numer razonal. Se α R, allora p(x) Z[X] e qund t(α) e n(α) sono nter. Pertanto T (α) e N(α) sono nter. Defnzone Sa K un campo d numer d grado n su Q. Sano σ 1, σ 2,..., σ n gl n monomorfsm d K n C che fssano Q. Per ogn n-upla d element α 1, α 2,..., α n K, s defnsce dscrmnante d α 1, α 2,..., α n l seguente numero (α 1, α 2,..., α n ) = [det(σ (α j ))] 2 Proposzone (α 1,..., α n ) = det(t (α α j )) Corollaro (α 1,..., α n ) Q e se α R = 1, 2,..., n allora s ha (α 1,..., α n ) Z. Proposzone (α 1,..., α n ) = 0 se e solo se α 1,..., α n sono lnearmente dpendent su Q. Teorema Sa (G, +) un gruppo abelano lbero d rango n e H un sottogruppo d G. Allora H è un gruppo abelano lbero d rango m, con m n. Lemma Sa K un campo d numer d grado n su Q, R = A K, {α 1,..., α n } una base d K su Q formata da nter algebrc, e sa = (α 1,..., α n ). Allora: R Zα 1 + Zα Zα n Dmostrazone. Sa w R. Allora w s esprme n un solo modo come: w = r 1 α 1 + r 2 α r n α n con r Q (1.1) Applcando ad ambo membr della (1.1) la -esma mmersone σ s ha: σ (w) = r 1 σ (α 1 ) + r 2 σ (α 2 ) + + r n σ (α n ) = 1,..., n Per la regola d Cramer applcata al seguente sstema: σ 1 (α 1 )r 1 + σ 1 (α 2 )r σ 1 (α n )r n = σ 1 (w) σ 2 (α 1 )r 1 + σ 2 (α 2 )r σ 2 (α n )r n = σ 2 (w). σ n (α 1 )r 1 + σ n (α 2 )r σ n (α n )r n = σ n (w)

14 14 Rsultat prelmnar d Teora Algebrca de Numer s ha che r j = γ j δ j = 1,..., n con δ 2 =. Charamente δ e γ j sono nter algebrc (δ soddsfa l equazone X 2 = 0 ). Per la Prop δγ j è un ntero algebrco. Dunque, pochè r j = δγ j, rsulta r j A Q = Z (Prop ). Allora posto m j = r j, charamente w = m 1 α m n α n. Corollaro L anello R degl nter d un campo d numer K d grado n è un gruppo abelano lbero d rango n. Dmostrazone. È una mmedata conseguenza del Teor e del Lemma pochè. Zα 1 + Zα Zα n R Zα 1 / + Zα 2 / + + Zα n / Defnzone S defnsce base ntera del campo d numer K, ogn base {α 1,..., α n } d K su Q formata da nter algebrc tale che. R = Zα 1 + Zα 2 + Zα n Proposzone Se {α 1,..., α n } e {β 1,..., β n } sono due bas ntere d K, allora (α 1,..., α n ) = (β 1,..., β n ). Defnzone S chama dscrmnante d un campo d numer K, l dscrmnante d una sua base ntera {α 1,..., α n }. dsc(k) = (α 1,..., α n ) Proposzone Sa K un campo d numer d grado n su Q. Sa K = Q(θ), p(x) l polnomo mnmo d θ su Q. Allora {1, θ,..., θ n 1 } è una base d K su Q che ha dscrmnante dato da: (1, θ,..., θ n 1 ) = ( 1) n(n 1) 2 N(p (θ)) dove p (X) è la dervata formale d p(x). Sa m > 0 un ntero postvo, ξ m = e 2π m una radce prmtva m-esma dell untà n C. Il campo Q(ξ m ) è detto l m-esmo campo cclotomco. I prm due camp cclotomc concdono con Q. Qund nel seguto s supporrà n generale che m 3. Inoltre ϕ denota la funzone d Eulero e ϕ(m) è l numero degl element dell nseme: {k Z 1 k m, (k, m) = 1}

15 1.1 Camp d numer e anell d nter 15 Teorema L anello degl nter d Q(ξ m ) è Z[ξ m ]. Defnzone Il polnomo Φ m (X) = m a=1 (a,m)=1 è detto l m-esmo polnomo cclotomco. (X ξ a m) Teorema Φ m (X) ha coeffcent nter ed è rrducble n Q[X]. Corollaro [Q(ξ m ) : Q] = ϕ(m) e {1, ξ m,..., ξm ϕ(m) 1 } è una base ntera d Q(ξ m ) su Q. Defnzone Sano K ed L sottocamp d C, K L e [L : K] = n. S dce che L è normale su K (o che L è un estensone d Galos d K) se α L tutt conugat d α su K (coè gl zer del polnomo mnmo d α su K) sono ancora element d L. Teorema L è normale su K se e solo se ogn mmersone d L n C che fssa elemento per elemento K è effettvamente un automorfsmo d L; equvalentemente, l gruppo d Galos d L su K, Gal(L/K) ha ordne [L : K]. Per la defnzone d gruppo d Galos, s veda l Teor Teorema Q(ξ m ) è un estensone normale d Q e Gal(Q(ξ m )/Q) = {σ : Q(ξ m ) Q(ξ m ) σ(ξ m ) = ξ t m, 1 t m, (t, m) = 1} Lemma S ha che: dsc(q(ξ m )) = (1, ξ m,..., ξm ϕ(m) 1 ) m ϕ(m) Dmostrazone. Per l Teor Φ m (X) è l polnomo mnmo d ξ m su Q. In vrtù della Prop s ha che: (1, ξ m,..., ξm ϕ(m) 1 ) = ( 1) ϕ(m)(ϕ(m) 1) 2 N(Φ m(ξ m )) coè N(Φ m(ξ m )) = ± (1, ξ m,..., ξ ϕ(m) 1 m )

16 16 Rsultat prelmnar d Teora Algebrca de Numer D altra parte X m 1 = Φ m (X)g(X), g(x) Z[X] Dervando s ha che: Sosttuendo ξ m a X s ha: mx m 1 = Φ m(x)g(x) + Φ m (X)g (X) mξ m 1 m = Φ m(ξ m )g(ξ m ) e moltplcando ambo membr per ξ m s ha che: m = Φ m(ξ m )ξ m g(ξ m ) Passando alle norme (rcordando che la norma è moltplcatva) coè N(m) = N(Φ m(ξ m ))N(ξ m g(ξ m )) m ϕ(m) = ± (1, ξ m,..., ξ ϕ(m) 1 m )N(ξ m g(ξ m )) L asserto segue dal fatto che ξ m g(ξ m ) Z[ξ m ] = A Q(ξ m ) (Teor ) e qund N(ξ m g(ξ m )) Z (Prop ). Lemma S supponga che p sa un numero prmo tale che p m e sa n un ntero postvo tale che Allora w Z[ξ m ] s ha che: dove (p) = pz[ξ m ]. p n 1 (mod m) w pn w (mod (p)) Dmostrazone. Sa w = m 1 =0 c ξ m un ntero cclotomco. Pochè c p c ( mod p) (Pccolo Teorema d Fermat) s ha che: m 1 w p = ( =0 c ξ m) p m 1 =0 c p ξp m m 1 =0 c ξ p m (mod (p))

17 1.1 Camp d numer e anell d nter 17 (s è fatto uso, nella catena d congruenze, della formula della potenza multnomale e del fatto che p ( p k), k = 1,..., p 1). In ultma anals, w p m 1 =0 c ξ p m (mod (p)) Rpetendo questo processo n volte e utlzzando l fatto che p n 1 (mod m) mplca che ξ pn m = ξ m, s ha l asserto. Osservazone Nella dmostrazone del Lemma s è fatto mplctamente uso del Teor Tuttava, utlzzando l Lemma , s può dmostrare l Lemma evtando l Teor (s veda K.Ireland M.Rosen A Classcal Introducton to Modern Number Theory [11]). Partcolarmente utle rsulterà nel seguto, l seguente lemma dovuto a Kronecker. Lemma (Lemma d Kronecker) Se un ntero algebrco ha modulo uguale a 1 nseme a tutt suo conugat, allora esso è una radce dell untà. Dmostrazone. Sa α C un ntero algebrco, K = Q(α) [K : Q] = n. Sano σ 1,..., σ n : K C le n mmerson d K n C che fssano Q. Per potes σ (α) = 1, = 1,..., n (α R, dove R è l anello degl nter d K). Il polnomo mnmo d α su Q è dato da: f(x) = n (X σ (α)) =1 f(x) Z[X] dato che α è ntero. Sa f(x) = X n + a n 1 X n a 1 X + a 0 a Z Per l potes del lemma, k = 0,..., n 1 a k ( n k). Questo segue dalle formule d Vète per cu, posto σ (α) = α s ha: a n 1 = (α 1 + α α n ) a n 2 = α 1 α 2 + α 1 α α 1 α n + α 2 α α n 1 α n a n 3 = (α 1 α 2 α 3 + α 1 α 2 α α n 2 α n 1 α n )

18 18 Rsultat prelmnar d Teora Algebrca de Numer Pertanto. a 0 = ( 1) n α 1 α 2 α n a n 1 = α 1 + α α n α 1 + α α n = n = ( n ) n 1 a n 2 α 1 α 2 + α 1 α α n 1 α n = (n 1)+(n 2)+ +1 = a 0 = α 1 α n = 1 =. ( ) n 0 ( ) n n 2 Dunque α è zero d un polnomo d grado n avente coeffcent che sono nter lmtat. Polnom sffatt sono charamente n numero fnto, e qund sono tal anche rspettv zer. Per ogn h > 1 s ha che α h R, e σ (α h ) = 1 = 1,..., n. Qund anche α h soddsfa le potes del lemma, e pertanto è zero d un polnomo d grado n avente coeffcent nter soggett alle stesse lmtazon d f(x). Pochè gl zer d tal polnom sono n numero fnto, segue che h, k > 0, h k, tal che α h = α k, e pertanto α h k = 1 (supposto h > k). Corollaro Sa w Z[ξ m ] un ntero cclotomco d modulo uguale a 1. Allora w è una radce dell untà n C. Dmostrazone. Per l lemma d Kronecker, è suffcente far vedere che tutt conugat d w hanno modulo untaro, coè che σ Gal(Q(ξ m )/Q) : σ(w) = 1. Per l Teor Gal(Q(ξ m )/Q) è un gruppo abelano. t Z, (t, m) = 1 s denot con σ t l automorfsmo d Galos d Q(ξ m ) che a ξ m assoca ξ t m. Allora w w = w 2 = 1. Sa σ Gal(Q(ξ m )/Q), σ(ww) = σ(1) = 1. Pertanto σ(w)σ(w) = 1 coè σ(w)σ(σ 1 (w)) = 1. Ne segue che σ(w)σ 1 (σ(w)) = 1 coè σ(w)σ(w) = 1 = σ(w) 2. Qund σ(w) = 1. Lemma Sa p un numero prmo, (p, m) = 1. Sa τ Gal(Q(ξ m )/Q) l automorfsmo d Frobenus, coè l automorfsmo d Galos che a ξ m assoca ξ p m. Allora, per ogn ntero cclotomco w s ha che: τ(w) w p (mod (p)).

19 1.1 Camp d numer e anell d nter 19 Dmostrazone. Sa w = m 1 =0 c ξm. Osservato che = 0,..., m 1 c p c (mod p) (Pccolo Teorema d Fermat) e che ( m 1 =0 c ξm) p m 1 =0 cp ξp m (mod (p)) per la formula della potenza multnomale, s ha che: τ(w) = m 1 =0 c ξ p m m 1 =0 Questo completa la dmostrazone. m 1 c p ξp m ( =0 c ξ m) p = w p (mod (p)) Osservazone Mantenendo le stesse notazon, la congruenza del Lemma può essere terata. Essa, nfatt, vale per ogn ntero cclotomco, e qund anche per τ(w). Ne segue che: Dunque τ(τ(w)) (τ(w)) p (mod (p)) τ(w) w p ( mod (p)) (τ(w)) p w p2 (mod (p)) τ(τ(w)) w p2 (mod (p)) Rpetendo tale processo, s ha che, n generale: τ j (w) w pj (mod (p)), j 0 Lemma Sa p un numero prmo e sa a 1 un ntero. Allora: Φ p a(x) = X (p 1)pa 1 + X (p 2)pa X pa Dmostrazone. Sa f(x) = X (p 1)pa 1 + X (p 2)pa X pa S ha che f(ξ p a) = 0 pochè ξp p 1 + ξp p ξ p + 1 = 0. Qund Φ p a(x) dvde f(x) n Q[X], perchè Φ p a è l polnomo mnmo d ξ p a su Q. Pochè Φ p a è monco e ha grado ϕ(p a ) = p a 1 (p 1), ne segue che f(x) = Φ p a(x). S conclude questo paragrafo, rcordando l Teorema fondamentale della Teora d Galos per sottocamp d C (detto anche Teorema della Corrspondenza d Galos). Teorema (Teorema Fondamentale della Teora d Galos) Sano L e K sottocamp d C, L sa una estensone fnta normale d K con [L : K] = n. Il gruppo d Galos d L su K è defnto da: Gal(L/K) := {σ : L L σ automorfsmo, σ K = d K }.

20 20 Rsultat prelmnar d Teora Algebrca de Numer Se H è un sottogruppo d Gal(L/K), s defnsce campo fsso d H, l nseme: S denot con F l nseme e con G l nseme L H := {α L σ(α) = α, σ H}. F := {F campo K F L} G := {H H gruppo, H Gal(L/K)}. Sa φ : F G l applcazone defnta da: φ(f) := Gal(L/F) e ψ : G F l applcazone defnta da: ψ(h) := L H. Allora, φ e ψ sono una l nversa dell altra. Inoltre, se F è un elemento dell nseme F [F : K] = (Gal(L/K) : Gal(L/F)). Teorema Sano L, K ed E sottocamp d C. L sa una estensone normale d K ed E una estensone arbtrara d K. Allora, l campo composto EL, defnto come l pù pccolo sottocampo d C contenente E e L (e che consste delle somme fnte α 1 β α r β r con α E e β L), è una estensone normale d E e In partcolare, [EL : E] = [L : E L]. Gal(EL/E) = Gal(L/E L). 1.2 Fattorzzazone prma n anell d nter Defnzone Un domno d ntegrtà con untà R è detto un domno d Dedeknd se: 1. Ogn deale d R è fntamente generato; 2. Ogn deale prmo non nullo d R è massmale;

21 1.2 Fattorzzazone prma n anell d nter R è ntegralmente chuso nel suo campo de quozent K. Osservazone L ultma condzone della Def equvale a dre che se α/β K è zero d qualche polnomo monco a coeffcent n R, allora α/β R, coè β α n R. Sussste l seguente: Teorema Ogn anello d nter è un domno d Dedeknd. Proposzone (legge d cancellazone) Se A, B e C sono deal n un domno d Dedeknd R, e AB = AC, allora B = C. Proposzone Se A e B sono deal d un domno d Dedeknd R, allora A B (coè esste un deale C tale che B = AC) se e solo se A B. Teorema In un domno d Dedeknd R ogn deale (non nullo) propro è rappresentable n modo unco come prodotto d deal prm. Corollaro Gl deal propr d un anello d nter R s possono rappresentare n modo unco come prodotto d deal prm. Osservazone Sa R un anello d nter, P un deale prmo d R. La catena dscendente P P 2 P 3 è propra perchè se P = P +1 per qualche, allora RP = P P, e qund per la Prop P = R. Cò è assurdo. La seguente proposzone è nota come Teorema Cnese de Rest per anell e costtusce una generalzzazone del noto teorema cnese de rest su sstem d congruenze lnear n Z. Proposzone Sa R un anello commutatvo con untà. Sano I 1, I 2,..., I n deal d R tal che I +I j = R,, j, j. Sa I = n =1 I = n =1 I. Allora l applcazone: n ψ : R/I R/I x + I (x + I 1, x + I 2,..., x + I n ) è un somorfsmo d anell. =1

22 22 Rsultat prelmnar d Teora Algebrca de Numer Lemma Sa R un anello d nter, I un deale d R. Allora I Z (0). Dmostrazone. Per l Oss , I (0), dunque α I, α 0. Pochè α è un ntero algebrco p(x) Z[X] polnomo non nullo monco rrducble n Q[X] p(x) = X m + a m 1 X m a 1 X + a 0 tale che p(α) = 0. Allora a 0 = α m a m 1 α m 1 a 1 α I Z, e charamente a 0 0, per la rrducbltà d p(x). Proposzone Sa R un anello d nter. Allora per ogn deale I d R, l anello quozente R/I è fnto. Dmostrazone. Per l Lemma , a I Z, a 0 (s prenda a > 0). Sa (a) = ar l deale prncpale generato da a n R. L applcazone d R/(a) n R/I che a x+(a) assoca x+i, è charamente surgettva. Pertanto la fntezza d R/I segue dalla fntezza d R/(a). S proverà, ora, che R/(a) = a n, ove n = [K : Q] e K è l campo d numer d cu R è l anello degl nter. Sa {ω 1,..., ω n } una base ntera d K. Pertanto R = Zω 1 + Zω 2 + Zω n. Sa S = { n γ ω γ Z, 0 γ < a, = 1,..., n}. =1 È facle provare che S costtusce un nseme d rappresentant d lateral dstnt d R/(a). Da cò segue l asserto. Defnzone Sa R un anello d nter, I un deale d R. S defnsce norma d I la cardnaltà d R/I e s denota con N(I). N(I) = R/I Proposzone Sa R un anello d nter, I e J due deal d R. Allora: N(IJ) = N(I)N(J) Inoltre, se a R, a 0 e (a) è l deale prncpale generato da a n R, allora: N((a)) = N(a)

23 1.2 Fattorzzazone prma n anell d nter 23 Sano K e L due camp d numer, K L, R ed S rspettv anell degl nter, coè R = A K ed S = A L. P sa un deale prmo d R, Q un deale prmo d S. Con P S s denota l deale d S: Sussste la seguente: P S = { r α β r 1, α P, β S} =1 Proposzone Sano K, L, R, S, P e Q defnt come sopra. Allora le seguent condzon sono equvalent: 1. Q P S 2. P S Q 3. P Q 4. Q R = P 5. Q K = P. Defnzone Quando s verfca una delle cnque condzon (e qund tutte e cnque) della Prop , s dce che Q gace su P. Proposzone Ogn deale prmo Q d S gace su un unco deale prmo P d R. Per ogn deale prmo P d R esste almeno un deale prmo Q d S che gace su P, e sffatt deal prm sono n numero fnto. Defnzone Sano K, L, R, S, P e Q defnt come sopra. Allora, se Q e è l esatta potenza d Q che dvde P S, l ntero postvo e è detto l ndce d ramfcazone d Q su P ed è denotato con: e = e(q P ). P e Q sono deal prm (non null)e qund massmal n R ed S. Pertanto R/P e S/Q sono camp fnt (Prop ) dett camp resdu assocat a P e Q. È facle vedere R/P come sottocampo d S/Q. Dunque S/Q è un estensone fnta d R/P. Il grado d tale estensone f = [S/Q : R/P ] è detto grado d nerza d Q su P ed è denotato con: f = f(q P ).

24 24 Rsultat prelmnar d Teora Algebrca de Numer Lemma Sano R S T tre anell d nter, e P Q U tre deal prm d R, S e T rspettvamente. Allora: e(u P ) = e(u Q)e(Q P ) f(u P ) = f(u Q)f(Q P ) Osservazone Sa K un campo d numer, R l suo anello degl nter, P un deale prmo d R, tale che P Z = pz. In tal caso, s drà che P gace su p nvece d dre che P gace su (p) = pz. S chamerà ndce d ramfcazone d P, l ntero e = e(p p), e grado (d nerza) d P, l ntero f = f(p p). In tal caso R/P = p f. Defnzone Sa p un numero prmo, K un campo d numer d grado n su Q, R l suo anello d nter. Per l Cor l deale (p) = pr s rappresenta n modo unco come prodotto d deal prm. (p) = P e 1 1 P e 2 2 P eg g, e 1, = 1,..., g. Se per qualche = 1,..., g rsulta e > 1, s dce che p ramfca n K o n R. Sussste l seguente, profondo: Teorema Sa p un numero prmo. Allora p ramfca n K se e solo se p dvde l dscrmnante d K. Teorema Sa p un numero prmo, K un campo d numer d grado n su Q, R = A K. Sa (p) = P e 1 1 P e 2 2 P g eg. = 1,..., g sa f l grado d P, f = f (P p). Allora: g e f = n. =1 Dmostrazone. S osserv prelmnarmente che se I e J sono due deal prm dstnt d R, allora I+J = R (s dce che I e J sono relatvamente prm). Infatt I J mplca che α I, α / J. S ha dunque l nclusone propra J I+J. D altra parte J è un deale massmale (R è un domno d Dedeknd), per cu I + J = R. Pù n generale m, n nter postv I n + J m = R. Infatt, basta provare che 1 I n + J m, e cò segue faclmente dal fatto che 1 I + J, e dunque 1 = α + β con α I e β J. Elevando α + β ad una opportuna potenza, s ha che 1 I n + J m. Ne segue che, j {1,..., g}, j P e + P e j j = R

25 1.2 Fattorzzazone prma n anell d nter 25 Per l Teorema Cnese de Rest R/(p) è somorfo a g =1 R/P e. Ora R/(p) = p n (s veda la dmostrazone della Prop ). = 1,..., g rsulta R/P = p f = N(P ) e per la propretà moltplcatva della norma (Prop ) s ha che R/P e = N(P e ) = (N(P )) e = p e f. Qund g p n = p e f = p g =1 e f =1 da cu n = e 1 f 1 + e 2 f e g f g. Partcolarmente nteressante è la fattorzzazone n deal prm d un numero prmo p n un campo d numer K che sa una estensone d Galos d Q (come n effett s verfca nel caso de camp cclotomc). In tal caso, se G denota l gruppo d Galos d K su Q, σ G e I è un deale d R con R = A K, allora σ(k) = K, σ(r) = R, ed è facle verfcare che σ(i) è ancora un deale. Ancora, R/I σ(r)/σ(i) = R/σ(I). Pertanto, cò mostra che se P è un deale prmo d R, anche σ(p ) lo è. In partcolare se P gace su p, anche σ(p ) è un deale prmo d R che gace su p. S ha l seguente fondamentale: Teorema Sa p un numero prmo e sa K un campo d numer, estensone d Galos d Q, [K : Q] = n, R = A K. Sano P e P due deal prm d R che gaccono su p. Allora σ G tale che σ(p ) = P. Dmostrazone. S supponga per assurdo che σ G : σ(p ) P. Se G = {σ 1,..., σ n } con σ 1 = d K, allora = 1,..., n : σ (P ) P. σ (P ) e P sono deal prm dstnt (gacent su p) e per quanto provato nel Teor P + σ (P ) = R Dunque, P è relatvamente prmo a cascun σ (P ) e cò mplca che P è relatvamente prmo a n =1 σ (P ), coè P + σ 1 (P ) σ 2 (P ) σ n (P ) = R Per l Teorema Cnese de Rest, α R tale che: α 0 (mod P ) α 1 (mod σ 1 (P ) σ 2 (P ) σ n (P )). α è un ntero algebrco, e qund, per la Prop N(α) = ασ 2 (α) σ n (α) Z. α P N(α) P. In ultma anals, N(α) Z P = pz = P Z P N(α) P

26 26 Rsultat prelmnar d Teora Algebrca de Numer D altra parte, essendo P un deale prmo, σ 1 (α)σ 2 (α) σ n (α) P j {1,..., n} tale che σ j (α) P. Coè α σj 1 (P ) e cò è assurdo perchè, se così fosse, da α 0 (mod σ 1 j (P )) α 1 (mod σ 1 j (P )) segurebbe che 1 σj 1 (P ). Charamente questo non è possble perchè σj 1 (P ) è un deale prmo, e pertanto propro. S è ora n grado d enuncare e dmostrare l seguente: Teorema Sa K/Q una estensone d Galos. Sa p un numero prmo e (p) = P e 1 1 P e 2 2 P g eg la sua fattorzzazone prma n R = A K. Allora e 1 = e 2 =... = e g ed f 1 = f 2 =... = f g. Se e ed f denotano, rspettvamente, quest valor comun, allora efg = n, ove [K : Q] = n. Dmostrazone. Sa {1,..., g} fssato. Per l Teor esste un automorfsmo d Galos σ G tale che σ(p 1 ) = P. Pochè R/P 1 σ(r)/σ(p 1 ) = R/P s ha che f 1 = f. Qund tutt grad (d nerza) f sono ugual. S applch ora σ ad ambo membr dell uguaglanza: Pochè p Z, è charo che σ((p)) = (p), coè (p) = P e 1 1 P e 2 2 P eg g (1.2) (p) = (σ(p 1 )) e 1 (σ(p 2 )) e2 (σ(p g )) eg (1.3) Nel prodotto (1.3) P ha esponente e 1. Nel prodotto (1.2) P ha esponente e. Dall unctà della fattorzzazone prma (Cor ) segue che e 1 = e, e qund tutt gl ndc d ramfcazone e sono ugual. Infne, pochè g =1 e f = n (Teor ) s ha mmedatamente che efg = n. S possono ora applcare rsultat della precedente sezone a camp cclotomc. S comnca con l seguente fondamentale: Teorema Sa p un numero prmo, a 1 un ntero postvo. Allora n Z[ξ p a], l unco deale prmo che gacca su p è l deale prncpale generato dall elemento 1 ξ p a, P = (1 ξ p a) = (1 ξ p a)z[ξ p a]. Inoltre pz[ξ p a] = (p) = (1 ξ p a) ϕ(pa )

27 1.2 Fattorzzazone prma n anell d nter 27 Dmostrazone. Sa j un ntero tale che, 1 < j p a 1 e (j, p) = 1. Sa t un ntero soluzone della seguente congruenza: jt 1 (mod p a ) (esstente perchè (j, p) = (j, p a ) = 1). S defnsca u = 1 ξj p a 1 ξ p a. Allora: u = ξ j 1 p a u 1 = 1 ξ p a 1 ξ j = 1 ξ jt p a p a 1 ξ j = ξ j(t 1) p a p a + ξj 2 p a + + ξ p a + 1 Z[ξ p a] + ξj(t 2) p a + + ξj p a + 1 Z[ξ p a] Allora u Z[ξ p a] è nvertble n Z[ξ p a] e 1 ξ p a e 1 ξ j pa sono due element assocat d Z[ξ p a]. Ess, pertanto, generano lo stesso deale n Z[ξ p a]. Dunque, j ntero, 1 < j p a 1 e (j, p) = 1 n Z[ξ p a] s ha: Per defnzone, (1 ξ p a) = (1 ξ j pa) (1.4) Φ p a(x) = p a 1 j=1 (j,p)=1 (X ξ j p a) Combnando questo con l Lemma s ha che: Dalla (1.4), segue che p = Φ p a(1) = Questo completa la dmostrazone. p a 1 j=1 (j,p)=1 (p) = (1 ξ p a) ϕ(pa ) (1 ξ j p a) Proposzone Sa m > 0 un ntero postvo, p un numero prmo (p, m) = 1e sa P un deale prmo d Z[ξ m ] che gace su p. Allora lateral 1, ξ m,..., ξ m 1 m n Z[ξ m ]/P sono tutt dstnt. p f 1 ( mod m). Se, noltre, f denota l grado (d nerza) d P, allora

28 28 Rsultat prelmnar d Teora Algebrca de Numer Dmostrazone. w Z[ξ m ] s denot con w = w + P l corrspondente laterale nel campo fnto Z[ξ m ]/P. Dvdendo per X 1 entramb membr della seguente denttà s ha che: X m 1 = (X ξm) j m 1 j=0 1 + X + + X m 1 = (X ξm) j m 1 j=1 S ponga X = 1 n questa denttà. S trova che m = (1 ξm) j m 1 j=1 da cu, passando a lateral s ottene: m = m 1 j=1 (1 ξ j m) Pochè m 0, segue che ξ j m 1 j = 1,..., m 1 e pertanto ξ m ξ j m, j = 0, 1,..., m 1 j Gl element { ξ m 0 m 1 } formano un sottogruppo d ordne m del gruppo moltplcatvo d Z[ξ m ]/P. Qund m p f 1, essendo l ordne dell ultmo gruppo par propro a p f 1. Proposzone Sa p un numero prmo, m > 0, p m. Allora p non ramfca n Q(ξ m ). Dmostrazone. Per l Teor , se per assurdo p ramfcasse n Q(ξ m ) allora p dovrebbe dvdere l dscrmnante d Q(ξ m ). D altra parte, n vrtù del Lemma dsc(q(ξ m )) m ϕ(m). Allora, p dovrebbe dvdere m, contraddcendo l potes fatta su p. Defnzone Sano a, n Z tal che n > 0 e (a, n) = 1. S chama ordne (moltplcatvo) d a (modulo n) (e s scrve ord n (a) oppure semplcemente o n (a)) l pù pccolo ntero postvo k per cu rsult a k 1 (mod n)

29 1.2 Fattorzzazone prma n anell d nter 29 Osservazone È opportuno sottolneare che tale defnzone ha senso se e soltanto se (a, n) = 1. Infatt, se (a, n) 1, la congruenza ax 1 (mod n) non è rsoluble e qund nessun ntero postvo k soddsfa la congruenza della Def Vceversa, se (a, n) = 1 l asserto è mmedata conseguenza del Teorema d Eulero-Fermat(Teor ). Teorema Sa p un numero prmo, m > 0, p m. Sa f = o m (p). Allora, nell anello degl nter cclotomc Z[ξ m ] s ha che: (p) = P 1 P 2 P g ove cascun deale prmo P ha grado f e g = ϕ(m)/f. Dmostrazone. È noto che n Z[ξ m] s ha che: (p) = (P 1 P 2 P g ) e con P deal prm dstnt avent tutt lo stesso grado e lo stesso ndce d ramfcazone e (Teor e Teor ). Sa f 1 l grado d P 1. Pochè Z[ξ m ]/P 1 è un campo fnto (d ordne p f 1 ) s ha che w Z[ξ m ] : w pf1 = w, coè w Z[ξ m ] : w pf1 w (mod P 1 ) e f 1 è l pù pccolo ntero postvo con questa propretà. Per l Lemma , pochè p f 1 (mod m) : e qund, pochè (p) P 1, rsulta che: w Z[ξ m ] : w pf w (mod (p)) w Z[ξ m ] : w pf w ( mod P 1 ). Ne segue che f 1 f. D altra parte, per la Prop , p f 1 1 ( mod m). Per la Def d ordne (moltplcatvo) segue che f f 1. Pertanto f = f 1, e qund tutt gl deal prm P gacent su p hanno grado f. Per la Prop rsulta e = 1, e sempre per l Teor rsulta che efg = ϕ(m), da cu g = ϕ(m)/f. Questo completa la dmostrazone. S conclude con l seguente fondamentale:

30 30 Rsultat prelmnar d Teora Algebrca de Numer Teorema Sa p un numero prmo, m = p a m, con a 1, m 2 e (p, m ) = 1. Allora, n Z[ξ m ] s ha la seguente fattorzzazone prma: pz[ξ m ] = (p) = (Q 1 Q 2 Q g ) e dove e = ϕ(p a ), f = o m (p), g = ϕ(m )/f e Q sono deal prm dstnt d Z[ξ m ] avent tutt lo stesso grado f su p. Dmostrazone. S vede come p s fattorzza n cascuno de camp cclotomc Q(ξ p a) e Q(ξ m ). Il rsultato per Q(ξ m ), allora, segurà faclmente. Per l Teor , n Z[ξ p a] s ha che: Per l Teor , n Z[ξ m ] s ha che: pz[ξ p a] = (1 ξ p a) ϕ(pa) Z[ξ p a] pz[ξ m ] = P 1 P 2 P g dove P sono deal prm dstnt d Z[ξ m ] avent tutt lo stesso grado f = o m (p), e gf = ϕ(m ). S fssno Q 1,..., Q g deal prm d Z[ξ m ] gacent su P 1,..., P g rspettvamente (tal Q esstono per la Prop ). Ne segue mmedatamente che = 1,..., g, Q gace su p, e qund anche su (1 ξ p a)z[ξ p a], pochè quest ultmo è l unco deale prmo d Z[ξ p a] gacente su p (Teor ). S ha, n defntva, la seguente stuazone, = 1,..., g pz (1 ξ p a)z[ξ p a] Q (1.5) pz P Q (1.6) In vrtù del Lemma applcato alla (1.5) e alla (1.6) s deduce che: e(q p) e((1 ξ p a) p) = ϕ(p a ) (1.7) f(q p) f(p p) = f (1.8) Inoltre, gf = ϕ(m ) ϕ(p a )fg = ϕ(m). Il Teor applcato alla fattorzzazone d p n Z[ξ m ] mplca che Q sono sol deal prm dstnt d Z[ξ m ] che gaccono su p e che le dsuguaglanze (1.7) e (1.8) sono n realtà delle uguaglanze. A conclusone d questo paragrafo appare opportuno rassumere Teor , e , nel seguente, unco:

31 1.3 Gruppo d decomposzone d un deale prmo n un campo cclotomco 31 Teorema Sa p un numero prmo, m > 0 un ntero postvo, m = p a m, con a 0, m 1 e (p, m ) = 1. Allora, n Z[ξ m ] s ha che: (p) = (P 1 P 2 P g ) ϕ(pa ) dove P 1, P 2... P g sono deal prm dstnt d Z[ξ m ], avent lo stesso grado f con f = o m (p) e g = ϕ(m )/f. 1.3 Gruppo d decomposzone d un deale prmo n un campo cclotomco Defnzone Sa m > 0 un ntero postvo, G = Gal(Q(ξ m )/Q) l gruppo d Galos del campo cclotomco Q(ξ m ). Sa P un deale prmo d Z[ξ m ]. S dce gruppo d decomposzone d P (e s denota con D P ) l sottogruppo d G defnto da: D P = {σ G σ(p ) = P }. Al fne d determnare la cardnaltà d D P, s premettono alcune defnzon e un lemma elementare della teora de grupp. Defnzone Sa X un nseme fnto, (G, ) un gruppo fnto. S dce azone d G su X un applcazone : G X X tale che: 1. g 1 (g 2 a) = (g 1 g 2 ) a, g 1, g 2 G, a X 2. 1 a = a, a X (1 denota l elemento neutro d G). Se a X, s chama G-orbta d a (e s denota con O G (a)), l sottonseme d X defnto da: O G (a) = {g a g G} S chama stablzzatore d a n G (e s denota con Stab a (G)), l sottogruppo d G defnto da: Stab a (G) = {g G g a = a}. Sussste l seguente: Lemma (formula dell orbta) Sa (G, ) un gruppo fnto che agsce su un nseme fnto X. Sa a X. Allora: O G (a) = (G : Stab a (G))

32 32 Rsultat prelmnar d Teora Algebrca de Numer Defnzone Sa (G, ) un gruppo fnto che agsce su un nseme fnto X. S dce che G agsce transtvamente su X se: a, b X g G t.c. b = g a. S dce che G agsce regolarmente su X se: a, b X g G t.c. b = g a. Osservazone Sa p un numero prmo, m > 0, m = p a m, a 0, m 1, (p, m ) = 1, P un deale prmo d Z[ξ m ], gacente su p, G l gruppo d Galos d Q(ξ m ) (su Q). Sa X l nseme degl deal prm d Z[ξ m ] che gaccono su p. Per l Teor , X = g, g = ϕ(m )/f, f = o m (p). Per l Teor applcato al campo cclotomco Q(ξ m ), estensone d Galos d Q (Teor ), G agsce transtvamente su X. Pertanto l orbta d P concde con X. O G (P ) = {σ(p ) σ G} = X Il gruppo d decomposzone d P concde con lo stablzzatore d P : D P = Stab P (G) = {σ G σ(p ) = P } In vrtù della formula dell orbta (Lemma 1.3.3) s ha che: da cu segue che: O G (P ) = (G : D P ) g = G / D P. Pertanto, la cardnaltà d D P è data da: D P = ϕ(m)/g = ϕ(p a )o m (p). (1.9) Se m = p a, a 1, e pertanto m = 1, dalla (1.9) segue che: D P = ϕ(p a ) = ϕ(m) Segue che D P = G, coè ogn automorfsmo d Galos d Q(ξ m ) fssa P. Nel caso n cu p m, e qund a = 0, D P = o m (p) e sussste l seguente: Teorema Sa p un numero prmo, (p, m) = 1 e sa τ l automorfsmo d Frobenus d Q(ξ m ) che a ξ m assoca ξ p m. Sa P un deale prmo d Z[ξ m ] che gace su p, e sa f = o m (p). Allora l gruppo d decomposzone D P d P è cclco d ordne f e ammette τ come generatore.

33 1.3 Gruppo d decomposzone d un deale prmo n un campo cclotomco 33 Dmostrazone. Che τ abba ordne f segue mmedatamente dalla defnzone d ordne moltplcatvo d p modulo m. Sa ora j un ntero tale che 0 j f 1. Per l Oss s ha che: w Z[ξ m ] : τ j (w) w pj (mod (p)), ((p) = pz[ξ m ]) Se w P, allora w pj P, e osservato che (p) P, segue che τ j (w) P. Dunque, τ j (P ) P. D altra parte, τ j (P ) è un deale prmo (non nullo) d Z[ξ m ], e qund è massmale. Qund τ j (P ) = P. Questo completa la dmostrazone. S può, a questo punto, consderare l caso generale, n cu m = p a m, con m 2, a 1, (p, m ) = 1. Teorema Sa p un numero prmo, m = p a m, (p, m ) = 1, a 1, m > 1. Sa P un deale prmo d Z[ξ m ] che gace su p. Sa σ Gal(Q(ξ m )/Q) un automorfsmo d Galos d Q(ξ m ) tale che: σ(ξ m ) = ξ pj m con 0 j f 1, ove f = o m (p). Allora σ(p ) = P. Dmostrazone. Teor Per quanto provato nel corso della dmostrazone del p = p a 1 j=1 (j,p)=1 (1 ξ j p a), (1 ξ p a)z[ξ m] = (1 ξ p a)z[ξ m] (1.10) per ogn, 1 < p a 1, (, p) = 1. Qund n Z[ξ m ] s ha: pz[ξ m ] = (p) = (1 ξ p a) ϕ(pa) = (1 ξ p a) ϕ(pa) Z[ξ m ]. (1.11) Per l Oss A Z[ξ m ] : σ(a) A pj (mod (p)) ove (p) = pz[ξ m ]. Osservato che pz[ξ m ] pz[ξ m ] P, s ha che: A Z[ξ m ] σ(a) A pj (mod P ). (1.12) Dalla (1.11) segue che P è un deale prmo che contene (dvde) l deale (1 ξ p a) ϕ(pa) e qund P contene (1 ξ p a). (1 ξ p a)z[ξ m ] P

34 34 Rsultat prelmnar d Teora Algebrca de Numer Allora X Z[ξ m ]: (1 ξ p a)x P. In partcolare 1 ξ p a P, (1 ξ p a)ξ p a P coè ξ p a ξp 2 a P e qund (1 ξ p a) + (ξ p a ξ2 p a) P coè 1 ξ2 p a P. Procedendo allo stesso modo, s vede che 1 ξp l a P l 0. S è così dmostrato che: l 0 ξp l a 1 (mod P ). (1.13) Dalla (1.13) e dal fatto che 0, σ(ξp a) = ξl p a mmedatamente che: per qualche l 0 segue 0 σ(ξp a) 1 (mod P ). (1.14) S not che ogn ntero 0 k m 1 ammette una rappresentazone della forma k = sm +tp a con s, t Z. Infatt, (p a, m ) = 1 mplca che, per l denttà d Bézout, esstono a, b Z tal che am + bp a = 1 e pertanto k = kam + kbp a. Qund ogn elemento y Z[ξ m ], y = m 1 k=0 a kξm k può essere scrtto nella forma: y = p a 1 =0 A ξ p a con A Z[ξ m ] ( sa k fssato, 0 k m 1, allora ξ k m = ξ s p aξt m ). Tenuto conto d (1.12), (1.13) e (1.14), s ha che y Z[ξ m ] rsulta: =0 σ(y) = p a 1 =0 =0 p σ(a )σ(ξp (1.14) a 1 a) =0 σ(a ) = p a 1 = σ( A ) (1.12) p a 1 p (1.13) a 1 pj ( A ) ( A ξp a)pj = y pj (mod P ). Pertanto, y Z[ξ m ]: σ(y) y pj ( mod P ). Se s assume y P, allora y pj P e pertanto σ(y) P. Dunque σ(p ) P. Pochè P e σ(p ) sono deal prm (non null) e qund massmal d Z[ξ m ], rsulta σ(p ) = P. Osservazone Se s vede l automorfsmo σ del Teor come elemento del gruppo d Galos Gal(Q(ξ m )/Q), coè come automorfsmo d Q(ξ m ), per l Teor , tale σ s estende a ϕ(p a ) = [Q(ξ m ) : Q(ξ m )] automorfsm d Q(ξ m ). Pochè 0 j o m (p) 1, gl automorfsm d Q(ξ m ) del tpo σ del Teor sono n tutto n numero par a ϕ(p a )o m (p). E tale è propro la cardnaltà del gruppo d decomposzone d P ( (1.9) dell Oss ). =0

35 1.3 Gruppo d decomposzone d un deale prmo n un campo cclotomco 35 Alla luce d tutto cò che precede, s può concludere con l seguente fondamentale teorema che caratterzza completamente l gruppo d decomposzone d un deale prmo n un campo cclotomco, e che rassume tutt rsultat delle precedent sezon. Teorema Sa p un numero prmo, m > 0 un ntero postvo, m = p a m, (p, m ) = 1, a 0, m 1. Sa f = o m (p), g = ϕ(m )/f, P 1, P 2,..., P g sano gl deal prm dstnt d Z[ξ m ] che gaccono su p. Allora: D P1 = D P2 =... = D Pg = {σ G σ(ξ m ) = ξ t m, t p j (mod m ) j 0} (dove G = Gal(Q(ξ m )/Q)) Osservazone Sa I un deale (non nullo) propro d Z[ξ m ]. S supponga che P j1,..., P jn sano gl deal prm dstnt d Z[ξ m ] che gaccono su p (P j1 Z = P j2 Z =... = P jn Z = pz) e che compaono nella fattorzzazone prma d I, con ndc (rspettvamente) e 1, e 2,..., e n (e 1). Sa nfne σ Gal(Q(ξ m )/Q) un automorfsmo d Galos del campo cclotomco Q(ξ m ) che fssa l deale I (σ(i) = I). Allora s presentano due possbltà (per l Teor ): 1. = 1,..., n σ(p j ) = P j 2. = 1,..., n σ(p j ) P j Nel caso (2), σ permuta gl deal prm P j1,..., P jn (n generale σ trasforma un deale prmo su p n un altro che gace ancora su p ). Inoltre, pochè σ fssa I (per la unctà della fattorzzazone prma degl deal n anell d nter), dovrà necessaramente verfcars quanto segue: con P e 1 j 1 P e 2 j 2 P en j n = (P h1 P hs ) c (P k1 P kr ) d (P t1 P tv ) l σ(p h1 P hs ) = P h1 P hs σ(p k1 P kr ) = P k1 P kr. σ(p t1 P tv ) = P t1 P tv Osservazone S consder l deale I + (p h ) = MCD(I, (p h )) (p numero prmo, h 1) n Z[ξ m ]. S presentano due cas:

36 36 Rsultat prelmnar d Teora Algebrca de Numer 1. Nessun deale prmo che gace su p compare nella fattorzzazone prma d I e pertanto I + (p h ) = Z[ξ m ]; 2. I e (p h ) non sono relatvamente prm, e n tal caso, se P j1,..., P jn sono gl deal prm dstnt d Z[ξ m ] che gaccono su p e che compaono nella fattorzzazone prma d I, con ndc (rspettvamente) e 1, e 2,..., e n s ha che: I + (p h ) = P r 1 j 1 P r 2 j 2 P rn j n j 1,..., j n {1,..., g} dove (p h ) = (P 1 P 2 P g ) hϕ(pa ) (s veda l Teor per le notazon) e r 1 = mn{hϕ(p a ), e 1 }. r n = mn{hϕ(p a ), e n }. Lemma Se σ Gal(Q(ξ m )/Q) fssa l deale I, allora σ fssa anche l deale J = I + (p h ) per ogn numero prmo p e per ogn ntero postvo h 1. Dmostrazone. Se J = Z[ξ m ], (caso (1) dell Oss ), l asserto è ovvo (µ(z[ξ m ]) = Z[ξ m ] µ Gal(Q(ξ m )/Q), pochè Q(ξ m ) è un estensone d Galos d Q). S consder l caso non banale (2) dell Oss In vrtù dell Oss , s presentano due possbltà. Se = 1,..., n σ(p j ) = P j, l asserto è ovvo. S consder la seconda possbltà. In questo caso gl deal prm P j1,..., P jn s possono raggruppare n modo che: con P e 1 j 1 P e 2 j 2 P en j n = (P h1 P hs ) c (P k1 P kr ) d (P t1 P tv ) l σ(p h1 P hs ) = P h1 P hs σ(p k1 P kr ) = P k1 P kr. σ(p t1 P tv ) = P t1 P tv

37 1.4 Teorema della dscesa d campo 37 È charo che anche J = I + (p h ) s presenterà nella forma: J = (P h1 P hs ) c (P k1 P kr ) d (P t1 P tv ) l con c = mn{c, hϕ(p a )} d = mn{d, hϕ(p a )}. l = mn{l, hϕ(p a )}. Pertanto σ(j) = J. 1.4 Teorema della dscesa d campo In questa sezone vengono elencat alcun rsultat ben not d teora de numer elementare ed alcun lemm relatv a camp cclotomc. Lemma (Lemma d Euclde) Sano a, b, c nter postv, tal che (a, b) = 1 e a bc. Allora a c. Teorema (Teorema d Eulero-Fermat) Sano a, n Z, n > 0. Se (a, n) = 1, allora: a ϕ(n) 1 (mod n). Corollaro (Pccolo Teorema d Fermat) Se p è un numero prmo e a è un ntero tale che p a,allora: a p 1 1 (mod p). Lemma Sano a, b, n nter, con n > 0. La congruenza ax b (mod n) ha soluzon n Z se e solo se (a, n) b. Lemma Sano a, b, v, n 1 nter, con n 1 > 0, d = (n 1, v), n 2 := n 1 /d. Se va vb (mod n 1 ) allora s ha che: a b (mod n 2 )

38 38 Rsultat prelmnar d Teora Algebrca de Numer Lemma Sano w, b, c nter postv, (b, c) = 1. Allora se w bc, s ha che: w = (w, b)(w, c) Dmostrazone. Per l denttà d Bézout s ha che (w, b) = wx 1 + by 1 con x 1, y 1 Z; (w, c) = wx 2 + cy 2 con x 2, y 2 Z. Qund (w, b)(w, c) = w(wx 1 x 2 + bx 2 y 1 + cx 1 y 2 ) + bcy 1 y 2 Ne segue che w (w, b)(w, c). D altra parte (b, c) = 1 e qund sempre per l denttà d Bézout esstono due nter x e y tal che bx + cy = 1 e qund w = wbx + wcy. S not che (w, b) b e (w, c) w così che (w, b)(w, c) wbx; anche (w, b) w e (w, c) c così che (w, b)(w, c) wcy. Ne segue che (w, b)(w, c) w. Corollaro Se a, b, c sono nter postv e (b, c) = 1 allora: (a, b)(a, c) = (a, bc). Dmostrazone. Posto d = (a, bc), d bc e qund per l Lemma d = (d, b)(d, c) coè (a, bc) = ((a, bc), b)((a, bc), c) Ma ((a, bc), b) = (a, b) e ((a, bc), c) = (a, c). Lemma Sa m > 0 un ntero postvo e p un numero prmo. Allora: ϕ(mp) = ϕ(m) m e dspar e p = 2. Dmostrazone. S dmostra l mplcazone. Se m = 1 e p = 2, ϕ(2) = ϕ(1) = 1. Se m > 1, allora m = p c 1 1 pct t, p 2 = 1,..., t. Allora mp = 2m = 2p c 1 1 pct t e qund ϕ(mp) = ϕ(2p c 1 1 pct t ) = ϕ(2)ϕ(m) = ϕ(m). S prova ora l altra mplcazone. Se p m, allora m = p c 1 p c 2 2 pct t c 1 = 1,..., t. Dunque mp = p c1+1 p c 2 2 pct t. Ne segue che: ϕ(mp) = p c 1 (p 1)p c (p 2 1) p ct 1 t (p t 1) = pϕ(m) ϕ(m) Pertanto, se ϕ(mp) = ϕ(m), necessaramente p m. Allora m = p c 1 1 pct t con p p = 1,..., t, mp = pp c 1 1 pct t e ϕ(mp) = (p 1)ϕ(m). Per potes ϕ(mp) = ϕ(m). Allora (p 1)ϕ(m) = ϕ(m) coè p 1 = 1 coè p = 2. Da cò segue che m deve essere dspar (2 m).

39 1.4 Teorema della dscesa d campo 39 Lemma Sano m ed r due nter postv, tal che m r. Allora sono equvalent le seguent condzon: 1. ϕ(m) = ϕ(r) 2. m = r oppure m e dspar e r = 2m. Dmostrazone. (2) (1). Trascurando l caso banale m = r, s supponga che m sa dspar, e che r = 2m. La (1) dscende faclmente dalla formula per la funzone ϕ d Eulero, dal momento che m = p c 1 1 pct t, p 2 = 1,..., t, r = 2p c 1 1 pct t e dunque: ϕ(r) = ϕ(p c 1 1 pct t )ϕ(2) = ϕ(m) (1) (2). S supponga che m < r. Per potes m r, qund r = mb dove b > 1. Inoltre ϕ(m) = ϕ(mb). Se p è un dvsore prmo d b, allora mp mb e qund ϕ(mp) ϕ(mb) = ϕ(m). m mp ϕ(m) ϕ(mp). In defntva ϕ(mp) = ϕ(m). In vrtù del Lemma m deve essere dspar e p = 2. È charo che b/p non può contenere altr dvsor prm, dato che cò contraddrebbe l potes ϕ(m) = ϕ(mb). Pertanto b = p = 2 e r = 2m. (s osserv che se b = 2 h necessaramente h = 1, perchè ϕ(mb) = ϕ(m)ϕ(b) = ϕ(m)ϕ(2 h ) = ϕ(m)2 h 1 = ϕ(m) e qund 2 h 1 = 1 coè h = 1). Osservazone Nel corso della dmostrazone del lemma 1.4.9, s è fatto uso della seguente mplcazone: m n ϕ(m) ϕ(n) che segue dalla formula per la funzone ϕ d Eulero. Infatt se n = p a 1 1 pat t, a > 0, m n equvale a dre che m = p b 1 1 p bt t, 0 b a = 1,..., t. Allora: ϕ(n) = p a (p 1 1) p at 1 t (p t 1) ϕ(m) = p b (p 1 1) p bt 1 t (p t 1) ove se b = 0 manca l termne p b 1. Charamente ϕ(m) ϕ(n). Proposzone Sa m > 0 un ntero postvo, ξ m = e 2π/m. Se m è par, le sole radc d 1 n Q(ξ m ) sono le m-esme radc d 1 (ξ j m, j = 0, 1,..., m 1). Se m è dspar, le sole radc d 1 n Q(ξ m ) sono le 2m-esme radc d 1 (±ξ j m, j = 0, 1,..., m 1).

40 40 Rsultat prelmnar d Teora Algebrca de Numer Dmostrazone. Sa m par. θ Q(ξ m ) sa una radce d 1. S supponga che θ = e 2πh/k con (h, k) = 1(θ = ξk h ). Sa r = mcm(k, m) = km (k,m). Per l denttà d Bézout (applcata due volte) esstono nter u, t, a e b tal che: (k, m) = uk + tm 1 = ah + bk Pertanto: ξ r = e 2π(k,m) km = e 2π(uk+tm) km = ξ u mθ v ove v = at. In defntva s è provata l esstenza d due nter u e v tal che ξ r = ξmθ u v. Qund ξ r Q(ξ m ). Da cò segue che Q(ξ r ) Q(ξ m ) e qund ϕ(r) ϕ(m). D altra parte m r e pertanto ϕ(m) ϕ(r). Dunque ϕ(m) = ϕ(r). In vrtù del Lemma 1.4.9, deve rsultare necessaramente m = r (essendo m par). Pertanto k m coè m = ks per qualche ntero s e: θ = e 2πh k = e 2πhs ks = e 2πhs m = ξ hs m = ξ j m avendo posto j = hs. Sa ora m dspar. L asserto segue dal fatto che n tal caso Q(ξ m ) = Q(ξ 2m ). Infatt, m 2m Q(ξ m ) Q(ξ 2m ). Occorre provare l altra nclusone Q(ξ 2m ) Q(ξ m ), e per fare cò basta dmostrare che ξ 2m Q(ξ m ). S osserv che: ξ 2m = ξ m+1 2m Infatt ξ2m m+1 = ξm 2m ξ 2m = e 2πm 2m ξ 2m = ξ 2m. m + 1 è par e qund m + 1 = 2h per qualche ntero h. Dunque ξ 2m = ξ2m 2h = e 2π2h 2m Questo completa la dmostrazone. = e 2πh m = ξ h m Q(ξ m ) Lemma Sano m, n > 0 nter postv relatvamente prm. supponga che ξmξ j n k = 1. Allora ξm j = 1 e ξn k = 1. S Dmostrazone. S può sempre consderare 0 j < m e 0 k < n. ξ j mξ k n = e nj+mk 2π( mn ) = ξ nj+mk mn = 1 = ξ 0 mn Ne segue che nj + mk 0 (mod mn) coè nj + mk = smn con s 0 ntero non negatvo. Per le lmtazon mposte a j e k, s ha necessaramente s < 2. Infatt: nj = smn mk = m(sn k) < mn(j < m) sn k < n (s 1)n < k < n

41 1.4 Teorema della dscesa d campo 41 s 1 < 1 s < 2 Pertanto s = 0 oppure s = 1. Se fosse s = 1, allora nj + mk = mn n mk (n, m) = 1 n k k = 0 (se k 0, s avrebbe n k < n). Allora nj = mn e qund j = m e cò contraddce l potes fatta su j. Dunque è necessaramente s = 0. Coè: nj + mk = 0 nj = mk j 0 j = 0 Analogamente s vede che k = 0. Osservazone Il Lemma s estende (per nduzone) ad ogn prodotto d un numero fnto d radc d 1, d ordn a due a due coprm. Osservazone Sa m > 0, 0 j < m, m = t u 1j, u 2j,..., u tj nter tal che: ξ j m = t =1 ξ u j p c =1 pc Infatt supponendo t > 1 (per t = 1 l asserto è banale), osservato che ( t k=1 k 1 p c k k, t k=1 k 2 p c k k,..., t k=1 k t p c k k ) = 1 per l denttà d Bézout esstono t nter r 1,..., r t tal che Dunque 1 = r 1 t j = r 1 j k=1 k 1 t k=1 k 1 p c k k p c k k Posto u j = r j s ha faclmente l asserto. + + r t + + r t j t k=1 k t t k=1 k t Teorema Sano m,n > 0 nter postv, d = (m, n). Allora: Q(ξ m ) Q(ξ n ) = Q(ξ d ). p c k k p c k k. Allora esstono

42 42 Rsultat prelmnar d Teora Algebrca de Numer Dmostrazone. Sa f = mn/d l mnmo comune multplo d m e n. Per l denttà d Bézout, esstono due nter a e b tal che: Ne segue che: Cò mplca che: am + bn = d. ξ a nξ b m = ξ f. Q(ξ f ) Q(ξ m )Q(ξ n ). Pochè charamente Q(ξ m ) e Q(ξ n ) sono contenut n Q(ξ f ) (n generale, se h dvde k allora Q(ξ h ) Q(ξ k ) perchè ξ h = ξ k/h k ), segue che: In ultma anals, s è provato che: Q(ξ m )Q(ξ n ) Q(ξ f ). Pochè Q(ξ d ) Q(ξ m ) e Q(ξ d ) Q(ξ n ), s ha che: Per l Teor , rsulta che: Q(ξ m )Q(ξ n ) = Q(ξ f ). (1.15) Q(ξ d ) Q(ξ m ) Q(ξ n ). (1.16) [Q(ξ m ) : (Q(ξ m ) Q(ξ n ))] = [Q(ξ m )Q(ξ n ) : Q(ξ n )]. Tenuto conto della (1.15), s ha: [Q(ξ m ) : (Q(ξ m ) Q(ξ n ))] = [Q(ξ f ) : Q(ξ n )]. (1.17) Per una propretà elementare della funzone ϕ d Eulero ϕ(m)ϕ(n) = ϕ(f)ϕ(d). Pertanto la (1.17) mplca che: Qund [Q(ξ m ) : (Q(ξ m ) Q(ξ n ))] = ϕ(f)/ϕ(n) = ϕ(m)/ϕ(d). [(Q(ξ m ) Q(ξ n )) : Q] = ϕ(d). (1.18) Pochè [Q(ξ d ) : Q] = ϕ(d), la (1.18) e l nclusone (1.16) mplcano che: Resta così provato l teorema. Q(ξ m ) Q(ξ n ) = Q(ξ d ).

43 1.4 Teorema della dscesa d campo 43 Lemma Sano a, b Z,t,v > 0 nter postv relatvamente prm tal che: a b (mod t) a b (mod v) Allora: a b (mod tv) Lemma Se l 1 è un ntero postvo, a,b nter e p un numero prmo, allora: a b (mod p l ) a p b p (mod p l+1 ) Dmostrazone. S può scrvere a = b + cp l con c ntero. Qund per la formula del bnomo: ( ) ( ) p p a p = (b + cp l ) p = b p + b p 1 cp l + + bc p 1 p l(p 1) + c p p lp 1 p 1 qund a p = b p + b p 1 cp l bc p 1 p l(p 1)+1 + c p p lp Al solto p ( ) p k k = 1,..., p 1 e questo mplca che: ( ) p p 2l+1 b p 2 c 2 p 2l 2. p (p 1)l+1 bc p 1 p l(p 1) Inoltre 2l + 1 l + 1 3l + 1 l + 1. (p 1)l + 1 l + 1 lp l + 1 da cu la tes.